2020届河北省衡中同卷高三第二次调研考试数学(文)

2020届河北省衡中同卷高三第二次调研考试
文科数学试题
★祝考试顺利★ 注意事项：
1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1、已知集合{}
{}14,12,10,8,6,,23=∈+==B N n n x x A ,则集合B A 中元素的个数为（） A.5
B.4
C.3
D.2
2、若sin α＝－5
13
，且α为第四象限角，则tan α的值等于( )
A.125
B.－125
C.512
D.－512
3、的根。

是方程：；命题，总有：对任意已知命题0210=+=≥∈x x q x R x p 是（）则下列命题是真命题的 A.
p q ∧⌝ B.p q ⌝∧
C.
p q ⌝∧⌝
D.
p q ∧
4、设a ∈R ，则“2
a a >”是“1>a ”的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
5、已知()()x
f x x a e =+的图象在x=-1与x=1处的切线互相垂直，则a=( )
A.-1
B.0
C.1
D.2
6、设函数()f x 是定义在实数集上的奇函数，在区间[1,0)-增函数，且(2)()f x f x +=-，则有（ ）
A.13()()(1)3
2f f f << B.3
1(1)()()2
3
f f f <<
C.13
(1)()()32
f f f <<
D.31()(1)()23
f f f <<
7．若实数a 满足432
log 1log 3a
a >>，则a 的取值范围是（ ） A.2,13⎛⎫
⎪⎝⎭
B. 23,34⎛⎫
⎪⎝⎭
C.3,14⎛⎫
⎪⎝⎭ D.20,3⎛⎫
⎪⎝⎭
8、函数)cos()(ϕ+=wx x f 的部分图象如图所示，则)(x f 的单调递减区间为（）
A.Z k k k ∈+-
),43
,41(ππ B.Z k k k ∈+-),43
2,412(ππ
C.Z k k k ∈+-),43
,41(
D.Z k k k ∈+-),4
3
2,412(
9、若函数()f x x =，则函数()12
log y f x x =-的零点个数是（ ）
A.5
B.4
C.3
D.2
10、已知函数⎩⎨⎧>+-≤-=-1
),1(log 1
,22)(21x x x x f x 且=--=)6(,3)(a f a f 则
A.4
7-
B.4
5-
C.4
3-
D.4
1-
11、函数y=xsinx+cosx 的图像大致是（ ）
12、设函数
)
(x f y =的图象与
对称
的图象关于直线x y y a x -==+2，
,1)4()2(=-+-f f 且则=a （ ）
A.1-
B.1
C.2
D.4
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13、函数y ＝sin x －3cos x 的图象可由函数y ＝2sin x 的图象至少向右平移________个单位长度得到.
14、已知函数1)(3
++=x ax x f 的图象在点（1，)1(f ）处的切线过点（2，7），则=a _________.
15__________．
16、已知ω>0，在函数y ＝2sin ωx 与y ＝2cos ωx 的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为23，则ω＝________.
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
17、（本小题满分12分）函数f(x)＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的部分
图
象如图所示．
(1)写出f(x)的最小正周期及图中 、 的值； (2)求f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π
2
，－π12上的最大值和最小值．
18．（本小题满分12分）设函数bx ax x x f 33)(2
3
+-=的图像与直线0112=-+y x 相切于点)11,1(-。

(1)求a,b 的值 （2)讨论函数)(x f 的单调性。

19、（本小题满分12分）已知)(x f y =是定义在),(+∞-∞上的偶函数，当0≥x 时，
32)(2--=x x x f 。

（1）用分段函数形式写出=y )(x f 的解析式；
（2）写出)(x f y =的单调区间；
（3）求出函数的最值。

20、（本小题满分12分）已知顶点在原点，对称轴为x 轴的抛物线，焦点F 在直线
0432=-+y x 上。

（1）求抛物线的方程；
（2）过焦点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，求弦AB 的中点M 的轨迹方程。

21、（本小题满分12分）已知函数()ln f x x =，()()1g x a x =-，
（1）当2a =时，求函数()()f x g x <()()()h x f x g x =-的单调递减区间； （2）若1x >时，关于x 的不等式恒成立，求实数a 的取值范围；
（3）若数列{}n a 满足11n n a a +=+，33a =，记{}n a 的前n 项和为n S ，求证：
()ln 1234...n n S ⨯⨯⨯⨯⨯<．
（二）选考题：共10分，请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.
22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】 在直角坐标系xOy 中，抛物线C 的方程为2
4y x =．
（1）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；
（2）直线l 的参数方程是2cos sin x t y t α
α=+=⎧⎨
⎩
(t 为参数)，l 与C 交于A ，B 两点，AB =，
求l 的倾斜角．
23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】 已知函数()32f x a x x =--+． （1）若2a =，解不等式()3f x ≤；
（2）若存在实数a ，使得不等式()122f x a x ≥-++成立，求实数a 的取值范围．
文科数学答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1~5 D D A A A 6~10 A C D D A 11~12 D C
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13、 14、1 15 16、
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. 17．（本小题满分12分）
18．（本小题满分12分）
解：（1）求导得.363)(2
b ax x x f +-='
………………2分
由于()1210f x x y +-=的图象与直线 相切与点（1，－11），
所以
⎩⎨
⎧-=+--=+--='-=.12363,
11331,12)1(,11)1(b a b a f f 即 ………………5分 解得.3,1-==b a
………………6分
令.31,0)(;31,0)(<<-<'>-<>'x x f x x x f 解得又令或解得 所以当)(,)1,(x f x 时--∞∈是增函数， ………………8分 当)(,),3(x f x 时+∞∈也是增函数；
………………10分
（2）由).3)(1(3)32(3363)(3,12
2-+=--=+-='-==x x x x b ax x x f b a 得
当)(,)3,1(x f x 时-∈是减函数。

………………12分 19．（本小题满分12分）
20．（本小题满分12分）
21．（本小题满分12分）
【解析】（1）由
，得，．
所以， 令，解得或（舍去），
所以函数的单调递减区间为．
2a =()()()ln 22h x f x g x x x =-=-+()0x >()1122x
h x x x
'-=
-=
()0h x '<1
2
x >0x <()()()h x f x g x =-1,2⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
（2）由得，，
当时，因为，所以显然不成立，因此．
令，则，令，得．
①当时，，，∴，所以， 即有．因此时，在上恒成立． ②当时，
，在上为减函数，在上为增函数， ∴，不满足题意．
综上，不等式在上恒成立时，实数的取值范围是． （3）由知数列是，的等差数列， 所以，所以，
又在上恒成立．
所以，，，，．
将以上各式左右两边分别相加，得
．因为
所以． 22．【选修4-4：坐标系与参数方程】 【答案】（1）；（2）或．
【解析】（1）∵，代入，∴．
（2）不妨设点，对应的参数分别是，，
把直线的参数方程代入抛物线方程得：，
()()f x g x <()1ln 0a x x -->0a ≤1x >()1ln 0a x x -->0a >()()1ln F x a x x =--()11a x a F x a x x ⎛
⎫- ⎪⎝⎭
=-'=()0F x '=1x a
=1a ≥1
01a
<
≤()0F x '>()()10F x F >=()1ln a x x ->()()f x g x <1a ≥()()f x g x <()1,+∞01a <<11a >()F x 11,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭1,a ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
()()min 10F x F <=()()f x g x <()1,+∞a [)1,+∞131,3n n a a a +=+={}n a 33a =1d =()33n a a n d n =+-=()()112
2
n n n a a n n S ++==
ln x x <()1,+∞ln 22<ln33<ln 44<⋅⋅⋅ln n n <ln 2ln3ln 4ln 234n n +++⋅⋅⋅+<+++⋅⋅⋅+ln101=<()ln 1234n n S ⨯⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯<2sin 4cos 0ρθθ-=π
4
α=
3π4α=cos sin x y ρθ
ρθ==⎧⎨⎩24y x =2sin 4cos 0ρθθ-=A B 1t 2t l 22sin 4cos 80t t αα-⋅-=
∴，则
∴，∴或． 23．【选修4-5：不等式选讲】 【答案】（1）；（2）．
【解析】
解：（1）时，，
或或， 解得．
（2）存在实数，使得不等式成立，即， 由绝对值不等式的性质可得， 即有的最大值为，
∴，即或，解得．
122122
24cos sin 8sin 1616sin 0t t t t ααα∆α+⎧
⎪⎪
⎪
⎨=-==+>⎪
⎪⎪⎩
12AB t t =-==sin α=
π
4
α=3π4α=5
2a ≥-3742x x ⎧⎫
-≤≤⎨⎬⎩
⎭2a =()3223f x x x -=-+≤233223x x x ⎧≥⎪⎨
⎪---≤⎩2232323
x x x ⎧
-<<
⎪⎨⎪---≤⎩22323x x x ≤-⎧⎨-++≤⎩37
42
x -≤≤a ()122f x a x ≥-++3361x a x a --+≥-()3363366x a x x a x a --+---=+≤()f x 6a +61a a +≥-61a a +≥-61a a +≤-52
a ≥-。