系统运动稳定性分析

非线性、时变系统）的稳定性：李雅普诺夫稳定性理
论。
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李雅普诺夫稳定性理论。
李雅普诺夫稳定性理论在建立了一系列关于稳定性 概念的基础上，提出了判断系统稳定性的两种方法： 1.间接法：利用线性系统微分方程的解来判系统的稳
定性，又称李雅普诺夫第一法；
2.直接法：首先利用经验和技巧来构造李雅普诺夫函 数，然后利用李雅普诺夫函数来判断系统的稳定性，
4.2.1线性定常系统稳定性判据
[定理4.1] 线性定常系统
x Ax Bu
y
Cx
(4.10)
（1）平衡状态xe是渐进稳定的充分必要条件是矩
又称李雅普诺夫第二法。
李雅普诺夫稳定性理论是确定系统稳定性的一般
理论，它采用状态空间描述，在分析一些特定的非线
性系统的稳定性时，有效地解决了其它方法所不能解
决的问题。该理论比经典控制理论中的稳定性判据适
应范围更广。
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4.1 李雅普诺夫稳定性定义 4.2 李雅普诺夫第一法 4.3 李雅普诺夫第二法 4.4李雅普诺夫方法在线性系统中的应 用 *4.5李雅普诺夫方法在非线性系统稳定 性分析
向量的距离 长度 x称 x为e 向量x与xe的距离，写为：
x xe x1 xe1 2 xn xen 2
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4.1.2．李雅普诺夫稳定性定义
1．李雅普诺夫意义下的稳定性
P159
定义：对于系统 x f ，x,t设 系统初始状态位于以平衡
状态xe为球心、δ为半径的闭球域S(δ)内，即
性与初始条件的大小无关。而对于非线性系统来说， 其稳定性往往与初始条件大小密切相关，系统渐进 稳定不一定是大范围渐进稳定。
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几何意义： 局部稳定的系统 第13页/共50页 大范围稳定的系统
4．不稳定性 定义：如果对于某个实数ε>0和任一实数δ>0，
不管这两个实数多么小，在S(δ)内总存在一个状态 x0，使得由这一状态出发的轨迹超出S(ε)，则称平 衡状态xe是不稳定的。
Xt Φt; x0,的t0边 界。 简单地说，1.如果 Xt有; x界0 , t，0 则称xe稳定； 2.如果 xt;不x0仅,t0有 界，而且当t→∞时收敛于原点，
则称xe渐进稳定；
3.如果 x t无; x界0 , t，0 第则16称页/共x5e0不页 稳定；
4.2 李雅普诺夫第一法（间接法）
x0 xe ,t0 , t t0 若能使系统从任意初态x0出发的解 Φt; x在0,t0> t0的过
程中，都位于以xe为球心、任意规定的半径ε的闭球域 S(ε)内，即：
Φt; x0,t0 xe (t t0)
则称系统的平衡状态xe在
李雅普诺夫意义下是稳定的。
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几何意义
按李雅普诺夫意义下的稳定性定义，当系统作不衰 减的振荡运动，将在平面描绘出一条封闭曲线，但只要 不超出S(ε),则认为是稳定的，这与经典控制理论中线 性定常系统的稳定性定义有差异。
稳定性判别方法
经典控制理论中：
线性定常系统的稳定性：
代数判据（劳斯判据、赫尔维茨判据）； 奈奎斯特判据 ；对数稳定判据等。
非线性定常系统的稳定性：
描述函数法： 要求系统的线性部分具有良好的滤 除谐波的性能；
相平面法：仅适合于一阶、二阶非线性系统。
现代控制理论中：
一般系统（包括单变量、线性、定常系统，以及多变量、
4.1.1．系统状态的运动及平衡状态
李雅普诺夫关于稳定性的研究均针对平衡状态而言。
1. 平衡状态的定义 设系统状态方程为： x f x,t (4.1) 若对所有t，状态x满足 x，0 则称该状态x为平衡状
态，记为xe。故有下式成立： f xe,t 0 (4.3)
由平衡状态在状态空间中所确定的点，称为平衡点。
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2．渐进稳定性（经典理论稳定性） 定义：
如果系统的平衡状态xe不仅有李雅普诺夫意义下的 稳定性，且对于任意小量μ>0，总有
lim Φt; x0,t0 xe t
则称平衡状态xe是李雅普诺夫意义下渐进稳定的。
这时，从S(δ)出发的轨迹不仅不会超出S(ε)，且
当t→∞时收敛于xe，可见经典控制理论中的稳定性定 义与渐进稳定性对应。
x1 0
x1
x2
x23
0
xx12
(1
0
x2
)(1
x2
)
0
x1 0
x2
(1
x22
)
0
该系统存在三个平衡状态：
0
0
0
xe1 0 , xe2 1 , xe3 1
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3．范数的概念
范数的定义
n维状态空间中，向量x的长度称为向量x的范数，
用 表x示，则：
1
x x12 x22 xn2 xT x 2
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几何意义：
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3.大范围渐进稳定性
定义：当初始状态扩展到整个状态空间，且平衡状 态xe均具有渐进稳定性，称这种平衡状态xe是大范围 渐进稳定的。此时，δ→∞，S(δ)→∞。当t→∞时， 由状态空间中任意一点出发的轨迹都收敛于xe。
对于严格的线性系统，如果它是渐进稳定的，必 定是大范围渐进稳定的。这是因为线性系统的稳定
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4.1 李雅普诺夫稳定性定义
BIBO稳定性的概念
对于一个初始条件为零的系统，如果在有界的输
入u(t)的作用下，所产生的输出y(t)也是有界的，则 称此系统是外部稳定的，也即是有界输入-有界输出 稳定的。并简称为BIBO稳定。
李雅普诺夫稳定性的物理意义是系统响应是否有界。
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2. 平衡Hale Waihona Puke Baidu态的求法
由定义可见，平衡状态将包含在 f x这,t 样 0一个
代数方程组中。 对于线性定常系统 x A，x 其平衡状态为xe应满
足代数方程 。Ax 0
只有坐标原点处是系统的平衡状态点
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对于非线性系统，方程 系统方程而定。
如：
x1 x2
x1 x1
x2
x23
f x,的t 解 0可能有多个，视
几何意义：
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对于不稳定平衡状态的轨迹，虽然超出了S(ε)，但 并不意味着轨迹趋于无穷远处。例如以下物理系统比 喻不稳定，轨迹趋于S(ε)以外的平衡点。
当然，对于线性系统，从不稳定平衡状态出发的轨 迹，理论上趋于无穷远。
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从上述四种稳定性定义可见，球域S(δ) 限制着初始 状态x0的取值，球域S(ε)规定了系统自由运动响应