(贵州专版)2017春八年级数学下册1.3第1课时线段的垂直平分线课件(新版)北师大版
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1.3 线段的垂直平分线 课件(共42张PPT)数学北师大版八年级下册
感悟新知
知识点 2 线段垂直平分线的判定定理
知2－讲
1. 判定定理 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线 段的垂直平分线上 . 条件： 点到线段两个端点距离相等 . 结论： 点在线段的垂直平分线上 .
感悟新知
2. 几何语言 如图 1-3-3， ∵ AB=AC， ∴点 A 在线段 BC 的垂直平分线上 .
感悟新知
2. 几何语言 如图 1-3-1， ∵ AD ⊥ BC 于 D， BD=CD， ∴ AB=AC.
知1－讲
感悟新知
知1－讲
3. 线段垂直平分线的性质与角平分线的性质的联系与区别 联系： 两者都可以直接得到两条线段相等 . 区别： 前者指的是点到点的距离，后者指的是点到直线的 距离 .
感悟新知
知4－练
感悟新知
知4－练
(2)用尺规作 BC 边的垂直平分线.(不写作法，保留作 图痕迹)
解：如图所示， 直线MN即为所求．
性质 判定
线段的垂直 平分线
线段的垂 直平分线
三角形三条 边的垂直平 分线
∴线段 AD 所在的直线是线段 EF 的垂直平分线 .
感悟新知
知2－练
教你一招：判定线段垂直平分线的两种方法：一是定 义法，二是判定定理 . 一般习惯用定义法 进行判定，而利用判定定理判定一条直线 是线段的垂直平分线时，一定要证明直线 上有两点到线段两个端点的距离相等 .
感悟新知
知2－练
2-1.如图， AB=AD，BC=DC， 点 E 是 AC上一点 . 求证： (1) BE=DE；
感悟新知
解题秘方：利用线段的垂直平分线的性质将要求 的线段向已知条件转化 .
知1－练
解： ∵ DE 为 BC 的垂直平分线，∴ CD=BD. ∴ △ ACD 的周长 =AC+AD+CD=AC+AD+BD=AC+AB=8 cm. ∵ AB=5 cm，∴ AC=3 cm.
1.3 线段的垂直平分线第1课时 线段的垂直平分线的性质与判定 北师版数学八年级下册课件
在数学中，光靠观察是不够的，还需要
理性的证明.
如何证明这 个结论呢？
线段垂直平分线的性质
已知：如图所示，直线MN⊥ AB，垂足是C，并且AC=BC，P是 MN上任一点.
求证：PA=PB.
M P
证明：∵ MN⊥ AB ， ∴ ∠PCA= ∠PCB=90°.
A
C
B
又∵ AC=BC， PC=PC，
N
∴ △PCA≌ △PCB（SAS）.
定理中说线段垂直平分线上的任一点到线 段两个端点的距离相等，但是在证明过程中， 只是随机选了一种情况来证明，这并不影响定 理的正确性，因为所选的点是任意的.
线段垂直平分线的判定
你还记得上节课学过的关于互逆命题和互逆定 理的知识吗？
逆命题定义：在两个命题中，如果一个命题的 条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么 这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一 个命题的逆命题.
∴ PA=PB（全等三角形的对应边相等）.
线段垂直平分线的性质
M
由证明过程可以看出，两组对应
P
线段分别相等，那么这个事实的几 何意义是什么？
A
三角形两条边对应相等意味 着线段垂直平分线上的点到线段 两个端点的距离相等.
C
B
N
线段垂直平分线的性质
线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平 分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
古希腊的安那萨哥拉斯首先提出作图要有尺寸限制.他因政 治上的纠葛，被关进监狱，并被处以死刑.在监狱里，他思考改 圆成方以及其他有关问题，用来打发令人苦恼的无所事事的生活. 他不可能有规范的作图工具，只能用一根绳子画圆，用随便找来 的破木棍作直尺，当然这些尺子上不可能有刻度.另外，对他来 说，时间是不多了，因此他很自然地想到要有限次地使用尺规解 决问题.后来以理论形式具体明确这个规定的是欧几里德的《几 何原本》.由于《几何原本》的巨大影响，希腊人所崇尚的尺规 作图也一直被遵守并流传下来.
北师大版八年级数学下册课件：1.3.1线段的垂直平分线(共17张PPT)
例2 已知：线段AB，点P是平面内一点且PA=PB．
求证：P点在AB的垂直平分线上．
证明：过点P作已知线段AB的垂线PC，
P
∵PA=PB，PC=PC，
∴Rt△PAC≌Rt△PBC（HL） A
∴AC=BC，
CB
即P点在AB的垂直平分线上．
合作探究
方法二：
把线段AB的中点记为C,
连接PC
∵C为AB的中点
如果有一个点到线段两个端点的距离相等，那么这个 点在这条线段的垂直平分线上，即到线段两个端点的 距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
当我们写出逆命题时，就想到判断它的真假．如果真， 则需证明它；如果假，则需用反例说明．
合作探究
性质定理的逆命题：到线段两个端点的距离相等 的点在这条线段的垂直平分线上．
已知：如图，AC=BC，MN⊥AB，P是MN上任 意一点. 求证：PA=PB．
证明：∵MN⊥AB，
M P
∴∠PCA=∠PCB=90°
∵AC=BC，PC=PC，
A
C
B
∴△PCA≌△PCB（SAS）；
N
∴PA=PB（全等三角形的对应边相等）．
讲授新课
性质定理：线段垂直平分线上的点到 这条线段的两端点的距离相等．
感悟引入
讲授新课
如图，A、B表示两个仓库，要在A、B一侧的河岸边建 造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建
在什么位置？
A
C
B
感悟引入
我们曾经利用折纸的方法得到:线段垂直平 分线上的点到这条线段两个端点距离相等.你能 证明这一结论吗?
感悟引入
讲授新课
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等.
【义务教育教科书北师版八年级下册】
八年级数学下册教学课件《1.3线段的垂直平分线(1)》
（2）∵ MA＝MB
∴∠1=∠B 同理， ∠2=∠C
∵∠MON＝50°，OM ⊥AB， ON ⊥AC
∴∠BAC＝360 °-90 °-90 °-50 °=130° 即∠1+ ∠MAN + ∠2＝130° ①
又∵ ∠B+ ∠BAC + ∠C＝180° ∴∠B+ ∠1+ ∠MAN + ∠2 + ∠C＝180° 即2∠1+ ∠MAN + 2∠2＝180° ② ∴∠1+ ∠2 ＝50° ∴∠MAN＝130°﹣50°＝80°
几何语言： ∵MN⊥AB，AC=BC
M lP
∴PA=PB (线段垂直平分线上的点到
∴∠A=∠B 这条线段两个端点距离相等).
∴∠A=∠B (等边对等角).
A
C
B
常用辅助线：给出线段垂直平分线上的点，将它与线段两端N 点连接起来
这条定理常用来证明两条线段或两个角相等
探究新知 1
线段的垂直平分线的性质
判定
1.经过线段的中点，并且垂直于这条线段的直线 是线段的垂直平分线。
2.到一条线段两个端点距离相等的点， 在这条线段的垂直平分线上。
当堂检测
当堂检测
1．如图，已知在△ABC中，AD垂直平分BC，AC=EC，点B，D，C，E
在同一条直线上，则AB．AB+DB＞DE B．AB+DB＜DE C．AB+DB=DE D．非上述答案
巩固练习：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB上一点，BD=BC，过D作 AB的垂线交AC于点E，CD交BE于点F， 求证：EB垂直平分线段CD.
分析：证明EB垂直平分CD 即判定直线EB为垂直平分线，
八年级数学北师大版初二下册--第一单元 1.3《线段的垂直平分线(第一课时)》课件
则∠BCD＝___1_0_°___．
导引：在△ABC中，∵∠B＝90°， ∠A＝40°， ∴∠ACB＝50°. ∵MN 是 线 段 AC 的 垂 直 平 分 线 ， ∴DC＝DA. ∴∠DCE＝∠A＝40°. ∴∠BCD＝∠ACB－∠DCA ＝50°－40°＝10°.
总结
知1－讲
利用线段的垂直平分线的性质得出边相等，再 利用等边对等角确定∠DCA的度数，根据角度差解 决问题．
P
∴△ PCA ≌△ PCB (SAS).
∴PA=PB.
A C
知1－导
B
归纳
知1－导
定理 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的 距离相等.
（来自《教材》）
知1－导
已知：如图,直线MN⊥AB垂足为C，且AC＝BC，P是 MN上的任意一点. 求证：PA＝PB 证明：∵MN⊥AB，
∴ ∠PCA ＝∠PCB＝90°. ∵ AC＝BC，PC＝PC, ∴△PCA ≌△PCB ( SAS ). ∴PA＝PB (全等三角形的对应边相等）
AB，P1, P2, P3, ……是l上的点， 请你猜想点P1，P2, P3, …到点 A A与点B的距离之间的数量关系.
知1－导
P3 P2 P1
B
l
知1－导
可以发现，点 P1，P2, P3,…到点A的距离与它们 到点B的距离分别相等.如果把线段AB沿直线l对折， 线段P1A与P1B、线段P2A与P2B、线段 P3A与P3B…… 都是重合的，因此它们也分别相等.
知1－讲
导引： 根据线段垂直平分线的性质得出AB与AD的关系， 结合三角形全等进行逐一验证四个选择项求解． ∵AC垂直平分BD，∴AB＝AD，BC＝CD. 又∵AC＝AC， ∴△ABC≌△ADC. ∴∠BAC＝∠DAC，∠BCA＝∠DCA. 又∵BC＝DC，CE＝CE， ∴△BEC≌△DEC. ∴选项A，B，D正确．
导引：在△ABC中，∵∠B＝90°， ∠A＝40°， ∴∠ACB＝50°. ∵MN 是 线 段 AC 的 垂 直 平 分 线 ， ∴DC＝DA. ∴∠DCE＝∠A＝40°. ∴∠BCD＝∠ACB－∠DCA ＝50°－40°＝10°.
总结
知1－讲
利用线段的垂直平分线的性质得出边相等，再 利用等边对等角确定∠DCA的度数，根据角度差解 决问题．
P
∴△ PCA ≌△ PCB (SAS).
∴PA=PB.
A C
知1－导
B
归纳
知1－导
定理 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的 距离相等.
（来自《教材》）
知1－导
已知：如图,直线MN⊥AB垂足为C，且AC＝BC，P是 MN上的任意一点. 求证：PA＝PB 证明：∵MN⊥AB，
∴ ∠PCA ＝∠PCB＝90°. ∵ AC＝BC，PC＝PC, ∴△PCA ≌△PCB ( SAS ). ∴PA＝PB (全等三角形的对应边相等）
AB，P1, P2, P3, ……是l上的点， 请你猜想点P1，P2, P3, …到点 A A与点B的距离之间的数量关系.
知1－导
P3 P2 P1
B
l
知1－导
可以发现，点 P1，P2, P3,…到点A的距离与它们 到点B的距离分别相等.如果把线段AB沿直线l对折， 线段P1A与P1B、线段P2A与P2B、线段 P3A与P3B…… 都是重合的，因此它们也分别相等.
知1－讲
导引： 根据线段垂直平分线的性质得出AB与AD的关系， 结合三角形全等进行逐一验证四个选择项求解． ∵AC垂直平分BD，∴AB＝AD，BC＝CD. 又∵AC＝AC， ∴△ABC≌△ADC. ∴∠BAC＝∠DAC，∠BCA＝∠DCA. 又∵BC＝DC，CE＝CE， ∴△BEC≌△DEC. ∴选项A，B，D正确．
【推荐】八年级数学下册1.3线段的垂直平分线第1课时课件新版北师大版
(2)∵∠C=90°,AB=10,BC=6, ∴AC=8. ∵DE是AB的垂直平分线, ∴AE=BE. ∴BE+CE=AC=8. ∴△BCE的周长
=BE+CE+BC=AC+BC=14.
2.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AD平分∠BAC.
求证:点D在线段AB 的垂直平分线上.
证明:∵∠C=90°,∠B=30°, ∴∠BAC=60°. ∵AD 平分∠BAC, ∴∠BAD=������∠BAC =30°.
������
∴∠BAD=∠B. ∴AD=BD. ∴点 D 在线段 AB 的垂直平分线上.
1.线段的垂直平分线的性质定理和判定定理是一对互逆定 理,在运用时一定要看清题目的已知条件和要证明的结论是 什么,这样才能明确应用的是性质定理还是判定定理. 2.要说明一条直线是已知线段的垂直平分线,需要知道这条 直线上的两个点,且这两个点到已知线段两个端点的距离相 等,这样才能保证这条直线是已知线段的垂直平0°,求∠CBE的度数;
(2)若AB=10,BC=6,求△BCE的周长.
解:(1)∵DE是AB的垂直平分线, ∴AE=BE. ∴∠A=∠ABE=40°. ∵Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=40°, ∴∠ABC=50°. ∴∠CBE=∠ABC-∠ABE=10°.
第一章 三角形的证明
1.3 线段的垂直平分线
第1课时
1.能够证明线段的垂直平分线的性质定理和判定定理. 2.会运用性质定理解决有关问题.
如图，A,B表示两个村庄,直线l表示公路.若要在 公路旁建一个公共汽车站,使它到A,B两村的距离相等,公 共汽车站应建在什么位置?
1.如图,△ABC中,∠C=90°,边AB的垂直平分线分别交AB,AC边
北师大版数学八年级下册131线段的垂直平分线课件
1. 如图，AC＝AD，BC＝BD，则有( A )
A．AB垂直平分CD
B．CD垂直平分AB
C．AB与CD互相垂直平分 D．CD平分∠ACB
2.平面直角坐标系中，已知A(－1，3)，B(－1，－1)．下列四个点中，在线段AB
的垂直平分线上的点是( B )
A．(0，2)
B．(－3，1)
C．(1，2)
D．(1，0)
A
B
O
∴PO是线段AB的垂直平分线，即点P在线段AB的垂直平分线上．
归纳： 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．
归纳小结
线段垂直平分线的判定定理： 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. ∵PA=PB ∴点P在线段AB的垂直平分线上
例1、已知：如图，在△ABC中，AB=AC，O是△ABC内一点，且OB=OC. 求证：直线OA垂直平分线段BC
证明：∵E是BD的垂直平分线上的一点， ∴EB＝ED. ∴∠B＝∠D. 又∵∠ACB＝90 °， ∴∠A＝90 °－∠B，∠CFD＝90 °－∠D. ∵∠B＝∠D， ∴∠CFD＝∠A. 又∵∠AFE＝∠CFD， ∴∠AFE＝∠A. ∴EF＝EA. ∴点E在AF的垂直平分线上．
1、线段垂直平分线上的 点 到这条线段两个端点的距离 相等. 2、到一条线段两个端点距离 相等 的点，在这条线段的 垂直平分 线上 .
3. 如图，在△ABC中，∠A＝40°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，∠DBC＝30°，若 AB＝m，BC＝n，则△DBC 的周长为 m＋n ．
4. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，将AB边沿AD折叠，发现B点的 对应点E正好在AC的垂直平分线上，则∠C＝ 30°．
八年级数学下册 1.3 线段的垂直平分线课件1 (新版)北师大版
定理：到线段两个端点的距离相等的点在 这条线段的垂直平分线上．
想一想，做一做
已知：如图 1-18，在 △ABC 中，AB = AC，O 是 △ABC 内一点，且 OB = OC.
求证：直线 AO 垂直平分线段BC．
课堂小结, 畅谈收获：
一、线段垂直平分线的性质定理．
二、线段垂直平分线的判定定理．
P
证法二：取AB的中点C，过P,C作直线． ∵AP=BP，PC=PC.AC=CB， ∴△APC≌△BPC(SSS)．
A
C
B
∴∠PCA=∠PCB(全等三角形的对应角相等)．
又∵∠PCA+∠PCB=180°， ∴∠PCA=∠PCB=∠90°，即PC⊥AB ∴P点在AB的垂直平分线上．
已知：线段AB，点P是平面内一点且PA=PB．
三、用尺规作线段的垂直平分线．
补充练习：
1．已知：△ABC中，边AB、BC的垂直平分线 相交于点P．求证：点P在AC的垂直平分线上．
2．如图，求作一点P，使PA=PB，PC=PD
A间，而是缺乏努力。
学习要有三心:一信心；二决心；三恒心. 知识+方法=能力,能力+勤奋=效率,效率×时 间=成绩. 宝剑锋从磨砺出,梅花香自苦寒来.
∴△PCA≌△PCB(SAS) ；
∴PA=PB(全等三角形的对应边相等)．
用心想一想，马到功成
你能写出上面这个定理的逆命题吗?它是真命题吗?
如果有一个点到线段两个端点的距离相等，那么这 个点在这条线段的垂直平分线上．即到线段两个端点的 距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
当我们写出逆命题时，就想到判断它的真假．如 果真，则需证明它；如果假，则需用反例说明．
求证：P点在AB的垂直平分线上．
想一想，做一做
已知：如图 1-18，在 △ABC 中，AB = AC，O 是 △ABC 内一点，且 OB = OC.
求证：直线 AO 垂直平分线段BC．
课堂小结, 畅谈收获：
一、线段垂直平分线的性质定理．
二、线段垂直平分线的判定定理．
P
证法二：取AB的中点C，过P,C作直线． ∵AP=BP，PC=PC.AC=CB， ∴△APC≌△BPC(SSS)．
A
C
B
∴∠PCA=∠PCB(全等三角形的对应角相等)．
又∵∠PCA+∠PCB=180°， ∴∠PCA=∠PCB=∠90°，即PC⊥AB ∴P点在AB的垂直平分线上．
已知：线段AB，点P是平面内一点且PA=PB．
三、用尺规作线段的垂直平分线．
补充练习：
1．已知：△ABC中，边AB、BC的垂直平分线 相交于点P．求证：点P在AC的垂直平分线上．
2．如图，求作一点P，使PA=PB，PC=PD
A间，而是缺乏努力。
学习要有三心:一信心；二决心；三恒心. 知识+方法=能力,能力+勤奋=效率,效率×时 间=成绩. 宝剑锋从磨砺出,梅花香自苦寒来.
∴△PCA≌△PCB(SAS) ；
∴PA=PB(全等三角形的对应边相等)．
用心想一想，马到功成
你能写出上面这个定理的逆命题吗?它是真命题吗?
如果有一个点到线段两个端点的距离相等，那么这 个点在这条线段的垂直平分线上．即到线段两个端点的 距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
当我们写出逆命题时，就想到判断它的真假．如 果真，则需证明它；如果假，则需用反例说明．
求证：P点在AB的垂直平分线上．
北师大数学八下课件1.3第1课时线段垂直平分线19张PPT
• A.6B.5C.4D.3 • 4.如图，△ABC中AC⊥DC，AD平分
∠BAC，DE⊥AB于E，求证：直线AD是 CE的垂直平分线.
布置作业
教材习题；
六．达标测评
• 1.如图，在△ABC中，EF是AC的垂直平分线， AF=12，BF=3，则BC=______
• 2.如图，AB=AC=8cm，AB的垂直平分线交AC 于D，若△ADB的周长为18，则DC=______
• 3.如图，直线CD是线段AB的垂直平分线， P为直线CD上的一点，已知线段PA=5，则 线段PB的长度为()
上，所以直线l可以看成与两点A、 A
C
B
B的距离相等的所有点的集合．
课堂练习P622
练习3 如图，AB=AC，MB=MC．直线AM是线
段BC的垂直平分线吗？ A
解：∵ AB=AC，
∴ 点A在BC的垂直平分线．
∵ MB=MC，
∵ 点M在BC的垂直平分线上∴
M
直线AM是线段BC的垂直
平分线．
B
D
C
尺规作图
CLeabharlann B∴PA=PB．用几何语言表示为：
线段垂直平分线的性质：
∵CA=CB，l⊥AB，
线段垂直平分线上的点与这条
线段两个端点的距离相等．
∴PA=PB．
课堂练习
练习1 如图，在△ABC中，BC=8，AB的中垂线 交BC于D，AC的中垂线交BC与E，则△ADE的周长等 于___8___．
A
B
DE
C
课堂练习P62
离之间的数量关系．
相等．
P3
你能用不同的方法验证这一结论吗？
P2
P1
A
B
l
∠BAC，DE⊥AB于E，求证：直线AD是 CE的垂直平分线.
布置作业
教材习题；
六．达标测评
• 1.如图，在△ABC中，EF是AC的垂直平分线， AF=12，BF=3，则BC=______
• 2.如图，AB=AC=8cm，AB的垂直平分线交AC 于D，若△ADB的周长为18，则DC=______
• 3.如图，直线CD是线段AB的垂直平分线， P为直线CD上的一点，已知线段PA=5，则 线段PB的长度为()
上，所以直线l可以看成与两点A、 A
C
B
B的距离相等的所有点的集合．
课堂练习P622
练习3 如图，AB=AC，MB=MC．直线AM是线
段BC的垂直平分线吗？ A
解：∵ AB=AC，
∴ 点A在BC的垂直平分线．
∵ MB=MC，
∵ 点M在BC的垂直平分线上∴
M
直线AM是线段BC的垂直
平分线．
B
D
C
尺规作图
CLeabharlann B∴PA=PB．用几何语言表示为：
线段垂直平分线的性质：
∵CA=CB，l⊥AB，
线段垂直平分线上的点与这条
线段两个端点的距离相等．
∴PA=PB．
课堂练习
练习1 如图，在△ABC中，BC=8，AB的中垂线 交BC于D，AC的中垂线交BC与E，则△ADE的周长等 于___8___．
A
B
DE
C
课堂练习P62
离之间的数量关系．
相等．
P3
你能用不同的方法验证这一结论吗？
P2
P1
A
B
l
八年级数学北师大版初二下册--第一单元 1.3《线段的垂直平分线(第一课时)》课件
∴△PCA≌△PCB(SAS) ；
∴PA=PB(全等三角形的对应边相等)．
用心想一想，马到功成
你能写出上面这个定理的逆命题吗?它是真 命题吗?
如果有一个点到线段两个端点的距离相等， 那么这个点在这条线段的垂直平分线上．即到线 段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平 分线上． 当我们写出逆命题时，就想到判断它的 真假．如果真，则需证明它；如果假，则需 用反例说明．
A
E D
B
补充练习：
已知：△ABC中，边AB、BC的垂直平分
线相交于点P．求证：点P在AC的垂直平分线
上．
课堂小结, 畅谈收获：
一、线段垂直平分线的性质定理． 二、线段垂直平分线的判定定理．
随堂练习 第1题 习题1.7 1、2、3
条直线）.
你还有其他证 明方法吗？
加强应用
在Rt △AN与AB相交于点D，则∠BCD的度数 是多少？ A
分析：由点D在线段AC的垂直平分线上，可以得到 DA=DC，即△DAC是等腰三角形，问题解决.
N
D
解： ∵点D在线段AC的垂直平分线上，
练一练
已知：如图，在 △ABC 中，AB = AC，O 是△ABC
内一点，且 OB = OC.
求证：直线 AO 垂直平分线段BC． 证明：∵ AB = AC， ∴ 点 A 在线段 BC 的垂直平分线上（到一条线段两 个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）. 同理，点 O 在线段 BC 的垂直平分线上. ∴ 直线 AO 是线段 BC 的垂直平分线（两点确定一
求证：P点在AB的垂直平分线上．
P
A
C
B
证法三：过P点作∠APB的角平分线交AB于点C． ∵AP=BP，∠APC=∠BPC，PC=PC， ∴△APC≌△BPC(SAS)． ∴AC=BC，∠PCA=∠PCB