高一数学第二章函数复习课演示教学
高中数学必修一高一数学第二章(第课时)反函数公开课教案课件课时训练练习教案课件
课 题：2.4.1 反函数（一）教学目的：掌握反函数的概念和表示法，会求一个函数的反函数教学重点：反函数的定义和求法教学难点：反函数的定义和求法授课类型：新授课课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪教材分析：反函数是数学中的一个很重要的概念，它是我们以后进一步研究具体函数类即五大类基本初等函数的一个不可缺少的重要组成部分 反函数是函数中的一个特殊现象，对反函数概念的讨论研究是对函数概念和函数性质在认识上的进一步深化和提高反函数概念的建立，关键在于让学生能从两个函数关系的角度去认识它，从而深化对函数概念的认识 本节是反函数的第一节课围绕如何理解反函数概念这个重难点展开由于函数是一种对应关系，这个概念本身不好理解，而反函数又是函数中的一种特殊现象，它是两个函数之间的关系所以弄清函数与其反函数的关系，是正确理解反函数概念必不可少的重要环节教学设计中，通过对具体例子的求解，不但使学生掌握求反函数的方法步骤，并有意识地阐明函数与反函数的关系深化了对概念的理解和掌握教学过程： 一、复习引入：我们知道，物体作匀速直线运动的位移s 是时间t 的函数，即s=vt,其中速度v 是常量,定义域t ≥0,值域s ≥0；反过来，也可以由位移s 和速度v （常量）确定物体作匀速直线运动的时间，即vs t =，这时，位移s 是自变量，时间t 是位移s 的函数,定义域s ≥0,值域t ≥0.又如，在函数62+=x y 中，x 是自变量，y 是x 的函数，定义域x ∈R ，值域y ∈R. 我们从函数62+=x y 中解出x ，就可以得到式子32-=y x . 这样，对于y 在R 中任何一个值，通过式子32-=y x ，x 在R 中都有唯一的值和它对应. 因此，它也确定了一个函数：y 为自变量，x 为y 的函数，定义域是y ∈R ，值域是x ∈R.综合上述，我们由函数s=vt 得出了函数vs t =；由函数62+=x y 得出了函数32-=y x ，不难看出，这两对函数中，每一对中两函数之间都存在着必然的联系：①它们的对应法则是互逆的；②它们的定义域和值域相反：即前者的值域是后者的定义域，而前者的定义域是后者的值域. 我们称这样的每一对函数是互为反函数.二、讲解新课：反函数的定义一般地，设函数))((A x x f y ∈=的值域是C ，根据这个函数中x,y 的关系，用y 把x 表示出，得到x=ϕ(y). 若对于y 在C 中的任何一个值，通过x=ϕ(y)，x 在A 中都有唯一的值和它对应，那么，x=ϕ(y)就表示y 是自变量，x 是自变量y 的函数，这样的函数x=ϕ(y) (y ∈C)叫做函数))((A x x f y ∈=的反函数，记作)(1y f x -=,习惯上改写成)(1x f y -=开始的两个例子：s=vt 记为vt t f =)(，则它的反函数就可以写为vt t f =-)(1，同样62+=x y 记为62)(+=x x f ，则它的反函数为：32)(1-=-x x f . 探讨1：所有函数都有反函数吗？为什么？反函数也是函数，因为它符合函数的定义，从反函数的定义可知，对于任意一个函数)(x f y =来说，不一定有反函数，如2x y =,只有“一一映射”确定的函数才有反函数，2x y =,),0[+∞∈x 有反函数是x y =探讨2：互为反函数定义域、值域的关系从映射的定义可知，函数)(x f y =是定义域A 到值域C 的映射，而它的反函数)(1x f y -=是集合C 到集合A 的映射，因此，函数)(x f y =的定义域正好是它的反函数)(1x fy -=的值域；函数)(x f y =的值域正好是它的反函数)(1x fy -=的定义域x x f f x x f f ==--)]([,)]([11（如下表）：探讨3：)(1x f y -=的反函数是？若函数)(x f y =有反函数)(1x f y -=，那么函数)(1x f y -=的反函数就是)(x f y =，这就是说，函数)(x f y =与)(1x fy -=互为反函数三、讲解例题：例1．求下列函数的反函数： ①)(13R x x y ∈-=； ②)(13R x x y ∈+=； ③)0(1≥+=x x y ； ④)1,(132≠∈-+=x R x x x y 且. 解：①由13-=x y 解得31+=y x ∴函数)(13R x x y ∈-=的反函数是)(31R x x y ∈+=， ②由)(13R x x y ∈+=解得x=31-y , ∴函数)(13R x x y ∈+=的反函数是)(13R x x y ∈-=③由y=x +1解得x=2)1(-y , ∵x ≥0，∴y ≥1. ∴函数)0(1≥+=x x y 的反函数是x=2)1(-y (x ≥1); ④由132-+=x x y 解得23-+=y y x ∵x χ{x ∈R|x ≠1}，∴y ∈{y ∈R|y ≠2} ∴函数)1,(132≠∈-+=x R x x x y 且的反函数是)2,(23≠∈-+=x R x x x y 小结：⑴求反函数的一般步骤分三步，一解、二换、三注明 ⑵反函数的定义域由原来函数的值域得到，而不能由反函数的解析式得到 ⑶求反函数前先判断一下决定这个函数是否有反函数，即判断映射是否是一一映射例2．求函数23-=x y （R x ∈）的反函数，并画出原来的函数和它的反函数的图像解：由23-=x y 解得32+=y x∴函数)(23R x x y ∈-=的反函数是)(32R x x y ∈+=， 它们的图像为：例3求函数 211x y --=（-1<x<0）的反函数 解：∵ -1<x<0 ∴0<2x <1 ∴0<1 -2x < 1∴ 0 <21x -< 1 ∴0 < y <1 由：211x y --= 解得：22y y x --= (∵ -1< x < 0 ) ∴211x y --=(-1<x < 0)的反函数是：22x x y --=(0<x<1 )例4 已知)(x f = 2x -2x(x ≥2),求)(1x f -.解法1：⑴令y=2x -2x ，解此关于x 的方程得2442y x +±=， ∵x ≥2，∴2442y x ++=，即x=1+y +1--①, ⑵∵x ≥2，由①式知y +1≥1，∴y ≥0--②,⑶由①②得)(1x f -=1+x +1（x ≥0，x ∈R ）；解法2：⑴令y=2x -2x=2)1(-x -1，∴2)1(-x =1+y ，∵x ≥2，∴x-1≥1，∴x-1=y +1--①,即x=1+y +1,⑵∵x ≥2，由①式知y +1≥1，∴y ≥0,⑶∴函数)(x f = 2x -2x(x ≥2)的反函数是)(1x f -=1+x +1（x ≥0）；说明：二次函数在指定区间上的反函数可以用求根公式反求x ，也可以用配方法求x ，但开方时必须注意原来函数的定义域.四、课堂练习：课本P63练习：已知函数)(x f y =，求它的反函数)(1x fy -= （1） 32+-=x y （x ∈R ） （2）x y 2-= (x ∈R ，且x ≠0) （3） 4x y = （x ≥0） （4）53+=x x y (x ∈R ，且x ≠35-) 五、小结 本节课学习了以下内容：反函数的定义及其注意点、求法步骤六、课后作业：课本第64习题2.4：1七、板书设计（略）八、课后记：活动目的：教育学生懂得“水”这一宝贵资源对于我们来说是极为珍贵的，每个人都要保护它，做到节约每一滴水，造福子孙万代。
第2章函数及其表示-2021版高三数学(新高考)一轮复习教学课件(45张ppt)
第二章 函数、导数及其应用
高考一轮总复习 • 数学 • 新高考
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题组三 考题再现 5．(2019·江苏，5 分)函数 y＝ 7＋6x－x2的定义域是____[_－__1_,7_]_______.
[解析] 要使函数有意义，则 7＋6x－x2>0，解得－1≤x≤7，则函数的定义域是 [－1,7]．
第二章 函数、导数及其应用
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[答案] (1)①是映射，也是函数 ②不是映射，更不是函数 ③不是映射，更不是函数 ④是映射，但不是函数 (3)不同函数①②；同一函数③
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第二章 函数、导数及其应用
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1.映射与函数的含义 (1)映射只要求第一个集合A中的每个元素在第二个集合B中有且只有一个元素与 之对应；至于B中的元素有无原象、有几个原象却无所谓． (2)函数是特殊的映射：当映射f：A→B中的A，B为非空数集时，且每个象都有 原象，即称为函数． 2．判断两个函数是否相同的方法 (1)构成函数的三要素中，定义域和对应法则相同，则值域一定相同． (2)两个函数当且仅当定义域和对应法则相同时，才是相同函数．
f2：
x
x≤1
y
1
1<x<2 2
x≥2 3
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f3：
第二章 函数、导数及其应用
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[解析] (1)①是映射，也是函数； ②不是映射，更不是函数，因为从A到B的对应为“一对多”； ③当x＝0时，与其对应的y值不存在．故不是映射，更不是函数； ④是映射，但不是函数，因为集合A不是数集． (2)A图象不满足函数的定义域，不正确；B、C满足函数的定义域以及函数的值 域，正确；D不满足函数的定义，故选B、C． (3)①中f1的定义域为{x|x≠0}，f2的定义域为R，f3的定义域为{x|x≠0}，故不是 同一函数； ②中f1的定义域为R，f2的定义域为{x|x≥0}，f3的定义域为{x|x≠0}，故不是同 一函数； ③中f1，f2，f3的定义域相同，对应法则也相同，故是同一函数．
第二章 一元二次函数、方程和不等式复习与小结)课件-高一数学人教A版(2019)必修第一册)
常量(如1)替换，变量替换(消元)
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6.二次函数与一元二次方程、不等式的关系：
(1)形式上
二次函数 y=ax2+bx+c
(2)数值上 二次函数函数 y=ax2+bx+c的零点
一元二次方程 ax2+bx+c=0
右边化为0， 左边设为y
一元二次不等式 ax2+bx+c<0(或>0)
一元二次方程 ax2+bx+c=0的根
a b a b 0; 2.两个实数大小关系的基本事实： a b a b 0;
a b a b 0.
利用这个事实可以采取作差法可以对一些代数式的大小进 行了比较也可以证明不等式：
(1)作差； (2)变形；
目的：便于判定差的符号 常用的方法：因式分解、配方、通分、分子有理化等 (3)定号； 当差的符号不确定时，一般需要分类讨论 (4)作结论。 根据当差的正负与实数大小关系的基本事实作出结论 返回
1
1
ab
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4.基本不等式及其推导
对任意的a 0，b 0，有 ab a b 2
当且仅当a b时，等号成立
(1)基本不等式的常见变形：
① a+b≥2 ab ;
② ab≤( a+b )2 2
代数特征： 两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数，当且仅 当这两个正数相等时，二者相等. 几何解释： 圆O的半弦CD不大于圆的半径OD，当且仅当C与圆心O 重合时，二者相等。 (2)基本不等式的推导和证明： ①利用两个实数大小关系的基本事实用作差法得出；
求a b的最小值以及此时a的值。
解: 方法1
a0 , b0
由a b ab - 3得 a b ab - 3 ( a b )2 3
人教版高中数学必修一第二章函数复习优质PPT课件
班级：高一（6）班
谢谢！
21
2020年4月19日3时47分
思考题 1
2
3
2．把下面不完整的命题补充完整，并使之成为真命题．若
函数f (x) =3+log 2 x 的图象与g (x)的图象关于 x轴 对称，则 函数g (x) = -3-log2 x ． (注：填上你认为可以成为真命题的一种情形即可)
6
2020年4月19日3时47分
二、基础练习题 1
2
3
2．函数y =x2-2|x| 的图象是( C )
y
y
y
y
O1 x
O1 x
O1 x O1 x
(A)
(B)
g (x)=x2-2x
(C)
y =x2-2|x|
(D)
y =|x2-2x |
注意到x2=|x|2，∴函数y = |x|2-2|x| ，即 y=g (|x|) 的形式
x (iii)当k >0时，
y = k-x2 抛物线与 y= | 2x-1|的图象有两个交点，
画板
∴此时原方程有两解.
12
2020年4月19日3时47分
（二）利用函数图象解决方程与不等式问题
例4．已知函数f (x)=| log2(x+1) |，g(x) =1-x2，定义函数F (x)： 当f (x)≥g(x) 时，F (x)= f (x)； 当g(x) > f (x) 时，F(x)= -g(x).
y= f (x)
O x
5
2020年4月19日3时47分
二、基础练习题 1
2
3
1．为了得到 y=2x-3-1图象，只需把 y=2x图象上所有点( A ) (A) 向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 (B) 向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 (C) 向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 (D) 向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
高中数学(人教版A版必修一)配套课件：第二章 章末复习课
超级记忆法--故事法
• 鲁迅本名：周树人
• 主要作品：《阿Q正传》、《药》
什么是学习力
什么是学习力-你遇到这些问题了 吗
总是
比别人
学得慢
一看就懂 一做就错 看得懂，但不会做
总是 比别人学得差 不会举一反三
什么是学习力-含义
管理知识的能力 （利用现有知识
解决问题）
学习知识的能力 （学习新知识
速度、质量等）
长久坚持的能力 （自律性等）
什么是学习力-常见错误学习方 式
案例式
(3)logaMn＝nlogaM(n∈R).
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题型探究
类型一 指数、对数的运算
提炼化简方向：根式化分数指数幂，异底化同底.
化简技巧：分与合.
注意事项：变形过程中字母范围的变化.
例1
化简：1 (
2
8) 3
(3
102
9
)2
105；
解
3
原式＝(22
－2
)3
29
(103 )2
5
10 2
＝2－1
103
10－52＝2－1
2
＜120＝1，
所以 y∈12，1.
1 2345
解析答案
规律与方法
1.函数是高中数学极为重要的内容，函数思想和函数方法贯穿整个高 中数学的过程，对本章的考查是以基本函数形式出现的综合题和应用 题，一直是常考不衰的热点问题. 2.从考查角度看，指数函数、对数函数概念的考查以基本概念与基本 计算为主；对图象的考查重在考查平移变换、对称变换以及利用数形 结合的思想方法解决数学问题的能力；对幂函数的考查将会从概念、 图象、性质等方面来考查.
跟踪训练3 函数f(x)＝loga(1－x)＋loga(x＋3)(0<a<1). (1)求函数f(x)的定义域； 解 要使函数有意义，则有1x＋－3x>>00， ， 解得－3<x<1，∴定义域为(－3,1).
高中数学北师大版必修1第二章《函数》复习 PPT课件 图文
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核心归纳
知识点一 对函数的进一步认识
(1)函数是描述变量之间依赖关系的重要数学 模型．它的三要素是定义域、值域和对应关 系．函数的值域是由定义域和对应关系所确 定的．
(2)研究函数要遵从“定义域优先”的原则， 表示函数的定义域和值域时，要写成集合的 形式，也可用区间表示．
(3)函数的表示方法有三种：解析法、图像法 和列表法．在解决问题时，根据不同的需要， 选择恰当的方法表示函数是很重要的．
3．幂函数的奇偶性
令 α＝pq(其中 p，q 互质，p，q∈N*，q>1)．
p
(1)若 q 为奇数，则 y＝xq 的奇偶性取决于 p 是奇数还是偶
p
p
数．当 p 是奇数时，y＝xq 是奇函数；当 p 是偶数时，y＝xq
是偶函数．
p
(2)若 q 为偶数，则 p 必是奇数，此时 y＝xq 既不是奇函数，
察前三个图像，由于在第一象限内，函数值随 x 的增大而减
小，则幂指数 α 应小于零．其中第一个函数图像关于原点对
称，第二个函数图像关于 y 轴对称，而第三个函数的定义域
1
为(0，＋∞)，所以第一个图像对应 y＝x－3 ，第二个图像对
2
3
应 y＝x－3 ，第三个图像对应 y＝x－2 .后四个图像都通过(0,0)
D．12，2，－2，－12
解析 考查幂函数y＝xα的指数α与图像的关 系．①α>0时，当x>1时，指数大的图像在上 方，当0<x<1时，指数大的图像在下方．② α<0时，当x>1时，指数大的图像在上方，当 0<x<1时，指数大的图像在下方．故无论指 数正负，当x>1时，指数大的图像在上方， 当0<x<1时，指数大的图像在下方．由图像 知C1，C2的指数为正，排除A，C，x>1时， C1在C2上方，所以C1的指数大于C2的指 数．故选B．
旧教材适用2023高考数学一轮总复习第二章函数与基本初等函数第1讲函数及其表示课件
B．(－1，1]
C．(－，－1)
D．(－4，0)∪(0，1]
答案 A
解析 要使函数 f(x)有意义，应有
－x2－3x＋4≥0，
x＋1>0，
解得－1<x<0 或 0<x≤1，故选 A.
x＋1≠1，
3 ． (2021·陕 西 省 高 三 教 学 质 量 检 测 ( 四 )) 已 知 函 数 f(x) ＝
□06 唯一确定
A→B
一个元素 x，在集合 B 中都有 合 B 中都有□04 唯一确定的
的元素 y 与之对应
数 f(x)与之对应
名称 记法
称对应 f：A→B 为从集 称 f：A→B 为从集合 A 到集
合 A 到集合 B 的一个 合 B 的一个函数
映射
y＝f(x)，x∈A
f：A→B
2．函数的定义域、值域
x－1 B．y＝ x－1与 y＝ x－1 C．y＝4lg x 与 y＝2lg x2 D．y＝(3 x)3 与 y＝x 答案 D
解析 A 中，y＝x－1 与 y＝ （x－1）2＝|x－1|的解析式不同，两函数
不相等；B 中，y＝
x－1的定义域为[1，＋∞)，y＝
x－1 x－1的定义域为(1，
＋∞)，定义域不同，两函数不相等；C 中，y＝4lg x 与 y＝2lg x2＝4lg |x|的
A．f：x→y＝12x B．f：x→y＝13x C．f：x→y＝23x D．f：x→y＝ x 答案 C 解析 依据函数的概念，集合 A 中任一元素在集合 B 中都有唯一确定 的元素与之对应，故选项 C 不符合．
－x2－3x＋4 2．函数 f(x)＝ lg （x＋1） 的定义域为( )
A．(－1，0)∪(0，1]
高中数学第2章函数章末复习课课件必修1高一必修1数学课件
x2－4x＋3，x≤0， －x＋3，0<x≤1， f(x)＝32x＋12，1<x≤5， x2－4x＋3，x>5.
f(x)的图象是图中的实线部分，图象的最低点是点 B(1,2)，所以
f(x)的最小值是 2.]
第三十页，共三十二页。
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2 0 2 1 / 1 2 / 8
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2．设函数 f(x)对任意的 x，y∈R，都有 f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且当 x>0 时，f(x)<0，f(1)＝－2.
(1)求证：f(x)是奇函数； (2)在区间[－3,3]上，f(x)是否有最值？如果有，求出最值；如果 没有，说明理由．
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第二十三页，共三十二页。
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【例 3】 (1)若函数 y＝f(x)与 y＝g(x)的图象分别如图(1)及图(2) 所示，则 f(x)·g(x)的图象可能是________．(填序号)
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(2)若方程 x2－4|x|＋5＝m 有 4 个互不相等的实数根，则 m 的取 值范围是________．
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即 f(x1)>f(x2)，所以 f(x)在[－3,3]上为减函数． 所以函数 f(x)在[－3,3]上有最值，最大值为 f(－3)＝－f(3)＝－3f(1) ＝6，最小值为 f(3)＝－f(－3)＝3f(1)＝－6.
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函数的图象(tú xiànɡ)与数形结合思想
第十三页，共三十二页。
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【例 2】
函数 f(x)＝a1x＋＋xb2是定义在(－1,1)上的奇函数，且 f
高中数学第2章函数章末复习提升课课件必修1高一必修1数学课件
12/9/2021
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4．函数的奇偶性 (1)奇偶函数的定义域关于原点对称． (2)奇函数的图象关于原点中心对称，偶函数的图象关于 y 轴 成轴对称． (3)设 f(x)，g(x)的定义域分别是 D1，D2，那么它们在公共定 义域上，满足： 奇函数＋奇函数＝奇函数，奇函数×奇函数＝偶函数，偶函 数＋偶函数＝偶函数，奇函数×偶函数＝奇函数．
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1．f(x)＝1－x x在(
)
A．(－∞，1)∪(1，＋∞)上是增函数
B．(－∞，1)∪(1，＋∞)上是减函数
C．(－∞，1)和(1，＋∞)上是增函数
D．(－∞，1)和(1，＋∞)上是减函数
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解析：选 C.f(x)的定义域为{x|x≠1}．又 f(x)＝1－x x＝1－1 x－1， 根据函数 y＝－1x的单调性及有关性质，可知 f(x)在(－∞，1) 和(1，＋∞)上为增函数．
[解析] 因为 d 表示为某同学出发后离学校的距离，所以 d ＝f(t)应是关于 t 的减函数，且当他到达学校时，离学校的距 离为零，故排除 A、C；开始由于骑自行车走，速度快，因 而离学校的距离在单位时间内的变化较大，当自行车爆胎推 车步行后，离学校的距离在单位时间内的变化较小，由此应 排除 B，故较符合该生走法的图象是 D. [答案] D
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4．若 f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，且对一切 x，y＞0， 满足 fxy＝f(x)－f(y)． (1)求 f(1)的值； (2)若 f(6)＝1，解不等式 f(x＋3)－f13＜2.
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第二十三页，共三十页。
高考数学复习第二章函数导数及其应用第六节对数与对数函数市赛课公开课一等奖省名师优质课获奖课件
是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．
(2)对数函数的图象与性质 a>1
0<a<1
图象
定义域 值域
(0, ＋∞) R
8/52
a>1
0<a<1
过点(1,0)，即 x＝ 1 时，y＝ 0
当 x>1 时， y>0 ； 性质
当 0<x<1 时， y<0
当 x>1 时， y<0 ； 当 0<x<1 时， y>0
()
A．b＜a＜c
B．a＜b＜c
C．c＜b＜a
D．b＜c＜a
(2)若 a＝20.3，b＝logπ3，c＝log4cos 100，则( )
A．b＞c＞a
B．b＞a＞c
C．a＞b＞c
D．c＞a＞b
36/52
(3)若实数 a，b，c 满足 loga2＜logb2＜logc2，则下列关系中不
可能成立的是( )
A．a＜b＜c
B．b＜a＜c
C．c＜b＜a
D．a＜c＜b
37/52
解析：(1)(单调性法)c＝log46＝log226＝12log26＝log2 6＞1，注 意到 2＞1,3＝ 9＞ 6，于是 log23＞log2 6＝log46＞1，而 b＝ log32＜1，所以 a＞c＞b，故选 D. (2)(中间值法)因为 20.3＞20＝1,0＝logπ1＜logπ3＜logππ＝1， log4cos 100＜log41＝0，所以 a＞b＞c，故选 C. (3)(图象法)由 loga2＜logb2＜logc2 的大小关系，可知 a，b，c 有如下四种可能：①1＜c＜b＜a；②0＜a＜1＜c＜b；③0＜b ＜a＜1＜c；④0＜c＜b＜a＜1. 作出函数的图象(如图所示)．
高中数学第2章 函数 章末复习课(共29张PPT)
主目录
理网络、明结构
探题型、提能力
探题型、提能力
题型四 ：函数性质的综合运用
章末复习课
例 4 已知函数 f(x)＝x2＋|x－a|＋1，a∈R. (1)试判断 f(x)的奇偶性； (2)若－12≤a≤12，求 f(x)的最小值． 解 (1)当 a＝0 时，函数 f(－x)＝(－x)2＋|－x|＋1＝f(x)，
f(x)在区间[－3，－1)和[0,1)上为减函数，在[－1,0)，[1,3]上为增函数．
(4)解 当 x≥0 时，函数 f(x)＝(x－1)2－2 的最小值为－2，最大值为 f(3)＝2；
当 x<0 时，函数 f(x)＝(x＋1)2－2 的最小值为－2，最大值为 f(－3)＝2.故函数 f(x)的 值域为[－2,2]．
由图象可知，当 1<m<5 时，f(x)的图象与 y＝m 有 4 个交点，即方程 x2－4|x|＋5＝m 有 4 个互不相等的实数根．
主目录
理网络、明结构
探题型、提能力
探题型、提能力
题型四 ：函数性质的综合运用
章末复习课
函数性质的研究包括函数的单调性、奇偶性、对称性，从命题形式上看，抽象函数、 具体函数都有，其中函数单调性的判断与证明、求单调区间、利用函数单调性求参 数的取值范围是高考的重点，利用函数的奇偶性、对称性研究函数的图象是难点．
主目录
理网络、明结构
探题型、提能力
章末复习课
3．作函数图象的方法
方法一：描点法——求定义域；化简；列表、描点、连光滑曲线．
注意：要利用单调性、奇偶性、对称性简化作图．
方法二：变换法——熟知函数的图象的平移、伸缩、对称、翻转．
(1)平移 y＝f(x)—左—加—右—减→y＝f(x±h)； y＝f(x)—上—加—下—减→y＝f(x)±k.
高中数学必修一高一数学第二章(第课时)函数复习小结二公开课教案课件课时训练练习教案课件
课题：函数复习小结（二）教学目的：1.熟悉并掌握函数的对称语言.2.进一步熟悉二次函数性质及其应用.3.把握数形结合的特征和方法.4.能够应用函数思想解题.5.了解与函数有关的数学模型.教学重点：数形结合的特征与方法教学难点：函数思想的应用授课类型：复习课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、引入：通过上一节学习，大家了解了本章内容的整体结构，明确了本章的重难点知识，并熟悉了有关函数的基本概念和基本方法，这一节，我们将通过例题分析重点掌握数形结合的特征与方法，并进一步认清函数的思想实质，进而掌握其应用.二、例题分析：例1若函数f(x)=x2+bx+c对任意实数x都有f(2+x)=f(2-x)，那么（）A.f(2)＜f(1)＜f(4)B.f(1)＜f(2)＜f(4)C.f(2)＜f(4)＜f(1)D.f(4)＜f(2)＜f(1)分析：此题解决的关键是将函数的对称语言转化为对称轴方程.解：由f(2+x)=f(2-x)可知：函数f(x)的对称轴为x=2,由二次函数f(x)开口方向向，可得f(2)最小，又f(4)=f(2+2)=f(2-2)=f(0)在x＜2时，y=f(x)为减函数∵0＜1＜2，∴f(0)＞f(1)＞f(2)即f(2)＜f(1)＜f(4)答案：A通过此题可将对称语言推广如下：（1）若对任意实数x,都有f(a+x)=f(a-x)成立，则x=a是函数f(x)的对称轴（2）若对任意实数x,都有f(a+x)=f(b-x)成立，则x=2ba是f(x)的对称轴.例2求f(x)=x2-2ax+2在［2，4］上的最大值和最小值.解：先求最小值.因为f(x)的对称轴是x=a ，可分以下三种情况：（1）当a ＜2时，f(x)在［2，4］上为增函数，所以f(x)min=f(2)=6-4a;(2)当2≤a ＜4时，f(a)为最小值，f(x)min=2-a 2;(3)当a ＞4时，f(x)在［2，4］上为减函数，所以f(x)min=f(4)=18-8a综上所述：f(x)min=⎪⎩⎪⎨⎧>-<≤-<-)2( ,818)42( ,2)2( ,462a a a a a a最大值为f(2)与f(4)中较大者：f(2)-f(4)=(6-4a)-(18-8a)=12+4a(1)当a ≥3时，f(2)≥f(4),则f(x)max=f(2)=6-4a;(2)当a ＜3时，f(2)＜f(4),则f(x)max=f(4)=18-8a.故f(x)max=⎩⎨⎧<-≥-)3(,88)3( ,46a a a a 评述：本题属于二次函数在给定区间上的最值问题，由于二次函数的系数含有参数，对称轴是变动的，属于“轴动区间定”，由于图象开口向上，所以求最小值要根据对称轴x=a 与区间［2，4］的位置关系，分三种情况讨论；最大值在端点取得时，只须比较f(2)与f(4)的大小，按两种情况讨论即可，实质上是讨论对称轴位于区间中点的左、右两种情况.例3已知f(x)=|lgx|,且0＜a ＜b ＜c,若f(b)＜f(a)＜f(c),则下列一定成立的是（ ）A.a ＜1,b ＜1,且c ＞1B.0＜a ＜1,b ＞1且c ＞1C.b ＞1,c ＞1D. c ＞1且c 1＜a ＜1,a ＜b ＜a1 分析：画出y=|lgx|的图象如图：f(x)在（0，1上为增函数.观察图象，因为f(a)＜f(b)＜f(c),所以c ＞1且c 1＜a ＜1,a ＜b ＜a1.答案：D 评述：通过此题体会数形结合思想，体会函数987654321-1-6-4-22468042a 321-1-2-3-4-5-4-22468042a 2-2-4-6-8-10-12-14-16-18-20-22-10-5510152025042a 1.210.80.60.40.2-0.2-0.4-0.60.51 1.52 2.5101a 1c c b a图象在函数单调性问题中的应用.例4函数f(x)=x 2-bx+c ，满足对于任何x ∈R 都有f(1+x)=f(1-x)，且f(0)=3,则f(b x )与f(c x )的大小关系是（ ）A.f(b x )≤f(c x )B.f(b x )≥f(c x )C.f(b x )＜f(c x )D.f(b x )＞f(c x )分析：由对称语言f(1+x)=f(1-x)可以确定函数对称轴，从而确定b 值，再由f(0)=3,可确定c 值，然后结合b x ,c x 的大小关系及二次函数的单调区间使问题得以解决.解：∵f(1+x)=f(1-x)∴f(x)的对称轴x=-2b =1 ∴b=2,又f(0)=3,∴c=3,∴f(x)=x 2-2x+3 (1)当x ＞0时，1＜2x ＜3x ,且f(x)在［1，+∞)上是增函数所以f(2x )＜f(3x ),即f(b x )＜f(c x ) (2)当x ＜0时，1＞2x ＞3x ,且f(x)在（-∞,1）上是减函数，所以f(2x )＜f(3x )，即f(b x )＜f(c x ) (3)当x=0时，2x =3x=1则f(2x )=f(3x ),即f(b x )=f(c x )综上所述，f(b x )≤f(c x ).答案：A三、课堂练习：已知f(x)=x 2-4x-4,x ∈［t,t+1］(t ∈R)，求f(x)的最小值φ（t ）的解析式.解：f(x)=(x-2)2-8(1)当2∈［t,t+1］时，即1＜t ＜2时，φ(t)=f(2)=-8.(2)当t ＞2时，f(x)在［t,t+1］上是增函数，故φ(t)=f(t)=t 2-4t-4.(3)当t+1＜2，即t ＜1时，f(x)在［t,t+1］上是减函数.故φ(t)=f(t+1)=t 2-2t-7综上所述：φ(t)=⎪⎩⎪⎨⎧≥--<<-≤--)2( ,44)21( ,8)1( ,7222t t t t t t t四、课时小结：本节学习了二次函数在给定区间上求最值的方法，把握数形结合的特征与方法，逐步掌握函数思想在实际问题中的应用.五、课后作业：1.某农工贸集团开发的养殖业和养殖加工生产业的年利润分别是T 和Q （万元），这两项生产与投入的奖金a(万元)的关系是P=a Q a 310,3=，该集团今年计划对这两项生产共投入奖金60万元，为获得最大利润，对养殖业与养殖加工生产业投入应各为多少万元？最大利润为多少万元？解：设投入养殖业为x 万元，则投入养殖加工生产业为60-x 万元由题意：P+Q=x x -+603103 (0≤x ≤60) 设t=x -60,则0≤t ≤60,x=60-t 2 P+Q=31(60-t 2)+310t=-31(t-5)2+385 ∴当t=5时，即x=35时，（P+Q ）max=385. ∴对养殖业投入35万元，对养殖加工生产业投入25万元，可获最大利润385万元. 2.已知)91(log 2)(3≤≤+=x x x f ，求函数22)]([)(x f x f y +=的最大值和最小值，并求取最大值和最小值的相应的x 的值 答案：3=x 时，y 取最大值13；1=x 时，y 取最小值63.设集合]1,1[-=A ,]22,22[-=B ，函数2)(2-+=mx x x f（1）设不等式0)(≤x f 的解集为C ，当B A C ⊆时，求实数m 的取值范围；（2）若对任意实数x ，均有)1()(f x f ≥恒成立，求B x ∈时，)(x f 的值域；（3）当B x A m ∈∈,时，证明8|)(|≤x f 答案：（1）11≤≤-m （2）22,22[- （3）因为对称轴]22,22[]41,41[4-⊂-∈-=m x ， 故只需证明89|)22(|≤-f ，89|)22(|≤f ，89|)4(|≤m f 即可十二、板书设计（略） 十三、课后记：活动目的：教育学生懂得“水”这一宝贵资源对于我们来说是极为珍贵的，每个人都要保护它，做到节约每一滴水，造福子孙万代。
高中数学 第2章 函数章末复习课件 北师大版必修1
C.32
D.12
解析：因为 f(x)是定义在 R 上的奇函数，所以 f(1)＝－f(－1)
＝－32.
4．若函数 f(x)＝x－1 1＋ 2x＋3，则 f(x)的定义域是
___－__23_，__1_∪___(1_，__＋__∞__)_____．
解析：由x－1≠0，可得 2x＋3≥0
(1)已知 f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且 f(x)＋g(x)＝ 2x2－2x＋1，则 f(x)＝__2_x_2＋__1__． (2)函数 y＝6x－ 1－2x的值域是__(－__∞__，___3_] ___． [解析] (1)f(x)＋g(x)＝2x2－2x＋1，① 由于 f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，对①以－x 代替 x 得 f(－x) ＋g(－x)＝2x2＋2x＋1，即 f(x)－g(x)＝2x2＋2x＋1，② 由①②解得 f(x)＝2x2＋1.
已知函数 y＝|x－1|＋1.
(1)将函数写成分段函数并在指定坐标系中画出图像(不需要 列表)； (2)写出这个函数的单调区间； (3)写出这个函数的值域．
[解] (1)当 x≥1 时，y＝(x－1)＋1＝x， 当 x＜1 时，y＝(1－x)＋1＝2－x，故 y＝x2，－xx≥，1x，＜1. 其图像如图． (2)函数在区间(－∞，1]上是减少的，在区间[1，＋∞)上是增 加的． (3)由图知当 x＝1 时，ymin＝1， 所以函数的值域为[1，＋∞)．
(1)已知 f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且 f(－1)＋g(1)
＝2，f(1)＋g(－1)＝4，则 g(1)等于( B )
A．4
B．3
C．2
D．1
(2)(2014·高考课标全国卷Ⅱ)已知偶函数 f(x)在[0，＋∞)单调 递减，f(2)＝0.若 f(x－1)>0，则 x 的取值范围是__(－__1_，__3_)__．
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例2
例3
例4 小结 作业 其他
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2020年5月30日2时54分
三、函数图像的应用
（一）利用函数图象研究函数的性质 （二）利用函数图象解决方程与不等式问题
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例2
例3
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2020年5月30日2时54分
（一）利用函数图象研究函数的性质
例1．函数 y 3 x 7 的递减区间是
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13
2020年5月30日2时54分
四、小结:
本节主要复习了函数图像的简单变换和利用函数图像 解决一些函数、方程与不等式问题的方法.
把我们已学过的基本初等函数的图像（如一次、二次 和反比例函数，指数、对数函数的图像）进行一些简单变 换（如平移、对称和旋转变换等）可以作出一些较为复杂 的函数的图像。这是同学们要掌握的一个基本功.
谢谢！
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例2
例3
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2020年5月30日2时54分
班级：高一（6）班
谢谢！
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例3
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2020年5月30日2时54分
思考题 1
2
3
2．把下面不完整的命题补充完整，并使之成为真命题．若
函数f (x) =3+log 2 x 的图象与g (x)的图象关于 x轴 对称，则 函数g (x) = -3-log2 x ． (注：填上你认为可以成为真命题的一种情形即可)
，
x2 10
在(-2,1]上的最小值是 3 ．
y
解：∵ y3(x2)13
x2
x
1
2
∴把函数 y 1 的图象向左平移2 个单位，
x
向上平移 3个单位可得函数
y 3
1 x2
的图象，即函数 y 3 x 7 的图象．
x2
-2 O 1 x 由图象可以看出，单调递减区间是：
(,2)，(2, )
∴在(-2,1]上的最小值为：1 0
y
y=| f (x)y=| f (x)
O
x
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4
2020年5月30日2时54分
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例2
例3
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二、基础练习题 1
2
3
1．为了得到 y=2x-3-1图象，只需把 y=2x图象上所有点( A ) (A) 向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 (B) 向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 (C) 向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 (D) 向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
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例2
例3
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2
2020年5月30日2时54分
一、复习填空 1
2
3
4
3．将y＝f (x)的图像作关于x轴对称得到 y＝-f (x) 的图像；
将y＝f (x)的图像作关于y轴对称得到 y＝f (-x) 的图像；
将y＝f (x)的图像作关于原点对称得到 y＝-f (-x) 的图像．
x y 0 y=x
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例2
例3
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2020年5月30日2时54分
思考题 1
2
3
2．把下面不完整的命题补充完整，并使之成为真命题．若 函数f (x) =3+log 2 x 的图象与g (x)的图象关于 y=x 对称，则 函数g (x) = 2x-3 ． (注：填上你认为可以成为真命题的一种情形即可)
解：画出函数 y =|2x-1|与抛物线 y = k-x2的图象，如图所示
(i)当 k < 0时，抛物线与 y =|2x-1|的图象无交点
y
y
=2x y
=2x-1
∴此时原方程无解.
(ii)当 k = 0时，
y =|2x-1| 抛物线与y= | 2x-1|的图象只有一个交点，
1
∴此时原方程有一解.
O1
x y 0 y=x
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例2
例3
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2020年5月30日2时54分
思考题 1
2
3
2．把下面不完整的命题补充完整，并使之成为真命题．若
函数f (x) =3+log 2 x 的图象与g (x)的图象关于 y轴 对称，则 函数g (x) =3+log2 (- x) ． (注：填上你认为可以成为真命题的一种情形即可)
x (iii)当k >0时，
y = k-x2 抛物线与 y= | 2x-1|的图象有两个交点，
画板
∴此时原方程有两解.
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例2
例3
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（二）利用函数图象解决方程与不等式问题
例4．已知函数f (x)=| log2(x+1) |，g(x) =1-x2，定义函数F (x)： 当f (x)≥g(x) 时，F (x)= f (x)； 当g(x) > f (x) 时，F(x)= -g(x).
(C) 减函数且最小值为-5
-7 -3
(D) 减函数且最大值为-5
O 3 7x
-5
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例3
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2020年5月30日2时54分
（二）利用函数图象解决方程与不等式问题
例3．k 为何值时，方程 | 2x-1 | =k-x2 无解？有一解？有两解？
解析：问题转化为求 y =|2x-1| 与 y = k-x2的图象交点的个数.
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2020年5月30日2时54分
二、基础练习题 1
2
3
3．函数f (x) =|log2 x |的图象是( )
y
y
y
y
O1 x
(A)
f (x) =| log2 x |
O1
(B)
x O 1 x O1 x
(C)
(D)
y =log2 x
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2020年5月30日2时54分
二、基础练习题 1
2
3
2．函数y =x2-2|x| 的图象是( C )
y
y
y
y
O1 x
O1 x
O1 x O1 x
(A)
(B)
g (x)=x2-2x
(C)
y =x2-2|x|
(D)
y =|x2-2x |
注意到x2=|x|2，∴函数y = |x|2-2|x| ，即 y=g (|x|) 的形式
x y 0 y=x
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2020年5月30日2时54分
思考题 1
2
3
2．把下面不完整的命题补充完整，并使之成为真命题．若 函数f (x) =3+log 2 x 的图象与g (x)的图象关于原点对称，则 函数g (x) = -3-log2(-x) ． (注：填上你认为可以成为真命题的一种情形即可)
则F (x) ( B )
y
ff((xx))==||lologg22(xx+|1) |
(A) 有最小值为0，无最大值
(B) 有最小值为-1，无最大值 (C) 有最大值为2，无最小值
-1
O
(D) 有最大值为1，无最小值
f (x) = log2 x
1
x
M
g (x) =1-x2
F(x)的图像是图中3条深蓝色曲线的组合
利用函数图像解决一些函数、方程与不等式问题的方 法. 重点在于“以形助数”，通过“以形助数”使得复杂问题 简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的.
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2020年5月30日2时54分
五、作业:
提纲：1-3题 导学：P.72 4,5,9
(B) (2,+∞) (D) (-2,2)
y
-2 O 1 2
x
作业
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2020年5月30日2时54分
高一数学第二章（函数）复习课
欢迎莅临指导
泉州市第一中学 陆集宁
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27
2020的值域是 [1, ) .
O1
x
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例3
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2020年5月30日2时54分
五、作业:
导学：P.72 4,5,9 P.82 9,10,
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2020年5月30日2时54分
班级：高一（6）班
P.82 9,10,
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