九年级中等生辅导资料1 相似三角形
九年级 数学 1 相似三角形
相似三角形【知识点整理】相似三角形的性质是几何证明的重要工具，是证明线段和差问题、相等问题、比例问题、角相等问题的重要方法,尤其在圆中,相似三角形有着极其重要的作用.1、相似三角形的性质：相似三角形的对应边成比例，对应角相等，对应边上的中线，角平分线，高线，周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方.2、相似三角形的判定方法（1）三边对应成比例的两个三角形相似（2）两边对应成比例，夹角相等的两个三角形相似（3）两组角对应相等的两个三角形相似.3、相似三角形中几个的基本图形EA BC DEABC D BCADEDCBA4、由相似三角形得到的几个常用定理定理1 平行于三角形一边的直线截得的三角形与原三角形形似.如图1，若DE∥BC,则BCDEACAEABAD==,或CEBDAEAD=.（图1）NMEDCBA（图2）定理2 平行切割定理如图2，D,E分别是∆ABC的边AB,AC上的点，过点A的直线交DE,BC于M,N,若DE∥MN,则NCBNMEDM=定理3 （平行线分线段成比例定理）两条直线被一组平行线截得的对应线段成比例.如图3-1、3-2，若1l ∥2l ∥3l ，则''''''C A ACC B BC B A AB ==, l 3l 2l 1C /B /A /CB A（图3-1）l 3l 2l 1C /B /A /CBA（图3-2）定理4 （角平分线性质定理） 如图，AD,AE 分别是∆ABC 的内角平分线与外角平分线，则ACABEC EB DC DB ==. EDCBA定理5 射影定理直角三角形斜边上的高分原三角形成两个直角三角形，这两个三角形与原三角形相似.DCBA定理6 相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。
即在⊙O 中，弦AB 、CD 相交于点P ，则PA ·PB=PC ·PDPO DCBA定理7 推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项.即在⊙O 中，直径AB ⊥CD ，则CE 2=AE ·BEO EDCBA定理8 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
九年级相似知识点归纳
九年级相似知识点归纳一、数学方面的相似知识点归纳1. 相似三角形相似三角形是指具有相同形状但不同大小的三角形。
相似三角形的性质包括：对应角相等，对应边成比例。
利用这些性质，我们可以求解各种与相似三角形相关的问题。
2. 相似比与比例相似比是指相似图形（包括三角形和多边形）的对应边的比值。
比例是指两个数之间的相对关系。
在解题中，我们需要用到相似比和比例来确定图形的相似性质以及求解未知数。
3. 相似多边形相似多边形是指具有相同形状但不同大小的多边形。
相似多边形的性质与相似三角形类似，对应角相等，对应边成比例。
我们可以利用相似多边形的性质来求解各类相关问题。
二、科学方面的相似知识点归纳1. 生物相似性在生物学中，相似性是指不同物种之间在形态特征、生理功能等方面存在相似之处。
相似性可以用来推断物种之间的亲缘关系，进行分类和进化研究。
2. 物理相似性在物理学中，相似性是指两个事物在某些性质上的相似程度。
物理相似性的研究可以帮助我们更好地理解和预测不同物体或系统的行为，比如利用相似性原理可以在实验室中进行模型实验，进而推广到真实情况。
3. 化学相似性在化学领域，相似性是指化合物或元素之间具有相似的化学性质或结构特征。
化学相似性可以用来预测物质的性质、反应行为，以及设计新的化合物或材料。
三、语文方面的相似知识点归纳1. 同义词与近义词同义词是指意思相同或相近的词语，而近义词指意思相近但不完全相同的词语。
在写作中，我们可以利用同义词和近义词来丰富文章的表达方式，避免重复使用相同的词汇。
2. 反义词与对义词反义词是指意思相反的词语，而对义词指相对应关系的词语。
在阅读理解和写作中，我们需要对反义词和对义词进行准确理解，以便正确地领会作者的意图和准确表达自己的思想。
3. 成语与俗语成语是特定社会和历史背景下形成的固定词组，具有特定的意义。
俗语是反映民间传统和智慧的短小词句。
在语文学习中，我们需要理解和运用成语和俗语，以提升语言表达的准确性和韵律感。
初三相似三角形.doc
∵ ， ，
∴ 且∠AEF=∠CEA.
∴△AEF∽△CEA．
一、专题精讲
例1：寻找相似型
如图，P为线段AB上一点，AD与BC交于E，∠CPD=∠A=∠B，BC交PD于F，AD交PC于G，则图中相似三角形有（ ）
A.1对B.2对C.3对D.4对
（2）设矩形的宽HE＝X，则MD＝HE＝x
∵AD＝30，∴AM＝30-x
∵HG＝2HE，∴HG＝2x
∵AM/AD＝HG/BC，BC＝40
∴ ，∴x＝12
∴HE＝12，HG＝24
∴矩形EFGH的周长＝2（HE+HG）＝2（12+24）＝72（cm）
三、课堂达标检测
1.如图、AD∥EF∥BC，则图的相似三角形共有_____对.
【答案】5.2m
如图，△ABC是一张锐角三角形的硬纸片．AD是边BC上的高，BC=40cm，AD=30cm．从这张硬纸片剪下一个长HG是宽HE的2倍的矩形EFGH．使它的一边EF在BC上，顶点G，H分别在AC，AB上．AD与HG的交点为M．
（1）求证： ；
（2）求这个矩形EFGH的周长．
【答案】（1）证明：∵矩形EFGH，∴EF∥GH，∴AM/AD＝HG/BC
∴ ，
∵AB=6，AD=4，AC=5，
∴
∴AE= ．
例3：相似型的识别
如图，在等边△ABC中，P为BC上一点，D为AC上一点，且∠APD=60°，BP=1，CD= ，则△ABC的边长为多少？
分析：设等边△ABC的边长AB=BC=AC=x，则PC=x﹣1，由条件可以得出△PCD∽△ABP，得出 ，从而可以求出其值．
【答案】3
初三相似性知识点总结归纳
初三相似性知识点总结归纳相似性是数学中一个重要的概念，它在初中数学中有着广泛的应用。
相似性是指形状、大小、比例等方面的相似性质，通过相似性的理论和定理，我们可以解决各种与形状和比例相关的问题。
本文将总结归纳初三阶段学习的相似性知识点，帮助同学们更好地掌握相似性的概念和应用。
1. 相似三角形相似三角形是初三相似性知识的基础，它是指两个三角形的对应角相等，对应边成比例。
相似三角形的性质有以下几点：1.1 角的相等性质相似三角形的对应角相等，即每个角都有与之对应的角相等。
1.2 边的成比例性质相似三角形的对应边成比例，即两个三角形的相似比例为一个固定的常数。
1.3 对应线段成比例在相似三角形中，如果有一条直线平行于两个三角形的边，则这条直线将两个三角形的对应边分成相等的线段。
2. 相似三角形的判定在初三数学中，我们经常需要判断两个三角形是否相似。
常用的判定方法包括以下几种：2.1 AAA判定法如果两个三角形的对应角相等，则它们相似。
2.2 AA~判定法如果两个三角形的一个角相等，并且两个角的对边成比例，则它们相似。
2.3 SS~判定法如果两个三角形的两边分别成比例，并且对应角相等，则它们相似。
3. 相似三角形的比例性质在相似三角形中，存在着多种比例性质，对于解题非常有帮助。
3.1 对应边的比例在相似三角形中，对应边的比例相等。
即如果两个三角形相似，那么它们的对应边之比相等。
3.2 海伦定理海伦定理是指在一个三角形内部，从一顶点引两条边，使得这两条边分别与另外两个顶点连成的线段比等于这两条边本身。
利用海伦定理可以解决一些关于相似三角形的比例问题。
4. 三角形的相似变换通过对三角形的简单变换可以得到相似的三角形。
常见的变换包括平移、旋转和翻转。
4.1 平移平移是指通过将一个图形的每个点沿着同一方向移动相等的距离，得到一个新的图形。
平移不会改变图形的大小和形状，因此平移可以保持相似性。
4.2 旋转旋转是指将一个图形绕着一个固定的中心点旋转一定角度得到一个新的图形。
九年级数学相似三角形知识点
九年级数学相似三角形知识点九年级数学：相似三角形知识点1. 相似三角形的定义相似三角形是指两个三角形的对应角相等，且对应边成比例的三角形。
也就是说，如果两个三角形的三个角分别相等，且每组对应边的比值都相等，那么这两个三角形就是相似的。
2. 相似三角形的标记在标记相似三角形时，通常使用希腊字母来表示对应的顶点。
例如，如果三角形ABC与三角形DEF相似，我们可以标记为：△ABC ∼△DEF。
3. 相似三角形的性质- 对应角相等：∠A = ∠D, ∠B = ∠E, ∠C = ∠F。
- 对应边成比例：AB/DE = BC/EF = AC/DF。
- 对应高的比值也相等：AH/DH = BH/EH = CH/FH（其中H是三角形的高所在的顶点）。
- 对应中线的比值也相等：AM/DM = BM/EM = CM/FM（其中M是三角形的中线所在的顶点）。
4. 相似三角形的判定- 三角形相似的判定定理一：如果两个三角形的两组对应角分别相等，那么这两个三角形相似。
- 三角形相似的判定定理二：如果两个三角形的三组对应边的比值都相等，那么这两个三角形相似。
- 三角形相似的判定定理三：如果两个三角形的两组对应边的比值相等，且它们之间的夹角也相等，那么这两个三角形相似。
5. 相似三角形的应用- 解决实际问题：在建筑设计、地图制作等领域，相似三角形的概念可以用来解决比例缩放问题。
- 计算面积比：相似三角形的面积比等于对应边长的平方比。
即，如果AB/DE = x，则△ABC的面积与△DEF的面积之比为x²。
- 证明几何定理：在证明某些几何定理时，可以通过证明三角形相似来简化证明过程。
6. 相似三角形的计算- 使用比例关系解决实际问题时，通常需要先确定比例系数，然后利用这个系数来计算其他边长或角度。
- 在计算面积比时，应先计算出三角形的边长比，然后根据边长比计算面积比。
7. 相似三角形的证明- 在证明三角形相似时，需要明确指出所使用的判定定理，并确保所有的条件都满足。
(完整版)相似三角形知识点归纳(全)
知识点 1 有关相似形的概念
(1) 形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形
.
(2) 如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多
边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比 ( 相似系数 ) ．
知识点 2 比例线段的相关概念、比例的性质
．相似三角形对应边的比叫做相似比 ( 或相
（2）三角形相似的判定方法
1、平行法： （图上）平行于三角形一边的直线和其它两边
( 或两边的延长线 ) 相交，所构成的三角形与原三角形相似 .
2、判定定理 1：简述为： 两角对应相等，两三角形相似． AA
3、判定定理 2：简述为： 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似
（ 1） 位似图形是相似图形的特例，位似图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点
.
（ 2） 位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形
.
（ 3） 位似图形的对应边互相平行或共线 .
（ 4）位似图形具有相似图形的所有性质 .
位似图形的性质：
Байду номын сангаас
位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比
．SAS
4 、判定定理 3：简述为： 三边对应成比例，两三角形相似 ．SSS
5、判定定理 4：直角三角形中， “ HL”
全等与相似的比较：
三角形全等
三角形相似
两角夹一边对应相等 (ASA) 两角一对边对应相等 (AAS) 两边及夹角对应相等 (SAS) 三边对应相等 (SSS) 、 (HL ）
两角对应相等 两边对应成比例，且夹角相等
B
C
（ 1）定义：对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．相似用符号“∽”表示，读作“相似于” 似系数 ) ．相似三角形对应角相等，对应边成比例．
(完整word版)九年级数学相似三角形的性质及应用(教师版)知识点+典型例题+详细答案(良心出品必属
相似三角形的性质及应用【学习目标】1、探索相似三角形的性质，能运用性质进行有关计算；2、通过典型实例认识现实生活中物体的相似，能运用图形相似的知识解决一些简单的实际问题（如何把实际问题抽象为数学问题）【要点梳理】要点一、相似三角形的性质1 •相似三角形的对应角相等，对应边的比相等2. 相似三角形中的重要线段的比等于相似比相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比3. 相似三角形周长的比等于相似比JP CA则匚m厂•AB+BC^CA kA'B^^^+k^A1由比例性质可得：4. 相似三角形面积的比等于相似比的平方曲BC CA.詡,「，则分别作出「二'与沁丁的高1 1BC AD k BC k ADS亠和」l ,则石注二屮27 =k2S AABZ丄BC AD2要点诠释：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的•要点二、相似三角形的应用1. 测量高度测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例相等”的原理解决.要点诠释：测量旗杆的高度的几种方法：平面镜测量法影子测量法手臂测量法标杆测量法2. 测量距离测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解。
1如甲图所示，通常可先测量图中的线段DC BD CE的距离（长度），根据相似三角形的性质，求出AB的长.2 .如乙图所示，可先测AC DC及DE的长，再根据相似三角形的性质计算AB 的长.要点诠释：1 •比例尺：表示图上距离比实地距离缩小的程度，比例尺=图上距离/实际距离；2•太阳离我们非常遥远，因此可以把太阳光近似看成平行光线•在同一时刻，两物体影子之比等于其对应高的比；3 •视点：观察事物的着眼点（一般指观察者眼睛的位置）；4•仰（俯）角：观察者向上（下）看时，视线与水平方向的夹角.【典型例题】类型一、相似三角形的性质△ ABB A DEF若厶ABC的边长分别为5cm 6cm 7cm,而4。
九年级三角形相似知识点
九年级三角形相似知识点在九年级的数学课程中，学生学习了许多与几何图形有关的知识，其中三角形是一个重要的概念。
在这篇文章中，我们将聚焦于三角形相似的知识点。
1. 什么是相似三角形？相似三角形是指具有相同的形状，但不一定相同大小的三角形。
换句话说，当两个三角形的对应角度相等时，我们可以说它们是相似的。
2. 相似三角形的性质相似三角形有一些重要的性质和规律。
首先，相似三角形的对应边长比例是相等的。
例如，如果两个三角形的两个对应边的比例相等，那么我们可以说这两个三角形是相似的。
其次，相似三角形的面积比例等于对应边长的平方比例。
这意味着如果两个三角形的对应边长比例是a：b，那么它们的面积比例将是a²：b²。
3. 相似三角形的判定方法有几种方法可以判断两个三角形是否相似。
其中一种方法是使用AA相似判定法。
如果两个三角形的两个角分别相等，那么它们是相似的。
另一种方法是使用SAS相似判定法。
如果两个三角形的一个角相等，并且两个对应边的比例相等，那么它们是相似的。
还有一种方法是使用SSS相似判定法。
如果两个三角形的三个对应边的比例相等，那么它们是相似的。
4. 相似三角形的应用相似三角形的概念在现实生活中有广泛的应用。
例如，当我们使用地图时，地图上的缩放往往使用相似三角形的原理。
另一个应用是在建筑设计中。
建筑师可以使用相似三角形的原理来计算楼房的高度和比例，从而得到更精确的设计。
此外，相似三角形也可以应用于影视制作中。
例如，在电影或动画中，人物的比例必须符合相似三角形的规律，以保持人物形象的真实感。
总结:相似三角形是九年级数学课程中重要的一部分。
理解相似三角形的概念和性质可以帮助学生更好地理解和运用几何知识。
在现实生活中，相似三角形的原理也有广泛的应用。
通过学习相似三角形，学生可以培养几何思维和解决问题的能力。
掌握这些知识点将为学生今后更深入地学习和应用几何学打下坚实的基础。
最后，相似三角形的学习也提醒我们，在日常生活中多留心观察和发现一些相似的事物，这有助于培养我们的观察力和逻辑思维能力。
初三相似三角形知识点
初三相似三角形知识点在初三数学中，相似三角形是一个重要的知识点。
相似三角形是指具有相同形状但不同大小的三角形。
接下来，我们将介绍一些与相似三角形相关的重要概念和定理。
1. 相似三角形的定义相似三角形是指具有相同形状但不同大小的三角形。
对于两个相似三角形ABC和DEF来说，它们的对应角度相等，即∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F。
而且，它们的对应边长之比相等，也就是AB/DE = BC/EF = AC/DF。
2. 相似三角形的性质相似三角形具有一些重要的性质：- 对应角和对应边的比例相等。
即∠A/∠D = ∠B/∠E = ∠C/∠F，以及AB/DE = BC/EF = AC/DF。
- 如果两个三角形相似，它们的对应边长之比等于它们的对应边长的平均数与对应角的正弦比之积。
即AB/DE = (BC + AC)/(EF + DF) = sin∠A/sin∠D = sin∠B/sin∠E = sin∠C/sin∠F。
3. 判断相似三角形的方法判断两个三角形是否相似的方法有几种：- AA准则：如果两个三角形的两个对应角相等，则它们是相似的。
- SAS准则：如果两个三角形的一个角相等，两个边成比例，且不在这个角的两边上，则它们是相似的。
- SSS准则：如果两个三角形的三个边成比例，则它们是相似的。
4. 相似三角形的应用相似三角形有很多应用场景，其中一个重要的应用是解决实际问题中的长度或距离问题。
通过相似三角形定理，我们可以利用一些已知的长度或距离来求解未知的长度或距离。
例如，通过测量一个高楼的阴影长度和同一时间地面上的阴影长度，我们可以利用相似三角形的性质来计算出这个高楼的高度。
5. 相似三角形定理相似三角形定理是判断相似三角形的重要定理之一。
根据相似三角形定理，如果在两个三角形中，两个角相等，则这两个三角形相似。
根据这个定理，我们可以利用相似三角形定理来求解一些长度或角度相关的问题。
通过对初三相似三角形知识点的了解，我们可以更好地理解和运用这个概念，解决实际问题中的相关数学计算。
九年级相似三角形知识点总结材料及例题讲解
知识点一：放缩与相似1.图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动。
2.把形状相同的两个图形说成是相似的图形，或者就说是相似性。
注意：⑴相似图形强调图形形状相同，与它们的位置、颜色、大小无关。
⑵相似图形不仅仅指平面图形，也包括立体图形相似的情况。
⑶我们可以这样理解相似形：两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的． ⑷若两个图形形状与大小都相同，这时是相似图形的一种特例——全等形．3.相似多边形的性质：如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例。
注意：当两个相似的多边形是全等形时，他们的对应边的长度的比值是1.知识点二：比例线段有关概念及性质 （1）有关概念1、比：选用同一长度单位量得两条线段。
a 、b 的长度分别是m 、n ，那么就说这两条线段的比是a ：b ＝m ：n （或n m b a =）2、比的前项，比的后项：两条线段的比a ：b 中。
a 叫做比的前项，b 叫做比的后项。
说明：求两条线段的比时，对这两条线段要用同一单位长度。
3、比例：两个比相等的式子叫做比例，如dc b a =4、比例外项：在比例dc b a =（或a ：b ＝c ：d ）中a 、d 叫做比例外项。
5、比例内项：在比例dc b a =（或a ：b ＝c ：d ）中b 、c 叫做比例内项。
6、第四比例项：在比例d c b a =（或a ：b ＝c ：d ）中，d 叫a 、b 、c 的第四比例项。
7、比例中项：如果比例中两个比例内项相等，即比例为a bb a =（或a:b ＝b:c 时，我们把b 叫做a 和d 的比例中项。
8.比例线段：对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即dcb a =（或a ：b=c ：d ），那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。
（注意：在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位）（2）比例性质1.基本性质: bcad d cb a =⇔= （两外项的积等于两内项积）2.反比性质： c da b dc b a =⇒= (把比的前项、后项交换)3.更比性质(交换比例的内项或外项)：()()()a bc d a c d c b d b ad bc a ⎧=⎪⎪⎪=⇒=⎨⎪⎪=⎪⎩，交换内项，交换外项．同时交换内外项4.合比性质：ddc b b ad c b a ±=±⇒=（分子加（减）分母,分母不变）．注意：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间发生同样和差变化比例仍成立．如：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+--=-⇒=dc dc b a b a ccd a a b d c b a ．5.等比性质：（分子分母分别相加，比值不变.） 如果)0(≠++++====n f d b nmf e d c b a ΛΛ，那么b a n f d b m ec a =++++++++ΛΛ． 注意：(1)此性质的证明运用了“设k 法” ，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法．(2)应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．(3)可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．知识点三：黄金分割1）定义：在线段AB 上，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC ＞BC ），如果ACBCAB AC =，即AC 2=AB×BC ，那么称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比。
(word完整版)初三数学《相似三角形》知识点归纳,文档
初三数学?相似三角形?知识大纲( 孟老师归纳 )一：比率的性质及平行线分线段成比率定理〔一〕相关看法： 1. 两条线段的比：两条线段的比就是两条a mb n线段长度的比在同一长度单位下两条线段a，b 的长度分别为 m，n，那么就说这两条线段的比是，或写成a：b=m：n；其中a叫做比的前项，b叫做比的后项2：比率尺 = 图上距离／实质距离3：成比率线段：在四条线段 a，b，c，d 中，若是其中两条线段的比等于别的两条线段的比，那么这四条线段叫做成比率线段，简称比率线段，记作：b da c〔或 a：b=c：d〕①线段 a，d 叫做比率外项，线段b，c 叫做比率内项，②线段 a 叫首项， d 叫 a，b，c 的第四比率项。
③比率中项 : 假设a b即b2 a c那么 b是 a c 的比率中项.b c,,〔二〕比率式的性质1. 比率的根本性质 : ac ad bc b d2.合比：假设a c，a b c d或a cb d b d b a d c等比：假设ac e⋯⋯m k〔假设 bd f⋯⋯n 0〕3.b d f nac e⋯⋯m a m k⋯⋯b d f n b n4、黄金切割：页脚内容和 BC 的比率中项，叫做把线段 AB 黄金切割，点 C 叫做线段 AB 的黄金切割点，其中 AC= 5 1，2( 三) 平行线分线段成比率定理1. 平行线分线段成比率定理 : 三条平行线截两条直线 , 所得的对应线段成比率 .如图：当 AD ∥BE ∥CF 时，都可获取= . = ，= ，语言描述以下：= ， = ， = .〔4〕上述结论也适合以下情况的图形：图〔 2〕图〔 3〕 图〔 4〕图〔 5〕2. 推论 : 平行于三角形一边的直线截其他两边 ( 或两边的延长线 ) 所得的对应线段成比率 .DEl 1 DEAl 1AADEl 2A l 2DEl 3l 3B CBCBCB CA 型X 型由 DE∥BC可得：ADAE或 BD EC或AD AE . DB ECAD EAAB AC3.推论的逆定理：若是一条直线截三角形的两边 ( 或两边的延长线 )所得的对应线段成比率 . 那么这条直线平行于三角形的第三边.如上图：假设=.=，=，那么AD∥BE∥CF此定理给出了一种证明两直线平行方法, 即：利用比率式证平行线 . 4.定理 : 平行于三角形的一边 , 而且和其他两边订交的直线 , 所截的三．角形的三边与原三角形三边对应成比率 .．．．．．．．．．．．二：相似三角形：〔一〕：定义：1：对应角相等，对应边成比率的三角形，叫做相似三角形。
初三数学：《相似三角形》知识点归纳
初三数学：《相似三角形》知识点归纳
所谓的相似三角形,就是它们的形状相同,但大小不一样,然而只要其形状相同,不论大小怎样改变他们都相似,所以就叫做相似三角形。
三角对应相等，三边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形。
相似三角形的判定方法有：
平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似，
如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似，
如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似，
如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似，
直角三角形相似判定定理1：斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似。
直角三角形相似判定定理2：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似，并且分成的两个直角三角形也相似。
射影定理
相似三角形的性质
1.相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等)的比等于相似比。
2.相似三角形周长的比等于相似比。
3.相似三角形面积的比等于相似比的平方。
2019中考初三数学相似三角形知识点
2019中考初三数学相似三角形知识点
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初三数学相似三角形知识点
1.相似三角形的定义
对应角相等、对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。
如果三边分别对应A,B,C和a，b，c：那么：A/a=B/b=C/c
即三边边长对应比例相同。
2.相似三角形判定
对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。
判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似
判定定理2：如果两个三角形的两组对应边成比例，并且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似
判定定理3：如果两个三角形的三组
对应边成比例，那么这两个三角形相似判定定理4：两三角形三边对应平行，则两三角形相似。
判定定理5：两个直角三角形中，斜边与直角边对应成比例，那么两三角形相似。
其他判定：由角度比转化为线段比：h1/h2=Sabc
3.相似三角形性质
相似三角形的对应角相等。
相似三角形的对应边成比例。
相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。
相似三角形的周长比等于相似比。
相似三角形的面积比等于相似比的平方。
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九年级数学相似三角形知识点
九年级数学相似三角形知识点相似三角形是九年级数学中的重要知识点之一，本文将详细介绍相似三角形的概念、判定方法及性质。
一、概念相似三角形是指具有相同形状但大小不同的三角形。
两个三角形相似的条件为对应角相等，并且对应边成比例。
记作△ABC∽△DEF。
二、判定方法1.角-角-角（AA）判定法若两个三角形的三个角分别相等，则它们一定相似。
2.角-边-角（ARJ）判定法若两个三角形的一个角相等，另一个角相等，且夹在已知边之间的两边成比例，则它们一定相似。
3.边-角-边（SAS）判定法若两个三角形的两边分别成比例，夹角相等，则它们一定相似。
注意：边-边-边（SSS）判定法不能判断两个三角形是否相似，因为只有边成比例不能保证角相等。
三、性质1.对应角相等性质相似三角形的对应角相等，即∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F。
2.对应边成比例性质相似三角形的对应边成比例，即AB/DE=BC/EF=AC/DF。
其中，k为比例因子，代表两个相似三角形的对应边之比。
3.周长比例性质相似三角形的周长之比等于任意一条对应边之比。
4.面积比例性质相似三角形的面积之比等于任意一条对应边平方的比。
5.高比例性质相似三角形的高之比等于任意一条对应边之比。
四、相似三角形的应用1.测量难以直接获取的长度利用相似三角形的边比例性质，可以通过测量一些直接长度，求解难以直接获取的长度，如高度、距离等。
2.解决图像与实物的相似问题在制图中，根据相似三角形的比例性质，可以将实物缩小或放大绘制，保持图像与实物相似，从而达到简化和便于研究的目的。
3.解决间接测量问题利用相似三角形的性质，可以通过测量一些已知长度和角度，间接计算出难以直接测量的距离或高度。
4.解决图形的包含和相似问题通过相似三角形的判定方法，可以判断一个三角形是否包含在另外一个三角形中，以及两个图形是否相似。
总结：相似三角形是九年级数学中的重要知识点，通过角-角-角、角-边-角和边-角-边三种判定方法，我们可以判断两个三角形是否相似。
九年级相似三角形
1.相似三角形定义：对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形。
2.相似三角形的表示方法：用符号“∽”表示，读作“相似于”。
3.相似三角形的相似比：相似三角形的对应边的比叫做相似比。
4.相似三角形的预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所截成的三角形与原三角形相似。
5.相似三角形的判定定理：成比例”就可得到相似三角形的判定定理，这就是我们数学中的用类比的方法，在旧知识的基础上找出新知识并从中探究新知识掌握的方法。
6.直角三角形相似：(1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。
(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。
7.相似三角形的性质定理： (1)相似三角形的对应角相等。
(2)相似三角形的对应边成比例。
(3)相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。
(4)相似三角形的周长比等于相似比。
(5)相似三角形的面积比等于相似比的平方。
8. 相似三角形的传递性如果△ABC ∽△A 1B 1C 1，△A 1B 1C 1∽△A 2B 2C 2，那么△ABC ∽A 2B 2C 2 例1、将三角形纸片（△ABC ）按如图10所示的方式折叠，使点B 落在边AC 上，记为点B ′，折痕为EF ．已知AB ＝AC ＝3，BC ＝4，若以点B ′，F ，C 为顶点的三角形与△ABC 相似，那么BF 的长度是 ．2、如图，四边形EFGH 是 ABC 内接正方形，BC=21cm ，高AD=15cm ，则内接正方形边长EF=____________。
图10BEF HI第2题GCD A第18题3、如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、B在双曲线y＝kx(x＞0)上，BC与x轴交于点D．若点A的坐标为（1，2），则点B的坐标为（）A．（3，32）B．（4，21）C．（29，94）D．（5，52）4、如图，已知EF是梯形ABCD的中位线，DEF△的面积为24cm，则梯形ABCD的面积为cm2．5、如图，在直角梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AD＝4，AB＝5，BC＝6，点P是AB上一个动点，当PC＋PD的和最小时，PB的长为__________．6、一个边长为16m的正方形展厅，准备用边长分别为1m和0.5m的两种正方形地板砖铺设其地面．要求正中心一块是边长为1m的大地板砖，然后从内到外一圈小地板砖、一圈大地板砖相间镶嵌（如图所示），则铺好整个展厅地面共需要边长为1m的大地板砖块．7、已知：如图，DE是△ABC的中位线，AB于点Q，那么S△DPQ：S△ABC=．8、在△ABC中，AB=6，AC=9，点D在边AB所在的直线上，且AD=2，过点D作DE∥BC交边AC所在直线于点E，则CE的长为．9、如图，△ABC是等边三角形，被一平行于BC的矩形所截，AB被截成三等分，则图中阴影部分的面积是△ABC的面积的（）Ａ．91Ｂ．92Ｃ．31Ｄ．9410、如图，正方形ABCD中，E为AB的中点，AF⊥DE于点O，则DOAO等于（）A．352B．31C．32D．2111、一张等腰三角形纸片，底边长l5cm，底边上的高长22．5cm．现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为3cm的矩形纸条，如图所示．已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是( )A．第4张 B．第5张 C.第6张 D．第7张10、如图，点M是△ABC内一点，过点M分别作直线平行于△ABC的各边，所形成的三个小三角形△1、△2、△3（图中阴影部分）的面积分别是4，9和49．则△ABC的面积是．A DE FB（第11题）12、某班在布置新年联欢会会场时，需要将直角三角形彩纸裁成长度不等的矩形彩条，如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=30㎝，AB=50㎝，依次裁下宽为1㎝的矩形纸条a 1、a 2、a 3…，若使裁得的矩形纸条的长都不小于5㎝，则每张直角三角形彩纸能裁成的矩形纸条的总数是 A.24 B.25 C.26 D.2713、如图10，四边形ABCD 、DEFG 都是正方形，连接AE 、CG,AE 与CG 相交于点M ，CG 与AD 相交于点N ．求证：（1）CG AE =；（2）.MN CN DN AN ∙=∙14、如图，在平面直角坐标系中，点(30)C -，，点A B ，分别在x 轴，y轴的正半轴上，且满足10OA -=．（1）求点A ，点B 的坐标．（2）若点P 从C 点出发，以每秒1个单位的速度沿射线CB 运动，连结AP ．设ABP △的面积为S ，点P 的运动时间为t 秒，求S 与t 的函数关系式，并写出自变量的取值范围．（3）在（2）的条件下，是否存在点P ，使以点A B P ，，为顶点的三角形与AOB △相似？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．15、如图，已知△ABC 是边长为6cm 的等边三角形，动点P 、Q 同时从A 、B 两点出发，分别沿AB 、BC 匀速运动，其中点P 运动的速度是1cm/s ，点Q 运动的速度是2cm/s ，当点Q 到达点C 时，P 、Q 两点都停止运动，设运动时间为t （s ），解答下列问题： （1）当t ＝2时，判断△BPQ 的形状，并说明理由； （2）设△BPQ 的面积为S （cm 2），求S 与t 的函数关系式；（3）作QR //BA 交AC 于点R ，连结PR ，当t 为何值时，△APR ∽△PRQ ？x16、如图，在等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，5AB DC ==，6AD =，12BC =．动点P 从D 点出发沿DC 以每秒1个单位的速度向终点C 运动，动点Q 从C 点出发沿CB 以每秒2个单位的速度向B 点运动．两点同时出发，当P 点到达C 点时，Q 点随之停止运动． （1）梯形ABCD 的面积等于 ；（2）当PQ AB ∥时，P 点离开D 点的时间等于 秒； （3）当P Q C ，，三点构成直角三角形时，P 点离开D 点多少时间？课后练习1、如图，正方形ABCD 是一块绿化带，其中阴影部分EOFB ，GHMN 都是正方形的花圃．已知自由飞翔的小鸟，将随机落在这块绿化带上，则小鸟在花圃上的概率为（ ）．． C ．D ．2、如图，点A ，B ，C ，D 为⊙O 上的四个点，AC 平分∠BAD ，AC 交BD 于点E ，CE=4，CD=6，则AE 的长为3、如图，在▱ABCD 中，E 为CD 上一点，连接AE 、BD ，且AE 、BD 交于点F ，S △DEF ：S △ABF =4：25，则DE ：EC=（ ）CB4、如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，AC=2，△ABC绕点C顺时针旋转得△A1B1C，当A1落在AB边上时，连接B1B，取BB1的中点D，连接A1D，则A1D的长度是（）A．B．2C．3 D．25、如图，n个边长为1的相邻正方形的一边均在同一直线上，点M1，M2，M3，…M n分别为边B1B2，B2B3，B3B4，…，B n B n+1的中点，△B1C1M1的面积为S1，△B2C2M2的面积为S2，…△B n C n M n的面积为S n，则S n=_________．（用含n的式子表示）6、如图，△ABC是斜边AB的长为3的等腰直角三角形，在△ABC内作第1个内接正方形A1B1D1E1（D1、E1在AB上，A1、B1分别在AC、BC上），再在△A1B1C内接同样的方法作第2个内接正方形A2B2D2E2，…如此下去，操作n次，则第n个小正方形A n B n D n E n的边长是_________．7、如图，已知▱OABC的顶点A、C分别在直线x=1和x=4上，O是坐标原点，则对角线OB长的最小值为．8、如图，△AOB中，∠O=90°，AO=8cm，BO=6cm，点C从A点出发，在边AO上以2cm/s的速度向O点运动，与此同时，点D从点B出发，在边BO上以1.5cm/s的速度向O点运动，过OC的中点E作CD的垂线EF，则当点C运动了s时，以C点为圆心，1.5cm为半径的圆与直线EF相切．9、如图，OA=2，以点A为圆心，1为半径画⊙A与OA的延长线交于点C，过点A画OA的垂线，垂线与⊙A的一个交点为B，连接BC（1）线段BC的长等于；（2）请在图中按下列要求逐一操作，并回答问题：①以点为圆心，以线段的长为半径画弧，与射线BA交于点D，使线段OD的长等于②连OD，在OD上画出点P，使OP得长等于，请写出画法，并说明理由．10、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点P为AC边上的一点，将线段AP绕点A顺时针方向旋转（点P对应点P′），当AP旋转至AP′⊥AB时，点B、P、P′恰好在同一直线上，此时作P′E⊥AC于点E．（1）求证：∠CBP=∠ABP；（2）求证：AE=CP；（3）当，BP′=5时，求线段AB的长．11、如图，已知AB是⊙O的直径，P为⊙O外一点，且OP∥BC，∠P=∠BAC．（1）求证：PA为⊙O的切线；（2）若OB=5，OP=，求AC的长．12、如图，AB是⊙O的直径，∠B=∠CAD．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若点E是的中点，连接AE交BC于点F，当BD=5，CD=4时，求AF的值．。
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2014年九年（上）数学提高辅导提纲（三）
班级__________姓名_____________
《相似三角形2》
一、选择题
1、已知
754z
y x ==，则下列等式成立的是（ ） A 、91=+-y x y x B 、167
=++z z y x C 、3
8=-+++z y x z y x D 、x z y 3=+ 2、已知直角三角形三边分别为b a b a a 2,,++，()0,0>>b a ，则=b a :（ ）
A 、1：3
B 、1：4
C 、2：1
D 、3：1 3、已知c b a ,,是△ABC 的三条边，对应高分别为c b a h h h ,,，且6:5:4::=c b a ，那么c b a h h h ::等于（ ）
A 、4：5：6
B 、6：5：4
C 、15：12：10
D 、10：12：15
4．已知△ABC 的周长为1，连结△ABC 的三边中点构成第二个三角形，•再连结第二个三角形的三边中点构成第三个三角形，依此类推，第2010个三角形的周长是（ ） A 、
20081 B 、2009
1 C 、220081 D 、2
20091
5．如图,在△ABC 中，E ，D ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，AB=6，AC=4，则四边形AEDF•的周长是（ ）
A ．10
B ．20
C ．30
D ．40
6．如图所示，已知四边形ABCD ，R ，P 分别是DC ，BC 上的点，E ，F 分别是AP ，RP 的中点，当点P 在BC 上从点B 向点C 移动而点R 不动时， 那么下列结论成立的是（ ） A ．线段EF 的长逐渐增大 B ．线段EF 的长逐渐减少 C ．线段EF 的长不变 D ．线段EF 的长不能确定
（5） （6） 7、如图M 、N 是平行四边形ABCD 中对角线BD 上的三等分点CM 交AB 于E ，EN 交CD 于F ，则DF ：AB=（ ） A 、1：3 B 、！：4 C 、2：5 D 、3：8
8、如图△ABC 中∠A=90°，P 是内部一点，过P 点作直线与△ABC 的两边相交，使截得的三角形与原三角形相交，这样的直线有（ ）条。
A 、3 B 、4 C 、5 D 、6
9、下列3个图形中是位似图形的有（ ）
A 、0个
B 、1个
C 、2个
D 、3个
N
M
D
A
C
B
A B
C
P
F E (7)
(8) B
10、如图，将放置于平面直角坐标系中的三角板AOB 绕O 点顺时针旋转90°得△A′OB′．已知∠AOB =30°，∠B =90°，AB =1，则B′点的坐标为( )
A ．
B ．
C ．
D ．
二、填空题
11. 已知三个数1，2，3，请你添上一个数，使它能构成一个比例式，则这个数是__________ 12、如图，四边形ADEF 为菱形，且AB ＝14厘米，BC ＝12厘米，AC ＝10厘米，那BE ＝ 厘米。
13、在ABC ∆中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点连结DE 、BE 、CD ，且BE 与CD 交于点O ，若DEO ∆的面积DEO S ∆=1,则ABC ∆的面积ABC S ∆= 。
三、解答题
14、已知()3:2:=-y y x ，求y
x y
x 2352-+的值。
15、（6分）请作出五边形ABCDE 以点O 为位似中心的位似图形，使得像和原图形的位似比是1：2。
15、如图，Rt ΔABC 中斜边AB 上一点M ，MN ⊥AB 交AC 于N ，若AM ＝3厘米，AB ：AC ＝5：4，求MN 的长。
解：
3(
)22
3(22
1(22
,1
()22
O
C B M N A
16. 如图，在等边△ABC 中，P 为BC 上一点，D 为AC 上一点，且∠APD=60°，
BP CD ABC ==
12
3
，，求△的边长
16.已知矩形ABCD 中，AB =4cm ，AD =10cm ，点P 在边BC 上移动，点E 、F 、G 、H 分别是AB 、AP 、DP 、DC 的中点.求证：EF +GH =5cm ；
17．如图所示，在△ABC 中，点D 在BC 上且CD=CA ，CF 平分∠ACB ，AE=EB ，求证：EF=
1
2
BD ．
18.如图，点E ，F ，G ，H 分别是CD ，BC ，AB ，DA 的中点。
求证：四边形EFGH 是平行四边形。
19.如图，在△ABC 中，已知AB=6，AC=10，AD 平分∠BAC ，BD ⊥AD 于点D ，E•为BC 中点．求DE 的长．
20．已知：如图，在□ABCD 中，E 是CD 的中点，F 是AE 的中点，FC 与BE 交于G ．求证：GF ＝GC ．
22.已知，△ABC 中，∠C=900，G 是三角形的重心，，AB=8， 求：① GC 的长；
② 过点G 的直线MN ∥AB ，交AC 于M ，BC 于N ， 求MN 的长。
B。