第五章 离散时间信号与系统分析 (1)
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信号与系统第五章 离散系统分析
图5-11 序列的尺度变换
可以看出，不管是移位变换，还是反褶和尺度变换，都是对序 列自变量k进行的变换。
例5-5 已知序列ƒ(k)的波形如图5-12（a）所示，试 画出ƒ(-0.5k+3)的波形。
解：ƒ(-0.5k+3)是将ƒ(k)经反褶、移位、尺度展缩三种变换后得到的，但三
种变换的次序是可以任意的,下面介绍移位→反褶→尺度变换这种方法（见图 5-12），其它的请读者自行完成。
当a＞1时，序列ƒ(ak)是由序列ƒ(k)每隔a点抽取一点形成 的。从波形效果来看，是将序列ƒ(k)的时间轴k压缩到了原来 的1/a倍，图5-11（b）是将ƒ(k)变换成ƒ(2k)的波形。
图5-11 序列的尺度变换
当0＜a＜1时，序列ƒ(ak)是由序列ƒ(k)在每两个相邻的序 列数值间插入个零值点形成的。从波形效果来看，是将序列 ƒ(k)的时间轴k扩展到了原来的1/a倍，图5-11（c）是将ƒ(k) 变换成ƒ(0.5k)的波形。
图5-2 单位样值序列波形
延时k0个单位的单位样值序列可表示为
(k
k
0
)
1, k 0, k
k0 k0
单位样值序列 与单位冲激函数 类似，具有取样 特性，即有
f (k)(k) f (0)(k)
f (k)(k k0 ) f (k0 )(k k0 )
f (k)(k) f (0)
f (k) 左移3个单位 f (k 3) 反褶 f (k 3) 展宽2倍 f ( 1 k 3) 2
（2）反转
序列ƒ(-k)是将序列ƒ(k)以纵轴为对称轴进行反折而得到的序 列，在形式上只要将序列ƒ(k)的自变量k换成-k即可，如图5-10 所示。
可以看出，不管是移位变换，还是反褶和尺度变换，都是对序 列自变量k进行的变换。
例5-5 已知序列ƒ(k)的波形如图5-12（a）所示，试 画出ƒ(-0.5k+3)的波形。
解：ƒ(-0.5k+3)是将ƒ(k)经反褶、移位、尺度展缩三种变换后得到的，但三
种变换的次序是可以任意的,下面介绍移位→反褶→尺度变换这种方法（见图 5-12），其它的请读者自行完成。
当a＞1时，序列ƒ(ak)是由序列ƒ(k)每隔a点抽取一点形成 的。从波形效果来看，是将序列ƒ(k)的时间轴k压缩到了原来 的1/a倍，图5-11（b）是将ƒ(k)变换成ƒ(2k)的波形。
图5-11 序列的尺度变换
当0＜a＜1时，序列ƒ(ak)是由序列ƒ(k)在每两个相邻的序 列数值间插入个零值点形成的。从波形效果来看，是将序列 ƒ(k)的时间轴k扩展到了原来的1/a倍，图5-11（c）是将ƒ(k) 变换成ƒ(0.5k)的波形。
图5-2 单位样值序列波形
延时k0个单位的单位样值序列可表示为
(k
k
0
)
1, k 0, k
k0 k0
单位样值序列 与单位冲激函数 类似，具有取样 特性，即有
f (k)(k) f (0)(k)
f (k)(k k0 ) f (k0 )(k k0 )
f (k)(k) f (0)
f (k) 左移3个单位 f (k 3) 反褶 f (k 3) 展宽2倍 f ( 1 k 3) 2
（2）反转
序列ƒ(-k)是将序列ƒ(k)以纵轴为对称轴进行反折而得到的序 列，在形式上只要将序列ƒ(k)的自变量k换成-k即可，如图5-10 所示。
信号分析第五章第一节：离散时间信号——序列
运算框图为:
x1(k ) x2(k)
例如： x 例如： 1(k) = {1 - 1 1 - 1} x2(k)={2 2 2 2 2 2 }
y(k )
则：y(k) = x1(k) + x2(k)={3 1 3 1 2 2}
X
第 24 页
2.标量乘法：
y(k) = ax(k) = ∑ax(i)δ (k − i)
X
第 6 页
7.序列的三种形式 7.序列的三种形式
单边序列： n 单边序列： ≥ 0；
O
x(n) L n x(n)
L
O
双边序列： − 双边序列：∞ ≤ n ≤ ∞；
L
n
x(n)
有限长序列： n 有限长序列： 1 ≤ n ≤ n2；
O
n1
n2
n
X
第 7 页
二.基本离散时间序列
• • • • • • • 单位序列 单位阶跃序列 矩形序列 斜变序列 正弦序列 复指数序列 指数序列
, 注意: 离散信号进行尺度变换 , 只有ak为整数时才有值 时 息 变换 因此尺度变换会丢失信 .一般离散信号不做尺度 .
例题 已知x(k)序列 求x(−2k − 1) ,
方法一: 右移x(k − 1) ⇒ 压缩x(2k − 1) ⇒ 反转x(−2k − 1) 方法二: 反转x(−k) ⇒ 左移x[−(k + 1)] ⇒ 压缩x(−2k − 1)
2.波形： 波形： 波形
L
x(k ) 2 1
O
4
L
−2
−1
1
2
k
X
第
6. 周期离散信号
5 页
x(k) = x(k ± mN) 其中N为周期 正整数 m为任意整数 , ,
x1(k ) x2(k)
例如： x 例如： 1(k) = {1 - 1 1 - 1} x2(k)={2 2 2 2 2 2 }
y(k )
则：y(k) = x1(k) + x2(k)={3 1 3 1 2 2}
X
第 24 页
2.标量乘法：
y(k) = ax(k) = ∑ax(i)δ (k − i)
X
第 6 页
7.序列的三种形式 7.序列的三种形式
单边序列： n 单边序列： ≥ 0；
O
x(n) L n x(n)
L
O
双边序列： − 双边序列：∞ ≤ n ≤ ∞；
L
n
x(n)
有限长序列： n 有限长序列： 1 ≤ n ≤ n2；
O
n1
n2
n
X
第 7 页
二.基本离散时间序列
• • • • • • • 单位序列 单位阶跃序列 矩形序列 斜变序列 正弦序列 复指数序列 指数序列
, 注意: 离散信号进行尺度变换 , 只有ak为整数时才有值 时 息 变换 因此尺度变换会丢失信 .一般离散信号不做尺度 .
例题 已知x(k)序列 求x(−2k − 1) ,
方法一: 右移x(k − 1) ⇒ 压缩x(2k − 1) ⇒ 反转x(−2k − 1) 方法二: 反转x(−k) ⇒ 左移x[−(k + 1)] ⇒ 压缩x(−2k − 1)
2.波形： 波形： 波形
L
x(k ) 2 1
O
4
L
−2
−1
1
2
k
X
第
6. 周期离散信号
5 页
x(k) = x(k ± mN) 其中N为周期 正整数 m为任意整数 , ,
信号与系统-第五章概要
1
(a)
2
1 4
f (k)
y(k 2)
D
y(k 1)
D
y(k)
1
(b)
2
1 4
(a) y(k) f (k) 1 y(k 1) 1 y(k 2)
2
4
y(k) 1 y(k 1) 1 y(k 2) f (k)
2
4
为二阶差分方程 (后向差分 )
(b) y(k 2) f (k) 1 y(k 1) 1 y(k)
N=5
N=6
(5) 复指数序列
f (k) e jk cos k j sin k
同正弦序列一样，若复指数序列是一个周期序列，则 2
应为整数或有理数，否则不是周期序列。
二. 序列的基本运算与波形变换 (1) 相加
f (k) f1(k) f2 (k)
f1 (k )
1
-3 -2 -1 0 1 2 3 k
或：y(k 1) (1－T ) y(k) Tf (k)
y(k 1) (1－T ) y(k ) Tf (k )
利用计算机来求解 微分方程就是根据 这一原理来实现的
y(0) (1T ) y(1) Tf (1) y(1) (1T ) y(0) Tf (0) y(2) (1T ) y(1) Tf (1)
一个周期的正弦信号，经抽样后得到的正弦序列是否
也是周期信号呢？ 周期序列的定义：
f (k N) f (k) N为序列的周期，只能为整数。
Asin[(k N ) ] Asin[k N ]
在什么情况下等于 Asin[k＋]? N 2 即N 2 / ，对于周期序列 N必须为整数
■ 当正弦序列的2 / 为整数时，该序列为周期序列，周期为N。
精品文档-信号与系统(第四版)(陈生潭)-第5章
例2：LTI二阶 y(k) 2 y(k 1) 3 y(k 2)
系统：
离散
4 f (k) 5 f (k 1) 6 f (k 2)
算子方程： (1 2E 1 3E 2 ) y(k) (4 5E 1 6E 2 ) f (k)
A(E)
B(E)
或写成：y(k) B(E) f (k) B(E) x(k) A( E )
列
i k
f1(k) (k) f2 (k) (k) f1(i) f2 (k i)
i 0
5.2.2 图解机理： y(k) f1(k) f2 (k) f1(i) f2 (k i) i
步骤：翻转、平移、相乘、求和。
step 1. 画 出f1 (i)、f2 (i)的 图 形 。 step 2. f2 (i)翻 转180 得f2 (－i)。 step 3. 将f2 (－i)平 移k 得f2 (k－i)。
(k)
1 (ak1 1) (k)
a 1
5.3 离散系统的描述 一.LTI离散时间系统：
1.输入输出模型： f(k)
离散系统
y(k)
设k0为初始观察时刻，则可将系统的输入区分为两部分，称 k0以前的输入为历史输入信号，称k0及k0以后的输入为当前输入 信号或简称输入信号。
根据引起系统响应的原因不同，可将输出响应区分为零输入 响应yzi(k)零状态响应yzs(k)和完全响应y(k)。
(k)
1 0
k0 k0
(k)
1 0 1 2 3 4 5 k
e k f (k)
0
k 1 其余
e
k
(
k
1)
（c）集合表示： ，0， 1，2，3，4，0，
5.1.2 离散基本信号：
第五章 离散时间信号与系统的频域分析
❖ CTFT ( the Continuous -Time Fourier Transforms ): 连续时间傅立叶变换
❖ DTFT ( the Discrete -Time Fourier Transforms ): 离散时间傅立叶变换
第五章：离散时间信号与系统的频域分析
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授
RX (e j ) tg1 a sin 1 a cos
第五章：离散时间信号与系统的频域分析
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授
A eg
j 2 (k r )n N
k
n N
nN k N
Agk
j 2 (k r )n
eN
k N n N
j2 (kr)n N
Q eN
nN
0
k r
kr
第五章：离散时间信号与系统的频域分析
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授
g
Ar
1 N
j 2 rn
x(n)e N
nN
x(n)
离散时间周期信号的频谱具有周期性。
第五章：离散时间信号与系统的频域分析
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授
三 . DFS的收敛:
DFS是一个有限项的级数，确定
g
Ak
的关系式也
是有限项的和式，因而不存在收敛问题，也不会产生
Gibbs现象。
DFS表明：周期序列可以而且只能分解成 N 个独立 的复指数谐波分量。
Gibbs现象。
第五章：离散时间信号与系统的频域分析
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授
5.3 非周期信号与离散时间傅立叶变换:
(Aperiodic Signals & Discrete-Time Fourier Transform)
信号分析第五章第一节：离散时间信号——序列
1
O k0 k
(k)
1
3 2 1O
Hale Waihona Puke k X1011
第
3．矩形序列 页
1 0kN1 GN(k) 0 k0,kN
GN (k )
1
G N (k)(k)(kN )
1 0 1 2 3
N 1 k 错误: G N (k) (k) [k (N 1 )]
GN(k ) 1
1 0 1 2 3
G 3(k)(k)(k3 )
1
第 页
第一节 离散信号(序列)
•时域离散信号的表示 •常见离散时间序列 •序列的运算
X
2
一．时域离散信号的表示
第
页
1 序列 如x ： (k){ x(2),x(1),x(0),x(1) }
2 图形 如 x (k ： ) { 12 , ,3 ,1 ,3 }
xk 3 3
2
1
1
线段的长短表示各序列 值的大小
则y： (k)x1(k)x2(k){313122}
X
24
第
2.标量乘法：
页
k
y(k)a(xk)a(xi)(ki) i0
运算框图为：
x(k)
a
y(k )
X
25
第
3.序列的乘法： 页 k y(k)x1 (k)x2(k) [x1 (i)x2(i)](ki) i 0
2 1 O 1 2 3 4 5 k
X
3
第 页
3 解析式 f(k)k2k5 4 表格 5 单位函数表示法(后面介绍)
X
4
第
例1
页
2k ,k 0
x(k) 0,k 0
试写出其序列形式并画出波形。
O k0 k
(k)
1
3 2 1O
Hale Waihona Puke k X1011
第
3．矩形序列 页
1 0kN1 GN(k) 0 k0,kN
GN (k )
1
G N (k)(k)(kN )
1 0 1 2 3
N 1 k 错误: G N (k) (k) [k (N 1 )]
GN(k ) 1
1 0 1 2 3
G 3(k)(k)(k3 )
1
第 页
第一节 离散信号(序列)
•时域离散信号的表示 •常见离散时间序列 •序列的运算
X
2
一．时域离散信号的表示
第
页
1 序列 如x ： (k){ x(2),x(1),x(0),x(1) }
2 图形 如 x (k ： ) { 12 , ,3 ,1 ,3 }
xk 3 3
2
1
1
线段的长短表示各序列 值的大小
则y： (k)x1(k)x2(k){313122}
X
24
第
2.标量乘法：
页
k
y(k)a(xk)a(xi)(ki) i0
运算框图为：
x(k)
a
y(k )
X
25
第
3.序列的乘法： 页 k y(k)x1 (k)x2(k) [x1 (i)x2(i)](ki) i 0
2 1 O 1 2 3 4 5 k
X
3
第 页
3 解析式 f(k)k2k5 4 表格 5 单位函数表示法(后面介绍)
X
4
第
例1
页
2k ,k 0
x(k) 0,k 0
试写出其序列形式并画出波形。
第五章离散信号与系统时域分析
解： (1) E2 3E 2 0
E1 1 E2 2
y0 (k) C1(1)k C2 (2)k
(2) 激励为f (k) 2kU (k) yt (k) A(2k )
代入差分方程，可得
yt
(k)
1 3
(2k
)
(3)
全 响 应 为y(k )
C1 (1) k
C2 (2)k
1 3
(2k
)
(4) 全响应为y(k) 2 (1)k 2 (2)k 1 (2k ) k 0
y(k) 2(1 k)(2)k
k 0
19
二、非齐次差分方程时域解
(En an1En1 a0 ) y(k) (bmEm b0 ) f (k)
传输算子 特征方程
H(E)
E n
bmE m b0 an1E n1 a0
En an1En1 a0 0 （自然频率）
时域解为
y(k ) y0 (k ) yt (k )
k 0 : f (k) 0 k 0 : y(k) 0
12
三、离散时间系统模型 1、差分方程描述： 例1：y(k)表示一个国家在第k年的人口数， a、b分别代表出生率和死亡
率，是常数。设f(k)是国外移民的净增数，则该国在第k+1年的人口总数 y(k+1)为多少？
y(k+1)=y(k)+ay(k)-by(k)+f(k)=(a-b+1)y(k)+f(k) 所以，有 y(k+1)+(b-a-1)y(k)=f(k)
3.倒相: y(k)=-f(k)
4.展缩: y(k)=f(ak) (横坐标k只能取整数)
5
四、常用离散信号 1.单位序列（单位取样序列、单位脉冲序列、单位函数）
离散时间信号和系统的频域分析
离散时间信号和系统的频域分析离散时间信号与系统是研究数字信号与系统的频域分析，其中离散时间信号是对连续时间信号进行采样得到的，而离散时间系统是对连续时间系统进行离散化得到的。
频域分析是对信号与系统在频率域上的特性进行研究和分析。
对于离散时间信号，其离散化的过程是将连续时间信号在时间轴上进行均匀采样，得到指定的采样间隔，得到离散时间序列。
在频域上，其频谱是周期性的，并且频谱是以单位圆为单位周期的。
频域分析的目的是研究离散时间信号在频率域上的特性，包括频谱范围、频率分辨率、功率谱密度等。
离散时间信号的频域分析可以通过离散时间傅里叶变换（DTFT）来实现。
DTFT是信号在频域上的完全变换，将一个离散时间信号映射到一个连续的频率域函数。
DTFT是一个复数函数，表示信号在不同频率上的振幅和相位。
频谱的振幅可以表示信号在该频率上的能量大小，相位可以表示信号在该频率上的相对位置。
除了DTFT之外，还可以使用离散傅里叶变换（DFT）进行频域分析。
DFT是DTFT的一种计算方法，可以将离散时间信号转换为有限的频域信号。
DFT的计算是通过对离散时间信号进行有限长的时间窗口进行采样，并进行频域变换得到的。
DFT的结果是一个离散的频域信号，也称为频谱。
DFT通常使用快速傅里叶变换（FFT）算法来快速计算。
离散时间系统的频域分析主要是通过系统的频率响应函数来实现。
频率响应函数是系统在不同频率上对信号的响应情况的描述。
对于线性时不变系统，其频率响应函数是系统的传递函数的傅里叶变换。
频率响应函数拥有类似信号的频谱特性，可以描述系统对不同频率的信号的增益和相位。
频域分析在离散时间信号与系统中有着广泛的应用。
首先，频域分析可以帮助我们理解信号的频率构成和能量分布情况，有助于对信号进行合理的处理和分析。
其次，频域分析可以快速计算离散时间系统的响应，能够有效地评估系统的性能和稳定性。
此外，频域分析还可以进行滤波器设计、信号压缩、信号重构等应用。
离散信号与系统的时域分析
5.1.1 离散时间信号
连续时间信号，在数学上可以表示为连续时间变量t的函 数。这类信号 的特点是：在时间定义域内，除有限个不连续 点外， 对任一给定时刻都对应有确定的信号值。 离散时间信号，简称离散信号，它是离散时间变量 tk(k=0,±1, ±2, …)的函数。信号仅在规定的离散时间点上 有意义，而在其它时间则没有定义。
1
(k－k 0 )
1
o
k 0 －1 k 0 k 0 ＋1 (a )
k
－k 0 － 1 －k 0 －k 0 ＋ 1 (b )
o
k
2. 正弦序列 正弦序列的一般形式为 由于
f (k ) A cos(0k )
f ( k ) A cos(0k ) A cos(0k 2m ) 2 m A cos0 k 0
5.2.2 卷积和的性质
性质1 离散信号的卷积和运算服从交换律、结合律和 分配律，即
f1 (k ) f 2 (k ) f 2 (k ) f1 (k )
f1 (k ) [ f 2 (k ) f 3 (k )] [ f1 (k ) f 2 (k )] f 3 (k )
f1 (k ) [ f 2 (k ) f 3 (k )] f1 (k ) f 2 (k ) f1 (k ) f 3 (k )
第五章 离散信号与系统 的时域分析
引 言
连续时间系统：这类系统用于传输和处理连续时间信号
离散系统：用于传输和处理离散时间信号的系统称为离散时间系
统，数字计算机是典型的离散系统例子，数据控制系统和数字通
信系统的核心组成部分也都是离散系统。
混合系统：连续系统与离散系统组合起来使用。
5.1 离散时间基本信号
连续时间信号，在数学上可以表示为连续时间变量t的函 数。这类信号 的特点是：在时间定义域内，除有限个不连续 点外， 对任一给定时刻都对应有确定的信号值。 离散时间信号，简称离散信号，它是离散时间变量 tk(k=0,±1, ±2, …)的函数。信号仅在规定的离散时间点上 有意义，而在其它时间则没有定义。
1
(k－k 0 )
1
o
k 0 －1 k 0 k 0 ＋1 (a )
k
－k 0 － 1 －k 0 －k 0 ＋ 1 (b )
o
k
2. 正弦序列 正弦序列的一般形式为 由于
f (k ) A cos(0k )
f ( k ) A cos(0k ) A cos(0k 2m ) 2 m A cos0 k 0
5.2.2 卷积和的性质
性质1 离散信号的卷积和运算服从交换律、结合律和 分配律，即
f1 (k ) f 2 (k ) f 2 (k ) f1 (k )
f1 (k ) [ f 2 (k ) f 3 (k )] [ f1 (k ) f 2 (k )] f 3 (k )
f1 (k ) [ f 2 (k ) f 3 (k )] f1 (k ) f 2 (k ) f1 (k ) f 3 (k )
第五章 离散信号与系统 的时域分析
引 言
连续时间系统：这类系统用于传输和处理连续时间信号
离散系统：用于传输和处理离散时间信号的系统称为离散时间系
统，数字计算机是典型的离散系统例子，数据控制系统和数字通
信系统的核心组成部分也都是离散系统。
混合系统：连续系统与离散系统组合起来使用。
5.1 离散时间基本信号
《信号与系统》第五章
1 l = −∞ − 2π
l) +
... +
c ∑ 2πδ (Ω − ( N − 1)2π / N
l)
例5－9，例5－10
离散时间信号
的傅立叶变换为（ ）
A.
B.
C.
D.
下面说法中正确的是( ) A. 离散时间信号 x[n]的绝对可和是其离散时 间傅立叶变换存在的充分条件。 B. 非周期离散时间信号 x[n]的偶部：频谱为 的实偶函数。 C. 非周期离散时间信号 x[n]的虚部：频谱为 的虚奇函数。 D. x[n]是实值的，则其频谱X(Ω)的模是Ω的 奇函数。
x[n] =
k =< N >
∑
c k ϕ k [ n] =
k =< N >
∑
ck e jk 2πn / N
（5－29）
¾ 将周期序列表示成式（5－29）的形式，即一组成谐波关系的复指 数序列的加权和，称为离散傅里叶级数（Discrete Time Fourier Series），而系数 k 则称为离散傅里叶系数。
3 时域抽样定理
时域抽样定理：设x(t)是一个有限带宽信号，即在 | ω |> ωm时, X (ω) = 0 ，若 ω > 2ω 或T < 1/ 2 f ，则x(t)可以唯一地由其样 s m m 本x(nT)确定。
最低抽样频率 2ω m 称为奈奎斯特抽样率
练习：信号 x(t) =
sin2π t πt
的奈奎斯特抽样间隔为(
)
时域抽样（采样）定理的具体应用 ¾若已知x(t)，可通过以下办法得到x(t) 的样本 x(nT)并重建x(t): 1)将周期冲激串 p(t)与x(t)相乘，得到一冲激串 xp (t) 2） x p (t) 的依次冲激强度得到样本值x(nT) 3)将冲激串通过一个增益为T，截至频率大于 ω m 而小于 ωs −ωm 的 理想低通滤波器，那么该滤波器 的输出就是x(t)
l) +
... +
c ∑ 2πδ (Ω − ( N − 1)2π / N
l)
例5－9，例5－10
离散时间信号
的傅立叶变换为（ ）
A.
B.
C.
D.
下面说法中正确的是( ) A. 离散时间信号 x[n]的绝对可和是其离散时 间傅立叶变换存在的充分条件。 B. 非周期离散时间信号 x[n]的偶部：频谱为 的实偶函数。 C. 非周期离散时间信号 x[n]的虚部：频谱为 的虚奇函数。 D. x[n]是实值的，则其频谱X(Ω)的模是Ω的 奇函数。
x[n] =
k =< N >
∑
c k ϕ k [ n] =
k =< N >
∑
ck e jk 2πn / N
（5－29）
¾ 将周期序列表示成式（5－29）的形式，即一组成谐波关系的复指 数序列的加权和，称为离散傅里叶级数（Discrete Time Fourier Series），而系数 k 则称为离散傅里叶系数。
3 时域抽样定理
时域抽样定理：设x(t)是一个有限带宽信号，即在 | ω |> ωm时, X (ω) = 0 ，若 ω > 2ω 或T < 1/ 2 f ，则x(t)可以唯一地由其样 s m m 本x(nT)确定。
最低抽样频率 2ω m 称为奈奎斯特抽样率
练习：信号 x(t) =
sin2π t πt
的奈奎斯特抽样间隔为(
)
时域抽样（采样）定理的具体应用 ¾若已知x(t)，可通过以下办法得到x(t) 的样本 x(nT)并重建x(t): 1)将周期冲激串 p(t)与x(t)相乘，得到一冲激串 xp (t) 2） x p (t) 的依次冲激强度得到样本值x(nT) 3)将冲激串通过一个增益为T，截至频率大于 ω m 而小于 ωs −ωm 的 理想低通滤波器，那么该滤波器 的输出就是x(t)
信号与系统第五章 离散信号与系统的时域分析
f1(k) f (n)
6
n
3 2
1
1 1 2 3 k
3
1
1 1 2 3 4 k
《信号与系统》SIGNALS AND SYSTEMS
返回
ZB
5.1.3 常用的离散信号
(k)
1. 单位函数 (k)
(k)
1 0
k0 k0
1
1 1 2 3 k
(k n)
(k
n)
1 0
k n kn
1
1 0 1 2 n k
整理，得 y(k 2) 3y(k 1)＋2y(k)＝0
《信号与系统》SIGNALS AND SYSTEMS ZB
例：每月存入银行 A 元，设月息为 ，试确定第 k 次存
款后应有的存款额 y(k) 的方程。
解：第 k＋1 次存入后应有的存款额为
A y(k) y(k)
即 y(k 1) y(k) y(k) A
(1) 筛选特性 f (k) (k n) f (n)
k
(2) 加权特性 f (k) (k n) f (n) (k n)
应用此性质，可以把任意离散信号 f (k) 表示为一系 列延时单位函数的加权和，即
f (k) f (2) (k 2) f (1) (k 1)
返回《信号f与(0)系 (统k) 》fS(1IG) N(kAL1)SANDSnYSTfE(Mn)S
一阶后向差分
f (k) f (k) f (k 1)
二阶后向差分
f (k) 2 f (k) f (k) f (k 1)
《信号与系统》SIGf (Nk)AL2SfA(kND1)SYfS(TkEM2)S
返回
ZB
6. 序列的求和（累加） (对应于连续信号的积分)
离散信号与系统
序列f(k)的二阶前向差分
2 f( k ) f( k ) f( k 1 ) f( k ) f( k 1 ) f( k )
f( k 2 ) 2 f( k 1 ) f( k )
序列f(k)的二阶后向差分
2 f( k ) f( k ) f( k ) f( k 1 ) f( k ) f( k 1 )
5.1.1 离散时间信号的时域描述(1)
离散时间信号（P242）
离散时间信号仅在一系列离散的时刻才有定义，因此它是离散
时间变量tk的函数。 用f(tk)表示离散时间信号，其中tk表示离散的时刻，通常离散
时刻之间的间隔T是均匀的，即Ttk1tk为常量，故可以用f(kT) 来表示离散时间信号，简写为f(k)。也就是说，离散时间信号抽样 为离散变量k的函数，这里k的取值为整数。
(k)
1 0
k 0 k 0
(kn)
1 0
k n k n
(k ) 1
01 2
k
(k n)
1
01 2
nk
筛选特性：f(k)(kn)f(n) k
加权特性：f(k)(kn)f(n)(kn)
5.1.3 常用的离散信号(2)
❖ 2、单位阶跃序列ε(k) （P246）
(k)
1 0
k 0 k 0
(k n)
1 0
(k) (k n) n0
例：(k2)(k1)
解： ( k 2 ) ( k 1 ) ( k 2 ) ( k 1 ) ( k )
f( k ) 2 f( k 1 ) f( k 2 )
f(k) f(k1 ) f(k) f(k1 )
2f(k) 2f(k2) 2f(k) 2f(k2)
5.1.2 离散时间信号的基本运算(6)
信号与系统(精编版)第5章 离散信号与系统的时域分析
26
5.2 LTI离散系统的自由响应、强迫响应
与零输入响应、零状态响应
5.2.1 离散信号的差分运算与累和运算 1.序列的差分运算 与连续信号微分运算相对应，离散信号有差分运算。一
阶前向、后向差分运算本来的定义式分别应为 因为离散信号变量k为整变量，所以前向差分定义式中前向变 量增量Δk=(k+1)－k=1，后向差分定义式中后向变量增量
第5章 离散信号与系统的时域分析
20
例5.1-1 计算和式
解
第5章 离散信号与系统的时域分析
21
例5.1-2 计算换元移动累和式
解 考虑单位脉冲序列的偶函数性及式(5.1-6)关系，所以
这一结果正确吗？
第5章 离散信号与系统的时域分析
22
参看图5.1-8，当k－2<3即k＜5时有
(5.1-15)
第5章 离散信号与系统的时域分析
6
图5.1-2 复杂序列用单位阶跃序列表示
第5章 离散信号与系统的时域分析
7
图5.1-3 序列与ε(k)相乘被截取
第5章 离散信号与系统的时域分析
8
5.1.2 单位脉冲序列 单位脉冲序列定义为
(5.1-2)
其波形如图5.1-4所示。它与连续信号δ(t)的定义有着显著的区 别：δ(k)只在k＝0处定义函数值为1，而在k等于其余各整数时 函数值均为零。
(5.1-12)
(5.1-13)
第5章 离散信号与系统的时域分析
17
令k－m＝n并代入上式，考虑m＝0时n＝k，m＝∞时 n＝－∞，得
(5.1-14)
第5章 离散信号与系统的时域分析
18
图5.1-7 换元移动累和示意图
第5章 离散信号与系统的时域分析
《信号与系统(第2版)》配套课件 离散时间信号与系统的复频域分析1
z 1，求x[k]
解： 将X(z)化为z的负幂，可得
X
(
z
)
1
2 0.5z
0.5z 1 1 0.5
z
2
A 1 z 1
B 1 0.5z1
A
(1
z 1)
X
(z)
z 1
2 0.5z1 1 0.5z1
z1 1
B
(1 0.5z1) X
(z)
z 0.5
2 0.5z1 1 z 1
z0.5 1
将X(z)进行z反变换，可得
]}
1
1 a
z
1
,
za
e j0k u[k ]
Z
1 1 e j0 z1 ,
z 1
利用Euler公式和线性特性，可得
Z cos(0k)u[k]=Z e j0ku[k] / 2 Z e j0ku[k] / 2
单边z变换的性质
[例] 求正弦类序列cos(Ω0k) u[k]和sin(Ω0k) u[k]的z变换
1. 离散时间LTI系统的频域描述
➢ 系统函数H(z)的另一种定义 零状态响应的频域表示
yzs[k] x[k]* h[k]
利用z变换 的卷积特性
Yzs (z) X (z)H (z)
H (z) Yzs (z) X (z)
1. 离散时间LTI系统的频域描述
➢ H(z) 的物理意义
x[k]
h[k]
1
1 z1 cos(0 ) 2z1 cos(0 )
z
2
单边z变换的性质
[例] 求正弦类序列cos(Ω0k) u[k]和sin(Ω0k) u[k]的z变换
解c：os( 0k )u[k ]
离散系统时域分析_OK
例：设 y(k)+3y(k-1)+2y(k-2)=2k (k)，y(0)=0， y(1)=2，求y(k)。
f(k)=ak(k)
|a| >
1
f(k)=ak(k)
|a| <
11
1
-2 -1 0 1 2 3
k
-2 -1 0 1 2 3
k
3
发散
收敛
5．正弦序列
f (k) Acos(kω0 )
0序列依次重复出现的频率。
2
ω 0
为有理数，正弦序列为周期序列。
f (k N ) A cosω[ 0(k N ) ] A cosω[ 0k ω0 N ]
any(k)+an-1y(k-1)+…+a1y(k-n+1)+a0y(k-n)=0(后向)
any(k+n)+an-1y(k+n-1)+…+a1y(k+1)+a0y(k)=0(前向)
对应的特征方程为：ann+an-1n-1+ + …+a1 + a0=0
1．特征根均为单根： 则齐次通解为：
1≠2≠…≠n
10
§5–2 离散时间系统的数学模型
一、线性时不变离散时间系统
1．离散系统：激励和响应都是离散信号的系统
f(k)
y(k)
离散时间系统
2．分类：亦可分为线性与非线性；时不变与时变；因果与非 因果等。
时不变： f(k) → y(k) f(k-m) → y(k-m)
因果系统：响应总是出现在激励之后。即： 当k < k0 ，f(k)
(2) 初始条件y(0), y(1),…, y(n-1)(与外施激励有关)代入完全解，可确 定待定常数Ci 。
_第五章离散时间信号与系统的时域分析习题解答
— P3-1 —第五章 离散系统的时域分析习题解答5-1. 画出下列各序列的图形：。
)2()( )6( );()()( )5( );()()( )4(; 0 ,)2(30,2)( )3( );1()12()( )2( );2()( )1(16315324321k f k f k f k f k f k f k f k f k k k k f k k f k k k f kk-==+=⎩⎨⎧<+=++=+=-/εε5-2 写出图示各序列的表达式。
解： )6()3(2)()( )d ( )1()1()( )c ()]6()3([2)( )b ( )]5()1()[1()( )a (41321---+-=--=---=----=-k kk k f k k f k k k f k k k k f k εεεεεεεε5-3. 判断以下序列(A 、B 为正数)是否为周期序列，若是周期序列，试求其周期。
)(sin )( )3( )()2( )873cos()( )1(08)(k k A k f e k f k B k f kj εωπππ==-=-解：; 14 , , 14)732( )1(=∴=T 且它为周期序列为有理数ππ (a)(b)— 2 —. , )( )3(;, 16)812( )2(它为非周期序列为单边函数它为非周期序列为无理数∴∴=k f ππ5-4.解：)]1()1()([1)(1100---+=k y b k f a k f a b k y 即：)1()()1()(1010-+=-+k f a k f a k y b k y b ，为一阶的。
5-5. 列写图示系统的差分方程，指出其阶次。
解：)1()()2()1()(1021-+=----k f a k f a k y b k y b k y ，二阶的。
5-6. 如果在第k 个月初向银行存款x (k )元，月息为α，每月利息不取出，试用差分方程写出第k 个月初的本利和y (k )，设x (k )510元，α50.0018，y (0)520元，求y (k )，若k 512，则y (12)为多少。
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3 5 特征根：1 , 2 1 2 v n vzi n K11n K 2 2 n K1 n K 2 n 1 n v n E, 2N 1
2 N n
带入边界条件v N 0和v 0 E，有：
§ 5-1 离散时间信号
3. 离散时间信号的典型运算
（3）移位（移序，Shift） 序列 f n 的移位，是指该序列沿n轴逐项依次移位， 使其波形整体平移。其中，移位值m一定为整数。
1 (m n m N 1) GN n m 否则 0
f(n) m<0
1
f(n)
§ 5-1 离散时间信号
2.典型离散时间信号 （3）因果指数序列
f n a nu n
anu(n) 1 a>1 anu(n) anu(n) 0<a<1 anu(n) -1<a<0
a<-1
-1
0 1
2
3
4
n
-1
0
1
2
3
4
n
-1 0
1 2
3 4
n
-1
0
1 2
3 4
n
(a)
(b)
(c)
过去输出的加权和 现在和过去输入的加权 和
N
M
这称为自回归动平均ARMA(Auto-Recursive and Moving Average)过程。 它的最重要性质是线性、时不变性和因果性。
§ 5-2 离散时间系统
1.差分方程 （3）离散时间系统的线性、时不变性和因果性 线性性：若设离散系统的输入－输出关系为 f n yn 有 a1 f1 n a2 f 2 n a1 y1 n a2 y2 n
2.典型离散时间信号 （5）正弦序列 f n sin 0 n
sin(ω0n)
1 -5 -10 0 -1 5 10 n
0 当数字频率 2 为有理数时，正弦序列才是周期序列
§ 5-1 离散时间信号
3. 离散时间信号的典型运算 （1）相加 两个序列相加，是指两序列同序号的序列值逐项 对应相加，其和为一新序列。例如，设 f1 n nun f 2 n un 则 f n f1 n f 2 n nun un n 1un （2）相乘 两个序列相乘，是指两序列同序号的序列值逐项 对应相乘，其和为一新序列。例如，设 f1 n n f 2 n un 则 f n f1 n f 2 n nun
§ 5-2 离散时间系统
1.差分方程 （2）用差分方程描述的离散系统 例5-2 求描述图示电阻解码网络的离散系统。
v(N-1) E R R R R R R R R
v(N)
对于任一节点n-1，利用KCL有 vn 1 vn 1 vn vn 2 vn 1
i 0 i k 0 k
N
M
上面的差分方程描述的N阶离散系统是个因果的 LTI离散系统
§ 5-2 离散时间系统
2.LTI离散系统的响应 离散系统的全响应为零输入响应和零状态响应之和 （1）零输入响应的求解 1 1 例5-3 求式 u C n 1 au C n bu s n , a 1 RC , b RC 所示离散系统在初始电压为uC 0时的零输入解。
0 n N
§ 5-2 离散时间系统
2.LTI离散系统的响应 离散系统的全响应为零输入响应和零状态响应之和 （2）零状态响应的求解 a.离散时间信号的分解 1, n k n k 0, n k
f n , n k f k n k nk 0, f n
uC nT us nT
1 1 T 1, uC n 1 auC n bus n , a 1 , b RC RC
一阶常系数线性差分方程
§ 5-2 离散时间系统
1.差分方程 （1）用差分方程近似微分方程 当采样间隔足够小时，任何微分方程都可用其相 应的差分方程近似。 事实上这是数值计算理论的基础，数字计算机就 用此原理求解微分方程。
系统处于零状态：uC 1 0 uC n 1 auC n b n uC 0 auC 1 b 1 a 0 b 0 0 uC 1 auC 0 b 0 a 0 b 1 b uC 2 auC 1 b 1 a b b 0 ab uC n auC n 1 b n 1 a a n 2b b 0 a n 1b
uC n 1 auC n bu s n uC n 1 auC n uC zi n a nuC 0 ,
n0
§ 5-2 离散时间系统
2.LTI离散系统的响应 离散系统的全响应为零输入响应和零状态响应之和 （1）零输入响应的求解 例5-4 求离散系统的解 vn 3vn 1 vn 2 0 v N 0, v 0 E 特征方程： 2 3 1 0 解：
第五章 离散时间信 号与系统分析
学习要点： 1. 掌握离散时间信号与离散系统差分方程的特征； 2. 差分方程的时域求解，离散卷和的计算； 3. 常见离散信号的z变换及用z变换分析计算差分方程和离 散系统，包括系统的稳定性分析和离散系统的模拟； 4. 了解离散信号和系统的频率特性和离散傅里叶变换(DFT) 概念； 5. 了解几种常用的数字滤波器的原理。
k
f k n k
§ 5-2 离散时间系统
2.LTI离散系统的响应 离散系统的全响应为零输入响应和零状态响应之和 （2）零状态响应的求解 b.系统零状态响应的卷和表示 定义：LTI离散系统对单位采样序列 n 的零状态 响应 hn是系统的单位采样响应（也称冲激响 应），即 n h n ，则由系统零状态响应的 f n f k n k 线性时不变性和式 知， 系统对输入的零状态响应为k
§ 5-1 离散时间信号
1.离散时间信号的定义 典型的例子有：通过对连续时间信号的等 间隔采样得到的样本集合，即 f n f t
t nT
对周期连续信号用具有谐波频率的复正弦 正交函数族进行正交采样后得到的傅氏级 数展开式系数集合 Fn nZ ，和在数值计算 中大量遇到的离散信号。
yzs n
k
f k h n k f n h n
§ 5-2 离散时间系统
2.LTI离散系统的响应 c.系统单位采样响应的计算 例5-5 求式 u C n 1 au C n bu s n , 所示离散系统单位采样响应。
'
§ 5-2 离散时间系统
1.差分方程 （1）用差分方程近似微分方程 例5-1求近似描述图示RC低通网络的离散系统。 若用等间隔T对 u C t 采样，其在 t nT各点的采样值 为 uC nT 。由微分的定义知，当T足够小时，微分 可用前向差分近似 u C n 1T u C nT '
m>0
-3
0
2
n
m-3
m
m+2 0
m-3
m
m+2
n
§ 5-2 离散时间系统
1.差分方程 离散时间系统，简称离散系统，是输入信号和输 出信号都是离散时间信号的系统。数字计算机就 是一个典型的离散系统，数据控制系统和数字通 信系统的核心部件也都是离散系统。由于离散系 统能充分发挥数字器件和计算机的作用，所以， 离散系统的应用越来越广泛。 连续系统用微分方程描述，离散系统则以差分方 程描述。
T t nT各点的采 把输入 u s t 也作等间隔采样，得其在 u C nT
样值 u s nT
§ 5-2 离散时间系统
1.差分方程 （1）用差分方程近似微分方程 例5-1求近似描述图示RC低通网络的离散系统。
RCuC ' t uC t us t RC T uC n 1 T uC nT
§ 5-2 离散时间系统
1.差分方程 （1）用差分方程近似微分方程 例5-1求近似描述图示RC低通网络的离散系统。
us(t) us(t) us(nT) … R C uc(t) uc(nT) uc(t)
描述此系统的数学模型是一阶微分方程：
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
RCuC t uC t us t
§ 5-1 离散时间信号
2.典型离散时间信号 （1）单位采样信号（Unit Sample）
1 n 0 (n 0) (n 0)
δ(n)
1 -3 -2 -1 0 1 2 3 n
§ 5-1 离散时间信号
2.典型离散时间信号 （2）单位阶跃序列（Unit Step）
1 u n 0 (n 0) (n 0)
§ 5-1 离散时间信号
1.离散时间信号的定义 仅对离散时间有定义的信号被称为离散时 间信号。一般，离散时间信号仅对等间隔 采样的时间（t＝nT, T为采样周期，n为整 数）有定义。 日产量统计报表，股票变化曲线，气温测 量曲线，电影电视信号，…等，都是离散 信号的典型实例。一类离散时间信号是物 理实现的，另一类离散信号是数学上的。
u(n)
1 -3 -2 -1 0 1 2 3
… n
§ 5-1 离散时间信号
2.典型离散时间信号 单位阶跃序列是单位采样序列的累计和 单位采样序列是单位阶跃序列的后向差分
n u n u n 1 u n n m m0
R R R
vn 3vn 1 vn 2 0
二阶常系数差分方程，借助两个边界条件，可求 方程解 v N 0, v 0 E
2 N n
带入边界条件v N 0和v 0 E，有：
§ 5-1 离散时间信号
3. 离散时间信号的典型运算
（3）移位（移序，Shift） 序列 f n 的移位，是指该序列沿n轴逐项依次移位， 使其波形整体平移。其中，移位值m一定为整数。
1 (m n m N 1) GN n m 否则 0
f(n) m<0
1
f(n)
§ 5-1 离散时间信号
2.典型离散时间信号 （3）因果指数序列
f n a nu n
anu(n) 1 a>1 anu(n) anu(n) 0<a<1 anu(n) -1<a<0
a<-1
-1
0 1
2
3
4
n
-1
0
1
2
3
4
n
-1 0
1 2
3 4
n
-1
0
1 2
3 4
n
(a)
(b)
(c)
过去输出的加权和 现在和过去输入的加权 和
N
M
这称为自回归动平均ARMA(Auto-Recursive and Moving Average)过程。 它的最重要性质是线性、时不变性和因果性。
§ 5-2 离散时间系统
1.差分方程 （3）离散时间系统的线性、时不变性和因果性 线性性：若设离散系统的输入－输出关系为 f n yn 有 a1 f1 n a2 f 2 n a1 y1 n a2 y2 n
2.典型离散时间信号 （5）正弦序列 f n sin 0 n
sin(ω0n)
1 -5 -10 0 -1 5 10 n
0 当数字频率 2 为有理数时，正弦序列才是周期序列
§ 5-1 离散时间信号
3. 离散时间信号的典型运算 （1）相加 两个序列相加，是指两序列同序号的序列值逐项 对应相加，其和为一新序列。例如，设 f1 n nun f 2 n un 则 f n f1 n f 2 n nun un n 1un （2）相乘 两个序列相乘，是指两序列同序号的序列值逐项 对应相乘，其和为一新序列。例如，设 f1 n n f 2 n un 则 f n f1 n f 2 n nun
§ 5-2 离散时间系统
1.差分方程 （2）用差分方程描述的离散系统 例5-2 求描述图示电阻解码网络的离散系统。
v(N-1) E R R R R R R R R
v(N)
对于任一节点n-1，利用KCL有 vn 1 vn 1 vn vn 2 vn 1
i 0 i k 0 k
N
M
上面的差分方程描述的N阶离散系统是个因果的 LTI离散系统
§ 5-2 离散时间系统
2.LTI离散系统的响应 离散系统的全响应为零输入响应和零状态响应之和 （1）零输入响应的求解 1 1 例5-3 求式 u C n 1 au C n bu s n , a 1 RC , b RC 所示离散系统在初始电压为uC 0时的零输入解。
0 n N
§ 5-2 离散时间系统
2.LTI离散系统的响应 离散系统的全响应为零输入响应和零状态响应之和 （2）零状态响应的求解 a.离散时间信号的分解 1, n k n k 0, n k
f n , n k f k n k nk 0, f n
uC nT us nT
1 1 T 1, uC n 1 auC n bus n , a 1 , b RC RC
一阶常系数线性差分方程
§ 5-2 离散时间系统
1.差分方程 （1）用差分方程近似微分方程 当采样间隔足够小时，任何微分方程都可用其相 应的差分方程近似。 事实上这是数值计算理论的基础，数字计算机就 用此原理求解微分方程。
系统处于零状态：uC 1 0 uC n 1 auC n b n uC 0 auC 1 b 1 a 0 b 0 0 uC 1 auC 0 b 0 a 0 b 1 b uC 2 auC 1 b 1 a b b 0 ab uC n auC n 1 b n 1 a a n 2b b 0 a n 1b
uC n 1 auC n bu s n uC n 1 auC n uC zi n a nuC 0 ,
n0
§ 5-2 离散时间系统
2.LTI离散系统的响应 离散系统的全响应为零输入响应和零状态响应之和 （1）零输入响应的求解 例5-4 求离散系统的解 vn 3vn 1 vn 2 0 v N 0, v 0 E 特征方程： 2 3 1 0 解：
第五章 离散时间信 号与系统分析
学习要点： 1. 掌握离散时间信号与离散系统差分方程的特征； 2. 差分方程的时域求解，离散卷和的计算； 3. 常见离散信号的z变换及用z变换分析计算差分方程和离 散系统，包括系统的稳定性分析和离散系统的模拟； 4. 了解离散信号和系统的频率特性和离散傅里叶变换(DFT) 概念； 5. 了解几种常用的数字滤波器的原理。
k
f k n k
§ 5-2 离散时间系统
2.LTI离散系统的响应 离散系统的全响应为零输入响应和零状态响应之和 （2）零状态响应的求解 b.系统零状态响应的卷和表示 定义：LTI离散系统对单位采样序列 n 的零状态 响应 hn是系统的单位采样响应（也称冲激响 应），即 n h n ，则由系统零状态响应的 f n f k n k 线性时不变性和式 知， 系统对输入的零状态响应为k
§ 5-1 离散时间信号
1.离散时间信号的定义 典型的例子有：通过对连续时间信号的等 间隔采样得到的样本集合，即 f n f t
t nT
对周期连续信号用具有谐波频率的复正弦 正交函数族进行正交采样后得到的傅氏级 数展开式系数集合 Fn nZ ，和在数值计算 中大量遇到的离散信号。
yzs n
k
f k h n k f n h n
§ 5-2 离散时间系统
2.LTI离散系统的响应 c.系统单位采样响应的计算 例5-5 求式 u C n 1 au C n bu s n , 所示离散系统单位采样响应。
'
§ 5-2 离散时间系统
1.差分方程 （1）用差分方程近似微分方程 例5-1求近似描述图示RC低通网络的离散系统。 若用等间隔T对 u C t 采样，其在 t nT各点的采样值 为 uC nT 。由微分的定义知，当T足够小时，微分 可用前向差分近似 u C n 1T u C nT '
m>0
-3
0
2
n
m-3
m
m+2 0
m-3
m
m+2
n
§ 5-2 离散时间系统
1.差分方程 离散时间系统，简称离散系统，是输入信号和输 出信号都是离散时间信号的系统。数字计算机就 是一个典型的离散系统，数据控制系统和数字通 信系统的核心部件也都是离散系统。由于离散系 统能充分发挥数字器件和计算机的作用，所以， 离散系统的应用越来越广泛。 连续系统用微分方程描述，离散系统则以差分方 程描述。
T t nT各点的采 把输入 u s t 也作等间隔采样，得其在 u C nT
样值 u s nT
§ 5-2 离散时间系统
1.差分方程 （1）用差分方程近似微分方程 例5-1求近似描述图示RC低通网络的离散系统。
RCuC ' t uC t us t RC T uC n 1 T uC nT
§ 5-2 离散时间系统
1.差分方程 （1）用差分方程近似微分方程 例5-1求近似描述图示RC低通网络的离散系统。
us(t) us(t) us(nT) … R C uc(t) uc(nT) uc(t)
描述此系统的数学模型是一阶微分方程：
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
RCuC t uC t us t
§ 5-1 离散时间信号
2.典型离散时间信号 （1）单位采样信号（Unit Sample）
1 n 0 (n 0) (n 0)
δ(n)
1 -3 -2 -1 0 1 2 3 n
§ 5-1 离散时间信号
2.典型离散时间信号 （2）单位阶跃序列（Unit Step）
1 u n 0 (n 0) (n 0)
§ 5-1 离散时间信号
1.离散时间信号的定义 仅对离散时间有定义的信号被称为离散时 间信号。一般，离散时间信号仅对等间隔 采样的时间（t＝nT, T为采样周期，n为整 数）有定义。 日产量统计报表，股票变化曲线，气温测 量曲线，电影电视信号，…等，都是离散 信号的典型实例。一类离散时间信号是物 理实现的，另一类离散信号是数学上的。
u(n)
1 -3 -2 -1 0 1 2 3
… n
§ 5-1 离散时间信号
2.典型离散时间信号 单位阶跃序列是单位采样序列的累计和 单位采样序列是单位阶跃序列的后向差分
n u n u n 1 u n n m m0
R R R
vn 3vn 1 vn 2 0
二阶常系数差分方程，借助两个边界条件，可求 方程解 v N 0, v 0 E