北师大版高考数学总复习数系的扩充与复数的引入课时作业29

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高考数学一轮复习课时作业29第4章平面向量、数系的扩充与复数的引入5Word版含答案

解析：方法一：由题知 ( z－ 2i)(2 － i) ＝ 5，所以 z＝ 5 ＋2i ＝ 5 2＋ i ＋ 2i＝ 2＋i ＋ 2i
2－ i
2－i 2＋i
＝2＋ 3i。
方法二：设 z＝ a＋ bi( a，b∈ R)，所以 [a＋ (b－ 2)i](2 －i) ＝ 5，利用复数相等即实部与实
部、虚部与虚部分别相等，得到答案： A
a2－ a－ 6＝ 0，①
a 是否存在？若存在，
则有 a2＋ 2a－ 15
)
a2－ 4 ≠ 0，②
由①得 a＝－ 2 或 a＝ 3。
当 a＝－ 2 时，②式左端无意义。当 a＝3 时，②式不成立。
故不存在实数 a，使 z 为纯虚数。
1＋ i 3 a＋ bi
11．复数 z＝
1－ i
(a，b∈ R) ，且 |z|＝ 4， z 对应的点在第一象限，若复数
0， z，
z 对应的点是正三角形的三个顶点，求实数
1＋ i 2·1＋ i
解析： z＝
1－ i
(a＋ bi)
＝ 2i ·i( a＋ bi) ＝－ 2a－ 2bi 。由 |z|＝ 4，得 a2＋ b2＝ 4。①
a， b 的值。
∵复数 0， z， z 对应的点构成正三角形，
∴ |z－ z |＝ |z|。
解析：设 z＝ a＋ bi ， (a，b∈ R)，则 z ＝ a－ bi。
代入 4z＋2 z ＝ 3 3＋ i，得
4(a＋ bi) ＋ 2(a－ bi) ＝ 3 3＋ i，
即 6a＋ 2bi ＝ 3 3＋ i。
a＝
3， 2
∴
b＝ 12。
∴ z＝
23＋
1 2i
。

高考数学一轮复习作业数系的扩充与复数的引入北师大版

数系的扩充与复数的引入一、选择题1．(2021·新高考卷Ⅰ)已知z ＝2－i,则z (z ＋i)＝( ) A ．6－2i B ．4－2i C ．6＋2iD ．4＋2iC [因为z ＝2－i,所以z (z ＋i)＝(2－i)(2＋2i)＝6＋2i,故选C ．] 2．(2021·浙江高考)已知a ∈R ,(1＋a i)i ＝3＋i(i 为虚数单位),则a ＝( ) A ．－1 B ．1 C ．－3D ．3C [法一：因为(1＋a i)i ＝－a ＋i ＝3＋i,所以－a ＝3,解得a ＝－3．故选C ．法二：因为(1＋a i)i ＝3＋i,所以1＋a i ＝3＋ii ＝1－3i,所以a ＝－3．故选C ．]3．(2019·全国卷Ⅱ)设z ＝－3＋2i,则在复平面内z 对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限C [∵z ＝－3＋2i,∴z ＝－3－2i,∴在复平面内,z 对应的点为(－3,－2),此点在第三象限．] 4．(1－i)4＝( )A ．－4B ．4C ．－4iD ．4i A [(1－i)4＝(－2i)2＝－4,故选A ．]5．若复数z ＝a1＋i ＋1为纯虚数,则实数a ＝( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2 A [因为复数z ＝a1＋i＋1＝a 1－i1＋i1－i＋1＝a ＋22－a2i,∵z 为纯虚数,∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋22＝0，－a 2≠0，∴a ＝－2．] 6．已知1－i2z＝1＋i(i 为虚数单位),则复数z 等于( )A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－iD [由题意,得z ＝1－i21＋i ＝－2i1＋i＝－1－i,故选D ．] 7．已知z ＝a ＋i2 021,且|z ＋i|＝3,则实数a 的值为( )A ．0B ．1C ．± 5D ． 6 C [∵z ＝a ＋i2 021＝a ＋i,∴|z ＋i|＝|a ＋2i|＝a 2＋4＝3．∴a ＝±5,故选C ．]8．设复数z 1,z 2在复平面内对应的点关于实轴对称,z 1＝2＋i,则z 1z 2＝( ) A ．1＋i B ．35＋45i C ．1＋45iD ．1＋43iB [因为复数z 1,z 2在复平面内对应的点关于实轴对称,z 1＝2＋i,所以z 2＝2－i,所以z 1z 2＝2＋i 2－i ＝2＋i 25＝35＋45i,故选B ．] 二、填空题9．设复数z 满足z ＝|1－i|＋i(i 为虚数单位),则复数z ＝________． 2－i [复数z 满足z ＝|1－i|＋i ＝2＋i,则复数z ＝2－i ．]10．已知i 是虚数单位,则复数z ＝(1＋i)(2－i)的实部是________,虚部是________． 3 1 [z ＝(1＋i)(2－i)＝3＋i,故实部是3,虚部是1．]11．－3＋2i 是方程2x 2＋px ＋q ＝0的一个根,且p ,q ∈R ,则p ＋q ＝________． 38 [由题意得2(－3＋2i)2＋p (－3＋2i)＋q ＝0, 即2(5－12i)－3p ＋2p i ＋q ＝0, 即(10－3p ＋q )＋(－24＋2p )i ＝0,所以⎩⎪⎨⎪⎧10－3p ＋q ＝0，－24＋2p ＝0.所以p ＝12,q ＝26,所以p ＋q ＝38．]12．已知复数z ＝4＋2i1＋i2(i 为虚数单位)在复平面内对应的点在直线x －2y ＋m ＝0上,则m ＝________．－5 [z ＝4＋2i 1＋i 2＝4＋2i2i ＝4＋2i i2i2＝1－2i,复数z 在复平面内对应的点的坐标为(1,－2),将其代入x －2y ＋m ＝0,得m ＝－5．]1．若(1－m i)(m ＋i)＜0,其中i 为虚数单位,则m 的值为( ) A ．－1 B ．－2 C ．－3 D ．－4A [因为(1－m i)(m ＋i)＝2m ＋(1－m 2)i ＜0,所以⎩⎪⎨⎪⎧2m ＜0，1－m 2＝0，解得m ＝－1,故选A ．]2．(2021·合肥质检)欧拉公式e i θ＝cos θ＋isin θ把自然对数的底数e,虚数单位i,三角函数cos θ和sin θ联系在一起,充分体现了数学的和谐美,被誉为“数学的天桥”,若复数z 满足(e i π＋i)·z ＝i,则|z |＝( )A ．1B ．22 C ．32D ． 2 B [由题意知e i π＝cos π＋isin π＝－1． ∴z ＝i －1＋i ＝i －1－i －1＋i －1－i ＝12－12i,∴|z |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＝22,故选B ．]。

2014版高中数学复习方略课时提升作业：4.5数系的扩充与复数的引入(北师大版)(北师大版·数学理·通用版)

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课时提升作业(二十九)一、选择题1.(2013·蚌埠模拟)复数z=的实部是( )(A)4 (B)1 (C)-1 (D)-42.(2013·景德镇模拟)复数(m2-3m)+mi(m∈R)是纯虚数,则实数m的值是 ( )(A)3 (B)0(C)0或3 (D)0或1或33.复数z=对应的点在复平面位于( )(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限4.已知复数z=1+i,则等于( )(A)2i (B)-2i (C)2 (D)-25.若+(1+i)2=a+bi(a,b∈R),则a-b= ( )(A)2 (B)-2(C)2+2 (D)2-26.若i为虚数单位,图中复平面内点Z表示复数z,则表示复数的点是( )(A)E (B)F (C)G (D)H7.设0<θ<,a∈R,(a+i)(1-i)=cosθ+i,则θ的值为( )(A)π(B)π(C)(D)8.复数z=(m∈R,i为虚数单位)在复平面上对应的点不可能位于( )(A)第一象限 (B)第二象限(C)第三象限 (D)第四象限9.已知m(1+i)=2-ni(m,n∈R),其中i是虚数单位,则()3等于( )(A)1 (B)-1 (C)i (D)-i10.(能力挑战题)若sin2θ-1+i(cosθ+1)是纯虚数,则θ的值为( )(A)2kπ-,k∈Z (B)2kπ+,k∈Z(C)2kπ±,k∈Z (D)π+,k∈Z二、填空题11.(2013·芜湖模拟)若(1+ai)2=-1+bi(a,b∈R,i是虚数单位),则|a+bi|= .12.定义一种运算如下:=x1y2-x2y1,则复数z=(i是虚数单位)的共轭复数是.13.(能力挑战题)已知复数z1=cosθ-i,z2=sinθ+i,则z1·z2的实部的最大值为,虚部的最大值为.14.若复数z=cosθ+isinθ且z2+=1,则sin2θ= .三、解答题15.已知关于x的方程:x2-(6+i)x+9+ai=0(a∈R)有实数根b.(1)求实数a,b的值.(2)若复数满足|-a-bi|-2|z|=0,求z为何值时,|z|有最小值,并求出|z|的最小值.答案解析1.【解析】选C.∵z====-1-2i,∴z的实部是-1.2.【解析】选A.∵(m2-3m)+mi是纯虚数,∴m2-3m=0且m≠0,∴m=3.3.【思路点拨】先计算所给的复数,根据实部、虚部确定对应点所在的象限. 【解析】选D.z===,故对应的点在第四象限.4.【解析】选A.===2i.【变式备选】已知x,y∈R,i为虚数单位,且(x-2)i-y=-1+i,则(1+i)x+y的值为( ) (A)4 (B)4+4i (C)-4 (D)2i【解析】选C.由(x-2)i-y=-1+i,得x=3,y=1,∴(1+i)4=[(1+i)2]2=(2i)2=-4.5.【思路点拨】先化简等号左边的复数,再根据复数相等解题.【解析】选B.+(1+i)2=1-i-2+2i=-1+(2-1)i=a+bi,则a=-1,b=2-1,故a-b=-2.6.【解析】选D.依题意得z=3+i,====2-i,该复数对应的点的坐标是(2,-1),选D.7.【解析】选D.由条件得a++(-a)i=cosθ+i,∴解得cosθ=.又0<θ<,∴θ=.8.【思路点拨】先把z化成a+bi(a,b∈R)的形式,再进行判断.【解析】选A.z===+i,显然>0与->0不可能同时成立,则z=对应的点不可能位于第一象限.【一题多解】选 A.z==+i,设x=,y=,则2x+y+2=0.又直线2x+y+2=0不过第一象限,则z=对应的点不可能位于第一象限.【方法技巧】复数问题的解题技巧(1)根据复数的代数形式,通过其实部和虚部可判断一个复数是实数,还是虚数.(2)复数z=a+bi,a∈R,b∈R与复平面上的点Z(a,b)是一一对应的,通过复数z的实部和虚部可判断出其对应点在复平面上的位置.9.【解析】选C.由m(1+i)=2-ni,得m+mi=2-ni,故m=2,m=-n,故m=2,n=-2,故()3=()3=i.10.【解析】选B.由题意,得解得∴θ=2kπ+,k∈Z.11.【解析】∵(1+ai)2=-1+bi,∴1-a2+2ai=-1+bi,∴解得或∴|a+bi|===.答案:12.【解析】由定义知,z=(+i)i-(-i)×(-1)=-1+(-1)i,故=-1-(-1)i.答案:-1-(-1)i13.【解析】z1〃z2=(cosθsinθ+1)+i(cosθ-sinθ).实部为cosθsinθ+1=1+sin 2θ≤,所以实部的最大值为.虚部为cosθ-sinθ=sin(-θ)≤,所以虚部的最大值为.答案:14.【解析】z2+2z=(cosθ+isinθ)2+(cosθ-isinθ)2=2cos 2θ=1⇒cos 2θ=,所以sin2θ==.答案:15.【思路点拨】(1)把b代入方程,根据复数的实部、虚部等于0解题即可.(2)设z=s+ti(s,t∈R),根据所给条件可得s,t间的关系,进而得到复数z对应的轨迹,根据轨迹解决|z|的最值问题.【解析】(1)∵b是方程x2-(6+i)x+9+ai=0(a∈R)的实根,∴(b2-6b+9)+(a-b)i=0,∴解得a=b=3.(2)设z=s+ti(s,t∈R),其对应点为Z(s,t),由|-3-3i|=2|z|,得(s-3)2+(t+3)2=4(s2+t2),即(s+1)2+(t-1)2=8,∴Z点的轨迹是以O 1(-1,1)为圆心,2为半径的圆,如图所示,当Z点在OO1的连线上时,|z|有最大值或最小值.∵|OO 1|=,半径r=2,∴当z=1-i时,|z|有最小值且|z|min=.【变式备选】若虚数z同时满足下列两个条件:①z+是实数;②z+3的实部与虚部互为相反数.这样的虚数是否存在?若存在,求出z;若不存在,请说明理由. 【解析】设z=a+bi(a,b∈R,b≠0),则z+=a+bi+=a(1+)+b(1-)i.又z+3=a+3+bi,z+是实数,根据题意有∵b≠0,∴解得或∴z=-1-2i或z=-2-i.关闭Word文档返回原板块。

2019大一轮高考总复习文数北师大版课时作业提升29 数

课时作业提升(二十九) 数系的扩充和复数的引入A 组夯实基础1．(2017·全国卷Ⅱ)3＋i1＋i ＝( )A ．1＋2iB ．1－2iC ．2＋iD ．2－i解析：选D3＋i 1＋i ＝(3＋i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝3－3i ＋i ＋12＝2－i. 故选D ．2．(2016·全国卷Ⅰ)设(1＋i)x ＝1＋y i ，其中x ，y 是实数，则|x ＋y i|＝( ) A ．1 B ． 2 C ．3D ．2解析：选B 因为(1＋i)x ＝x ＋x i ＝1＋y i ，所以x ＝y ＝1，|x ＋y i|＝|1＋i|＝12＋12＝2，选B ．3．(2018·宝鸡九校联考)如图，在复平面内，复数z 1，z 2对应的向量分别是OA →，OB →，则复数z 1·z 2对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选D 由已知OA →＝(－2，－1)，OB →＝(0,1)，所以z 1＝－2－i ，z 2＝i ，z 1z 2＝1－2i ，它所对应的点为(1，－2)，在第四象限． 4． (2018·山西联考)若复数z 满足z (i ＋1)＝2i －1，则复数z 的虚部为( )A ．－1B ．0C ．iD ．1解析：选B 因为z (i ＋1)＝2i －1，所以z ＝2(i －1)(i ＋1)＝2－2＝－1，所以z 的虚部为0. 5．(2018·吉林模拟)设复数z ＝1＋i(i 是虚数单位)，则2z ＋z 2＝( )A ．1＋iB ．1－iC ．－1－iD ．－1＋i解析：选A ∵2z ＋z 2＝21＋i ＋(1＋i)2＝1－i ＋2i ＝1＋i ，故选A ．6．复数z ＝i(－2－i )2(i 为虚数单位)，z 在复平面内所对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选A 因为z ＝i (－2－i )2＝i 4＋4i －1＝i3＋4i ＝i (3－4i )25＝425＋325i ，所以z 在复平面内所对应的点⎝⎛⎭⎫425， 325在第一象限． 7．(2016·天津卷)已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若(1＋i)·(1－b i)＝a ，则ab的值为________．解析：由(1＋i)(1－b i)＝a 得1＋b ＋(1－b )i ＝a ，则⎩⎪⎨⎪⎧ b ＋1＝a ，1－b ＝0解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1.所以ab ＝2.答案：28．(2016·北京卷)设a ∈R ，若复数(1＋i)(a ＋i)在复平面内对应的点位于实轴上，则a ＝________.解析：(1＋i)(a ＋i)＝a －1＋(a ＋1)i. ∵其对应点在实轴上， ∴a ＋1＝0，即a ＝－1. 答案：－19．(2018·晋江测试)若z ＝(a －2)＋a i 为纯虚数，其中a ∈R ，则a ＋i 71＋a i ＝________.解析：因为z 为纯虚数，所以a ＝2，所以a ＋i 71＋a i ＝2－i 1＋2i ＝(2－i )(1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝－3i3＝－i.答案：－i10．已知复数z 满足z ＋2z －2＝i(其中i 是虚数单位)，则|z |＝________.解析：由z ＋2z －2＝i 知，z ＋2＝z i －2i ，即z ＝－2－2i1－i ，所以|z |＝|－2－2i||1－i|＝222＝2. 答案：211．计算：(1)(1＋2i )2＋3(1－i )2＋i；(2)1－i (1＋i )2＋1＋i (1－i )2； (3)1－3i (3＋i )2. 解： (1)(1＋2i )2＋3(1－i )2＋i ＝－3＋4i ＋3－3i 2＋i ＝i2＋i ＝i (2－i )5＝15＋25i.(2)1－i (1＋i )2＋1＋i (1－i )2＝1－i 2i ＋1＋i －2i ＝1＋i －2＋－1＋i2＝－1. (3)1－3i (3＋i )2＝(3＋i )(－i )(3＋i )2＝－i 3＋i＝(－i )(3－i )4＝－14－34i. B 组能力提升1．已知复数z ＝(cos θ－isin θ)(1＋i)，则“z 为纯虚数”的一个充分不必要条件是( ) A ．θ＝π4B ．θ＝π2C ．θ＝3π4D ．θ＝5π4解析：选C z ＝(cos θ－isin θ)(1＋i)＝(cos θ＋sin θ)＋(cos θ－sin θ)i.z 是纯虚数等价于⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＋sin θ＝0，cos θ－sin θ≠0，等价于θ＝3π4＋k π，k ∈Z .故选C ．2．(2018·河南省六市联考)已知i 为虚数单位，a ∈R ，若2－ia ＋i 为纯虚数，则复数z ＝2a＋2i 的模等于( )A ．2B ．11C ．3D ． 6解析：选C 由题意得，2－ia ＋i ＝t i ，t ≠0，t ∈R ，所以2－i ＝－t ＋ta i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧－t ＝2，ta ＝－1解得⎩⎪⎨⎪⎧t ＝－2，a ＝12所以z ＝2a ＋2i ＝1＋2i ，|z |＝ 3.3．已知复数z ＝1＋2i 1－i ，则1＋z ＋z 2＋…＋z 2 015＝( )A ．1＋iB ．1－iC ． iD ．0解析：选D z ＝1＋2i1－i ＝1＋2i (1＋i )2＝i ，∴1＋z ＋z 2＋…＋z 2 015＝1×(1－z 2 016)1－z ＝1－i 2 0161－i ＝1－i 4×5041－i＝0.4．已知复数z ＝1＋m i 4－3i ＋m25(m ∈R )的实部是虚部的2倍，则m ＝________.解析：由题意知，z ＝1＋m i 4－3i ＋m 25＝(1＋m i )(4＋3i )(4－3i )(4＋3i )＋m 25＝4－2m ＋(4m ＋3)i25，因为实部是虚部的2倍，所以4－2m ＝2(4m ＋3)，解得m ＝－15.答案：－155．已知复数z ＝x ＋y i ，且|z －2|＝3，则yx 的最大值为________．解析：∵|z －2|＝(x －2)2＋y 2＝3，∴(x －2)2＋y 2＝3.y x 的几何意义是圆上的点与原点连线的斜率，设y x ＝k 要使yx 最大，则y ＝kx 与圆相切时，即|2k |k 2＋1＝3， ∴k ＝±3，k ＝－3(舍)．∴⎝⎛⎭⎫y x max ＝ 3. 答案： 3。

2020届一轮复习北师大版数系的扩充和复数的概念课时作业

知识点一复数的概念1.下列命题中正确的是( )A．0是实数不是复数B．实数集与复数集的交集是实数集C．复数集与虚数集的交集是空集D．若实数a与a i对应，则实数集中的元素与纯虚数集中的元素一一对应答案B解析A中，0是实数也是复数，所以A不正确．B中，实数集与复数集的交集是实数集，所以B正确．C中，复数集与虚数集的交集是虚数集，所以C不正确．D中，当a＝0时，a i＝0，所以实数0在纯虚数集中没有对应元素，所以D不正确．故选B.2．(1＋3)i的实部与虚部分别是( )A．1， 3 B．1＋3，0C．0,1＋ 3 D．0，(1＋3)i答案C解析(1＋3)i的实部为0，虚部为1＋ 3.3．以3i－2的虚部为实部，以－3＋2i的实部为虚部的复数是( )A．3－3i B．3＋iC．－2＋2i D.2＋2i答案A解析3i－2的虚部为3，－3＋2i的实部为－3，∴所求复数为3－3i.知识点二复数的分类4.下列命题中：①若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数；②若复数z＝－5i，则复数z的实部为0；③若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x＝±1；④若复数z＝3i2，则它的虚部是3.其中正确命题的序号是( )A．① B．② C．②③ D．②③④答案 B解析在①中，若a＝－1，则(a＋1)i不是纯虚数，而是实数，故①错误．在②中－5i为纯虚数，故②正确．在③中，若x＝－1，则(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i＝0，故③错误．在④中z＝3i2＝－3，故它的虚部为0，故④错误，所以选B.5．设a，b∈R.“a＝0”是“复数a＋b i是纯虚数”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析因为a ，b ∈R ，“a ＝0”时“复数a ＋b i 不一定是纯虚数”．“复数a ＋b i 是纯虚数”则“a ＝0”一定成立．所以a ，b ∈R .“a ＝0”是“复数a ＋b i 是纯虚数”的必要而不充分条件.知识点三复数相等6.已知复数z 1＝(a ＋2b )＋(a －b )i ，z 2＝－4b ＋(2a ＋1)i(a ，b ∈R )，当z 1＝z 2时，a ＋b ＝________.答案－1解析依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋2b ＝－4b ，a －b ＝2a ＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－65，b ＝15，所以a ＋b ＝－65＋15＝－1. 7．已知M ＝{1，(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i}，P ＝{－1,1,4i}，若M ∪P ＝P ，求实数m 的值．解 ∵M ∪P ＝P ，∴M ⊆P .即(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝－1，或(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝4i ，由(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m ＝－1，m 2＋m －2＝0，解得m ＝1. 由(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝4i ，得⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－2m ＝0，m 2＋m －2＝4，解得m ＝2.∴实数m 的值为1或2.一、选择题1．已知a ，b ∈R ，则“a ＝b ”是“(a －b )＋(a ＋b )i 为纯虚数”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件答案 C解析若a ＝b ＝0，则(a －b )＋(a ＋b )i 不是纯虚数；若(a －b )＋(a ＋b )i 是纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧ a －b ＝0，a ＋b ≠0.2．设全集I ＝{复数}，R ＝{实数}，M ＝{纯虚数}，则( )A ．M ∪R ＝IB ．(∁I M )∪R ＝IC ．(∁I M )∩R ＝RD ．M ∩(∁I R )＝∅答案 C解析根据复数、纯虚数的定义以及它们之间的关系进行判断．依题意，I ，R ，M 三个集合之间的关系如图所示．所以应有：M ∪R I ，(∁I M )∪R ＝∁I M ，M ∩(∁I R )≠∅，故A ，B ，D 三项均错，只有C 项正确．3．以复数52－i x 2＋2x (x 2＋2x ＞0)的实部和虚部分别为横、纵坐标的点( ) A ．在圆x 2＋y 2＝2上B ．在圆x 2＋y 2＝2外C ．在圆x 2＋y 2＝2内D ．与圆x 2＋y 2＝2的位置关系不确定答案 B解析因为以复数52－i x 2＋2x (x 2＋2x ＞0)的实部和虚部分别为横、纵坐标的点为⎝ ⎛⎭⎪⎫52，－x 2＋2x .又254＋x 2＋2x ＝(x ＋1)2＋214＞2，所以该点在圆x 2＋y 2＝2外，选B. 4．若sin2θ－1＋i(2cos θ＋1)是纯虚数，则θ的值为( )A ．2k π－π4B ．2k π＋π4C ．2k π±π4 D.k π2＋π4(以上k ∈Z ) 答案 B解析由⎩⎨⎧ sin2θ－1＝0，2cos θ＋1≠0，得⎩⎪⎨⎪⎧ 2θ＝2k π＋π2，θ≠2k π＋π±π4(k ∈Z )．∴θ＝2k π＋π4(k ∈Z )． 5．已知z 1＝－4a ＋1＋(2a 2＋3a )i ，z 2＝2a ＋(a 2＋a )i ，其中a ∈R ，z 1＞z 2，则a 的值为( ) A ．0 B ．－1 C ．－32 D.16答案 A解析由z 1＞z 2，得⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 2＋3a ＝0，a 2＋a ＝0，－4a ＋1＞2a ，即⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝0或a ＝－32，a ＝0或a ＝－1，解得a ＝0.a ＜16. 二、填空题6．给出下列复数：①－2i ，②3＋2，③8i 2，④isinπ，⑤4＋i ；其中表示实数的有(填上序号)________．答案 ②③④ 解析 ②为实数；③8i 2＝－8为实数；④isinπ＝0为实数．7．已知(1＋i)m 2＋(7－5i)m ＋10－14i ＝0，则实数m ＝________. 答案－2解析把原式整理得：(m 2＋7m ＋10)＋(m 2－5m －14)i ＝0，∵m ∈R ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m 2＋7m ＋10＝0，m 2－5m －14＝0⇒m ＝－2. 8．使不等式m 2－(m 2－3m )i ＜(m 2－4m ＋3)i ＋10成立的实数m 的取值集合是________．答案 {3} 解析由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－3m ＝0，m 2－4m ＋3＝0，m 2＜10，解得m ＝3，所以所求的实数m 的取值集合是{3}．三、解答题 9．当实数m 为何值时，z ＝m 2－m －6m ＋3＋(m 2＋5m ＋6)i 分别是：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．解复数z 的实部为m 2－m －6m ＋3，虚部为m 2＋5m ＋6. (1)复数z 是实数的充要条件是：⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋5m ＋6＝0，m ＋3≠0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝－2或m ＝－3，m ≠－3⇔m ＝－2. ∴当m ＝－2时复数z 为实数． (2)复数z 是虚数的充要条件是：⎩⎪⎨⎪⎧ m 2＋5m ＋6≠0，m ＋3≠0，即m ≠－3且m ≠－2.∴当m ≠－3且m ≠－2时复数z 为虚数．(3)复数z 是纯虚数的充要条件是：⎩⎪⎨⎪⎧m 2－m －6m ＋3＝0，m 2＋5m ＋6≠0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝－2或m ＝3且m ≠－3，m ≠－2且m ≠－3 ⇔m ＝3. ∴当m ＝3时复数z 为纯虚数． 10．已知关于x 的方程x 2＋(k ＋2i)x ＋2＋k i ＝0有实根x 0，求x 0以及实数k 的值．解 x ＝x 0是方程的实根，代入方程并整理，得(x 20＋kx 0＋2)＋(2x 0＋k )i ＝0.由复数相等的充要条件得 ⎩⎪⎨⎪⎧ x 20＋kx 0＋2＝0，2x 0＋k ＝0，解得⎩⎨⎧ x 0＝2，k ＝－22或⎩⎨⎧ x 0＝－2，k ＝22，所以方程的实根为x 0＝2或x 0＝－2，相应的k 值为－22或2 2.。

高中数学复习方略课时提升作业：数系的扩充与复数的引入北师大理通用

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课时提升作业(二十九)一、选择题1.(2013·蚌埠模拟)复数z=的实部是( )(A)4 (B)1 (C)-1 (D)-42.(2013·景德镇模拟)复数(m2-3m)+mi(m∈R)是纯虚数,则实数m的值是 ( )(A)3 (B)0(C)0或3 (D)0或1或33.复数z=对应的点在复平面位于( )(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限4.已知复数z=1+i,则等于( )(A)2i (B)-2i (C)2 (D)-25.若+(1+i)2=a+bi(a,b∈R),则a-b= ( )(A)2 (B)-2(C)2+2 (D)2-26.若i为虚数单位,图中复平面内点Z表示复数z,则表示复数的点是( )(A)E (B)F (C)G (D)H7.设0<θ<,a∈R,(a+i)(1-i)=cosθ+i,则θ的值为( )(A)π(B)π(C)(D)8.复数z=(m∈R,i为虚数单位)在复平面上对应的点不可能位于( )(A)第一象限 (B)第二象限(C)第三象限 (D)第四象限9.已知m(1+i)=2-ni(m,n∈R),其中i是虚数单位,则()3等于( )(A)1 (B)-1 (C)i (D)-i10.(能力挑战题)若sin2θ-1+i(cosθ+1)是纯虚数,则θ的值为( )(A)2kπ-,k∈Z (B)2kπ+,k∈Z(C)2kπ±,k∈Z (D)π+,k∈Z二、填空题11.(2013·芜湖模拟)若(1+ai)2=-1+bi(a,b∈R,i是虚数单位),则|a+bi|= .12.定义一种运算如下:=x1y2-x2y1,则复数z=(i是虚数单位)的共轭复数是.13.(能力挑战题)已知复数z1=cosθ-i,z2=sinθ+i,则z1·z2的实部的最大值为,虚部的最大值为.14.若复数z=cosθ+isinθ且z2+=1,则sin2θ= .三、解答题15.已知关于x的方程:x2-(6+i)x+9+ai=0(a∈R)有实数根b.(1)求实数a,b的值.(2)若复数满足|-a-bi|-2|z|=0,求z为何值时,|z|有最小值,并求出|z|的最小值.答案解析1.【解析】选C.∵z====-1-2i,∴z的实部是-1.2.【解析】选A.∵(m2-3m)+mi是纯虚数,∴m2-3m=0且m≠0,∴m=3.3.【思路点拨】先计算所给的复数,根据实部、虚部确定对应点所在的象限.【解析】选D.z===,故对应的点在第四象限.4.【解析】选A.===2i.【变式备选】已知x,y∈R,i为虚数单位,且(x-2)i-y=-1+i,则(1+i)x+y 的值为( ) (A)4 (B)4+4i (C)-4 (D)2i【解析】选C.由(x-2)i-y=-1+i,得x=3,y=1,∴(1+i)4=[(1+i)2]2=(2i)2=-4.5.【思路点拨】先化简等号左边的复数,再根据复数相等解题.【解析】选B.+(1+i)2=1-i-2+2i=-1+(2-1)i=a+bi,则a=-1,b=2-1,故a-b=-2.6.【解析】选D.依题意得z=3+i,====2-i,该复数对应的点的坐标是(2,-1),选D.7.【解析】选D.由条件得a++(-a)i=cosθ+i,∴解得cosθ=.又0<θ<,∴θ=.8.【思路点拨】先把z化成a+bi(a,b∈R)的形式,再进行判断.【解析】选A.z===+i,显然>0与->0不可能同时成立,则z=对应的点不可能位于第一象限.【一题多解】选A.z==+i,设x=,y=,则2x+y+2=0.又直线2x+y+2=0不过第一象限,则z=对应的点不可能位于第一象限.【方法技巧】复数问题的解题技巧(1)根据复数的代数形式,通过其实部和虚部可判断一个复数是实数,还是虚数.(2)复数z=a+bi,a∈R,b∈R与复平面上的点Z(a,b)是一一对应的,通过复数z的实部和虚部可判断出其对应点在复平面上的位置.9.【解析】选C.由m(1+i)=2-ni,得m+mi=2-ni,故m=2,m=-n,故m=2,n=-2,故()3=()3=i.10.【解析】选B.由题意,得解得∴θ=2kπ+,k∈Z.11.【解析】∵(1+ai)2=-1+bi,∴1-a2+2ai=-1+bi,∴解得或∴|a+bi|===.答案:12.【解析】由定义知,z=(+i)i-(-i)×(-1)=-1+(-1)i,故=-1-(-1)i.答案:-1-(-1)i13.【解析】z1·z2=(cosθsinθ+1)+i(cosθ-sinθ).实部为cosθsinθ+1=1+sin 2θ≤,所以实部的最大值为.虚部为cosθ-sinθ=sin(-θ)≤,所以虚部的最大值为.答案:14.【解析】z2+2z=(cosθ+isinθ)2+(cosθ-isinθ)2=2cos 2θ=1⇒cos 2θ=,所以sin2θ==.答案:15.【思路点拨】(1)把b代入方程,根据复数的实部、虚部等于0解题即可.(2)设z=s+ti(s,t∈R),根据所给条件可得s,t间的关系,进而得到复数z对应的轨迹,根据轨迹解决|z|的最值问题.【解析】(1)∵b是方程x2-(6+i)x+9+ai=0(a∈R)的实根,∴(b2-6b+9)+(a-b)i=0,∴解得a=b=3.(2)设z=s+ti(s,t∈R),其对应点为Z(s,t),由|-3-3i|=2|z|,得(s-3)2+(t+3)2=4(s2+t2),即(s+1)2+(t-1)2=8,∴Z点的轨迹是以O 1(-1,1)为圆心,2为半径的圆,如图所示,当Z点在OO1的连线上时,|z|有最大值或最小值.∵|OO 1|=,半径r=2,∴当z=1-i时,|z|有最小值且|z|min=.【变式备选】若虚数z同时满足下列两个条件:①z+是实数;②z+3的实部与虚部互为相反数.这样的虚数是否存在?若存在,求出z;若不存在,请说明理由. 【解析】设z=a+bi(a,b∈R,b≠0),则z+=a+bi+=a(1+)+b(1-)i.又z+3=a+3+bi,z+是实数,根据题意有∵b≠0,∴解得或∴z=-1-2i或z=-2-i.关闭Word文档返回原板块。

高考数学总复习第十一章数系的扩充与复数的引入理北师大版(含详解)

2013年高考第一轮复习数学北师(江西版)理第十一章11.6 数系的扩充与复数的引入练习一、选择题1．复数i(2＋i)1－2i 等于( )． A ．i B ．－i C ．1 D ．－12．i 是虚数单位，41+i 1i ⎛⎫ ⎪-⎝⎭＝( )． A ．i B ．－i C ．1 D ．－13．已知a ，b ，c ，d ∈C ，定义运算＝(a ＋b )(c ＋d )－a ＋c b ＋d ，z ＝，则z ＝( )．A ．4＋3iB ．4－3iC ．－4－3iD ．－4＋3i4．设复数z 1＝i ，z 2＝1＋i ，则复数z ＝z 1·z 2在复平面内对应的点位于( )．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．在复平面内，复数21＋i对应的点与原点的距离是( )． A ．1 B ． 2 C ．2 D ．2 26．在复平面内，若z ＝m 2(1＋i)－m (4＋i)－6i 所对应的点在第二象限，则实数m 的取值范围是( )．A ．(0,3)B ．(－∞，－2)C ．(－2,0)D ．(3,4)二、填空题7．(2011湖南长郡中学月考)若复数z ＝(m 2＋2m －3)＋(m －1)i 是纯虚数，则实数m 的值为__________．8．(2012北京海淀练习)对于任意两个复数z 1＝x 1＋y 1i ，z 2＝x 2＋y 2i(x 1，y 1，x 2，y 2为实数)，定义运算“⊙”为：z 1⊙z 2＝x 1x 2＋y 1y 2.设非零复数w 1，w 2在复平面内对应的点分别为P 1，P 2，点O 为坐标原点．如果w 1⊙w 2＝0，那么在△P 1OP 2中，∠P 1OP 2的大小为__________．9．设t 是实数，且t 1－3i＋1－3i 2是实数，则t ＝________. 三、解答题10．(2011上海高考，文19)已知复数z 1满足(z 1－2)·(1＋i)＝1－i(i 为虚数单位)，复数z 2的虚部为2，且z 1·z 2是实数，求z 2.11．实数m 分别取什么数值时，复数z ＝(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)i(1)与复数2－12i 相等；(2)与复数12＋16i 互为共轭复数；(3)对应的点在x 轴的上方．12．设z ＝(1＋i)2＋3(1－i)2＋i，若z 2＋az ＋b ＝1＋i ，求实数a ，b 的值．参考答案一、选择题1．D 解析：i(2＋i)1－2i ＝－1＋2i 1－2i ＝(－1＋2i)(1＋2i)5＝－1. 2．C 解析：1＋i 1－i ＝(1＋i)2(1－i)(1＋i)＝2i 2＝i ，所以41+i 1i ⎛⎫ ⎪-⎝⎭＝i 4＝1，故选C. 3．A 解析：由题意知z ＝(1－i)(2＋2i)－1＋2－i ＋2i＝4＋3i. 4．B5．B 解析：21＋i＝1－i ，点(1，－1)与原点(0,0)的距离为 2. 6．D 解析：整理得z ＝(m 2－4m )＋(m 2－m －6)i ，由复数z 的对应点在第二象限，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2－4m <0，m 2－m －6>0，解得3＜m ＜4. 二、填空题7．－3 8．π2解析：设1OP u u u r ＝(x 1，y 1)，2OP u u u r ＝(x 2，y 2)(x 1，y 1，x 2，y 2为实数)，则w 1＝x 1＋y 1i ，w 2＝x 2＋y 2i.∵w 1⊙w 2＝0，由定义知x 1x 2＋y 1y 2＝0，∴OP 1⊥OP 2.∴∠P 1OP 2＝π2. 9．2 解析：t 1－3i＋1－3i 2＝t (1＋3i)4＋1－3i 2＝2＋t 4＋3(t －2)4i ，当t ＝2时，该数为实数1.三、解答题10．解：∵1(2)(1i)z －＋＝1－i ，∴1z ＝2－i.设2z ＝a ＋2i ，a ∈R .12z z ⋅＝(2－i)(a ＋2i)＝(2a ＋2)＋(4－a )i.∵12·z z ∈R ，∴a ＝4， ∴2z ＝4＋2i.11．解：(1)根据复数相等的充要条件得⎩⎪⎨⎪⎧ m 2＋5m ＋6＝2，m 2－2m －15＝－12.解得m ＝－1. (2)根据共轭复数的定义得⎩⎪⎨⎪⎧ m 2＋5m ＋6＝12，m 2－2m －15＝－16.解得m ＝1. (3)根据复数z 的对应点在x 轴的上方可得m 2－2m －15＞0，解得m ＜－3或m ＞5.12．解：z ＝2i ＋3－3i 2＋i ＝3－i 2＋i ＝(3－i)(2－i)5＝1－i. 于是z 2＋az ＋b ＝(1－i)2＋a (1－i)＋b ＝(a ＋b )－(2＋a )i.由(a ＋b )－(2＋a )i ＝1＋i ，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝1，2＋a ＝－1.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝4. 即实数a ，b 的值分别为－3,4.。

高考数学总复习课时作业28 数系的扩充与复数的引入

课时作业(二十八) 数系的扩充与复数的引入A 级1．互为共轭复数的两复数之差是( ) A ．实数 B ．纯虚数 C ．0D ．零或纯虚数2．(2012·福建莆田质量检测)已知a ，b 是实数，i 是虚数单位，若i(1＋a i)＝1＋b i ，则a ＋b 等于( )A ．0B ．1C ．2D ．－23．(2012·长沙模拟)已知集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫i ，i 2，1i ，1＋i 2i，i 是虚数单位，Z 为整数集，则集合Z ∩M 中的元素个数是( )A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个4．复数z ＝m －2i1＋2i(m ∈R ，i 为虚数单位)在复平面上对应的点不可能位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．定义：若z 2＝a ＋b i(a ，b ∈R ，i 为虚数单位)，则称复数z 是复数a ＋b i 的平方根．根据定义，则复数－3＋4i 的平方根是( )A ．1－2i 或－1＋2iB ．1＋2i 或－1－2iC ．－7－24iD ．7＋24i6．已知复数z ＝1－i ，则z 2－2z z －1＝________.7．(2012·临沂模拟)已知复数z 与(z ＋2)2－8i 均是纯虚数，则z ＝________. 8．已知复数2＋i 与复数13＋i 在复平面内对应的点分别是A 与B ，则∠AOB ＝________.9．设复数z 满足|z |＝5且(3＋4i)z 是纯虚数，则z ＝________. 10．计算：(1)－1＋i2＋ii3；(2)1＋2i 2＋31－i2＋i；(3)1－i 1＋i2＋1＋i 1－i2.11．(2011·上海卷)已知复数z 1满足(z 1－2)(1＋i)＝1－i(i 为虚数单位)，复数z 2的虚部为2，且z 1·z 2是实数，求z 2.B 级1．已知i 为虚数单位，a 为实数，复数z ＝(1－2i)(a ＋i)在复平面内对应的点为M ，则“a ＞12”是“点M 在第四象限”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．已知复数z ＝x ＋y i ，且|z －2|＝3，则y x的最大值为________．3．已知A (1,2)，B (a,1)，C (2,3)，D (－1，b )(a ，b ∈R )是复平面上的四点，且向量AB →，CD →对应的复数分别为z 1，z 2.(1)若z 1＋z 2＝1＋i ，求1＋i z 1＋1－iz 2.(2)若z 1＋z 2为纯虚数，z 1－z 2为实数，求a ，b . 详解答案课时作业(二十八)A 级1．D 设互为共轭复数的两个复数分别为z ＝a ＋b i ，z ＝a －b i(a ，b ∈R )，则z －z ＝2b i 或z －z ＝－2b i.∵b ∈R ，当b ≠0时，z －z ，z －z 为纯虚数；当b ＝0时，z －z ＝z －z ＝0.故选D.2．A 由于a ，b 是实数，所以i(1＋a i)＝1＋b i 变形为i －a ＝1＋b i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧－a ＝1，1＝b ，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1.从而a ＋b ＝0.3．B 由已知得M ＝{i ，－1，－i,2}，Z 为整数集，∴Z ∩M ＝{－1,2}，即集合Z ∩M 中有2个元素．4．A z ＝m －2i 1＋2i ＝m －2i 1－2i 5＝m －45＋－2m ＋25i ，显然m －45＞0与－2m ＋25＞0不可能同时成立，则z ＝m －2i1＋2i对应的点不可能位于第一象限．5．B 设(x ＋y i)2＝－3＋4i ，则⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 2＝－3，xy ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－2.6．解析： z 2－2z z －1＝1－i 2－21－i 1－i －1＝－2i －2＋2i －i ＝－2i－i·i＝－2i.答案：－2i7．解析：设z ＝a i ，a ∈R 且a ≠0，则(z ＋2)2－8i ＝4－a 2＋(4a －8)i.∵(z ＋2)2－8i 是纯虚数，∴4－a 2＝0且4a －8≠0. 解得a ＝－2.因此z ＝－2i. 答案：－2i8．解析：由题意得，点A 的坐标为(2,1)． ∵13＋i ＝310－i 10，∴B 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫310，－110.∴OA →＝(2,1)，OB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫310，－110，∴cos ∠AOB ＝OA →·OB →|OA →||OB →|＝22，∴∠AOB ＝π4.答案：π49．解析：设z ＝a ＋b i(a 、b ∈R )，则有a 2＋b 2＝5.(*) 于是(3＋4i)z ＝(3a －4b )＋(4a ＋3b )i.由题设得⎩⎪⎨⎪⎧3a －4b ＝04a ＋3b ≠0得b ＝34a ，代入(*)得a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫34a 2＝25，解得a ＝±4，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4b ＝－3.∴z ＝4－3i 或z ＝－4＋3i. 答案： ±(4－3i) 10．解析： (1)－1＋i2＋ii3＝－3＋i－i＝－1－3i. (2)1＋2i2＋31－i 2＋i ＝－3＋4i ＋3－3i2＋i＝i 2＋i ＝i 2－i 5＝15＋25i. (3)1－i 1＋i2＋1＋i 1－i2＝1－i 2i ＋1＋i －2i ＝1＋i －2＋－1＋i 2＝－1. 11．解析： (z 1－2)(1＋i)＝1－i ⇒z 1＝2－i. 设z 2＝a ＋2i ，a ∈R ，则z 1·z 2＝(2－i)(a ＋2i)＝(2a ＋2)＋(4－a )i. ∵z 1·z 2∈R .∴a ＝4.∴z 2＝4＋2i.B 级1．C z ＝(1－2i)(a ＋i)＝(a ＋2)＋(1－2a )i ，若其对应的点在第四象限，则a ＋2＞0，且1－2a ＜0，解得a ＞12.即“a ＞12”是“点M 在第四象限”的充要条件．2．解析：|z －2|＝x －22＋y 2＝3，∴(x －2)2＋y 2＝3.由图可知⎝ ⎛⎭⎪⎫y x max ＝31＝ 3. 答案：33．解析： (1)∵AB →＝(a,1)－(1,2)＝(a －1，－1)， CD →＝(－1，b )－(2,3)＝(－3，b －3)，∴z 1＝(a －1)－i ，z 2＝－3＋(b －3)i ， ∴z 1＋z 2＝(a －4)＋(b －4)i ，又z 1＋z 2＝1＋i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －4＝1b －4＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5b ＝5，∴z 1＝4－i ，z 2＝－3＋2i ， ∴1＋i z 1＋1－i z 2＝1＋i 4－i ＋1－i－3＋2i＝1＋i 4＋i 42＋12＋1－i －3－2i－32＋22＝3＋5i 17＋－5＋i 13＝－46221＋82221i.(2)由(1)得z 1＋z 2＝(a －4)＋(b －4)i ，z 1－z 2＝(a ＋2)＋(2－b )i ，∵z 1＋z 2为纯虚数，z 1－z 2为实数，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －4＝0b －4≠0，2－b ＝0∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝2.。

北师大版高中数学选修高二第三课时数系的扩充与复数的引入小结与复习同步练习

第三课时数系的扩充与复数的引入小结与复习同步练习一、选择题1．已知2(,)a i b i a b i +=+2a i b i i+=+（a,b ∈R ），其中i 为虚数单位，则a+b= (A)-1 (B)1 (C)2 (D)32、复数z ＝32ii -++的共轭复数是（A ）2i + （B ）2i - （C ）1i -+ （D ）1i --3.设f(n)＝(1＋i 1－i )n ＋(1－i 1＋i)n (n ∈Z)，则集合{f(n)}中元素的个数为( ) A ．1 B ．2C ．3D ．无数个4.已知412i i＋m ＋∈R （i 为虚数单位），且m ∈R ，则｜m ＋6i ｜＝A ．6B ．8C ．10D ．85. 10(1)()i i -为虚数单位的二项展开式中第七项为A ．-120iB ．210C ．-210D ．120i 6.若1+i 是关于x 的实系数方程20x bx c ++=的一个复数根，则（）A ．2,3b c == B.2,1b c ==- C.2,1b c =-=- D.2,3b c =-=二、填空题7.计算：3-i =1+i（i 为虚数单位）. 8.设复数z 满足z(2-3i)=6+4i （其中i 为虚数单位），则z 的模为___________.9.若复数12z i =-（为虚数单位），则z z z ⋅+= 。

三、解答题10.已知复数1z 满足1(2)(1)1z i i -+=-（i 为虚数单位），复数2z 的虚部为2，12z z ⋅是实数，求2z 。

11. 已知复数z 的共轭复数是z ，且满足z·z ＋2iz ＝9＋2i.求z.12.设复数z 满足|z|＝5，且(3＋4i)z 在复平面上对应的点在第二、四象限的角平分线上，求复数z.第三课时数系的扩充与复数的引入小结与复习同步练习答案一、选择题1. 【答案】B 【解析】由a+2i =b+i i得a+2i=bi-1,所以由复数相等的意义知:a=-1,b=2, 所以a+b=1,故选B.2.【解析】∵z =32ii -++=1i -+，∴z 的共轭复数为1i --，故选D.3. 解析：选C.f(n)＝(1＋i 1－i )n ＋(1－i 1＋i)n ＝i n ＋(－i)n ，f(0)＝2，f(1)＝0，f(2)＝－2，f(3)＝0，f(4)＝2，f(5)＝0，…∴集合中共有3个元素．4. 【答案】C5. 【答案】C6. 【答案】 D二、填空题7. 【答案】1-2i 【解析】3-i (3-i)(1-i)2-4i ===1-2i 1+i (1+i)(1-i)2. 8. 【答案】2[解析] 考查复数运算、模的性质。

高中数学第五章数系的扩充与复数的引入52复数的四则运算第29课时复数的加法与减法作业课件北师大版选

(2)|Z→1Z2|＝|Z→2Z1|＝|9＋i|＝ 82. ∴复数 z1，z2 对应两点间距离为 82.
——能力提升—— 14．(5 分)设复数 z 满足条件|z|＝1，那么|z＋2 2＋i|的最大值是4 .
解析：复数 z 满足条件|z|＝1，z 所对应的点的轨迹是单位圆，而|z＋2 2＋i|即表示单位圆上的动点到定点(－2 2，－1)的距离．从图形(图略)上可得|z＋2 2＋i|的最大值是 4.
解析：设 z＝a＋bi(a，b∈R)，则|z|＝ a2＋b2，代入方程得 a＋bi＋ a2＋b2＝2＋8i.
所以a＋ a2＋b2＝2， b＝8，
解得ab＝＝－ 8. 15，
所以 z＝－15＋8i.
11．已知 z∈C，且|z－2i|＝1，则复数 z 的虚部的取值范围是 [1,3]．
解析：根据复数中的轨迹方程可知|z－2i|＝1 表示的图形是以 (0,2)为圆心，1 为半径的圆，数形结合易求复数 z 虚部的取值范围是[1,3]．
A. 3
B. 5
C. 6
D. 7
解析：由 z－(1－i)＝1，得 z＝(1－i)＋1＝2－i，所以|z－4|＝|(2－i)－4|＝|－2－i|＝ 5.
4．在复平面内的平行四边形 ABCD 中，A→C对应的复数是 6＋
8i，B→D对应的复数是－4＋6i，则D→A对应的复数是( D )
A．2＋14i
B．1＋7i
C．2－14i
D．－1－7i
解析：依据向量的平行四边形法则，可得D→A＋D→C＝D→B，D→C－
D→A＝A→C，由A→C对应的复数是 6＋8i，B→D对应的复数是－4＋6i，
可得D→A对应的复数是－1－7i.
5．若复数 z1＝a－i，z2＝－4＋bi，z1－z2＝6＋i，z1＋z2＋z3＝

高考数学一轮复习第四章第四节数系的扩充与复数的引入课时作业理含解析北师大版

高考数学一轮复习：第四节数系的扩充与复数的引入授课提示：对应学生用书第321页[A 组基础保分练]1．（1＋3i ）（1－i ）＝（） A ．4＋2i B ．2＋4i C ．－2＋2i D ．2－2i 解析：（1＋3i ）（1－i ）＝1＋3i －i －3i 2＝4＋2i ．答案：A2．复数z 满足2＋3i ＝z i （其中i 是虚数单位），则z 的虚部为（） A ．2 B ．－3 C ．3 D ．－2解析：由2＋3i ＝z i 可得z ＝2＋3i i ＝2i ＋3i 2i2＝3－2i ，所以z 的虚部为－2．答案：D3．已知a ＋b i （a ，b ∈R ）是1－i1＋i的共轭复数，则a ＋b ＝（）A ．－1B ．－12C ．12D ．1解析：1－i 1＋i ＝（1－i ）2（1＋i ）（1－i ）＝－2i 2＝－i ＝a －b i ，所以a ＝0，b ＝1，所以a ＋b ＝1．答案：D 4．（2021·漳州一检）已知复数z 满足z （3＋i ）＝3＋i 2 020，其中i 为虚数单位，则z 的共轭复数z －的虚部为（）A ．－25iB ．－25C ．25iD ．25解析：∵i 2 020＝（i 4）505＝1，∴z ＝3＋i 2 0203＋i ＝4（3－i ）（3＋i ）（3－i ）＝65－25i ，∴z －＝65＋25i ，因此，复数z －的虚部为25．答案：D5．（2021·西安模拟）复数z ＝2i 2＋i 5的共轭复数z －在复平面上对应的点在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：因为z ＝2i 2＋i 5＝－2＋i ，所以z －＝－2－i ，其在复平面上对应的点为（－2，－1），位于第三象限．答案：C6．设复数z 满足|z －1－i|＝2，则|z |的最大值为（） A ． 2 B ．2 C ．2 2 D ．4解析：复数z 满足|z －1－i|＝2，故复数z 对应的复平面上的点是以A （1，1）为圆心，2为半径的圆，|AO |＝2（O 为坐标原点），故|z |的最大值为2＋2＝22．答案：C7．设复数z 满足z －＝|1－i|＋i （i 为虚数单位），则复数z ＝_________．解析：复数z 满足z －＝|1－i|＋i ＝2＋i ，则复数z ＝2－i ．答案：2－i8．已知复数z ＝4＋2i（1＋i ）2（i 为虚数单位）在复平面内对应的点在直线x －2y ＋m ＝0上，则m＝_________．解析：z ＝4＋2i （1＋i ）2＝4＋2i 2i ＝（4＋2i ）i2i 2＝1－2i ，复数z 在复平面内对应的点的坐标为（1，－2），将其代入x －2y ＋m ＝0，得m ＝－5．答案：－59．设复数z ＝lg （m 2－2m －2）＋（m 2＋3m ＋2）i （i 是虚数单位），试求实数m 取何值时：（1）z 是纯虚数；（2）z 是实数；（3）z 对应的点位于复平面的第二象限．解析：（1）由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧lg （m 2－2m －2）＝0，m 2＋3m ＋2≠0，解得m ＝3．（2）由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋3m ＋2＝0，m 2－2m －2>0，解得m ＝－1或m ＝－2．（3）由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧lg （m 2－2m －2）<0，m 2＋3m ＋2>0，即⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －2>0，m 2－2m －2<1，m 2＋3m ＋2>0，解得－1<m <1－3或1＋3<m <3．10．（1）复数z ＝|（3－i ）i|＋i 2 018（i 为虚数单位），求|z |；（2）定义：⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc ，若复数z 满足⎪⎪⎪⎪⎪⎪z 1i －i ＝－1－i ，求z ．解析：（1）z ＝|（3－i ）i|＋i 2 018＝|1＋3i|＋i 2 016＋2＝2＋i 2＝2－1＝1，故|z |＝1．（2）根据定义，得⎪⎪⎪⎪⎪⎪z 1i －i ＝－z i －i ＝－1－i ，则i z ＝1，∴z ＝1i ＝－i－i2＝－i ．[B 组能力提升练]1．（2021·成都模拟）已知（1＋i ）（1－a i ）＞0（i 为虚数单位），则实数a 等于（） A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2解析：（1＋i ）（1－a i ）＝（1＋a ）＋（1－a ）i ＞0，所以⎩⎪⎨⎪⎧1＋a ＞0，1－a ＝0，所以a ＝1．答案：C2．设复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于实轴对称，z 1＝2＋i ，则z 1z 2＝（）A ．1＋iB ．35＋45iC ．1＋45iD ．1＋43i解析：因为复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于实轴对称，z 1＝2＋i ，所以z 2＝2－i ，所以z 1z 2＝2＋i 2－i＝（2＋i ）25＝35＋45i ．答案：B3．（2021·咸宁联考）若复数z 满足1＋2iz＝1－i ，则z 的共轭复数是（）A ．32＋12iB ．32－12iC ．－12＋32iD ．－12－32i解析：∵1＋2i z ＝1－i ，∴z ＝1＋2i 1－i＝－1＋3i 2，∴z －＝－12－32i ．答案：D4．若复数z ＝cos x －1＋（sin x ＋2）i 为纯虚数（x ∈R ，i 是虚数单位），则|z |等于（） A ．2 B ．3 C ．4 D ．与x 的取值有关解析：依题意得，cos x －1＝0，则cos x ＝1，∵sin 2x ＋cos 2x ＝1，∴sin x ＝0，则z ＝2i ，则|z |＝2．答案：A5．（2021·蓉城名校高三第一次联考）设复数z ＝x ＋y i （x ，y ∈R ）满足z ＝3＋2i 2＋i 5，则y ＋2x ＋1的值为（）A ．32B ．23C ．1D ．13解析：z ＝3＋2i 2＋i 5＝1＋i ＝x ＋y i ，所以x ＝1，y ＝1，所以y ＋2x ＋1＝32．答案：A6．（2021·衡水中学高三联考）已知i 为虚数单位，z －是复数z 的共轭复数，复数z ＝i3－2i，则复数z －在复平面内对应的点位于（） A ．第二象限 B ．第四象限 C ．直线3x －2y ＝0上 D ．直线3x ＋2y ＝0上解析：z ＝i 3－2i＝i （3＋2i ）13＝－213＋313i ，z －＝－213－313i ，它在复平面内的点为⎝⎛⎭⎫－213，－313，位于第三象限，且在直线3x －2y ＝0上．答案：C 7．（2020·高考全国卷Ⅱ）设复数z 1，z 2满足|z 1|＝|z 2|＝2，z 1＋z 2＝3＋i ，则|z 1－z 2|＝_________．解析：法一：设z 1－z 2＝a ＋b i ，a ，b ∈R ，因为z 1＋z 2＝3＋i ，所以2z 1＝（3＋a ）＋（1＋b ）i ，2z 2＝（3－a ）＋（1－b ）i ．因为|z 1|＝|z 2|＝2，所以|2z 1|＝|2z 2|＝4，所以（3＋a ）2＋（1＋b ）2＝4，① （3－a ）2＋（1－b ）2＝4，② ①2＋②2得a 2＋b 2＝12．所以|z 1－z 2|＝a 2＋b 2＝23．法二：设复数z 1，z 2在复平面内分别对应向量OA →，OB →，则z 1＋z 2对应向量OA →＋OB →．由题知|OA →|＝|OB →|＝|OA →＋OB →|＝2，如图所示，以OA ，OB 为邻边作平行四边形OACB ，则z 1－z 2对应向量BA →，OA ＝AC ＝OC ＝2，可得BA ＝2OA sin 60°＝23．故|z 1－z 2|＝|BA →|＝23．答案：2 38．已知复数z ＝（2＋i ）（a ＋2i 3）在复平面内对应的点在第四象限，则实数a 的取值范围是_________．解析：复数z ＝（2＋i ）（a ＋2i 3）＝（2＋i ）（a －2i ）＝2a ＋2＋（a －4）i ，其在复平面内对应的点（2a ＋2，a －4）在第四象限，则2a ＋2>0，且a －4<0，解得－1<a <4，则实数a 的取值范围是（－1，4）．答案：（－1，4）[C 组创新应用练]1．（2021·南昌模拟）欧拉公式e i x ＝cos x ＋isin x （i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，e π3i 表示的复数位于复平面中的（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限解析：由题意可得e π3i ＝cos π3＋isin π3＝12＋32i ，即e π3i 表示的复数位于复平面中的第一象限．答案：A2．若实数a ，b ，c 满足a 2＋a ＋b i<2＋c i ，集合A ＝{x |x ＝a }，B ＝{x |x ＝b ＋c }，则A ∩（∁R B ）为（） A ．∅ B ．{0}C ．{x |－2<x <1}D ．{x |－2<x <0或0<x <1}解析：由于只有实数之间才能比较大小，故a 2＋a ＋b i<2＋c i ⇔⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a <2，b ＝c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧－2<a <1，b ＝c ＝0，因此A ＝{x |－2<x <1}，B ＝{0}，故A ∩（∁R B ）＝{x |－2<x <1}∩{x |x ∈R ，x ≠0}＝{x |－2<x <0或0<x <1}．答案：D3．设有下面四个命题：p 1：若复数z 满足1z∈R ，则z ∈R ；p 2：若复数z 满足z 2∈R ，则z ∈R ；p 3：若复数z 1，z 2满足z 1z 2∈R ，则z 1＝z －1；p 4：若复数z ∈R ，则z －∈R ．其中的真命题为（） A ．p 1，p 3 B ．p 1，p 4 C ．p 2，p 3 D ．p 2，p 4解析：p 1：设z ＝a ＋b i ，则1z ＝1a ＋b i ＝a －b i a 2＋b 2∈R ，得到b ＝0，所以z ∈R ．故p 1正确；p 2：若z 2＝－1，满足z 2∈R ，而z ＝i ，不满足z ∈R ，故p 2不正确；p 3：若z 1＝1，z 2＝2，则z 1z 2＝2，满足z 1z 2∈R ，而它们实部不相等，不是共轭复数，故p 3不正确；p 4：实数没有虚部，所以它的共轭复数是它本身，也属于实数，故p 4正确．答案：B。

高考数学 4.5 数系的扩充与复数的引入课时提能演练理

【全程复习方略】（陕西专用）2013版高考数学 4.5 数系的扩充与复数的引入课时提能演练理北师大版(45分钟 70分)一、选择题(每小题5分，共30分)1.(2012·宜春模拟)设a∈R，且a 1＋i ＋1＋i 2是实数，则a ＝( ) (A)12 (B)1 (C)32(D)2 2.在复平面内，复数i 1＋i对应的点位于( ) (A)第一象限 (B)第二象限(C)第三象限 (D)第四象限3. (2011•大纲版全国卷)复数z=1+i,z 为z 的共轭复数，则z z -z-1=( )(A)-2i (B)-i (C)i (D)2i4.(2011·辽宁高考)a 为正实数，i 为虚数单位，|a ＋i i|＝2，则a ＝( ) (A)2 (B) 3 (C) 2 (D)15.(预测题)已知m 1＋i＝1－ni ，其中m ，n 是实数，i 是虚数单位，则m ＋ni ＝( ) (A )1＋2i (B)1－2i (C)2＋i (D)2－i6. 复数z=m 2i 12i-+(m ∈R,i 为虚数单位)在复平面上对应的点不可能位于 ( )(A)第一象限(B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限二、填空题(每小题5分，共15分)7.(1－i)(1＋2i)1＋i＝ . 8.已知复数z 与(z ＋2)2－8i 均是纯虚数，则z ＝ .9. 定义一种运算如下：1122x y x y ⎡⎤⎢⎥ ⎣⎦=x 1y 2-x 2y 1，则复数z=3i 13i i ⎤+ -⎥- ⎥⎦(i 是虚数单位)的共轭复数是________.三、解答题(第10题12分，第11题13分，共25分)10.(2011·上海高考)已知复数z 1满足(z 1－2)(1＋i)＝1－i(i 为虚数单位)，复数z 2的虚部为2，且z 1·z 2是实数，求z 2.11.(易错题)复数z 1＝1＋2i ，z 2＝－2＋i ，z 3＝－1－2i ，它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数.【选做•探究题】已知A(1,2)，B(a,1)，C(2,3)，D(－1，b)(a ，b∈R)是复平面上的四点，且向量AB u u u r ，CD uuu r 对应的复数分别为z 1，z 2.(1)若z 1＋z 2＝1＋i ，求1＋i z 1＋1－i z 2. (2)若z 1＋z 2为纯虚数，z 1－z 2为实数，求a 、b.答案解析1.【解析】选B.a 1＋i ＋1＋i 2＝a(1－i)(1＋i)(1－i)＋1＋i 2＝a －ai 2＋1＋i 2＝(a ＋1)＋(1－a)i 2. ∵a 1＋i ＋1＋i 2是实数，∴1－a ＝0，即a ＝1. 2.【解析】选A.因为z ＝i 1＋i ＝i(1－i)(1＋i)(1－i)＝12＋12i ，所以z 对应的点位于第一象限. 3.【解题指南】先求出z 的共轭复数，然后利用复数的运算法则计算即可.【解析】选B.z =1-i,z z -z-1=(1+i)(1-i)-(1+i)-1=-i.4.【解析】选B.因为|a ＋i i|＝2，故可化为|1－ai|＝2，又由于a 为正实数，所以1＋a 2＝4，得a ＝3，故选B.5.【解析】选C.∵m 1＋i ＝m(1－i)(1＋i)(1－i)＝m 2－m 2i 又m 1＋i ＝1－ni ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m 2＝1－m 2＝－n，即⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝2n ＝1.∴m ＋ni ＝2＋i.6.【解题指南】先把z 化成a+bi(a 、b ∈R)的形式，再进行判断. 【解析】选A.z=()()m 2i 12i m 2i m 4(2m 2)i 12i 555-----+==++，显然m 45-＞0与2m 25+-＞0不可能同时成立，则z=m 2i 12i -+对应的点不可能位于第一象限. 【一题多解】选A.z=m 2i 12i -+=m 4(2m 2)i 55--++，设x=m 4,5- y=(2m 2),5-+则2x+y+2=0.又直线2x+y+2=0不过第一象限，则z=m 2i12i -+对应的点不可能位于第一象限.【方法技巧】复数问题的解题技巧(1)根据复数的代数形式，通过其实部和虚部可判断一个复数是实数，还是虚数.(2)复数z=a+bi,a ∈R,b ∈R 与复平面上的点Z(a,b)是一一对应的，通过复数z 的实部和虚部可判断出其对应点在复平面上的位置. 7.【解析】(1－i)(1＋2i)1＋i ＝1＋2i －i －2i 21＋i ＝3＋i 1＋i ＝(3＋i)(1－i)(1＋i)(1－i)＝3－3i ＋i＋12＝4－2i2＝2－i.答案：2－i【变式备选】(1)已知复数z ＝3＋i(1－3i)2，z 是z 的共轭复数，则z ·z ＝ .【解析】方法一：|z|＝|3＋i||(1－3i)2|＝12，z ·z ＝|z|2＝14.方法二：z ＝3＋i －2(1＋3i)＝－34＋i4，z ·z ＝(－34＋i 4)(－34－i4)＝14.答案：14(2)已知复数z ＝1－i ，则z 2－2zz －1＝ .【解析】z 2－2zz －1＝(1－i)2－2(1－i)(1－i)－1＝－2i －2＋2i －i ＝－2i－i ·i ＝－2i.答案：－2i8.【解析】设z ＝ai ，a ∈R 且a ≠0，则(z ＋2)2－8i ＝4－a 2＋(4a －8)i.∵(z ＋2)2－8i 是纯虚数，∴4－a 2＝0且4a －8≠0.解得a ＝－2.因此z ＝－2i.答案：－2i9.【解析】由定义知33×33故z 33答案：3-1-(3-1)i 10.【解析】设z 2＝a ＋2i(a ∈R)，由已知复数z 1满足(z 1－2)(1＋i)＝1－i ，得z 1＝2－i ，又已知z 1·z 2＝(2－i)·(a ＋2i)＝(2a ＋2)＋(4－a)i 是实数，则虚部4－a ＝0，即a ＝4，则复数z 2＝4＋2i.【变式备选】复数z 1＝3a ＋5＋(10－a 2)i ，z 2＝21－a＋(2a －5)i ，若z 1＋z 2是实数，求实数a 的值. 【解析】z 1＋z 2＝3a ＋5＋(a 2－10)i ＋21－a＋(2a －5)i ＝(3a ＋5＋21－a)＋[(a 2－10)＋(2a －5)]i ＝a －13(a ＋5)(a －1)＋(a 2＋2a －15)i. ∵z 1＋z 2是实数，∴a 2＋2a －15＝0，解得a ＝－5或a ＝3.又(a ＋5)(a －1)≠0，∴a ≠－5且a ≠1，故a ＝3.11.【解析】如图，z 1、z 2、z 3分别对应点A 、B 、C. ∴AB u u u r ＝OB uuu r －OA u u u r ，∴AB u u u r 所对应的复数为z 2－z 1＝(－2＋i)－(1＋2i)＝－3－i ，在正方形ABCD 中，DC uuu r ＝AB u u u r ，∴DC uuu r 所对应的复数为－3－i ，又DC uuu r ＝OC uuu r －OD u u u r ，∴OD u u u r ＝OC uuu r －DC uuu r 所对应的复数为z 3－(－3－i)＝(－1－2i)－(－3－i)＝2－i ，∴第四个顶点对应的复数为2－i.【变式备选】已知复数z 满足|z|＝1，求|z －(1＋i)|的最大值与最小值.【解题指南】|z|＝1⇒复数z 对应的点是以原点为圆心，1为半径的圆上的点⇒所求即为圆上的点到点(1,1)的距离的最大值、最小值.【解析】因为|z|＝1，所以z 对应的点是单位圆x 2＋y 2＝1上的点，而|z －(1＋i)|表示单位圆上的点到(1,1)点的距离.所以最大值为(0－1)2＋(0－1)2＋1＝2＋1，最小值为(0－1)2＋(0－1)2－1＝2－1.【选做•探究题】【解析】(1)∵AB u u u r ＝(a,1)－(1,2)＝(a －1，－1)，CD uuu r ＝(－1，b)－(2,3)＝(－3，b －3)，∴z 1＝(a －1)－i ，z 2＝－3＋(b －3)i∴z 1＋z 2＝(a －4)＋(b －4)i ，又z 1＋z 2＝1＋i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a －4＝1b －4＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5b ＝5， ∴z 1＝4－i ，z 2＝－3＋2i ，∴1＋i z 1＋1－i z 2＝1＋i 4－i ＋1－i－3＋2i＝(1＋i)(4＋i)42＋12＋(1－i)(－3－2i)(－3)2＋22＝3＋5i17＋－5＋i 13＝－46221＋82221i.(2)由(1)得z 1＋z 2＝(a －4)＋(b －4)i ，z 1－z 2＝(a ＋2)＋(2－b)i ，∵z 1＋z 2为纯虚数，z 1－z 2为实数，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a －4＝0b －4≠02－b ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4b ＝2.。

高二北师大数学选修22第三课时数系的扩充与复数的引入小结与复习同步练习

三、解答题10.已知复数1z 满足1(2)(1)1z i i -+=-（i 为虚数单位），复数2z 的虚部为2，12z z ⋅是实数，求2z 。

2020届一轮复习北师大版数系的扩充与复数的引入课时作业

一、选择题1．复数(1＋3)i 的虚部是( ) A ．1 B ．3 C ．0 D ．1＋ 3[答案] D[解析] 不要受a ＋b i 形式的影响，该复数中a ＝0，b ＝1＋3．2．设集合C ＝{复数}，A ＝{实数}，B ＝{纯虚数}，若全集S ＝C ，则下列结论正确的是( )A ．A ∪B ＝C B ．A ＝BC ．A ∩(∁S B )＝∅D ．(∁S A )∪(∁S B )＝C[答案] D[解析] ∁S A ＝{虚数}，∁S B 包括实数和除去纯虚数以外的虚数．3．(2018·白鹭洲中学期中)复数z ＝(m 2＋m )＋m i(m ∈R ，i 为虚数单位)是纯虚数，则实数m 的值为( )A ．0或－1B ．0C ．1D ．－1[答案] D[解析] ∵z 为纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m ＝0，m ≠0，∴m ＝－1，故选D ．4．适合x －3i ＝(8x －y )i 的实数x 、y 的值为( ) A ．x ＝0且y ＝3 B ．x ＝0且y ＝－3 C ．x ＝5且y ＝3 D ．x ＝3且y ＝0[答案] A[解析] 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0－3＝8x －y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝3，故选A ．5．已知a 、b ∈R ，则a ＝b 是(a －b )＋(a ＋b )i 为纯虚数的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件[答案] C[解析] 当a ＝b ＝0时复数为0是实数，故B 不正确．由(a －b )＋(a ＋b )i 为纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ≠0a －b ＝0，解得a ＝b ≠0，即a ＝b ≠0为该复数为纯虚数的充要条件，∴a ＝b 是该复数为纯虚数的必要而不充分条件．6．下列命题中：①若a ∈R ，则(a ＋1)i 是纯虚数； ②若a 、b ∈R ，且a >b ，则a ＋i>b ＋i ；③若(x 2－1)＋(x 2＋3x ＋2)i 是纯虚数，则实数x ＝±1； ④两个虚数不能比较大小．其中，正确命题的序号是( ) A ．① B ．② C ．③ D ．④[答案] D[解析] 对于复数a ＋b i(a ，b ∈R )，当a ＝0且b ≠0时为纯虚数．在①中，若a ＝－1，则(a ＋1)i 不是纯虚数，①错误；在③中，若x ＝－1，(x 2－1)＋(x 2＋3x ＋2)i ＝0，不是纯虚数，故③错误；两个虚数不能比较大小，故②错误，④正确．二、填空题7．已知A ＝{1,2，(a 2－3a －1)＋(a 2－5a －6)i}，B ＝{－1，3}，A ∩B ＝{3}，则实数a 的值为__________ ______．[答案] －1[解析] 可以A ∩B ＝{3}来寻找解题突破口，按题意a 2－3a －1＋(a 2－5a －6)i ＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－3a －1＝3a 2－5a －6＝0，解得a ＝－1．8．若复数z ＝(m 2－5m ＋6)＋(m －3)i 是实数，则实数m ＝__________ ________． [答案] 3[解析] 由题意，得m －3＝0，∴m ＝3．三、解答题9．实数k 为何值时，复数z ＝(k 2－3k －4)＋(k 2－5k －6)i 是(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？(4)零？[答案] (1)k ＝6或1 (2)k ≠6且k ≠－1 (3)k ＝4 (4)k ＝－1 [解析] (1)当k 2－5k －6＝0，即k ＝6或k ＝－1时，z 是实数． (2)当k 2－5k －6≠0，即k ≠6且k ≠－1时，z 是虚数．(3)当⎩⎪⎨⎪⎧k 2－3k －4＝0k 2－5k －6≠0，即k ＝4时，z 是纯虚数．(4)当⎩⎪⎨⎪⎧k 2－3k －4＝0k 2－5k －6＝0，即k ＝－1时，z 是零．10．复数z ＝m 2－2m －3＋(m 2＋2m －8)i(m ∈R )，当m 为何值时，z 为：(1)实数、(2)虚数、(3)纯虚数．[答案] (1)－4 (2)m <－4或－4<m ≤－1或m ≥3 (3)－1或3[解析] (1)由题意知，⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －3≥0m 2＋2m －8＝0，∴m ＝－4．(2)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －3≥0m 2＋2m －8≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≥3或m ≤－1m ≠2且m ≠－4，∴m ≥3或m ≤－1且m ≠－4．故当m ≥3或m ≤－1且m ≠－4时，z 为虚数．(3)由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －3＝0，m 2＋2m －8≠0.∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1或3，m ≠2且m ≠－4，∴m ＝－1或3．一、选择题11．以2i －5的实部为虚部，以5i ＋2i 2的虚部为实部的新复数是( ) A ．2－2i B ．2＋i C ．－5＋5i D ．5－5i[答案] D[解析] 2i －5的实部为－5，5i ＋2i 2＝5i －2＝－2＋5i 的虚部为5，所以新复数为5－5i ．12．若复数z 1＝sin2θ＋icos θ，z 2＝cos θ＋i 3sin θ(0∈R )，z 1＝z 2，则θ等于( ) A ．k π(k ∈Z ) B ．2k π＋πk (k ∈Z )C ．2k π±πk (k ∈Z )D ．2k π＋π6(k ∈Z )[答案] D[解析] 由复数相等的定义可知，⎩⎪⎨⎪⎧sin2θ＝cos θ，cos θ＝3sin θ.∴cos θ＝32，sin θ＝12． ∴θ＝π6＋2k π，k ∈Z ，故选D ．13．若复数(a 2－a －2)＋(|a －1|－1)i(a ∈R )不是纯虚数，则 ( ) A ．a ＝－1 B ．a ≠－1且a ≠2 C ．a ≠－1 D ．a ≠2[答案] C[解析] 解法一：(验证排除)a ＝－1时，复数为i ，是纯虚数，∴a ≠－1，排除A ，D ；a ＝2时，复数为实数0，∴a ＝2，排除B ，故选C ．解法二：(直接法)若复数不是纯虚数，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －2＝0|a －1|－1＝0，或a 2－a －2≠0，解得a ≠－1．14．(2018·江西临川十中期中)若(m 2－3m －4)＋(m 2－5m －6)i 是纯虚数，则实数m 的值为( )A ．－1B ．4C ．－1或4D ．不存在[答案] B[解析] 由条件知，⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m －4＝0，m 2－5m －6≠0，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1或4，m ≠－1或m ≠6，∴m ＝4．二、填空题15．若cos θ＋(1＋sin θ)i 是纯虚数，则θ＝__________ ________． [答案] 2k π＋π2(k ∈Z )．[解析] 由cos θ＋(1＋sin θ)i 是纯虚数，知⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝01＋sin θ≠0，所以θ＝2k π＋π2(k ∈Z )．16．若复数cos2θ＋i(1－tan θ)(θ∈R )为纯虚数，则θ的值是__________ ________ ． [答案] θ＝k π－π4(k ∈Z )[解析] 由于复数cos2θ＋i(1－tan θ)(θ∈R )为纯虚数，故其实部为零，虚部不为零，即⎩⎪⎨⎪⎧cos2θ＝01－tan θ≠0，由cos2θ＝0可得cos 2θ－sin 2θ＝0，即tan 2θ＝1． ∴tan θ＝±1，而1－tan θ≠0，∴tan θ＝－1． ∴θ＝k π－π4(k ∈Z )．三、解答题17．已知复数z ＝a 2－7a ＋6a 2－1＋(a 2－5a －6)i(a ∈R )，试求实数a 分别取什么值时，z 分别为：(1)实数； (2)虚数； (3)纯虚数．[答案] (1)6 (2)a <－1或－1<a <1或1<a <6或a >6 (3)不存在 [解析] (1)当z 为实数时，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2－5a －6＝0a 2－1≠0，∴⎩⎨⎧a ＝－1或a ＝6a ≠±1，∴当a ＝6时，z 为实数．(2)当z 为虚数时，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 2－5a －6≠0a 2－1≠0，∴⎩⎨⎧a ≠－1且a ≠6a ≠±1，∴a ≠±1且a ≠6．∴当a ∈(－∞，－1)∪(－1,1)∪(1,6)∪(6，＋∞)时，z 为虚数．(3)当z 为纯虚数时，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 2－5a －6≠0a 2－7a ＋6a 2－1＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≠－1且a ≠6a ＝6，∴不存在实数a 使z 为纯虚数． 18．若不等式m 2－(m 2－3m )i<(m 2－4m ＋3)i ＋10成立，求实数m 的值． [答案] 3[解析] 由题意，得⎩⎨⎧m 2－3m ＝0m 2－4m ＋3＝0m 2<10，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝0或m ＝3m ＝3或m ＝1|m |<10，∴当m ＝3时，原不等式成立．。