(教师参考)高中数学 2.2.2 反证法课件 新人教A版选修2-2
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人教a版数学【选修2-2】2.2.2《反证法》ppt课件
成才之路 · 数学
人教A版 · 选修2-2
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
第二章
推理与证明
第二章 2.2 直接证明与间接证明
2.2.2 反证法
1
自主预习学案
2
典例探究学案
3
巩固提高学案
4
备 选 练 习
自主预习学案
理解反证法的概念，掌握反证法的特点及证题的步骤．
重点：反证法概念的理解以及反证法的证题步骤． 难点：反证法的应用．
已知p3＋q3＝2，求证p＋q≤2. [解析] 假设p＋q>2，那么p>2－q，所以p3>(2－q)3＝8－12q ＋6q2－q3，将p3＋q3＝2代入消去p，得6q2－12q＋6<0，即 6(q－1)2<0.这与6(q－1)2≥0矛盾，故假设错误．所以p＋q≤2. [点评] 本题已知条件为p、q的三次幂，而结论中只有p，q 的一次幂，若直接证明，应考虑到用立方根，同时用放缩法 ，但很难证，故考虑采用反证法.
[方法规律总结] 用反证法证明数学命题的步骤 第一步：审题，分清命题的条件和结论； 第二步：反设，做出与命题结论相矛盾的假设； 第三步：归谬，由假设出发，应用演绎推理方法，推出矛盾 的结果； 第四步：下结论，断定产生矛盾结果的原因，在于开始所做 的假设不真，于是原结论成立，从而间接地证明了命题为真 ．
典例探究学案
用反证法证明直接证明不易入手的问题
求证：若两条平行直线 a、b 中的一条与平面 α 相交，则另一条也与平面 α 相交．
[分析] 直接证明直线与平面相交比较困难，故可考虑用反 证法，注意该命题的反面情形不止一种，需一一驳倒，才能 推出命题结论正确．
[解析] 不妨设直线a与平面α相交，b与a平行，从而要证b 也与平面α相交．假设b不与平面α相交，则必有下面两种情 况：(1)b在平面α内．由a∥b，a⊄平面α，得a∥平面α，与题 设矛盾． (2)b∥平面α. 则平面α内有直线b′，使b∥b′. 而a∥b，故a∥b′，因为a⊄平面α，所以a∥平面α，这也与 题设矛盾． 综上所述，b与平面α只能相交．
人教A版 · 选修2-2
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
第二章
推理与证明
第二章 2.2 直接证明与间接证明
2.2.2 反证法
1
自主预习学案
2
典例探究学案
3
巩固提高学案
4
备 选 练 习
自主预习学案
理解反证法的概念，掌握反证法的特点及证题的步骤．
重点：反证法概念的理解以及反证法的证题步骤． 难点：反证法的应用．
已知p3＋q3＝2，求证p＋q≤2. [解析] 假设p＋q>2，那么p>2－q，所以p3>(2－q)3＝8－12q ＋6q2－q3，将p3＋q3＝2代入消去p，得6q2－12q＋6<0，即 6(q－1)2<0.这与6(q－1)2≥0矛盾，故假设错误．所以p＋q≤2. [点评] 本题已知条件为p、q的三次幂，而结论中只有p，q 的一次幂，若直接证明，应考虑到用立方根，同时用放缩法 ，但很难证，故考虑采用反证法.
[方法规律总结] 用反证法证明数学命题的步骤 第一步：审题，分清命题的条件和结论； 第二步：反设，做出与命题结论相矛盾的假设； 第三步：归谬，由假设出发，应用演绎推理方法，推出矛盾 的结果； 第四步：下结论，断定产生矛盾结果的原因，在于开始所做 的假设不真，于是原结论成立，从而间接地证明了命题为真 ．
典例探究学案
用反证法证明直接证明不易入手的问题
求证：若两条平行直线 a、b 中的一条与平面 α 相交，则另一条也与平面 α 相交．
[分析] 直接证明直线与平面相交比较困难，故可考虑用反 证法，注意该命题的反面情形不止一种，需一一驳倒，才能 推出命题结论正确．
[解析] 不妨设直线a与平面α相交，b与a平行，从而要证b 也与平面α相交．假设b不与平面α相交，则必有下面两种情 况：(1)b在平面α内．由a∥b，a⊄平面α，得a∥平面α，与题 设矛盾． (2)b∥平面α. 则平面α内有直线b′，使b∥b′. 而a∥b，故a∥b′，因为a⊄平面α，所以a∥平面α，这也与 题设矛盾． 综上所述，b与平面α只能相交．
人教A选修2-211-12学年高二数学：2.2.2 反证法 课件(人教A版选修2-2)
[例3] 已知：一点A和平面α. 求证：经过点A只能有一条直线和平面α垂直． [分析]
[解析] 根据点A和平面α的位置关系，分 两种情况证明． (1)如图1，点A在平面α内，假设经过点A 至少有平面α的两条垂线AB、AC，那么AB、 AC是两条相交直线，它们确定一个平面β， 平面β和平面α相交于经过点A的一条直线a.
[点评] 1.本题的解答依赖于等差和等比 数列的概念和性质，体现了特殊化思想、 分类讨论思想和正难则反的思维策略．对 代数的推理能力要求较高． 2．结论中含有“不”、“不是”、“不 可能”、“不存在”等词语的命题，此类 问题的反面比较具体，适于应用反证法．
3．反证法属逻辑方法范畴，它的严谨体 现在它的原理上，即“否定之否定等于肯 定”，其中：第一个否定是指“否定结论 (假设)”；第二个否定是指“逻辑推理结 果否定了假设”．反证法属“间接解题方 法”，书写格式易错之处是“假设”易错 写成“设”．
2．命题“三角形中最多只有一个内角是 直角”的结论的否定是 ( ) A．两个内角是直角 B．有三个内角是直角 C．至少有两个内角是直角 D．没有一个内角是直角 [答案] C [解析] “最多只有一个”即为“至多一 个”，反设应为“至少有两个”，故应选 C.
3．如果两个实数之和为正数，则这两个 数( ) A．一个是正数，一个是负数 B．两个都是正数 C．至少有一个正数 D．两个都是负数 [答案] C [解析] 假设两个数都是负数，则两个数 之和为负数，与两个数之和为正数矛盾， 所以两个实数至少有一个正数，故应选C.
[分析] 本题中，含有“至少存在一个” 词，可考虑使用反证法．
[证明]
1 假设不存在 x∈[－1,1]上一个 x 满足|f(x)|≥2.
人教A版选修(2-2)2.2.2《反证法》课件(23张ppt)
因此，a、b、c 中至少有一个大于 0.
用反证法证明唯一性问题
结论以“有且只有一个”、“只有一个”、 “唯一存在”等形式出现的命题，由于 反设结论易于导出矛盾，所以用反证 法证其唯一性简单明了． 【方法引导】 证明“有且只有一个” 的问题，需要证明两个命题，即存在 性和唯一性．
【例3】求证方程2x＝3有 且仅有一个实根．
矛盾，假设不成立.
∴PB≠PC
A
P C
全课总结
1、知识小结： 反证法证明的思路：假设命题不成
立→正确的推理,得出矛盾→肯定待定命 题的结论
2、难点提示: 利用反证法证明命题时,一定要准确
而全面的找出命题结论的反面。
注意:用反证法证题时,应注意的事项 :
（1）周密考察原命题结论的否定事项，防止 否定不当或有所遗漏；
三个判别式都小于0 → a的范围 → 与已知a≥－1矛盾 → 否定假设 → 肯定结论
【证明】 假设三个方程都没有实根，则 三个方程中：它们的判别式都小于 0，即：
4a2－4－4a＋3<0
a－12－4a2<0
⇒
2a2＋4×2a<0
－23<a<12 a>13或a<－1 －2<a<0
⇒－32<a<－1，这与已知 a≥－1 矛盾，所以
（2）推理过程必须完整，否则不能说明命题 的真伪性；
（3）在推理过程中，要充分使用已知条件， 否则推不出矛盾，或者不能断定推出的结果是 错误的。
独立 作业
作业： 练习：学案中巩固提高
习题91页：A组
谢谢大家
a不垂直于b
2.已知：如图，△ABC中，AB=AC，∠APB≠∠APC。 求证：PB≠PC
用反证法证明唯一性问题
结论以“有且只有一个”、“只有一个”、 “唯一存在”等形式出现的命题，由于 反设结论易于导出矛盾，所以用反证 法证其唯一性简单明了． 【方法引导】 证明“有且只有一个” 的问题，需要证明两个命题，即存在 性和唯一性．
【例3】求证方程2x＝3有 且仅有一个实根．
矛盾，假设不成立.
∴PB≠PC
A
P C
全课总结
1、知识小结： 反证法证明的思路：假设命题不成
立→正确的推理,得出矛盾→肯定待定命 题的结论
2、难点提示: 利用反证法证明命题时,一定要准确
而全面的找出命题结论的反面。
注意:用反证法证题时,应注意的事项 :
（1）周密考察原命题结论的否定事项，防止 否定不当或有所遗漏；
三个判别式都小于0 → a的范围 → 与已知a≥－1矛盾 → 否定假设 → 肯定结论
【证明】 假设三个方程都没有实根，则 三个方程中：它们的判别式都小于 0，即：
4a2－4－4a＋3<0
a－12－4a2<0
⇒
2a2＋4×2a<0
－23<a<12 a>13或a<－1 －2<a<0
⇒－32<a<－1，这与已知 a≥－1 矛盾，所以
（2）推理过程必须完整，否则不能说明命题 的真伪性；
（3）在推理过程中，要充分使用已知条件， 否则推不出矛盾，或者不能断定推出的结果是 错误的。
独立 作业
作业： 练习：学案中巩固提高
习题91页：A组
谢谢大家
a不垂直于b
2.已知：如图，△ABC中，AB=AC，∠APB≠∠APC。 求证：PB≠PC
人教A版选修(2-2)2.2.2《反证法》课件(23张ppt)最新课件PPT
b是0或负数
（4）a⊥b
a不垂直于b
2.已知：如图，△ABC中，AB=AC，∠APB≠∠APC。 求证：PB≠PC
证明：假设PB=PC。
在△ABP与△ACP中
AB=AC(已知）
AP=AP（公共边）
PB=PC（已知）
∴△ABP≌△ACP（S.S.S)
∴∠APB=∠APC(全等三角形
对应边相等）
B
这与已知条件∠APB≠∠APC
假设不成立，故三个方程中至少有一个方程
有实数解．
变式训练 2 若 a、b、c 均为实数，且 a＝ x2－2y＋π2，b＝y2－2z＋π3，c＝z2－2x＋π6， 求证：a、b、c 中至少有一个大于 0.
证明：假设 a、b、c 都不大于 0，即 a≤0，b≤0， c≤0， 则 a＋b＋c≤0，
而 a＋b＋c＝x2－2y＋π2＋y2－2z＋π3＋z2－2x ＋π6 ＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋π－3. ∵π－3＞0，且(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2≥0， ∴a＋b＋c＞0， 这与 a＋b＋c≤0 矛盾．
三个判别式都小于0 → a的范围 → 与已知a≥－1矛盾 → 否定假设 → 肯定结论
【证明】 假设三个方程都没有实根，则 三个方程中：它们的判别式都小于 0，即：
4a2－4－4a＋3<0
a－12－4a2<0
⇒
2a2＋4×2a<0
－23<a<12 a>13或a<－1 －2<a<0
⇒－32<a<－1，这与已知 a≥－1 矛盾，所以
显然这与故事中的李 树长满果子相矛盾。说明 李子是甜的这个假设是错 的还是对的？
所以，李子是苦的
(人教A版)数学【选修2-2】2-2-2《反证法》ppt课件
规律技巧 用反证法证明“至多”“至少”型命题，可减 少讨论情况，目标明确．否定结论时需弄清楚结论的否定是什 么，避免出现错误．需仔细体会“至多有一个”“至少有一 个”的含义.
三 用反证法证明否定性命题 【例3】 求证抛物线上任取四点所组成的四边形不可能
是平行四边形．
已知：如图所示，A，B，C，D是抛物线y2＝2px(p>0)上的 任意四点，其坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，(x4， y4)．连接AB，BC，CD，DA.
答案 D
3．求证：如果a>b>0，那么n
n a>
b(n∈N，且n>1)．
证明 假设n a不大于n b，则n a＝n b，或n a<n b.
当n a＝n b时，则有a＝b. 这与a>b>0相矛盾．
当n
n a<
b时，则有a<b，
这也与a>b相矛盾．
所以n
a>
b.
4．若a，b，c均为实数，且a＝x2－2y＋
求证：四边形ABCD不可能是平行四边形． 【分析】 解答本题的关键在于通过假设，根据平行四边 形对边所在直线的斜率相等，推出结论与已知条件相矛盾，从 而肯定原命题正确．
【证明】 由题意得，直线AB的斜率为 kAB＝xy22－－xy11＝y12＋py2，同理kBC＝y32＋py2， kCD＝y42＋py3，kDA＝y12＋py4. 假设四边形ABCD为平行四边形，则有kAB＝kCD，kBC＝kDA. 即有yy23＋ ＋yy12＝ ＝yy31＋ ＋yy44， ，① ② 由①－②，得y1－y3＝y3－y1，
π 2
，b＝y2－2z＋
π3，c＝z2－2x＋6π.
高中数学新课标人教A版选修2-2《2.2.2反证法》课件
课前探究学习
课堂讲练互第动十九页，编辑于活星页期一规：点范十训九分练。
∴(q2－pr)＋(2q－p－r) 2＝0. ∵p，q，r∈N*， ∴q22q－－ppr－＝r0＝，0， ∴p＋2 r2＝pr，(p－r)2＝0， ∴p＝r，这与 p≠r 矛盾．(10 分) 所以数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．(12 分)
课前探究学习
课堂讲练互第动五页，编辑于星活期页一：规点 十范九训分。练
肯定条件p， 否定结论q
― 推―理→
导致逻 辑矛盾
矛―盾―→律
“若p则綈q”为假
→ “若p则q”为真
课前探究学习
课堂讲练互第动六页，编辑于星活期页一：规点 十范九训分。练
2．反证法证明数学命题的一般步骤 第一步：分清命题“p→q”的条件和结论； 第二步：作出与命题结论q相矛盾的假定綈q(反设)； 第三步：由p和綈q出发，应用正确的推理方法，推出矛盾结果 (归谬)； 第四步：断定产生矛盾结果的原因，在于开始所作的假定綈q不 真，于是原结论q成立，从而间接地证明了命题p→q为真． 第三步中所说的矛盾结果，通常是指推出的结果与已知公理、已 知定义、已知定理或已知条件矛盾，与临时假定矛盾以及自相矛 盾等各种情况．
a1＝ 2＋1，
3a1＋3d＝9＋3
2，
(4 分)
∴d＝2，故 an＝2n－1＋ 2，Sn＝n(n＋ 2)．(6 分)
(2)证明 由(1)得 bn＝Snn＝n＋ 2.
假设数列{bn}中存在三项 bp、bq、br(p、q、r 互不相等)成等比数列， 则 b2q＝bpbr，(8 分)
即(q＋ 2)2＝(p＋ 2)(r＋ 2)，
课前探究学习
课堂讲练互第动七页，编辑于星活期页一：规点 十范九训分。练
高中数学《2.2.2反证法》课件 新人教A版选修2-2
4.设实数a,b,c满足a+b+c=1,则a,b,c中至少有一个不小于___
________________.
【解析】假设a,b,c都小于 1，则a+b+c＜1与已知条件矛盾，
3
故,a,b,c,中至少有一个不小于 .1
3
答案：1
3
5.设0＜x＜2,0＜y＜2,0＜z＜2,求证：x(2-y),y(2-z),z(2-x) 中至少有一个不大于1.
用反证法证明否定性命题
1.用反证法证明否定性命题的适用类型 结论中含有“不”、“不是”、“不可能”、“不存在”等 词语的命题称为否定性命题，此类问题的正面比较模糊，而 反面比较具体，适合使用反证法.
2.反证法的证题步骤： 第一步：分清命题的条件和结论； 第二步：做出与命题结论相矛法，推出矛盾的结果； 第四步：断定产生矛盾结果的原因在于开始所做的假设不成 立，于是原结论成立，从而间接地证明了原命题成立.
【典例】(12分)已知x,y R且x2+y2=0,求证：x,y全为零. 【审题指导】本题直接证明不易入手，宜采用反证法.
【规范解答】假设x,y不全为零，则有以下三种可能. (1)x=0,y≠0，得x2+y2=y2＞0,与x2+y2=0矛盾 ……………4 分 (2)x≠0,y=0,得x2+y2=x2＞0，与x2+y2=0矛盾 ……………7 分 (3)x≠0,y≠0，得x2+y2＞0与x2+y2=0矛盾. …………… 10 分 综上原假设错误，故x,y全为零. …………………………12分
即a+c+2a c =4b,又a,b,c成等比数列，∴b2=ac,即b= a c ,
∴a+c+2 a c =4 a ,c∴a+c-2 =a0c,
(教师用书)高中数学 2.2.2 反证法课件 新人教A版选修2-2
建议教师从直接证明的两种方法：综合法和分析法的特 点入手进行反证法概念的引入，使得学生明确反证法是一种 间接证明的方法，并能体会反证法的思维特点．
2．关于反证法证明步骤的教学 建议教师向学生强调指出，反证法作为一种特殊的间接 证明方法，有其独特的格式要求，它不同于一般的举反例或 者俗语中的“抬杠”，在使用时一定要严格按照其固有模式 进行表述． 3．关于反证法的应用 教学中，要明确教给学生，当一个问题从正面较难入手 时，可以考虑从反面入手，即用反证法解题，强化学生的应 用意识．
【解】 假设 x0 是 f(x)＝0 的负数根， x0－2 则 x0<0 且 x0≠－1 且 ax0＝－ ， x0＋1 x0－2 由 0<ax0<1⇒0<－ <1， x0＋1 1 解得2<x0<2，这与 x0<0 矛盾，所以假设不成立， 故方程 f(x)＝0 没有负数根.
用反证法证明“至多”、“至少” 类 问题
2 为 p，q，∴a2 ＝ a a ， b n n－1 n＋1 n＝bn－1bn＋1.
代入①并整理得： p q p q 2anbn＝an＋1bn－1＋an－1bn＋1＝anbn( ＋ )，即 2＝ ＋ .② q p q p p q 当 p，q 异号时， ＋ ＜0，与②相矛盾； q p p q 当 p，q 同号时，由于 p≠q，所以 ＋ ＞2，与②相矛盾． q p 故数列{cn}不是等比数列．
公理、定理
、事实矛盾等.
用反证法证明否定性命题
设{an}，{bn}是公比不相等的两个等比数列，cn ＝an＋bn，证明数列{cn}不是等比数列．
【思路探究】
－1
假设数列{cn}为等比数列，从而 C2 n＝Cn
· Cn＋1 推出矛盾，证明原命题成立．
2．关于反证法证明步骤的教学 建议教师向学生强调指出，反证法作为一种特殊的间接 证明方法，有其独特的格式要求，它不同于一般的举反例或 者俗语中的“抬杠”，在使用时一定要严格按照其固有模式 进行表述． 3．关于反证法的应用 教学中，要明确教给学生，当一个问题从正面较难入手 时，可以考虑从反面入手，即用反证法解题，强化学生的应 用意识．
【解】 假设 x0 是 f(x)＝0 的负数根， x0－2 则 x0<0 且 x0≠－1 且 ax0＝－ ， x0＋1 x0－2 由 0<ax0<1⇒0<－ <1， x0＋1 1 解得2<x0<2，这与 x0<0 矛盾，所以假设不成立， 故方程 f(x)＝0 没有负数根.
用反证法证明“至多”、“至少” 类 问题
2 为 p，q，∴a2 ＝ a a ， b n n－1 n＋1 n＝bn－1bn＋1.
代入①并整理得： p q p q 2anbn＝an＋1bn－1＋an－1bn＋1＝anbn( ＋ )，即 2＝ ＋ .② q p q p p q 当 p，q 异号时， ＋ ＜0，与②相矛盾； q p p q 当 p，q 同号时，由于 p≠q，所以 ＋ ＞2，与②相矛盾． q p 故数列{cn}不是等比数列．
公理、定理
、事实矛盾等.
用反证法证明否定性命题
设{an}，{bn}是公比不相等的两个等比数列，cn ＝an＋bn，证明数列{cn}不是等比数列．
【思路探究】
－1
假设数列{cn}为等比数列，从而 C2 n＝Cn
· Cn＋1 推出矛盾，证明原命题成立．
高中数学 2.2.2 反证法课件 新人教A版 选修22
[提示] 假设C没有撒谎，则C真．那么A假且B假；由A 假，知B真．这与B假矛盾．那么假设C没有撒谎不成立；则C必 定(bìdìng)是在撒谎．
第四页，共36页。
2．已知正整数a，b，c满足a2＋b2＝c2，求证：a，b，c不 可能都是奇数．
[问题(wèntí)1] 你能利用综合法和分析法证明该问题(wèntí) 吗？
第二十一页，共36页。
用反证法证明唯一性命题的适用 类型
(1)当证明结论以“有且只有”“只有一个”“唯一存在” 等形式出现的命题时，由于反设结论易于推出矛盾，所以用反证 法证明唯一性就非常简单明了．
(2)用反证法证题时，一定要处理好推出矛盾这一步骤，因 为反证法的核心就是从求证的结论反面出发，导出矛盾的结果 (jiē guǒ)，因此如何导出矛盾，就成为了关键所在，对于证题 步骤，绝不可死记，而要具有全面扎实的基础知识，灵活运用．
第十三页，共36页。
合作(hézuò)探究 课 堂互动
第十四页，共36页。
用反证法证明(zhèngmíng)否(肯)定式命题 平面上有四个点，假设无三点共
线，证明以每三点为顶点的三角形不可能(kěnéng)都是锐角三 角形．
[思路点拨]
第十五页，共36页。
第十六页，共36页。
1. 结 论 中 含 有 “ 不 ” “ 不 是”“不可能”“不存在”等词语的命题，此类问题的反面比较 具体(jùtǐ)，适于应用反证法．
2．用反证法证明问题的一般步骤： (1)假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立． (2)从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾． (3)从矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确．
第十七页，共36页。
1．求证：不论 x，y 取何非零实数，等式1x＋1y＝x＋1 y总不 成立．
第四页，共36页。
2．已知正整数a，b，c满足a2＋b2＝c2，求证：a，b，c不 可能都是奇数．
[问题(wèntí)1] 你能利用综合法和分析法证明该问题(wèntí) 吗？
第二十一页，共36页。
用反证法证明唯一性命题的适用 类型
(1)当证明结论以“有且只有”“只有一个”“唯一存在” 等形式出现的命题时，由于反设结论易于推出矛盾，所以用反证 法证明唯一性就非常简单明了．
(2)用反证法证题时，一定要处理好推出矛盾这一步骤，因 为反证法的核心就是从求证的结论反面出发，导出矛盾的结果 (jiē guǒ)，因此如何导出矛盾，就成为了关键所在，对于证题 步骤，绝不可死记，而要具有全面扎实的基础知识，灵活运用．
第十三页，共36页。
合作(hézuò)探究 课 堂互动
第十四页，共36页。
用反证法证明(zhèngmíng)否(肯)定式命题 平面上有四个点，假设无三点共
线，证明以每三点为顶点的三角形不可能(kěnéng)都是锐角三 角形．
[思路点拨]
第十五页，共36页。
第十六页，共36页。
1. 结 论 中 含 有 “ 不 ” “ 不 是”“不可能”“不存在”等词语的命题，此类问题的反面比较 具体(jùtǐ)，适于应用反证法．
2．用反证法证明问题的一般步骤： (1)假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立． (2)从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾． (3)从矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确．
第十七页，共36页。
1．求证：不论 x，y 取何非零实数，等式1x＋1y＝x＋1 y总不 成立．
2.2.2--反证法 课件(人教A版选修2-2)
2（ n+1-1）<1+ 1 1 ... 1 2 n(nn*)
23
n
1 2
2
2( k k 1), k N *
k 2 k k k 1
1 1 1 1
23
n
2[( 1 0) ( 2 1) ( 3 2) ( n n 1)] 2 n.
例4、巳知：a、b、c∈ R ，求证：
P2 P3
…
成立的结论
复习
经过证明 的结论
思考题:甲、乙、丙三箱共有小球384个,先 由甲箱取出若干放进乙、丙两箱内,所放个 数分别为乙、丙箱内原有个数,继而由乙箱 取出若干个球放进甲、丙两箱内,最后由丙 箱取出若干个球放进甲、乙两箱内,方法同 前.结果三箱内的小球数恰好相等.求甲、 乙、丙三箱原有小球数
若 a < b，则a < b, 与已知a > b矛盾, 故假设不成立，结论 a > b成立。
例2 已知a≠0，证明x的方程ax=b有且只有 一个根。
证：假设方程ax + b = 0(a ≠ 0)至少存在两个根，
不妨设其中的两根分别为x1，x2且x1 ≠ x2
则ax1 = b，ax2 = b ∴ ax1 = ax2 ∴ ax1 - ax2 = 0 ∴a（x1 - x2）= 0 ∵ x1 ≠ x2，x1 - x2 ≠ 0 ∴a = 0 与已知a ≠ 0矛盾, 故假设不成立，结论成立。
a2 ab b2 a2 ac c2 a b c
同时 m a b c d 2 ab ab cd dc
∴1 < m < 2 即原式成立
例2已知a,b是实数，求证:
a+b
a
b
.
1 a b 1 a 1 b
人教A版高中数学选修2-2课件2.2.2反证法()
故假设不成立，结论成立。
注：唯一性命题(命题的结论是“有且只有”，“只 有一个，“唯一存在”等)常用反证法。
归纳总结：
哪些命题适宜用反证法加以证明？ （1）直接证明有困难 （2）否定性命题 （3）唯一性命题 （4）至多，至少型命题
正难则反!
牛顿曾经说过：“反证法是数学家最精当的武器之一”
四、归纳步骤
这种证明方法就是-----反证法
一、探究定义
一般地，假设原命题不成立（即在原命题的条 件下，结论不成立），经过正确的推理，最后 得出矛盾。因此说明假设错误，从而证明了原 命题成立，这样的证明方法叫做反证法。
把这种不是直接从原命题的条件逐步推 得命题成立的证明方法称为间接证明
注：反证法是最常见的间接证法。
所以假设不成立，2是有理数成立。
练习：已知a≠0， 证明：关于x的方程ax=b有且只有一个根。
证：假设方程ax + b = 0(a ≠ 0)至少存在两个根，
不妨设其中的两根分别为x1，x2且x1 ≠ x2 则ax1 = b，ax2 = b ∴ ax1 = ax2
∴ ax1 - ax2 = 0 ∴ a（x1 - x2）= 0 x1 x2 x1 x2 0 ∴a = 0 与已知a ≠ 0矛盾,
2、难点提示: 利用反证法证明命题时,一定要准确而全 面的找出命题结论的反面。“至少”的 反面是“没有”，“最多”的反面是 “不止”。
准确地作出反设(即否定结论)是非常重要的， 下面是一些常见的结论的否定形式.
原词语
否定词
原词语
等于 不等于
任意的
是
不是
至少有一个
都是
不都是
至多有一个
大于
不大于
至少有n个
注：唯一性命题(命题的结论是“有且只有”，“只 有一个，“唯一存在”等)常用反证法。
归纳总结：
哪些命题适宜用反证法加以证明？ （1）直接证明有困难 （2）否定性命题 （3）唯一性命题 （4）至多，至少型命题
正难则反!
牛顿曾经说过：“反证法是数学家最精当的武器之一”
四、归纳步骤
这种证明方法就是-----反证法
一、探究定义
一般地，假设原命题不成立（即在原命题的条 件下，结论不成立），经过正确的推理，最后 得出矛盾。因此说明假设错误，从而证明了原 命题成立，这样的证明方法叫做反证法。
把这种不是直接从原命题的条件逐步推 得命题成立的证明方法称为间接证明
注：反证法是最常见的间接证法。
所以假设不成立，2是有理数成立。
练习：已知a≠0， 证明：关于x的方程ax=b有且只有一个根。
证：假设方程ax + b = 0(a ≠ 0)至少存在两个根，
不妨设其中的两根分别为x1，x2且x1 ≠ x2 则ax1 = b，ax2 = b ∴ ax1 = ax2
∴ ax1 - ax2 = 0 ∴ a（x1 - x2）= 0 x1 x2 x1 x2 0 ∴a = 0 与已知a ≠ 0矛盾,
2、难点提示: 利用反证法证明命题时,一定要准确而全 面的找出命题结论的反面。“至少”的 反面是“没有”，“最多”的反面是 “不止”。
准确地作出反设(即否定结论)是非常重要的， 下面是一些常见的结论的否定形式.
原词语
否定词
原词语
等于 不等于
任意的
是
不是
至少有一个
都是
不都是
至多有一个
大于
不大于
至少有n个
高二数学 2.2.2反证法课件 新人教A版选修2-2
►变式训练 3．过平面 α 内的一点 A 作直线 a，使得 a⊥α，求证：直线 a 是 唯一的． 证明：假设这样的直线 a 不唯一，则过点 A 至少还有一条直线 b， 使得 b⊥α.∵直线 a，b 是相交直线，∴两直线 a，b 可以确定一个平 面 β.设 α 和 β 相交于过点 A 的直线 c.∵a⊥α，b⊥α，∴a⊥c，b⊥ c.这样在平面 β 内，过点 A 就有两条直线 a，b 垂直于直线 c，这与平 面内过直线上一点只能作一条该直线的垂线矛盾，所以假设不成立， 故直线 a 是唯一的．
若 x1－x2>0，则 2x1－x2>1，这与 2x1－x2＝1 矛盾； 若 x1－x2<0，则 2x1－x2<1，这也与 2x1－x2＝1 矛盾， 因此只能 x1－x2＝0，这与 x1≠x2 矛盾， 如果方程的根多于两个，同样可推出矛盾， 故 2x＝3 只有一个根．
规律方法：用反证法证明唯一性命题的一般思路 证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题， 即存在性和唯一性，当证明结论以“有且只 有”“只有一个”“唯一存在”等形式出现的命题 时，由于假设结论易导出矛盾，所以用反证法证其 唯一性比较简单明了．
►变式训练 1．已知 f(x)＝ax＋xx－＋21(a>1)，证明方程 f(x)＝0 没有负数根． 证明：假设 x0 是 f(x)＝0 的负数根， 则 x0<0 且 x0≠－1 且 ax0＝－xx00＋－12. 由 0<ax0<1⇒0<－xx00＋－12<1， 解得21<x0<2，这与 x0<0 矛盾，所以假设不成立， 故方程 f(x)＝0 没有负数根．
【易错剖析】本题证明过程中，易反设为：“假设三个方程都没 有两个相异实根，
则Δ1＝4b2－4ac<0，Δ2＝4c2－4ab<0，Δ3＝4a2－4bc<0”．错误 的原因在于认为“方程没有两个相异实根就有Δ<0”，事实上，“方 程没有两个相异实根”包括两种情况：一是方程无实根；二是方程有 两个相等实根，从而Δ≤0.
《2.2.2反证法》课件2-优质公开课-人教A版选修2-2精品
新课标A版 ·数学 .2 2.2.2
新课标A版 ·数学 ·选修2-2
题型一 存在性问题 例 1 已知 x，y>0 且 x＋y>2， 求证：1＋y x，1＋x y中至少有一个小于 2.
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第二章 2.2 2.2.2
新课标A版 ·数学 ·选修2-2
【证明】 假设1＋y x，1＋x y都不小于 2， 即1＋y x≥2，1＋x y≥2. ∵x，y>0，∴1＋x≥2y,1＋y≥2x. ∴2＋x＋y≥2(x＋y)， 即 x＋y≤2 与已知 x＋y>2 矛盾． ∴1＋y x，1＋x y中至少有一个小于 2.
第‹#›页
第二章 2.2 2.2.2
2．反证法证题的关键是什么？
新课标A版 ·数学 ·选修2-2
答：用反证法证题的关键在于依据假设在正确的推理下得出 矛盾．这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定 义、定理、公理、事实矛盾等，但推导出的矛盾必须是明显的．
第‹#›页
第二章 2.2 2.2.2
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第二章 2.2 2.2.2
新课标A版 ·数学 ·选修2-2
【证明】 假设存在两个 x0，x0′∈(1,2)，且 x0≠x0′使得 x0＝φ(2x0)，x0′＝φ(2x0′)，则由|φ(2x0)－φ(2x0′)|≤
L|x0－x0′|，得|x0－x0′|≤L|x0－x0′|. 所以 L≥1，这与已知 L∈(0,1)矛盾． 故假设错误，原结论成立．
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第二章 2.2 2.2.2
新课标A版 ·数学 ·选修2-2
题型五 用反证法证明直接证明不易入手的问题 例 5 求证：若两条平行直线 a、b 中的一条与平面 α 相交， 则另一条也与平面 α 相交．
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第二章 推理与证明
2.2.2 反证法
精选ppt
1
温故迎新
1.直接证明的两种基本证法： 综合法和分析法
2.这两种基本证法的推证过程和特点：
综合法: 已知条件 结论 由因导果
分析法: 结论 已知条件 执果索因
3、在实际解题时，两种方法如何运用？
通常用分析法寻求思路，
再由综合法书写过程.
，“不等于……”，“不具有某种性质”等) 常用反
证法
精选ppt
11
三、典例剖析---类型三：
例3 求证： 2 是无理数。
证 ： 假 设2是 有 理 数 ，
则 存 在 互 质 的 整 数 m ， n 使 得 2=m ， n
∴ m = 2n ∴m2 =2n2
∴ m 2 是 偶 数 ， 从 而 m 必 是 偶 数 ， 故 设 m = 2 k （ k ∈ N ）
证明: 假设 2, 3, 5 能成等差数列，则
2 3 2 5
两边平方得: (2 3)2( 2 5)2
化简得: 5 2 10
两边平方得: 2540
此式显然不成立，所以假设错误
注：否定所 型以 命题2(,命题3,的5结不论可是能“成不等可差数能列……”，
“不能表示为……”，“不是……”，“不存在……”
反证法的一般步骤
分清条件和结论
先假设命题的结论不成立
从假设出发，经过推理 得出矛盾
否定假设
肯定原命题
精选ppt
15
五、巩固新知:
1、写出用“反证法”证明下列命题的 “假 设”.
(1)互补的两个角不能都大于90°.
假设互补的两个角都大于90°.
(2)△假A设BC△中AB,C最中多,至有少一有两个个钝钝角角
不小于60°
精选ppt
6
已知：∠A， ∠ B， ∠ C是△ABC的内角. 求证： ∠ A， ∠ B， ∠ C中至少有一个不小于60°
证明：假设 ABC 的三个内角∠A， ∠ B， ∠ C都小于60°， 所以∠ A < 60°，∠B < 60°， ∠C < 60°
∴ ∠A+∠B+∠C<180°
这与 三角形内角和等于180° 相矛盾.
从 而 有 4 k 2= 2 n 2 ， 即 n 2= 2 k 2 ∴n2也是偶数， 这 与 m ， n 互 质 矛 盾 ！
所 以 假 设 不 成 立 ， 2 是 有 理 数 成 立 。
精选ppt
12
练习： 已知a≠0， 证明：关于x的方程ax=b有且只有一个根。
证 ： 假 设 方 程 a x + b = 0 ( a ≠ 0 ) 至 少 存 在 两 个 根 ，
（3） “若a2≠ b2,则a ≠ b”
。 假设a=b
精选ppt
16
尝试练习
1.求证:若一个整数的平方是偶数,则这个数也是偶数.
证: 假设这个数是奇数,可以设为 2k+1,
则有 (2k1)24k24k1
而 4k2 4k 1 （k Z）不是偶数
这与原命题条件矛盾.
所以原命题成立
k Z.
肯定条件
精选ppt
把这种不是直接从原命题的条件逐步 推得命题成立的证明方法称为间接证明
注：反证法是最常见的间接证法。
精选ppt
8
二、探究反证法的证明过程
否定结论——推出矛盾——肯定结论 即分三个步骤：反设—归谬—存真
反设——假设命题的结论不成立；
归谬——从假设出发，经过一系列正确的推理，得出矛盾；
存真——由矛盾结果，断定反设不成立，从而肯定原结论成立。
不 妨 设 其 中 的 两 根 分 别 为 x 1 ， x 2 且 x 1 ≠ x 2 则 ax1=b， ax2=b∴ax1 =ax2
∴ax1-ax2 =0 ∴ a（ x1-x2） =0 x1x2 x1x20 ∴a = 0 与 已 知 a≠ 0矛 盾 ,
故 假 设 不 成 立 ， 结 论 成 立 。
∴ 假设 不能成立，所求证的结论成立.
先假设结论的反面是正确的，然后通过逻辑推理， 推出与公理、已证的定理、定义或已知条件相矛盾， 说明假设不成立，从而得到原结论正确。
这种证明方法就是-----反证法
精选ppt
7
一、探究定义
一ห้องสมุดไป่ตู้地，假设原命题不成立（即在原命题的 条件下，结论不成立），经过正确的推理，最 后得出矛盾。因此说明假设错误，从而证明了 原命题成立，这样的证明方法叫做反证法。
归缪矛盾： （1）与已知条件矛盾；
（2）与假设矛盾或自相矛盾;
（3）与已有公理、定理、定义、事实矛盾.
反证法的思维方法：正难则反
精选ppt
9
三、典例剖析---类型一：
例1: 已知直线a, b 和平面 ,如果 a,b
且a //b,求证:a//.
证明：因为a∥b，所以经过 a
直线a, b确定一个平面
精选ppt
2
路
边
苦
李
王戎7岁时,与小伙伴们外出游玩, 看到路边的李树上结满了果子.小伙 伴们纷纷去摘取果子,只有王戎站在 原地不动.伙伴问他精选pp为t 什么不去摘？3
王戎是怎么知 道李子是苦的呢? 他运用了怎样的 推理方法?
王戎回答说:“树在道边而多子, 此必苦李.”小伙伴摘取一个尝 了一下,果然是苦李.
17
六、全课总结
1、知识小结： 反证法证明的思路：假设命题的结
论不成立→正确的推理,得出矛盾→否定 假设，肯定待证明的命题
2、难点提示:
利用反证法证明命题时,一定要准
注：唯一性命题(命题的结论是“有且只有”，“只
有一个，“唯一存在”等精) 选常ppt用反证法。
13
归纳总结：
哪些命题适宜用反证法加以证明？ （1）直接证明有困难 （2）否定性命题 （3）唯一性命题 （4）至多，至少型命题
正难则反!
牛顿曾经说过：“反证法是数学家最精当的武器之一”
精选ppt
14
四、归纳步骤
精选ppt
4
王戎的推理方法是:
假设李子不苦,
则因树在“道”边,李子早就被别
人采摘而没有了,
这与“多李”产生矛盾.
所以假设不成立,李为苦李.
精选ppt
5
引例
证明：在一个三角形中至少 有一个角不小于60°.
已知：∠A， ∠ B， ∠ C是△ABC的内角. 求证： ∠ A， ∠ B， ∠ C中至少有一个
.因为 a,而 a
b
P
所以 与 是两个不同的平面.
因为 b,且b，所以b
下.面用反证法证明直线 a与平面 没有
公共点.假设直线 a与平面有公共点P,则
,即P点P是 直线ab与b的公共点,这与 矛
盾,所以 a //b .
a// 精选ppt
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三、典例剖析---类型二：
例2.证明： 2, 3, 5 不可能成等差数列
2.2.2 反证法
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1
温故迎新
1.直接证明的两种基本证法： 综合法和分析法
2.这两种基本证法的推证过程和特点：
综合法: 已知条件 结论 由因导果
分析法: 结论 已知条件 执果索因
3、在实际解题时，两种方法如何运用？
通常用分析法寻求思路，
再由综合法书写过程.
，“不等于……”，“不具有某种性质”等) 常用反
证法
精选ppt
11
三、典例剖析---类型三：
例3 求证： 2 是无理数。
证 ： 假 设2是 有 理 数 ，
则 存 在 互 质 的 整 数 m ， n 使 得 2=m ， n
∴ m = 2n ∴m2 =2n2
∴ m 2 是 偶 数 ， 从 而 m 必 是 偶 数 ， 故 设 m = 2 k （ k ∈ N ）
证明: 假设 2, 3, 5 能成等差数列，则
2 3 2 5
两边平方得: (2 3)2( 2 5)2
化简得: 5 2 10
两边平方得: 2540
此式显然不成立，所以假设错误
注：否定所 型以 命题2(,命题3,的5结不论可是能“成不等可差数能列……”，
“不能表示为……”，“不是……”，“不存在……”
反证法的一般步骤
分清条件和结论
先假设命题的结论不成立
从假设出发，经过推理 得出矛盾
否定假设
肯定原命题
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15
五、巩固新知:
1、写出用“反证法”证明下列命题的 “假 设”.
(1)互补的两个角不能都大于90°.
假设互补的两个角都大于90°.
(2)△假A设BC△中AB,C最中多,至有少一有两个个钝钝角角
不小于60°
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6
已知：∠A， ∠ B， ∠ C是△ABC的内角. 求证： ∠ A， ∠ B， ∠ C中至少有一个不小于60°
证明：假设 ABC 的三个内角∠A， ∠ B， ∠ C都小于60°， 所以∠ A < 60°，∠B < 60°， ∠C < 60°
∴ ∠A+∠B+∠C<180°
这与 三角形内角和等于180° 相矛盾.
从 而 有 4 k 2= 2 n 2 ， 即 n 2= 2 k 2 ∴n2也是偶数， 这 与 m ， n 互 质 矛 盾 ！
所 以 假 设 不 成 立 ， 2 是 有 理 数 成 立 。
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练习： 已知a≠0， 证明：关于x的方程ax=b有且只有一个根。
证 ： 假 设 方 程 a x + b = 0 ( a ≠ 0 ) 至 少 存 在 两 个 根 ，
（3） “若a2≠ b2,则a ≠ b”
。 假设a=b
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尝试练习
1.求证:若一个整数的平方是偶数,则这个数也是偶数.
证: 假设这个数是奇数,可以设为 2k+1,
则有 (2k1)24k24k1
而 4k2 4k 1 （k Z）不是偶数
这与原命题条件矛盾.
所以原命题成立
k Z.
肯定条件
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把这种不是直接从原命题的条件逐步 推得命题成立的证明方法称为间接证明
注：反证法是最常见的间接证法。
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二、探究反证法的证明过程
否定结论——推出矛盾——肯定结论 即分三个步骤：反设—归谬—存真
反设——假设命题的结论不成立；
归谬——从假设出发，经过一系列正确的推理，得出矛盾；
存真——由矛盾结果，断定反设不成立，从而肯定原结论成立。
不 妨 设 其 中 的 两 根 分 别 为 x 1 ， x 2 且 x 1 ≠ x 2 则 ax1=b， ax2=b∴ax1 =ax2
∴ax1-ax2 =0 ∴ a（ x1-x2） =0 x1x2 x1x20 ∴a = 0 与 已 知 a≠ 0矛 盾 ,
故 假 设 不 成 立 ， 结 论 成 立 。
∴ 假设 不能成立，所求证的结论成立.
先假设结论的反面是正确的，然后通过逻辑推理， 推出与公理、已证的定理、定义或已知条件相矛盾， 说明假设不成立，从而得到原结论正确。
这种证明方法就是-----反证法
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一、探究定义
一ห้องสมุดไป่ตู้地，假设原命题不成立（即在原命题的 条件下，结论不成立），经过正确的推理，最 后得出矛盾。因此说明假设错误，从而证明了 原命题成立，这样的证明方法叫做反证法。
归缪矛盾： （1）与已知条件矛盾；
（2）与假设矛盾或自相矛盾;
（3）与已有公理、定理、定义、事实矛盾.
反证法的思维方法：正难则反
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三、典例剖析---类型一：
例1: 已知直线a, b 和平面 ,如果 a,b
且a //b,求证:a//.
证明：因为a∥b，所以经过 a
直线a, b确定一个平面
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路
边
苦
李
王戎7岁时,与小伙伴们外出游玩, 看到路边的李树上结满了果子.小伙 伴们纷纷去摘取果子,只有王戎站在 原地不动.伙伴问他精选pp为t 什么不去摘？3
王戎是怎么知 道李子是苦的呢? 他运用了怎样的 推理方法?
王戎回答说:“树在道边而多子, 此必苦李.”小伙伴摘取一个尝 了一下,果然是苦李.
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六、全课总结
1、知识小结： 反证法证明的思路：假设命题的结
论不成立→正确的推理,得出矛盾→否定 假设，肯定待证明的命题
2、难点提示:
利用反证法证明命题时,一定要准
注：唯一性命题(命题的结论是“有且只有”，“只
有一个，“唯一存在”等精) 选常ppt用反证法。
13
归纳总结：
哪些命题适宜用反证法加以证明？ （1）直接证明有困难 （2）否定性命题 （3）唯一性命题 （4）至多，至少型命题
正难则反!
牛顿曾经说过：“反证法是数学家最精当的武器之一”
精选ppt
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四、归纳步骤
精选ppt
4
王戎的推理方法是:
假设李子不苦,
则因树在“道”边,李子早就被别
人采摘而没有了,
这与“多李”产生矛盾.
所以假设不成立,李为苦李.
精选ppt
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引例
证明：在一个三角形中至少 有一个角不小于60°.
已知：∠A， ∠ B， ∠ C是△ABC的内角. 求证： ∠ A， ∠ B， ∠ C中至少有一个
.因为 a,而 a
b
P
所以 与 是两个不同的平面.
因为 b,且b，所以b
下.面用反证法证明直线 a与平面 没有
公共点.假设直线 a与平面有公共点P,则
,即P点P是 直线ab与b的公共点,这与 矛
盾,所以 a //b .
a// 精选ppt
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三、典例剖析---类型二：
例2.证明： 2, 3, 5 不可能成等差数列