线性代数(经管类)课后练习答案
线性代数(经管类)参考答案
参考答案一.选择题（本大题共 5 小题，每小题 2 分，共 10 分）1—5 C A B B D二. 填空题（本大题共10 小题，每小题 2 分，共 20 分）6. ___6_____.7. 2111⎛⎫⎪⎝⎭8. 13 9. ()10,25,16- 10. ()2,1,0T- 11. -2 12. 3 13. 60 14. 43,55⎛⎫⎪⎝⎭15. 2 三.计算题（本大题共 7 小题，每小题 9 分，共 63 分）16 . 解一 100100010010011001001001a a a b a b D c a b c d d ++==-++--100010001000aa ba b c d a b c a b c d+==++++++++解二 ()()111410111111101101001bD c a d++-=-⋅⋅-+-⋅---a b c d =+++ 17.解： 2AB -A =B -E2∴AB -B =A -E ()2A-E B =A -E()()12-∴B =A -E A-E()()()1-=A -E A -E A +E()=A+E315052432⎛⎫ ⎪B =- ⎪⎪-⎝⎭()12412112412118.,123012001113233012015234T T --⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪A B =→--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭解：12412112032110152340103211001113001113---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→----→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭ 1003211100321101032110103211001113001113--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→--→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭ 3211=3211113T -⎛⎫ ⎪X -- ⎪ ⎪-⎝⎭则，331=22111113-⎛⎫⎪X - ⎪ ⎪--⎝⎭故.19.解：()12345,,,,αααααT T T T TA =1114311143113210113121355000003156700000--⎛⎫⎛⎫⎪⎪----- ⎪ ⎪=→⎪ ⎪-⎪⎪-⎝⎭⎝⎭∴向量组的秩=2且1α，2α是一个极大无关组(回答1α,3α；1α,4α；1α,5α也可).20.解：对增广矩阵作初等行变换()101211012110121213140113201132=123450226400000112130113200000b ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-----⎪ ⎪ ⎪A A =→→ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 同解方程组为1342342132x x x x x x =---⎧⎨=-+-⎩，34x x ，是自由未知量，特解()*=1200ηT --，，， 导出组同解方程组为13423423x x x x x x =--⎧⎨=-+⎩，34x x ，是自由未知量，基础解系()1=1110ξT--，，，，()2=2301ξT-，，，，通解为*1122=k k ηηξξ++，12k k R ∈，21.解：特征方程()()2200=0212221001a a aλλλλλλλλ-E -A --=---+-=-- 将特征值=1λ代入特征方程有()()=1212210a a E-A ---+-=，则2a =. 故()()()=213=0λλλλE-A ---，特征值为123=2=1=3λλλ，，.1=2λ对应的齐次线性方程组为123000000100100x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭，同解方程组为23=0=0x x ⎧⎨⎩，1x 是自由未知量，特征向量1100ξ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，1ξ单位化为1100p ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,2=1λ对应的齐次线性方程组为123100001100110x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪--= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭，同解方程组为123=0=x x x ⎧⎨-⎩，3x 是自由未知量，特征向量2011ξ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，2ξ单位化为2011p ⎛⎫⎪=-⎪⎪⎭，3=3λ对应的齐次线性方程组为123100001100110x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭，同解方程组为123=0=x x x ⎧⎨⎩，3x 是自由未知量，特征向量3011ξ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，3ξ单位化为3011p ⎛⎫⎪=⎪⎪⎭， 正交矩阵()123100,,00Q p p p ⎛⎫⎪⎪==⎝，213⎛⎫ ⎪Λ= ⎪ ⎪⎝⎭，使得1Q Q -A =Λ.011101110-⎛⎫ ⎪A =- ⎪ ⎪⎝⎭22.解：二次型矩阵()()211=11=21=011λλλλλλ--A -E ---+--令，123=2==1λλλ-得，.1211101=22=121011112000λ-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-A +E -→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当时，132333x x x x x x =-⎧⎪∴=-⎨⎪=⎩ 1111ξ-⎛⎫ ⎪∴=- ⎪ ⎪⎝⎭ 则1111-⎛⎫⎪P =-⎪⎪⎭ 23111111==1=111000111000λλ---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪A +E --→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭当时,1232233x x x x x x x =-+⎧⎪∴=⎨⎪=⎩ 2110ξ-⎛⎫ ⎪∴= ⎪ ⎪⎝⎭， 3112ξ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭则2110-⎛⎫⎪P =⎪⎪⎭，3112⎛⎫⎪P =⎪⎪⎭因此=0⎛ ⎪T ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，X=TY . 化二次型为2221232f y y y =-++.四.证明题（本大题7分）23.证明：基础解系中向量个数为3.设()()()1123212331232220k k k ααααααααα++++++++=即()()()1231123212332220k k k k k k k k k ααα++++++++=123,,ααα是基础解系，故线性无关，因此123123123202020k k k k k k k k k ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，系数行列式21112140112A ==≠，则齐次线性方程组只有零解， 故1230k k k ===.因此1232ααα++，1232ααα++，1232ααα++线性无关. 又()()()1231231231231231232=2=02=2=02=2=0ααααααααααααααααααA ++A +A +A A ++A +A +A A ++A +A +A 则1232ααα++，1232ααα++，1232ααα++也是该方程组的基础解系.说明：1.试卷题目均要求为自学考试真题；2.命题参照自学考试试卷的题型、题量；3.根据课程性质不同，可以更换或调整题型；4.试卷格式统一为：宋体 五号 单倍行距；选择题选项尽量排在一行；其他题型留出适当的答题区域。
最新全国自考04184线性代数(经管类)答案
2015年4月高等教育自学考试全国统一命题考试线性代数（经管类）试题答案及评分参考（课程代码 04184）一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分类，共10分）1.C2.A3.D4.C5.B二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）6. 97.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--2315 8.⎪⎪⎭⎫⎝⎛--031111 9. 3 10. -2 11. 0 12. 2 13.()()T T 1,1,1311,1,131---或14. -1 15.a ＞1三、计算题（本大题共7小题，每小题9分，共63分）16.解 D=40200320115011315111141111121131------=- （5分） =74402032115=-- （9分） 17.解 由于21=A ，所以A 可逆，于是1*-=A A A （3分） 故11*12212)2(---+=+A A A A A （6分） =2923232112111=⎪⎭⎫ ⎝⎛==+----A A A A （9分） 18.解 由B AX X +=，化为()B X A E =-， （4分）而⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-201101011A E 可逆，且()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=--110123120311A E （7分） 故⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=11021335021111012312031X （9分） 19.解 由于()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→00007510171101751075103121,,,4321αααα （5分） 所以向量组的秩为2，21,αα是一个极大线性无关组，并且有214213717,511αααααα-=+-= （9分）注：极大线性无关组不唯一。
20. 解 方程组的系数行列式 D=()()()b c a c a b c c b b a a ---=222111因为a,b,c 两两互不相同，所以0≠D ，故方程有唯一解。
04184 线性代数(经管类)习题集及答案
西华大学自学考试省考课程习题集课程名称：《线性代数》课程代码：04184专业名称：工商企业管理专业代码：Y020202目录第一部分习题一、选择题 3二、填空题8三、计算题11四、证明题15第二部分标准答案一、选择题16二、填空题16三、计算题16四、证明题31第一部分 习题 一、选择题1、若n 阶方阵A 的秩为r ，则结论（ ）成立。
A. 0||≠A B. 0||=A C. r >n D. n r ≤2、下列结论正确的是( )A. 若AB=0,则A=0或B=0.B. 若AB=AC,则B=CC.两个同阶对角矩阵是可交换的.D. AB=BA 3、下列结论错误的是( )A. n+1个n 维向量一定线性相关.B. n 个n+1维向量一定线性相关C. n 个n 维列向量n ααα,,,21 线性相关,则021=n αααD. n 个n 维列向量n ααα,,,21 ,若021=n ααα 则n ααα,,,21 线性相关,4、若m c c c b b b a a a =321321321，则=321321321333222c c c b b b a a a ( ) A. 6m B.-6m C. m 3332 D. m 3332- 5、设A,B,C 均为n 阶方阵,AB=BA,AC=CA,则ABC=( ) A. ACB B. CAB C. CBA D. BCA6、二次型3221222132124),,(x x x x x x x x x f -++=的秩为（ ）A 、0B 、1C 、2D 、3 7、若A 、B 为n 阶方阵，下列说法正确的是（ ） A 、若A ，B 都是可逆的，则A+B 是可逆的 B 、若A ，B 都是可逆的，则AB 是可逆的 C 、若A+B 是可逆的，则A-B 是可逆的 D 、若A+B 是可逆的，则A ，B 都是可逆的8、设2阶矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=d c b a A ，则=*A （ ） A 、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a c b d B 、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b c dC 、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a c b dD 、⎪⎪⎭⎫⎝⎛--a b c d 9、关于初等矩阵下列结论成立的是（ )A. 都是可逆阵B. 所对应的行列式的值为1C. 相乘仍为初等矩阵D. 相加仍为初等矩阵10、设2阶矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=4321A ，则=*A （ ）A 、⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1324 B 、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1234 C 、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1324 D 、⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1234 11、设21,ββ是非齐次线性方程组β=AX 的两个解，则下列向量中仍为方程组β=AX 解的是（ ）A 、21ββ+B 、21ββ-C 、3221ββ+ D 、32321ββ- 12、向量组)2(,,,21≥m m ααα 线性相关的充要条件是（ ） A 、m ααα,,,21 中至少有一个是零向量 B 、m ααα,,,21 中至少有一个向量可以由其余向量线性表示 C 、m ααα,,,21 中有两个向量成比例 D 、m ααα,,,21 中任何部分组都线性相关13、向量组)2(,,,21≥m m ααα 线性相关的充要条件是（ ） A 、m ααα,,,21 中至少有一个是零向量 B 、m ααα,,,21 中至少有一个向量可以由其余向量线性表示 C 、m ααα,,,21 中有两个向量成比例 D 、m ααα,,,21 中任何部分组都线性相关14、0=AX 是非齐次方程组β=AX 的对应齐次线性方程组，则有（ ） A 、0=AX 有零解，则β=AX 有唯一解 B 、0=AX 有非零解，则β=AX 有无穷多解 C 、β=AX 有唯一解，则0=AX 只有零解 D 、β=AX 有无穷多解，则0=AX 只有零解15、设A ，B ，C 均为二阶方阵，且AC AB =，则当（ ）时，可以推出B=CA 、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0101AB 、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0011AC 、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0110AD 、⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1111A16、若m c c c b b b a a a =321321321，则=231231231333222c c c b b b a a a ( )A. 6mB.-6mC. m 3332D. m 3332- 17、如果矩阵A 的秩等于r ，则（ ）。
线性代数课后习题答案全解.pdf
第一章 行列式1. 利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1)381141102−−−;解 381141102−−−=2×(−4)×3+0×(−1)×(−1)+1×1×8 −0×1×3−2×(−1)×8−1×(−4)×(−1) =−24+8+16−4=−4. (2)b a c a c b cb a ;解 ba c a cb cb a=acb +bac +cba −bbb −aaa −ccc =3abc −a 3−b 3−c 3. (3)222111c b a c b a ;解 222111c b a c b a=bc 2+ca 2+ab 2−ac 2−ba 2−cb =(a −b )(b −c )(c −a ). 2(4)y x y x x y x y yx y x +++.解 yx y x x y x y yx y x +++=x (x +y )y +yx (x +y )+(x +y )yx −y 3−(x +y )3−x =3xy (x +y )−y 3 3−3x 2 y −x 3−y 3−x =−2(x 3 3+y 3 2. 按自然数从小到大为标准次序, 求下列各排列的逆序数:).(1)1 2 3 4; 解 逆序数为0 (2)4 1 3 2;解 逆序数为4: 41, 43, 42, 32. (3)3 4 2 1;解 逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1. (4)2 4 1 3;解 逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3. (5)1 3 ⋅ ⋅ ⋅ (2n −1) 2 4 ⋅ ⋅ ⋅ (2n );解 逆序数为2)1(−n n : 3 2 (1个) 5 2, 5 4(2个) 7 2, 7 4, 7 6(3个)⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅(2n −1)2, (2n −1)4, (2n −1)6, ⋅ ⋅ ⋅, (2n −1)(2n −2) (n −1个)(6)1 3 ⋅ ⋅ ⋅ (2n −1) (2n ) (2n −2) ⋅ ⋅ ⋅ 2. 解 逆序数为n (n −1) : 3 2(1个) 5 2, 5 4 (2个) ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅(2n −1)2, (2n −1)4, (2n −1)6, ⋅ ⋅ ⋅, (2n −1)(2n −2) (n −1个) 4 2(1个) 6 2, 6 4(2个) ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅(2n )2, (2n )4, (2n )6, ⋅ ⋅ ⋅, (2n )(2n −2) (n −1个) 3. 写出四阶行列式中含有因子a 11a 23 解 含因子a 的项. 11a 23(−1)的项的一般形式为t a 11a 23a 3r a 4s 其中rs 是2和4构成的排列, 这种排列共有两个, 即24和42. ,所以含因子a 11a 23 (−1)的项分别是t a 11a 23a 32a 44=(−1)1a 11a 23a 32a 44=−a 11a 23a 32a 44 (−1), t a 11a 23a 34a 42=(−1)2a 11a 23a 34a 42=a 11a 23a 34a 42 4. 计算下列各行列式:.(1)71100251020214214; 解 71100251020214214010014231020211021473234−−−−−======c c c c 34)1(143102211014+−×−−−= 143102211014−−=01417172001099323211=−++======c c c c .(2)2605232112131412−; 解 2605232112131412−26053212213041224−−=====c c 041203212213041224−−=====r r 0000003212213041214=−−=====r r . (3)efcf bf de cd bd aeac ab −−−;解 ef cf bf de cd bd ae ac ab −−−ec b e c b ec b adf −−−=abcdef adfbce 4111111111=−−−=.(4)dc b a 100110011001−−−. 解d c b a 100110011001−−−dc b aab ar r 10011001101021−−−++===== d c a ab 101101)1)(1(12−−+−−=+01011123−+−++=====cd c ada ab dc ccdad ab +−+−−=+111)1)(1(23=abcd +ab +cd +ad +1. 5. 证明:(1)1112222b b a a b ab a +=(a −b )3 证明;1112222b b a a b ab a +00122222221213a b a b a a b a ab a c c c c −−−−−−=====ab a b a b a ab 22)1(22213−−−−−=+21))((a b a a b a b +−−==(a −b )3 (2) . y x z x z y zy x b a bz ay by ax bx az by ax bx az bz ay bx az bz ay by ax )(33+=+++++++++;证明bzay by ax bx az by ax bx az bz ay bxaz bz ay by ax +++++++++bz ay by ax x by ax bx az z bxaz bz ay y b bz ay by ax z by ax bx az y bx az bz ay x a +++++++++++++=bz ay y x by ax x z bxaz z y b y by ax z x bx az y z bz ay x a +++++++=22z y x y x z xz y b y x z x z y z y x a 33+=y x z x z y zy x b y x z x z y z y x a 33+=y x z x z y zy x b a )(33+=.(3)0)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(2222222222222222=++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a ; 证明 2222222222222222)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a (c 4−c 3, c 3−c 2, c 2−c 1 得) 5232125232125232125232122222++++++++++++=d d d d c c c c b b b b a a a a (c 4−c 3, c 3−c 2得)022122212221222122222=++++=d d c c b b a a . (4)444422221111d c b a d c b a d c b a =(a −b )(a −c )(a −d )(b −c )(b −d )(c −d )(a +b +c +d ); 证明 444422221111d c b a d c b a d c b a )()()(0)()()(001111222222222a d d a c c a b b a d d a c c a b b ad a c a b −−−−−−−−−=)()()(111))()((222a d d a c c a b b dc b ad a c a b +++−−−= ))(())((00111))()((a b d b d d a b c b c c bd b c a d a c a b ++−++−−−−−−= )()(11))()()()((a b d d a b c c b d b c a d a c a b ++++−−−−−= =(a −b )(a −c )(a −d )(b −c )(b −d )(c −d )(a +b +c +d ). (5)12211 000 00 1000 01a x a a a a x x xn n n+⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−−− =x n +a 1x n −1+ ⋅ ⋅ ⋅ +a n −1x +a n .证明 用数学归纳法证明.当n =2时, 2121221a x a x a x a x D ++=+−=, 命题成立. 假设对于(n −1)阶行列式命题成立, 即 D n −1=x n −1+a 1 x n −2+ ⋅ ⋅ ⋅ +a n −2x +a n −1则D , n 按第一列展开, 有 11100 100 01)1(11−⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−−+=+−x x a xD D n n n n =xD n −1+a n =x n +a 1x n −1+ ⋅ ⋅ ⋅ +a n −1x +a n 因此, 对于n 阶行列式命题成立. .6. 设n 阶行列式D =det(a ij ), 把D 上下翻转、或逆时针旋转90°、或依副对角线翻转, 依次得n nn n a a a a D 11111 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=, 11112 n nnn a a a a D ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅= , 11113 a a a a D n n nn ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=,证明D D D n n 2)1(21)1(−−==, D 3 证明 因为D =det(a =D .ij ), 所以 nnn n n n nnnn a a a a a a a a a a D 2211111111111 )1( ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=−⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−−=−− )1()1(331122111121nnn n nn n n a a a a a a a a D D n n n n 2)1()1()2( 21)1()1(−−+−+⋅⋅⋅++−=−=.同理可证 nnn n n n a a a a D ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−=− )1(11112)1(2D D n n T n n 2)1(2)1()1()1(−−−=−=. D D D D D n n n n n n n n =−=−−=−=−−−−)1(2)1(2)1(22)1(3)1()1()1()1(.7. 计算下列各行列式(D k (1)为k 阶行列式): aa D n 1 1⋅⋅⋅=, 其中对角线上元素都是a , 未写出的元素都是0; 解 aa a a a D n 010 000 00 000 0010 00⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=(按第n 行展开) )1()1(10 000 00 000 0010 000)1(−×−+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−=n n n aa a )1()1(2 )1(−×−⋅⋅⋅⋅−+n n n a a an n n n n a a a+⋅⋅⋅−⋅−=−−+)2)(2(1)1()1(=a n −a n −2=a n −2(a 2−1).(2)xa aa x a a a xD n ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅= ; 解 将第一行乘(−1)分别加到其余各行, 得 ax x a ax x a a x x a aa a x D n −−⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−−⋅⋅⋅−−⋅⋅⋅=000 0 00 0, 再将各列都加到第一列上, 得ax ax a x aaa a n x D n −⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−+=0000 0 000 00 )1(=[x +(n −1)a ](x −a )n −1 (3). 111 1 )( )1()( )1(1111⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−−⋅⋅⋅−=−−−+n a a a n a a a n a a a D n n n n nn n ; 解 根据第6题结果, 有 nnn n n n n n n n a a a n a a a n a a aD )( )1()( )1( 11 11)1(1112)1(1−⋅⋅⋅−−⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−=−−−++此行列式为范德蒙德行列式.∏≥>≥++++−−+−−=112)1(1)]1()1[()1(j i n n n n j a i a D∏≥>≥++−−−=112)1()]([)1(j i n n n j i∏≥>≥++⋅⋅⋅+−++−⋅−⋅−=1121)1(2)1()()1()1(j i n n n n n j i∏≥>≥+−=11)(j i n j i .(4)nnnnn d c d c b a b a D ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=11112; 解nnnnn d c d c b a b a D ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=11112(按第1行展开) nn n n n nd d c d c b a b a a 00011111111−−−−⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=0)1(1111111112c d c d c b a b a b nn n n n nn −−−−+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−+. 再按最后一行展开得递推公式D 2n =a n d n D 2n −2−b n c n D 2n −2, 即D 2n =(a n d n −b n c n )D 2n −2于是 . ∏=−=ni i i i i n D c b d a D 222)(.而 111111112c b d a d c b a D −==,所以 ∏=−=ni i i i i n c b d a D 12)(.(5) D =det(a ij ), 其中a ij 解 a =|i −j |; ij =|i −j |, 043214 01233 10122 21011 3210)det(⋅⋅⋅−−−−⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅==n n n n n n n n a D ij n 04321 1 11111 11111 11111 1111 2132⋅⋅⋅−−−−⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−−−−⋅⋅⋅−−−⋅⋅⋅−−⋅⋅⋅−−⋅⋅⋅−=====n n n n r r r r15242321 0 22210 02210 00210 0001 1213−⋅⋅⋅−−−−⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−−−−⋅⋅⋅−−−⋅⋅⋅−−⋅⋅⋅−+⋅⋅⋅+=====n n n n n c c c c =(−1)n −1(n −1)2n −2 (6).nn a a a D +⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+=1 11 1 1111121, 其中a 1a 2 ⋅ ⋅ ⋅ a n≠0.解nn a a a D +⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+=1 11 1 1111121 nn n n a a a a a a a a a c c c c +−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−=====−−100001 000 100 0100 0100 0011332212132 1111312112111000011 000 00 11000 01100 001 −−−−−−+−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅⋅⋅=nn n a a a a a a a a∑=−−−−−−+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=n i i n n a a a a a a a a 1111131******** 00010 000 00 10000 01000 001)11)((121∑=+=ni i n a a a a .8. 用克莱姆法则解下列方程组: (1) =+++−=−−−−=+−+=+++01123253224254321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x ;解 因为 14211213513241211111−=−−−−=D , 142112105132412211151−=−−−−−−=D , 284112035122412111512−=−−−−−=D , 426110135232422115113−=−−−−=D , 14202132132212151114=−−−−−=D , 所以 111==D D x , 222==D Dx , 333==DD x , 144−==D D x .(2)=+=++=++=++=+150650650651655454343232121x x x x x x x x x x x x x .解 因为 665510006510006510065100065==D , 15075100165100065100065000611==D , 114551010651000650000601000152−==D , 703511650000601000051001653==D , 39551601000051000651010654−==D , 2121100005100065100651100655==D , 所以66515071=x , 66511452−=x , 6657033=x , 6653954−=x , 6652124=x .9. 问λ, µ取何值时, 齐次线性方程组 =++=++=++0200321321321x x x x x x x x x µµλ有非零解？解 系数行列式为µλµµµλ−==1211111D .令D =0, 得 µ=0或λ=1.于是, 当µ=0或λ=1时该齐次线性方程组有非零解.10. 问λ取何值时, 齐次线性方程组 =−++=+−+=+−−0)1(0)3(2042)1(321321321x x x x x x x x x λλλ有非零解？解 系数行列式为λλλλλλλ−−+−−=−−−−=101112431111132421D=(1−λ)3 =(1−λ)+(λ−3)−4(1−λ)−2(1−λ)(−3−λ) 3+2(1−λ)2 令D =0, 得+λ−3. λ=0, λ=2或λ=3.于是, 当λ=0, λ=2或λ=3时, 该齐次线性方程组有非零解.第二章 矩阵及其运算1. 已知线性变换:++=++=++=3213321232113235322y y y x y y y x y y y x , 求从变量x 1, x 2, x 3到变量y 1, y 2, y 3 解 由已知:的线性变换.= 221321323513122y y y x x x ,故= −3211221323513122x x x y y y−−−−=321423736947y y y ,−+=−+=+−−=321332123211423736947x x x y x x x y x x x y .2. 已知两个线性变换++=++−=+=32133212311542322y y y x y y y x y y x ,+−=+=+−=323312211323z z y z z y z z y , 求从z 1, z 2, z 3到x 1, x 2, x 3 解 由已知的线性变换.−= 221321514232102y y y x x x−− −=321310102013514232102z z z−−−−=321161109412316z z z ,所以有 +−−=+−=++−=3213321232111610941236z z z x z z z x z z z x .3. 设 −−=111111111A ,−−=150421321B , 求3AB −2A 及A T 解 B .−−− −− −−=−1111111112150421321111111111323A AB−−−−= −−− −=2294201722213211111111120926508503,−= −− −−=092650850150421321111111111B A T.4. 计算下列乘积: (1)−127075321134;解 −127075321134 ×+×+××+×−+××+×+×=102775132)2(71112374=49635.(2)123)321(;解123)321(=(1×3+2×2+3×1)=(10).(3))21(312−;解 )21(312−×−××−××−×=23)1(321)1(122)1(2−−−=632142. (4)−−−−20413121013143110412 ; 解−−− −20413121013143110412 −−−=6520876. (5)321332313232212131211321)(x x x a a a a a a a a a x x x ;解321332313232212131211321)(x x x a a a a a a a a a x x x=(a 11x 1+a 12x 2+a 13x 3 a 12x 1+a 22x 2+a 23x 3a 13x 1+a 23x 2+a 33x 3321x x x )322331132112233322222111222x x a x x a x x a x a x a x a +++++=.5. 设 =3121A ,=2101B , 问: (1)AB =BA 吗? 解 AB ≠BA . 因为=6443AB ,=8321BA , 所以AB ≠BA .(2)(A +B )2=A 2+2AB +B 2 解 (A +B )吗? 2≠A 2+2AB +B 2 因为.=+5222B A ,=+52225222)(2B A=2914148,但 + +=++43011288611483222B AB A=27151610,所以(A +B )2≠A 2+2AB +B 2 (3)(A +B )(A −B )=A . 2−B 2 解 (A +B )(A −B )≠A 吗? 2−B 2 因为.=+5222B A ,=−1020B A ,==−+906010205222))((B A B A ,而= −=−718243011148322B A ,故(A +B )(A −B )≠A 2−B 2 6. 举反列说明下列命题是错误的:.(1)若A 2 解 取=0, 则A =0;=0010A , 则A 2 (2)若A =0, 但A ≠0. 2 解 取=A , 则A =0或A =E ;=0011A , 则A 2 (3)若AX =AY , 且A ≠0, 则X =Y .=A , 但A ≠0且A ≠E . 解 取=0001A , −=1111X ,=1011Y , 则AX =AY , 且A ≠0, 但X ≠Y .7. 设=101λA , 求A 2, A 3, ⋅ ⋅ ⋅, A k 解 . ==12011011012λλλA , ===1301101120123λλλA A A , ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅,=101λk A k . 8. 设=λλλ001001A , 求A k 解 首先观察. =λλλλλλ0010010010012A=222002012λλλλλ,=⋅=3232323003033λλλλλλA A A ,=⋅=43423434004064λλλλλλA A A ,=⋅=545345450050105λλλλλλA A A , ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅,=k A k k k k k k k k k k λλλλλλ0002)1(121−−−−. 用数学归纳法证明:当k =2时, 显然成立.假设k 时成立，则k +1时，−=⋅=−−−+λλλλλλλλλ0010010002)1(1211k k k k k k k k k k k k A A A+++=+−+−−+11111100)1(02)1()1(k k k k k k k k k k λλλλλλ, 由数学归纳法原理知:−=−−−k k k k k k k k k k k A λλλλλλ0002)1(121. 9. 设A , B 为n 阶矩阵，且A 为对称矩阵，证明B T 证明 因为A AB 也是对称矩阵.T (B =A , 所以T AB )T =B T (B T A )T =B T A T B =B T 从而B AB ,T 10. 设A , B 都是n 阶对称矩阵，证明AB 是对称矩阵的充分必要条件是AB =BA .AB 是对称矩阵.证明 充分性: 因为A T =A , B T (AB )=B , 且AB =BA , 所以 T =(BA )T =A T B T 即AB 是对称矩阵.=AB ,必要性: 因为A T =A , B T =B , 且(AB )T AB =(AB )=AB , 所以T =B T A T 11. 求下列矩阵的逆矩阵:=BA .(1)5221; 解=5221A . |A |=1, 故A −1 存在. 因为−−= =1225*22122111A A A A A ,故 *||11A A A =−−−=1225. (2)−θθθθcos sin sin cos ; 解−=θθθθcos sin sin cos A . |A |=1≠0, 故A −1 存在. 因为−= =θθθθcos sin sin cos *22122111A A A A A , 所以 *||11A A A =−−=θθθθcos sin sin cos . (3)−−−145243121; 解−−−=145243121A . |A |=2≠0, 故A −1 存在. 因为−−−−−= =214321613024*332313322212312111A A A A A A A A A A , 所以 *||11A A A =−−−−−−=1716213213012. (4)n a a a 0021(a 1a 2⋅ ⋅ ⋅a n ≠0) .解=n a a a A 0021, 由对角矩阵的性质知=−n a a a A 10011211 . 12. 解下列矩阵方程:(1) −=12643152X ; 解 −=−126431521X − −−=12642153 −=80232. (2) −=−−234311*********X ; 解 1111012112234311−−− −=X−−− −=03323210123431131 −−−=32538122. (3) −= − −101311022141X ;解 11110210132141−− − − −=X− −=210110131142121 =21010366121=04111. (4)−−−= 021102341010100001100001010X . 解 11010100001021102341100001010−−−−− =X −−− =010100001021102341100001010 −−−=201431012. 13. 利用逆矩阵解下列线性方程组:(1) =++=++=++3532522132321321321x x x x x x x x x ; 解 方程组可表示为= 321153522321321x x x , 故 = = −0013211535223211321x x x ,从而有 ===001321x x x . (2) =−+=−−=−−05231322321321321x x x x x x x x x . 解 方程组可表示为=−−−−−012523312111321x x x , 故 =−−−−−= −3050125233121111321x x x , 故有 ===305321x x x . 14. 设A k =O (k 为正整数), 证明(E −A )−1=E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k −1 证明 因为A . k =O , 所以E −A k E −A =E . 又因为k =(E −A )(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k −1所以 (E −A )(E +A +A ),2+⋅ ⋅ ⋅+A k −1由定理2推论知(E −A )可逆, 且)=E ,(E −A )−1=E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k −1.证明 一方面, 有E =(E −A )−1 另一方面, 由A (E −A ).k E =(E −A )+(A −A =O , 有2)+A 2−⋅ ⋅ ⋅−A k −1+(A k −1−A k )=(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k −1故 (E −A ))(E −A ),−1(E −A )=(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k −1两端同时右乘(E −A ))(E −A ),−1 (E −A ), 就有−1(E −A )=E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k −1.15. 设方阵A 满足A 2−A −2E =O , 证明A 及A +2E 都可逆, 并求A −1及(A +2E )−1 证明 由A .2 A −A −2E =O 得2或 −A =2E , 即A (A −E )=2E ,E E A A =−⋅)(21, 由定理2推论知A 可逆, 且)(211E A A −=−. 由A 2 A −A −2E =O 得2或 −A −6E =−4E , 即(A +2E )(A −3E )=−4E ,E A E E A =−⋅+)3(41)2( 由定理2推论知(A +2E )可逆, 且)3(41)2(1A E E A −=+−.证明 由A 2−A −2E =O 得A 2 |A −A =2E , 两端同时取行列式得 2即 |A ||A −E |=2,−A |=2,故 |A |≠0,所以A 可逆, 而A +2E =A 2, |A +2E |=|A 2|=|A |2由 A ≠0, 故A +2E 也可逆. 2 ⇒A −A −2E =O ⇒A (A −E )=2E−1A (A −E )=2A −1)(211E A A −=−E ⇒,又由 A 2 ⇒ (A +2E )(A −3E )=−4 E ,−A −2E =O ⇒(A +2E )A −3(A +2E )=−4E所以 (A +2E )−1(A +2E )(A −3E )=−4(A +2 E )−1 ,)3(41)2(1A E E A −=+−.16. 设A 为3阶矩阵, 21||=A , 求|(2A )−1 解 因为−5A *|.*||11A A A =−, 所以 |||521||*5)2(|111−−−−=−A A A A A |2521|11−−−=A A=|−2A −1|=(−2)3|A −1|=−8|A |−1 17. 设矩阵A 可逆, 证明其伴随阵A *也可逆, 且(A *)=−8×2=−16.−1=(A −1 证明 由)*.*||11A A A =−, 得A *=|A |A −1 |A *|=|A |, 所以当A 可逆时, 有n |A −1|=|A |n −1从而A *也可逆.≠0,因为A *=|A |A −1 (A *), 所以−1=|A |−1又A .*)(||)*(||1111−−−==A A A A A , 所以(A *)−1=|A |−1A =|A |−1|A |(A −1)*=(A −1 18. 设n 阶矩阵A 的伴随矩阵为A *, 证明:)*.(1)若|A |=0, 则|A *|=0;(2)|A *|=|A |n −1 证明.(1)用反证法证明. 假设|A *|≠0, 则有A *(A *)−1 A =A A *(A *)=E , 由此得 −1=|A |E (A *)−1所以A *=O , 这与|A *|≠0矛盾，故当|A |=0时, 有|A *|=0.=O ,(2)由于*||11A A A =−, 则AA *=|A |E , 取行列式得到 |A ||A *|=|A |n 若|A |≠0, 则|A *|=|A |.n −1 若|A |=0, 由(1)知|A *|=0, 此时命题也成立.;因此|A *|=|A |n −1.19. 设−=321011330A , AB =A +2B , 求B . 解 由AB =A +2E 可得(A −2E )B =A , 故− −−−=−=−−321011330121011332)2(11A E A B −=011321330. 20. 设 =101020101A , 且AB +E =A 2+B , 求B .解 由AB +E =A 2 (A −E )B =A +B 得 2即 (A −E )B =(A −E )(A +E ).−E , 因为01001010100||≠−==−E A , 所以(A −E )可逆, 从而=+=201030102E A B .21. 设A =diag(1, −2, 1), A *BA =2BA −8E , 求B . 解 由A *BA =2BA −8E 得 (A *−2E )BA =−8E , B =−8(A *−2E )−1A =−8[A (A *−2E )]−1 =−8(AA *−2A )−1 =−8(|A |E −2A )−1 =−8(−2E −2A )−1 =4(E +A )−1 =4[diag(2, −1, 2)]−1−1)21 ,1 ,21(diag 4−==2diag(1, −2, 1).22. 已知矩阵A 的伴随阵−=8030010100100001*A , 且ABA −1=BA −1+3E , 求B .解 由|A *|=|A |3 由ABA =8, 得|A |=2. −1=BA −1 AB =B +3A ,+3E 得 B =3(A −E )−1A =3[A (E −A −1)]−1 A 11*)2(6*)21(3−−−=−=A E A E−=−−=−1030060600600006603001010010000161. 23. 设P −1 −−=1141P AP =Λ, 其中,−=Λ2001, 求A 11 解 由P . −1AP =Λ, 得A =P ΛP −1, 所以A 11= A =P Λ11P −1 |P |=3, .−=1141*P ,−−=−1141311P ,而−= −=Λ11111120 012001,故−− −−−=31313431200111411111A −−=68468327322731. 24. 设AP =P Λ, 其中−−=111201111P ,−=Λ511,求ϕ(A )=A 8(5E −6A +A 2 解 ϕ(Λ)=Λ). 8(5E −6Λ+Λ2 =diag(1,1,5)8)[diag(5,5,5)−diag(−6,6,30)+diag(1,1,25)]=diag(1,1,58 ϕ(A )=P ϕ(Λ)P )diag(12,0,0)=12diag(1,0,0).−1 *)(||1P P P Λ=ϕ−−−−−− −−−=1213032220000000011112011112=1111111114.25. 设矩阵A 、B 及A +B 都可逆, 证明A −1+B −1 证明 因为也可逆, 并求其逆阵.A −1(A +B )B −1=B −1+A −1=A −1+B −1而A ,−1(A +B )B −1是三个可逆矩阵的乘积, 所以A −1(A +B )B −1可逆, 即A −1+B −1 (A 可逆.−1+B −1)−1=[A −1(A +B )B −1]−1=B (A +B )−1 26. 计算A .−−−30003200121013013000120010100121. 解 设 =10211A , =30122A , −=12131B ,−−=30322B ,则 2121B O B E A O E A+=222111B A O B B A A ,而 −= −−+−=+4225303212131021211B B A ,−−= −− =90343032301222B A , 所以 2121B O B E A O E A +=222111B A O B B A A−−−=9000340042102521, 即−−−30003200121013013000120010100121−−−=9000340042102521. 27. 取==−==1001D C B A , 验证|||||||| D C B A D C B A ≠.解 4100120021010*********0021010010110100101==−−=−−=D C B A , 而 01111|||||||| ==D C B A ,故 ||||||||D C B A D C B A ≠. 28. 设 −=22023443O O A , 求|A 8|及A 4解 令. −=34431A ,=22022A , 则=21A O O A A ,故 8218=A O O A A=8281A O O A ,1682818281810||||||||||===A A A A A .= =464444241422025005O O A O O A A . 29. 设n 阶矩阵A 及s 阶矩阵B 都可逆, 求 (1)1−O B A O ; 解 设 =−43211C C C C O B A O , 则O B A O 4321C C C C = =s n E O O E BC BC AC AC 2143. 由此得====s n EBC OBC O AC E AC 2143⇒ ====−−121413B C O C O C A C ,所以= −−−O A B O O B A O 111. (2)1−B C O A . 解 设 =−43211D D D D B C O A , 则 = ++= s nE O O E BD CD BD CD AD AD D D D D B C O A 4231214321.由此得=+=+==s nEBD CD O BD CD O AD E AD 423121⇒ =−===−−−−14113211B D CA B D O D A D ,所以−= −−−−−11111B CA B O A BC O A . 30. 求下列矩阵的逆阵: (1)2500380000120025; 解 设 =1225A , =2538B , 则−−= =−−5221122511A ,−−==−−8532253811B .于是 −−−−= = =−−−−850032000052002125003800001200251111B A B A .(2)4121031200210001. 解 设 =2101A ,=4103B ,=2112C , 则−= =−−−−−−1111114121031200210001B CA B O A BC O A−−−−−=411212458103161210021210001.第三章 矩阵的初等变换与线性方程组1. 把下列矩阵化为行最简形矩阵: (1)−−340313021201;解−−340313021201(下一步: r 2+(−2)r 1, r 3+(−3)r 1 ~. )−−−020*********(下一步: r 2÷(−1), r 3 ~÷(−2). )−−010*********(下一步: r 3−r 2 ~. )−−300031001201(下一步: r 3 ~÷3. )−−100031001201(下一步: r 2+3r 3 ~. )−100001001201(下一步: r 1+(−2)r 2, r 1+r 3 ~. )100001000001.(2)−−−−174034301320;解−−−−174034301320(下一步: r 2×2+(−3)r 1, r 3+(−2)r 1 ~. )−−−310031001320(下一步: r 3+r 2, r 1+3r 2 ~. )0000310010020(下一步: r 1 ~÷2. )000031005010.(3)−−−−−−−−−12433023221453334311;解−−−−−−−−−12433023221453334311(下一步: r 2−3r 1, r 3−2r 1, r 4−3r 1~. )−−−−−−−−1010500663008840034311(下一步: r 2÷(−4), r 3÷(−3) , r 4~÷(−5). )−−−−−22100221002210034311(下一步: r 1−3r 2, r 3−r 2, r 4−r 2~. )−−−00000000002210032011.(4)−−−−−−34732038234202173132. 解−−−−−−34732038234202173132(下一步: r 1−2r 2, r 3−3r 2, r 4−2r 2~. )−−−−−1187701298804202111110(下一步: r 2+2r 1, r 3−8r 1, r 4−7r 1 ~. )−−41000410002020111110(下一步: r 1↔r 2, r 2×(−1), r 4−r 3~. )−−−−00000410001111020201(下一步: r 2+r 3~. )−−00000410003011020201. 2. 设= 987654321100010101100001010A , 求A .解100001010是初等矩阵E (1, 2), 其逆矩阵就是其本身.100010101是初等矩阵E (1, 2(1)), 其逆矩阵是E (1, 2(−1))−=100010101.− =100010101987654321100001010A= − =287221254100010101987321654.3. 试利用矩阵的初等变换, 求下列方阵的逆矩阵: (1)323513123;解 100010001323513123~−−−101011001200410123~ −−−−1012002110102/102/3023~−−−−2/102/11002110102/922/7003~−−−−2/102/11002110102/33/26/7001故逆矩阵为−−−−21021211233267.(2)−−−−−1210232112201023.解−−−−−10000100001000011210232112201023~−−−−00100301100001001220594012102321~−−−−−−−−20104301100001001200110012102321~ −−−−−−−106124301100001001000110012102321 ~−−−−−−−−−−10612631110`1022111000010000100021 ~−−−−−−−106126311101042111000010000100001故逆矩阵为−−−−−−−10612631110104211. 4. (1)设 −−=113122214A ,−−=132231B , 求X 使AX =B ;解 因为−−−−=132231 113122214) ,(B A−−412315210 100010001 ~r ,所以−−==−4123152101B A X .(2)设−−−=433312120A , −=132321B , 求X 使XA =B . 解 考虑A T X T =B T . 因为−−−−=134313*********) ,(T T B A−−−411007101042001 ~r ,所以−−−==−417142)(1T T T B A X ,从而−−−==−4741121BA X . 5. 设−−−=101110011A , AX =2X +A , 求X .解 原方程化为(A −2E )X =A . 因为−−−−−−−−−=−101101110110011011) ,2(A E A−−−011100101010110001~,所以−−−=−=−011101110)2(1A E A X .6. 在秩是r 的矩阵中,有没有等于0的r −1阶子式? 有没有等于0的r 阶子式?解 在秩是r 的矩阵中, 可能存在等于0的r −1阶子式, 也可能存在等于0的r 阶子式. 例如,=010*********A , R (A )=3.0000是等于0的2阶子式, 010001000是等于0的3阶子式. 7. 从矩阵A 中划去一行得到矩阵B , 问A , B 的秩的关系怎样?解 R (A )≥R (B ).这是因为B 的非零子式必是A 的非零子式, 故A 的秩不会小于B 的秩.8. 求作一个秩是4的方阵, 它的两个行向量是(1, 0, 1, 0, 0), (1, −1, 0, 0, 0).解 用已知向量容易构成一个有4个非零行的5阶下三角矩阵:−0000001000001010001100001, 此矩阵的秩为4, 其第2行和第3行是已知向量.9. 求下列矩阵的秩, 并求一个最高阶非零子式: (1)−−−443112112013;解−−−443112112013(下一步: r 1↔r 2 ~. )−−−443120131211(下一步: r 2−3r 1, r 3−r 1 ~. )−−−−564056401211(下一步: r 3−r 2 ~. )−−−000056401211, 矩阵的2秩为, 41113−=−是一个最高阶非零子式.(2)−−−−−−−815073*********;解−−−−−−−815073*********(下一步: r 1−r 2, r 2−2r 1, r 3−7r 1 ~. )−−−−−−15273321059117014431(下一步: r 3−3r 2~. )−−−−0000059117014431, 矩阵的秩是2, 71223−=−是一个最高阶非零子式.(3)−−−02301085235703273812. 解−−−02301085235703273812(下一步: r 1−2r 4, r 2−2r 4, r 3−3r 4~. )−−−−−−023*********63071210(下一步: r 2+3r 1, r 3+2r 1~. )−0230114000016000071210(下一步: r 2÷16r 4, r 3−16r 2. )~−02301000001000071210 ~−00000100007121002301, 矩阵的秩为3, 070023085570≠=−是一个最高阶非零子式.10. 设A 、B 都是m ×n 矩阵, 证明A ~B 的充分必要条件是R (A )=R (B ).证明 根据定理3, 必要性是成立的.充分性. 设R (A )=R (B ), 则A 与B 的标准形是相同的. 设A 与B 的标准形为D , 则有A ~D , D ~B .由等价关系的传递性, 有A ~B .11. 设−−−−=32321321k k k A , 问k 为何值, 可使(1)R (A )=1; (2)R (A )=2; (3)R (A )=3.解 −−−−=32321321k k k A+−−−−−)2)(1(0011011 ~k k k k k r . (1)当k =1时, R (A )=1; (2)当k =−2且k ≠1时, R (A )=2;(3)当k ≠1且k ≠−2时, R (A )=3.12. 求解下列齐次线性方程组: (1) =+++=−++=−++02220202432143214321x x x x x x x x x x x x ;解 对系数矩阵A 进行初等行变换, 有 A = −−212211121211~ −−−3/410013100101,于是 ==−==4443424134334x x x x x x x x ,故方程组的解为−= 1343344321k x x x x (k 为任意常数).(2) =−++=−−+=−++05105036302432143214321x x x x x x x x x x x x ;解 对系数矩阵A 进行初等行变换, 有 A = −−−−5110531631121~−000001001021,于是 ===+−=4432242102x x x xx x x x ,故方程组的解为+−= 10010*********k k x x x x (k 1, k 2 (3)为任意常数).=−+−=+−+=−++=+−+07420634072305324321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x ;解 对系数矩阵A 进行初等行变换, 有 A =−−−−−7421631472135132~1000010000100001,于是 ====0004321x x x x ,故方程组的解为 ====00004321x x x x .(4) =++−=+−+=−+−=+−+03270161311402332075434321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x .解 对系数矩阵A 进行初等行变换, 有 A =−−−−−3127161311423327543~−−000000001720171910171317301,于是 ==−=−=4433432431172017191713173x x x x x x x xx x ,故方程组的解为−−+= 1017201713011719173214321k k x x x x (k 1, k 2为任意常数).13. 求解下列非齐次线性方程组: (1) =+=+−=−+83111021322421321321x x x x x x x x ;解 对增广矩阵B 进行初等行变换, 有。
《线性代数》课后习题答案
第一章 行列式习题1.11. 证明：（1）首先证明)3(Q 是数域。
因为)3(Q Q ⊆，所以)3(Q 中至少含有两个复数。
任给两个复数)3(3,32211Q b a b a ∈++，我们有3)()3()3)(3(3)()()3()3(3)()()3()3(2121212122112121221121212211b a a b b b a a b a b a b b a a b a b a b b a a b a b a +++=++-+-=+-++++=+++。
因为Q 是数域，所以有理数的和、差、积仍然为有理数，所以)3(3)()3()3)(3()3(3)()()3()3()3(3)()()3()3(2121212122112121221121212211Q b a a b b b a a b a b a Q b b a a b a b a Q b b a a b a b a ∈+++=++∈-+-=+-+∈+++=+++。
如果0322≠+b a ，则必有22,b a 不同时为零，从而0322≠-b a 。
又因为有理数的和、差、积、商仍为有理数，所以)3(33)(3)3()3)(3()3)(3(332222212122222121222222112211Q b a b a a b b a b b a a b a b a b a b a b a b a ∈--+--=-+-+=++。
综上所述，我们有)3(Q 是数域。
（2）类似可证明)(p Q 是数域，这儿p 是一个素数。
（3）下面证明：若q p ,为互异素数，则)()(q Q p Q ⊄。
（反证法）如果)()(q Q p Q ⊆，则q b a p Q b a +=⇒∈∃,，从而有q ab qb a p p 2)()(222++==。
由于上式左端是有理数，而q 是无理数，所以必有02=q ab 。
所以有0=a 或0=b 。
如果0=a ，则2qb p =，这与q p ,是互异素数矛盾。
线性代数经管类课后习题答案
线性代数经管类课后习题答案线性代数是一门应用广泛的数学学科，对于经管类专业的学生来说，掌握线性代数的基本概念和方法非常重要。
而课后习题是巩固和应用所学知识的重要环节。
在本文中，我将为大家提供一些线性代数经管类课后习题的答案，希望能够帮助大家更好地理解和应用线性代数的知识。
1. 矩阵乘法题目：已知矩阵A为3x2矩阵，矩阵B为2x4矩阵，求矩阵C=AB。
答案：根据矩阵乘法的定义，矩阵C的第i行第j列的元素等于矩阵A的第i行与矩阵B的第j列对应元素的乘积之和。
根据题目给出的矩阵A和矩阵B，我们可以计算出矩阵C的元素如下：C11 = A11 * B11 + A12 * B21C12 = A11 * B12 + A12 * B22C13 = A11 * B13 + A12 * B23C14 = A11 * B14 + A12 * B24C21 = A21 * B11 + A22 * B21C22 = A21 * B12 + A22 * B22C23 = A21 * B13 + A22 * B23C24 = A21 * B14 + A22 * B24C31 = A31 * B11 + A32 * B21C32 = A31 * B12 + A32 * B22C33 = A31 * B13 + A32 * B23C34 = A31 * B14 + A32 * B24其中，Cij表示矩阵C的第i行第j列的元素。
2. 矩阵的逆题目：已知矩阵A为3x3矩阵，求矩阵A的逆矩阵A-1。
答案：矩阵A的逆矩阵A-1满足AA-1=I，其中I为单位矩阵。
我们可以通过高斯消元法或者伴随矩阵的方法求解矩阵A的逆矩阵。
假设矩阵A的逆矩阵为：A-1 = | a11 a12 a13 || a21 a22 a23 || a31 a32 a33 |根据矩阵乘法的定义，我们可以得到以下方程组：A * A-1 = Ia11*a11 + a12*a21 + a13*a31 = 1a11*a12 + a12*a22 + a13*a32 = 0a11*a13 + a12*a23 + a13*a33 = 0a21*a11 + a22*a21 + a23*a31 = 0a21*a12 + a22*a22 + a23*a32 = 1a21*a13 + a22*a23 + a23*a33 = 0a31*a11 + a32*a21 + a33*a31 = 0a31*a12 + a32*a22 + a33*a32 = 0a31*a13 + a32*a23 + a33*a33 = 1通过解这个方程组，我们可以得到矩阵A的逆矩阵A-1的元素。
04184线性代数(经管类)
1【单选题】与矩阵合同的矩阵是（）。
A、B、C、D、您的答案：B参考答案：B纠错查看解析2【单选题】设α1，α2，α3是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系，则下列解向量组中，可以作为该方程组基础解系的是A、α1+α2，α2+α3，α3+α1B、α1-α3，α1-α2，α2+α3-2α1C、α1-α2，α2-α3，α3-α1D、α1，α2，α1-α2您的答案：A参考答案：A纠错查看解析3【单选题】设行列式，则A、B、C、D、您的答案：未作答参考答案：C纠错查看解析4【单选题】已知是三阶可逆矩阵，则下列矩阵中与等价的是（）。
A、B、C、D、您的答案：未作答参考答案：D纠错查看解析5【单选题】设A为3阶方阵，B为4阶方阵,且行列式|A|=1，|B|=-2，则行列式||B|A|之值为（）A、-8B、-2C、2D、8您的答案：未作答参考答案：A纠错查看解析6【单选题】已知A是一个3×4矩阵，下列命题中正确的是（）A、若矩阵A中所有三阶子式都为0，则秩（A）=2B、若A中存在二阶子式不为0，则秩（A）=2C、若秩（A）=2，则A中所有三阶子式都为0D、若秩（A）=2，则A中所有二阶子式都不为0您的答案：未作答参考答案：C纠错查看解析7【单选题】设则的特征值为1，2，3，则A、-2B、2C、3D、4您的答案：未作答参考答案：D纠错查看解析8【单选题】二次型的正惯性指数为（）A、0B、1C、2D、3您的答案：未作答参考答案：C纠错查看解析9【单选题】设为3阶矩阵，将的第三行乘以得到单位矩阵，则A、-2B、C、D、2您的答案：未作答参考答案：A纠错查看解析10【单选题】矩阵有一个特征值为（）。
A、-3B、-2C、1D、2您的答案：未作答参考答案：B纠错查看解析11【单选题】设为3阶矩阵，且，将按列分块为，若矩阵，则A、0B、C、D、您的答案：未作答参考答案：C纠错查看解析12【单选题】n维向量组α1，α2，…，αs（s≥2）线性相关充要条件A、α1，α2，…，αs中至少有两个向量成比例B、α1，α2，…，αs中至少有一个是零向量C、α1，α2，…，αs中至少有一个向量可以由其余向量线性表出D、α1，α2，…，αs中第一个向量都可以由其余向量线性表出您的答案：未作答参考答案：C纠错查看解析13【单选题】若矩阵中有一个阶子式等于零，且所有阶子式都不为零，则必有（）.A、B、C、D、您的答案：未作答参考答案：B纠错查看解析14【单选题】设三阶实对称矩阵的全部特征值为1,-1,-1，则齐次线性方程组的基础解系所含解向量的个数为（）。
线性代数课后习题答案全解.pdf
第一章 行列式1. 利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1)381141102−−−;解 381141102−−−=2×(−4)×3+0×(−1)×(−1)+1×1×8 −0×1×3−2×(−1)×8−1×(−4)×(−1) =−24+8+16−4=−4. (2)b a c a c b cb a ;解 ba c a cb cb a=acb +bac +cba −bbb −aaa −ccc =3abc −a 3−b 3−c 3. (3)222111c b a c b a ;解 222111c b a c b a=bc 2+ca 2+ab 2−ac 2−ba 2−cb =(a −b )(b −c )(c −a ). 2(4)y x y x x y x y yx y x +++.解 yx y x x y x y yx y x +++=x (x +y )y +yx (x +y )+(x +y )yx −y 3−(x +y )3−x =3xy (x +y )−y 3 3−3x 2 y −x 3−y 3−x =−2(x 3 3+y 3 2. 按自然数从小到大为标准次序, 求下列各排列的逆序数:).(1)1 2 3 4; 解 逆序数为0 (2)4 1 3 2;解 逆序数为4: 41, 43, 42, 32. (3)3 4 2 1;解 逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1. (4)2 4 1 3;解 逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3. (5)1 3 ⋅ ⋅ ⋅ (2n −1) 2 4 ⋅ ⋅ ⋅ (2n );解 逆序数为2)1(−n n : 3 2 (1个) 5 2, 5 4(2个) 7 2, 7 4, 7 6(3个)⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅(2n −1)2, (2n −1)4, (2n −1)6, ⋅ ⋅ ⋅, (2n −1)(2n −2) (n −1个)(6)1 3 ⋅ ⋅ ⋅ (2n −1) (2n ) (2n −2) ⋅ ⋅ ⋅ 2. 解 逆序数为n (n −1) : 3 2(1个) 5 2, 5 4 (2个) ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅(2n −1)2, (2n −1)4, (2n −1)6, ⋅ ⋅ ⋅, (2n −1)(2n −2) (n −1个) 4 2(1个) 6 2, 6 4(2个) ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅(2n )2, (2n )4, (2n )6, ⋅ ⋅ ⋅, (2n )(2n −2) (n −1个) 3. 写出四阶行列式中含有因子a 11a 23 解 含因子a 的项. 11a 23(−1)的项的一般形式为t a 11a 23a 3r a 4s 其中rs 是2和4构成的排列, 这种排列共有两个, 即24和42. ,所以含因子a 11a 23 (−1)的项分别是t a 11a 23a 32a 44=(−1)1a 11a 23a 32a 44=−a 11a 23a 32a 44 (−1), t a 11a 23a 34a 42=(−1)2a 11a 23a 34a 42=a 11a 23a 34a 42 4. 计算下列各行列式:.(1)71100251020214214; 解 71100251020214214010014231020211021473234−−−−−======c c c c 34)1(143102211014+−×−−−= 143102211014−−=01417172001099323211=−++======c c c c .(2)2605232112131412−; 解 2605232112131412−26053212213041224−−=====c c 041203212213041224−−=====r r 0000003212213041214=−−=====r r . (3)efcf bf de cd bd aeac ab −−−;解 ef cf bf de cd bd ae ac ab −−−ec b e c b ec b adf −−−=abcdef adfbce 4111111111=−−−=.(4)dc b a 100110011001−−−. 解d c b a 100110011001−−−dc b aab ar r 10011001101021−−−++===== d c a ab 101101)1)(1(12−−+−−=+01011123−+−++=====cd c ada ab dc ccdad ab +−+−−=+111)1)(1(23=abcd +ab +cd +ad +1. 5. 证明:(1)1112222b b a a b ab a +=(a −b )3 证明;1112222b b a a b ab a +00122222221213a b a b a a b a ab a c c c c −−−−−−=====ab a b a b a ab 22)1(22213−−−−−=+21))((a b a a b a b +−−==(a −b )3 (2) . y x z x z y zy x b a bz ay by ax bx az by ax bx az bz ay bx az bz ay by ax )(33+=+++++++++;证明bzay by ax bx az by ax bx az bz ay bxaz bz ay by ax +++++++++bz ay by ax x by ax bx az z bxaz bz ay y b bz ay by ax z by ax bx az y bx az bz ay x a +++++++++++++=bz ay y x by ax x z bxaz z y b y by ax z x bx az y z bz ay x a +++++++=22z y x y x z xz y b y x z x z y z y x a 33+=y x z x z y zy x b y x z x z y z y x a 33+=y x z x z y zy x b a )(33+=.(3)0)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(2222222222222222=++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a ; 证明 2222222222222222)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a (c 4−c 3, c 3−c 2, c 2−c 1 得) 5232125232125232125232122222++++++++++++=d d d d c c c c b b b b a a a a (c 4−c 3, c 3−c 2得)022122212221222122222=++++=d d c c b b a a . (4)444422221111d c b a d c b a d c b a =(a −b )(a −c )(a −d )(b −c )(b −d )(c −d )(a +b +c +d ); 证明 444422221111d c b a d c b a d c b a )()()(0)()()(001111222222222a d d a c c a b b a d d a c c a b b ad a c a b −−−−−−−−−=)()()(111))()((222a d d a c c a b b dc b ad a c a b +++−−−= ))(())((00111))()((a b d b d d a b c b c c bd b c a d a c a b ++−++−−−−−−= )()(11))()()()((a b d d a b c c b d b c a d a c a b ++++−−−−−= =(a −b )(a −c )(a −d )(b −c )(b −d )(c −d )(a +b +c +d ). (5)12211 000 00 1000 01a x a a a a x x xn n n+⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−−− =x n +a 1x n −1+ ⋅ ⋅ ⋅ +a n −1x +a n .证明 用数学归纳法证明.当n =2时, 2121221a x a x a x a x D ++=+−=, 命题成立. 假设对于(n −1)阶行列式命题成立, 即 D n −1=x n −1+a 1 x n −2+ ⋅ ⋅ ⋅ +a n −2x +a n −1则D , n 按第一列展开, 有 11100 100 01)1(11−⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−−+=+−x x a xD D n n n n =xD n −1+a n =x n +a 1x n −1+ ⋅ ⋅ ⋅ +a n −1x +a n 因此, 对于n 阶行列式命题成立. .6. 设n 阶行列式D =det(a ij ), 把D 上下翻转、或逆时针旋转90°、或依副对角线翻转, 依次得n nn n a a a a D 11111 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=, 11112 n nnn a a a a D ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅= , 11113 a a a a D n n nn ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=,证明D D D n n 2)1(21)1(−−==, D 3 证明 因为D =det(a =D .ij ), 所以 nnn n n n nnnn a a a a a a a a a a D 2211111111111 )1( ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=−⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−−=−− )1()1(331122111121nnn n nn n n a a a a a a a a D D n n n n 2)1()1()2( 21)1()1(−−+−+⋅⋅⋅++−=−=.同理可证 nnn n n n a a a a D ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−=− )1(11112)1(2D D n n T n n 2)1(2)1()1()1(−−−=−=. D D D D D n n n n n n n n =−=−−=−=−−−−)1(2)1(2)1(22)1(3)1()1()1()1(.7. 计算下列各行列式(D k (1)为k 阶行列式): aa D n 1 1⋅⋅⋅=, 其中对角线上元素都是a , 未写出的元素都是0; 解 aa a a a D n 010 000 00 000 0010 00⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=(按第n 行展开) )1()1(10 000 00 000 0010 000)1(−×−+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−=n n n aa a )1()1(2 )1(−×−⋅⋅⋅⋅−+n n n a a an n n n n a a a+⋅⋅⋅−⋅−=−−+)2)(2(1)1()1(=a n −a n −2=a n −2(a 2−1).(2)xa aa x a a a xD n ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅= ; 解 将第一行乘(−1)分别加到其余各行, 得 ax x a ax x a a x x a aa a x D n −−⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−−⋅⋅⋅−−⋅⋅⋅=000 0 00 0, 再将各列都加到第一列上, 得ax ax a x aaa a n x D n −⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−+=0000 0 000 00 )1(=[x +(n −1)a ](x −a )n −1 (3). 111 1 )( )1()( )1(1111⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−−⋅⋅⋅−=−−−+n a a a n a a a n a a a D n n n n nn n ; 解 根据第6题结果, 有 nnn n n n n n n n a a a n a a a n a a aD )( )1()( )1( 11 11)1(1112)1(1−⋅⋅⋅−−⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−=−−−++此行列式为范德蒙德行列式.∏≥>≥++++−−+−−=112)1(1)]1()1[()1(j i n n n n j a i a D∏≥>≥++−−−=112)1()]([)1(j i n n n j i∏≥>≥++⋅⋅⋅+−++−⋅−⋅−=1121)1(2)1()()1()1(j i n n n n n j i∏≥>≥+−=11)(j i n j i .(4)nnnnn d c d c b a b a D ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=11112; 解nnnnn d c d c b a b a D ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=11112(按第1行展开) nn n n n nd d c d c b a b a a 00011111111−−−−⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=0)1(1111111112c d c d c b a b a b nn n n n nn −−−−+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−+. 再按最后一行展开得递推公式D 2n =a n d n D 2n −2−b n c n D 2n −2, 即D 2n =(a n d n −b n c n )D 2n −2于是 . ∏=−=ni i i i i n D c b d a D 222)(.而 111111112c b d a d c b a D −==,所以 ∏=−=ni i i i i n c b d a D 12)(.(5) D =det(a ij ), 其中a ij 解 a =|i −j |; ij =|i −j |, 043214 01233 10122 21011 3210)det(⋅⋅⋅−−−−⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅==n n n n n n n n a D ij n 04321 1 11111 11111 11111 1111 2132⋅⋅⋅−−−−⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−−−−⋅⋅⋅−−−⋅⋅⋅−−⋅⋅⋅−−⋅⋅⋅−=====n n n n r r r r15242321 0 22210 02210 00210 0001 1213−⋅⋅⋅−−−−⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−−−−⋅⋅⋅−−−⋅⋅⋅−−⋅⋅⋅−+⋅⋅⋅+=====n n n n n c c c c =(−1)n −1(n −1)2n −2 (6).nn a a a D +⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+=1 11 1 1111121, 其中a 1a 2 ⋅ ⋅ ⋅ a n≠0.解nn a a a D +⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+=1 11 1 1111121 nn n n a a a a a a a a a c c c c +−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−=====−−100001 000 100 0100 0100 0011332212132 1111312112111000011 000 00 11000 01100 001 −−−−−−+−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅⋅⋅=nn n a a a a a a a a∑=−−−−−−+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=n i i n n a a a a a a a a 1111131******** 00010 000 00 10000 01000 001)11)((121∑=+=ni i n a a a a .8. 用克莱姆法则解下列方程组: (1) =+++−=−−−−=+−+=+++01123253224254321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x ;解 因为 14211213513241211111−=−−−−=D , 142112105132412211151−=−−−−−−=D , 284112035122412111512−=−−−−−=D , 426110135232422115113−=−−−−=D , 14202132132212151114=−−−−−=D , 所以 111==D D x , 222==D Dx , 333==DD x , 144−==D D x .(2)=+=++=++=++=+150650650651655454343232121x x x x x x x x x x x x x .解 因为 665510006510006510065100065==D , 15075100165100065100065000611==D , 114551010651000650000601000152−==D , 703511650000601000051001653==D , 39551601000051000651010654−==D , 2121100005100065100651100655==D , 所以66515071=x , 66511452−=x , 6657033=x , 6653954−=x , 6652124=x .9. 问λ, µ取何值时, 齐次线性方程组 =++=++=++0200321321321x x x x x x x x x µµλ有非零解？解 系数行列式为µλµµµλ−==1211111D .令D =0, 得 µ=0或λ=1.于是, 当µ=0或λ=1时该齐次线性方程组有非零解.10. 问λ取何值时, 齐次线性方程组 =−++=+−+=+−−0)1(0)3(2042)1(321321321x x x x x x x x x λλλ有非零解？解 系数行列式为λλλλλλλ−−+−−=−−−−=101112431111132421D=(1−λ)3 =(1−λ)+(λ−3)−4(1−λ)−2(1−λ)(−3−λ) 3+2(1−λ)2 令D =0, 得+λ−3. λ=0, λ=2或λ=3.于是, 当λ=0, λ=2或λ=3时, 该齐次线性方程组有非零解.第二章 矩阵及其运算1. 已知线性变换:++=++=++=3213321232113235322y y y x y y y x y y y x , 求从变量x 1, x 2, x 3到变量y 1, y 2, y 3 解 由已知:的线性变换.= 221321323513122y y y x x x ,故= −3211221323513122x x x y y y−−−−=321423736947y y y ,−+=−+=+−−=321332123211423736947x x x y x x x y x x x y .2. 已知两个线性变换++=++−=+=32133212311542322y y y x y y y x y y x ,+−=+=+−=323312211323z z y z z y z z y , 求从z 1, z 2, z 3到x 1, x 2, x 3 解 由已知的线性变换.−= 221321514232102y y y x x x−− −=321310102013514232102z z z−−−−=321161109412316z z z ,所以有 +−−=+−=++−=3213321232111610941236z z z x z z z x z z z x .3. 设 −−=111111111A ,−−=150421321B , 求3AB −2A 及A T 解 B .−−− −− −−=−1111111112150421321111111111323A AB−−−−= −−− −=2294201722213211111111120926508503,−= −− −−=092650850150421321111111111B A T.4. 计算下列乘积: (1)−127075321134;解 −127075321134 ×+×+××+×−+××+×+×=102775132)2(71112374=49635.(2)123)321(;解123)321(=(1×3+2×2+3×1)=(10).(3))21(312−;解 )21(312−×−××−××−×=23)1(321)1(122)1(2−−−=632142. (4)−−−−20413121013143110412 ; 解−−− −20413121013143110412 −−−=6520876. (5)321332313232212131211321)(x x x a a a a a a a a a x x x ;解321332313232212131211321)(x x x a a a a a a a a a x x x=(a 11x 1+a 12x 2+a 13x 3 a 12x 1+a 22x 2+a 23x 3a 13x 1+a 23x 2+a 33x 3321x x x )322331132112233322222111222x x a x x a x x a x a x a x a +++++=.5. 设 =3121A ,=2101B , 问: (1)AB =BA 吗? 解 AB ≠BA . 因为=6443AB ,=8321BA , 所以AB ≠BA .(2)(A +B )2=A 2+2AB +B 2 解 (A +B )吗? 2≠A 2+2AB +B 2 因为.=+5222B A ,=+52225222)(2B A=2914148,但 + +=++43011288611483222B AB A=27151610,所以(A +B )2≠A 2+2AB +B 2 (3)(A +B )(A −B )=A . 2−B 2 解 (A +B )(A −B )≠A 吗? 2−B 2 因为.=+5222B A ,=−1020B A ,==−+906010205222))((B A B A ,而= −=−718243011148322B A ,故(A +B )(A −B )≠A 2−B 2 6. 举反列说明下列命题是错误的:.(1)若A 2 解 取=0, 则A =0;=0010A , 则A 2 (2)若A =0, 但A ≠0. 2 解 取=A , 则A =0或A =E ;=0011A , 则A 2 (3)若AX =AY , 且A ≠0, 则X =Y .=A , 但A ≠0且A ≠E . 解 取=0001A , −=1111X ,=1011Y , 则AX =AY , 且A ≠0, 但X ≠Y .7. 设=101λA , 求A 2, A 3, ⋅ ⋅ ⋅, A k 解 . ==12011011012λλλA , ===1301101120123λλλA A A , ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅,=101λk A k . 8. 设=λλλ001001A , 求A k 解 首先观察. =λλλλλλ0010010010012A=222002012λλλλλ,=⋅=3232323003033λλλλλλA A A ,=⋅=43423434004064λλλλλλA A A ,=⋅=545345450050105λλλλλλA A A , ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅,=k A k k k k k k k k k k λλλλλλ0002)1(121−−−−. 用数学归纳法证明:当k =2时, 显然成立.假设k 时成立，则k +1时，−=⋅=−−−+λλλλλλλλλ0010010002)1(1211k k k k k k k k k k k k A A A+++=+−+−−+11111100)1(02)1()1(k k k k k k k k k k λλλλλλ, 由数学归纳法原理知:−=−−−k k k k k k k k k k k A λλλλλλ0002)1(121. 9. 设A , B 为n 阶矩阵，且A 为对称矩阵，证明B T 证明 因为A AB 也是对称矩阵.T (B =A , 所以T AB )T =B T (B T A )T =B T A T B =B T 从而B AB ,T 10. 设A , B 都是n 阶对称矩阵，证明AB 是对称矩阵的充分必要条件是AB =BA .AB 是对称矩阵.证明 充分性: 因为A T =A , B T (AB )=B , 且AB =BA , 所以 T =(BA )T =A T B T 即AB 是对称矩阵.=AB ,必要性: 因为A T =A , B T =B , 且(AB )T AB =(AB )=AB , 所以T =B T A T 11. 求下列矩阵的逆矩阵:=BA .(1)5221; 解=5221A . |A |=1, 故A −1 存在. 因为−−= =1225*22122111A A A A A ,故 *||11A A A =−−−=1225. (2)−θθθθcos sin sin cos ; 解−=θθθθcos sin sin cos A . |A |=1≠0, 故A −1 存在. 因为−= =θθθθcos sin sin cos *22122111A A A A A , 所以 *||11A A A =−−=θθθθcos sin sin cos . (3)−−−145243121; 解−−−=145243121A . |A |=2≠0, 故A −1 存在. 因为−−−−−= =214321613024*332313322212312111A A A A A A A A A A , 所以 *||11A A A =−−−−−−=1716213213012. (4)n a a a 0021(a 1a 2⋅ ⋅ ⋅a n ≠0) .解=n a a a A 0021, 由对角矩阵的性质知=−n a a a A 10011211 . 12. 解下列矩阵方程:(1) −=12643152X ; 解 −=−126431521X − −−=12642153 −=80232. (2) −=−−234311*********X ; 解 1111012112234311−−− −=X−−− −=03323210123431131 −−−=32538122. (3) −= − −101311022141X ;解 11110210132141−− − − −=X− −=210110131142121 =21010366121=04111. (4)−−−= 021102341010100001100001010X . 解 11010100001021102341100001010−−−−− =X −−− =010100001021102341100001010 −−−=201431012. 13. 利用逆矩阵解下列线性方程组:(1) =++=++=++3532522132321321321x x x x x x x x x ; 解 方程组可表示为= 321153522321321x x x , 故 = = −0013211535223211321x x x ,从而有 ===001321x x x . (2) =−+=−−=−−05231322321321321x x x x x x x x x . 解 方程组可表示为=−−−−−012523312111321x x x , 故 =−−−−−= −3050125233121111321x x x , 故有 ===305321x x x . 14. 设A k =O (k 为正整数), 证明(E −A )−1=E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k −1 证明 因为A . k =O , 所以E −A k E −A =E . 又因为k =(E −A )(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k −1所以 (E −A )(E +A +A ),2+⋅ ⋅ ⋅+A k −1由定理2推论知(E −A )可逆, 且)=E ,(E −A )−1=E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k −1.证明 一方面, 有E =(E −A )−1 另一方面, 由A (E −A ).k E =(E −A )+(A −A =O , 有2)+A 2−⋅ ⋅ ⋅−A k −1+(A k −1−A k )=(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k −1故 (E −A ))(E −A ),−1(E −A )=(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k −1两端同时右乘(E −A ))(E −A ),−1 (E −A ), 就有−1(E −A )=E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k −1.15. 设方阵A 满足A 2−A −2E =O , 证明A 及A +2E 都可逆, 并求A −1及(A +2E )−1 证明 由A .2 A −A −2E =O 得2或 −A =2E , 即A (A −E )=2E ,E E A A =−⋅)(21, 由定理2推论知A 可逆, 且)(211E A A −=−. 由A 2 A −A −2E =O 得2或 −A −6E =−4E , 即(A +2E )(A −3E )=−4E ,E A E E A =−⋅+)3(41)2( 由定理2推论知(A +2E )可逆, 且)3(41)2(1A E E A −=+−.证明 由A 2−A −2E =O 得A 2 |A −A =2E , 两端同时取行列式得 2即 |A ||A −E |=2,−A |=2,故 |A |≠0,所以A 可逆, 而A +2E =A 2, |A +2E |=|A 2|=|A |2由 A ≠0, 故A +2E 也可逆. 2 ⇒A −A −2E =O ⇒A (A −E )=2E−1A (A −E )=2A −1)(211E A A −=−E ⇒,又由 A 2 ⇒ (A +2E )(A −3E )=−4 E ,−A −2E =O ⇒(A +2E )A −3(A +2E )=−4E所以 (A +2E )−1(A +2E )(A −3E )=−4(A +2 E )−1 ,)3(41)2(1A E E A −=+−.16. 设A 为3阶矩阵, 21||=A , 求|(2A )−1 解 因为−5A *|.*||11A A A =−, 所以 |||521||*5)2(|111−−−−=−A A A A A |2521|11−−−=A A=|−2A −1|=(−2)3|A −1|=−8|A |−1 17. 设矩阵A 可逆, 证明其伴随阵A *也可逆, 且(A *)=−8×2=−16.−1=(A −1 证明 由)*.*||11A A A =−, 得A *=|A |A −1 |A *|=|A |, 所以当A 可逆时, 有n |A −1|=|A |n −1从而A *也可逆.≠0,因为A *=|A |A −1 (A *), 所以−1=|A |−1又A .*)(||)*(||1111−−−==A A A A A , 所以(A *)−1=|A |−1A =|A |−1|A |(A −1)*=(A −1 18. 设n 阶矩阵A 的伴随矩阵为A *, 证明:)*.(1)若|A |=0, 则|A *|=0;(2)|A *|=|A |n −1 证明.(1)用反证法证明. 假设|A *|≠0, 则有A *(A *)−1 A =A A *(A *)=E , 由此得 −1=|A |E (A *)−1所以A *=O , 这与|A *|≠0矛盾，故当|A |=0时, 有|A *|=0.=O ,(2)由于*||11A A A =−, 则AA *=|A |E , 取行列式得到 |A ||A *|=|A |n 若|A |≠0, 则|A *|=|A |.n −1 若|A |=0, 由(1)知|A *|=0, 此时命题也成立.;因此|A *|=|A |n −1.19. 设−=321011330A , AB =A +2B , 求B . 解 由AB =A +2E 可得(A −2E )B =A , 故− −−−=−=−−321011330121011332)2(11A E A B −=011321330. 20. 设 =101020101A , 且AB +E =A 2+B , 求B .解 由AB +E =A 2 (A −E )B =A +B 得 2即 (A −E )B =(A −E )(A +E ).−E , 因为01001010100||≠−==−E A , 所以(A −E )可逆, 从而=+=201030102E A B .21. 设A =diag(1, −2, 1), A *BA =2BA −8E , 求B . 解 由A *BA =2BA −8E 得 (A *−2E )BA =−8E , B =−8(A *−2E )−1A =−8[A (A *−2E )]−1 =−8(AA *−2A )−1 =−8(|A |E −2A )−1 =−8(−2E −2A )−1 =4(E +A )−1 =4[diag(2, −1, 2)]−1−1)21 ,1 ,21(diag 4−==2diag(1, −2, 1).22. 已知矩阵A 的伴随阵−=8030010100100001*A , 且ABA −1=BA −1+3E , 求B .解 由|A *|=|A |3 由ABA =8, 得|A |=2. −1=BA −1 AB =B +3A ,+3E 得 B =3(A −E )−1A =3[A (E −A −1)]−1 A 11*)2(6*)21(3−−−=−=A E A E−=−−=−1030060600600006603001010010000161. 23. 设P −1 −−=1141P AP =Λ, 其中,−=Λ2001, 求A 11 解 由P . −1AP =Λ, 得A =P ΛP −1, 所以A 11= A =P Λ11P −1 |P |=3, .−=1141*P ,−−=−1141311P ,而−= −=Λ11111120 012001,故−− −−−=31313431200111411111A −−=68468327322731. 24. 设AP =P Λ, 其中−−=111201111P ,−=Λ511,求ϕ(A )=A 8(5E −6A +A 2 解 ϕ(Λ)=Λ). 8(5E −6Λ+Λ2 =diag(1,1,5)8)[diag(5,5,5)−diag(−6,6,30)+diag(1,1,25)]=diag(1,1,58 ϕ(A )=P ϕ(Λ)P )diag(12,0,0)=12diag(1,0,0).−1 *)(||1P P P Λ=ϕ−−−−−− −−−=1213032220000000011112011112=1111111114.25. 设矩阵A 、B 及A +B 都可逆, 证明A −1+B −1 证明 因为也可逆, 并求其逆阵.A −1(A +B )B −1=B −1+A −1=A −1+B −1而A ,−1(A +B )B −1是三个可逆矩阵的乘积, 所以A −1(A +B )B −1可逆, 即A −1+B −1 (A 可逆.−1+B −1)−1=[A −1(A +B )B −1]−1=B (A +B )−1 26. 计算A .−−−30003200121013013000120010100121. 解 设 =10211A , =30122A , −=12131B ,−−=30322B ,则 2121B O B E A O E A+=222111B A O B B A A ,而 −= −−+−=+4225303212131021211B B A ,−−= −− =90343032301222B A , 所以 2121B O B E A O E A +=222111B A O B B A A−−−=9000340042102521, 即−−−30003200121013013000120010100121−−−=9000340042102521. 27. 取==−==1001D C B A , 验证|||||||| D C B A D C B A ≠.解 4100120021010*********0021010010110100101==−−=−−=D C B A , 而 01111|||||||| ==D C B A ,故 ||||||||D C B A D C B A ≠. 28. 设 −=22023443O O A , 求|A 8|及A 4解 令. −=34431A ,=22022A , 则=21A O O A A ,故 8218=A O O A A=8281A O O A ,1682818281810||||||||||===A A A A A .= =464444241422025005O O A O O A A . 29. 设n 阶矩阵A 及s 阶矩阵B 都可逆, 求 (1)1−O B A O ; 解 设 =−43211C C C C O B A O , 则O B A O 4321C C C C = =s n E O O E BC BC AC AC 2143. 由此得====s n EBC OBC O AC E AC 2143⇒ ====−−121413B C O C O C A C ,所以= −−−O A B O O B A O 111. (2)1−B C O A . 解 设 =−43211D D D D B C O A , 则 = ++= s nE O O E BD CD BD CD AD AD D D D D B C O A 4231214321.由此得=+=+==s nEBD CD O BD CD O AD E AD 423121⇒ =−===−−−−14113211B D CA B D O D A D ,所以−= −−−−−11111B CA B O A BC O A . 30. 求下列矩阵的逆阵: (1)2500380000120025; 解 设 =1225A , =2538B , 则−−= =−−5221122511A ,−−==−−8532253811B .于是 −−−−= = =−−−−850032000052002125003800001200251111B A B A .(2)4121031200210001. 解 设 =2101A ,=4103B ,=2112C , 则−= =−−−−−−1111114121031200210001B CA B O A BC O A−−−−−=411212458103161210021210001.第三章 矩阵的初等变换与线性方程组1. 把下列矩阵化为行最简形矩阵: (1)−−340313021201;解−−340313021201(下一步: r 2+(−2)r 1, r 3+(−3)r 1 ~. )−−−020*********(下一步: r 2÷(−1), r 3 ~÷(−2). )−−010*********(下一步: r 3−r 2 ~. )−−300031001201(下一步: r 3 ~÷3. )−−100031001201(下一步: r 2+3r 3 ~. )−100001001201(下一步: r 1+(−2)r 2, r 1+r 3 ~. )100001000001.(2)−−−−174034301320;解−−−−174034301320(下一步: r 2×2+(−3)r 1, r 3+(−2)r 1 ~. )−−−310031001320(下一步: r 3+r 2, r 1+3r 2 ~. )0000310010020(下一步: r 1 ~÷2. )000031005010.(3)−−−−−−−−−12433023221453334311;解−−−−−−−−−12433023221453334311(下一步: r 2−3r 1, r 3−2r 1, r 4−3r 1~. )−−−−−−−−1010500663008840034311(下一步: r 2÷(−4), r 3÷(−3) , r 4~÷(−5). )−−−−−22100221002210034311(下一步: r 1−3r 2, r 3−r 2, r 4−r 2~. )−−−00000000002210032011.(4)−−−−−−34732038234202173132. 解−−−−−−34732038234202173132(下一步: r 1−2r 2, r 3−3r 2, r 4−2r 2~. )−−−−−1187701298804202111110(下一步: r 2+2r 1, r 3−8r 1, r 4−7r 1 ~. )−−41000410002020111110(下一步: r 1↔r 2, r 2×(−1), r 4−r 3~. )−−−−00000410001111020201(下一步: r 2+r 3~. )−−00000410003011020201. 2. 设= 987654321100010101100001010A , 求A .解100001010是初等矩阵E (1, 2), 其逆矩阵就是其本身.100010101是初等矩阵E (1, 2(1)), 其逆矩阵是E (1, 2(−1))−=100010101.− =100010101987654321100001010A= − =287221254100010101987321654.3. 试利用矩阵的初等变换, 求下列方阵的逆矩阵: (1)323513123;解 100010001323513123~−−−101011001200410123~ −−−−1012002110102/102/3023~−−−−2/102/11002110102/922/7003~−−−−2/102/11002110102/33/26/7001故逆矩阵为−−−−21021211233267.(2)−−−−−1210232112201023.解−−−−−10000100001000011210232112201023~−−−−00100301100001001220594012102321~−−−−−−−−20104301100001001200110012102321~ −−−−−−−106124301100001001000110012102321 ~−−−−−−−−−−10612631110`1022111000010000100021 ~−−−−−−−106126311101042111000010000100001故逆矩阵为−−−−−−−10612631110104211. 4. (1)设 −−=113122214A ,−−=132231B , 求X 使AX =B ;解 因为−−−−=132231 113122214) ,(B A−−412315210 100010001 ~r ,所以−−==−4123152101B A X .(2)设−−−=433312120A , −=132321B , 求X 使XA =B . 解 考虑A T X T =B T . 因为−−−−=134313*********) ,(T T B A−−−411007101042001 ~r ,所以−−−==−417142)(1T T T B A X ,从而−−−==−4741121BA X . 5. 设−−−=101110011A , AX =2X +A , 求X .解 原方程化为(A −2E )X =A . 因为−−−−−−−−−=−101101110110011011) ,2(A E A−−−011100101010110001~,所以−−−=−=−011101110)2(1A E A X .6. 在秩是r 的矩阵中,有没有等于0的r −1阶子式? 有没有等于0的r 阶子式?解 在秩是r 的矩阵中, 可能存在等于0的r −1阶子式, 也可能存在等于0的r 阶子式. 例如,=010*********A , R (A )=3.0000是等于0的2阶子式, 010001000是等于0的3阶子式. 7. 从矩阵A 中划去一行得到矩阵B , 问A , B 的秩的关系怎样?解 R (A )≥R (B ).这是因为B 的非零子式必是A 的非零子式, 故A 的秩不会小于B 的秩.8. 求作一个秩是4的方阵, 它的两个行向量是(1, 0, 1, 0, 0), (1, −1, 0, 0, 0).解 用已知向量容易构成一个有4个非零行的5阶下三角矩阵:−0000001000001010001100001, 此矩阵的秩为4, 其第2行和第3行是已知向量.9. 求下列矩阵的秩, 并求一个最高阶非零子式: (1)−−−443112112013;解−−−443112112013(下一步: r 1↔r 2 ~. )−−−443120131211(下一步: r 2−3r 1, r 3−r 1 ~. )−−−−564056401211(下一步: r 3−r 2 ~. )−−−000056401211, 矩阵的2秩为, 41113−=−是一个最高阶非零子式.(2)−−−−−−−815073*********;解−−−−−−−815073*********(下一步: r 1−r 2, r 2−2r 1, r 3−7r 1 ~. )−−−−−−15273321059117014431(下一步: r 3−3r 2~. )−−−−0000059117014431, 矩阵的秩是2, 71223−=−是一个最高阶非零子式.(3)−−−02301085235703273812. 解−−−02301085235703273812(下一步: r 1−2r 4, r 2−2r 4, r 3−3r 4~. )−−−−−−023*********63071210(下一步: r 2+3r 1, r 3+2r 1~. )−0230114000016000071210(下一步: r 2÷16r 4, r 3−16r 2. )~−02301000001000071210 ~−00000100007121002301, 矩阵的秩为3, 070023085570≠=−是一个最高阶非零子式.10. 设A 、B 都是m ×n 矩阵, 证明A ~B 的充分必要条件是R (A )=R (B ).证明 根据定理3, 必要性是成立的.充分性. 设R (A )=R (B ), 则A 与B 的标准形是相同的. 设A 与B 的标准形为D , 则有A ~D , D ~B .由等价关系的传递性, 有A ~B .11. 设−−−−=32321321k k k A , 问k 为何值, 可使(1)R (A )=1; (2)R (A )=2; (3)R (A )=3.解 −−−−=32321321k k k A+−−−−−)2)(1(0011011 ~k k k k k r . (1)当k =1时, R (A )=1; (2)当k =−2且k ≠1时, R (A )=2;(3)当k ≠1且k ≠−2时, R (A )=3.12. 求解下列齐次线性方程组: (1) =+++=−++=−++02220202432143214321x x x x x x x x x x x x ;解 对系数矩阵A 进行初等行变换, 有 A = −−212211121211~ −−−3/410013100101,于是 ==−==4443424134334x x x x x x x x ,故方程组的解为−= 1343344321k x x x x (k 为任意常数).(2) =−++=−−+=−++05105036302432143214321x x x x x x x x x x x x ;解 对系数矩阵A 进行初等行变换, 有 A = −−−−5110531631121~−000001001021,于是 ===+−=4432242102x x x xx x x x ,故方程组的解为+−= 10010*********k k x x x x (k 1, k 2 (3)为任意常数).=−+−=+−+=−++=+−+07420634072305324321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x ;解 对系数矩阵A 进行初等行变换, 有 A =−−−−−7421631472135132~1000010000100001,于是 ====0004321x x x x ,故方程组的解为 ====00004321x x x x .(4) =++−=+−+=−+−=+−+03270161311402332075434321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x .解 对系数矩阵A 进行初等行变换, 有 A =−−−−−3127161311423327543~−−000000001720171910171317301,于是 ==−=−=4433432431172017191713173x x x x x x x xx x ,故方程组的解为−−+= 1017201713011719173214321k k x x x x (k 1, k 2为任意常数).13. 求解下列非齐次线性方程组: (1) =+=+−=−+83111021322421321321x x x x x x x x ;解 对增广矩阵B 进行初等行变换, 有。
线性代数自考(经管类)
3．对行列式中有一行或一列中只有一个或两个非零元的情况，用这一行或一列展开.
4．行列式中各行元素之和为一个常数的类型.
5.范德蒙行列式的计算公式
例6求4阶行列式的值.
测试点 行列式的计算
解
测试点 个维向量线性无关相应的行列式;
解
所以 且.
答案 且.
2. 关于线性相关的几个定理
1) 如果向量组线性无关,而线性相关,则可由线性表示,且表示法唯一.
矩阵的加、减、乘有意义的充分必要条件
例1设矩阵,， ，则下列矩阵运算中有意义的是（ ）
A． B．
C． D．
测试点: 矩阵相乘有意义的充分必要条件
答案: B
例2设矩阵， ，则 =_____________.
测试点: 矩阵运算的定义
解 .
例3设矩阵， ，则____________.
3．转置 对称阵和反对称阵
1）转置的性质
2）若，则称为对称（反对称）阵
例4矩阵为同阶方阵，则=（ ）
A． B．
C． D．
答案: B
例5设令,试求.
测试点 矩阵乘法的一个常用技巧
解 因为,所以
答案
例6为任意阶矩阵，下列矩阵中为反对称矩阵的是（ ）
1．向量组的线性相关性的定义和充分必要条件：
1）定义: 设是一组维向量.如果存在个不全为零的数，使得
,
则称向量组线性相关，否则，即如果，必有
，则称向量组线性无关.
2) 个维向量线性相关的充分必要条件是至少存在某个是其余向量的线性组合.即线性无关的充分必要条件是其中任意一个向量都不能表示为其余向量的线性组合.
线性代数课后练习参考答案(初稿)
线性代数课后习题参考答案(初稿)习题一1. 用行列式定义计算下列各题（1）4245322635-=-⨯-⨯=-（2）12130111110101(1)(1)21011110++=-+-=（3）1312001002020030(1)3002(1)243000040040004++=-=⨯-=- （4）11121310000230234645(1)4562(1)3(1)4045681089891078910+++=-=⨯-+⨯-= 2. 利用行列式的性质计算下列各题（1）214121413121506201232123250625062-== （2）28512851105131025319061906512511310805120512121100107609712--------==---=----=----------（3）111111111abac aebcebdcdde adf b c e adfbce bfcfef b c e ----=-=----111024020adfbce adfbce -== （4）3300011()()01000a b b b a b b b ab a b a b a a b a a b a a b a a b b a a b b b b a b a b a -==--=-------- （5）x a a aa x aa a ax a a a ax =(1)(1)(1)(1)x n a a aax n a x a ax n a a x a x n a a ax+-+-+-+- =[(1)]x n a+-1111a aa x a a a x a a ax=[(1)]x na +-1001001001x ax a x a---[(1)]x n a =+-1()n x a --（6）22222222222222222222(1)(2)(3)212325(1)(2)(3)2123250(1)(2)(3)212325(1)(2)(3)212325a a a a a a a ab b b b b b b bc c c c c c c cd d d d d d d d ++++++++++++==++++++++++++（7）12311000011231110001223110200(1)!1232110020123111001n n n n n n n n n n n n n nn -+-+-==--+----+-(8)0121111110001012111112002131111122012301230123241n n n n n n n n n n n n n --------==-----------------12(1)2(1)n n n --=--3. 证明下列各题（1）111111111111111122222222222222223333333333333333a b b c c a a b c c a b b c c a a b b c c a a b c c a b b c c a a b b c c a a b c c a b b c c a ++++++++++=++++++++++++111111111111112222222222222233333333333333a b c c b c c a a b c b c a a b c c b c c a a b c b c a a b c c b c c a a b c b c a ++=+++=+++ 1112223332a b c a b c a b c = （2）00()()()()00x y z x z yx y z y z x z x y x y z y z x z y x =-+++-+-+-（证明略）（3）11111111111111111110111111111110111111111110111x x x x x y y y y y y+---=++++--- 21000111111111001111110111001111110111000x x x x y xy x y y y y y y y-⎛-⎫- ⎪=++=++++ ⎪ ⎪---⎝⎭- 222222210011001100y xy x y x xy xy x y x y y y ⎛⎫+ ⎪=+-=-+= ⎪- ⎪-⎝⎭（4）设01211000100010n n n a a x D a x a x----=-， 则按最后一行展开，可得01113210001101(1)0011n n n n n a a x xD a x a x x a x+-------=-+--211122122()n n n n n n n n a xD a x a xD a xa x D --------=+=++=++. 332123223321123210n n n n n n n n n n n a xa a x a xx D a xa a x a x a x a x -----------==+++++=++++++4. 解法参考例 1.11.5. 问齐次线性方程组123123123(1)2402(3)0(1)0x x x x x x x x x λλλ--+=⎧⎪+-+=⎨⎪++-=⎩ 有非零解时，必须满足什么条件？ 解：齐次线性方程组有非零解，当且仅当1242310111λλλ---=-. 又124111111231231012111112403(1)(3)λλλλλλλλλλλλ-----=--=--------+-(2)(3)0,λλλ=---=解得，0,λ=或2λ=，或3λ=.所以，当0,λ=或2λ=，或3λ=，齐次线性方程组有非零解.习题二 1. 1654127,2211210712A B A B -⎛⎫⎛⎫+=-=⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭2. 解：由A X B +=， 得020133.221X B A -⎛⎫⎪=-=-- ⎪ ⎪--⎝⎭ 3. 解：213220583221720,0564292290T AB A A B -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ 4. 解：（1）()31,2,32132231101⎛⎫ ⎪=⨯+⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭ （2）()22411,212336-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭， （3）12110162134021311491231042217--⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭（4） 131********78113413120510402⎛⎫⎪--⎛⎫⎛⎫⎪= ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭5. 解： （1） 错误，令1101,,0111A B ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则有AB BA ≠；（2）错误，令1101,,0111A B ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则有222()2.A B A AB B +≠++(3) 错误，令1101,,0111A B ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则可得22()().A B A B A B +-≠- (4) 错误， 设00,10A ⎛⎫= ⎪⎝⎭则有20A =，但0.A ≠（5）错误， 设10,00A ⎛⎫= ⎪⎝⎭则有2A A =，但.A I ≠6． 解：2221010(),0101AB A B -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭7． 证明： 因为A 为对称矩阵，所以T A A =. 故(),T T T T T B AB B A B B AB ==因此，T B AB 是对称矩阵.8. 证明： 因为(),(),T T T T T T A A A A AA AA == 所以,T T A A AA 是对称矩阵.9. 解： 由32,A X B -=得43/211(3)15/2127/211/25/2X B A -⎛⎫ ⎪=--=- ⎪ ⎪⎝⎭. 10. 2cos 2sin 2,sin 2cos 2A θθθθ-⎛⎫=⎪⎝⎭cos sin sin cos n n n A n n θθθθ-⎛⎫= ⎪⎝⎭对n 作数学归纳法. 当2n =时,22222cos 2sin 2cos sin 2cos sin sin 2cos 22cos sin cos sin A θθθθθθθθθθθθ-⎛⎫--⎛⎫==⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭, 结论成立. 假设, 当n k =时, 结论成立, 即cos sin sin cos k k k A k k θθθθ-⎛⎫=⎪⎝⎭. 下证1n k =+结论成也立. 由归纳假设可得,1k A+=cos sin cos sin sin cos sin cos k k k A A k k θθθθθθθθ--⎛⎫⎛⎫=⎪⎪⎝⎭⎝⎭cos cos sin sin cos sin sin cos cos sin sin cos cos cos sin sin k k k k k k k k θθθθθθθθθθθθθθθθ---⎛⎫=⎪+-⎝⎭cos(1)sin(1)sin(1)cos(1)k k k k θθθθ+-+⎛⎫=⎪++⎝⎭因此，由归纳法可得cos sin sin cos n n n A n n θθθθ-⎛⎫=⎪⎝⎭. 11. （1）解： 由初等行变换可得，11103111031110311007221240012200122001043314500244000390001311118002150000000000A -------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪----⎪ ⎪ ⎪ ⎪=→→→⎪ ⎪ ⎪ ⎪------ ⎪⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）解： 由初等行变换可得，111111107125016016234000000⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-→-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭12. 解法见第38页 例2.14. 13. (1)解：22222311111111111011111110111λλλλλλλλλλλλλλλλλλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪→→---⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭2221101100(1)(2)(1)(1)λλλλλλλλλλ⎛⎫ ⎪→--- ⎪ ⎪-+-+⎝⎭， 当2λ=-时， 方程组无解， 当1λ=时，方程组的增广矩阵为111100000000⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭因此方程组的解为12111010001k k --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 12,k k 为任意常数， 当1λ≠， 且2λ≠-时，方程组有唯一解，221211(1)(1),,222x x x λλλλλλλ+++=-=-+=-+++（2）解：322111************213221λλλλλλλλλλλλ---⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪--→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭ 112111210111011101(2)(1)2(1)00(1)(3)1λλλλλλλλλλλλλλλ--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪→-+--→--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-------⎝⎭⎝⎭当1λ=时，方程组无解，方程组的增广矩阵为111100000000⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭因此方程组的解为12111010001k k --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 12,k k 为任意常数，当3λ=时，方程组无解，当3λ≠且1λ≠时，方程组有唯一解，123411,,.33x x x λλλ-=-==-- 14. 解： 通过初等变换，可得A 的标准型矩阵为，17100010101002800105100015⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭15. 解析：通过初等行变换可将矩阵()A I 化为()()A I I B →，则1A B -= 例如（1）通过初等行变换，121012101052250101210121-⎛⎫⎛⎫⎛⎫→→ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 故 112522521--⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭相类似的方法可求的其余矩阵的逆矩阵，答案见教材第177页. 16. 解： 原线性方程组可写成123123122103430x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因此，11231123132210234301x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭17.（1） 由原矩阵方程可得121122111321182431511133X --⎛⎫-⎛⎫-⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭ ⎪-⎝⎭⎝⎭， （2） 由原矩阵方程可得1111143120112011104X --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（3）由原矩阵方程可得11010143100210100201001134001120010102X ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪=-=- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭18证明： 因为21()()k k I A I A A A I A I +-++++=-=， 所以12()()k I A I A A A --=++++19． 解： 由220A A I --=， 得()2A I AI -=，3(2)4A IA I I -+=-， 因此，1(),2A I A --=13(2)4A IA I --+=- 20. 证明： 由220A AB B ++=， 且B 可逆得，22[()],()A A B B E B A A B E ---+=-+=，因此，,A A B +可逆，且1212(),().A A B B A B B ----=-++=-21. 令11123,01121001B C ⎛⎫⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭，则111311044,0111100122B C --⎛⎫-⎛⎫- ⎪ ⎪==-⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭， 因此1111130004411000002200001100001101B B A A A ----⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪-⎛⎫⎛⎫⎪=== ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭. 22. 证明： 若,B C 可逆，则有11000B C I CB --⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以A 可逆，且1110.0C A B---⎛⎫= ⎪⎝⎭ 反之，若A 可逆, 设其逆为XY Z V ⎛⎫⎪⎝⎭， 则， 000B X Y I o C Z V I ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 因此，,BZ I CY I ==， 因此,B C 可逆.23. 证明：用反证法. 假设A 是奇异矩阵，则由2A A =， 得211A A AA --=， 即A E =， 这与已知条件矛盾，所以A 是非奇异矩阵.习题三 1. (3,8,7)T β=2. 解: 设11223344,x x x x βαααα=+++ 即12341111121111,1111111111x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 解得, 12345111,,,4444x x x x ===-=-, 因此12345111.4444βαααα=+--3. 解: 由3(),αβαβ-=+ 得117(1,,2,)222T αα=-=---. 4. 类似第2题的解法，可得1234243.βαααα=+-+ 5. (1) 解: 设1122330,x x x ααα++= 即1231111260133x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 上面方程组只有零解，所以123,,ααα线性无关. (2) 因为111111111141406120612117024000A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-→-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 所以秩(A)=2, 故123,,ααα线性相关. 6. 用反证法容易证明结论成立.7. 证明: (1) 设11220,m m x x x βββ+++= 则有11220,m m x x x ααα+++= 又因为12,,,m ααα线性无关, 所以120,m x x x ==== 因此12,,,,mβββ线性无关.(2) 若12,,,,m βββ线性相关, 则存在不全为零的数12,,,,m x x x 使得11220,m m x x x βββ+++= 因此11220,m m x x x ααα+++= 故而12,,,m ααα线性相关.8. 证明: ()⇒设112223331()()()0,k k k αααααα+++++= 整理得,131122233()()()0k k k k k k ααα+++++=,因为123,,ααα线性无关, 所以131223000k k k k k k +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩ 又因为1011100011≠, 所以上面方程组只有零解, 故122331,,αααααα+++线性无关.()⇐ 设1122330,k k k ααα++= 整理得,123121232312331111()()()()()()0,222k k k k k k k k k αααααα+-++-++++-++= 又因为122331,,αααααα+++线性无关， 所以123123123(000k k k k k k k k k +-=⎧⎪-++=⎨⎪-+=⎩ 解得上面方程组只有零解， 因此，123,,ααα线性无关. 证明： 9.（⇒）设1mi i i k αα==∑， 和10.mi i i l α==∑ 则，111()mmmi i i i i i i i i i k l k l αααα====+=+∑∑∑，又α的表达式唯一，因此,i i i k l k += 即0,i l = 故，12,,,m ααα 线性无关.（⇐）设11m m i i i i i i k l ααα====∑∑， 则1()0mi i i i k l α=-=∑，因为12,,,m ααα 线性无关，所以，,i i k l =故α的表达式唯一.10. 证明：因为12,,,m ααα 线性相关， 则存在不全为零的数12,,,m k k k 使得，10.mi i i k α==∑若有某个0i k =， 不妨设10k =，则有20,mi i i k α==∑ 又任一1m -向量都线性无关，因此230m k k k ====， 这与12,,,m k k k 不全为零矛盾，因此12,,,m k k k 全不为零， 命题得证. 11. 答案见教材178页. 12. 解: (1) 因为13213213221307107132076005A c c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-→--→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--+-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以， 当50,c -+≠ 即5c ≠时，123,,ααα线性无关.(2 ) 当5c =时，123,,ααα线性相关， 且312111.77ααα=+ 13. 解： （1）因为234411231123112311232344050100501032613261050100000102110210120000A ------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=→→→⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭因此，向量组1234,,,αααα的秩为2， 12,αα是一个极大线性无关组， 且314122,2.ααααα==-+用类似的方法可求（2）， （3）， 答案见教材.14. (1) 因为120131(,)1224αα⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭， 有一个二阶子式01331=--，所以秩（12,αα）=2， 即12,αα线性无关.（2） 容易计算124,,ααα线性无关. 15. 答案见教材.16. (1)任取()()12121,,,,,,,,,n n x x x y y y V k R ∈∈则有11220n n x y x y x y ++++++=，120n kx kx kx +++=所以()()()121211221,,,,,,,,,n n n n x x x y y y x y x y x y V +=+++∈，12121(,,,)(,,,)n n k x x x kx kx kx V =∈，因此，1V 是线性空间.(2) 任取()()12122,,,,,,,n n x x x y y y V ∈,则有11222n n x y x y x y ++++++=，因此， ()()()121211222,,,,,,,,,.n n n n x x x y y y x y x y x y V +=+++∉ 因此，2V 不是线性空间. 17. 证明： 因为111111101101211110011==-=--，所以123,,ααα线性无关， 即秩（123,,ααα）=3，故123,,ααα生成的子空间就是R .18. 因为 12311160,032-=-≠ 所以，秩（123,,ααα）=3，故123,,ααα是R 的一组基.令1112233k k k βααα=++， 即123(5,0,7)(1,1,0)(2,1,3)(3,1,2).k k k =-++ 因此123123232350327k k k k k k k k ++=⎧⎪-++=⎨⎪+=⎩， 解得，1232,3,1,k k k ===- 所以112323βααα=+-.19. 方法见例3.17. 20. 见教材答案21. 证明： 因为A 是正交阵， 所以21,1T A A A -==.又*,A A A E = 即*1A A A -=.因此，2**()T A A A E E ==， 故*A 是正交阵. 习题四 1. 解（1）1251251251320170171490214000378017000⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪---⎪ ⎪ ⎪→→⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 所以，原方程组与下面方程组同解，1232325070x x x x x ++=⎧⎨-=⎩选取3x 作为自由未知量， 解得基础解系为1971-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭， 因此， 方程组的解为1971k -⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭（2）313411311131159815980467113131340000------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪--→--→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 选取选取34,x x 作为自由未知量， 解得基础解系为3/23/43/27/4,1001-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故方程组的同解为123/23/43/27/41001k k -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（3）见教材答案 （4）见教材答案2. （1） 对增广矩阵做行初等变换得1121011210(,)211210*********/200031/2A b --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭解得特解为5/6101/6⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭， 对应的齐次线性方程组的基础解系为3510-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭， 因此方程组的同解为5/6101/6⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭+3510k -⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭（2） 答案见教材 3. （略）4. 证明： 令i e 为n 阶单位矩阵的第i 列，即(0,0,,1,0,,0)Ti ie =, 则有0,1,2,,i Ae i n ==，因此12(,,,)0,n A e e e AI == 故0A =。
线性代数课后作业及参考答案
线性代数课后作业及参考答案《线性代数》作业及参考答案一．单项选择题1.设行列式a aa a11122122=m，a aa a13112321=n，则行列式a a aa a a111213212223++等于（）A. m+nB. -(m+n)C. n-mD. m-n2.设矩阵A=100020003，则A-1等于（）A.130012001B.100120013C. 1 3 00 010 00 1 2D. 1 2 00 10013.设矩阵A=312101214---，A*是A的伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（）A. –6B. 6C. 24.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（）A. A =0B. B≠C时A=0C. A≠0时B=CD. |A|≠0时B=C5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（A T）等于（）A. 1B. 2C. 3D. 46.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（）A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λs βs=0B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0D.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs和不全为0的数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=07.设矩阵A的秩为r，则A中（）A.所有r-1阶子式都不为0B.所有r-1阶子式全为0C.至少有一个r阶子式不等于0D.所有r阶子式都不为08.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（）A.η1+η2是Ax=0的一个解2η1+12η2是Ax=b的一个解C.η1-η2是Ax=0的一个解D.2η1-η2是Ax=b的一个解9.设n阶方阵A不可逆，则必有（）A.秩(A)<n< bdsfid="227" p=""></n<>B.秩(A)=n-1C.A=0D.方程组Ax=0只有零解10.设A是一个n(≥3)阶方阵，下列陈述中正确的是（）A.如存在数λ和向量α使Aα=λα，则α是A的属于特征值λ的特征向量B.如存在数λ和非零向量α，使(λE-A)α=0，则λ是A的特征值C.A的2个不同的特征值可以有同一个特征向量D.如λ1，λ2，λ3是A的3个互不相同的特征值，α1，α2，α3依次是A的属于λ1，λ2，λ3的特征向量，则α1，α2，α3有可能线性相关11.设λ0是矩阵A的特征方程的3重根，A的属于λ0的线性无关的特征向量的个数为k，则必有（）A. k≤3B. k<3C. k=3D. k>312.设A是正交矩阵，则下列结论错误的是（）A.|A|2必为1B.|A|必为1C.A-1=A TD.A的行（列）向量组是正交单位向量组13.设A是实对称矩阵，C是实可逆矩阵，B=C T AC.则（）A.A与B相似B. A与B不等价C. A与B有相同的特征值D. A与B合同15.设有矩阵Ａｍ×ｎ，Ｂｍ×ｓ，Ｃｓ×ｍ，则下列运算有意义的是（）。
线性代数课后习题答案全）习题详解
线性代数课后习题答案全）习题详解前言因能力有限，资源有限，现粗略整理了《工程数学线性代数》课后习题，希望对您的了解和学习线性代数有参考价值。
第一章行列式1.利用对角线法则计算下列三阶行列式：（1）381141102---；（2）b a c a c b c b a ; （3）222111c b a c b a ；（4）y x y x x y x yyx y x +++. 解（1）=---381141102811)1()1(03)4(2??+-?-?+?-?)1()4(18)1(2310-?-?-?-?-??-=416824-++-=4-（2）=ba c a cb cb a ccc aaa bbb cba bac acb ---++3333c b a abc ---=（3）=222111c b a c b a 222222cb ba ac ab ca bc ---++))()((a c c b b a ---=（4）yx y x x y x y yx y x +++yx y x y x yx y y x x )()()(+++++=333)(x y x y -+-- 33322333)(3x y x x y y x y y x xy ------+= )(233y x +-=2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数：（1）1 2 3 4；（2）4 1 3 2；（3）3 4 2 1；（4）2 4 1 3；（5）1 3 … )12(-n 2 4 … )2(n ；（6）1 3 … )12(-n )2(n )22(-n … 2.解（1）逆序数为0（2）逆序数为4：4 1，4 3，4 2，3 2 （3）逆序数为5：3 2，3 1，4 2，4 1,2 1 （4）逆序数为3：2 1，4 1，4 3 （5）逆序数为2)1(-n n ： 3 2 1个 5 2，5 4 2个 7 2，7 4，7 6 3个……………… …)12(-n 2，)12(-n 4，)12(-n 6，…，)12(-n )22(-n )1(-n 个（6）逆序数为)1(-n n3 2 1个 5 2，54 2个……………… …)12(-n 2，)12(-n 4，)12(-n 6，…，)12(-n )22(-n )1(-n 个4 2 1个 6 2，6 4 2个……………… …)2(n 2，)2(n 4，)2(n 6，…，)2(n )22(-n )1(-n 个3.写出四阶行列式中含有因子2311a a 的项.解由定义知，四阶行列式的一般项为43214321)1(p p p p t a a a a -，其中t 为4321p p p p 的逆序数．由于3,121==p p 已固定，4321p p p p 只能形如13□□，即1324或1342.对应的t 分别为10100=+++或22000=+++∴44322311a a a a -和42342311a a a a 为所求.4.计算下列各行列式：（1）7110025*********4；（2）-265232112131412；（3）---ef cf bf de cd bd ae ac ab ；（4）---d c b a100110011001解(1)7110025102021421434327c c c c --0100142310202110214---=34)1(143102211014+-?---=143102211014-- 321132c c c c ++1417172001099-=0(2)2605232112131412-24c c -2605032122130412-24r r -0412032122130412- 14r r -0000032122130412-=0(3)ef cf bf de cd bd ae ac ab ---=e c b e c b e c b adf ---=1 11111111---adfbce =abcdef 4(4)d c b a 100110011001---21ar r +dc b a ab 100110011010---+=12)1)(1(+--dc a ab 10111--+23dc c +010111-+-+cd c ada ab =23)1)(1(+--cdadab +-+111=1++++ad cd ab abcd5.证明: (1)1112222b b a a b ab a +=3)(b a -; (2)bz ay by ax bx az by ax bx az bz ay bx az bz ay by ax +++++++++=y x z x z y z y x b a )(3 3+;(3)0)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(2222222222222222=++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a ;(4)444422221111d c b a d c b a d c b a ))()()()((d b c b d a c a b a -----=))((d c b a d c +++-?;(5)1221100000100001a x a a a a x x x n n n +-----n n n n a x a x a x ++++=--111 . 证明(1)00122222221312a b a b a a b a ab a c c c c ------=左边a b a b a b a ab 22) 1(22213-----=+21))((a b a a b a b +--= 右边=-=3)(b a(2)bz ay by ax z by ax bx az y bx az bz ay x a ++++++分开按第一列左边bzay by ax x by ax bx az z bxaz bz ay y b +++++++ ++++++002y by ax z x bx az y z bz ay x a 分别再分bz ay y x by ax x z bx az z y b +++zy x y x z xz y b y x z x z y z y x a 33+分别再分右边=-+=233)1(yx z x z y zy x b y x z x z y z y x a(3) 2222222222222222)3()2()12()3()2()12()3()2()12()3()2()12(+++++++++++++++ +=d d d d d c c c c c b b b b b a a a a a 左边964412964412964412964412241312++++++++++++---d d d d c c c c b b b b a a a a c c c c c c 964496449644964422222++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a 分成二项按第二列964419644196441964412222+++++++++d d d c c c b b b a a a949494949464222224232423d d c c b b a a c c c c c c c c ----第二项第一项06416416416412222=+dd d c c c bb b a a a (4) 444444422222220001ad a c a b a ad a c a b a a d a c a b a ---------=左边=)()()(222222222222222a d d a c c a b b a d a c a b ad a c a b --------- =)11))()((222a d d a c c a b b a d a c ab a d ac a b ++++++--- =?---))()((ad a c a b )()()()()(00122222a b b a d d a b b a c c a b b bd b c a b +-++-++--+ =?-----))()()()((b d b c a d a c a b )()()()(112222b d a b bd d b c a b bc c ++++++++=))()()()((d b c b d a c a b a -----))((d c b a d c +++-(5) 用数学归纳法证明.,1,2212122命题成立时当a x a x a x a x D n ++=+-==假设对于)1(-n 阶行列式命题成立，即,122111-----++++=n n n n n a x a x a x D:1列展开按第则n D1110010001)1(11----+=+-x xa xD D n n n n 右边=+=-n n a xD 1 所以，对于n 阶行列式命题成立.6.设n 阶行列式)det(ij a D =,把D 上下翻转、或逆时针旋转 90、或依副对角线翻转，依次得n nn n a a a a D 11111 =， 11112n nn n a a a a D = ，11113a a a a D n nnn =，证明D D D D D n n =-==-32)1(21,)1(.证明 )det(ij a D =nnnn nn n nn n a a a a a a a a a a D 2211111111111)1(--==∴ =--=--nnn n nnn n a a a a a a a a 331122111121)1()1( nnn n n n a a a a 111121)1()1()1(---=--D D n n n n 2)1()1()2(21)1()1(--+-+++-=-= 同理可证nnn n n n a a a a D 11112)1(2)1(--=D D n n Tn n 2)1(2)1()1()1(---=-= D D D D D n n n n n n n n =-=--=-=----)1(2)1(2)1(22)1(3)1()1()1()1(7.计算下列各行列式（阶行列式为k D k ）：(1)aaD n 11=,其中对角线上元素都是a ，未写出的元素都是0；(2)xa a ax aa a x D n =; (3) 1111)()1()()1(1111n a a a n a a a n a a a D n n n nn n n ------=---+; 提示：利用范德蒙德行列式的结果． (4) n nn nn d c d c b a b a D000011112=; (5)j i a a D ij ij n -==其中),det(;(6)nn a a a D +++=11111111121 ,021≠n a a a 其中.解(1) aa a a a D n 000100000000 00001000 =按最后一行展开)1()1(1000000000010000)1(-?-+-n n n aa a)1)(1(2)1(--?-+n n n a a a(再按第一行展开)n n n nn a a a+-?-=--+)2)(2(1)1()1(2--=n n a a )1(22-=-a a n(2)将第一行乘)1(-分别加到其余各行，得ax x a ax x a a x x a aa a x D n ------=0000000 再将各列都加到第一列上，得ax ax a x aaa a n x D n ----+=000000000)1( )(])1([1a x a n x n --+=- (3) 从第1+n 行开始，第1+n 行经过n 次相邻对换，换到第1行，第n 行经)1(-n 次对换换到第2行…，经2)1(1)1(+=++-+n n n n 次行交换，得 nnn n n n n n n n a a a n a a a n a a aD )()1()()1(1111)1(1112)1(1-------=---++此行列式为范德蒙德行列式∏≥>≥++++--+--=112)1(1)]1()1[()1(j i n n n n j a i a D∏∏≥>≥+++-++≥>≥++-?-?-=---=111)1(2)1(112)1()][()1()1()]([)1(j i n n n n n j i n n n j i j i∏≥>≥+-=11)(j i n j i(4) nnn d c d c b a b a D 011112=nn n n n nd d c d c b a b a a 0000000011111111----展开按第一行0000)1(1111111112c d c d c b a b a b nn n n n nn ----+-+2222 ---n n n n n n D c b D d a 都按最后一行展开由此得递推公式：222)(--=n n n n n n D c b d a D即∏=-=ni i i iin D c b d22)(而 111111112c b d a d c b a D -==得∏=-=ni i i i i n c b d a D 12)((5)j i a ij -=432140123310122210113210)det( --------==n n n n n n n n a D ij n ,3221r r r r --0 432111111111111111111111 --------------n n n n ,,141312c c c c c c +++152423210222102210002100001---------------n n n n n =212)1()1(----n n n (6)nn a a D a +++=11111111121 ,,433221c c c c c c ---n n n n a a a a a a a a a a +-------100 00100010000100010001000011433221展开（由下往上）按最后一列))(1(121-+n n a a a a nn n a a a a a a a a a --------000 00000000000000000000000022433221 nn n a a a a a a a a ----+--000000000000000001133221 ++ nn n a a a a a a a a -------000000000000000001143322n n n n n n a a a a a a a a a a a a 322321121))(1(++++=--- )11)((121∑=+=ni in a a a a8.用克莱姆法则解下列方程组：=+++-=----=+-+=+++;01123,2532,242,5)1(4321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x=+=++=++=++=+.15,065,065,065,165)2(545434323212 1x x x x x x x x x x x x x上一页下一页。
线性代数(经管类专接本)
1.设A为三阶方阵且（）A。
—108B。
—12C.12D.108【正确答案】D【答案解析】2。
行列式中第三行第二列元素的代数余子式的值为（）A。
3B.-2C.0D.1【正确答案】B【答案解析】3.下列行列式的值为（）。
【正确答案】B【答案解析】4.设( ）A。
k—1B。
kC。
1D.k+1【正确答案】B【答案解析】将所求行列的第二行的-1倍加到第一行，这样第一行可以提出一个k,就得到k 乘以已知的行列式，即为k，本题选B.5.设多项式则f(x）的常数项为( ）A。
4B。
1C.—1D.—4【正确答案】A【答案解析】f(x）=（—1）A12+xA13，故常数项为。
6。
已知三阶行列式D中的第二列元素依次为1，2，3，它们的余子式分别为—1,1，2，D的值为（ )A。
—3B。
-7C.3D。
7【正确答案】A【答案解析】根据行列式展开定理，得7.设A是n阶方阵，λ为实数，下列各式成立的是（）.【正确答案】C【答案解析】这是行列式的性质。
8.设都是三阶方阵，且，则下式（）必成立。
【正确答案】B【答案解析】方阵行列式的性质9.行列式的值等于（ )。
A。
abcdB.dC。
6D.0【正确答案】D【答案解析】10.当a=( )时,行列式的值为零。
A.0B.1C.-2C.2【正确答案】C【答案解析】所以 a= —2。
11。
计算=（）。
A。
18B。
15C.12D.24【正确答案】B【答案解析】=1×3×5=1512。
已知（）【正确答案】B【答案解析】由行列式的性质，且A是四阶的，所以可以判断B正确。
13。
n阶行列式（）等于—1。
【正确答案】A【答案解析】14。
下面结论正确的是（）A.含有零元素的矩阵是零矩阵B。
零矩阵都是方阵C.所有元素都是0的矩阵是零矩阵D.【正确答案】C【答案解析】这是零矩阵的定义15.行列式D如果按照第n列展开是（）。
A.a1n A1n+a2n A2n+..。
+a nn A nnB。
(精选)线性代数 课后作业及参考答案
《线性代数》作业及参考答案一．单项选择题1.设行列式a aa a11122122=m，a aa a13112321=n，则行列式a a aa a a111213212223++等于（）A. m+nB. -(m+n)C. n-mD. m-n2.设矩阵A=100020003⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪，则A-1等于（）A.130012001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪B.100120013⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪C.13000100012⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪D.120013001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪3.设矩阵A=312101214---⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪，A*是A的伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（）A. –6B. 6C. 2D. –24.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（）A. A =0B. B≠C时A=0C. A≠0时B=CD. |A|≠0时B=C5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（A T）等于（）A. 1B. 2C. 3D. 46.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（）A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0D.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs和不全为0的数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=07.设矩阵A的秩为r，则A中（）A.所有r-1阶子式都不为0B.所有r-1阶子式全为0C.至少有一个r阶子式不等于0D.所有r阶子式都不为08.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（）A.η1+η2是Ax=0的一个解B.12η1+12η2是Ax=b的一个解C.η1-η2是Ax=0的一个解D.2η1-η2是Ax=b的一个解9.设n阶方阵A不可逆，则必有（）A.秩(A)<nB.秩(A)=n-1C.A=0D.方程组Ax=0只有零解10.设A是一个n(≥3)阶方阵，下列陈述中正确的是（）A.如存在数λ和向量α使Aα=λα，则α是A的属于特征值λ的特征向量B.如存在数λ和非零向量α，使(λE-A)α=0，则λ是A的特征值C.A的2个不同的特征值可以有同一个特征向量D.如λ1，λ2，λ3是A的3个互不相同的特征值，α1，α2，α3依次是A的属于λ1，λ2，λ3的特征向量，则α1，α2，α3有可能线性相关11.设λ0是矩阵A的特征方程的3重根，A的属于λ0的线性无关的特征向量的个数为k，则必有（）A. k≤3B. k<3C. k=3D. k>312.设A是正交矩阵，则下列结论错误的是（）A.|A|2必为1B.|A|必为1C.A-1=A TD.A的行（列）向量组是正交单位向量组13.设A是实对称矩阵，C是实可逆矩阵，B=C T AC.则（）A.A与B相似B. A与B不等价C. A与B有相同的特征值D. A与B合同15.设有矩阵Ａｍ×ｎ，Ｂｍ×ｓ，Ｃｓ×ｍ，则下列运算有意义的是（）。
(完整版)线性代数课后习题答案第1——5章习题详解
第一章 行列式4.计算下列各行列式：（1）⎥⎥⎥⎥⎦⎥⎢⎢⎢⎢⎣⎢7110025*********4； （2）⎥⎥⎥⎥⎦⎥⎢⎢⎢⎢⎣⎢-265232112131412； （3）⎥⎥⎦⎥⎢⎢⎣⎢---ef cf bf de cd bd ae ac ab ； （4）⎥⎥⎥⎥⎦⎥⎢⎢⎢⎢⎣⎢---d c b a100110011001解(1)7110025102021421434327c c c c --0100142310202110214---=34)1(143102211014+-⨯---=143102211014-- 321132c c c c ++1417172001099-=0(2)2605232112131412-24c c -2605032122130412-24r r -0412032122130412- 14r r -0000032122130412-=0(3)ef cf bf de cd bd ae ac ab ---=ec b e c b ec b adf ---=111111111---adfbce =abcdef 4(4)d c b a 100110011001---21ar r +dc b a ab 100110011010---+=12)1)(1(+--dc a ab 10111--+23dc c +010111-+-+cd c ada ab =23)1)(1(+--cdadab +-+111=1++++ad cd ab abcd5.证明: (1)1112222b b a a b ab a +=3)(b a -; (2)bz ay by ax bx az by ax bx az bz ay bx az bz ay by ax +++++++++=y x z x z y z y x b a )(33+;(3)0)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(2222222222222222=++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a ;(4)444422221111d c b a d c b a d c b a ))()()()((d b c b d a c a b a -----=))((d c b a d c +++-⋅;(5)1221100000100001a x a a a a x x x n n n +-----n n n n a x a x a x ++++=--111 . 证明(1)00122222221312a b a b a a b a ab a c c c c ------=左边a b a b a b a ab 22)1(22213-----=+21))((a b a a b a b +--=右边=-=3)(b a(2)bz ay by ax z by ax bx az y bx az bz ay x a ++++++分开按第一列左边bzay by ax x by ax bx az z bxaz bz ay y b +++++++ ++++++002y by ax z x bx az y z bz ay x a 分别再分bzay y x by ax x z bxaz z y b +++z y x y x z x z y b y x z x z y z y x a 33+分别再分右边=-+=233)1(yx z x z y zy x b y x z x z y z y x a(3) 2222222222222222)3()2()12()3()2()12()3()2()12()3()2()12(++++++++++++++++=d d d d d c c c c c b b b b b a a a a a 左边9644129644129644129644122222141312++++++++++++---d d d d c c c c b b b b a a a a c c c c c c 964496449644964422222++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a 分成二项按第二列964419644196441964412222+++++++++d d d c c c b b b a a a 949494949464222224232423d d c c b b a a c c c c c c c c ----第二项第一项06416416416412222=+ddd c c c bb b a a a (4) 444444422222220001ad a c a b a ad a c a b a ad a c a b a ---------=左边=)()()(222222222222222a d d a c c a b b a d a c a b ad a c a b --------- =)()()(111))()((222a d d a c c a b b a d a c ab a d ac a b ++++++--- =⨯---))()((ad a c a b )()()()()(00122222a b b a d d a b b a c c a b b bd b c a b +-++-++--+ =⨯-----))()()()((b d b c a d a c a b )()()()(112222b d a b bd d b c a b bc c ++++++++=))()()()((d b c b d a c a b a -----))((d c b a d c +++-(5) 用数学归纳法证明.,1,2212122命题成立时当a x a x a x a x D n ++=+-==假设对于)1(-n 阶行列式命题成立，即 ,122111-----++++=n n n n n a x a x a x D:1列展开按第则n D1110010001)1(11----+=+-x xa xD D n n n n 右边=+=-n n a xD 1 所以，对于n 阶行列式命题成立.6.设n 阶行列式)det(ij a D =,把D 上下翻转、或逆时针旋转 90、或依副对角线翻转，依次得n nn n a a a a D 11111 =， 11112n nn n a a a a D = ，11113a a a a D n nnn =，证明D D D D D n n =-==-32)1(21,)1(.证明 )det(ij a D =nnn n nn n nn n a a a a a a a a a a D 2211111111111)1(--==∴ =--=--nnn n nnn n a a a a a a a a 331122111121)1()1( nnn n n n a a a a 111121)1()1()1(---=--D D n n n n 2)1()1()2(21)1()1(--+-+++-=-=同理可证nnn n n n a a a a D 11112)1(2)1(--=D D n n T n n 2)1(2)1()1()1(---=-= D D D D D n n n n n n n n =-=--=-=----)1(2)1(2)1(22)1(3)1()1()1()1(7.计算下列各行列式（阶行列式为k D k ）：(1)a aD n 11=,其中对角线上元素都是a ，未写出的元素都是0；(2)xaaax aa a x D n=; (3) 1111)()1()()1(1111n a a a n a a a n a a a D n n n n n n n ------=---+; 提示：利用范德蒙德行列式的结果． (4) nnnnn d c d c b a b a D000011112=; (5)j i a a D ij ij n -==其中),det(;(6)nn a a a D +++=11111111121 ,021≠n a a a 其中.解(1) aa a a a D n 00010000000000001000 =按最后一行展开)1()1(100000000000010000)1(-⨯-+-n n n aa a)1)(1(2)1(--⋅-+n n na aa(再按第一行展开)n n n nn a a a+-⋅-=--+)2)(2(1)1()1(2--=n n a a )1(22-=-a a n(2)将第一行乘)1(-分别加到其余各行，得ax x a ax x a a x x a aa a x D n ------=0000000 再将各列都加到第一列上，得ax ax a x aaa a n x D n ----+=000000000)1( )(])1([1a x a n x n --+=- (3) 从第1+n 行开始，第1+n 行经过n 次相邻对换，换到第1行，第n 行经)1(-n 次对换换到第2行…，经2)1(1)1(+=++-+n n n n 次行交换，得 nn n n n n n n n n a a a n a a a n a a aD )()1()()1(1111)1(1112)1(1-------=---++此行列式为范德蒙德行列式∏≥>≥++++--+--=112)1(1)]1()1[()1(j i n n n n j a i a D∏∏≥>≥+++-++≥>≥++-•-•-=---=111)1(2)1(112)1()][()1()1()]([)1(j i n n n n n j i n n n j i j i∏≥>≥+-=11)(j i n j i(4) nn nnn d c d c b a b a D 011112=nn n n n nd d c d c b a b a a 0000000011111111----展开按第一行0000)1(1111111112c d c d c b a b a b nn n n n nn ----+-+2222 ---n n n n n n D c b D d a 都按最后一行展开由此得递推公式：222)(--=n n n n n n D c b d a D即 ∏=-=ni i i iin D c b da D 222)(而 111111112c b d a d c b a D -==得 ∏=-=ni i i i i n c b d a D 12)((5)j i a ij -=432140123310122210113210)det( --------==n n n n n n n n a D ij n ,3221r r r r --0432111111111111111111111 --------------n n n n,,141312c c c c c c +++152423210222102210002100001---------------n n n n n =212)1()1(----n n n(6)nn a a D a +++=11111111121,,433221c c c c c c ---n n n n a a a a a a a a a a +-------10000100010000100010001000011433221 展开（由下往上）按最后一列))(1(121-+n n a a a a nn n a a a a a a a a a --------00000000000000000000000000022433221 nn n a a a a a a a a ----+--000000000000000001133221 ++ nn n a a a a a a a a -------000000000000000001143322n n n n n n a a a a a a a a a a a a 322321121))(1(++++=---)11)((121∑=+=ni in a a a a8.用克莱姆法则解下列方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++-=----=+-+=+++;01123,2532,242,5)1(4321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=++=++=++=+.15,065,065,065,165)2(5454343232121x x x x x x x x x x x x x解 (1)11213513241211111----=D 8120735032101111------=145008130032101111---=1421420005410032101111-=---= 112105132412211151------=D 11210513290501115----=1121023313090509151------=2331309050112109151------=1202300461000112109151-----=14200038100112109151----=142-=112035122412111512-----=D 811507312032701151-------=3139011230023101151-=2842840001910023101151-=----=426110135232422115113-=----=D ; 14202132132212151114=-----=D1,3,2,144332211-========∴DDx D D x D D x D D x (2) 510006510006510006510065=D 展开按最后一行61000510065100655-'D D D ''-'=65 D D D ''-'''-''=6)65(5D D '''-''=3019D D ''''-'''=1146566551141965=⨯-⨯=(,11的余子式中为行列式a D D ',11的余子式中为a D D ''''类推D D ''''''',) 51001651000651000650000611=D 展开按第一列6510065100650006+'D 46+'=D 460319+''''-'''=D 1507=51010651000650000601000152=D 展开按第二列5100651006500061-6510065000610005-365510651065⨯-= 1145108065-=--=51100650000601000051001653=D 展开按第三列51006500061000516500061000510065+6100510656510650061+= 703114619=⨯+=51000601000051000651010654=D 展开按第四列61000510065100655000610005100651--51065106565--=395-= 110051000651000651100655=D 展开按最后一列D '+10005100651006512122111=+= 665212;665395;665703;6651145;665150744321=-==-==∴x x x x x ． 9.齐次线性方程组取何值时问,,μλ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++0200321321321x x x x x x x x x μμλ有非零解？解 μλμμμλ-==12111113D ， 齐次线性方程组有非零解，则03=D即 0=-μλμ 得 10==λμ或不难验证，当,10时或==λμ该齐次线性方程组确有非零解.10.齐次线性方程组取何值时问,λ⎪⎩⎪⎨⎧=-++=+-+=+--0)1(0)3(2042)1(321321321x x x x x x x x x λλλ 有非零解？解λλλ----=111132421D λλλλ--+--=101112431)3)(1(2)1(4)3()1(3λλλλλ-------+-=3)1(2)1(23-+-+-=λλλ 齐次线性方程组有非零解，则0=D得 32,0===λλλ或不难验证，当32,0===λλλ或时，该齐次线性方程组确有非零解.第二章 矩阵及其运算1. 已知线性变换:⎪⎩⎪⎨⎧++=++=++=3213321232113235322y y y x y y y x y y y x ,求从变量x 1, x 2, x 3到变量y 1, y 2, y 3的线性变换.解 由已知:⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛221321323513122y y y x x x , 故 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3211221323513122x x x y y y ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=321423736947y y y , ⎪⎩⎪⎨⎧-+=-+=+--=321332123211423736947x x x y x x x y x x x y .2. 已知两个线性变换⎪⎩⎪⎨⎧++=++-=+=32133212311542322y y y x y y y x y y x , ⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=+-=323312211323z z y z z y z z y , 求从z 1, z 2, z 3到x 1, x 2, x 3的线性变换.解 由已知⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛221321514232102y y y x x x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=321310102013514232102z z z⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=321161109412316z z z , 所以有⎪⎩⎪⎨⎧+--=+-=++-=3213321232111610941236z z z x z z z x z z z x .3. 设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=111111111A , ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=150421321B , 求3AB -2A 及A T B . 解 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1111111112150421321111111111323A AB ⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2294201722213211111111120926508503, ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=092650850150421321111111111B A T . 4. 计算下列乘积:(1)⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-127075321134; 解 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-127075321134⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯+⨯⨯+⨯-+⨯⨯+⨯+⨯=102775132)2(71112374⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=49635. (2)⎪⎪⎭⎫⎝⎛123)321(; 解 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛123)321(=(1⨯3+2⨯2+3⨯1)=(10).(3))21(312-⎪⎪⎭⎫⎝⎛; 解 )21(312-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯=23)1(321)1(122)1(2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=632142. (4)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-20413121013143110412 ; 解 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-20413121013143110412⎪⎭⎫ ⎝⎛---=6520876. (5)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321332313232212131211321)(x x x a a a a a a a a a x x x ; 解⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321332313232212131211321)(x x x a a a a a a a a a x x x =(a 11x 1+a 12x 2+a 13x 3 a 12x 1+a 22x 2+a 23x 3 a 13x 1+a 23x 2+a 33x 3)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321x x x322331132112233322222111222x x a x x a x x a x a x a x a +++++=.5. 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=3121A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2101B , 问: (1)AB =BA 吗?解 AB ≠BA .因为⎪⎭⎫ ⎝⎛=6443AB , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=8321BA , 所以AB ≠BA .(2)(A +B)2=A 2+2AB +B 2吗?解 (A +B)2≠A 2+2AB +B 2.因为⎪⎭⎫ ⎝⎛=+5222B A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=+52225222)(2B A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2914148, 但 ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=++43011288611483222B AB A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=27151610, 所以(A +B)2≠A 2+2AB +B 2.(3)(A +B)(A -B)=A 2-B 2吗?解 (A +B)(A -B)≠A 2-B 2.因为⎪⎭⎫ ⎝⎛=+5222B A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=-1020B A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=-+906010205222))((B A B A , 而 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-718243011148322B A , 故(A +B)(A -B)≠A 2-B 2.6. 举反列说明下列命题是错误的:(1)若A 2=0, 则A =0;解 取⎪⎭⎫ ⎝⎛=0010A , 则A 2=0, 但A ≠0. (2)若A 2=A , 则A =0或A =E ;解 取⎪⎭⎫ ⎝⎛=0011A , 则A 2=A , 但A ≠0且A ≠E . (3)若AX =AY , 且A ≠0, 则X =Y .解 取⎪⎭⎫ ⎝⎛=0001A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1111X , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=1011Y , 则AX =AY , 且A ≠0, 但X ≠Y .7. 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=101λA , 求A 2, A 3, ⋅ ⋅ ⋅, A k . 解 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=12011011012λλλA , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==1301101120123λλλA A A , ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅,⎪⎭⎫ ⎝⎛=101λk A k . 8. 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=λλλ001001A , 求A k . 解 首先观察⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=λλλλλλ0010010010012A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=222002012λλλλλ, ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅=3232323003033λλλλλλA A A , ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅=43423434004064λλλλλλA A A ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅=545345450050105λλλλλλA A A , ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅,⎝⎛=k A k k k k k k k k k k λλλλλλ0002)1(121----⎪⎪⎪⎭⎫ . 用数学归纳法证明:当k =2时, 显然成立.假设k 时成立，则k +1时，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⋅=---+λλλλλλλλλ0010010002)1(1211k k k k k k k k k k k k A A A ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=+-+--+11111100)1(02)1()1(k k k k k k k k k k λλλλλλ, 由数学归纳法原理知:⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=---k k k k k k k k k k k A λλλλλλ0002)1(121. 9. 设A , B 为n 阶矩阵，且A 为对称矩阵，证明B T AB 也是对称矩阵. 证明 因为A T =A , 所以(B T AB)T =B T (B T A)T =B T A T B =B T AB ,从而B T AB 是对称矩阵.10. 设A , B 都是n 阶对称矩阵，证明AB 是对称矩阵的充分必要条件是AB =BA . 证明 充分性: 因为A T =A , B T =B , 且AB =BA , 所以(AB)T =(BA)T =A T B T =AB ,即AB 是对称矩阵.必要性: 因为A T =A , B T =B , 且(AB)T =AB , 所以AB =(AB)T =B T A T =BA .11. 求下列矩阵的逆矩阵:(1)⎪⎭⎫ ⎝⎛5221; 解 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=5221A . |A|=1, 故A -1存在. 因为 ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛=1225*22122111A A A A A , 故*||11A A A =-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1225. (2)⎪⎭⎫ ⎝⎛-θθθθcos sin sin cos ; 解⎪⎭⎫ ⎝⎛-=θθθθcos sin sin cos A . |A|=1≠0, 故A -1存在. 因为 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=θθθθcos sin sin cos *22122111A A A A A , 所以*||11A A A =-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=θθθθcos sin sin cos . (3)⎪⎪⎭⎫⎝⎛---145243121; 解 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=145243121A . |A|=2≠0, 故A -1存在. 因为 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=214321613024*332313322212312111A A A A A A A A A A , 所以 *||11A A A =-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=1716213213012.(4)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n a a a 0021(a 1a 2⋅ ⋅ ⋅a n≠0) .解 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n a a a A 0021, 由对角矩阵的性质知⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-n a a a A 10011211 . 12. 解下列矩阵方程:(1)⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛12643152X ; 解 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-126431521X ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=12642153⎪⎭⎫ ⎝⎛-=80232. (2)⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--234311*********X ; 解 1111012112234311-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=X⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-=03323210123431131 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=32538122. (3)⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-101311022141X ;解 11110210132141--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=X⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=210110131142121 ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=21010366121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=04111. (4)⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛021102341010100001100001010X . 解 11010100001021102341100001010--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=X⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010100001021102341100001010⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=201431012. 13. 利用逆矩阵解下列线性方程组:(1)⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++3532522132321321321x x x x x x x x x ;解 方程组可表示为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321153522321321x x x , 故 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0013211535223211321x x x , 从而有 ⎪⎩⎪⎨⎧===001321x x x .(2)⎪⎩⎪⎨⎧=-+=--=--05231322321321321x x x x x x x x x .解 方程组可表示为⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----012523312111321x x x ,故 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3050125233121111321x x x , 故有 ⎪⎩⎪⎨⎧===305321x x x .14. 设A k =O (k 为正整数), 证明(E -A)-1=E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1. 证明 因为A k =O , 所以E -A k =E . 又因为 E -A k =(E -A)(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1),所以 (E -A)(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1)=E , 由定理2推论知(E -A)可逆, 且(E -A)-1=E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1.证明 一方面, 有E =(E -A)-1(E -A). 另一方面, 由A k =O , 有E =(E -A)+(A -A 2)+A 2-⋅ ⋅ ⋅-A k -1+(A k -1-A k ) =(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1)(E -A),故 (E -A)-1(E -A)=(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1)(E -A), 两端同时右乘(E -A)-1, 就有(E -A)-1(E -A)=E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1.15. 设方阵A 满足A 2-A -2E =O , 证明A 及A +2E 都可逆, 并求A -1及(A +2E)-1.证明 由A 2-A -2E =O 得 A 2-A =2E , 即A(A -E)=2E ,或E E A A =-⋅)(21,由定理2推论知A 可逆, 且)(211E A A -=-.由A 2-A -2E =O 得A 2-A -6E =-4E , 即(A +2E)(A -3E)=-4E ,或E A E E A =-⋅+)3(41)2(由定理2推论知(A +2E)可逆, 且)3(41)2(1A E E A -=+-.证明 由A 2-A -2E =O 得A 2-A =2E , 两端同时取行列式得 |A 2-A|=2,即 |A||A -E|=2, 故 |A|≠0,所以A 可逆, 而A +2E =A 2, |A +2E|=|A 2|=|A|2≠0, 故A +2E 也可逆. 由 A 2-A -2E =O ⇒A(A -E)=2E⇒A -1A(A -E)=2A -1E ⇒)(211E A A -=-,又由 A 2-A -2E =O ⇒(A +2E)A -3(A +2E)=-4E⇒ (A +2E)(A -3E)=-4 E ,所以 (A +2E)-1(A +2E)(A -3E)=-4(A +2 E)-1,)3(41)2(1A E E A -=+-.16. 设A 为3阶矩阵,21||=A , 求|(2A)-1-5A*|.解 因为*||11A A A =-, 所以|||521||*5)2(|111----=-A A A A A |2521|11---=A A=|-2A -1|=(-2)3|A -1|=-8|A|-1=-8⨯2=-16. 17. 设矩阵A 可逆, 证明其伴随阵A*也可逆, 且(A*)-1=(A -1)*.证明 由*||11A A A =-, 得A*=|A|A -1, 所以当A 可逆时, 有|A*|=|A|n |A -1|=|A|n -1≠0,从而A*也可逆.因为A*=|A|A -1, 所以 (A*)-1=|A|-1A .又*)(||)*(||1111---==A A A A A , 所以(A*)-1=|A|-1A =|A|-1|A|(A -1)*=(A -1)*. 18. 设n 阶矩阵A 的伴随矩阵为A*, 证明: (1)若|A|=0, 则|A*|=0; (2)|A*|=|A|n -1. 证明(1)用反证法证明. 假设|A*|≠0, 则有A*(A*)-1=E , 由此得 A =A A*(A*)-1=|A|E(A*)-1=O ,所以A*=O , 这与|A*|≠0矛盾，故当|A|=0时, 有|A*|=0.(2)由于*||11A A A =-, 则AA*=|A|E , 取行列式得到|A||A*|=|A|n . 若|A|≠0, 则|A*|=|A|n -1;若|A|=0, 由(1)知|A*|=0, 此时命题也成立. 因此|A*|=|A|n -1.19. 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=321011330A , AB =A +2B , 求B .解 由AB =A +2E 可得(A -2E)B =A , 故⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-=--321011330121011332)2(11A E A B ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=011321330.20. 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=101020101A , 且AB +E =A 2+B , 求B .解 由AB +E =A 2+B 得 (A -E)B =A 2-E ,即 (A -E)B =(A -E)(A +E).因为01001010100||≠-==-E A , 所以(A -E)可逆, 从而⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+=201030102E A B .21. 设A =diag(1, -2, 1), A*BA =2BA -8E , 求B . 解 由A*BA =2BA -8E 得 (A*-2E)BA =-8E , B =-8(A*-2E)-1A -1 =-8[A(A*-2E)]-1 =-8(AA*-2A)-1 =-8(|A|E -2A)-1 =-8(-2E -2A)-1 =4(E +A)-1=4[diag(2, -1, 2)]-1)21 ,1 ,21(diag 4-==2diag(1, -2, 1).22. 已知矩阵A 的伴随阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=8030010100100001*A , 且ABA -1=BA -1+3E , 求B .解 由|A*|=|A|3=8, 得|A|=2. 由ABA -1=BA -1+3E 得 AB =B +3A ,B =3(A -E)-1A =3[A(E -A -1)]-1A11*)2(6*)21(3---=-=A E A E⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=-1030060600600006603001010010000161. 23. 设P -1AP =Λ, 其中⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1141P , ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λ2001, 求A 11.解 由P -1AP =Λ, 得A =P ΛP -1, 所以A 11= A=P Λ11P -1.|P|=3,⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1141*P , ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1141311P ,而 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛-=Λ11111120 012001,故⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=31313431200111411111A ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=68468327322731.24. 设AP =P Λ, 其中⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=111201111P , ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λ511, 求ϕ(A)=A 8(5E -6A +A 2).解 ϕ(Λ)=Λ8(5E -6Λ+Λ2)=diag(1,1,58)[diag(5,5,5)-diag(-6,6,30)+diag(1,1,25)] =diag(1,1,58)diag(12,0,0)=12diag(1,0,0). ϕ(A)=P ϕ(Λ)P -1*)(||1P P P Λ=ϕ ⎪⎪⎭⎫⎝⎛------⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=1213032220000000011112011112⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1111111114.25. 设矩阵A 、B 及A +B 都可逆, 证明A -1+B -1也可逆, 并求其逆阵. 证明 因为A -1(A +B)B -1=B -1+A -1=A -1+B -1,而A -1(A +B)B -1是三个可逆矩阵的乘积, 所以A -1(A +B)B -1可逆, 即A -1+B -1可逆.(A -1+B -1)-1=[A -1(A +B)B -1]-1=B(A +B)-1A .26. 计算⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛30003200121013013000120010100121. 解 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=10211A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=30122A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=12131B , ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=30322B ,则⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛2121B O B E A O E A ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=222111B A O B B A A ,而⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=+4225303212131021211B B A ,⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛=90343032301222B A ,所以 ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛2121B O B E A O E A ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=222111B A O B B A A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=9000340042102521, 即 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛30003200121013013000120010100121⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=9000340042102521. 27. 取⎪⎭⎫ ⎝⎛==-==1001D C B A , 验证|||||||| D C B A D C B A ≠.解4100120021100101002000021010010110100101==--=--=D C B A , 而01111|||||||| ==D C B A , 故|||||||| D C B A D C B A ≠. 28. 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=22023443O O A , 求|A 8|及A 4. 解 令⎪⎭⎫ ⎝⎛-=34431A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=22022A ,则⎪⎭⎫⎝⎛=21A O O A A ,故8218⎪⎭⎫ ⎝⎛=A O O A A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=8281A O O A ,1682818281810||||||||||===A A A A A .⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=464444241422025005O O A O O A A . 29. 设n 阶矩阵A 及s 阶矩阵B 都可逆, 求(1)1-⎪⎭⎫ ⎝⎛O B A O ;解 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-43211C C C C O B A O , 则⎪⎭⎫ ⎝⎛O B A O ⎪⎭⎫ ⎝⎛4321C C C C ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=s n E O O E BC BC AC AC 2143. 由此得 ⎪⎩⎪⎨⎧====s n E BC O BC O AC E AC 2143⇒⎪⎩⎪⎨⎧====--121413B C O C O C A C ,所以 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛---O A B O O B A O 111. (2)1-⎪⎭⎫ ⎝⎛B C O A .解 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-43211D D D D B C O A , 则⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛s n E O O E BD CD BD CD AD AD D D D D B C O A 4231214321. 由此得 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+==s n E BD CD O BD CD O AD E AD 423121⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-===----14113211B D CA B D O D A D ,所以 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-----11111B CA B O A BC O A . 30. 求下列矩阵的逆阵:(1)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛2500380000120025; 解 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=1225A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2538B , 则⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛=--5221122511A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛=--8532253811B .于是 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----850032000052002125003800001200251111B A B A .(2)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛4121031200210001. 解 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=2101A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=4103B , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2112C , 则⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------1111114121031200210001B CA B O A BC O A⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=411212458103161210021210001.第三章 矩阵的初等变换与线性方程组1．把下列矩阵化为行最简形矩阵：(1) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--340313021201; (2)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----174034301320; (3) ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------12433023221453334311; (4)⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------34732038234202173132.解 (1) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--340313*********2)3()2(~r r r r -+-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---020*********)2()1(32~-÷-÷r r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--01003100120123~r r -⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--300031001201 33~÷r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--100031001201323~r r +⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1000010012013121)2(~r r r r +-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100001000001(2) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----1740343013201312)2()3(2~r r r r -+-+⨯⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---31003100132021233~r r r r ++⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000031001002021~÷r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000031005010 (3) ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------12433023221453334311 141312323~rr r r rr ---⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------1010500663008840034311)5()3()4(432~-÷-÷-÷r r r ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----22100221002210034311 2423213~r r r r r r ---⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---00000000002210032011(4) ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------34732038234202173132 242321232~rr r r rr ---⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----1187701298804202111110141312782~rr r r r r --+⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--410004100020201111134221)1(~r r r r r --⨯↔⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----0000041000111102020132~rr +⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--000004100030110202012.设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛987654321100010101100001010A ，求A 。
自考线性代数(经管类)试题及答案
高等教育自学考试线性代数（经管类）试题答案一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1．3阶行列式011101110||ij a 中元素21a 的代数余子式21A （C）A ．2B ．1C ．1D ．21011121A ．2．设矩阵22211211a a a a A ，121112221121a a a a a a B，01101P ，11012P ，则必有（A）A ．B AP P 21B ．B AP P 12C ．B P AP 21D ．B P AP 121101011021AP P 22211211222112110111a a a a a a a a B a a a a a a 121112221121．3．设n 阶可逆矩阵A 、B 、C 满足E ABC ，则1B （ D）A ．11C A B ．11ACC ．ACD ．CA由E ABC，得E ABC 111，CA B 1．4．设3阶矩阵0100010A，则2A 的秩为（B ）A ．0B ．1C ．2D ．32A00010000100010000100010，2A 的秩为1．5．设4321,,,是一个4维向量组，若已知4可以表为321,,的线性组合，且表示法惟一，则向量组4321,,,的秩为（ C ）A ．1B ．2C ．3D ．4321,,是4321,,,的极大无关组，4321,,,的秩为3．6．设向量组4321,,,线性相关，则向量组中（A ）A ．必有一个向量可以表为其余向量的线性组合B ．必有两个向量可以表为其余向量的线性组合C ．必有三个向量可以表为其余向量的线性组合D ．每一个向量都可以表为其余向量的线性组合7．设321,,是齐次线性方程组0Ax 的一个基础解系，则下列解向量组中，可以作为该方程组基础解系的是（ B）A ．2121,,B ．133221,,C ．2121,,D ．133221,,只有133221,,线性无关，可以作为基础解系．8．若2阶矩阵A 相似于矩阵3202B ，E 为2阶单位矩阵，则与矩阵A E 相似的矩阵是（ C）A ．4101B ．4101C ．4201D ．4201B 与A 相似，则4201BE 与A E相似．9．设实对称矩阵120240002A ，则3元二次型Ax x x x x f T ),,(321的规范形为（D ）A ．232221z z z B ．232221z z z C ．2221z z D ．2221z z 232212332222123322221321)2(2)44(2442),,(x x x x x x x x x x x x x x x x f ，规范形为2221z z ．10．若3阶实对称矩阵)(ij a A是正定矩阵，则A 的正惯性指数为（D ）A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）11．已知3阶行列式696364232333231232221131211a a a a a a a a a ，则333231232221131211a a a a a a a a a _______________．632323232323296364232333231232221131211333231232221131211333231232221131211a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ，61333231232221131211a a a a a a a a a ．12．设3阶行列式3D 的第2列元素分别为3,2,1，对应的代数余子式分别为1,2,3，则3D _______________．4132)2()3(12323222221213A a A a A a D ．13．设0121A，则E AA22_______________．112211201120)(222E AEA A．14．设A 为2阶矩阵，将A 的第2列的（2）倍加到第1列得到矩阵B ．若4321B，则A_______________．将B 的第2列的2倍加到第1列可得41125A．15．设3阶矩阵333220100A，则1A _______________．001012103100020033001010100100220333100010001333220100),(E A 0102/113/12/1010001000101012230102000601012206100020066，1A102/113/12/10．16．设向量组)1,1,(1a ，)1,2,1(2，)2,1,1(3线性相关，则数a___________．0363213103210311121112111aa a aa a a ，2a．17．已知Tx )1,0,1(1，Tx )5,4,3(2是3元非齐次线性方程组b Ax 的两个解向量，则对应齐次线性方程组0Ax有一个非零解向量_______________．Tx x )6,4,2(12（或它的非零倍数）．18．设2阶实对称矩阵A 的特征值为2,1，它们对应的特征向量分别为T)1,1(1，Tk ),1(2，则数k ______________．设db b a A，由111A，即1111d b b a ，11d b b a ，可得b a1，b d1；由222A，即kk bbb b 12111，kkb bbkb22)1(1，可得1k ．19．已知3阶矩阵A 的特征值为3,2,0，且矩阵B 与A 相似，则||E B _______________．E B 的特征值为4,1,1，44)1(1||E B．20．二次型232221321)()(),,(x x x x x x x f 的矩阵A_______________．2332222121233222222121321222)2()2(),,(x x x xx x xx x x xx x x xx x x f ，11121011A．三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）21．已知3阶行列式||ij a 4150231x x 中元素12a 的代数余子式812A ，求元素21a 的代数余子式21A 的值．解：由8445012x x A ，得2x，所以5)38(413221A ．22．已知矩阵0111A，211B，矩阵X 满足X B AX ，求X ．解：由X BAX，得B XA E)(，于是13/113/131313121121113120111112)(11BA EX ．23．求向量组T)3,1,1,1(1，T)1,5,3,1(2，T)4,1,2,3(3，T)2,10,6,2(4的一个极大无关组，并将向量组中的其余向量用该极大无关组线性表出．解：24131015162312311854012460412023110700070041202311000007004120231100001004120231100100402020110000100201020110010*********，321,,是一个极大线性无关组，432120．24．设3元齐次线性方程组00321321321ax x x x ax x x x ax ，（1）确定当a 为何值时，方程组有非零解；（2）当方程组有非零解时，求出它的基础解系和全部解．解：（1）1010111)2(1111111)2(1212112111111||aaaaa aaaa a a aa aA 2)1)(2(a a，2a 或1a 时，方程组有非零解；（2）2a时，0330211A1102110110101，333231x x x x x x ，基础解系为111，全部解为111k ，k 为任意实数；1a 时，000000111A ，3322321x x x x x x x ，基础解系为11，101，全部解为1011121k k ，21,k k 为任意实数．25．设矩阵504313102B ，（1）判定B 是否可与对角矩阵相似，说明理由；（2）若B 可与对角矩阵相似，求对角矩阵和可逆矩阵P ，使BPP1．解：（1）)67)(1(5412)1(54313102||2B E)6()1(2，特征值121，63．对于121，解齐次线性方程组0)(x B E：0000010144303101B E ，332231x x x x x x ，基础解系为0101p ，1012p ；对于63，解齐次线性方程组0)(x B E ：04/3104/10114353104BE，3332314341x x x x x x ，基础解系为14/34/13p ．3阶矩阵B 有3个线性无关的特征向量，所以B 相似于对角阵；（2）令6010001，1104/3014/110P ，则P 是可逆矩阵，使得BP P 1．26．设3元二次型3221232221321222),,(x x x x x x x x x x f ，求正交变换Py x，将二次型化为标准形．解：二次型的矩阵为110121011A ．111121011111201110121011||A E)3)(1(1101)3(11131001，特征值01，12，33．对于01，解齐次线性方程组0)(x A E ：00011010111121011A E ，333231x x x x x x ，1111，单位化为3/13/13/11p ；对于12，解齐次线性方程组0)(x A E ：0001010101111010A E ，332310x x x x x ，1012，单位化为2/102/12p ；对于33，解齐次线性方程组0)(xA E：0210101210111012AE，3332312x x x x x x ，1213，单位化为6/16/26/13p ．令6/12/13/16/203/16/12/13/1P，则P 是正交矩阵，使得APP T3010000，经正交变换Py x 后，原二次型化为标准形23222130y yyf．四、证明题（本题6分）27．已知A 是n 阶矩阵，且满足方程022A A，证明A 的特征值只能是0或2．证：设是A 的特征值，则满足方程022，只能是0或2．。
线性代数课后习题答案全习题详解
线性代数课后习题答案全习题详解(总92页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--第一章 行列式1.利用对角线法则计算下列三阶行列式：（1）381141102---； （2）b a c a c b c b a ; （3）222111c b a c b a ； （4）y x y x x y x yyx y x +++. 解 （1）=---381141102811)1()1(03)4(2⨯⨯+-⨯-⨯+⨯-⨯)1()4(18)1(2310-⨯-⨯-⨯-⨯-⨯⨯- =416824-++-=4-（2）=ba c a cb cb a ccc aaa bbb cba bac acb ---++3333c b a abc ---=（3）=222111c b a c b a 222222cb ba ac ab ca bc ---++))()((a c c b b a ---=（4）yx y x x y x y yx y x +++yx y x y x yx y y x x )()()(+++++=333)(x y x y -+-- 33322333)(3x y x x y y x y y x xy ------+= )(233y x +-=2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数： （1）1 2 3 4； （2）4 1 3 2； （3）3 4 2 1； （4）2 4 1 3； （5）1 3 … )12(-n 2 4 … )2(n ；（6）1 3 … )12(-n )2(n )22(-n … 2. 解（1）逆序数为0（2）逆序数为4：4 1，4 3，4 2，3 2（3）逆序数为5：3 2，3 1，4 2，4 1,2 1 （4）逆序数为3：2 1，4 1，4 3（5）逆序数为2)1(-n n ：3 2 1个 5 2，54 2个 7 2，7 4，7 6 3个 ……………… … )12(-n 2，)12(-n 4，)12(-n 6，…，)12(-n )22(-n )1(-n 个 （6）逆序数为)1(-n n3 2 1个 5 2，54 2个 ……………… … )12(-n 2，)12(-n 4，)12(-n 6，…，)12(-n )22(-n )1(-n 个4 2 1个 6 2，6 4 2个 ……………… … )2(n 2，)2(n 4，)2(n 6，…，)2(n )22(-n )1(-n 个3.写出四阶行列式中含有因子2311a a 的项.解 由定义知，四阶行列式的一般项为43214321)1(p p p p t a a a a -，其中t 为4321p p p p 的逆序数．由于3,121==p p 已固定，4321p p p p 只能形如13□□，即1324或1342.对应的t 分别为10100=+++或22000=+++∴44322311a a a a -和42342311a a a a 为所求.4.计算下列各行列式：（1）⎥⎥⎥⎥⎦⎥⎢⎢⎢⎢⎣⎢71100251020214214； （2）⎥⎥⎥⎥⎦⎥⎢⎢⎢⎢⎣⎢-265232112131412； （3）⎥⎥⎦⎥⎢⎢⎣⎢---ef cf bf de cd bd ae acab ； （4）⎥⎥⎥⎥⎦⎥⎢⎢⎢⎢⎣⎢---d c b a 100110011001 解(1)7110025*******21434327c c c c --0100142310202110214---=34)1(143102211014+-⨯---=143102211014-- 321132c c c c ++1417172001099-=0(2)265232112131412-24c c -2605032122130412-24r r -0412032122130412- 14r r -0000032122130412-=0(3)ef cf bf de cd bd ae ac ab ---=e c b e c b e c b adf ---=111111111---adfbce =abcdef 4(4)d c b a 100110011001---21ar r +dc b a ab 100110011010---+=12)1)(1(+--dc a ab 10111--+ 23dc c +010111-+-+cd c ada ab =23)1)(1(+--cdadab +-+111=1++++ad cd ab abcd5.证明: (1)1112222b b a a b ab a +=3)(b a -;(2)bz ay by ax bx az by ax bx az bz ay bx az bz ay by ax +++++++++=yx z x z y zy x b a )(33+;(3)0)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(2222222222222222=++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a ;(4)444422221111d c b a d c b a d c b a ))()()()((d b c b d a c a b a -----=))((d c b a d c +++-⋅;(5)1221100000100001a x a a a a x x x n n n +-----n n n n a x a x a x ++++=--111 .证明(1)00122222221312a b a b a a b a ab a c c c c ------=左边a b a b a b a ab 22)1(22213-----=+21))((a b a a b a b +--= 右边=-=3)(b a(2)bz ay by ax z by ax bx az y bx az bz ay x a ++++++分开按第一列左边bzay by ax x by ax bx az z bxaz bz ay y b +++++++ ++++++002y by ax z x bx az y z bz ay x a 分别再分bz ay y x by ax x z bx az z y b +++zy x y x z xz y b y x z x z y z y x a 33+分别再分右边=-+=233)1(yx z x z y zy x b y x z x z y z y x a(3) 2222222222222222)3()2()12()3()2()12()3()2()12()3()2()12(++++++++++++++++=d d d d d c c c c c b b b b b a a a a a 左边9644129644129644129644122222141312++++++++++++---d d d d c c c c b b b b a a a a c c c c c c 964496449644964422222++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a 分成二项按第二列964419644196441964412222+++++++++d d d c c c b b b a a a 949494949464222224232423d d c c b b a a c c c c c c c c ----第二项第一项06416416416412222=+ddd c c c bb b a a a (4) 444444422222220001ad a c a b a ad a c a b a a d a c a b a ---------=左边=)()()(222222222222222a d d a c c a b b a d a c a b ad a c a b --------- =)()()(111))()((222a d d a c c a b b a d a c ab a d ac a b ++++++--- =⨯---))()((ad a c a b )()()()()(00122222a b b a d d a b b a c c a b b bd b c a b +-++-++--+ =⨯-----))()()()((b d b c a d a c a b )()()()(112222b d a b bd d b c a b bc c ++++++++=))()()()((d b c b d a c a b a -----))((d c b a d c +++-(5) 用数学归纳法证明.,1,2212122命题成立时当a x a x a x a x D n ++=+-==假设对于)1(-n 阶行列式命题成立，即 ,122111-----++++=n n n n n a x a x a x D:1列展开按第则n D1110010001)1(11----+=+-x xa xD D n n n n 右边=+=-n n a xD 1 所以，对于n 阶行列式命题成立.6.设n 阶行列式)det(ij a D =,把D 上下翻转、或逆时针旋转 90、或依副对角线翻转，依次得n nn n a a a a D 11111 =， 11112n nn n a a a a D = ，11113a a a a D n nnn =，证明D D D D D n n =-==-32)1(21,)1(.证明 )det(ij a D =nnnn nn n nn n a a a a a a a a a a D 2211111111111)1(--==∴ =--=--nnn n nnn n a a a a a a a a 331122111121)1()1( nnn n n n a a a a 111121)1()1()1(---=--D D n n n n 2)1()1()2(21)1()1(--+-+++-=-= 同理可证nnn n n n a a a a D 11112)1(2)1(--=D D n n Tn n 2)1(2)1()1()1(---=-= D D D D D n n n n n n n n =-=--=-=----)1(2)1(2)1(22)1(3)1()1()1()1(7.计算下列各行列式（阶行列式为k D k ）：(1)aaD n 11 =,其中对角线上元素都是a ，未写出的元素都是0；(2)xaaax aa a x D n=; (3) 1111)()1()()1(1111n a a a n a a a n a a a D n n n nn n n ------=---+; 提示：利用范德蒙德行列式的结果． (4) nnn nn d c d c b a b a D000011112=; (5)j i a a D ij ij n -==其中),det(;(6)nn a a a D +++=11111111121 ,021≠n a a a 其中.解(1) aa a a a D n 010000000000001000=按最后一行展开)1()1(1000000000010000)1(-⨯-+-n n n aa a)1)(1(2)1(--⋅-+n n n a a a (再按第一行展开)n n n nn a a a+-⋅-=--+)2)(2(1)1()1(2--=n n a a )1(22-=-a a n(2)将第一行乘)1(-分别加到其余各行，得ax x a ax x a a x x a aa a x D n ------=0000000 再将各列都加到第一列上，得ax ax a x aaa a n x D n ----+=000000000)1( )(])1([1a x a n x n --+=- (3) 从第1+n 行开始，第1+n 行经过n 次相邻对换，换到第1行，第n 行经)1(-n 次对换换到第2行…，经2)1(1)1(+=++-+n n n n 次行交换，得nn n n n n n n n n a a a n a a a n a a aD )()1()()1(1111)1(1112)1(1-------=---++此行列式为范德蒙德行列式∏≥>≥++++--+--=112)1(1)]1()1[()1(j i n n n n j a i a D∏∏≥>≥+++-++≥>≥++-•-•-=---=111)1(2)1(112)1()][()1()1()]([)1(j i n n n n n j i n n n j i j i∏≥>≥+-=11)(j i n j i(4) n nnnn d c d c b a b a D 011112=nn n n n nd d c d c b a b a a 0000000011111111----展开按第一行0000)1(1111111112c d c d c b a b a b nn n n n nn ----+-+2222 ---n n n n n n D c b D d a 都按最后一行展开由此得递推公式：222)(--=n n n n n n D c b d a D 即 ∏=-=ni i i i i n D c b d a D 222)(而 111111112c b d a d c b a D -==得 ∏=-=ni i i i i n c b d a D 12)((5)j i a ij -=0432********0122210113210)det( --------==n n n n n n n n a D ij n ,3221r r r r --0432111111111111111111111 --------------n n n n,,141312c c c c c c +++152423210222102210002100001---------------n n n n n =212)1()1(----n n n(6)nn a a D a +++=11111111121 ,,433221c c c c c c ---n n n n a a a a a a a a a a +-------10000100010000100010001000011433221展开（由下往上）按最后一列))(1(121-+n n a a a a nn n a a a a a a a a a --------00000000000000000000000000022433221 nn n a a a a a a a a ----+--000000000000000001133221 ++ nn n a a a a a a a a -------000000000000000001143322n n n n n n a a a a a a a a a a a a 322321121))(1(++++=---)11)((121∑=+=ni in a a a a8.用克莱姆法则解下列方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++-=----=+-+=+++;01123,2532,242,5)1(4321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=++=++=++=+.15,065,065,065,165)2(5454343232121x x x x x x x x x x x x x解 (1)11213513241211111----=D 8120735032101111------=145008130032101111---=1421420005410032101111-=---= 112105132412211151------=D 11210513290501115----=1121023313090509151------=2331309050112109151------=1202300461000112109151-----=14200038100112109151----=142-= 112035122412111512-----=D 811507312032701151-------=3139011230023101151-=2842840001910023101151-=----=426110135232422115113-=----=D ; 14202132132212151114=-----=D1,3,2,144332211-========∴DDx D D x D D x D D x (2) 510006510006510065100065=D 展开按最后一行61000510065100655-'D D D ''-'=65 D D D ''-'''-''=6)65(5D D '''-''=3019D D ''''-'''=1146566551141965=⨯-⨯=(,11的余子式中为行列式a D D ',11的余子式中为a D D ''''类推D D ''''''',) 5100165100065100650000611=D 展开按第一列6510065100650006+'D 46+'=D 460319+''''-'''=D 1507= 51165100065000601000152=D 展开按第二列5100651006500061-6510065000610005-365510651065⨯-=1145108065-=--= 51100650000601000051001653=D 展开按第三列5100650006100051650061000510065+6100510656510650061+= 703114619=⨯+= 51000601000051000651010654=D 展开按第四列61000510065100655000610005100651--51065106565--=395-= 110051000651000651100655=D 展开按最后一列D '+10005100651006512122111=+= 665212;665395;665703;6651145;665150744321=-==-==∴x x x x x ． 9.齐次线性方程组取何值时问,,μλ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++0200321321321x x x x x x x x x μμλ有非零解解 μλμμμλ-==12111113D ， 齐次线性方程组有非零解，则03=D即 0=-μλμ 得 10==λμ或不难验证，当,10时或==λμ该齐次线性方程组确有非零解.10.齐次线性方程组取何值时问,λ⎪⎩⎪⎨⎧=-++=+-+=+--0)1(0)3(2042)1(321321321x x x x x x x x x λλλ 有非零解解λλλ----=111132421D λλλλ--+--=101112431)3)(1(2)1(4)3()1(3λλλλλ-------+-=3)1(2)1(23-+-+-=λλλ齐次线性方程组有非零解，则0=D 得 32,0===λλλ或不难验证，当32,0===λλλ或时，该齐次线性方程组确有非零解.第二章 矩阵及其运算1 已知线性变换⎪⎩⎪⎨⎧++=++=++=3213321232113235322y y y x y y y x y y y x求从变量x 1 x 2 x 3到变量y 1 y 2 y 3的线性变换 解 由已知⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛221321323513122y y y x x x故 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3211221323513122x x x y y y ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=321423736947y y y⎪⎩⎪⎨⎧-+=-+=+--=321332123211423736947x x x y x x x y x x x y2 已知两个线性变换⎪⎩⎪⎨⎧++=++-=+=32133212311542322y y y x y y y x y y x ⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=+-=323312211323z z y z z y z z y求从z 1 z 2 z 3到x 1 x 2 x 3的线性变换解 由已知⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛221321514232102y y y x x x ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=321310102013514232102z z z⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=321161109412316z z z所以有⎪⎩⎪⎨⎧+--=+-=++-=3213321232111610941236z z z x z z z x z z z x3 设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=111111111A ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=150421321B 求3AB 2A 及A TB解 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1111111112150421321111111111323A AB⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2294201722213211111111120926508503⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=092650850150421321111111111B A T4 计算下列乘积(1)⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-127075321134解 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-127075321134⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯+⨯⨯+⨯-+⨯⨯+⨯+⨯=102775132)2(71112374⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=49635(2)⎪⎪⎭⎫⎝⎛123)321(解 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛123)321((132231)(10)(3))21(312-⎪⎪⎭⎫⎝⎛解 )21(312-⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯=23)1(321)1(122)1(2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=632142(4)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-20413121013143110412解 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-20413121013143110412⎪⎭⎫⎝⎛---=6520876(5)⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321332313232212131211321)(x x x a a a a a a a a a x x x解⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321332313232212131211321)(x x x a a a a a a a a a x x x(a 11x 1a 12x 2a 13x 3 a 12x 1a 22x 2a 23x 3 a 13x 1a 23x 2a 33x 3)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321x x x322331132112233322222111222x x a x x a x x a x a x a x a +++++=5 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=3121A ⎪⎭⎫⎝⎛=2101B 问(1)AB BA 吗 解 AB BA 因为⎪⎭⎫ ⎝⎛=6443AB ⎪⎭⎫⎝⎛=8321BA 所以AB BA(2)(A B)2A 22AB B 2吗 解 (A B)2A 22AB B 2 因为⎪⎭⎫ ⎝⎛=+5222B A⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=+52225222)(2B A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2914148但⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=++43011288611483222B AB A ⎪⎭⎫⎝⎛=27151610所以(A B)2A 22AB B 2 (3)(A B)(A B)A 2B 2吗 解 (A B)(A B)A 2B 2因为⎪⎭⎫ ⎝⎛=+5222B A⎪⎭⎫ ⎝⎛=-1020B A⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=-+906010205222))((B A B A而 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-718243011148322B A故(A B)(A B)A 2B 26 举反列说明下列命题是错误的 (1)若A 20 则A 0 解 取⎪⎭⎫ ⎝⎛=0010A 则A 20 但A 0(2)若A 2A 则A 0或A E 解 取⎪⎭⎫ ⎝⎛=0011A 则A 2A 但A 0且A E(3)若AX AY 且A 0 则X Y 解 取⎪⎭⎫ ⎝⎛=0001A⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1111X ⎪⎭⎫ ⎝⎛=1011Y则AX AY 且A 0 但X Y7 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=101λA 求A 2A 3Ak解 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=12011011012λλλA⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==1301101120123λλλA A A⎪⎭⎫ ⎝⎛=101λk A k8设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=λλλ001001A 求A k解 首先观察⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=λλλλλλ0010010010012A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=222002012λλλλλ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅=3232323003033λλλλλλA A A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅=43423434004064λλλλλλA A A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅=545345450050105λλλλλλA A A⎝⎛=kA k k kk k k k k k k λλλλλλ0002)1(121----⎪⎪⎪⎭⎫用数学归纳法证明 当k 2时 显然成立 假设k 时成立，则k 1时，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⋅=---+λλλλλλλλλ0010010002)1(1211k k k k k k k k k k k k A A A⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=+-+--+11111100)1(02)1()1(k k k k k k k k k k λλλλλλ 由数学归纳法原理知⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=---k k k k k k k k k k k A λλλλλλ0002)1(1219 设A B 为n 阶矩阵，且A 为对称矩阵，证明B T AB 也是对称矩阵证明 因为A T A 所以(B T AB)T B T (B T A)T B T A T B B T AB 从而B T AB 是对称矩阵10 设A B 都是n 阶对称矩阵，证明AB 是对称矩阵的充分必要条件是AB BA 证明 充分性 因为A T A B T B 且AB BA 所以(AB)T (BA)T A T B T AB 即AB 是对称矩阵必要性 因为A T A B T B 且(AB)T AB 所以 AB (AB)T B T A T BA 11 求下列矩阵的逆矩阵 (1)⎪⎭⎫⎝⎛5221解⎪⎭⎫ ⎝⎛=5221A |A|1 故A 1存在 因为 ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛=1225*22122111A A A A A故 *||11A A A =-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1225 (2)⎪⎭⎫ ⎝⎛-θθθθcos sin sin cos 解 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=θθθθcos sin sin cos A |A|10 故A 1存在 因为⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=θθθθcos sin sin cos *22122111A A A A A所以*||11A A A =-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=θθθθcos sin sin cos(3)⎪⎪⎭⎫⎝⎛---145243121解 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=145243121A |A|20 故A 1存在因为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=214321613024*332313322212312111A A A A A A A A A A所以 *||11A A A =-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=1716213213012(4)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n a a a 0021(a 1a 2a n0)解 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n a a a A 0021由对角矩阵的性质知 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-n a a a A 10011211 12 解下列矩阵方程 (1)⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛12643152X解⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-126431521X ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=12642153⎪⎭⎫ ⎝⎛-=80232(2)⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--234311111012112X 解 1111012112234311-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=X⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-=03323210123431131 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=32538122 (3)⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-101311022141X解 11110210132141--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=X ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=210110131142121⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=21010366121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=04111 (4)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛021102341010100001100001010X解 11010100001021102341100001010--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=X⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010100001021102341100001010⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=20143101213 利用逆矩阵解下列线性方程组(1)⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++3532522132321321321x x x x x x x x x解 方程组可表示为⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321153522321321x x x故 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0013211535223211321x x x从而有 ⎪⎩⎪⎨⎧===001321x x x(2)⎪⎩⎪⎨⎧=-+=--=--05231322321321321x x x x x x x x x解 方程组可表示为⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----012523312111321x x x故 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3050125233121111321x x x故有 ⎪⎩⎪⎨⎧===35321x x x14 设A k O (k 为正整数) 证明(E A)1E A A 2 A k1证明 因为A k O 所以E A k E 又因为E A k (E A)(E A A 2A k 1)所以 (E A)(E A A 2 A k 1)E 由定理2推论知(E A)可逆 且(E A)1E A A 2A k1证明 一方面 有E (E A)1(E A) 另一方面 由A k O 有 E (E A)(A A 2)A 2A k1(A k1A k )(E A A 2 A k 1)(E A)故 (E A)1(E A)(E A A 2 A k 1)(E A) 两端同时右乘(E A)1就有(E A)1(E A)E A A 2A k115 设方阵A 满足A 2A 2E O 证明A 及A 2E 都可逆 并求A 1及(A 2E)1证明 由A 2A 2E O 得A 2A 2E 即A(A E)2E 或E E A A =-⋅)(21由定理2推论知A 可逆 且)(211E A A -=-由A 2A 2E O 得 A 2A 6E 4E 即(A 2E)(A 3E)4E或 E A E E A =-⋅+)3(41)2( 由定理2推论知(A 2E)可逆 且)3(41)2(1A E E A -=+-证明 由A 2A 2E O 得A 2A 2E 两端同时取行列式得 |A 2A|2 即 |A||A E|2 故 |A|0所以A 可逆 而A 2E A 2 |A 2E||A 2||A|20 故A 2E 也可逆 由 A 2A 2E O A(A E)2E A 1A(A E)2A 1E)(211E A A -=-又由 A 2A 2E O (A 2E)A 3(A 2E)4E(A 2E)(A 3E)4 E所以 (A 2E)1(A 2E)(A 3E)4(A 2 E)1)3(41)2(1A E E A -=+- 16 设A 为3阶矩阵 21||=A 求|(2A)15A*|解 因为*||11A A A =- 所以 |||521||*5)2(|111----=-A A A A A |2521|11---=A A|2A 1|(2)3|A 1|8|A|1821617 设矩阵A 可逆 证明其伴随阵A*也可逆 且(A*)1(A 1)*证明 由*||11A A A =- 得A*|A|A 1所以当A 可逆时 有|A*||A|n |A 1||A|n 1从而A*也可逆 因为A*|A|A 1所以(A*)1|A|1A又*)(||)*(||1111---==A A A A A 所以(A*)1|A|1A |A|1|A|(A 1)*(A 1)*18 设n 阶矩阵A 的伴随矩阵为A* 证明 (1)若|A|0 则|A*|0 (2)|A*||A|n 1证明(1)用反证法证明 假设|A*|0 则有A*(A*)1E 由此得A A A*(A*)1|A|E(A*)1O所以A*O 这与|A*|0矛盾，故当|A|0时 有|A*|0 (2)由于*||11A A A =- 则AA*|A|E 取行列式得到|A||A*||A|n 若|A|0 则|A*||A|n 1若|A|0 由(1)知|A*|0 此时命题也成立因此|A*||A|n119设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=321011330A AB A 2B 求B解 由AB A 2E 可得(A 2E)B A 故⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-=--321011330121011332)2(11A E AB ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=01132133020 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=101020101A 且AB E A 2B 求B解 由AB E A 2B 得 (A E)B A 2E 即 (A E)B (A E)(A E)因为01001010100||≠-==-E A 所以(A E)可逆 从而⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+=201030102E A B21 设A diag(1 2 1) A*BA 2BA 8E 求B解 由A*BA 2BA 8E 得(A*2E)BA 8EB 8(A*2E)1A 1 8[A(A*2E)]1 8(AA*2A)1 8(|A|E 2A)18(2E 2A)14(E A)14[diag(2 1 2)]1)21 ,1 ,21(diag 4-=2diag(1 2 1)22已知矩阵A 的伴随阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=8030010100100001*A且ABA 1BA13E 求B 解 由|A*||A|38 得|A|2 由ABA1BA13E 得AB B 3AB 3(A E)1A 3[A(E A 1)]1A11*)2(6*)21(3---=-=A E A E⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=-103006060060000660300101001000016123 设P 1AP 其中⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1141P ⎪⎭⎫⎝⎛-=Λ2001求A 11解 由P 1AP得A P P 1所以A 11 A=P 11P 1.|P|3 ⎪⎭⎫⎝⎛-=1141*P ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1141311P而 ⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛-=Λ11111120 012001故 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=31313431200111411111A ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=6846832732273124 设AP P 其中⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=111201111P ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λ511 求(A)A 8(5E 6A A 2) 解 ()8(5E 62)diag(1158)[diag(555)diag(6630)diag(1125)]diag(1158)diag(1200)12diag(100) (A)P ()P 1*)(||1P P P Λ=ϕ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=1213032220000000011112011112⎪⎪⎭⎫⎝⎛=111111111425 设矩阵A 、B 及A B 都可逆 证明A 1B 1也可逆 并求其逆阵证明 因为 A 1(A B)B 1B1A1A1B1而A 1(A B)B 1是三个可逆矩阵的乘积 所以A 1(A B)B 1可逆 即A1B 1可逆(A1B 1)1[A 1(A B)B 1]1B(A B)1A26 计算⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛30003200121013013000120010100121解 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=10211A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=30122A ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=12131B ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=30322B则 ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛2121B O B E A O E A ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=222111B A O B B A A而 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=+4225303212131021211B B A ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛=90343032301222B A 所以 ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛2121B O B E A O E A ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=222111B A O B B A A ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=9000340042102521 即 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛30003200121013013000120010100121⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=9000340042102521 27 取⎪⎭⎫ ⎝⎛==-==1001D C B A 验证|||||||| D C B A D C B A ≠解41001200210100101002000021010010110100101==--=--=D C B A而01111|||||||| ==D C B A故 |||||||| D C B A D C B A ≠28 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=22023443O O A 求|A 8|及A 4解 令⎪⎭⎫ ⎝⎛-=34431A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=22022A 则 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=21A O O A A故 8218⎪⎭⎫ ⎝⎛=A O O A A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=8281A O O A 1682818281810||||||||||===A A A A A⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=464444241422025005O O A O O A A29 设n 阶矩阵A 及s 阶矩阵B 都可逆 求 (1)1-⎪⎭⎫⎝⎛O B A O解 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛-43211C C C C O B A O 则 ⎪⎭⎫ ⎝⎛O B A O ⎪⎭⎫ ⎝⎛4321C C C C ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=s n E O O E BC BC AC AC 2143由此得 ⎪⎩⎪⎨⎧====s n E BC O BC O AC E AC 2143⎪⎩⎪⎨⎧====--121413B C O C O C A C所以 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛---O A B O O B A O 111(2)1-⎪⎭⎫ ⎝⎛B C O A解 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛-43211D D D D B C O A 则 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛s n E O O E BD CD BD CD AD AD D D D D B C O A 4231214321由此得 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+==s nE BD CD O BD CD OAD E AD 423121⎪⎩⎪⎨⎧=-===----14113211B D CA B D O D A D所以 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-----11111B CA B O A BC O A30 求下列矩阵的逆阵(1)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛2500380000120025 解 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=1225A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2538B 则⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛=--5221122511A ⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎭⎫⎝⎛=--8532253811B于是 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----850032000052002125003800001200251111B A B A(2)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4121031200210001解 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=2101A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=4103B ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2112C 则⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------1111114121031200210001B CA B O A BC O A⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=411212458103161210021210001第三章 矩阵的初等变换与线性方程组1．把下列矩阵化为行最简形矩阵：(1) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--340313021201; (2)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----174034301320; (3) ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------12433023221453334311; (4) ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------34732038234202173132.解 (1) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--340313*********2)3()2(~r r r r -+-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---020********* )2()1(32~-÷-÷r r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--01003100120123~r r -⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--300031001201 33~÷r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--100031001201323~r r +⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1000010012013121)2(~r r r r +-+⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛100001000001(2) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----1740343013201312)2()3(2~r r r r -+-+⨯⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---31003100132021233~r r r r ++⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000031001002021~÷r ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛000031005010 (3) ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------12433023221453334311141312323~rr r r rr ---⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------1010500663008840034311)5()3()4(432~-÷-÷-÷r r r ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----22100221002210034311 2423213~r r r r r r ---⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---000000000022********(4) ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------34732038234202173132 242321232~rr r r rr ---⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----1187701298804202111110141312782~rr r r r r --+⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--410004100020201111134221)1(~r r r r r --⨯↔⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----0000041000111102020132~rr +⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--000004100030110202012.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛987654321100010101100001010A ，求A 。
经济数学线性代数第二版课后练习题含答案
经济数学线性代数第二版课后练习题含答案1. 课后练习题简介本文为《经济数学线性代数》第二版的课后练习题及其答案的汇总。
该练习题共包含28个章节，每章包含6-10个小节，共计371道习题。
这些习题均与经济学和管理学相关，旨在帮助读者更好地掌握线性代数的相关知识并初步了解其在经济和管理领域的应用。
2. 练习题目录以下是本文所包含的练习题目录：•第一章矩阵和线性方程组–1.1 线性方程组及其解法–1.2 向量–1.3 矩阵–1.4 矩阵运算与初等矩阵–1.5 矩阵的秩–1.6 线性方程组的求解•第二章行列式–2.1 行列式的定义及其性质–2.2 并排法与简化的行列式求值法–2.3 行列式按行（列）展开的定义–2.4 行列式的初等变换及其意义–2.5 行列式的应用•第三章向量空间–3.1 向量空间的定义及其基本性质–3.2 向量空间的子空间–3.3 向量的线性相关性和张成–3.4 线性变换及其矩阵–3.5 线性空间的同构•第四章特征值和特征向量–4.1 特征值和特征向量的定义–4.2 特征值和特征向量的计算–4.3 特征值和特征向量的性质与应用•第五章矩阵的分解–5.1 矩阵的LU分解–5.2 矩阵分解及其应用•第六章二次型–6.1 二次型的基本定义和性质–6.2 定性讨论–6.3 将二次型化为标准型–6.4 规范形和正定性–6.5 二次型的矩阵表示及其变换•第七章一些应用–7.1 直线拟合–7.2 最小二乘法及其应用–7.3 矩阵的特征值和特征向量在统计中的应用–7.4 矩阵分析的应用3. 练习题答案练习题的答案分别附在每道习题的后面，供读者参考和自测。
答案做得详细、完整，方便读者直观地了解每道题的解法和思路。
所有的答案均由资深教师和相关专业人员校对和审核，保证了答案的正确性和可靠性。
4. 总结本文为经济数学和线性代数的学习提供了一份有用的工具，简明清晰地给出了《经济数学线性代数》第二版的课后练习题及其答案。
04184 线性代数(经管类)习题集及答案
西华大学自学考试省考课程习题集课程名称：《线性代数》课程代码：04184专业名称：工商企业管理专业代码：Y020202目录第一部分习题一、选择题 3二、填空题8三、计算题11四、证明题15第二部分标准答案一、选择题16二、填空题16三、计算题16四、证明题31第一部分 习题 一、选择题1、若n 阶方阵A 的秩为r ，则结论（ ）成立。
A. 0||≠A B. 0||=A C. r >n D. n r ≤2、下列结论正确的是( )A. 若AB=0,则A=0或B=0.B. 若AB=AC,则B=CC.两个同阶对角矩阵是可交换的.D. AB=BA 3、下列结论错误的是( )A. n+1个n 维向量一定线性相关.B. n 个n+1维向量一定线性相关C. n 个n 维列向量n ααα,,,21 线性相关,则021=n αααD. n 个n 维列向量n ααα,,,21 ,若021=n ααα 则n ααα,,,21 线性相关,4、若m c c c b b b a a a =321321321，则=321321321333222c c c b b b a a a ( ) A. 6m B.-6m C. m 3332 D. m 3332- 5、设A,B,C 均为n 阶方阵,AB=BA,AC=CA,则ABC=( ) A. ACB B. CAB C. CBA D. BCA6、二次型3221222132124),,(x x x x x x x x x f -++=的秩为（ ）A 、0B 、1C 、2D 、3 7、若A 、B 为n 阶方阵，下列说法正确的是（ ） A 、若A ，B 都是可逆的，则A+B 是可逆的 B 、若A ，B 都是可逆的，则AB 是可逆的 C 、若A+B 是可逆的，则A-B 是可逆的 D 、若A+B 是可逆的，则A ，B 都是可逆的8、设2阶矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=d c b a A ，则=*A （ ） A 、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a c b d B 、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b c dC 、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a c b dD 、⎪⎪⎭⎫⎝⎛--a b c d 9、关于初等矩阵下列结论成立的是（ )A. 都是可逆阵B. 所对应的行列式的值为1C. 相乘仍为初等矩阵D. 相加仍为初等矩阵10、设2阶矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=4321A ，则=*A （ ）A 、⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1324 B 、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1234 C 、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1324 D 、⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1234 11、设21,ββ是非齐次线性方程组β=AX 的两个解，则下列向量中仍为方程组β=AX 解的是（ ）A 、21ββ+B 、21ββ-C 、3221ββ+ D 、32321ββ- 12、向量组)2(,,,21≥m m ααα 线性相关的充要条件是（ ） A 、m ααα,,,21 中至少有一个是零向量 B 、m ααα,,,21 中至少有一个向量可以由其余向量线性表示 C 、m ααα,,,21 中有两个向量成比例 D 、m ααα,,,21 中任何部分组都线性相关13、向量组)2(,,,21≥m m ααα 线性相关的充要条件是（ ） A 、m ααα,,,21 中至少有一个是零向量 B 、m ααα,,,21 中至少有一个向量可以由其余向量线性表示 C 、m ααα,,,21 中有两个向量成比例 D 、m ααα,,,21 中任何部分组都线性相关14、0=AX 是非齐次方程组β=AX 的对应齐次线性方程组，则有（ ） A 、0=AX 有零解，则β=AX 有唯一解 B 、0=AX 有非零解，则β=AX 有无穷多解 C 、β=AX 有唯一解，则0=AX 只有零解 D 、β=AX 有无穷多解，则0=AX 只有零解15、设A ，B ，C 均为二阶方阵，且AC AB =，则当（ ）时，可以推出B=CA 、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0101AB 、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0011AC 、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0110AD 、⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1111A16、若m c c c b b b a a a =321321321，则=231231231333222c c c b b b a a a ( )A. 6mB.-6mC. m 3332D. m 3332- 17、如果矩阵A 的秩等于r ，则（ ）。