2018版数学人教A版浙江版选修2-2学案：综合检测二含答案精品

合集下载

2018学年高中数学人教A版选修2-2习题模块综合检测基础卷含答案

模块综合检测(基础卷)时间120分钟，满分150分．一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．(2016·衡水中学高二检测)已知a ，b ∈R ，且2＋a i ，b ＋i(i 是虚数单位)是实系数一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0的两个根，那么p ，q 的值分别是导学号 10510875( )A ．p ＝－4，q ＝5B ．p ＝－4，q ＝3C ．p ＝4，q ＝5D ．p ＝4，q ＝3[答案] A[解析] 分别将2＋a i ，b ＋i 代入方程得：⎩⎪⎨⎪⎧(2＋a i )2＋p (2＋a i )＋q ＝0①(b ＋i )2＋p (b ＋i )＋q ＝0② 对①②整理由复数相等的条件得：⎩⎪⎨⎪⎧2p ＋q －a 2＋4＝0，(p ＋4)a ＝0，pb ＋q ＋b 2－1＝0，p ＋2b ＝0.解得p ＝－4，q ＝5.本题也可以用“韦达定理”求解： 2＋a i ＋b ＋i ＝－p ③，(2＋a i)(b ＋i)＝q ④ 由复数相等的条件对③④整理得： ⎩⎪⎨⎪⎧ 2＋b ＝－p ，a ＋1＝0，2b －a ＝q ，ab ＋2＝0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝2，p ＝－4，q ＝5.故选A.2．设曲线y ＝x ＋1x －1在点(3,2)处的切线与直线ax ＋y ＋3＝0垂直，则a ＝导学号 10510876( )A ．－2B ．－12C.12 D ．2[答案] A[解析] y ′＝－2(x －1)2，y ′|x ＝3＝－12，∵(－12)·(－a )＝－1，∴a ＝－2.3．用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n ＋3)＝(n ＋3)(n ＋4)2(n ∈N *)时，验证n ＝1，左边应取的项是导学号 10510877( )A ．1B ．1＋2C ．1＋2＋3D ．1＋2＋3＋4[答案] D[解析] 当n ＝1时，左＝1＋2＋…＋(1＋3)＝1＋2＋…＋4，故应选D.4．三次函数当x ＝1时有极大值4，当x ＝3时有极小值0，且函数过原点，则此函数是导学号 10510878( )A ．y ＝x 3＋6x 2＋9xB ．y ＝x 3－6x 2＋9xC ．y ＝x 3－6x 2－9xD ．y ＝x 3＋6x 2－9x [答案] B[解析] 由条件设f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ，则f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ＝3a (x －1)(x －3)，∴b ＝－6a ，c ＝9a ，∴f (x )＝ax 3－6ax 2＋9ax ，∵f (1)＝4，∴a ＝1. ∴f (x )＝x 3－6x 2＋9x ，故选B.5．在复平面内，点A 对应的复数为1＋2i ，AB →＝(－2,1)，则点B 对应的复数的共轭复数为导学号 10510879( )A ．1＋3iB ．1－3iC ．－1＋3iD ．－1－3i [答案] D[解析] 由条件知A (1,2)，又AB →＝(－2,1)， ∴B (－1,3)，∴点B 对应复数z ＝－1＋3i ，故z －＝－1－3i.6．已知函数f (x )＝x 2＋bx 的图象在点A (1，f (1))处的切线l 与直线3x －y ＋2＝0平行，若数列{1f (n )}的前n 项和为S n ，则S 2017的值为导学号 10510880( )A.20162017B.20152016C.20132014 D ．20142015[答案] A[解析] f ′(x )＝2x ＋b ，由f ′(1)＝2＋b ＝3，得b ＝1. 则f (x )＝x 2＋x .于是1f (n )＝1n 2＋n ＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，S 2017＝1f (1)＋1f (2)＋…＋1f (2017)＝(1－12)＋(12－13)＋…＋(12016－12017)＝1－12017＝20162017.7．(2016·潍坊高二检测)已知函数f (x )＝x 3－12x ，若f (x )在区间(2m ，m ＋1)上单调递减，则实数m 的取值范围是导学号 10510881( )A ．－1≤m ≤1B ．－1<m ≤1C ．－1<m <1D ．－1≤m <1[答案] D[解析] 因为f ′(x )＝3x 2－12＝3(x ＋2)(x －2)，令f ′(x )<0⇒－2<x <2，所以函数f (x )＝x 3－12x 的单调递减区间为(－2,2)，要使f (x )在区间(2m ，m ＋1)上单调递减，则区间(2m ，m ＋1)是区间(－2,2)的子区间，所以⎩⎪⎨⎪⎧2m ≥－2，m ＋1≤2，m ＋1>2m .从中解得－1≤m <1，选D.8．曲线y ＝x 3－3x 和y ＝x 围成图形的面积为导学号 10510882( ) A ．4 B ．8 C ．10 D ．9[答案] B[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x 3－3x ，y ＝x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－2.∵y ＝x 3－3x 与y ＝x 都是奇函数， ∴围成图形的面积为S ＝2⎠⎛02[x －(x 3－3x )]d x ＝2⎠⎛02(4x －x 3)d x ＝2·(2x 2－14x 4)|20＝8，故选B. 9．函数y ＝a sin x ＋13sin3x 在x ＝π3处有极值，则a 的值为导学号 10510883( )A ．－6B ．6C ．－2D ．2[答案] D[解析] y ′＝a cos x ＋cos3x ，由条件知，a cos π3＋cosπ＝0，∴a ＝2，故选D.10．(2015·山东理，2)若复数z 满足z1－i＝i ，其中i 为虚数单位，则z ＝导学号 10510884( )A ．1－iB ．1＋iC ．－1－iD ．－1＋i[答案] A [解析] 因为z1－i＝i ，所以z ＝i(1－i)＝1＋i ， ∴z ＝1－i.故选A.11．如图，第n 个图形是由正n ＋2边形“扩展”而来(n ＝1,2,3，…)，则第n 个图形中顶点个数为导学号 10510885( )A ．(n ＋1)(n ＋2)B ．(n ＋2)(n ＋3)C ．n 2D ．n[答案] B[解析] 第一个图形共有12＝3×4个顶点，第二个图形共有20＝4×5个顶点，第三个图形共有30＝5×6个顶点，第四个图形共有42＝6×7个顶点，故第n 个图形共有(n ＋2)(n ＋3)个顶点．12．函数y ＝x 4－2x 2＋5的单调递减区间为导学号 10510886( ) A ．(－∞，－1]和[0,1] B ．[－1,0]和[1，＋∞) C ．[－1,1]D ．(－∞，－1]和[1，＋∞) [答案] A[解析] y ′＝4x 3－4x ，令y ′<0，即4x 3－4x <0，解得x <－1或0<x <1，所以函数的单调减区间为(－∞，－1)和(0,1)，故应选A. 二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．在等比数列{a n }中，若前n 项之积为T n ，则有T 3n ＝(T 2nT n)3.那么在等差数列{b n }中，若前n 项之和为S n ，用类比的方法得到的结论是________.导学号 10510887[答案] S 3n ＝3(S 2n －S n )[解析] 由等比数列前n 项积，前2n 项的积，前3n 项的积类比得到等差数列前n 项的和，前2n 项的和，前3n 项的和，由等比数列中(T 2nT n )3类比得等差数列中3(S 2n －S n )，故有S 3n ＝3(S 2n－S n )．14．函数y ＝x 3＋x 2－5x －5的单调递增区间是________.导学号 10510888 [答案] (－∞，－53)和(1，＋∞)[解析] ∵y ＝x 3＋x 2－5x －5，∴y ′＝3x 2＋2x －5，令y ′＝3x 2＋2x －5>0，解得x <－53，x >1，∴函数的单调递增区间为(－∞，－53)和(1，＋∞)．15．(陕西高考)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x >0，x ＋⎠⎛0a 3t 2d t ，x ≤0，若f (f (1))＝1，则a ＝________.导学号 10510889[答案] 1[解析] ∵f (1)＝0，∴f (f (1))＝f (0)＝0＋⎠⎛0a 3t 2d t ＝t 3|a 0＝a 3＝1，∴a ＝1.16．已知结论“a 1、a 2∈R ＋，且a 1＋a 2＝1，则1a 1＋1a 2≥4：若a 1、a 2、a 3∈R ＋，且a 1＋a 2＋a 3＝1，则1a 1＋1a 2＋1a 3≥9”，请猜想若a 1、a 2、…、a n ∈R ＋，且a 1＋a 2＋…＋a n ＝1，则1a 1＋1a 2＋…＋1a n≥________.导学号 10510890[答案] n 2[解析] 结论左端各项分别是和为1的各数a i 的倒数(i ＝1,2，…，n )，右端n ＝2时为4＝22，n ＝3时为9＝32，故a i ∈R ＋，a 1＋a 2＋…＋a n ＝1时，结论为1a 1＋1a 2＋…＋1a n≥n 2(n ≥2)．三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本题满分10分)(2016·文昌中学高二检测)设复数z 满足|z |＝1，且(3＋4i)·z 是纯虚数，求z .导学号 10510891[解析] 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，由|z |＝1，得a 2＋b 2＝1，①由(3＋4i)·z ＝(3＋4i)(a ＋b i)＝(3a －4b )＋(4a ＋3b )i 是纯虚数，得3a －4b ＝0②联立①②解得⎩⎨⎧ a ＝－45，b ＝－35，或⎩⎨⎧a ＝45，b ＝35.∴z ＝－45－35i 或z ＝45＋35i.18．(本题满分12分)已知非零实数a 、b 、c 构成公差不为0的等差数列，求证：1a ，1b ，1c 不可能构成等差数列.导学号 10510892[解析] 假设1a ，1b ，1c 能构成等差数列，则得2b ＝1a ＋1c ，于是得bc ＋ab ＝2ac .①而由于a ，b ，c 构成等差数列，即2b ＝a ＋c .②所以由①②两式得，(a ＋c )2＝4ac ，即(a －c )2＝0，于是得a ＝b ＝c ，这与a ，b ，c 构成公差不为0的等差数列矛盾．故假设不成立，因此1a ，1b ，1c不能构成等差数列．19．(本题满分12分)设函数f (x )＝ax ＋xx －1(x >1)，若a 是从1、2、3三个数中任取的一个数，b 是从2、3、4、5四个数中任取的一个数，求f (x )>b 恒成立的概率.导学号 10510893[解析] 若使f (x )>b 恒成立，只需使ax ＋xx －1－b >0在(1，＋∞)上恒成立．设g (x )＝ax ＋x x －1－b ，则g ′(x )＝a －1(x －1)2＝a (x －1)2－1(x －1)2，令g ′(x )＝0，则a (x －1)2－1＝0，解得：x ＝±aa ＋1，∴x ∈(1，aa＋1)时，g ′(x )<0， x ∈(aa＋1，＋∞)时，g ′(x )>0. ∴x ＝aa＋1时，函数g (x )取得最小值为 g (aa＋1)＝2a ＋a ＋1－b ， ∴2a ＋a ＋1－b >0，∴当a ＝1时，b 的值可以是2或3，当a ＝2时，b 的值可以是2或3或4或5，当a ＝3时，b 的值可以是2或3或4或5.∴使f (x )>b 恒成立的取法共有10种，而数对(a ，b )的所有可能取法共有12种， ∴使f (x )>b 恒成立的概率为P ＝1012＝56.20．(本题满分12分)(1)设x ≥1，y ≥1，证明：x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y＋xy .(2)1≤a ≤b ≤c ，证明：log a b ＋log b c ＋log c a ≤log b a ＋log c b ＋log a c .导学号 10510894 [证明] (1)由于x ≥1，y ≥1，所以x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y ＋xy ⇔xy (x ＋y )＋1≤y ＋x ＋(xy )2.将上式中的右式减左式，得 (y ＋x ＋(xy )2)－(xy (x ＋y )＋1) ＝((xy )2－1)－(xy (x ＋y )－(x ＋y )) ＝(xy ＋1)(xy －1)－(x ＋y )(xy －1) ＝(xy －1)(xy －x －y ＋1) ＝(xy －1)(x －1)(y －1)．由于x ≥1，y ≥1，所以(xy －1)(x －1)(y －1)≥0，从而所要证明的不等式成立． (2)设log a b ＝x ，log b c ＝y ，由对数的换底公式得 log c a ＝1xy ，log b a ＝1x ，log c b ＝1y ，log a c ＝xy .于是，所要证明的不等式即为x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y ＋xy ，其中x ＝log a b ≥1，y ＝log b c ≥1. 故由(1)知所要证明的不等式成立．21．(本题满分12分)已知函数f (x )＝12x 2－ax ＋(a －1)ln x .导学号 10510895(1)若a >2，讨论函数f (x )的单调性；(2)已知a ＝1，g (x )＝2f (x )＋x 3，若数列{a n }的前n 项和为S n ＝g (n )，证明：1a 2＋1a 3＋…＋1a n<13(n ≥2，n ∈N ＋)． [解析] (1)可知f (x )的定义域为(0，＋∞)．有 f ′(x )＝x －a ＋a －1x ＝x 2－ax ＋a －1x＝(x －1)[x －(a －1)]x，因为a >2，所以a －1>1.故当1<x <a －1时f ′(x )<0；当0<x <1或x >a －1时f ′(x )>0.∴函数f (x )在区间(1，a －1)上单调递减，在区间(0,1)和(a －1，＋∞)上单调增加．(2)由a ＝1知g (x )＝x 3＋x 2－2x ，所以S n ＝n 3＋n 2－2n .可得a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3n 2－n －2，(n ≥2)，0，(n ＝1).∴a n ＝3n 2－n －2(n ≥2)．所以1a n ＝1(3n ＋2)(n －1)(n ≥2)．因为1(3n ＋2)(n －1)<13n (n －1)＝13(1n －1－1n)，所以1a 2＋1a 3＋…＋1a n <13[(1－12)＋(12－13)＋…＋(1n －1－1n )]＝13(1－1n )＝13－13n <13，综上，不等式得证．22．(本题满分12分)(2015·福建文，22)已知函数f (x )＝ln x －(x －1)22.导学号 10510896(1)求函数f (x )的单调递增区间； (2)证明：当x >1时，f (x )<x －1；(3)确定实数k 的所有可能取值，使得存在x 0>1，当x ∈(1，x 0)时，恒有f (x )>k (x －1)． [解析] (1)f ′(x )＝1x －x ＋1＝－x 2＋x ＋1x，x ∈(0，＋∞)．由f ′(x )>0得⎩⎪⎨⎪⎧x >0，－x 2＋x ＋1>0.解得0<x <1＋52.故f (x )的单调递增区间是⎝⎛⎭⎪⎫0，1＋52.(2)证明：令F (x )＝f (x )－(x －1)，x ∈(0，＋∞)．则有f ′(x )＝1－x 2x.当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<0，所以F (x )在[1，＋∞)上单调递减，故当x >1时，F (x )<F (1)＝0，即当x >1时，f (x )<x －1. (3)由(2)知，当k ＝1时，不存在x 0>1满足题意．当k >1时，对于x >1，有f (x )<x －1<k (x －1)，则f (x )<k (x －1)，从而不存在x 0>1满足题意．当k <1时，令G (x )＝f (x )－k (x －1)，x ∈(0，＋∞)，则有G ′(x )＝1x －x ＋1－k ＝－x 2＋(1－k )x ＋1x .由G ′(x )＝0得，－x 2＋(1－k )x ＋1＝0.解得x 1＝1－k －(1－k )2＋42<0，x 2＝1－k ＋(1－k )2＋42>1.当x ∈(1，x 2)时，G ′(x )>0，故G (x )在[1，x 2)内单调递增．从而当x ∈(1，x 2)时，G (x )>G (1)＝0，即f (x )>k (x －1)，综上，k 的取值范围是(－∞，1)．。

2018版数学人教A版浙江版选修2-2学案：第二章推理与

学习目标 1.整合本章知识要点.2.进一步理解合情推理与演绎推理的概念、思维形式、应用等.3.进一步熟练掌握直接证明与间接证明.4.理解数学归纳法，并会用数学归纳法证明问题．知识点一直接证明和间接证明(1)直接证明的两类基本方法是综合法和分析法： ①综合法是从已知条件推出结论的证明方法； ②分析法是从结论追溯到条件的证明方法．(2)间接证明的一种方法是反证法，是从结论反面成立出发，推出矛盾的方法．知识点二数学归纳法数学归纳法主要用于解决与正整数有关的数学命题．证明时，它的两个步骤缺一不可，它的第一步(归纳奠基)是证当n ＝n 0时结论成立；第二步(归纳递推)是假设当n ＝k 时结论成立，推得当n ＝k ＋1时结论也成立．类型一综合法与分析法例1 设a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证1a ＋1b ＋1ab ≥8.试用综合法和分析法分别证明．证明方法一 (综合法) 因为a >0，b >0，a ＋b ＝1，所以1＝a ＋b ≥2ab ，ab ≤12，ab ≤14，所以1ab ≥4.又1a ＋1b ＝(a ＋b )(1a ＋1b )＝2＋b a ＋ab≥4，所以1a ＋1b ＋1ab ≥8(当且仅当a ＝b ＝12时等号成立)．方法二 (分析法)因为a >0，b >0，a ＋b ＝1，要证1a ＋1b ＋1ab ≥8，只需证(1a ＋1b )＋a ＋bab ≥8，只需证(1a ＋1b )＋(1b ＋1a )≥8，即证1a ＋1b≥4.也就是证a ＋b a ＋a ＋bb ≥4.即证b a ＋ab≥2，由基本不等式可知，当a >0，b >0时，b a ＋ab≥2恒成立，所以原不等式成立．反思与感悟分析法和综合法是两种思路相反的推理方法：分析法是倒溯，综合法是顺推，二者各有优缺点．分析法容易探路，且探路与表述合一，缺点是表述易错；综合法条件清晰，易于表述，因此对于难题常把二者交互运用，互补优缺，形成分析综合法，其逻辑基础是充分条件与必要条件．跟踪训练1 已知x >0，y >0，求证：11223332()()x y x y +>+. 证明要证明11223332()()x y x y +>+，只需证(x 2＋y 2)3>(x 3＋y 3)2.只需证x 6＋3x 4y 2＋3x 2y 4＋y 6>x 6＋2x 3y 3＋y 6，只需证3x 4y 2＋3x 2y 4>2x 3y 3. 又x >0，y >0，∴x 2y 2>0， ∴只需证3x 2＋3y 2>2xy . ∵3x 2＋3y 2>x 2＋y 2≥2xy ， ∴3x 2＋3y 2>2xy 成立，故11223332()()x y x y +>+. 类型二反证法例2 若x ，y 都是正实数，且x ＋y >2，求证：1＋x y <2或1＋yx <2中至少有一个成立．证明假设1＋x y <2和1＋yx <2都不成立，则有1＋x y ≥2和1＋yx ≥2同时成立．因为x >0且y >0，所以1＋x≥2y且1＋y≥2x，两式相加，得2＋x＋y≥2x＋2y，所以x＋y≤2.这与已知x＋y>2矛盾．故1＋xy<2与1＋yx<2至少有一个成立．反思与感悟反证法常用于直接证明困难或以否定形式出现的命题；涉及“都是……”“都不是……”“至少……”“至多……”等形式的命题时，也常用反证法．跟踪训练2已知：ac≥2(b＋d)．求证：方程x2＋ax＋b＝0与方程x2＋cx＋d＝0中至少有一个方程有实数根．证明假设两方程都没有实数根，则Δ1＝a2－4b<0与Δ2＝c2－4d<0，有a2＋c2<4(b＋d)，而a2＋c2≥2ac，从而有4(b＋d)>2ac，即ac<2(b＋d)，与已知矛盾，故原命题成立．类型三数学归纳法例3观察下列四个等式：第一个式子1＝1第二个式子2＋3＋4＝9第三个式子3＋4＋5＋6＋7＝25第四个式子4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49(1)按照此规律，写出第五个等式；(2)请你做出一般性的猜想，并用数学归纳法证明．解(1)第5个等式：5＋6＋7＋…＋13＝81.(2)猜想第n个等式为n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2.证明：①当n＝1时，左边＝1，右边＝(2－1)2＝1，所以等式成立．②假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时，等式成立，即有k＋(k＋1)＋(k＋2)＋…＋(3k－2)＝(2k－1)2.那么当n＝k＋1时，左边＝(k＋1)＋(k＋2)＋…＋(3k－2)＋(3k－1)＋3k＋(3k＋1)＝k＋(k＋1)＋(k＋2)＋…＋(3k－2)＋(2k－1)＋3k＋(3k＋1)＝(2k－1)2＋(2k－1)＋3k＋(3k＋1)＝4k2－4k＋1＋8k＝(2k＋1)2＝[2(k＋1)－1]2.右边＝[2(k ＋1)－1]2，即当n ＝k ＋1时，等式也成立．根据①②知，等式对任意n ∈N *都成立．反思与感悟 (1)用数学归纳法证明等式问题是数学归纳法的常见题型，其关键点在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始n 0是多少．(2)由n ＝k 到n ＝k ＋1时，除等式两边变化的项外还要利用当n ＝k 时的式子，即利用假设，正确写出归纳证明的步骤，从而使问题得以证明．跟踪训练3 数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝12a n ＋1.(1)写出a 2，a 3，a 4； (2)求数列{a n }的通项公式．解 (1)因为a 1＝1，a n ＋1＝12a n ＋1，所以a 2＝12a 1＋1＝12＋1＝32.a 3＝12a 2＋1＝12·32＋1＝74.a 4＝12a 3＋1＝12·74＋1＝158.(2)方法一猜想a n ＝2n －12n －1.下面用数学归纳法证明．①当n ＝1时，a 1＝21－121－1＝1，满足上式，显然成立；②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，a k ＝2k －12k －1，那么当n ＝k ＋1时， a k ＋1＝12a k ＋1＝12·2k－12k －1＋1＝2k －12k ＋1 ＝2k －1＋2k 2k ＝2k ＋1－12k，满足上式，即当n ＝k ＋1时，猜想也成立，由①②可知，对于n ∈N *，都有a n ＝2n －12n －1.方法二因为a n ＋1＝12a n ＋1，所以a n ＋1－2＝12a n ＋1－2，即a n ＋1－2＝12(a n －2)．设b n ＝a n －2，则b n ＋1＝12b n ，即{b n }是以b 1＝－1为首项，12为公比的等比数列，所以b n ＝b 1·q n －1＝－12n －1，所以a n ＝b n ＋2＝2n －12n －1.1．用分析法证明：欲使①A >B ，只需②C <D .这里①是②的( ) A ．充分条件 B ．必要条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析分析法的本质是证明结论的充分条件成立，即②⇒①，所以①是②的必要条件． 2．设f (n )＝5n ＋2×3n －1＋1(n ∈N *)，若f (n )能被m (m ∈N *)整除，则m 的最大值为( )A ．2B ．4C ．8D ．16答案 C解析 f (1)＝8，f (2)＝32，f (3)＝144＝8×18，猜想m 的最大值是8.3．用反证法证明命题：“设a ，b 为实数，则方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )A ．方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根B ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有一个实数C ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有两个实根D ．方程x 3＋ax ＋b ＝0恰好有两个实根答案 A解析方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根的反面是方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根，故选A.4．要证cos 2x ＋2sin 2x ≥sin 2x 只需证______________________．答案 cos 2x －2sin x cos x ＋sin 2x ≥0 解析要证cos 2x ＋2sin 2x ≥sin 2x ，只要证cos 2x －sin 2x ＋2sin 2x －sin 2x ≥0，即证cos 2x －2sin x cos x ＋sin 2x ≥0. 5．用数学归纳法证明(1·22－2·32)＋(3·42－4·52)＋…＋[(2n －1)(2n )2－2n (2n ＋1)2]＝－n (n ＋1)(4n ＋3)．证明当n ＝1时，左边＝－14，右边＝－1·2·7＝－14，等式成立．假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时等式成立，即(1·22－2·32)＋(3·42－4·52)＋…＋[(2k －1)·(2k )2－2k (2k ＋1)2]＝－k (k ＋1)(4k ＋3)．那么当n ＝k ＋1时，(1·22－2·32)＋(3·42－4·52)＋…＋[(2k －1)(2k )2－2k (2k ＋1)2]＋[(2k ＋1)(2k ＋2)2－(2k ＋2)(2k ＋3)2]＝－k (k ＋1)(4k ＋3)－2(k ＋1)[4k 2＋12k ＋9－4k 2－6k －2] ＝－(k ＋1)[4k 2＋3k ＋2(6k ＋7)] ＝－(k ＋1)[4k 2＋15k ＋14] ＝－(k ＋1)(k ＋2)(4k ＋7)＝－(k ＋1)[(k ＋1)＋1][4(k ＋1)＋3]．所以当n ＝k ＋1时等式也成立．根据以上论证可知，等式对任何n ∈N *都成立．1．直接证明和间接证明是数学证明的两类基本证明方法．直接证明的两类基本方法是综合法和分析法：综合法是从已知条件推导出结论的证明方法；分析法是由结论追溯到条件的证明方法，在解决数学问题时，常把它们结合起来使用，间接证法的一种方法是反证法，反证法是从结论反面成立出发，推出矛盾的证明方法．2．数学归纳法主要用于解决与正整数有关的数学问题．证明时，它的两个步骤缺一不可．它的第一步(归纳奠基)当n ＝n 0时，结论成立．第二步(归纳递推)假设当n ＝k 时，结论成立，推得当n ＝k ＋1时，结论也成立．数学归纳法是在可靠的基础上，利用命题自身具有的传递性，运用有限的步骤(两步)证明出无限的命题成立．课时作业一、选择题1．已知a ，b 为非零实数，则使不等式b a ＋ab≤－2成立的一个充分不必要条件是( )A ．ab >0B ．ab <0C ．a >0，b <0D ．a >0，b >0答案 C解析要使b a ＋a b ≤－2，只需b a <0，a b <0即可，即a ，b 异号．故C 是使b a ＋ab ≤－2成立的一个充分不必要条件，故选C.2．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖”；乙说：“甲、丙都未获奖”，丙说：“我获奖了”，丁说：“是乙获奖”，四位歌手的话只有两位是对的，则获奖的歌手是( ) A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．丁答案 C解析若甲获奖，则甲、乙、丙、丁的话都错误；同理可推知乙、丙、丁获奖情况，最后获奖者应是丙．3．用反证法证明命题：“a ，b ，c ，d ∈R ，a ＋b ＝1，c ＋d ＝1，且ac ＋bd >1，则a ，b ，c ，d 中至少有一个负数”时的假设为( ) A ．a ，b ，c ，d 中至少有一个正数 B ．a ，b ，c ，d 全为正数 C ．a ，b ，c ，d 全部大于等于0 D ．a ，b ，c ，d 中至多有一个负数答案 C解析 “a ，b ，c ，d 中至少有一个负数”的否定为“a ，b ，c ，d 全都大于等于0”． 4．下列不等式中一定成立的是( ) A ．lg ⎝⎛⎭⎫x 2＋14>lg x (x >0) B ．sin x ＋1sin x ≥2(x ≠k π，k ∈Z )C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R ) D.1x 2＋1>1 (x ∈R ) 答案 C5．设函数f (x )＝2x ＋1x －1(x ＜0)，则f (x )( )A ．有最大值B ．有最小值C ．为增函数D ．为减函数答案 A解析 ∵x ＜0，∴－x ＞0，则 (－2x )＋⎝⎛⎭⎫－1x ≥2(－2x )⎝⎛⎭⎫－1x ＝22， ∴－⎣⎡⎦⎤(－2x )＋⎝⎛⎭⎫－1x ≤－2 2. ∴f (x )＝－⎣⎡⎦⎤(－2x )＋⎝⎛⎭⎫－1x －1≤－22－1. 当且仅当－2x ＝－1x ，即x ＝－22时取最大值．故选A.6．设集合S ＝{A 0，A 1，A 2，A 3}，在S 上定义运算为：A i A j ＝A k ，其中k 为i ＋j 被4除的余数，i ，j ＝0,1,2,3，则满足关系式(x x )A 2＝A 0的x (x ∈S )的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 B解析当x ＝A 0时，(x x )A 2＝A 2≠A 0，当x ＝A 1时，(x x )A 2＝A 2A 2＝A 0，成立；当x ＝A 2时，(x x )A 2＝A 0A 2＝A 2≠A 0；当x ＝A 3时，(x x )A 2＝A 2A 2＝A 0，成立．故选B.7．O 是平面上一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，λ∈[0，＋∞)，则P 的轨迹一定通过△ABC 的( ) A ．外心 B ．内心 C ．重心 D ．垂心答案 B解析如图，AB →|AB →|为AB →上的单位向量，AC →|AC →|为AC →上的单位向量，则AB →|AB →|＋AC→|AC →|的方向为∠BAC的角平分线AD 的方向．又λ∈[0，＋∞)，∴λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|的方向与AB →|AB →|＋AC →|AC →|的方向相同．而OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，∴点P 在AD 上移动，∴P 的轨迹一定通过△ABC 的内心．二、填空题 8．已知p ＝a ＋1a －2(a ＞2)，2422a a q -+-= (a ＞2)，则p ，q 的大小关系为______．答案 p ＞q 解析 p ＝a －2＋1a －2＋2≥2(a －2)·1a －2＋2＝4，－a 2＋4a －2＝2－(a －2)2＜2，∴q ＜22＝4≤p .9．用反证法证明“若函数f (x )＝x 2＋px ＋q ，则|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|中至少有一个不小于12”时，假设内容是______________．答案 |f (1)|，|f (2)|，|f (3)|都小于12解析 “|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|中至少有一个不小于12”的反面是“|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|都小于12”．10．若二次函数f (x )＝4x 2－2(p －2)x －2p 2－p ＋1在区间[－1,1]内至少存在一点c ，使f (c )＞0，则实数p 的取值范围是__________．答案 ⎝⎛⎭⎫－3，32 解析方法一 (补集法)令⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)≤0，f (1)≤0 即⎩⎪⎨⎪⎧－2p 2＋p ＋1≤0，－2p 2－3p ＋9≤0即⎩⎨⎧p ≤－12或p ≥1，p ≤－3或p ≥32.∴p ≤－3或p ≥32，符合题意的解是－3＜p ＜32.方法二 (直接法)依题意，有f (－1)＞0或f (1)＞0，即2p 2－p －1＜0或2p 2＋3p －9＜0， ∴－12＜p ＜1或－3＜p ＜32，∴－3＜p ＜32.三、解答题11．已知a ＋b ＋c ＝1，求证：ab ＋bc ＋ca ≤13.证明因为a ＋b ＋c ＝1，所以a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ＝1. 又因为a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ， c 2＋a 2≥2ca ，所以2(a 2＋b 2＋c 2)≥2(ab ＋bc ＋ca )．所以a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca . 所以1＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ≥ab ＋bc ＋ca ＋2ab ＋2bc ＋2ca ＝3(ab ＋bc ＋ca )．所以ab ＋bc ＋ca ≤13.12．设a ，b ，c 为任意三角形三边长，I ＝a ＋b ＋c ，S ＝ab ＋bc ＋ca ，试证：3S ≤I 2<4S . 证明 I 2＝(a ＋b ＋c )2 ＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ＝a 2＋b 2＋c 2＋2S . 欲证3S ≤I 2<4S ，即证ab ＋bc ＋ca ≤a 2＋b 2＋c 2<2ab ＋2bc ＋2ca . 先证明ab ＋bc ＋ca ≤a 2＋b 2＋c 2，只需证2a 2＋2b 2＋2c 2≥2ab ＋2bc ＋2ca ，即(a －b )2＋(a －c )2＋(b －c )2≥0，显然成立；再证明a 2＋b 2＋c 2<2ab ＋2bc ＋2ca ，只需证a 2－ab －ac ＋b 2－ab －bc ＋c 2－bc －ca <0，即a (a －b －c )＋b (b －a －c )＋c (c －b －a )<0，只需证a <b ＋c ，且b <c ＋a ，且c <b ＋a ，由于a ，b ，c 为三角形的三边长，上述三式显然成立，故有3S ≤I 2<4S .13．求证：不论x ，y 取何非零实数，等式1x ＋1y ＝1x ＋y 总不成立．证明假设存在非零实数x ，y 使得等式1x ＋1y ＝1x ＋y 成立．于是有y (x ＋y )＋x (x ＋y )＝xy ，即x 2＋y 2＋xy ＝0，即⎝⎛⎭⎫x ＋y 22＋34y 2＝0. 由y ≠0，得34y 2＞0. 又⎝⎛⎭⎫x ＋y 22≥0，所以⎝⎛⎭⎫x ＋y 22＋34y 2＞0. 与x 2＋y 2＋xy ＝0矛盾，故原命题成立．四、探究与拓展14．设函数y ＝f (x )在(0，＋∞)内有定义，对于给定的正数K ，定义函数f K (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，f (x )≤K ，K ，f (x )＞K ，若函数f (x )＝ln x ＋1e x，且恒有f K (x )＝f (x )，则K 的最小值为______________．答案 1e解析由于f (x )＝ln x ＋1e x ，所以f ′(x )＝1x －ln x －1e x ，令g (x )＝1x －ln x －1，则g ′(x )＝－1x 2－1x＜0，所以g (x )在(0，＋∞)上单调递减，而g (1)＝0，所以当x ∈(0,1)时，g (x )＞0，此时，f ′(x )＞0，当x ∈(1，＋∞)时，g (x )＜0，此时f ′(x )＜0，所以f (x )在(0,1)上单调递增，f (x )在(1，＋∞)上单调递减，故f (x )max ＝f (1)＝1e ，又函数f (x )＝ln x ＋1e x，且恒有f K (x )＝f (x )，结合新定义可知，K 的最小值为1e. 15．在数列{a n }，{b n }中，a 1＝2，b 1＝4，且a n ，b n ，a n ＋1成等差数列，b n ，a n ＋1，b n ＋1成等比数列(n ∈N *)．(1)求a 2，a 3，a 4及b 2，b 3，b 4，由此猜测{a n }，{b n }的通项公式，并证明你的结论；(2)求证1a 1＋b 1＋1a 2＋b 2＋…＋1a n ＋b n ＜512. (1)解由条件得2b n ＝a n ＋a n ＋1，a 2n ＋1＝b n b n ＋1，a 1＝2，b 1＝4.由此可得a 2＝6，b 2＝9，a 3＝12，b 3＝16，a 4＝20，b 4＝25.猜测a n ＝n (n ＋1)，b n ＝(n ＋1)2.用数学归纳法证明：①当n ＝1时，由上可得结论成立．②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，结论成立，即a k ＝k (k ＋1)，b k ＝(k ＋1)2，那么，当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝2b k －a k ＝2(k ＋1)2－k (k ＋1)＝(k ＋1)(k ＋2)，b k ＋1＝a 2k ＋1b k＝(k ＋2)2. ∴当n ＝k ＋1时，结论也成立．由①②可知a n ＝n (n ＋1)，b n ＝(n ＋1)2对一切正整数n 都成立．(2)证明当n ＝1时，1a 1＋b 1＝16＜512. n ≥2时，由(1)知a n ＋b n ＝(n ＋1)(2n ＋1)＞2(n ＋1)n .∴1a n ＋b n ＜12⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1， ∴1a 1＋b 1＋1a 2＋b 2＋…＋1a n ＋b n＜16＋12⎝⎛⎭⎫12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1 ＝16＋12⎝⎛⎭⎫12－1n ＋1＜16＋14＝512. 综上，对n ∈N *，1a 1＋b 1＋1a 2＋b 2＋…＋1a n ＋b n ＜512成立．。

2017-2018学年高中数学选修2-2全册学案人教A版含解析238P

2017~2018学人教A版高中数学选修2-2全册导学案汇编目录第一章导数及其应用1.1.1变化率问题1.1.2导数的概念第一章导数及其应用1.1.3导数的几何意义第一章导数及其应用1.2导数的计算1第一章导数及其应用1.2导数的计算2第一章导数及其应用1.3.1函数的单调性与导数第一章导数及其应用1.3.2函数的极值与导数第一章导数及其应用1.3.3函数的最大小值与导数第一章导数及其应用1.4生活中的优化问题举例第一章导数及其应用1.5定积分的概念第一章导数及其应用1.5.2汽车行驶的路程第二章推理与证明2.1.1合情推理第二章推理与证明2.1.2演绎推理第二章推理与证明2.2.1综合法和分析法第二章推理与证明2.2.2反证法第二章推理与证明2.3数学归纳法第一章导数及其应用1.5定积分的概念1.5.3定积分的概念第一章导数及其应用1.6微积分基本定理第一章导数及其应用1.7定积分的简单应用第三章数系的扩展与复数的引入3.1.1数系的扩充和复数的概念第三章数系的扩展与复数的引入3.1.2复数的几何意义第三章数系的扩展与复数的引入3.2.1复数代数形式的加减运算及其几何意义第三章数系的扩展与复数的引入3.2.2复数代数形式的乘除运算1．1.1～1.1.2 变化率问题导数的概念A 是出发点，H 是山顶．爬山路线用函数y ＝f (x )表示．自变量x 表示某旅游者的水平位置，函数值y ＝f (x )表示此时旅游者所在的高度．设点A 的坐标为(x 1，y 1)，点B 的坐标为(x 2，y 2)．问题1：若旅游者从点A 爬到点B ，且这段山路是平直的，自变量x 和函数值y 的改变量Δx ，Δy 分别是多少？提示：自变量x 的改变量为Δx ＝x 2－x 1，函数值的改变量为Δy ＝y 2－y 1. 问题2：能否根据Δy 的大小判断山路的陡峭程度？提示：不能．问题3：怎样用数量刻画弯曲山路的陡峭程度呢？提示：对山坡AB 来说，Δy Δx ＝y 2－y 1x 2－x 1可以近似地刻画．问题4：能用ΔyΔx刻画山路陡峭程度的原因是什么？提示：因ΔyΔx 表示A ，B 两点所在直线的斜率k ，显然，“线段”所在直线的斜率越大，山路越陡．这就是说，竖直位移与水平位移之比ΔyΔx越大，山路越陡；反之，山路越缓．问题5：从A 到B 与从A 到C ，两者ΔyΔx 相同吗？提示：不相同．1．函数的平均变化率对于函数y ＝f (x )，给定自变量的两个值x 1和x 2，当自变量x 从x 1变为x 2时，函数值从f (x 1)变为f (x 2)，我们把式子f x 2 －f x 1x 2－x 1称为函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率．习惯上用Δx 表示x 2－x 1，即Δx ＝x 2－x 1，可把Δx 看作是相对于x 1 的一个“增量”，可用x 1＋Δx 代替x 2；类似地，Δy ＝f (x 2)－f (x 1)．于是，平均变化率可表示为ΔyΔx.2．平均变化率的几何意义设A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2))是曲线y ＝f (x )上任意不同的两点，函数y ＝f (x )的平均变化率Δy Δx ＝f x 2 －f x 1 x 2－x 1＝f x 1＋Δx －f x 1 Δx为割线AB 的斜率，如右图所示．对Δx ，Δy 的理解(1)Δx ，Δy 是一个整体符号，而不是Δ与x ，y 相乘．(2)x 1，x 2是定义域内不同的两点，因此Δx ≠0，但Δx 可正也可负；Δy ＝f (x 2)－f (x 1)是Δx ＝x 2－x 1相应的改变量，Δy 的值可正、可负，也可为零，因此平均变化率可正、可负，也可为零.一质点的运动方程为s ＝8－3t 2，其中s 表示位移，t 表示时间．问题1：试求质点在这段时间内的平均速度．提示：Δs Δt ＝8－3 1＋Δt 2－8＋3³12Δt＝－6－3Δt .问题2：当Δt 趋近于0时，问题1中的平均速度趋近于何值？如何理解这一速度？提示：当Δt 趋近于0时，ΔsΔt趋近于－6.这时的平均速度即为t ＝1时的瞬时速度． 1．瞬时速度(1)物体在某一时刻的速度称为瞬时速度：若物体运动的路程与时间的关系式是s ＝f (t )，当Δt 趋近于0时，函数f (t )在t 0到t 0＋Δt 之间的平均变化率f t 0＋Δt －f t 0Δt趋近于常数，我们就把这个常数叫做物体在t 0时刻的瞬时速度．2．导数的定义一般地，函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是li m Δx →0ΔyΔx＝li m Δx →0 f x 0＋Δx －f x 0Δx，我们称它为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x＝x 0，即f ′(x 0)＝li m Δx →0 Δy Δx ＝li m Δx →0 f x 0＋Δx －f x 0Δx.导数概念的解读(1)导数是一个局部概念，它只与函数y ＝f (x )在x ＝x 0处及其附近的函数值有关，与Δx 无关．(2)f ′(x 0)是一个常数，即当Δx →0时，存在一个常数与f x 0＋Δx －f x 0Δx无限接近．如果当Δx →0时，li m Δx →0 ΔyΔx不存在，则称函数f (x )在x ＝x 0处不可导．(1)已知函数( ) A ．0.40 B ．0.41 C ．0.43D ．0.44(2)已知函数f (x )＝x ＋1x，分别计算f (x )在自变量x 从1变到2和从3变到5时的平均变化率，并判断在哪个区间上函数值变化得较快．(1)选B Δy ＝f (2＋Δx )－f (2)＝f (2.1)－f (2)＝2.12－22＝0.41. (2)自变量x 从1变到2时，函数f (x )的平均变化率为 f 2 －f 1 2－1＝2＋12－ 1＋1 1＝12；自变量x 从3变到5时，函数f (x )的平均变化率为 f 5 －f 3 5－3＝5＋15－⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋132＝1415.因为12＜1415，所以函数f (x )＝x ＋1x 在自变量x 从3变到5时函数值变化得较快．求函数平均变化率的步骤(1)求自变量的改变量Δx ＝x 2－x 1； (2)求函数值的改变量Δy ＝f (x 2)－f (x 1)； (3)求平均变化率Δy Δx ＝f x 2 －f x 1 x 2－x 1.分别计算下面三个图象表示的函数h (t )在区间上的平均变化率．解：对于图①，Δh ＝h (3)－h (0)＝10－0＝10， ∴Δh Δt ＝103－0＝103，即平均变化率为103.同理可以算得图②、图③中函数h (t )在区间上的平均变化率均为103.(1)设函数000x ＋b (Δx )2(a ，b 为常数)，则( )A ．f ′(x )＝aB ．f ′(x )＝bC ．f ′(x 0)＝aD ．f ′(x 0)＝b(2)求函数f (x )＝x 在x ＝1处的导数． (1)选C f ′(x 0)＝li m Δx →0 f x 0＋Δx －f x 0Δx＝li m Δx →0(a ＋b ²Δx )＝a . (2)由导数的定义知，函数在x ＝1处的导数f ′(1)＝li m Δx →0f 1＋Δx －f 1Δx，而f 1＋Δx －f 1 Δx ＝1＋Δx －1Δx ＝11＋Δx ＋1，又li m Δx →0 11＋Δx ＋1＝12，所以f ′(1)＝12.利用定义求导数的三步曲由导数的定义知，求一个函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数的步骤如下： (1)求函数值的改变量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)； (2)求平均变化率Δy Δx ＝f x 0＋Δx －f x 0Δx ；(3)取极限，得导数f ′(x 0)＝li m Δx →0 ΔyΔx . 简认为：一差，二比，三趋近．求函数y ＝4x2 在x ＝2处的导数．解：∵Δy ＝4 Δx ＋2 2－422＝4Δx ＋22－1＝－ Δx 2＋4Δx Δx ＋2 2，∴Δy Δx ＝－Δx ＋4 Δx ＋22. ∴f ′(2)＝li m Δx →0 Δy Δx ＝－li m Δx →0 Δx ＋4 Δx ＋2 2 ＝－1.若一物体的运动方程为s ＝⎩⎪⎨⎪⎧29＋3 t －3 ，0≤t ＜3，3t 2＋2，t ≥3，(路程单位：m ，时间单位：s)．求：(1)物体在t ＝3 s 到t ＝5 s 这段时间内的平均速度； (2)物体在t ＝1 s 时的瞬时速度．(1)因为Δs ＝3³52＋2－(3³32＋2)＝48，Δt ＝2，所以物体在t ＝3 s 到t ＝5 s 这段时间内的平均速度为Δs Δt ＝482＝24(m/s)．(2)因为Δs ＝29＋32－29－3³(1－3)2＝3(Δt )2－12Δt ，所以Δs Δt ＝3 Δt 2－12ΔtΔt＝3Δt －12，则物体在t ＝1 s 时的瞬时速度为s ′(1)＝li m Δt →0 ΔsΔt ＝li m Δt →0 (3Δt －12)＝－12(m/s)．求瞬时速度的步骤(1)求位移增量，Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)；(2)求平均速度，v －＝ΔsΔt； (3)取极限，li m Δx →0 Δs Δt ＝li m Δt →0 s t 0＋Δt －s t 0Δt ； (4)若极限存在，则t 0时刻的瞬时速度为v ＝lim Δt →0ΔsΔt.一质点按规律s (t )＝at 2＋1做直线运动(位移单位：m ，时间单位：s)，若该质点在t ＝2 s 时的瞬时速度为8 m/s ，求常数a 的值．解：因为Δs ＝s (2＋Δt )－s (2)＝a (2＋Δt )2＋1－a ²22－1＝4a Δt ＋a (Δt )2，所以ΔsΔt＝4a ＋a Δt ，故在t ＝2 s 时，瞬时速度为s ′(2)＝li m Δt →0 Δs Δt＝4a (m/s)．由题意知，4a ＝8，所以a ＝2.1.对导数的概念理解不透彻已知f (x )在x ＝x 0处的导数为4，则li m Δx →0 f x 0＋2Δx －f x 0Δx＝________.li m Δx →0f x 0＋2Δx －f x 0Δx＝li m Δx →0⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x 0＋2Δx －f x 0 2Δx ³2＝2li m Δx →0f x 0＋2Δx －f x 0 2Δx＝2f ′(x 0)＝2³4＝8. 81．本题分子中x 的增量是2Δx ，即(x 0＋2Δx )－x 0＝2Δx ，而分母为Δx ，两者不是等量的，如果忽视该点，则易得出结论为4的错误答案．2．在导数的概念中，增量的形式是多种多样的，但无论是哪种形式，分子中自变量的增量与分母中的增量必须保持一致，常见的形式还有：li m Δx →0f x 0－Δx －f x 0Δx＝－li m Δx →0f x 0－Δx －f x 0－Δx＝－f ′(x 0)．已知f ′(1)＝－2，则li m Δx →0 f 1－2Δx －f 1Δx＝________.解析：li m Δx →0f 1－2Δx －f 1Δx＝(－2)³li m Δx →0f 1－2Δx －f 1－2Δx＝(－2)³(－2)＝4. 答案：41．如果函数y ＝ax ＋b 在区间上的平均变化率为3，则a 的值为( ) A ．－3 B ．2 C ．3D ．－2解析：选C 根据平均变化率的定义，可知Δy Δx ＝ 2a ＋b － a ＋b 2－1＝a ＝3.2．若f (x )在x ＝x 0处存在导数，则li m h →0 f x 0＋h －f x 0h( )A ．与x 0，h 都有关B ．仅与x 0有关，而与h 无关C ．仅与h 有关，而与x 0无关D ．以上答案都不对解析：选B 由导数的定义知，函数在x ＝x 0处的导数只与x 0有关．3．已知函数y ＝2x 2－1的图象上一点(1,1)及其邻近一点(1＋Δx,1＋Δy )，则Δy Δx 等于________．解析：Δy Δx ＝2 1＋Δx 2－1－1Δx ＝4＋2Δx .答案：4＋2Δx4．一个物体的运动方程为s ＝1－t ＋t 2(t ≥0)，其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么该物体在3秒末的瞬时速度是________．解析：∵Δs Δt ＝s 3＋Δt －s 3 Δt ＝Δt ＋5，li m Δt →0 (Δt ＋5)＝5， ∴该物体在3秒末的瞬时速度是5米/秒．答案：5米/秒5．求y ＝x 2＋1x＋5在x ＝2处的导数．解：∵Δy ＝(2＋Δx )2＋12＋Δx ＋5－⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋12＋5＝4Δx ＋(Δx )2－Δx 2 2＋Δx ，∴Δy Δx ＝4＋Δx －14＋2Δx， ∴f ′(2)＝li m Δx →0 Δy Δx＝li m Δx →0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋Δx －14＋2Δx ＝4＋0－14＋2³0＝154.一、选择题1．在平均变化率的定义中，自变量的增量Δx 满足( ) A ．Δx ＜0 B ．Δx ＞0 C ．Δx ＝0 D ．Δx ≠0解析：选D 根据定义知Δx 可正、可负，但不能为0. 2．设f (x )＝1x，则f ′(a )等于( )A ．－1a B.2aC ．－1a2 D.1a2解析：选C ∵f a ＋Δx －f a Δx ＝1a ＋Δx －1aΔx＝－Δx a Δx a ＋Δx ＝－1a a ＋Δx，∴f ′(a )＝li m Δx →0－1a a ＋Δx ＝－1a2.3．函数y ＝x 2在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率为k 1，在x 0－Δx 到x 0之间的平均变化率为k 2，则k 1与k 2的大小关系为( )A ．k 1＞k 2B ．k 1＜k 2C ．k 1＝k 2D ．不确定解析：选D k 1＝f x 0＋Δx －f x 0 Δx ＝ x 0＋Δx 2－x 20Δx＝2x 0＋Δx ；k 2＝f x 0 －f x 0－Δx Δx ＝x 20－ x 0－Δx 2Δx＝2x 0－Δx .因为Δx 可正也可负，所以k 1与k 2的大小关系不确定．4．一质点运动的方程为s ＝5－3t 2，若该质点在时间段内相应的平均速度为－3Δt －6，则该质点在t ＝1时的瞬时速度是( )A ．－3B ．3C ．6D ．－6解析：选D 当Δt 趋于0时，式子－3Δt －6趋于－6. 5．设函数在x ＝1处存在导数，则li m Δx →0 f 1＋Δx －f 13Δx等于( )A ．f ′(1) B．3f ′(1) C.13f ′(1) D．f ′(3) 解析：选C li m Δx →0f 1＋Δx －f 13Δx＝13li m Δx →0 f 1＋Δx －f 1 Δx ＝13f ′(1)．二、填空题6．在雨季潮汛期间，某水文观测员观察千岛湖水位的变化，在24 h 内发现水位从102.7 m 上涨到105.1 m ，则水位涨幅的平均变化率是________m/h.解析：水位涨幅的平均变化率为105.1－102.724＝0.1(m/h)．答案：0.17．已知曲线y ＝1x －1上两点A ⎝⎛⎭⎪⎫2，－12，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋Δx ，－12＋Δy ，当Δx ＝1时，割线AB 的斜率为________．解析：∵Δx ＝1,2＋Δx ＝3，∴Δy ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝13－12＝－16， ∴k AB ＝Δy Δx ＝－16.答案：－168．将半径为R 的球加热，若半径从R ＝1到R ＝m 时球的体积膨胀率(体积的变化量与半径的变化量之比)为28π3，则m 的值为________．解析：∵ΔV ＝4π3m 3－4π3³13＝4π3(m 3－1)，∴ΔV ΔR ＝4π3 m 3－1m －1＝28π3，即m 2＋m ＋1＝7，解得m ＝2或m ＝－3(舍去)．答案：2 三、解答题9．已知函数f (x )＝13－8x ＋2x 2，且f ′(x 0)＝4，求x 0的值．解：∵f ′(x 0)＝li m Δx →0ΔyΔx＝li m Δx →0 [13－8 x 0＋Δx ＋2 x 0＋Δx 2]－ 13－8x 0＋2x 2Δx ＝li m Δx →0 －8Δx ＋22x 0Δx ＋2 Δx 2Δx ＝li m Δx →0 (－8＋22x 0＋2Δx ) ＝－8＋22x 0， ∴－8＋22x 0＝4， ∴x 0＝3 2.10．一做直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是s ＝3t －t 2(位移：m ；时间：s)． (1)求此物体的初速度．(2)求此物体在t ＝2时的瞬时速度． (3)求t ＝0到t ＝2时的平均速度．解：(1)初速度v 0＝li m Δt →0s Δt －s 0Δt＝li m Δt →0 3Δt － Δt2Δt ＝li m Δt →0 (3－Δt )＝3(m/s)，即物体的初速度为3 m/s. (2)v ＝li m Δt →0s 2＋Δt －s 2Δt＝li m Δt →0 3 2＋Δt － 2＋Δt 2－ 3³2－4Δt＝li mΔt→0－ Δt 2－ΔtΔt＝li mΔt→0(－Δt－1)＝－1(m/s)，即此物体在t＝2时的瞬时速度为1 m/s，方向与初速度相反．(3)v＝s 2 －s 02－0＝6－4－02＝1(m/s)，即t＝0到t＝2时的平均速度为1 m/s.1．1.3 导数的几何意义如下图，P n n n 00)，直线PT 为过点P 的切线．问题1：割线PP n 的斜率k n 是什么？提示：割线PP n 的斜率k n ＝Δy n Δx n ＝f x n －f x 0x n －x 0.问题2：当点P n 趋近于点P 时，割线PP n 与过点P 的切线PT 有什么关系？提示：当点P n 趋近于点P 时，割线PP n 趋近于过点P 的切线PT . 问题3：当P n 无限趋近于点P 时，k n 与切线PT 的斜率k 有什么关系？提示：k n 无限趋近于切线PT 的斜率k . 问题4：如何求得过点P 的切线PT 的斜率？提示：函数f (x )在x ＝x 0处的导数就是切线PT 的斜率k ，即k ＝li m Δx →0f x 0＋Δx －f x 0Δx＝f ′(x 0)．导数的几何意义函数f (x )在x ＝x 0处的导数就是切线PT 的斜率k ，即k ＝f ′(x 0)＝li m Δx →0f x 0＋Δx －f x 0Δx.导数与函数图象升降的关系若函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数存在且f ′(x 0)＞0(即切线的斜率大于零)，则函数y ＝f (x )在x ＝x 0附近的图象是上升的；若f ′(x 0)＜0(即切线的斜率小于零)，则函数y ＝f (x )在x ＝x 0附近的图象是下降的．导数绝对值的大小反映了曲线上升和下降的快慢.对于函数f(x)＝－x2＋2. 问题1：如何求f′(x0)?提示：f′(x0)＝li mΔx→0－ x0＋Δx 2＋2－－x20＋2Δx＝li mΔx→0(－2x0－Δx)＝－2x0.问题2：若x0是一变量x，f′(x)是常量吗？提示：f′(x)＝－2x，说明f′(x)不是常量，而是关于x的函数．导函数的定义对于函数y＝f(x)，当x＝x0时，f′(x0) 是一个确定的数．当x变化时，f′(x) 便是x的一个函数，我们称它为f(x)的导函数(简称导数)．y＝f(x)的导函数有时也记作y′，即f′(x)＝y′＝li mΔx→0f x＋Δx －f xΔx.f′(x0)与f′(x)的异同(1)y＝－3x2＋2x－1；(2)y＝3x2＋a(a为常数)．(1)∵Δy＝－3(x＋Δx)2＋2(x＋Δx)－1－(－3x2＋2x－1)＝(2－6x)Δx－3(Δx)2，∴ΔyΔx＝2－6x Δx－3 Δx 2Δx＝2－6x－3Δx，∴y ′＝li m Δx →0 ΔyΔx ＝li m Δx →0 (2－6x －3Δx )＝2－6x . (2)∵Δy ＝3 x ＋Δx 2＋a －3x2－a＝－6x ²Δx －3 Δx2x 2 x ＋Δx 2，∴Δy Δx ＝－6x ²Δx －3 Δx 2x 2 x ＋Δx 2Δx ＝－6x －3Δx x 2 x ＋Δx 2， ∴li m Δx →0 Δy Δx ＝li m Δx →0 －6x －3Δx x 2 x ＋Δx 2＝－6x 3，即y ′＝－6x3.求函数y ＝f (x )的导数的步骤(1)求Δy ＝f (x ＋Δx )－f (x )； (2)求Δy Δx ＝f x ＋Δx －f x Δx ；(3)计算f ′(x )＝li m Δx →0 Δy Δx .利用导数的定义求函数f (x )＝x 3＋x －2的导数f ′(x )，并利用f ′(x )求f ′(－1)，f ′(1)．解：利用导数的定义，得f ′(x )＝li m Δx →0f x ＋Δx －f xΔx＝li m Δx →0 x ＋Δx 3＋ x ＋Δx －2－ x 3＋x －2Δx ＝li m Δx →0＝3x 2＋1， ∴f ′(x )＝3x 2＋1，则f ′(－1)＝4，f ′(1)＝4.已知曲线y ＝3x 3及其上一点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3.(1)求点P 处切线的斜率； (2)写出点P 处的切线方程． (1)∵y ＝13x 3，∴y ′＝li m Δx →0 ΔyΔx ＝li m Δx →0 13 x ＋Δx 3－13x 3Δx ＝13li m Δx →0 3x 2Δx ＋3x Δx 2＋ Δx 3Δx ＝13li m Δx →0 ＝x 2，∴y ′|x ＝2＝22＝4， ∴点P 处切线的斜率为4.(2)由(1)知，点P 处切线斜率为4，且点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，83，∴在点P 处的切线方程是y －83＝4(x －2)，即12x －3y －16＝0.利用导数的几何意义求曲线的切线方程的步骤(1)求出函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)； (2)写出切线方程，即y －f (x 0)＝f ′(x 0)²(x －x 0)．特别注意：若在点(x 0，y 0)处切线的倾斜角为π2，此时所求的切线平行于y 轴，所以直接得切线方程为x ＝x 0.求曲线y ＝1x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2处的切线的斜率．解：因为y ′＝li m Δx →0 ΔyΔx ＝li m Δx →0 1x ＋Δx －1x Δx ＝li m Δx →0－1x 2＋x ²Δx ＝－1x2，所以曲线在点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2的切线的斜率为k ＝y ′|x ＝12＝－4.若曲线y ＝x 2＋6P 的坐标及切线方程．设切点P 的坐标为(x 0，y 0)，因为f ′(x 0)＝li m Δx →0f x 0＋Δx －f x 0 Δx＝li m Δx →0 x 0＋Δx 2＋6－ x 20＋6Δx ＝li m Δx →0(2x 0＋Δx )＝2x 0，所以2x 0²2＝－1，解得x 0＝－14，所以y 0＝x 20＋6＝9716，故点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，9716，切线方程为y －9716＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋14，即8x ＋16y －95＝0.根据切线斜率求切点坐标的步骤(1)设切点坐标(x 0，y 0)； (2)求导函数f ′(x )； (3)求切线的斜率f ′(x 0)；(4)由斜率间的关系列出关于x 0的方程，解方程求x 0；(5)由点(x 0，y 0)在曲线f (x )上，将(x 0，y 0)代入求y 0得切点坐标．曲线y ＝x 3－3x 2＋1在点P 处的切线平行于直线y ＝9x －1，则切线方程为( ) A ．y ＝9x B ．y ＝9x －26 C ．y ＝9x ＋26D ．y ＝9x ＋6或y ＝9x －26 解析：选DΔy Δx ＝f x 0＋Δx －f x 0 Δx＝ x 0＋Δx 3－3 x 0＋Δx 2＋1－x 30＋3x 20－1Δx＝(Δx )2＋3x 0Δx －3Δx ＋3x 20－6x 0. 所以f ′(x 0)＝li m Δx →0＝3x 20－6x 0，于是3x 20－6x 0＝9，解得x 0＝3或x 0＝－1，因此，点P 的坐标为(3,1)或(－1，－3)．又切线斜率为9，所以曲线在点P 处的切线方程为y ＝9(x －3)＋1或y ＝9(x ＋1)－3，即y ＝9x －26或y ＝9x ＋6.2.搞错导数的几何意义致误若函数y＝f(x)的导函数在区间上是增函数，则函数y＝f(x)在区间上的图象可能是下图中的( )由导数的几何意义知导函数递增说明函数切线的斜率随x增大而变大，因此应选A.应会灵活运用导数的几何意义辨析曲线的凹凸性．A1．本题易搞错导数的几何意义，混淆导函数的单调性与函数图象的凹凸变化间的关系而误选B或D.2．导数的几何意义就是切线的斜率．借助图象，用斜率的正负及大小来说明曲线的变化情况既科学又直观，注意归纳总结．已知函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数的图象如下图，那么y＝f(x)，y＝g(x)的图象可能是( )解析：选D 从导函数的图象可知两个函数在x0处斜率相同，可以排除B、C.再者导函数的函数值反映的是原函数的斜率大小，可明显看出y＝f(x)的导函数的值在减小，所以原函数的斜率慢慢变小，排除A.1．下列说法正确的是( )A ．若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处没有切线B ．若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处有切线，则f ′(x 0)必存在C ．若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线斜率不存在D ．若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处没有切线，则f ′(x 0)有可能存在解析：选C 根据导数的几何意义及切线的定义知曲线在(x 0，y 0)处有导数，则切线一定存在，但反之不一定成立，故A 、B 、D 错误．2．曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为x ＋2y －3＝0，那么( ) A ．f ′(x 0)＞0 B ．f ′(x 0)＜0 C ．f ′(x 0)＝0D ．f ′(x 0)不存在解析：选B 根据导数的几何意义，f (x )在x 0处的导数即f (x )在x 0处切线的斜率，故f ′(x 0)＝－12＜0.3．已知函数y ＝f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝12x ＋2，则f (1)＋f ′(1)＝________.解析：由导数的几何意义得f ′(1)＝12，由点M 在切线上得f (1)＝12³1＋2＝52，所以f (1)＋f ′(1)＝3.答案：34．曲线y ＝13x 3－2在点⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－73处切线的倾斜角为________．解析：因为li m Δx →0f x ＋Δx －f xΔx＝li m Δx →0 13 x ＋Δx 3－2－13x 3＋2Δx ＝x 2，所以y ′＝x 2，y ′|x ＝－1＝1，因此倾斜角为45°. 答案：45°5．已知抛物线y ＝x 2＋4与直线y ＝x ＋10.求： (1)它们的交点；(2)抛物线在交点处的切线方程．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2＋4，y ＝x ＋10得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝8，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝13.∴抛物线与直线的交点坐标为(－2,8)或(3,13)． (2)∵y ＝x 2＋4，∴y ′＝li m Δx →0 x ＋Δx 2＋4－ x 2＋4Δx ＝li m Δx →0 Δx 2＋2x ²Δx Δx ＝li m Δx →0 (Δx ＋2x ) ＝2x ，∴y ′|x ＝－2＝－4，y ′|x ＝3＝6，即在点(－2,8)处的切线斜率为－4，在点(3,13)处的切线斜率为6.∴在点(－2,8)处的切线方程为4x ＋y ＝0；在点(3,13)处的切线方程为6x －y －5＝0.一、选择题1．若函数f (x )＝－3x －1，则f ′(x )等于( ) A ．0 B ．－3x C ．3 D ．－3解析：选D 法一：f ′(x )＝li m Δx →0f x ＋Δx －f xΔx＝li m Δx →0 －3 x ＋Δx －1＋3x ＋1Δx＝li m Δx →0 (－3)＝－3. 法二：由导数的几何意义可知，f ′(x )为直线y ＝－3x －1的斜率，∴f ′(x )＝－3. 2．设f ′(x 0)＝0，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线( ) A ．不存在B ．与x 轴平行或重合C ．与x 轴垂直D ．与x 轴相交但不垂直解析：选B ∵f ′(x 0)＝0，∴曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率为0. 3．在曲线y ＝x 2上切线倾斜角为π4的点是( )A ．(0,0)B ．(2,4)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，116D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14 解析：选D ∵k ＝li m Δx →0 Δy Δx ＝li m Δx →0 x ＋Δx 2－x 2Δx ＝li m Δx →0(2x ＋Δx )＝2x ， ∴2x ＝tan π4＝1，∴x ＝12，从而y ＝14.4．已知曲线y ＝－12x 2－2上一点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－52，则在点P 处的切线的倾斜角为( )A ．30° B．45° C ．135° D．165°解析：选C ∵点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－52在曲线y ＝f (x )＝－12x 2－2上，∴在点P 处的切线斜率为k＝f ′(1)＝－1，∴在点P 处的切线的倾斜角为135°.5．已知y ＝f (x )的图象如下图，则f ′(x A )与f ′(x B )的大小关系是( )A ．f ′(x A )>f ′(xB ) B ．f ′(x A )<f ′(x B )C ．f ′(x A )＝f ′(x B )D ．不能确定解析：选B 由题图可知，曲线在点A 处的切线的斜率比曲线在点B 处的切线的斜率小，结合导数的几何意义知f ′(x A )<f ′(x B )．二、填空题6．y ＝－1x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2处的切线方程是________．解析：先求y ＝－1x的导数：Δy ＝－1x ＋Δx ＋1x ＝Δx x x ＋Δx ，Δy Δx ＝1x x ＋Δx ，lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0 1x x ＋Δx ＝1x 2，即y ′＝1x 2，所以y ＝－1x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2处的切线斜率为f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝4，所以切线方程是y ＋2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，即y ＝4x －4.答案：y ＝4x －47．对于函数f (x )＝ax ＋4，若f ′(1)＝2，则a ＝________. 解析：因为f ′(x 0)＝li m Δx →0a x 0＋Δx ＋4－ax 0－4Δx＝a ，f ′(1)＝2，所以a ＝2.答案：28．已知曲线y ＝2x 2＋4x 在点P 处的切线斜率为16，则点P 的坐标为________．解析：设P 点坐标为(x 0,2x 20＋4x 0)，则f ′(x 0)＝li m Δx →0f x 0＋Δx －f x 0 Δx＝li m Δx →02 Δx 2＋4x 0Δx ＋4Δx Δx ＝4x 0＋4. 又∵f ′(x 0)＝16，∴4x 0＋4＝16，∴x 0＝3，∴P 点坐标为(3,30)．答案：(3,30) 三、解答题9．已知f (x )＝x 2，g (x )＝x 3，求满足f ′(x )＋2＝g ′(x )的x 的值．解：f ′(x )＝li m Δx →0 x ＋Δx 2－x2Δx ＝2x ， g ′(x )＝li m Δx →0 x ＋Δx 3－x 3Δx ＝3x 2. 因为f ′(x )＋2＝g ′(x )，所以2x ＋2＝3x 2，解得x ＝1－73或x ＝1＋73.10．已知曲线y ＝2x 2＋a 在点P 处的切线方程为8x －y －15＝0，求切点P 的坐标和实数a 的值．解：设切点P 的坐标为(x 0，y 0)，切线斜率为k . 由y ′＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 [2 x ＋Δx 2＋a ]－ 2x 2＋aΔx ＝lim Δx →0 (4x ＋2Δx )＝4x ，得k ＝f ′(x 0)＝4x 0. 根据题意得4x 0＝8，x 0＝2. 分别代入y ＝2x 2＋a 和y ＝8x －15，解得y 0＝1，a ＝－7，故所求切点P 的坐标为(2,1)，a ＝－7.第一课时几个常用函数的导数、基本初等函数的导数公式及导数的运算法则已知函数：(1)y ＝f (x )＝c ；(2)y ＝f (x )＝x ；(3)y ＝f (x )＝x 2；(4)y ＝f (x )＝1x；(5)y ＝f (x )＝x .问题1：函数y ＝f (x )＝c 的导数是什么？提示：∵Δy Δx ＝f x ＋Δx －f x Δx ＝c －cΔx ＝0，∴y ′＝li m Δx →0 ΔyΔx＝0. 问题2：函数(2)(3)(4)(5)的导数分别是什么？提示：由导数的定义得(2)(x )′＝1，(3)(x 2)′＝2x ，(4)⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′＝－1x 2，(5)(x )′＝12x .问题3：若(1)(2)中的函数表示路程关于时间的函数，则其导数的意义是什么？提示：y ′＝0说明某物体的瞬时速度始终为0，即一直处于静止状态；y ′＝1可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动．问题4：函数(2)(3)(5)均可表示为y ＝x α(α∈Q *)的形式，其导数有何规律？提示：∵(2)(x )′＝1²x1－1，(3)(x 2)′＝2²x2－1，(5)(x )′＝(x 12)′＝12x 112－＝12x ，∴(x α)′＝αx α－1.基本初等函数的导数公式对公式(log a x )′＝1x ln a与(a x )′＝a xln a 的理解和记忆 (1)区分公式的结构特征，从纵的方面“(ln x )′与(log a x )′”和“(e x)′与(a x)′”的区分，又要从横的方面“(log a x )′与(a x)′”的区分找出差异，记忆公式．(2)对公式(log a x )′，用(ln x )′和复合函数求导法则证明来帮助记忆，即求证对数函数导数公式(log a x )′＝1xlog a e.证明如下： (log a x )′＝⎝⎛⎭⎪⎫ln x ln a ′＝1ln a ²1x ＝1x log ae.这样就能知道log a e 的来历，对于记忆和区分很有必要.已知f (x )＝x ，g (x )＝1x.问题1：f (x )，g (x )的导数分别是什么？提示：f ′(x )＝1，g ′(x )＝－1x2.问题2：试求Q (x )＝x ＋1x ，H (x )＝x －1x的导数．提示：∵Δy ＝(x ＋Δx )＋1x ＋Δx －⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝Δx ＋－Δx x x ＋Δx， ∴Δy Δx ＝1－1x x ＋Δx， ∴Q ′(x )＝li m Δx →0 Δy Δx ＝li m Δx →0⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1x x ＋Δx ＝1－1x 2. 同理H ′(x )＝1＋1x2.问题3：Q (x )，H (x )的导数与f (x )，g (x )的导数有何关系？提示：Q (x )的导数等于f (x )，g (x )的导数的和，H (x )的导数等于f (x )，g (x )的导数的差．问题4：′＝f ′(x )g ′(x )对吗？提示：不对，因为f (x )g (x )＝1，′＝0，而f ′(x )g ′(x )＝1³⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x＝－1x2.导数运算法则1．′＝f ′(x )±g ′(x )； 2．′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； 3.⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x g x ′＝f ′ x g x －f x g ′ x [g x ]2(g (x )≠0)．导数的运算法则的认识1．在两个函数积与商的导数运算中，不能认为′＝f ′(x )g ′(x )以及⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x g x ′＝f ′ xg ′ x.2．注意区分两个函数积与商的求导公式中符号的异同，积的导数公式中是“＋”，而商的导数公式中分子上是“－”．3．(1)′＝f 1′(x )＋f 2′(x )＋…＋f n ′(x )；(2)′＝cf ′(x )，也就是说，常数与函数的积的导数等于常数乘函数的导数．(1)y ＝10x；(2)y ＝lg x ；(3)y ＝log 12x ；(4)y ＝4x 3；(5)y ＝⎝⎛⎭⎪⎫sin x 2＋cos x 22－1. (1)y ′＝(10x)′＝10xln 10； (2)y ′＝(lg x )′＝1x ln 10； (3)y ′＝(log 12x )′＝1x ln12＝－1x ln 2；(4)y ′＝(4x 3)′＝(x 34)′＝34x －14＝344x；(5)∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x2＋cos x 22－1＝sin 2x 2＋2sin x 2cos x2＋cos 2x2－1＝sin x ，∴y ′＝(sin x )′＝cos x .应用求导公式应注意的问题求函数的导数，一般不再用定义，而主要应用导数公式，这就要求必须熟记常见的求导公式，应用公式时一般遵循“先化简，再求导”的基本原则．在实施化简时，首先要注意化简的等价性，避免不必要的运算失误．求下列函数的导数：(1)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x ；(2)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫110x；(3)y ＝lg 5；(4)y ＝3lg 3x ； (5)y ＝2cos 2x2－1.解：(1)y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x ln 1e＝－1e x ＝－e －x；(2)y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫110x ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫110x ln 110＝－ln 1010x＝－10－xln 10；(3)∵y ＝lg 5是常数函数， ∴y ′＝(lg 5)′＝0； (4)∵y ＝3lg 3x ＝lg x ， ∴y ′＝(lg x )′＝1x ln 10； (5)∵y ＝2cos 2x2－1＝cos x ，∴y ′＝(cos x )′＝－sin x .(1)y ＝x 3²e x；(2)y ＝x －sin x 2cos x2；(3)y ＝x 2＋log 3x ；(4)y ＝e x＋1e x －1.(1)y ′＝(x 3)′e x ＋x 3(e x )′＝3x 2e x ＋x 3e x ＝x 2(3＋x )e x. (2)∵y ＝x －12sin x ，∴y ′＝x ′－12(sin x )′＝1－12cos x .(3)y ′＝(x 2＋log 3x )′ ＝(x 2)′＋(log 3x )′＝2x ＋1x ln 3. (4)y ′＝ e x＋1 ′ e x－1 － e x＋1 e x－1 ′e －1 ＝e xe x－1 － e x＋1 e xe x －1 2＝－2e xe x －1 2.利用运算法则求导数的方法对一个函数求导时，要紧扣导数运算法则，联系基本初等函数的导数公式．在不宜直接应用导数公式时，应先对函数进行化简，然后求导．这样可以减少运算量，优化解题过程．求下列函数的导数：(1)y ＝cos xx；(2)y ＝x sin x ＋x ；(3)y ＝1＋x 1－x ＋1－x 1＋x ；(4)y ＝lg x －1x 2.解：(1)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x x ′＝ cos x ′²x －cos x ² x ′x 2＝－x ²sin x －cos x x 2＝－x sin x ＋cos xx2. (2)y ′＝(x sin x )′＋(x )′＝sin x ＋x cos x ＋12x.(3)∵y ＝ 1＋x 21－x ＋ 1－x 21－x ＝2＋2x 1－x ＝41－x －2，∴y ′＝⎝⎛⎭⎪⎫41－x －2′＝－4 1－x ′ 1－x ＝4 1－x .(4)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg x －1x 2′＝(lg x )′－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x2′＝1x ln 10＋2x3.(1)(．(2)在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C：y＝x3－10x＋13上，且在第一象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为________．(1)∵y′＝－5e x，∴所求曲线的切线斜率k＝y′|x＝0＝－5e0＝－5，∴切线方程为y－(－2)＝－5(x－0)，即5x＋y＋2＝0.(2)设点P的坐标为(x0，y0)，因为y′＝3x2－10，所以3x20－10＝2，解得x0＝±2.又点P在第一象限内，所以x0＝2.又点P在曲线C上，所以y0＝23－10³2＋13＝1，所以点P 的坐标为(2,1)．答案：(1)5x＋y＋2＝0 (2)(2,1)导数几何意义的应用根据导数的几何意义，可直接得到曲线上一点处的切线的斜率．需注意直线与曲线公共点的个数不是切线的本质特征．当问题中涉及相切但未出现切点坐标时，要设出切点坐标，然后根据已知条件求出切点坐标．若曲线f(x)＝a cos x与曲线g(x)＝x2＋bx＋1在交点(0，m)处有公切线，则a＋b＝________.解析：f′(x)＝－a sin x，g′(x)＝2x＋b，∵曲线f(x)＝a cos x与曲线g(x)＝x2＋bx＋1在交点(0，m)处有公切线，∴f(0)＝a＝g(0)＝1，且f′(0)＝0＝g′(0)＝b，∴a＋b＝1.答案：11.切线方程的求法已知a∈R，函数f(x)＝x3－3x2＋3ax－3a＋3，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程．由已知得f′(x)＝3x2－6x＋3a，故f′(1)＝3－6＋3a＝3a－3，且f(1)＝1－3＋3a－3a＋3＝1.故所求切线方程为y －1＝(3a －3)(x －1)，即3(a －1)x －y ＋4－3a ＝0.1．利用导数研究切线问题是一个很重要的知识点，它突出表现了导数几何意义的价值，也是高考的常考内容．利用导数求解切线方程常常要先求出原函数的导函数，再利用导数的几何意义求出切点或斜率，最后借助直线方程的点斜式写出所求的切线方程．2．本题比较简单，属于“已知切点求切线方程”问题，只要求出导数，再利用点斜式方程求解即可．另外，高考对切线的考查还有以下几种方式．：已知斜率，求切线方程．此类问题可以设出切点，利用导数与已知直线的斜率关系来确定切点，进而求出切线方程．例：求与直线x ＋4y ＋1＝0垂直的曲线f (x )＝2x 2－1的切线方程．解：因为所求切线与直线x ＋4y ＋1＝0垂直，所以所求切线的斜率k ＝4. 设切点坐标为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝4x 0＝4，即x 0＝1，所以切点坐标为(1,1)，故所求切线方程为y －1＝4(x －1)，即4x －y －3＝0.：已知过曲线上一点，求切线方程．过曲线上一点的切线，该点不一定是切点，故应先设出切点，再利用该点在切线上来确定切点，进而求出切线方程．例：求过曲线f (x )＝x 3－2x 上的点(1，－1)的切线方程．解：设切点坐标为(x 0，y 0) 因为f ′(x )＝3x 2－2，所以f ′(x 0)＝3x 20－2，且y 0＝f (x 0)＝x 30－2x 0，所以切线方程为y －y 0＝(3x 20－2)(x －x 0)，即y －(x 30－2x 0)＝(3x 20－2)(x －x 0)．因为切线过点(1，－1)，故－1－(x 30－2x 0)＝(3x 20－2)²(1－x 0)，即2x 30－3x 20＋1＝0，解得x 0＝1或x 0＝－12，故所求切线方程为x －y －2＝0或5x ＋4y －1＝0. ：已知过曲线外一点，求切线方程．这一题型要设出切点，再利用斜率公式及导数的几何意义列方程求出切点，从而求出切线方程．例：已知函数f (x )＝x 3－3x ，过点A (0,16)作曲线y ＝f (x )的切线，求切线方程．解：由题意知点A (0,16)不在曲线f (x )＝x 3－3x 上，设切点坐标为M (x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝3x 20－3，故切线方程为y －y 0＝3(x 20－1)(x －x 0)．又因为点A (0,16)在切线上，所以16－(x 30－3x 0)＝3(x 20－1)(0－x 0)，化简得x 30＝－8，解得x 0＝－2，即切点为M (－2，－2)，故切线方程为9x －y ＋16＝0.1．给出下列结论：①(cos x )′＝sin x ；②⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3′＝cos π3；③若y ＝1x 2，则y ′＝－1x ；④⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x ′＝12x x.其中正确的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选B (cos x )′＝－sin x ，所以①错误； sin π3＝32，而⎝ ⎛⎭⎪⎫32′＝0，所以②错误；⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2′＝0－ x 2′x 4＝－2x x 4＝－2x －3，所以③错误； ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x ′＝－0－ x 12′x ＝12x 12－x ＝12x 32－＝12x x，所以④正确． 2．函数y ＝sin x ²cos x 的导数是( ) A ．y ′＝cos 2x ＋sin 2x B ．y ′＝cos 2x －sin 2x C ．y ′＝2cos x ²sin x D ．y ′＝cos x ²sin x解析：选B y ′＝(sin x ²cos x )′＝cos x ²cos x ＋sin x ²(－sin x )＝cos 2x －sin 2x . 3．若f (x )＝(2x ＋a )2，且f ′(2)＝20，则a ＝________.解析：f (x )＝4x 2＋4ax ＋a 2，∴f ′(x )＝8x ＋4a ， ∴f ′(2)＝16＋4a ＝20，∴a ＝1. 答案：14．(全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝ax 3＋x ＋1的图象在点(1，f (1))处的切线过点(2,7)，则a ＝________.解析：∵f ′(x )＝3ax 2＋1，∴f ′(1)＝3a ＋1. 又f (1)＝a ＋2，∴切线方程为y －(a ＋2)＝(3a ＋1)(x －1)． ∵切线过点(2,7)，∴7－(a ＋2)＝3a ＋1，解得a ＝1. 答案：15．求下列函数的导数：(1)y ＝x ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ＋1x 3；(2)y ＝1＋cos xx2； (3)y ＝(4x －x )(e x＋1)．解：(1)∵y ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ＋1x 3＝x 3＋1＋1x，∴y ′＝3x 2－2x3.(2)y ′＝ 1＋cos x ′²x 2－ 1＋cos x x 2′x4＝－x sin x －2cos x －2x3. (3)法一：∵y ＝(4x －x )(e x ＋1)＝4x e x ＋4x －x e x－x ， ∴y ′＝(4x e x ＋4x －x e x－x )′ ＝(4x )′e x ＋4x (e x )′＋(4x)′－－x ′ ＝e x 4x ln 4＋4x e x ＋4x ln 4－e x －x e x－1 ＝e x (4x ln 4＋4x －1－x )＋4xln 4－1.法二：y ′＝(4x －x )′(e x ＋1)＋(4x －x )(e x＋1)′ ＝(4x ln 4－1)(e x ＋1)＋(4x －x )e x＝e x (4x ln 4＋4x －1－x )＋4xln 4－1.一、选择题1．函数y ＝x 3cos x 的导数是( ) A ．y ′＝3x 2cos x ＋x 3sin xB ．y ′＝3x 2cos x －x 3sin x C ．y ′＝3x 2cos x D ．y ′＝－x 3sin x解析：选 B y ′＝(x 3cos x )′＝(x 3)′cos x ＋x 3(cos x )′＝3x 2cos x ＋x 3(－sin x )＝3x 2cos x －x 3sin x ，故选B.2．对任意的x ，有f ′(x )＝4x 3，f (1)＝－1，则此函数解析式为( ) A ．f (x )＝x 3B ．f (x )＝x 4－2 C ．f (x )＝x 3＋1 D ．f (x )＝x 4－1解析：选B 由f ′(x )＝4x 3知，f (x )中含有x 4项，然后将x ＝1代入选项中验证可得． 3．已知曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为( )A ．3B ．2C ．1 D.12解析：选A 因为y ′＝x 2－3x ，所以根据导数的几何意义可知x 2－3x ＝12，解得x ＝3(x ＝－2不合题意，舍去)．4．曲线y ＝sin x sin x ＋cos x －12在点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0处的切线的斜率为( )A ．－12 B.12C ．－22 D.22解析：选B y ′＝cos x sin x ＋cos x －sin x cos x －sin xsin x ＋cos x 2＝11＋sin 2x ，把x ＝π4代入，得导数值为12，即为所求切线的斜率．5．已知直线y ＝3x ＋1与曲线y ＝ax 3＋3相切，则a 的值为( ) A ．1 B ．±1 C ．－1 D ．－2解析：选A 设切点为(x 0，y 0)，则y 0＝3x 0＋1，且y 0＝ax 30＋3，所以3x 0＋1＝ax 30＋3…①.对y ＝ax 3＋3求导，得y ′＝3ax 2，则3ax 20＝3，ax 20＝1…②，由①②可得x 0＝1，所以a ＝1.二、填空题6．(天津高考)已知函数f (x )＝ax ln x ，x ∈(0，＋∞)，其中a 为实数，f ′(x )为f (x )的导函数．若f ′(1)＝3，则a 的值为________．解析：f ′(x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x ＋x ²1x ＝a (1＋ln x )．由于f ′(1)＝a (1＋ln 1)＝a ，又f ′(1)＝3，所以a ＝3. 答案：37．已知函数f (x )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4cos x ＋sin x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝________. 解析：∵f ′(x )＝－f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4sin x ＋cos x ， ∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝－f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4³22＋22 ，得f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝ 2－1，∴f (x )＝(2－1)cos x ＋sin x ，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝1. 答案：18．若曲线f (x )＝ln x ＋ax 存在与直线2x －y ＝0平行的切线，则实数a 的取值范围是________．解析：f ′(x )＝1x＋a ，∵曲线f (x )＝ln x ＋ax 存在与直线2x －y ＝0平行的切线，∴1x ＋a ＝2有解，即1x＝2－a 有解．又∵x >0，∴2－a >0，∴a <2. 答案：(－∞，2) 三、解答题9．求下列函数的导数： (1)y ＝3x 2＋x sin x ； (2)y ＝(x 2＋3)(e x＋ln x )； (3)y ＝x ln x1＋x. 解：(1)y ′＝(3x 2)′＋(x sin x )′ ＝6x ＋sin x ＋x (sin x )′ ＝6x ＋sin x ＋x cos x .(2)y ′＝(x 2＋3)′(e x ＋ln x )＋(x 2＋3)(e x＋ln x )′＝2x (e x ＋ln x )＋(x 2＋3)⎝⎛⎭⎪⎫e x ＋1x＝e x (x 2＋2x ＋3)＋2x ln x ＋x ＋3x. (3)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ln x 1＋x ′＝ x ln x ′ 1＋x －x ln x 1＋x ′ 1＋x 2＝ln x ＋1＋x1＋x2.10．设f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1的导数f ′(x )满足f ′(1)＝2a ，f ′(2)＝－b ，其中常数a ，b ∈R.求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程．解：因为f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1，所以f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b .令x ＝1，得f ′(1)＝3＋2a ＋b .又因为f ′(1)＝2a ，所以3＋2a ＋b ＝2a ，解得b ＝－3.令x ＝2，得f ′(2)＝12＋4a ＋b .又因为f ′(2)＝－b ，所以12＋4a ＋b ＝－b ，解得a ＝－32，则f (x )＝x 3－32x 2－3x ＋1，从而f (1)＝－52. 又因为f ′(1)＝2³⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝－3，所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝－3(x －1)，即6x ＋2y －1＝0.第二课时复合函数求导及应用已知y ＝(3x ＋2)2，y ＝sin ⎝ ⎭⎪⎫2x ＋6.问题1：这两个函数是复合函数吗？提示：是复合函数．问题2：试说明y ＝(3x ＋2)2是如何复合的．提示：令u ＝g (x )＝3x ＋2，y ＝f (u )＝u 2，则y ＝f (u )＝f (g (x ))＝(3x ＋2)2.问题3：试求y ＝(3x ＋2)2，f (u )＝u 2，g (x )＝3x ＋2的导数．提示：y ′＝(9x 2＋12x ＋4)′＝18x ＋12，f ′(u )＝2u ，g ′(x )＝3. 问题4：观察问题3中的导数有何关系．提示：y ′＝′＝f ′(u )²g ′(x )．1．复合函数的概念对于两个函数y ＝f (u )和u ＝g (x )，如果通过变量u ，y 可以表示成 x 的函数，那么称这个函数为函数y ＝f (u )和u ＝g (x )的复合函数，记作y ＝f (g (x ))．2．复合函数的求导法则复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′²u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．对复合函数概念的理解(1)在复合函数中，内层函数的值域必须是外层函数定义域的子集．(2)对于复合函数，中间变量应该选择基本初等函数．判断一个函数是基本初等函数的标准是：运用求导公式可直接求导．(1)y ＝1－2x 2；(2)y ＝esin x；(3)y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3；(4)y ＝5log 2(2x ＋1)．(1)设y ＝u 12，u ＝1－2x 2，则y ′＝(u 12)′(1－2x 2)′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12u 12－²(－4x )＝12(1－2x 2) 12－ (－4x )＝－2x 1－2x2. (2)设y ＝e u，u ＝sin x ，则y x ′＝y u ′²u x ′＝e u²cos x ＝e sin xcos x .(3)设y ＝sin u ，u ＝2x ＋π3，则y x ′＝y u ′²u x ′＝cos u ²2＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. (4)设y ＝5log 2u ，u ＝2x ＋1，则y ′＝5(log 2u )u ′(2x ＋1)x ′＝10u ln 2＝10 2x ＋1 ln 2.复合函数的求导步骤求下列函数的导数： (1)y ＝(2x －1)4； (2)y ＝102x ＋3；(3)y ＝sin 4x ＋cos 4x .解：(1)令u ＝2x －1，则y ＝u 4，∴y ′x ＝y ′u ²u ′x ＝4u 3²(2x －1)′＝4u 3²2 ＝8(2x －1)3.(2)令u ＝2x ＋3，则y ＝10u，∴y ′x ＝y ′u ²u ′x ＝10u²ln 10²(2x ＋3)′ ＝2ln 10²102x ＋3.(3)y ＝sin 4x ＋cos 4x＝(sin 2x ＋cos 2x )2－2sin 2x ²cos 2x。

2018版数学人教A版浙江版选修2-2学案：综合检测一含

综合检测(一)(时间：120分钟满分：150分) 一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分)1．下列函数中，在区间(－1,1)上是减函数的是()A．y＝2－3x2B．y＝ln xC．y＝1x－2D．y＝sin x 答案 C2．复数21－i等于()A．1＋i B．1－i C．－1＋i D．－1－i 答案 A解析21－i＝2(1＋i)(1－i)(1＋i)＝2(1＋i)2＝1＋i，故选A.3．设f(x)＝10x＋lg x，则f′(1)等于()A．10 B．10ln 10＋lg eC.10ln 10＋ln 10 D．11ln 10 答案 B解析∵f′(x)＝10x ln 10＋1x ln 10，∴f′(1)＝10ln 10＋lg e，故选B.4．若数列{a n}是等比数列，则数列{a n＋a n＋1}() A．一定是等比数列B．一定是等差数列C．可能是等比数列也可能是等差数列D．一定不是等比数列答案 C解析设等比数列{a n}的公比为q，则a n＋a n＋1＝a n(1＋q)．所以当q≠1时，{a n＋a n＋1}一定是等比数列；当q＝－1时，a n＋a n＋1＝0，此时为等差数列．5．函数f (x )＝x 3－ax 2－bx ＋a 2在x ＝1处有极值10，则a ，b 的值为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝3，b ＝－3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝11 B.⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝11 C.⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝5 D ．以上都不对答案 B解析 ∵f ′(x )＝3x 2－2ax －b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3－2a －b ＝0，1－a －b ＋a 2＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝3，b ＝－3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝11. 经检验a ＝3，b ＝－3不合题意，应舍去．6．函数y ＝12x 2－ax －272x 2在(0，＋∞)上是增函数，则实数a 的最大值为( )A ．3B ．4C ．5D ．6答案 B7．用数学归纳法证明不等式1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n ＋n >12(n >1，n ∈N *)的过程中，从n ＝k 到n ＝k ＋1时左边需增加的代数式是( ) A.12k ＋2B.12k ＋1－12k ＋2C.12k ＋1＋12k ＋2D.12k ＋1答案 B解析从n ＝k 到n ＝k ＋1左边增加了12k ＋1＋12k ＋2减少了1k ＋1，∴需增加的代数式为12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1＝12k ＋1－12k ＋2. 8．已知定义在R 上的奇函数f (x )，设其导数为f ′(x )，当x ∈(－∞，0]时，恒有xf ′(x )<f (－x )，令F (x )＝xf (x )，则满足F (3)>F (2x －1)的实数x 的取值范围为( ) A ．(－1,2) B ．(－1，12)C ．(12，2)D ．(－2,1) 答案 A9．已知函数f (x )＝(12)x ，a ，b 是正实数，A ＝f (a ＋b 2)，B ＝f (ab )，C ＝f (2aba ＋b )，则A ，B ，C的大小关系为( )A ．A ≤B ≤C B ．A ≤C ≤B C ．B ≤C ≤AD ．C ≤B ≤A答案 A解析 ∵a ＋b 2≥ab ≥2aba ＋b ，又f (x )＝(12)x 在R 上是减函数，∴f (a ＋b 2)≤f (ab )≤f (2ab a ＋b)，即A ≤B ≤C .10．下面为函数y ＝x sin x ＋cos x 的递增区间的是( ) A ．(π2，3π2)B ．(π，2π)C ．(3π2，5π2)D ．(2π，3π)答案 C二、填空题(本大题共7小题，共36分)11．若复数z 满足z (1＋i)＝1－i(i 是虚数单位)，则其共轭复数z ＝________. 答案 i解析设z ＝a ＋b i ，则(a ＋b i)(1＋i)＝1－i ，即a －b ＋(a ＋b )i ＝1－i.由⎩⎪⎨⎪⎧ a －b ＝1，a ＋b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝－1.所以z ＝－i ，z ＝i.12．函数y ＝1x ＋2ln x 的单调减区间为____________，最小值为________．答案 ⎝⎛⎭⎫0，12 2－2ln 2 解析因为y ′＝－1x 2＋2x ＝2x －1x 2 (x >0)，由y ′>0，得x >12，由y ′<0，得0<x <12，所以函数y ＝1x ＋2ln x 的单调减区间为⎝⎛⎭⎫0，12，单调增区间为⎝⎛⎭⎫12，＋∞. 故极小值也是最小值为2－2ln 2.13．已知函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ，其导函数y ＝f ′(x )的图象经过点(1,0)，(2,0)，如图所示．则下列说法中不正确的是________．(写出所有不正确说法的编号)①当x ＝32时函数取得极小值；②f (x )有两个极值点； ③c ＝6；④当x ＝1时函数取得极大值．答案 ①解析由y ＝f ′(x )的图象可知，x <1时，f ′(x )>0,1<x <2时f ′(x )<0，x >2时，f ′(x )>0，所以f (x )在(－∞，1)及(2，＋∞)上为增函数，在(1,2)上为减函数，因此f (x )有两个极值点，一个极小值点x ＝2，一个极大值点x ＝1，故①错误，②④正确．又因为f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c ＝0的两个根为1和2. 所以c3＝1×2⇒c ＝6，故③正确．14．设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，且f (e x )＝x ＋e 2x ，则f (1)＝________，f ′(x )的最小值为________．答案 1 2 2解析 f (1)＝f (e 0)＝0＋e 2×0＝1，因为f (e x )＝x ＋e 2x ，所以f (e x )＝ln e x ＋(e x )2，所以f (x )＝ln x ＋x 2，x ∈(0，＋∞)，所以f ′(x )＝1x ＋2x ≥21x×2x ＝22，当且仅当x ＝22时取等号． 15．已知复数z ＝1＋i1－i ＋(1－i)2(i 是虚数单位)，b 是z 的虚部，且函数f (x )＝log a (2x 2－bx )(a >0，且a ≠1)在区间⎝⎛⎭⎫0，12内f (x )>0恒成立，则a 的取值范围是______．答案 (0,1)解析因为z ＝1＋i1－i ＋(1－i)2＝i ＋(－2i)＝－i ，所以b ＝－1，所以f (x )＝log a (2x 2＋x )．令u (x )＝2x 2＋x ，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，12时， u (x )＝2x 2＋x ∈(0,1)．又因为f (x )>0恒成立，所以0<a <1.16．已知三次函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象如图所示，函数y ＝f ′(x )的零点是______，则f ′(－3)f ′(1)＝______.答案－1,2 －5解析 f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，结合图象可得x ＝－1,2为导函数的零点，即f ′(－1)＝f ′(2)＝0，故⎩⎪⎨⎪⎧3a －2b ＋c ＝0，12a ＋4b ＋c ＝0，解得⎩⎨⎧a ＝－c 6，b ＝c 4，故f ′(－3)f ′(1)＝27a －6b ＋c3a ＋2b ＋c＝－5. 17．下列四个不等式：①a 2＋b 2＋3≥ab ＋3(a ＋b )；②a (1－a )≤14；③b a ＋a b ≥2；④(a 2＋b 2)·(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，其中恒成立的有________．答案 ①②④解析 ①a 2＋b 2＋3＝a 22＋32＋b 22＋32＋a 22＋b 22≥2a 22×b 22＋2a 22×32＋2b 22×32＝ab ＋3(a ＋b )(当且仅当a 2＝b 2＝3时，等号成立)． ②a (1－a )＝－a 2＋a ＝－⎝⎛⎭⎫a －122＋14≤14. ③当a 与b 异号时，不成立． ④因为a 2d 2＋b 2c 2≥2abcd ，所以(ac ＋bd )2＝a 2c 2＋b 2d 2＋2abcd ≤a 2c 2＋a 2d 2＋b 2c 2＋b 2d 2＝(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)，故不等式恒成立，所以①，②，④恒成立．三、解答题(本大题共5小题，共74分) 18．(14分)已知复数z 1＝2－3i ，z 2＝15－5i(2＋i )2.求：(1)z 1＋z 2；(2)z 1·z 2；(3)z 1z 2.解 z 2＝15－5i (2＋i )2＝15－5i 3＋4i ＝5(3－i )(3－4i )(3＋4i )(3－4i )＝5－15i5＝1－3i. (1)z 1＋z 2＝(2－3i)＋(1＋3i)＝3.(2)z 1·z 2＝(2－3i)(1－3i)＝2－9－9i ＝－7－9i. (3)z 1z 2＝2－3i 1－3i ＝(2－3i )(1＋3i )(1－3i )(1＋3i ) ＝2＋9＋3i 10＝1110＋310i. 19．(15分)已知a ，b ，c >0，且a ＋b ＋c ＝1，求证： (1)a 2＋b 2＋c 2≥13；(2)a ＋b ＋c ≤ 3.证明 (1)∵a 2＋19≥23a ，b 2＋19≥23b ，c 2＋19≥23c ，∴(a 2＋19)＋(b 2＋19)＋(c 2＋19)≥23a ＋23b ＋23c ＝23. ∴a 2＋b 2＋c 2≥13.(2)∵a ·13≤a ＋132， b ·13≤b ＋132，c ·13≤c ＋132，三式相加得a 3＋b 3＋c 3≤12(a ＋b ＋c )＋12＝1，∴a ＋b ＋c ≤ 3.20．(15分)如图，已知平面α∩平面β＝直线a ，直线b ⊂α，直线c ⊂β，b ∩a ＝A ，c ∥a .求证：b 与c 是异面直线．证明假设b ，c 不是异面直线，即b 与c 共面，设b 与c 确定的平面为γ，则γ∩α＝b ，γ∩β＝c .∵a ∥c ，a ⊄γ，∴a ∥γ.又∵a ⊂α，且α∩γ＝b ， ∴a ∥b ，这与a ∩b ＝A 矛盾．因此b 与c 不可能共面，故b 与c 是异面直线．21．(15分)已知函数f (x )＝4ln(x －1)＋12x 2－(m ＋2)x ＋32－m (m 为常数)，(1)当m ＝4时，求函数的单调区间；(2)若函数y ＝f (x )有两个极值点，求实数m 的取值范围．解依题意得，函数的定义域为(1，＋∞)． (1)当m ＝4时，f (x )＝4ln(x －1)＋12x 2－6x －52.f ′(x )＝4x －1＋x －6＝x 2－7x ＋10x －1＝(x －2)(x －5)x －1.令f ′(x )>0，解得x >5或1<x <2. 令f ′(x )<0，解得2<x <5.可知函数f (x )的单调递增区间为(1,2)和(5，＋∞)，单调递减区间为(2,5)． (2)f ′(x )＝4x －1＋x －(m ＋2)＝x 2－(m ＋3)x ＋m ＋6x －1，若函数y ＝f (x )有两个极值点，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝[－(m ＋3)]2－4(m ＋6)>0，1－(m ＋3)＋m ＋6>0，m ＋32>1，解得m >3.22．(15分)是否存在常数a ，b ，使等式121×3＋223×5＋…＋n 2(2n －1)(2n ＋1)＝an 2＋n bn ＋2对一切n ∈N *都成立？若不存在，说明理由；若存在，请用数学归纳法证明．解若存在常数a ，b 使等式成立，则将n ＝1，n ＝2代入上式，有⎩⎪⎨⎪⎧13＝a ＋1b ＋2，13＋415＝4a ＋22b ＋2.得a ＝1，b ＝4，即有121×3＋223×5＋…＋n 2(2n －1)(2n ＋1)＝n 2＋n 4n ＋2对于一切n ∈N *都成立．证明如下：(1)当n ＝1时，左边＝121×3＝13，右边＝1＋14×1＋2＝13，所以等式成立．(2)假设n ＝k (k ≥1，且k ∈N *)时等式成立，即 121×3＋223×5＋…＋k 2(2k －1)(2k ＋1)＝k 2＋k 4k ＋2，则当n ＝k ＋1时，121×3＋223×5＋…＋k 2(2k －1)(2k ＋1)＋(k ＋1)2(2k ＋1)(2k ＋3) ＝k 2＋k 4k ＋2＋(k ＋1)2(2k ＋1)(2k ＋3)＝k ＋12k ＋1·(k 2＋k ＋12k ＋3) ＝k ＋12k ＋1·2k 2＋5k ＋22(2k ＋3)＝k ＋12k ＋1·(2k ＋1)(k ＋2)2(2k ＋3) ＝(k ＋1)(k ＋2)4k ＋6＝(k ＋1)2＋(k ＋1)4(k ＋1)＋2，即当n ＝k ＋1时，等式也成立．综上所述，等式对任何n ∈N *都成立．。

2018版数学人教A版浙江版选修2-2学案：第一章导数及

学习目标 1.能利用导数研究函数的单调性.2.理解函数的极值、最值与导数的关系.3.掌握函数的单调性、极值与最值的综合应用．知识点一函数的单调性与其导数的关系定义在区间(a ，b )内的函数y ＝f (x )知识点二求函数y ＝f (x )的极值的方法解方程f ′(x )＝0，当f ′(x 0)＝0时，(1)如果在x 0附近的左侧f ′(x )>0，右侧f ′(x )<0，那么f (x 0)是极大值． (2)如果在x 0附近的左侧f ′(x )<0，右侧f ′(x )>0，那么f (x 0)是极小值．知识点三函数y ＝f (x )在[a ，b ]上最大值与最小值的求法 (1)求函数y ＝f (x )在(a ，b )内的极值．(2)将函数y ＝f (x )的各极值与端点处的函数值f (a )，f (b )比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．类型一构造法的应用命题角度1 比较函数值的大小例1 已知定义在(0，π2)上的函数f (x )，f ′(x )是它的导函数，且恒有sin x ·f ′(x )>cos x ·f (x )成立，则( ) A.2f (π6)>f (π4)B.3f (π6)>f (π3)C.6f (π6)>2f (π4)D.3f (π6)<f (π3)答案 D解析由f ′(x )sin x >f (x )cos x ，则f ′(x )sin x －f (x )cos x >0，构造函数g (x )＝f (x )sin x，则g ′(x )＝f ′(x )sin x －f (x )cos xsin 2x .当x ∈(0，π2)时，g ′(x )>0，即函数g (x )在(0，π2)上单调递增，∴g (π6)<g (π3)，∴3f (π6)<f (π3)，故选D.反思与感悟此类题目的关键是构造出恰当的函数，利用函数的单调性确定函数值的大小．跟踪训练1 已知定义域为R 的奇函数f (x )的导函数为f ′(x )，当x ≠0时，f ′(x )＋f (x )x <0，若a ＝12f (12)，b ＝－2f (－2)，c ＝(ln 12)f (ln 12)，则a ，b ，c 的大小关系正确的是( )A ．a <c <bB ．b <c <aC ．a 0时，xf ′(x )＋f (x )<0，当x <0时，xf ′(x )＋f (x )>0. ∴g (x )在(0，＋∞)上是减函数． ∵12<ln 2<1<2， ∴g (2)<g (ln 2)<g (12)．∵g (x )是偶函数，∴g (－2)＝g (2)，g (ln 12)＝g (ln 2)，∴g (－2)<g (ln 12)<g (12)．故选B.命题角度2 求解不等式例2 定义域为R 的可导函数y ＝f (x )的导函数f ′(x )，满足f (x )>f ′(x )，且f (0)＝2，则不等式f (x )<2e x 的解集为( ) A ．(－∞，0) B ．(－∞，2) C ．(0，＋∞) D ．(2，＋∞)答案 C解析设g (x )＝f (x )e x ，则g ′(x )＝f ′(x )－f (x )e x.∵f (x )>f ′(x )，∴g ′(x )<0，即函数g (x )在定义域上单调递减． ∵f (0)＝2，∴g (0)＝f (0)＝2，则不等式等价于g (x )<g (0)． ∵函数g (x )单调递减，∴x >0，∴不等式的解集为(0，＋∞)，故选C.反思与感悟构造恰当函数并判断其单调性，利用单调性得到x 的取值范围．跟踪训练2 定义在R 上的函数f (x )满足f (1)＝1，且对任意的x ∈R 都有f ′(x )<13，则不等式f (lg x )>lg x ＋23的解集为________．答案 (0,10)解析 ∵f ′(x )<13，∴f ′(x )－13<0，∴f (x )－x ＋23在R 上为减函数．设F (x )＝f (x )－x ＋23，则F (x )在R 上为减函数．∵f (1)＝1，∴F (1)＝f (1)－1＝1－1＝0.由f (lg x )>lg x ＋23，得f (lg x )－lg x ＋23>0，∴F (lg x )>F (1)．∵F (x )在R 上单调递减，∴lg x <1，∴0<x <10， ∴原不等式的解集为(0,10)．类型二利用导数研究函数的极值与最值例3 已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋b 的图象上一点P (1,0)，且在点P 处的切线与直线3x ＋y ＝0平行．(1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数f (x )在区间[0，t ](0<t <3)上的最大值和最小值；(3)在(1)的结论下，关于x 的方程f (x )＝c 在区间[1,3]上恰有两个相异的实根，求实数c 的取值范围．解 (1)因为f ′(x )＝3x 2＋2ax ，曲线在P (1,0)处的切线斜率为f ′(1)＝3＋2a ，即3＋2a ＝－3，a ＝－3.又函数过(1,0)点，即－2＋b ＝0，b ＝2. 所以a ＝－3，b ＝2，f (x )＝x 3－3x 2＋2. (2)由f (x )＝x 3－3x 2＋2，得f ′(x )＝3x 2－6x . 由f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2.①当0<t ≤2时，在区间(0，t )上，f ′(x )<0，f (x )在[0，t ]上是减函数，所以f (x )max ＝f (0)＝2，f (x )min ＝f (t )＝t 3－3t 2＋2.②当2<t <3时，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：f (x )min ＝f (2)＝－2，f (x )max 为f (0)与f (t )中较大的一个． f (t )－f (0)＝t 3－3t 2＝t 2(t －3)<0，所以f (x )max ＝f (0)＝2.(3)令g (x )＝f (x )－c ＝x 3－3x 2＋2－c ，则g ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)．在x ∈[1,2)上，g ′(x )<0；在x ∈(2,3]上，g ′(x )>0. 要使g (x )＝0在[1,3]上恰有两个相异的实根，则⎩⎪⎨⎪⎧g (1)≥0，g (2)<0，g (3)≥0，解得－2<c ≤0. 反思与感悟 (1)求极值时一般需确定f ′(x )＝0的点和单调性，对于常见连续函数，先确定单调性即可得极值点，当连续函数的极值点只有一个时，相应的极值点必为函数的最值点． (2)求闭区间上可导函数的最值时，对函数极值是极大值还是极小值可不再作判断，只需要直接与端点的函数值比较即可获得．跟踪训练3 已知a ，b 为常数且a >0，f (x )＝x 3＋32(1－a )x 2－3ax ＋b .(1)函数f (x )的极大值为2，求a ，b 间的关系式；(2)函数f (x )的极大值为2，且在区间[0,3]上的最小值为－232，求a ，b 的值．解 (1)f ′(x )＝3x 2＋3(1－a )x －3a ＝3(x －a )(x ＋1)，令f ′(x )＝0，解得x 1＝－1，x 2＝a ，因为a >0，所以x 1<x 2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以当x ＝－1时，f (x )有极大值2，即3a ＋2b ＝3.(2)当0<a <3时，由(1)知，f (x )在[0，a )上为减函数，在(a ，3]上为增函数，所以f (a )为最小值，f (a )＝－12a 3－32a 2＋b .即－12a 3－32a 2＋b ＝－232.又由b ＝3－3a 2，于是有a 3＋3a 2＋3a －26＝0，即(a ＋1)3＝27，所以a ＝2，b ＝－32.当a >3时，由(1)知f (x )在[0,3]上为减函数，即f (3)为最小值，f (3)＝－232，从而求得a ＝10748，不合题意，舍去．综上，a ＝2，b ＝－32.类型三数形结合思想的应用例4 已知函数y ＝xf ′(x )的图象如图所示(其中f ′(x )是函数f (x )的导函数)，给出以下说法：①函数f (x )在区间(1，＋∞)上是增函数； ②函数f (x )在区间(－1,1)上单调递增；③函数f (x )在x ＝－12处取得极大值；④函数f (x )在x ＝1处取得极小值．其中正确的说法是________．答案 ①④解析对于①，由图象知，当x ∈(1，＋∞)时，xf ′(x )>0，故f ′(x )>0，∴f (x )在区间(1，＋∞)上单调递增．对于②，当x ∈(－1,0)时，xf ′(x )>0，故f ′(x )<0；当x ∈(0,1)时，xf ′(x )<0，故f ′(x )<0.所以当x ∈(－1,0)∪(0,1)时，f ′(x )<0，故f (x )在(－1,0)，(0,1)上是减函数．对于③，由②知f (x )在(－1,0)上单调递减，∴x ＝－12不是极值点，由①②知④是正确的，故填①④.反思与感悟解决函数极值与函数、导函数图象的关系时，应注意(1)对于导函数的图象，重点考查导函数的值在哪个区间上为正，在哪个区间上为负，在哪个点处与x 轴相交，在交点附近导函数值是怎样变化的．(2)对于函数的图象，函数重点考查递增区间和递减区间，进而确定极值点．跟踪训练4 设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数f (x )在x ＝－2处取得极小值，则函数y ＝xf ′(x )的图象可能是( )答案 A解析 ∵函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数f (x )在x ＝－2处取得极小值， ∴当x >－2时，f ′(x )>0；当x ＝－2时，f ′(x )＝0；当x <－2时，f ′(x )<0. ∴当－2<x <0时，xf ′(x )<0；当x ＝－2时，xf ′(x )＝0；当x <－2时，xf ′(x )>0. 由此观察四个选项，故选A.1．已知函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx 的图象如图所示，则x 21＋x 22等于( )A.43B.73 C.83 D.163答案 C解析由题意可知f (0)＝0，f (1)＝0，f (2)＝0，可得1＋b ＋c ＝0,8＋4b ＋2c ＝0，解得b ＝－3，c ＝2，所以函数的解析式为f (x )＝x 3－3x 2＋2x . f ′(x )＝3x 2－6x ＋2，令3x 2－6x ＋2＝0，可得x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝23，所以x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝4－2×23＝83. 2．已知f (x )是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf ′(x )＋f (x )≤0，对任意的正数a ，b ，若a <b ，则必有( ) A ．bf (b )≤af (a ) B ．bf (a )≤af (b ) C ．af (a )≤bf (b ) D ．af (b )≤bf (a ) 答案 A解析设g (x )＝xf (x )，x ∈(0，＋∞)，则g ′(x )＝xf ′(x )＋f (x )≤0，∴g (x )在区间(0，＋∞)上单调递减或g (x )为常函数． ∵a 3，则f (x )>3x ＋4的解集为________．答案 (－1，＋∞)解析设F (x )＝f (x )－(3x ＋4)，则F (－1)＝f (－1)－(－3＋4)＝1－1＝0.又对任意的x ∈R ，f ′(x )>3，∴F ′(x )＝f ′(x )－3>0， ∴F (x )在R 上是增函数， ∴F (x )>0的解集是(－1，＋∞)，即f (x )>3x ＋4的解集为(－1，＋∞)．4．已知函数f (x )＝x 3－12x 2－2x ＋5，若对于任意x ∈[－1,2]，都有f (x )<m ，则实数m 的取值范围是________________________________________________________________________．答案 (7，＋∞)解析 f ′(x )＝3x 2－x －2，令f ′(x )＝0，得x ＝－23或x ＝1.可判断求得f (x )max ＝f (2)＝7. ∴f (x )<m 恒成立时，m >7.导数作为一种重要的工具，在研究函数中具有重要的作用，例如函数的单调性、极值与最值等问题，都可以通过导数得以解决．不但如此，利用导数研究得到函数的性质后，还可以进一步研究方程、不等式等诸多代数问题，所以一定要熟练掌握利用导数来研究函数的各种方法．课时作业一、选择题1．函数y ＝f (x )＝x cos x －sin x 在下面哪个区间内是增函数( ) A.⎝⎛⎭⎫π2，3π2 B ．(π，2π) C.⎝⎛⎭⎫3π2，5π2 D ．(2π，3π)答案 B解析 y ′＝cos x －x sin x －cos x ＝－x sin x ，若y ＝f (x )在某区间内是增函数，只需在此区间内y ′大于或等于0(不恒为0)即可．∴只有选项B 符合题意，当x ∈(π，2π)时，y ′>0恒成立． 2．已知函数f (x )＝x ＋ln x ，则有( ) A ．f (2)<f (e)<f (3) B ．f (e)<f (2)<f (3) C ．f (3)<f (e)<f (2) D ．f (e)<f (3)<f (2)答案 A解析 f (x )的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝12x ＋1x >0在(0，＋∞)上恒成立，∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增， ∴f (2)<f (e)<f (3)．3．若函数f (x )＝－x 3＋3x 2＋9x ＋a 在区间[－2，－1]上的最大值为2，则它在该区间上的最小值为( )A ．－5B ．7C ．10D ．－19 答案 A解析 ∵y ′＝－3x 2＋6x ＋9＝－3(x ＋1)(x －3)， ∴函数在[－2，－1]内单调递减， ∴最大值为f (－2)＝2＋a ＝2. ∴a ＝0，最小值为f (－1)＝a －5＝－5.4.已知定义在R 上的函数f (x )的图象如图，则x ·f ′(x )>0的解集为( )A ．(－∞，0)∪(1,2)B ．(1,2)C ．(－∞，1)D ．(－∞，1)∪(2，＋∞) 答案 A解析不等式x ·f ′(x )>0等价于当x >0时，f ′(x )>0，即当x >0时，函数递增，此时1<x <2；或者当x <0时，f ′(x )<0，即当x <0时，函数递减，此时x <0，综上，1<x <2或x <0，即不等式的解集为(－∞，0)∪(1,2)．5．若f (x )＝－12x 2＋b ln(x ＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则b 的取值范围是( )A ．[－1，＋∞)B ．(－1，＋∞)C ．(－∞，－1]D ．(－∞，－1)答案 C解析由题意知f ′(x )＝－x ＋bx ＋2≤0，x ∈(－1，＋∞)，即f ′(x )＝－x 2－2x ＋bx ＋2≤0，即－x 2－2x ＋b ＝－(x ＋1)2＋1＋b ≤0， ∴1＋b ≤0，b ≤－1.6.已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋c ，其导函数的图象如图所示，则函数f (x )的极小值是( )A ．a ＋b ＋cB ．8a ＋4b ＋cC ．3a ＋2bD ．c 答案 D解析由f ′(x )图象知，f (x )在(－∞，0)上递减，在(0,2)上递增，所以函数f (x )在x ＝0时取得极小值c .7．定义在R 上的函数f (x )满足f (1)＝1，且对任意x ∈R ，都有f ′(x )<12，则不等式f (x )>x ＋12的解集为( ) A ．(1,2) B ．(－∞，1) C ．(1，＋∞) D ．(－1,1)答案 B解析 ∵f ′(x )<12，∴f ′(x )－12<0.设h (x )＝f (x )－12x ，则h ′(x )＝f ′(x )－12<0，∴h (x )是R 上的减函数，且h (1)＝f (1)－12＝1－12＝12.不等式f (x )>x ＋12，即为f (x )－12x >12，即h (x )>h (1)，得x <1，∴原不等式的解集为(－∞，1)．二、填空题8．函数f (x )＝x 3－3ax ＋b (a >0)的极大值为6，极小值为2，则f (x )的单调递增区间为________．答案 (－∞，－1)和(1，＋∞)解析令f ′(x )＝3x 2－3a ＝0，得x ＝±a . 由题意得f (a )＝2，f (－a )＝6，得a ＝1，b ＝4.由f ′(x )＝3x 2－3>0，得f (x )的单调递增区间为(－∞，－1)和(1，＋∞)．9．已知函数f (x )＝x －a x ＋1·e x在定义域内有极值点，则实数a 的取值范围是____________．答案 (－∞，－1)∪(3，＋∞)解析 f ′(x )＝x ＋1－x ＋a (x ＋1)2·e x ＋x －a x ＋1·e x ＝x 2＋(1－a )x ＋1(x ＋1)2·e x.因为x 2＋(1－a )x ＋1＝0有两个不相等且不等于－1的实数根，所以(1－a )2－4＞0且a ≠－1，解得a ＜－1或a ＞3.10．设函数f (x )＝ax 3－3x ＋1(x ∈R )，若对于任意的x ∈(0,1]都有f (x )≥0成立，则实数a 的取值范围为______．答案 [4，＋∞)解析 ∵x ∈(0,1]，∴f (x )≥0可化为a ≥3x 2－1x 3. 令g (x )＝3x 2－1x 3，则g ′(x )＝3(1－2x )x 4，令g ′(x )＝0，得x ＝12. 当0<x <12时，g ′(x )>0；当12<x ≤1时，g ′(x )<0， ∴g (x )在(0,1]上有极大值g (12)＝4，也是最大值． ∴a ≥4.11．函数f (x )在定义域R 内可导，若f (x )＝f (2－x )，且当x ∈(－∞，1)时，(x －1)f ′(x )<0，设a ＝f (0)，b ＝f (12)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为____________．答案 c <a <b解析依题意得，当x <1时，f ′(x )>0，f (x )为增函数．又f (3)＝f (－1)，且－1<0<12<1，因此有f (－1)<f (0)<f (12)，即f (3)<f (0)<f (12)，即c <a <b . 三、解答题12．设f (x )＝a ln x ＋12x ＋32x ＋1，其中a ∈R ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于y 轴． (1)求a 的值；(2)求函数f (x )的极值．解 (1)f ′(x )＝a x －12x 2＋32. 由题意，曲线在x ＝1处的切线斜率为0，即f ′(1)＝0，从而a －12＋32＝0，解得a ＝－1. (2)由(1)知f (x )＝－ln x ＋12x ＋32x ＋1(x >0)， f ′(x )＝－1x －12x 2＋32＝3x 2－2x －12x 2＝(3x ＋1)(x －1)2x 2. 令f ′(x )＝0，解得x 1＝1，x 2＝－13(舍去)．当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，故f (x )在(0,1)上为减函数；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，故f (x )在(1，＋∞)上为增函数．故f (x )在x ＝1处取得极小值，极小值为f (1)＝3.13．已知函数f (x )＝x 3－2ax 2＋3x ，若x ＝a 是f (x )的极值点，求f (x )在[－2，a ]上的最大值和最小值．解由题意知f ′(a )＝3a 2－4a 2＋3＝0，∴a ＝±3.①当a ＝3时，x ∈[－2，3]，f ′(x )＝3x 2－43x ＋3＝3(x －3)(x －33)，此时，由f ′(x )>0，可得－2≤x <33；由f ′(x )<0，可得33<x <3， ∴函数f (x )的单调递增区间为[－2，33)，函数f (x )的单调递减区间为(33，3)．又∵f (－2)＝－14－83，f (3)＝0，极大值为f (33)＝439. ∴函数f (x )的最小值为－14－83；函数f (x )的最大值为439. ②当a ＝－3时，x ∈[－2，－3]，f ′(x )＝3x 2＋43x ＋3＝3(x ＋3)(x ＋33)，此时，f ′(x )≥0，∴f (x )在[－2，－3]上为增函数，∴f (x )min ＝f (－2)＝－14＋83，∴f (x )max ＝f (－3)＝0.四、探究与拓展14．已知f (x )，g (x )都是定义在R 上的函数，且f (x )g (x )＝a x (a >0且a ≠1)，f ′(x )g (x )<f (x )g ′(x )，f (1)g (1)＋f (－1)g (－1)＝52，则a ＝________.答案 12解析令h (x )＝f (x )g (x )，∵f ′(x )g (x )<f (x )g ′(x )， ∴h ′(x )＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2<0， ∴函数y ＝a x 在R 上单调递减，∴0<a <1.∵f (1)g (1)＋f (－1)g (－1)＝52，∴a 1＋a －1＝52，化为2a 2－5a ＋2＝0，解得a ＝2或12. ∵0<a <1，∴a ＝12. 15．已知函数f (x )＝x 2－m ln x ，h (x )＝x 2－x ＋a .(1)当a ＝0时，f (x )≥h (x )在(1，＋∞)上恒成立，求实数m 的取值范围；(2)当m ＝2时，若函数k (x )＝f (x )－h (x )在区间[1,3]上恰有两个不同零点，求实数a 的取值范围．解 (1)由f (x )≥h (x )在(1，＋∞)上恒成立，得m ≤x ln x在(1，＋∞)上恒成立．令g (x )＝x ln x ，则g ′(x )＝ln x －1(ln x )2，故g ′(e)＝0. 当x ∈(1，e)时，g ′(x )<0；当x ∈(e ，＋∞)时，g ′(x )>0.故g (x )在(1，e)上单调递减，在(e ，＋∞)上单调递增，故当x ＝e 时，g (x )的最小值为g (e)＝e.所以m ≤e.(2)由已知可知k (x )＝x －2ln x －a ，函数k (x )在[1,3]上恰有两个不同零点，相当于函数φ(x )＝x －2ln x 与直线y ＝a 有两个不同的交点．φ′(x )＝1－2x ＝x －2x，故φ′(2)＝0. 所以当x ∈[1,2)时，φ′(x )<0，所以φ(x )单调递减，当x ∈(2,3]时，φ′(x )>0，所以φ(x )单调递增．所以φ(1)＝1，φ(3)＝3－2ln 3，φ(2)＝2－2ln 2，且φ(1)>φ(3)>φ(2)>0，所以2－2ln 2<a ≤3－2ln 3.所以实数a 的取值范围为(2－2ln 2,3－2ln 3]．。

2018版数学人教A版选修2-2学案：第二章推理与证明 2-

2.1.2演绎推理学习目标 1.理解演绎推理的意义.2.掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理.3.了解合情推理和演绎推理之间的区别和联系．知识点一演绎推理的含义思考分析下面几个推理，找出它们的共同点．(1)所有的金属都能导电，铀是金属，所以铀能够导电；(2)一切奇数都不能被2整除，(2100＋1)是奇数，所以(2100＋1)不能被2整除．答案问题中的推理都是从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理叫演绎推理．梳理知识点二三段论思考所有的金属都能导电，铜是金属，所以铜能导电，这个推理可以分为几段？每一段分别是什么？答案分为三段．大前提：所有的金属都能导电．小前提：铜是金属．结论：铜能导电．梳理类型一演绎推理与三段论例1(1)“因为四边形ABCD是矩形，所以四边形ABCD的对角线相等”，补充以上推理的大前提是()A．正方形都是对角线相等的四边形B．矩形都是对角线相等的四边形C．等腰梯形都是对角线相等的四边形D．矩形都是对边平行且相等的四边形答案 B(2)将下列演绎推理写成三段论的形式．①平行四边形的对角线互相平分，菱形是平行四边形，所以菱形的对角线互相平分；②等腰三角形的两底角相等，∠A，∠B是等腰三角形的两底角，则∠A＝∠B；③通项公式为a n＝2n＋3的数列{a n}为等差数列．解①平行四边形的对角线互相平分，大前提菱形是平行四边形，小前提菱形的对角线互相平分．结论②等腰三角形的两底角相等，大前提∠A，∠B是等腰三角形的两底角，小前提∠A＝∠B. 结论③在数列{a n}中，如果当n≥2时，a n－a n－1为常数，则{a n}为等差数列，大前提当通项公式为a n＝2n＋3时，若n≥2，则a n－a n－1＝2n＋3－[2(n－1)＋3]＝2(常数)，小前提通项公式为a n＝2n＋3的数列{a n}为等差数列．结论反思与感悟用三段论写推理过程时，关键是明确大、小前提，三段论中的大前提提供了一个一般性的原理，小前提指出了一种特殊情况，两个命题结合起来，揭示了一般原理与特殊情况的内在联系．有时可省略小前提，有时甚至也可把大前提与小前提都省略，在寻找大前提时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提．跟踪训练1(1)推理：“①矩形是平行四边形；②正方形是矩形；③所以正方形是平行四边形”中的小前提是________．(2)函数y＝2x＋5的图象是一条直线，用三段论表示为大前提：________________________________________________________________________.小前提：________________________________________________________________________.结论：________________________________________________________________________. 答案(1)②(2)一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象是一条直线函数y＝2x＋5是一次函数函数y＝2x＋5的图象是一条直线类型二三段论的应用命题角度1用三段论证明几何问题例2如图，D，E，F分别是BC，CA，AB上的点，∠BFD＝∠A，DE∥BA，求证：ED＝AF，写出三段论形式的演绎推理．证明因为同位角相等，两直线平行，大前提∠BFD与∠A是同位角，且∠BFD＝∠A，小前提所以FD∥AE. 结论因为两组对边分别平行的四边形是平行四边形，大前提DE∥BA，且FD∥AE，小前提所以四边形AFDE为平行四边形．结论因为平行四边形的对边相等，大前提ED和AF为平行四边形AFDE的对边，小前提所以ED＝AF. 结论反思与感悟(1)用“三段论”证明命题的格式(2)用“三段论”证明命题的步骤①理清证明命题的一般思路；②找出每一个结论得出的原因；③把每个结论的推出过程用“三段论”表示出来．跟踪训练2已知：在空间四边形ABCD中，点E，F分别是AB，AD的中点，如图所示，求证：EF∥平面BCD.证明因为三角形的中位线平行于底边，大前提点E 、F 分别是AB 、AD 的中点，小前提所以EF ∥BD .结论若平面外一条直线平行于平面内一条直线，则直线与此平面平行，大前提 EF ⊄平面BCD ，BD ⊂平面BCD ，EF ∥BD ，小前提所以EF ∥平面BCD .结论命题角度2 用三段论证明代数问题例3 设函数f (x )＝e xx 2＋ax ＋a ，其中a 为实数，若f (x )的定义域为R ，求实数a 的取值范围．解若函数对任意实数恒有意义，则函数定义域为R ，大前提因为f (x )的定义域为R ，小前提所以x 2＋ax ＋a ≠0恒成立．结论所以Δ＝a 2－4a <0，所以0<a <4.即当0<a <4时，f (x )的定义域为R . 引申探究若例3的条件不变，求f (x )的单调递增区间．解 ∵f ′(x )＝x (x ＋a －2)e x(x 2＋ax ＋a )2，由f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2－a . ∵0<a <4，∴当0<a <2时，2－a >0. ∴在(－∞，0)和(2－a ，＋∞)上，f ′(x )>0. ∴f (x )的单调递增区间为(－∞，0)，(2－a ，＋∞)．当a ＝2时，f ′(x )≥0恒成立， ∴f (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞)．当2<a <4时，2－a <0，∴在(－∞，2－a )和(0，＋∞)上，f ′(x )>0， ∴f (x )的单调递增区间为(－∞，2－a )，(0，＋∞)．综上所述，当0<a <2时，f (x )的单调递增区间为(－∞，0)，(2－a ，＋∞)；当a ＝2时，f (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞)；当2<a <4时，f (x )的单调递增区间为(－∞，2－a )，(0，＋∞)．跟踪训练3 已知函数f (x )＝a x ＋x －2x ＋1(a >1)，证明：函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数．证明方法一 (定义法)任取x 1，x 2∈(－1，＋∞)，且x 1<x 2，f (x 2)－f (x 1)＝2xa ＋x 2－2x 2＋1－1xa －x 1－2x 1＋1＝2x a －1xa ＋x 2－2x 2＋1－x 1－2x 1＋1＝1xa (21x x a -－1)＋(x 1＋1)(x 2－2)－(x 1－2)(x 2＋1)(x 2＋1)(x 1＋1)＝1x a (21x x a-－1)＋3(x 2－x 1)(x 2＋1)(x 1＋1).因为x 2－x 1>0，且a >1，所以21x x a->1，而－1<x 1<x 2，所以x 1＋1>0，x 2＋1>0，所以f (x 2)－f (x 1)>0，所以f (x )在(－1，＋∞)上为增函数．方法二 (导数法)f (x )＝a x ＋x ＋1－3x ＋1＝a x ＋1－3x ＋1.所以f ′(x )＝a x ln a ＋3(x ＋1)2.因为x >－1，所以(x ＋1)2>0，所以3(x ＋1)2>0.又因为a >1，所以ln a >0，a x >0，所以a x ln a >0，所以f ′(x )>0.于是得，f (x )＝a x ＋x －2x ＋1在(－1，＋∞)上是增函数．1．下面几种推理过程是演绎推理的是( )A ．两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A 与∠B 是两条平行直线的同旁内角，则∠A ＋∠B ＝180°B ．某校高三1班有55人，2班有54人，3班有52人，由此得高三所有班人数超过50人C ．由平面三角形的性质，推测空间四边形的性质D ．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝12⎝⎛⎭⎫a n －1＋1a n －1(n ≥2)，由此归纳出{a n }的通项公式答案 A解析 A 是演绎推理，B 、D 是归纳推理，C 是类比推理．2．“因为对数函数y ＝log a x 是增函数(大前提)，又y ＝13log x 是对数函数(小前提)，所以y ＝log x是增函数(结论)．”下列说法正确的是()13A．大前提错误导致结论错误B．小前提错误导致结论错误C．推理形式错误导致结论错误D．大前提和小前提都错误导致结论错误答案 A解析y＝log a x是增函数错误．故大前提错误．3．三段论：“①只有船准时起航，才能准时到达目的港，②这艘船是准时到达目的港的，③这艘船是准时起航的”，其中的“小前提”是()A．①B．②C．①②D．③答案 D4．把“函数y＝x2＋x＋1的图象是一条抛物线”恢复成三段论，则大前提：____________；小前提：____________；结论：____________.答案二次函数的图象是一条抛物线函数y＝x2＋x＋1是二次函数函数y＝x2＋x＋1的图象是一条抛物线5．设m为实数，利用三段论证明方程x2－2mx＋m－1＝0有两个相异实根．证明因为如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的判别式Δ＝b2－4ac>0，那么方程有两个相异实根．大前提方程x2－2mx＋m－1＝0的判别式Δ＝(－2m)2－4(m－1)＝4m2－4m＋4＝(2m－1)2＋3>0，小前提所以方程x2－2mx＋m－1＝0有两个相异实根．结论1．应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，但为了叙述的简洁，如果前提是显然的，则可以省略．2．合情推理是由部分到整体，由个别到一般的推理或是由特殊到特殊的推理；演绎推理是由一般到特殊的推理．3．合情推理与演绎推理是相辅相成的，数学结论、证明思路等的发现主要靠合情推理；数学结论、猜想的正确性必须通过演绎推理来证明．课时作业一、选择题1．《论语·学路》篇中说：“名不正，则言不顺；言不顺，则事不成；事不成，则礼乐不兴；礼乐不兴，则刑罚不中；刑罚不中，则民无所措手足；所以，名不正，则民无所措手足．”上述推理用的是()A．类比推理B．归纳推理C．演绎推理D．一次三段论答案 C2．正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函数．以上推理()A．结论正确B．大前提不正确C．小前提不正确D．全不正确答案 C解析由于函数f(x)＝sin(x2＋1)不是正弦函数．故小前提不正确．3．命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是()A．使用了归纳推理B．使用了类比推理C．使用了“三段论”，但推理形式错误D．使用了“三段论”，但小前提错误答案 C解析由“三段论”的推理方式可知，该推理的错误原因是推理形式错误．4．定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝－f(x＋4)，且f(x)在(2，＋∞)上为增函数．已知x1＋x2<4且(x1－2)·(x2－2)<0，则f(x1)＋f(x2)的值()A．恒小于0 B．恒大于0C．可能等于0 D．可正也可负答案 A解析不妨设x1－2<0，x2－2>0，则x1<2，x2>2，∴2<x2<4－x1，∴f(x2)<f(4－x1)，即－f(x2)>－f(4－x1)，从而－f(x2)>－f(4－x1)＝f(x1)，∴f(x1)＋f(x2)<0.5．下面几种推理中是演绎推理的是()A ．因为y ＝2x 是指数函数，所以函数y ＝2x 经过定点(0,1)B ．猜想数列11×2，12×3，13×4，…的通项公式为a n ＝1n (n ＋1)(n ∈N *)C ．由圆x 2＋y 2＝r 2的面积为πr 2，猜想出椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的面积为πabD ．由平面直角坐标系中圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，推测空间直角坐标系中，球的方程为(x －a )2＋(y －b )2＋(z －c )2＝r 2 答案 A6．在R 上定义运算⊗：x ⊗y ＝x (1－y )．若不等式(x －a )⊗(x ＋a )<1对任意实数x 都成立，则( ) A ．－1<a <1 B ．0<a <2 C ．－12<a <32D ．－32<a <12答案 C解析由题意知，(x －a )⊗(x ＋a )＝(x －a )[1－(x ＋a )]＝－x 2＋x ＋a 2－a ， ∴－x 2＋x ＋a 2－a <1.即x 2－x －a 2＋a ＋1>0对任意实数x 都成立，则Δ＝1－4(－a 2＋a ＋1)<0， ∴4a 2－4a －3<0，解得－12<a <32.7．设?是R 的一个运算，A 是R 的非空子集．若对于任意a ，b ∈A ，有a ?b ∈A ，则称A 对运算?封闭．则下列数集对加法、减法、乘法和除法(除数不等于零)四则运算都封闭的是( ) A ．自然数集 B ．整数集 C ．有理数集 D ．无理数集答案 C解析 A 错，因为自然数集对减法、除法不封闭；B 错，因为整数集对除法不封闭；C 对，因为任意两个有理数的和、差、积、商都是有理数，故有理数集对加、减、乘、除法(除数不等于零)四则运算都封闭；D 错，因为无理数集对加、减、乘、除法都不封闭．二、填空题8．在求函数y ＝log 2x －2的定义域时，第一步推理中大前提是当a 有意义时，a ≥0；小前提是log 2x －2有意义；结论是__________________．答案 y ＝log 2x －2的定义域是[4，＋∞) 解析由大前提知log 2x －2≥0，解得x ≥4. 9．有一段演绎推理：大前提：整数是自然数；小前提：－3是整数；结论：－3是自然数．这个推理显然错误，则错误的原因是________错误．(填“大前提”“小前提”“结论”) 答案大前提10．若不等式ax 2＋2ax ＋2<0的解集为∅，则实数a 的取值范围为__________．答案 [0,2]解析 ∵不等式ax 2＋2ax ＋2<0无解，则不等式ax 2＋2ax ＋2≥0的解集为R . ∴当a ＝0时，2≥0，显然成立，当a ≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝4a 2－8a ≤0，解得0<a ≤2. ∴a 的取值范围为[0,2]．11．若f (a ＋b )＝f (a )f (b )(a ，b ∈N *)，且f (1)＝2，则f (2)f (1)＋f (4)f (3)＋…＋f (2018)f (2017)＝________.答案 2018 解析利用三段论．∵f (a ＋b )＝f (a )f (b )(a ，b ∈N *)，大前提令b ＝1，则f (a ＋1)f (a )＝f (1)＝2，小前提∴f (2)f (1)＝f (4)f (3)＝…＝f (2018)f (2017)＝2，结论∴原式＝ 1 00922⋅⋅⋅+++2个＝2018.三、解答题12．把下列演绎推理写成三段论的形式．(1)一切奇数都不能被2整除，(22015＋1)是奇数，所以(22015＋1)不能被2整除； (2)三角函数都是周期函数，y ＝tan α是三角函数，因此y ＝tan α是周期函数； (3)因为△ABC 三边的长依次为3,4,5，所以△ABC 是直角三角形．解 (1)一切奇数都不能被2整除，大前提 22015＋1是奇数，小前提22015＋1不能被2整除．结论 (2)三角函数都是周期函数，大前提 y ＝tan α是三角函数，小前提 y ＝tan α是周期函数．结论(3)一条边的平方等于其他两条边平方和的三角形是直角三角形，大前提 △ABC 三边的长依次为3,4,5，且32＋42＝52，小前提△ABC 是直角三角形．结论四、探究与拓展13．如果函数f (x )在区间D 上是凸函数，那么对于区间D 内的任意x 1，x 2，…，x n ，都有f (x 1)＋f (x 2)＋…＋f (x n )n ≤f (x 1＋x 2＋…＋x nn )．若y ＝sin x 在区间(0，π)上是凸函数，那么在△ABC中，sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值是________．答案332解析 sin A ＋sin B ＋sin C ≤3sinA ＋B ＋C 3＝3sin π3＝332. 14.如图，A ，B ，C ，D 为空间四点，在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝BC ＝ 2.等边三角形ADB 以AB 为轴旋转．(1)当平面ADB ⊥平面ABC 时，求CD ；(2)当△ADB 转动时，是否总有AB ⊥CD ？证明你的结论．解 (1)取AB 的中点E ，连接CE ，DE . 因为AC ＝BC ＝2，AB ＝2，所以△ABC 为等腰直角三角形，所以CE ⊥AB . 因为△ADB 是等边三角形，所以DE ⊥AB . 又平面ADB ⊥平面ABC ，且平面ADB ∩平面ABC ＝AB ，所以DE ⊥平面ABC ，所以DE ⊥CE . 由已知得DE ＝32AB ＝3，CE ＝1. 所以在Rt △CDE 中，CD ＝DE 2＋CE 2＝2.(2)当△ADB 以AB 为轴转动时，总有AB ⊥CD . 证明如下：当D 在平面ABC 内时，因为BC ＝AC ，AD ＝BD ，所以C ，D 都在AB 的垂直平分线上，所以AB⊥CD.当D不在平面ABC内时，由(1)知AB⊥DE，AB⊥CE，又DE∩CE＝E，所以AB⊥平面CDE.又CD⊂平面CDE，所以AB⊥CD.综上所述，当△ADB转动时，总有AB⊥CD.。

2018版数学人教A版浙江版选修2-2学案：第一章导数及

1．2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)学习目标 1.理解函数的和、差、积、商的求导法则.2.理解求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数．知识点一和、差的导数已知f (x )＝x ，g (x )＝1x.思考1 f (x )，g (x )的导数分别是什么？答案 f ′(x )＝1，g ′(x )＝－1x2.思考2 试求y ＝Q (x )＝x ＋1x ，H (x )＝x －1x 的导数．答案 ∵Δy ＝(x ＋Δx )＋1x ＋Δx －(x ＋1x )＝Δx ＋－Δxx (x ＋Δx )，∴Δy Δx ＝1－1x (x ＋Δx ). ∴Q ′(x )＝lim Δx →ΔyΔx＝lim Δx →0[1－1x (x ＋Δx )]＝1－1x 2.同理，H ′(x )＝1＋1x2.思考3 Q (x )，H (x )的导数与f (x )，g (x )的导数有何关系？答案 Q (x )的导数等于f (x )，g (x )的导数的和．H (x )的导数等于f (x )，g (x )的导数的差．梳理和、差的导数 [f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )．知识点二积、商的导数已知f (x )＝x 2，g (x )＝sin x ，φ(x )＝3. 思考1 试求f ′(x )，g ′(x )，φ′(x )．答案 f ′(x )＝2x ，g ′(x )＝cos x ，φ′(x )＝0. 思考2 求H (x )＝x 2sin x ，M (x )＝sin xx 2，Q (x )＝3sin x 的导数．答案 H ′(x )＝2x sin x ＋x 2cos x ，M ′(x )＝(sin x )′x 2－sin x (x 2)′(x 2)2＝x 2cos x －2x sin x x 4＝x cos x －2sin x x 3，Q ′(x )＝3cos x . 梳理 (1)积的导数①[f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )． ②[cf (x )]′＝cf ′(x )． (2)商的导数[f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)． (3)注意[f (x )g (x )]′≠f ′(x )g ′(x )， [f (x )g (x )]′≠f ′(x )g ′(x ).类型一导数运算法则的应用例1 求下列函数的导数． (1)y ＝2x 3－3x ＋x ＋1x x ；(2)y ＝x 2＋1x 2＋3；(3)y ＝(x ＋1)(x ＋3)(x ＋5)； (4)y ＝x sin x －2cos x. 解 (1)∵313122223y x xx x ---=-++，∴135222233322y x x x x ---'=+--.(2)方法一 y ′＝(x 2＋1)′(x 2＋3)－(x 2＋1)(x 2＋3)′(x 2＋3)2＝2x (x 2＋3)－2x (x 2＋1)(x 2＋3)2＝4x (x 2＋3)2. 方法二 ∵y ＝x 2＋1x 2＋3＝x 2＋3－2x 2＋3＝1－2x 2＋3，∴y ′＝(1－2x 2＋3)′＝(－2x 2＋3)′＝(－2)′(x 2＋3)－(－2)(x 2＋3)′(x 2＋3)2＝4x(x 2＋3)2.(3)方法一 y ′＝[(x ＋1)(x ＋3)]′(x ＋5)＋(x ＋1)(x ＋3)(x ＋5)′＝[(x ＋1)′(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋3)′](x ＋5)＋(x ＋1)(x ＋3)＝(2x ＋4)(x ＋5)＋(x ＋1)(x ＋3)＝3x 2＋18x ＋23. 方法二 ∵y ＝(x ＋1)(x ＋3)(x ＋5)＝(x 2＋4x ＋3)(x ＋5) ＝x 3＋9x 2＋23x ＋15，∴y ′＝(x 3＋9x 2＋23x ＋15)′＝3x 2＋18x ＋23. (4)y ′＝(x sin x )′－(2cos x)′＝x ′sin x ＋x (sin x )′－2′cos x －2(cos x )′(cos x )2＝sin x ＋x cos x －2sin xcos 2x.反思与感悟 (1)解答此类问题时常因导数的四则运算法则不熟而失分．(2)对一个函数求导时，要紧扣导数运算法则，联系基本初等函数的导数公式，当不易直接应用导数公式时，应先对函数进行化简(恒等变形)，然后求导．这样可以减少运算量，优化解题过程．(3)利用求导法则求导的原则是尽可能化为和、差，利用和、差的求导法则求导，尽量少用积、商的求导法则求导．跟踪训练1 (1)已知f (x )＝(x －a )(x －b )(x －c )，则a f ′(a )＋b f ′(b )＋cf ′(c )＝________.答案 0解析 ∵f ′(x )＝(x －a )′(x －b )(x －c )＋(x －a )(x －b )′·(x －c )＋(x －a )(x －b )(x －c )′ ＝(x －b )(x －c )＋(x －a )(x －c )＋(x －a )(x －b )， ∴f ′(a )＝(a －b )(a －c )，f ′(b )＝(b －a )(b －c )＝－(a －b )(b －c )， f ′(c )＝(c －a )(c －b )＝(a －c )(b －c )． ∴a f ′(a )＋b f ′(b )＋cf ′(c )＝a (a －b )(a －c )－b (a －b )(b －c )＋c(a －c )(b －c )＝a (b －c )－b (a －c )＋c (a －b )(a －b )(b －c )(a －c )＝0.(2)求下列函数的导数． ①y ＝x 2－sin x 2cos x2；②y ＝e x －1e x ＋1；③y ＝x tan x .解 ①∵y ＝x 2－12sin x ，∴y ′＝2x －12cos x .②y ′＝(e x －1)′(e x ＋1)－(e x －1)(e x ＋1)′(e x ＋1)2＝e x (e x ＋1)－e x (e x －1)(e x ＋1)2＝2e x(e x ＋1)2. ③f ′(x )＝(x tan x )′＝(x sin xcos x )′＝(x sin x )′cos x －x sin x (cos x )′cos 2x＝(sin x ＋x cos x )cos x ＋x sin 2x cos 2x＝sin x cos x ＋xcos 2x＝12sin 2x ＋x cos 2x＝sin 2x ＋2x2cos 2x.类型二导数运算法则的综合应用命题角度1 利用导数求函数解析式例2 (1)已知函数f (x )＝ln xx＋2xf ′(1)，试比较f (e)与f (1)的大小关系；(2)设f (x )＝(ax ＋b )sin x ＋(cx ＋d )cos x ，试确定常数a ，b ，c ，d ，使得f ′(x )＝x cos x . 解 (1)由题意得f ′(x )＝1－ln xx 2＋2f ′(1)，令x ＝1，得f ′(1)＝1－ln 11＋2f ′(1)，即f ′(1)＝－1.∴f (x )＝ln xx－2x .∴f (e)＝ln e e －2e ＝1e －2e ，f (1)＝－2，由f (e)－f (1)＝1e－2e ＋2<0，得f (e)<f (1)．(2)由已知得f ′(x )＝[(ax ＋b )sin x ＋(cx ＋d )cos x ]′ ＝[(ax ＋b )sin x ]′＋[(cx ＋d )cos x ]′＝(ax ＋b )′sin x ＋(ax ＋b )(sin x )′＋(cx ＋d )′cos x ＋(cx ＋d )(cos x )′ ＝a sin x ＋(ax ＋b )cos x ＋c cos x －(cx ＋d )sin x ＝(a －cx －d )sin x ＋(ax ＋b ＋c )cos x . 又∵f ′(x )＝x cos x ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －d －cx ＝0，ax ＋b ＋c ＝x ，即⎩⎪⎨⎪⎧a －d ＝0，－c ＝0，a ＝1，b ＋c ＝0，解得a ＝d ＝1，b ＝c ＝0.反思与感悟 (1)中确定函数f (x )的解析式，需要求出f ′(1)，注意f ′(1)是常数． (2)中利用待定系数法可确定a ，b ，c ，d 的值．完成(1)(2)问的前提是熟练应用导数的运算法则．跟踪训练2 函数f (x )＝x 2x －1＋f ′(1)，则f ′(1)＝________.答案－1解析对f (x )求导，得f ′(x )＝2x －1－2x (2x －1)2＝－1(2x －1)2，则f ′(1)＝－1.命题角度2 与切线有关的问题例3 (1)若曲线y ＝x ln x 上点P 处的切线平行于直线2x －y ＋1＝0，则点P 的坐标是________．答案 (e ，e)解析设P (x 0，y 0)．∵y ＝x ln x ， ∴y ′＝ln x ＋x ·1x ＝1＋ln x ，∴k ＝1＋ln x 0.又k ＝2，∴1＋ln x 0＝2，∴x 0＝e.∴y 0＝eln e ＝e. ∴点P 的坐标是(e ，e)．(2)已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋3(a ≠0)，其导函数为f ′(x )＝2x －8. ①求a ，b 的值；②设函数g (x )＝e x sin x ＋f (x )，求曲线g (x )在x ＝0处的切线方程．解 ①因为f (x )＝ax 2＋bx ＋3(a ≠0)，所以f ′(x )＝2ax ＋b ，又知f ′(x )＝2x －8，所以a ＝1，b ＝－8. ②由①可知g (x )＝e x sin x ＋x 2－8x ＋3，所以g ′(x )＝e x sin x ＋e x cos x ＋2x －8，所以g ′(0)＝e 0sin 0＋e 0cos 0＋2×0－8＝－7. 又知g (0)＝3，所以g (x )在x ＝0处的切线方程为y －3＝－7(x －0)，即7x ＋y －3＝0.反思与感悟 (1)此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素．其他的条件可以进行转化，从而转化为这三个要素间的关系．(2)准确利用求导法则求出导函数是解决此类问题的第一步，也是解题的关键，务必做到准确． (3)分清已知点是否在曲线上，若不在曲线上，则要设出切点，这是解题时的易错点．跟踪训练3 (1)设曲线y ＝2－cos x sin x 在点(π2，2)处的切线与直线x ＋ay ＋1＝0垂直，则a ＝________.(2)设函数f (x )＝g (x )＋x 2，曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处切线的斜率为________．答案 (1)1 (2)4解析 (1)∵y ′＝sin 2x －(2－cos x )cos x sin 2x ＝1－2cos x sin 2x ，当x ＝π2时，y ′＝1－2cosπ2sin2π2＝1.又直线x ＋ay ＋1＝0的斜率是－1a ，∴－1a＝－1，即a ＝1.(2)因为曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，由导数的几何意义知g ′(1)＝2. 又因为f (x )＝g (x )＋x 2，所以f ′(x )＝g ′(x )＋2x ⇒f ′(1)＝g ′(1)＋2＝4，所以y ＝f (x )在点(1，f (1))处切线的斜率为4.1．设y ＝－2e x sin x ，则y ′等于( ) A ．－2e x cos x B ．－2e x sin x C ．2e x sin x D ．－2e x (sin x ＋cos x )答案 D解析 y ′＝－2(e x sin x ＋e x cos x )＝－2e x (sin x ＋cos x )．2．函数y ＝cos x1－x 的导数是( )A.－sin x ＋x sin x (1－x )2B.x sin x －sin x －cos x (1－x )2C.cos x －sin x ＋x sin x (1－x )2D.cos x －sin x ＋x sin x 1－x答案 C解析 y ′＝⎝⎛⎭⎫cos x 1－x ′＝(－sin x )(1－x )－cos x ·(－1)(1－x )2＝cos x －sin x ＋x sin x(1－x )2.3．对于函数f (x )＝e x x 2＋ln x －2kx ，若f ′(1)＝1，则k 等于( )A.e2 B.e3 C ．－e 2D ．－e 3答案 A解析 ∵f ′(x )＝e x (x －2)x 3＋1x ＋2kx 2，∴f ′(1)＝－e ＋1＋2k ＝1，解得k ＝e2，故选A.4．在平面直角坐标系xOy 中，若曲线y ＝ax 2＋bx (a ，b 为常数)过点P (2，－5)，且该曲线在点P 处的切线与直线7x ＋2y ＋3＝0平行，则a ＋b 的值是______．答案－3解析 y ＝ax 2＋b x 的导数为y ′＝2ax －bx 2，直线7x ＋2y ＋3＝0的斜率为－72.由题意得⎩⎨⎧4a ＋b2＝－5，4a －b 4＝－72，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2，则a ＋b ＝－3.5．曲线y ＝x 3＋3x 2＋6x －10的切线中，斜率最小的切线的方程为________________．答案 3x －y －11＝0解析 ∵y ′＝3x 2＋6x ＋6＝3(x 2＋2x ＋2) ＝3(x ＋1)2＋3≥3，∴当x ＝－1时，斜率最小，切点坐标为(－1，－14)， ∴切线方程为y ＋14＝3(x ＋1)，即3x －y －11＝0.1．导数的求法对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则．求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用．首先，在化简时，要注意化简的等价性，避免不必要的运算失误；其次，利用导数公式求函数的导数时，一定要将函数化为基本初等函数中的某一个，再套用公式求导数． 2．和与差的运算法则可以推广[f (x 1)±f (x 2)±…±f (x n )]′＝f ′(x 1)±f ′(x 2)±…±f ′(x n )． 3．积、商的求导法则(1)若c 为常数，则[c ·f (x )]′＝c ·f ′(x )； (2)[f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )， [f (x )g (x )]′＝f ′(x )·g (x )－f (x )·g ′(x )[g (x )]2； (3)当f (x )＝1时，有[1g (x )]′＝－g ′(x )[g (x )]2.课时作业一、选择题1．下列求导运算正确的是( ) A ．(x ＋3x )′＝1＋3x 2B ．(log 2x )′＝1x ln 2C ．(3x )′＝3x log 3eD ．(x 2cos x )′＝－2x sin x 答案 B解析选项A ，(x ＋3x )′＝1－3x 2，故错误；选项B ，(log 2x )′＝1x ln 2，故正确；选项C ，(3x )′＝3x ln 3，故错误；选项D ，(x 2cos x )′＝2x cos x －x 2sin x ，故错误．故选B.2．若函数f (x )＝e x sin x ，则此函数图象在点(4，f (4))处的切线的倾斜角为( ) A.π2 B ．0 C ．钝角 D ．锐角答案 C解析 ∵f ′(x )＝e x sin x ＋e x cos x ， ∴f ′(4)＝e 4(sin 4＋cos 4)．∵π<4<32π，∴sin 4<0，cos 4<0，∴f ′(4)<0.由导数的几何意义得，切线的倾斜角为钝角．3．若函数f (x )＝(x －1)(x －2)(x －3)(x －4)(x －5)，且f ′(x )是函数f (x )的导函数，则f ′(1)等于( )A ．24B ．－24C ．10D ．－10 答案 A解析 ∵f ′(x )＝(x －1)′[(x －2)(x －3)(x －4)(x －5)]＋(x －1)[(x －2)(x －3)(x －4)(x －5)]′ ＝(x －2)(x －3)(x －4)(x －5)＋(x －1)[(x －2)(x －3)(x －4)(x －5)]′， ∴f ′(1)＝(1－2)·(1－3)·(1－4)·(1－5)＋0＝24. 4．函数f (x )＝x cos x －sin x 的导函数是( ) A ．奇函数 B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数，又不是偶函数答案 B解析 f ′(x )＝(x cos x )′－(sin x )′ ＝cos x －x sin x －cos x ＝－x sin x .令F (x )＝－x sin x ，x ∈R ，则F (－x )＝x sin(－x )＝－x sin x ＝F (x )， ∴f ′(x )是偶函数．5．设曲线y ＝x ＋1x －1在点(3,2)处的切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直，则a 等于( )A ．2 B.12 C ．－12 D ．－2答案 D解析 ∵y ＝x ＋1x －1＝1＋2x －1，∴y ′＝－2(x －1)2，∴y ′|x ＝3＝－12. ∴－a ＝2，即a ＝－2.6．已知f 1(x )＝sin x ＋cos x ，f n ＋1(x )是f n (x )的导函数，即f 2(x )＝f 1′(x )，f 3(x )＝f 2′(x )，…，f n＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N *，则f 1(x )＋f 2(x )＋…＋f 2 015(x )等于( )A ．－sin x ＋cos xB ．sin x －cos xC ．－sin x －cos xD ．sin x ＋cos x答案 A解析因为f 1(x )＝sin x ＋cos x ， f n ＋1(x )是f n (x )的导函数，所以f 2(x )＝f 1′(x )＝cos x －sin x ， f 3(x )＝f 2′(x )＝－sin x －cos x ， f 4(x )＝f 3′(x )＝－cos x ＋sin x ， f 5(x )＝f 4′(x )＝sin x ＋cos x ，…，由此发现f n ＋1(x )是f n (x )的导函数，并且周期为4，每个周期的和为0，所以f 1(x )＋f 2(x )＋…＋f 2 015(x )＝f 1(x )＋f 2(x )＋f 3(x )＝cos x －sin x ．故选A.7．在下面的四个图象中，其中一个图象是函数f (x )＝13x 3＋ax 2＋(a 2－1)x ＋1(a ∈R )的导函数y＝f ′(x )的图象，则f (－1)等于( )A.13 B ．－13C.73 D ．－13或53答案 B解析 ∵f ′(x )＝x 2＋2ax ＋(a 2－1)， ∴导函数f ′(x )的图象开口向上，故其图象必为第三个图．由图象特征知f ′(0)＝0，且对称轴－a >0，∴a ＝－1，则f (－1)＝－13－1＋1＝－13，故选B. 二、填空题8．设f (5)＝5，f ′(5)＝3，g (5)＝4，g ′(5)＝1，若h (x )＝f (x )＋2g (x )，则h ′(5)＝________. 答案 516解析由题意知f (5)＝5，f ′(5)＝3，g (5)＝4，g ′(5)＝1，∵h ′(x )＝f ′(x )g (x )－[f (x )＋2]g ′(x )[g (x )]2， ∴h ′(5)＝f ′(5)g (5)－[f (5)＋2]g ′(5)[g (5)]2＝3×4－(5＋2)×142＝516. 9．已知f (x )＝13x 3＋3xf ′(0)，则f ′(1)＝________. 答案 1解析 ∵f ′(x )＝x 2＋3f ′(0)，令x ＝0，则f ′(0)＝0，∴f ′(1)＝12＋3f ′(0)＝1.10．已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的方程为______________．答案 x －y －1＝0解析 ∵点(0，－1)不在曲线f (x )＝x ln x 上，∴设切点为(x 0，y 0)．又∵f ′(x )＝1＋ln x ，∴⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝x 0ln x 0，y 0＋1＝(1＋ln x 0)x 0，解得x 0＝1，y 0＝0.∴切点为(1,0)，∴f ′(1)＝1＋ln 1＝1.∴直线l 的方程为y ＝x －1，即x －y －1＝0.11．已知曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，则a ＝________. 答案 8解析由y ＝x ＋ln x ，得y ′＝1＋1x，得曲线在点(1,1)处的切线的斜率为k ＝y ′|x ＝1＝2，所以切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1.此切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，消去y ，得ax 2＋ax ＋2＝0，所以a ≠0且Δ＝a 2－8a ＝0，解得a ＝8.三、解答题12．若函数f (x )＝e x x在x ＝c 处的导数值与函数值互为相反数，求c 的值．解 ∵f ′(x )＝e x x －e x x 2＝e x (x －1)x 2， ∴f ′(c )＝e c (c －1)c 2. 依题意知f (c )＋f ′(c )＝0，即e c c ＋e c (c －1)c 2＝0， ∴2c －1＝0，得c ＝12. 13．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 通过点P (1,1)，且在点Q (2，－1)处与直线y ＝x －3相切，求实数a 、b 、c 的值．解 ∵曲线y ＝ax 2＋bx ＋c 过点P (1,1)，∴a ＋b ＋c ＝1. ①∵y ′＝2ax ＋b ，当x ＝2时，y ′＝4a ＋b .∴4a ＋b ＝1. ②又曲线过点Q (2，－1)，∴4a ＋2b ＋c ＝－1. ③联立①②③，解得a ＝3，b ＝－11，c ＝9.四、探究与拓展14．在等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，函数f (x )＝x (x －a 1)·(x －a 2)…(x －a 8)，则f ′(0)＝________. 答案 4 096解析 ∵f ′(x )＝x ′(x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)＋x (x －a 1)′(x －a 2)…(x －a 8)＋…＋x (x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)′＝(x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)＋x (x －a 2)…(x －a 8)＋…＋x (x －a 1)(x －a 2)…(x －a 7)，∴f ′(0)＝a 1·a 2·…·a 8＝(a 1a 8)4＝84＝4 096.15．设函数f (x )＝ax －b x，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0. (1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．(1)解由7x －4y －12＝0，得y ＝74x －3. 当x ＝2时，y ＝12，∴f (2)＝12， ①又f ′(x )＝a ＋b x 2，∴f ′(2)＝74， ②由①②得⎩⎨⎧ 2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3. 故f (x )＝x －3x . (2)证明设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x 2知，曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为 y －y 0＝(1＋3x 20)(x －x 0)，即y －(x 0－3x 0)＝(1＋3x 20)(x －x 0)．令x ＝0，得y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为(0，－6x 0)．令y ＝x ，得y ＝x ＝2x 0，从而切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0，2x 0)．所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为12|－6x 0||2x 0|＝6. 故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.。

2018版数学选修2-2学案：综合检测含答案精品

综合检测(时间：120分钟满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分) 1．i 是虚数单位，复数1－3i1－i 的共轭复数是________．答案 2＋i解析 ∵1－3i 1－i ＝(1－3i )(1＋i )(1－i )(1＋i )＝4－2i2＝2－i ，∴1－3i1－i的共轭复数是2＋i. 2．演绎推理“因为对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)是增函数，而函数y ＝log 12x 是对数函数，所以y ＝log 12x 是增函数”所得结论错误的原因是________．(填序号)①大前提错误； ②小前提错误；③推理形式错误； ④大前提和小前提都错误．答案 ①解析对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)，当a >1时是增函数，当0<a <1时是减函数，故大前提错误．3．用反证法证明命题：“若a ，b ∈N ，ab 能被3整除，那么a ，b 中至少有一个能被3整除”时，假设应为________________．答案 a ，b 都不能被3整除解析 “至少有一个”的否定为“一个也没有”．4．i 为虚数单位，复平面内表示复数z ＝－i 2＋i 的点在第________象限．答案三解析因为z ＝－i 2＋i ＝－i (2－i )5＝－15－25i ，所以复平面内表示复数z ＝－i 2＋i 的点在第三象限．5．对于不重合的直线m ，l 和平面α，β，要证明α⊥β，需要具备的条件是________．(填序号)①m ⊥l ，m ∥α，l ∥β； ②m ⊥l ，α∩β＝m ，l ⊂α； ③m ∥l ，m ⊥α，l ⊥β； ④m ∥l ，l ⊥β，m ⊂α.答案 ④解析 ①与两相互垂直的直线平行的平面的位置关系不能确定；②平面内的一条直线与另一个平面的交线垂直，这两个平面的位置关系也不能确定；③这两个平面平行；④是成立的． 6．求证：7－1>11－ 5. 证明：要证7－1>11－5，只需证7＋5>11＋1，即证7＋27×5＋5>11＋211＋1，即证35>11，即证35>11， ∵35>11恒成立，∴原式成立．以上证明过程应用了________法．答案分析解析由分析法的特点可知应用了分析法．7．已知y ＝f (x )是奇函数，当x ∈(0,2)时，f (x )＝ln x －ax (a >12)，当x ∈(－2,0)时，f (x )的最小值为1，则a 的值等于________．答案 1解析由题意知，当x ∈(0,2)时，f (x )的最大值为－1. 令f ′(x )＝1x －a ＝0，得x ＝1a ，当0<x <1a 时，f ′(x )>0；当x >1a时，f ′(x )<0.∴f (x )max ＝f (1a )＝－ln a －1＝－1，解得a ＝1.8．定义在R 上的函数f (x )满足：f ′(x )＞1－f (x )，f (0)＝6，f ′(x )是f (x )的导函数，则不等式e x f (x )＞e x ＋5(其中e 为自然对数的底数)的解集为______________．答案 (0，＋∞)解析由题意可知不等式为e x f (x )－e x －5＞0，设g (x )＝e x f (x )－e x －5， ∴g ′(x )＝e x f (x )＋e x f ′(x )－e x ＝e x [f (x )＋f ′(x )－1]＞0.∴函数g (x )在定义域上是增函数．又∵g (0)＝0， ∴g (x )＞0的解集为(0，＋∞)．9.图中阴影部分的面积是________．答案 e ＋1e－2解析阴影部分的面积S ＝ʃ10(e x －e －x )d x ＝ |(e x ＋e －x )10＝e ＋1e－2. 10．若曲线f (x )＝x 3＋x －2在点P 处的切线平行于直线y ＝4x －1，则点P 的坐标为________．答案 (1,0)或(－1，－4)解析设点P 的坐标为(a ，b )，因为f ′(x )＝3x 2＋1，所以点P 处的切线的斜率为f ′(a )＝3a 2＋1，又切线平行于直线y ＝4x －1，所以3a 2＋1＝4，解得a ＝±1.当a ＝1时，由P (a ，b )为曲线f (x )＝x 3＋x －2上的点，得b ＝0；当a ＝－1时，同理可得b ＝－4，所以点P 的坐标为(1,0)或(－1，－4)．11．若复数z ＝cos θ－isin θ所对应的点在第四象限，则θ为第________象限角．答案一解析由已知得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ>0，－sin θ<0，∴θ为第一象限角．12．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－x －1在(－∞，＋∞)上是单调函数，则实数a 的取值范围是________．答案 [－3，3]解析依题意可知函数f (x )在(－∞，＋∞)上是减函数，所以f ′(x )＝－3x 2＋2ax －1≤0在(－∞，＋∞)上恒成立，则Δ＝4a 2－12≤0，解得－3≤a ≤ 3. 13．复数11－x2＋(2－2x)i(x ∈R )在复平面内的对应点位于第________象限．答案一解析由题意可得11－x 2>0，解得－1<x <1，故2－2x >0，所以复数11－x2＋(2－2x)i(x ∈R )在复平面内的对应点位于第一象限．14．如图所示的数阵中，第20行第2个数字是________．112 12 13 14 13 14 17 17 14 15 111 111 111 15答案1191解析设第n (n ≥2且n ∈N *)行的第2个数字为1a n ，其中a 1＝1，则由数阵可知a n ＋1－a n ＝n ，∴a 20＝(a 20－a 19)＋(a 19－a 18)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝19＋18＋…＋1＋1＝19×202＋1＝191，∴1a 20＝1191. 二、解答题(本大题共6小题，共90分)15．(14分)已知复数z ＝a 2－7a ＋6a 2－1＋(a 2－5a －6)i(a ∈R )，试求实数a 取什么值时，z 分别为(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．解 (1)当z 为实数时，则a 2－5a －6＝0，且a 2－7a ＋6a 2－1有意义，∴a ＝－1或a ＝6，且a ≠±1， ∴当a ＝6时，z 为实数．(2)当z 为虚数时，则a 2－5a －6≠0，且a 2－7a ＋6a 2－1有意义，∴a ≠－1，且a ≠6，且a ≠±1. ∴当a ≠±1，且a ≠6时，z 为虚数，即当a ∈(－∞，－1)∪(－1,1)∪(1,6)∪(6，＋∞)时，z 为虚数． (3)当z 为纯虚数时，则有a 2－5a －6≠0，且a 2－7a ＋6a 2－1＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≠－1，且a ≠6，a ＝6. ∴不存在实数a 使z 为纯虚数．16．(14分)求函数f (x )＝x (e x －1)－12x 2的单调区间．解 f ′(x )＝e x －1＋x e x －x ＝(e x －1)(x ＋1)．当x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )>0；当x ∈(－1,0)时，f ′(x )<0；当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0.故f (x )在(－∞，－1)，(0，＋∞)上是增函数，在(－1,0)上是减函数． 17．(14分)已知a >5，求证：a －5－a －3<a －2－a . 证明要证a －5－a －3<a －2－a ，只需证a －5＋a <a －3＋a －2，只需证(a －5＋a )2<(a －3＋a －2)2，只需证2a －5＋2a 2－5a <2a －5＋2a 2－5a ＋6，只需证a 2－5a <a 2－5a ＋6，只需证a 2－5a <a 2－5a ＋6，只需证0<6. 因为0<6恒成立，所以a －5－a －3<a －2－a 成立．18．(16分)在数列{a n }中，a 1＝12，a n ＋1＝3a na n ＋3，求a 2、a 3、a 4的值，由此猜想数列{a n }的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想．解 a 1＝12＝36，a 2＝37，a 3＝38，a 4＝39，猜想a n ＝3n ＋5，下面用数学归纳法证明：①当n ＝1时，a 1＝31＋5＝12，猜想成立． ②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时猜想成立，即a k ＝3k ＋5.则当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝3a k a k ＋3＝3·3k ＋53k ＋5＋3＝3(k ＋1)＋5，所以当n ＝k ＋1时猜想也成立，由①②知，对n ∈N *，a n ＝3n ＋5都成立．19．(16分)已知△ABC 的三边长为a ，b ，c ，且其中任意两边长均不相等．若1a ，1b ，1c 成等差数列． (1)比较b a与cb的大小，并证明你的结论； (2)求证：B 不可能是钝角． (1)解大小关系为b a<c b. 证明如下：要证b a<c b，只需证b a <c b，由题意知a ，b ，c >0，只需证b 2<ac ， ∵1a ，1b ，1c 成等差数列， ∴2b ＝1a ＋1c≥21ac，∴b 2≤ac ，又a ，b ，c 都不相等，∴b 2<ac 成立．故所得大小关系正确．(2)证明假设B 是钝角，则cos B <0，而cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac >2ac －b 22ac >ac －b 22ac >0.这与cos B <0矛盾，故假设不成立． ∴B 不可能是钝角．20．(16分)已知函数f (x )＝ln(1＋x )－x ＋k2x 2(k ≥0)．(1)当k ＝2时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)求f (x )的单调区间．解 (1)当k ＝2时，f (x )＝ln(1＋x )－x ＋x 2， f ′(x )＝11＋x －1＋2x .由于f (1)＝ln2，f ′(1)＝32，所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为 y －ln2＝32(x －1)，即3x －2y ＋2ln2－3＝0.(2)f ′(x )＝x (kx ＋k －1)1＋x ，x ∈(－1，＋∞)．当k ＝0时，f ′(x )＝－x1＋x .所以在区间(－1,0)上，f ′(x )>0；在区间(0，＋∞)上，f ′(x )<0. 故f (x )的单调增区间是(－1,0)，单调减区间是(0，＋∞)．当0<k <1时，由f ′(x )＝x (kx ＋k －1)1＋x ＝0，得x 1＝0，x 2＝1－kk>0.所以在区间(－1,0)和(1－kk ，＋∞)上，f ′(x )>0；在区间(0，1－kk)上，f ′(x )<0.故f (x )的单调增区间是(－1,0)和(1－kk ，＋∞)，单调减区间是(0，1－kk )．当k ＝1时，f ′(x )＝x 21＋x.故f (x )的单调增区间是(－1，＋∞)．当k >1时，由f ′(x )＝x (kx ＋k －1)1＋x ＝0，得x 1＝1－kk∈(－1,0)，x 2＝0.所以在区间(－1，1－kk )和(0，＋∞)上，f ′(x )>0；在区间(1－kk ，0)上，f ′(x )<0.故f (x )的单调增区间是(－1，1－kk)和(0，＋∞)，单调减区间是(1－kk ，0)．。

人教A版数学选修2-2习题模块综合评价(二) Word版含答案

模块综合评价(二)(时间：分钟满分：分)一、选择题(本大题共小题，每小题分，共分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)．(·课标全国Ⅰ卷)设复数满足＝，则＝( )．．解析：由＝得＝＝＝，所以＝.答案：．若＝θ－θ，则使＝－的θ值可能是( )．．π．π解析：＝( θ－θ)＝θ－θ，又＝－，所以θ＝－，θ＝，检验知θ＝.答案：．设()＝＋，则′()等于( )．．＋)＋．解析：′()＝＋)，所以′()＝＋)＝＋ .答案：．用数学归纳法证明“＋＋＋…＋＜(∈*，＞)”时，由＝(＞)不等式成立，推证＝＋时，左边应增加的项数是( )．－．－．．＋解析：左边的特点是分母逐渐增加，末项为；由＝时，末项为到＝＋时末项为＝，所以应增加的项数为.答案：．用反证法证明命题：“若，∈，能被整除，那么，中至少有一个能被整除”时，假设应为( )．，都能被整除．，都不能被整除．不能被整除．，不都能被整除解析：因为“至少有一个”的否定为“一个也没有”．答案：．若＞，＞，且函数()＝－－＋在＝处有极值，则的最大值等于( )．．．．解析：因为′()＝－－，又因为在＝处有极值，所以＋＝，因为＞，＞，所以≤＝，当且仅当＝＝时取等号，所以的最大值等于.答案：．观察数列，，，，，，，，，，…的特点，按此规律，则第项为( )．．．．解析：设∈*，则数字共有个，所以≤，即(＋)≤，又因为∈*，所以＝，到第个时共有＝项，从第项开始为，故第项为.答案：．已知函数()＝－＋－－在(－∞，＋∞)上是单调函数，则实数的取值范围是( )．(－∞，－)∪(，＋∞)．(－，)．(－∞，－)∪[，＋∞)．解析：′()＝－＋－，因为()在(－∞，＋∞)上是单调函数，且′()的图象是开口向下的抛物线，所以′()≤恒成立，所以Δ＝－≤，所以－≤≤.答案：．若()＝＋()，则()＝( )．－．－．解析：设()＝，则()＝＋，＝()＝(＋)＝＝＋，解得＝－.答案：．已知函数()的导函数′()＝(－)＋的图象如图所示，则函数()的图象可能是( )解析：由导函数图象可知，当＜时，函数()递减，排除，；当＜＜时，′()＞，函数()递增．因此，当＝时，()取得极小值，所以选项正确．答案：.已知函数()满足()＝，导函数′()的图象如图所示，则()的图象与轴围成的封闭图形的面积为( )。

2018年高中数学人教A版选修2-2模块综合检测习题含解析

模块综合检测(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1已知复数z满足(z-1)i=1+i,则z=()A.-2-iB.-2+iC.2-iD.2+i答案C2已知a<0,-1<b<0,则下列各式成立的是()A.a>ab>ab2B.ab2>ab>aC.ab>a>ab2D.ab>ab2>a解析∵-1<b<0,∴0<b2<1,b2>b.又a<0,∴a<ab2<0,ab2<ab.故选D.答案D)3若复数(a∈R)是纯虚数,则复数2a+2i在复平面内对应的点在(A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析-=(a+1)+(1-a)i,由题意得a=-1,所以2a+2i=-2+2i.在复平面内对应的点为(-2,2),即在第二象限.答案B4已知直线y=kx+1与曲线y=x2+ax+b相切于点A(1,3),则a-b等于()A.-4B.-1C.3D.-2解析因为点A(1,3)在直线y=kx+1上,所以k=2.又y=x2+ax+b,则y'=2x+a,所以k=y'|x=1,即2=2×1+a,所以a=0.又点A(1,3)在曲线y=x2+ax+b上,所以b=2,a-b=-2.故选D.答案D5下列推理正确的是()A.因为m>n,m>p,所以m-n>m-pB.如果不买彩票,那么就不能中大奖,因为你买了彩票,所以你一定能中大奖C.如果m,n均为正实数,那么(m+n)2≥4mnD.如果m,n均为正实数,那么lg m+lg n≥2解析由m>n,m>p可能有m-n<m-p,例如2-1<2-(-1),故选项A不正确;选项B显然不正确;当m,n均为正实数时,lg m,lg n不一定为正数,所以lg m+lg n≥2不一定成立,故选项D不正确.答案C6设函数f(x)在定义域内可导,y=f(x)的图象如图,则导函数y=f'(x)的图象可能为()解析如图,可知函数f(x)在区间(-∞,0),(0,a)和(b,+∞)内是增函数,f'(x)>0,y=f'(x)的图象在x轴的上方;函数f(x)在区间(a,b)内是减函数,f'(x)<0,y=f'(x)的图象在x轴的下方.综上可知,D选项正确,故选D.答案D7用数学归纳法证明等式1+2+3+…+(n+3)=的项是()(n∈N*)时,第一步验证当n=1时,左边应取A.1C.1+2+3B.1+2D.1+2+3+4解析等式左边的规律是从1一直加到n+3.所以当n=1时,应为1+2+3+4.故选D.答案D8n个连续自然数按规律排成下表:根据规律,从2016到2018,箭头的方向依次为()A.↓→B.→↑C.↑→D.→↓解析由已知可得箭头变化的周期为4,故由答案A9给出以下命题:(1)若f(x)d x>0,则f(x)>0;(2)|sin x|d x=4;得从2016到2018的方向为选项A中所示.(3)F(x)是以T为周期的函数,且F'(x)=f(x),则f(x)d x=其中正确命题的个数为()f(x)d x.A.1解析(1)错误.如B.2-x d x=x2-C.3D.0>0,但f(x)=x在(-1,2)上不满足f(x)>0.(2)正确.|sin x|d x=sin x d x+(-sin x)d x=4.(3)正确.f(x)d x=F(x)=F(a)-F(0),f(x)d x=F(x)=F(a+T)-F(T)=F(a)-F(0).答案B10已知对任意实数x,有f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),且当x>0时,f'(x)>0,g'(x)>0,则当x<0时()A.f'(x)>0,g'(x)>0B.f'(x)>0,g'(x)<0C.f'(x)<0,g'(x)>0D.f'(x)<0,g'(x)<0解析由题意可知y=f(x)是奇函数,y=g(x)是偶函数.因为当x>0时,y=f(x),y=g(x)是增函数,所以当x<0时,y=f(x)是增函数,y=g(x)是减函数,即当x<0时,f'(x)>0,g'(x)<0.答案B11下面给出了关于复数的四种类比推理:①复数的加减法运算法则,可以类比多项式的加减法运算法则;②由向量a的性质:|a|2=a2,可以类比得到复数z的性质:|z|2=z2;③关于x的方程ax2+bx+c=0(a,b,c∈R)有两个不同实根的条件是b2-4ac>0,类比可得关于x的方程ax2+bx+c=0(a,b,c∈C)有两个不同复数根的条件是b2-4ac>0;④由向量加法的几何意义,可以类比得到复数加法的几何意义.-其中类比得到的结论正确的是( ) A.①③B.②④C.②③D.①④解析②中|z|2∈R ,而 z 2 不一定是实数.③中复数集中不能比较大小,不能用 b 2-4ac 来确定根的个数.答案 D12 如图,设 T 是直线 x=-1,x=2,y=0 以及过 x=-1,x=2 与 y=x 2 交点的直线围成的直角梯形区域,S 是T 内函数 y=x 2 图象下方的点构成的区域(图中阴影部分).向 T 中随机投一点,则该点落入 S 中的概率为( )A.B.C.D.解析解方程组得曲线 y=x 2 与直线 x=-1 交点的纵坐标 y 1=1;解方程组得曲线 y=x 2 与直线 x=2 交点的纵坐标 y 2=4.所以直角梯形区域 T 的面积为×[2-(-1)]= .又因为阴影部分 S 的面积为-x 2d x=x 3 -=3,所以向 T中随机投一点,则该点落入 S 中的概率为.答案 B二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把答案填在题中的横线上)13 已知 i 是虚数单位,若复数(1-2i)(a+i)是纯虚数,则实数 a 的值为.答案-2-14 已知函数 f (x )=在其图象上点(1,f (1))处的切线方程为 y=2x+1,则 f (x )在- --点(-3,f (-3))处的切线方程为 .解析在 y=2x+1 中,令 x=1,得 y=3,所以 f (1)=3,所以 a+b+c=3.对函数 f (x )=ax 2+bx+c 求导得 f'(x )=2ax+b ,则 f'(1)=2a+b=2.由已知得 f (-3)=f (3-2)=f (1)=3,对函数 f (x )=f (-x-2)求导得 f'(x )=-f'(-x-2), 所以 f'(-3)=-f'(3-2)=-2,所以 f (x )在点(-3,f (-3))处的切线方程为 y-3=-2(x+3),即 y=-2x-3.答案 y=-2x-315 设等边三角形 ABC 的边长为 a ,P △是 ABC 内的任意一点,且 P 到三边 AB ,BC ,CA 的距离分别为d 1,d 2,d 3,则有 d 1+d 2+d 3 为定值 a.由这个平面图形的特性类比空间图形:设四面体 ABCD 的棱长均为a ,P 是四面体 ABCD 内的任意一点,且点 P 到平面 ABC ,平面 ABD ,平面 ACD ,平面 BCD 的距离分别为 d 1,d 2,d 3,d 4,则有 d 1+d 2+d 3+d 4 为定值 .解析在等边三角形 ABC 中,d 1+d 2+d 3= a △为 ABC 的高,类比四面体中,d 1+d 2+d 3+d 4 也应为四面体的高 a.答案 a16 若偶函数 f (x )在 x ∈(0,+∞)时满足 f'(x )>,且 f (1)=0,则不等式 ≥0 的解集是 .解析设 g (x )=(x>0),则 g'(x )=->0,所以 g (x )在(0,+∞)内是增函数.当 x>0 时,由 ≥0= ,得 x ≥1;当 x<0 时,-x>0, ≥0⇔ ≤0⇔ - ≤0⇔-x ≤1,所以-1≤x<0.- -答案[-1,0)∪[1,+∞)三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(12 分)若复数 z 1 满足 z 1=i(2-z 1)(i 为虚数单位).(1)求 z 1; (2)求| |;(3)若|z|=1,求|z-z 1|的最大值.分析先由已知条件求出复数 z 1,再利用复数模的定义及其几何意义求解.解(1)由 z 1=i(2-z 1),得 z 1==1+i .(2)| |=|z 1|=.(3)|z-z 1|表示复数 z 与 z 1 分别对应的点 Z 与 Z 1 间的距离,Z 在圆 x 2+y 2=1 上,Z 1(1,1),显然 Z ,Z 1 间的最大距离为 +1,即|z-z 1|的最大值为 +1.18(12 分)设两抛物线 y=-x 2+2x ,y=x 2 所围成的图形为 M ,求 M 的面积.分析先求得两抛物线的交点坐标,再作出草图,结合图形求解.-解解方程组得两抛物线的交点坐标为(0,0),(1,1).函数 y=-x 2+2x 与 y=x 2 在同一坐标平面内的图象如图所示,由图可知,图形 M 的面积为(-x 2+2x-x 2)d x=(-2x 2+2x )d x= - .所以 M 的面积为 .19(12 分)△已知 ABC 的三边长分别为 a ,b ,c ,且其中任意两边长均不相等.若成等差数列,比较与的大小,并证明你的结论.解大小关系为,证明如下:要证,只需证,因为 a ,b ,c>0,所以只需证 b 2<ac. 因为成等差数列,所以≥2.所以 b 2≤ac.又 a ,b ,c 任意两边均不相等,所以 b 2<ac 成立. 故所得大小关系正确.20(12 分)△设 ABC 的两个内角 A ,B 所对的边分别为 a ,b ,复数 z 1=a+b i,z 2=cos A+icos B ,若复数 z 1· z 2为纯虚数,试判断△ABC 的形状,并说明理由.分析利用复数为纯虚数的条件,结合正弦定理及三角知识求解.△解 ABC 为等腰三角形或直角三角形.理由如下:因为 z 1=a+b i,z 2=cos A+icos B ,所以z1·z2=(a cos A-b cos B)+i(a cos B+b cos A).又z1·z2为纯虚数,所以①②由①及正弦定理,得sin A cos A=sin B cos B,即sin2A=sin2B.因为A,B△为ABC的内角,所以0<2A<2π,0<2B<2π,且2A+2B<2π.所以2A=2B或2A=π-2B,即A=B或A+B=.也就是A=B或C=.由②及正弦定理,得sin A cos B+sin B cos A≠0,即sin(A+B)≠0.因为A,B△是ABC的内角,所以0<A+B<π.所以sin(A+B)≠0成立.综上所述,知A=B或C=.故ABC为等腰三角形或直角三角形.△21(12分)已知函数f(x)=e x(ax2+a+1)(a∈R).(1)若a=-1,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(2)若f(x)≥对任意x∈[-2,-1]恒成立,求实数a的取值范围.解(1)当a=-1时,f(x)=-x2e x,f(1)=-e.f'(x)=-2x e x-x2e x.因为切点为(1,-e),则k=f'(1)=-3e,所以f(x)在点(1,-e)处的切线方程为y=-3e x+2e.(2)由题意得,f(-2)=e-2(4a+a+1)≥,解得a≥.f'(x)=e x(ax2+2ax+a+1)=e x[a(x+1)2+1].因为a≥,所以f'(x)>0恒成立,所以f(x)在[-2,-1]上单调递增.要使f(x)≥恒成立,则f(-2)=e-2(4a+a+1)≥,即a≥.故实数a的取值范围是.22(14分)设函数f(x)=(x-1)3-ax-b,x∈R,其中a,b∈R.(1)求 f (x )的单调区间;(2)若 f (x )存在极值点 x 0,且 f (x 1)=f (x 0),其中 x 1≠x 0,求证:x 1+2x 0=3;(3)设 a>0,函数 g (x )=|f (x )|,求证:g (x )在区间[0,2]上的最大值不小于 .(1)解由 f (x )=(x-1)3-ax-b ,可得 f'(x )=3(x-1)2-a.下面分两种情况讨论:①当 a ≤0 时,有 f'(x )=3(x-1)2-a ≥0 恒成立,所以 f (x )的单调递增区间为(-∞,+∞).②当 a>0 时,令 f'(x )=0,解得 x=1+,或 x=1- .当 x 变化时,f'(x ),f (x )的变化情况如下表:-∞,- ,3a3,x1- 1+f'(x ) + 0 - 0 +f (x )单调递极大单调递极小单调递增值减值增所以 f (x )的单调递减区间为 -,单调递增区间为 --.(2)证明因为 f (x )存在极值点,所以由(1)知 a>0,且 x 0≠1.由题意,得 f'(x 0)=3(x 0-1)2-a=0,即(x 0-1)2= ,进而f (x 0)=(x 0-1)3-ax 0-b=- x 0- -b.又 f (3-2x 0)=(2-2x 0)3-a (3-2x 0)-b= (1-x 0)+2ax 0-3a-b=- x 0- -b=f (x 0),且 3-2x 0≠x 0,由题意及(1)知,存在唯一实数 x 1 满足 f (x 1)=f (x 0),且 x 1≠x 0,因此 x 1=3-2x 0.所以 x 1+2x 0=3.(3)证明设 g (x )在区间[0,2]上的最大值为 M ,max{x ,y }表示 x ,y 两数的最大值.下面分三种情况讨论:①当 a ≥3 时,1-≤0<2≤1+ ,由(1)知,f (x )在区间[0,2]上单调递减,所以 f (x )在区间[0,2]上的取值范围为[f (2),f (0)],因此 M=max{|f (2)|,|f (0)|}=max{|1-2a-b|,|-1-b|}=max{|a-1+(a+b )|,|a-1-(a+b )|}=-- - .所以 M=a-1+|a+b|≥2.②当 ≤a<3 时,1-≤0<1- <1+ <2≤1+ ,由(1)和(2)知 f (0)≥f - =f3 3,f (2)≤f 1+23 3=f 1-3 3,所以 f (x )在区间[0,2]上的取值范围为-,因此M=max-=max-----=max-=+|a+b|≥.③当0<a<时,0<1-<1+<2,由(1)和(2)知f(0)<f-=f,f(2)>f=f-,所以f(x)在区间[0,2]上的取值范围为[f(0),f(2)],因此M=max{|f(0)|,|f(2)|}=max{|-1-b|,|1-2a-b|} =max{|1-a+(a+b)|,|1-a-(a+b)|}=1-a+|a+b|>.综上所述,当a>0时,g(x)在区间[0,2]上的最大值不小于.。

2017-2018学年人教A版数学选修2-2模块综合检测(二)含解析

模块综合检测(二)（时间120分钟，满分150分）一、选择题(本大题共10小题,每小题5分，共50分)1．（辽宁高考)设复数z满足（z－2i)(2－i）＝5，则z＝（）A．2＋3i B．2－3iC．3＋2i D．3－2i解析：选A z＝错误!＋2i＝错误!＋2i＝2＋i＋2i＝2＋3i.2．设△ABC的三边长分别为a，b，c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r,则r＝错误!；类比这个结论可知:四面体PABC的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，内切球的半径为r，四面体PABC的体积为V，则r＝（）A.错误!B。

错误!C.错误!D.错误!解析:选C 将△ABC的三条边长a，b，c类比到四面体PABC 的四个面面积S1,S2，S3,S4,将三角形面积公式中系数错误!，类比到三棱锥体积公式中系数错误!，从而可知选C。

证明如下：以四面体各面为底，内切球心O为顶点的各三棱锥体积的和为V，∴V＝错误!S1r＋错误! S2r＋错误!S3r＋错误!S4r，∴r＝错误!.3．三段论：“①所有的中国人都坚强不屈;②雅安人是中国人;③雅安人一定坚强不屈"中,其中“大前提”和“小前提”分别是（)A．①②B．①③C．②③D．②①解析:选A 解本题的关键是透彻理解三段论推理的形式和实质：大前提是一个“一般性的命题(①所有的中国人都坚强不屈）”，小前提是“这个特殊事例是否满足一般性命题的条件(②雅安人是中国人)"，结论是“这个特殊事例是否具有一般性命题的结论（③雅安人一定坚强不屈）”．故选A.4．设函数f（x）＝x m＋ax的导函数f′(x)＝2x＋1，则错误!错误!f(－x）d x的值等于（)A。

错误! B.错误!C。

错误!D。

错误!解析：选A 由于f(x）＝x m＋ax的导函数f′(x)＝2x＋1，所以f（x)＝x2＋x,于是错误!错误!f（－x)d x＝错误!错误!（x2－x)d x＝错误!错误!＝错误!.5．在数列{a n}中，a1＝错误!,且S n＝n（2n－1)a n,通过求a2，a3，a4,猜想a n的表达式为( )A。

2018学年高中数学人教A版选修2-2习题综合检测2基础卷含答案

第二章综合检测(基础卷)时间120分钟，满分150分．一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．下列表述正确的是导学号 10510649( ) ①归纳推理是由部分到整体的推理； ②归纳推理是由一般到一般的推理； ③演绎推理由一般到特殊的推理； ④类比推理是由特殊到一般的推理； ⑤类比推理是由特殊到特殊的推理． A ．①②③ B ．②③④ C ．②④⑤ D ．①③⑤[答案] D[解析] 由推理的特征知，归纳推理是由特殊到一般的推理，所以②不正确．类比推理是由特殊到特殊的推理．2．设1a <1b <0，则在①a 2>b 2；②a ＋b >2ab ；③ab |a |＋|b |.这4个不等式中恒成立的有导学号 10510650( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 [答案] B[解析] ∵1a <1b <0，∴0>a >b ，∴a 2b ”的反面是“a y 或x <y ”；③“三角形外心在三角形外”的反面是“三角形的外心在三角形内”；④“三角形的内角中最多有一个钝角”的反面是“三角形的内角中没有钝角”，其中正确的叙述有导学号 10510652( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个[答案] B[解析] 只有②正确，故选B.5．k (k ≥3，k ∈N ＋)棱柱有f (k )个对角面，则(k ＋1)棱柱的对角面个数f (k ＋1)为导学号 10510653( )A ．f (k )＋k －1B ．f (k )＋k ＋1C ．f (k )＋kD ．f (k )＋k －2[答案] A[解析] 三棱柱有0个对角面；四棱柱有2个对角面(0＋2＝0＋(3－1))；五棱柱有5个对角面(2＋3＝2＋(4－1))；六棱柱有9个对角面(5＋4＝5＋(5－1))．猜想：若k 棱柱有f (k )个对角面，则(k ＋1)棱柱有f (k )＋k －1个对角面．故选A. 6．观察下列式子：1＋122<32，1＋122＋132<53，1＋122＋132＋142<74，…，则可归纳出1＋122＋132＋…＋1(n ＋1)2小于导学号 10510654( ) A.n n ＋1 B ．2n －1n ＋1C.2n ＋1n ＋1D.2n n ＋1 [答案] C[解析] 所猜测的分式的分母为n ＋1，而分子3,5,7…恰好是第n ＋1个正奇数，即2n ＋1.故选C.7．(2016·北京文，8)某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段．下表为10名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊.赛的有6人，则导学号 05300655( )A ．2号学生进入30秒跳绳决赛B ．5号学生进入30秒跳绳决赛C ．8号学生进入30秒跳绳决赛D ．9号学生进入30秒跳绳决赛[答案] B[解析]由数据可知，进入立定跳远决赛的8人为1～8号，所以进入30秒跳绳决赛的6人从1～8号里产生．数据排序后可知3号，6号，7号必定进入30秒跳绳决赛，则得分为63，a,60,63，a－1的5人中有3人进入30秒跳绳决赛．若1号，5号学生未进入30秒跳绳决赛，则4号学生就会进入决赛，与事实矛盾，所以1号，5号学生必进入30秒跳绳决赛．故选B.8．已知a，b，c，d∈R，则P＝ac＋bd，Q＝(a2＋b2)(c2＋d2)的大小关系为导学号10510656 ()A．P≥Q B．P>QC．Q>P D．Q≥P[答案] D[解析]Q2＝(a2＋b2)(c2＋d2)＝a2c2＋b2d2＋a2d2＋b2c2＝(ac＋bd)2＋(ad－bc)2≥(ac＋bd)2＝P2，又∵Q≥0，∴Q≥P.9．定义一种运算“*”；对于自然数n满足以下运算性质：导学号10510657()(i)1*1=1，(ii)(n+1)*1=n*1+1,则n*1等于A.nB.n＋1C．n－1 D．n2[答案] A[解析]令a n＝n*1，则由(ii)得，a n＋1＝a n＋1，由(i)得，a1＝1，∴{a n}是首项a1＝1，公差为1的等差数列，∴a n＝n，即n*1＝n，故选A.10．设a，b∈R，那么“a2＋b2<1”是“ab＋1>a＋b”的导学号10510658()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案] A[解析]∵a2＋b2<1，∴|a|<1，|b|<1，∴ab＋1－(a＋b)＝(a－1)(b－1)>0成立．反之，(a－1)·(b－1)>0，推不出a2＋b2<1.故“a2＋b2<1”是“ab＋1>a＋b”的充分不必要条件．11．为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文(加密)，接收方由密文→明文(解密)，已知加密规则为：明文a，b，c，d对应密文a＋2b,2b＋c,2c＋3d,4d.例如，明文1,2,3,4对应密文5,7,18,16.当接收方收到密文14,9,23,28时，则解密得到的明文为导学号10510659 ()A．7,6,1,4 B．6,4,1,7C ．4,6,1,7D ．1,6,4,7[答案] B[解析] 本题中首先弄清加密的规则，再求明文．由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＝14，2b ＋c ＝9，2c ＋3d ＝23，4d ＝28，可求得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6，b ＝4，c ＝1，d ＝7.故选B.12．(2016·浙江文，5)已知a ，b >0，且a ≠1，b ≠1，若log a b >1，则导学号 10510660( ) A ．(a －1)(b －1)<0 B ．(a －1)(a －b )>0 C ．(b －1)(b －a )<0 D ．(b －1)(b －a )>0[答案] D[解析] 根据题意，log a b >1⇔log a b －log a a >0⇔log a ba >0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ 0<a <101b a >1，即⎩⎨⎧0<a <101b >a. 当⎩⎨⎧0<a <101b >a时，b >a >1，∴b －1>0，b －a >0.∴(b －1)(b －a )>0，故选D. 二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．已知1＋2×3＋3×32＋4×32＋…＋n ×3n －1＝3n (na －b )＋c 对一切n ∈N *都成立，则a＝________，b ＝________，c ________.导学号 10510661[答案] 12 14 14[解析] 令n ＝1、2、3，得⎩⎪⎨⎪⎧3(a －b )＋c ＝1，9(2a －b )＋c ＝7，27(3a －b )＋c ＝34.所以a ＝12，b ＝c ＝14.14．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n3a n ＋1(n ∈N *)，可以猜测数列通项a n 的表达式为________.导学号 10510662[答案] a n ＝26n －5[解析] 由a 2＝27，a 3＝213，a 4＝219，a 5＝225，…，猜想a n ＝26n －5.15．现有一个关于平面图形的命题：如图所示，同一平面内有两个边长都是a 的正方形，其中一个正方形的某顶点在另一个正方形的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为a 24，类比到空间，有两个棱长均为a 的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为__________.导学号 10510663[答案] a 38[解析] 通过类比(特殊化)，易得两个正方体重叠部分的体积为a 38.16．(2016·洛阳高二检测)观察下列等式：31×2×12＝1－122，31×2×12＋42×3×122＝1－13×22，31×2×12＋42×3×122＋53×4×123＝1－14×23，…，由以上等式推测到一个一般的结论：对于n ∈N *，31×2×12＋42×3×122＋…＋n ＋2n (n ＋1)×12n ＝________.导学号 10510664[答案] 1－1(n ＋1)·2n[解析] 由已知中的等式：31×2×12＝1－12231×2×12＋42×3×122＝1－13×22， 31×2×12＋42×3×122＋53×4×123＝1－14×23，…，所以对于n ∈N *，31×2×12＋42×3×122＋…＋n ＋2n (n ＋1)×12n ＝1－1(n ＋1)2n.三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本题满分10分)已知函数f (x )满足下列条件：(1)f (12)＝1，(2)f (xy )＝f (x )＋f (y )，)(3)f (x )的值域为[－1,1]．试证明：14不在f (x )的定义域内.导学号 10510665[证明] 假设14在f (x )的定义域内，因为f (xy )＝f (x )＋f (y )，所以f (14)＝f (12×12)＝f (12)＋f (12)＝2.又f (x )的值域为[－1,1]，2∉[－1,1]，所以14不在函数f (x )的定义域内．18．(本题满分12分)(2016·泉州高二检测)已知a >0，b >0用分析法证明：a ＋b2≥2aba ＋b.导学号 10510666 [证明] 因为a >0，b >0，要证a ＋b 2≥2ab a ＋b ，只要证，(a ＋b )2≥4ab ，只要证(a ＋b )2－4ab ≥0，即证a 2－2ab ＋b 2≥0，而a 2－2ab ＋b 2＝(a －b )2≥0恒成立，故a ＋b 2≥2ab a ＋b成立． 19．(本题满分12分)如图，正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的棱长均为a ，D ，E 分别为C 1C 与AB 的中点，A 1B 交AB 1于点G .导学号 10510667(1)求证：A 1B ⊥AD ； (2)求证：CE ∥平面AB 1D .[证明] (1)连接A 1D ，BD ，DG ，∵三棱柱ABC －A 1B 1C 1是棱长均为a 的正三棱柱，∴四边形A 1ABB 1为正方形， ∴A 1B ⊥AB 1. ∵D 是C 1C 的中点，∴△A 1C 1D ≌△BCD ，∴A 1D ＝BD ， ∵G 为A 1B 中点，∴A 1B ⊥DG . 又∵DG ∩AB 1＝G ， ∴A 1B ⊥平面AB 1D ，又∵AD ⊂平面AB 1D ， ∴A 1B ⊥AD .(2)连接GE ，∵EG ∥A 1A ， ∴GE ⊥平面ABC . ∵DC ⊥平面ABC ，∴GE ∥DC ，∵GE ＝DC ＝12a ，∴四边形GECD 为平行四边形，∴EC ∥GD ，又∵EC ⊄平面AB 1D ，DG ⊂平面AB 1D ， ∴EC ∥平面AB 1D .20．(本题满分12分)(2016·常州高二检测)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：导学号 10510621①sin 213°＋cos 217°－sin13°cos17°； ②sin 215°＋cos 215°－sin15°cos15°； ③sin 218°＋cos 212°－sin18°cos12°； ④sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos48°； ⑤sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos55°.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论． [解析] (1)选择②式，计算如下： sin 215°＋cos 215°－sin15°cos15° ＝1－12sin30°＝1－14＝34.(2)推广后的三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34.证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin 2α＋(cos30°cos α＋sin30°sin α)2－sin α(cos30°cos α＋sin30°sin α) ＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin αcos α－12sin 2α＝34sin 2α＋34cos 2α＝34.21．(本题满分12分)(2016·西安高二检测)直线y ＝kx ＋m (m ≠0)与椭圆W ：x 24＋y 2＝1相交于A ，C 两点，O 是坐标原点.导学号 10510668(1)当点B 的坐标为(0,1)，且四边形OABC 为菱形时，求AC 的长． (2)当点B 在W 上且不是W 的顶点时，证明：四边形OABC 不可能为菱形． [解析] (1)因为四边形OABC 为菱形，所以AC 与OB 相互垂直平分．所以可设A (t ，12)，代入椭圆方程得t 24＋14＝1，即t ＝±3，所以AC ＝2 3.(2)假设四边形OABC 为菱形．因为点B 不是W 的顶点，且AC ⊥OB ，所以t ≠0.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝4，y ＝kx ＋m 消y 并整理得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0，设A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，则 x 1＋x 22＝－4km1＋4k 2， y 1＋y 22＝k ·x 1＋x 22＋m ＝m1＋4k 2. 所以AC 的中点为M (－4km 1＋4k 2，m 1＋4k 2)．因为M 为AC 和OB 的交点，且m ≠0，k ≠0，所以直线OB 的斜率为－14k .因为k ·(－14k )≠－1，所以AC 与OB 不垂直，所以四边形OABC 不是菱形，与假设矛盾．所以当B 不是W 的顶点时，四边形OABC 不可能为菱形．22．(本题满分12分)(2016·马鞍山高二检测)已知数列{x n }满足x 1＝12，x n ＋1＝11＋x n，n ∈N * .猜想数列{x 2n }的单调性，并证明你的结论.导学号 10510669[解析] 由x 1＝12及x n ＋1＝11＋x n ，得x 2＝23，x 4＝58，x 6＝1321，由x 2>x 4>x 6猜想：数列{x 2n }是递减数列．下面用数学归纳法证明： (1)当n ＝1时，已证命题成立．(2)假设当n ＝k 时命题成立，即x 2k >x 2k ＋2，那么x 2k ＋2－x 2k ＋4＝11＋x 2k ＋1－11＋x 2k ＋3＝x 2k ＋3－x 2k ＋1(1＋x 2k ＋1)(1＋x 2k ＋3)＝11＋x2k＋2－11＋x2k (1＋x2k＋1)(1＋x2k＋3)＝x2k－x2k＋2(1＋x2k)(1＋x2k＋1)(1＋x2k＋2)(1＋x2k＋3)>0，即x2(k＋1)>x2(k＋1)＋2，也就是说，当n＝k＋1时命题也成立．结合(1)和(2)知命题成立．。

2018版数学人教A版浙江版选修2-2学案：第二章推理与

章末检测(二)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分)1．以下命题中，正确的是()A．综合法是执果索因的逆推法B．综合法是由因导果的顺推法C．综合法是因果互推的两头凑法D．综合法就是举反例答案 B解析综合法就是从已知条件(因)出发，利用已有知识进行证明结论(果)的方法．2．用反证法证明命题“2＋3是无理数”时，假设正确的是()A．假设2是有理数B．假设3是有理数C．假设2或3是有理数D．假设2＋3是有理数答案 D解析应对结论进行否定，则2＋3不是无理数，即2＋3是有理数．3．对于不重合的直线m，l和平面α，β，要证α⊥β需具备的条件是()A．m⊥l，m∥α，l∥βB．m⊥l，α∩β＝m，l⊂αC．m∥l，m⊥α，l⊥βD．m∥l，l⊥β，m⊂α答案 D解析A中，与两条互相垂直的直线分别平行的两平面的位置关系不确定；B中，平面内的一条直线与两平面的交线垂直，这两个平面的位置关系不确定；C中，这两个平面平行；D 能够推得α⊥β，故选D.4．在R上定义运算⊙：a⊙b＝ab＋2a＋b，则满足x⊙(x－2)<0的实数x的取值范围为() A．(0,2) B．(－2,1)C．(－1,2) D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)答案 B解析由题意知，x ⊙(x －2)＝x (x －2)＋2x ＋(x －2)＝x 2＋x －2<0，解得－2<x <1.5．用反证法证明命题“已知x 1>0，x 2≠1，且x n ＋1＝x 2n ＋3x n3x 2n ＋1，证明对任意正整数n ，都有x n >x n＋1”，其假设应为( )A ．对任意正整数n ，有x n ≤x n ＋1B ．存在正整数n ，使x n >x n ＋1C ．存在正整数n ，使x n ≤x n ＋1D ．存在正整数n ，使x n ≥x n －1且x n ≥x n ＋1 答案 C解析 “任意正整数n ”的否定是“存在正整数n ”，“x n >x n ＋1”的否定是“x n ≤x n ＋1”． 6．在用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋2n －1＝2n 2－n (n ∈N *)的第(2)步中，假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时原等式成立，则当n ＝k ＋1时需要证明的等式为( ) A ．1＋2＋3＋…＋(2k －1)＋[2(k ＋1)－1]＝2k 2－k ＋2(k ＋1)2－(k ＋1) B ．1＋2＋3＋…＋(2k －1)＋[2(k ＋1)－1]＝2(k ＋1)2－(k ＋1)C ．1＋2＋3＋…＋(2k －1)＋2k ＋[2(k ＋1)－1]＝2k 2－k ＋2(k ＋1)2－(k ＋1)D ．1＋2＋3＋…＋(2k －1)＋2k ＋[2(k ＋1)－1]＝2(k ＋1)2－(k ＋1) 答案 D解析 ∵用数学归纳法证明等式成立的过程中，假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，命题成立，即1＋2＋3＋…＋2k －1＝2k 2－k ，则当n ＝k ＋1时，左端为1＋2＋3＋…＋2k －1＋2k ＋2k ＋1， ∴从“k →k ＋1”需增添的项是2k ＋2k ＋1，∴1＋2＋3＋…＋(2k －1)＋2k ＋[2(k ＋1)－1]＝2(k ＋1)2－(k ＋1)，故选D. 7．设x ，y ，z >0，则三个数y x ＋y z ，z x ＋z y ，x z ＋xy ( )A ．都大于2B ．至少有一个大于2C ．至少有一个不小于2D ．至少有一个不大于2 答案 C解析由于y x ＋y z ＋z x ＋z y ＋x z ＋xy＝(y x ＋x y )＋(z x ＋x z )＋(y z ＋zy )≥2＋2＋2＝6， ∴y x ＋y z ，z x ＋z y ，x z ＋xy中至少有一个不小于2，故选C.8．用数学归纳法证明1＋11＋2＋11＋2＋3＋…＋11＋2＋3＋…＋n ＝2nn ＋1时，由n ＝k 到n ＝k＋1左边需要添加的项是( ) A.2k (k ＋2) B.1k (k ＋1) C.1(k ＋1)(k ＋2) D.2(k ＋1)(k ＋2)答案 D解析由n ＝k 到n ＝k ＋1时，左边需要添加的项是11＋2＋3＋…＋(k ＋1)＝2(k ＋1)(k ＋2).故选D.9．对“a ，b ，c 是不全相等的正数”，给出下列判断： ①(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2≠0；②a ＝b 与b ＝c 及a ＝c 中至少有一个成立； ③a ≠c ，b ≠c ，a ≠b 不能同时成立．其中判断正确的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案 B解析若(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2＝0，则a ＝b ＝c ，与“a ，b ，c 是不全相等的正数”矛盾，故①正确．a ＝b 与b ＝c 及a ＝c 中最多只能有一个成立，故②不正确．由于“a ，b ，c 是不全相等的正数”，有两种情形：有两个数相等或三个数都互不相等，故③不正确．10．对于函数f (x )，若在定义域内存在实数x ，满足f (－x )＝－f (x )，称f (x )为“局部奇函数”，若f (x )＝4x －m ·2x ＋1＋m 2－3为定义域R 上的“局部奇函数”，则实数m 的取值范围是( )A ．1－3≤m ≤1＋ 3B ．1－3≤m ≤2 2C ．－22≤m ≤2 2D ．－22≤m ≤1－ 3答案 B解析因为f (x )为“局部奇函数”，所以存在实数x 满足f (－x )＝－f (x )，即4－x －2m ·2－x ＋m 2－3＝－4x ＋2m ·2x －m 2＋3，令t ＝2x (t >0)，则1t2＋t 2－2m ⎝⎛⎭⎫1t ＋t ＋2m 2－6＝0， ⎝⎛⎭⎫1t ＋t 2－2m ⎝⎛⎭⎫1t ＋t ＋2m 2－8＝0在t ∈(0，＋∞)上有解，再令h ＝1t ＋t (h ≥2)，则g (h )＝h 2－2mh ＋2m 2－8＝0在h ∈[2，＋∞)上有解，函数关于h 的对称轴为h ＝m ，①当m ≥2时，g (h )≥g (m )，所以g (m )＝m 2－2m 2＋2m 2－8≤0，解得2≤m ≤22；②当m <2时，则g (2)＝4－4m ＋2m 2－8≤0，即m 2－2m －2≤0，解得1－3≤m <2.综合①②，可知1－3≤m ≤2 2. 二、填空题(本大题共7小题，共36分)11．已知a ，b ，x 均为正数，且a >b ，则b a 与b ＋xa ＋x 的大小关系为______________．答案 b a b ，∴b －a <0， ∴b a －b ＋x a ＋x <0，即b a <b ＋x a ＋x. 12．设函数f (x )定义如表，数列{x n }满足x 0＝5，且对任意的自然数均有x n ＋1＝f (x n )，则x 2 018＝________，数列{x n }的周期为________.答案 1 4解析 x 1＝f (x 0)＝f (5)＝2，x 2＝f (2)＝1，x 3＝f (1)＝4，x 4＝f (4)＝5，x 5＝f (5)＝2，…，数列{x n }是周期为4的数列，所以x 2 018＝x 2＝1.13．已知数列{a n }，a 1＝12，a n ＋1＝3a n a n ＋3，则a 2，a 3，a 4，a 5分别为________________，a n ＝________.答案 37，38，13，310 3n ＋5解析由题意可知，a 2＝37，a 3＝38，a 4＝39＝13，a 5＝310.因为1a n ＋1－1a n ＝13，故1a n ＝1a 1＋(n －1)×13＝n ＋53，故a n ＝3n ＋5.14.如图，如果一个凸多面体是n (n ∈N *)棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有________条，这些直线共有f (n )对异面直线，则f (4)＝________，f (n )＝________.(答案用数字或n 的解析式表示)答案n (n ＋1)2 12 n (n －1)(n －2)2解析所有顶点所确定的直线共有棱数＋底边数＋对角线数＝n ＋n ＋n (n －3)2＝n (n ＋1)2.从题图中能看出四棱锥中异面直线的对数为f (4)＝4×2＋4×12×2＝12，所以f (n )＝n (n －2)＋n (n －3)2·(n －2)＝n (n －1)(n －2)2. 15．设0<x <1，a >0，b >0，a ，b 为常数，a 2x ＋b 21－x 的最小值是________．答案 (a ＋b )2解析 ⎝⎛⎭⎫a 2x ＋b21－x (x ＋1－x )＝a 2＋a 2(1－x )x ＋b 2·x 1－x＋b 2≥a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2.16．有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________．答案 1和3解析由丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”可知，丙为“1和2”或“1和3”．又乙说“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，所以乙只可能为“2和3”．所以由甲说“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，得甲只能为“1和3”．17．对于任意的两个实数对(a ，b )和(c ，d )，规定：(a ，b )＝(c ，d )，当且仅当a ＝c ，b ＝d ；运算“⊗”为：(a ，b )⊗(c ，d )＝(ac －bd ，bc ＋ad )；运算“”为：(a ，b )(c ，d )＝(a ＋c ，b＋d )．设p ，q ∈R ，若(1,2)⊗(p ，q )＝(5,0)，则p ＋q ＝________，(1,2)(p ，q )＝________. 答案－1 (2,0)解析由(1,2)⊗(p ，q )＝(5,0)，得⎩⎪⎨⎪⎧ p －2q ＝5，2p ＋q ＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧p ＝1，q ＝－2.所以p ＋q ＝－1，(1,2)(p ，q )＝(1,2)(1，－2)＝(2,0)．三、解答题(本大题共5小题，共74分)18．(14分)1，3，2能否为同一等差数列中的三项？说明理由．解假设1，3，2能为同一等差数列中的三项，但不一定是连续的三项，设公差为d ，则 1＝3－md,2＝3＋nd ，m ，n 为两个正整数，消去d ，得m ＝(3＋1)n .∵m 为有理数，(3＋1)n 为无理数，∴m ≠(3＋1)n . ∴假设不成立．即1，3，2不可能为同一等差数列中的三项． 19．(15分)设a ，b 为实数，求证：a 2＋b 2≥22(a ＋b )．证明当a ＋b ≤0时，∵a 2＋b 2≥0， ∴a 2＋b 2≥22(a ＋b )成立．当a ＋b >0时，用分析法证明如下：要证a 2＋b 2≥22(a ＋b )，只需证(a 2＋b 2)2≥⎣⎡⎦⎤22(a ＋b )2，即证a 2＋b 2≥12(a 2＋b 2＋2ab )，即证a 2＋b 2≥2ab .∵a 2＋b 2≥2ab 对一切实数恒成立， ∴a 2＋b 2≥22(a ＋b )成立．综上所述，对任意实数a ，b 不等式都成立．20．(15分)已知实数p 满足不等式(2p ＋1)(p ＋2)<0，用反证法证明关于x 的方程x 2－2x ＋5－p 2＝0无实数根．证明假设方程x 2－2x ＋5－p 2＝0有实数根，则该方程的根的判别式Δ＝4－4(5－p 2)≥0，解得p ≥2或p ≤－2.①而由已知条件实数p 满足不等式(2p ＋1)(p ＋2)<0，解得－2<p <－12.②数轴上表示①②的图形无公共部分，故假设不成立，从而关于x 的方程x 2－2x ＋5－p 2＝0无实数根．21．(15分)已知函数f (x )＝13x 3－x ，数列{a n }满足条件：a 1≥1，a n ＋1≥f ′(a n ＋1)．(1)证明：a n ≥2n －1(n ∈N *)；(2)试比较11＋a 1＋11＋a 2＋…＋11＋a n 与1的大小，并说明理由．(1)证明 ∵f ′(x )＝x 2－1， ∴a n ＋1≥(a n ＋1)2－1＝a 2n ＋2a n .①当n ＝1时，a 1≥1＝21－1，命题成立； ②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时命题成立，即a k ≥2k －1；那么当n ＝k ＋1时，a k ＋1≥a 2k ＋2a k ＝a k (a k ＋2)≥(2k －1)(2k－1＋2)＝22k －1≥2k ＋1－1.即当n ＝k ＋1时，命题成立，综上所述，命题成立．(2)解 ∵a n ≥2n －1，∴1＋a n ≥2n ，∴11＋a n ≤12n . ∴11＋a 1＋11＋a 2＋…＋11＋a n ≤12＋122＋ (12)＝1－12n <1.22．(15分)数列{a n }满足a 1＝16，前n 项和为S n ＝n (n ＋1)2a n .(1)写出a 2，a 3，a 4；(2)猜出a n 的表达式，并用数学归纳法证明．解 (1)令n ＝2，∵a 1＝16，S 2＝2×(2＋1)2a 2，即a 1＋a 2＝3a 2，∴a 2＝112.令n ＝3，得S 3＝3×(3＋1)2a 3，即a 1＋a 2＋a 3＝6a 3，∴a 3＝120.令n ＝4，得S 4＝4×(4＋1)2a 4，即a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝10a 4，∴a 4＝130.(2)猜想a n ＝1(n ＋1)(n ＋2)，下面用数学归纳法给出证明．①当n ＝1时，a 1＝16＝1(1＋1)(1＋2)，结论成立．②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，结论成立，即a k ＝1(k ＋1)(k ＋2)，则当n ＝k ＋1时，S k ＝k (k ＋1)2a k ＝k (k ＋1)2·1(k ＋1)(k ＋2)＝k 2(k ＋2)，S k ＋1＝(k ＋1)(k ＋2)2a k ＋1，即S k ＋a k ＋1＝(k ＋1)(k ＋2)2a k ＋1.∴k2(k ＋2)＋a k ＋1＝(k ＋1)(k ＋2)2a k ＋1.∴a k ＋1＝k 2(k ＋2)(k ＋1)(k ＋2)2－1＝1(k ＋2)(k ＋3).∴当n ＝k ＋1时结论也成立．由①②可知，对一切n ∈N *，都有a n ＝1(n ＋1)(n ＋2).。

2018版数学《学案导学与随堂笔记》人教A版浙江版选修2-2学案：综合检测(二) Word版含答案

2018版数学人教A版浙江版选修2-2学案：第一章导数及

1．2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(三)学习目标 1.了解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则.2.能够利用复合函数的求导法则，并结合已经学过的公式、法则进行一些复合函数的求导(仅限于形如f (ax ＋b )的导数)．知识点复合函数的概念及求导法则已知函数y ＝2x ＋5＋ln x ，y ＝ln(2x ＋5)，y ＝sin(x ＋2)．思考1 这三个函数都是复合函数吗？答案函数y ＝ln(2x ＋5)，y ＝sin(x ＋2)是复合函数，函数y ＝2x ＋5＋ln x 不是复合函数．思考2 试说明函数y ＝ln(2x ＋5)是如何复合的？答案设u ＝2x ＋5，则y ＝ln u ，从而y ＝ln(2x ＋5)可以看作是由y ＝ln u 和u ＝2x ＋5，经过“复合”得到的，即y 可以通过中间变量u 表示为自变量x 的函数．思考3 试求函数y ＝ln(2x ＋5)的导数．答案 y ′＝12x ＋5·(2x ＋5)′＝22x ＋5.梳理类型一简单复合函数求导例1 求下列函数的导数． (1)cos 1ex y +=； (2)y ＝log 2(2x ＋1)；(3)y ＝2sin(3x －π6); (4)y ＝11－2x .解 (1)设y ＝e u ，u ＝cos x ＋1，则y x ′＝y u ′·u x ′＝e u ·(－sin x ) ＝－e cos x ＋1sin x .(2)设y ＝log 2u ，u ＝2x ＋1，则y x ′＝y u ′·u x ′＝2u ln 2＝2(2x ＋1)ln 2.(3)设y ＝2sin u ，u ＝3x －π6，则y x ′＝y u ′·u x ′＝2cos u ×3 ＝6cos(3x －π6)．(4)设12y u-=，u ＝1－2x ，则y x ′＝y u ′·u x ′＝(12u-)′·(1－2x )′33221(2)(12).2u x --⨯＝－－＝－反思与感悟 (1)求复合函数的导数的步骤(2)求复合函数的导数的注意点：①分解的函数通常为基本初等函数；②求导时分清是对哪个变量求导；③计算结果尽量简洁．跟踪训练1 求下列函数的导数． (1)y ＝103x －2；(2)y ＝ln(e x ＋x 2)； (3)y ＝sin 4x ＋cos 4x .解 (1)令u ＝3x －2，则y ＝10u ，所以y x ′＝y u ′·u x ′＝10u ln 10·(3x －2)′ ＝3×103x －2ln 10.(2)令u ＝e x ＋x 2，则y ＝ln u ，所以y x ′＝y u ′·u x ′＝1u ·(e x ＋x 2)′＝1e x ＋x 2·(e x＋2x )＝e x ＋2x e x ＋x 2.(3)因为y ＝sin 4x ＋cos 4x ＝(sin 2x ＋cos 2x )2－2sin 2x ·cos 2x ＝1－12sin 22x ＝1－14(1－cos 4x )＝34＋14cos 4x ，所以y ′＝(34＋14cos 4x )′＝－sin 4x .类型二复合函数导数的综合应用命题角度1 复合函数与导数的运算法则的综合应用例2 求下列函数的导数． (1)y ＝ln 3x e x ；(2)y ＝x 1＋x 2；(3)y ＝x cos(2x ＋π2)sin(2x ＋π2)．解 (1)∵(ln 3x )′＝13x ×(3x )′＝1x ，∴y ′＝(ln 3x )′e x －(ln 3x )(e x )′(e x )2＝1x －ln 3x e x＝1－x ln 3x x e x . (2)y ′＝(x 1＋x 2)′ ＝x ′1＋x 2＋x (1＋x 2)′ ＝1＋x 2＋x 21＋x 2＝(1＋2x 2)1＋x 21＋x 2.(3)∵y ＝x cos(2x ＋π2)sin(2x ＋π2)＝x (－sin 2x )cos 2x ＝－12x sin 4x ，∴y ′＝(－12x sin 4x )′＝－12sin 4x －x2cos 4x ·4＝－12sin 4x －2x cos 4x .反思与感悟 (1)在对函数求导时，应仔细观察及分析函数的结构特征，紧扣求导法则，联系学过的求导公式，对不易用求导法则求导的函数，可适当地进行等价变形，以达到化异求同、化繁为简的目的．(2)复合函数的求导熟练后，中间步骤可以省略，即不必再写出函数的复合过程，直接运用公式，从外层开始由外及内逐层求导．跟踪训练2 求下列函数的导数． (1)y ＝sin 2 x3；(2)y ＝sin 3x ＋sin x 3；(3)y ＝11－x；(4)y ＝x ln(1＋x )．解 (1)∵y ＝1－cos 23x2，∴y ′＝(12－cos 23x2)′＝13sin 23x .(2)y ′＝(sin 3x ＋sin x 3)′＝(sin 3x )′＋(sin x 3)′ ＝3sin 2x cos x ＋cos x 3·3x 2 ＝3sin 2x cos x ＋3x 2cos x 3.(3)y ′＝0－(1－x )′1－x ＝121(1)(1)'21x x x-----＝12(1－x )1－x.(4)y ′＝x ′ln(1＋x )＋x [ln(1＋x )]′＝ln(1＋x )＋x 1＋x. 命题角度2 复合函数的导数与导数几何意义的综合应用例3 设f (x )＝ln(x ＋1)＋x ＋1＋ax ＋b (a ，b ∈R ，a ，b 为常数)，曲线y ＝f (x )与直线y ＝32x在(0,0)点相切，求a ，b 的值．解由曲线y ＝f (x )过(0,0)点，可得ln 1＋1＋b ＝0，故b ＝－1. 由f (x )＝ln(x ＋1)＋x ＋1＋ax ＋b ，得 f ′(x )＝1x ＋1＋12x ＋1＋a ，则f ′(0)＝1＋12＋a ＝32＋a ，此即为曲线y ＝f (x )在点(0,0)处的切线的斜率．由题意，得32＋a ＝32，故a ＝0.反思与感悟本类题正确的求出复合函数的导数是前提，审题时注意所给点是否是切点，挖掘题目隐含条件，求出参数，解决已知经过一定点的切线问题，寻求切点是解决问题的关键．跟踪训练3 曲线y ＝e sin x 在(0,1)处的切线与直线l 平行，且与l 的距离为2，求直线l 的方程．解设u ＝sin x ，则y ′＝(e sin x )′＝(e u )′(sin x )′＝cos x e sin x ，即y ′|x ＝0＝1，则切线方程为y －1＝x －0，即x －y ＋1＝0.若直线l 与切线平行，可设直线l 的方程为x －y ＋c ＝0. 两平行线间的距离d ＝|c －1|2＝2⇒c ＝3或c ＝－1.故直线l 的方程为x －y ＋3＝0或x －y －1＝0.1．函数y ＝(2 016－8x )3的导数y ′等于( ) A ．3(2 016－8x )2 B ．－24x C ．－24(2 016－8x )2 D ．24(2 016－8x )2答案 C解析 y ′＝3(2 016－8x )2×(2 016－8x )′ ＝3(2 016－8x )2×(－8)＝－24(2 016－8x )2. 2．函数y ＝x 2cos(2x －π3)的导数为( )A ．y ′＝2x cos(2x －π3)－x 2sin(2x －π3)B ．y ′＝2x cos(2x －π3)－2x 2sin(2x －π3)C ．y ′＝x 2cos(2x －π3)－2x sin(2x －π3)D ．y ′＝2x cos(2x －π3)＋2x 2sin(2x －π3)答案 B解析 y ′＝(x 2)′cos(2x －π3)＋x 2[cos(2x －π3)]′＝2x cos(2x －π3)＋x 2[－sin(2x －π3)](2x －π3)′＝2x cos(2x －π3)－2x 2sin(2x －π3)．3．函数y ＝1(3x －1)2的导数是( )A.6(3x －1)3B.6(3x －1)2 C ．－6(3x －1)3D ．－6(3x －1)2答案 C解析 y ′＝[1(3x －1)2]′＝－2(3x －1)3·(3x －1)′ ＝－6(3x －1)3，故选C.4．已知f (x )＝ln(3x －1)，则f ′(1)＝________. 答案 32解析 ∵f ′(x )＝13x －1·(3x －1)′＝33x －1，∴f ′(1)＝32.5．设曲线y ＝e ax 在点(0,1)处的切线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直，则a ＝________. 答案 2解析由题意知y ′|x ＝0＝a e ax |x ＝0＝a ＝2.求简单复合函数f (ax ＋b )的导数实质是运用整体思想，先把简单复合函数转化为常见函数y ＝f (u )，u ＝ax ＋b 的形式，然后再分别对y ＝f (u )与u ＝ax ＋b 分别求导，并把所得结果相乘．灵活应用整体思想把函数化为y ＝f (u )，u ＝ax ＋b 的形式是关键．课时作业一、选择题1．下列函数不是复合函数的是( ) A ．y ＝－x 3－1x ＋1B ．y ＝cos(x ＋π4)C ．y ＝1ln xD ．y ＝(2x ＋3)4答案 A解析 A 中的函数是一个多项式函数，B 中的函数可看作函数u ＝x ＋π4，y ＝cos u 的复合函数，C 中的函数可看作函数u ＝ln x ，y ＝1u 的复合函数，D 中的函数可看作函数u ＝2x ＋3，y ＝u 4的复合函数，故选A.2．函数y ＝(x ＋1x )5的导数为( )A ．y ′＝5(x ＋1x )4B ．y ′＝5(x ＋1x )4(1＋1x )C ．y ′＝5(x ＋1x )4(1－1x 2)D ．y ′＝5(x ＋1x )4(x ＋1x )答案 C解析函数y ＝(x ＋1x )5是函数y ＝u 5与u ＝x ＋1x 的复合函数，∴y x ′＝y u ′·u x ′＝5(x ＋1x )4(1－1x 2)．3．函数y ＝x ln(2x ＋5)的导数为( ) A ．ln(2x ＋5)－x2x ＋5B ．ln(2x ＋5)＋2x2x ＋5C ．2x ln(2x ＋5) D.x 2x ＋5答案 B解析 y ′＝[x ln(2x ＋5)]′ ＝x ′ln(2x ＋5)＋x [ln(2x ＋5)]′ ＝ln(2x ＋5)＋x ·12x ＋5·(2x ＋5)′＝ln(2x ＋5)＋2x2x ＋5.4．已知直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln(x ＋a )相切，则a 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．－1 D ．－2答案 B解析设切点坐标是(x 0，x 0＋1)，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧1x 0＋a ＝1，x 0＋1＝ln (x 0＋a )，由此得x 0＝－1，a ＝2.5．曲线y ＝e －2x＋1在点(0,2)处的切线与直线y ＝0和y ＝x 围成的三角形的面积为( )A.13B.12C.23 D ．1答案 A解析 y ′|x ＝0＝－2e－2×0＝－2，∴曲线在点(0,2)处的切线方程为y ＝－2x ＋2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋2，y ＝x ，得x ＝y ＝23，∴A (23，23)，则围成的三角形的面积为12×23×1＝13.6．已知点P 在曲线y ＝4e x＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是( ) A ．[0，π4)B ．[π4，π2)C ．(π2，3π4]D ．[3π4，π)答案 D解析 y ′＝－4e x (e x ＋1)2＝－4e x(e x )2＋2e x ＋1＝－4e x＋1ex ＋2. ∵e x ＋1e x ≥2，∴e x ＋1e x ＋2≥4，∴y ′∈[－1,0)，即tan α∈[－1,0)， ∴α∈[3π4，π)．二、填空题7．函数y ＝sin 2x cos 3x 的导数是________________．答案 2cos 2x cos 3x －3sin 2x sin 3x解析 ∵y ＝sin 2x cos 3x ，∴y ′＝(sin 2x )′cos 3x ＋sin 2x (cos 3x )′ ＝2cos 2x cos 3x －3sin 2x sin 3x . 8．曲线y ＝x e x －1在点(1,1)处切线的斜率为________．答案 2解析 y x ′＝e x －1＋x e x －1＝(x ＋1)e x －1，故曲线在点(1,1)处的切线斜率为2.9．若y ＝f (x )＝(2x ＋a )2，且f ′(2)＝20，则a ＝________. 答案 1解析令u ＝2x ＋a ，则y x ′＝y u ′·u x ′＝(u 2)′(2x ＋a )′＝4(2x ＋a )，则f ′(2)＝4(2×2＋a )＝20，∴a ＝1.10．若曲线y ＝e －x 上点P 处的切线平行于直线2x ＋y ＋1＝0，则点P 的坐标是________．答案 (－ln 2,2) 解析设P (x 0，0ex -)，00'|e 2x x x y -==-=-，得x 0＝－ln 2，∴P (－ln 2,2)．三、解答题11．求函数y ＝a sin x3＋b cos 22x (a ，b 是实常数)的导数．解 ∵(a sin x 3)′＝a cos x 3(x 3)′＝a 3cos x3，又(cos 22x )′＝(12＋12cos 4x )′＝12(－sin 4x )×4＝－2sin 4x ， ∴y ＝a sin x3＋b cos 22x 的导数为y ′＝(a sin x 3)′＋b (cos 22x )′＝a 3cos x3－2b sin 4x .12．曲线y ＝e 2x cos 3x 在(0,1)处的切线与直线l 平行，且与l 的距离为5，求直线l 的方程．解由y ′＝(e 2x cos 3x )′ ＝(e 2x )′cos 3x ＋e 2x (cos 3x )′ ＝2e 2x cos 3x ＋e 2x (－3sin 3x ) ＝e 2x (2cos 3x －3sin 3x )，得y ′|x ＝0＝2.则切线方程为y －1＝2(x －0)，即2x －y ＋1＝0.若直线l 与切线平行，可设直线l 的方程为 2x －y ＋c ＝0，两平行线间的距离d ＝|c －1|5＝5⇒c ＝6或c ＝－4.故直线l 的方程为2x －y ＋6＝0或2x －y －4＝0.13．设曲线y ＝e －x (x ≥0)在点M (t ，e －t )处的切线l 与x 轴，y 轴围成的三角形面积为S (t )．(1)求切线l 的方程； (2)求S (t )的解析式．解 (1)∵y ＝e －x ，∴y x ′＝(e －x )′＝－e －x ，当x ＝t 时，y x ′＝－e －t .故切线方程为y －e －t ＝－e －t (x －t )，即x ＋e t y －(t ＋1)＝0. (2)令y ＝0，得x ＝t ＋1. 令x ＝0，得y ＝e －t (t ＋1)．∴S (t )＝12(t ＋1)·e －t (t ＋1)＝12(t ＋1)2e －t (t ≥0)．四、探究与拓展14．已知f (x )为偶函数，当x ≤0时，f (x )＝e －x －1－x ，则曲线y ＝f (x )在点(1,2)处的切线方程是________．答案 2x －y ＝0解析设x >0，则－x <0，f (－x )＝e x －1＋x .因为f (x )为偶函数，所以f (x )＝e x －1＋x ，f ′(x )＝e x －1＋1，f ′(1)＝2，即所求的切线方程为y－2＝2(x －1)，即2x －y ＝0.15．求曲线y ＝ln(2x －1)上的点到直线l ：2x －y ＋3＝0的最短距离．解作出直线l ：2x －y ＋3＝0和曲线y ＝ln(2x －1)的图象可知它们无公共点，所以平移直线l ，当l 与曲线相切时，切点到直线l 的距离就是曲线上的点到直线l 的最短距离，y ′＝12x －1(2x－1)′＝22x －1.设切点为P (x 0，y 0)，所以22x 0－1＝2，所以x 0＝1，所以y 0＝ln(2×1－1)＝0，P (1,0)．所以曲线y ＝ln(2x －1)上的点到直线l ：2x －y ＋3＝0的最短距离为P (1,0)到直线l ：2x －y ＋3＝0的距离，最短距离d ＝|2×1－0＋3|22＋12＝55＝ 5.。

2018版数学人教A版浙江版选修2-2学案：第一章导数及

学习目标 1.理解导数的几何意义并能解决有关斜率、切线方程等的问题.2.掌握初等函数的求导公式，并能够综合运用法则求函数的导数.3.掌握利用导数判断函数单调性的方法，会用导数求函数的极值和最值.4.会用导数解决一些简单的实际应用问题.5.掌握定积分的基本性质及应用．知识点一导数的概念(1)定义：函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率lim Δx →f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx，称为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数．(2)几何意义：函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数是函数图象在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率，表示为f ′(x 0)，其切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)．知识点二基本初等函数的导数公式 (1)c ′＝0. (2)(x α)′＝αx α－1.(3)(a x )′＝a x ln a (a >0)． (4)(e x )′＝e x .(5)(log a x )′＝(ln x ln a )′＝1x ln a (a >0，且a ≠1)．(6)(ln x )′＝1x .(7)(sin x )′＝cos x . (8)(cos x )′＝－sin x . 知识点三导数的运算法则 (1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )． (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )． (3)[f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)．知识点四复合函数的求导法则 (1)复合函数记法：y ＝f (g (x ))． (2)中间变量代换：y ＝f (u )，u ＝g (x )． (3)逐层求导法则：y x ′＝y u ′·u x ′. 知识点五函数的单调性、极值与导数 (1)函数的单调性与导数在某个区间(a ，b )内，如果f ′(x )>0，那么函数y ＝f (x )在这个区间内单调递增；如果f ′(x )<0，那么函数y ＝f (x )在这个区间内单调递减． (2)函数的极值与导数①极大值：在点x ＝a 附近，满足f (a )≥f (x )，当x <a 时，f ′(x )>0，当x >a 时，f ′(x )<0，则点a 叫做函数的极大值点，f (a )叫做函数的极大值；②极小值：在点x ＝a 附近，满足f (a )≤f (x )，当x <a 时，f ′(x )<0，当x >a 时，f ′(x )>0，则点a 叫做函数的极小值点，f (a )叫做函数的极小值． (3)求函数f (x )在闭区间[a ，b ]上的最值的步骤 ①求函数y ＝f (x )在(a ，b )内的极值；②将函数y ＝f (x )的极值与端点处的函数值f (a )，f (b )比较，其中最大的一个就是最大值，最小的一个就是最小值．类型一导数几何意义的应用例1 设函数f (x )＝13x 3＋ax 2－9x －1(a >0)，直线l 是曲线y ＝f (x )的一条切线，当l 的斜率最小时，直线l 与直线10x ＋y ＝6平行． (1)求a 的值；(2)求f (x )在x ＝3处的切线方程．解 (1)f ′(x )＝x 2＋2ax －9＝(x ＋a )2－a 2－9， f ′(x )min ＝－a 2－9，由题意知－a 2－9＝－10，∴a ＝1或－1(舍去)．故a ＝1. (2)由(1)得a ＝1，∴f ′(x )＝x 2＋2x －9，则k ＝f ′(3)＝6，f (3)＝－10.∴f (x )在x ＝3处的切线方程为y ＋10＝6(x －3)，即6x －y －28＝0.反思与感悟利用导数求切线方程时关键是找到切点，若切点未知需设出．常见的类型有两种：一类是求“在某点处的切线方程”，则此点一定为切点，易求斜率进而写出直线方程即可得；另一类是求“过某点的切线方程”，这种类型中的点不一定是切点，可先设切点为Q (x 1，y 1)，由y 0－y 1x 0－x 1＝f ′(x 1)和y 1＝f (x 1)，求出x 1，y 1的值，转化为第一种类型．跟踪训练1 直线y ＝kx ＋b 与曲线y ＝x 3＋ax ＋1相切于点(2,3)，则b ＝ . 答案－15解析由题意知f (2)＝3，则a ＝－3. f (x )＝x 3－3x ＋1.f ′(2)＝3×22－3＝9＝k ，又点(2,3)在直线y ＝9x ＋b 上， ∴b ＝3－9×2＝－15. 类型二导数与函数的单调性例2 求下列函数的单调区间： (1)f (x )＝(x －3)e x ，x ∈(0，＋∞)； (2)f (x )＝x (x －a )2.解 (1)f ′(x )＝(x －3)′e x ＋(x －3)(e x )′＝(x －2)e x ，令f ′(x )>0，解得x >2，又x ∈(0，＋∞)，∴函数的单调增区间为(2，＋∞)，函数的单调减区间为(0,2)． (2)函数f (x )＝x (x －a )2＝x 3－2ax 2＋a 2x 的定义域为R ，由f ′(x )＝3x 2－4ax ＋a 2＝0，得x 1＝a3，x 2＝a .①当a >0时，x 1<x 2.∴函数f (x )的单调递增区间为(－∞，a3)，(a ，＋∞)，单调递减区间为(a3，a )．②当a <0时，x 1>x 2，∴函数f (x )的单调递增区间为(－∞，a )，(a3，＋∞)，单调递减区间为(a ，a3)．③当a ＝0时，f ′(x )＝3x 2≥0，∴函数f (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞)，即f (x )在R 上是单调递增的．综上，a >0时，函数f (x )的单调递增区间为(－∞，a 3)，(a ，＋∞)，单调递减区间为(a3，a )；a <0时，函数f (x )的单调递增区间为(－∞，a )，(a 3，＋∞)，单调递减区间为(a ，a3)；a ＝0时，函数f (x )的单调递增区间是(－∞，＋∞)．反思与感悟求解函数y ＝f (x )单调区间的步骤 (1)确定函数y ＝f (x )的定义域． (2)求导数y ′＝f ′(x )．(3)解不等式f ′(x )>0，解集在定义域内的部分为增区间． (4)解不等式f ′(x )<0，解集在定义域内的部分为减区间．特别要注意定义域，写单调区间时，区间之间用“和”或“，”隔开，绝对不能用“∪”连接．跟踪训练2 求下列函数的单调区间： (1)f (x )＝sin x ，x ∈[0,2π]； (2)y ＝x ln x .解 (1)函数的定义域是[0,2π]， f ′(x )＝cos x ，令cos x >0，解得2k π－π2<x <2k π＋π2(k ∈Z )，当x ∈[0,2π]时，0<x <π2，或3π2<x <2π，令cos x <0，解得π2<x <3π2，因此，f (x )的单调递增区间是(0，π2)和(3π2，2π)，单调递减区间是(π2，3π2)．(2)函数的定义域是(0，＋∞)，f ′(x )＝ln x ＋1，令ln x ＋1>0得x >e －1，因此，f (x )的单调递增区间是(e －1，＋∞)，单调递减区间是(0，e －1)．类型三函数的单调性、极值、最值问题例3 设a 为实数，函数f (x )＝e x －2x ＋2a ，x ∈R . (1)求f (x )的单调区间与极值；(2)求证：当a >ln 2－1且x >0时，e x >x 2－2ax ＋1. (1)解由f (x )＝e x －2x ＋2a ，x ∈R ，知f ′(x )＝e x －2，x ∈R . 令f ′(x )＝0，得x ＝ln 2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：故f (x )的单调递减区间是(－∞，ln 2)，单调递增区间是(ln 2，＋∞)，f (x )在x ＝ln 2处取得极小值，极小值为f (ln 2)＝e ln 2－2ln 2＋2a ＝2(1－ln 2＋a )． (2)证明设g (x )＝e x －x 2＋2ax －1，x ∈R ，于是g ′(x )＝e x －2x ＋2a ，x ∈R .由(1)知当a >ln 2－1时，g ′(x )取最小值为g ′(ln 2)＝2(1－ln 2＋a )>0. 于是对任意x ∈R ，都有g ′(x )>0，所以g (x )在R 内单调递增．于是当a >ln 2－1时，对任意x ∈(0，＋∞)，都有g (x )>g (0)．而g (0)＝0，从而对任意x ∈(0，＋∞)，都有g (x )>0，即e x －x 2＋2ax －1>0，故e x >x 2－2ax ＋1.反思与感悟本类题考查导数的运算，利用导数研究函数的单调性，求函数的极值和证明不等式，考查运算能力、分析问题、解决问题的能力．跟踪训练3 已知函数f (x )＝(4x 2＋4ax ＋a 2)x ，其中a <0. (1)当a ＝－4时，求f (x )的单调递增区间； (2)若f (x )在区间[1,4]上的最小值为8，求a 的值．解 (1)当a ＝－4时，由f ′(x )＝2(5x －2)(x －2)x ＝0 (x >0)，得x ＝25或x ＝2.由f ′(x )>0，得x ∈(0，25)或x ∈(2，＋∞)，故函数f (x )的单调递增区间为(0，25)和(2，＋∞)．(2)因为f ′(x )＝(10x ＋a )(2x ＋a )2x ，a <0，由f ′(x )＝0，得x ＝－a 10或x ＝－a2.当x ∈(0，－a10)时，f (x )单调递增；当x ∈(－a 10，－a2)时，f (x )单调递减；当x ∈(－a2，＋∞)时，f (x )单调递增，易知f (x )＝(2x ＋a )2x ≥0，且f (－a2)＝0.①当－a2≤1，即－2≤a <0时，f (x )在[1,4]上的最小值为f (1)，由f (1)＝4＋4a ＋a 2＝8，得a ＝±22－2，均不符合题意．②当1<－a 2≤4，即－8≤a <－2时，f (x )在[1,4]上的最小值为f (－a2)＝0，不符合题意．③当－a2>4，即a <－8时，f (x )在[1,4]上的最小值可能在x ＝1或x ＝4上取得，而f (1)≠8，由f (4)＝2(64＋16a ＋a 2)＝8，得a ＝－10或a ＝－6(舍去)，当a ＝－10时，f (x )在(1,4)上单调递减， f (x )在[1,4]上的最小值为f (4)＝8，符合题意．综上，a ＝－10.1．函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象如图，则函数y ＝ax 2＋32bx ＋c3的单调递增区间是( )A ．(－∞，2]B ．[12，＋∞)C ．[－2,3]D ．[98，＋∞)答案 D解析不妨取a ＝1，又d ＝0，∴f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ，∴f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c . 由图可知f ′(－2)＝0，f ′(3)＝0，∴12－4b ＋c ＝0,27＋6b ＋c ＝0，∴b ＝－32，c ＝－18.∴y ＝x 2－94x －6，y ′＝2x －94，当x >98时，y ′>0，即单调递增区间为[98，＋∞)．故选D.2．已知y ＝e 3x －cos x，则y ′等于( )A ．e 3x －cos xB ．(3＋sin x )e 3x －cos xC ．e 3＋sin xD.3＋sin x 3x －cos x答案 B3.如图，y ＝f (x )是可导函数，直线l ：y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)等于( )A ．－1B ．0C ．2D ．4答案 B解析 ∵直线l ：y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，∴f (3)＝1.又点(3,1)在直线l 上， ∴3k ＋2＝1，从而k ＝－13，∴f ′(3)＝k ＝－13.∵g (x )＝xf (x )，∴g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，则g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)＝1＋3×(－13)＝0.4．设f ′(x )是函数f (x )的导函数，将y ＝f (x )和y ＝f ′(x )的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是( )答案 D解析若函数在给定区间上是增函数，则y ＝f ′(x )≥0，若函数在给定区间上是减函数，则y ＝f ′(x )≤0.5．设函数f (x )＝x e a －x ＋bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y ＝(e －1)x ＋4.(1)求a ，b 的值； (2)求f (x )的单调区间．解 (1)f (x )的定义域为R .∵f ′(x )＝e a －x －x e a －x ＋b ＝(1－x )e a －x ＋b .依题设，⎩⎪⎨⎪⎧ f (2)＝2e ＋2，f ′(2)＝e －1，即⎩⎪⎨⎪⎧2e a －2＋2b ＝2e ＋2，－e a －2＋b ＝e －1.解得a ＝2，b ＝e.(2)由(1)，知f (x )＝x e 2－x ＋e x .由f ′(x )＝e 2－x (1－x ＋e x －1)及e 2－x ＞0知，f ′(x )与1－x ＋e x－1同号．令g (x )＝1－x ＋e x －1，则g ′(x )＝－1＋e x －1，所以，当x ∈(－∞，1)时，g ′(x )＜0，g (x )在区间(－∞，1)上单调递减；当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )＞0，g (x )在区间(1，＋∞)上单调递增．故g (1)＝1是g (x )在区间(－∞，＋∞)上的最小值，从而g (x )＞0，x ∈(－∞，＋∞)，综上可知，f ′(x )＞0，x ∈(－∞，＋∞)．故f (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞)．1．利用导数的几何意义可以求出曲线上任意一点处的切线方程y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)．明确“过点P (x 0，y 0)的曲线y ＝f (x )的切线方程”与“在点P (x 0，y 0)处的曲线y ＝f (x )的切线方程”的异同点．2．借助导数研究函数的单调性，经常同三次函数，一元二次不等式结合，融分类讨论、数形结合于一体．课时作业一、选择题1．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0) 的几何意义是( ) A ．在点x ＝x 0处的函数值B ．在点(x 0，f (x 0))处的切线与x 轴所夹锐角的正切值C ．曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率D ．点(x 0，f (x 0))与点(0,0)连线的斜率答案 C2．如果物体的运动方程为s ＝1t ＋2t (t ＞1)，其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在2秒末的瞬时速度是( ) A.74米/秒 B.94米/秒C.32米/秒 D.52米/秒答案 A解析 ∵s ＝s (t )＝1t ＋2t ，∴s ′(t )＝－1t 2＋2.故物体在2秒末的瞬时速度为s ′(2)＝－14＋2＝74.3．a ＝(x 2＋6x,5x )，b ＝⎝⎛⎭⎫13x ，1－x ，已知f (x )＝a ·b ，则f ′(x )等于( ) A ．x 2－6x ＋5 B ．x 2＋6x －5 C.13x 3－3x 2＋5x D ．x 2－3x 2＋5答案 A解析 f (x )＝a ·b ＝(x 2＋6x,5x )·⎝⎛⎭⎫13x ，1－x ＝13x 3－3x 2＋5x ，则f ′(x )＝⎝⎛⎭⎫13x 3－3x 2＋5x ′＝x 2－6x ＋5. 4．已知函数y ＝x －ln(1＋x 2)，则y 的极值情况是( ) A ．有极小值 B ．有极大值C ．既有极大值又有极小值D ．无极值答案 D解析 ∵y ′＝1－2x1＋x 2＝(x －1)21＋x 2≥0，且仅在有限个点上等号成立，∴函数f (x )在定义域R 上为增函数，故其不存在极值．5．若函数f (x )＝13x 3－12(2b ＋1)x 2＋b (b ＋1)x 在(0,2)内有极小值，则( )A ．0＜b ＜1B ．0＜b ＜2C ．－1＜b ＜1D ．－1＜b ＜2答案 C解析 f ′(x )＝x 2－(2b ＋1)x ＋b (b ＋1)＝(x －b )[x －(b ＋1)]．令f ′(x )＝0，则x ＝b 或x ＝b ＋1，且x ＝b ＋1是极小值点，∴0＜b ＋1＜2，∴－1＜b ＜1.6．设函数f (x )＝x a －ax (0＜a ＜1)，则f (x )在[0，＋∞)内的极大值点x 0等于( ) A ．0 B ．a C ．1 D ．1－a 答案 C解析 f ′(x )＝(x a －ax )′＝ax a －1－a ＝a (x a －1－1)．令a (x a －1－1)＝0，∵0＜a ＜1，∴x ＝1.当0＜x ＜1时，f ′(x )＞0；当x ＞1时，f ′(x )＜0.∴x ＝1是[0，＋∞)内的极大值点．二、填空题7．函数f (x )＝xx ＋1的最大值为．答案 12解析方法一 f ′(x )＝12x(x ＋1)－x (x ＋1)2＝0⇒x ＝1.易知最大值为f (1)＝12.方法二 f (x )＝x(x )2＋1＝1x ＋1x ≤12，当且仅当x ＝1x，即x ＝1时，等号成立，故f (x )max ＝12.8．函数f (x )＝ax 4－4ax 2＋b (a ＞0,1≤x ≤2)的最大值为3，最小值为－5，则a ＝，b ＝ . 答案 2 3解析 f ′(x )＝4ax 3－8ax ＝4ax (x 2－2)，令f ′(x )＝0，解得x 1＝0，x 2＝2，x 3＝－ 2.f (1)＝a －4a ＋b ＝b －3a ，f (2)＝16a －16a ＋b ＝b ，f (2)＝b －4a ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ b －4a ＝－5，b ＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3.9．在平面直角坐标系xOy 中，点P 在曲线C ：y ＝x 3－10x ＋3上，且在第二象限内，已知曲线C 在点P 处的切线的斜率为2，则点P 的坐标为．答案 (－2,15)解析 y ′＝3x 2－10，令y ′＝2，解得x ＝±2.又∵点P 在第二象限内，∴x ＝－2，此时y ＝15，∴点P 的坐标为(－2,15)．10．设f (x )＝ax 2－b sin x ，且f ′(0)＝1，f ′⎝⎛⎭⎫π3＝12，则a ＝，b ＝ . 答案 0 －1解析 f ′(x )＝2ax －b cos x ，由条件知，⎩⎪⎨⎪⎧－b cos 0＝1，2π3a －b cos π3＝12，所以⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－1，a ＝0. 11．若函数f (x )＝x x 2＋a(a >0)在[1，＋∞)上的最大值为33，则实数a 的值为．答案 3－1解析 f ′(x )＝a －x 2(x 2＋a )2，当x >a 时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当－a <x <a 时，f ′(x )>0，f (x )单调递增．若a ≥1，即a ≥1，则当x ∈[1，＋∞)时，f (x )max ＝f (a )＝a 2a ＝33，解得a ＝32<1，不合题意，∴a <1，且当x ∈[1，＋∞)时，f (x )max ＝f (1)＝11＋a ＝33，解得a ＝3－1，满足a <1.三、解答题12．动点的运动规律是s ＝10t ＋5t 2，式中t 表示时间(单位：s)，s 表示距离(单位：m)，求在20≤t ≤20＋Δt 时间段内动点的平均速度，其中：(1)Δt ＝1；(2)Δt ＝0.1；(3)Δt ＝0.01，当t ＝20时，运动的瞬时速度等于多少？解 s ′＝(10t ＋5t 2)′＝10＋10t ，动点在20≤t ≤20＋Δt 时间段内的平均速度为v ＝s ′(20)＋s ′(20＋Δt )2 ＝10＋10×20＋10＋10×(20＋Δt )2＝210＋5Δt .(1)当Δt ＝1时，v ＝210＋5×1＝215(m/s)．(2)当Δt ＝0.1时，v ＝210＋5×0.1＝210.5(m/s)．(3)当Δt ＝0.01时，v ＝210＋5×0.01＝210.05(m/s)．当t ＝20时，运动的瞬时速度为s ′(20)＝10＋10×20＝210(m/s)．13．设函数f (x )＝x 3－92x 2＋6x －a . (1)若对于任意实数x ，f ′(x )≥m 恒成立，求m 的最大值；(2)若方程f (x )＝0有且仅有一个实根，求a 的取值范围．解 (1)f ′(x )＝3x 2－9x ＋6＝3(x －1)(x －2)．因为x ∈(－∞，＋∞)，f ′(x )≥m ，即3x 2－9x ＋(6－m )≥0恒成立．所以Δ＝81－12(6－m )≤0，得m ≤－34，即m 的最大值为－34. (2)因为当x <1时，f ′(x )>0；当1<x <2时，f ′(x )<0；当x >2时，f ′(x )>0，所以当x ＝1时，f (x )取极大值f (1)＝52－a ，当x ＝2时，f (x )取极小值f (2)＝2－a .故当f (2)>0或f (1)<0时，方程f (x )＝0仅有一个实根，解得a <2或a >52. 四、探究与拓展14．设函数f (x )＝ln x ＋m x (m ∈R )，若对任意的b >a >0，f (b )－f (a )b －a<1恒成立，则实数m 的取值范围是．答案 [14，＋∞) 解析对任意的b >a >0，f (b )－f (a )b －a<1恒成立，等价于f (b )－b <f (a )－a 恒成立．设函数h (x )＝f (x )－x ＝ln x ＋m x－x ，则h (x )在(0，＋∞)上是单调减函数，即h ′(x )＝1x －m x 2－1≤0在(0，＋∞)上恒成立，得m ≥－x 2＋x ＝－(x －12)2＋14(x >0)恒成立，得m ≥14，所以实数m 的取值范围是[14，＋∞)． 15．已知函数f (x )＝e x ＋1x －a. (1)当a ＝12时，求函数f (x )在x ＝0处的切线方程； (2)函数f (x )是否存在零点？若存在，求出零点的个数；若不存在，说明理由．解 (1)∵f (x )＝e x ＋1x －a ，∴f ′(x )＝e x －1(x －a )2， ∴f ′(0)＝1－1a 2. 当a ＝12时，f ′(0)＝－3.又∵f (0)＝－1， ∴f (x )在x ＝0处的切线方程为y －(－1)＝－3(x －0)，即y ＝－3x －1.(2)函数f (x )的定义域为(－∞，a )∪(a ，＋∞)．当x ∈(a ，＋∞)时，e x ＞0，1x －a ＞0， ∴f (x )＝e x ＋1x －a ＞0. 即f (x )在区间(a ，＋∞)上没有零点．当x ∈(－∞，a )时，f (x )＝e x ＋1x －a ＝e x(x －a )＋1x －a ，令g (x )＝e x (x －a )＋1，只要讨论g (x )的零点即可．g ′(x )＝e x (x －a ＋1)，g ′(a －1)＝0，当x ∈(－∞，a －1)时，g ′(x )＜0，g (x )是减函数；当x ∈(a －1，a )时，g ′(x )＞0，g (x )是增函数．∴g (x )在区间(－∞，a )上的最小值为g (a －1)＝1－e a －1. 显然，当a ＝1时，g (a －1)＝0，∴x ＝a －1是f (x )的唯一的零点；当a ＜1时，g (a －1)＝1－e a －1＞0，∴f (x )没有零点；当a ＞1时，g (a －1)＝1－e a －1＜0， ∴f (x )有两个零点．。

2018版数学人教A版选修2-2学案：第二章推理与证明 2-

学习目标 1.了解数学归纳法的原理.2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．知识点数学归纳法对于一个与正整数有关的等式n(n－1)(n－2)…(n－50)＝0.思考1验证当n＝1，n＝2，…，n＝50时等式成立吗？答案成立．思考2能否通过以上等式归纳出当n＝51时等式也成立？为什么？答案不能，上面的等式只对n取1至50的正整数成立．梳理(1)数学归纳法的定义一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：①(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立；②(归纳递推)假设当n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．这种证明方法叫做数学归纳法．(2)数学归纳法的框图表示类型一用数学归纳法证明等式例1(1)用数学归纳法证明(n＋1)·(n＋2)·…·(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)(n∈N*)，“从k 到k＋1”左端增乘的代数式为________．答案 2(2k ＋1)(2)用数学归纳法证明当n ∈N *时，1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n .证明 ①当n ＝1时，左边＝1－12＝12，右边＝12.左边＝右边，等式成立．②假设当n ＝k (k ∈N *，k ≥1)时，等式成立，即1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ，当n ＝k ＋1时，1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＋12k ＋1－12k ＋2＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ＋12k ＋1－12k ＋2＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋1＋(1k ＋1－12k ＋2) ＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋1＋12k ＋2 ＝1(k ＋1)＋1＋1(k ＋1)＋2＋…＋12(k ＋1).∴当n ＝k ＋1时，等式成立．由①②可知，对一切n ∈N *等式成立．反思与感悟数学归纳法证题的三个关键点：(1)验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定是1.(2)递推是关键：数学归纳法的实质在于递推，所以从“k ”到“k ＋1”的过程中，要正确分析式子项数的变化．关键是弄清等式两边的构成规律，弄清由n ＝k 到n ＝k ＋1时，等式的两边会增加多少项、增加怎样的项．(3)利用假设是核心：在第二步证明n ＝k ＋1成立时，一定要利用归纳假设，即必须把归纳假设“n ＝k 时命题成立”作为条件来导出“n ＝k ＋1”，在书写f (k ＋1)时，一定要把包含f (k )的式子写出来，尤其是f (k )中的最后一项，这是数学归纳法的核心，不用归纳假设的证明就不是数学归纳法．跟踪训练1 用数学归纳法证明：1＋3＋5＋…＋(2n －3)＋(2n －1)＋(2n －3)＋…＋5＋3＋1＝2n 2－2n ＋1.证明 (1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝2×12－2×1＋1＝1，等式成立． (2)假设当n ＝k (k ∈N *)时，等式成立，即1＋3＋5＋…＋(2k －3)＋(2k －1)＋(2k －3)＋…＋5＋3＋1＝2k 2－2k ＋1，则当n ＝k ＋1时，左边＝1＋3＋5＋…＋(2k －3)＋(2k －1)＋(2k ＋1)＋(2k －1)＋(2k －3)＋…＋5＋3＋1＝2k 2－2k ＋1＋(2k －1)＋(2k ＋1) ＝2k 2＋2k ＋1＝2(k ＋1)2－2(k ＋1)＋1. 即当n ＝k ＋1时，等式成立．由(1)(2)知，对任意n ∈N *，等式都成立．类型二利用数学归纳法证明不等式例2 求证：1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n >56(n ≥2，n ∈N *)．证明 (1)当n ＝2时，左边＝13＋14＋15＋16＝5760，故左边>右边，不等式成立．(2)假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，命题成立，即1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k >56，则当n ＝k ＋1时，1(k ＋1)＋1＋1(k ＋1)＋2＋…＋13k ＋13k ＋1＋13k ＋2＋13(k ＋1)＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k ＋(13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3－1k ＋1)>56＋(13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3－1k ＋1)．(*) 方法一 (分析法) 下面证(*)式≥56，即13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3－1k ＋1≥0，只需证(3k ＋2)(3k ＋3)＋(3k ＋1)(3k ＋3)＋(3k ＋1)(3k ＋2)－3(3k ＋1)(3k ＋2)≥0，只需证(9k 2＋15k ＋6)＋(9k 2＋12k ＋3)＋(9k 2＋9k ＋2)－(27k 2＋27k ＋6)≥0，只需证9k ＋5≥0，显然成立．所以当n ＝k ＋1时，不等式也成立．方法二 (放缩法)(*)式>(3×13k ＋3－1k ＋1)＋56＝56，所以当n ＝k ＋1时，不等式也成立．由(1)(2)可知，原不等式对一切n ≥2，n ∈N *均成立．引申探究把本例改为求证：1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋1n ＋n >1124(n ∈N *)．证明 (1)当n ＝1时，左边＝12>1124，不等式成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *，k ≥1)时，不等式成立，即1k ＋1＋1k ＋2＋1k ＋3＋…＋1k ＋k >1124，则当n ＝k ＋1时，1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＝1k ＋1＋1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1>1124＋12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1， ∵12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1＝2(k ＋1)＋(2k ＋1)－2(2k ＋1)2(k ＋1)(2k ＋1)＝12(k ＋1)(2k ＋1)>0， ∴1k ＋1＋1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1>1124＋12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1>1124，∴当n ＝k ＋1时，不等式成立．由(1)(2)知对于任意正整数n ，不等式成立．反思与感悟用数学归纳法证明不等式的四个关键：(1)验证第一个n 的值时，要注意n 0不一定为1，若n >k (k 为正整数)，则n 0＝k ＋1. (2)证明不等式的第二步中，从n ＝k 到n ＝k ＋1的推导过程中，一定要用到归纳假设，不应用归纳假设的证明不是数学归纳法，因为缺少归纳假设．(3)用数学归纳法证明与n 有关的不等式一般有两种具体形式：一是直接给出不等式，按要求进行证明；二是给出两个式子，按要求比较它们的大小，对第二类形式往往要先对n 取前几个值的情况分别验证比较，以免出现判断失误，最后猜出从某个n 值开始都成立的结论，常用数学归纳法证明．(4)用数学归纳法证明不等式的关键是由n ＝k 时成立得n ＝k ＋1时成立，主要方法有比较法、分析法、综合法、放缩法等．跟踪训练2 用数学归纳法证明对一切n ∈N *，1＋122＋132＋…＋1n 2≥3n2n ＋1.证明 (1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝3×12×1＋1＝1，不等式成立．(2)假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，不等式成立，即1＋122＋132＋…＋1k 2≥3k 2k ＋1，则当n ＝k ＋1时，要证1＋122＋132＋…＋1k 2＋1(k ＋1)2≥3(k ＋1)2(k ＋1)＋1，只需证3k 2k ＋1＋1(k ＋1)2≥3(k ＋1)2(k ＋1)＋1. 因为3(k ＋1)2k ＋3－[3k 2k ＋1＋1(k ＋1)2]＝34(k ＋1)2－1－1(k ＋1)2＝1－(k ＋1)2(k ＋1)2[4(k ＋1)2－1] ＝－k (k ＋2)(k ＋1)2(4k 2＋8k ＋3)≤0，所以3k 2k ＋1＋1(k ＋1)2≥3(k ＋1)2(k ＋1)＋1，即1＋122＋132＋…＋1k 2＋1(k ＋1)2≥3(k ＋1)2(k ＋1)＋1，所以当n ＝k ＋1时，不等式成立．由(1)(2)知，不等式对一切n ∈N *都成立．类型三归纳—猜想—证明例3 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，其中a n ＝S n n (2n －1)，且a 1＝13.(1)求a 2，a 3；(2)猜想数列{a n }的通项公式，并证明．解 (1)a 2＝S 22(2×2－1)＝a 1＋a 26，a 1＝13，则a 2＝115，同理求得a 3＝135.(2)由a 1＝11×3，a 2＝13×5，a 3＝15×7，…，猜想a n ＝1(2n －1)(2n ＋1).证明：①当n ＝1时，a 1＝13，等式显然成立；②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时猜想成立，即a k ＝1(2k －1)(2k ＋1)，那么当n ＝k ＋1时，由题设a n ＝S nn (2n －1)，得a k ＝S kk (2k －1)，a k ＋1＝S k ＋1(k ＋1)(2k ＋1)，所以S k ＝k (2k －1)a k＝k (2k －1)1(2k －1)(2k ＋1)＝k2k ＋1.S k ＋1＝(k ＋1)(2k ＋1)a k ＋1，a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝(k ＋1)(2k ＋1)a k ＋1－k2k ＋1，因此，k (2k ＋3)a k ＋1＝k2k ＋1，所以a k ＋1＝1(2k ＋1)(2k ＋3)＝1[2(k ＋1)－1][2(k ＋1)＋1].所以当n ＝k ＋1时，命题成立．由①②可知，命题对任何n ∈N *都成立．反思与感悟 (1)“归纳—猜想—证明”的解题步骤(2)归纳法的作用归纳法是一种推理方法，数学归纳法是一种证明方法．归纳法帮助我们提出猜想，而数学归纳法的作用是证明猜想．“观察—猜想—证明”是解答与自然数有关命题的有效途径．跟踪训练3 设a >0，f (x )＝axa ＋x，令a 1＝1，a n ＋1＝f (a n )，n ∈N *. (1)写出a 2，a 3，a 4的值，并猜想{a n }的通项公式； (2)用数学归纳法证明你的结论．解 (1)因为a 1＝1，a n ＋1＝f (a n )，所以a 2＝f (a 1)＝f (1)＝aa ＋1，a 3＝f (a 2)＝f (a a ＋1)＝a ·a a ＋1a ＋a a ＋1＝aa ＋2，a 4＝f (a 3)＝f (a a ＋2)＝a ·a a ＋2a ＋a a ＋2＝aa ＋3，猜想a n ＝aa ＋(n －1)(n ∈N *)．(2)①易知当n ＝1时，结论成立；②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，猜想成立，即a k ＝aa ＋(k －1).则当n ＝k ＋1时， a k ＋1＝f (a k )＝a ×aa ＋(k －1)a ＋aa ＋(k －1)＝a a ＋(k －1)＋1＝aa ＋k＝aa ＋[(k ＋1)－1]，即当n ＝k ＋1时，猜想也成立．由①②知，对一切n ∈N *，都有a n ＝aa ＋(n －1).1．用数学归纳法证明1＋122＋132＋…＋1(2n －1)2<2－12n－1(n ≥2，n ∈N *)的第一步需证明( ) A ．1<2－12－1B ．1＋122<2－122－1C ．1＋122＋132<2－122－1D ．1＋122＋132＋142<2－122－1答案 C2．用数学归纳法证明“1＋a ＋a 2＋…＋a 2n ＋1＝1－a 2n ＋21－a(a ≠1)”．在验证n ＝1时，左端计算所得项为( ) A ．1＋a B ．1＋a ＋a 2 C ．1＋a ＋a 2＋a 3 D ．1＋a ＋a 2＋a 3＋a 4答案 C解析将n ＝1代入a 2n ＋1得a 3，故选C.3．用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n －1＝2n －1(n ∈N *)的过程如下：(1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，等式成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k －1＝2k －1，则当n ＝k ＋1时，1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k＝1－2k ＋11－2＝2k ＋1－1.所以当n ＝k ＋1时，等式也成立．由此可知对于任何n ∈N *，等式都成立．上述证明，错误是________．答案未用归纳假设解析本题在由n ＝k 成立证明n ＝k ＋1成立时，应用了等比数列的求和公式，而未用上归纳假设，这与数学归纳法的要求不符． 4．请观察以下三个式子： (1)1×3＝1×2×96；(2)1×3＋2×4＝2×3×116；(3)1×3＋2×4＋3×5＝3×4×136，归纳出一般的结论，并用数学归纳法证明该结论．解结论：1×3＋2×4＋3×5＋…＋n (n ＋2) ＝n (n ＋1)(2n ＋7)6.证明：①当n ＝1时，左边＝3，右边＝3，所以命题成立． ②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，命题成立，即1×3＋2×4＋3×5＋…＋k (k ＋2)＝k (k ＋1)(2k ＋7)6，则当n ＝k ＋1时，1×3＋2×4＋…＋k (k ＋2)＋(k ＋1)(k ＋3) ＝k (k ＋1)(2k ＋7)6＋(k ＋1)(k ＋3)＝k ＋16(2k 2＋7k ＋6k ＋18)＝k ＋16(2k 2＋13k ＋18)＝(k ＋1)(k ＋2)(2k ＋9)6＝(k ＋1)[(k ＋1)＋1][2(k ＋1)＋7]6，所以当n ＝k ＋1时，命题成立．由①②知，命题成立．在应用数学归纳法证题时应注意以下几点：(1)验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定为1；(2)递推是关键：正确分析由n＝k到n＝k＋1时，式子项数的变化是应用数学归纳法成功证明问题的保障；(3)利用假设是核心：在第二步证明中一定要利用归纳假设，这是数学归纳法证明的核心环节，否则这样的证明就不是数学归纳法证明．课时作业一、选择题1．某个命题与正整数有关，如果当n＝k(k∈N*)时，该命题成立，那么可推得当n＝k＋1时，该命题也成立．现在已知当n＝5时，该命题成立，那么可推导出()A．当n＝6时命题不成立B．当n＝6时命题成立C．当n＝4时命题不成立D．当n＝4时命题成立答案 B2．一个与正整数n有关的命题中，当n＝2时命题成立，且由n＝k时命题成立，可以推得n＝k＋2时命题也成立，则()A．该命题对于n>2的自然数n都成立B．该命题对于所有的正偶数都成立C．该命题何时成立与k取值无关D．以上答案都不对答案 B解析由n＝k时命题成立，可以推出n＝k＋2时命题也成立，且n＝2.故对所有的正偶数都成立．3．设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当f(k)≥k2成立时，总可推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立”，那么，下列命题总成立的是()A．若f(3)≥9成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k2成立B．若f(5)≥25成立，则当k≤5时，均有f(k)≥k2成立C．若f(7)<49成立，则当k≥8时，均有f(k)<k2成立D ．若f (4)＝25成立，则当k ≥4时，均有f (k )≥k 2成立答案 D解析对于D ，∵f (4)＝25≥42， ∴当k ≥4时，均有f (k )≥k 2.4．设S k ＝1k ＋1＋1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ，则S k ＋1为( )A ．S k ＋12k ＋2B ．S k ＋12k ＋1＋12k ＋2C ．S k ＋12k ＋1－12k ＋2D ．S k ＋12k ＋2－12k ＋1答案 C解析 S k ＋1＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＝S k ＋12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1＝S k ＋12k ＋1－12k ＋2. 5．已知f (n )＝1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n 2，则( )A ．f (n )中共有n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13B ．f (n )中共有n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋14C ．f (n )中共有n 2－n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13D ．f (n )中共有n 2－n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋14答案 D解析观察分母的首项为n ，最后一项为n 2，公差为1， ∴项数为n 2－n ＋1.6．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n3a n ＋1(n ∈N *)，依次计算a 2，a 3，a 4，归纳推测出a n 的通项表达式为( ) A.24n －3 B.26n －5 C.24n ＋3 D.22n －1答案 B解析由a 1＝2，a 2＝27，a 3＝213，a 4＝219，…，可推测a n ＝26n －5，故选B.7．某同学回答“用数学归纳法证明n 2＋n <n ＋1(n ∈N *)”的过程如下：证明：(1)当n ＝1时，显然命题是正确的；(2)假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，有k (k ＋1)<k ＋1，那么当n ＝k ＋1时，(k ＋1)2＋(k ＋1) ＝k 2＋3k ＋2<k 2＋4k ＋4＝(k ＋1)＋1，所以当n ＝k ＋1时，命题成立．由(1)(2)可知对于任意n ∈N *命题成立．以上证法是错误的，错误在于( )A ．从k 到k ＋1的推理过程没有使用归纳假设B ．归纳假设的写法不正确C ．从k 到k ＋1的推理不严密D ．当n ＝1时，验证过程不具体答案 A二、填空题8．用数学归纳法证明：1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ，第一步应验证的等式是________．答案 1－12＝129．用数学归纳法证明关于n 的恒等式，当n ＝k 时，表达式为1×4＋2×7＋…＋k (3k ＋1)＝k (k ＋1)2，则当n ＝k ＋1时，表达式为______________________________________________．答案 1×4＋2×7＋…＋k (3k ＋1)＋(k ＋1)(3k ＋4)＝(k ＋1)(k ＋2)210．证明：假设当n ＝k (k ∈N *)时等式成立，即2＋4＋…＋2k ＝k 2＋k ，则当n ＝k ＋1时，2＋4＋…＋2k ＋2(k ＋1)＝k 2＋k ＋2(k ＋1)＝(k ＋1)2＋(k ＋1)，即当n ＝k ＋1时，等式也成立．因此对于任何n ∈N *等式都成立．以上用数学归纳法证明“2＋4＋…＋2n ＝n 2＋n (n ∈N *)”的过程中的错误为____________________．答案缺少步骤归纳奠基三、解答题11．用数学归纳法证明(1－14)(1－19)(1－116)·…·(1－1n 2)＝n ＋12n(n ≥2，n ∈N *)．证明 (1)当n ＝2时，左边＝1－14＝34，右边＝2＋12×2＝34，所以左边＝右边，所以当n ＝2时等式成立．(2)假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时等式成立，即(1－14)(1－19)(1－116)·…·(1－1k 2)＝k ＋12k，那么当n ＝k ＋1时，(1－14)(1－19)(1－116)·…·(1－1k 2)[1－1(k ＋1)2]＝k ＋12k [1－1(k ＋1)2] ＝k ＋12k ·k (k ＋2)(k ＋1)2＝k ＋22(k ＋1)＝(k ＋1)＋12(k ＋1)，即当n ＝k ＋1时，等式成立．综合(1)(2)知，对任意n ≥2，n ∈N *，等式恒成立．12．用数学归纳法证明：122＋132＋142＋…＋1n 2<1－1n(n ≥2，n ∈N *)．证明 (1)当n ＝2时，左式＝122＝14，右式＝1－12＝12. 因为14<12，所以不等式成立． (2)假设n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，不等式成立，即122＋132＋142＋…＋1k 2<1－1k，则当n ＝k ＋1时，122＋132＋142＋…＋1k 2＋1(k ＋1)2<1－1k ＋1(k ＋1)2＝1－(k ＋1)2－k k (k ＋1)2＝1－k 2＋k ＋1k (k ＋1)2<1－k (k ＋1)k (k ＋1)2＝1－1k ＋1，所以当n ＝k ＋1时，不等式也成立．综上所述，对任意n ≥2的正整数，不等式都成立．13．设数列{a n }满足a n ＋1＝a 2n －na n ＋1，n ＝1,2,3，….(1)当a 1＝2时，求a 2，a 3，a 4，并由此猜想出a n 的一个通项公式；(2)当a 1≥3时，证明对所有的n ≥1，n ∈N *，有a n ≥n ＋2.(1)解由a 1＝2，得a 2＝a 21－a 1＋1＝3，由a 2＝3，得a 3＝a 22－2a 2＋1＝4，由a 3＝4，得a 4＝a 23－3a 3＋1＝5，由此猜想a n 的一个通项公式：a n ＝n ＋1(n ≥1，n ∈N *)．(2)证明 ①当n ＝1时，a 1≥3＝1＋2，不等式成立．②假设当n ＝k (k ≥1，n ∈N *)时，不等式成立，即a k ≥k ＋2，那么当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝a k (a k －k )＋1≥(k ＋2)(k ＋2－k )＋1≥k ＋3.即当n ＝k ＋1时，a k ＋1≥(k ＋1)＋2.由①②可知，对任意的n ≥1，n ∈N *，都有a n ≥n ＋2.四、探究与拓展14．已知f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n ，n ∈N *，用数学归纳法证明f (2n )>n 2时，f (2n ＋1)－f (2n )＝________________________________________________________________________. 答案 12n ＋1＋12n ＋2＋…＋12n ＋115．已知数列{a n }的前n 项和S n 满足：S n ＝a n 2＋1a n－1，且a n >0，n ∈N *. (1)求a 1，a 2，a 3，并猜想{a n }的通项公式；(2)证明通项公式的正确性．(1)解当n ＝1时，由已知得a 1＝a 12＋1a 1－1，a 21＋2a 1－2＝0. ∴a 1＝3－1(a n >0)．当n ＝2时，由已知得a 1＋a 2＝a 22＋1a 2－1，将a 1＝3－1代入并整理得a 22＋23a 2－2＝0.∴a 2＝5－3(a n >0)．同理可得a 3＝7－ 5.猜想a n ＝2n ＋1－2n －1(n ∈N *)．(2)证明 ①由(1)知，当n ＝1,2,3时，通项公式成立．②假设当n ＝k (k ≥3，k ∈N *)时，通项公式成立，即a k ＝2k ＋1－2k －1.由a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝a k ＋12＋1a k ＋1－a k 2－1a k，将a k ＝2k ＋1－2k －1代入上式并整理得a 2k ＋1＋22k ＋1a k ＋1－2＝0，解得：a k ＋1＝2k ＋3－2k ＋1(a n >0)．即当n ＝k ＋1时，通项公式也成立．由①和②可知，对所有n ∈N *，a n ＝2n ＋1－2n －1都成立．。

(浙江专版)2018年高中数学阶段质量检测(二)推理与证明新人教A版选修2-2

阶段质量检测（二）推理与证明（时间： 120分钟满分:150分)一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）1．设a＝错误!－错误!，b＝错误!－错误!,c＝错误!－错误!，则a，b，c的大小顺序是（）A．a＞b＞c B．b＞c＞aC．c＞a＞b D．a＞c＞b解析：选A ∵a＝错误!－错误!＝错误!，b＝6－5＝错误!，c＝错误!－错误!＝错误!,又∵错误!＋错误!＞错误!＋错误!＞错误!＋错误!＞0，∴a＞b＞c。

2．若a，b，c为实数，且a＜b＜0，则下列命题正确的是（)A．ac2＜bc2 B．a2＞ab＞b2C。

错误!＜错误! D.错误!＞错误!解析：选B a2－ab＝a(a－b)，∵a＜b＜0，∴a－b＜0，∴a2－ab＞0，∴a2＞ab.①又ab－b2＝b(a－b）＞0，∴ab＞b2，②由①②得a2＞ab＞b2。

3．若a，b，c是不全相等的正数，给出下列判断：①（a－b）2＋（b－c)2＋(c－a)2≠0;②a＞b与a＜b及a＝b中至少有一个成立；③a≠c，b≠c,a≠b不能同时成立．其中判断正确的个数是（)A．0 B．1C．2 D．3解析：选C 由于a，b，c不全相等,则a－b，b－c，c－a中至少有一个不为0，故①正确;②显然成立；令a＝2，b＝3，c＝5，满足a≠c，b≠c，a≠b，故③错．4．已知a＋b＋c＞0，ab＋bc＋ac＞0，abc＞0，用反证法求证a＞0,b＞0，c＞0时的反设为（）A．a＜0,b＜0，c＜0 B．a≤0，b＞0,c＞0C．a，b，c不全是正数 D．abc＜0解析：选C a＞0,b＞0，c＞0的否定是：a，b，c不全是正数．5．求证:错误!＋错误!〉错误!.证明：因为错误!＋错误!和错误!都是正数，所以为了证明错误!＋错误!>错误!，只需证明(错误!＋错误!)2〉(错误!）2，展开得5＋2错误!〉5，即2错误!〉0，此式显然成立,所以不等式错误!＋错误!>错误!成立．上述证明过程应用了（)A．综合法B．分析法C．综合法、分析法配合使用D．间接证法解析：选B 证明过程中的“为了证明……”，“只需证明……”这样的语句是分析法所特有的，是分析法的证明模式．6．设x，y，z＞0，则三个数错误!＋错误!,错误!＋错误!,错误!＋错误!（)A．都大于2 B．至少有一个大于2C．至少有一个不小于2 D．至少有一个不大于2解析：选C 因为x＞0,y＞0，z＞0，所以错误!＋错误!＋错误!＝错误!＋错误!＋错误!≥6，当且仅当x＝y＝z时等号成立,则三个数中至少有一个不小于2。

2018版数学人教A版浙江版选修2-2学案：综合检测二 含答案 精品

2018学年高中数学人教A版选修2-2习题 模块综合检测基础卷 含答案

2018版数学人教A版浙江版选修2-2学案：第二章 推理与

2017-2018学年高中数学选修2-2全册学案人教A版含解析238P

2018版数学人教A版浙江版选修2-2学案：综合检测一 含

2018版数学人教A版浙江版选修2-2学案：第一章 导数及

2018版数学人教A版选修2-2学案：第二章 推理与证明 2-

2018版数学人教A版浙江版选修2-2学案：第一章 导数及

2018版数学选修2-2学案：综合检测 含答案 精品

人教A版数学选修2-2习题 模块综合评价(二) Word版含答案

2018年高中数学人教A版选修2-2模块综合检测习题含解析

2017-2018学年人教A版数学选修2-2模块综合检测(二)含解析

最新整理春高中数学人教A版选修2-2习题-模块综合测评(二) Word版含答案.doc

2018学年高中数学人教A版选修2-2习题 综合检测2基础卷 含答案

2018版数学人教A版浙江版选修2-2学案：第二章 推理与

2018版数学《学案导学与随堂笔记》人教A版浙江版选修2-2学案：综合检测(二) Word版含答案

2018版数学人教A版浙江版选修2-2学案：第一章 导数及

2018版数学人教A版浙江版选修2-2学案：第一章 导数及

2018版数学人教A版选修2-2学案：第二章 推理与证明 2-

(浙江专版)2018年高中数学 阶段质量检测(二)推理与证明 新人教A版选修2-2

2018版数学人教A版浙江版选修2-2学案：综合检测二含答案精品

2018学年高中数学人教A版选修2-2习题模块综合检测基础卷含答案

2018版数学人教A版浙江版选修2-2学案：第二章推理与

2018版数学人教A版浙江版选修2-2学案：综合检测一含

2018版数学人教A版浙江版选修2-2学案：第一章导数及

2018版数学人教A版选修2-2学案：第二章推理与证明 2-

2018版数学人教A版浙江版选修2-2学案：第一章导数及

2018版数学选修2-2学案：综合检测含答案精品

人教A版数学选修2-2习题模块综合评价(二) Word版含答案

2018学年高中数学人教A版选修2-2习题综合检测2基础卷含答案

2018版数学人教A版浙江版选修2-2学案：第二章推理与

2018版数学人教A版浙江版选修2-2学案：第一章导数及

2018版数学人教A版浙江版选修2-2学案：第一章导数及

2018版数学人教A版选修2-2学案：第二章推理与证明 2-

(浙江专版)2018年高中数学阶段质量检测(二)推理与证明新人教A版选修2-2