辽宁省北票市高中数学 第一章 不等式的基本性质和证明的基本方法 1.4 绝对值的三角不等式导学案(无
高中数学 第1章 不等式的基本性质和证明的基本方法 1.
2.在变形中，一般是变形得越彻底越有利于下一步的判断.作差法变形的常 用技巧有：因式分解、配方、通分、分母有理化等.
3.利用求商比较法比较两个式子的大小时，第(2)步的变形要向着有利于判 断商与1的大小关系的方向变形，这是最重要的一步.
[再练一题] 1.已知A＝1x＋1y，B＝x＋4 y，其中x，y为正数，试比较A与B的大小.
【解析】 a>b并不能保证a，b均为正数，从而不能保证A，B成立.又a>b ⇒a－b>0，但不能保证a－b>1，从而不能保证C成立.显然D成立.事实上，指数 函数y＝12x是减函数，所以a>b⇔12a<12b成立.
【答案】 D
教材整理 2 一元一次不等式的解法 关于 x 的不等式 ax>b， (1)当 a>0 时，该不等式的解集为ba，＋∞； (2)当 a<0 时，该不等式的解集为－∞，ba； (3)当 a＝0 时，若 b<0，则该不等式的解集为 R；若 b≥0，则该不等式的解 集为 ∅.
不等式组xx＞＋m9＜＋51x＋1， 的解集是{x|x＞2}，则m的取值范围是(
)
【导学号：38000000】
A.m≤2
B.m≥2
C.m≤1 【解析】
D.m≥1 原不等式组可化为xx＞＞m2，＋1. ∵解集为{x|x＞2}，∴m＋1≤2，
∴m≤1. 【答案】 C
教材整理3 一元二次不等式的解法
xx≠－2ba
ax2＋bx＋
c<0(a>0)的解集
{x|x1<x<x2}
高中数学 第1章 不等式的基本性质和证明的基本方法 1.3 绝对值不等式的解法学业分层测评 新人教
2016-2017学年高中数学第1章不等式的基本性质和证明的基本方法1.3 绝对值不等式的解法学业分层测评新人教B版选修4-5编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2016-2017学年高中数学第1章不等式的基本性质和证明的基本方法1.3 绝对值不等式的解法学业分层测评新人教B版选修4-5）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
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第1章不等式的基本性质和证明的基本方法 1.3 绝对值不等式的解法学业分层测评新人教B版选修4-5(建议用时：45分钟)［学业达标]一、选择题1.集合{x|0＜｜x－3|＜3，x∈Z｝的真子集个数为( ）A。
16 B.15C.8D.7【解析】不等式的解集为x＝1,2，4，5,共4个元素，所以真子集个数为24－1＝15.【答案】B2.不等式｜x－1｜＋|x－2｜≥5的解集为( )A.{x｜x≤－1或x≥4}B。
｛x｜x≤1或x≥2｝C.{x|x≤1}D。
{x｜x≥2｝【解析】画数轴可得当x＝－1或x＝4时，有｜x－1|＋|x－2｜＝5。
由绝对值的几何意义可得，当x≤－1或x≥4时，|x－1|＋|x－2｜≥5。
【答案】A3。
如果关于x的不等式|x－a｜＋｜x＋4|≥1的解集是全体实数，则实数a的取值范围是（）【导学号：38000011】A.（－∞,3]∪［5，＋∞）B.［－5,－3]C。
[3，5］D.(－∞,－5]∪［－3,＋∞）【解析】在数轴(略）上，结合绝对值的几何意义可知a≤－5或a≥－3。
高中数学第一章不等关系与基本不等式1.4不等式的证明1.4.1比较法分析法课件北师大版选修4_5
������
������
������ ������������ + ������2 + ������ ������������ + ������2
=
+
=
������������ + ������ ������������ + ������
2������������ + (������ + ������) ������������
§4 不等式的证明
-1-
第1课时 比较法、分析法
-2-
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Z 知识梳理 HISHISHULI
D 典例透析 IANLITOUXI
S 随堂演练 UITANGYANLIAN
1.理解用比较法、分析法证明不等式的一般方法和步骤,并能证 明具体的不等式.
2.理解不等式证明方法的意义,并掌握不等式中取得等号的条件.
A.M≥N B.M≤N
C.M=N D.不能确定
解析:∵M-N=x2+y2+1-(x+y+xy)
=12[(x2+y2-2xy)+(x2-2x+1)+(y2-2y+1)] =12[(x-y)2+(x-1)2+(y-1)2]≥0,
∴M≥N.
答案:A
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D 典例透析 IANLITOUXI
������
������
②证明步骤:作商→变形→判断与1的大小关系→下结论.
名师点拨在求商比较法中, ������
������
>
1⇒b>a
是不0,由 ������ > 1, 可得b>a,
高中数学第1章不等式的基本性质和证明的基本方法1.4绝对值的三角不等式b45b高二45数学
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自主预习 探新知
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教材整理 绝对值的三角不等式 1．定理 1 若 a，b 为实数，则|a＋b|≤ |a|＋|b|，当且仅当 ab≥0 时，等 号成立． 2．定理 2 设 a，b，c 为实数，则|a－c|≤ |a－b|＋|b－c| ，等号成立⇔ (_a_－__b_)(_b_－__c)_≥_0____，即 b 落在 a，c 之间．
A．|a|<|b|＋|c|
B．|c|<|a|＋|b|
C．b>||c|－|a||
D．b<|a|－|c|
[解析] 由|a－c|<b 可知 b>0，∴b＝|b|.
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若|a＋b|＝|a|＋|b|成立，a，b∈R，则有( )
A．ab<0
B．ab>0
C．ab≥0
D．以上都不对
[解析] 由定理 1 易知答案选 C. [答案] C
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合作探究 提素养
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2．绝对值的三角不等式|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|的结构特点是什
么？ [提示] 对|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|的诠释：
定理的构成部分 特征 大小关系
等号成立的条件
左端 |a|－|b|
可能 是
负的
中间部分为|a＋b|时，ab≤0， ≤中间 且|a|≥|b|时，左边的等号成立； 部分 中间部分为|a－b|时，ab≥0，
高中数学第1章不等关系与基本不等式1.4.3不等式的证明__反证法放缩法几何法北师大版选修
以不一定达到放大的目的，故错误．
【答案】 (1)√ (2)√ (3)×
教材整理 2 反证法 阅读教材 P20～P21，完成下列问题． 通过证明命题结论的否定不能成立，来肯定命题结论一定成立的证明方法 叫 反证法．其证明的步骤是：(1)作出否定结论的假设；(2)进行推理，导出矛盾； (3) 否定假设，肯定结论．
1．反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须 根据这一条件进行推理，否则，仅否定结论， 不从结论的反面推理，就不是反 证法．
2．利用反证法证题的关键是利用假设和条件通过正确推理推出与已知条件 或定理事实相矛盾，或自相矛盾．
[再练一题] 1．若 0<a<2,0<b<2,0<c<2.求证：(2－a)b，(2－b)c，(2－c)a 不能同时大于 1.
判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)分式的放缩可以通过放大(或缩小)分子(或分母)来进行．( ) (2)整式的放缩可以通过加减项来进行．( )
(3)从ab<a＋b m来看，这是通过扩大分子达到了放大的目的．(
)
【解析】 根据放缩法的定义知(1)(2)正确，而(3)中，因 m 的符号不定，所
【自主解答】 假设三式同时大于14， 即 b－ab>14，c－bc>14，a－ac>14， 三式同向相乘，得(1－a)a(1－b)b(1－c)c>614. ① ∵0<a<1， ∴(1－a)a≤1－a2＋a2＝14.
同理(1－b)b≤14，(1－c)c≤14. 又(1－a)a，(1－b)b，(1－c)c 均大于零， ∴(1－a)a(1－b)b(1－c)c≤614， ② 因此①式与②式矛盾． 故假设不成立，即原命题成立．
高中数学第一章不等式的基本性质和证明不等式的基本方法1-5-2综合法和分析法学案新人教B版选修4_5
高中数学第一章不等式的基本性质和证明不等式的基本方法1-5-2综合法和分析法学案新人教B版选修4_5[读教材·填要点]1．综合法从命题的已知条件出发，利用公理、已知的定义及定理，逐步推导，从而最后导出要证明的命题，这种方法称为综合法．2．分析法从需要证明的命题出发，分析使这个命题成立的充分条件，利用已知的一些定理，逐步探索，最后达到命题所给出的条件(或者一个已证明过的定理或一个明显的事实)，这种证明方法称为分析法．[小问题·大思维]1．如何理解分析法寻找的是使要证命题成立的充分条件？提示：用分析法证题时，语气总是假定的，常用“欲证A只需证B”表示，说明只要B成立，就一定有A成立，所以B必须是A的充分条件才行，当然B是A的充要条件也可．2．用综合法和分析法证明不等式有怎样的逻辑关系？提示：综合法：A⇒B1⇒B2⇒…⇒Bn⇒B(逐步推演不等式成立的必要条件)，即由条件出发推导出所要证明的不等式成立．分析法：B⇐B1⇐B2⇐…⇐Bn⇐A(步步寻求不等式成立的充分条件)，总之，综合法与分析法是对立统一的两种方法．[例1] abc＝1.求证：＋＋<＋＋.[思路点拨] 本题考查用综合法证明不等式，解答本题可从左到右证明，也可从右到左证明．由左端到右端，应注意左、右两端的差异，这种差异正是我们思考的方向．左端含有根号，脱去根号可通过＝<实现；也可以由右到左证明，按上述思路逆向证明即可．[精解详析] 法一：∵a，b，c是不等正数，且abc＝1，∴＋＋＝＋＋＜＋＋＝＋＋.法二：∵a，b，c是不等正数，且abc＝1，∴＋＋＝bc＋ca＋ab＝＋＋ab＋bc2＞＋＋ab2c＝＋＋.(1)用综合法证明不等式时，主要利用基本不等式，函数的单调性以及不等式的性质等知识，在严密的演绎推理下推导出结论．(2)综合法证明不等式中所依赖的已知不等式主要是重要不等式，其中常用的有如下几个：①a2≥0(a∈R)．②(a－b)2≥0(a，b∈R)，其变形有：a2＋b2≥2ab，()2≥ab.a2＋b2≥(a＋b)2.③若a，b为正实数，≥.特别＋≥2.④a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.1．已知a>0，b>0，求证a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)≥4abc.证明：因为b2＋c2≥2bc，a>0，所以a(b2＋c2)≥2abc.。
高中数学 第一章 不等式的基本性质和证明的基本方法 1.1.1 不等式性质和一元二次不等式解法导学
辽宁省北票市高中数学第一章不等式的基本性质和证明的基本方法1.1.1 不等式性质和一元二次不等式解法导学案（无答案）新人教B版选修4-5
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1。
1.1不等式的性质和一元二次不
等式的解法
【学习目标】
1理解不等式的性质，掌握一元二次不等式
的解法
【预习案】
预习教材1—6页并完成下列问题
练一
典例分析：
例1
例2
例3
例4
例5
【课后案】。
高中数学 第1章 不等式的基本性质和证明的基本方法 1.4 绝对值的三角不等式学业分层测评 新人教
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第1章不等式的基本性质和证明的基本方法 1。
4 绝对值的三角不等式学业分层测评新人教B版选修4—5(建议用时:45分钟)[学业达标]一、选择题1。
若a，b∈R，则以下命题正确的是( )A.｜a|－|b｜≤｜a＋b｜≤|a|＋｜b|B.｜a｜－｜b｜〈｜a－b|<｜a|＋｜b｜C。
当且仅当ab>0时，|a＋b｜＝｜a|＋|b｜D。
当且仅当ab≤0时，｜a－b｜＝｜a｜－|b｜【解析】由定理“两个数的和的绝对值小于或等于它们绝对值的和，大于或等于它们绝对值的差”可知选项A正确；在选项A中，以－b代b,可得｜a|－｜b｜≤|a－b|≤|a｜＋｜b|，所以选项B不正确；当且仅当a，b同号或a，b中至少有一个为零,即ab≥0时,｜a＋b|＝｜a｜＋｜b｜，所以选项C不正确;当ab〈0,|a－b|〉|a｜－｜b|,所以选项D不正确.【答案】A2.已知a，b∈R，ab〉0，则下列不等式中不正确．．．的是（）A。
|a＋b｜＞a－b B。
2错误!≤｜a＋b｜C.｜a＋b｜〈｜a|＋|b｜D.错误!≥2【解析】当ab>0时，|a＋b｜＝｜a|＋｜b｜，C错。
高中数学 第一章 不等式的基本性质和证明的基本方法 1
>
������ ������2+1
,
故正确;对于选项
D,当 c=0 时不正确.
答案:C
【做一做2-2】 下列命题中正确的有
.
①若a>b,则ac2>bc2;
②若
������ ������2
>
������ ������2
,
则a>b;
③若
a>b,ab≠0,则
1 ������
<
1 ������
;
④若 a>b,c>d,则 ac>bd;
C.
������ ������2+1
>
������ ������2+1
D.a|c|>b|c|
解析:对于选项A,还需有ab>0这个前提条件;对于选项B,当a,b都
为负数时不成立,或一正一负时可能不成立,如2>-3,但22>(-3)2不正
确;对于选项
C,由
1 ������2+1
>
0,a>b,可知
������ ������2+1
(3) 加(减) 如果 a>b,那么 a+c>b+c,即 a>b⇔a+c>b+c
(4)
乘(除)
如果 a>b,c>0,那么 ac>bc; 如果 a>b,c<0,那么 ac<bc
(5) 乘方 如果 a>b>0,那么 an>bn(n∈N*,且 n≥2)
(6) 开方 如果 a>b>0,那么������ ������ > ������ ������(n∈N*,且 n≥2)
高中数学第一章不等式的基本性质和证明不等式的基本方法1
——教学资料参考参考范本——高中数学第一章不等式的基本性质和证明不等式的基本方法1______年______月______日____________________部门[读教材·填要点]1．反证法首先假设要证明的命题是不正确的，然后利用公理，已有的定义、定理，命题的条件逐步分析，得到和命题的条件(或已证明过的定理，或明显成立的事实)矛盾的结论，以此说明假设的结论不成立，从而原来结论是正确的，这种方法称为反证法．2．放缩法在证明不等式时，有时需要将所需证明的不等式的值适当放大(或缩小)使它由繁化简，达到证明目的，这种方法称为放缩法．[小问题·大思维]1．用反证法证明不等式应注意哪些问题？提示：用反证法证明不等式要把握三点：(1)必须先否定结论，对于结论的反面出现的多种可能要逐一论证，缺少任何一种可能，证明都是不完全的．(2)反证法必须从否定结论进行推理，且必须根据这一条件进行论证；否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行论证，就不是反证法．(3)推导出来的矛盾可以是多种多样的，有的与已知条件相矛盾，有的与假设相矛盾，有的与定理、公理相违背，有的与已知的事实相矛盾等，但推导出的矛盾必须是明显的．2．运用放缩法证明不等式的关键是什么？提示：运用放缩法证明不等式的关键是放大(或缩小)要适当．如果所要证明的不等式中含有分式，那么我们把分母放大时相应分式的值就会缩小；反之，如果把分母缩小，则相应分式的值就会放大．有时也会把分子、分母同时放大，这时应该注意不等式的变化情况，可以与相应的函数相联系，以达到判断大小的目的，这些都是我们在证明中的常用方法与技巧，也是放缩法中的主要形式．[对应学生用书P21]用反证法证明否定性结论[例1] 设a，b，c，d都是小于1的正数，求证：4a(1－b)，4b(1－c)，4c(1－d)，4d(1－a)这四个数不可能都大于1.[思路点拨] 本题考查反证法的应用．解答本题若采用直接法证明将非常困难，因此可考虑采用反证法从反面入手解决．[精解详析] 假设4a(1－b)＞1,4b(1－c)＞1,4c(1－d)＞1，4d(1－a)＞1，则有a(1－b)＞，b(1－c)＞，c(1－d)＞，d(1－a)＞.∴＞，＞，＞，＞.又∵≤，≤，≤，≤，∴＞，＞，c＋1－d＞，＞.2将上面各式相加得2＞2，矛盾．∴4a(1－b)，4b(1－c)，4c(1－d)，4d(1－a)这四个数不可能都大于1.(1)当证明的结论中含有“不是”，“不都”，“不存在”等词语时，适于应用反证法，因为此类问题的反面比较具体．(2)用反证法证明不等式时，推出的矛盾有三种表现形式①与已知相矛盾，②与假设矛盾，③与显然成立的事实相矛盾．1．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋Sn＝2.(1)求数列{an}的通项公式；(2)求证数列{an}中不存在三项按原来顺序成等差数列．解：(1)当n＝1时，a1＋S1＝2a1＝2，则a1＝1.又an＋Sn＝2，所以an＋1＋Sn＋1＝2，两式相减得an＋1＝an，所以{an}是首项为1，公比为的等比数列，所以an＝.(2)反证法：假设存在三项按原来顺序成等差数列，记为ap＋1，aq＋1，ar＋1(p<q<r，且p，q，r∈N＋)，则2·＝＋，所以2·2r－q＝2r－p＋1.①又因为p<q<r，所以r－q，r－p∈N＋.所以①式左边是偶数，右边是奇数，等式不成立，所以假设不成立，原命题得证.用反证法证明“至多”、“至少”型命题[例2]若a，b，c均为实数，且a＝x2－2y＋π2，b＝y2－2z＋π3，c＝z2－2x＋π6，求证：a，b，c中至少有一个大于0.[思路点拨] 由于问题是“至少型”命题，故可用反证法证明．[精解详析] 假设a，b，c都不大于0，即a≤0，b≤0，c≤0，则a＋b＋c≤0，而a＋b＋c＝x2－2y＋＋y2－2z＋＋z2－2x＋＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋π－3∴π－3>0，且(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)≥0∴a＋b＋c>0这与a＋b＋c≤0矛盾．因此，a，b，c中至少有一个大于0.(1)在证明中含有“至少”、“至多”、“最多”等字眼时，或证明否定性命题、惟一性命题时，可使用反证法证明．在证明中常见的矛盾可以与题设矛盾，也可以与已知矛盾，与显然的事实矛盾，也可以自相矛盾．(2)在用反证法证明的过程中，由于作出了与结论相反的假设，相当于增加了题设条件，因此在证明过程中必须使用这个增加的条件，否则将无法推出矛盾．2．实数a，b，c，d满足a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd>1.求证：a，b，c，d中至少有一个是负数．证明：假设a，b，c，d都是非负数，即a≥0，b≥0，c≥0，d≥0，则1＝(a＋b)(c＋d)＝(ac＋bd)＋(ad＋bc)≥ac＋bd.这与已知中ac＋bd>1矛盾，∴原假设错误，故a，b，c，d中至少有一个是负数.用放缩法证明不等式[例3] 求证：－＜1＋＋…＋＜2－(n∈N*且n≥2)．[思路点拨]本题考查放缩法在证明不等式中的应用，解答本题要注意欲证的式子中间是一个和的形式，但我们不能利用求和公式或其他方法求和，因此可考虑将分母适当放大或缩小成可以求和的形式，进而求和，并证明该不等式．[精解详析] ∵k(k＋1)＞k2＞k(k－1)，∴＜＜.即－＜＜－(k∈N＋且k≥2)．分别令k＝2,3，…，n得1－＜＜1－，－＜＜－，2…1－＜＜－，将这些不等式相加得n1－＋－＋…＋－＜＋＋…＋＜1－＋－＋…＋－，2即－＜＋＋…＋＜1－.∴1＋－＜1＋＋＋…＋＜1＋1－.即－＜1＋＋＋…＋＜2－(n∈N＋且n≥2)成立．(1)放缩法证不等式主要是根据不等式的传递性进行变换，即欲证a>b，可换成证a>c且c>b，欲证a<b，可换成证a<c且c<b.(2)放缩法是不等式证明中最重要的变形方法之一，放缩必须有目标．而且要恰到好处，目标往往要从证明的结论考察．常用的放缩方法有增项、减项、利用分式的性质、利用不等式的性质、利用已知不等式、利用函数的性质进行放缩等．比如：舍去或加上一些项：2＋＞2；将分子或分母放大(缩小)：＜，＞1，＜，＞(k∈R，k＞1)等．3．设n是正整数，求证：≤＋＋…＋<1.证明：由2n≥n＋k≥n(k＝1,2…，n)，得≤<.当k＝1时，≤<；当k＝2时，≤<；…当k＝n时，≤<，∴＝≤＋＋…＋<＝1.[对应学生用书P23]一、选择题1．否定“自然数a 、b 、c 中恰有一个为偶数”时正确的反设为( )A ．a 、b 、c 都是奇数B ．a 、b 、c 都是偶数C ．a 、b 、c 中至少有两个偶数D ．a 、b 、c 中至少有两个偶数或都是奇数解析：三个自然数的奇偶情况有“三偶、三奇、二偶一奇、二奇一偶”4种，而自然数a 、b 、c 中恰有一个为偶数包含“二奇一偶”的情况，故反面的情况有3种，只有D 项符合．答案：D2．设M ＝＋＋＋…＋，则( ) A ．M ＝1 B ．M<1 C ．M>1D ．M 与1大小关系不定解析：∵210＋1>210,210＋2>210，…，211－1>210， ∴M ＝＋＋＋…＋1211－1<＝1.101010102111···222+++个答案：B3．设a ，b ，c∈(－∞，0)，则三数a ＋，b ＋，c ＋的值( ) A ．都不大于－2 B ．都不小于－2C．至少有一个不大于－2D．至少有一个不小于－2解析：假设都大于－2，则a＋＋b＋＋c＋＞－6，∵a，b，c＜0，∴a＋≤－2，b＋≤－2，c＋≤－2，∴a＋＋b＋＋c＋≤－6，这与假设矛盾，则选C.答案：C4．已知p＝a＋，q＝－a2＋4a(a>2)，则( )A．p>q B．p<qC．p≥q D．p≤q解析：∵p＝(a－2)＋＋2，又a－2>0，∴p≥2＋2＝4，而q＝－(a－2)2＋4，由a>2，可得q<4，∴p>q.答案：A二、填空题5．给出下列两种说法：①已知p3＋q3＝2，求证p＋q≤2，用反证法证明时，可假设p＋q≥2；②已知a，b∈R，|a|＋|b|<1，求证方程x2＋ax＋b＝0的两根的绝对值都小于1，用反证法证明时，可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1，即假设|x1|≥1.以上两种说法正确的是________．解析：反证法的实质是否定结论，对于①，其结论的反面是p＋q>2，所以①错误；对于②，其假设正确．答案：②6．用反证法证明“已知平面上有n(n≥3)个点，其中任意两点的距离最大为d ，距离为d 的两点间的线段称为这组点的直径，求证直径的数目最多为n 条”时，假设的内容为________．解析：对“至多”的否定应当是“至少”，二者之间应该是完全对应的，所以本题中的假设应为“直径的数目至少为n ＋1条”．答案：直径的数目至少为n ＋1条7．A ＝1＋＋＋…＋与(n∈N＋)的大小关系是________． 解析：A ＝＋＋＋…＋≥＝＝.111++?··+n n n n项答案：A≥n8．设a>0，b>0，M ＝，N ＝＋，则M 与N 的大小关系是________． 解析：∵a>0，b>0， ∴N ＝＋>＋ ＝＝M. ∴M<N. 答案：M<N 三、解答题9．已知0<x<2,0<y<2,0<z<2，求证：x(2－y)，y(2－z)，z(2－x)不都大于1.证明：法一：假设x(2－y)>1且y(2－z)>1且z(2－x)>1均成立， 则三式相乘有：xyz(2－x)(2－y)(2－z)>1.①由于0<x<2，∴0＜x(2－x)＝－x2＋2x ＝－(x －1)2＋1≤1.同理：0＜y(2－y)≤1，且0＜z(2－z)≤1，∴三式相乘得：0<xyz(2－x)(2－y)(2－z)≤1② ②与①矛盾，故假设不成立．∴x(2－y)，y(2－z)，z(2－x)不都大于1.法二：假设x(2－y)＞1且y(2－z)＞1且z(2－x)＞1. ∴＋＋＞3.③又＋＋≤＋＋＝3④④与③矛盾，故假设不成立，∴原题设结论成立．10．已知实数x 、y 、z 不全为零，求证： ＋ ＋ >(x ＋y ＋z)． 证明：x2＋xy＋y2＝ ≥ ⎝ ⎛⎭⎪⎫x＋y 22 ＝|x ＋|≥x＋.同理可得：≥y＋，z2＋zx＋x2≥z＋.由于x 、y 、z 不全为零，故上述三式中至少有一式取不到等号，所以三式累加得：x2＋xy＋y2＋＋>＋＋＝(x ＋y ＋z)．11．设数列{an}的前n 项和为Sn ，a1＝1，Sn ＝nan －2n(n －1)．(1)求数列{an}的通项公式an ；(2)设数列的前n 项和为Tn ，求证：≤Tn<.解：(1)由Sn ＝nan －2n(n －1)得an ＋1＝Sn ＋1－Sn ＝(n ＋1)an ＋1－nan －4n ， 即an ＋1－an ＝4.∴数列{an}是以1为首项，4为公差的等差数列， ∴an ＝4n －3.(2)证明：Tn ＝＋＋…＋1anan＋1 ＝＋＋＋…＋1 ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－15＋15－19＋19－113＋…＋14n－3－14n＋1＝<.又易知Tn 单调递增，故Tn≥T1＝，得≤Tn<.。
高中数学第一章不等关系与基本不等式1.4不等式的证明1.4.2综合法放缩法课件北师大版选修4_5
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Z 知识梳理 HISHISHULI
D 典例透析 IANLITOUXI
S 随堂演练 UITANGYANLIAN
1.理解综合法的方法与步骤,会用综合法证明简单的不等式. 2.认识放缩法,了解它的方法与步骤,会用放缩法证明简单的不等 式.
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1使a>b>0成立的一个充分不必要条件是( ) A. ������-2 > ������-2 B. ������2 > ������2 > 0 C.lg a-lg b>0 D.xa>xb,且 x>0 解析: 由 ������-2 > ������-2, 知a-2>b-2≥0⇒a>b>0. 由 a>b>0 推不出 ������-2 > ������-2. 答案:A
证明:∵S△ABC=
������������������ 4������
,
������
=
1,
������△ABC=
1 4
,
∴
������������������
=
1,
且a,b,c 不全相等,否则 a=1 与 a=2Rsin 60°= 3矛盾,
111 ∴ ������ + ������ + ������ = ������������ + ������������ + ������������.
∴ 1 × 2 + 2 × 3 + ⋯ + ������(������ + 1)
������(3 + 2������ + 1)
2018-2019学年高中数学 第一章 不等式的基本性质和证明的基本方法 1.4 绝对值的三角不
1.4 绝对值的三角不等式1.理解定理1及其几何说明，理解定理2及其2个推论.2.会用定理1、定理2及其2个推论解决比较简单的问题.自学导引1.a，b∈R，|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立.2.|a－b|表示a－b与原点的距离，也表示a与b之间的距离.3.a，b，c∈R，|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0，即b落在a，c之间时等号成立.4.||a|－|b||≤|a＋b|；||a|－|b||≤|a－b|.基础自测1.对任意x，y∈R，|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|的最小值为( )A.1B.2C.3D.4解析利用三角不等式直接求解.∵x，y∈R，∴|x－1|＋|x|≥|(x－1)－x|＝1，|y－1|＋|y＋1|≥|(y－1)－(y＋1)|＝2，∴|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|≥3.∴|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|的最小值为3.答案 C2.设ab>0，下面四个不等式①|a＋b|>|a|；②|a＋b|<|b|；③|a＋b|<|a－b|；④|a＋b|>|a|－|b|中，正确的是( )A.①和②B.①和③C.①和④D.②和④解析∵ab>0，①|a＋b|＝|a|＋|b|>|a|，正确，②|a＋b|＝|a|＋|b|>|b|，所以②错，③|a＋b|＝|a|＋|b|>|a－b|错，④|a＋b|＝|a|＋|b|≥|a－b|≥|a|－|b|对，所以①④正确应选C.答案 C3.若函数f(x)＝|x＋1|＋2|x－a|的最小值为5，则实数a＝________.解析 根据去绝对值符号后函数的图象求解. 由于f (x )＝|x ＋1|＋2|x －a |， 当a >－1时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋2a －1 （x <－1），－x ＋2a ＋1（－1≤x ≤a ），3x －2a ＋1（x >a ）.作出f (x )的大致图象如图所示，由函数f (x )的图象可知f (a )＝5，即a ＋1＝5，∴a ＝4. 同理，当a ≤－1时，－a －1＝5，∴a ＝－6. 答案 －6或4知识点1 利用绝对值的三角不等式证明变量不等式【例1】 已知|x |<1，|y |<1，求证：（1－x 2）（1－y 2）|1－xy |≤1.分析：本题可考虑两边平方去掉绝对值转化为普通不等式(1－x 2)(1－y 2)≤(1－xy )2. 证明 |x |<1⇔x 2<1⇔1－x 2>0，|y |<1⇔1－y 2>0，x 2＋y 2≥2xy ⇔－x 2－y 2≤－2xy ⇔1－x 2－y 2＋x 2y 2≤1－2xy ＋x 2y 2⇔(1－x 2)(1－y 2)≤(1－xy )2⇔ （1－x 2）（1－y 2）≤|1－xy |所以（1－x 2）（1－y 2）|1－xy |≤1.由于|x |<1，|y |<1，则|xy |<1，即1－xy ≠0.●反思感悟：通过添一项、减一项的恒等变形，然后再进行组合，构造成能利用绝对值的三角不等式的形式是证明的关键.1.证明：|x －a |＋|x －b |≥|a －b |. 证明 ∵|x －a |＋|x －b |＝|x －a |＋|b －x | ≥|x －a ＋b －x |＝|b －a |＝|a －b |. ∴|x －a |＋|x －b |≥|a －b |.知识点2 利用绝对值的三角不等式证明函数不等式【例2】 函数f (x )的定义域为[0，1]，f (0)＝f (1)，且对任意不同的x 1，x 2∈[0，1]都有|f (x 2)－f (x 1)|<|x 2－x 1|，求证：|f (x 2)－f (x 1)|<12.证明 设0≤x 1<x 2≤1，①若x 2－x 1≤12，则|f (x 2)－f (x 1)|<|x 2－x 1|≤12.即|f (x 2)－f (x 1)|<12.②若12<x 2－x 1≤1，则|f (x 2)－f (x 1)|＝|f (x 2)＋f (0)－f (1)－f (x 1)| ＝|f (x 2)－f (1)＋f (0)－f (x 1)| ≤|f (x 2)－f (1)|＋|f (0)－f (x 1)| <|x 2－1|＋|x 1－0|.而|x 2－1|＋|x 1|＝1－x 2＋x 1＝1－(x 2－x 1)<1－12＝12.综上所述，对任意不同的x 1，x 2∈[0，1]都有 |f (x 2)－f (x 1)|<12.●反思感悟：对于绝对值符号内的式子，采用加减某个式子后，重新组合，运用绝对值不等式的性质变形，是证明绝对值不等式的典型方法.2.设f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，当|x |≤1时，总有|f (x )|≤1，求证：|f (2)|≤7. 证明 ∵|f (1)|≤1，|f (－1)|≤1，|f (0)|≤1， ∴|f (2)|＝|4a ＋2b ＋c | ＝|3f (1)＋f (－1)－3f (0)| ≤3|f (1)|＋|f (－1)|＋3|f (0)|≤7. 知识点3 绝对值的三角不等式的应用【例3】 若关于x 的不等式|x ＋2|＋|x －1|<a 的解集为∅，求实数a 的取值范围. 解 方法一：∵|x ＋2|＋|x －1|≥|(x ＋2)－(x －1)|＝3， ∴当a ≤3时，原不等式解集为∅.方法二：式子|x ＋2|＋|x －1|可看作数轴上一点到－2、1对应的两点间距离之和，而数轴上任一点与这两点距离之和不小于3，故使原不等式解集为∅的a 的范围是a ≤3. ●反思感悟：解此类不等式有三种方法：分区间(分类)讨论法、图象法、几何法.3.已知函数f (x )、g (x )，设不等式|f (x )|＋|g (x )|<a (a >0)的解集为M ，不等式|f (x )＋g (x )|<a (a >0)的解集是N ，则集合M 与N 的关系是( )A.NM B.M ＝N C.M ⊆N D.MN解析 ∵|f (x )＋g (x )|≤|f (x )|＋|g (x )|，若x 0∈M ， |f (x 0)|＋|g (x 0)|<a ，故|f (x 0)＋g (x 0)|<a ， 所以x 0∈N . 答案 C课堂小结证明含有绝对值的不等式，要运用实数的性质，不等式的性质，以及不等式证明的有关方法，另外主要运用绝对值的三角不等式即 |a |－|b |≤|a ＋b |≤|a |＋|b |； |a 1＋a 2＋a 3|≤|a 1|＋|a 2|＋|a 3|； |a |－|b |≤|a －b |≤|a |＋|b |.随堂演练1.若a ，b 都是非零实数，则下列不等式不恒成立的是( ) A.|a ＋b |≥a －b B.a 2＋b 2≥2|a ·b | C.|a ＋b |≤|a |＋|b |D.⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b ＋ba ≥2解析 当a >0，b <0时，|a ＋b |<a －b .故A 不恒成立. 答案 A2.若对任意实数，不等式|x ＋1|－|x －2|>a 恒成立，则a 的取值范围是( ) A.(－∞，3) B.(－∞，3] C.(－∞，－3)D.(－∞，－3]解析 |x ＋1|－|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，x <－1，2x －1，－1≤x <2，3，x ≥2.∴|x ＋1|－|x －2|>a 恒成立时，a <－3，故选C. 答案 C3.若1<1a <1b，则下列结论中不正确的是( )A.log a b >log b aB.|log a b ＋log b a |>2C.(log b a )2<1D.|log a b |＋|log b a |>|log a b ＋log b a | 解析 ∵1<1a <1b，∴0<b <a <1，∴log a b >1＝log a a ＝log b b >log b a ，∴A 正确； |log a b ＋log b a |＝log a b ＋1log a b ≥2，∴B 正确；0<log b a <log b b <1，∴(log b a )2<1，C 正确.∵log a b >0，log b a >0，∴|log a b |＋|log b a |＝|log a b ＋log b a |故D 错. 答案 D4.x ，y ∈R ，若|x |＋|y |＋|x －1|＋|y －1|≤2，则x ＋y 的取值范围为________.解析 利用绝对值的几何意义求解，注意等号成立的条件.由绝对值的几何意义知，|x |＋|x －1|是数轴上的点x 到原点和点1的距离之和，所以|x |＋|x －1|≥1，当且仅当x ∈[0，1]时取“＝”.同理|y |＋|y －1|≥1，当且仅当y ∈[0，1]时取“＝”. ∴|x |＋|y |＋|x －1|＋|y －1|≥2. 而|x |＋|y |＋|x －1|＋|y －1|≤2， ∴|x |＋|y |＋|x －1|＋|y －1|＝2，此时x ∈[0，1]，y ∈[0，1]，∴(x ＋y )∈[0，2]. 答案 [0，2]基础达标1.若|a －c |<b ，则下列不等式不成立的是( ) A.|a |<|b |＋|c | B.|c |<|a |＋|b | C.b >||c |－|a ||D.b <||a |－|c ||解析 b >|a －c |>|a |－|c |，b >|a －c |>|c |－|a |，故A 、B 成立，∴b >||a |－|c ||，故C 成立. 应选D(此题代入数字也可判出). 答案 D2.若|x －a |<h ，|y －a |<k ，则下列不等式一定成立的是( ) A.|x －y |<2h B.|x －y |<2k C.|x －y |<h ＋kD.|x －y |<|h －k |解析 |x －y |＝|x －a ＋a －y |≤|x －a |＋|a －y |<h ＋k ，∴应选C. 答案 C3.如果存在实数x ，使cos α＝x 2＋12x成立，那么实数x 的集合是( )A.{－1，1}B.{x |x <0或x ＝1}C.{x |x >0或x ＝－1}D.{x |x ≤－1或x ≥1}解析 由|cos α|≤1，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2＋12x ≤1. 又⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2＋12x ＝|x |2＋12|x |≥1. ∴|x |2＋12|x |＝1，当且仅当|x |＝1时成立，即x ＝±1. 答案 A4.已知－2≤a ≤3，－3<b <4，则a －|b |的取值范围为______________. 解析 ∵－3<b <4，∴0≤|b |<4，－4<－|b |≤0， 又－2≤a ≤3，∴－6<a －|b |≤3. 答案 (－6，3]5.若|x －4|＋|x ＋5|>a 对于x ∈R 均成立，则a 的取值范围为__________. 解析 ∵|x －4|＋|x ＋5|＝|4－x |＋|x ＋5| ≥|4－x ＋x ＋5|＝9.∴当a <9时，不等式对x ∈R 均成立. 答案 (－∞，9)6.已知定义在R 上的函数f (x )＝|x ＋1|＋|x －2|的最小值为a . (1)求a 的值；(2)若p ，q ，r 是正实数，且满足p ＋q ＋r ＝a ，求证：p 2＋q 2＋r 2≥3. (1)解 因为|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3， 当且仅当－1≤x ≤2时，等号成立， 所以f (x )的最小值等于3，即a ＝3.(2)证明 由(1)知p ＋q ＋r ＝3，又因为p ，q ，r 是正实数， 所以(p 2＋q 2＋r 2)(12＋12＋12)≥(p ×1＋q ×1＋r ×1)2＝(p ＋q ＋r )2＝9，即p 2＋q 2＋r 2≥3.综合提高7.若函数f (x )＝|x ＋1|＋|2x ＋a |的最小值为3，则实数a 的值为( ) A.5或8 B.－1或5 C.－1或－4D.－4或8解析 利用绝对值的几何意义分类讨论，根据解析式特征确定函数最小值点进而求a . (1)当－1≤－a2，即a ≤2时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x －a －1，x ≤－1，－x －a ＋1，－1<x <－a 2，3x ＋a ＋1，x ≥－a2. 易知函数f (x )在x ＝－a 2处取最小值，即1－a2＝3.所以a ＝－4.(2)当－1>－a2，即a >2时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x －a －1，x ≤－a2，x ＋a －1，－a 2<x <－1，3x ＋a ＋1，x ≥－1.易知函数f (x )在x ＝－a 2处取最小值，即a2－1＝3，故a ＝8.综上a ＝－4或8.答案 D8.已知定义在[0，1]上的函数f (x )满足： ①f (0)＝f (1)＝0；②对所有x ，y ∈[0，1]，且x ≠y ，有|f (x )－f (y )|<12|x －y |.若对所有x ，y ∈[0，1]，|f (x )－f (y )|<k 恒成立，则k 的最小值为( ) A.12 B.14 C.12πD.18解析 先利用特值法确定范围，再结合函数的取值特性求解. 取y ＝0，则|f (x )－f (0)|<12|x －0|，即|f (x )|<12x ，取y ＝1则|f (x )－f (1)|<12|x －1|，即|f (x )|<12(1－x ).∴|f (x )|＋|f (x )|<12x ＋12－12x ＝12，∴|f (x )|<14.不妨取f (x )≥0，则0≤f (x )<14，0≤f (y )<14，∴|f (x )－f (y )|<14－0＝14，要使|f (x )－f (y )|<k 恒成立，只需k ≥14.∴k 的最小值为14.答案 B9.若不等式|x －4|－|x －3|≤a 对一切x ∈R 恒成立，那么实数a 的取值范围是________. 解析 令f (x )＝|x －4|－|x －3|，不等式f (x )≤a 对一切x ∈R 恒成立的充要条件是a ≥f (x )的最大值，因为|x －4|－|x －3|≤|1(x －4)－(x －3)|＝1，即f (x )的最大值等于1，所以a ≥1.答案 a ≥110.关于x 的不等式|x ＋2|＋|x －1|＜a 的解集是∅，则a 的取值范围是________. 解析 |x ＋2|＋|x －1|≥|(x ＋2)－(x －1)|＝3， ∴a ＜3. 答案 a ＜311.已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －b |＋c 的最小值为4. (1)求a ＋b ＋c 的值； (2)求14a 2＋19b 2＋c 2的最小值.解 (1)因为f (x )＝|x ＋a |＋|x －b |＋c ≥|(x ＋a )－(x －b )|＋c ＝|a ＋b |＋c ， 当且仅当－a ≤x ≤b 时，等号成立. 又a ＞0，b ＞0，所以|a ＋b |＝a ＋b . 所以f (x )的最小值为a ＋b ＋c .又已知f (x )的最小值为4，所以a ＋b ＋c ＝4. (2)由(1)知a ＋b ＋c ＝4，由柯西不等式得⎝ ⎛⎭⎪⎫14a 2＋19b 2＋c 2(4＋9＋1) ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2×2＋b 3×3＋c ×12＝(a ＋b ＋c )2＝16，即14a 2＋19b 2＋c 2≥87. 当且仅当12a 2＝13b 3＝c 1，即a ＝87，b ＝187，c ＝27时等号成立.故14a 2＋19b 2＋c 2的最小值是87.12.若a 、b ∈R ，且|a |＋|b |<1，证明方程x 2＋ax ＋b ＝0的两个根的绝对值均小于1. 证明 方法一：设方程x 2＋ax ＋b ＝0的两根为x 1，x 2，根据韦达定理，有a ＝ －(x 1＋x 2)，b ＝x 1x 2，代入|a |＋|b |<1得|x 1＋x 2|＋|x 1x 2|<1， ①若用|x 1|－|x 2|≤|x 1＋x 2|对①式作放缩代换，有|x1|－|x2|＋|x1|·|x2|<1，即(|x1|－1)(|x2|＋1)<0.∵|x2|＋1>0，得|x1|－1<0，∴|x1|<1.若用|x2|－|x1|≤|x1＋x2|对①式作放缩代换，有|x2|－|x1|＋|x1|·|x2|<1.同理，由(|x2|－1)(|x1|＋1)<0，得|x2|<1.因此，方程x2＋ax＋b＝0的两个根的绝对值均小于1.方法二：假设方程x2＋ax＋b＝0至少有一根的绝对值不小于1.不失一般性，令|x1|≥1，则根据一元二次方程的韦达定理，有|a|＝|－(x1＋x2)|＝|x1＋x2|≥|x1|－|x2|≥1－|x2|，|b|＝|x1x2|＝|x1|·|x2|≥|x2|.将以上两个不等式相加，得|a|＋|b|≥1.这与已知|a|＋|b|<1矛盾.究其原因是假设错误所致.因此方程x2＋ax＋b＝0的两根的绝对值均小于。
高中数学 第一章 不等式的基本性质和证明不等式的基本
1．5.3 反证法和放缩法[对应学生用书P21][读教材·填要点]1．反证法首先假设要证明的命题是不正确的，然后利用公理，已有的定义、定理，命题的条件逐步分析，得到和命题的条件(或已证明过的定理，或明显成立的事实)矛盾的结论，以此说明假设的结论不成立，从而原来结论是正确的，这种方法称为反证法．2．放缩法在证明不等式时，有时需要将所需证明的不等式的值适当放大(或缩小)使它由繁化简，达到证明目的，这种方法称为放缩法．[小问题·大思维]1．用反证法证明不等式应注意哪些问题？提示：用反证法证明不等式要把握三点：(1)必须先否定结论，对于结论的反面出现的多种可能要逐一论证，缺少任何一种可能，证明都是不完全的．(2)反证法必须从否定结论进行推理，且必须根据这一条件进行论证；否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行论证，就不是反证法．(3)推导出来的矛盾可以是多种多样的，有的与已知条件相矛盾，有的与假设相矛盾，有的与定理、公理相违背，有的与已知的事实相矛盾等，但推导出的矛盾必须是明显的．2．运用放缩法证明不等式的关键是什么？提示：运用放缩法证明不等式的关键是放大(或缩小)要适当．如果所要证明的不等式中含有分式，那么我们把分母放大时相应分式的值就会缩小；反之，如果把分母缩小，则相应分式的值就会放大．有时也会把分子、分母同时放大，这时应该注意不等式的变化情况，可以与相应的函数相联系，以达到判断大小的目的，这些都是我们在证明中的常用方法与技巧，也是放缩法中的主要形式．[对应学生用书P21][例1] 设a ，b ，c ，d 都是小于1的正数，求证：4a (1－b )，4b (1－c )，4c (1－d )，4d (1－a )这四个数不可能都大于1.[思路点拨] 本题考查反证法的应用．解答本题若采用直接法证明将非常困难，因此可考虑采用反证法从反面入手解决．[精解详析] 假设4a (1－b )＞1,4b (1－c )＞1,4c (1－d )＞1，4d (1－a )＞1，则有a (1－b )＞14，b (1－c )＞14， c (1－d )＞14，d (1－a )＞14.∴a－b ＞12，b－c＞12， c－d ＞12，d－a ＞12.又∵a－b ≤a ＋－b 2，b－c ≤b ＋－c2，c－d ≤c ＋－d2，d－a≤d ＋－a 2，∴a ＋1－b 2＞12，b ＋1－c 2＞12， c ＋1－d 2＞12，d ＋1－a 2＞12. 将上面各式相加得2＞2，矛盾．∴4a (1－b )，4b (1－c )，4c (1－d )，4d (1－a )这四个数不可能都大于1.(1)当证明的结论中含有“不是”，“不都”，“不存在”等词语时，适于应用反证法，因为此类问题的反面比较具体．(2)用反证法证明不等式时，推出的矛盾有三种表现形式①与已知相矛盾，②与假设矛盾，③与显然成立的事实相矛盾．1．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋S n ＝2. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求证数列{a n }中不存在三项按原来顺序成等差数列．解：(1)当n ＝1时，a 1＋S 1＝2a 1＝2，则a 1＝1. 又a n ＋S n ＝2，所以a n ＋1＋S n ＋1＝2， 两式相减得a n ＋1＝12a n ，所以{a n }是首项为1，公比为12的等比数列，所以a n ＝12n －1.(2)反证法：假设存在三项按原来顺序成等差数列，记为a p ＋1，a q ＋1，a r ＋1(p <q <r ，且p ，q ，r ∈N ＋)，则2·12q ＝12p ＋12r ，所以2·2r －q ＝2r －p＋1.①又因为p <q <r ，所以r －q ，r －p ∈N ＋.所以①式左边是偶数，右边是奇数，等式不成立，所以假设不成立，原命题得证.[例2] 若a ，b ，c 均为实数，且a ＝x 2－2y ＋π2，b ＝y 2－2z ＋π3，c ＝z 2－2x ＋π6，求证：a ，b ，c 中至少有一个大于0.[思路点拨] 由于问题是“至少型”命题，故可用反证法证明．[精解详析] 假设a ，b ，c 都不大于0，即a ≤0，b ≤0，c ≤0，则a ＋b ＋c ≤0， 而a ＋b ＋c ＝x 2－2y ＋π2＋y 2－2z ＋π3＋z 2－2x ＋π6＝(x －1)2＋(y －1)2＋(z －1)2＋π－3∴π－3>0，且(x －1)2＋(y －1)2＋(z －1)≥0 ∴a ＋b ＋c >0这与a ＋b ＋c ≤0矛盾． 因此，a ，b ，c 中至少有一个大于0.(1)在证明中含有“至少”、“至多”、“最多”等字眼时，或证明否定性命题、惟一性命题时，可使用反证法证明．在证明中常见的矛盾可以与题设矛盾，也可以与已知矛盾，与显然的事实矛盾，也可以自相矛盾．(2)在用反证法证明的过程中，由于作出了与结论相反的假设，相当于增加了题设条件，因此在证明过程中必须使用这个增加的条件，否则将无法推出矛盾．2．实数a ，b ，c ，d 满足a ＋b ＝c ＋d ＝1，ac ＋bd >1.求证：a ，b ，c ，d 中至少有一个是负数．证明：假设a ，b ，c ，d 都是非负数， 即a ≥0，b ≥0，c ≥0，d ≥0，则1＝(a ＋b )(c ＋d )＝(ac ＋bd )＋(ad ＋bc )≥ac ＋bd . 这与已知中ac ＋bd >1矛盾， ∴原假设错误，故a ，b ，c ，d 中至少有一个是负数.[例3] 求证：32－1n ＋1＜1＋122＋…＋1n 2＜2－1n(n ∈N *且n ≥2)．[思路点拨] 本题考查放缩法在证明不等式中的应用，解答本题要注意欲证的式子中间是一个和的形式，但我们不能利用求和公式或其他方法求和，因此可考虑将分母适当放大或缩小成可以求和的形式，进而求和，并证明该不等式．[精解详析] ∵k (k ＋1)＞k 2＞k (k －1)， ∴1kk ＋＜1k 2＜1kk －.即1k －1k ＋1＜1k 2＜1k －1－1k (k ∈N ＋且k ≥2)． 分别令k ＝2,3，…，n 得12－13＜122＜1－12，13－14＜132＜12－13， (1)n－1n ＋1＜1n 2＜1n －1－1n，将这些不等式相加得 12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1＜122＋132＋…＋1n 2＜1－12＋12－13＋…＋1n －1－1n ， 即12－1n ＋1＜122＋132＋…＋1n 2＜1－1n. ∴1＋12－1n ＋1＜1＋122＋132＋…＋1n 2＜1＋1－1n.即32－1n ＋1＜1＋122＋132＋…＋1n 2＜2－1n(n ∈N ＋且n ≥2)成立．(1)放缩法证不等式主要是根据不等式的传递性进行变换，即欲证a >b ，可换成证a >c 且c >b ，欲证a <b ，可换成证a <c 且c <b .(2)放缩法是不等式证明中最重要的变形方法之一，放缩必须有目标．而且要恰到好处，目标往往要从证明的结论考察．常用的放缩方法有增项、减项、利用分式的性质、利用不等式的性质、利用已知不等式、利用函数的性质进行放缩等．比如：舍去或加上一些项：⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋122＋34＞⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋122；将分子或分母放大(缩小)：1k2＜1k k －，1k2＞1kk ＋，1k＜2k ＋k －1，1k ＞2k ＋k ＋1(k ∈R ，k ＞1)等．3．设n 是正整数，求证：12≤1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n <1.证明：由2n ≥n ＋k ≥n (k ＝1,2…，n )，得12n ≤1n ＋k <1n .当k ＝1时，12n ≤1n ＋1<1n ；当k ＝2时，12n ≤1n ＋2<1n ；…当k ＝n 时，12n ≤1n ＋n <1n，∴12＝n 2n ≤1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n <n n ＝1.[对应学生用书P23]一、选择题1．否定“自然数a 、b 、c 中恰有一个为偶数”时正确的反设为( )A ．a 、b 、c 都是奇数B ．a 、b 、c 都是偶数C ．a 、b 、c 中至少有两个偶数D ．a 、b 、c 中至少有两个偶数或都是奇数解析：三个自然数的奇偶情况有“三偶、三奇、二偶一奇、二奇一偶”4种，而自然数a 、b 、c 中恰有一个为偶数包含“二奇一偶”的情况，故反面的情况有3种，只有D 项符合．答案：D2．设M ＝1210＋1210＋1＋1210＋2＋…＋1211－1，则( )A ．M ＝1B ．M <1C ．M >1D ．M 与1大小关系不定解析：∵210＋1>210,210＋2>210，…，211－1>210， ∴M ＝1210＋1210＋1＋1210＋2＋…＋1211－1<101010102111···222+++个＝1. 答案：B3．设a ，b ，c ∈(－∞，0)，则三数a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a的值( )A ．都不大于－2B ．都不小于－2C ．至少有一个不大于－2D ．至少有一个不小于－2 解析：假设都大于－2，则a ＋1b ＋b ＋1c ＋c ＋1a＞－6，∵a ，b ，c ＜0，∴a ＋1a ≤－2，b ＋1b ≤－2，c ＋1c≤－2，∴a ＋1a＋b ＋1b ＋c ＋1c≤－6，这与假设矛盾，则选C.答案：C 4．已知p ＝a ＋1a －2，q ＝－a 2＋4a (a >2)，则( )A ．p >qB ．p <qC ．p ≥qD ．p ≤q解析：∵p ＝(a －2)＋1a －2＋2，又a －2>0， ∴p ≥2＋2＝4，而q ＝－(a －2)2＋4， 由a >2，可得q <4，∴p >q . 答案：A 二、填空题5．给出下列两种说法：①已知p 3＋q 3＝2，求证p ＋q ≤2，用反证法证明时，可假设p ＋q ≥2；②已知a ，b ∈R ，|a |＋|b |<1，求证方程x 2＋ax ＋b ＝0的两根的绝对值都小于1，用反证法证明时，可假设方程有一根x 1的绝对值大于或等于1，即假设|x 1|≥1.以上两种说法正确的是________．解析：反证法的实质是否定结论，对于①，其结论的反面是p ＋q >2，所以①错误；对于②，其假设正确．答案：②6．用反证法证明“已知平面上有n (n ≥3)个点，其中任意两点的距离最大为d ，距离为d 的两点间的线段称为这组点的直径，求证直径的数目最多为n 条”时，假设的内容为________．解析：对“至多”的否定应当是“至少”，二者之间应该是完全对应的，所以本题中的假设应为“直径的数目至少为n ＋1条”．答案：直径的数目至少为n ＋1条 7．A ＝1＋12＋13＋…＋1n与n (n ∈N ＋)的大小关系是________． 解析：A ＝11＋12＋13＋…＋1n≥++?··+n nnn项＝nn＝n . 答案：A ≥n 8．设a >0，b >0，M ＝a ＋b a ＋b ＋2，N ＝a a ＋2＋bb ＋2，则M 与N 的大小关系是________．解析：∵a >0，b >0， ∴N ＝a a ＋2＋b b ＋2>a a ＋b ＋2＋ba ＋b ＋2＝a ＋ba ＋b ＋2＝M .∴M <N . 答案：M <N 三、解答题9．已知0<x <2,0<y <2,0<z <2，求证：x (2－y )，y (2－z )，z (2－x )不都大于1. 证明：法一：假设x (2－y )>1且y (2－z )>1且z (2－x )>1均成立， 则三式相乘有：xyz (2－x )(2－y )(2－z )>1.①由于0<x <2，∴0＜x (2－x )＝－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1≤1. 同理：0＜y (2－y )≤1，且0＜z (2－z )≤1， ∴三式相乘得：0<xyz (2－x )(2－y )(2－z )≤1②②与①矛盾，故假设不成立．∴x (2－y )，y (2－z )，z (2－x )不都大于1.法二：假设x (2－y )＞1且y (2－z )＞1且z (2－x )＞1. ∴x －y ＋y－z＋z－x＞3.③又x －y ＋y－z＋z－x≤x ＋－y 2＋y ＋－z 2＋z ＋－x2＝3④④与③矛盾，故假设不成立， ∴原题设结论成立．10．已知实数x 、y 、z 不全为零，求证： x 2＋xy ＋y 2＋ y 2＋yz ＋z 2＋ z 2＋zx ＋x 2>32(x ＋y ＋z )．证明：x 2＋xy ＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＋34y 2≥ ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝|x ＋y 2|≥x ＋y2.同理可得：y 2＋yz ＋z 2≥y ＋z2，z 2＋zx ＋x 2≥z ＋x2.由于x 、y 、z 不全为零，故上述三式中至少有一式取不到等号，所以三式累加得：x 2＋xy ＋y 2＋y 2＋yz ＋z 2＋z 2＋zx ＋x 2>⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 2＋⎝⎛⎭⎪⎫y ＋z 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫z ＋x 2＝32(x ＋y ＋z )．11．设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＝na n －2n (n －1)． (1)求数列{a n }的通项公式a n ； (2)设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前n 项和为T n ， 求证：15≤T n <14.解：(1)由S n ＝na n －2n (n －1)得a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝(n ＋1)a n ＋1－na n －4n ，即a n ＋1－a n ＝4.∴数列{a n }是以1为首项，4为公差的等差数列， ∴a n ＝4n －3. (2)证明：T n ＝1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝11×5＋15×9＋19×13＋…＋1n －n ＋＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－15＋15－19＋19－113＋…＋14n －3－14n ＋1＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n ＋1<14.又易知T n 单调递增，故T n ≥T 1＝15，得15≤T n <14.。