2015-2016年江苏省淮安市淮阴中学高二上学期期末数学试卷与解析

2015-2016学年江苏省淮安市淮阴中学高二（上）期末数学试卷

一、填空题（每小题5分，共计70分）.

1．（5分）命题“若x≤1，则x2≤1”的逆否命题为．

2．（5分）双曲线：﹣x2=1的渐近线方程是．

3．（5分）某人从星期一到星期五收到信件数分别是10，6，8，9，7，则该组数据的方差s2=．

4．（5分）曲线y=1+sinx在点P（0，1）处的切线方程为．

5．（5分）观察下列式子：

1+＜，1++＜，1+++＜，…

据以上式子可以猜想：1++++…+＜．

6．（5分）执行如图所示的流程图，则输出的k的值为．

7．（5分）盒中有3张分别标有1，2，3的卡片，从盒中随机抽取一张记下号码后放回，再随机抽取一张记下号码，则两次抽取的卡片号码中都为奇数的概率为（用分数作答）．

8．（5分）“a≥1”是“直线x﹣y=0与直线ax+y+1=0垂直”的条件（在“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分又不必要”中，选择适当的一种填空）．

9．（5分）在平面直角坐标系xOy中，设D是由不等式组表示的区域，

E是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向E中随机投一点，则所投点落在D中的概率是．

10．（5分）已知函数（a∈R），若y=f（x）在区间[﹣2，﹣1]上是单调减函数，则实数a的最小值为．

11．（5分）已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣b）2=r2的圆心为抛物线y2=4x的焦点，直线3x+4y+2=0与圆C相切，则该圆的方程为．

12．（5分）已知函数（a＞0），（b ＞1），则函数y=g（f（x））的零点个数为．

13．（5分）我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”，已知F1，F2是一对相关曲线的焦点，P是它们在第一象限的交点，当∠F1PF2=60°，则这一对相关曲线中椭圆的离心率是．

14．（5分）设函数f（x）=e x（x3﹣3x+3）﹣ae x﹣x，e为自然对数的底数，若不等式f（x）≤0在x∈[﹣2，+∞）有解，则实数a的最小值为．

二、解答题

15．（14分）已知复数z满足z（1+2i）=5i（i为虚数单位）．

（1）求复数z，以及复数z的实部与虚部；

（2）求复数+的模．

16．（14分）已知命题p：“关于x，y的方程x2﹣2ax+y2+2a2﹣5a+4=0表示圆（a ∈R）”，命题q：“∃x∈R使得x2+（a﹣1）x+1＜0（a∈R）”

（1）若命题p为真命题，求实数a的取值范围；

（2）若命题p∧q为假命题，求实数a的取值范围．

17．（14分）从参加高二年级期中考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段[40，50），[50，60），…，[90，100]后得到如下部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：

（1）求分数在[70，80）内的频率，并补全这个频率分布直方图；

（2）根据上面补充完整的频率分布直方图估计出本次考试的平均分；

（3）用分层抽样的方法在分数段为[40，60）的学生中抽取一个容量为5的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至少有1人在分数段[50，60）的概率．

18．（16分）为治理雾霾，环保部门加大对企业污染物排放的监管力度，某企业决定对一条价值60万元的老旧流水线进行升级改造，既要减少为染污的排放，更要提高该流水线的生产能力，从而提高产品附加值，预测产品附加值y（单位：万元）与投入改造资金x（单位：万元）之间的关系满足：①y与（60﹣x）x2成正比例；②当x=30时，y=90；③改造资金x满足不等式0≤≤t，其中t为常数，且t∈[0，3]．

（Ⅰ）求函数y=f（x）的解析式，并求出其定义域；

（Ⅱ）求投入改造资金x取何值时，产品附加值y达到最大？

19．（16分）已知椭圆C的方程为+=1（a＞b＞0），两点F1（﹣1，0）、F2

（1，0）为椭圆C的焦点，点P在椭圆C上，且|PF1|+|PF2|=2|F1F2|．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）如图已知椭圆C的内接平行四边形ABCD的一组对边分别过椭圆的焦点F1、F2，求该平行四边形ABCD面积的最大值．

20．（16分）设函数f（x）=x2﹣2（﹣1）k lnx（k∈N*），f′（x）表示f（x）的导函数．

（1）求函数y=f（x）的单调递增区间；

（2）当k为偶数时，若函数f（x）的图象恒在函数g（x）=（1﹣2a）x2的上方，求实数a的取值范围；

（3）当k为奇数时，设b n=f′（n）﹣n，数列{b n}的前n项和为S n，证明不等

式（1+b n）＞e对一切正整数n均成立，并比较S2014﹣2与ln2014的大小．

理科附加题（每题10分，共40分）

21．已知函数f（x）=ln（x+1）﹣2x﹣f′（0）x2+2．

（1）求f（x）的解析式；

（2）求f（x）的减区间．

22．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，AB=2，AC=4，AA1=3，D是BC 的中点，求直线DB1与平面A1C1D所成角的正弦值．

23．数列{a n}中，a1=1，且+=2n+1，（n∈N*）．

（Ⅰ）求a2，a3，a4；

（Ⅱ）猜想数列{a n}的通项公式并用数学归纳法证明．

24．已知抛物线y2=2px（p＞0）上点T（3，t）到焦点F的距离为4．

（1）求t，p的值；

（2）设A，B是抛物线上分别位于x轴两侧的两个动点，且（其中O 为坐标原点）．求证：直线AB过定点，并求出该定点的坐标．

2015-2016学年江苏省淮安市淮阴中学高二（上）期末数

学试卷

参考答案与试题解析

一、填空题（每小题5分，共计70分）.

1．（5分）命题“若x≤1，则x2≤1”的逆否命题为若x2＞1，则x＞1．

【分析】根据逆否命题的定义进行求解即可．

【解答】解：命题的逆否命题为：若x2＞1，则x＞1，

故答案为：若x2＞1，则x＞1

2．（5分）双曲线：﹣x2=1的渐近线方程是y=±2x．

【分析】直接根据双曲线的方程，令方程的右边等于0求出渐近线的方程．【解答】解：已知双曲线﹣x2=1

令：﹣x2=0

即得到渐近线方程为：y=±2x

故答案为：y=±2x

3．（5分）某人从星期一到星期五收到信件数分别是10，6，8，9，7，则该组数据的方差s2=2．

【分析】先求出该组数据的平均数，再求该组数据的方差．

【解答】解：∵从星期一到星期五收到信件数分别是10，6，8，9，7，

∴该组数据的平均数=（10+6+8+9+7）=8，