高中数学23《等比数列》教案苏教版必修

第 10课时：§2.3 等比数列（4）

【三维目标】：

一、知识与技能

1.综合运用等比数列的定义式、通项公式、性质及前n 项求和公式解决相关问题，

2.提高学生分析、解决问题能能力。理解这种数列的模型应用．

二、过程与方法

通过公式的灵活运用，进一步渗透方程的思想、分类讨论的思想、等价转化的思想.

三、情感、态度与价值观

在应用数列知识解决问题的过程中，要勇于探索，积极进取，激发学习数学的热情和刻苦求是的精神。

【教学重点与难点】：

重点：用等比数列的通项公式和前n 项和公式解决有关等比数列的一些简单问题

难点：将实际问题转化为数学问题（数学建模）．

【学法与教学用具】：

1. 学法：

2. 教学用具：多媒体、实物投影仪.

【授课类型】：新授课

【课时安排】：1课时

【教学思路】：

一、创设情景，揭示课题

首先回忆一下上一节课所学主要内容：

1．等比数列的定义：n

n a a 1+=q （+∈N n ,0≠q ） 2.等比数列的通项公式:)0(111≠⋅⋅=-q a q a a n n ，

3．性质：①b G a ,,成等比数列⇔G 2

=ab （0≠ab ）

②在等比数列中，若m n p q +=+(,,,)m n q p N +∈，则q p n m a a a a ⋅=⋅

4．等比数列的前n 项和公式： ∴当1≠q 时，q q a S n n --=1)1(1① 或q

q a a S n n --=11② 当1=q 时，1na S n =，当已知1a ,q ,n 时用公式①；当已知1a ,q ,n a 时，用公式②.

5.)1(11==n S a ，)2(1≥-=-n S S a n n n

6．n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，

①当1-=q 且k 为偶数时，k k k k k S S S S S 232,,--不是等比数列.

②当1-≠q 或k 为奇数时，k k k k k S S S S S 232,,-- 仍成等比数列

二、研探新知,质疑答辩，排难解惑，发展思维

例1 已知：n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，396,,S S S 成等差数列，

求证：285,,a a a 成等差数列．

证明：∵396,,S S S 成等差数列，∴3692S S S +=， 若1q =，则3161913,6,9S a S a S a ===， 由

96312S 0S S a ≠+≠可得，与题设矛盾，∴1q ≠,q

q a q q a q q a --=--+--1)1(21)1(1)1(916131,整理，得3692q q q +=，∵0q ≠，∴3612q q +=，4372511118(1)2a a a q a q a q q a q a +=+=+==．

∴285,,a a a 成等差数列．

例2已知一个项数是偶数的等比数列的首项为1，其奇数项的和为85，偶数项的和为170，求这个数列的公比和项数。

例3（教材52P 例4）水土流失是我国西部开发中最突出的生态问题．全国9100万亩的坡耕地需要退耕还林，其中西部地区占70%．国家确定2000年西部地区退耕土地面积为515万亩，以后每年退耕土地面积递增12%，那么从2000年起到2005年底，西部地区退耕还林的面积共有多少万亩（精确到万亩）？

解：根据题意，每年退耕还林的面积比上一年增长的百分比相同，所以从2000年起，每年退耕还林的面积（单位：万亩）组成一个等比数列{}n a ，其中

1515,112% 1.12,6,a q n ==+==则66515(1 1.12)41791 1.12

S ⨯-=≈-（万亩）． 答：从2000年起到2005年底，西部地区退耕还林的面积共有4179万亩．

思考：到哪一年底，西部地区基本解决退耕还林问题？

例4 某人从2004年初向银行申请个人住房公积金贷款20万元用于购房，贷款的月利率为3.375%，并按复利计算，每月等额还贷一次，并从贷款后的次月开始归还．如果10年还清，那么每月应还贷多少元？ 说明：对于分期付款，银行有如下的规定：（1）分期付款按复利计息，每期所付款额相同，且在期末付款；

（2）到最后一次付款时，各期所付的款额的本利和等于商品售价的本利和．

解：设每月应还贷x 元，付款次数为120次，则

2119120[1(1 3.375%)(1 3.375%)(1 3.375%)]200000(1 3.375%)x +++++++=+， 即120120[(1 3.375%)1]200000(1 3.375%)(1 3.375%)1x +-=++-，120

120200000 3.375%(1 3.375%)2029.66(1 3.375%)1]

x ⨯⨯+=≈+-（元）．答：设每月应还贷2029.66元．

四、巩固深化，反馈矫正

1.教材53P 练习第1，2，3题；

2.教材56P 习题第3,7题

五、归纳整理，整体认识

让学生总结本节课的内容

六、承上启下，留下悬念

七、板书设计（略）

八、课后记：