北师大版高中数学必修2双基限时练：第一章++立体几何初步(16套,含解析)双基限时练12

双基限时练(十二)

一、选择题

1．下列说法中错误的是()

A．如果α⊥β，那么α内的所有直线都垂直β

B．如果一条直线垂直于一个平面，那么此直线必垂直于这个平面内的所有直线

C．如果一个平面通过另一个平面的垂线，那么两个平面互相垂直

D．如果α不垂直于β，那么α内一定不存在垂直于β的直线

解析根据两平面垂直的性质定理，可知A不对，故选A.

答案A

2．若l，m，n是互不相同的空间直线，α，β是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是()

A．若α∥β，lα，nβ，则l∥n

B．若α⊥β，lα，则l⊥β

C．若l⊥n，m⊥n，则l∥m

D．若l⊥α，l∥β，则α⊥β

解析由l⊥α，l∥β，知在β内一定能找到一条直线l′使得l′∥l，又l⊥α，∴l′⊥α，故α⊥β，故D正确．

答案D

3.

在空间四边形ABCD中，若AB＝BC，AD＝CD，E为对角线AC的中点，下列判断正确的是()

A．平面ABD⊥平面BDC

B．平面ABC⊥平面ABD

C．平面ABC⊥平面ADC

D．平面ABC⊥平面BED

解析∵AB＝BC，E为AC的中点，∴AC⊥BE，同理AC⊥ED，又BE∩ED＝E，∴AC⊥面BED，又AC面ABC，

∴面ABC⊥面BED.

答案D

4．在正三棱锥P－ABC中，D，E分别为AB，BC的中点，有下列三个论断：①面APC⊥面PBD；②AC∥面PDE；③AB⊥面PDC，其中正确论断的个数为()

A．0 B．1

C．2 D．3

解析①不正确，②③正确．

答案C

5．如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥面ABC，∠BAC＝90°，则二面角B—PA—C的平面角是()

A．90°B．60°

C．45°D．30°

解析∵PA⊥面ABC，∴PA⊥AB，PA⊥AC.

∴∠BAC为二面角B—PA—C的平面角，又∠BAC＝90°，故答案为A.

答案A

6．在△ABC所在平面α外一点P满足PA＝PB＝PC，则点P在α内的射影是△ABC的()

A．垂心B．内心

C．外心D．重心

解析设O为点P在平面α内的射影，∴PO⊥AO，PO⊥OC，PO⊥OB.又PA＝PB＝PC，∴OB＝OC＝OA，∴O为△ABC的外心．

答案C

二、填空题

7．如图，四边形ABCD为正方形，PA⊥面ABCD，则平面PBD与面PAC的关系是________．

解析∵PA⊥面ABCD，BD面ABCD，

∴BD⊥AP.

又ABCD为正方形，

∴BD⊥AC，又AC∩AP＝A，

∴BD⊥面PAC，而BD面PBD，

∴面PBD⊥面PAC.

答案面PBD⊥面PAC

8．设直线l和平面α，β且lα，lβ，给出下列三个论断：①l⊥α；

②α⊥β；③l∥β，从中任取两个作为条件，其余一个作为结论，在构成的各命题中，写出你认为正确的一个命题________．

答案①③⇒②

9．AB是圆O的直径，C是圆上异于A，B的任意一点，PA垂直于圆O所在的平面，则△PAB，△PAC，△ABC，△PBC中共有________个直角三角形．

解析∵PA⊥面ABC，

∴△PAB，△PAC均为直角三角形，又AB为直径，

∴AC⊥BC，∴△ABC为直角三角形，且BC⊥面PAC，

∴△PBC为直角三角形．

答案 4

三、解答题

10．如图四棱锥P－ABCD的底面是正方形，PD⊥面ABCD，E在棱PB上，求证：面AEC⊥面PBD.

证明∵PD⊥面ABCD，AC面ABCD，∴AC⊥PD.

又ABCD为正方形，∴AC⊥BD.

又PD∩BD＝D，∴AC⊥面PBD.

又AC面AEC，∴面AEC⊥面PBD.

11．如图，DA⊥面ABC，∠ABC＝90°，AE⊥DB，点F在DC上，求证：平面DBC⊥平面AEF.

证明∵DA⊥平面ABC，BC平面ABC，

∴DA⊥BC.

∵∠ABC＝90°，∴AB⊥BC.

∵DA∩AB＝A，∴BC⊥平面DAB.

∵AE平面DAB，∴BC⊥AE.

又∵AE⊥DB，DB∩BC＝B，

∴AE⊥平面DBC.

又∵AE平面AEF，

∴平面DBC⊥平面AEF.

12．如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AB＝BC，D是AC的中点．

(1)求证：B1C∥面A1BD；

(2)求证：面A1BD⊥面ACC1A1.

证明(1)设AB1与A1B相交于点E，连接DE，则E为AB1的中点．在△AB1C中，D为AC的中点，E为AB1的中点，

∴DE∥B1C.

又∵DE平面A1BD，B1C平面A1BD，

∴B1C∥面A1BD.

(2)在△ABC中，AB＝BC，D是AC的中点，

∴BD⊥AC.

∵AA1⊥平面ABC，∴AA1⊥BD.

又∵AA1∩AC＝A，∴BD⊥平面ACC1A1.

又BD平面A1BD，∴面A1BD⊥面ACC1A1.

思维探究

13．如图所示，已知在△BCD中，∠BCD＝90°，BC＝CD＝1，AB⊥

平面BCD，∠ADB＝60°，E，F分别是AC，AD上的动点，且AE

AC＝AF AD＝

λ(0<λ<1)．

求证：不论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC.