步步高苏教版新高考数学理科一轮复习配套练习2.3函数的奇偶性与周期性(含答案详析)
高考数学一轮复习函数的奇偶性与周期性专题训练(含答案)-word
高考数学一轮复习函数的奇偶性与周期性专题训练（含答案）若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f(x)=f(x+T) 恒成立，则f(x)叫做周期函数，下面是函数的奇偶性与周期性专题训练，请考生及时练习。
一、选择题1.设f(x)为定义在R上的奇函数.当x0时，f(x)=2x+2x+b(b 为常数)，则f(-1)等于().A.3 B.1 C.-1 D.-3解析由f(-0)=-f(0)，即f(0)=0.则b=-1，f(x)=2x+2x-1，f(-1)=-f(1)=-3.答案 D2.已知定义在R上的奇函数，f(x)满足f(x+2)=-f(x)，则f(6)的值为 ().A.-1B.0C.1D.2(构造法)构造函数f(x)=sin x，则有f(x+2)=sin=-sinx=-f(x)，所以f(x)=sin x是一个满足条件的函数，所以f(6)=sin 3=0，故选B.答案 B3.定义在R上的函数f(x)满足f(x)=f(x+2)，当x[3,5]时，f(x)=2-|x-4|，则下列不等式一定成立的是().A.ffB.f(sin 1)f(sin 2)解析当x[-1,1]时，x+4[3,5]，由f(x)=f(x+2)=f(x+4)=2-|x+4-4|=2-|x|，显然当x[-1,0]时，f(x)为增函数;当x[0,1]时，f(x)为减函数，cos=-，sin =，又f=ff，所以ff.答案 A4.已知函数f(x)=则该函数是().A.偶函数，且单调递增B.偶函数，且单调递减C.奇函数，且单调递增D.奇函数，且单调递减解析当x0时，f(-x)=2-x-1=-f(x);当x0时，f(-x)=1-2-(-x)=1-2x=-f(x).当x=0时，f(0)=0，故f(x)为奇函数，且f(x)=1-2-x在[0，+)上为增函数，f(x)=2x-1在(-，0)上为增函数，又x0时1-2-x0，x0时2x-10，故f(x)为R上的增函数.答案 C.已知f(x)是定义在R上的周期为2的周期函数，当x[0,1)时，f(x)=4x-1，则f(-5.5)的值为()A.2B.-1C.-D.1解析 f(-5.5)=f(-5.5+6)=f(0.5)=40.5-1=1.答案 .设函数D(x)=则下列结论错误的是().A.D(x)的值域为{0,1}B.D(x)是偶函数C.D(x)不是周期函数D.D(x)不是单调函数解析显然D(x)不单调，且D(x)的值域为{0,1}，因此选项A、D正确.若x是无理数，-x，x+1是无理数;若x是有理数，-x，x+1也是有理数.D(-x)=D(x)，D(x+1)=D(x).则D(x)是偶函数，D(x)为周期函数，B正确，C错误.答案 C二、填空题.若函数f(x)=x2-|x+a|为偶函数，则实数a=________.解析由题意知，函数f(x)=x2-|x+a|为偶函数，则f(1)=f(-1)，1-|1+a|=1-|-1+a|，a=0.答案 0.已知y=f(x)+x2是奇函数，且f(1)=1.若g(x)=f(x)+2，则g(-1)=________.解析因为y=f(x)+x2是奇函数，且x=1时，y=2，所以当x=-1时，y=-2，即f(-1)+(-1)2=-2，得f(-1)=-3，所以g(-1)=f(-1)+2=-1.答案 -1.设奇函数f(x)的定义域为[-5,5]，当x[0,5]时，函数y=f(x)的图象如图所示，则使函数值y0的x的取值集合为________.解析由原函数是奇函数，所以y=f(x)在[-5,5]上的图象关于坐标原点对称，由y=f(x)在[0,5]上的图象，得它在[-5,0]上的图象，如图所示.由图象知，使函数值y0的x的取值集合为(-2,0)(2,5).答案 (-2,0)(2,5) 10. 设f(x)是偶函数，且当x0时是单调函数，则满足f(2x)=f的所有x之和为________.解析 f(x)是偶函数，f(2x)=f，f(|2x|)=f，又f(x)在(0，+)上为单调函数，|2x|=，即2x=或2x=-，整理得2x2+7x-1=0或2x2+9x+1=0，设方程2x2+7x-1=0的两根为x1，x2，方程2x2+9x+1=0的两根为x3，x4.则(x1+x2)+(x3+x4)=-+=-8.-8三、解答题.已知f(x)是定义在R上的不恒为零的函数，且对任意x，y，f(x)都满足f(xy)=yf(x)+xf(y).(1)求f(1)，f(-1)的值;(2)判断函数f(x)的奇偶性.解 (1)因为对定义域内任意x，y，f(x)满足f(xy)=yf(x)+xf(y)，所以令x=y=1，得f(1)=0，令x=y=-1，得f(-1)=0.(2)令y=-1，有f(-x)=-f(x)+xf(-1)，代入f(-1)=0得f(-x)=-f(x)，所以f(x)是(-，+)上的奇函数..已知函数f(x)对任意x，yR，都有f(x+y)=f(x)+f(y)，且x0时，f(x)0，f(1)=-2.(1)求证f(x)是奇函数;(2)求f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值.(1)证明令x=y=0，知f(0)=0;再令y=-x，则f(0)=f(x)+f(-x)=0，所以f(x)为奇函数.(2)解任取x1所以f(x)max=f(-3)=6，f(x)min=f(3)=-6.已知函数f(x)是(-，+)上的奇函数，且f(x)的图象关于x=1对称，当x[0,1]时，f(x)=2x-1，(1)求证：f(x)是周期函数;(2)当x[1,2]时，求f(x)的解析式;(3)计算f(0)+f(1)+f(2)++f(2019)的值.(1)证明函数f(x)为奇函数，则f(-x)=-f(x)，函数f(x)的图象关于x=1对称，则f(2+x)=f(-x)=-f(x)，所以f(4+x)=f[(2+x)+2]=-f(2+x)=f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数.(2) 当x[1,2]时，2-x[0,1]，又f(x)的图象关于x=1对称，则f(x)=f(2-x)=22-x-1，x[1,2].(3)f(0)=0，f(1)=1，f(2)=0，f(3)=f(-1)=-f(1)=-1又f(x)是以4为周期的周期函数.f(0)+f(1)+f(2)++f(2019)=f(2 012)+f(2 013)=f(0)+f(1)=1..已知函数f(x)的定义域为R，且满足f(x+2)=-f(x).(1)求证：f(x)是周期函数;(2)若f(x)为奇函数，且当01时，f(x)=x，求使f(x)=-在[0,2 014]上的所有x的个数.(1)证明 f(x+2)=-f(x)，f(x+4)=-f(x+2)=-[-f(x)]=f(x)，f(x)是以4为周期的周期函数.(2)解当01时，f(x)=x，设-10，则01，f(-x)=(-x)=-x.f(x)是奇函数，f(-x)=-f(x)，-f(x)=-x，即f(x)=x.故f(x)=x(-11).函数的奇偶性与周期性专题训练及答案的全部内容就是这些，查字典数学网预祝考生可以取得优异的成绩。
江苏版高考数学一轮复习：专题2.3函数奇偶性巩固检测题附答案.doc
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】专题2.3 函数奇偶性班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________(满分100分，测试时间50分钟)一、填空题：请把答案直接填写在答题卡相应的位置．．．．．．．．上(共10题，每小题6分，共计60分)． 1. 【2016-2017学年度江苏苏州市高三期中调研考试】已知函数()f x 是定义在R 上的周期为2的奇函数，当01x <<时，()8xf x =，则193f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭__________． 【答案】－2 【解析】试题分析：由题意131911()()()82333f f f -=-=-=-=-．2. 【江苏省苏州市2017届高三暑假自主学习测试】定义在R 上的奇函数()f x ，当0x >时，()22x f x x =-，则()(0)1f f +-＝ ▲ ．【答案】1- 【解析】3. 【江苏省泰州中学2017届高三摸底考试】函数42sin 11xy x x =-++（x R ∈）的最大值与最小值之和为 ． 【答案】2 【解析】试题分析：因为42sin 1xy x x =++为奇函数，其最大值与最小值之和为0，因此函数42sin 11xy x x =-++（x R ∈）的最大值与最小值之和为24. 【南京市2017届高三年级学情调研】已知(),()f x g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且1()()()2xf xg x +=，若存在01[,1]2x ∈，使得等式00()(2)0af x g x +=成立，则实数a 的取值范围是 .【答案】5[22,2]2【解析】5. 【江苏省南通市如东县、徐州市丰县2017届高三10月联考】已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(4)()f x f x +=，且(0,2)x ∈时2()1f x x =+，则(7)f 的值为 ▲ ． 【答案】2- 【解析】试题分析：(4)()T 4f x f x +=⇒=,所以(7)(1)(1) 2.f f f =-=-=-6. 【泰州中学2016-2017年度第一学期第一次质量检测】已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且0x ≤时()32xf x x m =-+（m R ∈，m 为常数），则(2)f = ． 【答案】289- 【解析】 试题分析：由题意得(0)0101f m m =⇒+=⇒=-，所以(2)f =228(2)(341)9f -=--=-+-=-7.已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且f (x )－g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，则f (1)，g (0)，g (－1)之间的大小关系是______________．【答案】f (1)>g (0)>g (－1)8.已知函数f (x )对任意x ∈R 都有f (x ＋4)－f (x )＝2f (2)，若y ＝f (x －1)的图象关于直线x ＝1对称，且f (1)＝2，则f (2014)等于________. 【答案】2【解析】由于y ＝f (x －1)的图象关于直线x ＝1对称，所以y ＝f (x )的图象关于y 轴对称，即函数y ＝f (x )是偶函数．在等式f (x ＋4)－f (x )＝2f (2)中令x ＝－2得f (2)－f (－2)＝2f (2)，由此可得f (2)＝0，故f (x ＋4)＝f (x )，所以4是函数y ＝f (x )的一个周期．f (2014)＝f (1)＝2.9.已知定义在R 上的函数y ＝f (x )满足条件f （x ＋32）＝－f (x )，且函数y ＝f （x －34）为奇函数，给出以下四个命题： (1)函数f (x )是周期函数；(2)函数f (x )的图象关于点（－34，0）对称；(3)函数f (x )为R 上的偶函数； (4)函数f (x )为R 上的单调函数．其中真命题的序号为________．(写出所有真命题的序号) 【答案】(1)(2)(3)．【解析】由f （x ＋32）＝－f (x )可得f (x )＝f (x ＋3)⇒f (x )为周期函数，且T ＝3，(1)为真命题；又y ＝f （x －34）关于(0,0)对称，y ＝f （x －34）向左平移34个单位得y ＝f (x )的图象，则y ＝f (x )的图象关于点（－34，0）对称，(2)为真命题；又y ＝f （x －34）为奇函数，所以f （x －34）＝－f （－x －34），f （x －34－34）＝－f （34－x －34）＝－f (－x )，∴f （x －32）＝－f (－x )，f (x )＝f (x －3)＝－f （x －32）＝f (－x )，∴f (x )为偶函数，不可能为R 上的单调函数，(3)为真命题；(4)为假命题，故真命题为(1)(2)(3)．10.设a ＞0，f (x )＝e xa ＋ae x 是R 上的偶函数，则实数a 等于 ．【答案】1【解析】依题意，对一切x R ，有f (－x )＝f (x )，即1a e x ＋ae x＝e xa ＋a e x ，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫e x －1e x ＝0对一切x R 成立，则a －1a ＝0.∴a ＝±1.∵a ＞0，∴a ＝1.二、解答题：解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指．定区域内．．．．。
高考数学大一轮复习 2.3函数的奇偶性与周期性试题 理 苏教版-苏教版高三全册数学试题
第3讲 函数的奇偶性与周期性一、填空题1．若函数f (x )＝22x ＋1＋m 为奇函数，则实数m ＝________.解析 由题意，得f (0)＝0，所以220＋1＋m ＝0，即m ＝－1.答案 －12．设函数f (x )是奇函数且周期为3，f (－1)＝－1，则f (2 011)＝________解析 因为f (－x )＝－f (x )，f (x ＋3)＝f (x )，f (－1)＝－1，所以f (1)＝1，f (2 011)＝f (3×670＋1)＝f (1)＝1. 答案 13．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝2x－3，则f (－2)＝________. 解析∵f (x )为R 上的奇函数， ∴f (－2)＝－f (2)．又当x ＝2时，f (2)＝22－3＝1，∴f (－2)＝－1. 答案－14．设f (x )是定义在R 上的增函数，且对于任意的x 都有f (1－x )＋f (1＋x )＝0恒成立．如果实数m 、n 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧m >3，fm 2－6m ＋23＋f n 2－8n <0，那么m 2＋n 2的取值X 围是________．解析考查函数单调性及对称性，举特殊函数是解决此类问题的一个重要方法．如：f (x )＝x －1，f (x ＋1)＋f (1－x )＝0，所以f (x )的对称中心为(1,0)，∴不等式组⎩⎪⎨⎪⎧m >3，m －32＋n －42<4，由图可知OA 最小，OA ＝13，OB 最大，OB ＝7，∴m 2＋n 2∈(13,49)．答案(13,49)5．设定义在R 上的函数f (x )满足f (x )·f (x ＋2)＝13，若f (1)＝2，则f (99)＝________.解析由f (x )·f (x ＋2)＝13得f (x ＋2)＝13f x，∴f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝13f x ＋2＝f (x )．∴f (x )是以4为周期的周期函数． ∴f (99)＝f (25×4－1)＝f (－1)＝13f 1＝132. 答案1326．设奇函数f (x )的定义域为R ，最小正周期T ＝3，若f (1)≥1，f (2)＝2a －3a ＋1，则a 的取值X 围是________． 答案⎝⎛⎦⎥⎤－1，23 7．已知定义在R 上的函数y ＝f (x )满足条件f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32＝－f (x )，且函数y＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －34为奇函数，给出以下四个命题： ①函数f (x )是周期函数；②函数f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，0对称； ③函数f (x )为R 上的偶函数； ④函数f (x )为R 上的单调函数． 其中真命题的序号为________． 答案①②③8．若定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋1)＝－f (x )，且在[－1,0]上是增函数，给出下列关于f (x )的判断：①f (x )是周期函数；②f (x )关于直线x ＝1对称； ③f (x )在[0,1]上是增函数；④f (x )在[1,2]上是减函数； ⑤f (2)＝f (0)．其中正确的序号是________． 解析 ∵f (x ＋1)＝－f (x )，∴f (x )＝－f (x ＋1)＝f (x ＋1＋1)＝f (x ＋2)， ∴f (x )是周期为2的函数，①正确．又∵f (x ＋2)＝f (x )＝f (－x )，∴f (x )＝f (2－x )， ∴y ＝f (x )的图象关于x ＝1对称，②正确．又∵f (x )为偶函数且在[－1,0]上是增函数， ∴f (x )在[0,1]上是减函数．又∵对称轴为x ＝1，∴f (x )在[1,2]上为增函数，f (2)＝f (0)，故③④错误，⑤正确． 答案 ①②⑤9．已知函数f (x )＝x 2－cos x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，则满足f (x 0)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3的x 0的取值X 围为________．解析 f ′(x )＝2x ＋sin x ，在区间⎝⎛⎦⎥⎤0，π2内f ′(x )>0，∴f (x )在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2内单调递增，此时由f (x 0)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3得x 0∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π3，π2，易证f (x )是偶函数，∴x 0∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－π2，－π3也符合题意．答案 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－π2≤x ＜－π3或π3＜x ≤π2 10．已知定义在R 上的函数y ＝f (x )满足条件f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32＝－f (x )，且函数y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －34为奇函数，给出以下四个命题：①函数f (x )是周期函数；②函数f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，0对称；③函数f (x )为R 上的偶函数；④函数f (x )为R 上的单调函数．其中真命题的序号为________(写出所有真命题的序号)．解析 ①由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32＝－f (x )，得f (x ＋3)＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32＝f (x )，所以①正确．②由y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －34为奇函数，得f (x )图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫34，0对称，所以②不正确．③由f ⎝⎛⎭⎪⎫－x －34＝－f ⎝⎛⎭⎪⎫x －34，得f (x )＝－f ⎝⎛⎭⎪⎫－x －32，又f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋32＝－f (x )，所以f ⎝⎛⎭⎪⎫－x －32＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋32，所以f (x )是偶函数，③正确．由③正确知④不正确． 答案 ①③ 二、解答题11．设f (x )＝e x ＋a e －x(a ∈R ，x ∈R )． (1)讨论函数g (x )＝xf (x )的奇偶性；(2)若g (x )是偶函数，解不等式f (x 2－2)≤f (x )． 解 (1)a ＝1时，f (x )＝e x＋e －x是偶函数， 所以g (x )＝xf (x )是奇函数；a ＝－1时，f (x )＝e x －e －x 是奇函数，所以g (x )＝xf (x )是偶函数．a ≠±1，由f (x )既不是奇函数又不是偶函数，得g (x )＝xf (x )是非奇非偶函数．(2)当g (x )是偶函数时，a ＝－1，f (x )＝e x －e －x 是R 上的单调递增函数，于是由f (x 2－2)≤f (x )得x 2－2≤x ，即x 2－x －2≤0，解得－1≤x ≤2. 12.已知函数f (x )＝x 2＋a x(x ≠0，a ∈R )． (1)判断函数f (x )的奇偶性；(2)若f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数，某某数a 的取值X 围． 解 (1)当a ＝0时，f (x )＝x 2(x ≠0)为偶函数； 当a ≠0时，f (－x )≠f (x )，f (－x )≠－f (x )， ∴f (x )既不是奇函数也不是偶函数． (2)设x 2>x 1≥2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 21＋a x 1－x 22－a x 2＝x 1－x 2x 1x 2[x 1x 2(x 1＋x 2)－a ]， 由x 2>x 1≥2，得x 1x 2(x 1＋x 2)>16，x 1－x 2<0，x 1x 2>0. 要使f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数， 只需f (x 1)－f (x 2)<0，即x 1x 2(x 1＋x 2)－a >0恒成立，则a ≤16.13．定义在R 上的增函数y ＝f (x )对任意x ，y ∈R 都有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )．(1)求f (0)；(2)求证：f (x )为奇函数；(3)若f (k ·3x )＋f (3x －9x－2)<0对任意x ∈R 恒成立，某某数k 的取值X 围． 解(1)令x ＝y ＝0，得f (0＋0)＝f (0)＋f (0)，即f (0)＝0.(2)证明：令y ＝－x ，得f (x －x )＝f (x )＋f (－x )，又f (0)＝0，则有0＝f (x )＋f (－x )，即f (－x )＝－f (x )对任意x ∈R 成立， 所以f (x )是奇函数．(3)因为f (x )在R 上是增函数， 又由(2)知f (x )是奇函数．所以f (k ·3x )<－f (3x －9x －2)＝f (－3x ＋9x＋2)， 所以k ·3x <－3x ＋9x＋2，即32x－(1＋k )·3x＋2>0对任意x ∈R 成立．令t ＝3x>0，问题等价于t 2－(1＋k )t ＋2>0对任意t >0恒成立．令f (t )＝t 2－(1＋k )t ＋2，其对称轴为t ＝1＋k 2，当1＋k2<0，即k <－1时，f (0)＝2>0，符合题意； 当1＋k2≥0，即k ≥－1时，f (t )>0对任意t >0恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧1＋k 2≥0，Δ＝1＋k 2－4×2<0，解得－1≤k <－1＋2 2.综上所述，当k <－1＋22时，f (k ·3x )＋f (3x －9x－2)<0对任意x ∈R 恒成立． 14． (1)已知f (x )是R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝x 2－x －1，求f (x )的解析式；(2)设a >0，f (x )＝e xa ＋aex 是R 上的偶函数，某某数a 的值；(3)已知奇函数f (x )的定义域为[－2,2]，且在区间[－2,0]内递减，求满足f (1－m )＋f (1－m 2)<0的实数m 的取值X 围．解(1)∵f (x )是定义在R 上的奇函数， ∴f (0)＝0，当x <0时，－x >0，由已知f (－x )＝(－x )2－(－x )－1＝x 2＋x －1＝－f (x )． ∴f (x )＝－x 2－x ＋1.∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －1，x >0，0，x ＝0，－x 2－x ＋1，x <0.(2)∵f (x )是R 上的偶函数， ∴f (－x )＝f (x )在R 上恒成立． 即e－xa＋a e －x ＝exa ＋aex ， (a 2－1)(e 2x－1)＝0，对任意的x 恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＝0，a >0，解得a ＝1.(3)∵f (x )的定义域为[－2,2]，∴有⎩⎪⎨⎪⎧－2≤1－m ≤2，－2≤1－m 2≤2，解得－1≤m ≤ 3.①又f (x )为奇函数，且在[－2,0]上递减， ∴在[－2,2]上递减，∴f (1－m )<－f (1－m 2)＝f (m 2－1)⇒1－m >m 2－1，即－2<m <1.②综合①②，可知－1≤m<1.。
高考数学一轮复习 第二章 函数及其应用 2.3 函数的奇偶性、对称性与周期性练习 苏教版-苏教版高三
2.3 函数的奇偶性、对称性与周期性考点一函数奇偶性的判断1.下列函数为奇函数的是( )A.f(x)=B.f(x)=e xC.f(x)=cos xD.f(x)=e x-e-x2.已知函数f(x)=3x-,则f(x) ( )A.是奇函数,且在R上是增函数B.是偶函数,且在R上是增函数C.是奇函数,且在R上是减函数D.是偶函数,且在R上是减函数3.若函数f(x)(x∈R)是奇函数,函数g(x)(x∈R)是偶函数,则( )A.函数f(g(x))是奇函数B.函数g(f(x))是奇函数C.函数f(x)·g(x)是奇函数D.函数f(x)+g(x)是奇函数4.已知定义在R上的函数f(x),对任意的x1,x2∈R都有f(x1+x2)-f(x1)=f(x2)+5,则下列命题正确的是( )A.f(x)是奇函数B.f(x)是偶函数C.f(x)+5是奇函数D.f(x)+5是偶函数【解析】1.选D.对于A,定义域不关于原点对称,故不是奇函数;对于B, f(-x)=e-x=≠-f(x),故不是奇函数;对于C,f(-x)=cos(-x)=cos x≠-f(x),故不是奇函数;对于D,f(-x)=e-x-e x=-(e x-e-x)=-f(x),是奇函数.2.选A.因为函数f(x)的定义域为R,f(-x)=3-x-=-3x=-f(x),所以函数f(x)是奇函数.因为函数y=在R上是减函数,所以函数y=-在R上是增函数.又因为y=3x在R上是增函数,所以函数f(x)=3x-在R上是增函数.3.选C.令h(x)=f(x)·g(x),因为函数f(x)是奇函数,函数g(x)是偶函数,所以f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),所以h(-x)=f(-x)·g(-x)=-f(x)·g(x)=-h(x),所以h(x)=f(x)·g(x)是奇函数.4.选C.取x1=x2=0,得f(0+0)-f(0)=f(0)+5,所以f(0)=-5.令x1=x,x2=-x,则f[x+(-x)]-f(x)=f(-x)+5,所以f(0)-f(x)=f(-x)+5,所以f(-x)+5=-[f(x)+5],所以函数f(x)+5是奇函数.判断函数奇偶性的方法(1)定义法:利用奇、偶函数的定义或定义的等价形式:=±1(f(x)≠0)判断函数的奇偶性.(2)图象法:利用函数图象的对称性判断函数的奇偶性.(3)验证法:即判断f(x)±f(-x)是否为0.(4)性质法:在公共定义域内有:奇±奇=奇,偶±偶=偶,奇×奇=偶,偶×偶=偶,奇×偶=奇.考点二函数的周期性及应用【典例】1.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+5)=f(x),且当x∈时,f(x)=x3-3x,则f(2 018)= ( )A.2B.-18C.18D.-22.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,若对于x≥0,都有f(x+2)=-,且当x∈[0,2)时,f(x)=log2(x+1),则f(-2 017)+f(2 019)的值为( )A.0B.-4C.-2D.23. (2019·某某模拟)已知奇函数f(x)的图象关于直线x=3对称,当x∈[0,3]时,f(x)=-x,则f(-16)=________.【解题导思】序号联想解题1 由f(x+5)=f(x),想到周期函数2 由f(x+2)=-,想到周期函数3 由f(x)的图象关于直线x=3对称,想到f(x)=f(6-x) 【解析】1.选D.因为f(x)满足f(x+5)=f(x),所以f(x)是周期为5的函数,所以f(2 018)=f(403×5+3)=f(3)=f(5-2)=f(-2),因为f(x)是奇函数,且当x∈时,f(x)=x3-3x,所以f(-2)=-f(2)=-(23-3×2)=-2,故f(2 018)=-2.2.选A.当x≥0时,f(x+2)=-,所以f(x+4)=f(x),即4是f(x)(x≥0)的一个周期.所以f(-2 017)=f(2 017)=f(1)=log22=1,f(2 019)=f(3)=-=-1,所以f(-2 017)+f(2 019)=0.3.根据题意,函数f(x)的图象关于直线x=3对称,则有f(x)=f(6-x),又由函数为奇函数,则f(-x)=-f(x),则有f(x)=-f(x-6)=f(x-12),则f(x)的最小正周期是12,故f(-16)=f(-4)=-f(4)=-f(2)=-(-2)=2.答案:21.抽象函数的周期性(1)如果f(x+a)=-f(x)(a≠0),那么f(x)是周期函数,其中一个周期T=2a.(2)如果f(x+a)=(a≠0),那么f(x)是周期函数,其中的一个周期T=2a.(3)如果f(x+a)+f(x)=c(a≠0),那么f(x)是周期函数,其中的一个周期T=2a.(4)如果f(x+a)=f(x-b),则T=|a+b|.(5)如果f(x)的图象关于(a,0)对称,且关于x=b对称,则T=4|a-b|.(6)如果f(x)的图象关于(a,0)对称,且关于(b,0)对称,则T=2|a-b|.2.函数f(x)满足的关系f(a+x)=f(b-x)表明的是函数图象的对称性,函数f(x)满足的关系f(a+x)=f(b+x)(a≠b)表明的是函数的周期性,在使用这两个关系时不要混淆.1.(2020·某某模拟)定义在R上的函数f(x)的周期为π,且是奇函数,f=1,则f的值为( )A.1B.-1C.0D.2【解析】选B.因为函数f(x)的周期为π,所以f=f=f,因为f(x)为奇函数,所以 f=-f=-1.2.(2019·某某模拟)已知定义在R上的函数f(x)的周期为6,且f(x)=则f(-7)+f(8)= ( )A.11B.C.7D.【解析】选A.根据f(x)的周期是6,故f(-7)=f(-1)=-(-1)+1=4,f(8)=f(2)=f(-2)=-(-2)+1=7,所以f(-7)+f(8)=11.3.已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+4)=f(x-2).若当x∈[-3,0]时,f(x)=6-x,则f(919)=____________.【解析】因为f(x+4)=f(x-2),所以f[(x+2)+4]=f[(x+2)-2]即f(x+6)=f(x),所以f(x)是周期为6的周期函数,所以f(919)=f(153×6+1)=f(1).又f(x)是定义在R上的偶函数,所以f(1)=f(-1)=6,即f(919)=6.答案:6考点三函数性质的综合应用命题精解读考什么:(1)求函数值、解析式或参数值,奇偶性与单调性、奇偶性与周期性交汇等问题.(2)考查数学运算、数学抽象、逻辑推理等核心素养.怎么考:函数奇偶性、单调性、周期性以及对称性(奇偶性质的扩展)等知识单独或交汇考查.学霸好方法奇偶函数对称区间上的单调性:奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性.求函数值、解析式或参数值【典例】1.(2019·全国卷Ⅱ)已知f(x)是奇函数,且当x<0时,f(x)=-e ax.若f(ln2)=8,则a=________.2.设f(x)是定义在R上的奇函数,当x<0时,f(x)=2x2-x,则当x>0时,f(x)=( )A.2x2-xB.2x2+xC.-2x2-xD.-2x2+x【解析】1.因为ln2>0,所以-ln2<0,由于f(x)是奇函数,所以f(-ln2)=-f(ln2)=-8,即-e(-ln2)a=-8,解得a=-3.答案:-32.选C.当x>0时,-x<0,f(-x)=2(-x)2-(-x)=2x2+x,因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(x)=-f(-x)=-2x2-x.1.如何求奇偶函数对称区间上的解析式?提示:将待求区间上的自变量转化到已知区间上,再利用奇偶性求出.2.如何求奇偶函数对称区间上的函数值?提示:将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解.奇偶性与单调性交汇问题【典例】函数f(x)在(-∞,+∞)上单调递减,且为奇函数.若f(1)=-1,则满足-1≤f(x-2)≤1的x的取值X围是( )A.[-2,2]B.[-1,1]C.[0,4]D.[1,3]【解析】选D.由已知,得f(-1)=1,使-1≤f(x)≤1成立的x满足-1≤x≤1,所以由-1≤x-2≤1得1≤x≤3,即使-1≤f(x-2)≤1成立的x满足1≤x≤3.解决与抽象函数有关的不等式问题的关键是什么?提示:利用题设条件,想办法去掉“f”符号即可解决.奇偶性与周期性交汇问题【典例】(2018·全国卷Ⅱ)已知f(x)是定义域为(-∞,+∞)的奇函数,满足f(1-x)=f(1+x).若f(1)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)= ( )A.-50B.0C.2D.50【解析】选C.f(x)是定义域为(-∞,+∞)的奇函数,图象关于原点对称,满足f(1-x)=f(1+x), 则f(x+4)=f(1-(x+3))=f(-x-2)=-f(x+2)=-f(1-(x+1))=-f(-x)=f(x),所以f(x)是周期为4的函数.又f(1)=2,f(2)=f(1+1)=f(1-1)=f(0)=0,f(3)=f(-1)=-f(1)=-2,f(4)=f(0)=0,所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=12×0+f(1)+f(2)=2.如何求解项数较多的式子的值?提示:因为多项式个数较多,可能与函数的周期性有关,可依据题设条件,先探索函数的周期性,再去求解.1.设函数f(x)是定义在R上的奇函数,且f(x)=则g(-8)=( )A.-2B.-3C.2D.3【解析】选A.方法一:当x<0时,-x>0,且f(x)为奇函数,则f(-x)=log3(1-x),所以f(x)=-log3(1-x).因此g(x)=-log3(1-x),x<0,故g(-8)=-log39=-2.方法二:由题意知,g(-8)=f(-8)=-f(8)=-log39=-2.2.(2020·某某模拟)已知f(x)是定义在R上以3为周期的偶函数,若f(1)<1,f(5)=,则实数a的取值X围为( )A.(-1,4)B.(-2,1)C.(-1,2)D.(-1,0)【解析】选A.因为函数f(x)是定义在R上以3为周期的偶函数,所以f(5)=f(-1)=f(1),即<1,化简得(a-4)(a+1)<0,解得-1<a<4.3.设函数f(x)=为奇函数,则a=______.【解析】因为f(x)=为奇函数,所以f(1)+f(-1)=0,即+=0,所以a=-1.答案:-11.若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)+g(x)=e x,则g(x)=( )A.e x-e-xB.(e x+e-x)C.(e-x-e x)D.(e x-e-x)【解析】选D.由f(x)+g(x)=e x①,可得f(-x)+g(-x)=e-x.又f(x)为偶函数,g(x)为奇函数,可得f(x)-g(x)=e-x②,则两式相减,可得g(x)=.2.(2020·某某模拟)已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(2-x)+f(x)=0,f(0)=,则f(10)等于________.【解析】因为f(2-x)+f(x)=0,所以f(x)=-f(2-x),又f(x)为偶函数,所以f(x)=-f(x-2)=-[-f(x-2-2)]=f(x-4),故f(x)的周期T=4,f(10)=f(4×2+2)=f(2).又f(2-x)+f(x)=0,令x=0得f(2)+f(0)=0,所以f(2)=-.故f(10)=-.答案:-。
2021高考数学(江苏专用)一轮复习学案：第二章 2.3 函数的奇偶性与周期性 (含解析)
§2.3函数的奇偶性与周期性1．函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数一般地，如果对于函数f (x)的定义域内任意一个x，都有f (－x)＝f (x)，那么函数f (x)就叫做偶函数关于y轴对称奇函数一般地，如果对于函数f (x)的定义域内任意一个x，都有f (－x)＝－f (x)，那么函数f (x)就叫做奇函数关于原点对称2.周期性(1)周期函数：对于函数y＝f (x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f (x＋T)＝f (x)，那么就称函数y＝f (x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f (x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x)的最小正周期．概念方法微思考1．如果函数f (x)是奇函数或偶函数，则f (x)的定义域关于原点对称．2．已知函数f (x)满足下列条件，你能否得到函数f (x)的周期？(1)f (x＋a)＝－f (x)(a≠0)．(2)f (x＋a)＝1f(x)(a≠0)．(3)f (x＋a)＝f (x＋b)(a≠b)．提示(1)T＝2|a|；(2)T＝2|a|；(3)T＝|a－b|.3．若f (x)对于定义域中任意x，均有f (x)＝f (2a－x)，或f (a＋x)＝f (a－x)，则函数f (x)关于直线x＝a对称．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数y ＝x 2，x ∈(0，＋∞)是偶函数．( × )(2)如果函数f (x )，g (x )为定义域相同的偶函数，则F (x )＝f (x )＋g (x )是偶函数．( √ ) (3)若函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，则函数y ＝f (x )关于直线x ＝a 对称．( √ ) (4)若T 是函数的一个周期，则nT (n ∈Z ，n ≠0)也是函数的周期．( √ )题组二 教材改编2．下列函数中为奇函数的是________．(填序号) ①f (x )＝2x 4＋3x 2； ②f (x )＝x 3－2x ； ③f (x )＝x 2＋1x ；④f (x )＝x 3＋1. 答案 ②③3．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝x (1＋x )，则f (－1)＝________. 答案 －2解析 f (1)＝1×2＝2，又f (x )为奇函数， ∴f (－1)＝－f (1)＝－2.4.设奇函数f (x )的定义域为[－5,5]，若当x ∈[0,5]时，f (x )的图象如图所示，则不等式f (x )<0的解集为________．答案 (－2,0)∪(2,5]解析 由图象可知，当0<x <2时，f (x )>0；当2<x ≤5时，f (x )<0，又f (x )是奇函数，∴当－2<x <0时，f (x )<0，当－5≤x <－2时，f (x )>0. 综上，f (x )<0的解集为(－2,0)∪(2,5]． 题组三 易错自纠5．函数f (x )＝lg (1－x 2)|x ＋3|－3是________函数．(填“奇”“偶”“非奇非偶”)答案 奇解析 由⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2>0，|x ＋3|－3≠0，得－1<x <0或0<x <1，即f (x )的定义域为(－1,0)∪(0,1)，∴f (x )＝lg (1－x 2)x ，∴f (－x )＝lg (1－x 2)－x ＝－f (x )，∴f (x )为奇函数．6．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋3)＝f (x )，且当x ∈⎣⎡⎭⎫0，32时，f (x )＝－x 3，则f ⎝⎛⎭⎫112＝________. 答案 18解析 由f (x ＋3)＝f (x )知函数f (x )的周期为3， 又函数f (x )为奇函数，所以f ⎝⎛⎭⎫112＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝－f ⎝⎛⎭⎫12＝⎝⎛⎭⎫123＝18. 7．若函数f (x )＝x(x ＋2)(x －a )为奇函数，则实数a 的值为________，且当x ≥4时，f (x )的最大值为________． 答案 2 13解析 由f (x )为奇函数易知a ＝2，当x ≥4时，f (x )＝1x －4x 在[4，＋∞)上单调递减，∴当x ＝4时，f (x )max ＝13.函数的奇偶性命题点1 判断函数的奇偶性例1 (2020·日照模拟)判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝x 3＋x ，x ∈[－1,4]； (2)f (x )＝ln2－x2＋x；(3)f (x )＝1a x －1＋12(a >0，且a ≠1)； (4)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x <0，－x 2＋x ，x >0.解 (1)∵f (x )＝x 3＋x ，x ∈[－1,4]的定义域不关于原点对称，∴f (x )既不是奇函数也不是偶函数． (2)f (x )的定义域为(－2,2)，f (－x )＝ln 2＋x 2－x ＝－ln 2－x2＋x ＝－f (x )，∴函数f (x )为奇函数．(3)∵f (x )的定义域为{x |x ∈R ，且x ≠0}， 其定义域关于原点对称，并且有 f (－x )＝1a －x －1＋12＝11a x －1＋12＝a x 1－a x ＋12＝－(1－a x )－11－a x ＋12＝－1＋11－a x ＋12＝－⎝⎛⎭⎫1a x －1＋12＝－f (x )．即f (－x )＝－f (x )，∴f (x )为奇函数．(4)显然函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称． ∵当x <0时，－x >0，则f (－x )＝－(－x )2－x ＝－x 2－x ＝－f (x )； 当x >0时，－x <0，则f (－x )＝(－x )2－x ＝x 2－x ＝－f (x )；综上可知，对于定义域内的任意x ，总有f (－x )＝－f (x )， ∴函数f (x )为奇函数．命题点2 函数奇偶性的应用例2 (1)(2018·全国Ⅲ)已知函数f (x )＝ln(1＋x 2－x )＋1，f (a )＝4，则f (－a )＝________. 答案 －2解析 ∵f (x )＋f (－x )＝ln(1＋x 2－x )＋1＋ln(1＋x 2＋x )＋1＝ln(1＋x 2－x 2)＋2＝2， ∴f (a )＋f (－a )＝2，∴f (－a )＝－2.(2)已知函数f (x )＝a sin x ＋b 3x ＋4，若f (lg 3)＝3，则f ⎝⎛⎭⎫lg 13＝________.答案 5解析 由f (lg 3)＝a sin(lg 3)＋b 3lg 3＋4＝3得a sin(lg 3)＋b 3lg 3＝－1，而f ⎝⎛⎭⎫lg 13＝f (－lg 3)＝－a sin(lg 3)－b 3lg 3＋4＝－[a sin(lg 3)＋b 3lg 3]＋4＝1＋4＝5.命题点3 函数的对称性例3 已知函数f (x )的定义域为R ，当x ∈[－2,2]时，f (x )单调递减，且函数y ＝f (x ＋2)为偶函数，则下列结论正确的是( ) A ．f (π)<f (3)<f (2) B ．f (π)<f (2)<f (3) C ．f (2)<f (3)<f (π) D ．f (2)<f (π)<f (3) 答案 C解析 ∵y ＝f (x ＋2)为偶函数， ∴f (－x ＋2)＝f (x ＋2)， ∴f (3)＝f (1)，f (π)＝f (4－π)． ∵0<4－π<1<2，当x ∈[－2,2]时，f (x )单调递减， ∴f (4－π)>f (1)>f (2)， ∴f (2)<f (3)<f (π)，故选C.思维升华 (1)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．(2)利用函数的奇偶性可画出函数在另一对称区间上的图象，确定函数在另一区间上的解析式，解决某些求值或参数问题．(3)由函数奇偶性延伸可得到一些对称性结论，如函数f (x ＋a )为偶函数(奇函数)，则y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称(关于点(a,0)对称)．跟踪训练1 (1)(2019·黄冈模拟)下列函数中，既不是奇函数也不是偶函数的是( ) A ．f (x )＝x ＋sin 2x B ．f (x )＝x 2－cos x C ．f (x )＝3x －13xD ．f (x )＝x 2＋tan x答案 D解析 对于选项A ，函数的定义域为R ，f (－x )＝－x ＋sin 2(－x )＝－(x ＋sin 2x )＝－f (x )，所以f (x )＝x ＋sin 2x 为奇函数；对于选项B ，函数的定义域为R ，f (－x )＝(－x )2－cos(－x )＝x 2－cos x ＝f (x )，所以f (x )＝x 2－cos x 为偶函数；对于选项C ，函数的定义域为R ，f (－x )＝3－x －13－x ＝－⎝⎛⎭⎫3x －13x ＝－f (x )，所以f (x )＝3x －13x 为奇函数；只有f (x )＝x 2＋tan x 既不是奇函数也不是偶函数．故选D.(2)设f (x )＝e x ＋e －x ，g (x )＝e x －e －x ，f (x )，g (x )的定义域均为R ，下列结论错误的是( ) A ．|g (x )|是偶函数 B ．f (x )g (x )是奇函数 C ．f (x )|g (x )|是偶函数 D ．f (x )＋g (x )是奇函数答案 D解析 f (－x )＝e －x ＋e x ＝f (x )，f (x )为偶函数． g (－x )＝e －x －e x ＝－g (x )，g (x )为奇函数．|g (－x )|＝|－g (x )|＝|g (x )|，|g (x )|为偶函数，A 正确； f (－x )g (－x )＝f (x )[－g (x )]＝－f (x )g (x )， 所以f (x )g (x )为奇函数，B 正确； f (－x )|g (－x )|＝f (x )|g (x )|， 所以f (x )|g (x )|是偶函数，C 正确； f (x )＋g (x )＝2e x ，f (－x )＋g (－x )＝2e －x ≠－[f (x )＋g (x )]， 所以f (x )＋g (x )不是奇函数，D 错误，故选D.(3)设函数f (x )在[1，＋∞)上为增函数，f (3)＝0，且g (x )＝f (x ＋1)为偶函数，则不等式g (2－2x )<0的解集为________． 答案 (0,2)解析 由已知g (x )在[0，＋∞)上为增函数，g (2)＝0， 又g (x )为偶函数，∴g (2－2x )<0可化为g (2－2x )<g (2)， ∴|2－2x |<2，∴－2<2x －2<2，解得0<x <2.函数的周期性1．设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1,1)时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x 2＋2，－1≤x <0，x ，0≤x <1，则f ⎝⎛⎭⎫32＝______. 答案 1解析 f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝－4×⎝⎛⎭⎫－122＋2＝1. 2．已知定义在R 上的函数f (x )满足f (2)＝2－3，且对任意的x 都有f (x ＋2)＝1－f (x )，则f (2 020)＝________. 答案 －2－ 3解析 由f (x ＋2)＝1－f (x )，得f (x ＋4)＝1－f (x ＋2)＝f (x )，所以函数f (x )的周期为4，所以f (2 020)＝f (4)．因为f (2＋2)＝1－f (2)，所以f (4)＝－1f (2)＝－12－3＝－2－ 3.故f (2 020)＝－2－ 3.3．(2019·石家庄模拟)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且满足f (x )＝f (2－x )，当x ∈[0,1]时，f (x )＝4x －1，则f ⎝⎛⎭⎫52＝________. 答案 －1解析 因为f (x )＝f (2－x )，所以f ⎝⎛⎭⎫52＝f ⎝⎛⎭⎫－12， 又f (x )是定义在R 上的奇函数， 所以f ⎝⎛⎭⎫52＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝－f ⎝⎛⎭⎫12.因为当x ∈[0,1]时，f (x )＝4x －1， 所以f ⎝⎛⎭⎫12＝124－1＝1，则f ⎝⎛⎭⎫52＝－1. 4．设定义在R 上的函数f (x )同时满足以下条件：①f (x )＋f (－x )＝0；②f (x )＝f (x ＋2)；③当0≤x <1时，f (x )＝2x －1，则f ⎝⎛⎭⎫12＋f (1)＋f ⎝⎛⎭⎫32＋f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫52＝________. 答案2－1解析 依题意知：函数f (x )为奇函数且周期为2， 则f (1)＋f (－1)＝0，f (－1)＝f (1)，即f (1)＝0. ∴f ⎝⎛⎭⎫12＋f (1)＋f ⎝⎛⎭⎫32＋f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫52 ＝f ⎝⎛⎭⎫12＋0＋f ⎝⎛⎭⎫－12＋f (0)＋f ⎝⎛⎭⎫12 ＝f ⎝⎛⎭⎫12－f ⎝⎛⎭⎫12＋f (0)＋f ⎝⎛⎭⎫12 ＝f ⎝⎛⎭⎫12＋f (0)＝122－1＋20－1＝2－1. 思维升华 利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题．函数性质的综合应用命题点1 函数的奇偶性与单调性相结合例4 (2017·全国Ⅰ改编)函数f (x )在(－∞，＋∞)上单调递减，且为奇函数．若f (1)＝－1，则满足－1≤f (x －2)≤1的x 的取值范围是________． 答案 [1,3]解析 因为函数f (x )在(－∞，＋∞)上单调递减，且f (1)＝－1，所以f (－1)＝－f (1)＝1，由－1≤f (x －2)≤1，得－1≤x －2≤1，所以1≤x ≤3.命题点2 函数的奇偶性与周期性相结合例5 设 f (x )是定义在R 上周期为4的奇函数，若在区间[－2,0)∪(0,2]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ，－2≤x <0，ax －1，0<x ≤2，则f (2 019)＝________. 答案 12解析 设0<x ≤2，则－2≤－x <0，f (－x )＝－ax ＋b .因为f (x )是定义在R 上周期为4的奇函数，所以f (－x )＝－f (x )＝－ax ＋1＝－ax ＋b ，所以b ＝1.而f (－2)＝f (2)，所以－2a ＋1＝2a －1，解得a ＝12，所以f (2 019)＝f (－1)＝－1×12＋1＝12.命题点3 函数的奇偶性与对称性相结合例6 已知定义在R 上的函数f (x )，对任意实数x 有f (x ＋4)＝－f (x )，若函数f (x －1)的图象关于直线x ＝1对称，f (－2)＝2，则f (2 018)＝________.答案 2解析 由函数y ＝f (x －1)的图象关于直线x ＝1对称可知，函数f (x )的图象关于y 轴对称，故f (x )为偶函数．由f (x ＋4)＝－f (x )，得f (x ＋4＋4)＝－f (x ＋4)＝f (x )，所以f (x )是周期T ＝8的偶函数，所以f (2 018)＝f (2＋252×8)＝f (2)＝2.命题点4 函数的周期性与对称性相结合例7 已知f (x )的定义域为R ，其函数图象关于x ＝－1对称，且f (x ＋4)＝f (x －2)．若当x ∈[－4，－1]时，f (x )＝6－x ，则f (919)＝________.答案 216解析 由f (x ＋4)＝f (x －2)，得f (x ＋6)＝f (x )．故f (x )是周期为6的函数．所以f (919)＝f (6×153＋1)＝f (1)．因为f (x )的图象关于x ＝－1对称，所以f (1)＝f (－3)．又x ∈[－4，－1]时，f (x )＝6－x ，所以f (－3)＝6－(－3)＝216.从而f (1)＝216，故f (919)＝216.思维升华 函数的奇偶性、对称性、周期性和单调性是函数的四大性质，在高考中常常将它们综合在一起命题，解题时，往往需要借助函数的奇偶性、对称性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题．跟踪训练2 (1)定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝f (－x )，且f (x )＝f (x ＋6)，当x ∈[0,3]时，f (x )单调递增，则f (x )在下列哪个区间上单调递减( )A ．[3,7]B ．[4,5]C ．[5,8]D ．[6,10]答案 B解析 依题意知，f (x )是偶函数，且是以6为周期的周期函数．因为当x ∈[0,3]时，f (x )单调递增，所以f (x )在[－3,0]上单调递减．根据函数周期性知，函数f (x )在[3,6]上单调递减．又因为[4,5]⊆[3,6]，所以函数f (x )在[4,5]上单调递减．(2)(2018·全国Ⅱ)已知f (x )是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f (1－x )＝f (1＋x )．若f (1)＝2，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)等于( )A ．－50B ．0C ．2D ．50答案 C解析 ∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，∴f (1－x )＝－f (x －1)．∵f (1－x )＝f (1＋x )，∴－f (x －1)＝f (x ＋1)，∴f (x ＋2)＝－f (x )，∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝－[－f (x )]＝f (x )，∴函数f (x )是周期为4的周期函数．由f (x )为奇函数且定义域为R 得f (0)＝0，又∵f (1－x )＝f (1＋x )，∴f (x )的图象关于直线x ＝1对称，∴f (2)＝f (0)＝0，∴f (－2)＝0.又f (1)＝2，∴f (－1)＝－2，∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝f (1)＋f (2)＋f (－1)＋f (0)＝2＋0－2＋0＝0，∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋…＋f (49)＋f (50)＝0×12＋f (49)＋f (50)＝f (1)＋f (2)＝2＋0＝2.故选C.(3)(多选)已知函数y ＝f (x )是R 上的奇函数，对任意x ∈R ，都有f (2－x )＝f (x )＋f (2)成立，当x 1，x 2∈[0,1]，且x 1≠x 2时，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0，则下列结论正确的有( ) A ．f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 020)＝0B ．直线x ＝－5是函数y ＝f (x )图象的一条对称轴C ．函数y ＝f (x )在[－7,7]上有5个零点D ．函数y ＝f (x )在[－7，－5]上为减函数答案 ABD解析 根据题意，函数y ＝f (x )是R 上的奇函数，则f (0)＝0；对任意x ∈R ，都有f (2－x )＝f (x )＋f (2)成立，当x ＝2时，有f (0)＝2f (2)＝0，则有f (2)＝0，则有f (2－x )＝f (x )，即x ＝1是函数f (x )的一条对称轴；又由f (x )为奇函数，则f (2－x )＝－f (－x )，变形可得f (x ＋2)＝－f (x )，则有f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，故函数f (x )是周期为4的周期函数，当x 1，x 2∈[0,1]，且x 1≠x 2时，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0，则函数f (x )在区间[0,1]上为增函数， 又由y ＝f (x )是R 上的奇函数，则f (x )在区间[－1,1]上为增函数；据此分析选项：对于A ，f (x ＋2)＝－f (x )，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝[f (1)＋f (3)]＋[f (2)＋f (4)]＝0， f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 020)＝505×[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)]＝0，A 正确；对于B ，x ＝1是函数f (x )的一条对称轴，且函数f (x )是周期为4的周期函数，则x ＝5是函数f (x )的一条对称轴，又由函数为奇函数，则直线x ＝－5是函数y ＝f (x )图象的一条对称轴，B 正确；对于C ，函数y ＝f (x )在[－7,7]上有7个零点：分别为－6，－4，－2,0,2,4,6，C 错误；对于D ，f (x )在区间[－1,1]上为增函数且其周期为4，函数y ＝f (x )在[－5，－3]上为增函数， 又由x ＝－5为函数f (x )图象的一条对称轴，则函数y ＝f (x )在[－7，－5]上为减函数，D 正确．。
(江苏专用)2021新高考数学一轮复习第二章函数2.3函数的奇偶性与周期性练习
2.3 函数的奇偶性与周期性1．(2020·宁德模拟)下列函数中，既是偶函数，又在(0，＋∞)上单调递增的函数是( ) A ．y ＝x 3B ．y ＝|x |＋1C ．y ＝－x 2＋1D ．y ＝2－|x |答案 B解析 y ＝|x |＋1是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增，符合题意． 2．已知y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是( ) ①y ＝f (|x |)；②y ＝f (－x )；③y ＝xf (x )； ④y ＝f (x )＋x .A ．①③ B．②③ C．①④ D．②④ 答案 D解析 由奇函数的定义f (－x )＝－f (x )验证， ①f (|－x |)＝f (|x |)，为偶函数；②f [－(－x )]＝f (x )＝－f (－x )，为奇函数； ③－xf (－x )＝－x ·[－f (x )]＝xf (x )，为偶函数； ④f (－x )＋(－x )＝－[f (x )＋x ]，为奇函数． 可知②④正确，故选D.3．已知函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0<x <1时，f (x )＝4x，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (1)等于( ) A ．－2 B ．0 C ．2 D ．1 答案 A解析 ∵函数f (x )为定义在R 上的奇函数，且周期为2， ∴f (1)＝－f (－1)＝－f (－1＋2)＝－f (1)， ∴f (1)＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12-4＝－2， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (1)＝－2. 4．已知f (x )为奇函数，当x >0时，f (x )＝x (1＋x )，那么当x <0时，f (x )等于( )A ．－x (1－x )B ．x (1－x )C ．－x (1＋x )D ．x (1＋x )答案 B解析 当x <0时，则－x >0，∴f (－x )＝(－x )(1－x )，又f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝x (1－x )．5．(2019·山东临沂一中月考)已知定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝－f (x )，f (3－x )＝f (x )，则f (2 019)等于( )A ．－3B ．0C ．1D ．3 答案 B解析 用－x 替代x ，得到f (x ＋3)＝f (－x )＝－f (x )， ∴T ＝6，∴f (2 019)＝f (336×6＋3)＝f (3)． ∵f (3－x )＝f (x )，∴f (3)＝f (0)＝0.6．已知定义域为R 的偶函数 f (x )在(－∞，0]上是减函数，且 f (1)＝2，则不等式f (log 2x )>2的解集为( )A ．(2，＋∞) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22∪(2，＋∞) D ．(2，＋∞)答案 B解析 因为f (x )是R 上的偶函数，且在(－∞，0]上是减函数，所以f (x )在[0，＋∞)上是增函数，所以f (log 2x )>2＝f (1)⇔f (|log 2x |)>f (1)⇔|log 2x |>1⇔log 2x >1或log 2x <－1⇔x >2或0<x <12.7．(多选)已知f (x )是定义域为R 的奇函数，且函数f (x ＋2)为偶函数，则下列结论正确的是( )A ．函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称B ．f (4)＝0C ．f (x ＋8)＝f (x )D ．若f (－5)＝－1，则f (2 019)＝－1 答案 BCD解析 根据题意，f (x )是定义域为R 的奇函数， 则f (－x )＝－f (x )， 又由函数f (x ＋2)为偶函数，则函数f (x )的图象关于直线x ＝2对称， 则有f (－x )＝f (4＋x )，则有f (x ＋4)＝－f (x )， 即f (x ＋8)＝－f (x ＋4)＝f (x )， 则函数f (x )是周期为8的周期函数； 据此分析选项：对于A ，函数f (x )的图象关于直线x ＝2对称，A 错误；对于B ，f (x )是定义域为R 的奇函数，则f (0)＝0，又由函数f (x )的图象关于直线x ＝2对称，则f (4)＝0，B 正确；对于C ，函数f (x )是周期为8的周期函数，即f (x ＋8)＝f (x )，C 正确；对于D ，若f (－5)＝－1，则f (2 019)＝f (－5＋2 024)＝f (－5)＝－1，D 正确． 8．(多选)已知函数f (x )对∀x ∈R ，都有f (－2－x )＝f (x )，且任取x 1，x 2∈[－1，＋∞)，f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1＜0(x 1≠x 2)，以下结论中正确的是( )A ．f (0)＞f (－3)B ．∀x ∈R ，f (x )≤f (－1)C ．f (a 2－a ＋1)≥f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34D ．若f (m )＜f (2)，则－4＜m ＜2 答案 AB解析 根据题意，函数f (x )对∀x ∈R ，都有f (－2－x )＝f (x )， 则函数f (x )的图象关于直线x ＝－1对称， 又由任取x 1，x 2∈[－1，＋∞)，f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1＜0(x 1≠x 2)，则f (x )在区间[－1，＋∞)上为减函数， 则f (x )在(－∞，－1]上为增函数； 据此分析选项：对于A ，f (－3)＝f (1)，则有f (0)＞f (1)＝f (－3)，A 正确；对于B ，f (x )在区间[－1，＋∞)上为减函数，在(－∞，－1]上为增函数，故f (x )在x ＝－1时，取得最大值，即有∀x ∈R ，f (x )≤f (－1)，B 正确；对于C ，f (x )在区间[－1，＋∞)上为减函数，又由a 2－a ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋34≥34，则f (a 2－a＋1)≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34，C 错误； 对于D ，若f (m )＜f (2)，则有|m ＋1|＞3，解得m ＜－4或m ＞2，D 错误．9．已知y ＝f (x )＋x 2是奇函数，且f (1)＝1，若g (x )＝f (x )＋2，则g (－1)＝________. 答案 －1解析 令H (x )＝f (x )＋x 2，则H (1)＋H (－1)＝f (－1)＋1＋f (1)＋1＝0，∴f (－1)＝－3， ∴g (－1)＝f (－1)＋2＝－1.10．(2019·广东六校联考)定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋1)＝f (x －1)，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋a ，－1≤x <0，|2－x |，0≤x <1，其中a ∈R ，若f (－5)＝f (4.5)，则a ＝________.答案 2.5解析 由f (x ＋1)＝f (x －1)，得f (x ＋2)＝f [(x ＋1)＋1]＝f [(x ＋1)－1]＝f (x )， 所以f (x )是周期为2的周期函数．又f (－5)＝f (4.5)，所以f (－1)＝f (0.5)， 即－1＋a ＝1.5，解得a ＝2.5. 11．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x >0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x <0是奇函数．(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围． 解 (1)设x <0，则－x >0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x . 又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )， 于是x <0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，所以m ＝2.(2)要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增，结合f (x )的图象(如图所示)知⎩⎪⎨⎪⎧a －2>－1，a －2≤1，所以1<a ≤3，故实数a 的取值范围是(1,3]．12．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有f (x ＋2)＝－f (x )．当x ∈[0,2]时，f (x )＝2x －x 2.(1)求证：f (x )是周期函数；(2)当x ∈[2,4]时，求f (x )的解析式． (1)证明 ∵f (x ＋2)＝－f (x )，∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )． ∴f (x )是周期为4的周期函数．(2)解 ∵x ∈[2,4]，∴－x ∈[－4，－2]， ∴4－x ∈[0,2]，∴f (4－x )＝2(4－x )－(4－x )2＝－x 2＋6x －8. ∵f (4－x )＝f (－x )＝－f (x )， ∴－f (x )＝－x 2＋6x －8，即当x ∈[2,4]时，f (x )＝x 2－6x ＋8.13．若定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x )>0，f (x ＋2)＝1f (x )对任意x ∈R 恒成立，则f (2 023)＝________. 答案 1解析 因为f (x )>0，f (x ＋2)＝1f (x )， 所以f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2] ＝1f (x ＋2)＝11f (x )＝f (x )，即函数f (x )的周期是4，所以f (2 023)＝f (506×4－1)＝f (－1)． 因为函数f (x )为偶函数， 所以f (2 023)＝f (－1)＝f (1)． 当x ＝－1时，f (－1＋2)＝1f (－1)，得f (1)＝1f (1).由f (x )>0，得f (1)＝1，所以f (2 023)＝f (1)＝1.14．(2020·湖北鄂州三校联考)若函数f (x －2)为奇函数，f (－2)＝0，且f (x )在区间[－2，＋∞)上单调递减，则不等式f (3－x )>0的解集为________． 答案 (5，＋∞)解析 因为函数f (x －2)为奇函数，所以f (x －2)图象的对称中心为点(0,0)．因为f (x )的图象可由f (x －2)的图象向左平移两个单位长度而得，所以f (x )的图象关于点(－2,0)对称．因为f (x )在[－2，＋∞)上单调递减，所以f (x )在(－∞，－2]上也单调递减． 因为f (3－x )>0＝f (－2)，所以3－x <－2， 解得x>5.15．(2019·河北保定两校联考)对于函数y ＝f (x )，若存在x 0，使f (x 0)＋f (－x 0)＝0，则称点(x 0，f(x 0))是曲线f (x )的“优美点”．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，x <0，kx ＋2，x ≥0，若曲线f (x )存在“优美点”，则实数k 的取值范围为________． 答案 (－∞，2－22]解析 由“优美点”的定义，可知若点(x 0，f (x 0))是曲线y ＝f (x )的“优美点”，则点(－x 0，－f (x 0))也在曲线y ＝f (x )上．如图所示作出函数y ＝x 2＋2x (x <0)的图象，然后作出其关于原点对称的图象，此图象对应的函数解析式为y ＝－x 2＋2x (x >0)．设过定点(0,2)的直线y ＝k 1x ＋2与曲线y ＝f (x )＝－x 2＋2x (x >0)切于点A (x 1，f (x 1))， 则k 1＝－2x 1＋2＝－x 21＋2x 1－2x 1－0，解得x 1＝2或x 1＝－2(舍去)， 所以k 1＝－22＋2.由图可知，若曲线y ＝f (x )存在“优美点”，则k ≤2－2 2.16．若f (x )是定义在(－1,1)上的奇函数，且当x ∈[0,1)时f (x )为增函数，求不等式f (x )＋f ⎝⎛⎭⎪⎫x －12<0的解集．解 ∵f (x )为奇函数，且在[0,1)上为增函数， ∴f (x )在(－1,0)上也是增函数． ∴f (x )在(－1,1)上为增函数．f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12<0⇔f (x )<－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ⇔⎩⎪⎨⎪⎧－1<x <1，－1<12－x <1，x <12－x⇔－12<x <14.∴不等式f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12<0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－12<x <14.。
高考数学(理科)一轮复习函数的奇偶性与周期性学案附答案
高考数学（理科）一轮复习函数的奇偶性与周期性学案附答案本资料为woRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址学案6 函数的奇偶性与周期性导学目标：1.了解函数奇偶性、周期性的含义.2.会判断奇偶性，会求函数的周期.3.会做有关函数单调性、奇偶性、周期性的综合问题．自主梳理．函数奇偶性的定义如果对于函数f定义域内任意一个x，都有______________，则称f为奇函数；如果对于函数f定义域内任意一个x，都有____________，则称f为偶函数．2．奇偶函数的性质f为奇函数⇔f＝－f⇔f＋f＝____；f为偶函数⇔f＝f＝f⇔f－f＝____.f是偶函数⇔f的图象关于____轴对称；f是奇函数⇔f的图象关于________对称．奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性；偶函数在对称的单调区间内有________的单调性．3．函数的周期性定义：如果存在一个非零常数T，使得对于函数定义域内的任意x，都有f＝________，则称f为________函数，其中T称作f的周期．若T存在一个最小的正数，则称它为f的________________．性质：①f＝f常常写作f＝f．②如果T是函数y＝f的周期，则kT也是y＝f的周期，即f＝f．③若对于函数f的定义域内任一个自变量的值x都有f ＝－f或f＝1fx或f＝－1fx，则f是以______为一个周期的周期函数．自我检测．已知函数f＝x2＋x＋为偶函数，则m的值是A．1B．2c．3D．42．如果奇函数f在区间[3,7]上是增函数且最大值为5，那么f在区间[－7，－3]上是A．增函数且最小值是－5B．增函数且最大值是－5c．减函数且最大值是－5D．减函数且最小值是－53．函数y＝x－1x的图象A．关于原点对称B．关于直线y＝－x对称c．关于y轴对称D．关于直线y＝x对称4．已知函数f是上的偶函数，若对于x≥0，都有f＝f，且当x∈[0,2)时，f＝log2，则f＋f的值为A．－2B．－1c．1D．25．设函数f＝x＋1x＋ax为奇函数，则a＝________.探究点一函数奇偶性的判定例1 判断下列函数的奇偶性．f＝1－x1＋x；f＝x；f＝log2；f＝x2＋x，x<0，－x2＋x，x>0.变式迁移1 判断下列函数的奇偶性．f＝x2－x3；f＝x2－1＋1－x2；f＝4－x2|x＋3|－3.探究点二函数单调性与奇偶性的综合应用例2 函数y＝f是奇函数，且当x∈时是增函数，若f ＝0，求不等式f[x]<0的解集．变式迁移2 已知函数f＝x3＋x，对任意的m∈[－2,2]，f＋f<0恒成立，则x的取值范围为________．探究点三函数性质的综合应用例3 已知定义在R上的奇函数f，满足f＝－f，且在区间[0,2]上是增函数，若方程f＝m，在区间[－8,8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＋x3＋x4＝________.变式迁移3 定义在R上的函数f是偶函数，且f＝f．若f在区间[1,2]上是减函数，则fA．在区间[－2，－1]上是增函数，在区间[3,4]上是增函数B．在区间[－2，－1]上是增函数，在区间[3,4]上是减函数c．在区间[－2，－1]上是减函数，在区间[3,4]上是增函数D．在区间[－2，－1]上是减函数，在区间[3,4]上是减函数转化与化归思想的应用例函数f的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D，有f＝f＋f．求f的值；判断f的奇偶性并证明你的结论；如果f＝1，f＋f≤3，且f在上是增函数，求x的取值范围．【答题模板】解∵对于任意x1，x2∈D，有f＝f＋f，∴令x1＝x2＝1，得f＝2f，∴f＝0.[2分]令x1＝x2＝－1，有f＝f＋f，∴f＝12f＝0.[4分]令x1＝－1，x2＝x有f＝f＋f，∴f＝f，∴f为偶函数．[6分]依题设有f＝f＋f＝2，f＝f＋f＝3，[7分]∵f＋f≤3，即f)≤f[8分]∵f为偶函数，∴f≤f．[10分]又∵f在上是增函数，f的定义域为D.∴0<||≤64.[11分]解上式，得3<x≤5或－73≤x<－13或－13<x<3.∴x的取值范围为{x|－73≤x<－13或－13<x<3或3<x≤5}．[12分]【突破思维障碍】在中，通过变换已知条件，能变形出f)≤f的形式，但思维障碍在于f在上是增函数，g是否大于0不可而知，这样就无法脱掉“f”，若能结合中f是偶函数的结论，则有f)＝f|)，又若能注意到f的定义域为{x|x≠0}，这才能有|g|>0，从而得出0<|g|≤a，解之得x的范围．【易错点剖析】在中，由f•|)≤f脱掉“f”的过程中，如果思维不缜密，不能及时回顾已知条件中函数的定义域中{x|x≠0}，易出现0≤||≤64，导致结果错误．．正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：①定义域在数轴上关于原点对称是函数f为奇函数或偶函数的必要非充分条件；②f＝－f或f＝f是定义域上的恒等式．2．奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据．为了便于判断函数的奇偶性，有时需要先将函数进行化简，或应用定义的等价形式：f＝±f⇔f±f＝0⇔f－xfx＝±1≠0)．3．奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称，反之也真．利用这一性质可简化一些函数图象的画法，也可以利用它判断函数的奇偶性．4．关于函数周期性常用的结论：对于函数f，若有f＝－f或f＝1fx或f＝－1fx，则f的一个周期为2a一、选择题．已知f＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值为A．－13B.13c.12D．－122．已知定义域为{x|x≠0}的函数f为偶函数，且f在区间上是增函数，若f＝0，则fxx<0的解集为A．∪B．∪c．∪D．∪3．已知f是定义在R上的偶函数，并满足f＝－1fx，当1≤x≤2时，f＝x－2，则f等于A．4.5B．－4.5c．0.5D．－0.54．设f为定义在R上的奇函数．当x≥0时，f＝2x＋2x＋b，则f等于A．3B．1c．－1D．－35．设函数f满足：①y＝f是偶函数；②在[1，＋∞)上为增函数，则f与f大小关系是A．f>fB．f<fc．f＝fD．无法确定题号2345答案二、填空题6．若函数f＝x－1，x>0，a，x＝0，x＋b，x<0是奇函数，则a＋b＝________.7．设函数f是定义在R上的奇函数，若f满足f＝f，且f>1，f＝2m－3m＋1，则m的取值范围是________．8．已知函数f是R上的偶函数，g是R上的奇函数，且g＝f，若f＝2，则f的值为________．三、解答题9．已知f是定义在[－6,6]上的奇函数，且f在[0,3]上是x的一次式，在[3,6]上是x的二次式，且当3≤x≤6时，f≤f＝3，f＝2，求f的表达式．10．设函数f＝x2－2|x|－1证明f是偶函数；画出这个函数的图象；指出函数f的单调区间，并说明在各个单调区间上f是增函数还是减函数；求函数的值域．11．已知函数f＝x2＋ax．讨论函数f的奇偶性，并说明理由；若函数f在[2，＋∞)上为增函数，求实数a的取值范围．答案自主梳理．f＝－f f＝f2．0 0 y 原点相反3．f 周期最小正周期③2a自我检测．B [因为f为偶函数，所以奇次项系数为0，即m－2＝0，m＝2.]2．A [奇函数的图象关于原点对称，对称区间上有相同的单调性．]3．A [由f＝－f，故函数为奇函数，图象关于原点对称．]4．c [f＋f＝f＋f＝f＋f＝log21＋log2＝1.]5．－1解析∵f＝0，∴f＝2＝0，∴a＝－1.代入检验f＝是奇函数，故a＝－1.课堂活动区例1 解题导引判断函数奇偶性的方法．定义法：用函数奇偶性的定义判断．．图象法：f的图象关于原点对称，则f为奇函数；f的图象关于y轴对称，则f为偶函数．基本函数法：把f变形为g与h的和、差、积、商的形式，通过g与h的奇偶性判定出f的奇偶性．解定义域要求≥0且x≠－1，∴－1<x≤1，∴f定义域不关于原点对称，∴f是非奇非偶函数．函数定义域为∪．∵f＝－x＝－x＝＝＝f．∴f是偶函数．函数定义域为R.∵f＝log2＝log21x＋x2＋1＝－log2＝－f，∴f是奇函数．函数的定义域为∪．当x<0时，－x>0，则f＝－2－x＝－＝－f；当x>0时，－x<0，则f＝2－x＝x2－x＝－＝－f．∴对任意x∈∪都有f＝－f．故f为奇函数．变式迁移1 解由于f＝2，f＝0，f≠f，f≠－f，从而函数f既不是奇函数也不是偶函数．f的定义域为{－1,1}，关于原点对称，又f＝f＝0，f ＝－f＝0，∴f既是奇函数又是偶函数．由4－x2≥0|x＋3|≠3得，f定义域为[－2,0)∪＝4－x2x，f＝－4－x2x∴f＝－f∴f为奇函数．例2 解题导引本题考查利用函数的单调性和奇偶性解不等式．解题的关键是利用函数的单调性、奇偶性化“抽象的不等式”为“具体的代数不等式”．在关于原点对称的两个区间上，奇函数的单调性相同，偶函数的单调性相反．解∵y＝f为奇函数，且在上为增函数，∴y＝f在上单调递增，且由f＝0得f＝0.若f[x]<0＝f，则xx－12>0xx－12<1即0<x<1，解得12<x<1＋174或1－174<x<0.若f[x]<0＝f，则xx－12<0xx－12<－1 由x<－1，解得x∈∅.∴原不等式的解集是{x|12<x<1＋174或1－174<x<0}．变式迁移2解析易知f在R上为单调递增函数，且f为奇函数，故f＋f<0，等价于f<－f＝f，此时应用mx－2<－x，即mx＋x－2<0对所有m∈[－2,2]恒成立，令h＝mx＋x－2，此时，只需h－2<0h2<0即可，解得x∈．例3 解题导引解决此类抽象函数问题，根据函数的奇偶性、周期性、单调性等性质，画出函数的一部分简图，使抽象问题变得直观、形象，有利于问题的解决．－8解析因为定义在R上的奇函数，满足f＝－f，所以f ＝f．因此，函数图象关于直线x＝2对称且f＝0，由f＝－f知f＝f，所以函数是以8为周期的周期函数．又因为f在区间[0,2]上是增函数，所以f在区间[－2,0]上也是增函数，如图所示，那么方程f＝m在区间[－8,8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，不妨设x1<x2<x3<x4.由对称性知x1＋x2＝－12，x3＋x4＝4，所以x1＋x2＋x3＋x4＝－12＋4＝－8.变式迁移3 B [∵f＝f，∴f＝f．∴x＝1为函数f的一条对称轴．又f＝f[2－]＝f＝f，∴2是函数f的一个周期．根据已知条件画出函数简图的一部分，如右图：由图象可以看出，在区间[－2，－1]上是增函数，在区间[3,4]上是减函数．]课后练习区．B [依题意得a－1＝－2ab＝0，∴a＝13b＝0，∴a＋b＝13.]2．D[由已知条件，可得函数f的图象大致为右图，故fxx<0的解集为∪．]3．D [由f＝－1fx，得f＝－1fx＋2＝f，那么f的周期是4，得f＝f．因为f是偶函数，则f＝f＝f．而1≤x≤2时，f＝x－2，∴f＝－0.5.由上知：f＝－0.5.]4．D [因为奇函数f在x＝0有定义，所以f＝20＋2×0＋b＝b＋1＝0，b＝－1.∴f＝2x＋2x－1，f＝3，从而f＝－f＝－3.]5．A [由y＝f是偶函数，得到y＝f的图象关于直线x ＝1对称，∴f＝f．又f在[1，＋∞)上为单调增函数，∴f>f，即f>f．]6．1解析∵f是奇函数，且x∈R，∴f＝0，即a＝0.又f ＝－f，∴b－1＝－＝0，即b＝1，因此a＋b＝1.7．－1<m<23解析∵f＝f，∴f＝f＝f．∵f为奇函数，且f>1，∴f＝－f<－1，∴2m－3m＋1<－1.解得：－1<m<23.8．2解析由g＝f，得g＝f，又g为R上的奇函数，∴g＝－g，∴f＝－f，即f＝－f，用x＋1替换x，得f＝－f．又f是R上的偶函数，∴f＝－f．∴f＝f，即f的周期为4.∴f＝f＝f＝2.9．解由题意，当3≤x≤6时，设f＝a2＋3，∵f＝2，∴2＝a2＋3.∴a＝－1.∴f＝－2＋3．…………………………………………………………∴f＝－2＋3＝－1.又∵f为奇函数，∴f＝0.∴一次函数图象过，两点．∴f＝－13x．…………………………………………………………………当－3≤x≤0时，－x∈[0,3]，∴f＝－13＝13x.又f＝－f，∴f＝－13x.∴f＝－13x．………………………………………………………………当－6≤x≤－3时，3≤－x≤6，∴f＝－2＋3＝－2＋3.又f＝－f，∴f＝2－3.∴f＝x＋52－3，－6≤x≤－3，－13x－3<x<3，…………………………………………………………12分－x－52＋3，3≤x≤6.0．解f＝2－2|－x|－1＝x2－2|x|－1＝f，即f＝f．∴f是偶函数．………………………………………………………当x≥0时，f＝x2－2x－1＝2－2，当x<0时，f＝x2＋2x－1＝2－2，即f＝x－12－2，x≥0，x ＋12－2，x<0.根据二次函数的作图方法，可得函数图象如下图．……………………………………由中函数图象可知，函数f的单调区间为[－3，－1]，[－1,0]，[0,1]，[1,3]．f在区间[－3，－1]和[0,1]上为减函数，在[－1,0]，[1,3]上为增函数．……………当x≥0时，函数f＝2－2的最小值为－2，最大值为f ＝2；当x<0时，函数f＝2－2的最小值为－2，最大值为f＝2；故函数f的值域为[－2,2]．……………………………………………………………1．解当a＝0时，f＝x2对任意x∈∪，有f＝2＝x2＝f，∴f为偶函数．…………………………………………………………………………当a≠0时，f＝x2＋ax，若x＝±1时，则f＋f＝2≠0；∴f≠－f，又f≠f∴函数f既不是奇函数，也不是偶函数．……………………………………………综上所述，当a＝0时，f为偶函数；当a≠0时，f为非奇非偶函数．………………………………………………………设2≤x1<x2，f－f＝x21＋ax1－x22－ax2＝x1－x2x1x2[x1x2－a]，………………………………………………………………要使f在x∈[2，＋∞)上为增函数，必须使f－f<0恒成立．∵x1－x2<0，x1x2>4，即a<x1x2恒成立．………………………………………又∵x1＋x2>4，∴x1x2>16，∴a的取值范围为。
【步步高】高考数学一轮复习_2.3函数的奇偶性与周期性(生)
§2.3函数的奇偶性与周期性考试如何考 1.判断函数的奇偶性；2.利用函数的奇偶性求参数或参数范围；3.函数的奇偶性、周期性和单调性的综合应用．复习备考要这样做 1.结合函数的图象理解函数的奇偶性、周期性；2.注意函数奇偶性和周期性的小综合问题；3.利用函数的性质解决有关问题．1．奇、偶函数的概念一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数．一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数．奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称．2．奇、偶函数的性质(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．(2)在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数；②两个偶函数的和、积都是偶函数；③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数．3．周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．[重难点]1．函数奇偶性的判断(1)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件；(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系．在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立．2．函数奇偶性的性质(1)若奇函数f(x)在x＝0处有定义，则f(0)＝0.(2)设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．(3)奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反．1． (课本改编题)已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是________．2．设函数f (x )＝x 3cos x ＋1.若f (a )＝11，则f (－a )＝________.3． 设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，若当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝lg x ，则满足f (x )>0的x 的取值范围是________．4． 函数f (x )的定义域为R ，若f (x ＋1)与f (x －1)都是奇函数，则 ( )A ．f (x )是偶函数B ．f (x )是奇函数C ．f (x )＝f (x ＋2)D ．f (x ＋3)是奇函数5．设f (x )是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52等于 ( ) A ．－12 B ．－14 C.14 D.12题型一 判断函数的奇偶性 例1 判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝9－x 2＋x 2－9； (2)f (x )＝(x ＋1)1－x1＋x； (3)f (x )＝4－x2|x ＋3|－3.思维启迪：确定函数的奇偶性时，必须先判定函数定义域是否关于原点对称．若对称， 再验证f (－x )＝±f (x )或其等价形式f (－x )±f (x )＝0是否成立． 探究提高 判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域对解决问题是有利的；(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系．在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立．下列函数：①f (x )＝1－x 2＋x 2－1；②f (x )＝x 3－x ；③f (x )＝ln(x ＋x 2＋1)；④f (x )＝3x －3－x2；⑤f (x )＝lg 1－x 1＋x.其中奇函数的个数是 ( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5题型二 函数的奇偶性与周期性例2 设f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有f (x ＋2)＝－f (x )．当x ∈[0,2]时，f (x )＝2x －x 2.(1)求证：f (x )是周期函数；(2)当x ∈[2,4]时，求f (x )的解析式； (3)计算f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 013)．思维启迪：(1)只需证明f (x ＋T )＝f (x )，即可说明f (x )是周期函数；(2)由f (x )在[0,2]上的解析式求得f (x )在[－2,0]上的解析式，进而求f (x )在[2,4]上的解析式； (3)由周期性求和．探究提高 判断函数的周期只需证明f (x ＋T )＝f (x ) (T ≠0)便可证明函数是周期函数，且 周期为T ，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题，是高考考查的重点问题．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，并且f (x ＋2)＝－1f x，当2≤x ≤3时，f (x ) ＝x ，则f (105.5)＝________. 题型三 函数性质的综合应用例3 设f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，f (x ＋2)＝－f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x .(1)求f (π)的值；(2)当－4≤x ≤4时，求f (x )的图象与x 轴所围成图形的面积； (3)写出(－∞，＋∞)内函数f (x )的单调区间．思维启迪：可以先确定函数的周期性，求f (π)；然后根据函数图象的对称性、周期性画 出函数图象，求图形面积、写单调区间．探究提高 函数性质的综合问题，可以利用函数的周期性、对称性确定函数图象，充分 利用已知区间上函数的性质，体现了转化思想．(1)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则 ( ) A ．f (－25)<f (11)<f (80) B ．f (80)<f (11)<f (－25) C ．f (11)<f (80)<f (－25) D ．f (－25)<f (80)<f (11)(2)函数y ＝f (x )(x ≠0)是奇函数，且当x ∈(0，＋∞)时是增函数，若f (1)＝0，求不等式f [x (x －12)]<0的解集． 1.等价转换要规范典例：(12分)函数f (x )的定义域D ＝{x |x ≠0}，且满足对于任意x 1，x 2∈D .有f (x 1·x 2)＝f (x 1) ＋f (x 2)． (1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的奇偶性并证明；(3)如果f (4)＝1，f (3x ＋1)＋f (2x －6)≤3，且f (x )在(0，＋∞)上是增函数，求x 的取值范围． 审题视角 (1)从f (1)联想自变量的值为1，进而想到赋值x 1＝x 2＝1.(2)判断f (x )的奇偶性， 就是研究f (x )、f (－x )的关系．从而想到赋值x 1＝－1，x 2＝x .即f (－x )＝f (－1)＋f (x )．(3) 就是要出现f (M )<f (N )的形式，再结合单调性转化为M <N 或M >N 的形式求解．温馨提醒 数学解题的过程就是一个转换的过程．解题质量的高低，取决于每步等价转换的规范程度．如果每一步等价转换都是正确的、规范的，那么这个解题过程就一定是规范的．等价转化要做到规范，应注意以下几点： (1)要有明确的语言表示．如“M ”等价于“N ”，“M ”变形为“N ”．(2)要写明转化的条件．如本例中：∵f (x )为偶函数，∴不等式(*)等价于f [|(3x ＋1)(2x －6)|]≤f (64)．(3)转化的结果要等价．如本例：由于f [|(3x ＋1)(2x －6)|]≤f (64)⇒|(3x ＋1)(2x －6)|≤64，且(3x ＋1)(2x －6)≠0.若漏掉(3x ＋1)(2x －6)≠0，则这个转化就不等价了.方法与技巧1． 正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：(1)定义域在数轴上关于原点对称是函数f (x )为奇函数或偶函数的必要非充分条件； (2)f (－x )＝－f (x )或f (－x )＝f (x )是定义域上的恒等式．2． 奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据．为了便于判断函数的奇偶性，有时需要先将函数进行化简，或应用定义的等价形式：f (－x )＝±f (x )⇔f (－x )±f (x )＝0⇔f －xf x＝±1(f (x )≠0)．3． 奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称，反之也成立．利用这一性质可简化一些函数图象的画法，也可以利用它去判断函数的奇偶性． 失误与防范1． 判断函数的奇偶性，首先应该判断函数定义域是否关于原点对称．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．2． 判断函数f (x )是奇函数，必须对定义域内的每一个x ，均有f (－x )＝－f (x )，而不能说存在x 0使f (－x 0)＝－f (x 0)．对于偶函数的判断以此类推．3． 分段函数奇偶性判定时，要以整体的观点进行判断，不可以利用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数而否定函数在整个定义域上的奇偶性.(时间：60分钟) A 组 专项基础训练一、选择题(每小题5分，共20分)1．下列函数为偶函数的是 ( )A ．y ＝sin xB ．y ＝x 3C ．y ＝e xD ．y ＝ln x 2＋12．下列函数中，既是偶函数，又在区间(1,2)内是增函数的为 ( )A ．y ＝cos 2x ，x ∈RB ．y ＝log 2|x |，x ∈R 且x ≠0C ．y ＝e x －e －x2，x ∈R D ．y ＝x 3＋1，x ∈R3．若函数f (x )＝x2x ＋1 x －a 为奇函数，则a 等于( )A.12B.23C.34 D ．14．已知f (x )在R 上是奇函数，且满足f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈(0,2)时，f (x )＝2x 2，则f (7)等于( )A ．－2B ．2C ．－98D ．98 二、填空题(每小题5分，共15分)5． 设函数f (x )＝x (e x＋a e －x)(x ∈R )是偶函数，则实数a 的值为________．6． 设f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝2x＋2x ＋b (b 为常数)，则f (－1)＝______.7．已知定义在R 上的函数y ＝f (x )满足条件f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32＝－f (x )，且函数y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －34为奇函数，给出以下四个命题：①函数f (x )是周期函数；②函数f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，0对称；③函数f (x )为R 上的偶函数； ④函数f (x )为R 上的单调函数． 其中真命题的序号为________． 三、解答题(共25分)8． (12分)已知函数f (x )＝x 2＋ax(x ≠0)．(1)判断f (x )的奇偶性，并说明理由；(2)若f (1)＝2，试判断f (x )在[2，＋∞)上的单调性．9． (13分)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且它的图象关于直线x ＝1对称．(1)求证：f (x )是周期为4的周期函数；(2)若f (x )＝x (0<x ≤1)，求x ∈[－5，－4]时，函数f (x )的解析式．B 组 专项能力提升一、选择题(每小题5分，共15分)1．设f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，f (x )＝2x 2－x ，则f (1)等于( )A ．－3B ．－1C ．1D ．32．f (x )是定义在R 上的偶函数，g (x )是定义在R 上的奇函数，且g (x )＝f (x －1)，则f (2 013)＋f (2 015)的值为 ( )A ．－1B ．1C ．0D ．无法计算3．设奇函数f (x )的定义域为R ，最小正周期T ＝3，若f (1)≥1，f (2)＝2a －3a ＋1，则a 的取值范围是 ( )A ．a <－1或a ≥23B ．a <－1C ．－1<a ≤23D ．a ≤23二、填空题(每小题4分，共12分)4．若函数f (x )＝x 2－|x ＋a |为偶函数，则实数a ＝________.5． 已知函数f (x )满足：f (1)＝14，4f (x )f (y )＝f (x ＋y )＋f (x －y )(x ，y ∈R )，则f (2 015)＝________.6． 设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R 恒有f (x ＋1)＝f (x －1)，已知当x ∈[0,1]时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121－x ，则①2是函数f (x )的周期；②函数f (x )在(1,2)上递减，在(2,3)上递增；③函数f (x )的最大值是1，最小值是0；④当x ∈(3,4)时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －3.其中所有正确命题的序号是________．三、解答题(共13分)7． 已知函数f (x )在R 上满足f (2－x )＝f (2＋x )，f (7－x )＝f (7＋x )且在闭区间[0,7]上，只有f (1)＝f (3)＝0，(1)试判断函数y ＝f (x )的奇偶性；(2)试求方程f (x )＝0在闭区间[－2 011,2 011]上根的个数，并证明你的结论．。
[精品](江苏专版)2019年高考数学一轮复习 专题2.3 函数奇偶性与周期(练)
2019年高考数学一轮复习 专题2.3 函数奇偶性与周期(练)](https://img.taocdn.com/s3/m/79b31837b84ae45c3b358cf8.png)
专题2.3 函数奇偶性与周期1．已知f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝2x＋m ，则f (－2)＝________. 【答案】－3【解析】因为f (x )为R 上的奇函数，所以f (0)＝0，即f (0)＝20＋m ＝0，解得m ＝－1，则f (－2)＝－f (2)＝－(22－1)＝－3.2．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝2x－2，则不等式f (x －1)≤2的解集是________． 【答案】[－1,3]【解析】偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递增，且f (2)＝2.所以f (x －1)≤2，即f (|x －1|)≤f (2)，即|x －1|≤2，所以－1≤x ≤3. 3．函数f (x )＝x ＋1x＋1，f (a )＝3，则f (－a )＝________.【答案】－1【解析】由题意得f (a )＋f (－a )＝a ＋1a ＋1＋(－a )＋1－a ＋1＝2.所以f (－a )＝2－f (a )＝－1.4．函数f (x )在R 上为奇函数，且x >0时，f (x )＝x ＋1，则当x <0时，f (x )＝________. 【答案】－－x －15．设函数f (x )是定义在R 上周期为2的偶函数，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ＋1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝________.【答案】32【解析】依题意得，f (2＋x )＝f (x )，f (－x )＝f (x )， 则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12＋1＝32.6．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧xx －b ，x ≥0ax x ＋，x ＜0(a ，b ∈R)为奇函数，则f (a ＋b )＝________.【答案】－1【解析】法一：因为函数f (x )为奇函数， 所以⎩⎪⎨⎪⎧f －＝－f ，f－＝－f，即⎩⎪⎨⎪⎧－b ＝a －1＋，－b ＝2a －2＋，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝2，经验证a ＝－1，b ＝2满足题设条件，所以f (a ＋b )＝f (1)＝－1.法二：因为函数f (x )为奇函数，所以f (x )的图象关于原点对称，由题意知，当x ≥0，二次函数的图象顶点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫b2，－b 24，当x ＜0，二次函数的图象顶点坐标为(－1，－a )，所以⎩⎪⎨⎪⎧－b2＝－1，b24＝－a ，解得a ＝－1，b ＝2，经验证a ＝－1，b ＝2满足题设条件， 所以f (a ＋b )＝f (1)＝－1.7.已知函数f (x )是周期为2的奇函数，当x ∈[0,1)时，f (x )＝lg(x ＋1)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0165＋lg 18＝________. 【答案】18.设函数f (x )＝x 3cos x ＋1.若f (a )＝11，则f (－a )＝________. 【答案】－9【解析】观察可知，y ＝x 3cos x 为奇函数，且f (a )＝a 3cos a ＋1＝11，故a 3cos a ＝10.则f (－a )＝－a 3·cos a ＋1＝－10＋1＝－9.9.设f (x )是偶函数，且当x >0时是单调函数，则满足f (2x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＋4的所有x 之和为________．【答案】－810. 已知f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x ＜2时，f (x )＝x 3－x ，则函数y ＝f (x )的图象在区间[0，6]上与x 轴的交点个数为________. 【答案】 7【解析】因为当0≤x ＜2时，f (x )＝x 3－x ，又f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，且f (0)＝0，所以f (6)＝f (4)＝f (2)＝f (0)＝0.又f (1)＝0，所以f (3)＝f (5)＝0.故函数y ＝f (x )的图象在区间[0， 6]上与x 轴的交点个数为7.11. 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x >0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x <0是奇函数.(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围. [答案] (1，3].[解析] (1)设x <0，则－x >0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x .又f (x )为奇函数， 所以f (－x )＝－f (x )，于是x <0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，所以m ＝2.(2)由(1)知f (x )在[－1，1]上是增函数， 要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增.结合f (x )的图象知⎩⎪⎨⎪⎧a －2>－1，a －2≤1，所以1<a ≤3，故实数a 的取值范围是(1，3].12.已知函数f (x )的定义域为R ，且满足f (x ＋2)＝－f (x )．(1)求证：f (x )是周期函数；(2)若f (x )为奇函数，且当0≤x ≤1时，f (x )＝12x ，求使f (x )＝－12在[0,2 014]上的所有x 的个数．【答案】(1) 详见解析，(2) 503. 【解析】(1)证明 ∵f (x ＋2)＝－f (x )，∴f (x －2)＝f (x ＋2)＝－f (x )，∴－f (x )＝12(x －2)，∴f (x )＝－12(x －2)(1<x <3)．∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x ，－1≤x ≤1，－12x －，1<x <3.由f (x )＝－12，解得x ＝－1.∵f (x )是以4为周期的周期函数，∴f (x )＝－12的所有x ＝4n －1(n ∈Z )．令0≤4n －1≤2 014，则14≤n ≤2 0154.又∵n ∈Z ，∴1≤n ≤503(n ∈Z )，∴在[0,2 014]上共有503个x 使f (x )＝－12.13. 已知定义在R 上的奇函数f (x )有最小正周期2，且当x ∈(0，1)时，f (x )＝2x4x ＋1.(1)求f (1)和f (－1)的值； (2)求f (x )在[－1，1]上的解析式.【答案】(1) f (1)＝0，f (－1)＝0. (2) f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x4x＋1，x ∈（0，1），－2x 4x＋1，x ∈（－1，0），0，x ∈{－1，0，1}.14.已知函数f (x )对任意x ，y ∈R ，都有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，且x ＞0时，f (x )＜0，f (1)＝－2. (1)求证f (x )是奇函数；(2)求f (x )在[－3,3]上的最大值和最小值．【答案】(1) 详见解析，(2) f (x )max ＝6，f (x )min ＝－6. 【解析】(1)证明 令x ＝y ＝0，知f (0)＝0；再令y ＝－x ，则f(0)＝f(x)＋f(－x)＝0，所以f(x)为奇函数．(2)解任取x1＜x2，则x2－x1＞0，所以f(x2－x1)＝f[x2＋(－x1)]＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2)－f(x1)＜0，所以f(x)为减函数．而f(3)＝f(2＋1)＝f(2)＋f(1)＝3f(1)＝－6，f(－3)＝－f(3)＝6.所以f(x)max＝f(－3)＝6，f(x)min＝f(3)＝－6.。
高考数学一轮复习函数的奇偶性与周期性专题训练(含答案)
高考数学一轮复习函数的奇偶性与周期性专题训练（含答案）若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f(x)=f(x+T) 恒成立，则f(x)叫做周期函数，下面是函数的奇偶性与周期性专题训练，请考生及时练习。
一、选择题1.设f(x)为定义在R上的奇函数.当x0时，f(x)=2x+2x+b(b为常数)，则f(-1)等于().A.3 B.1 C.-1 D.-3解析由f(-0)=-f(0)，即f(0)=0.则b=-1，f(x)=2x+2x-1，f(-1)=-f(1)=-3.答案 D2.已知定义在R上的奇函数，f(x)满足f(x+2)=-f(x)，则f(6)的值为().A.-1B.0C.1D.2(构造法)构造函数f(x)=sin x，则有f(x+2)=sin=-sin x=-f(x)，所以f(x)=sin x是一个满足条件的函数，所以f(6)=sin 3=0，故选B.答案B3.定义在R上的函数f(x)满足f(x)=f(x+2)，当x[3,5]时，f(x)=2-|x-4|，则下列不等式一定成立的是().A.ffB.f(sin 1)f(sin 2)解析当x[-1,1]时，x+4[3,5]，由f(x)=f(x+2)=f(x+4)=2-|x+4-4|=2-|x|，显然当x[-1,0]时，f(x)为增函数;当x[0,1]时，f(x)为减函数，cos=-，sin =，又f=ff，所以ff.答案 A4.已知函数f(x)=则该函数是().A.偶函数，且单调递增B.偶函数，且单调递减C.奇函数，且单调递增D.奇函数，且单调递减解析当x0时，f(-x)=2-x-1=-f(x);当x0时，f(-x)=1-2-(-x)=1-2x=-f(x).当x=0时，f(0)=0，故f(x)为奇函数，且f(x)=1-2-x在[0，+)上为增函数，f(x)=2x-1在(-，0)上为增函数，又x0时1-2-x0，x0时2x-10，故f(x)为R上的增函数. 答案C.已知f(x)是定义在R上的周期为2的周期函数，当x[0,1)时，f(x)=4x-1，则f(-5.5)的值为()A.2B.-1C.-D.1解析f(-5.5)=f(-5.5+6)=f(0.5)=40.5-1=1.答案.设函数D(x)=则下列结论错误的是().A.D(x)的值域为{0,1}B.D(x)是偶函数C.D(x)不是周期函数D.D(x)不是单调函数解析显然D(x)不单调，且D(x)的值域为{0,1}，因此选项A、D正确.若x是无理数，-x，x+1是无理数;若x是有理数，-x，x+1也是有理数.D(-x)=D(x)，D(x+1)=D(x).则D(x)是偶函数，D(x)为周期函数，B正确，C错误.答案C二、填空题.若函数f(x)=x2-|x+a|为偶函数，则实数a=________.解析由题意知，函数f(x)=x2-|x+a|为偶函数，则f(1)=f(-1)，1-|1+a|=1-|-1+a|，a=0.答案0.已知y=f(x)+x2是奇函数，且f(1)=1.若g(x)=f(x)+2，则g(-1)=________.解析因为y=f(x)+x2是奇函数，且x=1时，y=2，所以当x=-1时，y=-2，即f(-1)+(-1)2=-2，得f(-1)=-3，所以g(-1)=f(-1)+2=-1. 答案-1.设奇函数f(x)的定义域为[-5,5]，当x[0,5]时，函数y=f(x)的图象如图所示，则使函数值y0的x的取值集合为________.解析由原函数是奇函数，所以y=f(x)在[-5,5]上的图象关于坐标原点对称，由y=f(x)在[0,5]上的图象，得它在[-5,0]上的图象，如图所示.由图象知，使函数值y0的x的取值集合为(-2,0)(2,5).答案(-2,0)(2,5)10. 设f(x)是偶函数，且当x0时是单调函数，则满足f(2x)=f 的所有x之和为________.解析f(x)是偶函数，f(2x)=f，f(|2x|)=f，又f(x)在(0，+)上为单调函数，|2x|=，即2x=或2x=-，整理得2x2+7x-1=0或2x2+9x+1=0，设方程2x2+7x-1=0的两根为x1，x2，方程2x2+9x+1=0的两根为x3，x4.则(x1+x2)+(x3+x4)=-+=-8.-8三、解答题.已知f(x)是定义在R上的不恒为零的函数，且对任意x，y，f(x)都满足f(xy)=yf(x)+xf(y).(1)求f(1)，f(-1)的值;(2)判断函数f(x)的奇偶性.解(1)因为对定义域内任意x，y，f(x)满足f(xy)=yf(x)+xf(y)，所以令x=y=1，得f(1)=0，令x=y=-1，得f(-1)=0.(2)令y=-1，有f(-x)=-f(x)+xf(-1)，代入f(-1)=0得f(-x)=-f(x)，所以f(x)是(-，+)上的奇函数..已知函数f(x)对任意x，yR，都有f(x+y)=f(x)+f(y)，且x0时，f(x)0，f(1)=-2.(1)求证f(x)是奇函数;(2)求f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值.(1)证明令x=y=0，知f(0)=0;再令y=-x，则f(0)=f(x)+f(-x)=0，所以f(x)为奇函数.(2)解任取x1所以f(x)max=f(-3)=6，f(x)min=f(3)=-6.已知函数f(x)是(-，+)上的奇函数，且f(x)的图象关于x=1对称，当x[0,1]时，f(x)=2x-1，(1)求证：f(x)是周期函数;(2)当x[1,2]时，求f(x)的解析式;(3)计算f(0)+f(1)+f(2)++f(2019)的值.(1)证明函数f(x)为奇函数，则f(-x)=-f(x)，函数f(x)的图象关于x=1对称，则f(2+x)=f(-x)=-f(x)，所以f(4+x)=f[(2+x)+2]=-f(2+x)=f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数.(2) 当x[1,2]时，2-x[0,1]，又f(x)的图象关于x=1对称，则f(x)=f(2-x)=22-x-1，x[1,2].(3)f(0)=0，f(1)=1，f(2)=0，f(3)=f(-1)=-f(1)=-1又f(x)是以4为周期的周期函数.f(0)+f(1)+f(2)++f(2019)=f(2 012)+f(2 013)=f(0)+f(1)=1..已知函数f(x)的定义域为R，且满足f(x+2)=-f(x).(1)求证：f(x)是周期函数;(2)若f(x)为奇函数，且当01时，f(x)=x，求使f(x)=-在[0,2 014]上的所有x的个数.(1)证明f(x+2)=-f(x)，f(x+4)=-f(x+2)=-[-f(x)]=f(x)，f(x)是以4为周期的周期函数.(2)解当01时，f(x)=x，设-10，则01，f(-x)=(-x)=-x.f(x)是奇函数，f(-x)=-f(x)，-f(x)=-x，即f(x)=x.教师范读的是阅读教学中不可缺少的部分，我常采用范读，让幼儿学习、模仿。
步步高苏教版高考数学理科一轮配套课件2.3函数的奇偶性与周期性
∴f(x)既是奇函数，又是偶函数.
题型分类·深度剖析
题型一 判断函数的奇偶性
思维启迪 解析 思维升华
【例1】 偶性：
判断下列函数的奇
1－ x ≥0 (2)由1＋ x 1＋ x≠ 0
，得－1<x≤1.
(1)f(x)＝ 9－x2＋ x2－9； 1－x (2)f(x)＝(x＋1) ； 1＋x 4－x2 (3)f(x)＝ . |x＋3|－3
lg1－x2 lg1－x2 f(x)＝ ＝－ . x －x－2－2 lg[1－－x2] lg1－x2 ∵f(－x)＝－ ＝－ ＝－f(x). －x －x
∴f(x)为奇函数.
题型分类·深度剖析
跟踪训练 1 判断下列函数的奇偶性： lg 1－x2 (1)f(x)＝ ； |x－2|－2 x2＋ 2 x>0 (2)f(x)＝0 x＝0 －x2－2x<0 .
(1)f(x)＝ 9－x2＋ x2－9； 1－x (2)f(x)＝(x＋1) ； 1＋x 4－x2 (3)f(x)＝ . |x＋3|－3
对称.若对称，再验证 f(－ x)＝ ± f(x)或其等价形式 f(－ x)± f(x) ＝0是否成立 .
题型分类·深度剖析
题型一 判断函数的奇偶性
思维启迪 解析 思维升华
一个最小 的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小
正周期.
基础知识·自主学习
夯基释疑
夯实基础 突破疑难
题号
1 2
答案
(1)× (2) √(3) √ (4) √ (5) √(6) √
－2
解析
3
4
1 3
－2
5
(－1,0)∪(1，＋∞)
题型分类·深度剖析
苏教版江苏专版版高考数学一轮复习第二章第三节函数的奇偶性及周期性教案文解析版
１．函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（—x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数关于y轴对称奇函数如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（—x）＝—f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数关于原点对称（１）周期函数对于函数f（x），如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f（x＋T）＝f（x），那么就称函数f（x）为周期函数，称T为这个函数的周期．（２）最小正周期如果在周期函数f（x）的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f（x）的最小正周期．[小题体验]１．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）＝x２＋错误!，则f（—１）＝________.答案：—２２．若函数f（x）是周期为５的奇函数，且满足f（１）＝１，f（２）＝２，则f（8）—f（１４）＝________.答案：—１３．若函数f（x）＝（a—１）x２＋（a＋１）x＋a２—１是奇函数，则实数a的值是________．解析：由于函数f（x）的定义域为R，又函数f（x）是奇函数，故f（0）＝0，解得a＝１或a＝—１（舍去），经检验a＝１时符合题意．答案：１１．判断函数的奇偶性，易忽视判断函数定义域是否关于原点对称．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．２．判断函数f（x）的奇偶性时，必须对定义域内的每一个x，均有f（—x）＝—f（x）或f（—x）＝f（x），而不能说存在x0使f（—x0）＝—f（x0）或f（—x0）＝f（x0）．３．分段函数奇偶性判定时，误用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数去否定函数在整个定义域上的奇偶性．[小题纠偏]１．已知f（x）＝ax２＋bx是定义在[a—１,２a]上的偶函数，那么a＋b＝________.解析：因为f（x）＝ax２＋bx是定义在[a—１,２a]上的偶函数，所以a—１＋２a＝0，所以a＝错误!.又f（—x）＝f（x），所以b＝0，所以a＋b＝错误!.答案：错误!２．函数f（x）＝错误!的奇偶性为________．解析：因为x≠0，故f（x）的定义域关于原点对称．当x＞0时，—x＜0，所以f（—x）＝log２x＝f（x）．当x＜0时，—x＞0，所以f（—x）＝log２（—x）＝f（x）．故f（—x）＝f（x），所以f（x）为偶函数．答案：偶函数错误!错误![题组练透]判断下列函数的奇偶性：（１）f（x）＝错误!＋错误!；（２）f（x）＝错误!＋错误!；（３）f（x）＝３x—３—x；（４）f（x）＝错误!；（５）（易错题）f（x）＝错误!解：（１）因为由错误!得x＝±１，所以f（x）的定义域为{—１,１}．又f（１）＋f（—１）＝0，f（１）—f（—１）＝0，即f（x）＝±f（—x）．所以f（x）既是奇函数又是偶函数．（２）因为函数f（x）＝错误!＋错误!的定义域为错误!，不关于坐标原点对称，所以函数f（x）既不是奇函数，也不是偶函数．（３）因为f（x）的定义域为R，所以f（—x）＝３—x—３x＝—（３x—３—x）＝—f（x），所以f（x）为奇函数．（４）因为由错误!得—２≤x≤２且x≠0．所以f（x）的定义域为[—２,0）∪（0,２]，所以f（x）＝错误!＝错误!＝错误!，所以f（—x）＝—f（x），所以f（x）是奇函数．（５）易知函数的定义域为（—∞，0）∪（0，＋∞），关于原点对称，又当x＞0时，f（x）＝x２＋x，则当x＜0时，—x＞0，故f（—x）＝x２—x＝f（x）；当x＜0时，f（x）＝x２—x，则当x＞0时，—x＜0，故f（—x）＝x２＋x＝f（x），故原函数是偶函数．[谨记通法]判定函数奇偶性的３种常用方法（１）定义法（２）图象法（３）性质法１设f（x），g（x）的定义域分别是D１，D２，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．２复合函数的奇偶性可概括为“同奇则奇，一偶则偶”．[提醒] （１）“性质法”中的结论是在两个函数的公共定义域内才成立的．（２）判断分段函数的奇偶性应分段分别证明f（—x）与f（x）的关系，只有对各段上的x都满足相同的关系时，才能判断其奇偶性．错误!错误![典例引领]设f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f（x＋２）＝—f（x），当x∈[0,２]时，f （x）＝２x—x２.（１）求证：f（x）是周期函数；（２）计算f（0）＋f（１）＋f（２）＋…＋f（２0１8）．解：（１）证明：因为f（x＋２）＝—f（x），所以f（x＋４）＝—f（x＋２）＝f（x）．所以f（x）是周期为４的周期函数．（２）因为f（0）＝0，f（１）＝１，f（２）＝0，f（３）＝—f（１）＝—１．又f（x）是周期为４的周期函数，所以f（0）＋f（１）＋f（２）＋f（３）＝f（４）＋f（５）＋f（6）＋f（7）＝…＝f（２0１２）＋f（２0１３）＋f（２0１４）＋f（２0１５）＝0．所以f（0）＋f（１）＋f（２）＋…＋f（２0１8）＝f（２0１6）＋f（２0１7）＋f（２0１8）＝f（0）＋f（１）＋f（２）＝１．[由题悟法]１．判断函数周期性的２个方法（１）定义法．（２）图象法．２．周期性３个常用结论（１）若f（x＋a）＝—f（x），则T＝２a.（２）若f（x＋a）＝错误!，则T＝２a.（３）若f（x＋a）＝—错误!，则T＝２a（a＞0）．[即时应用]１．（２0１8·镇江调研）已知f（x）是定义在R上周期为４的函数，且f（—x）＋f（x）＝0，当0＜x＜２时，f（x）＝２x—１，则f（—２１）＋f（１6）＝________.解析：由f（—x）＋f（x）＝0，知f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（0）＝0．又f（x＋４）＝f（x），且当0＜x＜２时，f（x）＝２x—１，∴f（—２１）＋f（１6）＝f（—１）＋f（0）＝—f（１）＝—（２１—１）＝—１．答案：—１２．已知f（x）是R上最小正周期为２的周期函数，且当0≤x＜２时，f（x）＝x３—x，则函数y＝f （x）的图象在区间[0,6]上与x轴的交点个数为________．解析：因为当0≤x＜２时，f（x）＝x３—x，又f（x）是R上最小正周期为２的周期函数，且f（0）＝0，所以f（6）＝f（４）＝f（２）＝f（0）＝0．又f（１）＝0，所以f（３）＝f（５）＝0．故函数y＝f（x）的图象在区间[0,6]上与x轴的交点个数为7．答案：7错误!错误![锁定考向]函数的奇偶性、周期性以及单调性是函数的三大性质，在高考中常常将它们综合在一起命制试题，其中奇偶性多与单调性相结合，而周期性常与抽象函数相结合，并以结合奇偶性求函数值为主．多以填空题形式出现．常见的命题角度有：（１）奇偶性的应用；（２）单调性与奇偶性结合；（３）周期性与奇偶性结合；（４）单调性、奇偶性与周期性结合．[题点全练]角度一：奇偶性的应用１．（２0１8·连云港模拟）函数y＝f（x）是R上的奇函数，当x＜0时，f（x）＝２x，则当x＞0时，f（x）＝________.解析：x＞0时，—x＜0，因为x＜0时，f（x）＝２x，所以当x＞0时，f（—x）＝２—x.因为f（x）是R上的奇函数，所以当x＞0时，f（x）＝—f（—x）＝—２—x.答案：—２—x角度二：单调性与奇偶性结合２．已知函数f（x）＝错误!是奇函数，且函数f（x）在区间[—１，a—２]上单调递增，则实数a的取值范围为________．解析：当x＜0时，—x＞0，f（x）＝—f（—x）＝—[—（—x）２＋２×（—x）]＝x２＋２x，x＜0，所以m＝２，所以f（x）的单调递增区间为[—１，１]，因此[—１，a—２]⊆[—１,１]⇒—１＜a—２≤１⇒１＜a≤３．答案：（１,３]角度三：周期性与奇偶性结合３．（２0１9·江阴期中）已知f（x）是定义在R上的偶函数，并满足f（x＋２）＝—错误!，当１≤x≤２时f（x）＝x—２，则f（6．５）＝________.解析：∵f（x＋２）＝—错误!，∴f（x＋４）＝f[（x＋２）＋２]＝—错误!＝f（x），即函数f（x）的周期为４．∵f（x）是定义在R上的偶函数，∴f（—x）＝f（x），∴f（6．５）＝f（—１．５）＝f（１．５）＝—0．５．答案：—0．５角度四：单调性、奇偶性与周期性结合１f（１）＝0；２f（x）在区间[—２,２]上有５个零点；３点（２0１8,0）是函数y＝f（x）图象的一个对称中心；４直线x＝２0１8是函数y＝f（x）图象的一条对称轴．则正确命题的序号为________．解析：在f（x—１）＝f（x＋１）中，令x＝0，得f（—１）＝f（１），又f（—１）＝—f（１），∴２f（１）＝0，∴f（１）＝0，故１正确；由f（x—１）＝f（x＋１），得f（x）＝f（x＋２），∴f（x）是周期为２的周期函数，∴f（２）＝f（0）＝0，又当x∈（0,１）且x１≠x２时，有错误!＜0，∴函数f（x）在区间（0,１）上单调递减，可作出函数f（x）的大致图象如图所示．由图知２３正确，４不正确，故正确命题的序号为１２３.答案：１２３[通法在握]函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略（１）函数单调性与奇偶性结合．注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．（２）周期性与奇偶性结合．此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．（３）周期性、奇偶性与单调性结合．解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解．[演练冲关]１．（２0１8·启东中学月考）已知函数f（x）在定义域[２—a,３]上是偶函数，在[0,３]上单调递减，且f错误!＞f（—m２＋２m—２），则实数m的取值范围是________．解析：因为函数f（x）在定义域[２—a,３]上是偶函数，所以２—a＋３＝0，所以a＝５，所以f错误!＞f（—m２＋２m—２），即f（—m２—１）＞f（—m２＋２m—２）．由题意知偶函数f（x）在[—３,0]上单调递增，而—m２—１＜0，—m２＋２m—２＝—（m—１）２—１＜0，所以由f（—m２—１）＞f（—m２＋２m—２），得错误!解得１—错误!≤m＜错误!.答案：错误!２．设f（x）是定义在R上周期为４的奇函数，若在区间[—２,0）∪（0,２]上，f（x）＝错误!则f （２0１8）＝________.解析：设0＜x≤２，则—２≤—x＜0，f（—x）＝—ax＋b.f（x）是定义在R上周期为４的奇函数，所以f（—x）＝—f（x）＝—ax＋１＝—ax＋b，所以b＝１．而f（—２）＝f（—２＋４）＝f（２），所以—２a＋１＝２a—１，解得a＝错误!，所以f（２0１8）＝f（２）＝２×错误!—１＝0．答案：0一抓基础，多练小题做到眼疾手快１．（２0１9·南通中学高三测试）已知函数f（x）是定义域为R的奇函数，且f（—１）＝２，那么f（0）＋f（１）＝________.解析：因为函数f（x）是R上的奇函数，所以f（—x）＝—f（x），f（１）＝—f（—１）＝—２，f（0）＝0，所以f（0）＋f（１）＝—２．答案：—２２．（２0１8·南京三模）已知f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）＝２x—２，则不等式f（x—１）≤２的解集是________．解析：偶函数f（x）在[0，＋∞）上单调递增，且f（２）＝２．所以f（x—１）≤２，即f（|x—１|）≤f（２），即|x—１|≤２，所以—１≤x≤３．答案：[—１,３]３．函数f（x）＝x＋错误!＋１，f（a）＝３，则f（—a）＝________.解析：由题意得f（a）＋f（—a）＝a＋错误!＋１＋（—a）＋错误!＋１＝２．所以f（—a）＝２—f（a）＝—１．答案：—１４．函数f（x）在R上为奇函数，且x＞0时，f（x）＝错误!＋１，则当x＜0时，f（x）＝________.解析：因为f（x）为奇函数，x＞0时，f（x）＝错误!＋１，所以当x＜0时，—x＞0，f（x）＝—f（—x）＝—（错误!＋１），即x＜0时，f（x）＝—（错误!＋１）＝—错误!—１．答案：—错误!—１５．（２0１9·连云港高三测试）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）＝错误! x，则f（—２＋log３５）＝________.解析：由f（x）是定义在R上的奇函数，得f（—２＋log３５）＝—f（２—log３５），由于当x＞0时，f（x）＝错误!x，故f（—２＋log３５）＝—f错误!＝—错误!39log5＝—错误!.答案：—错误!6．（２0１8·南通一调）若函数f（x）＝错误!（a，b∈R）为奇函数，则f（a＋b）＝________.解析：法一：因为函数f（x）为奇函数，所以错误!即错误!解得错误!经验证a＝—１，b＝２满足题设条件，所以f（a＋b）＝f（１）＝—１．法二：因为函数f（x）为奇函数，所以f（x）的图象关于原点对称，由题意知，当x≥0，二次函数的图象顶点坐标为错误!，当x＜0，二次函数的图象顶点坐标为（—１，—a），所以错误!解得a＝—１，b＝２，经验证a＝—１，b＝２满足题设条件，所以f（a＋b）＝f（１）＝—１．答案：—１二保高考，全练题型做到高考达标１．（２0１8·抚顺期末）设f（x）是定义在[—２b,３＋b]上的偶函数，且在[—２b,0]上为增函数，则f（x—１）≥f（３）的解集为________．解析：∵f（x）是定义在[—２b,３＋b]上的偶函数，∴—２b＋３＋b＝0，∴b＝３，∴f（x）是定义在[—6,6]上的偶函数，且在[—6,0]上为增函数，∴f（x）在[0,6]上为减函数，∴由f（x—１）≥f（３），得|x—１|≤３，解得—２≤x≤４，∴f（x—１）≥f（３）的解集为{x|—２≤x≤４}．答案：{x|—２≤x≤４}２．（２0１9·常州一中模拟）设定义在R上的偶函数f（x）满足f（x＋１）＋f（x）＝１，且当x∈[１,２]时，f（x）＝２—x，则f（—２0１8．５）＝________.解析：由f（x＋１）＋f（x）＝１在R上恒成立，得f（x—１）＋f（x）＝１，两式相减得f（x＋１）—f（x—１）＝0，即f（x＋１）＝f（x—１）恒成立，故函数f（x）的周期是２，∴f（—２0１8．５）＝f（—0．５）＝f（１．５），又当x∈[１,２]时，f（x）＝２—x，∴f（—２0１8．５）＝f（１．５）＝２—１．５＝0．５．答案：0．５３．已知函数f（x）是定义在[—２,２]上的奇函数，且在区间[0,２]上是单调减函数．若f（２x＋１）＋f（１）＜0，则x的取值范围是________．解析：∵函数f（x）是定义在[—２,２]上的奇函数，且在区间[0,２]上是单调减函数，∴函数f（x）在区间[—２,２]上是单调减函数．∵f（２x＋１）＋f（１）＜0，即f（２x＋１）＜—f（１），∴f（２x＋１）＜f（—１）．则错误!解得—１＜x≤错误!.∴x的取值范围是错误!.答案：错误!４．（２0１8·泰州期末）设f（x）是R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝２x＋ln错误!，记a n＝f（n—５），则数列{a n}的前8项和为________．解析：数列{a n}的前8项和为f（—４）＋f（—３）＋…＋f（３）＝f（—４）＋（f（—３）＋f（３））＋（f（—２）＋f（２））＋（f（—１）＋f（１））＋f（0）＝f（—４）＝—f（４）＝—错误!＝—１6．答案：—１6５．（２0１8·徐州期中）已知函数f（x）＝e x—e—x＋１（e为自然对数的底数），若f（２x—１）＋f（４—x２）＞２，则实数x的取值范围为________．解析：令g（x）＝f（x）—１＝e x—e—x，则g（x）为奇函数，且在R上单调递增．因为f（２x—１）＋f（４—x２）＞２，所以f（２x—１）—１＋f（４—x２）—１＞0，即g（２x—１）＋g（４—x ２）＞0，所以g（２x—１）＞g（x２—４），即２x—１＞x２—４，解得x∈（—１,３）．答案：（—１,３）6．（２0１9·镇江中学测试）已知奇函数f（x）在定义域R上是单调减函数，若实数a满足f（２|２a—１|）＋f（—２错误!）＞0，则a的取值范围是________．解析：由f（２|２a—１|）＋f（—２错误!）＞0，可得f（２|２a—１|）＞—f（—２错误!）．因为f（x）为奇函数，所以f（２|２a—１|）＞f（２错误!）．因为f（x）在定义域R上是单调减函数，所以２|２a—１|＜２错误!，即|２a—１|＜错误!，解得—错误!＜a＜错误!.答案：错误!7．（２0１9·苏州调研）已知奇函数f（x）在（—∞，0）上单调递减，且f（２）＝0，则不等式错误!＞0的解集为________．解析：由错误!＞0，可得错误!或错误!因为奇函数f（x）在（—∞，0）上单调递减，所以f（x）在（0，＋∞）上单调递减，且f（２）＝f（—２）＝0，所以当x＞１时，f（x）＞0的解集为（１,２）；当x＜１时，f（x）＜0的解集为（—２,0）．所以不等式错误!＞0的解集为（—２,0）∪（１,２）．答案：（—２,0）∪（１,２）8．函数f（x）在R上满足f（—x）＝—f（x），当x≥0时，f（x）＝—e x＋１＋m cos（π＋x），记a＝—πf（—π），b＝—错误!·f错误!，c＝e f（e），则a，b，c的大小关系为________．解析：∵函数f（x）为R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）＝—e x＋１＋m cos（π＋x），∴f（0）＝—１＋１—m＝0，即m＝0，∴f（x）＝—e x＋１（x≥0）．令g（x）＝xf（x），有g（—x）＝（—x）f（—x）＝xf（x）＝g（x），∴函数g（x）为偶函数，当x≥0时，g（x）＝xf（x）＝x（１—e x），g′（x）＝f（x）＋xf′（x）＝１—（１＋x）e x＜0，∴函数g（x）在[0，＋∞）上为减函数，∵a＝—πf（—π）＝g（—π）＝g（π），b＝—错误!f错误!＝g错误!＝g错误!，c＝e f（e）＝g（e），又e＜π＜错误!，∴b＜a＜c.答案：b＜a＜c9．已知函数f（x）＝错误!是奇函数．（１）求实数m的值；（２）若函数f（x）在区间[—１，a—２]上单调递增，求实数a的取值范围．解：（１）设x＜0，则—x＞0，所以f（—x）＝—（—x）２＋２（—x）＝—x２—２x.又f（x）为奇函数，所以f（—x）＝—f（x），于是x＜0时，f（x）＝x２＋２x＝x２＋mx，所以m＝２．（２）要使f（x）在[—１，a—２]上单调递增，结合f（x）的图象（如图所示）知错误!所以１＜a≤３，故实数a的取值范围是（１,３]．１0．（２0１8·大同期末）已知函数f（x）＝log a（x＋１），g（x）＝log a（１—x），其中a＞0，a≠１．（１）求函数F（x）＝f（x）—g（x）的定义域；（２）判断F（x）＝f（x）—g（x）的奇偶性，并说明理由；（３）当a＞１时，求使F（x）＞0成立的x的取值范围．解：（１）∵F（x）＝f（x）—g（x）＝log a（x＋１）—log a（１—x），∴错误!解得—１＜x＜１，∴函数F（x）的定义域为（—１,１）．（２）F（x）为（—１,１）上的奇函数．理由如下：由（１）知F（x）的定义域为（—１,１），关于原点对称，F（—x）＝log a（—x＋１）—log a（１＋x）＝—[log a（x＋１）—log a（１—x）]＝—F（x），∴函数F（x）为（—１,１）上的奇函数．（３）根据题意，F（x）＝log a（x＋１）—log a（１—x），当a＞１时，由F（x）＞0，得log a（x＋１）＞log a（１—x），即错误!解得0＜x＜１，故x的取值范围为（0,１）．三上台阶，自主选做志在冲刺名校１．（２0１9·南通模拟）已知定义在R上的奇函数y＝f（x）满足f（２＋x）＝f（２—x），当—２≤x ＜0时，f（x）＝２x，若a n＝f（n）（n∈N*），则a２0１8＝________.解析：∵f（２＋x）＝f（２—x），以２＋x代替上式中的x，得f（４＋x）＝f（—x），又函数y＝f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（—x）＝—f（x），∴f（４＋x）＝f（—x）＝—f（x），再以４＋x代替上式中的x，得f（8＋x）＝—f（４＋x）＝f（x），∴函数f（x）的周期为8．∴a２0１8＝f（２0１8）＝f（２５２×8＋２）＝f（２），而f（２）＝—f（—２）＝—错误!，∴a２0１8＝—错误!.答案：—错误!２．设函数f（x）是定义在R上的奇函数，对任意实数x有f错误!＝—f错误!成立．（１）证明y＝f（x）是周期函数，并指出其周期；（２）若f（１）＝２，求f（２）＋f（３）的值；（３）若g（x）＝x２＋ax＋３，且y＝|f（x）|·g（x）是偶函数，求实数a的值．解：（１）由f错误!＝—f错误!，且f（—x）＝—f（x），知f（３＋x）＝f错误!＝—f错误!＝—f（—x）＝f（x），所以y＝f（x）是周期函数，且T＝３是其一个周期．（２）因为f（x）为定义在R上的奇函数，所以f（0）＝0，且f（—１）＝—f（１）＝—２，又T＝３是y＝f（x）的一个周期，所以f（２）＋f（３）＝f（—１）＋f（0）＝—２＋0＝—２．（３）因为y＝|f（x）|·g（x）是偶函数，且|f（—x）|＝|—f（x）|＝|f（x）|，所以|f（x）|为偶函数．故g（x）＝x２＋ax＋３为偶函数，即g（—x）＝g（x）恒成立，于是（—x）２＋a（—x）＋３＝x２＋ax＋３恒成立．于是２ax＝0恒成立，所以a＝0．。
新高考数学理一轮总复习知能演练2.3函数的奇偶性与周期性(含答案详析)
一、选择题1． (2012 ·考陕西卷高 ) 以下函数中，既是奇函数又是增函数的为()A ． y ＝ x ＋ 13B ． y ＝－ x1C ． y ＝ xD ．y ＝ x|x|分析： 选 D. 由函数的奇偶性清除 A ，由函数的单一性清除 B 、 C ，由 y ＝ x|x|的图象可知当 x ＞ 0 时此函数为增函数，又该函数为奇函数，应选D.2．已知 y ＝ f(x ＋ 1)是偶函数，则函数 y ＝ f( x)的图象的对称轴是 ( )A ． x ＝ 1B ． x ＝－ 11 1C ． x ＝ 2D ．x ＝－ 2分析： 选 A. ∵y ＝ f(x ＋ 1)是偶函数，∴ f(1＋ x)＝ f(1－ x)，故 f(x)对于直线 x ＝ 1 对称． 3．函数 f( x)＝ x 3＋ sinx ＋ 1(x ∈ R )，若 f(a)＝ 2，则 f(－ a)的值为 ( )A ． 3B ． 0C ．－ 1D ．－2分析： 选 B.f(a)＝ a 3＋ sina ＋ 1，①33f(－ a)＝ (－ a) ＋ sin(－ a)＋ 1＝－ a － sina ＋ 1，②∴f(－ a)＝ 2－ f(a)＝ 2－ 2＝ 0.24．函数 f( x)＝ 1－ 1＋ 2x (x ∈R )( )A ．既不是奇函数又不是偶函数B ．既是奇函数又是偶函数C ．是偶函数但不是奇函数D ．是奇函数但不是偶函数分析： 选 D. ∵f(x)＝ 1－2 ＝ 2x－ 1，1＋ 2x 2x ＋ 12－x－11－ 2x 2x － 1 ∴f(－ x)＝ x＝ 1＋ 2 x ＝－ x＝－ f(x)． 2－＋ 12 ＋ 1又其定义域为 R ，∴f(x)是奇函数．5．定义在 R 上的偶函数 y ＝f(x)知足 f(x ＋ 2)＝ f(x)，且当 x ∈ (0,1] 时单一递加，则 ()15 A ． f 3 ＜ f(－5)＜ f 2 1 5B ． f 3 ＜ f 2 ＜ f(－5) 5 1C ． f 2 ＜ f 3 ＜ f(－5)D ． f(－5) ＜f 1＜ f 53 2分析： 选 B.∵f(x ＋ 2)＝ f(x)，∴f(x) 是以 2 为周期的函数，51＋ 21，又 f(x)是偶函数，∴ f 2 ＝ f2＝ f 2 f(－ 5)＝ f(5)＝ f(4＋ 1)＝ f(1) ，∵函数 f(x)在 (0,1] 上单一递加，1 1 1 5∴f 3 ＜ f 2 ＜ f(1)，即 f 3 ＜ f 2 ＜ f(－ 5)．二、填空题6．设函数 f(x) ＝x(e x ＋ ae －x )(x ∈ R )是偶函数，则实数 a 的值为 ________．分析： 由于 f(x)是偶函数，因此恒有f(－ x)＝ f(x)，即－ x(e－x＋ae x )＝ x(e x＋ ae －x )，化简得 x(e －x ＋e x )( a ＋ 1)＝ 0.由于上式对随意实数x 都建立，因此 a ＝－ 1.答案： －17．函数 f(x)在 R 上为奇函数， 且 x ＞ 0 时， f(x)＝ x ＋ 1，则当 x ＜ 0 时，f(x)＝ ________. 分析： ∵f(x)为奇函数， x ＞0 时， f(x)＝ x ＋ 1， ∴当x ＜ 0 时，－ x ＞ 0， f(x)＝－ f(－ x)＝－ ( － x ＋ 1)，即 x ＜0 时， f(x)＝－ ( － x ＋ 1)＝－－ x － 1.答案： － － x － 18． (2013 大·连质检 )设 f(x)是定义在 (－∞， 0)∪ (0，＋∞ )上的奇函数，且f(x ＋ 3) ·f(x)＝－ 1， f(－ 4)＝ 2，则 f(2014) ＝________.分析： 由已知 f(x ＋ 3)＝－ 1，f x∴f(x ＋ 6)＝－ 1＝ f(x)，f x ＋ 3 ∴f(x)的周期为 6.∴f(2014) ＝ f(335× 6＋ 4)＝ f(4) ＝－ f(－ 4)＝－ 2. 答案： －2 三、解答题9．判断以下函数的奇偶性：(1)f(x)＝x 2－ 1＋ 1－ x 2；x 2－ 2x ＋ 3x>0 ，(2)f(x)＝ 0 x ＝ 0 ，－ x 2－ 2x －3x<0 .解： (1)f(x) 的定义域为 { － 1,1} ，对于原点对称．又 f(－ 1)＝ f(1) ＝0.∴f(－ 1)＝ f(1) 且 f(－ 1)＝－ f(1)，∴f(x)既是奇函数又是偶函数．(2)①当 x ＝ 0 时，－ x ＝0，f(x)＝f(0)＝ 0， f(－ x)＝ f(0) ＝ 0， ∴f(－ x)＝－ f(x)． ②当 x>0 时，－ x<0，∴f(－ x)＝－ (－ x)2－ 2(－ x)－ 3＝－ (x 2－ 2x ＋ 3)＝－ f( x)．③当 x<0 时，－ x>0，∴f(－ x)＝ (－ x)2－2(－ x)＋3＝－ (－ x2－2x－ 3)＝－ f(x) ．由①②③可知，当x∈R时，都有f(－ x)＝－ f(x) ，∴f(x)为奇函数．10．已知奇函数f(x)的定义域为 [ － 2,2] ，且在区间 [ －2,0] 内递减，求知足：f(1－ m)＋ f(1－m2)<0 的实数 m 的取值范围．解：∵f(x)的定义域为 [－ 2,2] ，－ 2≤ 1－ m≤ 2∴有，－ 2≤ 1－ m2≤ 2解得－ 1≤ m≤ 3.①又 f(x)为奇函数，且在[－ 2,0] 上递减，∴在[ － 2,2]上递减，22－ 1)?2∴f(1－ m)< －f(1－m )＝ f(m1－ m>m －1，即－ 2<m<1.②综合①②可知，－1≤ m<1.一、选择题1． (2012 ·考天津卷高) 以下函数中，既是偶函数，又在区间(1,2)内是增函数的为 () A． y＝ cos 2x， x∈R B ． y＝ log2|x|，x∈R且 x≠ 0C． y＝e x－e－ x， x∈R D ．y＝ x3＋ 1， x∈R 2分析：选 B. 由函数是偶函数能够清除 C 和 D，又函数在区间(1,2)内为增函数，而此时y＝ log 2|x|＝log 2x 为增函数，因此选择 B.2．(2011 ·考山东卷高)已知 f(x)是R上最小正周期为 2 的周期函数，且当 0≤x<2 时，f(x)＝ x3－ x，则函数 y＝ f(x)的图象在区间[0,6] 上与 x 轴的交点的个数为 () A． 6 B ． 7C． 8 D ．9分析：选 B.令 f(x)＝ x3－ x＝0，即 x(x＋ 1)(x－ 1)＝ 0，因此 x＝ 0,1，－ 1，由于 0≤ x＜ 2，因此此时函数的零点有两个，即与x 轴的交点个数为 2.由于 f(x)是R上最小正周期为 2 的周期函数，因此 2≤ x＜ 4,4≤ x＜ 6 上也分别有两个零点，由 f(6) ＝ f(4) ＝ f(2)＝ f(0)＝ 0，知 x＝6 也是函数的零点，因此函数 y＝ f(x)的图象在区间[0,6] 上与 x 轴的交点个数为7.二、填空题13．若 f(x)＝2x－1＋ a 是奇函数，则a＝ ________.分析： ∵f(x)为奇函数，∴ f(－ x)＝－ f(x)，即1 － 11 ＋a ＝ － a ，得： 2a ＝ 1，a ＝2－x － 1 2x －12. 答案：124．(2013 长·春质检 )设 f(x)是 (－∞，＋∞ )上的奇函数，且 f(x ＋ 2)＝－ f(x)，下边对于 f(x)的判断：此中正确命题的序号为________．① f(4)＝ 0； ② f(x)是以 4 为周期的函数； ③ f(x)的图象对于 x ＝ 1 对称； ④ f(x)的图象对于 x ＝ 2 对称．分析： ∵f(x ＋2) ＝－ f(x)，∴f(x)＝－ f( x ＋ 2)＝－ (－ f(x ＋ 2＋ 2)) ＝ f(x ＋ 4)，即 f(x)的周期为 4，②正确．∵f(x)为奇函数，∴ f(4)＝ f(0) ＝ 0，即①正确．又∵f(x ＋ 2)＝－ f(x)＝ f(－ x)，∴f(x)的图象对于 x ＝ 1 对称，∴③正确，又∵f(1)＝－ f(3) ，当 f(1) ≠0 时，明显 f(x)的图象不对于 x ＝2 对称，∴④错误． 答案： ①②③ 三、解答题5．已知函数 f(x)＝ x 2＋ |x － a|＋ 1， a ∈ R .(1)试判断 f(x)的奇偶性；1 1(2)若－ 2≤a ≤ 2，求 f(x)的最小值． 解： (1)当 a ＝ 0 时，函数 f(－ x)＝ (－ x)2＋ |－ x|＋ 1＝ f(x)， 此时， f(x)为偶函数．当 a ≠0 时， f(a)＝ a 2＋ 1， f(－ a)＝ a 2＋ 2|a|＋ 1， f(a)≠f(－ a)， f(a)≠ － f(－a)，此时， f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．2 － x ＋ a ＋ 1＝ x －1 23 (2)当 x ≤ a 时， f( x)＝ x 2＋ a ＋ ，4∵a ≤12，故函数f(x)在 (－ ∞ ，a]上单一递减，进而函数 f(x)在 (－ ∞， a]上的最小值为 f(a)＝ a 2＋ 1.当 x ≥a 时，函数 f(x)＝ x 2＋ x － a ＋ 1＝ x ＋1 2－ a ＋ 3，241∵a ≥－ 2，故函数 f(x)在 [a ，＋ ∞ )上单一递加，进而函数 f(x)在 [a ，＋ ∞ )上的最小值为 f(a)＝ a 2＋ 1.1 12综上得，当－2≤ a ≤ 2时，函数 f(x)的最小值为a ＋ 1.。
高考数学一轮总复习 2.3 函数的奇偶性与周期性题组训练 理 苏教版
第3讲 函数的奇偶性与周期性基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、填空题1．(2013·温州二模)若函数f (x )＝sin xx ＋a 2是奇函数，则a 的值为________．解析 由f (－1)＝－f (1)，得sin －1－1＋a2＝－sin 11＋a2， ∴(－1＋a )2＝(1＋a )2解得a ＝0. 答案 02．(2014·温岭中学模拟)f (x )为奇函数，当x ＜0时，f (x )＝log 2(1－x )，则f (3)＝________.解析 f (3)＝－f (－3)＝－log 24＝－2. 答案 －23．(2013·重庆卷改编)已知函数f (x )＝ax 3＋b sin x ＋4(a ，b ∈R )，f (lg(log 210))＝5，则f (lg(lg 2))＝________.解析 ∵f (x )＝ax 3＋b sin x ＋4，① ∴f (－x )＝a (－x )3＋b sin(－x )＋4， 即f (－x )＝－ax 3－b sin x ＋4，② ①＋②得f (x )＋f (－x )＝8，③ 又∵lg(log 210)＝lg ⎝⎛⎭⎪⎫1lg 2＝lg(lg 2)－1＝－lg(lg 2)，∴f (lg(log 210))＝f (－lg(lg 2))＝5， 又由③式知f (－lg(lg 2))＋f (lg(lg 2))＝8， ∴5＋f (lg(lg 2))＝8，∴f (lg(lg 2))＝3. 答案 34．函数f (x )是周期为4的偶函数，当x ∈[0,2]时，f (x )＝x －1，则不等式xf (x )>0在[－1,3]上的解集为______． 解析 f (x )的图象如图．当x ∈(－1,0)时，由xf (x )>0，得x ∈(－1,0)； 当x ∈(0,1)时，由xf (x )>0，得x ∈∅； 当x ∈(1,3)时，由xf (x )>0，得x ∈(1,3)． ∴x ∈(－1,0)∪(1,3)． 答案 (－1,0)∪(1,3)5．(2014·武汉一模)已知定义在R 上的奇函数f (x )和偶函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝a x－a－x＋2(a >0且a ≠1)，若g (2)＝a ，则f (2)＝________.解析 依题意知f (－x )＋g (－x )＝g (x )－f (x )＝a －x－a x ＋2，联立f (x )＋g (x )＝a x －a －x＋2，解得g (x )＝2，f (x )＝a x －a －x ，故a ＝2，f (2)＝22－2－2＝4－14＝154.答案1546．(2013·青岛二模)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且满足f (x ＋2)＝f (x )对任意x ∈R 成立，当x ∈(－1,0)时f (x )＝2x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝________.解析 因为f (x ＋2)＝f (x )，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝1. 答案 17．设定义在[－2,2]上的偶函数f (x )在区间[0,2]上单调递减，若f (1－m )＜f (m )，则实数m 的取值范围是________．解析 ∵f (x )是偶函数，∴f (－x )＝f (x )＝f (|x |)． ∴不等式f (1－m )＜f (m )⇔f (|1－m |)＜f (|m |)． 又当x ∈[0,2]时，f (x )是减函数． ∴⎩⎪⎨⎪⎧|1－m |＞|m |，－2≤1－m ≤2，－2≤m ≤2，解得－1≤m ＜12.答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，128．(2013·临沂模拟)下列函数①y ＝x 3；②y ＝|x |＋1；③y ＝－x 2＋1；④y ＝2x中既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递增的函数是________．解析 因为①是奇函数，所以不成立．③在(0，＋∞)上单调递减，不成立，④为非奇非偶函数，不成立，所以填②. 答案 ② 二、解答题9．f (x )为R 上的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝－2x 2＋3x ＋1，求f (x )的解析式．解 当x ＜0时， －x ＞0，则f (－x )＝－2(－x )2＋3(－x )＋1＝－2x 2－3x ＋1.由于f (x )是奇函数，故f (x )＝－f (－x )， 所以当x ＜0时，f (x )＝2x 2＋3x －1. 因为f (x )为R 上的奇函数，故f (0)＝0.综上可得f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x 2＋3x ＋1，x ＞0，0，x ＝0，2x 2＋3x －1，x ＜0.10．设f (x )是定义域为R 的周期函数，且最小正周期为2，且f (1＋x )＝f (1－x )，当－1≤x ≤0时，f (x )＝－x . (1)判定f (x )的奇偶性；(2)试求出函数f (x )在区间[－1,2]上的表达式． 解 (1)∵f (1＋x )＝f (1－x )， ∴f (－x )＝f (2＋x )．又f (x ＋2)＝f (x )，∴f (－x )＝f (x )， ∴f (x )是偶函数．(2)当x ∈[0,1]时，－x ∈[－1,0]， 则f (x )＝f (－x )＝x ；进而当1≤x ≤2时，－1≤x －2≤0，f (x )＝f (x －2)＝－(x －2)＝－x ＋2.故f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ，x ∈[－1，0，x ，x ∈[0，1，－x ＋2，x ∈[1，2].能力提升题组 (建议用时：25分钟)一、填空题1．(2013·昆明模拟)已知偶函数f (x )对∀x ∈R 都有f (x －2)＝－f (x )，且当x ∈[－1,0]时f (x )＝2x，则f (2 013)＝________.解析 由f (x －2)＝－f (x )得f (x －4)＝f (x )，所以函数的周期是4，故f (2 013)＝f (4×503＋1)＝f (1)＝f (－1)＝2－1＝12.答案 122．(2014·郑州模拟)已知函数f (x ＋1)是偶函数，当1＜x 1＜x 2时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)＞0恒成立，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为________． 解析 ∵f (x ＋1)是偶函数，∴f (x ＋1)＝f (－x ＋1)， ∴y ＝f (x )关于x ＝1对称．又1＜x 1＜x 2， [f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)＞0，知y ＝f (x )在[1，＋∞)是增函数，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，且2＜52＜3，∴f (2)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＜f (3)，即b ＜a ＜c . 答案 b ＜a ＜c3．设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R 恒有f (x ＋1)＝f (x －1)，已知当x ∈[0,1]时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121－x ，则：①2是函数f (x )的周期；②函数f (x )在(1,2)上递减，在(2,3)上递增； ③函数f (x )的最大值是1，最小值是0；④当x ∈(3,4)时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －3.其中所有正确命题的序号是________．解析 由已知条件：f (x ＋2)＝f (x )，则y ＝f (x )是以2为周期的周期函数，①正确；当－1≤x ≤0时0≤－x ≤1，f (x )＝f (－x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121＋x ，函数y ＝f (x )的图象如图所示：当3＜x ＜4时，－1＜x －4＜0，f (x )＝f (x －4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －3，因此②④正确，③不正确．答案 ①②④二、解答题4．已知函数f (x )在R 上满足f (2－x )＝f (2＋x )，f (7－x )＝f (7＋x )，且在闭区间[0,7]上，只有f (1)＝f (3)＝0.(1)试判断函数y ＝f (x )的奇偶性；(2)试求方程f (x )＝0在闭区间[－2 014,2 014]上根的个数，并证明你的结论． 解 (1)若y ＝f (x )为偶函数，则f (－x )＝f [2－(x ＋2)]＝f [2＋(x ＋2)]＝f (4＋x )＝f (x )，∴f (7)＝f (3)＝0，这与f (x )在闭区间[0,7]上只有f (1)＝f (3)＝0矛盾；因此f (x )不是偶函数．若y ＝f (x )为奇函数，则f (0)＝－f (0)，∴f (0)＝0，这与f (x )在闭区间[0,7]上只有f (1)＝f (3)＝0矛盾；因此f (x )不是奇函数．综上可知：函数f (x )既不是奇函数也不是偶函数． (2)由⎩⎪⎨⎪⎧f 2－x ＝f 2＋x ，f7－x ＝f 7＋x⇒⎩⎪⎨⎪⎧f x ＝f 4－x ，fx ＝f 14－x⇒f (4－x )＝f (14－x )⇒f (x )＝f (x ＋10)，从而知函数y ＝f (x )的周期T ＝10.由f (3)＝f (1)＝0，得f (11)＝f (13)＝f (－7)＝f (－9)＝0.故f (x )在[0,10]和[－10,0]上均有两个解，从而可知函数y ＝f (x )在[0,2 014]上有404个解，在[－2 014,0]上有402个解，所以函数y ＝f (x )在[－2 014,2 014]上共有806个解.。
2022届新高考一轮复习苏教版 函数的奇偶性与周期性 作业
专练8 函数的奇偶性与周期性[基础强化]一、选择题1．下列函数中，在(0，＋∞)上单调递减，并且是偶函数的是( )A ．y ＝x 2B ．y ＝－x 3C ．y ＝－lg|x |D ．y ＝2x2．设函数f (x )，g (x )的定义域都为R ，且f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，则下列结论中正确的是( )A ．f (x )g (x )是偶函数B ．f (x )|g (x )|是奇函数C ．|f (x )|g (x )是奇函数D ．|f (x )g (x )|是奇函数3．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝log 2x ，则f (－8)＝( )A ．3B.13C ．－13D ．－3 4．设f (x )是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，则f ⎝⎛⎭⎫－52＝( ) A ．－12B ．－14C.14D.125．[2021·广西桂林测试]定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，当x ∈[0,1]时，f (x )＝3x ，则( )A ．f (－1)＝f (2)B ．f (－1)＝f (4)C ．f ⎝⎛⎭⎫－32>f ⎝⎛⎭⎫53D ．f ⎝⎛⎭⎫－32＝f (4) 6．函数f (x )为奇函数，定义域为R ，若f (x ＋2)为偶函数，且f (1)＝1，则f (2016)＋f (2017)＝( )A ．－2B ．－1C ．0D ．17．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，设a ＝f (log 47)，b ＝f (log 23)，c ＝f (0.20.6)，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．c <b <aB ．b <c <aC ．b <a <cD ．a <b <c8．函数f (x )在(－∞，＋∞)单调递减，且为奇函数，若f (1)＝－1，则满足－1≤f (x －2)≤1的x 的取值范围是( )A ．[－2,2]B ．[－1,1]C ．[0,4]D ．[1,3]9．已知f (x )是定义在R 上的以3为周期的偶函数，若f (1)<1，f (5)＝2a －3a ＋1，则实数a 的取值范围为( )A ．(－1,4)B ．(－2,0)C ．(－1,0)D ．(－1,2)二、填空题10．[2021·全国新高考Ⅰ卷]已知函数f (x )＝x 3(a ·2x －2－x )是偶函数，则a ＝________.11．函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )为减函数，且f (－1)＝1，若f (x －2)≥－1，则x 的取值范围是________．12．已知f (x )是奇函数，且当x <0时，f (x )＝－e ax .若f (ln2)＝8，则a ＝________.[能力提升]13．定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋6)＝f (x )，当－3≤x ≤－1时，f (x )＝－(x ＋2)2，当－1≤x <3时，f (x )＝x ，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2018)＝( )A ．336B ．339C ．1679D ．201814．已知奇函数f (x )在R 上是增函数，g (x )＝xf (x )．若a ＝g (－log 25.1)，b ＝g (20.8)，c ＝g (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a <b <cB ．c <b <aC ．b <a <cD ．b <c <a15．[2021·惠州一中测试]已知函数y ＝f (x )的定义域为R ，且满足下列三个条件：①对任意的x 1，x 2∈[4,8]，当x 1<x 2时，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0恒成立； ②f (x ＋4)＝－f (x )；③y ＝f (x ＋4)是偶函数．若a ＝f (6)，b ＝f (11)，c ＝f (2017)，则a ，b ，c 的大小关系正确的是( )A ．a <b <cB ．b <a <cC ．a <c <bD ．c <b <a16．(多选)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，满足f (x －1)＝f (x ＋1)，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x .设函数g (x )＝f (x )－kx －k ，则下列结论成立的是( )A ．函数f (x )的一个周期为2B ．f ⎝⎛⎭⎫43＝－23C ．当实数k ＞－1时，函数g (x )在区间[1,2]上单调递减D ．在区间[－1,3]内，若函数g (x )有4个零点，则实数k 的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，14专练8 函数的奇偶性与周期性1．C2．B3．D ∵f (x )为奇函数，∴f (－8)＝－f (8)＝－log 28＝－3.4．A ∵f (x )为奇函数且周期为2，∴f ⎝⎛⎭⎫－52＝－f ⎝⎛⎭⎫52＝－f ⎝⎛⎭⎫12＝－2×12×⎝⎛⎭⎫1－12＝－12. 5．C ∵f (x ＋2)＝f (x )，∴f (x )的周期为2，又f (x )为偶函数，∴f (－1)＝f (1)＝31＝3，∴f (2)＝f (0)＝1，∴f (4)＝f (0)＝1，f ⎝⎛⎭⎫－32＝f ⎝⎛⎭⎫12＝3，f ⎝⎛⎭⎫53＝f ⎝⎛⎭⎫－13＝f ⎝⎛⎭⎫13＝33， ∴f ⎝⎛⎭⎫－32>f ⎝⎛⎭⎫53. 6．D ∵f (x ＋2)为偶函数，∴f (2＋x )＝f (2－x )，又f (x )为奇函数，∴f (－x ＋2)＝－f (x －2)，∴f (x ＋2)＝－f (x －2)，∴f (x ＋4)＝－f (x )，∴f (x ＋8)＝－f (x ＋4)＝f (x )，∴f (x )是以8为周期的周期函数，∵f (0)＝0，∴f (2016)＝f (0)＝0，f (2017)＝f (1)＝1，∴f (2016)＋f (2017)＝0＋1＝1.7．C f (x )是定义在R 上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，得函数在(0，＋∞)上是减函数，图象越靠近y 轴，图象越靠上，即自变量的绝对值越小，函数值越大，由于0<0.20.6<1<log 47<log 49＝log 23，可得b <a <c ，故选C.8．D ∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )．∵f (1)＝－1，∴f (－1)＝－f (1)＝1，由－1≤f (x －2)≤1，得f (1)≤f (x －2)≤f (－1)，由f (x )在(－∞，＋∞)单调递减，∴－1≤x －2≤1，∴1≤x ≤3.9．A ∵f (x )是周期为3的偶函数，∴f (5)＝f (5－6)＝f (－1)＝f (1)＝2a －3a ＋1， 又f (1)<1，∴2a －3a ＋1<1， 得－1<a <4.10．1解析：因为f ()x ＝x 3()a ·2x －2－x ，故f ()－x ＝－x 3()a ·2－x －2x ， 因为f ()x 为偶函数，故f ()－x ＝f ()x ，即x 3()a ·2x －2－x ＝－x 3()a ·2－x －2x ，整理得到()a －1()2x ＋2－x ＝0， 故a ＝1.11．(－∞，3]解析：函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且是[0，＋∞)上的减函数，故函数f (x )在R 上单调递减．又f (－1)＝1，所以f (1)＝－1，因此f (x －2)≥－1⇔f (x －2)≥f (1)⇔x －2≤1⇔x ≤3，所以x 的取值范围是(－∞，3]．12．－3解析：当x >0时，－x <0，f (－x )＝－e －ax .因为函数f (x )为奇函数，所以当x >0时，f (x )＝－f (－x )＝e －ax ，所以f (ln2)＝e －a ln2＝⎝⎛⎭⎫12a ＝8，所以a ＝－3.13．B ∵f (x ＋6)＝f (x )，∴f (x )为周期函数，且周期为6，∴f (1)＝1，f (2)＝2，f (3)＝f (3－6)＝f (－3)＝－(－3＋2)2＝－1，f (4)＝f (4－6)＝f (－2)＝－(－2＋2)2＝0，f (5)＝f (5－6)＝f (－1)＝－(－1＋2)2＝－1，f (6)＝f (0)＝0，∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＋f (6)＝1＋2－1＋0－1＋0＝1，∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2018)＝336＋1＋2＝339.14．C 奇函数f (x )在R 上是增函数，当x >0时，f (x )>f (0)＝0，当x 1>x 2>0时，f (x 1)>f (x 2)>0，∴x 1f (x 1)>x 2f (x 2)，∴g (x )在(0，＋∞)上单调递增，且g (x )＝xf (x )是偶函数，∴a ＝g (－log 25.1)＝g (log 25.1)，2<log 25.1<3,1<20.8<2，由g (x )在(0，＋∞)上单调递增，得g (20.8)<g (log 25.1)<g (3)，∴b <a <c ，故选C.15．B 由①知函数f (x )在区间[4,8]上为单调递增函数；由②知f (x ＋8)＝－f (x ＋4)＝f (x )，即函数f (x )的周期为8，所以c ＝f (2017)＝f (252×8＋1)＝f (1)，b ＝f (11)＝f (3)；由③可知函数f (x )的图象关于直线x ＝4对称，所以b ＝f (3)＝f (5)，c ＝f (1)＝f (7)．因为函数f (x )在区间[4,8]上为单调递增函数，所以f (5)<f (6)<f (7)，即b <a <c ，故选B.16．ACD 因为f (x －1)＝f (x ＋1)，所以f (x )＝f (x ＋2)，所以函数f (x )是周期函数，且T ＝2是函数f (x )的一个周期，所以选项A 正确；因为函数f (x )是偶函数，所以f (x )＝f (－x )，又当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，所以f ⎝⎛⎭⎫43＝f ⎝⎛⎭⎫43－2＝f ⎝⎛⎭⎫－23＝f ⎝⎛⎭⎫23＝23，所以选项B 错误；根据函数f (x )是偶函数，且T ＝2是函数f (x )的一个周期，及当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，作出函数f (x )的图象，如图所示，由图可知，当x ∈[1,2]时，f (x )＝－x ＋2，所以g (x )＝－x ＋2－kx －k ＝－(1＋k )x ＋2－k ，因为k ＞－1，所以1＋k ＞0，所以－(1＋k )＜0，所以函数g (x )在[1,2]上单调递减，所以选项C 正确；在区间[－1,3]内，函数g (x )有4个零点，即f (x )＝k (x ＋1)有4个根，即函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝k (x ＋1)在[－1,3]内有4个交点，由图可知，0＜k (3＋1)≤1，解得0＜k ≤14，即实数k 的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，14，所以选项D 正确．故选ACD.。
高考数学一轮总复习 2.3 函数的奇偶性与周期性课件 理 苏教版
即－2＋1－1－1－a＝2＋1－11－a，
所以a＋1＝3(1－a)，解得a＝12.
[答案]
1 2
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•[反思感悟] 已知函数的奇偶性求参数值一般思路 是：利用函数的奇偶性的定义(dìngyì)转化为f(－ x)＝±f(x)，从而建立方程，使问题获得解决， 但是在解决选择题、填空题时还显得较麻烦，为 了使解题更快，可采用特值法．
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1．正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：(1) 定义域关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要非 充分条件；(2)f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)是定义域上的恒等 式．
2．奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据．为了便于判 断函数的奇偶性，有时需要先将函数进行化简，或应用定义 的等价形式：f(－x)＝±f(x)⇔f(－x)±f(x)＝0⇔ff－xx＝ ±1(f(x)≠0)．
，如(2)．
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2．两个结论 一是若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x) 关于直线x＝a对称；若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝ f(x)关于点(b,0)中心对称，如(4)． 二是若对任意x∈D都有f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)是以2a为周期 的函数；若对任意x∈D都有f(x＋a)＝±f1x (f(x)≠0)，则f(x)也 是以2a为周期的函数，如(7)(8).
答案(dáàn) 2
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•规律方法 判断函数(hánshù)的奇偶性，其中包括 两个必备条件： •(1)定义域关于原点对称，这是函数(hánshù)具有 奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域 ； •(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系．在判断 奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价 等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数(hánshù))或
高考数学一轮复习 第二章 第三节 函数的奇偶性及周期性教案 文(含解析)苏教版-苏教版高三全册数学教
第三节 函数的奇偶性及周期性1．函数的奇偶性 奇偶性 定义图象特点 偶函数如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有f (－x )＝f (x )，那么函数f (x )就叫做偶函数关于y 轴对称奇函数 如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有f (－x )＝ －f (x )，那么函数f (x )就叫做奇函数关于原点对称2．函数的周期性 (1)周期函数对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期．(2)最小正周期如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期．[小题体验]1．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ＞0时，f (x )＝x 2＋1x，则f (－1)＝________.答案：－22．若函数f (x )是周期为5的奇函数，且满足f (1)＝1，f (2)＝2，则f (8)－f (14)＝________.答案：－13．若函数f (x )＝(a －1)x 2＋(a ＋1)x ＋a 2－1是奇函数，则实数a 的值是________． 解析：由于函数f (x )的定义域为R ，又函数f (x )是奇函数，故f (0)＝0，解得a ＝1或a ＝－1(舍去)，经检验a ＝1时符合题意．答案：11．判断函数的奇偶性，易忽视判断函数定义域是否关于原点对称．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．2．判断函数f (x )的奇偶性时，必须对定义域内的每一个x ，均有f (－x )＝－f (x )或f (－x )＝f (x )，而不能说存在x 0使f (－x 0)＝－f (x 0)或f (－x 0)＝f (x 0)．3．分段函数奇偶性判定时，误用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数去否定函数在整个定义域上的奇偶性．[小题纠偏]1．已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，那么a ＋b ＝________. 解析：因为f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，所以a －1＋2a ＝0，所以a ＝13.又f (－x )＝f (x )，所以b ＝0，所以a ＋b ＝13. 答案：132．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ＞0，log 2－x ，x ＜0的奇偶性为________．解析：因为x ≠0，故f (x )的定义域关于原点对称． 当x ＞0时，－x ＜0，所以f (－x )＝log 2x ＝f (x )． 当x ＜0时，－x ＞0，所以f (－x )＝log 2(－x )＝f (x )． 故f (－x )＝f (x )，所以f (x )为偶函数． 答案：偶函数考点一 函数奇偶性的判断基础送分型考点——自主练透[题组练透]判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝1－x 2＋x 2－1； (2)f (x )＝3－2x ＋2x －3； (3)f (x )＝3x －3－x； (4)f (x )＝4－x2|x ＋3|－3；(5)(易错题)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x ＞0，x 2－x ，x ＜0.解：(1)因为由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1≥0，1－x 2≥0，得x ＝±1，所以f (x )的定义域为{－1,1}．又f (1)＋f (－1)＝0，f (1)－f (－1)＝0， 即f (x )＝±f (－x )．所以f (x )既是奇函数又是偶函数．(2)因为函数f (x )＝3－2x ＋2x －3的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫32，不关于坐标原点对称，所以函数f (x )既不是奇函数，也不是偶函数． (3)因为f (x )的定义域为R ，所以f (－x )＝3－x－3x ＝－(3x －3－x)＝－f (x )， 所以f (x )为奇函数．(4)因为由⎩⎪⎨⎪⎧4－x 2≥0，|x ＋3|－3≠0，得－2≤x ≤2且x ≠0.所以f (x )的定义域为[－2,0)∪(0,2]， 所以f (x )＝4－x2|x ＋3|－3＝4－x 2x ＋3－3＝4－x2x，所以f (－x )＝－f (x )，所以f (x )是奇函数．(5)易知函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称， 又当x ＞0时，f (x )＝x 2＋x ， 则当x ＜0时，－x ＞0， 故f (－x )＝x 2－x ＝f (x )；当x ＜0时，f (x )＝x 2－x ，则当x ＞0时，－x ＜0， 故f (－x )＝x 2＋x ＝f (x )，故原函数是偶函数．[谨记通法]判定函数奇偶性的3种常用方法 (1)定义法(2)图象法(3)性质法①设f (x )，g (x )的定义域分别是 D 1，D 2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．②复合函数的奇偶性可概括为“同奇则奇，一偶则偶”．[提醒] (1)“性质法”中的结论是在两个函数的公共定义域内才成立的．(2)判断分段函数的奇偶性应分段分别证明f(－x)与f(x)的关系，只有对各段上的x 都满足相同的关系时，才能判断其奇偶性．考点二函数的周期性重点保分型考点——师生共研[典例引领]设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)，当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2.(1)求证：f(x)是周期函数；(2)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 018)．解：(1)证明：因为f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)．所以f(x)是周期为4的周期函数．(2)因为f(0)＝0，f(1)＝1，f(2)＝0，f(3)＝－f(1)＝－1.又f(x)是周期为4的周期函数，所以f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＝…＝f(2 012)＋f(2 013)＋f(2 014)＋f(2 015)＝0.所以f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 018)＝f(2 016)＋f(2 017)＋f(2 018)＝f(0)＋f(1)＋f(2)＝1.[由题悟法]1．判断函数周期性的2个方法(1)定义法．(2)图象法．2．周期性3个常用结论(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a.(2)若f(x＋a)＝1f x，则T＝2a.(3)若f(x＋a)＝－1f x，则T＝2a(a＞0)．[即时应用]1．(2018·镇江调研)已知f(x)是定义在R上周期为4的函数，且f(－x)＋f(x)＝0，当0＜x＜2时，f(x)＝2x－1，则f(－21)＋f(16)＝________.解析：由f(－x)＋f(x)＝0，知f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(0)＝0.又f(x＋4)＝f(x)，且当0＜x＜2时，f(x)＝2x－1，∴f(－21)＋f(16)＝f(－1)＋f(0)＝－f(1)＝－(21－1)＝－1.答案：－12．已知f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x ＜2时，f (x )＝x 3－x ，则函数y ＝f (x )的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点个数为________．解析：因为当0≤x ＜2时，f (x )＝x 3－x ，又f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，且f (0)＝0， 所以f (6)＝f (4)＝f (2)＝f (0)＝0. 又f (1)＝0，所以f (3)＝f (5)＝0.故函数y ＝f (x )的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点个数为7. 答案：7考点三 函数性质的综合应用题点多变型考点——多角探明 [锁定考向]函数的奇偶性、周期性以及单调性是函数的三大性质，在高考中常常将它们综合在一起命制试题，其中奇偶性多与单调性相结合，而周期性常与抽象函数相结合，并以结合奇偶性求函数值为主．多以填空题形式出现．常见的命题角度有： (1)奇偶性的应用； (2)单调性与奇偶性结合； (3)周期性与奇偶性结合；(4)单调性、奇偶性与周期性结合．[题点全练]角度一：奇偶性的应用1．(2018·连云港模拟)函数y ＝f (x )是R 上的奇函数，当x ＜0时，f (x )＝2x，则当x ＞0时，f (x )＝________.解析：x ＞0时，－x ＜0，因为x ＜0时，f (x )＝2x，所以当x ＞0时，f (－x )＝2－x.因为f (x )是R 上的奇函数，所以当x ＞0时，f (x )＝－f (－x )＝－2－x .答案：－2－x角度二：单调性与奇偶性结合 2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ＞0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x ＜0是奇函数，且函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，则实数a 的取值范围为________．解析：当x ＜0时，－x ＞0，f (x )＝－f (－x )＝－[－(－x )2＋2×(－x )]＝x 2＋2x ，x ＜0，所以m ＝2，所以f (x )的单调递增区间为[－1，1]，因此[－1，a －2]⊆[－1,1]⇒－1＜a －2≤1⇒1＜a ≤3.答案：(1,3]角度三：周期性与奇偶性结合3．(2019·江阴期中)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，并满足f (x ＋2)＝－1f x，当1≤x ≤2时f (x )＝x －2，则f (6.5)＝________.解析：∵f (x ＋2)＝－1f x，∴f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝－1fx ＋2＝f (x )，即函数f (x )的周期为4. ∵f (x )是定义在R 上的偶函数，∴f (－x )＝f (x )， ∴f (6.5)＝f (－1.5)＝f (1.5)＝－0.5. 答案：－0.5角度四：单调性、奇偶性与周期性结合4．已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，对任意x ∈R ，f (x －1)＝f (x ＋1)成立，当x ∈(0,1)且x 1≠x 2时，有f x 2－f x 1x 2－x 1＜0，给出下列命题：①f (1)＝0；②f (x )在区间[－2,2]上有5个零点；③点(2 018,0)是函数y ＝f (x )图象的一个对称中心； ④直线x ＝2 018是函数y ＝f (x )图象的一条对称轴． 则正确命题的序号为________．解析：在f (x －1)＝f (x ＋1)中，令x ＝0，得f (－1)＝f (1)，又f (－1)＝－f (1)，∴2f (1)＝0，∴f (1)＝0，故①正确；由f (x －1)＝f (x ＋1)，得f (x )＝f (x ＋2)，∴f (x )是周期为2的周期函数，∴f (2)＝f (0)＝0，又当x ∈(0,1)且x 1≠x 2时，有f x 2－f x 1x 2－x 1＜0，∴函数f (x )在区间(0,1)上单调递减，可作出函数f (x )的大致图象如图所示．由图知②③正确，④不正确，故正确命题的序号为①②③. 答案：①②③[通法在握]函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略(1)函数单调性与奇偶性结合．注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．(2)周期性与奇偶性结合．此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．(3)周期性、奇偶性与单调性结合．解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解．[演练冲关]1．(2018·启东中学月考)已知函数f (x )在定义域[2－a,3]上是偶函数，在[0,3]上单调递减，且f ⎝⎛⎭⎪⎫－m 2－a 5＞f (－m 2＋2m －2)，则实数m 的取值范围是________．解析：因为函数f (x )在定义域[2－a,3]上是偶函数，所以2－a ＋3＝0，所以a ＝5，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 2－a 5＞f (－m 2＋2m －2)，即f (－m 2－1)＞f (－m 2＋2m －2)．由题意知偶函数f (x )在[－3,0]上单调递增，而－m 2－1＜0，－m 2＋2m －2＝－(m －1)2－1＜0，所以由f (－m 2－1)＞f (－m 2＋2m －2)，得⎩⎪⎨⎪⎧－3≤－m 2－1≤0，－3≤－m 2＋2m －2≤0，－m 2－1＞－m 2＋2m －2，解得1－2≤m ＜12.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫1－2，12 2．设f (x )是定义在R 上周期为4的奇函数，若在区间[－2,0)∪(0,2]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ，－2≤x ＜0，ax －1，0＜x ≤2，则f (2 018)＝________.解析：设0＜x ≤2，则－2≤－x ＜0，f (－x )＝－ax ＋b .f (x )是定义在R 上周期为4的奇函数，所以f (－x )＝－f (x )＝－ax ＋1＝－ax ＋b ，所以b ＝1.而f (－2)＝f (－2＋4)＝f (2)，所以 －2a ＋1＝2a －1，解得a ＝12，所以f (2 018)＝f (2)＝2×12－1＝0.答案：0一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2019·南通中学高三测试)已知函数f (x )是定义域为R 的奇函数，且f (－1)＝2，那么f (0)＋f (1)＝________.解析：因为函数f (x )是R 上的奇函数， 所以f (－x )＝－f (x )，f (1)＝－f (－1)＝－2，f (0)＝0，所以f (0)＋f (1)＝－2. 答案：－22．(2018·南京三模)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝2x－2，则不等式f (x －1)≤2的解集是________．解析：偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递增，且f (2)＝2.所以f (x －1)≤2，即f (|x －1|)≤f (2)，即|x －1|≤2，所以－1≤x ≤3. 答案：[－1,3]3．函数f (x )＝x ＋1x＋1，f (a )＝3，则f (－a )＝________.解析：由题意得f (a )＋f (－a )＝a ＋1a ＋1＋(－a )＋1－a ＋1＝2.所以f (－a )＝2－f (a )＝－1. 答案：－14．函数f (x )在R 上为奇函数，且x ＞0时，f (x )＝x ＋1，则当x ＜0时，f (x )＝________. 解析：因为f (x )为奇函数，x ＞0时，f (x )＝x ＋1， 所以当x ＜0时，－x ＞0，f (x )＝－f (－x )＝－(－x ＋1)，即x ＜0时，f (x )＝－(－x ＋1)＝－－x －1. 答案：－－x －15．(2019·连云港高三测试)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ＞0时，f (x )＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x，则f (－2＋log 35)＝________.解析：由f (x )是定义在R 上的奇函数，得f (－2＋log 35)＝－f (2－log 35)，由于当x ＞0时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x，故f (－2＋log 35)＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 395＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1339log 5＝－59. 答案：－596．(2018·南通一调)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧xx －b ，x ≥0ax x ＋2，x ＜0(a ，b ∈R)为奇函数，则f (a＋b )＝________.解析：法一：因为函数f (x )为奇函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧f－1＝－f 1，f －2＝－f 2，即⎩⎪⎨⎪⎧11－b ＝a －1＋2，22－b ＝2a －2＋2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝2，经验证a ＝－1，b ＝2满足题设条件，所以f (a ＋b )＝f (1)＝－1.法二：因为函数f (x )为奇函数，所以f (x )的图象关于原点对称，由题意知，当x ≥0，二次函数的图象顶点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫b2，－b 24，当x ＜0，二次函数的图象顶点坐标为(－1，－a )，所以⎩⎪⎨⎪⎧－b2＝－1，b24＝－a ，解得a ＝－1，b ＝2，经验证a ＝－1，b ＝2满足题设条件， 所以f (a ＋b )＝f (1)＝－1. 答案：－1二保高考，全练题型做到高考达标1．(2018·抚顺期末)设f (x )是定义在[－2b,3＋b ]上的偶函数，且在[－2b,0]上为增函数，则f (x －1)≥f (3)的解集为________．解析：∵f (x )是定义在[－2b,3＋b ]上的偶函数， ∴－2b ＋3＋b ＝0， ∴b ＝3，∴f (x )是定义在[－6,6]上的偶函数，且在[－6,0]上为增函数， ∴f (x )在[0,6]上为减函数， ∴由f (x －1)≥f (3)，得|x －1|≤3， 解得－2≤x ≤4，∴f (x －1)≥f (3)的解集为{x |－2≤x ≤4}． 答案：{x |－2≤x ≤4}2．(2019·常州一中模拟)设定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋1)＋f (x )＝1，且当x ∈[1,2]时，f (x )＝2－x ，则f (－2 018.5)＝________.解析：由f (x ＋1)＋f (x )＝1在R 上恒成立，得f (x －1)＋f (x )＝1，两式相减得f (x ＋1)－f (x －1)＝0，即f (x ＋1)＝f (x －1)恒成立，故函数f (x )的周期是2，∴f (－2 018.5)＝f (－0.5)＝f (1.5)， 又当x ∈[1,2]时，f (x )＝2－x ， ∴f (－2 018.5)＝f (1.5)＝2－1.5＝0.5. 答案：0.53．已知函数f (x )是定义在[－2,2]上的奇函数，且在区间[0,2]上是单调减函数．若f (2x ＋1)＋f (1)＜0，则x 的取值范围是________．解析：∵函数f (x )是定义在[－2,2]上的奇函数，且在区间[0,2]上是单调减函数， ∴函数f (x )在区间[－2,2]上是单调减函数．∵f (2x ＋1)＋f (1)＜0，即f (2x ＋1)＜－f (1)， ∴f (2x ＋1)＜f (－1)．则⎩⎪⎨⎪⎧－2≤2x ＋1≤2，2x ＋1＞－1，解得－1＜x ≤12.∴x 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－1，12. 答案：⎝⎛⎦⎥⎤－1，124．(2018·泰州期末)设f (x )是R 上的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝2x＋ln x4，记a n ＝f (n－5)，则数列{a n }的前8项和为________．解析：数列{a n }的前8项和为f (－4)＋f (－3)＋…＋f (3)＝f (－4)＋(f (－3)＋f (3))＋(f (－2)＋f (2))＋(f (－1)＋f (1))＋f (0)＝f (－4)＝－f (4)＝－⎝⎛⎭⎪⎫24＋ln 44＝－16.答案：－165．(2018·徐州期中)已知函数f (x )＝e x －e －x＋1(e 为自然对数的底数)，若f (2x －1)＋f (4－x 2)＞2，则实数x 的取值范围为________．解析：令g (x )＝f (x )－1＝e x －e －x，则g (x )为奇函数，且在R 上单调递增．因为f (2x －1)＋f (4－x 2)＞2，所以f (2x －1)－1＋f (4－x 2)－1＞0，即g (2x －1)＋g (4－x 2)＞0，所以g (2x －1)＞g (x 2－4)，即2x －1＞x 2－4，解得x ∈(－1,3)．答案：(－1,3)6．(2019·镇江中学测试)已知奇函数f (x )在定义域R 上是单调减函数，若实数a 满足f (2|2a －1|)＋f (－22)＞0，则a 的取值范围是________．解析：由f (2|2a －1|)＋f (－22)＞0，可得f (2|2a －1|)＞－f (－22)．因为f (x )为奇函数，所以f (2|2a －1|)＞f (22)．因为f (x )在定义域R 上是单调减函数，所以2|2a －1|＜22，即|2a－1|＜32，解得－14＜a ＜54.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，547．(2019·苏州调研)已知奇函数f (x )在(－∞，0)上单调递减，且f (2)＝0，则不等式f xx －1＞0的解集为________． 解析：由f xx －1＞0，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＞1，f x ＞0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＜1，fx ＜0.因为奇函数f (x )在(－∞，0)上单调递减，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递减，且f (2)＝f (－2)＝0，所以当x ＞1时，f (x )＞0的解集为(1,2)；当x ＜1时，f (x )＜0的解集为(－2,0)．所以不等式f x x －1＞0的解集为(－2,0)∪(1,2)． 答案：(－2,0)∪(1,2)8．函数f (x )在R 上满足f (－x )＝－f (x )，当x ≥0时，f (x )＝－e x ＋1＋m cos(π＋x )，记a ＝－πf (－π)，b ＝－134·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－134，c ＝e f (e)，则a ，b ，c 的大小关系为________． 解析：∵函数f (x )为R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝－e x ＋1＋m cos(π＋x )，∴f (0)＝－1＋1－m ＝0，即m ＝0，∴f (x )＝－e x＋1(x ≥0)．令g (x )＝xf (x )，有g (－x )＝(－x )f (－x )＝xf (x )＝g (x )，∴函数g (x )为偶函数，当x ≥0时，g (x )＝xf (x )＝x (1－e x )，g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )＝1－(1＋x )e x ＜0， ∴函数g (x )在[0，＋∞)上为减函数，∵a ＝－πf (－π)＝g (－π)＝g (π)，b ＝－134f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－134＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－134＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫134，c ＝e f (e)＝g (e)，又e ＜π＜134，∴b ＜a ＜c . 答案：b ＜a ＜c9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x 2＋2x ，x ＞0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x ＜0是奇函数． (1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围．解：(1)设x ＜0，则－x ＞0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x .又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，于是x ＜0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，所以m ＝2.(2)要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增，结合f (x )的图象(如图所示)知⎩⎪⎨⎪⎧ a －2＞－1，a －2≤1，所以1＜a ≤3，故实数a 的取值范围是(1,3]．10．(2018·大同期末)已知函数f (x )＝log a (x ＋1)，g (x )＝log a (1－x )，其中a ＞0，a ≠1.(1)求函数F (x )＝f (x )－g (x )的定义域；(2)判断F (x )＝f (x )－g (x )的奇偶性，并说明理由；(3)当a ＞1时，求使F (x )＞0成立的x 的取值范围．解：(1)∵F (x )＝f (x )－g (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1＞0，1－x ＞0，解得－1＜x ＜1，∴函数F (x )的定义域为(－1,1)．(2)F (x )为(－1,1)上的奇函数．理由如下：由(1)知F (x )的定义域为(－1,1)，关于原点对称，F (－x )＝log a (－x ＋1)－log a (1＋x )＝ －[log a (x ＋1)－log a (1－x )]＝－F (x )，∴函数F (x )为(－1,1)上的奇函数．(3)根据题意，F (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，当a ＞1时，由F (x )＞0，得log a (x ＋1)＞log a (1－x )，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1＞0，1－x ＞0，x ＋1＞1－x ，解得0＜x ＜1， 故x 的取值范围为(0,1)．三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2019·南通模拟)已知定义在R 上的奇函数y ＝f (x )满足f (2＋x )＝f (2－x )，当－2≤x ＜0时，f (x )＝2x ，若a n ＝f (n )(n ∈N *)，则a 2 018＝________.解析：∵f (2＋x )＝f (2－x )，以2＋x 代替上式中的x ，得f (4＋x )＝f (－x )， 又函数y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，∴f (4＋x )＝f (－x )＝－f (x )，再以4＋x 代替上式中的x ，得f (8＋x )＝－f (4＋x )＝f (x )，∴函数f (x )的周期为8. ∴a 2 018＝f (2 018)＝f (252×8＋2)＝f (2)，而f (2)＝－f (－2)＝－14，∴a 2 018＝－14. 答案：－142．设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，对任意实数x 有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋x ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32－x 成立． (1)证明y ＝f (x )是周期函数，并指出其周期；(2)若f (1)＝2，求f (2)＋f (3)的值；(3)若g (x )＝x 2＋ax ＋3，且y ＝|f (x )|·g (x )是偶函数，求实数a 的值． 解：(1)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋x ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32－x ， 且f (－x )＝－f (x )，知f (3＋x )＝f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋x ＝ －f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤32－⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋x ＝－f (－x )＝f (x )， 所以y ＝f (x )是周期函数，且T ＝3是其一个周期．(2)因为f (x )为定义在R 上的奇函数，所以f (0)＝0，且f (－1)＝－f (1)＝－2，又T ＝3是y ＝f (x )的一个周期，所以f (2)＋f (3)＝f (－1)＋f (0)＝－2＋0＝－2.(3)因为y ＝|f (x )|·g (x )是偶函数，且|f (－x )|＝|－f (x )|＝|f (x )|，所以|f (x )|为偶函数．故g (x )＝x 2＋ax ＋3为偶函数，即g (－x )＝g (x )恒成立，于是(－x )2＋a (－x )＋3＝x 2＋ax ＋3恒成立．于是2ax ＝0恒成立，所以a ＝0.。
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第3讲 函数的奇偶性与周期性一、填空题1．若函数f (x )＝22x＋1＋m 为奇函数，则实数m ＝________. 解析 由题意，得f (0)＝0，所以220＋1＋m ＝0，即m ＝－1. 答案 －12．设函数f (x )是奇函数且周期为3，f (－1)＝－1，则f (2 011)＝________ 解析 因为f (－x )＝－f (x )，f (x ＋3)＝f (x )，f (－1)＝－1，所以f (1)＝1，f (2 011)＝f (3×670＋1)＝f (1)＝1.答案 13．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝2x －3， 则f (－2)＝________.解析 ∵f (x )为R 上的奇函数，∴f (－2)＝－f (2)．又当x ＝2时，f (2)＝22－3＝1，∴f (－2)＝－1.答案 －14．设f (x )是定义在R 上的增函数，且对于任意的x 都有f (1－x )＋f (1＋x )＝0恒成立．如果实数m 、n 满足不等式组⎩⎨⎧ m >3，f (m 2－6m ＋23)＋f (n 2－8n )<0，那么m 2＋n 2的取值范围是________． 解析 考查函数单调性及对称性，举特殊函数是解决此类问题的一个重要方法．如：f (x )＝x －1，f (x ＋1)＋f (1－x )＝0，所以f (x )的对称中心为(1,0)，∴不等式组⎩⎨⎧m >3，(m －3)2＋(n －4)2<4，由图可知OA 最小，OA ＝13，OB 最大，OB ＝7，∴m 2＋n 2∈(13,49)．答案 (13,49)5．设定义在R 上的函数f (x )满足f (x )·f (x ＋2)＝13，若f (1)＝2，则f (99)＝________.解析 由f (x )·f (x ＋2)＝13得f (x ＋2)＝13f (x )，∴f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝13f (x ＋2)＝f (x )．∴f (x )是以4为周期的周期函数．∴f (99)＝f (25×4－1)＝f (－1)＝13f (1)＝132. 答案 1326．设奇函数f (x )的定义域为R ，最小正周期T ＝3，若f (1)≥1，f (2)＝2a －3a ＋1， 则a 的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤－1，23 7．已知定义在R 上的函数y ＝f (x )满足条件f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32＝－f (x )，且函数y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －34为奇函数，给出以下四个命题： ①函数f (x )是周期函数；②函数f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，0对称； ③函数f (x )为R 上的偶函数；④函数f (x )为R 上的单调函数．其中真命题的序号为________．答案 ①②③8．若定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋1)＝－f (x )，且在[－1,0]上是增函数，给出下列关于f (x )的判断：①f (x )是周期函数；②f (x )关于直线x ＝1对称；③f (x )在[0,1]上是增函数；④f (x )在[1,2]上是减函数；⑤f (2)＝f (0)．其中正确的序号是________．解析 ∵f (x ＋1)＝－f (x )，∴f (x )＝－f (x ＋1)＝f (x ＋1＋1)＝f (x ＋2)，∴f (x )是周期为2的函数，①正确．又∵f (x ＋2)＝f (x )＝f (－x )，∴f (x )＝f (2－x )，∴y ＝f (x )的图象关于x ＝1对称，②正确．又∵f (x )为偶函数且在[－1,0]上是增函数，∴f (x )在[0,1]上是减函数．又∵对称轴为x ＝1，∴f (x )在[1,2]上为增函数，f (2)＝f (0)，故③④错误，⑤正确．答案 ①②⑤9．已知函数f (x )＝x 2－cos x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，则满足f (x 0)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3的x 0的取值范围为________．解析 f ′(x )＝2x ＋sin x ，在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2内f ′(x )>0， ∴f (x )在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2内单调递增，此时由f (x 0)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3得x 0∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π3，π2，易证f (x )是偶函数，∴x 0∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－π2，－π3也符合题意． 答案 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ －π2≤x ＜－π3或π3＜x ≤π2 10．已知定义在R 上的函数y ＝f (x )满足条件f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32＝－f (x )，且函数y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －34为奇函数，给出以下四个命题：①函数f (x )是周期函数；②函数f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，0对称；③函数f (x )为R 上的偶函数；④函数f (x )为R 上的单调函数．其中真命题的序号为________(写出所有真命题的序号)．解析 ①由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32＝－f (x )，得f (x ＋3)＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32＝f (x )，所以①正确．②由y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －34为奇函数，得f (x )图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫34，0对称，所以②不正确．③由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x －34＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －34，得f (x )＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x －32，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32＝－f (x )，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x －32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32，所以f (x )是偶函数，③正确．由③正确知④不正确． 答案 ①③二、解答题11．设f (x )＝e x ＋a e －x (a ∈R ，x ∈R )．(1)讨论函数g (x )＝xf (x )的奇偶性；(2)若g (x )是偶函数，解不等式f (x 2－2)≤f (x )．解 (1)a ＝1时，f (x )＝e x ＋e －x 是偶函数，所以g (x )＝xf (x )是奇函数；a ＝－1时，f (x )＝e x －e －x 是奇函数，所以g (x )＝xf (x )是偶函数．a ≠±1，由f (x )既不是奇函数又不是偶函数，得g (x )＝xf (x )是非奇非偶函数．(2)当g (x )是偶函数时，a ＝－1，f (x )＝e x －e －x 是R 上的单调递增函数，于是由f (x 2－2)≤f (x )得x 2－2≤x ，即x 2－x －2≤0，解得－1≤x ≤2.12.已知函数f (x )＝x 2＋a x (x ≠0，a ∈R )．(1)判断函数f (x )的奇偶性；(2)若f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数，求实数a 的取值范围．解 (1)当a ＝0时，f (x )＝x 2(x ≠0)为偶函数；当a ≠0时，f (－x )≠f (x )，f (－x )≠－f (x )，∴f (x )既不是奇函数也不是偶函数．(2)设x 2>x 1≥2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 21＋a x 1－x 22－a x 2＝x 1－x 2x 1x 2[x 1x 2(x 1＋x 2)－a ]，由x 2>x 1≥2，得x 1x 2(x 1＋x 2)>16，x 1－x 2<0，x 1x 2>0.要使f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数，只需f (x 1)－f (x 2)<0，即x 1x 2(x 1＋x 2)－a >0恒成立，则a ≤16.13．定义在R 上的增函数y ＝f (x )对任意x ，y ∈R 都有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )．(1)求f (0)；(2)求证：f (x )为奇函数；(3)若f (k ·3x )＋f (3x －9x －2)<0对任意x ∈R 恒成立，求实数k 的取值范围． 解 (1)令x ＝y ＝0，得f (0＋0)＝f (0)＋f (0)，即f (0)＝0.(2)证明：令y ＝－x ，得f (x －x )＝f (x )＋f (－x )，又f (0)＝0，则有0＝f (x )＋f (－x )，即f (－x )＝－f (x )对任意x ∈R 成立，所以f (x )是奇函数．(3)因为f (x )在R 上是增函数，又由(2)知f (x )是奇函数．所以f (k ·3x )<－f (3x －9x －2)＝f (－3x ＋9x ＋2)，所以k ·3x <－3x ＋9x ＋2，即32x －(1＋k )·3x ＋2>0对任意x ∈R 成立．令t ＝3x >0，问题等价于t 2－(1＋k )t ＋2>0对任意t >0恒成立．令f (t )＝t 2－(1＋k )t ＋2，其对称轴为t ＝1＋k 2， 当1＋k 2<0，即k <－1时，f (0)＝2>0，符合题意；当1＋k 2≥0，即k ≥－1时，f (t )>0对任意t >0恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋k 2≥0，Δ＝(1＋k )2－4×2<0，解得－1≤k <－1＋2 2.综上所述，当k <－1＋22时，f (k ·3x )＋f (3x －9x －2)<0对任意x ∈R 恒成立．14． (1)已知f (x )是R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝x 2－x －1，求f (x )的解析式；(2)设a >0，f (x )＝e x a ＋a e x 是R 上的偶函数，求实数a 的值；(3)已知奇函数f (x )的定义域为[－2,2]，且在区间[－2,0]内递减，求满足f (1－m )＋f (1－m 2)<0的实数m 的取值范围．解 (1)∵f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (0)＝0，当x <0时，－x >0，由已知f (－x )＝(－x )2－(－x )－1＝x 2＋x －1＝－f (x )．∴f (x )＝－x 2－x ＋1.∴f (x )＝⎩⎨⎧ x 2－x －1，x >0，0，x ＝0，－x 2－x ＋1，x <0.(2)∵f (x )是R 上的偶函数，∴f (－x )＝f (x )在R 上恒成立．即e －x a ＋a e－x ＝e x a ＋a e x ， (a 2－1)(e 2x －1)＝0，对任意的x 恒成立，∴⎩⎨⎧a 2－1＝0，a >0，解得a ＝1. (3)∵f (x )的定义域为[－2,2]，∴有⎩⎨⎧ －2≤1－m ≤2，－2≤1－m 2≤2，解得－1≤m ≤ 3.① 又f (x )为奇函数，且在[－2,0]上递减，∴在[－2,2]上递减，∴f (1－m )<－f (1－m 2)＝f (m 2－1)⇒1－m >m 2－1，即－2<m <1.②综合①②，可知－1≤m <1.。