胡适耕实变函数答案第一章(B)
实变函数第一章答案
第一章：集合与实数集
(8)设是上的实函数，假若存在M>0,使得对于任何有限个两两不等的实数x1,...,x n,
⃒⃒⃒
n
∑︁
k=1
f(x k)
⃒⃒
⃒≤M.
证明:{x:f(x)=0}是至多可数集。
证明:令
A+={x:f(x)>0},A−={x:f(x)<0}.
则
{x:f(x)=0}=A+∪A−.
所以，只要证明A+,A−都是至多可数集。我们仅考虑A+.注意到
A+=∪∞
n=1
A n,+,其中A n,+={x:|f(x)|>1/n}.
这样问题就归结为证明对于任意的n,A n是至多可数集.由假设条件知道：A n是一个有限集合，其中的点的个数不超过[nM]+1个.
(9)证明：R上单调函数的间断点是至多可数的.
证明：设f是R上的单增函数，我们首先证明：对于任意的x0∈R,
lim x→x0−0f(x),lim
x→x0+0
f(x)
都是存在有限的.为简单起见，我们仅考虑左极限的存在性.我们只要证明：
(a)对于任意的{x n},x n→x0,x n<x0,lim n→∞x n都存在有限
(b)对于任意的{x n},x n→x0,x n<x0,{y n},y n→x0,y n<x0,lim n→∞x n=
lim n→∞y n.
结论(a)是明显的，至于结论(b),我们只要注意到对于任意的n,一定存在N>n使得当m>N时y m>x n,从而f(x m)>f(x n),这依次隐含着
lim n→∞f(x n)≤lim
m→∞
f(y m).
2
同理可证
lim n→∞f(x n)≥lim
实变函数胡适耕完整
f ( A B) ，又 f ( A)
故 f : X Y 为双射．
f ( B) f ( x1 )
f ( x2 ) f ( x1 ) ．
这与 f ( A B ) f ( A) f ( B ) 矛盾．故 f : X Y 为单射． 14．做一双射 f : [0,1] (0,1) ． 解
n
n
n
n
n
n
wk.baidu.com
下证： lim A lim An
n n
n
2
x limAn N , n N , 使得 x An { An ( x)} n 1 中有无限多个取值为 1
n
lim An ( x) l im sup Ak ( x) 1;
n n k n
1/ 4
2
（x0 , y0 ) Q , 且 的圆周，若有
2
5
x0 2 y0 2 r 2 ，则由于 x0 Q, y0 Q, 知 x0 2 y0 2 Q,
2 但 r 2 (21/ 4）
2 Q ，矛盾．
（t,r)表示以 t R 2 为圆心， r 0 为半径的圆周，即： 证二 设 S
3
所以 f ( f 1 ( B)) B ． “ ”对 y Y 取 B 为单点集， B { y} 则由已设 f ( f 1 ( B)) B ，有
胡适耕_实变函数答案
第一章习题 B
36．若A ΔB =A ΔC ，则B =C ．
证一：（反证）不妨设，∃x 0∈B ,且x 0∉C
1) x 0∈A ,则x 0∉A ΔB ，x 0∈A ΔC 这与A ΔB =A ΔC 矛盾 2) x 0∉A ，则x 0∈A ΔB ，x 0∉A ΔC 这与A ΔB =A ΔC 矛盾 所以假设不成立，即B =C ． 证二：()B A A ∆∆()[]()[]A B A B A A \\∆∆=
=()()B A B B A =\
同理()C C A A =∆∆，现在已知A B A C ∆=∆故上两式左边相等，从而C B =． 37．集列{A n }收敛⇔{A n }的任何子列收敛．
证 由习题8集列{}n A 收敛⇔特征函数列{}n
A
χ收敛，由数分知识得数列
{}n
A χ收敛⇔{}n
A χ的任一子列{}j
n
A χ
均收敛，又由习题8可得{}j
n A 收敛．
38．设)2,1}(:/{ =∈=n Z m n m A n ,则lim n n
A =Z ，lim n n
A =Q ．
证 显然有lim lim n n n
n
Z A A Q ⊂⊂⊂
1） 假设∃x \,Q Z ∈使x ∈lim n n
A
∴∃N >0,当n>N 时，有n x A ∈，特别地， n x A ∈，1n x A +∈ ∴∃m 1,m 2∈Z ,使x =
1m n
,x =
21
m n + ∴
1m n
=
21
m n +
从而121,m m m n
=+这与m 2∈Z 矛盾，所以假设不成立，即：lim n n
A =Z ．
2）∀x ∈Q,则∃m,n ∈Z,使得x =
胡适耕-实变函数答案-第一章(B)
第一章习题 B
36．若A ΔB =A ΔC ，则B =C ．
证一：（反证）不妨设，∃x 0∈B ,且x 0∉C
1) x 0∈A ,则x 0∉A ΔB ，x 0∈A ΔC 这与A ΔB =A ΔC 矛盾 2) x 0∉A ，则x 0∈A ΔB ，x 0∉A ΔC 这与A ΔB =A ΔC 矛盾 所以假设不成立，即B =C ．
证二：()B A A ∆∆()[]()[]A B A B A A \\∆∆=Y =()()B A B B A =\Y I 同理()C C A A =∆∆，现在已知A B A C ∆=∆故上两式左边相等，从而C B =． 37．集列{A n }收敛⇔{A n }的任何子列收敛．
证 由习题8集列{}n A 收敛⇔特征函数列{}
n A χ收敛，由数分知识得数列
{}n
A χ收敛⇔{}n
A χ的任一子列{}j
n A χ
均收敛，又由习题8可得{}j
n A 收敛．
38．设)2,1}(:/{Λ=∈=n Z m n m A n ,则lim n n
A =Z ，lim n n
A =Q ．
证 显然有lim lim n n n
n
Z A A Q ⊂⊂⊂
1） 假设∃x \,Q Z ∈使x ∈lim n n
A
∴∃N >0,当n>N 时，有n x A ∈，特别地， n x A ∈，1n x A +∈ ∴∃m 1,m 2∈Z ,使x =1m n ,x =21m n + ∴1m n =21
m
n + 从而1
21,m m m n
=+
这与m 2∈Z 矛盾，所以假设不成立，即：lim n n A =Z ．
2）∀x ∈Q,则∃m,n ∈Z,使得x =
胡适耕 实变函数答案 第一章(B)
第一章习题 B
36．若A ΔB =A ΔC ，则B =C ．
证一：（反证）不妨设，∃x 0∈B ,且x 0∉C
1) x 0∈A ,则x 0∉A ΔB ，x 0∈A ΔC 这与A ΔB =A ΔC 矛盾 2) x 0∉A ，则x 0∈A ΔB ，x 0∉A ΔC 这与A ΔB =A ΔC 矛盾 所以假设不成立，即B =C ．
证二：()B A A ∆∆()[]()[]A B A B A A \\∆∆= =()()B A B B A =\ 同理()C C A A =∆∆，现在已知A B A C ∆=∆故上两式左边相等，从而C B =． 37．集列{A n }收敛⇔{A n }的任何子列收敛．
证 由习题8集列{}n A 收敛⇔特征函数列{}n
A
χ收敛，由数分知识得数列
{}n
A χ收敛⇔{}n
A χ的任一子列{}j
n
A χ
均收敛，又由习题8可得{}j
n A 收敛．
38．设)2,1}(:/{ =∈=n Z m n m A n ,则lim n n
A =Z ，lim n n
A =Q ．
证 显然有lim lim n n n
n
Z A A Q ⊂⊂⊂
1） 假设∃x \,Q Z ∈使x ∈lim n n
A
∴∃N >0,当n>N 时，有n x A ∈，特别地， n x A ∈，1n x A +∈ ∴∃m 1,m 2∈Z ,使x =1m n
,x =
21
m n + ∴
1m n
=
21
m n +
从而121,m m m n
=+
这与m 2∈Z 矛盾，所以假设不成立，即：lim n n
A =Z ．
2）∀x ∈Q,则∃m,n ∈Z,使得x =
胡适耕_实变函数答案
第一章习题 B
36．若A ΔB =A ΔC ，则B =C ．
证一：（反证）不妨设，∃x 0∈B ,且x 0∉C
1) x 0∈A ,则x 0∉A ΔB ，x 0∈A ΔC 这与A ΔB =A ΔC 矛盾 2) x 0∉A ，则x 0∈A ΔB ，x 0∉A ΔC 这与A ΔB =A ΔC 矛盾 所以假设不成立，即B =C ． 证二：()B A A ∆∆()[]()[]A B A B A A \\∆∆=
=()()B A B B A =\
同理()C C A A =∆∆，现在已知A B A C ∆=∆故上两式左边相等，从而C B =． 37．集列{A n }收敛⇔{A n }的任何子列收敛．
证 由习题8集列{}n A 收敛⇔特征函数列{}n
A
χ收敛，由数分知识得数列
{}n
A χ收敛⇔{}n
A χ的任一子列{}j
n
A χ
均收敛，又由习题8可得{}j
n A 收敛．
38．设)2,1}(:/{ =∈=n Z m n m A n ,则lim n n
A =Z ，lim n n
A =Q ．
证 显然有lim lim n n n
n
Z A A Q ⊂⊂⊂
1） 假设∃x \,Q Z ∈使x ∈lim n n
A
∴∃N >0,当n>N 时，有n x A ∈，特别地， n x A ∈，1n x A +∈ ∴∃m 1,m 2∈Z ,使x =
1m n
,x =
21
m n + ∴
1m n
=
21
m n +
从而121,m m m n
=+这与m 2∈Z 矛盾，所以假设不成立，即：lim n n
A =Z ．
2）∀x ∈Q,则∃m,n ∈Z,使得x =
胡适耕-实变函数答案-第一章(B)
胡适耕-实变函数答案-第一章(B)
11
第一章习题 B
36．若A ΔB =A ΔC ，则B =C ．
证一：（反证）不妨设，∃x 0∈B ,且x 0∉C 1) x 0∈A ,则x 0∉A ΔB ，x 0∈A ΔC 这与A ΔB =A ΔC 矛盾
2) x 0∉A ，则x 0∈A ΔB ，x 0∉A ΔC 这与A ΔB =A ΔC 矛盾
所以假设不成立，即B =C ．
证二：()B A A ∆∆()[]()[]A B A B A A \\∆∆= =()()B A B B A =\ 同理()C C A A =∆∆，现在已知A B A C ∆=∆故上两式左边相等，从而C B =．
37．集列{A n }收敛⇔{A n }的任何子列收敛．
证 由习题8集列{}n
A 收敛⇔特征函数
列{}n
A χ收敛，由数分知识得数列{}n
A χ收敛
⇔{}n
A
χ的任一子列{}j
n A χ
均收敛，又由习题8
11
11
1) ∵ 0<n
a <1<n
b ,0n
a
↓,1
n b ↓ ∴0,N ∃>当
n>N 时，有n
a <x <n
b
∴当n>N 时，x ∈[n
a ,n
b ] ∴(0,1]⊂lim[,]n
n
n
a b ．
2) 假设∃y >1,使y ∈lim[,]n
n
n
a b ，则y 属于集
列{[,]n
n
a b }中的无限多个集合．又因为y >1,
1
n b ↓ ，故0,N ∃>当n>N 时，有n
b <y ，当n>N
时，y ∉[,]n
n
a b
从而y 只会属于集列{[,]n
胡适耕-实变函数答案-第一章(B)
第一章习题 B
36．若A ΔB =A ΔC ，则B =C ．
证一：〔反证〕不妨设，∃x 0∈B ,且x 0∉C
1) x 0∈A ,则x 0∉A ΔB ，x 0∈A ΔC 这与A ΔB =A ΔC 矛盾 2) x 0∉A ，则x 0∈A ΔB ，x 0∉A ΔC 这与A ΔB =A ΔC 矛盾 所以假设不成立，即B =C ．
证二：()B A A ∆∆()[]()[]A B A B A A \\∆∆= =()()B A B B A =\ 同理()C C A A =∆∆，现在已知A B A C ∆=∆故上两式左边相等，从而C B =． 37．集列{A n }收敛⇔{A n }的任何子列收敛．
证由习题8集列{}n A 收敛⇔特征函数列{}
n A χ收敛，由数分知识得数列
{}n
A χ收敛⇔{}n
A χ的任一子列{}j
n A χ
均收敛，又由习题8可得{}j
n A 收敛．
38．设)2,1}(:/{ =∈=n Z m n m A n ,则lim n n
A =Z ，lim n n
A =Q ．
证显然有lim lim n n n
n
Z A A Q ⊂⊂⊂
1） 假设∃x \,Q Z ∈使x ∈lim n n
A
∴∃N >0,当n>N 时，有n x A ∈，特别地，n x A ∈，1n x A +∈ ∴∃m 1,m 2∈Z ,使x =1m n ,x =21m n +∴1m n =21
m
n + 从而1
21,m m m n
=+
这与m 2∈Z 矛盾，所以假设不成立，即：lim n n A =Z ．
2〕∀x ∈Q,则∃m,n ∈Z,使得x =
实变函数胡适耕完整
f ( A B) ，又 f ( A)
故 f : X Y 为双射．
f ( B) f ( x1 )
f ( x2 ) f ( x1 ) ．
这与 f ( A B ) f ( A) f ( B ) 矛盾．故 f : X Y 为单射． 14．做一双射 f : [0,1] (0,1) ． 解
B) ， y f ( A)
f ( B) ，
x1 A, 使y f ( x1 ) , x2 B, 使 y f ( x2 ) ，
由于 f 为单射，故 x1 x2 , 于是 x1 A
B ，即 y f ( x1 ) f ( A B)
“ ”因为 f ( X ) Y ，则 f 为满射．设 f : X Y 不是单射， 则 x1 x2 使 f ( x1 ) f ( x2 ) ，则取 A {x1}, B {x2 } A B ．
a A, 若 a A B ，则 a AB B ，矛盾；
若 a A, a B, 则 a AB B 矛盾，从而得证： A ． “ ” A ，则 AB ( A \ B ) ( B \ A) B B ． 5．
Ai \ (
一
《实变函数》习题解答
第一章习题 A
1． A \ B C \ D A C \ B D ． 证
胡适耕_实变函数答案
第一章习题 B
36．若A ΔB =A ΔC ，则B =C ．
证一：（反证）不妨设，∃x 0∈B ,且x 0∉C
1) x 0∈A ,则x 0∉A ΔB ，x 0∈A ΔC 这与A ΔB =A ΔC 矛盾 2) x 0∉A ，则x 0∈A ΔB ，x 0∉A ΔC 这与A ΔB =A ΔC 矛盾 所以假设不成立，即B =C ． 证二：()B A A ∆∆()[]()[]A B A B A A \\∆∆=
=()()B A B B A =\
同理()C C A A =∆∆，现在已知A B A C ∆=∆故上两式左边相等，从而C B =． 37．集列{A n }收敛⇔{A n }的任何子列收敛．
证 由习题8集列{}n A 收敛⇔特征函数列{}n
A
χ收敛，由数分知识得数列
{}n
A χ收敛⇔{}n
A χ的任一子列{}j
n
A χ
均收敛，又由习题8可得{}j
n A 收敛．
38．设)2,1}(:/{ =∈=n Z m n m A n ,则lim n n
A =Z ，lim n n
A =Q ．
证 显然有lim lim n n n
n
Z A A Q ⊂⊂⊂
1） 假设∃x \,Q Z ∈使x ∈lim n n
A
∴∃N >0,当n>N 时，有n x A ∈，特别地， n x A ∈，1n x A +∈ ∴∃m 1,m 2∈Z ,使x =
1m n
,x =
21
m n + ∴
1m n
=
21
m n +
从而121,m m m n
=+这与m 2∈Z 矛盾，所以假设不成立，即：lim n n
A =Z ．
2）∀x ∈Q,则∃m,n ∈Z,使得x =
实变函数习题解答(1)
第一章习题解答
1、证明A Y(B I C)＝(A Y B)I(A Y C)
证明：设x∈A Y(B I C)，则x∈A或x∈(B I C)，若x∈A，则x∈A Y B，且x∈A Y C，从而x∈(A Y B)I(A I C)。若x∈B I C，则x∈B且x∈C，于是x∈A Y B且x∈A Y C，从而x∈(A Y B)I(A Y C)，因此
A Y(B I C) ⊂(A Y B)I(A Y C) (1)
设x∈(A Y B) I(A Y C)，若x∈A，则x∈A Y(B I C)，若x∈A，由x∈A Y B且x∈A Y C知x∈B且x∈C，所以x∈B I C，所以x∈A Y(B I C)，因此
(A Y B)I(A Y C) ⊂A Y(B I C) (2)
由(1)、(2)得，A Y(B I C)＝(A Y B)I(A Y C) 。
2、证明
①A－B＝A－(A I B)＝(A Y B)－B
②A I(B－C)＝(A I B)－(A I C)
③(A－B)－C＝A－(B Y C)
④A－(B－C)＝(A－B)Y(A I C)
⑤(A－B)I(C－D)＝(A I C)－(B Y D)
(A－B)＝A I B
A－(A I B)＝A I C(A I B)＝A I(CA Y CB)
＝(A I CA)Y(A I CB)＝φY(A I CB)＝A－B
(A Y B)－B＝(A Y B)I CB＝(A I CB)Y(B I CB)
＝(A I CB)Yφ＝A－B
②(A I B)－(A I C)＝(A I B)I C(A I C)
实变函数胡适耕完整
一
《实变函数》习题解答
第一章习题 A
1． A \ B C \ D A C \ B D ． 证
x lim An N x N , n N x 有 x An { An ( x)} n 1 中自 N x 后全为 0
n
lim An ( x) lim sup Ak ( x) 0
n n k n
同理可证： lim An lim An
n
n
于是 lim An 存在 lim An 存在, 从而 A lim An A lim An ．
13． f : X Y 是双射 f ( X ) Y 且对任何 A, B X ，有
f ( A B) f ( A) f ( B ) ．
证 “ ”由命题 1．2．5 (iv), 对任何映射 f 有 f ( Ai )
f ( Ai ) ．
故只须证 f ( A)
f ( B) f ( A
f ( A B) ，又 f ( A)
故 f : X Y 为双射．
f ( B) f ( x1 )
实变函数胡适耕完整
2
Байду номын сангаас
（x0 , y0 ) Q , 且 的圆周，若有
2
5
x0 2 y0 2 r 2 ，则由于 x0 Q, y0 Q, 知 x0 2 y0 2 Q,
2 但 r 2 (21/ 4）
2 Q ，矛盾．
（t,r)表示以 t R 2 为圆心， r 0 为半径的圆周，即： 证二 设 S
lim An Ak ( Ak ) ( A B) A B ．
n n 1 k n n 1 k n n 1
10．设 f n : X R(n=1,2, „ )，用 Amn X ( f n m) 表示
X ( f n )( {x X : f n ( x) }) ．
n n 1 k n n 1 k n n 1 k n c ． Akc lim An n 1 k n n
又 (lim An ) c (
n
Ak ) ( Ak ) c ( Akc )
n 1 k n
c
n 1 k n
A X ． A B ( A \ X ) ( X \ B) ．
因为 X A , 所以 X 为无限不可数集， A 为可数集． 取 X 的无限可
实变函数习题解答(胡适耕版)
由已知就有 f (A) ⊂ f (B ) 对一切 B ∈ P0 (X )成立，从而 f (A) ⊂ I f (B ) ⊂ I B = A ．
B∈ P0 ( X )
B∈ P0 ( X )
∆
2o再证 A ⊂ f ( A)．为此，由 A的定义，只要能证 f (A)= A0 ∈ P0 (X )就可以了．但从
从而 y 只会属于集列{[an , bn ] }中的有限多个集合．
这与 y 会属于集列{[an , bn ] }中的无限多个集合矛盾．
所以假设不成立，即 ∀
y
∈
(1, ∞)
,有
y
∉
lim[ n
an
,
bn
]
．
显然， ∀
y
∈
(−∞，0] 有
y
∉
lwenku.baidu.comm[ n
an
,
bn
]
,故
lim n
[an , bn
]
⊂
(0,1].
∴ ∃N > 0,当 n>N 时，有 f n (x0 ) > 1 / 3．
∴
x0
∉ lim n
X
(
fn
≥
1/
2)
∴
lim n
X
(
fn
≥
1/
2)
=
(新)胡适耕-实变函数答案-第一章(B)
第一章习题 B
36．若A ΔB =A ΔC ，则B =C ．
证一：（反证）不妨设，∃x 0∈B ,且x 0∉C
1) x 0∈A ,则x 0∉A ΔB ，x 0∈A ΔC 这与A ΔB =A ΔC 矛盾
2) x 0∉A ，则x 0∈A ΔB ，x 0∉A ΔC 这与A ΔB =A ΔC 矛盾
所以假设不成立，即B =C ．
证二：()B A A ∆∆()[]()[]A B A B A A \\∆∆= =()()B A B B A =\
同理()C C A A =∆∆，现在已知A B A C ∆=∆故上两式左边相等，从而C B =．
37．集列{A n }收敛⇔{A n }的任何子列收敛．
证 由习题8集列{}n A 收敛⇔特征函数列{}
n A χ收敛，由数分知识得数列{}n A χ收敛⇔{}n A χ的任一子列{}j n A χ均收敛，又由习题8可得{}j
n A 收敛． 38．设)2,1}(:/{ =∈=n Z m n m A n ,则lim n n A =Z ，lim n n A =Q ．
证 显然有lim lim n n n
n Z A A Q ⊂⊂⊂
1） 假设∃x \,Q Z ∈使x ∈lim n n
A
∴∃N >0,当n>N 时，有n x A ∈，特别地， n x A ∈，1n x A +∈
∴∃m 1,m 2∈Z ,使x =
1m n ,x =21m n + ∴1m n =21m n + 从而121,m m m n
=+这与m 2∈Z 矛盾，所以假设不成立，即：lim n n A =Z ．
2）∀x ∈Q,则∃m,n ∈Z,使得x =
实变函数习题解答(1)
第一章习题解答
1、证明 A (B C)＝(A B) (A C)
证明：设x∈A (B C)，则x∈A或x∈(B C)，若x∈A，则x∈A B，且x∈A C，从而x∈(A B) (A C)。若x∈B C，则x∈B且x∈C，于是x∈A B且x∈A C，从而x∈(A B) (A C)，因此
A (B C) ⊂ (A B) (A C) (1)
设x∈(A B) (A C)，若x∈A，则x∈A (B C)，若x∈A，由x∈A B 且x∈A C知x∈B且x∈C，所以x∈B C，所以x∈A (B C)，因此
(A B) (A C) ⊂ A (B C) (2)
由(1)、(2)得，A (B C)＝(A B) (A C) 。
2、证明
①A－B＝A－(A B)＝(A B)－B
②A (B－C)＝(A B)－(A C)
③(A－B)－C＝A－(B C)
④A－(B－C)＝(A－B) (A C)
⑤(A－B) (C－D)＝(A C)－(B D)
(A－B)＝A B
A－(A B)＝A C(A B)＝A (CA CB)
＝(A CA) (A CB)＝φ (A CB)＝A－B
(A B)－B＝(A B) CB＝(A CB) (B CB)
＝(A CB) φ＝A－B
②(A B)－(A C)＝(A B) C(A C)
＝(A B) (CA CC)＝(A B CA) (A B CC)＝φ [A (B CC)]＝
A (B－C)
③(A－B)－C＝(A CB) CC＝A C(B C)
＝A－(B C)
④A－(B－C)＝A C(B CC)＝A (CB C)
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第一章习题 B
36．若A ΔB =A ΔC ，则B =C ．
证一：（反证）不妨设，∃x 0∈B ,且x 0∉C
1) x 0∈A ,则x 0∉A ΔB ，x 0∈A ΔC 这与A ΔB =A ΔC 矛盾 2) x 0∉A ，则x 0∈A ΔB ，x 0∉A ΔC 这与A ΔB =A ΔC 矛盾 所以假设不成立，即B =C ．
证二：()B A A ∆∆()[]()[]A B A B A A \\∆∆= =()()B A B B A =\ 同理()C C A A =∆∆，现在已知A B A C ∆=∆故上两式左边相等，从而C B =． 37．集列{A n }收敛⇔{A n }的任何子列收敛．
证 由习题8集列{}n A 收敛⇔特征函数列{}
n A χ收敛，由数分知识得数列
{}n
A χ收敛⇔{}n
A χ的任一子列{}j
n A χ
均收敛，又由习题8可得{}j
n A 收敛．
38．设)2,1}(:/{ =∈=n Z m n m A n ,则lim n n
A =Z ，lim n n
A =Q ．
证 显然有lim lim n n n
n
Z A A Q ⊂⊂⊂
1） 假设∃x \,Q Z ∈使x ∈lim n n
A
∴∃N >0,当n>N 时，有n x A ∈，特别地， n x A ∈，1n x A +∈ ∴∃m 1,m 2∈Z ,使x =1m n ,x =21m n + ∴1m n =21
m
n + 从而1
21,m m m n
=+
这与m 2∈Z 矛盾，所以假设不成立，即：lim n n A =Z ．
2）∀x ∈Q,则∃m,n ∈Z,使得x =
m
n
∴x=m n
=2m n
n ⋅=…=1k k m n n +⋅=…
∴x ∈k n A ,(k =1,2…),从而x ∈lim n n
A ∴lim n n
A =Q ．
39．设0 a b =(0,1]． 证 (0,1]x ∀∈ 1) ∵ 0 a b ． 2) 假设∃y >1,使y ∈lim[,]n n n a b ，则y 属于集列{[,]n n a b }中的无限多个集 合．又因为y >1, 1n b ↓ ，故0,N ∃>当n>N 时，有n b a b ． 显然，∀y ∈(0]-∞，有y ∉lim[,]n n n a b ,故]1,0(],[lim ⊂n n n b a . 综上所述，lim[,]n n n a b =(0,1]． 40．设n f ：R X →（n →∞）, n f A χ→(n →∞),求lim (1/2)n n X f ≥． 解 1）∀0x A ∈，n f A χ→( n →∞)，故0()n f x 0()1A x χ→=( n →∞)． ∴0,N ∃>当n>N 时，有0()n f x 1/2>． ∴当n>N 时，0(1/2)n x X f ∈≥，从而0x ∈lim (1/2)n n X f ≥． 2）∀0c x A ∈，n f A χ→( n →∞)，故0()n f x 0()0A x χ→=( n →∞)． ∴0,N ∃>当n>N 时，有0()n f x 3/1>． ∴0lim (1/2)n n x X f ∉≥ ∴ lim (1/2)n n X f ≥=A 41．设{n A }为升列，A ⊂n A ，对任何无限集B ⊂A ,存在n 使B n A 为无限 集，则A 含于某个n A ． 证 假设A 不含于任何n A 中,又{n A }为升列， 则对1=n ，11\A A x ∈∃，由于n A A ⊂，故N n ∈∃1，使11n A x ∈，即 11\1A A x n ∈；对2=n ，22\A A x ∈∃，又n A A ⊂故N n ∈∃2使 ⊂⊂∈+1222n n A A x ．于是可取12n n >使 22\2A A x n ∈．因此对i n =， 1->∃i i n n ，i n i A A x i \∈． 令B ={x 1, x 2,… x i …}，则B ⊂A 且B 为无限集， 但∀i ,B A ni ={x 1, x 2,… x i }为有限集，这与已知条件矛盾． ∴假设不成立，即A 含于某个n A 中． 42.设f :2x →2x ，当A ⊂B ⊂X 时f (A ) ⊂f (B )，则存在A ⊂X 使 f (A )=A ． 证 因为()X X f ⊂，故子集族()(){ } B B f B X P X ⊂∈=∆ :2 0非空，令 ()X B A X P B ⊂= ∈∆ 0，下证： 1()A A f ⊂，即要证()X P A 0∈．首先由定义B A ⊂对每个()X P B 0∈成 立，那么由已知就有()()B f A f ⊂对一切()X P B 0∈成立，从而 ()()()() X P B X P B A B B f A f 00∈∈=⊂⊂ ． 2再证()A f A ⊂．为此，由A 的定义，只要能证()()X P A A f 00∈=∆ 就可 以了．但从 1已证的()A A f A ⊂=0，又由已知f 的单调性应有 ()()[]()00A A f A f f A f =⊂=，故确定()X P A 00∈． 43.设X 是无限集，f :X →X ，则有X 的非空真子集A ，使f (A )⊂A ． 证 ∀x 1∈X ，若x 1≠x 2，令x 2=f ( x 1) 若x 2≠x 3 ，令3x =f (2x )… 若1n n x x -≠，令1()n n x f x -=… 1）若存在1i i x x +=，则令A ={x 1,x 2,…x i }，显然f (A )⊂A ． 2）若不存在1i i x x +=,则令A ={x 1,x 2,…x i ,…}，显然f (A )⊂A ． 44.设|A |>1,则有双射f :A →A ,使得∀x ∈A : f (x )≠x ；当|A |=偶数或|A |ω≥时可要求f (f (x ))=x (∀x ∈A )． 证 （1）|A |=2n +1, n ∈N ,则A ={x 1,x 2,…x 2n+1 }，作映射: