思维特训(十八) 钟表问题

思维特训(十八) 钟表问题

方法点津 ·

1．钟表上的夹角：钟表上共有12个大格，每个大格对应的角为30°，共有60个小格，每个小格对应的角为6°.

2．时针与分针转动的度数关系：时针每小时转30°，时针每分钟转0.5°；分针每小时转360°，分针每分钟转6°；时针旋转30°时，分针旋转360°，故时针旋转1°时，分针旋转12°.

3．以上述两点为基础，利用起点时间时针和分针的位置关系建立角的图形．通过两个角的和差，可解决有关钟表的问题．

典题精练 ·

类型一 由时间求时针与分针的夹角

1．如图18－S －1，8点整，时针与分针的夹角是( )

图18－S －1

A ．60°

B ．80°

C ．120°

D ．150°

2．时钟显示为8：30时，时针与分针所夹的角是( )

A ．90°

B ．120°

C ．75°

D ．84°

3．当时钟显示上午10：10时，时针与分针的夹角是( )

A ．115°

B ．120°

C ．105°

D ．90°

4．在下午3：22时，时针和分针的夹角是多少度？

5．某火车站的钟楼上装有一电子报时钟，在钟面的边界上每一分钟的刻度处都装有一只小彩灯，晚上九点三十五分二十秒时，时针与分针所夹的角α内装有多少只小彩灯？ 类型二 由时针与分针的夹角求时间

6．7点与8点之间，分针与时针重合的时刻是( )

A ．7点41811分

B ．7点41911

分 C ．7点42011分 D ．7点42111

分

7．某人早晨8点多吃早饭，发现钟面上的分针与时针的夹角为25°，等他吃完早饭后发现钟面上的时间还是8点多，两针的夹角还是25°，则他吃早饭用了多长时间？

8．钟面上的角的问题．

(1)3点45分时，时针与分针的夹角是多少？

(2)在9点与10点之间，什么时候时针与分针成100°的角？

9．钟面上从2点到4点有几次时针与分针的夹角为60°？分别是几点几分？

详解详析

1．C

[解析] 钟表上一个大格为30°，8点时针与分针之间有4个大格，夹角是30°×4＝120°.

2．C

[解析] 8点30分时，钟面上时针指向数字8与9的正中间，分针指向数字6，所以时针

与分针所成的角为2×30°＋12

×30°＝75°. 3．A

[解析] 时针每分钟转0.5°，10分钟时针旋转0.5°×10＝5°，这时时针与分针的夹角为30°×4－5°＝115°.

4．解：时针旋转的速度是每分钟0.5°，从中午12时到下午3时22分时针旋转的度数是202×0.5°＝101°，分针旋转的速度是每分钟6°，22分钟旋转的度数是22×6°＝132°，故下午3：22时时钟的时针和分针的夹角是132°－101°＝31°.

5．解：晚上九点三十五分二十秒时，时针与分针所夹的角为9×30°＋35×0.5°＋

20×0.5°÷60－(35×6°＋20×6°÷60)＝(7523)°，7523

÷6≈12.6. 故时针与分针所夹的角α内装有12只小彩灯．

6．C

[解析] 时针每小时转动30°，每分钟转动0.5°，分针每分钟转动6°.

设经过x 分钟分针与时针重合，则有

6x －0.5x ＝210，解得x ＝42011

.

即7点与8点之间，分针与时针重合的时刻是7点42011

分． 7．解：如图所示：

设这个人吃早饭用了x 分钟，

则(6x)°＝25°＋(0.5x)°＋25°，解得x ＝9111，即这个人吃早饭用了9111

分钟． 8．解：(1)因为由3点到3点45分，分针转了270°，时针转了45×0.5°＝22.5°， 所以时针与分针的夹角是

270°－90°－22.5°＝157.5°.

(2)设分针转的度数为x ，则时针转的度数为112

x ，则有如图①①两种情况： ①90°＋x －112x ＝100°，解得x ＝(12011)°，12011÷6＝2011

(分)； ①90°＋112

x －(x －180°)＝100°， 解得x ＝(204011)°，204011÷6＝34011

(分)． 综上所述，9时2011分和9时34011

分时时针与分针成100°的角． 9．解：第一次正好为2点整；

第二次设为2点x 分时，时针与分针的夹角为60°，则5.5x ＝60×2，解得x ＝21911

(分)； 第三次设为3点y 分时，时针与分针的夹角为60°，则5.5y ＝90－60，解得y ＝5511

(分)； 第四次设为3点z 分时，时针与分针的夹角为60°，则5.5z ＝90＋60，解得z ＝27311

(分)． 故钟面上从2点到4点有四次时针与分针的夹角为60°，分别是2点整、2点21911

分、3点5511分、3点27311

分．