2.1 一元二次方程
2.1 一元二次方程 浙教版八年级数学下册同步练习(含解析)
第2章一元二次方程2.1一元二次方程基础过关全练知识点1一元二次方程的相关概念1.(2022浙江诸暨浣纱中学月考)下列方程是一元二次方程的是()A.x2-y=1B.x2+2x-3=0C.x2+1=3 D.x-5y=6x2.已知关于x的方程x2+kx-10=0的一个根是2,则k=.3.若方程(a-2)x2-3ax=5是关于x的一元二次方程,则a的取值范围是.知识点2一元二次方程的一般形式4.下列方程是一元二次方程的一般形式的是()A.2x2-3x=0B.x2=1C.2x2-3x=-1D.2x2=-3x5.【新独家原创】四位同学一起做游戏,分别出一个一元二次方程,甲:x2-2x+3=0,乙:x2-2x=3,丙:3(x2-2x+1)=3,丁:3x2-x=3,当这四个方程化为一般形式时,常数项为0的赢,则这次游戏谁赢了()A.甲B.乙C.丙D.丁6.关于x的一元二次方程(m-2)x2+5x+m2-4=0的常数项为0,则m等于() A.2 B.-2 C.2或-2 D.07.将方程5x2+1=4x化成ax2+bx+c=0的形式,则a,b,c的值分别为.知识点3列一元二次方程8.某班学生毕业时,都将自己的照片向本班其他同学送一张留念,全班一共送了1 260张,如果全班有x名同学,根据题意,列出方程为() A.x(x+1)=1 260 B.2x(x+1)=1 260C.x(x-1)=1 260D.x(x-1)=1 260×29.【教材变式·P26合作学习(1)变式】把面积为16 m2的大长方形铁皮割成如图所示的正方形和长方形两个部分,已知长方形的一边长为 6 m,求其邻边长(只需列出方程).10.根据下列问题列一元二次方程,并将方程化为一般形式.(1)三个连续奇数的平方和是251,求这三个数;(2)一个长方形花坛,长20 m,宽8 m,在它的四周有等宽的鹅卵石路,形成一个大长方形,其面积是花坛面积的1.8倍,求路的宽度;(3)用一根长30 cm的铁丝折成一个斜边长13 cm的直角三角形,求这个三角形的直角边长.能力提升全练11.(2022浙江温州外国语学校期中,6,)关于x的一元二次方程(m-3)x2+m2x=9x+5化为一般形式后不含一次项,则m的值为()A.0B.±3C.3D.-312.若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个根为x=-1,则下列等式成立的是() A.a+b+c=0 B.a-b+c=0C.-a-b+c=0D.-a+b+c=013.若(1-m)x m2+1+3mx-2=0是关于x的一元二次方程,则该方程的一次项系数是() A.-1 B.±1 C.-3 D.±314.方程5x2-1=4x化成一般形式后,二次项系数为正,其中一次项系数,常数项分别是()A.4,-1B.4,1C.-4,-1D.-4,115.已知x1=1,x2=-3是一元二次方程ax2+bx-3=0(a≠0)的两个根,求a,b 的值.16.已知关于x的方程(k-2)x2-kx=x2-1.(1)当k为何值时,方程为一元二次方程?(2)当k为何值时,方程为一元一次方程?17.有一个三角形,面积为30 cm2,其中一边比这边上的高的4倍少1 cm,若设这边上的高为x cm,请你列出关于x的方程,并判断它是什么方程,若是一元二次方程,把它化为一般形式,并指出二次项系数、一次项系数和常数项.素养探究全练18.【代数推理】【运算能力】已知实数a是一元二次方程x2-2 022x+1=0的值.的解,求代数式a2-2 021a-a2+12 022答案全解全析基础过关全练1.B x2-y=1中含有2个未知数,不是一元二次方程,所以A不符合题意;x2+2x-3=0符合一元二次方程的定义,是一元二次方程,所以B符合题意;x2+1x =3中1x不是整式,不是一元二次方程,所以C不符合题意;x-5y=6中含有2个未知数,不是一元二次方程,所以D不符合题意.故选B.2.3解析因为关于x的方程x2+kx-10=0的一个根是2,所以22+2k-10=0,解得k=3.3.a≠2解析因为方程(a-2)x2-3ax=5是关于x的一元二次方程,所以a-2≠0,解得a≠2.4.A形如ax2+bx+c=0(a,b,c是常数,且a≠0)是一元二次方程的一般形式.只有A符合题意,故选A.5.C x2-2x+3=0的常数项为3,所以甲输了;x2-2x=3化为一般形式为x2-2x-3=0,常数项为-3,所以乙输了;3(x2-2x+1)=3化为一般形式为x2-2x=0,常数项为0,所以丙赢了;3x2-x=3化为一般形式为3x2-x-3=0,常数项为-3,所以丁输了.故选C.6.B因为常数项为0,所以m2-4=0,解得m=2或-2,当m=2时,方程(m-2)x2+5x+m2-4=0变为5x=0,不是一元二次方程,所以m=2要舍去,故m=-2.7.5,-4,1解析5x2+1=4x移项,得5x2-4x+1=0,所以将方程5x2+1=4x化成ax2+bx+c=0的形式,则a,b,c的值分别为5,-4,1.8.C全班有x名同学,根据“都将自己的照片向本班其他同学送一张留念”可知全班一共送了x(x-1)张照片,又全班一共送了1 260张照片,所以x(x-1)=1 260.9.解析设其邻边长为x m,则可列方程为x(x+6)=16.10.解析(1)设中间的奇数为x,则(x-2)2+x2+(x+2)2=251,化为一般形式:3x2-243=0.(2)设路的宽度为x m,则(20+2x)(8+2x)=1.8×20×8,化为一般形式:4x2+56x-128=0.(3)设一条直角边长为x cm,则另一条直角边长为(17-x)cm,则x2+(17-x)2=132,化为一般形式:2x2-34x+120=0.能力提升全练11.D将(m-3)x2+m2x=9x+5整理得(m-3)x2+(m2-9)x-5=0,由题意得m-3≠0,m2-9=0,解得m=-3,故选D.12.B把x=-1代入方程ax2+bx+c=0得a-b+c=0.13.C由题意得1-m≠0且m2+1=2,解得m=-1.∴该方程的一次项系数为3m=-3.14.C5x2-1=4x化成一般形式是5x2-4x-1=0,它的一次项系数是-4,常数项是-1.故选C.15.解析 把x 1=1,x 2=-3分别代入一元二次方程ax 2+bx -3=0(a ≠0),得{a +b −3=0,9a −3b −3=0,解得{a =1,b =2.16.解析 原方程可化为(k -3)x 2-kx +1=0.(1)当k -3≠0,即k ≠3时,方程(k -2)x 2-kx =x 2-1是一元二次方程.(2)当k -3=0,-k ≠0,即k =3时,方程(k -2)x 2-kx =x 2-1是一元一次方程.17.解析 根据题意可得关于x 的方程为12x (4x -1)=30,它是一元二次方程,整理为一般形式为2x 2-12x -30=0,二次项系数为2,一次项系数为-12,常数项为-30.素养探究全练18.解析 因为实数a 是一元二次方程x 2-2 022x +1=0的解,所以a 2- 2 022a +1=0,所以a 2-2 022a =-1,a 2+1=2 022a , 所以原式=a 2-2 021a -2 022a 2 022=a 2-2 022a =-1.。
湘教版数学九年级上册2.1《一元二次方程》教学设计
湘教版数学九年级上册2.1《一元二次方程》教学设计一. 教材分析湘教版数学九年级上册2.1《一元二次方程》是整个初中数学的重要内容，它不仅是一元二次方程知识体系的延续和拓展，也是对之前所学知识的综合运用。
本节课的内容主要包括一元二次方程的定义、解法、应用等方面。
通过本节课的学习，让学生掌握一元二次方程的基本知识，能够解决实际问题，为后续的学习打下基础。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了有理数的运算、方程的知识，对解方程有一定的了解。
但一元二次方程相对复杂，需要学生在已有的知识体系上进行进一步的推理和理解。
同时，学生需要掌握一元二次方程的解法，以及如何将实际问题转化为数学问题，这都需要学生在学习过程中进行深入的思考和实践。
三. 教学目标1.理解一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的解法。
2.能够将实际问题转化为数学问题，并运用一元二次方程进行解决。
3.培养学生的逻辑思维能力，提高学生解决实际问题的能力。
四. 教学重难点1.一元二次方程的定义，以及一元二次方程的解法。
2.如何将实际问题转化为数学问题，并运用一元二次方程进行解决。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生主动探究一元二次方程的定义和解法。
2.采用案例分析法，让学生通过实际问题，理解一元二次方程的应用。
3.采用小组合作法，让学生在小组内进行讨论和交流，共同解决问题。
六. 教学准备1.准备相关的教学案例，用于引导学生将实际问题转化为数学问题。
2.准备一元二次方程的解法教程，用于让学生掌握一元二次方程的解法。
3.准备教学PPT，用于展示一元二次方程的定义和解法。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾已知的方程知识，为新知识的学习做好铺垫。
然后，教师给出一个实际问题，让学生尝试解决，从而引出一元二次方程的概念。
2.呈现（15分钟）教师通过PPT展示一元二次方程的定义，让学生了解一元二次方程的基本形式。
接着，教师讲解一元二次方程的解法，包括因式分解法、公式法等，让学生掌握解一元二次方程的方法。
2.1 一元二次方程(求根公式法)
-2 16 x= • 得 -6 1 • 所以 x1 ，x 2 1 3
-b b2 - 4ac x= 2a
9
• （2）原方程可化为 x2+2x-8=0
-b b - 4ac • 将 a=1,b=2,c=-8代入 x = 2a -2 36 • 得， x = 2
2
• 所以
x1 2，x2 4
10
• 总结： • 1、求根公式与根的判别业： • 1、教材 P23 第3、4、题（作业本上） • 2、练习册做到P19
11
感谢您的关注
12
• 对于 x2+mx ，在 x2+mx 后面加一次项的系数m的一半的平方，
为了保持相等再减去一次项的系数m的一半的平方。
• 2、ax2+bx, (即二次项系数不是1的)
• 对于ax2+bx，先提取a，即先化二次项系数为1，再配方。注意 保持式子相等
3
• 3、平方根的定义和平方根的表示： • 定义：如果x2=a,那么x叫做a的平方根； • 表示： • 当a˃0时，a的平方根有两个，且互为相反数， 记作 （正的根）、 a （负的根）； a • 当a=0时，因为 02=0 ，所以0的平方根为0， 有
2a
4a2
• 这就是一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式
•
（2）当b2-4ac=0时，解方程,得
x1 = x 2 = -
• 为原方程两个相等的根；(1)中的公式仍成立。
b 2a
• （3）当b2-4ac˃0时，原方程无实数根。
7
• 例1 用求根公式法解方程 5x2+2x-3=0
-b b2 - 4ac • 解：将a=5,b=2,c=-3代入 x = 2a -2 64 • 得 x= 10
浙教版数学八年级下册2.1《一元二次方程》教案1
浙教版数学八年级下册2.1《一元二次方程》教案1一. 教材分析《一元二次方程》是中学数学的重要内容，也是初中数学的难点之一。
浙教版八年级下册第2.1节的内容，主要包括一元二次方程的定义、解法、判别式等知识点。
通过本节课的学习，使学生掌握一元二次方程的基本概念，学会解一元二次方程，培养学生解决实际问题的能力。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了实数、代数式、函数等基础知识，具备一定的逻辑思维和运算能力。
但一元二次方程相对复杂，学生对其概念、解法、判别式等知识点的理解还需加强。
此外，学生解决实际问题的能力有待提高。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握一元二次方程的基本概念，学会解一元二次方程，理解一元二次方程的判别式。
2.过程与方法：培养学生运用一元二次方程解决实际问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作精神。
四. 教学重难点1.重点：一元二次方程的定义、解法、判别式。
2.难点：一元二次方程的实际应用。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法、小组讨论法等，引导学生主动探究、合作学习，提高学生解决问题的能力。
六. 教学准备1.教学素材：教材、PPT、黑板、粉笔。
2.教学工具：投影仪、计算机。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用PPT展示一组实际问题，引导学生思考如何用数学模型来解决这些问题。
进而引出一元二次方程的概念。
2.呈现（15分钟）讲解一元二次方程的定义、解法、判别式等基本知识。
通过PPT展示，让学生清晰地了解一元二次方程的各个部分。
3.操练（15分钟）让学生分组讨论，尝试解一些简单的一元二次方程。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）选取一些典型的一元二次方程，让学生独立解答。
教师及时反馈，指出解题过程中的错误，巩固所学知识。
5.拓展（10分钟）让学生运用一元二次方程解决实际问题。
教师提供一些案例，引导学生思考、讨论。
6.小结（5分钟）对本节课的主要知识点进行总结，强调一元二次方程在实际生活中的应用。
2.1 认识一元二次方程(分层练习,5种题型)(解析版)
2.1认识一元二次方程分层练习考查题型一判断一元二次方程考查题型二一元二次方程的一般形式1．一元二次方程3x2﹣2＝4x可化成一般形式为（）A．3x2﹣4x+2＝0B．3x2﹣4x﹣2＝0C．3x2+4x+2＝0D．3x2+4x﹣2＝0【详解】解：方程整理得：3x2﹣4x﹣2＝0．故选：B．2．把方程x2+2x＝5（x﹣2）化成ax2+bx+c＝0的形式，则a，b，c的值分别为（）A．1，﹣3，2B．1，7，﹣10C．1，﹣5，12D．1，﹣3，10【详解】解：x2+2x＝5（x﹣2），x2+2x＝5x﹣10，x2+2x﹣5x+10＝0，x2﹣3x+10＝0，则a＝1，b＝﹣3，c＝10，（3）将2821x x -=化为一般形式为：28210x x -+=则：二次项系数为1，一次项系数为8-，常数项为21；（4）将()()112x x x +-=化为一般形式为：2210x x --=则：二次项系数为1，一次项系数为2-，常数项为1-；（5）将()()4152x x x -=+化为一般形式为：249100x x --=则：二次项系数为4，一次项系数为9-，常数项为10-；（6）将()22264x x -=+化为一般形式为：2540x x +=则：二次项系数为5，一次项系数为4，常数项为0．考查题型三一元二次方程的解∴22112210,10x x x x +-=+-=，∴()()22112222x x x x +-+-=221122(11)(11)(1)(1)x x x x +--+--=-⨯-=1，故答案为：1．考查题型四一元二次方程的解的估算A ．解的整数部分是3，十分位是1B ．解的整数部分是3，十分位是2C ．解的整数部分是3，十分位是3D ．解的整数部分是3，十分位是4【详解】解：由表格可知，当 3.2x =时，20x px q ++<，当 3.3x =时，20x px q ++>，∴20x px q ++=时，3.2 3.3x <<，∴解的整数部分是3，十分位是2．故选：B ．考查题型五已知一元二次方程求未知数的值解得x＝﹣1．（2）解：当m≠1时，关于x的方程（m﹣1）x2+（m﹣2）x﹣2m+1＝0是一元二次方程，此时该方程的二次项系数为m﹣1，一次项系数为m﹣2，常数项为﹣2m+1．3．若方程(m－2)2-2m x+(3－m)x－2=0是关于x的一元二次方程，试求代数式m2+2m－4的值．【详解】解：根据题意，得m2－2=2且m－2≠0，解得m=±2且m≠2，所以m=－2，m2+2m－4=(－2)2+2×(－2)－4=4－4－4=－4．。
浙教版数学八年级下册2.1《一元二次方程》教案
浙教版数学八年级下册2.1《一元二次方程》教案一. 教材分析《一元二次方程》是初中数学的重要内容，也是八年级下册的重点和难点。
本节课通过引入一元二次方程，让学生了解一元二次方程的定义、解法及其应用，培养学生解决实际问题的能力。
教材从生活实例出发，引导学生认识一元二次方程，并通过探究、合作、交流的方式，让学生掌握一元二次方程的解法，为后续学习函数、不等式等知识打下基础。
二. 学情分析学生在七年级已经学习了方程和不等式的基本知识，对解方程有一定的了解。
但一元二次方程相对复杂，需要学生具有较强的逻辑思维能力和抽象概括能力。
此外，学生对于数学问题的探究和合作能力也有待提高。
三. 教学目标1.了解一元二次方程的定义、解法及其应用。
2.掌握一元二次方程的解法，提高解决实际问题的能力。
3.培养学生的合作、探究、交流能力，提高学生的逻辑思维和抽象概括能力。
四. 教学重难点1.重难点：一元二次方程的定义、解法及其应用。
2.重点：一元二次方程的解法。
3.难点：一元二次方程的应用。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生探究一元二次方程的定义和解法。
2.运用合作学习法，让学生在小组内讨论、交流，共同解决问题。
3.利用案例分析法，让学生从实际问题中认识一元二次方程的应用。
4.采用板书演示法，直观展示一元二次方程的解法过程。
六. 教学准备1.准备相关的生活实例和案例，用于导入和巩固环节。
2.准备一元二次方程的习题，用于操练和家庭作业环节。
3.准备黑板、粉笔等教学工具。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过生活实例引入一元二次方程，让学生感受一元二次方程在实际生活中的应用。
例如，讲解一个关于面积和高度的问题，引导学生发现方程x^2 - 6x + 9 = 0。
2.呈现（15分钟）讲解一元二次方程的定义，明确方程的一般形式：ax^2 + bx + c = 0。
解释方程中的a、b、c分别代表什么含义，并引导学生理解一元二次方程的解法。
2.1 一元二次方程(课件)2024-2025学年湘教版数学九年级上册
感悟新知
(1) 3x－4=x2
知2－练
解：整理方程，得 x2 － 3x+4=0，其中，二次项
系数、一次项系数和常数项分别是 1， － 3， 4.
(2)( 10－2x)(6－2x) =32 整理方程，得 4x2 － 32x+28=0，其中，二次项系
数、一次项系数和常数项分别是 4， － 32， 28.
感悟新知
知3－练
例4 [ 中考·哈尔滨 ] 为了改善居民生活环境，云宁小区对
一块矩形空地进行绿化，这块空地的长比宽多 6 米，
面积为 720 平方米，设矩形空地的长为 x 米，根据题
意，所列方程正确的是(
)
A． x( x－6)＝ 720 B． x(x＋6)＝ 720
C． x(x－6)＝ 360 D． x( x＋6)＝ 360
知3－练
ห้องสมุดไป่ตู้
感悟新知
知3－练
3-1. [ 中考·邵阳 ] 某校截止到 2022 年底，校园绿化面积 为 1 000平方米．为美化环境，该校计划 2024 年底 绿化面积达到 1 440 平方米 . 利用方程思想，设这两 年绿化面积的年平均增长率为 x，则依题意列方程 为__1_0_0_0_(_1_＋__x_)2_＝__1__4_4_0__ ．
2.若已知方程是一元二次方程，则必隐含二次
项系数不为零这一条件.
感悟新知
知1－练
例1 下列方程：① x2 － 2x － 1=0；② ax2+bx+c=0；
③x12 ＋ 3x － 5=0；④ 7 － x2=0；⑤(x － 1) 2+y2=0；
⑥ x3 － 20=7 中，一元二次方程的个数是(
)
A． 1 个 B． 2 个
湘教版数学九年级上册《2.1一元二次方程》说课稿
湘教版数学九年级上册《2.1 一元二次方程》说课稿一. 教材分析湘教版数学九年级上册《2.1 一元二次方程》这一节的内容，主要介绍了什么是一元二次方程，一元二次方程的定义，以及一元二次方程的解法。
这一节的内容是整个初中数学的重要部分，也是学生首次接触二次方程，对于培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力具有重要意义。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于一次方程和一次不等式已经有了一定的了解，但是对于二次方程还是第一次接触，对于二次方程的解法可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，我们需要从学生的实际出发，引导学生逐步理解一元二次方程的概念和解法。
三. 说教学目标本节课的教学目标有三点：一是让学生理解一元二次方程的概念，能够正确判断一个方程是否为一元二次方程；二是让学生掌握一元二次方程的解法，能够熟练解一元二次方程；三是培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
四. 说教学重难点本节课的重难点是一元二次方程的概念和一元二次方程的解法。
对于一元二次方程的概念，学生可能难以理解方程中的二次项和一次项的含义；对于一元二次方程的解法，学生可能难以掌握公式法和因式分解法的运用。
五. 说教学方法与手段在教学过程中，我将采用讲授法、案例分析法、小组合作法等多种教学方法。
同时，利用多媒体教学手段，如PPT、视频等，帮助学生直观地理解一元二次方程的概念和解法。
六. 说教学过程1.导入新课：通过一个实际问题，引入一元二次方程的概念。
2.讲解概念：讲解一元二次方程的定义，解释二次项、一次项和常数项的含义。
3.演示解法：通过PPT或视频，演示一元二次方程的解法，包括公式法和因式分解法。
4.练习巩固：让学生通过练习题，巩固一元二次方程的概念和解法。
5.小组讨论：让学生分组讨论，探索一元二次方程解法的运用。
6.总结提升：对一元二次方程的概念和解法进行总结，引导学生发现解题规律。
七. 说板书设计板书设计要简洁明了，能够帮助学生理解和记忆一元二次方程的概念和解法。
2.1一元二次方程的定义
例3、一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的 顶端距离地面的垂直距离为8m, 如果梯子的顶端 下滑1m，那么梯子的底端滑动多少m?
数学化 1m 8m
7m
6m
xm
X+6
设梯子底端滑动x米，由勾股定理得：
（x+6）² +7 ² =10²
一元二次方程的概念
将上面三个问题得到的三个方程整理为：ax2+bx+c=0 的形式 2x2 － 13x ＋ 11 = 0 . (8-2x)(５-２x)=18
基础练习1：
你能判断下列等式哪些是一元二次方程， 哪些不是吗。 1. 2x2+3xy=5x-3xy 3. 2x2-9x=0
1 5. +x2-3=0 x
2. x2＋3x+2=0 4. x(x+2)=11+2(20x-5) 6. x(x+1)=x(x+7)
把ax2+bx+c=0 （a≠0）称为一元二次方程
什么是一元二次方程？
实际引例1：42页
有一块四周镶有宽度相等的花边的地毯，它 的长8米，宽长5米，如果地毯中央长方形图 案的面积为18平方米，那么花边有多宽？
数学化 5cm
18平方米
5-2x x
8-2x 8cm
用什么模型解决该问题？
解 设：花边的宽为Xm，根据题意，可列方程 （8-2x)(5-2x）= 18
ax2+bx+c=0 (a≠0 ，a，b，c 为常数 )
学习目标：重点: 1会根据题意列一元二次方程。
2会探索一元二次方程的解或近 似解。
方程的解的定义： 使方程左右两边相等的未知数的值叫方程 的解。一元方程的解又叫方程的根。
初高中数学衔接教材 §2.1 一元二次方程(含答案)
初高中数学衔接教材 2.1 一元二次方程2.1.1根的判别式{情境设置：可先让学生通过具体实例探索二次方程的根的求法，如求方程的根： (1)0322=-+x x ；(2)0122=++x x ；(3)0322=++x x 。
} 用配方法可把一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）变为2224()24b b ac x a a -+=①a ≠0，∴4a 2＞0。
于是（1）当b 2－4ac ＞0时，方程①的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根x 1，2＝2b a-±；（2）当b 2－4ac ＝0时，方程①的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根x 1＝x 2＝－2b a；（3）当b 2－4ac ＜0时，方程①的右端是一个负数，而方程①的左边2()2b x a+一定大于或等于零，因此，原方程没有实数根。
由此可知，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根的情况可以由b 2－4ac 来判定，我们把b 2－4ac 叫做一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根的判别式，通常用符号“Δ”来表示。
综上所述，对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），有（1）当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根，x 1，2（2）当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根，x 1＝x 2＝－2ba； （3）当Δ＜0时，方程没有实数根。
例1 判定下列关于x 的方程的根的情况（其中a 为常数），如果方程有实数根，写出方程的实数根。
（1）x 2－3x ＋3＝0；（2）x 2－ax －1＝0；（3） x 2－ax ＋(a －1)＝0；（4）x 2－2x ＋a ＝0。
解：（1）∵Δ＝32－4×1×3＝－3＜0，∴方程没有实数根。
（2）该方程的根的判别式Δ＝a 2－4×1×(－1)＝a 2＋4＞0，所以方程一定有两个不等的实数根12a x +=，22a x -=（3）由于该方程的根的判别式为Δ＝a 2－4×1×(a －1)＝a 2－4a ＋4＝(a －2)2，所以，①当a ＝2时，Δ＝0，所以方程有两个相等的实数根x 1＝x 2＝1； ②当a ≠2时，Δ＞0， 所以方程有两个不相等的实数根x 1＝1，x 2＝a －1。
九年级数学上册第2章一元二次方程2.1一元二次方程习题
解析
因式分解得 $(x - 2)(x - 3) = 0$，解得 $x = 2$ 或 $x = 3$
解析
因式分解得 $(x + 3)(x - 2) = 0$，解得 $x = -3$ 或 $x = 2$
04 练习题与答案解析
练习题
题目1
解方程：$x^2 - 4x + 3 = 0$。
题目2
解方程：$2x^2 - 5x - 3 = 0$。
解析
计算判别式 $Delta = b^2 - 4ac = 64$，代 入求根公式得 $x = frac{-4 pm 8}{6}$，即 $x = frac{2}{3}$ 或 $x = -frac{7}{3}$
因式分解法
例题1
解方程 $x^2 - 5x + 6 = 0$
例题2
解方程 $x^2 + x - 6 = 0$
答案解析
01
02
03
04
此方程无法直接通过因式分解 法或求根公式法求解，但可以
通过配方法求解。
将方程左边进行配方，得到 $3(x-1)^2 - 2 = 0$。
进一步整理得 $(x-1)^2 = frac{2}{3}$。
解得 $x_1 = 1 + sqrt{frac{2}{3}}, x_2 = 1 -
方程的解
使方程左右两边相等的 $x$ 的值称为方程的解。
3
方程的根
方程的解也称为方程的根。
判别式及根的性质
01
判别式 $Delta = b^2 4ac$。
02
当 $Delta > 0$ 时，方 程有两个不相等的实数 根。
03
当 $Delta = 0$ 时，方 程有两个相等的实数根 （即一个重根）。
北师大版九年级数学上册2.1认识一元二次方程(教案)
-突破方法：通过图形演示和解的代入验证，让学生直观理解解的含义。
-体会直接开平方法和配方法的原理：这些解法对于学生来说是新的，理解其原理可能存在困难。
-突破方法：通过动态演示和逐步推导，让学生跟随步骤理解解法的原理和步骤。
-将解法应用于具体问题中：学生在面对具体问题时，可能不知道如何选择合适的解法。
在新课讲授环节，我注意到学生在理解一元二次方程的定义时存在一些困难，尤其是对a≠0这个条件的理解。我通过举例和图形演示来帮助他们理解，但从学生的反馈来看，可能还需要更多的时间和练习来巩固这一概念。
实践活动环节，分组讨论和实验操作进行得相当顺利。学生们的积极参与让我感到欣慰，他们通过实际操作对一元二次方程有了更直观的认识。然而，我也观察到一些学生在操作过程中遇到了难题，这提示我在未来的教学中需要提供更多的指导和鼓励。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了一元二次方程的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对一元二次方程的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
3.一元二次方程的一般形式：引导学生掌握一元二次方程的一般形式ax^2+bx+c=0（a≠0），并了解各部分名称及意义。
4.举例说明一元二次方程在现实生活中的应用：通过实际例子，让学生感受一元二次方程在实际问题中的应用价值。
5.解一元二次方程的方法：初步介绍解一元二次方程的几种常用方法，如直接开平方法、配方法等。
浙教版数学八年级下册2.1《一元二次方程》教案2
浙教版数学八年级下册2.1《一元二次方程》教案2一. 教材分析《一元二次方程》是初中数学的重要内容，也是八年级下册的教学重点。
通过学习一元二次方程，学生可以掌握方程的解法，提高解决实际问题的能力。
浙教版教材通过丰富的例题和习题，引导学生逐步掌握一元二次方程的解法，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了整式的加减、乘除运算，以及方程的基本概念。
但他们对一元二次方程的认识还较为模糊，解法也较陌生。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的认知基础，通过引导和启发，让学生逐步理解和掌握一元二次方程的解法。
三. 教学目标1.知识与技能：让学生掌握一元二次方程的定义、解法及其应用。
2.过程与方法：培养学生解决实际问题的能力，提高逻辑思维能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养合作、探究的精神。
四. 教学重难点1.重点：一元二次方程的定义、解法及应用。
2.难点：一元二次方程的解法，特别是因式分解法和求根公式的运用。
五. 教学方法1.启发式教学：教师通过提问、引导，激发学生的思考，让学生主动探索一元二次方程的解法。
2.案例教学：结合典型例题，分析一元二次方程的解法，提高学生的解题能力。
3.小组讨论：引导学生分组讨论，培养学生的合作精神和沟通能力。
六. 教学准备1.教学PPT：制作包含重点知识、例题、练习的教学PPT。
2.教案：提前准备教案，明确教学目标、重难点、教学方法等。
3.习题：准备适量的一元二次方程习题，用于巩固和拓展学生的知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式复习相关知识，如：什么是方程？什么是二次方程？引导学生回顾已学知识，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）教师展示一元二次方程的定义、解法及应用，让学生初步了解一元二次方程的基本概念。
3.操练（10分钟）教师给出典型例题，引导学生运用一元二次方程的解法进行解答。
在解答过程中，教师注意引导学生思考、讨论，以便发现解题规律。
湘教版数学九年级上册《2.1 一元二次方程》教学设计
湘教版数学九年级上册《2.1 一元二次方程》教学设计一. 教材分析湘教版数学九年级上册《2.1 一元二次方程》是整个初中数学的重要内容，为学生提供了理解代数和几何之间联系的途径。
本节内容通过引入一元二次方程，让学生掌握其定义、性质以及解法，从而培养学生解决实际问题的能力。
二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经掌握了整式、分式、函数等基础知识，具备了一定的代数运算能力。
但部分学生对抽象的一元二次方程可能会感到难以理解，因此需要教师在教学中注意引导，激发学生的学习兴趣，提高其自主学习能力。
三. 教学目标1.理解一元二次方程的定义及其相关性质；2.学会解一元二次方程的方法，提高解决问题的能力；3.培养学生的逻辑思维能力和团队合作精神。
四. 教学重难点1.一元二次方程的定义及其与实际问题的联系；2.一元二次方程的解法及其应用。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生主动探究一元二次方程的定义和性质；2.利用案例分析法，让学生了解一元二次方程在实际问题中的应用；3.运用小组合作学习法，培养学生的团队合作精神。
六. 教学准备1.准备相关案例，用于讲解一元二次方程的实际应用；2.设计具有代表性的练习题，巩固学生对知识点的掌握；3.制作课件，辅助教学。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过引入生活实例，如抛物线与x轴的交点问题，引导学生思考一元二次方程的定义。
2.呈现（10分钟）教师讲解一元二次方程的定义，让学生通过观察、分析、总结出一般形式。
同时，强调一元二次方程与实际问题的联系。
3.操练（10分钟）学生分组讨论，运用一元二次方程解决实际问题。
教师巡回指导，解答学生疑问。
4.巩固（10分钟）教师提出一系列练习题，让学生独立解答。
过程中，教师选取典型题目进行讲解，强调解题思路和方法。
5.拓展（10分钟）学生自主探究一元二次方程的解法。
教师引导学生发现各种解法之间的联系，总结出最优解法。
6.小结（5分钟）教师学生进行课堂小结，让学生回顾本节课所学内容，巩固知识点。
第2章 2.1一元二次方程
第2章 一元二次方程2.1一元二次方程一、复习提问 导入新课1．____________________________________________叫方程；_____________________________________________叫一元一次方程。
2． 我们知道了利用一元一次方程可以解决生活中的一些实际问题，利用一元一次方程解决实际问题的步骤是：二、解决问题 探究新知（一）独立思考 列出方程1． 剪一块面积为1502cm 的长方形铁片，师它的长比宽多5cm ，这块铁皮该怎么剪呢？如果铁皮的宽为x （cm ），那么铁皮的长为_________cm.根据题意，可得方程是：______________________2．6，求这两个数。
设其中较小的一个数位x ，请列出满足题意的方程__________________.3．正方形的面积是22cm ，求同它的边长？_______________________________________________.4．矩形花圃一面靠墙，另外三面所围得栅栏的总长度是19m ，如果花圃的面积是242m ，求花圃的长和宽。
__________________________________________________________.（二）观察方程 得出结论1.上面的方程有哪些共同的特点呢？你知道什么是一元二次方程了吗？2．结合上面的方程的特点你能够用一个式子表示一元二次方程的一般形式吗？3．20(0)ax bx c a ++= ≠其中______叫做二次项，a 叫做______,bx 叫做_______,b 叫做_______.c 是常数项。
（三）同步练习 掌握知识1．下面是一元二次方程吗？（填“是”或“否”）22222320()30()2310()50()2x x x x x -+= +-= -= -= -2．方程：3x(x-1)=2(x+2)+8（1）是一元二次方程吗？如果是一元二次方程请将它转化成一般形式。
2.1因式分解法解一元二次方程
一元二次方程的一般式是怎样的？
ax bx c 0
2
（a≠0）Байду номын сангаас
因式分解: 把一个多项式化成几个整式的积的形式 主要方法: (1)提取公因式法
(2)公式法: a2－b2=(a+b) (a－b) a2±2ab+b2=(a±b)2
(3)十字相乘法
在学习因式分解时，我们已经知道， 可以利用因式分解求出某些一元二次 方程的解
能说出你这节课的收获和体验让大家
与你分享吗？
例3 解方程x2=2√2x－2
1 2 x 2 x
2
2
8 0 3x
2
3 x 2
2 x 2
4 x x 12 36
方程两边同除以一个代数式,可能会造 成漏解,所以在解类似(3)这样的方程时 应特别小心.应先移项,再在左边用提公 因式法进行因式分解.
例2 解下列一元二次方程：
（1）（x－5) (3x－2)=10; (2) (3x－4)2=(4x－3)2.
解
3x2－17x=0.
x(3x－17)=0,
解：（3x－4)2－(4x－3)2=0. ［(3x－4)+(4x－3)］［ (3x－4)－(4x－3)］=0,
∴ x=0 ,或3x－17=0 即 (7x－7) (-x－1)=0. ∴ x1=0, x2=17／3 ∴7x－7=0,或 -x－1=0. ∴x1=1, x2=-1
2
结果是多少?
已 知 x y 2 x y 1 0, 则 x y 的 值 是 多 少 ?
2 2 2 2 2 2
有 一 天 , 一 个 醉 汉 拿 着 竹 竿 进 屋 ,横 拿 竖 拿 都 进 不 去 , 横 着 比 门 宽 4尺 ,竖 着 比 门 框 高 2尺 ,另 一 个 醉 汉 教 他 沿 着 门 的 两 个 对 角 斜 着 拿 竿 ,这 个 醉 汉 一 试 ,不 多 不 少 刚 好 进 去 了 ,你 知 道 竹 竿 有 多 长 吗 ?列 出 方 程 并 求 解.
第二章 2.1 2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系
2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系课标要求素养要求1.理解判别式的作用，掌握一元二次方程的解法：因式分解法(包括“十字相乘法”)，配方法和求根公式法(重点).2.掌握一元二次方程根与系数的关系(韦达定理).通过求一元二次方程的解集及根与系数关系的应用，提升逻辑推理和数学运算素养.教材知识探究利用恒等式的变形，推导一元二次方程根与系数的关系如下 设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)两根为x 1，x 2， 令ax 2＋bx ＋c ＝a (x －x 1)(x －x 2)＝ax 2－a (x 1＋x 2)x ＋ax 1x 2， ∴⎩⎨⎧b ＝－a （x 1＋x 2），c ＝ax 1x 2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－ba ，x 1x 2＝c a .1.一元二次方程的解集 (1)一般地，方程x 2＝t ：①当t >0时，解集为{t ，－t }； ②当t ＝0时，解集为{0}； ③当t <0时，解集为∅． (2)一般地，方程(x －k )2＝t ：①当t >0时，解集为{k ＋t ，k －t }； ②当t ＝0时，解集为{k }； ③当t <0时，解集为∅．(3)一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的判别式及求根公式判别式只能判定实系数(系数全都是实数)一元二次方程的解集的情况一般地，Δ＝b 2－4ac 称为一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的判别式．对一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，Δ>0⇔有两个不相等的实根；Δ＝0⇔有两个相等的实根；Δ<0⇔无实数根． 当Δ≥0时，x 1＝－b ＋b 2－4ac 2a ，x 2＝－b －b 2－4ac 2a 叫做一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的求根公式．(4)一元二次方程的解集 实系数一元二次方程有实数根的充要条件是Δ≥0 设ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0) ①当Δ＝b 2－4ac ＞0时，方程的解集为⎩⎭2a ，2a ； ②当Δ＝b 2－4ac ＝0时，方程的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－b 2a ；③当Δ＝b 2－4ac ＜0，方程的解集为∅. 是指在实数范围内方程无解． 2.一元二次方程根与系数的关系对任何Δ≥0的一元二次方程，根与系数的关系都成立设x 1，x 2是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根，则有⎩⎨⎧x 1＋x 2＝－b a，x 1x 2＝c a Ｗ.常用的几个变形：①x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2； ②(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2；③x 31＋x 32＝(x 1＋x 2)3－3x 1x 2(x 1＋x 2)； ④|x 1－x 2|＝（x 1－x 2）2＝（x 1＋x 2）2－4x 1x 2； ⑤1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2. 教材拓展补遗[微判断]1.ax 2＋bx ＋c ＝0(a ，b ，c 为常数)叫做一元二次方程.(×) 提示 当a ＝0时，不是一元二次方程.2.一元二次方程均可化为(x －k )2＝t 的形式.(√)3.一元二次方程解的情况由一元二次方程的系数完全确定.(√) [微训练]1.下列方程中，是关于x 的一元二次方程的是( ) A.3(x ＋1)2＝2(x ＋1)B.1x 2＋1x －2＝0C.ax 2＋bx ＋c ＝0D.x 2＋2x ＝x 2－1解析 A 中方程可化为3x 2＋4x ＋1＝0，是一元二次方程；B 中方程是关于1x 的一元二次方程；对C ，当a ＝0时，不是关于x 的一元二次方程；D 中方程可化为2x ＝－1，不是一元二次方程. 答案 A2.已知m 是方程x 2－x －1＝0的一个根，则代数式m 2－m 的值等于( ) A.－1 B.0 C.1D.2解析 由题意，m 2－m －1＝0，即m 2－m ＝1. 答案 C3.关于x 的一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0的两根分别为x 1＝2，x 2＝1，则p ，q 的值分别为( ) A.－3，2 B.3，－2 C.2，－3D.2，3解析 由根与系数的关系，得⎩⎨⎧2＋1＝－p ，2×1＝q ，∴⎩⎨⎧p ＝－3，q ＝2.答案 A [微思考]一元二次方程(系数均为实数)有两个根，它的解集是否一定有两个元素？ 提示 当一元二次方程的判别式为零时，方程有两个相等的实数根，其解集只有一个元素.题型一 一元二次方程判别式的应用【例1】 试证明：不论m 为何值，方程2x 2－(4m －1)x －m 2－m ＝0总有两个不相等的实数根.证明 ∵Δ＝[－(4m －1)]2－4×2×(－m 2－m )＝24m 2＋1＞0，∴不论m 为何值时，方程2x 2－(4m －1)x －m 2－m ＝0总有两个不相等的实数根. 规律方法 一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ，b ，c ∈R 且a ≠0)的实数根的情况可由Δ＝b 2－4ac 加以判定，即Δ＞0时，有两不相等的实数根；当Δ＝0时，有两个相等的实数根；当Δ＜0时，没有实数根. 【训练1】 不解方程，判别下列方程根的情况. (1)x 2－14x ＋12＝0；(2)4x 2＋12x ＋9＝0； (3)2x 2－3x ＋6＝0.解 (1)Δ＝(－14)2－4×1×12＝148＞0，∴x 2－14x ＋12＝0有两个不相等的实数根；(2)Δ＝122－4×4×9＝0，∴4x 2＋12＋9＝0有两个相等的实数根； (3)Δ＝(－3)2－4×2×6＝－39＜0，∴2x 2－3x ＋6＝0没有实数根. 题型二 换元法的应用【例2】 求方程1x 2－1x －1＝0的解集.解 令y ＝1x ≠0，则方程1x 2－1x －1＝0可化为y 2－y －1＝0， 由求根公式，得y 1＝1＋52或y 2＝1－52，即1x ＝1＋52或1x ＝1－52， ∴x ＝5－12或x ＝－5＋12，∴原方程的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－5＋12，5－12. 规律方法 通过引入新元y (y 为关于x 的代数式)，可把一些关于x 的方程化为关于y 的二次方程ay 2＋by ＋c ＝0(a ≠0)，从而求出y 的值，进而求出x 的值. 【训练2】 求下列方程的解集. (1)x 4－3x 2＋2＝0；(2)x ＋2x －1＝0； (3)(x 2－x )2－(x 2－x )－2＝0.解 (1)令y ＝x 2≥0，得y 2－3y ＋2＝0， ∴y ＝1或y ＝2，即x 2＝1或x 2＝2， ∴x ＝±1或x ＝± 2.∴原方程的解集为{－2，－1，1，2}. (2)令y ＝x ≥0，得y 2＋2y －1＝0， ∴y ＝－1＋2或y ＝－1－2(舍).从而x ＝－1＋2，即x ＝3－22， ∴原方程的解集为{3－22}.(3)令x 2－x ＝t ，得t 2－t －2＝0，∴t 1＝－1或t 2＝2， 即x 2－x ＋1＝0 ①或x 2－x －2＝0 ② 对①，Δ＝－3＜0，无实数解；对②，易得x ＝－1或x ＝2，故原方程的解集为{－1，2}. 题型三 一元二次方程根与系数关系的应用【例3】 已知关于x 的一元二次方程x 2－2x ＋m －1＝0有两个实数根x 1，x 2. (1)求m 的取值范围；(2)当x 21＋x 22＝6x 1x 2时，求m 的值.解 (1)由Δ＝(－2)2－4(m －1)＝－4(m －2)≥0，得m ≤2，即m 的取值范围是 (－∞，2].(2)由根与系数的关系，得⎩⎨⎧x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝m －1.∵x 21＋x 22＝6x 1x 2，∴(x 1＋x 2)2＝8x 1x 2，即22＝8(m －1)，解得m ＝32.∵32<2，∴m 的值为32.规律方法 运用根与系数的关系，注意两点(1)常见变形x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2，|x 1－x 2|＝（x 1＋x 2）2－4x 1x 2；(2)整体代入.【训练3】 已知关于x 的方程x 2－2(k －1)x ＋k 2＝0有两个实数根x 1，x 2. (1)求k 的取值范围；(2)若|x 1＋x 2|＝x 1x 2－1，求k 的值.解 (1)由Δ＝[－2(k －1)]2－4k 2＝4(1－2k )≥0，得k ≤12，即k 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12. (2)由根与系数的关系，得⎩⎨⎧x 1＋x 2＝2（k －1），x 1x 2＝k 2.∵|x 1＋x 2|＝x 1x 2－1，∴|2(k －1)|＝k 2－1 ①，∵k ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12，∴k －1≤－12，∴①可化为－2＝k ＋1，∴k ＝－3.一、素养落地1.通过学习求一元二次方程的解集提升运算素养；通过学习根与系数的关系提升逻辑推理和数学运算素养.2.求一元二次方程解集时，先用判别式判定解的情况再求解集.3.运用根与系数关系时，注意恒等变形和整体代入. 二、素养训练1.用配方法解下列方程时，配方有错误的是( ) A.x 2－2x －99＝0化为(x －1)2＝100 B.x 2＋8x ＋9＝0化为(x ＋4)2＝25 C.2t 2－7t －4＝0化为⎝ ⎛⎭⎪⎫t －742＝8116D.3y 2－4y －2＝0化为⎝ ⎛⎭⎪⎫y －232＝109解析 x 2＋8x ＋9＝0配方应为(x ＋4)2＝7.选B. 答案 B2.如果关于x 的方程ax 2＋x －1＝0有实数根，则a 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞ B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，＋∞ C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，0∪(0，＋∞) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0∪(0，＋∞) 解析 当a ＝0时，x ＝1，符合题意；当a ≠0时，由Δ＝12＋4a ≥0，得a ≥－14.综上，a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，＋∞.答案 B3.已知(x 2＋y 2＋1)(x 2＋y 2－3)＝5，则x 2＋y 2＝________.解析 令t ＝x 2＋y 2≥0，则原方程可化为(t ＋1)(t －3)＝5，即t 2－2t －8＝0. ∴t ＝4或t ＝－2(舍去)，故x 2＋y 2＝4. 答案 44.已知关于x 的方程x 2－kx ＋k －2＝0有两个正实根，则k 的取值范围是________.解析由题意得⎩⎨⎧（－k ）2－4（k －2）≥0，k ＞0，k －2＞0，解得k ＞2.答案 (2，＋∞)5.求作一个一元二次方程，使它的两根分别是方程6x 2－3x －2＝0的两根的平方. 解 设方程6x 2－3x －2＝0的两根为x 1，x 2， 则x 1＋x 2＝12，x 1x 2＝－13.由题意求作方程的两根为x 21，x 22，则x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝1112，x 21·x 22＝(x 1x 2)2＝19，故求作的一元二次方程为x 2－1112x ＋19＝0， 即为36x 2－33x ＋4＝0.基础达标一、选择题1.解方程(5x －1)2＝3(5x －1)的适当方法是( ) A.开平方法 B.配方法 C.公式法D.因式分解法解析 由(5x －1)2＝3(5x －1)，得(5x －1)(5x －4)＝0，再求解最简单.故选D. 答案 D2.如果x 2＋2(m －2)x ＋9是完全平方式，那么m 的值等于( ) A.5 B.5或－1 C.－1D.－5或－1解析 由题意m －2＝±3，∴m ＝5或m ＝－1. 答案 B3.下列结论正确的是( )A.若x 2＝4，则x ＝2B.若x 2－5xy －6y 2＝0(xy ≠0)，则x y ＝6或xy ＝－1 C.方程x (2x －1)＝2x －1的解集为{1} D.方程x 2－3x ＋2x －1＝0的解集为{1，2}解析 对A ，由x 2＝4，得x ＝±2；对B ，∵xy ≠0，∴方程两边同除以y 2得⎝ ⎛⎭⎪⎫x y 2－5x y －6＝0，∴x y ＝6或xy ＝－1；对C ，方程可化为(2x －1)(x －1)＝0，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，1；对D ，x ＝1时方程无意义.故选B. 答案 B4.已知α，β是一元二次方程x 2－5x －2＝0的两实数根，则α2＋αβ＋β2的值为( ) A.－1 B.9 C.23D.27解析 由根与系数的关系，得⎩⎨⎧α＋β＝5，αβ＝－2，则α2＋αβ＋β2＝(α＋β)2－αβ＝52＋2＝27. 答案 D5.小明和小华解同一个一元二次方程时，小明看错一次项，解得两根为2，－3，而小华看错常数项，解得两根为－2，5，那么原方程为( ) A.x 2－3x ＋6＝0 B.x 2－3x －6＝0 C.x 2＋3x －6＝0D.x 2＋3x ＋6＝0解析 设原方程为x 2＋mx ＋n ＝0，其两根为x 1，x 2，由题意，得⎩⎨⎧2×（－3）＝n ，－2＋5＝－m .∴m ＝－3，n ＝－6.选B. 答案 B 二、填空题6.设m ，n 分别为一元二次方程x 2＋2x －2 018＝0的两个实根，则m 2＋3m ＋n ＝________.解析 ∵m ，n 是方程x 2＋2x －2 018＝0的两根， ∴m 2＋2m －2 018＝0，即m 2＋2m ＝2 018，又m ＋n ＝－2，故m 2＋3m ＋n ＝(m 2＋2m )＋(m ＋n )＝2 018－2＝2 016. 答案 2 0167.已知方程x 2＋4x －2m ＝0的一个根α比另一个根β小4，则α＝________，β＝________，m ＝________.解析 由Δ＝16＋8m ＞0得m ＞－2，由题意α＝β－4，即α－β＝－4 ①，又α＋β＝－4 ②，由①②得α＝－4，β＝0，∴αβ＝0＝－2m ，m ＝0. 答案 －4 0 08.关于x 的一元二次方程x 2＋2x －2m ＋1＝0的两实数根为负，则实数m 的取值范围是________.解析 设方程两根为x 1，x 2，则x 1＜0，x 2＜0，∴⎩⎨⎧Δ≥0，x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝－2m ＋1＞0，∴0≤m ＜12. 答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，12 三、解答题9.求下列方程的解集：(1)x 4－2x 2－8＝0；(2)6x 2－1x －1＝0.解 (1)令y ＝x 2(y ≥0)，则原方程可变为y 2－2y －8＝0，∴y ＝4或y ＝－2(舍去)，即x 2＝4，∴x ＝±2，∴原方程的解集为{2，－2}. (2)令y ＝1x ≠0，则原方程可化为6y 2－y －1＝0， ∴(3y ＋1)(2y －1)＝0， ∴y ＝－13或12，即1x ＝－13或12，∴x ＝－3或2，∴原方程的解集为{－3，2}.10.设x 1，x 2是方程3x 2－2x －4＝0的两根，不解方程，求下列各式的值； (1)1x 1＋1x 2；(2)x 2x 1＋x 1x 2；(3)(x 1－x 2)2；(4)x 31＋x 32.解由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝23，x 1x 2＝－43.(1)1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2＝－12.(2)x 2x 1＋x 1x 2＝x 21＋x 22x 1x 2＝（x 1＋x 2）2－2x 1x 2x 1x 2＝（x 1＋x 2）2x 1x 2－2＝－13－2＝－73.(3)(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝529.(4)x 31＋x 32＝(x 1＋x 2)(x 21－x 1x 2＋x 22)＝(x 1＋x 2)[(x 1＋x 2)2－3x 1x 2] ＝(x 1＋x 2)3－3x 1x 2(x 1＋x 2)＝8027.能力提升11.已知x 1，x 2是一元二次方程(a －6)x 2＋2ax ＋a ＝0的两个实数根.(1)是否存在a ，使－x 1＋x 1x 2＝4＋x 2成立？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由.(2)求使(x 1＋1)(x 2＋1)为负整数的实数a 的整数值. 解 由题意知⎩⎨⎧a －6≠0，Δ＝（2a ）2－4a （a －6）≥0，∴a ≥0且a ≠6.由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－2aa －6，x 1x 2＝aa －6.(1)若－x 1＋x 1x 2＝4＋x 2， 则x 1＋x 2＋4＝x 1x 2， 即4－2a a －6＝aa －6，∴a ＝24. 故满足条件的a 存在，且a ＝24.(2)∵(x 1＋1)(x 2＋1)＝(x 1＋x 2)＋x 1x 2＋1＝a a －6－2aa －6＋1＝－6a －6为负整数，∴a 可取的整数为7，8，9，12.12.已知一元二次方程x 2－4x ＋k ＝0有两个不相等的实数根.(1)求k 的取值范围；(2)如果k 是符合条件的最大整数，且x 2－4x －k ＝0与x 2＋mx ＋1＝0有一个根相同，求此时m 的值.解 (1)由题意Δ＝(－4)2－4k ＝4(4－k )＞0，∴k <4.即k 的取值范围为(－∞，4).(2)∵k ∈(－∞，4)，∴k 的最大整数为k ＝3.∴方程x 2－4x －k ＝0即x 2－4x －3＝0的解集为{2－7，2＋7}.设方程x 2＋mx ＋1＝0的两根为x 1，x 2，则⎩⎨⎧x 1＋x 2＝－m ，x 1x 2＝1.若方程x 2＋mx ＋1＝0的一个根为2－7，则另一个根为12－7＝－2＋73， 此时m ＝－(x 1＋x 2)＝－⎝⎛⎭⎪⎫2－7－2＋73＝－4＋473. 若方程x 2＋mx ＋1＝0的一个根为2＋7，则另一个根为12＋7＝－2＋73， 此时m ＝－(x 1＋x 2)＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋7＋－2＋73＝－4＋473.。
2.1认识一元二次方程(教案)
-理解一元二次方程的定义中a、b、c的含义，尤其是a≠0的条件，这是学生容易混淆的地方。
-公式法的记忆与运用：一元二次方程求解公式x = [-b ± √(b^2 - 4ac)] / (2a)的使用，学生对公式中的符号容易混淆。
-判别式Δ的应用：学生需要理解Δ与方程解的关系，以及不同Δ值对应的解的情况（有两个实数解、一个实数解、无实数解）。
2.1认识一元二次方程（教案）
一、教学内容
本节课选自教材第二章第一节“认识一元二次方程”。教学内容主要包括以下几部分：
1.一元二次方程的定义：让学生理解什么是一元二次方程，掌握其一般形式：ax^2 + bx + c = 0（a、b、c是常数，且a≠0）。
2.一元二次方程的解：介绍一元二次方程的解的概念，即能使方程左右两边相等的未知数的值。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“一元二次方程在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是“认识一元二次方程”这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要解决两个未知数的问题？”（如：苹果和香蕉的总价与单价问题）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索一元二次方程的奥秘。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
中职数学2.1一元二次方程
一次项系数
大胆试一试：
填上适当的数或式,使下列各等式成立.
(1) x2 6x 32 =( x+ 3)2 (2) x2 8x 42 =( x 4)2
观察(1)(2)看所填的常 数与一次项系数之间
有什么关系?
(3) x2 4x 22=( x 2 )2
(4) x2 共同点：
px
(
p 2
)2=(
x
p
2 )2
左边:所填常数等于一次项系数一半的平方.
合作交流探究新知
问题： 要使一块矩形场地的长比宽多6m，并且 面积为16m2， 场地的长和宽应各是多少？
（1）解：设场地宽为X米，则长为（x+6）米，根据题意得:
X（X+6） = 16 整理得：X2+6X－16 = 0
x 2 6 x 16 0
移项
x 2 6 x 16
两边加上32,使左边配成
x2 2bx b2的形式
x 2 6 x 32 16 32
左边写成完全平方形式
( x 3)2 25
降次
x 3 5
x 3 5, x Βιβλιοθήκη 3 5得 : x 2, x 8
1
2
例1: 用配方法解方程
x2 6x 7 0
解: 移项得：x2 6x 7
配方得：x2 6x 32 7 32
即 (x 3)2 16
开平方得： x 3 4
∴原方程的解为：x1 1, x2 7
范例研讨运用新知
例2: 你能用配方法解方程
2x2 x 6 0 吗？
解:
化二次项系数为1得：x2
1 2
x
3
0
移项得： x2 1 x 3