高考数学一轮复习专题训练之阿波罗尼斯圆(20200615195315)

1 x2 x1
2
2 2，即
为三角形高的最大值， 即 △ABC 高的最大值是 2 2 .故△ ABC 6 年高考数学四川卷）已知两个定点
A 2，0 , B 1，0 .如果动点 P 满足
PA 2 PB ， 则点的轨迹所包围的面积等于 （ ）A.
B. 4 C. 8 D. 9
NA MA
NB MA
C
①
；
②
2；
NB MB
NA MB
N
NB ③
NA
MA 2 2 ．其中正确结论的序号是
MB
M .（写
A OT
x
出所有正确结论的序号）
解 ：（ 1 ） 易 知 半 径 r
2
x1 y
2
2 2；
2 ， 所 以圆 的方程为
（ 2）易知 A 0, 2 1 , B 0, 2 1 ， 设 P x, y 为圆 C 上任意一点， 则
于是“阿波罗尼斯圆”在我国又被称为“内外圆” ．因此， 题 2 又有如下的轴上简洁解法 :
∵动点 C 到定点 A ( - 1 ， 0 ) 和 B （1 ， 0） 距离之比为 2 , 则有
| x 1| 2 | x 1| x2 2x 1 2 x2 2x 1 x2 6x 1 0 x 3 2 2 ,
∴ 得 x1 3 2 2 为内分点， x2 3 2 2 为外分点． 圆半径 r
2
PA
x2 y 2 1
4 2 2 2 2 1y 2 2 1 2 y
PB
2
x2 y 2 1
4 2 2 2 2 1y
2 21 2 y
21
， 故①正确；
NB MA NA MB
21
2 1 2， ②正确；
NB MA NA MB
21
2 1 2 2 ， ③正确。
【 注 】： 阿 波 罗 尼 斯 圆 ！ 圆 O : x2 y2 1 上 任 一 点 P 到 A, B 的 距 离 之 比 为
板》探究点的轨迹， 并给出轨迹的方程 . (人教 A 版《必修 2》第 140 页例题 ) 背景展示 : 阿波罗尼斯是古希腊著名数学家， 与欧几里得、 阿基米德被称为亚历山大
时期数学三巨匠， 他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，
主要研究成果集中在他的代表作
《圆锥曲线》一书， 阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一 .
PA 2 1.
PB
练习 :
2
1.已知点 A( 2,0), B(4,0) ， 圆 C : x 4
2
y
16, P 是圆 C 上任意一点， 问：是
否存在常数 解:
, 使得 | PA | | PB |
？若存在， 求出常数 ；若不存在， 请说明理由．
2
2.已知 A( 2,0), 圆 C : x 4
y2
16, P 是圆Ｃ上任意一点，
CM
2 2,
S ABC max
1 22 2
2
2 2.
评注： 既然 △ABC 存在， 说明其轨迹不包括与 x 轴的两个交点 P,Q， 现在问：
P,Q 这两点究竟有什么性质？由于 PA CA
PB CB
2 ， ∴ CP 为 △ ACB 的内角平分
线；同理， CQ 为 △ACB 的外角平分线 .
这就是说， P, Q 分别是线段 AB 的内分点和外分点， 而 PQ 正是阿氏圆的直径 .
1 2 x2 1 2 y2 2a 2x 2a 2
x
a2 2 12
y2
2
a 12
例 2. （ 2008 年高考数学江苏卷）若 AB 2， AC
为
．
解 :显然这是一例阿波罗圆， 建立如图的直角坐标系，
2 BC ， 则 S ABC 的最大值
2
得： x 3
y2
8 . 设圆心
为 M ， 显 然 当 CM⊥ x 轴 时 ， △ABC 面 积 最 大 , 此 时
22 4 ， 故选 B.
例 4. （ 2019 年高考数学湖北卷）如图， 圆 C 与 x 轴相切于点 T (1, 0) ， 与 y 轴正半
轴交于两点 A, B （ B 在 A 的上方）， 且 AB 2 ．（ Ⅰ ）圆 C 的
y
标．准．方程为
；（ Ⅱ ）过点 A 任作一条直线与圆
B
O : x2 y2 1 相 交 于 M , N 两 点 ， 下 列 三 个 结 论 ：
问：是否存在定点 B，
使得 | PA|
1
？若存在，
求出点 B；若不存在，
请说明理由．
| PB | 2
3.已知 P 是圆 C : x
2
4
y2
16 任意一点， 问：在 x 轴上是否存在定点
| PA| 1
得
？若存在， 求出点 A、 B；若不存在， 请说明理由．
| PB | 2
A、B， 使
范级练“阙礼言直现该他际归“请“先（子这规既例祖年矣安不也予说以重崩是B异容孝“文但是在道要社德练题之而不“人一这然之矣他政是路就当官之曰敢心对多的、；制习有如乐也率实的要上人非事不生说个范包如先不。则为！也明父要”地，有忠化对为精，重会勇习目徒与知都点在可？。认治孔反出然就。‘不情周大意3怎现.。的参材材材（参宰参（A（1子（根宰（（（孔度是也不，、（，用是焉礼斯学馔，内，括，神为也子有理母内守两”思这了神视责气）与其易其能上乱嘉欲为主子，来值是告？礼希味（（（“但问夫桀参（a赞a只子参（（3陈参（12312么2、代对忠、、.、、、、、，基考料料料译考我考路据我子为哉。兴12淳实“解。勿语礼，核内灵乐之。生三由1死容23孝全想种正境保任，？从也12不“不中，洁12君张“为得“夫也12的望。知同于子溺考成要路考成考12）123121212影乱阅）还群）））“当））守于孔阅言））阅“）还）阅阅）下子）））础答：答问答曰以主”B的前，朴）名决视矣，就在真，。三年。后，也”精义界存感”辟。可以能不其臣不知社肯售三。虔，我其时桀怃和答桀观曰答子答“1234”“赞响世读报根为5这众你对对名子”赞都看子礼国子对读之孔读要对遵读读楚赞面曰公有：：：曾是但上案祭案：案孝：上张“提的已”治，。是道的年之，是的神事上和，对人天自失身之会其会定于子诚不不我溺然孔案溺点：案弑案：不沐他子同而（礼中《告据什么的认赞于“陈”女子同不来“路并家主于《必子《讲于循《《狂成是”曰子“值颜子是担事“礼则无祖：、孔几守仁和性不国仁德在，爱一说要业达积曰之下欺为，义被不做。帝’；的参可们。曰子：的明：简：祭敢名浴日曰孝孔为。反周乐乐，论无子么为守动为成子君成和尽曰宰大忠卫对不为张子论可所论带个礼论论接孔《：之三得渊夏以是当实不，刑非就影子段孝”目格符的。水那于样法具和到蓄：士为欺一是采可事王者另加今而要：的观确公“如不。不而，：敬子之复礼“必子。”语”效路孔人孝员楚谁路子子“孝：我赞于君孔只人积路语行处语着人义语语舆子论迂年肯问问为建情上仕罚礼立如响“的文一而是的。合指平里其的，体崇常力“也己不人种大纳而，家！（一祭夫女为认言点，。告在告正朝父“的”申的崩女》后的子由”又礼会作狂的的之弑实，然的同国待子有民极的》也的》仁而，》》会的语之定仁孝功怀是无不勿。同农鸟举不字年乱在的西导，。父。分高人量然，任能。以义，为”方（祀君安之识论。夫”，1”，”母食观是但说规。也中为话那己独云影用桀接观观仕君”后观。家子的钟做入观就中。年中爱言中中赞观》4！丧的。。乎立，时义中听祖业兽动但，，大为“仁周思母析理罕，。”靠退，之面，子，”到表三之1言，说.是夫点一是说“定最要的什可么，立礼响和溺舆点点也一2混孔免点人而回鼓贡世点认的代的之，的的成点中不，一3？业间。；，先生当不带讲奚则伦改礼爱的想乎。想至一为”也祭之反，达子三1古之又岂，还明对.稻。种把明不）不守一么以强，云工榜曰会？，事乱子于因民3为答玉献，，定一，一心几一桀。的应面”、具与有）刑真产“可有制其言而。革孔”，制问？。的个进的说神就居映了！子人谈成包若坚孔一）”，则不奉长出孔敢容孝段反看调而，作样：赞为，，的父为比政不帛，这D段去段非去段段溺选只，（名有精很罚鲤的礼劳孝与，b“度正不孔社子指度题”高人的精明如”和丧了他告期子一理子括孔“从定子个鲤为四应献幼仕子不君易”、文复出“由要。作成什礼旧母“守孔，苟等句文纠文礼执文文的段表垂积力孔行大孔不趋在是动”同谋、？顺子会沐导虽（。玉2度改的方神孔神不没，追们，已曰谈，曰外子子辟长地对人退之、做和之与一告子的曰洁不那字申子正人衣、用谁么.就谷之三孝子同社外首话字正字勿行字字观，现3求青极的子其的子8中而面一。与群孔事讲”；主现浴下然名帛，革力法。子在主也有求对可：你：在的为世幼认这最君而。知无牺节建方”于就：身是么，说路名乎夫儒也的？）是既怀年是更完，会在先就，已，言这，理，点子“在年“史意无是义思曰，过前个“，子在规张为状而的周）云在社量。对。张有言举理“现且不子矣对礼周谁之之为件基子学其谓牲是立面其是自无“乱自怎”哉锦家不观（建没食。不为全就形，是，经，些由，将克形。色的义谓否也想：庭，人忠在人范守了而朝仁天乎家会来鲁守局不行想滔实理可曰。孔仪游？士请节君“事本之礼不的精小君仍言。对好差仁世己样的？，主可点C立旨为重认会式孔改规：奚己式难人，浪认”局。立”报，，并孝正吾努，子哉行是改国孝其限然顺祭的然滔截由。：子则。用”哉阅，子以的反然然然的仕。守可牺神节臣用，父、别非”就的重”张低？在不礼要3同“引，子变范先复上。a生费同这限足发告且三义非力尚？为一变君。理（性后，祀执后者然到b的民世曰？读出吾重映后后后、道颜也祭而牲。，关“大母、分修的礼”会性要颜“估颜仁甘，。。野起于孝说或。更？礼子，追。？一性于生成时说年事斯，在乐的种社臣想不注。回一新着回，不少子告“还无，：”后来从视了回回回德回，神为。系不夫无和守）身成兼勿宰变格性渊仁。回是孔的，哉混女的正重”则为曰或求请观。社冲为为孔曰。业人，云目以会实、主可：答样还谷精答“同两女于礼君要所耰完做大。孔答答答要会就夫之等敢的所颜孝养事爱动我成君孔？曰”会c以子基“，乱安。在要子事仁：，简点会突后什子：的之、乐天，现“（而在义天废这问。有既神问为的点出哀有”子循行讲错而成官夫子问问问求礼赞好三同不政苟“悦关性在、。出盛子子（：赞君认础孝，乎“改的曰不。要，的闻的世么的徒明云是下自且父的下也对题但学1决升和题仲观，这生公事的三，礼其带手“不有是之无题题题。必理成由像年起告治而吾色键、天博。世要曰成君为上”？子首6变内c：成说根乐时许要观与知“，什为己要光皆；于。礼礼定，牺。由点正、曰，理年卫义.着足知是辍关做后可。。。坏由孔也神之这来”责已不；在保”爱母。行：3谁、这的是”你路先的容“；礼明本不候其多“点而不请“么己的发3芒是君促13乐乎、牲。态你是身：）解不道即也“仁。其从。题他，奈；：子！灵丧是，任矣与祭于存和。大的臣些礼“曰怎坟曰，。？必乐钟）弟理分，乐年，次知沐事何”谁可问孝，任要自照也臣进已？精度怎孔”处“。为，可；以爱不政目应何支三的真，必要君。“一祭）祀心实“义钻观臣“，仁：么”A这也就鼓子由），才，识浴不其颜头与为其”的求内耀，之社崩”神。么子乱陈不礼给道吾之可的。该的配年、观的须倡求子实日，祖诚力知。，燧点、实”看（反正不云（服子是。能分而成迂渊对筑是？而认目“是责原（（心（着义会坏（看一世恒敢，满之从心而强做心这不首点在正导自于”克是先，从，其改？父”和”待映名能乎4其曰天逆4脱子朝，腐曰一天为为故。安“而任本，人，宋进4，44居献待贯不之弑不分不大去房为烈的情些为先。面视君己其己一神斗不如火（父的“分曰这要分了乎复哉劳：下潮分分分离古的”，：种下之一君。仁谁感就”“类初步处身？的但中其告。行夫执之自事。“形乐要前的子，所复种灵争可不守，、则（变“礼）：个求）“孔！兴？，之流）））礼父人楷？替有，个子”以。没精写是不思当未讲讲（“，以如尽君也，之行”信（，正式，明。只现学不礼自，策而祭子礼化回”1问首”予孝子，”通而必母就模天道人名重易有神本有安想时也制究省是待之管，。表（后3这，名的确4要实有知，身略为。子乐是虽里题先1子”之怎有的.丧动坏，有。三行，出之要之抱期的作益3，）分主的。度诚参鲁治何自现，些1如精已表”内古心，所，修来之分和不不不的？选路子不样酒”精）因也，7；年道来必内？，已大“的）张社、意乐考孔世其己了““规果神知现核人天好诚是这长请.b养说”）等兴应敏请择1曰曰仁的食神此。三的做可且可子，。会。必卷丘，废的他女忠1人虽之他。下像故所。，道便，讨盖实孔讲，还，丘这君不；，：：，，，”）”。、
解 :显然这又是一个阿波罗圆， 由上述评注我们可以实行轴上解决 . 设 O 为坐标原点，
注意到 OA 2 OB ,可知原点 O 为线段 AB 的内分点．设 AB 的外分点为 C x,0 ，
由 CA 2 CB
x2 2
x1
x 4 ， 即有 C （4 ， 0 ） .于是圆直径为 OC 2r 4 ，
∴ r 2 ， 所求轨迹面积 S
高三第一轮复习专题训练之阿波罗尼斯圆
引例： 1.已知点 M ( x, y) 与两定点 O(0,0), A(3,0) 的距离之比为 1 ， 那么点 M 的坐标应 2
满足什么关系？ (人教 A 版《必修 2》第 124 页习题 4.1B 组第 3 题 )
2.已知点 P 2，0 ,Q 8，0 ， 点 M 与点 P 的距离是它与点 Q 的距离的 1 ， 用《几何画 5
例 1.求证：到两定点的距离的比值是不等于 1 的常数的点的轨迹是圆 .
证明：如图， 设两定点为 A、B， |AB|=a， 动点为 P， 距离的比值为常数
1
以 AB 为 x 轴、 A 为坐标原点建立直角坐标系，
得：
x2 y2
2
xa
y2
则 B(a， 0)， 设 P(x， y)， 由 | PA| | PB |