高考第一轮复习数学 2.4 函数的奇偶性

2.4 函数的奇偶性●知识梳理1.奇函数：对于函数f （x ）的定义域内任意一个x ，都有f （－x ）=－f （x ）〔或f （x ）+ f （－x ）=0〕，则称f （x ）为奇函数.2.偶函数：对于函数f （x ）的定义域内任意一个x ，都有f （－x ）=f （x ）〔或f （x ）－f （－x ）=0〕，则称f （x ）为偶函数.3.奇、偶函数的性质（1）具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称）.（2）奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称.（3）若奇函数的定义域包含数0，则f （0）=0.（4）奇函数的反函数也为奇函数.（5）定义在（－∞，+∞）上的任意函数f （x ）都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和.●点击双基1.下面四个结论中，正确命题的个数是①偶函数的图象一定与y 轴相交 ②奇函数的图象一定通过原点 ③偶函数的图象关于y 轴对称 ④既是奇函数，又是偶函数的函数一定是f （x ）=0（x ∈R ）A.1B.2C.3D.4解析：①不对；②不对，因为奇函数的定义域可能不包含原点；③正确；④不对，既是奇函数又是偶函数的函数可以为f （x ）=0〔x ∈（－a ，a ）〕.答案：A2.已知函数f （x ）=ax 2＋bx ＋c （a ≠0）是偶函数，那么g （x ）=ax 3＋bx 2＋cx 是A.奇函数B.偶函数C.既奇且偶函数D.非奇非偶函数解析：由f （x ）为偶函数，知b =0，有g （x ）=ax 3＋cx （a ≠0）为奇函数.答案：A3.若偶函数f （x ）在区间［－1，0］上是减函数，α、β是锐角三角形的两个内角，且α≠β，则下列不等式中正确的是A.f （cos α）＞f （cos β）B.f （sin α）＞f （cos β）C.f （sin α）＞f （sin β）D.f （cos α）＞f （sin β）解析：∵偶函数f （x ）在区间［－1，0］上是减函数，∴f （x ）在区间［0，1］上为增函数.由α、β是锐角三角形的两个内角，∴α+β＞90°，α＞90°－β.1＞sin α＞cos β＞0.∴f （sin α）＞f （cos β）.答案：B4.已知f （x ）＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，且其定义域为［a －1，2a ］，则a ＝___________，b ＝___________.解析：定义域应关于原点对称，故有a －1＝－2a ，得a ＝31.又对于所给解析式，要使f （－x ）＝f （x ）恒成立，应b ＝0. 答案：31 0 5.给定函数:①y =x 1（x ≠0）；②y =x 2+1；③y =2x ；④y =log 2x ；⑤y =log 2（x +12+x ）. 在这五个函数中，奇函数是_________，偶函数是_________，非奇非偶函数是__________.答案：①⑤ ② ③④●典例剖析【例1】 已知函数y =f （x ）是偶函数，y =f （x －2）在［0，2］上是单调减函数，则A.f （0）＜f （－1）＜f （2）B.f （－1）＜f （0）＜f （2）C.f （－1）＜f （2）＜f （0）D.f （2）＜f （－1）＜f （0）剖析：由f （x －2）在［0，2］上单调递减，∴f （x ）在［－2，0］上单调递减. ∵y =f （x ）是偶函数，∴f （x ）在［0，2］上单调递增.又f （－1）=f （1），故应选A.答案：A【例2】 判断下列函数的奇偶性：（1）f （x ）=|x +1|－|x －1|；（2）f （x ）=（x －1）·xx -+11； （3）f （x ）=2|2|12-+-x x ； （4）f （x ）=⎩⎨⎧>+<-).0()1(),0()1(x x x x x x剖析：根据函数奇偶性的定义进行判断.解：（1）函数的定义域x ∈（－∞，+∞），对称于原点.∵f （－x ）=|－x +1|－|－x －1|=|x －1|－|x +1|=－（|x +1|－|x －1|）=－f （x ），∴f （x ）=|x +1|－|x －1|是奇函数.（2）先确定函数的定义域.由xx -+11≥0，得－1≤x ＜1，其定义域不对称于原点，所以f （x ）既不是奇函数也不是偶函数.（3）去掉绝对值符号，根据定义判断.由⎩⎨⎧≠-+≥-,02|2|,012x x 得⎩⎨⎧-≠≠≤≤-.40,11x x x 且 故f （x ）的定义域为［－1，0）∪（0，1］，关于原点对称，且有x +2＞0.从而有f （x ）=2212-+-x x =x x 21-，这时有f （－x ）=xx ---2)(1=－x x 21-=－f （x ），故f （x ）为奇函数.（4）∵函数f （x ）的定义域是（－∞，0）∪（0，+∞），并且当x ＞0时，－x ＜0，∴f （－x ）=（－x ）［1－（－x ）］=－x （1+x ）=－f （x ）（x ＞0）.当x ＜0时，－x ＞0，∴f （－x ）=－x （1－x ）=－f （x ）（x ＜0）.故函数f （x ）为奇函数. 评述：（1）分段函数的奇偶性应分段证明.（2）判断函数的奇偶性应先求定义域再化简函数解析式.【例3】 （2005年北京东城区模拟题）函数f （x ）的定义域为D ={x |x ≠0}，且满足对于任意x 1、x 2∈D ，有f （x 1·x 2）=f （x 1）+f （x 2）.（1）求f （1）的值；（2）判断f （x ）的奇偶性并证明；（3）如果f （4）=1，f （3x +1）+f （2x －6）≤3，且f （x ）在（0，+∞）上是增函数，求x 的取值范围.（1）解：令x 1=x 2=1，有f （1×1）=f （1）+f （1），解得f （1）=0.（2）证明：令x 1=x 2=－1，有f ［（－1）×（－1）］=f （－1）+f （－1）.解得f （－1）=0.令x 1=－1，x 2=x ，有f （－x ）=f （－1）+f （x ），∴f （－x ）=f （x ）.∴f （x ）为偶函数.（3）解：f （4×4）=f （4）+f （4）=2，f （16×4）=f （16）+f （4）=3.∴f （3x +1）+f （2x －6）≤3即f ［（3x +1）（2x －6）］≤f （64）.（*）∵f （x ）在（0，+∞）上是增函数，∴（*）等价于不等式组⎩⎨⎧≤-+>-+64)62)(13(,0)62)(13(x x x x 或⎩⎨⎧≤-+-<-+,64)62)(13(,0)62)(13(x x x x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤--<>537,313x x x 或或⎪⎩⎪⎨⎧∈<<-.,331R x x ∴3＜x ≤5或－37≤x ＜－31或－31＜x ＜3. ∴x 的取值范围为{x |－37≤x ＜－31或－31＜x ＜3或3＜x ≤5}. 评述：解答本题易出现如下思维障碍：（1）无从下手，不知如何脱掉“f ”.解决办法:利用函数的单调性.（2）无法得到另一个不等式.解决办法：关于原点对称的两个区间上，奇函数的单调性相同，偶函数的单调性相反.深化拓展已知f （x ）、g （x ）都是奇函数，f （x ）＞0的解集是（a 2，b ），g （x ）＞0的解集是（22a ，2b ），2b ＞a 2，那么f （x ）·g （x ）＞0的解集是 A.（22a ，2b ） B.（－b ，－a 2） C.（a 2，2b ）∪（－2b ，－a 2） D.（22a ，b ）∪（－b 2，－a 2） 提示：f （x ）·g （x ）＞0⇔⎩⎨⎧>>0)(,0)(x g x f 或⎩⎨⎧<<.0)(,0)(x g x f ∴x ∈（a 2，2b ）∪（－2b ，－a 2）. 答案：C【例4】 （2004年天津模拟题）已知函数f （x ）=x +xp +m （p ≠0）是奇函数. （1）求m 的值.（2）（理）当x ∈［1，2］时，求f （x ）的最大值和最小值.（文）若p ＞1，当x ∈［1，2］时，求f （x ）的最大值和最小值.解：（1）∵f （x ）是奇函数，∴f （－x ）=－f （x ）.∴－x －x p +m =－x －xp －m .∴2m =0.∴m =0. （2）（理）（ⅰ）当p ＜0时，据定义可证明f （x ）在［1，2］上为增函数.∴f （x ）max = f （2）=2+2p ，f （x ）min =f （1）=1+p . （ⅱ）当p ＞0时，据定义可证明f （x ）在（0，p ］上是减函数，在［p ，+∞）上是增函数. ①当p ＜1，即0＜p ＜1时，f （x ）在［1，2］上为增函数，∴f （x ）max =f （2）=2+2p ，f （x ）min =f （1）=1+p . ②当p ∈［1，2］时，f （x ）在［1，p ］上是减函数.在［p ，2］上是增函数.f （x ）min =f （p ）=2p .f （x ）max =max{f （1），f （2）}=max{1+p ，2+2p }. 当1≤p ≤2时，1+p ≤2+2p ，f （x ）max =f （2）；当2＜p ≤4时，1+p ≥2+2p ，f （x ）max =f （1）. ③当p ＞2，即p ＞4时，f （x ）在［1，2］上为减函数，∴f （x ）max =f （1）=1+p ，f （x ）min =f （2）=2+2p . （文）解答略. 评述：f （x ）=x +x p （p ＞0）的单调性是一重要问题，利用单调性求最值是重要方法.深化拓展f （x ）=x +xp 的单调性也可根据导函数的符号来判断，本题如何用导数来解？ ●闯关训练夯实基础1.定义在区间（－∞，+∞）上的奇函数f （x ）为增函数，偶函数g （x ）在区间［0，+∞）上的图象与f （x ）的图象重合，设a ＜b ＜0，给出下列不等式，其中成立的是①f （b ）－f （－a ）＞g （a ）－g （－b ）②f （b ）－f （－a ）＜g （a ）－g （－b ）③f （a ）－f （－b ）＞g （b ）－g （－a ）④f （a ）－f （－b ）＜g （b ）－g （－a ）A.①④B.②③C.①③D.②④解析：不妨取符合题意的函数f （x ）=x 及g （x ）=|x |进行比较，或一般地g （x ）=⎩⎨⎧≤-≥,0)(,0)(x x f x x f f （0）=0，f （a ）＜f （b ）＜0. 答案：D2.（2003年北京海淀区二模题）函数f （x ）是定义域为R 的偶函数，又是以2为周期的周期函数.若f （x ）在［－1，0］上是减函数，那么f （x ）在［2，3］上是A.增函数B.减函数C.先增后减的函数D.先减后增的函数解析：∵偶函数f （x ）在［－1，0］上是减函数，∴f （x ）在［0，1］上是增函数.由周期为2知该函数在［2，3］上为增函数.答案：A3.已知f （x ）是奇函数，当x ∈（0，1）时，f （x ）=lgx +11，那么当x ∈（－1，0）时，f （x ）的表达式是__________.解析：当x ∈（－1，0）时，－x ∈（0，1），∴f （x ）=－f （－x ）=－lgx-11=lg （1－x ）. 答案：lg （1－x ） 4.（2003年北京）函数f （x ）=lg （1+x 2），g （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤-<+.12,1||0,12x x x x x h （x ）=tan2x 中，______________是偶函数.解析：∵f （－x ）=lg ［1+（－x ）2］=lg （1+x 2）=f （x ），∴f （x ）为偶函数.又∵1°当－1≤x ≤1时，－1≤－x ≤1，∴g （－x ）=0.又g （x ）=0，∴g （－x ）=g （x ）.2°当x ＜－1时，－x ＞1，∴g （－x ）=－（－x ）+2=x +2.又∵g （x ）=x +2，∴g （－x ）=g （x ）.3°当x ＞1时， －x ＜－1，∴g （－x ）=（－x ）+2=－x +2.又∵g （x ）=－x +2，∴g （－x ）=g （x ）.综上，对任意x ∈R 都有g （－x ）=g （x ）.∴g （x ）为偶函数.h （－x ）=tan （－2x ）=－tan2x =－h （x ），∴h （x ）为奇函数.。