专题11+空间中的平行与垂直(热点难点突破)-2018年高考数学(文)考纲解读与热点难点突破
空间中的平行与垂直例题和知识点总结
空间中的平行与垂直例题和知识点总结在立体几何的学习中，空间中的平行与垂直关系是非常重要的内容。
理解和掌握这些关系，对于解决相关的几何问题具有关键作用。
下面我们通过一些例题来深入探讨，并对相关知识点进行总结。
一、平行关系（一）线线平行1、定义：如果两条直线在同一平面内没有公共点，则这两条直线平行。
2、判定定理：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行。
例 1：在正方体 ABCD A₁B₁C₁D₁中，E，F 分别是 AB，BC 的中点，求证：EF∥A₁C₁。
证明：连接 AC，因为 E，F 分别是 AB，BC 的中点，所以 EF∥AC。
又因为正方体中，AC∥A₁C₁，所以 EF∥A₁C₁。
（二）线面平行1、定义：如果一条直线与一个平面没有公共点，则称这条直线与这个平面平行。
2、判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
例 2：已知四棱锥 P ABCD 的底面是平行四边形，M 是 PC 的中点，求证：PA∥平面 MBD。
证明：连接 AC 交 BD 于 O，连接 MO。
因为四边形 ABCD 是平行四边形，所以 O 是 AC 的中点。
又因为 M 是 PC 的中点，所以MO∥PA。
因为 MO⊂平面 MBD，PA⊄平面 MBD，所以 PA∥平面MBD。
（三）面面平行1、定义：如果两个平面没有公共点，则称这两个平面平行。
2、判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。
例 3：在正方体 ABCD A₁B₁C₁D₁中，求证：平面 A₁BD∥平面 B₁D₁C。
证明：因为 A₁B∥D₁C，A₁D∥B₁C，且 A₁B 和 A₁D 是平面A₁BD 内的两条相交直线，D₁C 和 B₁C 是平面 B₁D₁C 内的两条相交直线，所以平面 A₁BD∥平面 B₁D₁C。
二、垂直关系（一）线线垂直1、定义：如果两条直线所成的角为 90°，则这两条直线垂直。
空间几何中的平行与垂直
空间几何中的平行与垂直在空间几何中，平行和垂直是两个重要的概念。
它们用来描述线、面和空间中的关系，帮助我们理解和解决各种几何问题。
本文将介绍平行和垂直的定义、判定方法，以及它们在空间几何中的应用。
一、平行的定义和判定在平面几何中，我们知道两条直线要想平行，它们的斜率必须相等。
但是在空间几何中，直线不再只有斜率这一个属性，因此平行的定义也有所不同。
在空间中，我们把两条直线称为平行线，当且仅当它们处于不同平面上，且不相交。
也就是说，两条平行线可以看作是两个相互平行且不相交的平面上的交线。
判定平行的方法有以下几种：1. 通过判断两条直线的方向向量是否平行。
如果两条直线的方向向量相等或成比例，那么它们是平行的。
2. 通过判断两条直线上的一点到另一条直线的垂足距离是否为0。
如果两条直线上的所有垂足距离都为0，那么它们是平行的。
3. 通过判断两个平面的法向量是否平行。
如果两个平面的法向量相等或成比例，那么它们是平行的。
二、垂直的定义和判定在空间几何中，垂直用来描述直线、平面和空间中的相互关系。
两条直线、两个平面或一条直线与一个平面之间的垂直关系都具有重要意义。
在空间中，我们把两条直线称为垂直线，当且仅当它们在某个平面上相交，并且互相垂直。
也就是说，两条垂直线可以看作是相互垂直的平面上的交线。
判定垂直的方法有以下几种：1. 通过判断两条直线的方向向量的数量积是否为0。
如果两条直线的方向向量的数量积为0，那么它们是垂直的。
2. 通过判断直线上的一点到另一条直线的垂足是否在另一条直线上。
如果两条直线上的所有垂足都在另一条直线上，那么它们是垂直的。
3. 通过判断一条直线的方向向量是否与一个平面的法向量垂直。
如果一条直线的方向向量与一个平面的法向量垂直，那么它们是垂直的。
三、平行和垂直的应用平行和垂直在空间几何中有着广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：1. 平行线的应用：平行线可用于构建平行四边形、矩形等各种图形。
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【2017年高考考纲解读】高考对本内容的考查主要有：(1)主要考查空间概念，空间想象能力，点线面位置关系判断，表面积与体积计算等，A级要求(2)主要考查线线、线面、面面平行与垂直的证明，B级要求【重点、难点剖析】1．直线、平面平行的判定及其性质(1)线面平行的判定定理：a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α.(2)线面平行的性质定理：a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b.(3)面面平行的判定定理：a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α⇒α∥β.(4)面面平行的性质定理：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b.2．平行关系的转化两平面平行问题常常可以转化为直线与平面的平行，而直线与平面平行又可转化为直线与直线平行，所以要注意转化思想的应用，以下为三种平行关系的转化示意图．3．直线、平面垂直的判定及其性质(1)线面垂直的判定定理：m⊂α，n⊂α，m∩n＝P，l⊥m，l⊥n⇒l⊥α.(2)线面垂直的性质定理：a⊥α，b⊥α⇒a∥b.(3)面面垂直的判定定理：a⊂β，a⊥α⇒α⊥β.(4)面面垂直的性质定理：α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β.4．垂直关系的转化与平行关系之间的转化类似，它们之间的转化如下示意图．在垂直的相关定理中，要特别注意记忆面面垂直的性质定理：两个平面垂直，在一个平面内垂直于它们交线的直线必垂直于另一个平面，当题目中有面面垂直的条件时，一般都要用此定理进行转化.【题型示例】题型一 空间几何体的认识及表面积与体积的计算【例1】 【2016高考新课标1卷】如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.则它的表面积是（ ） （A ）17π （B ）18π （C ）20π （D ）28π【答案】A【变式探究】【2016高考新课标2理数】下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）（A ）20π （B ）24π （C ）28π （D ）32π【答案】C【解析】由题意可知，圆柱的侧面积为12π2416πS =⋅⋅=，圆锥的侧面积为2π248πS =⋅⋅=，圆柱的底面面积为23π24πS =⋅=，故该几何体的表面积为12328πS S S S =++=，故选C.【方法技巧】空间几何体的三视图是从空间几何体的正面、左面、上面用平行投影的方法得到的三个平面投影图，因此在分析空间几何体的三视图问题时，先根据俯视图确定几何体的底面，然后根据正视图或侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应的棱、面的位置，再确定几何体的形状，即可得到结果．【举一反三】(2015·北京，5)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是( )A ．2＋ 5B ．4＋ 5C ．2＋2 5D ．5【答案】 C【变式探究】(1)(2014·安徽)一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为( )A ．21＋ 3B ．18＋ 3C ．21D ．18(2)(2014·辽宁)某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．8－2πB ．8－πC ．8－π2D ．8－π4【特别提醒】(1)本题主要考查空间几何体的三视图、直观图，表面积的计算．能够通过几何体的三视图还原出直观图，意在考查考生的空间想象能力，并通过对几何体的表面积计算，考查考生的运算求解能力．(2)本题主要考查三视图、几何体的体积等知识，意在考查考生的空间想象能力和运算求解能力．【答案】(1)A (2)B【解析】(1)根据几何体的三视图画出其直观图，根据直观图特征求其表面积．(2)直观图为棱长为2的正方体割去两个底面半径为1的14圆柱，所以该几何体的体积为23－2×π×12×2×14＝8－π，故选B. 【感悟提升】1．根据几何体的三视图求其表面积与体积的三步法(1)根据给出的三视图判断该几何体的形状；(2)由三视图中的大小标示确定该几何体的各个度量；(3)套用相应的面积公式与体积公式计算求解．2．求解几何体的表面积及体积的技巧(1)求几何体的表面积及体积问题，熟记公式是关键所在．求三棱锥的体积，等体积转化是常用的方法，转换原则是其高易求，底面放在已知几何体的某一面上．(2)求不规则几何体的体积，常用分割或补形的思想，将不规则几何体转化为规则几何体以易于求解．【变式探究】 (2015·浙江，2)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积是( )A ．8 cm 3B ．12 cm 3 C.323 cm 3 D.403cm 3 【答案】 C【规律方法】涉及柱、锥、台、球及其简单组合体的侧面积和体积的计算问题，要在正确理解概念的基础上，画出符合题意的图形或辅助线(面)，分析几何体的结构特征，选择合适的公式，进行计算．另外要重视空间问题平面化的思想和割补法、等积转换法的运用．【变式探究】(2015·新课标全国Ⅰ，11)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16＋20π，则r ＝( )A ．1B ．2C ．4D ．8 【答案】 B【解析】 由题意知，2r ·2r ＋12·2πr ·2r ＋12πr 2＋12πr 2＋12·4πr 2＝4r 2＋5πr 2＝16＋20π，解得r ＝2.题型二 空间中点线面位置关系的判断【例2】 【2016高考江苏卷】(本小题满分14分)如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，D ，E 分别为AB ，BC 的中点，点F 在侧棱B 1B 上，且11B D A F ⊥ ，1111AC A B ⊥.求证：（1）直线DE ∥平面A 1C 1F ；（2）平面B 1DE ⊥平面A 1C 1F .【答案】（1）详见解析（2）详见解析【举一反三】(2015·安徽，5)已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是( )A．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行B．若m，n平行于同一平面，则m与n平行C．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线D．若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面【答案】 D【变式探究】如图，在直三棱柱ABC －A ′B ′C ′中，AB ＝AA ′＝AC ＝2，∠BAC ＝2π3，点D ，E 分别是BC ，A ′B ′的中点．(1)求证：DE ∥平面ACC ′A ′；(2)求二面角B ′－AD －C ′的余弦值．【解析】(1)证明：取AC 的中点F ，连接DF ，A ′F ，则DF ∥AB ，又A ′E ∥AB ，所以DF ∥A ′E ，又因为DF ＝12AB ，A ′E ＝12AB ， 所以DF ＝AE ，所以四边形DFA ′E 是平行四边形，所以ED ∥A ′F ，又A ′F ⊂平面ACC ′A ′，所以ED ∥平面ACC ′A ′.【变式探究】设α，β，γ是三个不重合的平面，l 是直线，给出下列四个命题：①若α⊥β，l ⊥β，则l ∥α；②若l ⊥α，l ∥β，则α⊥β；③若l 上有两点到α的距离相等，则l ∥α；④若α⊥β，α∥γ，则γ⊥β.其中正确命题的序号是________．【答案】②④【解析】由线线、线面、面面平行与垂直的判定与性质定理逐个判断，真命题为②④.【规律方法】这类题为高考常考题型，其实质为多项选择．主要考查空间中线面之间的位置关系，要求熟悉有关公理、定理及推论，并具备较好的空间想象能力，做到不漏选、多选、错选．【变式探究】(2015·浙江，13)如图，三棱锥A －BCD 中，AB ＝AC ＝BD ＝CD ＝3，AD ＝BC ＝2，点M ，N 分别是AD ，BC 的中点，则异面直线AN ，CM 所成的角的余弦值是________．【答案】 78【解析】 连接DN ，作DN 的中点O ，连接MO ，OC .在△AND 中．M 为AD 的中点，则OM 綉12AN .所以异面直线AN ，CM 所成角为∠CMO ，在△ABC 中，AB ＝AC ＝3，BC ＝2，则AN ＝22，∴OM ＝ 2.在△ACD 中，同理可知CM ＝22，在△BCD 中，DN ＝22，在Rt △ONC 中，ON ＝2，CN＝1∴OC ＝ 3.在△CMO 中，由余弦定理cos ∠CMO ＝|MC |2＋|MO |2－|OC |22|MC |·|MO |＝8＋2－32×22×2＝78. 题型三 线线、线面、面面平行与垂直的证明【例3】【2016高考江苏卷】(本小题满分14分)如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，D ，E 分别为AB ，BC 的中点，点F 在侧棱B 1B 上，且11B D A F ⊥ ，1111AC A B ⊥.求证：（1）直线DE ∥平面A 1C 1F ；（2）平面B 1DE ⊥平面A 1C 1F .【答案】（1）详见解析（2）详见解析因为1B D ⊂平面11ABB A ，所以111A C B D ⊥又因为1111111111111C F,C F,B D A A C A A F A A C A F A ⊥⊂⊂=F ，平面平面所以111C F B D A ⊥平面 因为直线11B D B DE ⊂平面，所以1B DE 平面11.A C F ⊥平面【举一反三】(2015·江苏，16)如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，已知AC ⊥BC ，BC ＝CC 1.设AB 1的中点为D ，B 1C ∩BC 1＝E .求证：(1)DE ∥平面AA 1C 1C ；(2)BC 1⊥AB 1.因此BC 1⊥B 1C .因为AC，B1C⊂平面B1AC，AC∩B1C＝C，所以BC1⊥平面B1AC.又因为AB1⊂平面B1AC，所以BC1⊥AB1.【举一反三】(2014·浙江)如图，在四棱锥A－BCDE中，平面ABC⊥平面BCDE，∠CDE＝∠BED＝90°，AB＝CD＝2，DE＝BE＝1，AC＝ 2.(1)证明：DE⊥平面ACD；(2)求二面角B－AD－E的大小．【命题意图】本题主要考查空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，空间向量的应用，同时考查空间想象能力、推理论证和运算求解能力．解法二：以D 为原点，分别以射线DE ，DC 为x ，y 轴的正半轴，建立空间直角坐标系D －xyz ，如图所示．由题意知各点坐标如下：D (0,0,0)，E (1,0,0)，C (0,2,0)，A (0,2，2)，B (1,1,0)． 设平面ADE 的法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)，平面ABD 的法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)．可算得AD →＝(0，－2，－2)，AE →＝(1，－2，－2)，DB →＝(1,1,0)，由⎩⎪⎨⎪⎧ m ·AD →＝0，m ·AE →＝0，即⎩⎨⎧ －2y 1－2z 1＝0，x 1－2y 1－2z 1＝0.可取m ＝(0,1，－2)． 由⎩⎪⎨⎪⎧ n ·AD →＝0，n ·DB →＝0，即⎩⎨⎧ －2y 2－2z 2＝0，x 2＋y 2＝0，可取n ＝(1，－1，2)．于是|cos 〈m ，n 〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪m·n |m ||n |＝33×2＝32. 由题意可知，所求二面角是锐角，故二面角B －AD －E 的大小是π6. 【变式探究】如图，在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，A 1B 1＝A 1C 1，D ，E 分别是棱BC ，CC 1上的点(点D 不同于点C )，且AD ⊥DE ，F为B 1C 1的中点．求证：(1)平面ADE ⊥平面BCC 1B 1；(2)直线A 1F ∥平面ADE .【规律方法】证明或探究空间中线线、线面、面面平行与垂直的位置关系，一要熟练掌握所有判定定理与性质定理，梳理好几种位置关系的常见证明方法，如证明线面平行，既可以构造线线平行，也可以构造面面平行．而证明线线平行常用的是三角形中位线性质，或构造平行四边形；二要用分析与综合相结合的方法来寻找证明的思路；三要注意表述规范，推理严谨，避免使用一些虽然正确但不能作为推理依据的结论．【变式探究】如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥DC，∠ABC＝45°，DC＝1，AB ＝2，PA⊥平面ABCD，PA＝1.(1)求证：AB∥平面PCD；(2)求证：BC⊥平面PAC；(3)若M是PC的中点，求三棱锥MACD的体积．。
2018届高考数学(全国通用)二轮复习中档大题精品讲义 第5讲 空间中的平行与垂直
第5讲 空间中的平行与垂直[明考情]高考中对直线和平面的平行、垂直关系交汇综合命题，多以棱柱、棱锥、棱台或简单组合体为载体进行考查，难度中档偏下. [知考向]1.空间中的平行关系.2.空间中的垂直关系.3.平行和垂直的综合应用.考点一 空间中的平行关系方法技巧 (1)平行关系的基础是线线平行，比较常见的是利用三角形中位线构造平行关系，利用平行四边形构造平行关系.(2)证明过程中要严格遵循定理中的条件，注意推证的严谨性.1.如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点N 在BD 上，点M 在B 1C 上，且CM ＝DN ，求证：MN ∥平面AA 1B 1B .证明 如图所示，作ME ∥BC 交BB 1于点E ，作NF ∥AD 交AB 于点F ，连接EF ，则EF ⊂平面AA 1B 1B .∵ME ∥BC ，NF ∥AD ， ∴ME BC ＝B 1M B 1C ，NF AD ＝BN BD. 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中， ∵CM ＝DN ， ∴B 1M ＝NB .又B 1C ＝BD ， ∴ME BC ＝BN BD ＝NFAD，又BC ＝AD ，∴ME ＝NF . 又ME ∥BC ∥AD ∥NF ， ∴四边形MEFN 为平行四边形， ∴MN ∥EF .又EF ⊂平面AA 1B 1B ，MN ⊄平面AA 1B 1B ， ∴MN ∥平面AA 1B 1B .2.(2017·全国Ⅰ)如图，在四棱锥P －ABCD 中，AB ∥CD ，且∠BAP ＝∠CDP ＝90°.(1)证明：平面P AB ⊥平面P AD ；(2)若P A ＝PD ＝AB ＝DC ，∠APD ＝90°，且四棱锥P －ABCD 的体积为83，求该四棱锥的侧面积.(1)证明 由已知∠BAP ＝∠CDP ＝90°， 得AB ⊥P A ，CD ⊥PD .由于AB ∥CD ，故AB ⊥PD ，从而AB ⊥平面P AD . 又AB ⊂平面P AB ， 所以平面P AB ⊥平面P AD .(2)解 如图，在平面P AD 内作PE ⊥AD ，垂足为E .由(1)知，AB ⊥平面P AD ， 故AB ⊥PE ，AB ⊥AD ， 所以PE ⊥平面ABCD .设AB ＝x ，则由已知可得AD ＝2x ，PE ＝22x ， 故四棱锥P －ABCD 的体积V P －ABCD ＝13AB ·AD ·PE ＝13x 3.由题设得13x 3＝83，故x ＝2.从而结合已知可得P A ＝PD ＝AB ＝DC ＝2， AD ＝BC ＝22，PB ＝PC ＝22，可得四棱锥P －ABCD 的侧面积为12P A ·PD ＋12P A ·AB ＋12PD ·DC ＋12BC 2sin60°＝6＋2 3.3.(2017·龙岩市新罗区校级模拟)如图，O是圆锥底面圆的圆心，圆锥的轴截面P AB为等腰直角三角形，C为底面圆周上一点.(1)若弧BC的中点为D，求证：AC∥平面POD；(2)如果△P AB的面积是9，求此圆锥的表面积.(1)证明方法一设BC∩OD＝E，∵D是弧BC的中点，∴E是BC的中点.又∵O是AB的中点，∴AC∥OE.又∵AC⊄平面POD，OE⊂平面POD，∴AC∥平面POD.方法二∵AB是底面圆的直径，∴AC⊥BC.∵弧BC的中点为D，∴OD⊥BC.又AC，OD共面，∴AC∥OD.又AC⊄平面POD，OD⊂平面POD，∴AC∥平面POD.(2)解设圆锥底面半径为r，高为h，母线长为l，∵圆锥的轴截面P AB为等腰直角三角形，∴h＝r，l＝2r.由S△P AB＝12×2r×h＝r2＝9，得r＝3，∴S表＝πrl＋πr2＝πr×2r＋πr2＝9(1＋2)π.4.如图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，且AB＝2CD，在棱AB上是否存在一点F，使平面C1CF∥平面ADD1A1？若存在，求点F的位置；若不存在？请说明理由.解存在这样的点F，使平面C1CF∥平面ADD1A1，此时点F为AB的中点，证明如下：∵AB∥CD，AB＝2CD，∴AF綊CD，∴四边形AFCD是平行四边形，∴AD∥CF.又AD⊂平面ADD1A1，CF⊄平面ADD1A1，∴CF∥平面ADD1A1.又CC1∥DD1，CC1⊄平面ADD1A1，DD1⊂平面ADD1A1，∴CC1∥平面ADD1A1.又CC1，CF⊂平面C1CF，CC1∩CF＝C，∴平面C1CF∥平面ADD1A1.考点二空间中的垂直关系方法技巧判定直线与平面垂直的常用方法(1)利用线面垂直定义.(2)利用线面垂直的判定定理，一条直线与平面内两条相交直线都垂直，则这条直线与平面垂直.(3)利用线面垂直的性质，两平行线中的一条垂直于平面，则另一条也垂直于这个平面.(4)利用面面垂直的性质定理，两平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面.5.如图所示，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD＝DE＝2AB，F为CD的中点.求证：(1)AF∥平面BCE；(2)平面BCE ⊥平面CDE .证明 (1)如图，取CE 的中点G ，连接FG ，BG .∵F 为CD 的中点，∴GF ∥DE 且GF ＝12DE .∵AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ， ∴AB ∥DE ，∴GF ∥AB . 又AB ＝12DE ，∴GF ＝AB .∴四边形GF AB 为平行四边形， ∴AF ∥BG .∵AF ⊄平面BCE ，BG ⊂平面BCE ， ∴AF ∥平面BCE .(2)∵△ACD 为等边三角形，F 为CD 的中点， ∴AF ⊥CD .∵DE ⊥平面ACD ，AF ⊂平面ACD ，∴DE ⊥AF . 又CD ∩DE ＝D ，故AF ⊥平面CDE . ∵BG ∥AF ，∴BG ⊥平面CDE .∵BG ⊂平面BCE ，∴平面BCE ⊥平面CDE .6.(2017·全国Ⅲ)如图，在四面体ABCD 中，△ABC 是正三角形，AD ＝CD .(1)证明：AC ⊥BD ；(2)已知△ACD 是直角三角形，AB ＝BD ，若E 为棱BD 上与D 不重合的点，且AE ⊥EC ，求四面体ABCE 与四面体ACDE 的体积比. (1)证明 如图，取AC 的中点O ，连接DO ，BO .因为AD ＝CD ，所以AC ⊥DO . 又由于△ABC 是正三角形，所以AC ⊥BO . 又DO ∩OB ＝O ，所以AC ⊥平面DOB ，故AC ⊥BD . (2)解 连接EO .由(1)及题设知∠ADC ＝90°，所以DO ＝AO . 在Rt △AOB 中，BO 2＋AO 2＝AB 2.又AB ＝BD ，所以BO 2＋DO 2＝BO 2＋AO 2＝AB 2＝BD 2，故∠DOB ＝90°. 由题设知△AEC 为直角三角形，所以EO ＝12AC .又△ABC 是正三角形，且AB ＝BD ，所以EO ＝12BD .故E 为BD 的中点，从而E 到平面ABC 的距离为D 到平面ABC 的距离的12，四面体ABCE的体积为四面体ABCD 的体积的12，即四面体ABCE 与四面体ACDE 的体积之比为1∶1.7.(2017·南京一模)如图，在六面体ABCDE 中，平面DBC ⊥平面ABC ，AE ⊥平面ABC .(1)求证：AE ∥平面DBC ；(2)若AB ⊥BC ，BD ⊥CD ，求证：AD ⊥DC . 证明 (1)过点D 作DO ⊥BC ，O 为垂足.∵平面DBC ⊥平面ABC ，平面DBC ∩平面ABC ＝BC ，DO ⊂平面DBC ， ∴DO ⊥平面ABC .又AE ⊥平面ABC ，则AE ∥DO .又AE ⊄平面DBC ，DO ⊂平面DBC ，故AE ∥平面DBC .(2)由(1)知，DO ⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC ， ∴DO ⊥AB .又AB ⊥BC ，且DO ∩BC ＝O ，DO ，BC ⊂平面DBC ， ∴AB ⊥平面DBC . ∵DC ⊂平面DBC ，∴AB⊥DC.又BD⊥CD，AB∩DB＝B，AB，DB⊂平面ABD，则DC⊥平面ABD.又AD⊂平面ABD，故可得AD⊥DC.8.已知四棱锥S－ABCD的底面ABCD为正方形，顶点S在底面ABCD上的射影为其中心O，高为3，设E，F分别为AB，SC的中点，且SE＝2，M为CD边上的点.(1)求证：EF∥平面SAD；(2)试确定点M的位置，使得平面EFM⊥底面ABCD.(1)证明取SB的中点P，连接PF，PE.∵F为SC的中点，∴PF∥BC，又底面ABCD为正方形，∴BC∥AD，即PF∥AD，又PE∥SA，∴平面PFE∥平面SAD.∵EF⊂平面PFE，∴EF∥平面SAD.(2)解连接AC，AC的中点即为点O，连接SO，由题意知SO⊥平面ABCD，取OC的中点H，连接FH，则FH∥SO，∴FH⊥平面ABCD，∴平面EFH⊥平面ABCD，连接EH并延长，则EH与DC的交点即为M点.连接OE，由题意知SO＝3，SE＝2.∴OE ＝1，AB ＝2，AE ＝1， ∴MC AE ＝HC HA ＝13， ∴MC ＝13AE ＝16CD ，即点M 在CD 边上靠近C 点距离为16的位置.考点三 平行和垂直的综合应用方法技巧 空间平行、垂直关系证明的主要思想是转化，即通过判定、性质定理将线线、线面、面面之间的平行、垂直关系相互转化.9.如图，在四棱锥P －ABCD 中，平面P AD ⊥平面ABCD ，AB ＝AD ，∠BAD ＝60°，E ，F 分别是AP ，AD 的中点.求证：(1)直线EF ∥平面PCD ； (2)平面BEF ⊥平面P AD .证明 (1)在△P AD 中，∵E ，F 分别为AP ，AD 的中点， ∴EF ∥PD .又∵EF ⊄平面PCD ，PD ⊂平面PCD ， ∴直线EF ∥平面PCD . (2)如图，连接BD .∵AB ＝AD ，∠BAD ＝60°， ∴△ADB 为正三角形. ∵F 是AD 的中点， ∴BF ⊥AD .∵平面P AD ⊥平面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，BF ⊂平面ABCD ， ∴BF ⊥平面P AD . 又∵BF ⊂平面BEF ， ∴平面BEF ⊥平面P AD .10.(2017·山东)由四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1截去三棱锥C 1－B 1CD 1后得到的几何体如图所示.四边形ABCD为正方形，O为AC与BD的交点，E为AD的中点，A1E⊥平面ABCD.(1)证明：A1O∥平面B1CD1；(2)设M是OD的中点，证明：平面A1EM⊥平面B1CD1.证明(1)取B1D1的中点O1，连接CO1，A1O1，由于ABCD－A1B1C1D1是四棱柱，所以A1O1∥OC，A1O1＝OC，因此四边形A1OCO1为平行四边形，所以A1O∥O1C.又O1C⊂平面B1CD1，A1O⊄平面B1CD1，所以A1O∥平面B1CD1.(2)因为AC⊥BD，E，M分别为AD和OD的中点，所以EM⊥BD，又A1E⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以A1E⊥BD.因为B1D1∥BD，所以EM⊥B1D1，A1E⊥B1D1.又A1E，EM⊂平面A1EM，A1E∩EM＝E，所以B1D1⊥平面A1EM.又B1D1⊂平面B1CD1，所以平面A1EM⊥平面B1CD1.11.(2017·汉中二模)如图，在棱长均为4的三棱柱ABC－A1B1C1中，D，D1分别是BC和B1C1的中点.(1)求证：A1D1∥平面AB1D；(2)若平面ABC⊥平面BCC1B1，∠B1BC＝60°，求三棱锥B1－ABC的体积.(1)证明连接DD1，在三棱柱ABC－A1B1C1中，∵D ，D 1分别是BC 和B 1C 1的中点， ∴B 1D 1∥BD ，且B 1D 1＝BD ， ∴四边形B 1BDD 1为平行四边形， ∴BB 1∥DD 1，且BB 1＝DD 1. 又∵AA 1∥BB 1，AA 1＝BB 1， ∴AA 1∥DD 1，AA 1＝DD 1， ∴四边形AA 1D 1D 为平行四边形， ∴A 1D 1∥AD .又∵A 1D 1⊄平面AB 1D ，AD ⊂平面AB 1D ， ∴A 1D 1∥平面AB 1D .(2)解 在△ABC 中，边长均为4，则AB ＝AC ，D 为BC 的中点， ∴AD ⊥BC .∵平面ABC ⊥平面B 1C 1CB ，交线为BC ，AD ⊂平面ABC ， ∴AD ⊥平面B 1C 1CB ，即AD 是三棱锥A －B 1BC 的高. 在△ABC 中，由AB ＝AC ＝BC ＝4，得AD ＝23， 在△B 1BC 中，B 1B ＝BC ＝4，∠B 1BC ＝60°， ∴△B 1BC 的面积为4 3.∴三棱锥B 1－ABC 的体积即为三棱锥A －B 1BC 的体积V ＝13×43×23＝8.12.如图，在四棱锥S －ABCD 中，平面SAD ⊥平面ABCD .四边形ABCD 为正方形，且P 为AD 的中点，Q 为SB 的中点.(1)求证：CD ⊥平面SAD ； (2)求证：PQ ∥平面SCD ；(3)若SA ＝SD ，M 为BC 的中点，在棱SC 上是否存在点N ，使得平面DMN ⊥平面ABCD ？并证明你的结论.(1)证明 ∵四边形ABCD 为正方形，∴CD ⊥AD .又∵平面SAD ⊥平面ABCD ，且平面SAD ∩平面ABCD ＝AD ，CD ⊂平面ABCD ， ∴CD ⊥平面SAD .(2)证明 取SC 的中点R ，连接QR ，DR .由题意知，PD ∥BC 且PD ＝12BC .在△SBC 中，Q 为SB 的中点，R 为SC 的中点， ∴QR ∥BC 且QR ＝12BC .∴QR ∥PD 且QR ＝PD ， 则四边形PDRQ 为平行四边形， ∴PQ ∥DR .又PQ ⊄平面SCD ，DR ⊂平面SCD ， ∴PQ ∥平面SCD .(3)解 存在点N 为SC 的中点，使得平面DMN ⊥平面ABCD .连接PC ，DM 交于点O ，连接PM ，SP ，NM ，ND ，NO ， ∵PD ∥CM ，且PD ＝CM ， ∴四边形PMCD 为平行四边形， ∴PO ＝CO .又∵N 为SC 的中点， ∴NO ∥SP . 易知SP ⊥AD .∵平面SAD ⊥平面ABCD ，平面SAD ∩平面ABCD ＝AD ，且SP ⊥AD ， ∴SP ⊥平面ABCD ， ∴NO ⊥平面ABCD . 又∵NO ⊂平面DMN ， ∴平面DMN ⊥平面ABCD .例 (12分)如图，四棱锥P －ABCD 的底面为正方形，侧面P AD ⊥底面ABCD ，P A ⊥AD ，点E ，F ，H 分别为AB ，PC ，BC 的中点.(1)求证：EF ∥平面P AD ； (2)求证：平面P AH ⊥平面DEF . 审题路线图(1)E ，F 是中点―――→取PD 的中点M 构造▱AEFM ―→线线平行EF ∥AM ―→线面平行EF ∥平面P AD (2)面面垂直P AD ⊥ABCD ―――→P A ⊥AD线面垂直P A ⊥底面ABCD ―→线线垂直P A ⊥DE ―――――――――→Rt △ABH ≌Rt △DAE线线垂直DE ⊥AH ―→线面垂直DE ⊥平面P AH ―→ 面面垂直平面P AH ⊥平面DEF 规范解答·评分标准证明 (1)取PD 的中点M ，连接FM ，AM .∵在△PCD 中，F ，M 分别为PC ，PD 的中点， ∴FM ∥CD 且FM ＝12CD .∵在正方形ABCD 中，AE ∥CD 且AE ＝12CD ，∴AE ∥FM 且AE ＝FM ， 则四边形AEFM 为平行四边形，∴AM ∥EF .…………………………………………………………………………………4分 又∵EF ⊄平面P AD ，AM ⊂平面P AD ，∴EF ∥平面P AD .…………………………………………………………………………6分(2)∵侧面P AD ⊥底面ABCD ，P A ⊥AD ， 侧面P AD ∩底面ABCD ＝AD ，∴P A ⊥底面ABCD .∵DE ⊂底面ABCD ，∴DE ⊥P A . ∵E ，H 分别为正方形ABCD 边AB ，BC 的中点， ∴Rt △ABH ≌Rt △DAE ，则∠BAH ＝∠ADE ，∴∠BAH ＋∠AED ＝90°，则DE ⊥AH .…………………………………………………………………………………8分 ∵P A ⊂平面P AH ，AH ⊂平面P AH ，P A ∩AH ＝A ，∴DE ⊥平面P AH .…………………………………………………………………………10分 ∵DE ⊂平面DEF ，∴平面P AH ⊥平面DEF .…………………………………………………………………12分 构建答题模板[第一步] 找线线：通过三角形或四边形的中位线，平行四边形、等腰三角形的中线或线面、面面关系的性质寻找线线平行或线线垂直.[第二步] 找线面：通过线线垂直或平行，利用判定定理，找线面垂直或平行；也可由面面关系的性质找线面垂直或平行.[第三步] 找面面：通过面面关系的判定定理，寻找面面垂直或平行. [第四步] 写步骤：严格按照定理中的条件规范书写解题步骤.1.如图，在空间四面体ABCD 中，若E ，F ，G ，H 分别是AB ，BD ，CD ，AC 的中点.(1)求证：四边形EFGH 是平行四边形； (2)求证：BC ∥平面EFGH .证明 (1)∵在空间四面体ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，BD ，CD ，AC 的中点， ∴EF 綊12AD ，GH 綊12AD ，∴EF 綊GH ，∴四边形EFGH 是平行四边形. (2)∵E ，H 分别是AB ，AC 的中点， ∴EH ∥BC .∵EH ⊂平面EFGH ，BC ⊄平面EFGH ， ∴BC ∥平面EFGH .2.(2017·北京)如图，在三棱锥P －ABC 中，P A ⊥AB ，P A ⊥BC ，AB ⊥BC ，P A ＝AB ＝BC ＝2，D 为线段AC 的中点，E 为线段PC 上一点.(1)求证：P A ⊥BD ；(2)求证：平面BDE ⊥平面P AC ；(3)当P A ∥平面BDE 时，求三棱锥E －BCD 的体积. (1)证明 因为P A ⊥AB ，P A ⊥BC ， 所以P A ⊥平面ABC .又因为BD ⊂平面ABC ，所以P A ⊥BD . (2)证明 因为AB ＝BC ，D 是AC 的中点， 所以BD ⊥AC . 由(1)知，P A ⊥BD ， 所以BD ⊥平面P AC . 所以平面BDE ⊥平面P AC .(3)解 因为P A ∥平面BDE ，平面P AC ∩平面BDE ＝DE ，所以P A ∥DE . 因为D 为AC 的中点，所以DE ＝12P A ＝1，BD ＝DC ＝ 2.由(1)知，P A ⊥平面ABC ，所以DE ⊥平面ABC ， 所以三棱锥E －BCD 的体积V ＝16BD ·DC ·DE ＝13.3.(2017·北京海淀区模拟)如图，四棱锥P －ABCD 的底面是边长为1的正方形，侧棱P A ⊥底面ABCD ，且P A ＝2，E 是侧棱P A 上的动点.(1)求四棱锥P －ABCD 的体积；(2)如果E 是P A 的中点，求证：PC ∥平面BDE ；(3)是否不论点E 在侧棱P A 的任何位置，都有BD ⊥CE ？证明你的结论.(1)解 ∵P A ⊥底面ABCD ， ∴P A 为此四棱锥底面上的高.∴V 四棱锥P －ABCD ＝13S 正方形ABCD ×P A ＝13×12×2＝23.(2)证明 连接AC 交BD 于点O ，连接OE .∵四边形ABCD 是正方形， ∴AO ＝OC . 又∵AE ＝EP ， ∴OE ∥PC .又∵PC ⊄平面BDE ，OE ⊂平面BDE ， ∴PC ∥平面BDE .(3)解 不论点E 在侧棱P A 的任何位置，都有BD ⊥CE . 证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴BD ⊥AC .∵P A ⊥底面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， ∴P A ⊥BD . 又∵P A ∩AC ＝A ， ∴BD ⊥平面P AC . ∵CE ⊂平面P AC ， ∴BD ⊥CE .4.如图，已知正方形ABCD 的边长为2，AC 与BD 交于点O ，将正方形ABCD 沿对角线BD 折起，得到三棱锥A －BCD .(1)求证：平面AOC ⊥平面BCD ； (2)若三棱锥A －BCD 的体积为63，且∠AOC 是钝角，求AC 的长. (1)证明 ∵四边形ABCD 是正方形， ∴BD ⊥AO ，BD ⊥CO .折起后仍有BD ⊥AO ，BD ⊥CO ，AO ∩CO ＝O ， ∴BD ⊥平面AOC . ∵BD ⊂平面BCD ， ∴平面AOC ⊥平面BCD . (2)解 由(1)知BD ⊥平面AOC ， ∴V A －BCD ＝13S △AOC ·BD ，∴13×12OA ·OC ·sin ∠AOC ·BD ＝63， 即13×12×2×2×sin ∠AOC ×22＝63， ∴sin ∠AOC ＝32. 又∵∠AOC 是钝角， ∴∠AOC ＝120°.在△AOC 中，由余弦定理，得 AC 2＝OA 2＋OC 2－2·OA ·OC ·cos ∠AOC ＝(2)2＋(2)2－2×2×2×cos120°＝6， ∴AC ＝ 6.5.(2016·四川)如图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥CD ，AD ∥BC ，∠ADC ＝∠P AB ＝90°，BC ＝CD ＝12AD .(1)在平面P AD 内找一点M ，使得直线CM ∥平面P AB ，并说明理由； (2)求证：平面P AB ⊥平面PBD .(1)解 取棱AD 的中点M (M ∈平面P AD )，点M 即为所求的一个点，理由如下：因为AD ∥BC ，BC ＝12AD ，所以BC ∥AM ，且BC ＝AM .所以四边形AMCB 是平行四边形，所以CM ∥AB . 又AB ⊂平面P AB ，CM ⊄平面P AB ， 所以CM ∥平面P AB .(说明：取棱PD 的中点N ，则所找的点可以是直线MN 上任意一点) (2)证明 由已知，P A ⊥AB ，P A ⊥CD .因为AD ∥BC ，BC ＝12AD ，所以直线AB 与CD 相交，所以P A ⊥平面ABCD .所以P A ⊥BD .因为AD ∥BC ，BC ＝12AD ，M 为AD 的中点，连接BM ，所以BC ∥MD ，且BC ＝MD . 所以四边形BCDM 是平行四边形， 所以BM ＝CD ＝12AD ，所以BD ⊥AB .又AB ∩AP ＝A ，所以BD ⊥平面P AB . 又BD ⊂平面PBD ， 所以平面P AB ⊥平面PBD .。
考点29 直线、平面平行与垂直的判定与性质-2018版典型高考数学试题解读与变式(解析版)
A. 直线 m, n 都平行于平面 ，则 m / /n B. 设 − l − 是直二面角，若直线 m ⊥ ，则 m / / C. 若直线 m, n 在平面 内的射影依次是一个点和一条直线，（且 m ⊥ n ），则 n 在 内或 n 与 平行 D. 设 m, n 是异面直线，若 m 与平面 平行，则 n 与 相交
CP / /PD DE / /BC
} CN / / NE
NP 平面ABC
NP / / 平面 ABC
所以，平面 MNP / / 平面 ABC MN / / 平面 ABC
【变式 2】【改编例题的问法，证明线线平行】【2017 届湖北省六校联合体高三 4 月联考】在四棱锥 P − ABCD
中，底面是边长为 2 的菱形， BAD = 600 ， PB = PD = 3， PA = 11， AC BD = O .
考点 29：直线、平面平行与垂直的判定与性质
【考纲要求】 1．理解空间直线、平面位置关系的定义． 2．了解可以作为推理依据的公理和定理． 3．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题． 4．能以立体几何中的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理． 5．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的平行关系的简单命题． 6．能以立体几何中的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质和判定定理． 7．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的位置关系的简单命题． 【命题规律】 直线与平面平行的判定以及平面与平面平行的判定是高考热点.预测 2018 年的高考以棱柱、棱锥为载体考查 空间中的平行关系. 线面垂直的判定、面面垂直的判定与性质是高考热点，备考时应掌握线面、面面垂直的判定与性质定理， 了解线线垂直、线面垂直、面面垂直的转化思想，逐步学会综合运用数学知识分析解决问题的能力． 【典型高考试题变式】 （一）空间点、直线、平面之间的位置关系 例 1.【2016 全国 2 卷（理）】α,β 是两个平面,m,n 是两条直线,有下列四个命题: ①如果 m⊥n,m⊥α,n∥β,那么 α⊥β． ②如果 m⊥α,n∥α,那么 m⊥n． ③如果 α∥β,m⊂α,那么 m∥β． ④如果 m∥n,α∥β,那么 m 与 α 所成的角和 n 与 β 所成的角相等． 其中正确的命题有 ．（填写所有正确命题的编号） 【答案】②③④
2018年高考文科数学热点难点突破 (11)空间中的平行与垂直
2018年高考文科数学热点难点突破 (11)空间中的平行与垂直1．如图所示是一个物体的三视图，则此三视图所描述物体的直观图是( )解析：先观察俯视图，由俯视图可知选项B和D中的一个正确，由正视图和侧视图可知选项D正确．答案：D2.已知一个圆锥的侧面展开图如图所示，扇形圆心角为120°，底面圆半径为1，则圆锥的体积为( )A.22π3B.2πC.42π3D.52π3答案：A3．某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为( )A．43π B．12π C．24π D．48π答案：B4．设α为平面，a，b为两条不同的直线，则下列叙述正确的是( )A．若a∥α，b∥α，则a∥bB．若a⊥α，a∥b，则b⊥αC．若a⊥α，a⊥b，则b∥αD．若a∥α，a⊥b，则b⊥α解析：若a∥α， b∥α，则a与b相交、平行或异面，故A错误；易知B正确；若a⊥α，a⊥b，则b∥α或b⊂α，故C错误；若a∥α，a⊥b，则b∥α或b⊂α或b与α相交，故D错误．答案：B5.如图，在三棱锥D-ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列命题中正确的是( )A．平面ABC⊥平面ABDB．平面ABD⊥平面BCDC．平面ABC⊥平面BDE，且平面ACD⊥平面BDED．平面ABC⊥平面ACD，且平面ACD⊥平面BDE解析：∵AB＝CB，且E是AC的中点，∴BE⊥AC，同理有DE⊥AC，于是AC⊥平面BDE.∵AC⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面BDE.又AC⊂平面ACD，∴平面ACD⊥平面BDE.答案：C6.如图，斜线段AB与平面α所成的角为60°，B为斜足，平面α上的动点P满足∠PAB＝30°，则点P的轨迹是( )A．直线B．抛物线C．椭圆D．双曲线的一支解析：∵∠PAB＝30°，∴点P的轨迹为以AB为轴线，PA为母线的圆锥面与平面α的交线，且平面α与圆锥的轴线斜交，故点P的轨迹为椭圆．答案：C7.棱长为2的正方体被一平面截成两个几何体，其中一个几何体的三视图如图所示，那么该几何体的体积是()A.143B.4C.103D.3答案 B8.如图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E是棱BC上的一点，则三棱锥D1B1C1E的体积等于()A.13B.512C.36D.16解析VD1B1C1E＝13S△B1C1E·D1C1＝13×12×1×1×1＝16.答案 D9.已知一个棱长为2的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示，则该截面的面积为()A.92B.3C.4D.3102答案 A10.点A 、B 、C 、D 在同一个球的球面上，AB ＝BC ＝2，AC ＝2，若四面体ABCD 体积的最大值为23，则这个球的表面积为( )A.125π6 B.8π C.25π4 D.25π16答案 C11．已知集合A ， B ，C ，A ＝{直线}，B ＝{平面}，C ＝A ∪B .若a ∈A ，b ∈B ，c ∈C ，给出下列四个命题：①⎩⎪⎨⎪⎧a ∥b ， c ∥b ⇒a ∥c ；②⎩⎪⎨⎪⎧a ⊥b c ⊥b ⇒a ∥c ；③⎩⎪⎨⎪⎧a ∥b ，c ⊥b ⇒a ⊥c ； ④⎩⎪⎨⎪⎧a ⊥b ，c ∥b ⇒a ⊥c . 其中所有正确命题的序号是________．解析：由题意知：c 可以是直线，也可以是平面．当c 表示平面时，①②③都不对，故选④. 答案：④12.如图， AB 为圆O 的直径，点C 在圆周上(异于点A ，B )，直线PA 垂直于圆O 所在的平面，点M 为线段PB 的中点．有以下四个命题：①PA ∥平面MOB ； ②MO ∥平面PAC ； ③OC ⊥平面PAC ； ④平面PAC ⊥平面PBC .其中正确的命题是________(填上所有正确命题的序号)．答案：②④13.如图，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，AC ∩EF ＝G ，现在沿AE 、EF 、FA 把这个正方形折成一个四面体，使B 、C 、D 三点重合，重合后的点记为P ，则在四面体P -AEF 中必有________．①AP ⊥△PEF 所在平面； ②AG ⊥△PEF 所在平面； ③EP ⊥△AEF 所在平面；④PG ⊥△AEF 所在平面． 解析：在折叠过程中，AB ⊥BE ，AD ⊥DF 保持不变．∴⎭⎪⎬⎪⎫AP ⊥PEAP ⊥PF PE ∩PF ＝P ⇒ AP ⊥平面PEF .答案：①14.在如图所示的多面体ABCDE 中，AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，AB ＝CD ＝1，AC ＝3，AD ＝DE ＝2，G 为AD 的中点.(1)在线段CE 上找一点F ，使得BF ∥平面ACD ，并加以证明； (2)求三棱锥GBCE 的体积.(2)∵DE ⊥平面ACD ， ∴平面ABED ⊥平面ACD ， 在平面ACD 内，作CF ⊥AD 于P ， ∵平面ABED ∩平面ACD ＝AD ， ∴CP ⊥平面ABED ， ∴CP 为三棱锥CBGE 的高， ∵V GBCE ＝V CBGE ＝13S △BGE ·CP ，且S △BGE ＝S 梯形ABED －S △ABG －S △EDG ＝32，由三角形的等面积法得CP ＝32， ∴V GBCE ＝V CBGE ＝13S △BGE ·CP ＝34.15.在空间四边形ABCD 中，已知AD ＝1，BC ＝3，且AD ⊥BC ，对角线B D ＝132，AC ＝32，求AC 和BD 所成的角．。
理解空间几何中的平行和垂直关系及相关定理
理解空间几何中的平行和垂直关系及相关定理在空间几何中，平行和垂直关系是非常重要的概念。
理解这些关系及其相关定理对于解决几何问题和应用数学具有重要意义。
本文将深入探讨空间几何中的平行和垂直关系及其相关定理，帮助读者更好地理解和应用。
一、平行关系在空间几何中，平行关系是指两条直线或两个平面永远不会相交。
平行线和平行面之间的关系可通过以下两个定理来判断。
1. 平行线定理：如果一条直线与两条平行线相交，那么这两条直线之间也是平行的。
证明：设有两条平行线l和m，且直线n与l相交于点A，与m相交于点B。
若线段AB垂直于l，由垂直定理可知线段AB也垂直于m。
假设线段AB不平行于m，那么它必定与m相交于某一点C，这样线段AB将会与直线n有两个交点A和C，这与两条平行线的性质相悖。
因此，线段AB必定是与直线m平行的。
2. 平行面定理：如果两个平面都与另一个平面平行，那么这两个平面也是平行的。
证明：设有两个平面α和β，且平面γ与α平行且与β相交。
假设平面γ不平行于β，则它们必定会相交于一条直线。
然而，根据平行面的定义，平面γ与平面α平行，故直线与平面α相交于一点A。
由于直线与平面β相交于一点B，这意味着直线将与两个平面α和β都有交点，与平行面的定义相矛盾。
因此，平面γ与β平行。
二、垂直关系在空间几何中，垂直关系是指两条直线或两个平面之间的相互垂直关系。
垂直关系可以通过以下定理来判断。
1. 垂直定理：如果两条直线相交并且相交的角为直角，则这两条直线是垂直的。
证明：设有两条直线l和m，相交于点O，并且∠AOB为直角。
若直线l和m不是垂直的，即它们不相交于直角，那么它们必然会以某个角度相交，假设∠AOB为θ。
那么根据三角形的性质，我们可以得到∠AOB的余角为180°-θ。
如果直线l和m不垂直，它们的余角将不相等，与∠AOB为直角的前提相矛盾。
因此，直线l和m是垂直的。
2. 垂直平面定理：如果一条直线与一个平面垂直，并且这条直线在这个平面上的一个点，那么这个直线在这个平面上的所有点都垂直于这个平面。
2018年高考数学二轮复习第1部分重点强化专题专题4立体几何突破点10空间中的平行与垂直
核心知识•聚焦提炼檢心知识体验高考方向突破点10空间中的平行与垂直关系［核心知识提炼］提炼1异面直线的性质(1) 异面直线不具有传递性•注意不能把异面直线误解为分别在两个不同平面内的两条直线或平面内的一条直线与平面外的一条直线.(2) 异面直线所成角的范围是0, 2，所以空间中两条直线垂直可能为异面垂直或相交垂直.(3) 求异面直线所成角的一般步骤为：①找出(或作出)适合题设的角一一用平移法；②求一一转化为在三角形中求解；③结论一一由②所求得的角或其补角即为所求•提炼2平面与平面平行的常用性质(1) 夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等.(2) 经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.(3) 如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行.(4) 两个平面平行，则其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面提炼3证明线面位置关系的方法(1) 证明线线平行的方法：①三角形的中位线等平面几何中的性质；②线面平行的性质定理；③面面平行的性质定理；④线面垂直的性质定理.(2) 证明线面平行的方法：①寻找线线平行，利用线面平行的判定定理；②寻找面面平行，利用面面平行的性质.(3) 证明线面垂直的方法：①线面垂直的定义，需要说明直线与平面内的所有直线都垂直；② 线面垂直的判定定理；③面面垂直的性质定理.(4) 证明面面垂直的方法：①定义法，即证明两个平面所成的二面角为直二面角；② 面面垂直的判定定理，即证明一个平面经过另一个平面的一条垂线.------ =一・ - ——.. —— 1 —"―111;-. - - 111"—-111—.. - il 1 1 1 1—、-i— 1 1 I —- - 1 — 1 "― - -11—”，—.1.-［高考真题回访］回访1异面直线所成的角1. (2017 •全国卷I )如图，在下列四个正方体中，A, B为正方体的两个顶点，M N Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MN郞平行的是()A BA [A项，作如图①所示的辅助线，其中D为BC的中点，贝U QD/ AB•••QB平面MNQ Q ••• QD与平面MNQ目交，•••直线AB与平面MNQ目交.B项，作如图②所示的辅助线，贝U AB// CD CD/ MQ • AB// MQ又AB?平面MNQ MQ平面MNQ • AB//平面MNQC项，作如图③所示的辅助线，贝U AB// CD CD/ MQ • AB// MQ又AB?平面MNQ MQ 平面MNQ • AB// 平面MNQD项，作如图④所示的辅助线，贝U AB// CD CD/ NQ • AB// NQ又AB?平面MNQ NC?平面MNQ • AB//平面MNQ故选A.]2. （2016 •全国卷I ）平面a过正方体ABCDABGD的顶点A a //平面a Cl平面ABC』m a门平面ABEA i= n ,则m n所成角的正弦值为（）-ft * « itA [设平面CBD Q平面ABC住m i.•••平面a //平面CBD,.・. m i// m又平面ABCD平面ABCD,且平面CBD Q平面ABCD= B D,B i D // m. ••• BD // m•••平面ABBA i //平面DCCD,且平面CBD n平面DC© = CD,同理可证CD// n.因此直线m与n所成的角即直线B D与CD所成的角.在正方体ABCCA i BCD中，△ CBD是正三角形，故直线B i D与CD所成角为60°,其正弦值为乎.]回访2线面位置关系的性质与判断3. （2013 •全国卷n ）已知m n为异面直线，m让平面a , n丄平面3 •直线丨满足丨丄ml丄n, l? a , l ? 3 ,则（）A. a // 3 且I 〃aB. a丄3且I丄3C. a与3相交，且交线垂直于ID. a与3相交，且交线平行于ID [根据所给的已知条件作图，如图所示.由图可知a与3相交，且交线平行于I，故选D.]4. （2016 •全国卷n ）a , 3是两个平面，m n是两条直线，有下列四个命题:4ft① 如果ml n , mha, n 那么a 丄B . ② 如果m l a , n //a,那么m l n . ③ 如果a/B , m ? a,那么m// B .④ 如果m// n , a /B ，那么m 与a 所成的角和n 与B 所成的角相等. 其中正确的命题有 ________ .（填写所有正确命题的编号） ②③④ ［对于①，a , B 可以平行，也可以相交但不垂直，故错误. 对于②，由线面平行的性质定理知存在直线 l ? a , n // I ，又ml a ，所以ml l ，所以mln ,故正确.对于③，因为a / B ，所以a , B 没有公共点.又 m ? a ,所以m , B 没有公共点， 由线面平行的定义可知 m B ，故正确.对于④，因为 m// n ,所以m 与a 所成的角和n 与a 所成的角相等.因为 a / B , 所以n 与a 所成的角和n 与B 所成的角相等，所以 m 与a 所成的角和n 与B 所成 的角相等，故正确.］热点题型•探究热点题型1空间位置关系的判断与证明题型分析：空间中平行与垂直关系的判断与证明是高考常规的命题形式，此类题目综 合体现了相关判定定理和性质定理的应用，同时也考查了学生的空间想象能力及转化 与化归的思想.【例1】（1）（2017 •全国卷川）在正方体 ABCDABCD 中，E 为棱CD 的中点，贝U （）A . AE l DC C. A E l BC D. AE l ACC ［法一：如图，T AE 在平面 ABCDt 的投影为 AE 而AE 不与AC BD 垂直，二B , D 错；B . AE l BD•At 第巖障県•/ AE在平面BCCB上的投影为BC,且BC丄BC,••• AE丄BC,故C正确；（证明：由条件易知，BC丄BC BC丄CE又CEH BC^ C,• BC丄平面CEAB.又AE?平面CEAB , • AE丄BC）•/ AE在平面DCCD上的投影为DE,而DE不与DC垂直，故A错.故选C.法二：(空间向量法)建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1,则A(1,0,0) , B(1,1,0) , C(0,1,0) , 0(000) , A(1,0,1) , C(0,1,1) , E 0 , 2 , 0T 1 T T T TAE= —1 , 2，—1，DC = (0,1,1) , B[> ( —1, —1,0) , BG= ( —1,0,1) , AC=(—1,1,0) , • AE・DC M0 , AE・ BD^0 , AE・BC = 0 , AE • AO0, • AE丄BC. 故选C.]⑵(2017 •全国卷I )如图10-1 ,在四棱锥P-ABC曲,AB// CD且/ BAP=/ CDP= 90°①证明：平面PABL平面PAD②若PA= PD- AB= DC / APD- 90°,且四棱锥P-ABCD勺体积为£ ,求该四棱锥的侧3面积.图10-1[解] ①证明：由已知/ BAP=Z CDP= 90° ,得ABL AF, CDL PD由于AB// CD故ABL PD从而ABL平面PAD又A田平面PAB所以平面PABL平面PAD 4分②如图，取AD的中点E,连接PE贝U PE L AD由①知,ABL平面PAD故AB! PE ABL AD可得PE!平面ABCD 6分设AB= x,则由已知可得AD= 2x, PE^-^x.故四棱锥P-ABCD勺体积1 1 3V F-ABCD=三3X3.1 8由题设得~x3= 3，故x= 2. 8分3 3从而结合已知可得PA= PD= AB= DC= 2, AD= BC= 2 2, PB= PC= 2 2.10分可得四棱锥P-ABC啲侧面积为1111严・PD^ 严・A聊^PD- DOq BC sin 60 ° = 6+ 2 3. 12 分［方法指津］在解答空间中线线、线面和面面的位置关系问题时，我们可以从线、面的概念、定理出发，学会找特例、反例和构建几何模型.判断两直线是异面直线是难点，我们可以依据定义来判定，也可以依据定理（过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线）判定.而反证法是证明两直线异面的有效方法.提醒：判断直线和平面的位置关系中往往易忽视直线在平面内，而面面位置关系中易忽视两个平面平行.此类问题可以结合长方体中的线面关系找出假命题中的反例.［变式训练1］（1）（2017 •石家庄二模）设m n是两条不同的直线，a , 3 , 丫是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若n? a , n // a ,贝U m// n；②若 a / 3 , 3 // Y , ml a ,贝U m L 丫；③若 a n 3=n, m// n,贝U m// a , m// 3 ；④若 a 丄丫， 3 丄丫，贝U a// 3 .其中真命题的个数为（）A . 0 C. 2B ［若m ? a , n //a,贝U m^n 可能平行或异面，①错误；若 a// B B // Y,则a // Y ,又 mi! a ,贝U ml 丫，②正确；若 a n 3 = n , m// n ,贝U m// a 或 m//B 或 m? a 或m ? 3 ,③错误；若 a 丄Y, 3丄丫，贝y a , 3可能平行或相交，④错误，故 选B.］⑵（2017 •全国卷H ）如图10-2 ,四棱锥RABCDh 侧面PAD 为等边三角形且垂直于① 证明：直线 BC//平面PAD② 若△ PCD 的面积为2 7,求四棱锥 P-ABC 啲体积.［解］ ①证明：在平面ABC □内，因为/ BAD- / ABC= 90°,所以BC/ AD 又BC ?平面PAD AD ?平面PAD 故BC/平面PAD②如图，取 AD 的中点M 连接PM CM 由AB= BC=扌AD 及BC/ AD / ABC= 90°得四边形ABCI 为正方形，贝U CML AD因为侧面 PAD 为等边三角形且垂直于底面 ABCD 平面PAC T 平面 ABC = AD 所以PM 丄 AD, PM L 底面 ABCD因为CM 底面ABCD 所以PM L CM设 BC= x ,贝U CM= x , C = 2x , PM = 3x , PC= PD = 2x . 如图，取CD 的中点N,连接PN 则PN 丄CD【导学号：04024094】B . 1 D. 3宀K 1底面 ABCD AB= BC= ^AD / BA*/ ABC= 90°图 10-2解得x =- 2（舍去）或x = 2. 于是 AB= BC= 2, AD= 4, PM= 2 3. 1 。
教辅-高三数学考点复习：空间中的平行与垂直关系
8．(多选)(2020·山东临沂一模)如图，点 E 为正方形 ABCD 边 CD 上异 于点 C，D 的动点，将△ADE 沿 AE 翻折成△SAE，在翻折过程中，下列说 法正确的是( )
A．存在点 E 和某一翻折位置，使得 SB⊥SE B．存在点 E 和某一翻折位置，使得 AE∥平面 SBC C．存在点 E 和某一翻折位置，使得直线 SB 与平面 ABC 所成的角为 45° D．存在点 E 和某一翻折位置，使得二面角 S－AB－C 的大小为 60°
解析 如图，因为轴截面 SAB 是边长为 2 的等边三角形，所以底面圆
的半径为 1，母线长为 2，所以圆锥的侧面积为 S＝π×1×2＝2π.作 DE⊥AB
于 E，则 DE⊥底面圆，又 SO⊥底面圆，所以 DE∥SO，所以∠CDE 为异面
直线 CD 与 SO 所成的角．因为 D 为母线 SB 的中点，所以 DE＝12SO＝12
(1)证明：点 C1 在平面 AEF 内； (2)若 AB＝2，AD＝1，AA1＝3，求二面角 A－EF－A1 的正弦值．
解 (1)证明：在棱 CC1 上取点 G，使得 C1G＝12CG，连接 DG，FG， C1E，C1F，
∵C1G＝12CG，BF＝2FB1，
∴CG＝23CC1＝23BB1＝BF 且 CG∥BF，
解析
二、填空题 9．(2020·北京延庆期中)已知平面 α，β 和直线 m，给出条件：①m∥α； ②m⊥α；③m⊂α；④α∥β；⑤α⊥β.当满足条件________时，m⊥β. 答案 ②④ 解析 由于当一条直线垂直于两个平行平面中的一个时，此直线也垂 直于另一个平面，结合所给的选项，故由②④可推出 m⊥β.即②④是 m⊥β 的充分条件．
解析
7．(多选)(2020·山东菏泽高三联考)如图，M 是正方体 ABCD－A1B1C1D1 的棱 DD1 的中点，下列命题中的真命题是( )
常考问题12 空间中的平行与垂直
列命题中假命题的序号是________．
①过点P有且仅有一条直线与l，m都平行；②过点P有且 仅有一条直线与l，m都垂直；③过点P有且仅有一条直线 与l，m都相交；④过点P有且仅有一条直线与l，m都异 面．
(2)设l是直线，α，β是两个不同的平面
A．若l∥α，l∥β，则α∥β B．若l∥α，l⊥β，则α⊥β
定理：两个平面垂直，在一个平面内垂直于它们交线的 直线必垂直于另一个平面，当题目中有面面垂直的条件 时，一般都要用此定理进行转化.
知识与方法
热点与突破
失分与防范
热点一 空间线面位置关系的判断
【例1】 (1)l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正 确的是 ( )．
A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3
所以平面BEF⊥平面PAD.
知识与方法 热点与突破 失分与防范
[规律方法] 在立体几何的平行关系问题中，“中点”是经 常使用的一个特殊点，通过找“中点”，连“中点”，即可
出现平行线，而线线平行是平行关系的根本．在垂直关
系的证明中，线线垂直是问题的核心，可以通过计算的 方式证明线线垂直，也可以根据已知的垂直关系证明线 线垂直，其中要特别重视两个平面垂直的性质定理．
AP，AD的中点．求证：
(1)直线EF∥平面PCD； (2)平面BEF⊥平面PAD.
知识与方法
热点与突破
失分与防范
证明
(1)如图，在△PAD中，因为E，F分
别为AP，AD的中点，所以EF∥PD.又因为 EF⊄平面PCD，PD⊂平面PCD，所以直线 EF∥平面PCD. (2)连接BD.因为AB＝AD，∠BAD＝60°， 所以△ABD为正三角形． 因为F是AD的中点，所以BF⊥AD. 因为平面PAD⊥平面ABCD，BF⊂平面 ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以 BF⊥平面PAD. 又因为BF⊂平面BEF，
空间中的平行与垂直专题
空间中的平行与垂直专题[考情考向分析] 1.以选择题、填空题的形式考查，主要利用平面的基本性质及线线、线面和面面平行和垂直的判定定理与性质定理对命题的真假进行判断，属于基础题.2.以解答题的形式考查，主要是对线线、线面与面面平行和垂直关系的交汇综合命题，且多以棱柱、棱锥、棱台或其简单组合体为载体进行考查，难度中档．热点一空间线面位置关系的判定空间线面位置关系判断的常用方法(1)根据空间线面平行、垂直关系的判定定理和性质定理逐项判断来解决问题．(2)必要时可以借助空间几何模型，如从长方体、四面体等模型中观察线面位置关系，并结合有关定理来进行判断．例1 (1)已知直线l，m与平面α，β，l⊂α，m⊂β，则下列命题中正确的是( ) A．若l∥m，则必有α∥βB．若l⊥m，则必有α⊥βC．若l⊥β，则必有α⊥βD．若α⊥β，则必有m⊥αB，C，D∉直线l，M，N分别是线段AB，CD的中点．下列判断正确的是( )A．当CD＝2AB时，M，N两点不可能重合B．M，N两点可能重合，但此时直线AC与l不可能相交C．当AB与CD相交，直线AC平行于l时，直线BD可以与l相交D．当AB，CD是异面直线时，直线MN可能与l平行跟踪演练1 (1)(2018·揭阳模拟)已知直线a，b，平面α，β，γ，下列命题正确的是( ) A．若α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝a，则a⊥γB．若α∩β＝a，α∩γ＝b，β∩γ＝c，则a∥b∥cC．若α∩β＝a，b∥a，则b∥αD．若α⊥β，α∩β＝a，b∥α，则b∥a(2)若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是A．l与l1，l2都相交 B．l与l1，l2都不相交C．l至少与l1，l2中的一条相交 D．l至多与l1，l2中的一条相交热点二空间平行、垂直关系的证明空间平行、垂直关系证明的主要思想是转化，即通过判定定理、性质定理将线线、线面、面面之间的平行、垂直关系相互转化．例2 (1)如图，三棱柱ABC－A1B1C1的各棱长均为2，AA1⊥平面ABC，E，F分别为棱A1B1，BC 的中点．①求证：直线BE∥平面A1FC1；②平面A1FC1与直线AB交于点M，指出点M的位置，说明理由，并求三棱锥B－EFM的体积．(2)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为a的菱形，PD⊥平面ABCD，∠BAD＝60°，PD＝2a，O为AC与BD的交点，E为棱PB上一点．①证明：平面EAC⊥平面PBD；②若PD∥平面EAC，三棱锥P－EAD的体积为183，求a的值．思维升华垂直、平行关系的基础是线线垂直和线线平行，常用方法如下：(1)证明线线平行常用的方法：一是利用平行公理，即证两直线同时和第三条直线平行；二是利用平行四边形进行平行转换；三是利用三角形的中位线定理证明线线平行；四是利用线面平行、面面平行的性质定理进行平行转换．(2)证明线线垂直常用的方法：①利用等腰三角形底边中线即高线的性质；②勾股定理；③线面垂直的性质，即要证线线垂直，只需证明一条直线垂直于另一条直线所在的平面即可，l ⊥α，a⊂α⇒l⊥a.跟踪演练2 如图，在四棱锥P－ABCD中，∠ADB＝90°，CB＝CD，点E为棱PB的中点．(1)若PB＝PD，求证：PC⊥BD；(2)求证：CE∥平面PAD.热点三平面图形的翻折问题平面图形经过翻折成为空间图形后，原有的性质有的发生变化，有的没有发生变化，这些发生变化和没有发生变化的性质是解决问题的关键．一般地，在翻折后还在一个平面上的性质不发生变化，不在同一个平面上的性质发生变化，解决这类问题就是要根据这些变与不变，去研究翻折以后的空间图形中的线面关系和各类几何量的度量值，这是解决翻折问题的主要方法．例3 (2018·北京海淀区期末)如图1，已知菱形AECD 的对角线AC ，DE 交于点F ，点E 为AB 中点．将△ADE 沿线段DE 折起到△PDE 的位置，如图2所示．(1)求证：DE ⊥平面PCF ； (2)求证：平面PBC ⊥平面PCF ；(3)在线段PD ，BC 上是否分别存在点M ，N ，使得平面CFM ∥平面PEN ？若存在，请指出点M ，N 的位置，并证明；若不存在，请说明理由．思维升华 (1)折叠问题中不变的数量和位置关系是解题的突破口．(2)存在探索性问题可先假设存在，然后在此前提下进行逻辑推理，得出矛盾则否定假设，否则给出肯定结论．跟踪演练3 (2018·北京朝阳区模拟)如图，在△PBE 中，AB ⊥PE ，D 是AE 的中点，C 是线段BE 上的一点，且AC ＝5，AB ＝AP ＝12AE ＝2，将△PBA 沿AB 折起使得二面角P －AB －E 是直二面角．(1)求证：CD ∥平面PAB ； (2)求三棱锥E －PAC 的体积．真题体验1．如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是________．(填序号)2．如图，在三棱锥A—BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F(E与A，D 不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD.求证：(1)EF∥平面ABC；(2)AD⊥AC.押题预测1．不重合的两条直线m，n分别在不重合的两个平面α，β内，下列为真命题的是( ) A．m⊥n⇒m⊥βB．m⊥n⇒α⊥βC．α∥β⇒m∥βD．m∥n⇒α∥β2．如图(1)，在正△ABC中，E，F分别是AB，AC边上的点，且BE＝AF＝2CF.点P为边BC上的点，将△AEF沿EF折起到△A1EF的位置，使平面A1EF⊥平面BEFC，连接A1B，A1P，EP，如图(2)所示．(1)求证：A1E⊥FP；(2)若BP＝BE，点K为棱A1F的中点，则在平面A1FP上是否存在过点K的直线与平面A1BE平行，若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．押题依据以平面图形的翻折为背景，探索空间直线与平面位置关系，可以考查考生的空间想象能力和逻辑推理能力，预计将成为今年高考的命题方向．A组专题通关1．(2018·北京朝阳区模拟)已知α，β是两个不同的平面，l是一条直线，给出下列说法：①若l⊥α，α⊥β，则l∥β；②若l∥α，α∥β，则l∥β；③若l⊥α，α∥β，则l⊥β；④若l∥α，α⊥β，则l⊥β.其中说法正确的个数为( )A．3 B．2 C．1 D．42．如图，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示GH，MN是异面直线的图形的序号为( )A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④3．(2018·抚顺模拟)给出下列四个命题：①如果平面α外一条直线a 与平面α内一条直线b 平行，那么a ∥α；②过空间一定点有且只有一条直线与已知平面垂直；③如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线与这个平面垂直； ④若两个相交平面都垂直于第三个平面，则这两个平面的交线垂直于第三个平面． 其中真命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．44．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝1，AA 1＝3，则异面直线AD 1与DB 1所成角的余弦值为( )A.15B.56C.55D.225．对于四面体A —BCD ，有以下命题：①若AB ＝AC ＝AD ，则AB ，AC ，AD 与底面所成的角相等；②若AB ⊥CD ，AC ⊥BD ，则点A 在底面BCD 内的射影是△BCD 的内心；③四面体A —BCD 的四个面中最多有四个直角三角形；④若四面体A —BCD 的6条棱长都为1，则它的内切球的表面积为π6. 其中正确的命题是( )A ．①③B ．③④C ．①②③D ．①③④6．已知m ，n ，l 1，l 2表示不同的直线，α，β表示不同的平面，若m ⊂α，n ⊂α，l 1⊂β，l 2⊂β，l 1∩l 2＝M ，则α∥β的一个充分条件是( )A ．m ∥β且l 1∥αB ．m ∥β且n ∥βC ．m ∥β且n ∥l 2D ．m ∥l 1且n ∥l 27．长方体的体对角线与过同一个顶点的三个表面所成的角分别为α，β，γ，则cos2α＋cos2β＋cos2γ＝________.8.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC＝2a，BB1＝3a，点D是A1C1的中点，点F在线段AA1上，当AF＝________时，CF⊥平面B1DF.9.如图所示的多面体中，底面ABCD为正方形，△GAD为等边三角形，BF⊥平面ABCD，∠GDC ＝90°，点E是线段GC上除两端点外的一点，若点P为线段GD的中点．(1)求证：AP⊥平面GCD；(2)求证：平面ADG∥平面FBC.10．在梯形ABCD中(图1)，AB∥CD，AB＝2，CD＝5，过A，B分别作CD的垂线，垂足分别为E，F，已知DE＝1，AE＝2，将梯形ABCD沿AE，BF同侧折起，使得AF⊥BD，DE∥CF，得空间几何体ADE－BCF(图2)．(1)证明：BE∥平面ACD；(2)求三棱锥E－ACD的体积．B组能力提高11．已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为( )A.334B.233C.324D.3212．已知正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都相等，M，N分别为B1C1，BB1的中点．现有下列四个结论：p1：AC1∥MN；p2：A1C⊥C1N；p3：B1C⊥平面AMN；p4：异面直线AB与MN所成角的余弦值为24.其中正确的结论是( )A．p1，p2 B．p2，p3 C．p2，p4 D．p3，p413.如图，多面体ABCB1C1D是由三棱柱ABC－A1B1C1截去一部分后而成，D是AA1的中点．(1)若F在CC1上，且CC1＝4CF，E为AB的中点，求证：直线EF∥平面C1DB1；(2)若AD＝AC＝1，AD⊥平面ABC，BC⊥AC，求点C到平面B1C1D的距离．14．如图，矩形AB′DE(AE＝6，DE＝5)，被截去一角(即△BB′C)，AB＝3，∠ABC＝135°，平面PAE⊥平面ABCDE，PA＋PE＝10.(1)求五棱锥P－ABCDE的体积的最大值；(2)在(1)的情况下，证明：BC⊥PB.答案热点一空间线面位置关系的判定空间线面位置关系判断的常用方法(1)根据空间线面平行、垂直关系的判定定理和性质定理逐项判断来解决问题．(2)必要时可以借助空间几何模型，如从长方体、四面体等模型中观察线面位置关系，并结合有关定理来进行判断．例1 (1)已知直线l，m与平面α，β，l⊂α，m⊂β，则下列命题中正确的是( ) A．若l∥m，则必有α∥βB．若l⊥m，则必有α⊥βC．若l⊥β，则必有α⊥βD．若α⊥β，则必有m⊥α答案 C解析对于选项A，平面α和平面β还有可能相交，所以选项A错误；对于选项B，平面α和平面β还有可能相交且不垂直或平行，所以选项B错误；对于选项C，因为l⊂α，l⊥β，所以α⊥β，所以选项C正确；对于选项D，直线m可能和平面α平行或相交，所以选项D 错误．(2)如图，平面α⊥平面β，α∩β＝l，A，C是α内不同的两点，B，D是β内不同的两点，且A，B，C，D∉直线l，M，N分别是线段AB，CD的中点．下列判断正确的是( )A．当CD＝2AB时，M，N两点不可能重合B．M，N两点可能重合，但此时直线AC与l不可能相交C．当AB与CD相交，直线AC平行于l时，直线BD可以与l相交D．当AB，CD是异面直线时，直线MN可能与l平行答案 B解析由于直线CD的两个端点都可以动，所以M，N两点可能重合，此时两条直线AB，CD 共面，由于两条线段互相平分，所以四边形ACBD是平行四边形，因此AC∥BD，而BD⊂β，AC⊄B，所以由线面平行的判定定理可得AC∥β，又因为AC⊂α，α∩β＝l，所以由线面平行的性质定理可得AC∥l，故选B.思维升华解决空间点、线、面位置关系的组合判断题，主要是根据平面的基本性质、空间位置关系的各种情况，以及空间线面垂直、平行关系的判定定理和性质定理进行判断，必要时可以利用正方体、长方体、棱锥等几何模型辅助判断，同时要注意平面几何中的结论不能完全引用到立体几何中．跟踪演练1 (1)(2018·揭阳模拟)已知直线a，b，平面α，β，γ，下列命题正确的是( ) A．若α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝a，则a⊥γB．若α∩β＝a，α∩γ＝b，β∩γ＝c，则a∥b∥cC．若α∩β＝a，b∥a，则b∥αD．若α⊥β，α∩β＝a，b∥α，则b∥a答案 A解析A中，若α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝a，则a⊥γ，该说法正确；B中，若α∩β＝a，α∩γ＝b，β∩γ＝c，在三棱锥P－ABC中，令平面α，β，γ分别为平面PAB，PAC，PBC，交线a，b，c为PA，PB，PC，不满足a∥b∥c，该说法错误；C中，若α∩β＝a，b∥a，有可能b⊂α，不满足b∥α，该说法错误；D中，若α⊥β，α∩β＝a，b∥α，正方体ABCD－A1B1C1D1中，取平面α，β为平面ABCD，ADD1A1，直线b为A1C1，满足b∥α，不满足b∥a，该说法错误．(2)(2018·上海市长宁、嘉定区调研)若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是A．l与l1，l2都相交B．l与l1，l2都不相交C．l至少与l1，l2中的一条相交D．l至多与l1，l2中的一条相交答案 C解析方法一如图1，l1与l2是异面直线，l1与l平行，l2与l相交，故A，B不正确；如图2，l1与l2是异面直线，l1，l2都与l相交，故D不正确，故选C.方法二因为l分别与l1，l2共面，故l与l1，l2要么都不相交，要么至少与l1，l2中的一条相交．若l与l1，l2都不相交，则l∥l1，l∥l2，从而l1∥l2，与l1，l2是异面直线矛盾，故l至少与l1，l2中的一条相交，故选C.热点二空间平行、垂直关系的证明空间平行、垂直关系证明的主要思想是转化，即通过判定定理、性质定理将线线、线面、面面之间的平行、垂直关系相互转化．例2 (1)(2018·资阳模拟)如图，三棱柱ABC－A1B1C1的各棱长均为2，AA1⊥平面ABC，E，F 分别为棱A1B1，BC的中点．①求证：直线BE∥平面A1FC1；②平面A1FC1与直线AB交于点M，指出点M的位置，说明理由，并求三棱锥B－EFM的体积．①证明取A1C1的中点G，连接EG，FG，∵点E 为A 1B 1的中点， ∴EG ∥B 1C 1 且EG ＝12B 1C 1，∵F 为BC 中点， ∴BF ∥B 1C 1且BF ＝12B 1C 1，所以BF ∥EG 且BF ＝EG .所以四边形BFGE 是平行四边形， 所以BE ∥FG ，又BE ⊄平面A 1FC 1，FG ⊂平面A 1FC 1， 所以直线BE ∥平面A 1FC 1. ②解 M 为棱AB 的中点． 理由如下：因为AC ∥A 1C 1，AC ⊄平面A 1FC 1，A 1C 1⊂平面A 1FC 1， 所以直线AC ∥平面A 1FC 1， 又平面A 1FC 1∩平面ABC ＝FM ， 所以AC ∥FM . 又F 为棱BC 的中点， 所以M 为棱AB 的中点． △BFM 的面积S △BFM ＝14S △ABC＝14×12×2×2×sin 60°＝34，所以三棱锥B－EFM的体积V B－EFM＝V E－BFM＝13×34×2＝36.(2)(2018·衡水调研)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为a的菱形，PD⊥平面ABCD，∠BAD＝60°，PD＝2a，O为AC与BD的交点，E为棱PB上一点．①证明：平面EAC⊥平面PBD；②若PD∥平面EAC，三棱锥P－EAD的体积为183，求a的值．①证明因为PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以PD⊥AC.又四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD，又PD∩BD＝D，PD，BD⊂平面PBD，所以AC⊥平面PBD.又AC⊂平面EAC，所以平面EAC⊥平面PBD.②解连接OE.因为PD ∥平面EAC ，平面EAC ∩平面PBD ＝OE ， 所以PD ∥OE . 又AC ∩BD ＝O ，所以O 是BD 的中点，所以E 是PB 的中点． 因为四边形ABCD 是菱形，且∠BAD ＝60°， 所以取AD 的中点H ，连接BH ， 可知BH ⊥AD ，又因为PD ⊥平面ABCD ，BH ⊂平面ABCD ， 所以PD ⊥BH .又PD ∩AD ＝D ，PD ，AD ⊂平面PAD ， 所以BH ⊥平面PAD . 由于AB ＝a ，所以BH ＝32a . 因此点E 到平面PAD 的距离d ＝12BH ＝12×32a ＝34a ， 所以V P －EAD ＝V E －PAD ＝13S △PAD ×d ＝13×12×a ×2a ×34a ＝312a 3＝18 3.解得a ＝6.思维升华 垂直、平行关系的基础是线线垂直和线线平行，常用方法如下：(1)证明线线平行常用的方法：一是利用平行公理，即证两直线同时和第三条直线平行；二是利用平行四边形进行平行转换；三是利用三角形的中位线定理证明线线平行；四是利用线面平行、面面平行的性质定理进行平行转换．(2)证明线线垂直常用的方法：①利用等腰三角形底边中线即高线的性质；②勾股定理；③线面垂直的性质，即要证线线垂直，只需证明一条直线垂直于另一条直线所在的平面即可，l ⊥α，a⊂α⇒l⊥a.跟踪演练2 如图，在四棱锥P－ABCD中，∠ADB＝90°，CB＝CD，点E为棱PB的中点．(1)若PB＝PD，求证：PC⊥BD；(2)求证：CE∥平面PAD.证明(1)取BD的中点O，连接CO，PO，因为CD＝CB，所以△CBD为等腰三角形，所以BD⊥CO.因为PB＝PD，所以△PBD为等腰三角形，所以BD⊥PO.又PO∩CO＝O，PO，CO⊂平面PCO，所以BD⊥平面PCO.因为PC⊂平面PCO，所以PC⊥BD.(2)由E为PB的中点，连接EO，则EO∥PD，又EO⊄平面PAD，PD⊂平面PAD，所以EO∥平面PAD.由∠ADB＝90°及BD⊥CO，可得CO∥AD，又CO⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，所以CO∥平面PAD.又CO∩EO＝O，CO，EO⊂平面COE，所以平面CEO∥平面PAD，而CE⊂平面CEO，所以CE∥平面PAD.热点三平面图形的翻折问题平面图形经过翻折成为空间图形后，原有的性质有的发生变化，有的没有发生变化，这些发生变化和没有发生变化的性质是解决问题的关键．一般地，在翻折后还在一个平面上的性质不发生变化，不在同一个平面上的性质发生变化，解决这类问题就是要根据这些变与不变，去研究翻折以后的空间图形中的线面关系和各类几何量的度量值，这是解决翻折问题的主要方法．例3 (2018·北京海淀区期末)如图1，已知菱形AECD的对角线AC，DE交于点F，点E为AB 中点．将△ADE沿线段DE折起到△PDE的位置，如图2所示．(1)求证：DE⊥平面PCF；(2)求证：平面PBC⊥平面PCF；(3)在线段PD，BC上是否分别存在点M，N，使得平面CFM∥平面PEN？若存在，请指出点M，N的位置，并证明；若不存在，请说明理由．(1)证明折叠前，因为四边形AECD为菱形，所以AC⊥DE，所以折叠后，DE⊥PF，DE⊥CF，又PF∩CF＝F，PF，CF⊂平面PCF，所以DE⊥平面PCF.(2)证明因为四边形AECD为菱形，所以DC∥AE，DC＝AE.又点E为AB的中点，所以DC∥EB，DC＝EB，所以四边形DEBC为平行四边形，所以CB∥DE.又由(1)得，DE⊥平面PCF，所以CB⊥平面PCF.因为CB⊂平面PBC，所以平面PBC⊥平面PCF.(3)解存在满足条件的点M，N，且M，N分别是PD和BC的中点．如图，分别取PD和BC的中点M，N.连接EN，PN，MF，CM.因为四边形DEBC为平行四边形，所以EF∥CN，EF＝12BC＝CN，所以四边形ENCF为平行四边形，所以FC ∥EN .在△PDE 中，M ，F 分别为PD ，DE 的中点， 所以MF ∥PE .又EN ，PE ⊂平面PEN ，PE ∩EN ＝E ，MF ，CF ⊂平面CFM ，MF ∩CF ＝F ， 所以平面CFM ∥平面PEN .思维升华 (1)折叠问题中不变的数量和位置关系是解题的突破口．(2)存在探索性问题可先假设存在，然后在此前提下进行逻辑推理，得出矛盾则否定假设，否则给出肯定结论．跟踪演练3 (2018·北京朝阳区模拟)如图，在△PBE 中，AB ⊥PE ，D 是AE 的中点，C 是线段BE 上的一点，且AC ＝5，AB ＝AP ＝12AE ＝2，将△PBA 沿AB 折起使得二面角P －AB－E 是直二面角．(1)求证：CD ∥平面PAB ； (2)求三棱锥E －PAC 的体积． (1)证明 因为12AE ＝2，所以AE ＝4，又AB ＝2，AB ⊥PE ， 所以BE ＝AB 2＋AE 2＝22＋42＝25，又因为AC ＝5＝12BE ，所以AC 是Rt △ABE 的斜边BE 上的中线， 所以C 是BE 的中点， 又因为D 是AE 的中点， 所以CD 是Rt △ABE 的中位线， 所以CD ∥AB ，又因为CD ⊄平面PAB ，AB ⊂平面PAB ， 所以CD ∥平面PAB .(2)解 由(1)知，直线CD 是Rt △ABE 的中位线， 所以CD ＝12AB ＝1，因为二面角P －AB －E 是直二面角，平面PAB ∩平面EAB ＝AB ，PA ⊂平面PAB ，PA ⊥AB ， 所以PA ⊥平面ABE ， 又因为AP ＝2，所以V E －PAC ＝V P －ACE ＝13×12×AE ×CD ×AP＝13×12×4×1×2＝43.真题体验1．(2017·全国Ⅰ改编)如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是________．(填序号)答案(1)解析对于(1)，作如图①所示的辅助线，其中D为BC的中点，则QD∥AB. ∵QD∩平面MNQ＝Q，∴QD与平面MNQ相交，∴直线AB与平面MNQ相交；对于(2)，作如图②所示的辅助线，则AB∥CD，CD∥MQ，∴AB∥MQ，又AB⊄平面MNQ，MQ⊂平面MNQ，∴AB∥平面MNQ；对于(3)，作如图③所示的辅助线，则AB∥CD，CD∥MQ，∴AB∥MQ，又AB⊄平面MNQ，MQ⊂平面MNQ，∴AB∥平面MNQ；对于(4)，作如图④所示的辅助线，则AB∥CD，CD∥NQ，∴AB∥NQ，又AB⊄平面MNQ，NQ⊂平面MNQ，∴AB∥平面MNQ.2．(2017·江苏)如图，在三棱锥A—BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD.求证：(1)EF∥平面ABC；(2)AD⊥AC.证明(1)在平面ABD内，因为AB⊥AD，EF⊥AD，所以AB∥EF.又EF⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，所以EF∥平面ABC.(2)因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，BC⊂平面BCD，BC⊥BD，所以BC⊥平面ABD.因为AD⊂平面ABD，所以BC⊥AD.又AB⊥AD，BC∩AB＝B，AB⊂平面ABC，BC⊂平面ABC，所以AD⊥平面ABC.又AC⊂平面ABC，所以AD⊥AC.押题预测1．不重合的两条直线m，n分别在不重合的两个平面α，β内，下列为真命题的是() A．m⊥n⇒m⊥βB．m⊥n⇒α⊥βC．α∥β⇒m∥βD．m∥n⇒α∥β押题依据空间两条直线、两个平面之间的平行与垂直的判定是立体几何的重点内容，也是高考命题的热点．此类题常与命题的真假性、充分条件和必要条件等知识相交汇，意在考查考生的空间想象能力、逻辑推理能力．答案 C解析构造长方体，如图所示．因为A1C1⊥AA1，A1C1⊂平面AA1C1C，AA1⊂平面AA1B1B，但A1C1与平面AA1B1B不垂直，平面AA1C1C与平面AA1B1B也不垂直，所以选项A，B都是假命题．CC1∥AA1，但平面AA1C1C与平面AA1B1B相交而不平行，所以选项D为假命题．“若两平面平行，则一个平面内任何一条直线必平行于另一个平面”是真命题，故选C. 2．如图(1)，在正△ABC中，E，F分别是AB，AC边上的点，且BE＝AF＝2CF.点P为边BC上的点，将△AEF沿EF折起到△A1EF的位置，使平面A1EF⊥平面BEFC，连接A1B，A1P，EP，如图(2)所示．(1)求证：A1E⊥FP；(2)若BP＝BE，点K为棱A1F的中点，则在平面A1FP上是否存在过点K的直线与平面A1BE 平行，若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．押题依据以平面图形的翻折为背景，探索空间直线与平面位置关系，可以考查考生的空间想象能力和逻辑推理能力，预计将成为今年高考的命题方向．(1)证明在正△ABC中，取BE的中点D，连接DF，如图所示．因为BE＝AF＝2CF，所以AF＝AD，AE＝DE，而∠A＝60°，所以△ADF为正三角形．又AE＝DE，所以EF⊥AD.所以在题图(2)中，A1E⊥EF，又A1E⊂平面A1EF，平面A1EF⊥平面BEFC，且平面A1EF∩平面BEFC＝EF，所以A1E⊥平面BEFC.因为FP⊂平面BEFC，所以A1E⊥FP.(2)解在平面A1FP上存在过点K的直线与平面A1BE平行．理由如下：如题图(1)，在正△ABC中，因为BP＝BE，BE＝AF，所以BP＝AF，所以FP∥AB，所以FP∥BE.如图所示，取A1P的中点M，连接MK，因为点K为棱A1F的中点，所以MK∥FP.因为FP∥BE，所以MK∥BE.因为MK⊄平面A1BE，BE⊂平面A1BE，所以MK∥平面A1BE.故在平面A1FP上存在过点K的直线MK与平面A1BE平行．A组专题通关1．(2018·北京朝阳区模拟)已知α，β是两个不同的平面，l是一条直线，给出下列说法：①若l⊥α，α⊥β，则l∥β；②若l∥α，α∥β，则l∥β；③若l⊥α，α∥β，则l⊥β；④若l∥α，α⊥β，则l⊥β.其中说法正确的个数为()A．3 B．2 C．1 D．4答案 C解析①若l⊥α，α⊥β，则l∥β或l⊂β，不正确；②若l∥α，α∥β，则l∥β或l⊂β，不正确；③若l⊥α，α∥β，则l⊥β，正确；④若l∥α，α⊥β，则l⊥β或l∥β或l与β相交且l 与β不垂直，不正确，故选C.2．如图，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示GH，MN是异面直线的图形的序号为()A．①②B．③④C．①③D．②④答案 D解析由题意可得图①中GH与MN平行，不合题意；图②中GH 与MN 异面，符合题意； 图③中GH 与MN 相交，不合题意； 图④中GH 与MN 异面，符合题意．则表示GH ，MN 是异面直线的图形的序号为②④. 3．(2018·抚顺模拟)给出下列四个命题：①如果平面α外一条直线a 与平面α内一条直线b 平行，那么a ∥α； ②过空间一定点有且只有一条直线与已知平面垂直；③如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线与这个平面垂直； ④若两个相交平面都垂直于第三个平面，则这两个平面的交线垂直于第三个平面． 其中真命题的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 C解析 对于①，根据线面平行的判定定理，如果平面外一条直线a 与平面α内一条直线b 平行，那么a ∥α，故正确；对于②，因为垂直于同一平面的两直线平行，所以过空间一定点有且只有一条直线与已知平面垂直，故正确；对于③，平面内无数条直线均为平行线时，不能得出直线与这个平面垂直，故不正确；对于④，因为两个相交平面都垂直于第三个平面，所以在两个相交平面内各取一条直线垂直于第三个平面，可得这两条直线平行，则其中一条直线平行于另一条直线所在的平面，可得这条直线平行于这两个相交平面的交线，从而交线垂直于第三个平面，故正确．4．(2018·全国Ⅱ)在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝1，AA 1＝3，则异面直线AD 1与DB 1所成角的余弦值为( ) A.15 B.56 C.55 D.22 答案 C解析 方法一 如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1的一侧补上一个相同的长方体A′B′BA－A1′B1′B1A1.连接B1B′，由长方体性质可知，B1B′∥AD1，所以∠DB1B′为异面直线AD1与DB1所成的角或其补角．连接DB′，由题意，得DB′＝12＋(1＋1)2＝5，B′B1＝12＋(3)2＝2，DB1＝12＋12＋(3)2＝ 5.在△DB′B1中，由余弦定理，得DB′2＝B′B21＋DB21－2B′B1·DB1·cos∠DB1B′，即5＝4＋5－2×25cos∠DB1B′，∴cos∠DB1B′＝55.故选C.方法二如图，以点D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系D－xyz.由题意，得A (1,0,0)，D (0,0,0)， D 1(0,0，3)，B 1(1,1，3)， ∴AD 1→＝(－1,0，3)， DB 1→＝(1,1，3)，∴AD 1→·DB 1→＝－1×1＋0×1＋(3)2＝2， |AD 1→|＝2，|DB 1→|＝5，∴cos 〈AD 1→，DB 1→〉＝AD 1→·DB 1→|AD 1→||DB 1→|＝225＝55.故选C.5．对于四面体A —BCD ，有以下命题：①若AB ＝AC ＝AD ，则AB ，AC ，AD 与底面所成的角相等；②若AB ⊥CD ，AC ⊥BD ，则点A 在底面BCD 内的射影是△BCD 的内心； ③四面体A —BCD 的四个面中最多有四个直角三角形；④若四面体A —BCD 的6条棱长都为1，则它的内切球的表面积为π6.其中正确的命题是( ) A ．①③ B ．③④ C ．①②③ D ．①③④答案 D解析 ①正确，若AB ＝AC ＝AD ，则AB ，AC ，AD 在底面上的射影相等，即与底面所成角相等；②不正确，如图，点A在平面BCD内的射影为点O，连接BO，CO，可得BO⊥CD，CO⊥BD，所以点O是△BCD的垂心；③正确，如图，AB⊥平面BCD，∠BCD＝90°，其中有4个直角三角形；④正确，设正四面体的内切球的半径为r，棱长为1，高为63，根据等体积公式13×S△BCD×63＝13×4×S△BCD×r，解得r＝612，那么内切球的表面积S＝4πr2＝π6，故选D.6．已知m，n，l1，l2表示不同的直线，α，β表示不同的平面，若m⊂α，n⊂α，l1⊂β，l2⊂β，l1∩l2＝M，则α∥β的一个充分条件是()A．m∥β且l1∥αB．m∥β且n∥βC．m∥β且n∥l2D．m∥l1且n∥l2答案 D解析 对于选项A ，当m ∥β且l 1∥α时，α，β可能平行也可能相交，故A 不是α∥β的充分条件；对于选项B ，当m ∥β且n ∥β时，若m ∥n ，则α，β可能平行也可能相交，故B 不是α∥β的充分条件；对于选项C ，当m ∥β且n ∥l 2时，α，β可能平行也可能相交，故C 不是α∥β的充分条件；对于选项D ，当m ∥l 1，n ∥l 2时，由线面平行的判定定理可得l 1∥α，l 2∥α，又l 1∩l 2＝M ，由面面平行的判定定理可以得到α∥β，但α∥β时，m ∥l 1且n ∥l 2不一定成立，故D 是α∥β的一个充分条件．故选D.7．(2018·上海虹口区模拟)长方体的体对角线与过同一个顶点的三个表面所成的角分别为α，β，γ，则cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝________. 答案 2解析 设长方体的长、宽、高分别为a ，b ，c ，则体对角线长d ＝a 2＋b 2＋c 2，所以cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2＋c 2d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋c 2d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋b 2d 2＝2()a 2＋b 2＋c 2d 2＝2.8.如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面ABC ，底面是以∠ABC 为直角的等腰直角三角形，AC ＝2a ，BB 1＝3a ，点D 是A 1C 1的中点，点F 在线段AA 1上，当AF ＝________时，CF ⊥平面B 1DF .答案 a 或2a解析 由题意易知，B 1D ⊥平面ACC 1A 1， 又CF ⊂平面ACC 1A 1， 所以B 1D ⊥CF .要使CF ⊥平面B 1DF ，只需CF ⊥DF 即可． 令CF ⊥DF ，设AF ＝x ，则A 1F ＝3a －x . 易知Rt △CAF ∽Rt △FA 1D ， 得AC A 1F ＝AF A 1D ，即2a 3a －x＝x a ， 整理得x 2－3ax ＋2a 2＝0， 解得x ＝a 或x ＝2a .9.如图所示的多面体中，底面ABCD 为正方形，△GAD 为等边三角形，BF ⊥平面ABCD ，∠GDC ＝90°，点E 是线段GC 上除两端点外的一点，若点P 为线段GD 的中点．(1)求证：AP⊥平面GCD；(2)求证：平面ADG∥平面FBC.证明(1)因为△GAD是等边三角形，点P为线段GD的中点，所以AP⊥GD.因为AD⊥CD，GD⊥CD，且AD∩GD＝D，AD，GD⊂平面GAD，故CD⊥平面GAD，又AP⊂平面GAD，故CD⊥AP，又CD∩GD＝D，CD，GD⊂平面GCD，故AP⊥平面GCD.(2)因为BF⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以BF⊥CD，因为BC⊥CD，BF∩BC＝B，BF，BC⊂平面FBC，所以CD⊥平面FBC，由(1)知CD⊥平面GAD，所以平面ADG∥平面FBC.10．(2018·张掖检测)在梯形ABCD中(图1)，AB∥CD，AB＝2，CD＝5，过A，B分别作CD 的垂线，垂足分别为E，F，已知DE＝1，AE＝2，将梯形ABCD沿AE，BF同侧折起，使得AF⊥BD，DE∥CF，得空间几何体ADE－BCF(图2)．(1)证明：BE∥平面ACD；(2)求三棱锥E－ACD的体积．(1)证明连接BE交AF于点O，取AC的中点H，连接OH，DH，则OH是△AFC的中位线，所以OH∥CF且OH＝12CF，由已知得DE∥CF且DE＝12CF，所以DE∥OH且DE＝OH，所以四边形DEOH为平行四边形，DH∥EO，又因为EO⊄平面ACD，DH⊂平面ACD，所以EO ∥平面ACD ，即BE ∥平面ACD . (2)解 由已知得，四边形ABFE 为正方形， 且边长为2，则AF ⊥BE ，由已知AF ⊥BD ，BE ∩BD ＝B ，BE ，BD ⊂平面BDE ， 可得AF ⊥平面BDE ， 又DE ⊂平面BDE ， 所以AF ⊥DE ，又AE ⊥DE ，AF ∩AE ＝A ，AF ，AE ⊂平面ABFE ， 所以DE ⊥平面ABFE ， 又EF ⊂平面ABEF ，所以DE ⊥EF ，四边形DEFC 是直角梯形， 又AE ⊥EF ，DE ∩EF ＝E ，DE ，EF ⊂平面CDE ， 所以AE ⊥平面CDE ，所以AE 是三棱锥A －DEC 的高， V E －ACD ＝V A －ECD ＝V A －EFD ＝13×AE ×12×DE ×EF ＝23. B 组 能力提高11．(2018·全国Ⅰ)已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为( ) A.334B.233C.324D.32答案 A解析 如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，平面AB 1D 1与棱A 1A ，A 1B 1，A 1D 1所成的角都相等，又正方体的其余棱都分别与A 1A ，A 1B 1，A 1D 1平行，故正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的每条棱所在直线与平面AB 1D 1所成的角都相等．取棱AB ，BB 1，B 1C 1，C 1D 1，DD 1，AD 的中点E ，F ，G ，H ，M ，N ，则正六边形EFGHMN 所在平面与平面AB 1D 1平行且面积最大，此截面面积为S 正六边形EFGHMN ＝6×12×22×22sin 60°＝334.故选A.12．(2018·泉州质检)已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有棱长都相等，M ，N 分别为B 1C 1，BB 1的中点．现有下列四个结论： p 1：AC 1∥MN ； p 2：A 1C ⊥C 1N ； p 3：B 1C ⊥平面AMN ；p 4：异面直线AB 与MN 所成角的余弦值为24. 其中正确的结论是( ) A ．p 1，p 2 B ．p 2，p 3 C ．p 2，p 4 D ．p 3，p 4答案 C解析 正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有棱长都相等， M ，N 分别为B 1C 1，BB 1的中点． 对于p 1：如图①所示， MN ∥BC 1，BC 1∩AC 1＝C 1，。
2018版高考数学二轮复习 第1部分 重点强化专题 限时集训10 空间中的平行与垂直关系 文
专题限时集训(十) 空间中的平行与垂直关系[建议A、B组各用时：45分钟][A组高考达标]一、选择题1．设α为平面，a，b为两条不同的直线，则下列叙述正确的是( )A．若a∥α，b∥α，则a∥bB．若a⊥α，a∥b，则b⊥αC．若a⊥α，a⊥b，则b∥αD．若a∥α，a⊥b，则b⊥αB[A中，两直线可能平行、相交或异面，故A错；B中，由直线与平面垂直的判定定理可知B正确；C中，b可能平行α，也可能在α内，故C错；D中，b可能平行α，也可能在α内，还可能与α相交，故D错．综上所述，故选B.] 2．(2017·南昌模拟)如图105，在四面体ABCD中，已知AB⊥AC，BD⊥AC，那么点D在平面ABC内的射影H必在( )【导学号：04024096】图105A．直线AB上B．直线BC上C．直线AC上D．△ABC内部A[因为AB⊥AC，BD⊥AC，AB∩BD＝B，所以AC⊥平面ABD，又AC⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面ABD，所以点D在平面ABC内的射影H必在直线AB上．]3．已知α，β是两个不同的平面，有下列三个条件：①存在一个平面γ，γ⊥α，γ∥β；②存在一条直线a，a⊂α，a⊥β；③存在两条垂直的直线a，b，a⊥β，b⊥α.其中，所有能成为“α⊥β”的充要条件的序号是( )A．①B．②C．③D．①③D [对于①，存在一个平面γ，γ⊥α，γ∥β，则α⊥β，反之也成立，即“存在一个平面γ，γ⊥α，γ∥β”是“α⊥β”的充要条件，所以①对，可排除B ，C.对于③，存在两条垂直的直线a ，b ，则直线a ，b 所成的角为90°，因为a ⊥β，b ⊥α，所以α，β所成的角为90°， 即α⊥β，反之也成立，即“存在两条垂直的直线a ，b ，a ⊥β，b ⊥α”是“α⊥β”的充要条件，所以③对，可排除A ，选D.]4．(2017·莆田模拟)已知正方体ABCD A 1B 1C 1D 1，平面α过直线BD ，α⊥平面AB 1C ，α∩平面AB 1C ＝m ，平面β过直线A 1C 1，β∥平面AB 1C ，β∩平面ADD 1A 1＝n ，则m ，n 所成的角的余弦值为( ) A.12 B.13 C.22D.32D [如图，由题中条件知，直线m 为B 1O ，直线n 为A 1D ，∵B 1C ∥A 1D ，∴B 1O 与A 1D 所成的角为∠CB 1O (或其补角)，设正方体的棱长为a ，在△CB 1O 中，B 1C ＝2a ，CO ＝22a ，B 1O ＝62a ，∴cos ∠CB 1O ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫62a 2＋2a2－⎝⎛⎭⎪⎫22a 22×62a ×2a ＝32.故选D.] 5．(2017·武汉模拟)如图106，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝1，将△ACD 沿AC 折起，使得D 折起后的位置为D 1，且D 1在平面ABC 上的射影恰好落在AB 上，在四面体D 1ABC 的四个面中，有n 对平面相互垂直，则n 等于( )【导学号：04024097】图106A ．2B ．3C ．4D ．5B [设D 1在平面ABC 上的射影为E ，连接D 1E ，则D 1E ⊥平面ABC ， ∵D 1E ⊂平面ABD 1， ∴平面ABD 1⊥平面ABC .∵D 1E ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， ∴D 1E ⊥BC ，又AB ⊥BC ，D 1E ∩AB ＝E ， ∴BC ⊥平面ABD 1， 又BC ⊂平面BCD 1， ∴平面BCD 1⊥平面ABD 1，∵BC ⊥平面ABD 1，AD 1⊂平面ABD 1， ∴BC ⊥AD 1，又CD 1⊥AD 1，BC ∩CD 1＝C ， ∴AD 1⊥平面BCD 1， 又AD 1⊂平面ACD 1， ∴平面ACD 1⊥平面BCD 1.∴共有3对平面互相垂直．故选B.]二、填空题6．(2017·黄山模拟)已知正六棱锥S ABCDEF 的底面边长和高均为1，则异面直线SC 与DE 所成角的大小为________．π4[设正六边形ABCDEF 的中心为O ，连接SO ，CO ，BO ，则由正六边形的性质知OC ∥DE ，SO ⊥平面ABCDEF ，所以∠SCO 为异面直线SC 与DE 所成角．又易知△BOC 为等边三角形，所以SO ＝BC ＝CO ＝1，所以∠SCO ＝π4.]7．在三棱锥C ABD 中(如图107)，△ABD 与△CBD 是全等的等腰直角三角形，O 是斜边BD的中点，AB ＝4，二面角A BD C 的大小为60°，并给出下面结论：①AC ⊥BD ；②AD ⊥CO ；③△AOC 为正三角形；④cos ∠ADC ＝32；⑤四面体ABCD 的外接球表面积为32π.其中真命题是________(填序号)．图107①③⑤ [由题意知BD ⊥CO ，BD ⊥AO ，则BD ⊥平面AOC ，从而BD ⊥AC ，故①正确；根据二面角A BD C 的大小为60°，可得∠AOC ＝60°，又直线AD 在平面AOC 的射影为AO ，从而AD 与CO 不垂直，故②错误；根据∠AOC ＝60°，AO ＝CO 可得△AOC 为正三角形，故③正确；在△ADC 中 ，AD ＝CD ＝4，AC ＝CO ＝22，由余弦定理得cos ∠ADC ＝42＋42－222×4×4＝34，故④错误；由题意知，四面体ABCD 的外接球的球心为O ，半径为22，则外接球的表面积为S ＝4π×(22)2＝32π，故⑤正确．]8．正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E 为线段B 1D 1上的一个动点，则下列结论中正确的是________．(填序号) ①AC ⊥BE ； ②B 1E ∥平面ABCD ；③三棱锥E ABC 的体积为定值； ④直线B 1E ⊥直线BC 1.①②③ [因为AC ⊥平面BDD 1B 1，故①，②正确；记正方体的体积为V ，则V E ABC ＝16V为定值，故③正确；B 1E 与BC 1不垂直，故④错误．] 三、解答题9．(2017·全国卷Ⅲ)如图108，四面体ABCD 中，△ABC 是正三角形，AD ＝CD .图108(1)证明：AC ⊥BD ；(2)已知△ACD 是直角三角形，AB ＝BD ，若E 为棱BD 上与D 不重合的点，且AE ⊥EC ，求四面体ABCE 与四面体ACDE 的体积比．[解] (1)证明：如图，取AC 的中点O ，连接DO ，BO . 因为AD ＝CD ，所以AC ⊥DO ．1分又由于△ABC 是正三角形， 所以AC ⊥BO ． 2分 从而AC ⊥平面DOB ， 3分 故AC ⊥BD ．4分(2)连接EO .由(1)及题设知∠ADC ＝90°，所以DO ＝AO .5分 在Rt △AOB 中，BO 2＋AO 2＝AB 2.又AB ＝BD ，所以BO 2＋DO 2＝BO 2＋AO 2＝AB 2＝BD 2， 故∠DOB ＝90°.7分由题设知△AEC 为直角三角形，所以EO ＝12AC ．8分 又△ABC 是正三角形，且AB ＝BD ，所以EO ＝12BD .9分故E 为BD 的中点，从而E 到平面ABC 的距离为D 到平面ABC 的距离的12，四面体ABCE的体积为四面体ABCD 的体积的12，即四面体ABCE 与四面体ACDE 的体积之比为1∶1．12分10．(2017·西安模拟)如图①，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BAD ＝π2，AB ＝BC ＝12AD ＝a ，E 是AD 的中点，O 是AC 与BE 的交点．将△ABE 沿BE 折起到图②中△A 1BE 的位置，得到四棱锥A 1BCDE .图109(1)证明：CD ⊥平面A 1OC ；(2)当平面A 1BE ⊥平面BCDE 时，四棱锥A 1BCDE 的体积为362，求a 的值.【导学号：04024098】[解] (1)证明：在题图①中，因为AB ＝BC ＝12AD ＝a ，E 是AD 的中点，∠BAD ＝π2，所以BE ⊥AC .即在题图②中，BE ⊥A 1O ，BE ⊥OC ， 从而BE ⊥平面A 1OC ， 又CD ∥BE ， 所以CD ⊥平面A 1OC .(2)由已知，平面A 1BE ⊥平面BCDE ， 且平面A 1BE ∩平面BCDE ＝BE ， 又由(1)知，A 1O ⊥BE ， 所以A 1O ⊥平面BCDE ， 即A 1O 是四棱锥A 1BCDE 的高． 由题图①知，A 1O ＝22AB ＝22a ，平行四边形BCDE 的面积S ＝BC ·AB ＝a 2. 从而四棱锥A 1BCDE 的体积为V ＝13×S ×A 1O ＝13×a 2×22a ＝26a 3， 由26a 3＝362，得a ＝6. [B 组 名校冲刺]一、选择题1．(2016·乌鲁木齐三模)如图1010，在多面体ABC DEFG 中，平面ABC ∥平面DEFG ，AC ∥GF ，且△ABC 是边长为2的正三角形，四边形DEFG 是边长为4的正方形，M ，N 分别为AD ，BE 的中点，则MN ＝( )图1010A.7 B ．4 C.19D ．5A [如图，取BD 的中点P ，连接MP ，NP ，则MP ∥AB ，NP ∥DE ，MP ＝12AB ＝1，NP ＝12DE ＝2.又∵AC ∥GF ，∴AC ∥NP .∵∠CAB ＝60°，∴∠MPN ＝120°， ∴MN ＝MP 2＋NP 2－2×MP ×NP ×cos 120° ＝1＋4－2×1×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝7，故选A.] 2．如图1011，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝AB ，∠BCD ＝45°，∠BAD ＝90°，将△ADB 沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，构成三棱锥A BCD .则在三棱锥A BCD 中，下列命题正确的是( )图1011A ．平面ABD ⊥平面ABCB ．平面ADC ⊥平面BDC C ．平面ABC ⊥平面BDCD ．平面ADC ⊥平面ABCD [∵在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝AB ，∠BCD ＝45°，∠BAD ＝90°，∴BD ⊥CD .又平面ABD ⊥平面BCD ，且平面ABD ∩平面BCD ＝BD ，∴CD ⊥平面ABD ，则CD ⊥AB .又AD ⊥AB ，AD ∩CD ＝D ，∴AB ⊥平面ADC ，又AB ⊂平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面ADC ，故选D.]3．(2017·安阳二模)如图1012，在正四棱锥S ABCD 中，E ，M ，N 分别是BC ，CD ，SC 的中点，动点P 在线段MN 上运动时，下列四个结论： ①EP ⊥AC ； ②EP ∥BD ； ③EP ∥平面SBD ； ④EP ⊥平面SAC ，其中恒成立的为( )【导学号：04024099】图1012A ．①③B ．③④C ．①②D ．②③④A [如图所示，设AC ，BD 相交于点O ，连接SO ，EM ，EN .对于①，由S ABCD 是正四棱锥，可得SO ⊥底面ABCD ，AC ⊥BD ，∴SO ⊥AC . ∵SO ∩BD ＝O ，∴AC ⊥平面SBD ，∵E ，M ，N 分别是BC ，CD ，SC 的中点，∴EM ∥BD ，MN ∥SD ，而EM ∩MN ＝M ，SD ∩BD ＝D ，SD ，BD ⊂平面SBD ，MN ，EM ⊂平面EMN ，∴平面EMN ∥平面SBD ，∴AC ⊥平面EMN ， ∴AC ⊥EP .故①正确．对于②，易知EP 与BD 是异面直线，因此②不正确． 对于③，由①可知平面EMN ∥平面SBD ， ∴EP ∥平面SBD ，因此③正确．对于④，由①同理可得EM ⊥平面SAC ，若EP ⊥平面SAC ，则EP ∥EM ，与EP ∩EM ＝E 相矛盾，因此当P 与M 不重合时，EP 与平面SAC 不垂直．即④不正确．故选A.]4．(2016·长沙模拟)如图1013，正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E ，F 是线段B 1D 1上的两个动点，且EF ＝22，则下列结论中错误的是( )图1013A．AC⊥BFB．三棱锥ABEF的体积为定值C．EF∥平面ABCDD．异面直线AE，BF所成的角为定值D[对于选项A，连接BD(图略)，易知AC⊥平面BDD1B1.∵BF⊂平面BDD1B1，∴AC⊥BF，故A正确；对于选项B，∵AC⊥平面BDD1B1，∴A到平面BEF的距离不变．∵EF＝22，B到EF的距离为1，∴△BEF的面积不变，∴三棱锥ABEF的体积为定值，故B正确；对于选项C，∵EF∥BD，BD⊂平面ABCD，EF⊄平面ABCD，∴EF∥平面ABCD，故C正确；对于选项D，异面直线AE，BF所成的角不为定值，当F与B1重合时，令上底面中心为O，则此时两异面直线所成的角是∠A1AO，当E与D1重合时，点F与O重合，则两异面直线所成的角是∠OBC1，这两个角不相等，故异面直线AE，BF所成的角不为定值，故D错误．]二、填空题5．(2017·衡水二模)如图1014，正方形BCDE的边长为a，已知AB＝3BC，将△ABE沿边BE折起，折起后A点在平面BCDE上的射影为D点，关于翻折后的几何体有如下描述：图1014①AB与DE所成角的正切值是2；②AB∥CE；③V BACE＝16a3；④平面ABC⊥平面ACD.其中正确的有________．(填序号)①③④[作出折叠后的几何体直观图如图所示：∵AB＝3BC＝3a，BE＝a，∴AE＝2a.∴AD＝AE2－DE2＝a，∴AC＝CD2＋AD2＝2a.在△ABC中，cos∠ABC＝AB2＋BC2－AC2 2AB×BC＝3a 2＋a 2－2a 223a2＝33. ∴sin ∠ABC ＝1－cos 2∠ABC ＝63. ∴tan ∠ABC ＝sin ∠ABCcos ∠ABC＝ 2.∵BC ∥DE ，∴∠ABC 是异面直线AB ，DE 所成的角，故①正确．连接BD ，CE ，则CE ⊥BD ，又AD ⊥平面BCDE ，CE ⊂平面BCDE ，∴CE ⊥AD .又BD ∩AD ＝D ，BD ⊂平面ABD ，AD⊂平面ABD ，∴CE ⊥平面ABD .又AB ⊂平面ABD ，∴CE ⊥AB ，故②错误．V B ACE ＝V A BCE ＝13S △BCE ·AD ＝13×12×a 2×a ＝a36，故③正确．∵AD ⊥平面BCDE ，BC ⊂平面BCDE ，∴BC ⊥AD .又BC ⊥CD ，CD ∩AD ＝D ，CD ，AD ⊂平面ACD ，∴BC ⊥平面ACD .∵BC ⊂平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面ACD ，故④正确．故答案为①③④.]6．(2016·太原二模)已知在直角梯形ABCD 中，AB ⊥AD ，CD ⊥AD ，AB ＝2AD ＝2CD ＝2，将直角梯形ABCD 沿AC 折叠成三棱锥D ABC ，当三棱锥D ABC 的体积取最大值时，其外接球的体积为________.【导学号：04024100】43π [当平面DAC ⊥平面ABC 时，三棱锥D ABC 的体积取最大值．此时易知BC ⊥平面DAC ，∴BC ⊥AD .又AD ⊥DC ，∴AD ⊥平面BCD ，∴AD ⊥BD ，取AB 的中点O ，易得OA ＝OB ＝OC ＝OD ＝1，故O 为所求外接球的球心，故半径r ＝1，体积V ＝43πr 3＝43π.]三、解答题7．(2017·东北三省四市联考)如图1015，在四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥底面ABCD ，AD ＝AP ＝2，AB ＝27，E 为棱PD 的中点．图1015(1)求证：PD ⊥平面ABE ；(2)求三棱锥C PBD 外接球的体积．[解] (1)证明：∵PA ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ， ∴PA ⊥AB .∵四边形ABCD 为矩形，∴AB ⊥AD ， ∵PA ∩AD ＝A ，∴AB ⊥平面PAD ， ∵PD ⊂平面PAD ，∴AB ⊥PD ， ∵PA ＝AD ，E 为PD 中点，∴PD ⊥AE ， ∵AE ∩AB ＝A ，∴PD ⊥平面ABE ． 6分(2)令PC 的中点为O ，连接OB ，OD ，由(1)知AB ⊥平面PAD ，AB ∥CD ，∴CD ⊥平面PAD . ∵PD ⊂平面PAD ，∴CD ⊥PD ，则OD ＝12PC ＝OP ＝OC .∵PA ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴PA ⊥BC ， ∵BC ⊥AB ，PA ∩AB ＝A ， ∴BC ⊥平面PAB ，∵PB ⊂平面PAB ，∴BC ⊥PB ，则OB ＝12PC ＝OP ＝OC ，∴点O 为三棱锥C PBD 的外接球球心，PC 为直径． 又PC 2＝AB 2＋AD 2＋AP 2＝(27)2＋22＋22＝36，PC ＝6， ∴三棱锥C PBD 外接球的体积为V 球＝43π×33＝36π．12分8．(2017·福州模拟)如图①，在等腰梯形PDCB 中，PB ∥DC ，PB ＝3，DC ＝1，∠DPB ＝45°，DA ⊥PB 于点A ，将△PAD 沿AD 折起，构成如图②所示的四棱锥P ABCD ，点M 在棱PB 上，且PM ＝12MB .图1016(1)求证：PD ∥平面MAC ；(2)若平面PAD ⊥平面ABCD ，求点A 到平面PBC 的距离． [解] (1)证明：在四棱锥P ABCD 中， 连接BD 交AC 于点N ，连接MN ，依题意知AB ∥CD ，∴△ABN ∽△CDN ， 2分 ∴BN ND ＝BA CD＝2.3分∵PM ＝12MB ，∴BN ND ＝BMMP ＝2，∴在△BPD 中，MN ∥PD ．4分 又PD ⊄平面MAC ，MN ⊂平面MAC ， ∴PD ∥平面MAC ．6分(2)法一：∵平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，PA ⊥AD ，PA ⊂平面PAD ， ∴PA ⊥平面ABCD ．8分 ∴V P ABC ＝13S △ABC ·PA ＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×1×1＝13. 9分∵AB ＝2，AC ＝AD 2＋CD 2＝2，∴PB ＝PA 2＋AB 2＝5，PC ＝PA 2＋AC 2＝3，BC ＝AD 2＋AB －CD2＝ 2.∴PB 2＝PC 2＋BC 2，故∠PCB ＝90°． 10分 记点A 到平面PBC 的距离为h ，∴V A PBC ＝13S △PBC ·h ＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×3×2h ＝66h . 11分∵V P ABC ＝V A PBC ，∴13＝66h ，解得h ＝63．12分 法二：∵平面PAD ⊥平面ABCD ， 平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，PA ⊥AD ，PA ⊂平面PAD ，∴PA ⊥平面ABCD ．8分∵BC ⊂平面ABCD ，∴PA ⊥BC . ∵AB ＝2，AC ＝AD 2＋CD 2＝2，BC ＝AD 2＋AB －CD2＝2，∴∠ACB ＝90°，即BC ⊥AC .∵PA ∩AC ＝A ，PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ， ∴BC ⊥平面PAC ．10分过A 作AE ⊥PC 于点E ，则BC ⊥AE ，∵PC ∩BC ＝C ，PC ⊂平面PBC ，BC ⊂平面PBC ， ∴AE ⊥平面PBC . 11分∵PC ＝PA 2＋AC 2＝ 3. ∴点A 到平面PBC 的距离为AE ＝PA ·AC PC ＝1×23＝63．12分。
专题11 立体几何 11.3平行与垂直证明 题型归纳讲义-2022届高三数学一轮复习(解析版)
所以 EF∥BC．
又因为 EF⊄平面 PBC，BC⊂平面 PBC，
△PAD 是正三角形，平面 PAD⊥平面 PBD．
（Ⅰ）求证：PA⊥BD；
（Ⅱ）设二面角 P﹣BD﹣A 的大小为α，直线 PA 与平面 PBC 所成角的大小为β，求 cos
（α+β）的值．
【解答】（Ⅰ）证明：∵∠BAD＝45°，AD＝1，�� = 2，
∴由余弦定理，得：
BD=
1 + 2 − 2 × 1 × 2 × ���45° =1，…（2 分）
性质定理
行，则过这条直线的任一
∵l∥α，
平面与此平面的交线与
l⊂β，α∩β
该直线平行(简记为“线面
＝b，∴l∥b
平行⇒线线平行”)
2．平面与平面平行的判定定理和性质定理
文字语言
判定定理
图形语言
符号语言
一个平面内的两条相交
∵a∥β，b
直线与另一个平面平行，
∥β，a∩b
则这两个平面平行(简记
＝P，a⊂α，
⊥AC，
所以 PA⊥面 ABC，
因为 BC⊂平面 ABC，
所以 PA⊥BC．
又因为 AB⊥BC，且 PA∩AB＝A，
所以 BC⊥面 PAB．
…．（9 分）
（Ⅲ）解：当点 F 是线段 AB 中点时，过点 D，E，F 的平面内的任一条直线都与平面 PBC
平行．
取 AB 中点 F，连 EF，连 DF．
由（Ⅰ）可知 DE∥平面 PBC．
��
理由．
【解答】（Ⅰ）证明：取 AB 中点 O，连接 EO，DO．
因为 EA＝EB，所以 EO⊥AB． …（2 分）
2018年高考数学(理)命题猜想 专题13空间中的平行与垂直
2018年高考数学（理）命题猜想 专题13空间中的平行与垂直【考向解读】1.以选择题、填空题的形式考查，主要利用平面的基本性质及线线、线面和面面的判定与性质定理对命题的真假进行判断，属基础题.2.以解答题的形式考查，主要是对线线、线面与面面平行和垂直关系交汇综合命题，且多以棱柱、棱锥、棱台或其简单组合体为载体进行考查，难度中等.【命题热点突破一】 空间线面位置关系的判定(1)根据空间线面平行、垂直关系的判定定理和性质定理逐项判断来解决问题；(2)必要时可以借助空间几何模型，如从长方体、四面体等模型中观察线面位置关系，并结合有关定理来进行判断．例1、(2017·全国卷Ⅰ)如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB 与平面MNQ 不平行的是( )C 【答案】A【变式探究】【2016高考江苏卷】(本小题满分14分)如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，D ，E 分别为AB ，BC 的中点，点F 在侧棱B 1B 上，且11B D A F ⊥ ，1111AC A B ⊥. 求证：（1）直线DE ∥平面A 1C 1F ；（2）平面B 1DE ⊥平面A 1C 1F .【答案】（1）详见解析（2）详见解析【解析】证明：（1）在直三棱柱111ABC A B C -中，11//AC AC在三角形ABC 中，因为D,E 分别为AB,BC 的中点.所以//DE AC ，于是11//DE AC又因为DE ⊄平面1111,AC F AC ⊂平面11AC F所以直线DE//平面11AC F【变式探究】(1)若直线l 1和l 2是异面直线，l 1在平面α内，l 2在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是( )A ．l 与l 1，l 2都不相交B ．l 与l 1，l 2都相交C ．l 至多与l 1，l 2中的一条相交D ．l 至少与l 1，l 2中的一条相交(2)平面α∥平面β的一个充分条件是( )A ．存在一条直线a ，a ∥α，a ∥βB ．存在一条直线a ，a ⊂α，a ∥βC ．存在两条平行直线a ，b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥αD．存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α【答案】(1)D (2)D【特别提醒】解决空间点、线、面位置关系的组合判断题，主要是根据平面的基本性质、空间位置关系的各种情况，以及空间线面垂直、平行关系的判定定理和性质定理进行判断，必要时可以利用正方体、长方体、棱锥等几何模型辅助判断，同时要注意平面几何中的结论不能完全引用到立体几何中．【变式探究】已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不重合的平面，给出下列命题：①若m⊥α，n⊥α，则m∥n；②若m⊥α，m⊥n，则n∥α；③若α⊥β，m∥α，则m⊥β；④若m⊥α，m∥β，则α⊥β.A．0 B．1C．2 D．3【答案】C【解析】对于①，垂直于同一个平面的两条直线平行，①正确；对于②，直线n可能在平面α内，所以推不出n∥α，②错误；对于③，举一反例，m⊂β且m与α，β的交线平行时，也有m∥α，③错误；对于④，可以证明其正确性，④正确．故选C.【命题热点突破二】空间平行、垂直关系的证明空间平行、垂直关系证明的主要思想是转化，即通过判定、性质定理将线线、线面、面面之间的平行、垂直关系相互转化．例2、【2017江苏，15】如图，在三棱锥A-BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F(E 与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD.求证：（1）EF ∥平面ABC ；（2）AD ⊥AC .【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】证明：（1）在平面ABD 内，因为AB ⊥AD ， EF AD ⊥，所以EF AB.又因为EF ⊄平面ABC ， AB ⊂平面ABC ，所以EF ∥平面ABC.(第15题)ADB C EF【变式探究】【2016高考江苏卷】(本小题满分14分)如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，D ，E 分别为AB ，BC 的中点，点F 在侧棱B 1B 上，且11B D A F ⊥ ，1111AC A B ⊥. 求证：（1）直线DE ∥平面A 1C 1F ；（2）平面B 1DE ⊥平面A 1C 1F .【答案】（1）详见解析（2）详见解析（2）在直三棱柱111ABC A B C -中，1111AA ⊥平面A B C因为11AC ⊂平面111A B C ，所以111AA⊥A C 又因为111111*********,,AC A B AA ABB A A B ABB A A B AA A ⊥⊂⊂= ，平面平面所以11AC ⊥平面11ABB A因为1B D ⊂平面11ABB A ，所以111AC B D ⊥又因为1111111111111C F,C F,B D A AC A A F A AC A F A ⊥⊂⊂= F ，平面平面所以111C F B D A ⊥平面因为直线11B D B DE ⊂平面，所以1B DE 平面11.AC F ⊥平面【变式探究】如图，三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD＝PC＝4，AB＝6，BC＝3.(1)证明：BC∥平面PDA；(2)证明：BC⊥PD；(3)求点C到平面PDA的距离．【解析】(2)证明因为四边形ABCD是长方形，所以BC⊥CD，因为平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD＝CD，BC⊂平面ABCD，所以BC⊥平面PDC，因为PD⊂平面PDC，所以BC⊥PD.(3)解如图，取CD的中点E，连接AE和PE.因为PD＝PC，所以PE⊥CD，在Rt△PED中，PE＝PD2－DE2＝42－32＝7.因为平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD＝CD，PE⊂平面PDC，所以PE⊥平面ABCD，由(2)知：BC⊥平面PDC，由(1)知：BC∥AD，所以AD⊥平面PDC，因为PD⊂平面PDC，所以AD ⊥PD .设点C 到平面PDA 的距离为h ，因为V 三棱锥CPDA ＝V 三棱锥PACD ，所以13S △PDA ·h ＝13S △ACD ·PE ， 即h ＝S △ACD ·PE S △PDA ＝12×3×6×712×3×4＝372， 所以点C 到平面PDA 的距离是372. 【特别提醒】 垂直、平行关系的基础是线线垂直和线线平行，常用方法如下：(1)证明线线平行常用的方法：一是利用平行公理，即证两直线同时和第三条直线平行；二是利用平行四边形进行平行转换；三是利用三角形的中位线定理证线线平行；四是利用线面平行、面面平行的性质定理进行平行转换．(2)证明线线垂直常用的方法：①利用等腰三角形底边中线即高线的性质；②勾股定理；③线面垂直的性质：即要证两线垂直，只需证明一线垂直于另一线所在的平面即可，l ⊥α，a ⊂α⇒l ⊥a .【变式探究】如图所示，已知AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，△ACD 为等边三角形，AD ＝DE ＝2AB ，F 为CD 的中点．求证：(1)AF ∥平面BCE ；(2)平面BCE ⊥平面CDE .【解析】证明 (1)如图，取CE的中点G ，连接FG ，BG .∵F 为CD 的中点，∴GF ∥DE 且GF ＝12DE . ∵AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，∴AB ∥DE ，∴GF ∥AB .又AB ＝12DE ，∴GF ＝AB . ∴四边形GFAB 为平行四边形，则AF ∥BG .∵AF ⊄平面BCE ，BG ⊂平面BCE ，∴AF ∥平面BCE .【命题热点突破三】 平面图形的折叠问题平面图形经过翻折成为空间图形后，原有的性质有的发生变化、有的没有发生变化，这些发生变化和没有发生变化的性质是解决问题的关键．一般地，在翻折后还在一个平面上的性质不发生变化，不在同一个平面上的性质发生变化，解决这类问题就是要根据这些变与不变，去研究翻折以后的空间图形中的线面关系和各类几何量的度量值，这是化解翻折问题的主要方法．例3、【2016高考新课标2理数】如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，5,6AB AC ==，点,E F分别在,AD CD 上，54AE CF ==，EF 交BD 于点H ．将D E F ∆沿EF 折到D EF '∆位置，OD '= （Ⅰ）证明：D H '⊥平面ABCD ；（Ⅱ）求二面角B D A C '--的正弦值．【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）25. 【解析】 （Ⅰ）由已知得AC BD ⊥，AD CD =，又由AE CF =得AE CF AD CD=，故AC EF ∥.因此EF HD ⊥，从而EF D H '⊥.由5AB =,6AC =得04DO B ==. 由EF AC ∥得14OH AE DO AD ==.所以1OH =，==3D H DH '. 于是222223110D H OH D O ''+=+==，故D H OH '⊥.又D H EF '⊥，而OH EF H = ，所以D H ABCD '⊥平面.【变式探究】如图(1)，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，D ， E 分别为AC ，AB 的中点，点F 为线段CD 上的一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图(2)．(1)求证：DE∥平面A1CB；(2)求证：A1F⊥BE；(3)线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？请说明理由．【解析】(2)证明由题图(1)得AC⊥BC且DE∥BC，所以DE⊥AC.所以DE⊥A1D，DE⊥CD.所以DE⊥平面A1DC.而A1F⊂平面A1DC，所以DE⊥A1F.又因为A1F⊥CD，所以A1F⊥平面BCDE，又BE⊂平面BCDE，所以A1F⊥BE.(3)解线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ.理由如下：如图，分别取A1C，A1B的中点P，Q，则PQ∥BC.又因为DE∥BC，所以DE∥PQ.所以平面DEQ即为平面DEP.由(2)知，DE⊥平面A1DC，所以DE⊥A1C.又因为P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点，所以A1C⊥DP.所以A1C⊥平面DEP.从而A1C⊥平面DEQ.故线段A1B上存在点Q，使得A1C⊥平面DEQ.【特别提醒】(1)折叠问题中不变的数量和位置关系是解题的突破口；(2)存在探索性问题可先假设存在，然后在此前提下进行逻辑推理，得出矛盾或肯定结论．【变式探究】如图(1)，四边形ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，AB＝1，BC＝PC＝2，作如图(2)折叠，折痕EF∥DC.其中点E，F分别在线段PD，PC上，沿EF折叠后点P叠在线段AD上的点记为M，并且MF⊥CF.(1)证明：CF⊥平面MDF；(2)求三棱锥M－CDE的体积．【解析】(2)解因为PD⊥DC，BC＝2，CD＝1，∠PCD＝60°，所以PD ＝3，由(1)知FD ⊥CF ， 在直角三角形DCF 中，CF ＝12CD ＝12.过点F 作FG ⊥CD 交CD 于点G ，得FG ＝FC sin60°＝12×32＝34，【高考真题解读】1．(2017·全国卷Ⅰ)如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB 与平面MNQ 不平行的是( )C 【解析】B 选项中，AB ∥MQ ，且AB ⊄平面MNQ ，MQ ⊂平面MNQ ，则AB ∥平面MNQ ；C 选项中，AB ∥MQ ，且AB ⊄平面MNQ ，MQ ⊂平面MNQ ，则AB ∥平面MNQ ；D 选项中，AB ∥NQ ，且AB ⊄平面MNQ ，NQ ⊂平面MNQ ，则AB ∥平面MNQ .故选A. 【答案】A2．(2017·山东卷)由四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1截去三棱锥C 1－B 1CD 1后得到的几何体如图所示．四边形ABCD 为正方形，O 为AC 与BD 的交点，E 为AD 的中点，A 1E ⊥平面ABCD .(1)证明：A1O∥平面B1CD1；(2)设M是OD的中点，证明：平面A1EM⊥平面B1CD1. 【解析】证明：(1)取B1D1的中点O1，连接CO1，A1O1，由于ABCD－A1B1C1D1是四棱柱，所以A1O1∥OC，A1O1＝OC，因此四边形A1OCO1为平行四边形，所以A1O∥O1C.又O1C⊂平面B1CD1，A1O⊄平面B1CD1，所以A1O∥平面B1CD1.3.【2017江苏，15】 如图，在三棱锥A-BCD 中，AB ⊥AD ， BC ⊥BD ， 平面ABD ⊥平面BCD ， 点E ，F (E 与A ，D 不重合)分别在棱AD ，BD 上，且EF ⊥AD .求证：（1）EF ∥平面ABC ； （2）AD ⊥AC .【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】证明：（1）在平面ABD 内，因为AB ⊥AD ， EF AD ⊥，所以EF AB.又因为EF ⊄平面ABC ， AB ⊂平面ABC ，所以EF ∥平面ABC .(第15题)ADBC EF1.【2016高考新课标2理数】 ,αβ是两个平面，,m n 是两条直线，有下列四个命题： （1）如果,,//m n m n αβ⊥⊥，那么αβ⊥. （2）如果,//m n αα⊥，那么m n ⊥. （3）如果//,m αβα⊂，那么//m β.（4）如果//,//m n αβ，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等. 其中正确的命题有 ． (填写所有正确命题的编号） 【答案】②③④2.【2016高考浙江理数】如图，在△ABC 中，AB =BC =2，∠ABC =120°.若平面ABC 外的点P 和线段AC 上的点D ，满足PD =DA ，PB =BA ，则四面体PBCD 的体积的最大值是 .【答案】12【解析】ABC △中，因为2,120AB BC ABC ==∠= ，所以30BAD BCA ∠=∠= .由余弦定理可得2222cos AC AB BC AB BC B =+-⋅2222222cos12012=+-⨯⨯= ，所以AC =设AD x =，则03x <<，DC x =.在ABD ∆中，由余弦定理可得2222c o s B D A D A B A D A B A =+-⋅22222cos30x x =+-⋅24x =-+.故BD =.在PBD ∆中，PD AD x ==，2PB BA ==.由余弦定理可得2222222(4)cos 2222PD PB BD x x BPD PD PB x +-+--+∠===⋅⋅⋅，所以30BPD ∠=. 由此可得，将△ABD 沿BD 翻折后可与△PBD 重合，无论点D 在任何位置，只要点D 的位置确定，当平面PBD ⊥平面BDC 时，四面体PBCD 的体积最大（欲求最大值可不考虑不垂直的情况）.EDCBAP过P 作直线BD 的垂线，垂足为O .设PO d =，则11sin 22PBD S BD d PD PB BPD =⨯=⋅∠△，12sin 302d x =⋅，解得d =3.【2016高考新课标1卷】平面α过正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的顶点A ,α//平面CB 1D 1,αI 平面ABCD =m ,αI 平面AB B 1A 1=n ,则m 、n 所成角的正弦值为(B 13【答案】A【解析】如图，设平面11CB D 平面ABCD ='m ，平面11CB D 平面11ABB A ='n ，因为α∥平面11CB D ，所以','m m n n ∥∥，则,m n 所成的角等于','m n 所成的角.过1D 作11D E B C ∥，交AD 的延长线于点E,连接CE ，则CE 为'm .连接1A B ，过B 1作111B F A B ∥，交1AA 的延长线于点1F ，则11BF 为'n .连接BD ，则111,BD CE B F A B ∥∥，则','m n 所成的角即为1,A B BD 所成的角，为60︒，故,m n 所成角的正弦值为2，选A.12.【2016高考新课标3理数】在封闭的直三棱柱111ABC A B C -内有一个体积为V 的球，若AB BC ⊥，6AB =，8BC =，13AA =，则V 的最大值是（ ）（A ）4π （B ）92π（C ）6π （D ）323π【答案】B【解析】要使球的体积V 最大，必须球的半径R 最大．由题意知球的与直三棱柱的上下底面都相切时，球的半径取得最大值32，此时球的体积为334439()3322R πππ==，故选B ． 1．(2015·安徽，5)已知m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是( ) A ．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行 B ．若m ，n 平行于同一平面，则m 与n 平行C ．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线D ．若m ，n 不平行，则m 与n 不可能垂直于同一平面 【答案】D2．(2015·浙江，8)如图，已知△ABC ，D 是AB 的中点，沿直线CD 将△ACD 翻折成△A ′CD ，所成二面角A ′－CD －B 的平面角为α，则( )A ．∠A ′DB ≤α B ．∠A ′DB ≥αC ．∠A ′CB ≤αD ．∠A ′CB ≥α 【答案】B【解析】极限思想：若α＝π，则∠A ′CB ＜π，排除D ；若α＝0，如图，则∠A ′DB ，∠A ′CB 都可以大于0，排除A ，C.故选B.3．(2015·浙江，13)如图，三棱锥A －BCD 中，AB ＝AC ＝BD ＝CD ＝3，AD ＝BC ＝2，点M ，N 分别是AD ，BC 的中点，则异面直线AN ，CM 所成的角的余弦值是________．【答案】784．(2015·江苏，16)如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，已知AC ⊥BC ，BC ＝CC 1.设AB 1的中点为D ，B 1C ∩BC 1＝E .求证：(1)DE ∥平面AA 1C 1C ； (2)BC 1⊥AB 1. 【解析】(2)因为棱柱ABC －A 1B 1C 1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC.因为AC⊂平面ABC，所以AC⊥CC1.又因为AC⊥BC，CC1⊂平面BCC1B1，BC⊂平面BCC1B1，BC∩CC1＝C，所以AC⊥平面BCC1B1.又因为BC1⊂平面BCC1B1，所以BC1⊥AC.因为BC＝CC1，所以矩形BCC1B1是正方形，因此BC1⊥B1C.因为AC，B1C⊂平面B1AC，AC∩B1C＝C，所以BC1⊥平面B1AC.又因为AB1⊂平面B1AC，所以BC1⊥AB1.5．(2015·新课标全国Ⅱ，19)如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝16，BC＝10，AA1＝8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E＝D1F＝4.过点E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)；(2)求直线AF与平面α所成角的正弦值．【解析】(1)交线围成的正方形EHGF如图：6．(2015·新课标全国Ⅰ，18)如图，四边形ABCD 为菱形，∠ABC ＝120°，E ，F 是平面ABCD 同一侧的两点，BE ⊥平面ABCD ，DF ⊥平面ABCD ，BE ＝2DF ，AE ⊥EC .(1)证明：平面AEC ⊥平面AFC ，(2)求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值．【解析】(1)证明 连接BD ，设BD ∩AC ＝G ，连接EG ，FG ，EF .在菱形ABCD 中，不妨设GB ＝1.由∠ABC ＝120°，可得AG ＝GC ＝ 3.由BE ⊥平面ABCD ，AB ＝BC ，可知AE ＝EC .又AE ⊥EC ，所以EG ＝3，且EG ⊥AC .在Rt △EBG 中，可得BE ＝2，故DF ＝22. 在Rt △FDG 中，可得FG ＝62. 在直角梯形BDFE 中，由BD ＝2，BE ＝2，DF ＝22，可得EF ＝322， 从而EG 2＋FG 2＝EF 2，所以EG ⊥FG .又AC ∩FG ＝G ，可得EG ⊥平面AFC .因为EG ⊂平面AEC ，所以平面AEC ⊥平面AFC .7．(2014·江苏，16)如图，在三棱锥P －ABC 中，D ，E ，F 分别为棱PC ，AC ，AB 的中点．已知PA ⊥AC ，PA ＝6，BC ＝8，DF ＝5.求证：(1)直线PA ∥平面DEF ；(2)平面BDE ⊥平面ABC .【解析】(1)因为D ，E 分别为棱PC ，AC 的中点，所以DE ∥PA .又因为PA ⊄平面DEF ，DE ⊂平面DEF ，所以直线PA ∥平面DEF .(2)因为D ，E ，F 分别为棱PC ，AC ，AB 的中点，PA ＝6，BC ＝8，所以DE ∥PA ，DE ＝12PA ＝3， EF ＝12BC ＝4.又因为DF ＝5，故DF 2＝DE 2＋EF 2，所以∠DEF ＝90°，即DE ⊥EF .又PA ⊥AC ，DE ∥PA ，所以DE ⊥AC .因为AC ∩EF ＝E ，AC ⊂平面ABC ，EF ⊂平面ABC ，所以DE ⊥平面ABC .又DE ⊂平面BDE ，所以平面BDE ⊥平面ABC .8．(2014·新课标全国Ⅱ，18)如图，四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点．(1)证明：PB ∥平面AEC ；(2)设二面角D －AE －C 为60°，AP ＝1，AD ＝3，求三棱锥E －ACD 的体积．(2)解 因为PA ⊥平面ABCD ，ABCD 为矩形，所以AB ，AD ，AP 两两垂直．如图，以A 为坐标原点，AB →的方向为x 轴的正方向，|AP →|为单位长，建立空间直角坐标系A －xyz ，则D (0，3，0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32，12，AE →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，32，12. 设B (m ，0，0)(m >0)，则C (m ，3，0)，AC →＝(m ，3，0)．设n 1＝(x ，y ，z )为平面ACE 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AC →＝0，n 1·AE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧mx ＋3y ＝0，32y ＋12z ＝0， 可取n 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3m ，－1，3. 又n 2＝(1，0，0)为平面DAE 的法向量，由题设知|cos 〈n 1，n 2〉|＝12，即33＋4m 2＝12，解得m ＝32.因为E 为PD 的中点，所以三棱锥E －ACD 的高为12，三棱锥E －ACD 的体积V ＝13×12×3×32×12＝38.。
2018届高考数学一轮复习精品学案：第11讲 空间中的垂直关系
2018年普通高考数学科一轮复习精品学案第11讲 空间中的垂直关系一．课标要求：以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定。
通过直观感知、操作确认，归纳出以下判定定理：◆一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线与此平面垂直。
◆ 一个平面过另一个平面的垂线，则两个平面垂直。
通过直观感知、操作确认，归纳出以下性质定理，并加以证明：◆两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
能运用已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题。
二．命题走向近年来，立体几何高考命题形式比较稳定，题目难易适中，常常立足于棱柱、棱锥和正方体，复习是要以多面体为依托，始终把直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的性质和判定作为考察重点。
在难度上也始终以中等偏难为主，在新课标教材中将立体几何要求进行了降低，重点在对图形及几何体的认识上，实现平面到空间的转化，示知识深化和拓展的重点，因而在这部分知识点上命题，将是重中之重。
预测2018年高考将以多面体为载体直接考察线面位置关系： （1）考题将会出现一个选择题、一个填空题和一个解答题；（2）在考题上的特点为：热点问题为平面的基本性质，考察线线、线面和面面关系的论证，此类题目将以客观题和解答题的第一步为主。
（3）解答题多采用一题多问的方式，这样既降低了起点又分散了难点。
三．要点精讲1．线线垂直判断线线垂直的方法：所成的角是直角，两直线垂直；垂直于平行线中的一条，必垂直于另一条。
三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那麽它也和这条斜线的射影垂直。
aPOA推理模式： ,,PO O PA A a AO a a AP αααα⊥∈⎫⎪=⇒⊥⎬⎪⊂⊥⎭。
注意：⑴三垂线指PA ，PO ，AO 都垂直α内的直线a 其实质是：斜线和平面内一条直线垂直的判定和性质定理⑵要考虑a 的位置，并注意两定理交替使用。
高中数学-立体几何-空间中的平行和垂直关系
高中数学总复习-第七章立体几何-空间中的平行和垂直关系【知识结构图】第3课空间中的平行关系【考点导读】1 •掌握直线和平面平行、两个平面平行的判定定理和性质定理。
2 •明确定义与定理的不同，定义是可逆的，既是判定也是性质，而判定定理与性质定理多是不可逆的。
3. 要能灵活的对“线线平行”、“线面平行”和“面面平行”进行转化。
【基础练习】1. 若a、b为异面直线，直线c // a,则c与b的位置关系是异面或相交2 •给出下列四个命题①垂直于同一直线的两条直线互相平行•②垂直于同一平面的两个平面互相平行.③若直线1(2与同一平面所成的角相等，则1」2互相平行.④若直线1(2是异面直线，则与1(2都相交的两条直线是异面直线.其中假命题的个数是_4 _______ 个。
3•对于任意的直线I与平面a,在平面a内必有直线m使m与I 垂直。
:4. 已知a、b、c是三条不重合的直线，a、B、r是三个不重合的平面，下面六个命题：①a// c, b// c a// b；②a // r, b II r a // b；③a// c, B // c a// B ;④a// r, B // r a// B ;⑤a// c,a// c a//a；⑥a // r ,a// r a //a.其中正确的命题是①④________【范例导析】例1.如图，在四面体ABCD中，截面EFGH是平行四边形.求证：AB//平面EFG证明：•面EFGH是截面.•••点E, F, G, H分别在BC, BD, DA AC上.••• EH 面ABC GF 面ABD由已知,EH// GF. • EH// 面ABD又T EH，—面BAC 面AB6面ABD=AB•EH// AB.•AB// 面EFG例2. 如图，在正方体ABC—A1B1C1D中，点N在BD上，点M在BC上，并且CM=DN. DC求证:MN//平面AABB.分析：“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”是可以互相转化的。
高中数学 -空间立体几何中的平行、垂直证明定理总结 (1)
l n
☺ 简称：线线垂直，线面垂直.
复习定理
空间中的垂直
2．直线与平面垂直性质
判定：如果一条直线和一个平面垂直,则称这条直线和这 个平面内任意一条直线都垂直.
l m
l
m
☺ 简称：线面垂直，线线垂直.
复习定理
空间中的垂直
3．平面与平面垂直判定
判定：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,则这两个 平面互相垂直.
(1)求证：BC1∥平面 CA1D； (2)求证：平面 CA1D⊥平面 AA1B1B. 证明：(1)连结AC1交A1C于E，连结DE．
∵AA1C1C为矩形，则E为AC1的中点． 又D是AB的中点，
∴在△ABC1中，DE∥BC1.
E
又DE⊂平面CA1D，
BC1⊄平面CA1D，
∴BC1∥平面CA1D.
证明：(2)∵AC＝BC， D为AB的中点， ∴在△ABC中，AB⊥CD.
空间中的平行与垂直 定理总结
复习定理
空间中的平行
1.直线与平面平行的判定
平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则 该直线与此平面平行．
a
b
a
//
b
a // b
☺ 简称：线线平行，线面平行.
复习定理
空间中的平行
2.直线与平面平行的性质
一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一 平面与此平面的交线与该直线平行．
①若m⊥α,n∥α,则m⊥n;②若α⊥γ,β⊥γ,
则α∥β；
③若m∥α,n∥α,则m∥n;④若α∥β,β∥γ,
m⊥α,则m⊥γ.
正确的命题是( C)
A.①③
B.②③
C.①④
D.②④
解析 ②中平面α与β可能相交，③中m与n可以
解密14+空间中的平行与垂直-备战2018年高考数学(文)之高频考点解密+Word版含解析
考点1 空间点、线、面位置关系的基本问题题组一位置关系的判断调研1 设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,给出下列四个命题:①若m∥n,m⊥β,则n⊥β; ②若m∥α,m∥β,则α∥β;③若m∥n,m∥β,则n∥β; ④若m⊥α,m⊥β则α⊥β.其中真命题的个数为A．1 B．2C．3 D．4【答案】A【解析】根据空间平行与垂直的判定和性质定理逐个对命题进行判断. ①显然正确;对于②,由m∥α,m∥β,不一定得到α∥β,α和β的关系不确定;对于③,n可能在平面β内,所以③不正确;对于④,由m⊥α,m⊥β,可知α∥β,所以④不正确.故选A．☆技巧点拨☆空间中点、线、面的位置关系的判定方法：(1)可以从线、面的概念、定理出发，学会找特例、反例．(2)可以借助长方体，在理解空间点、线、面位置关系的基础上，抽象出空间线、面的位置关系的定义．题组二位置关系的判断与其他知识相结合调研2 已知l为平面α内的一条直线，α，β表示两个不同的平面，则“α⊥β”是“l⊥β”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】若l为平面α内的一条直线且l⊥β，则α⊥β，反过来则不一定成立，所以“α⊥β”是“l ⊥β”的必要不充分条件，故选B．考点2 平行与垂直关系的证明题组一平行的判定及性质调研1 如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,BC⊥AB,点M,N分别是线段A1C1,A1B的中点.设平面MNB1与平面BCC1B1的交线为l,求证:MN∥l.【解析】可先证明MN ∥平面BCC 1B 1,然后利用线面平行的性质定理即可得证.方法一：如图,连接C 1B ,在11A BC △中,点M ,N 分别为A 1C 1,A 1B 的中点, 所以MN ∥C 1B ． 又MN ⊄平面BCC 1B 1,C 1B ⊂平面BCC 1B 1, 所以MN ∥平面BCC 1B 1.又MN ⊂平面MNB 1,平面MNB 1∩平面BCC 1B 1=l ,所以MN ∥l .方法二：取A 1B 1的中点P ,连接MP ,NP ,如图所示.在111A B C △中,点M ,P 分别为A 1C 1,A 1B 1的中点,所以MP ∥C 1B 1. 又MP ⊄平面BCC 1B 1,C 1B 1⊂平面BCC 1B 1,所以MP ∥平面BCC 1B 1. 同理可证NP ∥平面BCC 1B 1.因为MP ∩NP =P ,MP ⊂平面MNP ,NP ⊂平面MNP ,所以平面MNP ∥平面BCC 1B 1. 因为MN ⊂平面MNP ,所以MN ∥平面BCC 1B 1.又MN ⊂平面MNB 1,平面MNB 1∩平面BCC 1B 1=l ,所以MN ∥l . 调研2 如图,四棱锥中,平面为线段上一点,为的中点.(1)证明: (2)求四面体的体积.【解析】(1)由已知得,取的中点,连接,由为中点知,即又,即故四边形为平行四边形,于是因为所以.(2)因为平面为的中点,所以到平面的距离为取的中点,连接,由得由得到的距离为,故142BCM S =⨯=△所以四面体的体积为132N BCM BCM PA V S -=⨯⨯=△ 题组二 垂直的判定及性质调研3 如图,在四棱锥A BCDE -中,底面BCDE 为正方形,平面ABE ⊥底面BCDE ,AB AE BE ==，点M ，N 分别是AE ，AD 的中点.（1）求证：MN ∥平面ABC ； （2）求证：BM ⊥平面ADE ；（3）在棱DE 上求作一点P ，使得CP AD ⊥，并说明理由.【解析】（1）因为点M ，N 分别是AE ，AD 的中点，所以.MN DE ∥ 因为四边形BCDE 为正方形，所以.BC DE ∥ 所以.MN BC ∥因为MN ⊄平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以MN ∥平面.ABC （2）因为平面ABE ⊥底面BCDE ，DE BE ⊥，所以DE ⊥平面.ABE 因为BM ⊂平面ABE ，所以.DE BM ⊥因为AB AE BE ==，点M 是AE 的中点，所以.BM AE ⊥ 因为DEAE E =，DE ⊂平面ADE ，AE ⊂平面ADE ，所以BM ⊥平面.ADE（3）取BE 中点F ，连接AF ，DF ，过C 点作CP DF ⊥，交DE 于点P . 则点P 即为所求作的点. 理由：因为AB AE BE ==，点F 是BE 的中点，所以.AF BE ⊥ 因为平面ABE ⊥底面BCDE ，所以AF ⊥平面BCDE ， 所以AF ⊥.CP 因为CP DF ⊥，AFDF F =，所以CP ⊥平面.ADF因为AD ⊂平面ADF ，所以CP ⊥.AD☆技巧点拨☆空间平行与垂直关系的证明主要是转化思想的应用，如下图：在解决平行(垂直)关系的判定时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化；而应用性质定理时，其顺序则正好相反．在实际应用中，判定定理和性质定理一般要相互结合，灵活运用．题组三 线面角与二面角 调研4 如图所示,在四棱锥中,平面平面.(1)求证:;(2)若二面角为,求直线与平面所成的角的正弦值.【解析】(1)在ACB △中,应用余弦定理得222cos 2AB BC AC ABC AB BC +-∠==⋅,解得.所以,所以.因为平面平面,平面平面,所以平面.又因为平面,所以. (2)因为平面平面,所以.又,平面平面,所以是平面与平面所成的二面角的平面角,即.因为,所以平面.所以是直线与平面所成的角.因为在Rt BCE △中,, 所以在Rt BAE △中,sin 4BE BAE AB ∠==.即直线与平面所成的角的正弦值为4.调研5 已知三棱柱在底面ABC 上的射影恰为的中点，.(1)求证:平面; (2)求二面角的余弦值.【解析】(1)由题意知平面,且,又平面平面平面.又平面,又平面,又，且为平面内的两条相交直线，平面.(2)设与的交点为,则由(1)有平面.过点作于,连,则.故为所求二面角的平面角.平面,.由为中点,得，则.又在1ABC △中,得.在AOE △中,，得,即二面角的余弦值为.☆技巧点拨☆记住以下几个常用结论：(1)夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等． (2)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行． (3)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例． (4)如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行．(5)垂直于同一条直线的两个平面平行．(6)过一点有且只有一条直线与已知平面垂直．(7)过一点有且只有一个平面与已知直线垂直．考点3 平面图形的翻折与存在性问题题组一翻折问题△折起,使移动到点,且调研1 如图,已知矩形中,,将矩形沿对角线把ABD在平面上的射影恰好在上.(1)求证:;(2)求证:平面平面;(3)求三棱锥的体积.【解析】(1)因为在平面上的射影恰好在上，所以平面,又平面,所以,又，所以平面,又平面,所以.(2)因为是矩形,所以,由(1)知,所以平面,又平面,所以平面平面.(3)因为平面,所以,因为==,所以,所以===.☆技巧点拨☆折叠与展开，这两种方式的转变是空间几何与平面几何问题转化的集中体现，求解翻折问题的关键是把握翻折前后的变量和不变量．题组二探索性问题△沿折起,得到三棱锥,且调研 2 如图,平行四边形中,==,现将ADC,点为侧棱的中点.(1)求证:平面;(2)求三棱锥的体积;(3)在的角平分线上是否存在一点,使得DF∥平面?若存在,求的长;若不存在,请说明理由. 【解析】(1)在平行四边形中,有,又因为为侧棱的中点,所以,又因为,且,所以平面,又因为平面,所以,因为,所以平面.(2)因为平面,所以是三棱锥的高,故==.(3)取中点,连接并延长至点,使,连接,OE，因为,所以射线是角的角平分线,又因为点是中点,所以,因为平面平面,所以平面,因为互相平分,所以四边形为平行四边形,则,又因为,所以===.☆技巧点拨☆(1)推理型探索性问题推理型探索性问题，以探究空间中直线、平面的平行与垂直关系为主，解决此类问题主要采用直接法，即利用空间平行与垂直关系的判定与性质定理进行逻辑推理，将其转化为平面图形中的线线关系进行探究，逻辑推理的思维量较大．(2)计算型探索性问题计算型探索性问题，主要是对几何体的表面积、体积或距离等问题进行有关探究．解决此类问题主要采用直接法，即利用几何体的结构特征，巧设未知量，将所探究的问题转化为建立关于所设未知量的函数或方程，依据目标函数的性质或方程解的存在性求解．1．（2017-2018学年贵州省遵义市航天高级中学高三上学期模拟考试）设表示三条直线,表示三个平面,则下列命题中不成立的是A．若∥,则∥B．若∥,则C．若是在内的射影,,则D．若,则【答案】D2．（2017-2018学年南宁市高三毕业班摸底联考）在如图所示的正方体中分别是棱的中点,则异面直线与所成角的余弦值为A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】取DD1的中点G,连接BG,FG,易知四边形BED1G是平行四边形,则BG//ED1,则∠FBG（或其补角）等于异面直线与所成的角,令正方体的棱长为2,则BF =FG =BG=3，从而cos∠FBG=.则异面直线与所成角的余弦值为.3．（云南省昆明市第一中学2018届高三第五次月考）已知αβ，表示两个不同的平面，l表示一条直线，且αβ⊥，则lβ⊥是lα∥的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】D【解析】由题意，αβ⊥，lβ⊥，则lα∥或lα⊂，所以充分条件不成立；又当αβ⊥，lα∥时，不能得到lβ⊥，所以必要条件不成立，故选D．4．（2018届四川省泸县第二中学高三上学期期末考试）在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,AB ＝1,AC ＝2,BC ＝,D ,E分别是AC 1和BB 1的中点,则直线DE 与平面BB 1C 1C 所成的角为 A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°【答案】A5．（陕西省渭南市2018届高三教学质量检测（I ））二面角的棱上有A ，B 两点，直线AC ，BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB ，已知2AB =， 3AC =， 4BD =， CD =二面角的大小为 A ．45︒B ．60︒C ．120︒D ．150︒【答案】B【解析】如图，由已知可得0,0AB AC AB BD ⋅=⋅=，CD CA AB BD =++，222222||||||2223CD CA AB BD CA AB BD CA AB CA BD AB BD ∴=++=+++⋅+⋅+⋅=+234cos 17,CA BD ⨯⨯=uu v uu u v ，∴cos ,CA BD uu v uu u v 2=-，即,CA BD uu v uu u v =120°，∴二面角的大小为60°，故选B.6．（福建省闽侯第四中学2018届高三上学期期末考试）如图是一几何体的平面展开图，其中ABCD 为正方形，E ，F 分别为PA ，PD 的中点，在此几何体中，给出下面四个结论： ①直线BE 与直线CF 异面； ②直线BE 与直线AF 异面； ③直线EF ∥平面PBC ；④平面BCE ⊥平面PAD .其中正确的有A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B②项，B ∉平面PAD ，E ∈平面PAD ，E AF ∉，BE ∴与AF 是异面直线，故正确； ③项，EF AD BC ∥∥，EF ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，EF ∴∥平面PBC ，故正确；④项，平面PAD 与平面BCE 不一定垂直，故错误. 综上所述，正确的有2个.故选B.7．（山东省济南市长清第一中学大学科技园校区2017- 2018学年高三质量检测）如图所示，在正方体1111ABCD A BC D -中，M ，N 分别是棱1AA 和AB 上的点，若1B MN ∠是直角，则1C MN ∠等于_______．【答案】90︒8．（北京市海淀区2018届高三第一学期期末）已知正方体1111ABCD A BC D -的棱长为点M 是棱BC 的中点，点P 在底面ABCD 内，点Q 在线段11AC 上，若1PM =，则PQ 的最小值为__________.【解析】过点Q 作QN ⊥平面ABCD ，垂足为N ， 则点N 在线段AC 上，连接,PQ PN , 在Rt PNQ △中，在平面ABCD 内过点M 作ME AC ⊥，垂足为E ，则2ME =，即M 到直线AC 的最短距离为2， 又1PM =，当P ME ∈时，此时min 11PN ME =-=,9．（2017-2018学年河北省定州中学高三上学期期中考试）如图,在正方形ABCD 中,E 、F 分别是的中点,G 是EF 的中点.现在沿及EF 把这个正方形折成一个空间图形,使三点重合,重合后的点记为下列说法错误的是__________ (将符合题意的选项序号填到横线上).①AG EFH ⊥△所在平面; ②AH EFH ⊥△所在平面;③HF AEF ⊥△所在平面;④HG AEF ⊥△所在平面.【答案】①③④10．（河北衡水金卷2018届高三高考模拟）如图，在直角梯形ABCD 中，AB BC ⊥，AD BC ∥，112AB BC AD ===，点E 是线段CD 上异于点C ，D 的动点， EF AD ⊥于点F ，将DEF △沿EF 折起到PEF △的位置，并使PF AF ⊥，则五棱锥P ABCEF -的体积的取值范围为__________．【答案】10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】,,PF EF PF AF EFAF F ⊥⊥=，PF ∴⊥平面ABCEF ，设()01DF x x =<<，则,EF x =则五棱当01x <<时，()()'0,V x V x >单调递增，故()()()01V V x V <<，即()V x 的取值范围是10,3⎛⎫⎪⎝⎭，故答案为10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭.11．（江苏省淮安市等四市2018届高三上学期第一次模拟）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90ABC ∠=，1=AB AA ，M ，N 分别是AC ，11B C 的中点.求证：（1）MN ∥平面11ABB A ； （2）1AN A B ⊥.12．（2017-2018学年西藏拉萨市高三第一次模拟考试）如图,四棱锥的底面为等腰梯形,且,点为中点．(1)证明:平面;(2)若平面,直线与平面所成角的正切值为32，求四棱锥的体积．(2)作于点,则． 在ABG △中,,则．由平面知,直线与平面所成的角为,故,即在PAB △中,有32PA AB =,则.所以,四棱锥的体积()24113332ABCD V S PA +=⋅=⨯=梯形．13．（河北省衡水中学2018届高三上学期九模）如图，在长方体1111ABCD A BC D -中，1,2,,AB AD E F ==分别为1,AD AA 的中点，Q 是BC 上一个动点，且(0)BQ QC λλ=>.（1）当1λ=时，求证：平面BEF ∥平面1A DQ ；（2）是否存在λ，使得BD FQ ⊥？若存在，请求出λ的值；若不存在，请说明理由.（2）如图，连接,AQ BD 与FQ ，因为1A A ⊥平面,ABCD BD ⊂平面ABCD ，所以1A A BD ⊥. 若,BD FQ ⊥又1,A A FQ ⊂平面1A AQ ，且1A A FQ F =，所以BD ⊥平面1A AQ .因为AQ ⊂平面1A AQ ，所以AQ BD ⊥.在矩形ABCD 中，由AQ BD ⊥，得AQB DBA △∽△， 所以2AB AD BQ =⋅. 又1,2AB AD ==，所以13,22BQ QC ==， 则13BQ QC =，即13λ=.14．（2018届天津市耀华中学高三上学期第一次月考）如图,在直三棱柱中,是的中点,是的中点.(1)求异面直线与所成的角;(2)求证：;(3)求二面角的正切值.15．（2017-2018学年江西省南昌市第二中学高三上学期第四次考试）如图,在矩形中,分别为的中点,现将沿折起,得四棱锥.(1)求证:EF//平面;(2)若平面平面,求四面体的体积.【解析】(1)取线段的中点,连接,因为为的中点,所以,且,在折叠前,四边形为矩形,为的中点,所以,且.,且,所以四边形为平行四边形,故, 又平面平面,所以平面.16．（贵州省贵阳市第一中学2018届高三12月月考）如图，11,AA BB 为圆柱1OO 的母线，BC 是底面圆O的直径，D 是1AA 的中点.（1）问：1CB 上是否存在点E ，使得DE ∥平面ABC ？请说明理由；（2）在（1）的条件下，若DE ⊥平面1CBB ，假设这个圆柱是一个大容器，有条体积可以忽略不计的小鱼能在容器的任意地方游弋，如果小鱼游到四棱锥11C ABB A -外会有被捕的危险，求小鱼被捕的概率.【解析】（1）存在，E 是的中点． 证明：如图，连接1．（2016新课标全国Ⅰ文科）平面α过正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的顶点A ，11//CB D α平面,ABCD m α=平面，11ABB A n α=平面，则m ，n 所成角的正弦值为AB ．2C．3D．13【答案】A2．（2017新课标全国Ⅰ文科）如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是A． B．C ．D ．【答案】A3．（2015新课标全国Ⅰ文科）如图，四边形ABCD 为菱形，G 为AC 与BD 的交点，BE ABCD ⊥平面. （Ⅰ）证明：平面AEC ⊥平面BED ；（Ⅱ）若=120ABC ∠，,AE EC ⊥ 三棱锥E ACD -的体积为3.【解析】（Ⅰ）因为四边形ABCD 为菱形，所以AC ^BD ， 因为BE ^平面ABCD ，所以AC ^BE ，故AC ^平面BED . 又AC Ì平面AEC ，所以平面AEC ^平面BED.（Ⅱ）设AB =x ，在菱形ABCD 中，由=120ABC ∠，可得AG =GC =2x ,GB =GD =2x .因为AE ^EC ，所以在Rt △AEC 中，可得EG x .由BE ^平面ABCD ，知EBG △为直角三角形，可得BE =2x .由已知得，三棱锥E ACD -的体积 31132243E ACD V AC GD BE x -=⨯⋅⋅==，故2x =.从而可得AE EC ED ===所以EAC △的面积为3，EAD △的面积与ECD △故三棱锥E ACD -的侧面积为3+【名师点睛】对空间面面垂直问题的证明有两种思路，思路1：几何法，先由线线垂直证明线面垂直，再由线面垂直证明面面垂直；思路2：向量法，通过计算两个平面的法向量，证明法向量垂直，从而证明面面垂直.4． (2017新课标全国Ⅲ文科) 如图，四面体ABCD 中，△ABC 是正三角形，AD =CD ．（1）证明：AC ⊥BD ；（2）已知△ACD 是直角三角形，AB =BD ．若E 为棱BD 上与D 不重合的点，且AE ⊥EC ，求四面体ABCE 与四面体ACDE 的体积比．。
高考数学考纲解读与热点难点突破专题14空间中的平行与垂直(热点难点突破)文(含解析)
空间中的平行与垂直1．若m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面：①m∥n，m⊥α ⇒n⊥α；②α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥n；③α∥β，m∥n，m⊥α⇒n⊥β；④若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，则α∥β.则以上说法中正确的个数为()A．1 B．2 C．3 D．4答案B解析对于①，m∥n，m⊥α⇒n⊥α，正确；对于②，两平行平面内的两条直线可能是异面直线，故错误；对于③，α∥β，m∥n，m⊥α⇒n⊥β，正确；对于④，若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，则α∥β，错误，如三棱柱的两个侧面都与第三个侧面相交，交线平行，但是这两个面相交．故选B.2．如图，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示GH，MN是异面直线的图形的序号为()A．①②B．③④C．①③D．②④答案D解析由题意可得图①中GH与MN平行，不合题意；图②中GH与MN异面，符合题意；图③中GH与MN相交，不合题意；图④中GH与MN异面，符合题意．则表示GH，MN是异面直线的图形的序号为②④.3．给出下列四个命题：1①如果平面α外一条直线a与平面α内一条直线b平行，那么a∥α；②过空间一定点有且只有一条直线与已知平面垂直；③如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线与这个平面垂直；④若两个相交平面都垂直于第三个平面，则这两个平面的交线垂直于第三个平面．其中真命题的个数为()A．1 B．2 C．3 D．4答案C4．已知m，n，l1，l2表示不同的直线，α，β表示不同的平面，若m⊂α，n⊂α，l1⊂β，l2⊂β，l1∩l2＝M，则α∥β的一个充分条件是()A．m∥β且l1∥αB．m∥β且n∥βC．m∥β且n∥l2D．m∥l1且n∥l2答案D解析对于选项A，当m∥β且l1∥α时，α，β可能平行也可能相交，故A不是α∥β的充分条件；对于选项B，当m∥β且n∥β时，若m∥n，则α，β可能平行也可能相交，故B不是α∥β的充分条件；对于选项C，当m∥β且n∥l2时，α，β可能平行也可能相交，故C不是α∥β的充分条件；对于选项D，当m∥l1，n∥l2时，由线面平行的判定定理可得l1∥α，l2∥α，又l1∩l2＝M，由面面平行的判定定理可以得到α∥β，但α∥β时，m∥l1且n∥l2不一定成立，故D是α∥β的一个充分条件．故选D.5．如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别是棱BC，CC1的中点，P是侧面BCC1B1内一点，若A1P∥平面AEF，则线段A1P长度的取值范围是()( 3 252)[ 3 252]A.，B.，44[152][052]C.，D.，2答案B解析如图所示，分别取棱BB1，B1C1的中点M，N，连接MN，BC1，NE，A1N，A1M，∵M，N，E，F分别为所在棱的中点，∴MN∥BC1，EF∥BC1，∴MN∥EF，又MN⊄平面AEF，EF⊂平面AEF，∴MN∥平面AEF.∵AA1∥NE，AA1＝NE，∴四边形AENA1为平行四边形，∴A1N∥AE，又A1N⊄平面AEF，AE⊂平面AEF，∴A1N∥平面AEF，又A1N∩MN＝N，A1N，MN⊂平面A1MN，∴平面A1MN∥平面AEF.(2)求三棱锥N－PCE的体积．(1)证明取A1E的中点F，连接MF，CF，∵M为棱A1D的中点，1∴MF∥DE且MF＝DE，在△ABC中，D，E分别为边AB，AC的中点，21∴DE∥BC且DE＝BC，23∴MF∥BC，即MF∥NC，1且MF＝BC＝NC，4∴四边形MFCN为平行四边形，∴MN∥FC，∵MN⊄平面A1EC，FC⊂平面A1EC，∴MN∥平面A1EC.(2)解取BD的中点H，连接PH，则PH为△A1BD的中位线，∴PH∥A1D，∵在△ABC中，AB⊥BC，DE∥BC，∴在空间几何体中，DE⊥DA1，∵A1D⊥BD，DB∩DE＝D，DB，DE⊂平面BCED，∴A1D⊥平面BCED，∵PH∥A1D，∴PH⊥平面BCED，∴PH为三棱锥P－NCE的高，111111∴PH＝A1D＝AB＝1，S△NCE＝NC·BD＝××2＝，2422221∴V N－PCE＝V P－NCE＝PH·S△NCE3111＝3269．已知正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都相等，M，N分别为B1C1，BB1的中点．现有下列四个结论：p1：AC1∥MN；p2：A1C⊥C1N；p3：B1C⊥平面AMN；42 p4：异面直线AB与MN所成角的余弦值为.4其中正确的结论是()A．p1，p2 C．p2，p4B．p2，p3 D．p3，p4答案C解析正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都相等，M，N分别为B1C1，BB1的中点．对于p1：如图①所示，MN∥BC1，BC1∩AC1＝C1，∴AC1与MN不平行，是异面直线，p1错误；对于p2：如图②所示，连接AC1，交A1C于点O，连接ON，易知A1C⊥AC1，ON⊥平面ACC1A1，∴ON⊥A1C，又ON∩AC1＝O，ON，AC1⊂平面ONC1，∴A1C⊥平面ONC1，又C1N⊂平面ONC1，∴A1C⊥C1N，p2正确；对于p3：如图③所示，取BC的中点O，连接AO，BC1，过点O作OP∥BC1，交CC1于点P，5连接AP，则AO⊥平面BCC1B1，又B1C⊂平面BCC1B1，∴AO⊥B1C，又BC1∥OP，BC1⊥B1C，∴B1C⊥OP，又AO∩OP＝O，AO，OP⊂平面AOP，∴B1C⊥平面AOP，又平面AMN与平面AOP有公共点A，∴B1C与平面AMN不垂直，p3错误；对于p4：如图④所示，连接BC1，AC1，则MN∥BC1，∴∠ABC1是异面直线AB与MN所成的角，设AB＝1，则AC1＝BC1＝，2⊄ 2⊄2＋12－⊄ 2⊄22∴cos∠ABC1＝＝，p4正确．2 × 2 × 14综上，其中正确的结论是p2，p4.10.如图，多面体ABCB1C1D是由三棱柱ABC－A1B1C1截去一部分后而成，D是AA1的中点．(1)若F在CC1上，且CC1＝4CF，E为AB的中点，求证：直线EF∥平面C1DB1；(2)若AD＝AC＝1，A D⊥平面ABC，BC⊥AC，求点C到平面B1C1D的距离．(1)证明方法一取AC的中点G，CC1的中点H，连接AH，GF，GE，如图所示．6∵AD ∥C 1H 且AD ＝C 1H ，∴四边形ADC 1H 为平行四边形，∴AH ∥C 1D ，又F 是CH 的中点，G 是AC 的中点，∴GF ∥AH ，∴GF ∥C 1D ，又GF ⊄平面C 1DB 1，C 1D ⊂平面C 1DB 1， ∴GF ∥平面C 1DB 1，又G ，E 分别是AC ，AB 的中点，∴GE ∥BC ∥B 1C 1，又GE ⊄平面C 1DB 1，B 1C 1⊂平面C 1DB 1， ∴GE ∥平面C 1DB 1，又GE ∩GF ＝G ，GE ⊂平面GEF ，GF ⊂平面GEF ，∴平面GEF ∥平面C 1DB 1，又EF ⊂平面GEF ，∴EF ∥平面C 1DB 1.方法二 取B 1D 的中点M ，连接EM ，MC 1，则EM 是梯形ABB 1D 的中位线，∴EM ∥BB 1∥CC 1∥AD ，1 ∴EM ＝(AD ＋BB 1)212(1)3＝1＋CC 1＝，2CC4CC 13 又C 1F ＝CC 1－CF ＝CC 1，4∴ EM ∥C 1F 且EM ＝C 1F ，7故四边形EMC1F为平行四边形，∴C1M∥EF，又EF⊄平面C1DB1，C1M⊂平面C1DB1，∴EF∥平面C1DB1.(2)解∵AD⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，∴AD⊥AC，又AD＝AC＝1，CC1＝2AD，AD∥CC1，∴C1D2＝DC2＝AC2＋AD2＝2AD2＝2，C1C2＝4，故CC＝CD2＋C1D2，即C1D⊥CD，21又BC⊥AC，AD⊥BC，AC∩AD＝A，AC，AD⊂平面ACC1D，∴BC⊥平面ACC1D，又CD⊂平面ACC1D，∴BC⊥CD，又B1C1∥BC，∴B1C1⊥CD，又DC1∩B1C1＝C1，DC1，B1C1⊂平面B1C1D，∴CD⊥平面B1C1D，∴点C到平面B1C1D的距离为CD的长，即为.211．如图，矩形AB′DE(AE＝6，DE＝5)，被截去一角(即△BB′C)，AB＝3，∠ABC＝135°，平面PAE⊥平面ABCDE，PA＋PE＝10.(1)求五棱锥P－ABCDE的体积的最大值；(2)在(1)的情况下，证明：BC⊥PB.8在平面PAE内，PA＋PE＝10>AE＝6，P在以A，E为焦点，长轴长为10的椭圆上，由椭圆的几何性质知，当点P为短轴端点时，P到AE的距离最大，此时PA＝PE＝5，OA＝OE＝3，所以PO max＝4，11112所以(V P－ABCDE)max＝S ABCDE·PO max＝×28×4＝.333(2)证明连接OB，如图，由(1)知，OA＝AB＝3，故△OAB是等腰直角三角形，所以∠ABO＝45°，所以∠OBC＝∠ABC－∠ABO＝135°－45°＝90°，即BC⊥BO.由于PO⊥平面ABCDE，BC⊂平面ABCDE，所以PO⊥BC，又PO∩BO＝O，PO，BO⊂平面POB，所以BC⊥平面POB，又PB⊂平面POB，所以BC⊥PB.12. 如图(1)，在正△ABC中，E，F分别是AB，AC边上的点，且BE＝AF＝2CF.点P为边BC上的点，将△AEF沿EF折起到△A1EF的位置，使平面A1EF⊥平面BEFC，连接A1B，A1P，EP，如图(2)所示．(1)求证：A1E⊥FP；(2)若BP＝BE，点K为棱A1F的中点，则在平面A1FP上是否存在过点K的直线与平面A1BE平行，若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．(1)证明在正△ABC中，取BE的中点D，连接DF，如图所示．9因为BE＝AF＝2CF，所以AF＝AD，AE＝DE，而∠A＝60°，所以△ADF为正三角形．又AE＝DE，所以EF⊥AD.所以在题图(2)中，A1E⊥EF，又A1E⊂平面A1EF，平面A1EF⊥平面BEFC，且平面A1EF∩平面BEFC＝EF，所以A1E⊥平面BEFC.因为FP⊂平面BEFC，所以A1E⊥FP.(2)解在平面A1FP上存在过点K的直线与平面A1BE平行．理由如下：如题图(1)，在正△ABC中，因为BP＝BE，BE＝AF，所以BP＝AF，所以FP∥AB，所以FP∥BE.如图所示，取A1P的中点M，连接MK，因为点K为棱A1F的中点，所以MK∥FP.因为FP∥BE，所以MK∥BE.因为MK⊄平面A1BE，BE⊂平面A1BE，所以MK∥平面A1BE.故在平面A1FP上存在过点K的直线MK与平面A1BE平行．1011。
高中数学：空间几何体的平行与垂直的判定及性质
高中数学：空间几何体的平行与垂直的判定及性质一、三视图与平面的性质1. 三视图的性质：（长对正、高平齐、宽相等）长对正：主视图和俯视图共同反映了物体左右方向的尺寸。
宽相等：俯视图和左视图共同反映了物体前后方向的尺寸。
高平齐：主视图和左视图共同反映了物体上下方向的尺寸。
2. 平面的基本性质公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内。
公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线.公理3：经过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面。
根据上面的公理，可得出以下推论：推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面.推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面.推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面.二、空间中的直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系：1. ，，面面2. 空间平行关系的判定与性质（1）两直线平行的判定：①平行于同一直线的两直线平行（平行公理）②线面平行，经过此直线的平面与原平面的交线与此直线平行；③两平面平行，被第三个平面截得的两条交线互相平行；④垂直于同一平面的两直线平行。
（2）线面平行的判定与性质：判定：①平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则平面外的这条直线与此平面平行；②两平面平行，一平面内任意一条直线都平行于另一平面。
性质：若直线与平面平行，则经过此直线的平面与原平面的交线与此直线平行。
（3）面面平行的判定与性质：判定：①一平面内的两条相交直线与另一平面平行，则这两个平面平行；②垂直于同一直线的两平面平行。
性质：两平面平行，一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面。
3. 空间垂直关系的判定与性质：（1）两直线垂直的判定与性质：判定①夹角是直角的两直线垂直；②线面垂直，则此直线垂直于此平面内任意一条直线；③三垂线定理、逆定理。
性质：空间中的两直线垂直，则其夹角是90°。
（2）线面垂直的判定与性质：判定：①一条直线若垂直于平面内的两条相交直线，则该直线垂直于此平面；②两条平行线中的一条直线垂直于一个平面，则另一条直线也垂直于这个平面；③一条直线垂直于两平行平面中的一个，则它也垂直于另一个平面；④两平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线也垂直于另一个平面。
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1．如图所示是一个物体的三视图，则此三视图所描述物体的直观图是( )
解析：先观察俯视图，由俯视图可知选项B 和D 中的一个正确，由正视图和侧视图可知选项D 正确． 答案：D
2.已知一个圆锥的侧面展开图如图所示，扇形圆心角为120°，底面圆半径为1，则圆锥的体积为( )
A.22π
3
B.2π
C.42π
3 D.
52π
3
答案：A
3．某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为( )
A ．43π
B ．12π
C ．24π
D ．48π
答案：B
4．设α为平面，a，b为两条不同的直线，则下列叙述正确的是( )
A．若a∥α，b∥α，则a∥b
B．若a⊥α，a∥b，则b⊥α
C．若a⊥α，a⊥b，则b∥α
D．若a∥α，a⊥b，则b⊥α
解析：若a∥α， b∥α，则a与b相交、平行或异面，故A错误；易知B正确；
若a⊥α，a⊥b，则b∥α或b⊂α，故C错误；
若a∥α，a⊥b，则b∥α或b⊂α或b与α相交，故D错误．
答案：B
5.如图，在三棱锥D-ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列命题中正确的是( )
A．平面ABC⊥平面ABD
B．平面ABD⊥平面BCD
C．平面ABC⊥平面BDE，且平面ACD⊥平面BDE
D．平面ABC⊥平面ACD，且平面ACD⊥平面BDE
解析：∵AB＝CB，且E是AC的中点，∴BE⊥AC，同理有DE⊥AC，于是AC⊥平面BDE.∵AC⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面BDE.又AC⊂平面ACD，∴平面ACD⊥平面BDE.
答案：C
6.如图，斜线段AB 与平面α所成的角为60°，B 为斜足，平面α上的动点P 满足∠PAB ＝30°，则点P 的轨迹是( )
A ．直线
B ．抛物线
C ．椭圆
D ．双曲线的一支
解析：∵∠PAB ＝30°，∴点P 的轨迹为以AB 为轴线，PA 为母线的圆锥面与平面α的交线，且平面α与圆锥的轴线斜交，故点P 的轨迹为椭圆．
答案：C
7.棱长为2的正方体被一平面截成两个几何体，其中一个几何体的三视图如图所示，那么该几何体的体积是( )
A.
143 B.4 C.10
3
D.3
答案 B
8.如图，在棱长为1的正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，E 是棱BC 上的一点，则三棱锥D 1B 1C 1E 的体积等于( )
A.13
B.512
C.36
D.16 解析 VD 1B 1C 1E ＝13S △B 1C 1E ·D 1C 1＝13×12×1×1×1＝16.
答案 D
9.已知一个棱长为2的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示，则该截面的面积为( )
A.92
B.3
C.4
D.310
2
答案 A
10.点A 、B 、C 、D 在同一个球的球面上，AB ＝BC ＝2，AC ＝2，若四面体ABCD 体积的最大值为2
3，则这
个球的表面积为( )
A.
125π6 B.8π C.25π4 D.25π
16
答案 C
11．已知集合A ， B ，C ，A ＝{直线}，B ＝{平面}，C ＝A ∪B .若a ∈A ，b ∈B ，c ∈C ，给出下列四个命题： ①⎩⎪⎨
⎪⎧a ∥b ， c ∥b
⇒a ∥c ；②⎩⎪⎨
⎪⎧a ⊥b c ⊥b
⇒a ∥c ；③⎩⎪⎨
⎪⎧a ∥b ，c ⊥b
⇒a ⊥c ；
④⎩
⎪⎨⎪⎧a ⊥b ，c ∥b ⇒a ⊥c . 其中所有正确命题的序号是________．
解析：由题意知：c 可以是直线，也可以是平面．当c 表示平面时，①②③都不对，故选④. 答案：④
12.如图， AB 为圆O 的直径，点C 在圆周上(异于点A ，B )，直线PA 垂直于圆O 所在的平面，点M 为线段PB 的中点．有以下四个命题：
①PA ∥平面MOB ； ②MO ∥平面PAC ；
③OC ⊥平面PAC ； ④平面PAC ⊥平面PBC .
其中正确的命题是________(填上所有正确命题的序号)．
答案：②④
13.如图，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，AC ∩EF ＝G ，现在沿AE 、EF 、FA 把这个正方形折成一个四面体，使B 、C 、D 三点重合，重合后的点记为P ，则在四面体P -AEF 中必有________．
①AP ⊥△PEF 所在平面； ②AG ⊥△PEF 所在平面； ③EP ⊥△AEF 所在平面； ④PG ⊥△AEF 所在平面． 解析：
在折叠过程中，AB ⊥BE ，
AD ⊥DF 保持不变．
∴
⎭
⎪⎬⎪
⎫AP ⊥PE
AP ⊥PF PE ∩PF ＝P ⇒ AP ⊥平面PEF .
答案：①
14.在如图所示的多面体ABCDE 中，AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，AB ＝CD ＝1，AC ＝3，AD ＝DE ＝2，G 为AD 的中点.
(1)在线段CE上找一点F，使得BF∥平面ACD，并加以证明；
(2)求三棱锥GBCE的体积.
(2)∵DE⊥平面ACD，
∴平面ABED⊥平面ACD，
在平面ACD内，作CF⊥AD于P，
∵平面ABED∩平面ACD＝AD，
∴CP ⊥平面ABED ， ∴CP 为三棱锥CBGE 的高， ∵V GBCE ＝V CBGE ＝1
3
S △BGE ·CP ，
且S △BGE ＝S 梯形ABED －S △ABG －S △EDG ＝3
2，
由三角形的等面积法得CP ＝
32
， ∴V GBCE ＝V CBGE ＝13S △BGE ·CP ＝3
4
.
15.在空间四边形ABCD 中，已知AD ＝1，BC ＝3，且AD ⊥BC ，对角线B D ＝132，AC ＝3
2
，求AC 和BD 所成的角．。