数形结合在函数中的应用
数形结合在高中函数的应用
数形结合在高中函数的应用
简单点说，数可以理解为数字，数学表达式，形即图形，包括函数图象，简图等等
数形结合的思想方法是数学教学内容的主线之一，应用数形结合的思想，可以解决以下问题：
一、解决集合问题：在集合运算中常常借助于数轴、Venn图来处理集合的交、并、补等运算，从而使问题得以简化，使运算快捷明了。
二、解决函数问题：借助于图象研究函数的性质是一种常用的方法。
函数图象的几何特征与数量特征紧密结合，体现了数形结合的特征与方法。
三、解决方程与不等式的问题：处理方程问题时，把方程的根的问题看作两个函数图象的交点问题；处理不等式时，从题目的条件与结论出发，联系相关函数，着重分析其几何意义，从图形上找出解题的思路。
四、解决三角函数问题：有关三角函数单调区间的确定或比较三角函数值的大小等问题，一般借助于单位圆或三角函数图象来处理，数形结合思想是处理三角函数问题的重要方法。
五、解决线性规划问题：线性规划问题是在约束条件下求目标函数的最值的问题。
从图形上找思路恰好就体现了数形结合思想的应用。
六、解决数列问题：数列是一种特殊的函数，数列的通项公式以
及前n项和公式可以看作关于正整数n的函数。
用数形结合的思想研究数列问题是借助函数的图象进行直观分析，从而把数列的有关问题转化为函数的有关问题来解决。
七、解决解析几何问题：解析几何的基本思想就是数形结合，在解题中善于将数形结合的数学思想运用于对点、线、曲线的性质及其相互关系的研究中。
八、解决立体几何问题：立体几何中用坐标的方法将几何中的点、线、面的性质及其相互关系进行研究，可将抽象的几何问题转化纯粹的代数运算。
数形结合在函数与方程中的应用
２０２４年３月上半月㊀学习指导㊀㊀㊀㊀数形结合在函数与方程中的应用◉江苏省常熟市浒浦高级中学㊀李宝香㊀㊀函数与方程是高中数学的重要组成部分,也是高考的核心考点,二者既相互联系又相互区别．它们与其他知识点也有着密切的联系,学好这部分知识点对学生提高数学水平㊁提升数学能力都有着非常重要的意义．方程与函数相结合的题目比较灵活,学生解题时常常因为找不到合适的切入点而望而却步．数形结合作为一种重要的思想方法,其在解决函数与方程问题中有着重要的应用．日常教学中,教师应让学生充分体会函数与方程的转化关系,重视启发学生借助图象的直观来解决一些抽象的方程㊁不等式㊁函数单调性等问题,以此提高解题效率．下面笔者结合实例谈谈自己在这部分知识教学时的一些心得体会,若有不足,请指正．１利用数形结合思想研究一元二次方程的根的分布问题㊀㊀方程的根与函数的零点既是高中数学的重点,也是难点．在这部分知识教学中,教师应重视基础知识的讲解,让学生理解并掌握二者之间的等价关系,并学会用数形结合思想方法解决问题,感悟数形结合思想方法在解决此类问题中的价值,发展数学素养．１．１探寻基础,沟通联系在函数与方程的教学中,教师应重视引导学生将方程中的相关结论用函数图象来表达,以此将方程的根与函数的零点建立联系,通过数形结合,让学生深刻理解二者的等价关系,从而为后期的应用奠基．设一元二次方程a x ２＋b x ＋c ＝０(a ʂ０)的两个实数根分别为x １,x ２,且x １ɤx ２,有以下重要结论．结论１:x １＞０,x ２＞０{⇔Δȡ０,a ＞０,f (０)＞０,b ＜０ìîíïïïï或Δȡ０,a ＜０,f (０)＞０,b ＞０．ìîíïïïï根据结论１,结合二次函数图象得到函数零点的分布情况,如图１．图１结论２:x １＜０,x ２＜０{⇔Δȡ０,a ＞０,f (０)＞０,b ＞０ìîíïïïï或Δȡ０,a ＜０,f (０)＞０,b ＜０．ìîíïïïï同理,结合结论１的研究经验,根据结论２可以得到对应的二次函数图象,如图２．图２结论３:x １＜０＜x ２⇔ca ＜０．结论４:x １＝０,x ２＞０⇔c ＝０且ba＜０;x １＜０,x ２＝０⇔c ＝０且ba＞０．(对应图象如图３㊁图４)图３图４数 与 形 建立联系,为研究方程的根的分布情况带来了便利,促进了学生高阶思维能力的发展．１．２灵活应用,深化认知例１㊀假设x ２－２(m －１)x ＋２m ＋６＝０．(１)如果方程有两个根均大于０,求实数m 的取值范围;(２)如果方程的两个根一个比１大,一个比１小,３４学习指导２０２４年３月上半月㊀㊀㊀求实数m 的取值范围;(３)如果方程的两个根均大于１,求实数m 的取值范围．问题给出后,教师让学生独立完成．教师巡视,发现大多学生选择运用初中所学的方程知识来求解．有的因为运算复杂而望而却步,有的因为漏解最终导致结果错误,解题效果一般．在解决此类问题时,教师要引导学生运用数形结合思想,借助图形的直观去研究已知,探寻未知,有效避免错误的发生．教学中,教师选择了一些典型性解答过程进行展示,以下是学生给出的解问题(３)的解答过程．生１:根据Δ＝４(m ２－４m －５)ȡ０,(x １－１)(x ２－１)＞０,{可得m ȡ５或m ɤ－１．生２:由Δ＝４(m ２－４m －５)ȡ０,x １＋x ２＞２,x １x ２＞１,ìîíïïïï得m ȡ５．生１按照解决问题(１)的思路求解,解得m ȡ５或m ɤ－１;而生２按照解决问题(２)的思路求解,解得m ȡ５．可以看出,大多学生习惯性地利用根的判别式和韦达定理来求解此类问题．对于简单的问题,此种方法确实一个好的解题策略,该方法虽然运算上略显复杂,但是学生易于理解和接受．不过,对于复杂的问题,若依然采用该方法求解可能会陷入误区．教学中,教师让学生思考: 上述问题(３)的两种解法正确吗?你能否举例验证呢 在问题的引导下,学生积极思考,很快就发现了问题．对于生１给出的(x １－１)(x ２－１)＞０这一条件,学生给出这样一个反例:若x １＝－３,x ２＝－１,虽满足(x １－１)(x ２－１)＞０,但却不满足 方程两根均大于１ 这一条件．对于生２给的条件,同样也给出了反例:若x １＝４,x １＝１２,同样满足x １＋x ２＞２,x １x ２＞１,{但却不满足 方程两根均大于１ 这一条件．显然利用解决问题(１)和问题(２)的策略来研究问题(３)是行不通的．此时,教师不妨引导学生分析函数的零点,借助函数图象寻找解决问题的突破口．由y ＝x ２－２(m －１)x ＋２m ＋６的图象(此处略),可得Δ＝４(m ２－４m －５)ȡ０,２(m －１)２＞１,f (１)＞０,ìîíïïïï所以m ȡ５．在此基础上,教师可以引导学生运用函数零点分布的知识重新思考问题(１)和问题(２),以此通过对比分析发现不同解法的优缺点．以上问题求解后,教师还应引导学生向一般转化,思考这样几个问题:已知方程a x ２＋b x ＋c ＝０(a ＞０)有两个根．若方程有两个正根,此时应满足什么条件?若方程两根都比m 大,又应满足什么条件呢?若方程一个根比m 大,另一个根比m 小呢?由此通过由特殊到一般的转化,帮助学生总结二次函数零点分布的解法,提高学生解题技能．在数学教学中,不应仅将目光聚焦于问题解决上,还应思考问题解决过程中涉及的数学思想方法,让学生学会从整体㊁全局的角度去思考问题,通过深入探究提高学生分析和解决问题的能力．２利用数形结合思想解方程和不等式函数是方程与不等式的扩展,三者相互沟通㊁相互转化．谈起解方程,大家脑海中大多浮现的是解一元一次方程㊁一元二次方程(组),其实方程的类型远不止于此,有些方程直接求解可能很难找到合理的切入点,需要将其转化为函数,利用函数思想求解往往可以事半功倍．其实,在研究幂函数㊁指数函数㊁对数函数㊁三角函数等一些特殊形式的函数时,都会要求学生画出这些函数的图象,然后运用一些特殊方程与函数的交点问题来研究方程的根．３利用数形结合思想研究函数的单调性函数单调性是高中数学教学的一个难点内容．之所以难是因为函数单调性的概念比较抽象,部分学生直接应用定义法研究函数单调性时容易遇到障碍,从而影响解题效果．其实我们在学习新函数时,都会研究其图象,然后根据函数图象研究函数的相关性质．因此,在研究初等函数或者由初等函数复合而来的函数的单调性问题时,可以结合函数图象来分析,以此借助 形 的直观让问题更加形象,消除学生的畏难情绪,提高解题信心．例２㊀求函数y ＝x |x |－２|x |的单调区间．分析:在解决此类含绝对值的函数问题时,首先要引导学生去掉绝对值符号,然后结合函数图象研究其性质．根据绝对值的定义去掉绝对值,可得y ＝x ２－２x ,x ȡ０－x ２＋２x ,x ＜０,{然分别画出y ＝x ２－２x (x ȡ０)和y ＝－x ２＋２x (x ＜０)的函数图象,问题即可迎刃而解．数形结合在研究函数与方程问题中有着重要的应用,若在教学中合理加以利用可以淡化数学的抽象性,帮助学生更好地理解知识㊁解决问题,提高解题信心．因此,在课堂教学中,教师不仅要讲授知识,还要渗透思想与方法,以此提高教学质量和学生数学素养．Z４４。
数形结合思想在函数解题中的应用
数形结合思想在函数解题中的应用摘要：数形结合思想是数学教学重视数学思想培养之一。
高中数学教学和学习中，灵活地应用数形结合思想可以更好地对于数的概念以及形的特征把握，可以化抽象为具体，能通过数与形快速解决问题。
解决数学问题关键的一大利器是利用数形结合思想关键词：数形结合思想；函数；解题1. 阐述数形结合思想在高中数学的教与学的过程中要重视合理的转化数与形，实现将难懂的的数学问题的性质清晰表现处理。
寻找到潜藏在数与形之间的对应关系是数形结合思想的本质所在，常见的我们是把数转化成形，从而直观形象的解决问题，同时大家不要忽略有时学会形转化成数。
这是因为过于直观和具体的形，无法凝练出具有一般性的特征。
充分理解数与形互化关系，把形转化成为数，答案通过计算得出。
总而言之，数形结合是高中数学重要的数学思想之一，学会数学互化的重要思想。
本文主要讨论的是数形结合的思想在函数解题中的应用：研究单调性，求函数的最值，函数的零点问题等。
2.数形结合思想在函数性质中的应用新课改更注重学生的自主学习，自己提练信息，所以出题更偏爱将函数的几种性质综合在一起考查学生。
如果学生只是从代数的角度去解题，那无疑会增加解题的难度，如果能利用图形的直观性，能大大的提高解题效果。
我们要引导学生解题的要充分利用数形结合的思想。
（1）数形结合思想在函数单调中的应用例1.设函数f(x)=若函数f(x)在区间(a，a＋1)上单调递增，求实数a取值范围解析：函数f(x)的图象如图所示，由图象可知f(x)在(a，a＋1)上单调递增，需满足a≥4或a＋1≤2，即a≤1或a≥4.总结：单调性是函数的重要性质之一，它的主要应用是用来求解最值，求解不等式，比较大小，求参数等，不管哪一种应用，能画出函数的图像，通过图像中的单调得出答案，能大大的提高解题效率，充分体现了数形结合思想的重要性（2）数形结合思想在函数最值中的应用例题1：定义max{a，b，c}为a，b，c中的最大值，设M=max{2x，2x－3，6－x}，求M的最小值解析：画出函数M={2x，2x－3，6－x}的图象(如图)，由图可知，函数M在点A(2，4)处取得最小值22=6－2=4，故M的最小值为4.总结：函数的最值是函数中比较热点的题目。
数形结合具体用法
数形结合具体用法
1. 你知道吗，数形结合可以用来解决几何问题呀！比如说计算图形的面积，就像我们要求一个不规则四边形的面积，把它放到坐标系里，通过坐标来计算，多神奇啊！
2. 哎呀呀，在函数问题里数形结合超好用的呢！比如研究函数的单调性和极值，画个图出来不就一目了然了嘛，这可比干瞪着眼看式子清楚多啦！
3. 嘿，你想想看，当你面对一堆数字不知道该怎么分析的时候，数形结合不就派上用场啦！像分析统计数据，把它变成图表，一下子就好理解了，是不是很厉害？
4. 哇塞，在解方程组的时候，数形结合也能大显身手呀！好比直线和曲线的交点，这不就是方程组的解嘛，这种感觉是不是超棒？
5. 哈哈，遇到行程问题的时候可别忘了数形结合哦！把路程和时间用图形表示出来，那进展情况不就清清楚楚啦，多直观呀！
6. 哎哟喂，在研究概率问题的时候，数形结合也是个好家伙呢！用图形来表示各种概率情况，一下子就抓住重点啦，妙不妙？
7. 哇，当要比较大小的时候，数形结合也能来帮忙呀！把数字转化成图形上的位置，谁大谁小一眼便知，太有意思了吧！
8. 嘿嘿，在解决复杂的数学问题时，数形结合就像是一把钥匙呀！比如一个让人头疼的不等式，通过图形来理解，瞬间就打开思路了，牛不牛？
9. 总之呢，数形结合的用处简直太多啦！它就像我们数学学习中的得力助手，能帮我们轻松解决各种难题，让我们的学习变得更加有趣和高效，一定要好好利用它呀！。
数形结合思想在初中数学中的应用
数形结合思想在初中数学中的应用数形结合思想是指通过对数学问题进行图形化的表示和解释，从而提供直观的解决问题的思路和方法。
在初中数学中，数形结合思想的应用主要包括以下几个方面。
一、图形与几何问题的解决数形结合思想在解决几何问题时起到了至关重要的作用。
通过将几何问题转化为图形问题，可以直观地理解问题的本质，并通过观察和推理得到解决问题的方法。
当求解一个三角形的面积时，可以通过将三角形划分成若干个简单的图形，计算它们的面积然后相加来得到整个三角形的面积。
这种数形结合思想的应用，帮助学生理解并解决了许多几何问题。
二、函数与图像的分析在初中数学中，我们接触到的函数种类较为简单，但是通过对函数图像的观察，可以对函数进行初步的分析和判断。
通过观察一元一次函数（y = kx + b）的图像，可以看出当 k>0 时函数是递增的，而当 k<0 时函数是递减的。
通过对图像的观察和比较，可以得到一些函数的性质和规律。
图形化的表示和解释使得函数的学习更加直观和有趣。
三、统计与数据分析数形结合思想在统计和数据分析中也有重要的应用。
在分析一个统计数据时，可以通过绘制柱状图、折线图等图形来直观地展示和比较数据的特征。
通过观察图形，我们可以得出一些有关数据的结论和推断。
图形化的表达也使得数据的理解和分析更加简单和直观。
四、证明与推理在初中数学中，我们也经常需要进行一些证明和推理的工作。
数形结合思想通过图形的表示和解释，可以帮助学生更好地理解和掌握证明和推理的方法。
在证明两个三角形全等时，可以通过绘制它们的图形表示，并观察图形的对应部分是否相等来进行验证。
这种数形结合的思考方式，帮助学生更好地理解和运用证明和推理的方法。
数形结合思想在初中数学中的应用十分广泛。
通过将抽象的概念和问题进行图形化的表示和解释，数形结合思想可以帮助学生更好地理解和掌握数学知识，提高解决问题的能力和思维方式。
数形结合思想在初中数学的教学中起到了重要的作用，同时也培养了学生的创造力和想象力，使学习数学变得更加有趣和实用。
数形结合在数学中的应用
数形结合在数学中的应用数形结合是指将数学中的符号、公式、运算与几何中的图形、形状、空间相结合，以增强对于数学概念和原理的理解和应用。
数形结合在数学中的应用非常广泛，以下是一些具体例子。
1. 三角函数中的图像三角函数是数学中非常重要的概念，包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。
通过将这些函数与图像相结合，我们可以更好地理解它们的性质和特点。
例如，正弦函数的图像是一个周期性的波形，可以被看作是在单位圆上旋转的一个点的纵坐标。
余弦函数的图像与正弦函数非常相似，只是起始位置不同。
通过观察这些图像，我们可以推导出一些数学公式，例如正弦函数的周期为2π、余弦函数的最大值为1等。
同时，通过研究这些图形的对称性、周期性，我们也能够更深刻地理解三角函数的性质。
2. 空间几何中的向量向量是空间几何中的重要概念，它可以表示任意一个有大小和方向的量。
通过将向量与图形相结合，我们可以更好地理解向量的性质和应用。
例如，在二维平面中，我们可以用箭头表示一个向量，箭头的长度表示向量的长度，箭头的方向表示向量的方向。
在三维空间中，向量变成了一个有长度和方向的线段。
通过观察这些图像，我们可以推导出一些数学公式，例如两个向量的点积、向量的模长等。
3. 几何中的圆与数学中的弧度圆是几何中的重要概念，它有着许多特殊的性质。
通过将圆与数学中的弧度相结合，我们可以更好地理解圆的性质和应用。
弧度是一个角度的度量单位，它可以用弧长除以半径来计算。
通过将弧度与圆相结合，我们可以得到圆的周长公式，而圆的面积公式也可以通过数学推导得到。
4. 数学中的图形变换图形变换是数学中非常重要的概念，它包括平移、旋转、缩放、翻转等。
通过将图形变换与几何中的图形相结合，我们可以更好地理解图形变换的性质和应用。
例如，在平面几何中，我们可以用矩阵来表示一个图形的平移、旋转和缩放。
通过观察这些矩阵的特点，我们可以得到一些图形变换的性质，例如平移变换不改变图形的大小和形状、旋转变换不改变图形的面积等。
数形结合思想在函数中的应用.docx
数形结合思想在函数中的应用（江苏省泰州市海军中学杨金宝225300）数形结合是数学研究的重要方法是传化的数淫思想的重要体现。
数形结合包括代数问题几何解和几何问题代数解两个方而，前者初屮阶段有解析法和构造几何图形法，后者包括方程法和函数法。
本文从两方而探讨数形结合思想在初中数学中的应用。
（-）数形结合的简介屮学数学的基本知识分三类：一类是纯粹数的知识，如实数、代数式、方程（组）、不等式（组）、函数等；一类是关于纯粹形的知识，如平而几何、立体几何等；一类是关于数形结合的知识，主要体现是解析几何。
数形结合是一个数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方而，其应用大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数Z 间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些屈性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质。
恩格斯曾说过：“数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学。
”数形结合就是根据数学问题的条件和结论Z间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示其几何直观，使数量关的精确刻划与空间形式的直观形彖巧妙、和谐地结合在一起，充分利用这种结合，寻找解题思路，使问题化难为易、化繁为简, 从而得到解决。
“数”与“形”是一对矛盾，宇宙间万物无不是“数”和“形” 的矛盾的统一。
（二）函数数形结合的应用1、图形信息的获取，建立适当的代数模型。
不少函数问题以图形的形式出现，图形屮包含丰富的代数知识，仔细观察图形、图像、把握图形的特点、找出图形中的信息是解决问题的关键所在。
例1：某校部分住校生，放学后到学校锅炉房打水，每人接水2升，他们先同时打开两个放水笼头，后来因故障关闭一个放水笼头。
假设前后两人接水间隔时间忽略不计，且不发生泼洒，锅炉内的余水量y （升）与接水时间x（分）的函数图像如图。
请结合图像，回答下列问题：（1）根据图中信息，请你写出一个结论；（2）问前15位同学接水结束共需要几分钟？(3)小敏说：“今天我们褸室的8位同学去锅炉房连续接完水恰好用了3 分钟。
数形结合思想在函数与方程中的应用
数形结合思想在函数与方程中的应用数形结合思想，就是把代数中的数与几何中的形结合起来理解问题，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想．数形结合思想在高考数学中占有重要地位。
下面练习利用数形结合思想解决函数与方程问题（一）数形结合在函数中的应用例1.定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋1)＝f(－x)，当x∈时，f(x)＝log(x＋1)，则f(x)在区间内是( )2A.减函数且f(x)>0B.减函数且f(x)<0C.增函数且f(x)>0D.增函数且f(x)<0解析由f(x＋1)＝f(－x)可知，函数f(x)的图象关于直线x＝对称，又函数f(x)为奇函数，故f(x＋1)＝f(－x)＝－f(x)，∴f(x＋2)＝f(x)，即函数f(x)的周期为2，又当x∈时，f(x)＝log(x＋1)，故可得到函数f(x)的大致图象如图所示.由图象可知选B.2答案 B例2.已知函数y＝的图象与函数y＝kx的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围是________.解析y＝＝＝函数y＝kx过定点(0，0).由数形结合可知：0＜k＜1或1＜k＜k，OC∴0＜k＜1或1＜k＜2.答案 (0，1)∪(1，2)例3.已知函数y＝f(x)是周期为2的周期函数，且当x∈[－1，1]时，f(x)＝2|x|－1，则函数F(x)＝f(x)－|lg x|的零点个数是( )A.9B.10C.11D.18解析：在坐标平面内画出y＝f(x)与y＝|lg x|的大致图象(如图)，由图象可知，它们共有10个不同的交点，因此函数F(x)＝f(x)－|lg x|的零点个数是10，故选B.答案 B[点评] 解决本题的关键是在同一坐标系中准确画出两函数的图象，有几个交点，原函数就有几个零点.1.数形结合在方程中的应用例4.已知点在函的图象上，且．求方程解的个数。
思路分析方程解的个数问题，用数形结合思想，其实是画出图像求图像交点个数答案：3解析：，画出及的图像，方程解的个数既为函数图像交点的个数，由图像知原方程有3个解。
数形结合在函数教学中的应用
数形结合在函数教学中的应用数学中存在着“数”与“形”两个基础概念，数量关系与空间图形往往有机结合在一起，相互解释，这便是“数形结合”的思想。
在初中函数中，函数变量关系与绘制图像联系密切，变量关系中彰显出隐含的图像信息，图像之中也能反映出函数的变量关系。
在解答函数题目时，往往需要结合绘制图像，在较为直观的图形中把握函数关系，为分析、解答提供了极大的方便。
例如在一次函数的教学中，设计了如下一些教学思路：（1）探究性课题：1、水电费账单数据的分析。
2、物理学科中电阻、电压、电流关系。
提出一些问题：探究这些变量之间的数量关系，画出相应的函数图象，并结合数学知识编制新问题。
这样把实际生活中的问题上升为数学问题并构建为数学模型。
设计练习：a:直角三角形的两个锐角的度数分别为x、y，用x表示y的关系式；b:从边长为20的正方形的四角剪去四个边长为x的小正方形，做成一个无盖的小方盒子，设此盒的容量为v，写出v关于x的函数解析式，所有这些问题中自变量的取值范围是什么？（2）问题情境：龟兔赛跑的结局提出新的问题：兔子醒来后，发现乌龟已在自己前面2500米处，很后悔，就以每小时3000米的速度去追，而乌龟仍以每小时500米的速度前进，那么谁能最终获胜？学生猜测、讨论思考：若设兔子醒后追了t小时，龟、兔离开睡觉处S（米）与时间t（小时）是什么关系？学生：兔：S=3000t (t>0)龟：S2=2500+500t (t>0)提问：1：能用学过的方法直观反映问题吗？（画图）2：图像的交点表示什么实际意义？交点的左侧呢？右侧呢？由学生通过讨论、计算得出3个结论。
教学策略：猜想—探究通过讨论、质疑、尝试，结合函数关系，利用数形结合进行分析，在实际问题与数学知识之间建立数学模型，探究结论，准确直观的解决问题。
在反比例函数和二次函数的教学中，有意识的去引导学生把“数”和“形”结合起来去解决相关问题，让学生在自我尝试中体会数学的魅力，从而降低了教与学的难度。
数形结合思想在初中数学解题中的应用
数形结合思想在初中数学解题中的应用数学是一门抽象而又具体的科学，数形结合思想是数学中的一种重要解题方法。
在初中数学中，数形结合思想的应用非常广泛，能够帮助学生更好地理解和解决各种数学问题。
下面将从几何、代数和应用题三个方面来探讨数形结合思想在初中数学解题中的应用。
一、几何问题在初中数学中，几何问题是学生们比较容易遇到的难题，而数形结合思想可以帮助学生更好地理解和解决几何问题。
在计算多边形的面积时，可以利用数形结合思想将多边形分解为若干个简单的几何形状，然后计算每个几何形状的面积再相加即可。
又在计算三角形的面积时，可以利用数形结合思想将三角形划分为两个简单的图形，然后计算每个简单图形的面积再相加即可。
这种数形结合的思想不仅能够帮助学生更好地理解几何问题，还能够使计算更加简便和直观。
二、代数问题在代数问题中，数形结合思想也能够派上用场。
在解决一元二次方程时，可以利用图形的对称性来帮助理解和解决问题。
当一元二次方程的图像是抛物线时，通过观察抛物线的对称轴和顶点，可以很容易地找到一元二次方程的解。
又在解决函数图像的性质问题时，可以利用图形的变化来推导函数的变化规律。
通过将函数的图像与数学公式相结合，可以更加清晰地理解函数的性质和规律。
三、应用题在应用题中，数形结合思想也能够帮助学生更好地理解和解决问题。
在解决速度、时间、距离之间的关系问题时，可以利用图形表示速度、时间和距离的关系，从而更加直观地理解三者之间的关系。
通过将问题抽象成图形，再结合数学方法来解决问题，能够使学生更快地找到解题的方法和规律。
又在解决物体的测量问题时，可以利用图形来帮助理解和解决问题。
通过将物体的形状抽象成图形，再结合几何和代数的方法来解决问题，能够使学生更好地掌握物体测量的方法和技巧。
数形结合思想在函数中的应用1
数形结合思想在函数中的应用（江苏省泰州市海军中学杨金宝225300）数形结合是数学研究的重要方法之一，是转化的数学思想的重要体现。
数形结合包括代数问题几何解和几何问题代数解两个方面，前者初中阶段有解析法和构造几何图形法，后者包括方程法和函数法。
本文从两方面探讨数形结合思想在初中数学中的应用。
（一）数形结合的简介中学数学的基本知识分三类：一类是纯粹数的知识，如实数、代数式、方程（组）、不等式（组）、函数等；一类是关于纯粹形的知识，如平面几何、立体几何等；一类是关于数形结合的知识，主要体现是解析几何。
数形结合是一个数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质。
恩格斯曾说过：“数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学。
”数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示其几何直观，使数量关的精确刻划与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起，充分利用这种结合，寻找解题思路，使问题化难为易、化繁为简，从而得到解决。
“数”与“形”是一对矛盾，宇宙间万物无不是“数”和“形”的矛盾的统一。
（二）函数数形结合的应用1、图形信息的获取，建立适当的代数模型。
不少函数问题以图形的形式出现，图形中包含丰富的代数知识，仔细观察图形、图像、把握图形的特点、找出图形中的信息是解决问题的关键所在。
例1：某校部分住校生，放学后到学校锅炉房打水，每人接水2升，他们先同时打开两个放水笼头，后来因故障关闭一个放水笼头。
假设前后两人接水间隔时间忽略不计，且不发生泼洒，锅炉内的余水量y（升）与接水时间x（分）的函数图像如图。
请结合图像，回答下列问题：（1）根据图中信息，请你写出一个结论；（2）问前15位同学接水结束共需要几分钟？042 728096X/分Y/升（3）小敏说：“今天我们寝室的8位同学去锅炉房连续接完水恰好用了3分钟。
数形结合,提升函数教学有效性
数形结合，提升函数教学有效性函数教学是高中数学的重点内容之一，也是学生学习数学的难点之一。
如何提升函数教学的有效性，激发学生学习的兴趣和提高学生的学习效果，是每个数学教师需要思考和解决的问题。
本文将从数形结合的角度探讨如何提升函数教学的有效性。
数形结合是指将数学知识与几何图形相结合，通过图形的展示和分析来理解和解决数学问题。
在函数教学中，数形结合可以有效地帮助学生理解函数的概念、性质和应用，提升函数教学的有效性。
具体来说，数形结合在函数教学中主要体现在以下几个方面：一、图像展示函数的性质函数的图像是函数概念的直观展现，可以帮助学生理解函数的性质。
通过数学软件或手绘图像，可以展示函数的增减性、奇偶性、周期性等性质，帮助学生直观地理解函数性质的表现形式。
可以通过展示正弦函数的图像来让学生理解周期函数的性质；通过展示指数函数和对数函数的图像来让学生理解函数的增减性和反比例关系等。
二、几何解释函数的应用函数在数学中有着广泛的应用，如物理、化学、经济等领域。
通过数形结合，可以将函数的应用问题转化为图形问题，通过图像展示和分析，让学生更容易理解和解决实际问题。
可以通过图像展示函数的变化趋势来解释物理或经济中的变化规律；通过图像展示函数的积分面积来解释函数在概率和统计中的应用等。
三、图形优化函数的理解数学软件如Geogebra、Desmos等可以方便地展示各种函数的图像，教师可以利用这些软件，通过动态展示和比较不同函数的图像，来帮助学生更好地理解函数的性质。
可以通过Geogebra展示正弦函数和余弦函数的图像，并比较它们的周期、相位差等性质，让学生直观地感受周期函数的性质。
二、引导学生通过图形发现函数的规律教师可以设计一些图形发现的问题，让学生通过观察图像来发现函数的性质和规律。
可以给学生出一些关于函数图像的性质问题，让学生通过观察图像、比较不同函数的图像来总结函数的性质，培养学生的观察力和总结能力。
三、将函数的应用问题转化为图形问题四、鼓励学生用图像解决问题数形结合可以有效地提升函数教学的有效性，激发学生学习的兴趣和提高学生的学习效果。
高考数学：数形结合在函数问题
例 2 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)＝2 －|x＋2|.若对任意的x∈[－1，2]，f(x＋a)>f(x)恒成立，则 实数a的取值范围是( D ) A．(0，2) B．(－∞，－6)∪(0，2) C．(－2，0) D．(－2，0)∪(6，＋∞)
【解析】f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x<0 时，f(x)＝2－|x＋2|.根据奇函数的图像关于 原点对称，作出 f(x)的图像，如图所示．
g′(x)＝(2a－1)e2x－2aex＋1＝(ex－1)·[(2a－1)ex－1]，
①若 a>12，令 g′(x)＝0，得极值点 x1＝0，x2＝ln 2a1－1.当 x2>x1＝0，即12<a<1 时，在(x2， ＋∞)上有 g′(x)>0，此时 g(x)在区间(x2，＋∞)上单调递增，并且在该区间上有 g(x)∈(g(x2)， ＋∞)，不合题意；
n－m
的最大值为3＋2
10 .
分考点讲解
与不等式有关的问题
利用函数f(x)和g(x)图像的上下位置关系，可直观地得到不等 式f(x)>g(x)或f(x)<g(x)的解集．
当f(x)的图像在g(x)的图像的上方时，自变量x的范围是不等式 f(x)>g(x)的解集；当f(x)的图像在g(x)的图像的下方时，自变量x 的范围是不等式f(x)<g(x)的解集．
C．[1，＋∞)
D.e12，1e
【解析】由 f(x)＝xln2， （xx≤ ＋01， ），x>0，得 f(x)－1＝xln2－ （1x＋，1x≤ ）0－，1，x>0. 在平面直角坐标系中，画出函数 y＝f(x)－1 与 y＝a(x＋1)的大致图像，如图所示．
数形结合思想在初中函数教学中的应用——以人教版数学八年级下册“一次函数”教学为例
数形结合思想在初中函数教学中的应用——以人教版数学八年级下册“一次函数”教学为例覃仕山（南宁市五一路学校）摘要：运用数形结合思想实施初中数学教学，有利于培养学生的直观想象、数学建模和数学抽象能力。
以“一次函数”教学为例，探讨数形结合思想在教学中的应用路径如下：借助数形结合，分析数量关系；感知坐标模型，实现以数定形；分析模型信息，实现以形探数等。
构建初中函数教学中数与形之间的转化思维，有效提升学生数学实际问题的解决能力。
关键词：初中数学；函数教学；一次函数；数形结合；以数定形；以形探数中图分类号：G63文献标识码：A文章编号：0450-9889（2024）01-0058-04数与形可直观反映同一问题的两方面属性。
“数”指的是运用代数的知识解决问题，“形”指的是利用图形的性质研究数量关系，数形结合则是指利用数与形之间的联动、转化快速解决问题的一种思想。
图形与数字之间存在着紧密的对应关系，以形助数可帮助学生深刻理解抽象的公式概念，以数解形则可促进学生对实际问题的有效解决。
数形结合思想构建起数学逻辑与外部世界的联系桥梁，使其呈现出可视化的应用状态，容易为学生理解与接受。
数学教学中数与形的紧密结合和灵活运用，能够充分培养学生的直观想象、数学建模和数学抽象能力，发展学生的数学核心素养。
下面，笔者以人教版数学八年级下册第十九章“一次函数”教学为例，从教学实际出发，通过分析数量关系、建立坐标模型及借助函数图像解决实际问题三个教学步骤，阐释数形结合思想在初中函数教学中的应用。
一、借助数形结合，分析数量关系函数中数与形的转化，本质上源于数值的规律性变化。
一次函数作为发生在集合之间的一种严格的对应关系，呈现出独有的变化规律。
用直观的图形帮助学生理解抽象的集合关系与变化规律是一种较好的学习方式［1］。
一次函数中数形结合的初步应用，则落实在一次函数的函数与自变量之间，即通过函数模型的构建，进行两个变量间的数量关系分析，以此探寻函数的基本性质。
数形结合思想在函数中的应用
数形结合思想在函数中的应用所谓数形结合思想就是在研究问题时把数和形结合起来考虑，或者把问题的数量关系转化为图形的性质，或者把图形的性质转化为数量关系，从而使复杂问题简单化，抽象问题具体化．本文以一次函数为例，说明它的几个应用．一、“形”到“数”的思想应用例1 小明同学骑自行车去效外春游，图1表示他离家的距离y （千米）与所用时间x （小时）之间的关系图象．（1）根据图象回答：小明到达离家最远的地方需几小时？此时离家多远？（2）求小明出发两个半小时时离家多远？（3）求小明出发多少时间距家12千米？解：（1）由图象知离家最远30千米需要3小时．（2）线段CD 的函数关系式为y =15x -15（2≤x ≤3），当x =2.5时，y =15×2.5－15＝22.5（千米）．所以小明出发2.5小时时，离家22.5千米．（3）小明距家12千米时应在OB 线段或EF 线段，线段OB 函数关系式为y =15x （0≤x ≤1），线段EF 函数关系式为y =-15x +90（4≤x ≤6）．当y =12时，有15x =12，-15x +90=12．解得45x =或265． 所以小明出发45小时，或265小时，离家12千米． 二、“数”到“形”的思想应用例2 某游客为爬上3千米高的山顶看日出，先用1小时爬了2千米，休息0.5小时后，再用1小时爬上山顶，游客爬山所用时间t （小时）与山高h （千米）之间函数关系用图象表示是（ ）解：（B ）、（C ）显然不符合，比较（A ）和（D ），发现（A ）爬山高度超过3千米，所以选（D ）．三、数形结合思想应用例3 如图2，表示甲、乙两名选手在一次自行车越野赛中路程y （千米）随时间x （分）的变化图象（全程），根据图象回答下列问题．（1）求比赛开始多少分钟两人第一次相遇；（2）求这次比赛全程是多少千米？（3）求比赛开始多少分钟时，两人第二次相遇；解：（1）由图象知第一次相遇在AB 段且距出发地6千米．线段AB 的一次函数关系式为110(1533)93y x x =+≤≤．当110693x=+时，x=24（分）．第一次相遇时间为24分钟．（2）由（1）知，线段OD过点（24，6），所以OD的一次函数关系式为1(048)4y x x=≤≤．当x=48时，148124y=⨯=（千米）．所以比赛全程为12千米．（3）由图象知第二次相遇在BC段，线段BC的一次函数关系式为119(3343) 22y x x=-≤≤．线段BC与OD交点为方程组1411922y xy x⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，的解．解得3819.2xy=⎧⎪⎨=⎪⎩，．所以第二次相遇在第38分钟．数学家华罗庚说过：数形结合千般好，数形分离万事休．数形结合思想是一种重要思想方法，请同学们一定留意它在数学中的应用．。
数形结合在函数和方程中的应用-课件
数形结合方法解题就是在解决和几何图形有关的问题时，将图形信息转换 成代数信息，利用数量特征，将其转化为代数问题；在解决与数量相关的 问题时，根据数量的结构特征，构造出相应的几何图形，即化为几何问题. 从而利用数形的辨证统一和各自的优势尽快地得到解题途径.
2.基本函数图象及性质：
幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数的图象及性质.
二.例题讲评： (一)数形结合在函数中的应用
1.若奇函数f(x)在[3，7]上是增函数且最小值为5，那么f(x)在区 间 [-7，-3]上是（ ）C
A.增函数且最小值为-5；
B.减函数且最小值为-5；
C.增函数且最大值为-5；
D.增函数且最小值为-5；
著名的数学家华罗庚说过：
“数缺形时少直观，形少数时难入微.”
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9、有时候读书是一种巧妙地避开思考 的方法 。2021/3/12021/3/1M onday, March 01, 2021
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10、阅读一切好书如同和过去最杰出 的人谈 话。2021/3/12021/3/12021/3/13/1/2021 10:27:07 AM
出该函数的草图或示意图，即以形助数；如果给定了函
数图象，我们可以联想到与之相对应的函数解析式，即
由数思形.
小结2：在确定超越方程的根的个数或含参数的方程的根的情况
时，应由数思形，观察该方程对应的在同一坐标系中两 个函数图象的交点个数或交点的情况即可；如果已知含 参数的方程的根的情况，应由数思形，画出该方程对应 的函数的示意图，再由形思数，挖掘出不等式或不等式 组，从而求出参数的取值范围.
y
y
y
y
O
x
A
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精选课件
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三、教法学法分析
考点检测
教 法 发现问题
引导探究
自我检测
学
激发兴趣
法
自主探究
总结规律
提升能力
精选课件
15
四、教学目标分析
（一）、三维目标
1、知识与技能： ①熟练掌握函数的三要素、函数的性质、函数的
图像以及导数的应用，灵活的应用数形结合的思想
解决函数问题。
②充分领悟数形结合思想的特点，通过“以形助
数。预测2014年高考湖北数学文科卷在设置上仍会是两道客观
题、一道主观题。客观题的主要题型有：
1 给定解析式判断满足要求的图象；
2 根据函数的性质求参数的值或取值范围;
3 利用函数与方程的思想考查方程根的个数或零点的个数;
主观题的主要题型有：
1 利用导数研究函数的单调性、极值与最值问题或逆求参
数的取值范围 ；
多以实际生活 为背景，与最值、不等式、导数、解析几
何等知识交汇精命选题课件
4
二、考纲变化及命题趋向
2014年高考考纲与2013年相比变化不大，仅函数的概念与
表示由掌握变为理解。
预测2014年高考函数部分仍会以考查函数的图象与性质及
利用导数解决函数、方程、不等式的综合问题为热点，知识载
体主要是二次函数、三次函数、指数函数、对数函数及分式函
七、训练题目设计精选课件
2
一、高考要求
湖北卷文科近两年考情报告
考点 题型 年份
小题
第3题：函数零点的个数
2012年
第6题：函数图像的变换
2013年
第8题：高斯（取整）函 数的奇偶性、单调性、 周期性的判断
第10题：导数的综合题 （含参函数的极值点， 涉及切线、单调性精）选课件
大题
第22题：函数与导数（求 解析式、最值、切线，文 科首次涉及不等式的证明 ）
第21题： 函数与导数（分 式函数单调性的判断、不 等式的证明及取值范围的 求解）
3
一、高考要求
纵观近两年的高考试题不难发现，对函数的考查主
要还是函数图象与性质和函数与方程及函数的应用。就函 数的考点和知识点可以归纳如下表。
对函数概念的考查 多考查定义域、函数解析式、分段函数、函数求值
对函数图象的考查
2 以函数为载体的实际应用题；
3 不等式、函数与导数的精综选课合件问题。
Байду номын сангаас
5
三、学情分析
我们现阶段处于高三二轮复习，虽然学生在一 轮复习中对函数的基本知识有所掌握，对于这里面 的基础题、中档题能较好的完成，但远没达到熟练 的程度，特别是碰到知识点交汇较多的综合题目方 法上还不能突破。
精选课件
6
四、复习方法及学法指导
精选课件
8
六、教学内容设计
函数性质的应用
函数、基本 初等函数的 图象与性质
函
数
函数图象的应用（数形
结合思想在函数中的应用） 函
基本初等函数的图
数 的
象、性质及其应用
综
合
应
函数零点的求解与判定 用
函数与方程 函数与方程的综合应用
精函选课数件 的实际应用问题
9
七、训练题目设计
针对二轮复习的特点和学生掌握的情况，以及 高考对本章知识的要求，选择有助于对掌握本章重 点知识的理解和强化解题方法的训练题，使学生通 过复习和训练，达到掌握本章知识的备考要求。
在二轮复习中，函数这一专题的复习方法主要 是以练为主，及时反馈，集中系统点评与个人辅导 相结合，指导学生及时改错归类，形成完备的思想 方法体系。本专题所采用的数学思想有：转化思想 、数形结合思想、函数与方程思想、分类讨论思想 。
精选课件
7
五、课时安排
设计函数共分2个专题：函数的图像与性质、 函数与方程及函数的应用，每个专题拟用3课时， 共计6课时。
精选课件
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第二轮专题复习 --数形结合思想在函数中的应用
麻城一中 刘叶
精选课件
11
数形结合思想在函数中的应用
整体设想 学情分析 教法与学法分析 教学目标分析 教学过程分析
精选课件
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一、整体设想
高考对函数部分的考查，主要是函数的图像与性
质，多以客观题的形式出现，客观题既考查知识，同
时渗透重要的数学思想，考查学生灵活处理问题的能
高考二轮复习专题一 --函数
精选课件
1
第二轮复习是建立在第一轮复习基础上
的深入、综合和提高，是实现由知识到能力 转化的一个重要阶段。函数贯穿整个高中数 学的始终，是高考的热点，同时也是高考中 所占分值较高的专题。
一、 高考要求
二、考纲变化及命题趋向
三、学情分析
四、复习方法及学法指导
五、课时安排
六、教学内容设计
对函数性质的考查 对函数与方程的考 查
对函数综合应用的 考查
一是识图，二是用图，即根据函数与图象使用数形结合 思想解决函数问题
多考查函数的周期性、奇偶性以及单调性、最值相结
主要考查函数的零点（含二分法），常以分式、绝对值 不等式、对数式、三角函数为载体，考查确定零点个数、 存在区间及应用零点存在情况求参数值或取值范围
． 数、以数解形”，使复杂的问题简单化，抽象问题 具体化，形成解题能力 。
精选课件
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2、过程与方法： 通过合作探究过程，应用数形结合思想寻求最
合理最简捷的解题思路，培 养学生独立思考问题、 灵活处理问题、快捷解决问题的能力。
3、情感态度与价值观： 数形结合思想是数学的规律性与灵活性的有机
结合，通过图形的直观效果反映数量之间的关系，
通过定 量计算可以精确的反映图形的性质，使学生
深刻 体会数学的和谐美，激发学生学习数学的兴趣
。
精选课件
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（二）、教学重难点
◇ 教学重点：
1.掌握应用数形结合的思想解决函数问题的几 种常
见题型，会应用数形结合的思想解决函数问题。 2.领悟数形结合的思想方法，培养学生灵活运用数
力，数形结合思想在解函数问题中应用非常广泛，合
理应用数形结合的思想，能使复杂的问题简单化; 何
巧妙地应用数形结合的思想，通过“以形助数，以数
解形”，使复杂的问题能够快速简捷的解答，这对学
生来说是一大难点，设计这一专题就是要通过学生的
自主探究、老师的引导点评以及专题强化训练，从而
突破这一难点，形成解题能力，也为在其它知识板块
中应用数形结合的思想打精选下课件基础。
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二、学情分析
在一轮复习中已经对函数的三要素、函数的 性质、函数的图像以及导数的应用进行了系统的 复习，学生对函数的基础知识有了全面深入的理 解，对数形结合的思想也有了初步认识，但不知 道在什么情况下用数形结合的思想使问题更简捷 ，不知道如何实现数与形之间的相互转化，更谈 不上灵活运用数形结合的思想解函数问题。