华南理工大学 线性代数与解析几何 课件 (23)概论

令C=PQT
AB ~ Q PTP QT = (PQT)T(PQT)===== CTC
第六章 二次型与二次曲面
§6.2 正定二次型
【习题11】 设A、B为两个 n 阶正定矩阵，
且AB=BA，证明：AB也是正定矩阵。
思路：要证AB正定矩阵, 即要证AB的特征值均为正 注意到相似矩阵有相同的特征值
还考虑到A、B是正定矩阵
P0
P
o
y
x
第六章 二次型与二次曲面
§6.3 曲面及其方程
任一个三元二次方程经配方可以写成
x2 + y2 + z2 + ax + by + cz + d = 0
(x + a )2 + (y + b )2 + (z + c )2 = k
2
2
2
a2+b2 +c2 d 4
当k > 0时: 球面, 球心(
§6.2 正定二次型
【习题11】设A、B为两个 n 阶正定矩阵，且
AB=BA，证明：AB也是正定矩阵。
证：
令C=PQT
AB ~ Q PTP QT = (PQT)T(PQT)===== CTC
即AB与 CTC 有相同的特征值
而 CTC 是正定的，它的全部特征值均大于0
因此， AB的全部特征值均大于0。
第六章 二次型与二次曲面
§6.1 二次型及其标准形 §6.2 正定二次型 §6.3 曲面及其方程 §6.4 二次曲面
第六章 二次型与二次曲面
定理1.6 (惯性定理)
§6.1 二次型及其标准形
实二次型 f = XTAX总可以通过实的非退化 线性替换将其化为规范形 。
f z12
z
2 p
z2 p 1
A正定 A的所有特征值都是正值 其正惯性指数 p = n 且 r(A) = n A与单位矩阵E合同 可逆阵P使得A = PTP
3. 通过A的顺序主子式
A正定 Pk >0 A负定 (-1)kPk > 0
第六章 二次型与二次曲面
§6.2 正定二次型
例： A是实对称矩阵 可找到aR ， 使A+aE为正定矩阵
证：设1, …, n 为 A的 n 个特征值
则A+aE的特征值是：
1+a, 2+a, …, n +a 只要取 a > max(|1|, |2| …, |n |)
则A+aE的特征值全大于0
则A+aE是正定矩阵。
第六章 二次型与二次曲面
§6.2 正定二次型
【习题11】 设A、B为两个 n 阶正定矩阵，
第六章 二次型与二次曲面
球面及其方程
§6.3 曲面及其方程
(xx0)2 + (yy0)2 + (zz0)2 = r2
x2 + y2 + z2 2x0x 2y0y 2z0z + x02 +y02 +z02 r2 = 0
特点:
① 三元二次方程;
② 平方项的系数相同;
z
③ 没有xy, yz, zx这类交叉项.
S
o
x
y
第六章 二次型与二次曲面
§6.3 曲面及其方程
球面及其方程
空间中到定点的距离等于定长的点的集合 称为球面，定长称为半径。 z
点P(x, y, z)在球面上
r P
|P0P| = r (xx0)2+(yy0)2+(zz0)2
=r
O
y
x P0(x0, y0, z0)
(xx0)2 + (yy0)2 + (zz0)2 = r2
第六章 二次型与二次曲面
空间曲面的一般方程
§6.3 曲面及其方程
如果曲面 S 与方程 F( x, y, z ) = 0 有下述关系: (1) 曲面 S 上的任意点的坐标都满足此方程; (2) 不在曲面 S 上的点的坐标不满足此方程, 则 F( x, y, z ) = 0 叫做曲面 S 的方程,
曲面 S 叫做方程 F( x, y, z ) = 0 的图形. z F (x, y, z) = 0
例. 分析方程: 表示怎样的曲面 .
§6.3 曲面及其方程
z
解:
在xoy 面上，
表示圆C,
在圆C上任取一点 M1( x, y,0), 过此点作平行 z 轴的直线 l ,
M
C o M1 y
x
l
对 z , 点M( x, y, z) 也满足方程 x2 y2 R2
且AB=BA，证明：AB也是正定矩阵。
证：∵A,B均为n阶正定矩阵, ∴A,B均为对称阵 即AT=A, BT=B
(AB)T = BTAT (AB)T = AB
AB=BA
∴AB也是对称阵
存在可逆矩阵P和Q，使得 A = PTP，B = QTQ
AB =(PTP)(QTQ) = Q -1Q PTP QTQ = Q -1(Q PTP QT)Q
所以， AB也是正定的。
§6.3 曲面及其方程
曲面研究的两个基本问题: (1) 已知一曲面作为点的几何轨迹
时求曲面方程 (2)已知方程时 , 研究它所表示的
几何形状
第六章 二次型与二次曲面
§6.3 曲面及其方程
引例 求到两定点A(1,2,3) 和B(2,-1,4)等距离
的点的轨迹方程.
解 设轨迹上的动点为 M( x, y, z),
-a 2
,
-b 2
,
-c 2
),
半径
k
当k = 0时: 点(
-a 2
,
-b 2
,
-c 2
),
当k < 0时: 虚球面
第六章 二次型与二次曲面
柱面及其方程
§6.3 曲面及其方程
一条直线 l 沿着一条空间曲线C平行移动所 形成的曲面称为柱面。
注意：
对于柱面，它 的母线和准线 都不唯一。
准线
母线
柱面
第六章 二次型与二次曲面
zr2
0
z2 r 1
0zn2
正惯性指数 p项
q项 负惯性指数
r项 = r(A)
➢ 规范形是唯一的,
➢ p、q、r 是确定的,
➢ 与非退化线性替换的选择无关.
第六章 二次型与二次曲面
§6.2 正定二次型
判断二次型为正定(负定)的方法
1. 定义
对X O ，总有f(X) = XTAX >0，A正定

2. 通过定理2.1 正定的五个等价条件
∴可利用正交矩阵的正交变换性质证明
证：存在可逆矩阵P和Q，使得 A = PTP，B = QTQ
AB =(PTP)(QTQ) = Q -1Q PTP QTQ = Q -1(Q PTP QT)Q
令C=PQT
AB ~ Q PTP QT = (PQT)T(PQT)===== CTC
第六章 二次型与二次曲面
则 AM BM , 即
( x 1)2 ( y 2)2 (z 3)2 ( x 2)2 ( y 1)2 (z 4)2
化简得 2x 6 y 2z 7 0
说明: 动点轨迹为线段 AB 的垂直平分面.
B
显然在此平面上的点的坐标都满足此方程,A
不在此平面上的点的坐标不满足此方程.