最新高考复习方案大一轮(全国人教数学)-历年高考真题与模拟题分类汇编 N单元 选修4系列(文科)

N 选修4系列

N1 选修4-1 几何证明选讲

22．N1

如图1－8，⊙O和⊙O′相交于A，B两点，过A作两圆的切线分别交两圆于C，D两点，连结DB并延长交⊙O于点E，证明：

(1)AC·BD＝AD·AB；

(2)AC＝AE.

图1－8

22．证明：(1)由AC与⊙O′相切于A，得

∠CAB＝∠ADB，

同理∠ACB＝∠DAB，

所以△ACB∽△DAB

即AC·BD＝AD·AB

(2)由AD与⊙O相切于

∠AED＝∠BAD，

又∠ADE＝∠BDA，得

△EAD∽△ABD.从而

AE AB ＝

AD BD

，

即AE·BD＝AD·AB.

结合(1)的结论，得AC＝AE.

22．N1如图1－5，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线DE交△ABC的外接圆于F，G两点．若CF∥AB，证明：

(1)CD＝BC；

(2)△BCD∽△GBD.

图1－5

22．证明：(1)因为D ，E 分别为AB ，AC 的中点， 所以DE ∥BC .

又已知CF ∥AB ，故四边形BCFD 是平行四边形，所以CF ＝BD ＝AD .而CF ∥AD ，连结AF ，所以四边形ADCF 是平行四边形，故CD ＝AF .

因为CF ∥AB ，所以BC ＝AF ，故CD ＝BC .

(2)因为FG ∥BC ，故GB ＝CF . 由(1)可知BD ＝CF ，所以GB ＝BD .

而∠DGB ＝∠EFC ＝∠DBC ，故△BCD ∽△GBD .

12．N1 正方形ABCD 的边长为1，点E 在边AB 上，点F 在边BC 上，AE ＝BF ＝1

3.动点P

从E 出发沿直线向F 运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P 第一次碰到E 时，P 与正方形的边碰撞的次数为( )

A ．8

B ．6

C ．4

D ．3

12．B 本小题主要考查反射原理及三角形相似知识的应用，解题的突破口为确定反射后点P 的位置．

结合点E 、F 的位置进行作图推理，利用反射过程中平行直线及相似三角形作图可得点

P 回到E 点时与正方形的边碰撞次数为6次，故选B.

15．N1 (几何证明选讲选做题)如图1－3所示，直线PB 与圆O 相切于点B ，D 是弦AC 上的点，∠PBA ＝∠DBA .若AD ＝m ，AC ＝n ，则AB ＝________.

图1－3

15.mn 本题考查弦切角定理以及三角形相似知识，解决本题的突破口是利用弦切角定理得到∠PBA ＝∠ACB ，再利用三角形相似求出．因为PB 是圆的切线，所以∠PBA ＝∠ACB .又因为∠PBA ＝∠DBA ，所以∠DBA ＝∠ACB .又因为∠A ＝∠A ，所以△ABD ∽△ACB ，所以AB AC ＝AD

AB

，

所以AB 2

＝AD ×AC ＝mn ，所以AB ＝mn .

21 A ．N1 如图1－7，AB 是圆O 的直径，D ，E 为圆O 上位于AB 异侧的两点，连结BD 并延长至点C ，使BD ＝DC ，连结AC ，AE ，DE .

求证：∠E ＝∠C .

图1－7

21A.证明：如图，连结OD ，因为BD ＝DC ，O 为AB 的中点， 所以OD ∥AC ，于是∠ODB ＝∠C .

因为OB ＝OD ，所以∠因为点A ，E ，B ，异侧的两点，所以∠E 和∠B 为同弧所对的圆周角，故∠E ＝∠B .所以∠15 B. N1如图1－6，在圆O 中，直径AB 与弦CD 垂直，垂足为E ，EF ⊥DB ，垂足为F ，若AB ＝6，AE ＝1，则DF ·DB ＝________.

图1－6

15B ：5 本题考查了射影定理的知识，解题的突破口是找出直角三角形内的射影定理．连接AD ，在Rt △ABD 中，DE ⊥AB ，所以DE 2

＝AE ×EB ＝5，在Rt △EBD 中，EF ⊥DB ，所以DE 2

＝DF ×DB ＝5.

13．N1 如图1－3所示，已知AB 和AC 是圆的两条弦，过点B 作圆的切线与AC 的延长线相交于点D .过点C 作BD 的平行线与圆相交于点E ，与AB 相交于点F ，AF ＝3，FB ＝1，EF ＝3

2

，则线段CD 的长为________．

图1－3

13.4

3 由相交弦的性质可得AF ×FB ＝EF ×FC ， ∴FC ＝

AF ×FB EF ＝3×1

3

2

＝2， 又∵FC ∥BD ，∴AC AD ＝FC BD ＝

AF AB ＝34，即BD ＝8

3

，

由切割线定理得BD 2＝DA ×DC ＝4DC 2

，解之得DC ＝43

.

N2 选修4-2 矩阵

⎡⎥⎤－1 3的特征值．

于是矩阵A 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪

⎪⎪λ－2 －3－2 λ－1＝λ2

－3λ－4.

令f (λ)＝0，解得A 的特征值λ1＝－1，λ2＝4.

3．C3、N2 函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪

⎪⎪

sin x 2－1 cos x 的最小正周期是________．

3．π 考查二阶矩阵和三角函数的值域，以矩阵为载体，实为考查三角函数的性质，易错点是三角函数的化简．

f (x )＝sin x cos x ＋2＝12sin2x ＋2，由三角函数周期公式得，T ＝

2π

2

＝π. N3 选修4-4 参数与参数方程

23．N3在直角坐标系xOy 中，圆C 1：x 2＋y 2＝4，圆C 2：(x －2)2＋y 2

＝4.

(1)在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C 1，C 2的极坐标方程，并求出圆C 1，C 2的交点坐标(用极坐标表示)；

(2)求圆C 1与C 2的公共弦的参数方程．