8.3空间点、线、面之间的位置关系

(1)求证：E，F，G，H 四点共面； (2)设 EG 与 FH 交于点 P，求证：P，A，C 三点共线．
证明：(1)因为 E，F 分别为 AB，AD 的中点， 所以 EF∥BD. BG DH 1 在△BCD 中，因为 ＝ ＝ ， GC HC 2 所以 GH∥BD，所以 EF∥GH. 所以 E，F，G，H 四点共面． (2)因为 EG∩FH＝P，P∈EG，EG⊂平面 ABC， 所以 P∈平面 ABC.同理 P∈平面 ADC. 所以 P 为平面 ABC 与平面 ADC 的公共点． 又平面 ABC∩平面 ADC＝AC， 所以 P∈AC，即 P，A，C 三点共线．
自查自纠： 1．(1)两点 直线在平面内 (2)不在一条直线 (3)有且只有一条 2．(1)一个公共点 没有公共点 没有公共点 π (2)③ 0，2 互相垂直 异面垂直 3．同一条直线 4．相等或互补
给出下列命题： ①经过三点确定一个平面； ②梯形可以确定一个平面； ③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面； ④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合． 其中正确命题的个数是( ) A．0 B．1 C．2 D．3
解：经过不共线的三点可以确定一个平面，①错误；两条平 行线可以确定一个平面，②正确；两两相交的三条直线可以确定 一个或三个平面， ③正确； 命题④中没有说明三个交点是否共线， 这两个平面可能相交或重合，④错误．故选 C.
(2015·广东)若直线 l1 和 l2 是异面直线， l1 在平面 α 内， l2 在平面 β 内，l 是平面 α 与平面 β 的交线，则下列命题正确的 是( ) A．l 与 l1，l2 都不相交 B．l 与 l1，l2 都相交 C．l 至多与 l1，l2 中的一条相交 D．l 至少与 l1，l2 中的一条相交
③异面直线所成的角：已知两条异面直线 a，b，经过 空间任一点 O 作直线 a′∥a，b′∥b，把 a′与 b′所成 的锐角(或直角)叫做异面直线 a 与 b 所成的角(或夹角)． 异 面直线所成角的范围是____________．若两条异面直线所 成的角是直角，则称两条异面直线__________，所以空间 两条直线垂直分为相交垂直和__________． 3．平行公理 公理 4： 平行于____________的两条直线互相平行(空 间平行线的传递性)． 它给出了判断空间两条直线平行的依 据． 4．等角定理 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行， 那么这两个角____________．
类型三
共面问题
如图，四边形 ABEF 和 ABCD 都是直角梯形， 1 1 ∠BAD＝∠FAB＝90°，BC 綊 AD，BE 綊 FA，G，H 分别 2 2 为 FA，FD 的中点．
(1)证明：四边形 BCHG 是平行四边形； (2)C，D，F，E 四点是否共面？为什么？
解：(1)证明：因为 GH 是△AFD 的中位线，所以 GH 1 1 綊 AD.又 BC 綊 AD，所以 GH 綊 BC，所以四边形 BCHG 2 2 为平行四边形． (2)C，D，F，E 四点共面． 1 理由：BE 綊 AF，又由 G 为 FA 的中点知，BE 綊 FG， 2 所以四边形 BEFG 为平行四边形， 所以 EF∥BG.由(1)知 BG∥CH，所以 EF∥CH， 所以 EF 与 CH 共面．又 D∈FH，所以 C，D，F，E 四 点共面．
解：可用反证法，假设 l 与 l1，l2 都不相交，因为 l 与 l1 都在平面 α 内， 于是 l∥l1， 同理 l∥l2， 于是 l1∥l2 与已知矛盾．故选 D.
若点 P∈α，Q∈α，R∈β，α∩β＝m，且 R∉m，PQ ∩m＝M， 过 P， Q， R 三点确定一个平面 γ， 则 β∩γ 是( ) A．直线 QR B．直线 PR C．直线 RM D．以上均不正确
点拨： 本题难度不大，但比较灵活．解题关键在于构造平面，可 考虑过一条直线及另一条直线上的一点作平面， 进而找出与三 条异面直线都相交的直线．解决点、线、面位置关系问题可借 助平面、立体(长方体、正方体)模型，有利于我们看清问题．
一个正方体的展开图如图所示，A，B，C，D 为原正方体的顶点，则在原来的正方体中( )
解：如图，
在平面 α 内过点 C 作 CE∥AB，并取 CE＝1，在平面 β 内过点 C 作 CF⊥l，并取 CF＝1，过点 F 作 FD∥l，则易知△CFD 为等腰 直角三角形．∠ECF＝60°，所以 EF＝1，CD＝ 2，所以∠EFD ＝90°，DE＝ 2.于是∠ECD 为异面直线 AB 与 CD 所成的角或其 2 2 2 2 2 2 CE ＋CD －ED 1 ＋（ 2） －（ 2） 2 补角， 故 cos∠ECD＝ ＝ ＝ . 2CE·CD 4 2×1× 2 故选 B.
解：连接 DF，则 AE∥DF， 所以∠D1FD 即为异面直线 AE 与 D1F 所成的角． 设正方体 的棱长为 a， 5 则 D1D＝a，DF＝D1F＝ a， 2
cos∠D1FD＝
5 2 5 2 2 a ＋ a －a 3 2 2
5 5 2· a· a 2 2
3 ＝ .故填 . 5 5
点拨： (1)证明四点共面的基本思路： 一是直接证明， 即利 用公理或推论来直接证明；二是先由其中不共线的三点 确定一个平面， 再证第四个点也在这个平面内即可． (2) 要证明点共线问题，关键是转化为证明点在直线上，也 就是利用公理 3，即证点在两个平面的交线上，本题即 采用这种证法；或者选择其中两点确定一直线，然后证 明另一点也在直线上． (3)证明空间三线共点问题， 先证 两条直线交于一点，再证明第三条直线经过这点，把问 题转化为证明点在直线上，如变式 2.
2．空间两条直线的位置关系 (1)位置关系的分类
相交直线：同一个平面内，有且只有 共面直线 平行直线：同一个平面内， 异面直线：不同在任何一个平面内， . . .
(2)异面直线 ①定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线． 注：异面直线定义中“不同在任何一个平面内的两条直线”是指 “不可能找到一个平面能同时经过这两条直线”，也可以理解为“既 不平行也不相交的两条直线”，但是不能理解为“分别在两个平面内 的两条直线”． ②异面直线的画法：画异面直线时，为了充分显示出它们既不平 行又不相交，也不共面的特点，常常需要以辅助平面作为衬托，以加 强直观性．
下列如图所示的正方体和正四面体中，P、Q、R、S 分别是 所在棱的中点， 则四个点共面的图形是__________． (填所有满足条件图形 的序号)
解：易知①③中 PS∥QR，所以四点共面．在②中构造如图所 示的含点 P，S，R，Q 的正六边形，易知四点共面．在④中，由点 P，R，Q 确定平面 α，
• 8.3 空间点、线、面之 间的位置关系
1．平面的基本性质 (1)公理 1：如果一条直线上的______在一个平面内，那么这条直 线在此平面内．它的作用是可用来证明点在平面内或 __________________． (2)公理 2：过____________上的三点，有且只有一个平面． 公理 2 的推论如下： ①经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面； ②经过两条相交直线，有且只有一个平面； ③经过两条平行直线，有且只有一个平面． 公理 2 及其推论的作用是可用来确定一个平面，或用来证明点、 线共面． (3) 公理 3 ：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们 ____________过该点的公共直线．它的作用是可用来确定两个平面的 交线，或证明三点共线、三线共点等问题．
解：由公理 4 知①正确；当 a⊥b，b⊥c 时，a 与 c 可以相交、平行或异面，故②错；当 a 与 b 相交，b 与 c 相交时，a 与 c 可以相交、平行，也可以异面，故③错； a⊂α，b⊂β，并不能说明 a 与 b“不同在任何一个平面 内”，故④错．故填②③④.
已知正方体 ABCD­A1B1C1D1 中，E，F 分别为 BB1，CC1 的中点，那么异面直线 AE 与 D1F 所成角的余 弦值为____________．
如图，在正方体 ABCD­A1B1C1D1 中，E，F 分 别为 AB，AA1 的中点．
求证：(1)EF∥D1C； (2)CE，D1F，DA 三线共点．
证明： (1) 连接 A1B ，则 EF∥A1B ， A1B∥D1C. 所以 EF∥D1C.
(2)因为面 AA1D1D∩面 ABCD＝DA， 1 且 EF∥D1C，EF＝ D1C， 2 所以 D1F 与 CE 相交． 又 D1F⊂面 AA1D1D，CE⊂面 ABCD， 所以 D1F 与 CE 的交点必在 DA 上． 所以 CE，D1F，DA 三线共点．
如图所示，在三棱锥 P­ABC 中，PA⊥平面 ABC， ∠BAC＝60°，PA＝AB＝AC＝2，E 是 PC 的中点．
(1)求证：AE 与 PB 是异面直线； (2)求异面直线 AE 和 PB 所成角的余弦值．
Байду номын сангаас
点拨： 点共面的证明方法和点共线的证明方法类似，即先由部分点或 者线确定一个平面，再证明其余的点或者在该平面内，或者由另外 一部分点确定另一个平面，再证明这两个平面是同一个平面．无论 是点共线、线共点问题，还是共面问题，我们基本上是运用公理及 其推论来进行演绎推理，其演绎推理的基本步骤是：首先由部分点 或者线确定一条直线或者一个平面，再运用公理或者推论，证明剩 余的点、线也在这条直线或者这个平面内．
A．AB∥CD B．AB 与 CD 相交 C．AB⊥CD D．AB 与 CD 所成的角为 60°
解：将展开图还原，得如图所示正方体，
易知 AB 与 CD 是异面直线， 且它们所成的角为 60°. 故选 D.
类型二
点共线、线共点问题
如图，空间四边形 ABCD 中，E，F 分别是 AB，AD 的 中点，G，H 分别在 BC，CD 上，且 BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2.
点拨： 探求常规的异面直线所成角的问题，首先要理清求角 的基本步骤为“一作，二证，三求” ，通过平行线或补形平 移法把异面直线转化为相交直线进而求其夹角，其中空间 选点任意但要灵活，如常选择端点、中点、等分点，通过 三角形的中位线平行于底边，长方体对面上的平行线进行 平移等．这是研究空间图形的一种基本思路，即把空间图 形问题转化为平面图形问题．