18.1 勾股定理(沪科版)

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沪科版数学八年级下册 18

能是 ( D )
A. 9 cm B. 12 cm C. 15 cm
D. 18 cm
3. 已知点 (2，5)，(-4，-3)，则这两点的距离为_1_0__.
4. 如图，有两棵树，一棵高 8 米，另一棵高 2 米，两棵树相距 8 米. 一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵的树梢，问小鸟至少飞行多少米？
B
y
解：如图，过点 A 作 x 轴的垂线，
过点 B 作 x，y 轴的垂线，相交于A
5 4
点 C，连接 AB.
3
则 AC = 5 - 2 = 3，BC = 3 + 1 = 4. C
2B
在 Rt△ABC 中，由勾股定理得
1
AB AC2 BC2 5.
-3 -2 -1-1 O 1 2 3 x
∴ A，B 两点间的距离为 5.
例3 在一次台风的袭击中，小明家房前的一棵大树在离地面 6 米处折断，树的顶部落在离树根底部 8 米处. 你能告诉小明这棵树折断之前有多高吗？
6 米
8米
A
6 米
C
8米
解：根据题意可以构建一个直角三角形模型，如图. 在 Rt△ABC 中， AC = 6 米，BC = 8 米，由勾股定理得
AB AC 2 BC 2 62 82
12
侧面展开图 12
A解：在 Rt△ABA′ 中，由勾股A 定理得
AB AA′2 BA′2 122 3 32 15(cm).
归纳立体图形中求表面上两点间的最短距离，一般把立体图形展开成平面图形，根据“两点之间线段最短” 确定最短路线，再根据勾股定理求最短路程.
例5 有一个圆柱形油罐，要以 A 点环绕油罐建梯子，正好建在 A 点的正上方点 B 处，问梯子最短需多少米 (已知油罐的底面半径是 2 m，高 AB 是 5 m，π 取 3)?

1.1勾股定理PPT课件(沪科版)

O.若点 O 是 AC 的中点，
则 CD 的长为( A )
A．2 2
B．4
C．3
D． 10
11．[中考·益阳]在△ABC 中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC 的面积．某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路．请你按照他们的解题思路，写出解答过程．
解：作 AD⊥BC 于 D，设 BD＝x，则 CD＝14－x，根据勾股定理，得 AD2＝AB2－BD2＝152－x2，AD2＝AC2－CD2 ＝132－(14－x)2，∴152－x2＝132－(14－x)2，解得 x＝9. ∴AD2＝AB2－BD2＝152－92＝144. ∴AD＝12. ∴S△ABC＝12BC·AD＝12×14×12＝84.
证明：如图①，连接 DB，过点 D 作 BC 边上的高 DF 交 BC
的延长线于点 F，则 DF＝EC＝b－a. ∵S 四边形 ADCB＝S△ACD＋S△ABC＝12b2＋12ab＝S△ADB＋S△DCB＝12c2 ＋12a(b－a)， ∴12b2＋12ab＝12c2＋12a(b－a)， ∴a2＋b2＝c2.
4．[合肥寿春中学期中]在 Rt△ABC 中，斜边 AB＝2，则 AB2＋ BC2＋AC2＝____8____．
5．在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，S△ABC＝30，AB＝13，且 BC＜ AC，则 BC＝____5____，AC＝____1_2___．
6．如图，点 E 在正方形 ABCD 内，满足∠AEB＝90°，AE＝6， BE＝8，则阴影部分的面积是( C ) A．48 B．60 C．76 D．80
12．[2019·合肥蜀山区校级期中]勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜地发现，当两个全等的直角三角形如图①或图②摆放时，都可以用“面积法”来证明，下面是小聪利用图①证明勾股定理的过程：将两个全等的直角三角形按图 ①所示摆放，其中 ∠ DAB＝ 90°.求证：a2＋b2＝c2.

沪科版八年级下册数学《18.1 勾股定理》

1.在△ABC中，∠C=900.AB=c，BC=a，AC=b.
(1)a=5,b=12,求c； 13
A
(2)a=8,c=17,求b. 15
c b
B aC
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ展新知
勾股定理 a2 +b2 =c2 有哪些的变形？
（1）a2 =c2 - b2 （2）b2 =c2 - a2
(3) c a2 b2 (4) a c2 b2
S3的面积怎么算呢？（图中每个小方格代表一个单位面积）
A
S3
S2
C
B
S1
（1）观察
S1 _9__个单位面积。 S2 _9__个单位面积。 S3 _1_8_个单位面积。
S3的面积怎么算呢？
（图中每个小方格代表一个单位面积）
三个正方形的面积有什么关系？
S1+S2=S3
一般的直角三角形三边为边作正方形（2）观察
沪科版八年级下册
18.1勾股定理
看
发们映友现，直家
一
什我角作相么们三客传
看
？也角， 25 来形发 00
地
观三现年察边朋前
板
下的友，面某家一
砖
的种用次图数砖毕
案量铺达
，关成哥看系的拉看，地斯
你同面去
能学反朋
A
S3
S2
C
B
S1
（1）观察
S1 _9__个单位面积。 S2 _9__个单位面积。 S3 _1_8_个单位面积。
S1 _9__个单位面积。 S2 _1_6_个单位面积。
S3 _2_5_个单位面积。
A
S3 S2
C
B
S1

18.1 第1课时勾股定理(沪科版八年级数学下册教案)

第1课时　勾股定理1．经历探索勾股定理及验证勾股定理的过程，体会数形结合的思想；(重点)2．掌握勾股定理，并运用它解决简单的计算题．(重点)一、情境导入如图所示的图形像一棵枝叶茂盛、姿态优美的树，这就是著名的毕达哥拉斯树，它由若干个图形组成，而每个图形的基本元素是三个正方形和一个直角三角形．各组图形大小不一，但形状一致，结构奇巧．你能说说其中的奥秘吗？二、合作探究探究点一：勾股定理的证明作8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，再做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，将它们像下图所示拼成两个正方形．求证：a 2＋b 2＝c 2.解析：从整体上看，这两个正方形的边长都是a ＋b ，因此它们的面积相等．我们再用不同的方法来表示这两个正方形的面积，即可证明勾股定理．证明：由图易知，这两个正方形的边长都是a ＋b ，∴它们的面积相等．左边的正方形面积可表示为a 2＋b 2＋12ab ×4，右边的正方形面积可表示为c 2＋12ab ×4.∵a 2＋b 2＋12ab ×4＝c 2＋12ab ×4，∴a 2＋b 2＝c 2.方法总结：根据拼图，通过对拼接图形的面积的不同表示方法，建立相等关系，从而验证勾股定理．探究点二：勾股定理【类型一】直接利用勾股定理求长度如图，已知在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝5cm ，BC ＝3cm ，CD ⊥AB 交AB于点D ，求CD 的长．解析：先运用勾股定理求出AC 的长，再根据S △ABC ＝12AB ·CD ＝12AC ·BC ，求出CD 的长．解：∵在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝5cm ，BC ＝3cm ，∴由勾股定理得AC 2＝AB 2－BC 2＝52－32＝42，∴AC ＝4cm.又∵S △ABC ＝12AB ·CD ＝12AC ·BC ，∴CD ＝A C ·B C A B ＝4×35＝125(cm)，故CD 的长是125cm.方法总结：由直角三角形的面积求法可知直角三角形两直角边的积等于斜边与斜边上高的积，它常与勾股定理联合使用．【类型二】利用勾股定理求面积如图，以Rt △ABC 的三边长为斜边分别向外作等腰直角三角形．若斜边AB ＝3，则图中△ABE 的面积为________，阴影部分的面积为________．解析：因为AE ＝BE ，∠E ＝90°，所以S △ABE ＝12AE ·BE ＝12AE 2.又因为AE 2＋BE 2＝AB 2，所以2AE 2＝AB 2，所以S △ABE ＝14AB 2＝14×32＝94；同理可得S △AHC ＋S △BCF ＝14AC 2＋14BC 2.又因为AC 2＋BC 2＝AB 2，所以阴影部分的面积为14AB 2＋14AB 2＝12AB 2＝12×32＝92.故分别填94，92.方法总结：求解与直角三角形三边有关的图形面积时，要结合图形想办法把图形的面积与直角三角形三边的平方联系起来，再利用勾股定理找到图形面积之间的等量关系．【类型三】勾股定理与数轴如图所示，数轴上点A 所表示的数为a ，则a 的值是( )A.5＋1　B ．－5＋1　C.5－1 D.5解析：先根据勾股定理求出三角形的斜边长，再根据两点间的距离公式即可求出A 点的坐标．图中的直角三角形的两直角边为1和2，∴斜边长为12＋22＝5，∴－1到A 的距离是5.那么点A 所表示的数为5－1.故选C.方法总结：本题考查的是勾股定理及两点间的距离公式，解答此题时要注意，确定点A 的符号后，点A 所表示的数是距离原点的距离．【类型四】利用勾股定理证明等式如图，已知AD 是△ABC 的中线．求证：AB 2＋AC 2＝2(AD 2＋CD 2)．解析：结论中涉及线段的平方，因此可以考虑作AE⊥BC交BC于点E.在△ABC中构造直角三角形，利用勾股定理进行证明．证明：如图，过点A作AE⊥BC交BC于点E.在Rt△ABE、Rt△ACE和Rt△ADE中，AB2＝AE2＋BE2，AC2＝AE2＋CE2，AE2＝AD2－ED2，∴AB2＋AC2＝(AE2＋BE2)＋(AE2＋CE2)＝2(AD2－ED2)＋(DB－DE)2＋(DC＋DE)2＝2AD2－2ED2＋DB2－2DB·DE＋DE2＋DC2＋2DC·DE＋DE2＝2AD2＋DB2＋DC2＋2DE(DC－DB)．又∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD，∴AB2＋AC2＝2AD2＋2DC2＝2(AD2＋CD2)．方法总结：构造直角三角形，利用勾股定理把需要证明的线段联系起来．一般地，涉及线段之间的平方关系问题时，通常沿着这个思路去分析问题．【类型五】运用勾股定理解决折叠中的有关计算如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点B落在CD边上的B′处，点A对应点为A′，且B′C＝3，则AM的长是( )A．1.5 B．2 C．2.25 D．2.5解析：连接BM，MB′.设AM＝x，在Rt△ABM中，AB2＋AM2＝BM2.在Rt△MDB′中，B′M2＝MD2＋DB′2.∵MB＝MB′，∴AB2＋AM2＝BM2＝B′M2＝MD2＋DB′2，即92＋x2＝(9－x)2＋(9－3)2，解得x＝2，即AM＝2.故选B.方法总结：解题的关键是设出适当的线段的长度为x，然后用含有x的式子表示其他线段，然后在直角三角形中利用勾股定理列方程解答．【类型六】分类讨论思想在勾股定理中的应用在△ABC中，AB＝20，AC＝15，AD为BC边上的高，且AD＝12，求△ABC的周长．解析：应考虑高AD在△ABC内和△ABC外的两种情形．解：当高AD在△ABC内部时，如图①.在Rt△ABD中，由勾股定理，得BD2＝AB2－AD2＝202－122＝162，∴BD＝16.在Rt△ACD中，由勾股定理，得CD2＝AC2－AD2＝152－122＝81，∴CD＝9.∴BC＝BD＋CD＝25，∴△ABC的周长为25＋20＋15＝60；当高AD在△ABC外部时，如图②.同理可得BD＝16，CD＝9.∴BC＝BD－CD＝7，∴△ABC的周长为7＋20＋15＝42.综上所述，△ABC的周长为42或60.方法总结：题中未给出图形，作高构造直角三角形时，易漏掉原三角形为钝角三角形的情况．如在本例题中，易只考虑高AD在△ABC内的情形，忽视高AD在△ABC外的情形．三、板书设计让学生体会数形结合和由特殊到一般的思想方法，进一步提升学生的说理和简单推理的能力；进一步体会数学与现实生活的紧密联系．在探索勾股定理的过程中，体验获得成功的快乐；通过介绍勾股定理在中国古代的研究，激励学生发奋学习.。

[数学]-专项18.1 勾股定理及其逆定理【九大题型】(举一反三)(沪科版)(原版)

专题18.1 勾股定理及其逆定理【九大题型】【沪科版】【题型1 勾股定理的运用】 (1)【题型2 直角三角形中的分类讨论思想】 (2)【题型3 勾股定理解勾股树问题】 (3)【题型4 勾股定理解动点问题】 (4)【题型5 勾股定理的验证】 (5)【题型6 直角三角形的判定】 (7)【题型7 勾股数问题】 (8)【题型8 格点图中求角的度数】 (9)【题型9 勾股定理及其逆定理的运用】 (10)【题型1 勾股定理的运用】【例1】（2022•和平区三模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，CD＝1.5，BD＝2.5，则AC的长为（）A．5B．4C．3D．2【变式1-1】（2022春•上杭县期中）如图在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝8，AC＝10，AC的垂直平分线DE分别交AB、AC于D、E两点，则BD的长为（）A ．32B ．74C ．2D ．52【变式1-2】（2022春•汉阳区期中）如图，在△ABC 中AB ＝AC ＝10，BC ＝16，若∠BAD ＝3∠DAC ，则CD ＝．【变式1-3】（2021秋•朝阳区校级期末）如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝30，D 是AC 上一点，AD ：CD ＝25：7，且DB ＝DA ，过AB 上一点P ，作PE ⊥AC 于E ，PF ⊥BD 于F ，则PE +PF 长是．【题型2 直角三角形中的分类讨论思想】【例2】（2022春•长沙月考）已知△ABC 中，AB ＝13，AC ＝15，BC 边上的高为12．则△ABC 的面积为（） A ．24或84B ．84C ．48或84D ．48【变式2-1】（2022春•宁津县期中）△ABC 中，AB ＝15，AC ＝13，高AD ＝12，则△ABC 的周长是（） A ．42B ．32C ．42或32D ．42或37【变式2-2】（2022春•香河县期中）已知直角三角形两边的长为5和12，则此三角形的周长为（） A ．30B ．√119+17C ．√119+17或30D ．36【变式2-3】（2022春•海淀区校级期中）在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝4，AB ＝5．点P 在直线AC 上，且BP ＝6，则线段AP 的长为．【题型3 勾股定理解勾股树问题】【例3】（2021秋•南关区期末）如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A、B、D的面积依次为6、10、24，则正方形C的面积为（）A．4B．6C．8D．12【变式3-1】（2021秋•高新区校级期末）如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝90°，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，若S1+S4＝135，S3＝49，则S2＝（）A．184B．86C．119D．81【变式3-2】（2022春•泗水县期中）有一个边长为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图，如果继续“生长”下去，他将变得“枝繁叶茂”，请你计算出“生长”了2022次后形成的图形中所有正方形的面积之和为（）A．2020B．2021C．2022D．2023【变式3-3】（2022春•张湾区期中）如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC：BC＝4：3，这个直角三角形三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作直角边之比为4：3的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图②是1次操作后的图形，图③是2次操作后的图形．如果图①中的直角三角形的周长为12，那么10次操作后的图形中所有正方形的面积和为（）A ．225B ．250C ．275D ．300【题型4 勾股定理解动点问题】【例4】（2021秋•开福区校级期末）如图，Rt △ACB 中，∠ACB ＝90°，AB ＝25cm ，AC ＝7cm ，动点P 从点B 出发沿射线BC 以2cm /s 的速度运动，设运动时间为ts ，当△APB 为等腰三角形时，t 的值为（）A ．62596或252B ．252或24或12C ．62596或24或12 D ．62596或252或24【变式4-1】（2021秋•宛城区期末）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝40cm ，AC ＝30cm ，动点P 从点B 出发沿射线BA 以2cm /s 的速度运动．则当运动时间t ＝ s 时，△BPC 为直角三角形．【变式4-2】（2022春•蚌山区校级期中）如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝10，AC ＝8，点P 从点A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线A ﹣B ﹣C 运动．设点P 的运动时间为t 秒（t ＞0）．（1）BC 的长是．（2）当点P刚好在∠BAC的角平分线上时，t的值为．【变式4-3】（2022春•河东区期中）如图，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，同时停止．（1）P、Q出发4秒后，求PQ的长；（2）当点Q在边CA上运动时，出发几秒钟后，△CQB能形成直角三角形？【题型5 勾股定理的验证】【例5】勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜的发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程：将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中∠DAB＝90°，求证：a2+b2＝c2证明：连接DB，过点D作BC边上的高DF，则DF＝EC＝b﹣a∵S四边形ADCB＝S△ACD+S△ABC=12b2+12ab．又∵S四边形ADCB＝S△ADB+S△DCB=12c2+12a（b﹣a）∴12b2+12ab=12c2+12a（b﹣a）∴a2+b2＝c2请参照上述证法，利用图2完成下面的证明．将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中∠DAB＝90°．求证：a2+b2＝c2．【变式5-1】（2022春•巢湖市校级期中）学习勾股定理之后，同学们发现证明勾股定理有很多方法．某同学提出了一种证明勾股定理的方法：如图1点B是正方形ACDE边CD上一点，连接AB，得到直角三角形ACB，三边分别为a，b，c，将△ACB裁剪拼接至△AEF位置，如图2所示，该同学用图1、图2的面积不变证明了勾股定理．请你写出该方法证明勾股定理的过程．【变式5-2】（2021秋•朝阳区期末）【阅读理解】我国古人运用各种方法证明勾股定理，如图①，用四个直角三角形拼成正方形，通过证明可得中间也是一个正方形．其中四个直角三角形直角边长分别为a、b，斜边长为c．图中大正方形的面积可表示为（a+b）2，也可表示为c2+4×12ab，即（a+b）2＝c2+4×12ab，所以a2+b2＝c2．【尝试探究】美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”如图②所示，用两个全等的直角三角形拼成一个直角梯形BCDE，其中△BCA≌△ADE，∠C＝∠D＝90°，根据拼图证明勾股定理．【定理应用】在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边长分别为a、b、c．求证：a2c2+a2b2＝c4﹣b4．【变式5-3】（2022春•寿光市期中）如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形．（1）弦图中包含了一大，一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为a，较短的直角边为b，斜边长为c，结合图①，试验证勾股定理．（2）如图②，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓（粗线）的周长为24，OC＝3，求该飞镖状图案的面积．（3）如图③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3＝40，则S2＝．【题型6 直角三角形的判定】【例6】（2022春•绥宁县期中）若△ABC的三边长分别为a、b、c，下列条件中能判断△ABC是直角三角形的有（）①∠A＝∠B﹣∠C，②∠A：∠B：∠C＝3：4：5，③∠A＝90°﹣∠B，④∠A＝∠B=12∠C，⑤a2＝（b+c）（b﹣c），⑥a：b：c＝5：12：13．A．3个B．4个C．5个D．6个【变式6-1】（2022春•赣州月考）下列满足条件的三角形中，不是直角三角形的是（）A．在△ABC中，若a=35c，b=45c．则△ABC为直角三角形B．三边长的平方之比为1：2：3C．三内角之比为3：4：5D．三边长分别为a，b，c，c＝1+n2，a＝n2﹣1，b＝2n（n＞1）【变式6-2】（2022春•汉滨区期中）若△ABC的三边长a，b，c满足（a﹣c）2＝b2﹣2ac，则（）A．∠A为直角B．∠B为直角C．∠C为直角D．△ABC不是直角三角形【变式6-3】（2022春•开州区期中）下列是直角三角形的有（）个①△ABC中a2＝c2﹣b2②△ABC的三内角之比为3：4：7③△ABC的三边平方之比为1：2：3④三角形三边之比为3：4：5A．1B．2C．3D．4【题型7 勾股数问题】【例7】（2022春•滑县月考）在学习“勾股数”的知识时，小明发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如下的表格中．a68101214…b815243548…c1017263750…则当a＝24时，b+c的值为（）A．162B．200C．242D．288【变式7-1】（2022•湖北）勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，经隅五”．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1．柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；…，若此类勾股数的勾为2m（m≥3，m为正整数），则其弦是（结果用含m的式子表示）．【变式7-2】（2022春•白云区期末）（1）3k，4k，5k（k是正整数）是一组勾股数吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由；（2）如果a，b，c是一组勾股数，那么ak，bk，ck（k是正整数）也是一组勾股数吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由．【变式7-3】（2022•石家庄三模）已知：整式A＝n2+1，B＝2n，C＝n2﹣1，整式C＞0．（1）当n＝1999时，写出整式A+B的值（用科学记数法表示结果）；（2）求整式A2﹣B2；（3）嘉淇发现：当n取正整数时，整式A、B、C满足一组勾股数，你认为嘉淇的发现正确吗？请说明理由．【题型8 格点图中求角的度数】【例8】（2021秋•伊川县期末）如图，正方形ABCD是由9个边长为1的小正方形组成的，点E，F均在格点（每个小正方形的顶点都是格点）上，连接AE，AF，则∠EAF的度数是．【变式8-1】（2022•惠山区一模）如图所示的网格是由相同的小正方形组成的网格，点A，B，P是网格线的交点，则∠P AB+∠PBA＝°．【变式8-2】（2022春•武侯区校级期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，D，P都在格点上，连接AP，CP，CD，则∠P AB﹣∠PCD＝．【变式8-3】（2022春•孝南区期中）如图所示的网格是正方形网格，△ABC和△CDE的顶点都是网格线交点，那么∠BCA+∠DCE＝．【题型9 勾股定理及其逆定理的运用】【例9】（2021秋•蓝田县校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是CA的延长线上一点，连接BD．（1）若AC＝8，AD＝17，BD＝15，判断AB与BD的位置关系，并说明理由；（2）若∠D＝28°，∠DBC＝121°，求∠DAB的度数．【变式9-1】（2022春•陵城区期中）如图，在△ABC中，AD、BE分别为边BC、AC的中线，分别交BC、AC于点D、E．（1）若CD＝4，CE＝3，AB＝10，求证：∠C＝90°；（2）若∠C＝90°，AD＝6，BE＝8，求AB的长．【变式9-2】（2021春•当涂县期末）如图，在△ABC中．D是AB边的中点，DE⊥AB于点D，交AC于点E，且AE2﹣CE2＝BC2，（1）试说明：∠C＝90°；（2）若DE＝6，BD＝8，求CE的长．【变式9-3】（2022春•汉阳区校级月考）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，CD ＝10，AD＝10√2．（1）求四边形ABCD的面积．（2）求对角线BD的长．。

沪科版数学八年级下册八年级数学下册第十八章《18.1勾股定理》课件(沪科版)

A
1 E
21
B 1D
C
灿若寒星
:
如图，小颍同学折叠一个直角三角形
的纸片，使A与B重合，折痕为DE，若已知
AC=10cm，BC=6cm,你能求出CE的长吗？
解：连结BE
D
B
∵ DE是AB的中垂线 ∴ AE=BE
设AE = x，则EC=(10－x)
在Rt△ABC 中
根据勾股定理：
A
C BE2=BC2+EC2
定满足下面的式子： a2+b2 =c2
(×)..
②直角三角形的两边长分别是3和4，则
第三边长是5.
(×)
灿若寒星
学以致用
1、如图已知a＝3，b＝4
求c=?
ac
b
2、如图已知： c ＝10，a＝6，
c
求b=?
a
3、如图已知： c ＝13，a＝5，
求阴影部分面积？
运用勾股定理时应注意： ⑴在直角三角形中，认准直角边和斜边； ⑵两直角边的平方和等于斜边的平方。
2、 ΔABC中，∠C=90º
①若a=3cm, b=4cm,则c= __5__cm ②若a=12cm, c=13cm,则b= _5_ cm ③若c=17cm, a =8cm,则b= 1_5_ cm
灿若寒星
18.1 勾股定理
B
C

A
灿若寒星
1、勾股定理是几何中最重要的定理之一，它揭示了直角三角形三边之间的数量关系.
解：设旗杆高AC=x米，则绳子长AB=(x+1)
米，在Rt ABC中，由勾股定理得：
A
(x+1)米 x米
5米
C
B
灿若寒星

沪科版数学八年级下册勾股定理

144 y
169
解：由勾股定理可得 y2 + 144 = 169，解得 y = 5.
1. 下列说法中，正确的是
（C）
A. 已知 a，b，c 是三角形的三边，则 a2 + b2 = c2
B. 在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方
C. 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，所以 a2 + b2 = c2
于 M. 通过证明△BCF≌△BDA， F 利用三角形面积与矩形面积的关系， B M
得到正方形 ABFG 与矩形 BDLM
等积，同理正方形 ACKH 与矩形
MLEC 也等积，于是推得：
AB2 AC2 BC2 .
DL
K C E
归纳总结
勾股定理
如果直角三角形的两直角边用 a，
a
c
b 表示，斜边用 c 表示，那么勾股定理可以表示为 a2 + b2 = c2.
D. 在 Rt△ABC 中，∠B = 90°，所以 a2 + b2 = c2
2. 图中阴影部分是一个正方形，
8 cm
则此正方形的面积为 36 cm².
3. 在△ABC 中，∠C = 90°. （1）若 a = 15，b = 8，则 c = 17 ；（2）若 c = 13，b = 12，则 a = 5 . 4. 若直角三角形中，有两边长是 6 和 8，则第三边长
第18章勾股定理
18.1 勾他星球上是否存在着“人”呢？为了探寻这一点，世界上许多科学家向宇宙发出了许多信号，如地球上人类的语言、音乐、各种图形等.
据说我国著名的数学家华罗庚曾建议“发射”一种勾股定理的图形(如图).
很多学者认为如果宇宙“人”也拥有文明的话，那么他们一定会认识这种语言，因为几乎所有具有古代文化的民族和国家都对勾股定理有所了解.

八年级下册数学(沪科版)同步教学课件：18.1 勾股定理第1课时勾股定理

A
A a
CC c
b BB 图① 图1-1
设：直角三角形的三边长分别是a、b、c
SA+SB=SC
a2+b2=c2
猜想：直角三角形三边之间的关系，即：两直角边的平方和等于斜边的平方.
命题1 如果直角三角形的两直角边长分别为a,b, 斜边长为c,那么a2+b2=c2.
c a
b
我国汉代的数学家赵爽指出：四个全等的直角三角形如下拼成一个中空的正方形.
朱实
赵爽
黄
赵爽
弦c b 实
图
a
请同学们拿出已准备的四个全等直角三角形动手拼一拼！
b
c b
a
这种用拼图的
a
a2 + b2 =验证c勾2 股定理的方法叫做弦
图法
c
a
b
证明： S大正方形＝c2
c b
a
b-a
赵爽弦图
S小正方形＝（b-a）2
S大正方形＝4·S三角形＋S小即正方c2=形4×12 ab+(b-a)2,
第18章勾股定理
18.1 勾股定理
第1课时勾股定理
情景引入
相传2500年前，毕达哥拉斯有一次在朋友家里做客时，发现朋友家用砖铺成的地面中反映了A、B、C面积之间的数量关系进而发现直角三角形三边的某种数量关系．
看似平淡无奇的现象有时却隐藏着深刻的道理
毕达哥拉斯
AB C
合作探究
活动：探究勾股定理与图形的面积
AB
C
思考：你能发现图中的等腰直角三角形有什么性质吗？
发现: 以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积.即我们惊奇地发现，等腰直角三角形的三边之间有一种特殊的关系：斜边的平方等于两直角边的平方和.

沪科版八年级数学下册_18.1 勾股定理

感悟新知
知3－练
解题秘方：紧扣“同一三角形的面积的两种表示法”求解 .
感悟新知
解法提醒
知3－练
等面积法：
用不同的方法表示同一个图形的面积.此题是典型的应
用等面积法求直角三角形斜边上高的问题.即△ ABC 的面
积既可以表示为AC2·BC ，又可以表示为AB2·CD ，再利用同一图形的面积相等解答 .
感悟新知
解：∵∠ ACB=90°， AC=3， BC=4， ∴ AB= AC2+BC2= 32+42 =5.
知3－练
∵
CD
⊥
AB，∴
S△
ABC=
1 2
AB·CD=
1 2
AC·BC，
∴ AB·CD=AC·BC，
∴
CD=
AC· BC AB
=
3×4 5
=
12 5
.
感悟新知
知3－练
例5 如图 18.1 － 4所示，∠ C=90°， AM=CM， MP ⊥ AB于点 P.
设大正方形的面积为 S，则 S=c2. 根据“ 出入相补，以盈补虚” 的原理，有
S=a2+b2，所以 a2+b2=c2
感悟新知
方法
加菲尔德总统拼图
毕达哥拉斯拼图
图形
证明
知2－讲
设梯形的面积为
S，则
S=
1 2
(a+b)
(a+b)=
1 2
a2+
1 2
b2+ab.
又
S=
1 2
ab+
1 2
ab+
所以∠ CAC′ = ∠ CAB′ + ∠ B′ AC′

八年级数学下册第18章勾股定理18.1 勾股定理第1课时勾股定理教学课件沪科版

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勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 国外称为毕达哥拉斯定理.
课程讲授
1 勾股定理的证明
B 几何语言：
∵在Rt△ABC中，∠C=90°，
a
∴a2+b2=c2（勾股定理）. C
勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系.
∟
c bA
课程讲授
2 利用勾股定理进行计算
例1 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10 cm， BC＝8 cm，求AC的长．
S大正方形=4S直角三角形+ S小正方形 =4× 1 ab+c2 2 =c2+2ab，
a b
acБайду номын сангаас
b ca
cb
∴a2+b2+2ab=c2+2ab，
b
a
∴a2 +b2 =c2.
课程讲授
1 勾股定理的证明
归纳：由前面的探索可以发现：对于任意的直角三角
形，如果它的两条直角边分别为a，b，斜边为c，那么一
定有a2+b2=c2.
第18章勾股定理
18.1 勾股定理
第1课时勾股定理
新知导入课程讲授
随堂练习课堂小结
知识要点
1.勾股定理的证明 2.利用勾股定理进行计算
新知导入
相传2500年前，一次毕达哥拉斯去朋友家作客，发现朋友家用砖铺成的地面反映直角三角形三边的某种数量关系，同学们，我们也来观察下面的图案，看看你能发现什么？
解：由题意易知，AC2＋BC2＝AB2，所以AC2＝AB2－BC2＝102－82＝36. 所以AC＝6 cm.

沪科版八年级下册数学《18.1 勾股定理》

B
4
4
C3 A
A3 C
2、已知:如图,等边△ABC的边长是 6 .
(1)求高AD的长;
A
(2)求S△ABC .
6?
B 3D C
3、已知:如图,等边△ABC的高AD是 3 .
(1)求边长;
A
(2)求S△ABC .
2x 3
B xD C
(2) 已知：a=40，c=41，求b；
方法小结
(3) 已知：c=13，b=5，求a； (4) 已知: a:b=3:4, c=15,求a、b.
(1)在直角三角形中,已知两边,可求第三边; (2)可用勾股定理建立方程.
试一试:
1、已知：Rt△ＡBC中，AB＝４，AC＝３,则
BC的长为 5 或 7 . B
如果直角三角形两直角
边分别为a， b，斜边为c，勾a
c弦
那么
a2 b2 c2
股b
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
勾股世界
两千两千多多年年前前，，古古希腊希有腊个有哥拉个毕达哥拉斯学斯学派派，，他他们们首首先发先现发了勾现股了定勾理，股因定此理，因此在在国国外外人人们们通通常常称勾称股勾定理股为定毕理达哥为拉毕斯达哥拉斯定定理理。。为为了了纪纪念念毕达毕哥达拉斯哥学拉派斯，1学95派5 ，1955年希年腊希曾腊经曾经发发行行了了一一枚枚纪念纪票念。邮票。
国我家国之一是。最早早在三了千解多年勾前股，定理的国国家家之之一。一早。在早三千在多三年前千，多年前，周朝国家数之学一。家早商在高三千就多提年前出，，将一根直尺国家折之成一。一早个在直三千角多，年前如，果勾等于三，股国家等之于一。四早，在那三千么多弦年前就，等于五，即 “国家勾之三一。、早股在四三千、多弦年前五，”，它被记载国家于之我一。国早古在代三千著多名年前的，数学著作《国家周之髀一。算早经在》三千中多。年前

沪科版八年级下册数学《18.1 勾股定理》

c a
勾股定理：
反映了直角三角形三边之间的数量关应用勾股定理
系，是直角三角形的重要性质之一.
a
c
b
a
b
c
b
a
c
确定斜边c
？
确定斜边b
？
确定斜边a
？
c2= a2+b2 b2= a2+c2 a2= b2+c2
公式的几种变形：
应用勾股定理
c2=a2 +b2
a
c 灵活运用
a2= c2 - b2
b
b2= c2 - a2
概念辨析:
1.下列说法中,正确的是
（C ）
A.已知a,b,c是三角形的三边，则a2+b2=c2
B.在直角三角形中两边平方的和等于第三边的平方
C.在Rt△ABC中，∠C=90°,所以a2+b2=c2
D.在Rt△ABC中，∠B=90°,所以a2+b2=c2
应用例析如果直角三角形的两直角边长分别为a,b,
的折线从A点爬
到D点，一共爬
了 28 厘米？
（小方格的边长
为1厘米）
【方法点拨】
构造直角三角
E
形求解
C
F
D
类型五：利用勾股定理解决折叠中的有关计算
变式：如图,折叠长方形的一边，使点D落在BC边上的点F处，
若AB=8，AD=10.则EC的长为 3
.A
D
分析：设EC长为 x,则
EF=DE=DC-EC=8-x
温馨提示：上述这种验证勾股定理的方法是用面积法
“赵爽弦图”表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，它是我国古代数学的骄傲。因为，这个图案被选为2002年在北京召开的国际数学大会的会徽.

1.1勾股定理_1PPT课件(沪科版)

2．勾股定理的适用条件：直角三角形，它反应了直角三角形三边的关系，
即已知直角三角形两边长可求第三边长．对于非直角三角形问题，可根据图形特征构造直角三角形．
3．由勾股定理的基本关系式： a2＋b2＝c2可得到一些变形关系式： c2＝a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝ (a－b)2 ＋ 2ab ； a2＝c2－b2＝(c＋b)(c－b)等.
3和4，则第三边长为( D )
A．5
B. 7 C. 5 D．5或 7
知识点 2 勾股定理与图形面积
知2－讲
1．命题：如果直角三角形的两条直角边长分别为a， b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2.
2．常用证法：利用拼图法，通过求面积来验证；这种方法以数形转换为指点思想、图形拼补为手段，以各部分面积之间的关系为根据而到达目的．
知2－讲
(1)如图①，△DEF为直角三角形，正方形 P的
面积为9，正方形Q的面积为15，则正方形
M的面积为________；
知2－讲
(2)如图②，分别以直角三角形ABC的三边长为直径向三角形外作三个半圆，则这三个半圆形的面积之间的关系式是________； (用图中字母表示)
知2－讲
(3)如图③，如果直角三角形两直角边的长分别为3 和4，分别以直角三角形的三边长为直径作半圆，请你利用(2)中得出的结论求阴影部分的面积．
知1－导
探究在行距、列
距都是1的方格网
中，任意作出几
个以格点为顶点
的直角三角形，
分别以三角形的各边为正方形的一边，向形外作正方形，
如图.并以 S1， S2与S3分别表示几个正方形的面积.
视察图(1)，并填写:
视察图(2)，并填写:
知1－导

沪科版八年级下册数学：18.1 勾股定理课件(共16张PPT)

小结与回顾
我会解释了
作业布置
1，（必做题）习题18.1 1,2,3,4 2, (选做题)勾股定理的证明方法有很多，请同学自己查资料找到勾股定理的其他证明方法
再见
只有品味了痛苦，才能珍视曾经忽略的快乐；只有领略了平凡，才会收藏当初丢弃的幸福。成功的科学家往往是兴趣广泛的人，他们的独创精神来自他们的博学。志不立，天下无可成之事。你不能左右天气，但你能转变你的心情。忍是一种眼光，忍是一种胸怀，忍是一种领悟，忍是一种人生的技巧，忍是一种规则的智慧。学习是苦根上长出来的甜果。成长这一路就是懂得闭嘴努力，知道低调谦逊，学会强大自己，在每一个值得珍惜的日子里，拼命去成为自己想成为的人。最可怕的敌人，就是没有坚强的信念。——罗曼·罗兰愚者用肉体监视心灵，智者用心灵监视肉体。思想如钻子，必须集中在一点钻下去才有力量。沙漠里的脚印很快就消逝了。一支支奋进歌却在跋涉者的心中长久激荡。有志始知蓬莱近，无为总觉咫尺远。穿着饮食可以因陋就简，而搞学问是不能因陋就简的。不是某人使你烦恼，而是你拿某人的言行来烦恼自己。坚持把简单的事情做好就是不简单，坚持把平凡的事情做好就是不平凡。你若坚持，定会发光，时间是所向披靡的武器，它能集腋成裘，也能聚沙成塔，将人生的不可能都变成可能。成功永远属于马上行动的人。不要因为众生的愚疑，而带来了自己的烦恼。不要因为众生的无知，而痛苦了你自己。崇高的理想就象生长在高山上的鲜花。如果要搞下它，勤奋才能是攀登的绳索。每件事情都必须有一个期限，否则，大多数人都会有多少时间就花掉多少时间。
等于斜边的平方.
在Rt△ABC中，∠Ｃ=90° a2+b2=c2
算一算 1.求下列直角三角形中未知边的长:
比
12
一

沪教版八下数学第1课时勾股定理

课堂小结
定理直角三角形两条直角边的平方和，等于斜边的平方.
a2+b2=c2
课后作业
1.从教材习题中选取， 2.完成练习册本课时的习题.
随堂演练
1.在Rt△ABC中，两直角边长分别为3和 5，则斜边长为 14 .
2.在Rt△ABC中，若斜边长为 5 ，一条直角边的长为2，则另一条直角边的长为 1 .
3.在Rt△ABC中，∠C=90°，a=6，c=10，则b= 8 .
4.在Rt△ABC中，∠C=90°. (1)已知c=25，b=15，求a； (2)已知a= 6 ，∠A=60°，求b，c.
解：由图可知大正方形的边长为：a+b则面
积为(a+b)2，图中把大正方形的面积分成了四部
分，分别是：边长为a的正方形，边长为b的正方
形，还有两个长为b，宽为a的长方形.
根据同一个图形面积相等，由左图可得
(a+b)2=a2+b2+4×
1 2
ab，
由右图可得(a+b)2=c2+4×
1 2
ab.
所以a2+b2=c2.
第 18 章勾股定理
18.1 勾股定理第 1 课时勾股定理
沪科版·八年级数学下册
新课导入
毕达哥拉斯在朋友家里做客时，从砖铺成的地面中发现了直角三角形三边的数量关系.
你从图片中发现了什么？两个小正方形的面积之和等于大正方形的面积.
新课探究
探究
在行距、列距都是 1 的方格网中，任意作出几个以格点为顶点的直角三角形，分别以直角三角形的各边为正方形的一边，向形外作正方形.
S3 S2b c
a S1
（1）

18.1 勾股定理(沪科版)

沪科版数学八年级下册 18

1.1勾股定理PPT课件(沪科版)

沪科版八年级下册数学《18.1 勾股定理》

18.1 第1课时 勾股定理(沪科版八年级数学下册教案)

[数学]-专项18.1 勾股定理及其逆定理【九大题型】(举一反三)(沪科版)(原版)

沪科版数学八年级下册八年级数学下册第十八章《18.1勾股定理》课件(沪科版)

沪科版数学八年级下册 勾股定理

八年级下册数学(沪科版)同步教学课件：18.1 勾股定理 第1课时 勾股定理

沪科版八年级数学下册_18.1 勾股定理

八年级数学下册 第18章 勾股定理18.1 勾股定理第1课时 勾股定理教学课件 沪科版

沪科版八年级下册数学《18.1 勾股定理》

沪科版八年级下册数学《18.1 勾股定理》

1.1勾股定理_1PPT课件(沪科版)

沪科版八年级下册数学：18.1 勾股定理 课件(共16张PPT)

沪教版八下数学第1课时 勾股定理

18.1 第1课时勾股定理(沪科版八年级数学下册教案)

沪科版数学八年级下册勾股定理

八年级下册数学(沪科版)同步教学课件：18.1 勾股定理第1课时勾股定理

八年级数学下册第18章勾股定理18.1 勾股定理第1课时勾股定理教学课件沪科版

沪科版八年级下册数学：18.1 勾股定理课件(共16张PPT)

沪教版八下数学第1课时勾股定理