安徽省2017年中考数学总复习第二轮中考题型专题复习二解答题专题学习突破专题复习(十一)几何探究题课件
安徽省2017年中考数学总复习 第二轮 中考题型专题复习二 解答题专题学习突破 专题复习(二)
x －3 3 ⎧⎪x ＝ ， 3x －1 6x －2 ⎩ ⎪ ⎩ ⎩ 专题复习(二) 方程、不等式的解法类型 1 方程(组)的解法1．(2015·广州)解方程：5x ＝3(x －4)． 解：去括号，得 5x ＝3x －12.移 项，得 5x －3x ＝－12.合并同类项，得 2x ＝－12.系数化为 1，得 x ＝－6.⎧⎪2x ＋y ＝4，① 2．(2015·邵阳)解方程组：⎨ ⎪x －y ＝－1.②解：①＋②，得 2x ＋y ＋x －y ＝4－1.解得 x ＝1. 把 x ＝1 代入①，得 2＋y ＝4.解得 y ＝2.⎧x ＝1， ∴原方程组的解为⎨⎪y ＝2.3．解方程：x 2－4x ＝6.解：两边都加上 4，得 x 2－4x ＋4＝6＋4，即(x －2)2＝10. ∴x －2＝± 10.∴原方程的解为 x 1＝2＋ 10，x 2＝2－ 10.2x －1 4．解方程： ＝3.解：方程两边同乘(x －3)，得 2x －1＝3x －9. 解得 x ＝8.检验：当 x ＝8 时，x －3≠0，∴x ＝8 是原分式方程的解．⎧⎪6x ＝3－y ，① 5．解方程组：⎨ ⎪3x ＋y ＝2.②解：由①，得 6x ＋y ＝3.③②×2－③，得 y ＝1.1 把 y ＝1①，得 x ＝ .1 ∴原方程组的解为⎨ 3⎪⎩y ＝1.6．(2015·兰州)解方程：x 2－1＝2(x ＋1)． 解：原方程可以化为(x ＋1)(x －1)－2(x ＋1)＝0， 左边 分解因式，得(x ＋1)(x －3)＝0， ∴x ＋1＝0 或 x －3＝0.∴原方程的解为 x 1＝－1，x 2＝3.2 3 7．(2016·阜阳二模)解方程： －1＝ .解：方程两边同乘 2(3x －1)，得 4－2(3x －1)＝3.222⎪⎩223（x＋2）≥x＋4，②2⎩⎩去括号，得4－6x＋2＝3.移项、合并同类项，得6x＝3.1解得x＝.1检验：当x＝时，2(3x－1)≠0，1∴x＝是原分式方程的解．类型2不等式(组)的解法9．(2016·舟山)解不等式：3x>2(x＋1)－1.解：去括号，得3x>2x＋2－1.移项，得3x－2x>2－1.合并同类项，得x>1.∴不等式的解为x>1.⎧⎪2x＋1<x＋5，①10．(2016·淮安)解不等式组：⎨⎪4x>3x＋2.②解：解不等式①，得x<4.解不等式②，得x>2.∴不等式组的解集为2＜x＜4.⎧⎪2x＋5>3（x－1），①11．(2016·北京)解不等式组：⎨x＋74x>.②解：解不等式①，得x<8.解不等式②，得x>1.∴不等式组的解集为1<x<8.3x－112．(2016·苏州)解不等式2x－1>，并把它的解集在数轴上表示出来．解：4x－2>3x－1.x>1.这个不等式的解集在数轴上表示如下：⎧⎪2x<5，①13．(2016·广州)解不等式组：⎨并在数轴上表示解集．⎪5解：解不等式①，得x<.解不等式②，得x≥－1.解集在数轴上表示为⎪⎩－x<5x＋12，②并写出它的整数解．⎧⎪14．(2016·南京)解不等式组：⎨3x＋1≤2（x＋1），①解：解不等式①，得x≤1.解不等式②，得x>－2.所以不等式组的解集是－2<x≤1，该不等式组的整数解是－1，0，1.。
安徽省2017年中考数学总复习 第二轮 中考题型专题复习二 解答题专题学习突破 专题复习(一)
二、解答题专题学习突破专题复习(一) 数与式的运算类型1 实数的运算1．(2016·阜阳模拟)计算：12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＋8×2－2－(－1)2. 解：原式＝－4＋2－1＝－3.2．(2016·邵阳)计算：(－2)2＋2cos 60°－(10－π)0. 解：原式＝4＋2×12－1＝4＋1－1＝4.3．(2016·滁州模拟)计算：(－3)2＋|－4|×2－1－(2－1)0.解：原式＝3＋4×12－1＝4.4．(2016·马鞍山模拟)计算：－22＋|－3|＋2sin 60°－12.解：原式＝－4＋3＋2×32－2 3 ＝－4.5．(2016·宜宾)计算： ⎝ ⎛⎭⎪⎫13－2－ (－1)2 016－25 ＋ (π－1)0.解：原式＝9－1－5＋1＝4.6．(2016·广安)计算： ⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1－27＋tan 60°＋||3－23.解：原式＝3－33＋3－3＋23＝0.类型2 整式的运算7．计算：(x －3)(3＋x)－(x 2＋x －1)．解：原式＝x 2－9－x 2－x ＋1＝－x －8.8．化简：a(2－a)－(3＋a)·(3－a)．解：原式＝2a －a 2－(9－a 2)＝2a －9.9．(2016·马鞍山模拟)计算：(x ＋3)(x －5)－x(x －2)．解：原式＝x 2－5x ＋3x －15－x 2＋2x ＝－15.10．(2016·茂名)先化简，再求值：x(x －2)＋(x ＋1)2，其中x ＝1.解：原式＝x 2－2x ＋x 2＋2x ＋1＝2x 2＋1.当x ＝1时，原式＝2＋1＝3.11．(2016·衡阳)先化简，再求值：(a ＋b)(a －b)＋(a ＋b)2，其中a ＝－1，b ＝12. 解：原式＝a 2－b 2＋a 2＋2ab ＋b 2＝2a 2＋2ab.当a ＝－1，b ＝12时，原式＝2×(－1)2＋2×(－1)×12＝2－1＝1.类型3 分式的化简与求值12．(2016·宿州模拟)化简：⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x －x x －1·(x－1)2. 解：原式＝[x 2－1x （x －1）－x 2x （x －1）]·(x－1)2 ＝－1x （x －1）·(x－1)2 ＝1－x x.13．(2016·甘孜州)化简：x ＋3x 2－9＋1x －3. 解：原式＝x ＋3（x ＋3）（x －3）＋x ＋3（x ＋3）（x －3）＝2（x ＋3）（x ＋3）（x －3） ＝2x －3.14．(2016·宣城模拟)先化简，再求值： a 2－2a ＋1a 2－1÷⎝ ⎛⎭⎪⎫1－3a ＋1，其中a ＝0.解：原式＝（a －1）2（a ＋1）（a －1）÷a ＋1－3a ＋1＝（a －1）2（a ＋1）（a －1）·a ＋1a －2＝a －1a －2. 当a ＝0时，a －1a －2＝12.15．(2016·淮北模拟)先化简，再求值：1a ＋1－a （a ＋1）2，其中a ＝2－1. 解：原式＝a ＋1（a ＋1）2－a （a ＋1）2 ＝1（a ＋1）2. 当a ＝2－1时，原式＝1（2－1＋1）2＝12.16．(2016·娄底)先化简，再求值：⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2x －1·x 2－x x 2－6x ＋9，其中x 是从1，2，3中选取的一个合适的数． 解：原式＝x －3x －1·x （x －1）（x －3）2＝x x －3. 当x ＝1，3时原方程无意义．当x ＝2时，原式＝22－3＝－2.17．(2016·枣庄)先化简，再求值：a 2＋a a 2－2a ＋1÷⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －1－1a ，其中a 是方程2x 2＋x －3＝0的解． 解：原式＝a （a ＋1）（a －1）2÷2a －（a －1）a （a －1）＝a （a ＋1）（a －1）2·a （a －1）a ＋1＝a 2a －1. 由2x 2＋x －3＝0，得x 1＝1，x 2＝－32. 又a －1≠0，即a≠1，∴a ＝－32. ∴原式＝（32）2－32－1＝－910.18．(2016·河南)先化简，再求值：⎝ ⎛⎭⎪⎫x x 2＋x －1÷x 2－1x 2＋2x ＋1，其中x 的值从不等式组⎩⎪⎨⎪⎧－x≤1，2x －1<4的整数解中选取． 解：原式＝x －x 2－x x （x ＋1）·（x ＋1）2（x －1）（x －1）＝－x x ＋1·x ＋1x －1＝x 1－x. 解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧－x≤1，2x －1<4得－1≤x<52， 当x ＝－1，0，1时，原方程无意义．当x ＝2时，原式＝21－2＝－2.。
安徽省2017年中考数学总温习第二轮中考题型专题温习二解答题专题学习冲破专题温习十一几何探讨题类型2
类型2 与相似三角形有关的几何探讨题：5．(2012·安徽)如图1，在△ABC 中，D ，E ，F 别离为三边的中点，G 点在边AB 上，△BDG 与四边形ACDG 的周长相等，设BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c.(1)求线段BG 的长；(2)求证：DG 平分∠EDF；(3)连接CG ，如图2，若△BDG 与△DFG 相似，求证：BG⊥CG.解：(1)∵D，E ，F 别离是△ABC 三边中点，∴DE ∥12AB ，DE=12AB ，DF ∥12AC ，DF=12AC. 又∵△BDG 与四边形ACDG 的周长相等，即BD ＋DG ＋BG ＝AC ＋C D ＋DG ＋AG ，∴BG ＝AC ＋AG.∵BG ＝AB －AG ，∴BG ＝AB ＋AC 2＝b ＋c 2. (2)证明：BG ＝b ＋c 2，FG ＝BG －BF ＝b ＋c 2－c 2＝b 2，∴FG ＝DF.∴∠FDG＝∠FGD. 又∵DE∥AB，∴∠EDG ＝∠FGD.∴∠FDG ＝∠EDG.∴DG 平分∠EDF.(3)证明：在△DFG 中，∠FDG ＝∠FGD，∴△DFG 是等腰三角形．∵△BD G 与△DFG 相似，∴△BDG 是等腰三角形．∴BD ＝DG.∴CD ＝BD ＝DG.∴B，G ，C 三点共圆．∴∠BGC ＝90°.∴BG ⊥CG.6．(2016·合肥十校联考)如图1，在四边形ABCD 中，∠DAB 被对角线AC 平分，且AC 2＝AB ·AD，咱们称该四边形为“可分四边形”，∠DAB 称为“可分角”．(1)如图2，四边形ABCD 为“可分四边形”，∠DAB 为“可分角”，若是∠DCB＝∠DAB，那么∠DAB＝120°；(2)如图3，在四边形ABCD 中，∠DAB ＝60°，AC 平分∠DAB，且∠BCD＝150°，求证：四边形ABCD 为“可分四边形”；(3)现有四边形ABC D 为“可分四边形”，∠DAB 为“可分角”，且AC ＝4，BC ＝2，∠D ＝90°，求AD 的长．解：(1)提示：由题意易知△ADC∽△ACB，则∠D＝∠ACB，∠ACD ＝∠B.∵∠DCB＝∠DAB，∴∠DAB ＝13×360°＝120°.(2)证明：∵AC 平分∠DAB，∠DAB ＝60°，∴∠DAC ＝∠CAB＝30°.∵∠DCB ＝150° ，∴∠DCA ＝150°－∠ACB.在△ADC 中，∠ADC ＝180°－ ∠DAC－ ∠DCA ＝180°－30°－(150°－∠ACB)＝∠ACB，∴△ACD ∽△ABC. ∴AD AC ＝AC AB .∴AC 2＝AB·AD. 又∠DAC＝∠CAB， ∴四边形ABCD 为“可分四边形”．(3)∵四边形ABCD 为“可分四边形”，∠DAB 为“可分角”，∴AC 平分∠DAB，AC 2＝AB·AD.∴∠DAC ＝∠CAB，AD AC ＝AC AB.∴△ACD∽△ABC. ∴∠ACB ＝∠D＝90°.在Rt △ACB 中，AB ＝AC 2 ＋ BC 2＝2 5.∵ AC 2＝AB·AD，∴AD ＝AC 2AB ＝4225＝855. 7．(2016·淮北濉溪县一模)(1)问题：如图1，在四边形ABCD 中，点P 为AB 上一点，∠DPC ＝∠A＝∠B＝90°，求证：AD·B C ＝AP·BP；(2)探讨：如图2，在四边形ABCD 中，点P 为AB 上一点，当∠DPC＝∠A＝∠B＝θ时，上述结论是不是仍然成立？说明理由；(3)应用：请利用(1)(2)取得的体会解决问题：如图3，在△ABD 中，AB ＝6，AD ＝BD ＝5，点P 以每秒1个单位长度的速度，由点A 起身，沿边AB 向点B 运动，且知足∠DPC＝∠A，设点P 的运动时刻为t(秒)，当以D 为圆心，DC 为半径的圆与AB 相切时，求t 的值．解：(1)证明：∵∠DPC＝∠A＝∠B＝90°，∴∠ADP ＋∠APD＝90°，∠BPC ＋∠APD＝90°，即∠ADP＝∠BPC.∴△ADP ∽△BPC.∴AD BP ＝AP BC，即AD·BC＝AP·BP. (2)结论AD·BC＝AP·BP 仍然成立．理由：∵∠BPD＝∠DPC＋∠BPC，∠BPD ＝∠A＋∠ADP，∴∠DPC ＋∠BPC＝∠A＋∠ADP.∵∠DPC ＝∠A＝∠B＝θ，∴∠BPC ＝∠ADP.∴△ADP ∽△BPC.∴AD BP ＝AP BC，即AD·BC＝AP·BP. (3)过点D 作DE⊥AB 于点E.∵AD ＝BD ＝5，AB ＝6，∴AE ＝BE ＝3.由勾股定理可得DE ＝4.∵以点D 为圆心，DC 为半径的圆与AB 相切，∴DC ＝DE ＝4.∴BC＝BD －DC ＝1.又∵AD＝BD ，∴∠A ＝∠B.∴∠DPC ＝∠A＝∠B.由(1)、(2)的体会可知AD·BC＝AP·BP.∴5×1＝t(6－t)，解得t 1＝1，t 2＝5.∴t 的值为1或5.8．已知：△A BC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，点M ，N 别离在AC ，BC 上，将△ABC 沿MN 折叠，极点C 恰好落在斜边的P 点上．(1)如图1，当MN∥AB 时，求证：①AM ＝MC ；②PA PB ＝CM CN； (2)如图2，当MN 与AB 不平行时，PA PB ＝CM CN还成立吗？请说明理由． 解：(1)证明：①由折叠可知∠CMN＝∠NMP，CM ＝PM.∵MN ∥AB ，∴∠CMN ＝∠A，∠NMP ＝∠MPA，即∠A＝∠MPA.∴MA ＝MP.∴AM ＝MC.②由①可知∠CMN＝∠A ＝45°，∠CNM ＝∠B＝45°，∠A ＝∠B＝45°， ∴MC ＝NC ＝AM ＝BN ，∠PMA ＝∠PNB＝90°.∴△APM ∽△BPN.∴PA PB ＝AM BN .∴PA PB ＝CM CN. (2)成立．理由：过点M ，N 别离做AB 的垂线，垂足别离为点E ，F. 由题意可知，CM ＝PM ，CN ＝PN ，∠MPN ＝90°，∴∠MPE ＋∠NPF＝90°.∵∠MPE ＋∠EMP＝90°，∴∠EMP ＝∠NPF.∴△MEP ∽△PFN.∴MP PN ＝ME PF ＝PE NF. ∵∠A ＝∠B＝45°，ME ⊥AP ，NF ⊥AB ，∴△MAE 和△NFB 均为等腰直角三角形，即ME ＝AE ，NF ＝BF. ∵ME PE ＝PF NF .∴AE PE ＝PF BF . ∴AE ＋PE PE ＝PF ＋BF BF ，即AP PE ＝PB BF . ∴AP PB ＝PE BF ＝PE NF . ∴PA PB ＝MP PN ＝CM CN .。
中考数学二轮复习 专题二 解答重难点题型突破 题型六 二次函数与几何图形综合题试题-人教版初中九年级
题型六 二次函数与几何图形综合题类型一 二次函数与图形判定1．(2017·某某)在同一直角坐标系中，抛物线C 1：y ＝ax 2－2x －3与抛物线C 2：y ＝x 2＋mx ＋n 关于y 轴对称，C 2与x 轴交于A 、B 两点，其中点A 在点B 的左侧．(1)求抛物线C 1，C 2的函数表达式； (2)求A 、B 两点的坐标；(3)在抛物线C 1上是否存在一点P ，在抛物线C 2上是否存在一点Q ，使得以AB 为边，且以A 、B 、P 、Q 四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出P 、Q 两点的坐标；若不存在，请说明理由.2．(2017·随州)在平面直角坐标系中，我们定义直线y ＝ax －a 为抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a 、b 、c 为常数，a ≠0)的“梦想直线”；有一个顶点在抛物线上，另有一个顶点在y 轴上的三角形为其“梦想三角形”．已知抛物线y ＝－233x 2－433x ＋23与其“梦想直线”交于A 、B 两点(点A 在点B 的左侧)，与x轴负半轴交于点C.(1)填空：该抛物线的“梦想直线”的解析式为__________，点A的坐标为__________，点B的坐标为__________；(2)如图，点M为线段CB上一动点，将△ACM以AM所在直线为对称轴翻折，点C的对称点为N，若△AMN为该抛物线的“梦想三角形”，求点N的坐标；(3)当点E在抛物线的对称轴上运动时，在该抛物线的“梦想直线”上，是否存在点F，使得以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点E、F的坐标；若不存在，请说明理由．(2017·某某模拟)已知：如图，抛物线y＝ax2－2ax＋c(a≠0)与y轴交于点C(0，4)，与x轴交于点A、B，点A的坐标为(4，0)．(1)求该抛物线的解析式；(2)点Q是线段AB上的动点，过点Q作QE∥AC，交BC于点E，连接CQ.当△CQE的面积最大时，求点Q的坐标；(3)若平行于x 轴的动直线l 与该抛物线交于点P ，与直线AC 交于点F ，点D 的坐标为(2，0)．问：是否存在这样的直线l ，使得△ODF 是等腰三角形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.4．(2016·某某)如图①，直线y ＝－43x ＋n 交x 轴于点A ，交y 轴于点C(0，4)，抛物线y ＝23x 2＋bx ＋c 经过点A ，交y 轴于点B(0，－2)．点P 为抛物线上一个动点，过点P 作x轴的垂线PD ，过点B 作BD⊥PD 于点D ，连接PB ，设点P 的横坐标为m.(1)求抛物线的解析式；(2)当△BDP 为等腰直角三角形时，求线段PD 的长；(3)如图②，将△BDP 绕点B 逆时针旋转，得到△BD′P′，且旋转角∠PBP′＝∠OAC，当点P 的对应点P′落在坐标轴上时，请直接写出点P 的坐标.类型二 二次函数与图形面积1．(2017·某某)如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝12x ＋2与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，抛物线y ＝－12x 2＋bx ＋c 经过A 、C 两点，与x 轴的另一交点为点B.(1)求抛物线的函数表达式；(2)点D 为直线AC 上方抛物线上一动点；①连接BC 、CD ，设直线BD 交线段AC 于点E ，△CDE 的面积为S 1，△BCE 的面积为S 2，求S 1S 2的最大值； ②过点D 作DF⊥AC，垂足为点F ，连接CD ，是否存在点D ，使得△CDF 中的某个角恰好等于∠BAC 的2倍？若存在，求点D 的横坐标；若不存在，请说明理由．2．(2017·某某)如图甲，直线y＝－x＋3与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴的另一个交点为A，顶点为P.(1)求该抛物线的解析式；(2)在该抛物线的对称轴上是否存在点M，使以C，P，M为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由；(3)当0＜x＜3时，在抛物线上求一点E，使△CBE的面积有最大值(图乙、丙供画图探究).3．(2017·某某模拟)如图，抛物线y＝ax2＋bx－3与x轴交于点A(1，0)和点B，与y 轴交于点C，且其对称轴l为x＝－1，点P是抛物线上B，C之间的一个动点(点P不与点B，C重合)．(1)直接写出抛物线的解析式；(2)小唐探究点P的位置时发现：当动点N在对称轴l上时，存在PB⊥NB，且PB＝NB的关系，请求出点P的坐标；(3)是否存在点P使得四边形PBAC的面积最大？若存在，请求出四边形PBAC面积的最大值；若不存在，请说明理由.4．(2017·某某模拟)如图①，已知抛物线y＝ax2＋bx－3的对称轴为x＝1，与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C，一次函数y＝x＋1经过A，且与y轴交于点D.(1)求该抛物线的解析式．(2)如图②，点P为抛物线B、C两点间部分上的任意一点(不含B，C两点)，设点P的横坐标为t，设四边形DCPB的面积为S，求出S与t的函数关系式，并确定t为何值时，S取最大值？最大值是多少？(3)如图③，将△ODB沿直线y＝x＋1平移得到△O′D′B′，设O′B′与抛物线交于点E，连接ED′，若ED′恰好将△O′D′B′的面积分为1∶2两部分，请直接写出此时平移的距离．类型三二次函数与线段问题1．(2017·某某)如图，已知抛物线y＝ax2－23ax－9a与坐标轴交于A，B，C三点，其中C(0，3)，∠BAC的平分线AE交y轴于点D，交BC于点E，过点D的直线l与射线AC，AB分别交于点M，N.(1)直接写出a的值、点A的坐标及抛物线的对称轴；(2)点P为抛物线的对称轴上一动点，若△PAD为等腰三角形，求出点P的坐标；(3)证明：当直线l绕点D旋转时，1AM ＋1AN均为定值，并求出该定值．2．(2017·某某模拟)如图①，直线y ＝34x ＋m 与x 轴、y 轴分别交于点A 和点B(0，－1)，抛物线y ＝12x 2＋bx ＋c 经过点B ，点C 的横坐标为4.(1)请直接写出抛物线的解析式；(2)如图②，点D 在抛物线上，DE ∥y 轴交直线AB 于点E ，且四边形DFEG 为矩形，设点D 的横坐标为x(0＜x ＜4)，矩形DFEG 的周长为l ，求l 与x 的函数关系式以及l 的最大值；(3)将△AOB 绕平面内某点M 旋转90°或180°，得到△A 1O 1B 1，点A 、O 、B 的对应点分别是点A 1、O 1、B 1.若△A 1O 1B 1的两个顶点恰好落在抛物线上，那么我们就称这样的点为“落点”，请直接写出“落点”的个数和旋转180°时点A 1的横坐标.3．(2017·某某)已知点A(－1，1)，B(4，6)在抛物线y＝ax2＋bx上．(1)求抛物线的解析式；(2)如图①，点F的坐标为(0，m)(m＞2)，直线AF交抛物线于另一点G，过点G作x轴的垂线，，连接FH、AE，求证：FH∥AE；(3)如图②，直线AB分别交x轴、y轴于C、D两点．点P从点C出发，沿射线CD方向匀速运动，速度为每秒2个单位长度；同时点Q从原点O出发，沿x轴正方向匀速运动，速度为每秒1个单位长度．点M是直线PQ与抛物线的一个交点，当运动到t秒时，QM＝2PM，直接写出t的值.类型四二次函数与三角形相似1．(2016·某某)如图，已知抛物线经过原点O，顶点为A(1，1)，且与直线y＝x－2交于B，C两点．(1)求抛物线的解析式及点C的坐标；(2)求证：△ABC是直角三角形；(3)若点N为x轴上的一个动点，过点N作MN⊥x轴与抛物线交于点M，则是否存在以O，M，N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.2．(2017·某某模拟)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋1与直线y＝－ax＋c相交于坐标轴上点A(－3，0)，C(0，1)两点．(1)直线的表达式为__________；抛物线的表达式为__________；(2)D为抛物线在第二象限部分上的一点，作DE垂直x轴于点E，交直线AC于点F，求线段DF长度的最大值，并求此时点D的坐标；(3)P为抛物线上一动点，且P在第四象限内，过点P作PN垂直x轴于点N，使得以P、A、N为顶点的三角形与△ACO相似，请直接写出点P的坐标.3．如图①，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋33经过A(3，0)，G(－1，0)两点． (1)求这个二次函数的解析式；(2)若点M 是抛物线在第一象限图象上的一点，求△ABM 面积的最大值；(3)抛物线的对称轴交x 轴于点P ，过点E(0，233)作x 轴的平行线，交AB 于点F ，是否存在着点Q ，使得△FEQ∽△BEP？若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.4．(2017·某某)抛物线y ＝ax 2＋bx ＋3经过点A(1，0)和点B(5，0)． (1)求该抛物线所对应的函数解析式；(2)该抛物线与直线y＝错误!x＋3相交于C、D两点，点P是抛物线上的动点且位于x 轴下方，直线PM∥y轴，分别与x轴和直线CD交于点M、N.①连接PC、PD，如图①，在点P运动过程中，△PCD的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由；②连接PB，过点C作CQ⊥PM，垂足为点Q，如图②，是否存在点P，使得△Q与△PBM 相似？若存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，说明理由.题型六第23题二次函数与几何图形综合题类型一二次函数与图形判定1．解：(1)∵C1、C2关于y轴对称，∴C1与C2的交点一定在y轴上，且C1与C2的形状、大小均相同，∴a＝1，n＝－3，∴C1的对称轴为x＝1，∴C2的对称轴为x＝－1，∴m＝2，∴C1的函数表示式为y＝x2－2x－3，C2的函数表达式为y＝x2＋2x－3；(2)在C2的函数表达式为y＝x2＋2x－3中，令y＝0可得x2＋2x－3＝0，解得x＝－3或x＝1，∴A(－3，0)，B(1，0)；(3)存在．设P(a ，b)，则Q(a ＋4，b)或(a －4，b)， ①当Q(a ＋4，b)时，得：a 2－2a －3＝(a ＋4)2＋2(a ＋4)－3， 解得a ＝－2，∴b ＝a 2－2a －3＝4＋4－3＝5， ∴P 1(－2，5)，Q 1(2，5)． ②当Q(a －4，b)时，得：a 2－2a －3＝(a －4)2＋2(a －4)－3， 解得a ＝2.∴b ＝4－4－3＝－3， ∴P 2(2，－3)，Q 2(－2，－3)．综上所述，所求点的坐标为P 1(－2，5)，Q 1(2，5)； P 2(2，－3)，Q 2(－2，－3). 2．解：(1)∵抛物线y ＝－233x 2－433x ＋23， ∴其梦想直线的解析式为y ＝－233x ＋233，联立梦想直线与抛物线解析式可得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－233x ＋233y ＝－233x 2－433x ＋23，解得⎩⎨⎧x ＝－2y ＝23或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝0，∴A(－2，23)，B(1，0)；(2)当点N 在y 轴上时，△AMN 为梦想三角形， 如解图①，过A 作AD ⊥y 轴于点D ，则AD ＝2，在y ＝－233x 2－433x ＋23中，令y ＝0可求得x ＝－3或x ＝1，∴C(－3，0)，且A(－2，23)， ∴AC ＝（－2＋3）2＋（23）2＝13， 由翻折的性质可知AN ＝AC ＝13，在Rt △AND 中，由勾股定理可得DN ＝AN 2－AD 2＝13－4＝3， ∵OD ＝23，∴ON ＝23－3或ON ＝23＋3，当ON ＝23＋3时，则MN ＞OD ＞CM ，与MN ＝CM 矛盾，不合题意， ∴N 点坐标为(0，23－3)；当M 点在y 轴上时，则M 与O 重合，过N 作NP ⊥x 轴于点P ，如解图②，在Rt △AMD 中，AD ＝2，OD ＝23，∴tan ∠DAM ＝MDAD ＝3，∴∠DAM ＝60°，∵AD ∥x 轴，∴∠AMC ＝∠DAM ＝60°， 又由折叠可知∠NMA ＝∠AMC ＝60°， ∴∠NMP ＝60°，且MN ＝CM ＝3， ∴MP ＝12MN ＝32，NP ＝32MN ＝332，∴此时N 点坐标为(32，332)；综上可知N 点坐标为(0，23－3)或(32，332)；(3)①当AC 为平行四边形的边时，如解图③，过F 作对称轴的垂线FH ，过A 作AK ⊥x 轴于点K ，则有AC ∥EF 且AC ＝EF ，∴∠ACK ＝∠EFH ， 在△ACK 和△EFH 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠ACK ＝∠EFH ∠AKC ＝∠EHF AC ＝EF，∴△ACK ≌△EFH(AAS )， ∴FH ＝CK ＝1，HE ＝AK ＝23，∵抛物线对称轴为x ＝－1，∴F 点的横坐标为0或－2，∵点F 在直线AB 上，∴当F 点横坐标为0时，则F(0，233)，此时点E 在直线AB 下方，∴E 到x 轴的距离为EH －OF ＝23－233＝433，即E 点纵坐标为－433，∴E(－1，－433)； 当F 点的横坐标为－2时，则F 与A 重合，不合题意，舍去； ②当AC 为平行四边形的对角线时， ∵C(－3，0)，且A(－2，23)， ∴线段AC 的中点坐标为(－52，3)，设E(－1，t)，F(x ，y)，则x －1＝2×(－52)，y ＋t ＝23，∴x ＝－4，y ＝23－t ，代入直线AB 解析式可得23－t ＝－233×(－4)＋233，解得t ＝－433，∴E(－1，－433)，F(－4，1033)；综上可知存在满足条件的点F ，此时E(－1，－433)、F(0，233)或E(－1，－433)、F(－4，1033).3．解：(1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧0＝16a －8a ＋c 4＝c ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12c ＝4， ∴所求抛物线的解析式为y ＝－12x 2＋x ＋4；(2) 设点Q 的坐标为(m ，0)，如解图①，过点E 作EG ⊥x 轴于点G. 由－12x 2＋x ＋4＝0，得x 1＝－2，x 2＝4，∴点B 的坐标为(－2，0)，∴AB ＝6，BQ ＝m ＋2，∵QE ∥AC ，∴△BQE ∽△BAC ，∴EG CO ＝BQ BA ，即EG 4＝m ＋26，∴EG ＝2m ＋43，∴S △CQE ＝S △CBQ －S △EBQ ＝12BQ·CO－12BQ·EG＝12(m ＋2)(4－2m ＋43)＝－13m 2＋23m ＋83＝－13(m－1)2＋3，又∵－2≤m ≤4，∴当m ＝1时，S △CQE 有最大值3，此时Q(1，0)；图①图②(3)存在．在△ODF 中． (ⅰ)若DO ＝DF ，∵A(4，0)，D(2，0)，∴AD ＝OD ＝DF ＝2， 又∵在Rt △AOC 中，OA ＝OC ＝4，∴∠OAC ＝45°， ∴∠DFA ＝∠OAC ＝45°，∴∠ADF ＝90°，此时，点F 的坐标为(2，2)， 由－12x 2＋x ＋4＝2，得x 1＝1＋5，x 2＝1－5，此时，点P 的坐标为P(1＋5，2)或P(1－5，2)； (ⅱ)若FO ＝FD ，如解图②，过点F 作FM ⊥x 轴于点M ， 由等腰三角形的性质得：OM ＝MD ＝1，∴AM ＝3， ∴在等腰直角△AMF 中，MF ＝AM ＝3，∴F(1，3)， 由－12x 2＋x ＋4＝3，得x 1＝1＋3，x 2＝1－3，此时，点P 的坐标为：P(1＋3，3)或P(1－3，3)； (ⅲ)若OD ＝OF ，∵OA ＝OC ＝4，且∠AOC ＝90°，∴AC ＝42，∴点O 到AC 的距离为22，而OF ＝OD ＝2＜22，与OF ≥22矛盾， ∴AC 上不存在点使得OF ＝OD ＝2，此时，不存在这样的直线l ，使得△ODF 是等腰三角形． 综上所述，存在这样的直线l ，使得△ODF 是等腰三角形．所求点P 的坐标为(1＋5，2)或(1－5，2)或(1＋3，3)或(1－3，3). 4．解：(1)∵点C(0，4)在直线y ＝－43x ＋n 上，∴n ＝4，∴y ＝－43x ＋4，令y ＝0，解得x ＝3，∴A(3，0)，∵抛物线y ＝23x 2＋bx ＋c 经过点A ，交y 轴于点B(0，－2)，∴c ＝－2，6＋3b －2＝0，解得b ＝－43，∴抛物线的解析式为y ＝23x 2－43x －2；(2)∵点P 的横坐标为m ，且点P 在抛物线上， ∴P(m ，23m 2－43m －2)，∵PD ⊥x 轴，BD ⊥PD ，∴点D 坐标为(m ，－2)， ∴|BD|＝|m|，|PD|＝|23m 2－43m －2＋2|，当△BDP 为等腰直角三角形时，PD ＝BD ， ∴|m|＝|23m 2－43m －2＋2|＝|23m 2－43m|.∴m 2＝(23m 2－43m)2，解得：m 1＝0(舍去)，m 2＝72，m 3＝12，∴当△BDP 为等腰直角三角形时，线段PD 的长为72或12；(3)∵∠PBP′＝∠OAC ，OA ＝3，OC ＝4，∴AC ＝5， ∴sin ∠PBP ′＝45，cos ∠PBP ′＝35，①当点P′落在x 轴上时，如解图①，过点D′作D′N⊥x 轴，垂足为N ，交BD 于点M ，∠DBD ′＝∠ND′P′＝∠PBP′，由旋转知，P ′D ′＝PD ＝23m 2－43m ，在Rt △P ′D ′N 中，cos ∠ND ′P ′＝ND′P′D′＝cos ∠PBP ′＝35，∴ND ′＝35(23m 2－43m)，在Rt △BD ′M 中，BD ′＝－m ，sin ∠DBD ′＝D′M BD′＝sin ∠PBP ′＝45，∴D ′M ＝－45m ，∴ND ′－MD′＝2，∴35(23m 2－43m)－(－45m)＝2， 解得m ＝5(舍去)或m ＝－5，如解图②， 同①的方法得，ND ′＝35(23m 2－43m)，MD ′＝45m ，ND ′＋MD′＝2， ∴35(23m 2－43m)＋45m ＝2， ∴m ＝5或m ＝－5(舍去)，∴P(－5，45＋43)或P(5，－45＋43)，②当点P′落在y 轴上时，如解图③，过点D′作D′M⊥x 轴，交BD 于M ，过点P′作P′N⊥y 轴，交MD′的延长线于点N ， ∴∠DBD ′＝∠ND′P′＝∠PBP′，同①的方法得：P′N＝45(23m 2－43m)，BM ＝35m ，∵P ′N ＝BM ，∴45(23m 2－43m)＝35m ， 解得m ＝258或m ＝0(舍去)，∴P(258，1132)，∴P(－5，45＋43)或P(5，－45＋43)或P(258，1132).类型二 二次函数与图形面积1．解：(1)根据题意得A(－4，0)，C(0，2)， ∵抛物线y ＝－12x 2＋bx ＋c 经过A 、C 两点，∴⎩⎪⎨⎪⎧0＝－12×16－4b ＋c 2＝c ，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－32c ＝2， ∴y ＝－12x 2－32x ＋2；(2)①令y ＝0，∴－12x 2－32x ＋2＝0，解得x 1＝－4，x 2＝1，∴B(1，0)，如解图①，过D 作DM ∥y 轴交AC 于M ，过B 作BN ⊥x 轴交AC 于N ， ∴DM ∥BN ，∴△DME ∽△BNE ，∴S 1S 2＝DE BE ＝DMBN ，设D(a ，－12a 2－32a ＋2)，∴M(a ，12a ＋2)，∵B(1，0)，∴N(1，52)，∴S 1S 2＝DMBN ＝－12a 2－2a 52＝－15(a ＋2)2＋45； ∴当a ＝－2时，S 1S 2有最大值，最大值是45；②∵A(－4，0)，B(1，0)，C(0，2)， ∴AC ＝25，BC ＝5，AB ＝5， ∵AC 2＋BC 2＝AB 2，∴△ABC 是以∠ACB 为直角的直角三角形，取AB 的中点P ，∴P(－32，0)，∴PA ＝PC ＝PB ＝52，∴∠CPO ＝2∠BAC ，∴tan ∠CPO ＝tan (2∠BAC)＝43，如解图②，过D 作x 轴的平行线交y 轴于R ，交AC 的延长线于G ， 情况一：∠DCF ＝2∠BAC ＝∠DGC ＋∠CDG ，∴∠CDG ＝∠BAC ， ∴tan ∠CDG ＝tan ∠BAC ＝12，即RC DR ＝12，令D(a ，－12a 2－32a ＋2)，∴DR ＝－a ，RC ＝－12a 2－32a ，∴－12a 2－32a －a ＝12，解得a 1＝0(舍去)，a 2＝－2， ∴x D ＝－2，情况二：∠FDC ＝2∠BAC ， ∴tan ∠FDC ＝43，设FC ＝4k ，∴DF ＝3k ，DC ＝5k ， ∵tan ∠DGC ＝3k FG ＝12，∴FG ＝6k ，∴CG ＝2k ，DG ＝35k ，∴RC ＝255k ，RG ＝455k ， DR ＝35k －455k ＝1155k ，∴DR RC ＝1155k 255k ＝－a －12a 2－32a ，解得a 1＝0(舍去)，a 2＝－2911， ∴点D 的横坐标为－2或－2911.2．解：(1)∵直线y ＝－x ＋3与x 轴、y 轴分别交于点B 、点C ， ∴B(3，0)，C(0，3)，把B 、C 坐标代入抛物线解析式可得⎩⎪⎨⎪⎧9＋3b ＋c ＝0c ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－4c ＝3，∴抛物线的解析式为y ＝x 2－4x ＋3； (2)∵y ＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1， ∴抛物线对称轴为x ＝2，P(2，－1)， 设M(2，t)，且C(0，3)，∴MC ＝22＋（t －3）2＝t 2－6t ＋13，MP ＝|t ＋1|，PC ＝22＋（－1－3）2＝25， ∵△CPM 为等腰三角形，∴有MC ＝MP 、MC ＝PC 和MP ＝PC 三种情况，①当MC ＝MP 时，则有t 2－6t ＋13＝|t ＋1|，解得t ＝32，此时M(2，32)；②当MC ＝PC 时，则有t 2－6t ＋13＝25，解得t ＝－1(与P 点重合，舍去)或t ＝7，此时M(2，7)；③当MP ＝PC 时，则有|t ＋1|＝25，解得t ＝－1＋25或t ＝－1－25，此时M(2，－1＋25)或(2，－1－25)；综上可知存在满足条件的点M ，其坐标为(2，32)或(2，7)或(2，－1＋25)或(2，－1－25)；(3)如解图，在0＜x ＜3对应的抛物线上任取一点E ，过E 作EF ⊥x 轴，交BC 于点F ，交x 轴于点D ，设E(x ，x 2－4x ＋3)，则F(x ，－x ＋3)， ∵0＜x ＜3，∴EF ＝－x ＋3－(x 2－4x ＋3)＝－x 2＋3x ，∴S △CBE ＝S △EFC ＋S △EFB ＝12EF·OD＋12EF·BD＝12EF·OB＝12×3(－x 2＋3x)＝－32(x －32)2＋278，∴当x ＝32时，△CBE 的面积最大，此时E 点坐标为(32，－34)，即当E 点坐标为(32，－34)时，△CBE 的面积最大.3．解：(1)∵A(1，0)，对称轴l 为x ＝－1，∴B(－3，0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b －3＝09a －3b －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝2， ∴抛物线的解析式为y ＝x 2＋2x －3； (2)如解图①，过点P 作PM ⊥x 轴于点M ，设抛物线对称轴l 交x 轴于点Q. ∵PB ⊥NB ，∴∠PBN ＝90°， ∴∠PBM ＋∠NBQ ＝90°.∵∠PMB ＝90°，∴∠PBM ＋∠BPM ＝90°， ∴∠BPM ＝∠NBQ.又∵∠BMP ＝∠BQN ＝90°，PB ＝NB ，∴△BPM ≌△NBQ ，∴PM ＝BQ.∵抛物线y ＝x 2＋2x －3与x 轴交于点A(1，0)和点B ，且对称轴为x ＝－1， ∴点B 的坐标为(－3，0)，点Q 的坐标为(－1，0)， ∴BQ ＝2，∴PM ＝BQ ＝2.∵点P 是抛物线y ＝x 2＋2x －3上B 、C 之间的一个动点， ∴结合图象可知点P 的纵坐标为－2，将y ＝－2代入y ＝x 2＋2x －3，得－2＝x 2＋2x －3， 解得x 1＝－1－2，x 2＝－1＋2(舍去)， ∴此时点P 的坐标为(－1－2，－2)； (3) 存在．如解图②，连接AC ，PC.可设点P 的坐标为(x ，y)(－3＜x ＜0)，则y ＝x 2＋2x －3， ∵点A(1，0)，∴OA ＝1.∵点C 是抛物线与y 轴的交点，∴令x ＝0，得y ＝－3，即点C(0，－3)，∴OC ＝3. 由(2)可知S四边形PBAC＝S △BPM ＋S四边形PMOC＋S △AOC ＝12BM·PM＋12(PM ＋OC)·OM＋12OA·OC＝12(x＋3)(－y)＋12(－y ＋3)(－x)＋12×1×3＝－32y －32x ＋32，将y ＝x 2＋2x －3代入可得S 四边形PBAC ＝－32(x 2＋2x －3)－32x ＋32＝－32(x ＋32)2＋758.∵－32＜0，－3＜x ＜0，∴当x ＝－32时，S 四边形PBAC 有最大值758，此时，y ＝x 2＋2x －3＝－154.∴当点P 的坐标为(－32，－154)时，四边形PBAC 的面积最大，最大值为758.4．解：(1)把y ＝0代入直线的解析式得x ＋1＝0，解得x ＝－1，∴A(－1，0)． ∵抛物线的对称轴为x ＝1，∴B 的坐标为(3，0)． 将x ＝0代入抛物线的解析式得y ＝－3，∴C(0，－3)．设抛物线的解析式为y ＝a(x ＋1)(x －3)，将C(0，－3)代入得－3a ＝－3，解得a ＝1， ∴抛物线的解析式为y ＝(x ＋1)(x －3)＝x 2－2x －3； (2)如解图①，连接OP.将x ＝0代入直线AD 的解析式得y ＝1，∴OD ＝1. 由题意可知P(t ，t 2－2t －3)． ∵S 四边形DCPB ＝S △ODB ＋S △OBP ＋S △OCP ，∴S ＝12×3×1＋12×3×(－t 2＋2t ＋3)＋12×3×t ，整理得S ＝－32t 2＋92t ＋6，配方得：S ＝－32(t －32)2＋758，∴当t ＝32时，S 取得最大值，最大值为758；(3)如解图②，设点D′的坐标为(a ，a ＋1)，O ′(a ，a)．当△D′O′E 的面积∶△D′EB′的面积＝1∶2时，则O′E∶EB ′＝1∶2. ∵O ′B ′＝OB ＝3，∴O ′E ＝1， ∴E(a ＋1，a)．将点E 的坐标代入抛物线的解析式得(a ＋1)2－2(a ＋1)－3＝a ，整理得：a 2－a －4＝0，解得a ＝1＋172或a ＝1－172，∴O ′的坐标为(1＋172，1＋172)或(1－172，1－172)，∴OO ′＝2＋342或OO′＝34－22， ∴△DOB 平移的距离为2＋342或34－22， 当△D′O′E 的面积∶△D ′EB ′的面积＝2∶1时，则O′E∶EB ′＝2∶1. ∵O ′B ′＝OB ＝3，∴O ′E ＝2，∴E(a ＋2，a)．将点E 的坐标代入抛物线的解析式得：(a ＋2)2－2(a ＋2)－3＝a ，整理得：a 2＋a －3＝0，解得a ＝－1＋132或a ＝－1－132.∴O ′的坐标为(－1＋132，－1＋132)或(－1－132，－1－132)．∴OO′＝－2＋262或OO′＝2＋262.∴△DOB 平移的距离为－2＋262或2＋262.综上所述，当△D′O′B′沿DA 方向平移2＋342或2＋262单位长度，或沿AD 方向平移34－22或－2＋262个单位长度时，ED ′恰好将△O′D′B′的面积分为1∶2两部分. 类型三 二次函数与线段问题1．(1)解：∵C(0，3)，∴－9a ＝3，解得a ＝－13.令y ＝0，得ax 2－23ax －9a ＝0，∵a ≠0，∴x 2－23x －9＝0，解得x ＝－3或x ＝3 3. ∴点A 的坐标为(－3，0)，点B 的坐标为(33，0)，∴抛物线的对称轴为x ＝3； (2)解：∵OA ＝3，OC ＝3， ∴tan ∠CAO ＝3，∴∠CAO ＝60°. ∵AE 为∠BAC 的平分线，∴∠DAO ＝30°， ∴DO ＝33AO ＝1，∴点D 的坐标为(0，1)， 设点P 的坐标为(3，a)．∴AD 2＝4，AP 2＝12＋a 2，DP 2＝3＋(a －1)2. 当AD ＝PA 时，4＝12＋a 2，方程无解．当AD ＝DP 时，4＝3＋(a －1)2，解得a ＝0或a ＝2， ∴点P 的坐标为(3，0)或(3，2)．当AP ＝DP 时，12＋a 2＝3＋(a －1)2，解得a ＝－4. ∴点P 的坐标为(3，－4)．综上所述，点P 的坐标为(3，0)或(3，－4)或(3，2);(3)证明：设直线AC 的解析式为y ＝mx ＋3，将点A 的坐标代入得－3m ＋3＝0，解得m ＝3，∴直线AC 的解析式为y ＝3x ＋3. 设直线MN 的解析式为y ＝kx ＋1.把y ＝0代入y ＝kx ＋1，得kx ＋1＝0，解得：x ＝－1k ，∴点N 的坐标为(－1k ，0)，∴AN ＝－1k ＋3＝3k －1k.将y ＝3x ＋3与y ＝kx ＋1联立，解得x ＝2k －3，∴点M 的横坐标为2k －3.如解图，过点M 作MG ⊥x 轴，垂足为G.则AG ＝2k －3＋ 3.∵∠MAG ＝60°，∠AGM ＝90°， ∴AM ＝2AG ＝4k －3＋23＝23k －2k －3.∴1AM ＋1AN ＝k －323k －2＋k 3k －1＝k －323k －2＋2k 23k －2＝3k －323k －2＝3（3k －1）2（3k －1）＝32. 2．解：(1)∵直线l ：y ＝34x ＋m 经过点B(0，－1)，∴m ＝－1，∴直线l 的解析式为y ＝34x －1，∵直线l ：y ＝34x －1经过点C ，且点C 的横坐标为4，∴y ＝34×4－1＝2，∵抛物线y ＝12x 2＋bx ＋c 经过点C(4，2)和点B(0，－1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧12×42＋4b ＋c ＝2c ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－54c ＝－1， ∴抛物线的解析式为y ＝12x 2－54x －1；(2)令y ＝0，则34x －1＝0，解得x ＝43，∴点A 的坐标为(43，0)，∴OA ＝43，在Rt △OAB 中，OB ＝1，∴AB ＝OA 2＋OB 2＝（43）2＋12＝53， ∵DE ∥y 轴，∴∠ABO ＝∠DEF ，在矩形DFEG 中，EF ＝DE·cos ∠DEF ＝DE·OB AB ＝35DE ，DF ＝DE·sin ∠DEF ＝DE·OA AB ＝45DE ，∴l ＝2(DF ＋EF)＝2×(45＋35)DE ＝145DE ，∵点D 的横坐标为t(0＜t ＜4)， ∴D(t ，12t 2－54t －1)，E(t ，34t －1)，∴DE ＝(34t －1)－(12t 2－54t －1)＝－12t 2＋2t ，∴l ＝145×(－12t 2＋2t)＝－75t 2＋285t ，∵l ＝－75(t －2)2＋285，且－75＜0，∴当t ＝2时，l 有最大值285；(3)“落点”的个数有4个，如解图①，解图②，解图③，解图④所示．如解图③，设A 1的横坐标为m ，则O 1的横坐标为m ＋43，∴12m 2－54m －1＝12(m ＋43)2－54(m ＋43)－1， 解得m ＝712，如解图④，设A 1的横坐标为m ，则B 1的横坐标为m ＋43，B 1的纵坐标比A 1的纵坐标大1，∴12m 2－54m －1＋1＝12(m ＋43)2－54(m ＋43)－1，解得m ＝43， ∴旋转180°时点A 1的横坐标为712或43.3．(1)解：将点A(－1，1)，B(4，6)代入y ＝ax 2＋bx 中， 得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝116a ＋4b ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12b ＝－12， ∴抛物线的解析式为y ＝12x 2－12x ；(2)证明：设直线AF 的解析式为y ＝kx ＋m ， 将点A(－1，1)代入y ＝kx ＋m 中，即－k ＋m ＝1， ∴k ＝m －1，∴直线AF 的解析式为y ＝(m －1)x ＋m. 联立直线AF 和抛物线解析式成方程组，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝（m －1）x ＋m y ＝12x 2－12x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－1y 1＝1，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2my 2＝2m 2－m ， ∴点G 的坐标为(2m ，2m 2－m)． ∵GH ⊥x 轴，∴点H 的坐标为(2m ，0)． ∵抛物线的解析式为y ＝12x 2－12x ＝12x(x －1)，∴点E 的坐标为(1，0)．设直线AE 的解析式为y ＝k 1x ＋b 1，将A(－1，1)，E(1，0)代入y ＝k 1x ＋b 1中，得⎩⎪⎨⎪⎧－k 1＋b 1＝1k 1＋b 1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝－12b 1＝12，∴直线AE 的解析式为y ＝－12x ＋12.设直线FH 的解析式为y ＝k 2x ＋b 2，将F(0，m)、H(2m ，0)代入y ＝k 2x ＋b 2中，得⎩⎪⎨⎪⎧b 2＝m 2mk 2＋b 2＝0，解得：⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝－12b 2＝m， ∴直线FH 的解析式为y ＝－12x ＋m.∴FH ∥AE ；(3)解：设直线AB 的解析式为y ＝k 0x ＋b 0，将A(－1，1)，B(4，6)代入y ＝k 0x ＋b 0中，⎩⎪⎨⎪⎧－k 0＋b 0＝14k 0＋b 0＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧k 0＝1b 0＝2， ∴直线AB 的解析式为y ＝x ＋2.当运动时间为t 秒时，点P 的坐标为(t －2，t)，点Q 的坐标为(t ，0)．当点M 在线段PQ 上时，过点P 作PP′⊥x 轴于点P′，过点M 作MM′⊥x 轴于点M′，则△PQP′∽△MQM′，如解图所示．∵QM ＝2PM ， ∴QM′QP′＝MM′PP′＝23，∴QM ′＝43，MM ′＝23t ，∴点M 的坐标为(t －43，23t)，又∵点M 在抛物线y ＝12x 2－12x 上，∴23t ＝12(t －43)2－12(t －43)， 解得t ＝15±1136，当点M 在线段QP 的延长线上时， 同理可得出点M 的坐标为(t －4，2t)， ∵点M 在抛物线y ＝12x 2－12x 上，∴2t ＝12×(t －4)2－12(t －4)，解得t ＝13±892.综上所述：当运动时间为15－1136秒、15＋1136秒、13－892秒或13＋892秒时，QM ＝2PM.类型四 二次函数与三角形相似 1．(1)解：∵顶点坐标为(1，1)， ∴设抛物线解析式为y ＝a(x －1)2＋1，又∵抛物线过原点，∴0＝a(0－1)2＋1，解得a ＝－1， ∴抛物线的解析式为y ＝－(x －1)2＋1，即y ＝－x 2＋2x ，联立抛物线和直线解析式可得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2＋2x y ＝x －2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝－3， ∴B(2，0)，C(－1，－3)；(2)证明：如解图，分别过A 、C 两点作x 轴的垂线，交x 轴于D 、E 两点， 则AD ＝OD ＝BD ＝1，BE ＝OB ＋OE ＝2＋1＝3，EC ＝3， ∴∠ABO ＝∠CBO ＝45°，即∠ABC ＝90°， ∴△ABC 是直角三角形；(3)解：假设存在满足条件的点N ，设N(x ，0)，则M(x ，－x 2＋2x)， ∴ON ＝|x|，MN ＝|－x 2＋2x|，由(2)在Rt △ABD 和Rt △CEB 中，可分别求得AB ＝2，BC ＝32， ∵MN ⊥x 轴于点N ∴∠MNO ＝∠ABC ＝90°，∴当△MNO 和△ABC 相似时有MN AB ＝ON BC 或MN BC ＝ONAB，①当MN AB ＝ON BC 时，则有|－x 2＋2x|2＝|x|32，即|x|×|－x ＋2|＝13|x|，∵当x ＝0时M 、O 、N 不能构成三角形， ∴x ≠0，∴|－x ＋2|＝13，即－x ＋2＝±13，解得x ＝53或x ＝73，此时N 点坐标为(53，0)或(73，0)，②当MN BC ＝ON AB 时，则有|－x 2＋2x|32＝|x|2，即|x|×|－x ＋2|＝3|x|，∴|－x ＋2|＝3，即－x ＋2＝±3，解得x ＝5或x ＝－1， 此时N 点坐标为(－1，0)或(5，0)，综上可知存在满足条件的N 点，其坐标为(53，0)或(73，0)或(－1，0)或(5，0).2．解：(1)把A 、C 两点坐标代入直线y ＝－ax ＋c 可得⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋c ＝0c ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－13c ＝1， ∴直线的表达式为y ＝13x ＋1，把A 点坐标和a ＝－13代入抛物线解析式可得9×(－13)－3b ＋1＝0，解得b ＝－23，∴抛物线的表达式为y ＝－13x 2－23x ＋1；(2)∵点D 为抛物线在第二象限部分上的一点，∴可设D(t ，－13t 2－23t ＋1)，则F(t ，13t ＋1)，∴DF ＝－13t 2－23t ＋1－(13t ＋1)＝－13t 2－t ＝－13(t ＋32)2＋34.∵－13＜0，∴当t ＝－32时，DF 有最大值，最大值为34，此时D 点坐标为(－32，54)；(3)设P(m ，－13m 2－23m ＋1)，如解图，∵P 在第四象限，∴m ＞0，－13m 2－23m ＋1＜0，∴AN ＝m ＋3，PN ＝13m 2＋23m －1，∵∠AOC ＝∠ANP ＝90°，∴当以P 、A 、N 为顶点的三角形与△ACO 相似时有△AOC ∽△PNA 和△AOC ∽△ANP ，①当△AOC ∽△PNA 时，则有OC NA ＝AO PN ，即1m ＋3＝313m 2＋23m －1，解得m ＝－3或m ＝10，经检验当m ＝－3时，m ＋3＝0(舍去)， ∴m ＝10，此时P 点坐标为(10，－39)；②当△AOC ∽△ANP 时，则有OC NP ＝AO AN ，即113m 2＋23m －1＝3m ＋3，解得m ＝2或m ＝－3，经检验当m ＝－3时，m ＋3＝0(舍去)， ∴m ＝2，此时P 点坐标为(2，－53)；综上可知P 点坐标为(10，－39)或(2，－53).3．解：(1)将A 、G 点坐标代入函数解析式，得⎩⎨⎧9a ＋3b ＋33＝0，a －b ＋33＝0，解得⎩⎨⎧a ＝－3b ＝23，∴抛物线的解析式为y ＝－3x 2＋23x ＋33； (2)如解图①，作ME ∥y 轴交AB 于E 点， 当x ＝0时，y ＝33，即B 点坐标为(0，33)， 直线AB 的解析式为y ＝－3x ＋33，设M(n ，－3n 2＋23n ＋33)，E(n ，－3n ＋33)， ME ＝－3n 2＋23n ＋33－(－3n ＋33)＝－3n 2＋33n ， S △ABM ＝12ME·AO＝12(－3n 2＋33n)×3＝－332(n －32)2＋2738，当n ＝32时，△ABM 面积的最大值是2738；(3)存在；理由如下：OE ＝233，AP ＝2，OP ＝1，BE ＝33－233＝733，当y ＝233时，－3x ＋33＝233，解得x ＝73，即EF ＝73，将△BEP 绕点E 顺时针方向旋转90°，得到△B′EC(如解图②)， ∵OB ⊥EF ，∴点B′在直线EF 上，∵C 点横坐标绝对值等于EO 长度，C 点纵坐标绝对值等于EO －PO 长度， ∴C 点坐标为(－233，233－1)，如解图，过F 作FQ ∥B′C，交EC 于点Q ， 则△FEQ ∽△B′EC，由BE EF ＝B′E EF ＝CEEQ ＝3，可得Q 的坐标为(－23，－33)；根据对称性可得，Q 关于直线EF 的对称点Q′(－23，533)也符合条件.4．解：(1)∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋3经过点A(1，0)和点B(5，0)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋3＝025a ＋5b ＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝35b ＝－185， ∴该抛物线对应的函数解析式为y ＝35x 2－185x ＋3；(2)①∵点P 是抛物线上的动点且位于x 轴下方，∴可设P(t ，35t 2－185t ＋3)(1＜t ＜5)，∵直线PM ∥y 轴，分别与x 轴和直线CD 交于点M 、N ， ∴M(t ，0)，N(t ，35t ＋3)，∴PN ＝35t ＋3－(35t 2－185t ＋3)＝－35(t －72)2＋14720，联立直线CD 与抛物线解析式可得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝35x ＋3y ＝35x 2－185x ＋3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7y ＝365，∴C(0，3)，D(7，365)，分别过C 、D 作直线PN 的垂线，垂足分别为E 、F ，如解图①，则CE ＝t ，DF ＝7－t ，∴S △PCD ＝S △P ＋S △PDN ＝12PN·CE＋12PN·DF＝72PN ＝72[－35(t －72)2＋14720]＝－2110(t －72)2＋102940， ∴当t ＝72时，△PCD 的面积最大，最大值为102940；②存在．∵∠CQN ＝∠PMB ＝90°， ∴当△Q 与△PBM 相似时，有NQ CQ ＝PM BM 或NQ CQ ＝BMPM两种情况， ∵CQ ⊥PN ，垂足为Q ，∴Q(t ，3)，且C(0，3)，N(t ，35t ＋3)，∴CQ ＝t ，NQ ＝35t ＋3－3＝35t ，∴NQ CQ ＝35，∵P(t ，35t 2－185t ＋3)，M(t ，0)，B(5，0)，∴BM ＝5－t ，PM ＝0－(35t 2－185t ＋3)＝－35t 2＋185t －3，当NQ CQ ＝PM BM 时，则PM ＝35BM ，即－35t 2＋185t －3＝35(5－t)，解得t ＝2或t ＝5(舍去)，此时P(2，－95)；当NQ CQ ＝BM PM 时，则BM ＝35PM ，即5－t ＝35(－35t 2＋185t －3)，解得t ＝349或t ＝5(舍去)，此时P(349，－5527)；综上可知存在满足条件的点P ，其坐标为(2，－95)或(349，－5527).。
安徽省2017年中考数学总复习第二轮中考题型专题复习二解答题专题学习突破专题复习(一)数
专题复习（一）数与式的运算类型1实数的运算1 . （2016 •阜阳模拟）计算:解：原式=一 4+ 2— 1 = — 3.2 . (2016 •邵阳)计算：(一2)2 + 2COS 60°— (10— n )°. 1解：原式=4 + 2X ^— 1 = 4 + 1 — 1 = 4.3. (2016 •滁州模拟)计算：(—.3)2 + | — 4| X2 — 1— ( 2— 1)0.1解：原式=3 + 4X ^— 1 = 4.4. (2016 •马鞍山模拟)计算：—22+ | — 3| + 2sin 60°— ；12. 解：原式=—4 +3+ 2X #— 2 3=—4. 2(x + 3) ( x — 3)2x —.2 （2016 •宜宾）计算: 解答题专题学习突破12X - 3 + 8X2 k 3丿 -2 2-(-1).6. (2016 •广安)计算:1—.27+ tan 60°+ | 3 — 2 3| .解：原式=3 — 3 3 +3 — 3+ 2 3= 0.类型2整式的运算—25 + ( 解：原式=9— 1 — 5+ 1 = 4. —1)7 •计算：(x — 3)(3 + x) — (x + x — 1).2 2解：原式=x — 9 — x — x + 1=—x — 8.8 .化简：a(2 — a) — (3 + a) • (3 — a).2 2解：原式=2a — a — (9 — a)=2a — 9.9. (2016 •马鞍山模拟)计算：(x + 3)(x — 5) — x(x — 2).2 2解：原式=x — 5x + 3x — 15 — x + 2x =— 15.10 . (2016 •茂名)先化简，再求值：x(x — 2) + (x + 1)，其中x = 1. 解：原式=x * 3— 2x + x 2+ 2x + 1= 2x 2+ 1.当x = 1时，原式=2+ 1= 3.2 1 11 . (2016 •衡阳)先化简，再求值：(a + b)(a — b) + (a + b),其中 a =— 1, b =-. 解：原式=a 2— b 2+ a 2+ 2ab + b 2= 2a 2 + 2ab.1 2 1 当 a =— 1, b = §时，原式=2X ( — 1)2+ 2X ( — 1) x 2= 2 — 1= 1.类型3分式的化简与求值|'X+ 1 x12 . (2016 •宿州模拟)化简： ——x —• (x — 1)x 2— 1x 2 2解：原式=[ —]• (x — 1)x (x — 1) x (x —1 ) —1 ,八 2= • (x — 1)x (x — 1 ) ' ' 13 . （2016 •甘孜州）化简：字9+ 士 x 9 x 3x + 3 _____ x + 3(x + 3) ( x — 3) ( x + 3)( x — 3)2 (x + 3)=(a + 1)解：原式= 1-占，其中a = 0.2(a —1) 亠a+ 1 — 3 解：原式=(a+ 1)( a—1)2 2a + 1a 解：原式=2— 2 (a + 1) (a + 1) 12X — X - — ，其中x 是从1 , 2, 3中选取的一个合适的数. x — 6x + 9x (x — 1) x (x — 3) 2 x — 3'当x = 1, 3时原方程无意义.当x = 2时，原式一2—5=— 2.a (a + 1) . 2a —( a — 1) (a — 1) 2 ' a (a — 1)a (a + 1) a ( a — 1) 2・ (a — 1) a + 12 a a — 1.2 由 2x + x — 3— 0,得 X 1 = 1 , 又 a — 1工0,即卩 1,「. a = — |.18 . （2016 •河南）先化简，再求值： 丘—4 ―x w 1x 的值从不等式组£ '的整数解中选取.2x — 1<4当 a = 2—1 时，原式=(2—1 +1) 2(a — 1) a + 1 (a + 1)( a - 1) a —2 a — 1 a —2 当a = 0时, a — 1 _ 1 a —2 = 2.15. （2016 •淮北模拟）先化简，再求值:a _ (a +1) 2，其中 a = 2— 1. 17 . （2016 •枣庄）先化简，再求值: 2a — 2a + 1 2a 是方程2x + x — 3 - 0的解.原式= 9_ 10.16 . （2016 •娄底）先化简，再求值： 1解：原式= x — 3 x — 解：原式= X 2=_，其中x 2— 1 2 x + 2x + 122解：原式— 2x — x — x (X + 1 )X (x + 1) ( x — 1)( X — 1)x x + 1__ ■ ♦-----x + 1 x —1x=1 —x.—x w 1, 5解不等式组* 得—1W X<£,2x—1<4 2当x=—1, 0, 1时，原方程无意义.2当x= 2 时，原式= 1 —2 =—2.2a—2a+114 . （2016 •宣城模拟）先化简，再求值：a2—1—。
安徽省2017年中考数学总复习 第二轮 中考题型专题复习二 解答题专题学习突破 专题复习(九)
专题复习(九) 函数的图象与性质类型1 一次函数与反比例函数的图象综合题1．(2016·合肥瑶海区模拟)已知A(1，m)，B(n ，1)，直线l 过A ，B 两点，其解析式为y ＝－x ＋b. (1)当b ＝5时，求m ，n 的值；(2)在(1)的条件下，若此时双曲线y ＝k x (x>0)也过A ，B 两点，求关于x 的方程x 2－bx ＋k ＝0的解．解：(1)当b ＝5时，y ＝－x ＋5；当x ＝1时，y ＝4；当y ＝1时，x ＝4，即m ＝4，n ＝4.(2)根据题意，得k ＝4，方程为x 2－5x ＋4＝0，解得x 1＝4，x 2＝1.2．(2016·安徽模拟)已知，如图所示，一次函数y ＝x 与反比例函数y 1＝kx 交于点C(3，n)，直线AB 交y 轴于点B(0，2)，交反比例函数y 1＝kx 于点A(m ，3)，求：(1)直线AB 的解析式y 2＝ax ＋b 和k 的值；(2)在x>0范围内，结合图象求不等式ax ＋b≥kx的解集．解：(1)∵点C(3，n)在一次函数y ＝x 图象上，∴n ＝ 3. ∴C(3，3)．又∵反比例函数y 1＝kx图象经过点C ，∴k ＝3.又∵A(m，3)在反比例函数y 1＝k x 图象上，∴3＝3m .∴m＝1.∴A(1，3)．又∵直线y 2＝ax ＋b 经过A(1，3)，B(0，2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝3，b ＝2.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2. ∴直线AB 的解析式为y 2＝x ＋2.(2)由图象可知，在第一象限内，当x≥1时，y 2≥y 1. ∴不等式ax ＋b≥kx的解集为x≥1.3．(2016·威海)如图，反比例函数y ＝mx 的图象与一次函数y ＝kx ＋b 的图象交于A ，B 两点，点A 的坐标为(2，6)，点B 的坐标为(n ，1)．(1)求反比例函数与一次函数的表达式；(2)点E 为y 轴上一个动点，若S △AEB ＝5，求点E 的坐标． 解：(1)把点A(2，6)代入y ＝mx，得m ＝12.则所求反比例函数的表达式为y ＝12x .把点B(n ，1)代入y ＝12x ，得n ＝12，则点B 的坐标为(12，1)．由直线y ＝kx ＋b 过点A(2，6)，点B(12，1)，得⎩⎪⎨⎪⎧2k ＋b ＝6，12k ＋b ＝1.解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－12，b ＝7.则所求一次函数的表达式为y ＝－12x ＋7.(2)设直线AB 与y 轴的交点为P ，设点E 的坐标为(0，m)，连接AE ，BE ，则点P 的坐标为(0，7)． ∴PE ＝|m －7|.∵S △AEB ＝S △BEP －S △AEP ＝5，∴12×|m－7|×(12－2)＝5.∴|m －7|＝1. ∴m 1＝6，m 2＝8.∴点E 的坐标为(0，6)或(0，8)．4．(2016·乐山)如图，反比例函数y ＝k x 与一次函数y ＝ax ＋b 的图象交于点A(2，2)，B(12，n)．(1)求这两个函数的解析式；(2)将一次函数y ＝ax ＋b 的图象沿y 轴向下平移m 个单位，使平移后的图象与反比例函数y ＝kx 的图象有且只有一个交点，求m 的值．解：(1)∵A(2，2)在反比例函数y ＝kx 的图象上，∴k ＝4.∴反比例函数的解析式为y ＝4x.又∵B(12，n)在反比例函数y ＝4x 的图象上，∴12n ＝4，解得n ＝8.由A(2，2)，B(12，8)在一次函数y ＝ax ＋b 的图象上，得⎩⎪⎨⎪⎧2＝2a ＋b ，8＝12a ＋b. 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝10.∴一次函数的解析式为y ＝－4x ＋10.(2)将直线y ＝－4x ＋10向下平移m 个单位得直线的解析式为y ＝－4x ＋10－m. ∵直线y ＝－4x ＋10－m 与双曲线y ＝4x 有且只有一个交点，令－4x ＋10－m ＝4x ，得4x 2＋(m －10)x ＋4＝0.∴Δ＝(m －10)2－64＝0，解得m ＝2或18.5．(2016·宿州灵璧县一模)已知反比例函数y ＝m －8x (m 为常数)的图象经过点A(－1，6)．(1)求m 的值；(2)如图，过点A 作直线AC 与函数y ＝m －8x的图象交于点B ，与x 轴交于点C ，且A B ＝2BC ，求点C 的坐标．解：(1)∵反比例函数图象过点A(－1，6)， ∴m －8－1＝6，解得m ＝2. 故m 的值为2.(2)分别过点A ，B 作x 轴的垂线，垂足分别为点E ，D. 由题意，得AE ＝6，OE ＝1.∵BD ⊥x 轴，AE ⊥x 轴，∴AE ∥BD. ∴△CBD ∽△CAE.∴CB CA ＝BDAE.∵AB ＝2BC ，∴CB CA ＝13.∴13＝BD6，即BD ＝2.∴点B 的纵坐标为2.当y ＝2时，x ＝－3，即B(－3，2)． 设直线AB 解析式为y ＝kx ＋b ，把A 和B 坐标代入，得⎩⎪⎨⎪⎧－k ＋b ＝6，－3k ＋b ＝2.解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，b ＝8.∴直线AB 解析式为y ＝2x ＋8.令y ＝0，解得x ＝－4. ∴C(－4，0)．类型2 求二次函数的解析式6．(2016·安徽模拟)二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图象经过点(4，3)，(3，0)，求函数表达式，并求出当0≤x≤3时，y 的最大值．解：∵二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图象经过点(4，3)，(3，0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧16＋4b ＋c ＝3，9＋3b ＋c ＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－4，c ＝3. ∴函数表达式为y ＝x 2－4x ＋3. y ＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1. ∴当x ＝0时，y 有最大值是3.7．已知二次函数的图象过点(0，3)，顶点坐标为(－4，11)． (1)求这个二次函数的关系式；(2)求这个二次函数图象与x 轴交点坐标．解：(1)根据题意，可设该二次函数关系式为y ＝a(x ＋4)2＋11，将(0，3)代入上式可得16a ＋11＝3，解得a ＝－12，故这个二次函数关系式为y ＝－12(x ＋4)2＋11.(2)在函数y ＝－12(x ＋4)2＋11中，令y ＝0，得－12(x ＋4)2＋11＝0，解得x 1＝－4＋22，x 2＝－4－22，故这个二次函数图象与x 轴交点坐标为(－4＋22，0)，(－4－22，0)．8．如图，抛物线y ＝ax 2＋2x ＋c 经过点A(0，3)，B(－1，0)，请解答下列问题：(1)求抛物线的解析式；(2)抛物线的顶点为点D ，对称轴与x 轴交于点E ，连接BD ，求BD 的长．解：(1)把点A(0，3)，B(－1，0)代入抛物线y ＝ax 2＋2x ＋c ，得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝3，a －2＋c ＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，c ＝3. ∴抛物线的解析式为y ＝－x 2＋2x ＋3.(2)y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4，顶点D 的坐标为(1，4)，点E 坐标为(1，0)，∴BE ＝2，DE ＝4. ∴BD ＝DE 2＋BE 2＝42＋22＝2 5.9．如图，二次函数的图象与x 轴交于A(－3，0)和B(1，0)两点，交y 轴于点C(0，3)，点C ，D 是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B ，D. (1)请直接写出D 点坐标； (2)求二次函数的解析式；(3)根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x 的取值范围．解：(1)∵二次函数的图象与x 轴交于A(－3，0)和B(1，0)两点， ∴对称轴是x ＝－3＋12＝－1.又∵点C(0，3)，点C ，D 是二次函数图象上的一对对称点，∴D(－2，3)．(2)设二次函数的解析式为y ＝a(x ＋3)(x －1)(a≠0)，将C(0，3)代入，得3＝a×3×(－1)， 解得a ＝－1.∴二次函数的解析式为y ＝－(x ＋3)(x －1)．即y ＝－x 2－2x ＋3.(3)一次函数值大于二次函数值的x 的取值范围是x ＜－2或x ＞1.类型3 二次函数的图象与性质的综合题10．(2016·安徽中考信息交流卷二)如图，直线y ＝－2x ＋4与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，把△AOB 绕着点O 逆时针旋转90°得到△OCD.(1)请直接写出C ，D 两点的坐标；(2)求出经过A ，B ，C 三点的抛物线的解析式；(3)点P 是(2)中抛物线对称轴上的一个动点，当△PAB 的周长最小时，求点P 的坐标．解：(1)∵直线y ＝－2x ＋4与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点， ∴当x ＝0时，y ＝4，则B(0，4)； 当y ＝0，x ＝2，则A(2，0)．∵把△AOB 绕着点O 逆时针旋转90°得到△COD，∴C(－4，0)，D(0，2)．(2)∵抛物线与x 轴交点为C(－4，0)，A(2，0)，∴设抛物线解析式为y ＝a(x ＋4)(x －2)． 把点B(0，4)代入，得－8a ＝4. 解得a ＝－12.故抛物线解析式为y ＝－12(x ＋4)(x －2)＝－12x 2－x ＋4.(3)∵y＝－12x 2－x ＋4＝－12(x ＋1)2＋92，连接BC ，交对称轴于点P ，此时，△PAB 的周长最小，设直线BC 的解析式为y ＝kx ＋b.则⎩⎪⎨⎪⎧b ＝4，－4k ＋b ＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，b ＝4.故直线BC 的解析式为y ＝x ＋4. 当x ＝－1时，y ＝3， 故P(－1，3)．11．已知抛物线y ＝x 2－2mx ＋3m 2＋2m.(1)若抛物线经过原点，求m 的值及顶点坐标，并判断抛物线顶点是否在第三象限的平分线所在的直线上；(2)是否无论m 取何实数值，抛物线顶点一定不在第四象限？说明理由；当实数m 变化时，列出抛物线顶点的纵、横坐标之间的函数关系式，并求出该函数的最小函数值．解：∵y＝x 2－2mx ＋3m 2＋2m ＝(x －m)2＋2m 2＋2m ，∴抛物线顶点为(m ，2m 2＋2m)． (1)将(0，0)代入抛物线解析式中， 解得m ＝0或m ＝－23.当m ＝0时，顶点坐标为(0，0)； 当m ＝－23时，顶点坐标为(－23，－49)．∵第三象限的平分线所在的直线为y ＝x ， ∴(0，0)在该直线上，(－23，－49)不在该直线上．(2)∵抛物线顶点为(m ，2m 2＋2m)．∴①当m>0时，2m 2＋2m>0，此时抛物线顶点在第一象限；②当m ＝0时，2m 2＋2m ＝0，此时抛物线的顶点在原点；③当m<0时，若2m 2＋2m>0，则顶点坐标在第二象限；若2m 2＋2m<0，则顶点坐标在第三象限， ∴无论m 为何实数值，抛物线的顶点一定不在第四象限．设顶点横坐标为m ，纵坐标为n ，则n ＝2m 2＋2m ， ∵n ＝2m 2＋2m ＝2(m ＋12)2－12，∴当m ＝－12时，n 有最小值－12.12．(2016·芜湖南陵县模拟)如图，抛物线y ＝ax 2＋bx －4a 经过A(－1，0)，C(0，4)两点，与x 轴交于另一点B.(1)求抛物线的解析式，并直接写出B 点的坐标；(2)已知点D(m ，m ＋1)在第一象限的抛物线上，求点D 关于直线BC 对称的点的坐标； (3)在(2)的条件下，连接BD ，点P 为抛物线上一点，且∠DBP＝45°，求点P 的坐标．解：(1)抛物线y ＝ax 2＋bx －4a 经过A(－1，0)，C(0，4)两点，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －b －4a ＝0，－4a ＝4.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3.∴抛物线的解析式为y ＝－x 2＋3x ＋4.令y ＝－x 2＋3x ＋4＝0，得x 1＝－1，x 2＝4. ∴B 点的坐标是(4，0)．(2)∵点D(m ，m ＋1)在抛物线上，∴m ＋1＝－m 2＋3m ＋4，即m 2－2m －3＝0. ∴m ＝－1或m ＝3.∵点D 在第一象限，∴点D 的坐标为(3，4)． 由(1)知OC ＝OB. ∴∠CBA ＝45°.设点D 关于直线BC 的对称点为点E ，连接DE. ∵C(0，4)，∴CD ∥AB ，且CD ＝3. ∴∠ECB＝∠DCB＝45°.∴E 点在y 轴上，且CE ＝CD ＝3. ∴OE ＝1.∴E(0，1)．∴点D 关于直线BC 对称的点的坐标为(0，1)．(3)如备用图，过点P 作PF⊥AB 于点F ，过点D 作DG⊥BC 于点G. 由(1)有OB ＝OC ＝4，∴∠OBC ＝45°. ∵∠DBP ＝45°，∴∠CBD ＝∠PBA.∵C(0，4)，D(3，4)，∴CD ∥OB 且CD ＝3. ∴∠DCG ＝∠CBO＝45°. ∴DG ＝CG ＝322.∵OB ＝OC ＝4，∴BC ＝4 2. ∴BG ＝BC －CG ＝522.∴tan ∠PBF ＝tan ∠CBD ＝DG BG ＝35.设PF ＝3t ，则BF ＝5t ， ∴OF ＝5t －4.∵P 点在抛物线上．∴3t ＝－(－5t ＋4)2＋3(－5t ＋4)＋4. ∴t ＝0(舍去)或t ＝2225.∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－25，6625. 13．(2016· 桐城三校联考试题)如图，在平面直角坐标系xOy 中，矩形ABCD 的边AB 在x 轴上，且AB ＝3，BC ＝23，直线y ＝3x －23经过点C ，交y 轴于点G.(1)点C ，D 的坐标分别是(2)求顶点在直线y ＝3x C ，D 的抛物线的解析式；(3)将(2)中的抛物23平移，平移后的抛物线交y 轴于点F ，顶点为点E(顶点在y 轴右侧)．平移后是否存在这样的抛物线，使△EFG 为等腰三角形？若存在，请求出此时抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．解：(2)由二次函数对称性得，顶点横坐标为1＋42＝52.令x ＝52，则y ＝3×52－23＝32.∴顶点坐标为(52，32)．设抛物线解析式为y ＝a(x －52)2＋32.把点D(1，23)代入，得a ＝233.∴解析式为y ＝233(x －52)2＋32.(3)设顶点E 在直线上运动的横坐标为m ，则E(m ，3m －23)(m>0)． 设抛物线解析式为y ＝233(x －m)2＋3m －2 3.①当FG ＝EG 时，FG ＝EG ＝2m ，则F(0，2m －23)，代入解析式，得233m 2＋3m －23＝2m －23，解得m 1＝0(舍去)，m 2＝3－32.∴所求的解析式为y ＝233(x －3＋32)2＋3－732；②当GE ＝EF 时，FG ＝23m ，则F(0，23m －23)，代入解析式，得 233m 2＋3m －23＝23m －23，解得m 1＝0(舍去)，m 2＝32. ∴所求的解析式为y ＝233(x －32)2－32；③当FG ＝FE 时，不存在．综上所述，平移后存在抛物线，使△EFG 为等腰三角形，此时抛物线的解析式为y ＝233(x －3＋32)2＋3－732或y＝233(x －32)2－32.。
安徽省2017年中考数学总复习 第二轮 中考题型专题复习一 选填题重难点题型突破 重难点题型(二)多
类型2 几何问题的多结论判断题10．(2016·临沂)如图，将等边△ABC 绕点C 顺时针旋转120°得到△EDC，连接AD ，BD ，则下列结论： ①AC ＝AD ；②BD⊥AC；③四边形ACED 是菱形．其中正确的个数是(D )A ．0B ．1C ．2D ．311．(2016·南充)如图，正五边形的边长为2，连接对角线AD ，BE ，CE ，线段AD 分别与BE 和CE 相交于点M ，N ，给出下列结论：①∠AME＝108°；②AN 2＝AM·AD；③MN＝3－5；④S △EBC ＝25－1.其中正确结论的个数是(C ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4提示：根据正五边形的性质得到∠ABE＝∠AEB＝∠EAD＝36°，根据三角形的内角和即可得到结论；由于∠AEN ＝108°－36°＝72°，∠ANE ＝36°＋36°＝72°得到∠AEN＝∠ANE，根据等腰三角形的判定定理得到AE ＝AN ，同理DE ＝DM ，根据相似三角形的性质得到AE AD ＝AM AE ，等量代换得到AN 2＝AM·AD；根据AE 2＝AM·AD，列方程得到MN ＝3－5；过E 作EH⊥BC 于点H ，在正五边形ABCDE 中，由于BE ＝CE ＝AD ＝1＋5，得到BH ＝12BC ＝1，根据勾股定理得到EH ＝（1＋5）2－12＝5＋25，根据三角形的面积得到结论．12．(2016·德州)在矩形ABCD 中，AD ＝2AB ＝4，E 是AD 的中点，一块足够大的三角板的直角顶点与点E 重合，将三角板绕点E 旋转，三角板的两直角边分别交AB ，BC(或它们的延长线)于点M ，N ，设∠AEM＝α(0°＜α＜90°)，给出下列四个结论：①AM＝CN ；②∠AME＝∠BNE；③BN －AM ＝2；④S △EMN ＝2cos 2α.上述结论中正确的个数是(C )A ．1B ．2C ．3D ．4提示：①作辅助线EF⊥BC 于点F ，然后证明Rt △AME ≌Rt △FNE ，从而求出AM ＝FN ，所以BM 与CN 的长度相等； ②由①Rt △AME ≌Rt △FNE ，即可得到结论正确；③经过简单的计算得到BN －AM ＝BC －CN －AM ＝BC －BM －AM ＝BC －(BM ＋AM)＝BC －AB ＝4－2＝2；④根据S △EMN ＝S 四边形ABNE －S △AME －S △MBN ，再利用线段间的转换即可得证．13．(2016·合肥蜀山区二模)如图，D ，E 分别是△ABC 的边BC ，AB 上的点，△ABD 与△ACD 的周长相等，△CAE 与△CBE 的周长相等．设BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c.给出以下几个结论：①如果AD 是BC 边中线，那么CE 是AB 边中线；②AE 的长度为c ＋a －b 2；③BD 的长度为b ＋a －c 2； ④若∠BAC＝90°，△ABC 的面积为S ，则S ＝AE·BD ，其中正确的结论是②③④．(将正确结论的序号都填上)提示：由中线的定义，可得到AB ＝AC ，但AB ＝AC 时未必有AC ＝BC ，可判断①；△ABD 与△ACD 的周长相等，我们2 可得出：AB ＋BD ＝AC ＋CD ，等式的左右边正好是三角形ABC 周长的一半，有AB ，AC 的值，那么就能求出BD 的长了，同理可求出AE 的长，可判断②③；把AE 和BD 代入计算，结合勾股定理可求得S ，可判断④；则可得出答案．14．(2016·安徽十校联考四模)如图，在正方形ABCD 中，以AB 为直径作半圆，点P 是CD 中点，BP 与半圆交于点Q ，连接DQ.给出如下结论：①DQ 与半圆O 相切；②PQ BQ ＝43； ③∠ADQ ＝2∠CBP；④cos ∠CDQ ＝35. 其中正确的是__①③__(请将正确结论的序号填在横线上)．提示：①连接OD ，OQ ，证明△AOD 与△QOD 全等即可；②连接AQ ，借助三角函数和勾股定理求出PQ ，BQ 的长度即可求解；③借助①②的相关结论，结合三角形外角的性质和同角的余角(补角)相等即可求解；④过点Q 作QH⊥CD，垂足为H ，求出三角形DQH 的三边长度即可确定相关的三角函数．15．(2016·濉溪一模)如图，在正方形纸片ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，折叠正方形纸片ABCD ，使AD 落在BD 上，点A 恰好与BD 上的点F 重合，展开后，折痕DE 分别交AB ，AC 于点E ，G.连接GF ，下列结论：①∠AGD ＝112.5°；②tan ∠AED ＝2＋1；③S △AGD ＝2S △OGD ；④四边形AEFG 是菱形；⑤BE＝2OG. 其中正确结论的序号是①②③④⑤(在横线上填上你认为所有正确结论的序号)．提示：①根据折叠的性质得出∠ADG＝∠ODG，再在△AGD 中用三角形的内角和即可求出∠AGD 的度数；②设AE ＝x ，则BE ＝2x ，∴AD ＝AB ＝x ＋2x ＝(1＋2)x ，∴tan ∠AED ＝AD AE ＝2＋1； ③设GF ＝AE ＝1，由②可知AD ＝2＋1，根据等腰直角三角形的性质求得OD 和OF ，由△OGD 与△FGD 同高，根据同高三角形面积的比等于对应底的比，即可求得S △FGD ＝2S △OGD ，根据△FGD≌△AGD，得出S △AGD ＝2S △OGD ； ④根据同位角相等得到EF∥AC，GF ∥AB ，由折叠的性质得出AE ＝EF ，即可判定四边形AEFG 是菱形；⑤通过△DEF∽△DOG 得出EF 和OG 的比例关系，再在Rt △BEF 中求出BE 和EF 的关系，进而求出BE 和OG 的关系．。