向量 的概念及表示ppt1
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《向量概念》课件
混合积的运算性质
总结词
掌握混合积的运算性质
详细描述
混合积具有一些重要的运算性质，包括交换律、结合律以及分配律。交换律指的是混合 积的结果与向量的排列顺序无关；结合律指的是三个向量的混合积与它们的分组方式无 关；分配律指的是一个向量与另外两个向量的混合积结果等于该向量与其中一个向量乘
积与另一个向量的混合积。
向量的混合积
06
混合积的定义
总结词
了解混合积的基本定义
详细描述
混合积是向量的一种运算方式，通过将三个向量的有序排列进行乘积，得到一个标量值。具体定义为 向量a、b和c的混合积为a×(b×c)。
混合积的几何意义
总结词
理解混合积的几何解释
详细描述
混合积的几何意义在于表示三个向量 的空间关系。具体来说，当三个向量 构成一个右手坐标系时，它们的混合 积为正；如果构成左手坐标系，则混 合积为负。
外积的运算性质
总结词
阐述外积的运算性质
详细描述
外积具有一些重要的运算性质。首先，外积满足反交换 律，即$mathbf{A} times mathbf{B} = -mathbf{B} times mathbf{A}$。这意味着两个向量的外积与其顺 序有关。其次，外积与标量乘法相结合满足分配律，即 $k(mathbf{A} times mathbf{B}) = (mathbf{A} times kmathbf{B})$。此外，外积还满足结合律，即 $(mathbf{A} + mathbf{B}) times mathbf{C} = mathbf{A} times mathbf{C} + mathbf{B} times mathbf{C}$。这些运算性质使得外积在向量运算中具 有重要的作用。
向量的概念及表示(1)
| 0 | 0
单位向量: 长度为1个单位长度的向量.
3.向量之间的关系：
平行向量 : 方向相同或相反的 非零向量.
a
b c
记作：a // b // c
我们规定, 零向量 与任一向量 平行. 共线向量 : 任一组平行向量 都可平移到同一直线上. 即平行向量 也叫做共线向量 .
(注:若 ,则与起点位置无关.) 记作： a b a b
猫能捉住老鼠吗?
老鼠由A向东北方向以每秒6米的 速度逃窜,而猫由B向东南方向每 秒10米的速度追. 问猫能否抓到 老鼠?
速度是既有大小又有方向的
量!
学习目标
1 了解向量的实际背景,会用字母表示向量,理解 向量的几何表示. 2 理解零向量,单位向量,平行向量,共线向量,相 等向量等概念.
自学指导
二.向量的表示
1. 几何法:用有向线段表示 A B 其中有向线段的长度表示向量的大小，
箭头所指的方向表示向量的方向
2. 代数法:用字母表示
AB,
或 aBiblioteka 三. 向量的有关概念1.向量的长度(模): 向量
AB 的大小
记作：| AB |
2.两个基本向量：
零向量: 长度为零的向量(方向任意).
记作： 0,
1 位移和距离有什么不同? 2 什么是向量?向量的表示方法有哪些? 3 零向量,单位向量,平行向量,共线向量,相等向量 是怎样定义的?
自主检测
P 59
练习
1
2
问题1.判断下列命题的真假 : ( 假 )(1)两个非零向量长度相等 则这两个向量相等. , ( 假 )(2)若两个向量共线, 则这两个向量相等. ( 真 )(3)若两个向量相等, 则这两个向量平行. ( 真 )(4)零向量与任一个非零向 量共线. ( 假 )(5)任意两个单位向量相等 . ( 假 )(6)若两个向量方向相同 且有相同的起点, 则这 , 两个向量的终点相同 . ( 真 )(7 )若两个向量相等, 且有相同的起点, 则这两个 向量的终点相同.
空间向量及其运算(共22张PPT)
向量场的点乘
两个向量场进行点乘运算，得到一个标量场，其 每个标量是原来两个向量场的对应向量的点乘结 果。
向量场的几何意义
向量场表示了空间中某一点受到的力或速度等物理量的分布情况，可以通 过图形表示出来。
向量场的方向表示了该点受到的力的方向或速度的方向，向量的大小表示 了力的大小或速度的大小。
通过观察图形可以直观地了解向量场的分布情况，从而更好地理解物理现 象和问题。
向量的模
向量的模定义为从起点到终点距离的 长度，记作|a|。
向量的模具有以下性质：|a + b| ≤ |a| + |b|，|a - b| ≤ |a| + |b|，|λa| = |λ||a| （λ为实数）。
向量的加法
向量的加法定义为同起点同终点的向量相加，即a + b = b + a（交换律），(λ + μ)a = λa + μa（结合律）。
向量场具有方向性和大小，表 示了空间中某一点受到的力或 速度等物理量的分布情况。
向量场的运算律
1 2 3
向量场的加法
将两个向量场叠加，得到一个新的向量场，其每 个向量是原来两个向量场的对应向量的和。
向量场的数乘
将一个标量与一个向量场中的每个向量相乘，得 到一个新的向量场，其每个向量是原来向量场的 对应向量与该标量的乘积。
向量在其他领域的应用
经济学
在经济学中，例如在市场分析和供需关系中，可以使用向量来表示不同因素之间的关系，通过向量的运算来分析 这些因素之间的关系。
生物学
在生物学中，例如在生态学和生物力学中，可以使用向量来描述生物体的运动、方向和力的作用，通过向量的运 算来分析这些力的作用和影响。
THANKS
两个向量场进行点乘运算，得到一个标量场，其 每个标量是原来两个向量场的对应向量的点乘结 果。
向量场的几何意义
向量场表示了空间中某一点受到的力或速度等物理量的分布情况，可以通 过图形表示出来。
向量场的方向表示了该点受到的力的方向或速度的方向，向量的大小表示 了力的大小或速度的大小。
通过观察图形可以直观地了解向量场的分布情况，从而更好地理解物理现 象和问题。
向量的模
向量的模定义为从起点到终点距离的 长度，记作|a|。
向量的模具有以下性质：|a + b| ≤ |a| + |b|，|a - b| ≤ |a| + |b|，|λa| = |λ||a| （λ为实数）。
向量的加法
向量的加法定义为同起点同终点的向量相加，即a + b = b + a（交换律），(λ + μ)a = λa + μa（结合律）。
向量场具有方向性和大小，表 示了空间中某一点受到的力或 速度等物理量的分布情况。
向量场的运算律
1 2 3
向量场的加法
将两个向量场叠加，得到一个新的向量场，其每 个向量是原来两个向量场的对应向量的和。
向量场的数乘
将一个标量与一个向量场中的每个向量相乘，得 到一个新的向量场，其每个向量是原来向量场的 对应向量与该标量的乘积。
向量在其他领域的应用
经济学
在经济学中，例如在市场分析和供需关系中，可以使用向量来表示不同因素之间的关系，通过向量的运算来分析 这些因素之间的关系。
生物学
在生物学中，例如在生态学和生物力学中，可以使用向量来描述生物体的运动、方向和力的作用，通过向量的运 算来分析这些力的作用和影响。
THANKS
向量的概念 课件 高中数学人教A版(2019)必修第二册
①要注意0和
且|
的区别及联系：0是一个实数， 是一个向量，并
|=0，书写时 0 表示零向量，一定不能忘记上面的箭头.
②单位向量有无数个，它们大小相等，但是方向不一定相同.
③在平面内，将表示所有单位向量的有向线段的起点平移到
同一点，则它们的终点就会构成一个半径为1的圆.
牛刀小试
问题：“向量就是有向线段，有向线段就是向量”的说法对吗？
定的，而向量是可以自由移动的；向量可以用有向线段表示，但并不能
说向量就是有向线段
3．共线向量与平行向量是一组等价的概念．两个共线向量不一定要在一
条直线上．当然，同一直线上的向量也是平行向量
4．注意两个特殊向量——零向量和单位向量，零向量与任何向量都平行，
单位向量有无穷多个，起点相同的所有单位向量的终点在平面内形成一
个单位圆
得正确选项.
测验
【例2】(2020·全国高一专题练习)某人从A点出发向东走了5米到达B点，然后改
变方向沿东北方向走了10 2 米到达C点，到达C点后又改变方向向西走了10米到达
D点．
(1)作出向量AB，BC，CD ；
(2)求AD 的模．
(1)不一定；(2)不一定；(3)零向量；(4)平行(共线)向量
（速度为10海里/小时）．如果只是给出指令：
“由A地航行15 海里”，小船能否到达B地？
• 如果不指明“向东南方向”航行，小船不一定到达B地
• 给出指令：“向东南方向航行”呢？
• 方向和距离缺一不可
新知探究
（1）向量的实际背景与概念
• 物理中我们学习了位移、速度、力等既有大小、又有方向的量，
在物理中被称为“矢量”，
B．②④⑥是数量，①③⑤是向量
且|
的区别及联系：0是一个实数， 是一个向量，并
|=0，书写时 0 表示零向量，一定不能忘记上面的箭头.
②单位向量有无数个，它们大小相等，但是方向不一定相同.
③在平面内，将表示所有单位向量的有向线段的起点平移到
同一点，则它们的终点就会构成一个半径为1的圆.
牛刀小试
问题：“向量就是有向线段，有向线段就是向量”的说法对吗？
定的，而向量是可以自由移动的；向量可以用有向线段表示，但并不能
说向量就是有向线段
3．共线向量与平行向量是一组等价的概念．两个共线向量不一定要在一
条直线上．当然，同一直线上的向量也是平行向量
4．注意两个特殊向量——零向量和单位向量，零向量与任何向量都平行，
单位向量有无穷多个，起点相同的所有单位向量的终点在平面内形成一
个单位圆
得正确选项.
测验
【例2】(2020·全国高一专题练习)某人从A点出发向东走了5米到达B点，然后改
变方向沿东北方向走了10 2 米到达C点，到达C点后又改变方向向西走了10米到达
D点．
(1)作出向量AB，BC，CD ；
(2)求AD 的模．
(1)不一定；(2)不一定；(3)零向量；(4)平行(共线)向量
（速度为10海里/小时）．如果只是给出指令：
“由A地航行15 海里”，小船能否到达B地？
• 如果不指明“向东南方向”航行，小船不一定到达B地
• 给出指令：“向东南方向航行”呢？
• 方向和距离缺一不可
新知探究
（1）向量的实际背景与概念
• 物理中我们学习了位移、速度、力等既有大小、又有方向的量，
在物理中被称为“矢量”，
B．②④⑥是数量，①③⑤是向量
向量的概念(第1课时)(课件)高一数学(沪教版2020必修第二册)
８．１ 向量的概念和线性运算
向量的概念
图８-１-１展示了国产大飞机Ｃ９１９在蓝天翱翔的雄姿．飞机 从A飞行到B．它的位移是一个既有大小又有方向的量，它的大 小是A、B间的距离，方向由A到B 像 “ 一点相对于另一点的位移 ” 这种既有大小又有方向的量叫 做 向量 （ ｖｅｃｔｏｒ ） ． 准确地说 ， 一个向量由两个要素 定义 ， 一是它的大小 （ 一个非负实数 ）， 一是它的方向
第 8 章 平面向量
8.1向量的概念(第1课时）
学习目标
1．理解向量的有关概念及向量的几何表示．(重点) 2．理解共线向量、相等向量的概念．(难点) 3．正确区分向量平行与直线平行．(易混点)
平面向量
在现实世界和科学问题中，常常会见到既有大小又有方向的量，如位移、 速度、力等． 数学中的“向量”概念就是从中抽象出来的．向量不仅 有丰富的几何内涵，向量及其线性运算与数量积运算还构成了精致且有 广泛应用的代数结构，可把有关的几何问题简便地转化为相应代数问题 来处理．本章只讨论平面上的向量， 选择性必修课程第３章还将把这 一讨论推广到（三维）空间中，至于更一般性的推广则是大学线性代数 课程的核心内容． 高中阶段向量的学习重在为解决代数、几何、三角 及物理等领域中的问题提供一个简捷有效的工具
例２在图８１４中，写出向量 AE的负向量．
解 根据负向量的定义，可知向量EA、BE和DF均为AE的负向量
尽管可以画出一个向量的许多负向量，但由于它们彼此都相 等，因此一个向量的负向量在相等的意义下是唯一的．
课本练习
练习８．１（１）
１．指出下列各种量中的向量：
（１）密度； （２）体积； （３）速度； （４）能量； （５）电阻； （６）加速度； （７）功； （８）力矩．
§7.1向量及其运算1
设有两非零向量
a
与
b
O
，任取空间一点
b
O
，
B
作 OA a ， OB b ，规定不超过 的角 AOB
（设 q
AOB,
0
q
）称为向量
a
与
b
的
夹角。记为
(a,
b)
或
(a
b)
，即
(a,
b)
q
。
如果向量a
与b
中有一个是零向量，规定
它们的夹角可在0 与 之间任意取值。
类似地可以规定向量与一轴 的夹角或空间两轴的夹角。
§7.1向量及其运算
7.1.1 向量的概念
B
向量： 既有方向又有大小的量。
常用有向线段来表示向量。
AB A
以 A为 起点，B为 终点的有向线段所表示的向量
记作 AB ，或a 。
向量的模：向量的大小，记作
a
。
单位向量：模等于 1 的向量。与非零向量a同 向的单
位向量称为向量a
的单位向量，记作a
。
零向量：模等于零的向量，记为0 ，其方向不定。
∵
a (a b )
0
，
a
(c
a
)
0
，
∴
a (b c )
0
，故a ,
b, c
共面。
作业
习 题 一 （P67）
3（做在书上）； 4 ；5 ；6 。
设物体在常力F 作用下沿某直线移动，其位移为S ，
则作用在物体上的常力F 所作的功为
F
W F S cos q 。 W F ·S 。
其中q 定义 3
为两力向F 量与a位、移bS的的模夹及角其。夹角的A 余弦q的乘S 积，
10.1 向量及其运算
负向量 (1) a 称为 a 的负向量，记为 a ．
差运算 a 与 b 的和称为 a 与 b 的差，
记为 a b．
C
b
b
A
a
a b
B
C
b
D
a b
a b
A
a
B
三角形法则
平行四边形法则
向量满足下列运 算规律：
(1)
交换律
a b b a
a
b
(3)
Prj b a
a b
e
a
b
|a|
Prj a b
a b
e
b
a
|b|
例 1.设
a, b, c
是三个任意向量，若分别以OA, OB 和OC表示，
点P,Q, R, S 分别是线段 OA, AB, BC,CO 的中点．试分别
求出OP
,OQ ,OR,OS与a,
b,
c的关系式，从而推证
PQ
SR．
解
显然，OP
1 2
OA
1 2
a
，OS
1 2
OC
1 2
c
b
)
时， 则称
a
与
b
垂 直(正 交 ） ，记
a b．
2
定义
给定向量 a
向量的概念及表示
在你学过的量中，哪些是数量，哪些 是向量？
问题情境 • 如图所示，用100N的力，按照不同的
方向拉一辆车，效果一样吗？
30º
建构数学
一．向量的相关概念
1、既有大小又有方向的量叫做向量。 (矢量) 2、只有大小没有方向的量叫做数量（。标量）
1、数量与向量的区别？ 2、在你学过的量中，哪些是数量，哪些 是向量？
学生活动
• 例1:质量、加速度、身高、体 重、面积、体积、力、温度、 路程、位移、密度、数轴这些 量中，哪些是数量？哪些是向 量？
向量的2个要素:“大小”和“方向”
建构数学 2、向量的表示 Ｎ f
几何表示
向量常用一条有向线段来表示.
Ｇ
①有向线段:带有方向的线段。
②有向线段的3要素：起点、方向、长度
问题情境
• 如果要找一个物理量来刻画从学校到东 榆镇政府的位置变化，应该用哪个量？
• “位移”和“路程”这两个物理量一样 吗？
建构数学
一．向量的相关概念
1、只有大小没有方向的量叫做数量。
2、既有大小又有方向的量叫做向量。
路程
只有大小没有方向 数标量量
（只需用一个实数就可以表示的量）
位移
既有大小又有方向 向矢量
2、向量 AB 与向量 BA表示同一个向量。
3、共线向量一定在一条直线上。
4、不相等的两个向量一定不平行。
5、零向量没有方向。
6、任何两个单位向量都是平行向量。
7、起点相同终点不同的两个向量一定不共线。
8、向量就是有向线段。
向有但量向并与线非有段说向是向线向 量段的量就区的是别有形？向象线表段示，。
• 大约公元前３５０年，古希腊著名学 者亚里士多德就知道了力可以表示为向 量．向量一词来自力学、解析几何中的有 向线段。
《人教版初中数学九年级课件-向量初步》
《人教版初中数学九年级 课件—向量初步》
在这个课件中，我们将学习有关向量的基本概念和表示方法，以及向量的数 量特征、加法、减法、数乘等运算规则。让我们一起来探索数学中有趣且实 用的向量知识吧！
向量的概念与表示
1 向量是什么？
了解向量的基本概念和特点。
2 向量的表示方法
学习如何用符号表示一个向量。
向量的数量特征
模长 探索向量模长的计算方法。
方向角 学习如何用方向角描述一个向量。
向量的运算规则
加法
通过示例学习如何进行向量 的加法运算。 探索加法运算的几何意义。
减法
通过实例了解向量的减法运 算。
解释减法运算在几何上的含 义。
数乘
学习向量与实数的乘法运算 规则。
讨论数乘对向量长度和方向 的影响。
平面向量的坐标表示
应用
了解向量数量积在几何和 实际问题中的应用。
向量的夹角和正交基
夹角
学习如何计算两个向量之间的夹角。
正交基
了解正交基的概念及其在向量空间中的重要性。
向量在实际问题中的应用
1
解决力学问题
学习如何应用向量解决力学问题。探索几何问题2应用向量解决几何问题。
3
计算问题
了解如何应用向量进行计算问题的求 解。
笛卡尔坐标系
介绍平面向量的笛卡尔坐标表示方法。
极坐标系
学习平面向量的极坐标表示法。
向量的性质及判定
1
垂直性判定
2
学习如何判断两个向量是否垂直。
3
共线性判定
探索如何判断两个向量是否共线。
投影
了解向量的投影以及应用场景。
向量的数量积
定义
介绍向量的数量积及其定 义。
在这个课件中，我们将学习有关向量的基本概念和表示方法，以及向量的数 量特征、加法、减法、数乘等运算规则。让我们一起来探索数学中有趣且实 用的向量知识吧！
向量的概念与表示
1 向量是什么？
了解向量的基本概念和特点。
2 向量的表示方法
学习如何用符号表示一个向量。
向量的数量特征
模长 探索向量模长的计算方法。
方向角 学习如何用方向角描述一个向量。
向量的运算规则
加法
通过示例学习如何进行向量 的加法运算。 探索加法运算的几何意义。
减法
通过实例了解向量的减法运 算。
解释减法运算在几何上的含 义。
数乘
学习向量与实数的乘法运算 规则。
讨论数乘对向量长度和方向 的影响。
平面向量的坐标表示
应用
了解向量数量积在几何和 实际问题中的应用。
向量的夹角和正交基
夹角
学习如何计算两个向量之间的夹角。
正交基
了解正交基的概念及其在向量空间中的重要性。
向量在实际问题中的应用
1
解决力学问题
学习如何应用向量解决力学问题。探索几何问题2应用向量解决几何问题。
3
计算问题
了解如何应用向量进行计算问题的求 解。
笛卡尔坐标系
介绍平面向量的笛卡尔坐标表示方法。
极坐标系
学习平面向量的极坐标表示法。
向量的性质及判定
1
垂直性判定
2
学习如何判断两个向量是否垂直。
3
共线性判定
探索如何判断两个向量是否共线。
投影
了解向量的投影以及应用场景。
向量的数量积
定义
介绍向量的数量积及其定 义。
第一章 向量代数 平面与直线.ppt
推论1.2 向量1, 2 , 3共面
存在不全为零的实数k1, k2 , k3, 使得
k11+k22+k33 = (即1, 2, 3线性相关).
第一章 向量代数 平面与直线
§1.2 空间坐标系
一. 仿射坐标系、直角坐标系
1. 线性表示
(1) 在直线上任意一个向量都可以由直线上一个
||P1P2|| = (x2x1)2+(y2y1)2+(z2z1)2
第一章 向量代数 平面与直线
§1.3 向量的数量积, 向量积和混合积
7. 方向角和方向余弦
(1)非零向量与三个坐标轴所成的夹角称为
此向量的方向角; 方向角的余弦称为此
向量的方向余弦.
z
z
z
CP
CP
P
O
B
O
B
O
y
y
y
xA
x
xA
a1 b1
=
a2 b2
=
a3 b3
第一章 向量代数 平面与直线
§1.3 向量的数量积, 向量积和混合积
例3. 求点P(4,4,1)到点A(1,0,1)和B(0,2,3)所
在直线的距离.
z
例4. 求同时垂直于向量
OP
= (1, 2, 2)和 =
A
y
(5, 4, 2)的单位向量. x
例5. 已知向量, , 有共
移到具有共同的起点.若它们符合右手法
则, 则与()在 与 所成平面的同
侧, 于是
S = ||||, h = ()
V = ()·
第一章 向量代数 平面与直线
向量的概念PPT
注：向量是否相等（或相反）只与大小和 方向有关，与起点、终点的位置无关.
引导探究
1.若非零向量AB//CD ，那么AB//CD吗？
2.若a//b ,则a与b的方向一定相同或相反吗？ 3.相等向量一定是平行向量吗?
平行向量一定是相等向量吗?
向量相等
向量平行
引导探究
例2 已知O为正六边形ABCDEF的中心，在图中所标出的向量中：
课题导入
向量又称为矢量，最初被应用于物理 学.很多物理量如力、速度、位移以 及电场强度、磁感应强度等都是向量. 大约公元前350年，古希腊著名学者 亚里士多德就知道了力可以表示成向 量，两个力的作用可用平行四边形法 则来得到.“向量”一词来自力学、
牛顿
解析几何中的有向线段.最先使用有 向线段表示向量的是英国大科学家牛 顿.
引导探究
（三）：向量的模和两类特殊向量
思考：1. 0 与0有区别吗？为什么？ 2. 零向量和单位向量的方向呢？ 3. 平面直角坐标系内，起点在原点的单位向量，它们的
终点的轨迹是什么图形？
y
O
1x
引导探究
判断正误 1.向量的模是一个正实数。（ ） 2.若|a|>|b| ，则 a > b( )
注:向量不能比较大小
答案：能，因为方向和距离都给定了.
问:位移和距离这两个量有什么不同？
位移既有大小又有方向， 距离只有大小没有方向.
引导探究
情境三：物体受到的重力是竖直向下的，物体的质量越大 ，它受到的重力越大。
情境四：物体在液体中受到的浮力是竖直向上的，物体浸 在液体中的体积越大，它受到的浮力越大。
问:你能通过这些物理量得出向量的概念吗？ 向量是既有大小又有方向的量。
当堂诊学
引导探究
1.若非零向量AB//CD ，那么AB//CD吗？
2.若a//b ,则a与b的方向一定相同或相反吗？ 3.相等向量一定是平行向量吗?
平行向量一定是相等向量吗?
向量相等
向量平行
引导探究
例2 已知O为正六边形ABCDEF的中心，在图中所标出的向量中：
课题导入
向量又称为矢量，最初被应用于物理 学.很多物理量如力、速度、位移以 及电场强度、磁感应强度等都是向量. 大约公元前350年，古希腊著名学者 亚里士多德就知道了力可以表示成向 量，两个力的作用可用平行四边形法 则来得到.“向量”一词来自力学、
牛顿
解析几何中的有向线段.最先使用有 向线段表示向量的是英国大科学家牛 顿.
引导探究
（三）：向量的模和两类特殊向量
思考：1. 0 与0有区别吗？为什么？ 2. 零向量和单位向量的方向呢？ 3. 平面直角坐标系内，起点在原点的单位向量，它们的
终点的轨迹是什么图形？
y
O
1x
引导探究
判断正误 1.向量的模是一个正实数。（ ） 2.若|a|>|b| ，则 a > b( )
注:向量不能比较大小
答案：能，因为方向和距离都给定了.
问:位移和距离这两个量有什么不同？
位移既有大小又有方向， 距离只有大小没有方向.
引导探究
情境三：物体受到的重力是竖直向下的，物体的质量越大 ，它受到的重力越大。
情境四：物体在液体中受到的浮力是竖直向上的，物体浸 在液体中的体积越大，它受到的浮力越大。
问:你能通过这些物理量得出向量的概念吗？ 向量是既有大小又有方向的量。
当堂诊学
相关主题
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零向量可以看作与任意向量平行.
A P
B
D
C
M
Q
N
思考3
两平行的非零向量在其方向与模 两个要素上可能出现哪几种情况？
？ ②方向相同，模不同；
③方向相反，模相同；
④方向相反，模不同.
①方向相同，模相同；
例1．判断下列命题真假或给出问题的答案：
（1）平行向量的方向一定相同． （2）不相等的向量一定不平行．
两个问题 B
重量相等
一千吨的棉花和一千吨的铁谁更重？ 老鼠由A处向东以每 秒6米的速度逃窜，而猫 由B处以每秒10米的速度 追击. 若B处在A处东8米， 问猫能否抓到老鼠？ 若能， 如何在最短的时间内抓到 老鼠？
A
C
向量的定义与数量的区别
定义： 既有大小又有方向的量叫向量. 例：力、位移、加速度、速度等. 注意： 数量与向量的区别：
※注意：
AB BA .
思考2
如图，表示平面上的六个平
行四边形，试找出向量EA 的
所有相反向量：
A D E
B
C
F
H
G
定义：
平行的向量
★如果向量 AB 和 CD 的方向相 同或相反，那么这两个向量叫做平行的 向量，记作 AB // CD .(共线向量）
A P
B
D
C
M
Q
N
两个非零向量平行即是 这两个向量所在直线平行或重合.
×
×
零向量 零向量
（3）与零向量相等的向量是什么向量？ （4）存在与任何向量都平行的向量吗？ 么向量？ 平行向量（共线向量）
（5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什 （6）两个非零向量相等应满足什么条件？ 模相等且方向相同 （7）共线向量一定在同一直线上．
×
例2．如图，设 O 是正六边形 ABCDEF 的中心，分别写出图中
标量(数量)
向量的表示方法
字母法：
★小写英文字母上面加箭号表示， 如 a，读作向量a . ★两个大写英文字母上面加箭号表示， 如 ，表示由 A到B的向量，A为向量的 AB 起点，B为向量的终点，读作向量AB .
几何法：
★用有向线段表示向量，有向线段的 起点为向量的起点，有向线段的终点为 向量的终点.如图： AB
P
K
Q
L
思考1
如图，表示平面上的六个平 行四边形，问图中哪些向量分别 与 AB、 AD、 AE 相等：
A
B
D
C
F
H
E
G
向量的相反向量
定义：
★如果向量 AB 和 CD 的模相等 且方向相反，那么把向量 AB 叫做向 量 CD 的相反向量(或把向量 CD 叫做 向量 AB 的负向量)，记作 AB CD (或 CD AB ) .
BC上， EF过点 P且 EF // AB ，则下列等式正 分别在两腰 AD 、 确的是（ D ） A． AD BC B．AC BD
C． PE PF
D．EP PF
相等 且方向 （3）物理学中的作用力和反作用力是模__________ 相反 的共线向量 _________
2、 下列情形中,向量终点构成什么图形? (1)把所有单位向量移到同一个起点; (2)把平行于某一直线的所有单位向量平移 到同一起点; (3)把平行于一直线的一切向量平移到同一 起点;
1.数量只有大小，是一个代数量，可 以比较大小. 2.向量有方向、大小，双重属性，而 方向是不能比较大小的，因此向量 向量 不能比较大小.
口答
下列各种量中，哪些是向量，哪 些是标量(即数量)： (1)密度 (7)电阻
(2)体积 (8)风速
(3)位移 (6)功 (9)比热
(4)加速度 (5)重力
向量
OB 、 OC 相等的向量． 与向量OA 、
解： OA CB DO OB DC EO
OC AB ED FO
练习∶上题中
(1)与向量 OA长度相等的向量有多少个？11
单击动画演示
（2）是否存在与向量 OA 长度相等，方向相反的向量？ FE （3）与向量OA 共线的向量有哪些？
P
f
Q
零向量：
★模为零的向 量叫做零向量，记 作 0 . ※零向量 的方向是不确定的.
单位向量：
★模为1的向量
相等的向量
相等的向量：
★如果向量 AB 和 CD 的模相等 且方向相同，那么这两个向量叫做相等 向量，记作 AB CD .
如图(单位正方形 组成的网络)可见： 一个向量平行移动 后，所得向量与原 向量相等. ※零向量都是相等的.
CB DO
FE
课堂 小结
向量
向量的定义
向模与零向量
相等向量
三种向量关系
注意：(1)向量无大小， 但其模有大小；
相反向量 平行的向量
(2)平行的向量与零向量、 与所在直线平行或重合.
练习：
（1）下列各量中是向量的是（ B ） A．动能 B．重量 C．质量 D．长度
F （2）等腰梯形 ABCD中，对角线 AC 与 BD相交于点 P，点 E 、
a
A
B
口 答
叙述下图(单位正方形组成的网络) 中向量的方向和大小：
A
B
D
C
P
G Q
M
H
N
表示大小为4个单位， NM
方向由N 到M的向量
向量的模 零向量
向量的模：
★向量的大小 AB (或 a )的大小叫 做向量的模，记作| AB |(或 | a | ).
写出图(单位正 方形组成的网络) 中向量的模：
A P
B
D
C
M
Q
N
思考3
两平行的非零向量在其方向与模 两个要素上可能出现哪几种情况？
？ ②方向相同，模不同；
③方向相反，模相同；
④方向相反，模不同.
①方向相同，模相同；
例1．判断下列命题真假或给出问题的答案：
（1）平行向量的方向一定相同． （2）不相等的向量一定不平行．
两个问题 B
重量相等
一千吨的棉花和一千吨的铁谁更重？ 老鼠由A处向东以每 秒6米的速度逃窜，而猫 由B处以每秒10米的速度 追击. 若B处在A处东8米， 问猫能否抓到老鼠？ 若能， 如何在最短的时间内抓到 老鼠？
A
C
向量的定义与数量的区别
定义： 既有大小又有方向的量叫向量. 例：力、位移、加速度、速度等. 注意： 数量与向量的区别：
※注意：
AB BA .
思考2
如图，表示平面上的六个平
行四边形，试找出向量EA 的
所有相反向量：
A D E
B
C
F
H
G
定义：
平行的向量
★如果向量 AB 和 CD 的方向相 同或相反，那么这两个向量叫做平行的 向量，记作 AB // CD .(共线向量）
A P
B
D
C
M
Q
N
两个非零向量平行即是 这两个向量所在直线平行或重合.
×
×
零向量 零向量
（3）与零向量相等的向量是什么向量？ （4）存在与任何向量都平行的向量吗？ 么向量？ 平行向量（共线向量）
（5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什 （6）两个非零向量相等应满足什么条件？ 模相等且方向相同 （7）共线向量一定在同一直线上．
×
例2．如图，设 O 是正六边形 ABCDEF 的中心，分别写出图中
标量(数量)
向量的表示方法
字母法：
★小写英文字母上面加箭号表示， 如 a，读作向量a . ★两个大写英文字母上面加箭号表示， 如 ，表示由 A到B的向量，A为向量的 AB 起点，B为向量的终点，读作向量AB .
几何法：
★用有向线段表示向量，有向线段的 起点为向量的起点，有向线段的终点为 向量的终点.如图： AB
P
K
Q
L
思考1
如图，表示平面上的六个平 行四边形，问图中哪些向量分别 与 AB、 AD、 AE 相等：
A
B
D
C
F
H
E
G
向量的相反向量
定义：
★如果向量 AB 和 CD 的模相等 且方向相反，那么把向量 AB 叫做向 量 CD 的相反向量(或把向量 CD 叫做 向量 AB 的负向量)，记作 AB CD (或 CD AB ) .
BC上， EF过点 P且 EF // AB ，则下列等式正 分别在两腰 AD 、 确的是（ D ） A． AD BC B．AC BD
C． PE PF
D．EP PF
相等 且方向 （3）物理学中的作用力和反作用力是模__________ 相反 的共线向量 _________
2、 下列情形中,向量终点构成什么图形? (1)把所有单位向量移到同一个起点; (2)把平行于某一直线的所有单位向量平移 到同一起点; (3)把平行于一直线的一切向量平移到同一 起点;
1.数量只有大小，是一个代数量，可 以比较大小. 2.向量有方向、大小，双重属性，而 方向是不能比较大小的，因此向量 向量 不能比较大小.
口答
下列各种量中，哪些是向量，哪 些是标量(即数量)： (1)密度 (7)电阻
(2)体积 (8)风速
(3)位移 (6)功 (9)比热
(4)加速度 (5)重力
向量
OB 、 OC 相等的向量． 与向量OA 、
解： OA CB DO OB DC EO
OC AB ED FO
练习∶上题中
(1)与向量 OA长度相等的向量有多少个？11
单击动画演示
（2）是否存在与向量 OA 长度相等，方向相反的向量？ FE （3）与向量OA 共线的向量有哪些？
P
f
Q
零向量：
★模为零的向 量叫做零向量，记 作 0 . ※零向量 的方向是不确定的.
单位向量：
★模为1的向量
相等的向量
相等的向量：
★如果向量 AB 和 CD 的模相等 且方向相同，那么这两个向量叫做相等 向量，记作 AB CD .
如图(单位正方形 组成的网络)可见： 一个向量平行移动 后，所得向量与原 向量相等. ※零向量都是相等的.
CB DO
FE
课堂 小结
向量
向量的定义
向模与零向量
相等向量
三种向量关系
注意：(1)向量无大小， 但其模有大小；
相反向量 平行的向量
(2)平行的向量与零向量、 与所在直线平行或重合.
练习：
（1）下列各量中是向量的是（ B ） A．动能 B．重量 C．质量 D．长度
F （2）等腰梯形 ABCD中，对角线 AC 与 BD相交于点 P，点 E 、
a
A
B
口 答
叙述下图(单位正方形组成的网络) 中向量的方向和大小：
A
B
D
C
P
G Q
M
H
N
表示大小为4个单位， NM
方向由N 到M的向量
向量的模 零向量
向量的模：
★向量的大小 AB (或 a )的大小叫 做向量的模，记作| AB |(或 | a | ).
写出图(单位正 方形组成的网络) 中向量的模：