立体几何
高中数学立体几何知识点总结(详细)
高中数学立体几何知识点总结一 、空间几何体 （一） 空间几何体的类型1 多面体：由若干个平面多边形围成的几何体。
围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。
2 旋转体：把一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转形成了封闭几何体。
其中，这条直线称为旋转体的轴。
（二） 几种空间几何体的结构特征 1 、棱柱的结构特征1.1 棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。
棱柱的分类棱柱四棱柱平行六面体直平行六面体长方体正四棱柱正方体性质：Ⅰ、侧面都是平行四边形，且各侧棱互相平行且相等； Ⅱ、两底面是全等多边形且互相平行； Ⅲ、平行于底面的截面和底面全等；棱长都相等底面是正方形底面是矩形侧棱垂直于底面底面是平行四边形底面是四边形1.3 棱柱的面积和体积公式ch S =直棱柱侧（c 是底周长，h 是高）S 直棱柱表面 = c ·h+ 2S 底 V 棱柱 = S 底 ·h2 、棱锥的结构特征2.1 棱锥的定义（1） 棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。
（2）正棱锥：如果有一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的投影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。
2.2 正棱锥的结构特征Ⅰ、 平行于底面的截面是与底面相似的正多边形，相似比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比；它们面积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的平方比；截得的棱锥的体积与原棱锥的体积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的立方比；Ⅱ、 正棱锥的各侧棱相等，各侧面是全等的等腰三角形； 正棱锥侧面积：1'2S ch =正棱椎（c 为底周长，'h 为斜高） 体积：13V Sh =棱椎（S 为底面积，h 为高） 正四面体：对于棱长为a 正四面体的问题可将它补成一个边长为a 22的正方体问题。
立体几何新课标
立体几何新课标
新课标对立体几何的知识要求主要包括以下几点：
1. 认识空间图形：学生应从整体观察感知入手，认识和理解空间几何体，包括它们的形状、大小和位置关系。
2. 空间点、线、面的位置关系：以长方体为载体，直观认识和理解空间点、线、面的位置关系，并能用数学语言表述有关平行、垂直的性质与判定。
3. 计算简单几何体的表面积与体积：学生应了解一些简单几何体的表面积与体积的计算方法。
4. 培养和发展学生的空间想象能力、推理论证能力、运用图形语言进行交流的能力以及几何直观能力。
新课标对立体几何教学的要求主要包括以下几点：
1. 降低学习门槛：采用先整体后局部的展开方式，将几何知识生活化地体现出来，有助于提高学生学习立体几何的兴趣，降低学习入门的门槛。
2. 培养学生的空间观念：通过立体几何的学习，学生应能发展他们的空间观念，把握图形的能力和空间想象能力。
3. 培养逻辑思维能力：在理解空间点、线、面的位置关系的过程中，学生需要运用逻辑推理和论证，有助于培养他们的逻辑思维能力。
总体来说，立体几何新课标旨在培养学生认识和描述三维空间的
能力，通过直观的方式引导他们理解和掌握空间几何体的基本知识，并在此基础上发展他们的空间思维和逻辑推理能力。
立体几何在生活中的应用
立体几何在生活中的应用立体几何是几何学的一个分支，研究的是三维空间中的图形和体积。
虽然对于大多数人来说，立体几何可能只是高中数学课程中的一部分，但它在我们的日常生活中有着广泛的应用。
本文将从不同的方面探讨立体几何在生活中的应用。
立体几何在建筑和工程领域中有着重要的应用。
在设计建筑物或工程结构时，如房屋、桥梁、高楼大厦等，需要考虑到各种各样的立体形状和体积。
例如，建筑师需要计算柱子、梁和墙壁的体积和表面积，以确保结构的稳定性和安全性。
此外，立体几何还可以用于设计建筑物的外观，通过使用不同形状的几何体，可以创造出独特和吸引人的建筑风格。
立体几何在制造业和工业设计中也有广泛的应用。
在制造产品时，需要考虑到产品的形状、尺寸和体积。
通过应用立体几何的原理，可以设计出各种各样的产品形状，以满足不同的功能和需求。
例如，在汽车工业中，汽车设计师使用立体几何的概念来设计车身外形和内部空间，以提供舒适和安全的驾驶体验。
在家具制造业中，设计师使用立体几何的知识来设计出各种各样的家具形状和结构，以满足人们的使用需求和美学追求。
立体几何在艺术和设计领域中也有着重要的应用。
许多艺术家和设计师使用立体几何的原理来创作独特和吸引人的艺术作品。
通过将不同的几何形状组合在一起，可以创造出丰富多样的图案和结构。
例如，在绘画和雕塑中，艺术家可以使用不同的几何形状来表达他们的创意和情感。
在室内设计中，设计师可以使用立体几何的原理来创造出舒适和美观的室内空间。
立体几何在计算机图形学和虚拟现实技术中也有着重要的应用。
在计算机图形学中，立体几何的原理被用于生成和渲染三维图像和动画。
通过使用不同的几何体和变换操作，可以创建逼真和令人惊叹的计算机生成图像。
在虚拟现实技术中，立体几何被用于构建虚拟环境和场景，使用户可以身临其境地体验虚拟世界。
立体几何在生活中的应用是多样而广泛的。
无论是建筑和工程领域、制造业和工业设计、艺术和设计领域，还是计算机图形学和虚拟现实技术，立体几何都发挥着重要的作用。
高考数学(文)《立体几何》专题复习
(2)两个平面垂直的判定和性质
✓ 考法5 线面垂直的判定与性质
1.证明直线 与平面垂直 的方法
2.线面垂直 的性质与线 线垂直
（1）判定定理（常用方法）： 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线
与此平面垂直.判定定理中的两条相交直线必须保证“在平面 内相交”这一条件. （2）性质： ①应用面面垂直的性质（常用方法）：若两平面垂直,则在一 个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面，是证明线 面垂直的主要方法； ②（客观题常用）若两条平行直线中的一条垂直于一个平面, 则另一条也垂直于这个平面.
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✓ 考法4 面面平行的判定与性质
1.证明平面 与平面平行 的常用方法 2.空间平行关系 之间的转化
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✓ 考法3 面面平行的判定与性质
1.证明平面 与平面平行 的常用方法
这是立体几何中证明平行关系常用的思路,三 种平行关系的转化可结合下图记忆
2.空间平行关系 之间的转化
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600分基础 考点&考法
定义 判定方法
2.等角定理
判定定理 反证法 两条异面直线所成的角
✓ 考法2 异面直线所成的角
常考形式
直接求 求其三角函数值
常用方法
作角
正弦值 余弦值 正切值
证明 求值 取舍
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600分基础 考点&考法
➢ 考点46 线面、面面平行的判定与性质 ✓ 考法3 线面平行的判定与性质 ✓ 考法4 面面平行的判定与性质
1.计算有关 线段的长
2.外接球、内切 球的计算问题
观察几何体的特征 利用一些常用定理与公式 (如正弦定理、余弦定理、勾股定理、 三角函数公式等) 结合题目的已知条件求解
高中数学—立体几何知识点总结(精华版)
立体几何知识点一.根本概念和原理：1.公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有的点都在这个平面内。
公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线。
公理3：过不在同一条直线上的三个点，有且只有一个平面。
推论1: 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面。
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。
公理4 ：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。
异面直线判定定理：用平面内一点与平面外一点的直线，与平面内不经过该点的直线是异面直线。
两异面直线所成的角：范围为( 0°，90° ) esp.空间向量法两异面直线间距离: 公垂线段(有且只有一条) esp.空间向量法2平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角。
esp.空间向量法(找平面的法向量)〔规定：a、直线与平面垂直时，所成的角为直角，b、直线与平面平行或在平面内，所成的角为0°角由此得直线和平面所成角的取值范围为[0°，90°]〕斜线与平面所成的角是斜线与该平面内任一条直线所成角中的最小角如果平面内的一条直线,与这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也与这条斜线垂直。
a和一个平面内的任意一条直线都垂直，就说直线a和平面互相垂直.直线a叫平面的垂线，平面叫做直线a的垂面。
直，那么这条直线垂直于这个平面。
如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。
如果一条直线和一个平面没有公共点，那么我们就说这条直线和这个平面平行。
行，那么这条直线和这个平面平行。
如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
面，那么这两个平面平行。
行。
8.〔1〕二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。
二面角的取值范围为[0°，180°]〔2〕二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。
立体几何基本概念
1基本概念数学上，立体几何(solid geometry)是3维欧氏空间的几何的传统名称。
立体几何一般作为平面几何的后续课程，暂时在人教版数学必修二中出现。
立体测绘(Stereometry)是处理不同形体的体积的测量问题。
如：圆柱，圆锥，圆台，球，棱柱，棱锥等等。
立体几何空间图形毕达哥拉斯学派就处理过球和正多面体，但是棱锥，棱柱，圆锥和圆柱在柏拉图学派着手处理之前人们所知甚少。
立体几何形戒指尤得塞斯(Eudoxus)建立了它们的测量法，证明锥是等底等高的柱体积的三分之一，可能也是第一个证明球体积和其半径的立方成正比的。
2基本课题课题内容包括:各种各样的几何立体图形(10张)- 面和线的重合- 二面角和立体角- 方块, 长方体, 平行六面体- 四面体和其他棱锥- 棱柱- 八面体, 十二面体, 二十面体- 圆锥，圆柱- 球- 其他二次曲面: 回转椭球, 椭球，抛物面，双曲面公理立体几何中有4个公理公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．公理2 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．公理4 平行于同一条直线的两条直线平行。
各种立体图形表面积和体积一览表注：初学者会认为立体几何很难，但只要打好基础，立体几何将会变得很容易。
学好立体几何最关键的就是建立起立体模型，把立体转换为平面，运用平面知识来解决问题，立体几何在高考中肯定会出现一道大题，所以学好立体是非常关键的。
三垂线定理在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在平面的射影垂直。
1,三垂线定理描述的是PO(斜线),AO(射影),a(直线)之间的垂直关系.2,a与PO可以相交,也可以异面.3,三垂线定理的实质是平面的一条斜线和平面内的一条直线垂直的判定定理.关于三垂线定理的应用,关键是找出平面(基准面)的垂线.至于射影则是由垂足,斜足来确定的,因而是第二位的.从三垂线定理的证明得到证明a⊥b的一个程序:一垂,二射,三证.即几何模型第一,找平面(基准面)及平面垂线第二,找射影线,这时a,b便成平面上的一条直线与一条斜线.第三,证明射影线与直线a垂直,从而得出a与b垂直.注：1.定理中四条线均针对同一平面而言2.应用定理关键是找"基准面"这个参照系用向量证明三垂线定理已知：PO，PA分别是平面a的垂线，斜线，OA是PA在a内的射影，b属于a，且b 垂直OA，求证：b垂直PA证明：因为PO垂直a，所以PO垂直b，又因为OA垂直b 向量PA=（向量PO+向量OA）所以向量PA乘以b=（向量PO+向量OA）乘以b=（向量PO 乘以b）加（向量OA 乘以b ）=O，所以PA垂直b。
立体几何图形公式大全
立体几何图形公式大全最早的几何学当属平面几何。
平面几何就是研究平面上的直线和二次曲线(即圆锥曲线，就是椭圆、双曲线和抛物线)的几何结构和度量性质(面积、长度、角度)。
平面几何的内容也很自然地过渡到了三维空间的立体几何。
为了计算体积和面积问题，人们实际上已经开始涉及微积分的最初概念。
立方图形名称符号面积S和体积V1、正方体 a-边长 S=6a2 ; V=a32、长方体a-长;b-宽 ;c-高; S=2(ab+ac+bc) ; V=abc3、圆柱 r-底半径;h-高;C—底面周长;S底—底面积;S侧—侧面积S表—表面积C=2πrS底=πr2S侧=ChS表=Ch+2S底V=S底h =πr2h4、空心圆柱 R-外圆半径;r-内圆半径;h-高V=πh(R2-r2)5、直圆锥r-底半径;h-高V=πr2h/36、圆台r-上底半径R-下底半径h-高V=πh(R2+Rr+r2)/37、棱柱S-底面积;h-高;V=Sh8、棱锥 S-底面积h-高 ;V=Sh/39、棱台S1和S2-上、下底面积h-高 ;V=h[S1+S2+(S1S1)1/2]/310、拟柱体S1-上底面积 ;S2-下底面积 ;S0-中截面积 ;h-高V=h(S1+S2+4S0)/611、球 r-半径 ;d-直径V=4/3πr3=πd2/612、球缺 h-球缺高;r-球半径;a-球缺底半径V=πh(3a2+h2)/6=πh2(3r-h)/3a2=h(2r-h)13、球台r1和r2-球台上、下底半径;h-高V=πh[3(r12+r22)+h2]/614、圆环体R-环体半径;D-环体直径;r-环体截面半径;d-环体截面直径V=2π2Rr2=π2Dd2/415、桶状体D-桶腹直径;d-桶底直径;h-桶高V=πh(2D2+d2)/12(母线是圆弧形,圆心是桶的中心)V=πh(2D2+Dd+3d2/4)/15(母线是抛物线形)。
第9讲 立体几何
在四棱锥 P－ABCD 中，PA⊥底面 ABCD，底面各边 都相等， 是 PC 上的一动点， M 当点 M 满足BM⊥PC 时， 平面 MBD⊥平面 PCD. 立体几何中平行、垂直关系的证明的基本思路是利用线 面关系的转化，即： 线∥线↔线∥面↔面∥面
判定 线⊥线↔线⊥面↔面⊥面 性质
线∥线↔线⊥面↔面∥面 如(ⅲ)已知直线 l⊥平面 α，直线 m⊂平面 β，给出下列 四个命题：①α∥β⇒l⊥m；②α⊥β⇒l∥m；③l∥m⇒ α⊥β ； ④l⊥m ⇒ α∥β. 其 中 正 确 的 命 题 是
8.直线与平面平行的判定和性质 (1)判定：①判定定理：如果平面外的一条直线和这个 平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平 行；②面面平行的性质：若两个平面平行，则其中一 个平面内的任何直线与另一个平面平行. (2)性质：如果一条直线和一个平面平行，那么经过这 条直线的平面和这个平面相交的交线和这条直线平 行.在遇到线面平行时， 常需作出过已知直线且与已知 平面相交的辅助平面，以便运用线面平行的性质.如 α、β 表示平面，a、b 表示直线，则 a∥α 的一个充分 不必要条件是( D ) A.α⊥β，a⊥β C.a∥b 且 b∥α B.α∩β＝b，且 a∥b D.α∥β 且 a⊂β
(4)体积公式 V 柱＝S·h (S 为底面面积，h 为高)， 1 V 锥＝ S·h(S 为底面面积，h 为高). 3 (5)球的表面积和体积 4 3 2 S 球＝4πR ，V 球＝ πR . 3
2.空间直线的位置关系：①相交直线——有且只有一个 公共点.②平行直线——在同一平面内，没有公共 点.③异面直线——不在同一平面内，也没有公共点. 如(1)空间四边形 ABCD 中，E、F、G、H 分别是四边 上的中点，则直线 EG 和 FH 的位置关系是 相交 . (2)给出下列四个命题： ①异面直线是指空间既不平行又不相交的直线； ②两异面直线 a，b，如果 a 平行于平面 α，那么 b 不 平行平面 α； ③两异面直线 a，b，如果 a⊥平面 α，那么 b 不垂直 于平面 α； ④两异面直线在同一平面内的射影不可能是两条平 行直线.其中正确的命题是 ①③ .
立体几何知识点和例题(含有答案)
【考点梳理】一、考试内容1.平面。
平面的基本性质。
平面图形直观图的画法。
2.两条直线的位置关系。
平行于同一条直线的两条直线互相平行。
对应边分别平行的角。
异面直线所成的角。
两条异面直线互相垂直的概念。
异面直线的公垂线及距离。
3.直线和平面的位置关系。
直线和平面平行的判定与性质。
直线和平面垂直的判定与性质。
点到平面的距离。
斜线在平面上的射影。
直线和平面所成的角。
三垂线定理及其逆定理。
4.两个平面的位置关系。
平面平行的判定与性质。
平行平面间的距离。
二面角及其平面角。
两个平面垂直的判定与性质。
二、考试要求1.掌握平面的基本性质，空间两条直线、直线与平面、平面与平面的位置关系（特别是平行和垂直关系）以及它们所成的角与距离的概念。
对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线时的距离。
2.能运用上述概念以及有关两条直线、直线和平面、两个平面的平行和垂直关系的性质与判定，进行论证和解决有关问题。
对于异面直线上两点的距离公式不要求记忆。
3.会用斜二测画法画水平放置的平面图形（特别是正三角形、正四边形、正五边形、正六边形）的直观图。
能够画出空间两条直线、两个平面、直线和平面的各种位置关系的图形，能够根据图形想象它们的位置关系。
4.理解用反证法证明命题的思路，会用反证法证明一些简单的问题。
三、考点简析1.空间元素的位置关系2.平行、垂直位置关系的转化3.空间元素间的数量关系（1）角①相交直线所成的角；②异面直线所成的角——转化为相交直线所成的角；③直线与平面所成的角——斜线与斜线在平面内射影所成的角；④二面角——用二面角的平面角来度量。
（2）距离①两点之间的距离——连接两点的线段长；②点线距离——点到垂足的距离；③点面距离——点到垂足的距离；④平行线间的距离——平行线上一点到另一直线的距离；⑤异面直线间的距离——公垂线在两条异面直线间的线段长；⑥线面距离——平行线上一点到平面的距离；⑦面面距离——平面上一点到另一平面的距离；⑧球面上两点距离——球面上经过两点的大圆中的劣弧的长度。
高中数学立体几何知识点总结
立体几何知识点总结1、 多面体（棱柱、棱锥）的结构特征（1）棱柱：①定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。
棱柱斜棱柱直棱柱正棱柱；四棱柱平行六面体直平行六面体长方体正四棱柱正方体。
②性质：Ⅰ、侧面都是平行四边形； Ⅱ、两底面是全等多边形；Ⅲ、平行于底面的截面和底面全等；对角面是平行四边形；Ⅳ、长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的长的平方和。
（2）棱锥：①定义：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面围成的几何体叫做棱锥；正棱锥：底面是正多边形，并且顶点在底面内的射影是底面中心，这样的棱锥叫做正棱锥； ②性质：Ⅰ、平行于底面的截面和底面相似，截面的边长和底面的对应边边长的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的比； 它们面积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的平方比；截得的棱锥的体积与原棱锥的体积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的立方比；Ⅱ、正棱锥性质：各侧面都是全等的等腰三角形；通过四个直角三角形POH Rt ∆，POB Rt ∆，PBH Rt ∆，BOH Rt ∆实现边，高，斜高间的换算棱长都相等底面是正方形底面是矩形侧棱垂直于底面底面是平行四边形底面是正多边形侧棱垂直于底面侧棱不垂直于底面AB CD OHP2、旋转体（圆柱、圆锥、球）的结构特征（2）性质：① 任意截面是圆面（经过球心的平面，截得的圆叫大圆，不经过球心的平面截得的圆叫 小圆）② 球心和截面圆心的连线垂直于截面，并且22d R r -=，其中R 为球半径，r 为截面半径，d 为球心的到截面的距离。
3、柱体、锥体、球体的表面积与体积（1）几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。
（2）特殊几何体表面积公式（C 底为底面周长，h 为高，h '为棱锥的斜高或圆锥的母线）直棱柱、圆柱的侧面积 S C h =⋅侧底；正棱锥、圆锥的侧面积12S C h '=⋅侧底 （3）柱体、锥体的体积公式V S h =⋅柱底， 13V S h =⋅锥底（4）球体的表面积和体积公式：34=3V R π球 ； 24S R π=球面（5）球面距离（注意识别经度和纬度）球面上,A B 两点的球面距离AB R α=⋅,其中α为劣弧AB 所对的球心角AOB ∠的弧度数.4、空间几何体的三视图空间中的点、直线、平面之间的关系（一）、立体几何网络图：（1）、平行于同一直线的两直线平行。
立体几何七大解题技巧
立体几何七大解题技巧
一、把问题转化成数学问题
三维几何的问题可以转化为数学问题，如求解三角形的面积、求解两个空间向量的点积、求解空间曲线的长度等，都可以用数学方法来解决。
二、利用空间几何公式
三维几何中有许多空间几何公式，如三角形面积公式、平面夹角公式等，利用这些公式可以解决许多三维几何问题。
三、利用空间图形构建
可以利用空间图形构建的方法，把三维几何问题转换成二维几何问题，这样就可以利用二维几何的知识来解决三维几何问题。
四、利用空间投影
可以利用空间投影的方法，把三维几何问题转换成二维几何问题，这样就可以利用二维几何的知识来解决三维几何问题。
五、利用空间变换
可以利用空间变换的方法，把三维几何问题转换成二维几何问题，这样就可以利用二维几何的知识来解决三维几何问题。
六、利用空间对称
可以利用空间对称的方法，把三维几何问题转换成二维几何问题，这样就可以利用二维几何的知识来解决三维几何问题。
七、利用空间分析
可以利用空间分析的方法，把三维几何问题转换成二维几何问题，这样就可以利用二维几何的知识来解决三维几何问题。
高中数学立体几何知识点归纳总结
高中数学立体几何知识点归纳总结一、立体几何知识点归纳 第一章 空间几何体（一）空间几何体的结构特征（1）多面体——由若干个平面多边形围成的几何体.围成多面体的各个多边形叫叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做顶点。
旋转体——把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体。
其中，这条定直线称为旋转体的轴。
（2）柱，锥，台，球的结构特征 1.棱柱1.1棱柱——有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。
1.2相关棱柱几何体系列（棱柱、斜棱柱、直棱柱、正棱柱）的关系：①⎧⎪⎧−−−−−→⎨⎪−−−−−→⎨⎪⎪⎩⎩底面是正多形棱垂直于底面斜棱柱棱柱正棱柱直棱柱其他棱柱底面为矩形1.3①侧棱都相等，侧面是平行四边形；②两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形； ③过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形；④直棱柱的侧棱长与高相等，侧面与对角面是矩形。
1.4长方体的性质：①长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的平方和；【如图】222211AC AB AD AA =++②（了解）长方体的一条对角线1AC 与过顶点A 的三条棱所成的角分别是αβγ，，，那么222cos cos cos 1αβγ++=，222sin sin sin 2αβγ++=；③（了解）长方体的一条对角线1AC 与过顶点A 的相邻三个面所成的角分别是αβγ，，，则222cos cos cos 2αβγ++=，222sin sin sin 1αβγ++=.1.5侧面展开图：正n 棱柱的侧面展开图是由n 个全等矩形组成的以底面周长和侧棱长为邻边的矩形.1.6面积、体积公式：2S c hS c h S S h=⋅=⋅+=⋅直棱柱侧直棱柱全底棱柱底，V （其中c 为底面周长，h 为棱柱的高） 2.圆柱2.1圆柱——以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱. 2.2圆柱的性质：上、下底及平行于底面的截面都是等圆；过轴的截面（轴截面）是全等的矩形.2.3侧面展开图：圆柱的侧面展开图是以底面周长和母线长为邻边的矩形. 2.4面积、体积公式：S =2rh π；S=222rh r ππ+，V=Sh=2r h π（其中r 为底面半径，h 为圆柱高） 3.棱锥3.1棱锥——有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。
完整版)高中立体几何八大定理
完整版)高中立体几何八大定理以下是格式正确、经过修改的文章：线面位置关系的八大定理一、直线与平面平行的判定定理：如果平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则这条直线与平面平行。
符号语言：a//b作用：线线平行→ 线面平行二、直线与平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行。
符号语言：l//m。
l∥m∩β=m作用：线面平行→ 线线平行三、平面与平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。
符号语言：a∥β。
b∥β。
AB=ab。
A→β→γ。
B→β→γ作用：线线平行→ 面面平行四、平面与平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么所得的两条交线平行。
符号语言：α∥β。
α∩γ=a。
β∩γ=b。
a//b作用：面面平行→ 线线平行五、直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面。
符号语言：a⊥α。
a⊥β。
α∩β=A。
m⊥α。
n⊥α。
m∥β。
n∥β作用：线线垂直→ 线面垂直六、直线与平面垂直的性质定理：若两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线平行。
符号语言：a⊥α。
b⊥α。
a//b作用：线面垂直→ 线线平行七、平面与平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直。
符号语言：a⊥α。
α∥β。
a⊥β作用：线面垂直→ 面面垂直八、平面与平面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直与它们的交线的直线垂直于另一个平面。
符号语言：α⊥β。
α∩β=l。
AB⊥β。
AB∥α作用：面面垂直→ 线面垂直。
数学立体几何模型
数学立体几何模型数学立体几何模型是指用于研究和描述三维空间中几何形状的数学模型。
在立体几何中，人们通常会使用一些基本的几何体，如球体、圆柱体、圆锥体、长方体等作为模型，来研究空间的点、线、面等元素之间的关系。
这些立体几何模型在数学中有着广泛的应用，如在解析几何、微积分、线性代数等领域中都会涉及到。
通过这些模型，人们可以更好地理解空间几何的性质，例如体积、表面积、角度、距离等。
此外，立体几何模型也常常被用于解决实际问题，例如建筑设计、机械制造、物理学等领域。
通过建立数学模型，人们可以更好地理解物体在空间中的位置和运动，从而更好地解决实际问题。
以下是一些常见的立体几何模型：1. 正多面体：包括四面体、立方体、八面体、十二面体和二十面体等，它们是具有相同边长和角度的多面体。
2. 柱体：由一个多边形在一条直线上移动形成的立体图形，如圆柱、棱柱等。
3. 锥体：由一个多边形绕其一边旋转形成的立体图形，如圆锥、棱锥等。
4. 球体：所有点与中心点距离相等的三维图形。
5. 椭球体：类似于球体，但在不同方向上的半径不同。
6. 双曲面体：由双曲线绕其轴旋转形成的立体图形。
7. 抛物面体：由抛物线绕其轴旋转形成的立体图形。
8. 环面：由一个圆绕着一个与它不相交的轴线旋转形成的立体图形。
综上所述，这些模型不仅在数学教学中有重要作用，帮助学生直观理解空间几何概念，而且在工程、建筑、艺术设计等领域也有广泛的应用。
通过使用这些模型，可以更好地理解和解决与体积、表面积、截面、投影等相关的立体几何问题。
总之，数学立体几何模型是研究空间几何的重要工具，它们可以帮助人们更好地理解空间的性质和解决实际问题。
高中数学立体几何知识点
高中数学立体几何知识点（大全）一、【空间几何体结构】1.空间结合体：如果我们只考虑物体占用空间部分的形状和大小，而不考虑其它因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形，就叫做空间几何体。
2.棱柱的结构特征：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，每相邻两个四边形的公共边互相平行，由这些面围成的图形叫做棱柱。
棱柱(1)：棱柱中，两个相互平行的面，叫做棱柱的底面，简称底。
底面是几边形就叫做几棱柱。
(2)：棱柱中除底面的各个面。
(3)：相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱。
(4)：侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点棱柱的表示：用表示底面的各顶点的字母表示。
如：六棱柱表示为ABCDEF-A’B’C’D’E’F’3.棱锥的结构特征：有一个面是多边形，其余各面都是三角形，并且这些三角形有一个公共定点，由这些面所围成的多面体叫做棱锥。
棱锥4.圆柱的结构特征：以矩形的一边所在直线为旋转轴,其余边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱。
圆柱(1)：旋转轴叫做圆柱的轴。
(2)：垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面。
(3)：平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面。
(4)：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线。
圆柱用表示它的轴的字母表示，如：圆柱O’O（注：棱柱与圆柱统称为柱体）5.圆锥的结构特征：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴, 两余边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥。
圆锥(1)：作为旋转轴的直角边叫做圆锥的轴。
(2)：另外一条直角边旋转形成的圆面叫做圆锥的底面。
(3)：直角三角形斜边旋转形成的曲面叫做圆锥的侧面。
(4)：作为旋转轴的直角边与斜边的交点。
(5)：无论旋转到什么位置，直角三角形的斜边叫做圆锥的母线。
圆锥可以用它的轴来表示。
如：圆锥SO（注：棱锥与圆锥统称为锥体）二、【棱台和圆台的结构特征】1.棱台的结构特征：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,底面与截面之间的部分是棱台。
棱台(1)：原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面。
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点、直线、平面之间的关系㈠平面的基本性质1 立体几何中图形语言、文字语言和符号语言的转化图形语言文字语言符号语言点A在直线a上点B在直线a外A∈a B a点A在平面α内点B在平面α外A∈αBα直线a在平面α内直线b在平面α外aαbα直线a与平面α相交于点A a∩α=A直线a与直线b相交于点A a∩b=A平面α与平面β交于直线a α∩β=a★2 平面的基本性质公理一：如果一条直线上有两点在一个平面内，那么直线在平面内。
公理二：不共线的三点确定一个平面。
推论一：直线与直线外一点确定一个平面。
推论二：两条相交直线确定一个平面。
推论三：两条平行直线确定一个平面。
公理三：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有公共点，这些公共点的集合是一条直线(两个平面的交线)。
㈡ 空间图形的位置关系1 空间直线的位置关系(相交、平行、异面)1.1 平行线的传递公理：平行于同一直线的两条直线相互平行。
即：a ∥b ，b ∥c a ∥c1.2 等角定理：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。
1.3 异面直线⑴ 定义：不在任何一个平面内的两条直线称为异面直线。
⑵ 判定定理：连平面内的一点与平面外一点的直线与这个平面内不过此点的直线为异面直线。
即：1.4 异面直线所成的角⑴ 异面直线成角的范围：(0°，90°]. ⑵ 作异面直线成角的方法：平移法。
注意：找异面直线所成角时，经常把一条异面直线平移到另一条异面直线的特殊点(如中点、端点等)，形成异面直线所成的角。
2 直线与平面的位置关系(直线在平面内、相交、平行) 3 平面与平面的位置关系(平行、斜交、垂直)㈢ 平行关系(包括线面平行和面面平行) 1 线面平行1.1 线面平行的定义：平面外的直线与平面无公共点，则称为直线和平面平行。
1.2 判定定理：图2-1 异面直线图2-2 直线与平面的位置关系1.3 性质定理：1.4 判断或证明线面平行的方法⑴ 利用定义(反证法)：l ∩ α = ф ，l ∥α (用于判断)； ⑵ 利用判定定理：线线平行线面平行 (用于证明)； ⑶ 利用平面的平行：面面平行线面平行 (用于证明)；⑷ 利用垂直于同一条直线的直线和平面平行(用于判断)。
2 线面斜交和线面角：l ∩ α = A2.1 直线与平面所成的角(简称线面角)：若直线与平面斜交，则平面的斜线与该斜线在平面内射影的夹角θ。
2.2 线面角的范围：θ∈[0°，90°]注意：当直线在平面内或者直线平行于平面时，θ=0°； 当直线垂直于平面时，θ=90° 3 面面平行3.1 面面平行的定义：空间两个平面没有公共点，则称为两平面平行。
3.2 面面平行的判定定理：⑴ 判定定理1：如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么两个平面相互平行。
即：推论：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面的两条线段，那么这两个平面平行。
即：⑵ 判定定理2：垂直于同一条直线的两平面互相平行。
即：3.3 面面平行的性质定理 ⑴ (面面平行线面平行)图2-3 线面角图2-4 面面平行图2-5 判定1推论图2-6 判定2⑵⑶ 夹在两个平行平面间的平行线段相等。
㈣ 垂直关系(包括线面垂直和面面垂直) 1 线面垂直1.1 线面垂直的定义：若一条直线垂直于平面内的任意一条直线，则这条直线垂直于平面。
1.2 线面垂直的判定定理：1.3 线面垂直的性质定理：⑴ 若直线垂直于平面，则它垂直于平面内任意一条直线。
即：⑵ 垂直于同一平面的两直线平行。
即：1.4 常用的判定或证明线面垂直的依据 ⑴ 利用定义，用反证法证明。
⑵ 利用判定定理证明。
⑶ 一条直线垂直于平面而平行于另一条直线，则另一条直线也垂直与平面。
⑷ 一条直线垂直于两平行平面中的一个，则也垂直于另一个。
⑸ 如果两平面垂直，在一平面内有一直线垂直于两平面交线，则该直线垂直于另一平面。
★1.5 三垂线定理及其逆定理⑴ 斜线定理：从平面外一点向这个平面所引的所有线段中，斜线相等则射影相等，斜线越长则射影越长，垂线段最短。
如图：⑵ 三垂线定理及其逆定理已知PO ⊥α，斜线PA 在平面α内的射影为OA ，a 是平面 α内的一条直线。
① 三垂线定理：若a ⊥OA ，则a ⊥PA 。
即垂直射影则图2-7 斜线定理垂直斜线。
② 三垂线定理逆定理：若a ⊥PA ，则a ⊥OA 。
即垂直斜线则垂直射影。
⑶ 三垂线定理及其逆定理的主要应用 ① 证明异面直线垂直； ② 作出和证明二面角的平面角； ③ 作点到线的垂线段。
2 面面斜交和二面角2.1 二面角的定义：两平面α、β相交于直线l ，直线a 是α内的一条直线，它过l 上的一点O 且垂直于l ，直线b 是β内的一条直线，它也过O 点，也垂直于l ，则直线a 、b 所形成的角称为α、β的二面角的平面角，记作∠α-l-β。
2.2 二面角的范围：∠α-l-β ∈[0°,180°] 2.3 二面角平面角的作法：⑴ 定义法：证明起来很麻烦，一般不用； ⑵ 三垂线法：常用方法；⑶ 垂面法：常用于空间几何体中的二面角。
3 面面垂直3.1 面面垂直的定义：若二面角α-l-β的平面角为90°，则两平面α⊥β。
3.2 判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。
即：3.3 面面垂直的性质定理⑴ 若两面垂直，则这两个平面的二面角的平面角为90°； ⑵ ⑶图2-8 三垂线定理图2-9 面面垂直图2-10 面面垂直性质2⑷三立体几何主要难点1 三种角的对比角的类型范围解题步骤异面直线所成角0°～90°1找：利用平移法找出异面直线所成角；⑴固定一条直线，平移另一条直线，⑵将两条直线都平移至一特殊位置。
2证：证明所作出的角就是异面直线所成角或其补角，常需证明线线平行；3计算：通过解三角形，算出异面直线角的角度。
直线与平面所成角0°～90°1找：作出斜线与其在平面内射影的夹角，一般用三垂线定理；2证：证明所作出的角就是直线与平面所成角或其补角，常证明线面垂直；3计算：通过解三角形，求出线面角的角度。
二面角的平面角0～π1作：根据二面角平面角的定义，作出这个平面角；2证：证明所作的角就是二面角的平面角，常用三垂线法和垂面法；3计算：通过解三角形，求出二面角平面角的角度。
2 立体几何知识网络图2-11 面面垂直性质3三、例题分析例1、⑴已知水平平面α内的两条相交直线a, b 所成的角为θ，如果将角θ的平分线l '绕着其顶点，在竖直平面内作上下转动， 转动到离开水平位值的l '处，且与两条直线a,b 都成角α，则α与2θ的大小关系是 （ ） A.2θα≤或2θα≥B. α>2θ或 α<2θC. α>2θD. α<2θ⑵已知异面直线a,b 所成的角为700,则过空间一定点O,与两条异面直线a,b 都成60角的直线有( )条.A. 1B. 2C. 3D. 4⑶异面直线a,b 所成的角为θ,空间中有一定点O,过点O 有3条直线与a,b 所成角都是600,则θ的取值可能是 ( ). A. 300B. 500C. 600D. 900分析与解答:⑴ 如图1所示,易知直线l '上点Ａ在平面α上的射影是ι上的点B,过点B 作BC ⊥b,则AC ⊥b. 在Rt △OBC 和Rt △OAC 中，tg α=OC AC ,tg 2θ=OC BC.显然，AC>BC,∴tan α> tan 2θ,又α、2θ∈（0，)2π，∴ α＞2θ.故选C.a 'ιb '（２）Ｄ（３）Ｃ图１例2、已知PA ⊥矩形ABCD 所在平面，M 、N 分别是AB 、PC 的中点. （1）求证：MN ⊥AB ；（2）设平面PDC 与平面ABCD 所成的二面角为锐角θ，问能否确定θ使直线MN 是异面直线AB 与PC 的公垂线？若能，求出相应θ的值；若不能，说明理由. 解：（1）∵PA ⊥矩形ABCD ，BC ⊥AB ，∴PB ⊥BC ，PA ⊥AC ，即△PBC 和△PAC 都是以PC 为斜边的直角三角形，BN PC AN ==∴21，又M 为AB 的中点，∴MN ⊥AB.（2）∵AD ⊥CD ，PD ⊥CD.∴∠PDA 为所求二面角的平面角，即∠PDA=θ. 设AB=a ，PA=b ，AD=d ，则2241a b PM +=，2241a d CM += 设PM=CM 则由N 为PC 的中点，∴MN ⊥PC 由（1）可知MN ⊥AB ， ∴MN 为PC 与AB 的公垂线，这时PA=AD ，∴θ=45°。
例3、如图，直三棱柱ABC-A 1B 1C 1的底面ABC 为等腰直角三角形，∠ACB=900，AC=1，C 点到AB 1的距离为CE=23，D 为AB 的中点.（1）求证：AB 1⊥平面CED ；（2）求异面直线AB 1与CD 之间的距离； （3）求二面角B 1—AC —B 的平面角.解:（1）∵D 是AB 中点，△ABC 为等腰直角三角形， ∠ABC=900，∴CD ⊥AB 又AA 1⊥平面ABC ，∴CD ⊥AA 1. ∴CD ⊥平面A 1B 1BA ∴CD ⊥AB 1，又CE ⊥AB 1，ABC DA1E B1C1A C OB∴AB 1⊥平面CDE ；（2）由CD ⊥平面A 1B 1BA ∴CD ⊥DE ∵AB 1⊥平面CDE ∴DE ⊥AB 1,∴DE 是异面直线AB 1与CD 的公垂线段∵CE=23，AC=1 , ∴CD=.22∴21)()(22=-=CD CE DE ； （3）连结B 1C ，易证B 1C ⊥AC ，又BC ⊥AC , ∴∠B 1CB 是二面角B 1—AC —B 的平面角.在Rt △CEA 中，CE=23，BC=AC=1,∴∠B 1AC=600∴260cos 121==AB ， ∴2)()(2211=-=AB AB BB ,∴ 211==∠BC BB CB B tg , ∴21arctg CB B =∠.说明：作出公垂线段和二面角的平面角是正确解题的前提, 当然, 准确地作出应当有严格的逻辑推理作为基石.例4、在直角梯形ABCD 中，∠A=∠D=90°，AB ＜CD ，SD ⊥平面ABCD ，AB=AD=a ，S D=a 2，在线段SA 上取一点E （不含端点）使EC=AC ，截面CDE与SB 交于点F 。
（1）求证：四边形EFCD 为直角梯形； （2）求二面角B-EF-C 的平面角的正切值；（3）设SB 的中点为M ，当AB CD的值是多少时，能使△DMC为直角三角形？请给出证明.解：（1）∵ CD ∥AB ，AB ⊂平面SAB ∴CD ∥平面SAB面EFCD ∩面SAB =EF ，∴CD ∥EF ∵,,900AD CD D ⊥∴=∠ 又⊥SD 面ABCD∴CD SD ⊥ ⊥∴CD 平面SAD ，∴ED CD ⊥又CD AB EF << EFCD ∴为直角梯形（2）⊥CD 平面EF SAD ,∥⊥EF CD ,平面SADAED EF DE EF AE ∠∴⊥⊥∴,,即为二面角D —EF —C 的平面角 CDE Rt CD ED ∆∴⊥,中222CD ED EC +=而222CD AD AC +=且EC AC =,ED AD ADEα∴==∴∆为等腰三角形，tan 2AED EADAED ∴∠=∠∴∠=A B CD SE F M(3)当2CDAB =时，DMC ∆为直角三角形 .02245,2,2,=∠=+==∴=BDC a AD AB BD a CD a AB BD BC a BC ⊥=∴,2,⊥∴SD 平面⊥∴⊥∴BC BC SD ABCD ,,平面SBD.在SBD ∆中，M DB SD ,=为SB 中点，SB MD ⊥∴.⊥∴MD 平面⊂MC SBC ,平面,SBC MD MC DMC ∴⊥∴∆为直角三角形。