2019年浙江省中考数学方法技巧专题(十)最短距离训练(附解析)

合集下载

初中几何中的最短路径与最值问题，快速解题思路及典型练习

初中几何中的最短路径与最值问题，快速解题思路及典型练习
展开全文
初中几何中最值问题的依据是:''两点之间,线段最短''、''垂线段最短''.在解决最值问题时,通常利用轴对称、平移等变换作出最值位置,从而把已知问题转化为容易解决的问题。

平面几何中最值问题综合性强、能力要求高.解题时要善于运用特殊与一般、转化、建模等数学思想，灵活运用特殊位置法、轴对称法、平移法、旋转法、构造三角形法、判别式法、配方法等各种数学方法，找到几何最值取得时的位置;或将问题转化成基本最短路径模型;或建立方程、函数模型，再求解。

两点在直线同侧的最短路径问题
给出一条直线，A、B两点在直线的同侧，要在直线上找到一个点，使这个点到A点和到B点的距离最短。

步骤：
①找到A（或B）关于直线的对称点P
②连接PB（PA）交直线于O，点O就是所要找的点
造桥选址问题
A、B在一条河的两岸，要在河上造一座桥MN，使A到B的路径AMNB最短。

步骤：
①作出河的宽度M′N′
②将M′N′平移，使M′向A点平移，N′向A′点平移，即AA′=M′N′
③连接A′B与河岸b交于N点
④过N点作直线a的垂线，垂足为M 。

则MN就是桥的位置.
涉及到两个动点的最短路径问题
给出一个正方形，已知两个定点和两个动点，
要在直线上找到这两个动点，使这四个点所围的四边形周长最小。

步骤：
①找到两个定点关于正方形的边的对称点，
②连接两个对称点，和正方形边的两边有两个交点。

③交点就是动点的位置
下面小编找了很多相关的练习，提供给老师、同学们去练习，只有见得多，练得多，才能熟能生巧哦！。

2019年中考数学压轴题分析——最短路径问题3

2019年中考数学压轴题分析——最短路径问题3分别来自辽宁锦州与内蒙古通辽两个地区。

【题1】（2019·锦州）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，M是AD边的中点，N是AB边上的动点，将△AMN沿MN所在直线折叠，得到△A′MN，连接A′C，则A′C的最小值是．不知道大家是否做过此题，同学们可以先独立思考一下，再看答案。

【分析】本题中点C的位置是不变的，仅A′在运动，如果能确定定点A′的运动轨迹即可。

由于点M为定点，MA的长度不变，因此我们可以得到A′始终到点M的距离等于MA，也就是以点M为圆心，MA为半径的圆弧上面运动。

这样就比较容易得到结论了。

或者我们直接从△MA′C中观察，MC与MA′的长度是不变的，始终有MA′+A′C＞MC，也就是A′C＞MC-MA′。

当M、A′、C三点共线时，A′C=MC-MA′。

此时A′C取最小值。

【答案】√10-1【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝3，BC＝AD＝2。

∵M是AD边的中点，∴AM＝MD＝1。

∵将△AMN沿MN所在直线折叠，∴AM＝A'M＝1。

∴点A'在以点M为圆心，AM为半径的圆上，∴如图，当点A'在线段MC上时，A'C有最小值。

∵MC=√(MD²+CD²)=√10，∴A′C的最小值＝MC﹣MA'=√10-1。

有了上题的分析，那么下面这道题目大家也可以独立尝试下。

【题2】（2019·通辽）如图，在边长为3的菱形ABCD中，∠A＝60°，M 是AD边上的一点，且AM=1/3AD，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C．则A′C长度的最小值是．【答案】√19-1【解析】解：过点M作MH⊥CD交CD延长线于点H，连接CM，∵AM=1/3AD，AD＝CD＝3，∴AM＝1，MD＝2。

∵CD∥AB，∴∠HDM＝∠A＝60°。

（完整）初中数学[最短路径问题]典型题型及解题技巧

（完整）初中数学[最短路径问题]典型题型及解题技巧初中数学[最短路径问题]典型题型及解题技巧最短路径问题中,关键在于，我们善于作定点关于动点所在直线的对称点，或利⽤平移和展开图来处理。

这对于我们解决此类问题有事半功倍的作⽤。

理论依据：“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”“⽴体图形展开图”。

教材中的例题“饮马问题”，“造桥选址问题”“⽴体展开图”。

考的较多的还是“饮马问题”。

知识点：“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”。

“饮马问题”，“造桥选址问题”。

考的较多的还是“饮马问题”，出题背景变式有⾓、三⾓形、菱形、矩形、正⽅形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。

解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查。

⼀、两点在⼀条直线异侧例：已知：如图，A，B在直线L的两侧，在L上求⼀点P，使得PA+PB最⼩。

解：连接AB,线段AB与直线L的交点P ，就是所求。

（根据：两点之间线段最短.）⼆、两点在⼀条直线同侧例：图所⽰，要在街道旁修建⼀个奶站，向居民区A、B提供⽜奶，奶站应建在什么地⽅，才能使从A、B到它的距离之和最短．解：只有A、C、B在⼀直线上时，才能使AC+BC最⼩．作点A关于直线“街道”的对称点A′，然后连接A′B，交“街道”于点C，则点C就是所求的点．三、⼀点在两相交直线内部例：已知：如图A是锐⾓∠MON内部任意⼀点，在∠MON的两边OM，ON上各取⼀点B，C，组成三⾓形，使三⾓形周长最⼩.解：分别作点A关于OM，ON的对称点A′，A″；连接A′，A″，分别交OM，ON于点B、点C，则点B、点C即为所求分析：当AB、BC和AC三条边的长度恰好能够体现在⼀条直线上时，三⾓形的周长最⼩例：如图，A.B两地在⼀条河的两岸，现要在河上建⼀座桥MN，桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？（假设河的两岸是平⾏的直线，桥要与河垂直）解：1.将点B沿垂直与河岸的⽅向平移⼀个河宽到E，2.连接AE交河对岸与点M,则点M为建桥的位置，MN为所建的桥。

专题10三角形--浙江省2019-2021年3年中考真题数学分项汇编(解析版)

三年（2019-2021）中考真题数学分项汇编（浙江专用）专题10三角形一．选择题（共14小题）1．（2021•宁波）如图，在△ABC 中，∠B ＝45°，∠C ＝60°，AD ⊥BC 于点D ，BD =√3．若E ，F 分别为AB ，BC 的中点，则EF 的长为（）A ．√33B ．√32C ．1D ．√62【分析】由直角三角形的性质求出AD ＝BD =√3,由锐角三角函数的定义求出DC ＝1,由三角形的中位线定理可求出答案．【详解】解:∵AD ⊥BC ,∴∠ADB ＝∠ADC ＝90°,∵∠B ＝45°,BD =√3,∴AD ＝BD =√3,∵∠C ＝60°,∴DC =AD tan60°=√3√3=1,∴AC ＝DC ＝2,∵E ，F 分别为AB ，BC 的中点，∴EF =12AC ＝1．故选：C ．2．（2021•嘉兴）如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝5，点D 在AC 上，且AD ＝2，点E 是AB 上的动点，连结DE ，点F ，G 分别是BC 和DE 的中点，连结AG ，FG ，当AG ＝FG 时，线段DE 长为（）A ．√13B ．5√22C ．√412D ．4【分析】分别过点G ，F 作AB 的垂线，垂足为M ，N ，过点G 作GP ⊥FN 于点P ，由中位线定理及勾股定理可分别表示出线段AG 和FG 的长，建立等式可求出结论．【详解】解：如图，分别过点G ，F 作AB 的垂线，垂足为M ，N ，过点G 作GP ⊥FN 于点P ，∴四边形GMNP 是矩形，∴GM ＝PN ，GP ＝MN ，∵∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝5，∴CA ⊥AB ，又∵点G 和点F 分别是线段DE 和BC 的中点，∴GM 和FN 分别是△ADE 和△ABC 的中位线，∴GM =12AD =1，AM =12AE ，FN =12AC =52，AN =12AB =52，∴MN ＝AN ﹣AM =52−12AE ， ∴PN ＝1，FP =32，设AE ＝m ，∴AM =12m ，GP ＝MN =52−12m ，在Rt △AGM 中，AG 2＝（12m ）2+12，在Rt △GPF 中，GF 2＝（52−12m ）2+（32）2， ∵AG ＝GF ，∴（12m ）2+12＝（52−12m ）2+（32）2，解得m ＝3，即DE ＝3，在Rt △ADE 中，DE =√AD 2+AE 2=√13．故选：A ．3．（2020•金华）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD 与正方形EFGH ．连接EG ，BD 相交于点O ，BD 与HC 相交于点P ．若GO ＝GP ，则S 正方形ABCDS 正方形EFGH 的值是（）A ．1+√2B ．2+√2C ．5−√2D ．154【分析】证明△BPG ≌△BCG （ASA ），得出PG ＝CG ．设OG ＝PG ＝CG ＝x ，则EG ＝2x ，FG =√2x ，由勾股定理得出BC 2＝（4+2√2）x 2，则可得出答案．【详解】解：∵四边形EFGH 为正方形，∴∠EGH ＝45°，∠FGH ＝90°，∵OG ＝GP ，∴∠GOP ＝∠OPG ＝67.5°，∴∠PBG ＝22.5°，又∵∠DBC ＝45°，∴∠GBC ＝22.5°，∴∠PBG ＝∠GBC ，∵∠BGP ＝∠BGC ＝90°，BG ＝BG ，∴△BPG ≌△BCG （ASA ），∴PG ＝CG ．设OG ＝PG ＝CG ＝x ，∵O 为EG ，BD 的交点，∴EG ＝2x ，FG =√2x ，∵四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，∴BF ＝CG ＝x ，∴BG ＝x +√2x ，∴BC 2＝BG 2+CG 2=x 2(√2+1)2+x 2=(4+2√2)x 2，∴S 正方形ABCDS 正方形EFGH =(4+2√2)x 22x 2=2+√2．故选：B ．4．（2020•绍兴）长度分别为2，3，3，4的四根细木棒首尾相连，围成一个三角形（木棒允许连接，但不允许折断），得到的三角形的最长边长为（）A ．4B ．5C ．6D ．7【分析】利用三角形的三边关系列举出所围成三角形的不同情况，通过比较得到结论．【详解】解：①长度分别为5、3、4，能构成三角形，且最长边为5；②长度分别为2、6、4，不能构成三角形；③长度分别为2、7、3，不能构成三角形；④长度分别为6、3、3，不能构成三角形；综上所述，得到三角形的最长边长为5．故选：B ．5．（2019•宁波）已知直线m ∥n ，将一块含45°角的直角三角板ABC 按如图方式放置，其中斜边BC 与直线n 交于点D ．若∠1＝25°，则∠2的度数为（）A ．60°B ．65°C ．70°D ．75°【分析】先求出∠AED ＝∠1+∠B ＝25°+45°＝70°，再根据平行线的性质可知∠2＝∠AED ＝70°．【详解】解：设AB 与直线n 交于点E ，则∠AED ＝∠1+∠B ＝25°+45°＝70°．又直线m ∥n ，∴∠2＝∠AED ＝70°．故选：C．6．（2020•宁波）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为中线，延长CB至点E，使BE＝BC，连接DE，F为DE中点，连接BF．若AC＝8，BC＝6，则BF的长为（）A．2B．2.5C．3D．4【分析】利用勾股定理求得AB＝10；然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得CD的长度；结合题意知线段BF是△CDE的中位线，则BF=12CD．【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，∴AB=√AC2+BC2=√82+62=10．又∵CD为中线，∴CD=12AB＝5．∵F为DE中点，BE＝BC即点B是EC的中点，∴BF是△CDE的中位线，则BF=12CD＝2.5．故选：B．7．（2020•宁波）△BDE和△FGH是两个全等的等边三角形，将它们按如图的方式放置在等边三角形ABC 内．若求五边形DECHF的周长，则只需知道（）A．△ABC的周长B．△AFH的周长C．四边形FBGH的周长D．四边形ADEC的周长【分析】证明△AFH≌△CHG（AAS），得出AF＝CH．由题意可知BE＝FH，则得出五边形DECHF的周长＝AB+BC，则可得出答案．【详解】解：∵△GFH为等边三角形，∴FH＝GH，∠FHG＝60°，∴∠AHF+∠GHC＝120°，∵△ABC为等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∠ACB＝∠A＝60°，∴∠GHC+∠HGC＝120°，∴∠AHF＝∠HGC，∴△AFH≌△CHG（AAS），∴AF＝CH．∵△BDE和△FGH是两个全等的等边三角形，∴BE＝FH，∴五边形DECHF的周长＝DE+CE+CH+FH+DF＝BD+CE+AF+BE+DF，＝（BD+DF+AF）+（CE+BE），＝AB+BC．∴只需知道△ABC的周长即可．故选：A．8．（2019•衢州）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动、C 点固定，OC＝CD＝DE，点D、E可在槽中滑动．若∠BDE＝75°，则∠CDE的度数是（）A．60°B．65°C．75°D．80°【分析】根据OC＝CD＝DE，可得∠O＝∠ODC，∠DCE＝∠DEC，根据三角形的外角性质可知∠DCE ＝∠O+∠ODC＝2∠ODC，进一步根据三角形的外角性质可知∠BDE＝3∠ODC＝75°，即可求出∠ODC 的度数，进而求出∠CDE的度数．【详解】解：∵OC＝CD＝DE，∴∠O＝∠ODC，∠DCE＝∠DEC，∴∠DCE＝∠O+∠ODC＝2∠ODC，∵∠O+∠OED＝3∠ODC＝∠BDE＝75°，∴∠ODC＝25°，∵∠CDE+∠ODC＝180°﹣∠BDE＝105°，∴∠CDE＝105°﹣∠ODC＝80°．故选：D．9．（2019•杭州）在△ABC中，若一个内角等于另外两个内角的差，则（）A．必有一个内角等于30°B．必有一个内角等于45°C．必有一个内角等于60°D．必有一个内角等于90°【分析】根据三角形内角和定理得出∠A+∠B+∠C＝180°，把∠C＝∠A+∠B代入求出∠C即可．【详解】解：∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠A＝∠C﹣∠B，∴2∠C＝180°，∴∠C＝90°，∴△ABC是直角三角形，故选：D．10．（2019•台州）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（）A．3，4，8B．5，6，10C．5，5，11D．5，6，11【分析】根据三角形的三边关系即可求【详解】解：A选项，3+4＝7＜8，两边之和小于第三边，故不能组成三角形B选项，5+6＝11＞10，10﹣5＜6，两边之各大于第三边，两边之差小于第三边，故能组成三角形C选项，5+5＝10＜11，两边之和小于第三边，故不能组成三角形D选项，5+6＝11，两边之和不大于第三边，故不能组成三角形故选：B．11．（2019•金华）若长度分别为a，3，5的三条线段能组成一个三角形，则a的值可以是（）A．1B．2C．3D．8【分析】根据三角形三边关系定理得出5﹣3＜a＜5+3，求出即可．【详解】解：由三角形三边关系定理得：5﹣3＜a＜5+3，即2＜a＜8，即符合的只有3，故选：C．12．（2019•宁波）勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内．若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（）A．直角三角形的面积B．最大正方形的面积C．较小两个正方形重叠部分的面积D．最大正方形与直角三角形的面积和【分析】根据勾股定理得到c2＝a2+b2，根据正方形的面积公式、长方形的面积公式计算即可．【详解】解：设直角三角形的斜边长为c，较长直角边为b，较短直角边为a，由勾股定理得，c 2＝a 2+b 2，阴影部分的面积＝c 2﹣b 2﹣a （c ﹣b ）＝a 2﹣ac +ab ＝a （a +b ﹣c ），较小两个正方形重叠部分的宽＝a ﹣（c ﹣b ），长＝a ，则较小两个正方形重叠部分底面积＝a （a +b ﹣c ），∴知道图中阴影部分的面积，则一定能求出较小两个正方形重叠部分的面积，故选：C ．13．（2019•绍兴）如图1，长、宽均为3，高为8的长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高为6，绕底面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘，图2是此时的示意图，则图2中水面高度为（）A ．245B ．325C ．12√3417D ．20√3417【分析】设DE ＝x ，则AD ＝8﹣x ，由长方体容器内水的体积得出方程，解方程求出DE ，再由勾股定理求出CD ，过点C 作CF ⊥BG 于F ，由△CDE ∽△CBF 的比例线段求得结果即可．【详解】解：过点C 作CF ⊥BG 于F ，如图所示：设DE ＝x ，则AD ＝8﹣x ，根据题意得：12（8﹣x +8）×3×3＝3×3×6，解得：x ＝4，∴DE ＝4，∵∠E ＝90°，由勾股定理得：CD =√DE 2+CE 2=√42+32=5，∵∠BCE ＝∠DCF ＝90°，∴∠DCE ＝∠BCF ，∵∠DEC ＝∠BFC ＝90°，∴△CDE ∽△CBF ，∴CE CF =CD CB ，即3CF =58，∴CF =245．故选：A ．14．（2019•湖州）如图，已知在四边形ABCD 中，∠BCD ＝90°，BD 平分∠ABC ，AB ＝6，BC ＝9，CD ＝4，则四边形ABCD 的面积是（）A ．24B ．30C ．36D ．42【分析】过D 作DH ⊥AB 交BA 的延长线于H ，根据角平分线的性质得到DH ＝CD ＝4，根据三角形的面积公式即可得到结论．【详解】解：过D 作DH ⊥AB 交BA 的延长线于H ，∵BD 平分∠ABC ，∠BCD ＝90°，∴DH ＝CD ＝4，∴四边形ABCD 的面积＝S △ABD +S △BCD =12AB •DH +12BC •CD =12×6×4+12×9×4＝30，故选：B ．二．填空题（共5小题）15．（2021•绍兴）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠B ＝70°，以点C 为圆心，CA 长为半径作弧，交直线BC 于点P ，连结AP ，则∠BAP 的度数是 15°或75° ．【分析】根据等腰三角形的性质可以得到△ABC各内角的关系，然后根据题意，画出图形，利用分类讨论的方法求出∠BAP的度数即可．【详解】解：如右图所示，当点P在点B的左侧时，∵AB＝AC，∠ABC＝70°，∴∠ACB＝ABC＝70°，∴∠BAC＝180°﹣∠ACB﹣∠ABC＝180°﹣70°﹣70°＝40°，∵CA＝CP1，∴∠CAP1＝∠CP1A=180°−∠ACP12=180°−70°2=55°，∴∠BAP1＝∠CAP1﹣∠CAB＝55°﹣40°＝15°；当点P在点C的右侧时，∵AB＝AC，∠ABC＝70°，∴∠ACB＝ABC＝70°，∴∠BAC＝180°﹣∠ACB﹣∠ABC＝180°﹣70°﹣70°＝40°，∵CA＝CP2，∴∠CAP2＝∠CP1A=∠ACB2=70°2=35°，∴∠BAP2＝∠CAP2﹣∠CAB＝35°+40°＝75°；由上可得，∠BAP的度数是15°或75°，故答案为：15°或75°．16．（2021•绍兴）已知△ABC与△ABD在同一平面内，点C，D不重合，∠ABC＝∠ABD＝30°，AB＝4，AC＝AD＝2√2，则CD长为2√3±2或4或2√6．【分析】分C,D在AB的同侧或异侧两种情形，分别求解，注意共有四种情形．【详解】解：如图，当C,D同侧时，过点A作AE⊥CD于E．在Rt△AEB中，∠AEB＝90°,AB＝4,∠ABE＝30°，∴AE=12AB＝2，∵AD＝AC＝2√2，∴DE=√(2√2)2−22=2,EC=√(2√2)2−22=2，∴DE＝EC＝AE，∴△ADC是等腰直角三角形，∴CD＝4，当C,D异侧时，过C′作C′H⊥CD于H，∵△BCC′是等边三角形，BC＝BE﹣EC＝2√3−2，∴CH＝BH=√3−1,C′H=√3CH＝6﹣2√3，在Rt△DC′H中，DC′=√DH2+C′H2=√(3+√3)2+(6−2√3)2=2√6，∵△DBD′是等边三角形，∴DD′＝2√3+2，∴CD的长为2√3±2或4或2√6．故答案为：2√3±2或4或2√6．17．（2020•台州）如图，等边三角形纸片ABC的边长为6，E，F是边BC上的三等分点．分别过点E，F 沿着平行于BA，CA方向各剪一刀，则剪下的△DEF的周长是6．【分析】根据三等分点的定义可求EF的长，再根据等边三角形的判定与性质即可求解．【详解】解：∵等边三角形纸片ABC的边长为6，E，F是边BC上的三等分点，∴EF＝2，∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠C＝60°，又∵DE∥AB，DF∥AC，∴∠DEF＝∠B＝60°，∠DFE＝∠C＝60°，∴△DEF是等边三角形，∴剪下的△DEF的周长是2×3＝6．故答案为：6．18．（2020•绍兴）如图，已知边长为2的等边三角形ABC中，分别以点A，C为圆心，m为半径作弧，两弧交于点D，连接BD．若BD的长为2√3，则m的值为2或2√7．【分析】由作图知，点D在AC的垂直平分线上，得到点B在AC的垂直平分线上，求得BD垂直平分AC，设垂足为E，得到BE=√3，当点D、B在AC的两侧时，如图，当点D、B在AC的同侧时，如图，解直角三角形即可得到结论．【详解】解：由作图知，点D在AC的垂直平分线上，∵△ABC是等边三角形，∴点B在AC的垂直平分线上，∴BD垂直平分AC，设垂足为E，∵AC＝AB＝2，∴BE=√3，当点D、B在AC的两侧时，如图，∵BD＝2√3，∴BE＝DE，∴AD＝AB＝2，∴m＝2；当点D、B在AC的同侧时，如图，∵BD′＝2√3，∴D′E＝3√3，∴AD′=√(3√3)2+12=2√7，∴m＝2√7，综上所述，m的值为2或2√7，故答案为：2或2√7．19．（2020•衢州）图1是由七根连杆链接而成的机械装置，图2是其示意图．已知O，P两点固定，连杆P A＝PC＝140cm，AB＝BC＝CQ＝QA＝60cm，OQ＝50cm，O，P两点间距与OQ长度相等．当OQ绕点O转动时，点A，B，C的位置随之改变，点B恰好在线段MN上来回运动．当点B运动至点M或N时，点A，C重合，点P，Q，A，B在同一直线上（如图3）．（1）点P到MN的距离为160cm．（2）当点P，O，A在同一直线上时，点Q到MN的距离为6409cm．【分析】（1）如图3中，延长PO交MN于T，过点O作OH⊥PQ于H．解直角三角形求出PT即可．（2）如图4中，当O，P，A共线时，过Q作QH⊥PT于H．设HA＝xcm．解直角三角形求出HT即可．【详解】解：（1）如图3中，延长PO交MN于T，过点O作OH⊥PQ于H．由题意：OP ＝OQ ＝50cm ，PQ ＝P A ﹣AQ ＝140﹣60＝80（cm ），PM ＝P A +BC ＝140+60＝200（cm ），PT ⊥MN ，∵OH ⊥PQ ，∴PH ＝HQ ＝40（cm ），∵cos ∠P =PH OP =PT PM ，∴4050=PT 200，∴PT ＝160（cm ），∴点P 到MN 的距离为160cm ，故答案为160．（2）如图4中，当O ，P ，A 共线时，过Q 作QH ⊥PT 于H ．设HA ＝xcm ．由题意AT ＝PT ﹣P A ＝160﹣140＝20（cm ），OA ＝P A ﹣OP ＝140﹣50＝90（cm ），OQ ＝50cm ，AQ ＝60cm ， ∵QH ⊥OA ，∴QH 2＝AQ 2﹣AH 2＝OQ 2﹣OH 2，∴602﹣x 2＝502﹣（90﹣x ）2，解得x =4609，∴HT ＝AH +AT =6409（cm ）， ∴点Q 到MN 的距离为6409cm ．故答案为6409．三．解答题（共8小题）20．（2021•杭州）如图，在△ABC 中，∠ABC 的平分线BD 交AC 边于点D ，AE ⊥BC 于点E ．已知∠ABC ＝60°，∠C ＝45°．（1）求证：AB ＝BD ；（2）若AE ＝3，求△ABC 的面积．【分析】（1）计算出∠ADB 和∠BAC ，利用等角对等边即可证明；（2）利用锐角三角函数求出BC 即可计算△ABC 的面积．【详解】（1）证明：∵BD 平分∠ABC ，∠ABC ＝60°，∴∠DBC =12∠ABC ＝30°，∵∠ADB ＝∠DBC +∠C ＝75°，∠BAC ＝180°﹣∠ABC ﹣∠C ＝75°，∴∠BAC ＝∠ADB ，∴AB ＝BD ；（2）解：由题意得，BE =AE tan∠ABC =√3，EC =AE tanC =3，∴BC ＝3+√3，∴S △ABC =12BC ×AE =9+3√32． 21．（2021•台州）如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ＝20，BC ＝DC ＝10√2．（1）求证：△ABC ≌△ADC ；（2）当∠BCA ＝45°时，求∠BAD 的度数．【分析】(1)根据已知条件利于SSS 即可求证△ABC ≌△ADC ；(2)过点B 作BE ⊥AC 于点E ,根据已知条件利于锐角三角函数求出BE 的长，再根据Rt △ABE 边的关系即可推出∠BAC 的度数，从而求出∠BAD 的度数．【详解】解：（1）证明：在△ABC 和△ADC 中，{AB =AD BC =DC AC =AC，∴△ABC ≌△ADC （SSS ）；（2）过点B 作BE ⊥AC 于点E ，如图所示，∵∠BCA ＝45°，BC ＝10√2，∴sin ∠BCA ＝sin45°=BE BC =10√2=√22, ∴BE ＝10，又∵在Rt △ABE 中，AB ＝20，BE ＝10，∴∠BAE ＝30°，又∵△ABC ≌△ADC ，∴∠BAD ＝∠BAE +∠DAC ＝2∠BAE ＝2×30°＝60°．22．（2021•杭州）在①AD ＝AE ，②∠ABE ＝∠ACD ，③FB ＝FC 这三个条件中选择其中一个，补充在下面的问题中，并完成问题的解答．问题：如图，在△ABC 中，∠ABC ＝∠ACB ，点D 在AB 边上（不与点A ，点B 重合），点E 在AC 边上（不与点A ，点C 重合），连接BE ，CD ，BE 与CD 相交于点F ．若 ①AD ＝AE （②∠ABE ＝∠ACD 或③FB ＝FC ），求证：BE ＝CD ．注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分．【分析】若选择条件①，利用∠ABC ＝∠ACB 得到AB ＝AC ，则可根据“SAS ”可判断△ABE ≌△ACD ，从而得到BE ＝CD ；选择条件②，利用∠ABC ＝∠ACB 得到AB ＝AC ，则可根据“ASA ”可判断△ABE ≌△ACD ，从而得到BE ＝CD ；选择条件③，利用∠ABC ＝∠ACB 得到AB ＝AC ，再证明∠ABE ＝∠ACD ，则可根据“ASA ”可判断△ABE ≌△ACD ，从而得到BE ＝CD ．【详解】证明：选择条件①的证明为：∵∠ABC ＝∠ACB ，∴AB ＝AC ，在△ABE 和△ACD 中，{AB =AC ∠A =∠A AE =AD，∴△ABE ≌△ACD （SAS ），∴BE ＝CD ；选择条件②的证明为：∵∠ABC ＝∠ACB ，∴AB ＝AC ，在△ABE 和△ACD 中，{∠ABE =∠ACD AB =AC ∠A =∠A ，∴△ABE ≌△ACD （ASA ），∴BE ＝CD ；选择条件③的证明为：∵∠ABC ＝∠ACB ，∴AB ＝AC ，∵FB ＝FC ，∴∠FBC ＝∠FCB ，∴∠ABC ﹣∠FBC ＝∠ACB ﹣∠FCB ，即∠ABE ＝∠ACD ，在△ABE 和△ACD 中，{∠ABE =∠ACD AB =AC ∠A =∠A ，∴△ABE ≌△ACD （ASA ），∴BE ＝CD ．故答案为①AD ＝AE （②∠ABE ＝∠ACD 或③FB ＝FC ）23．（2021•温州）如图，BE 是△ABC 的角平分线，在AB 上取点D ，使DB ＝DE ．（1）求证：DE ∥BC ；（2）若∠A ＝65°，∠AED ＝45°，求∠EBC 的度数．【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠DBE ＝∠EBC ，从而求出∠DEB ＝∠EBC ，再利用内错角相等，两直线平行证明即可；（2）由（1）中DE ∥BC 可得到∠C ＝∠AED ＝45°,再根据三角形的内角和等于180°求出∠ABC ，最后用角平分线求出∠DBE ＝∠EBC ，即可得解．【详解】解：（1）∵BE 是△ABC 的角平分线，∴∠DBE ＝∠EBC ，∵DB ＝DE ,∵∠DEB ＝∠DBE ，∴∠DEB ＝∠EBC ，∴DE ∥BC ；（2）∵DE ∥BC ，∴∠C＝∠AED＝45°，在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C＝180°，∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣65°﹣45°＝70°．∵BE是△ABC的角平分线，∴∠DBE＝∠EBC=12∠ABC=35°．24．（2021•绍兴）如图，在△ABC中，∠A＝40°，点D，E分别在边AB，AC上，BD＝BC＝CE，连结CD，BE．（1）若∠ABC＝80°，求∠BDC，∠ABE的度数；（2）写出∠BEC与∠BDC之间的关系，并说明理由．【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠BDC＝∠BCD=12(180°﹣80°)＝50°,根据三角形的内角定理得到∠ACB＝180°﹣40°﹣50°＝60°,推出△BCE是等边三角形，得到∠EBC＝60°,于是得到结论;(2)设∠BEC＝α,∠BDC＝β,由于α＝∠A+∠ABE＝40°+∠ABE,根据等腰三角形的性质得到∠CBE＝∠BEC＝α,求得∠ABC＝∠ABE+∠CBE＝∠A+2∠ABE＝40°+∠ABE,推出∠CBE＝∠BEC＝α,于是得到结论。

中考专题复习：利用轴对称解决最短距离问题

主备人单位日期2019.5 课型复习课课题专题复习：最短距离学习目标1.能够通过观察找出最短距离问题的基本模型。

2.能够运用基本方法找出最短距离。

3.能够利用勾股定理、相似、三角函数等相关知识解决计算问题。

教学过程一、问题引入：1、如下图，在直线异侧各有点A、B,在直线上找一点p，使PA+PB最小。

2、如下图，在直线同侧各有点A、B,在直线上找一点p，使PA+PB最小。

二、1.在几何背景中的应用例1、如图正方形ABCD的边长为4，P为对角线上任意一点。

若E为边BC 的中点，求PE+PB的最小值______变式：如图所示，正方形ABCD的边长为6，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为．师生笔记例2.（东营中考）在⊙O中，AB是⊙O的直径，且AB=8cm, M是AB上一动点，，CM+DM的最小值是__________.例3.如图，菱形ABCD中，∠BAD=60°，AB=4，点M是AB中点，P是对角线AC上的一个动点，则PM+PB的最小值是_______2.在函数背景中的应用例4、如图，已知二次函数y=ax2-4x+c 的图象与坐标轴交于点A（-1，0）和点B（0，-5）．（1）求该二次函数的解析式；（2）已知该函数图象的对称轴上存在一点P，使得△ABP的周长最小．求出△ABP周长的最小值,求出点P的坐标．变式、如图，抛物线y=ax2+bx+c 经过点A（1，0）、B（4，0）、C （0，3 ）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图①，在抛物线的对称轴上是否存在点P,使得四边形PAOC的周长最小？若存在，求出四边形PAOC周长的最小值；若不存在，请说明理由。

课堂小结：1、知识点：2、基本数学模型：。

2019年浙江中考数学复习方法技巧专题十：最短距离训练(含答案)

方法技巧专题十最短距离训练探究平面内最短路径的原理主要有以下两种：一是“垂线段最短”，二是“两点之间，线段最短”．立体图形上的最短路径问题需借助平面展开图转化为平面问题．求平面内折线的最短路径通常用轴对称变换、平移变换或旋转变换等转化为两点之间的线段．一、选择题1．[2019·苏州] 矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图F10－1所示，点B的坐标为(3，4)，D 是OA的中点，点E在AB上，当△CDE的周长最小时，点E的坐标为( )A．(3，1) B．(3，43 )C．(3，53) D．(3，2)图F10－1 图F10－22．[2019·遵义] 如图F10－2，在四边形ABCD中，∠C＝50°，∠B＝∠D＝90°，E，F分别是BC，DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为( )A．50° B．60°C．70° D．80°3．[2019·贵港] 如图F10－3，已知P是⊙O外一点，Q是⊙O上的动点，线段PQ的中点为M，连结OP，OM.若⊙O的半径为2，OP＝4，则线段OM的最小值是( )A．0 B．1 C．2 D．3图F10－3 图F10－44．[2019·天津] 如图F10－4，在△ABC中，AB＝AC，AD，CE是△ABC的两条中线，P是AD上的一个动点，则下列线段的长等于BP＋EP最小值的是( )A．BC B．CE C．AD D．AC5．[2019·莱芜] 如图F10－5，菱形ABCD的边长为6，∠ABC＝120°，M是BC边的一个三等分点，P是对角线AC上的动点，当PB＋PM的值最小时，PM的长是( )A.72 B.273 C.355 D.264图F10－5 图F10－66．[2019·乌鲁木齐] 如图F10－6，点A(a ，3)、B(b ，1)都在双曲线y ＝3x 上，点C ，D 分别是x 轴、y 轴上的动点，则四边形ABCD 周长的最小值为( )A ．5 2B ．6 2C ．2 10＋2 2D ．8 27．[2019·雅安] 如图F10－7，在矩形ABCD 中，AD ＝6，AE ⊥BD ，垂足为E ，ED ＝3BE ，点P ，Q 分别在BD ，AD 上，则AP ＋PQ 的最小值为( )A ．2 2 B. 2 C ．2 3 D ．3 3图F10－7 图F10－88．[2019·安徽] 如图F10－8，在Rt △ABC 中，AB ⊥BC ，AB ＝6，BC ＝4，P 是△ABC 内部的一个动点，且满足∠PAB＝∠PBC，则线段CP 长的最小值为( )A.32 B ．2 C.8 1313 D.12 1313 二、填空题9．[2019·东营]如图F10－9，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝4，BC>AB ，点D 在BC 上，以AC 为对角线的平行四边形ADCE 中，DE 的最小值是________．图F10－910．[2019·德阳] 如图F10－10，已知⊙C 的半径为3，圆外一定点O 满足OC ＝5，点P 为⊙C 上一动点，经过O 的直线l 上有两点A 、B 且OA ＝OB ，∠APB ＝90°，l 不经过点C ，则AB 的最小值为________．图F10－10三、解答题11．[2019·德阳] 如图F10－11，函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x （0≤x≤3）－x ＋9（x>3）的图象与双曲线y ＝kx (k≠0，x>0)相交于点A(3，m)和点B.(1)求双曲线的解析式及点B 的坐标；(2)若点P 在y 轴上，连结PA 、PB ，求当PA ＋PB 的值最小时点P 的坐标．图F10－1112．把△EFP 按如图F10－12所示的方式放置在菱形ABCD 中，使得顶点E ，F ，P 分别在线段AB ，AD ，AC 上．已知EP ＝FP ＝4，EF ＝4 3，∠BAD ＝60°，且AB ＞4 3.(1)求∠EPF 的大小；(2)若AP ＝6，求AE ＋AF 的值；(3)若△EFP 的三个顶点E ，F ，P 分别在线段AB ，AD ，AC 上运动，请直接写出AP 长的最大值和最小值．图F10－12参考答案1．B [解析] 如图，作点D 关于直线AB 的对称点H ，连结CH 与AB 的交点为E ，此时△CDE 的周长最小．∵D(32，0)，A(3，0)，∴H(92，0)，可求得直线CH 的解析式为y ＝－89x ＋4，当x ＝3时，y ＝43，∴点E 的坐标为(3，43)．故选B.2．D3．B [解析] 连结OQ ，设线段OP 与⊙O 相交于点N ，连结MN ，则MN 是△POQ 的中位线，∴MN ＝12OQ＝1.当点Q 与点N 重合时，OM ＝3；当点Q 是射线PO 与⊙O 的另一个交点时，OM ＝1.∴OM 的最小值是1.故选B.4．B [解析] 连结PC.由AB ＝AC ，可得△ABC 是等腰三角形，根据“等腰三角形的三线合一性质”可知点B 与点C 关于直线AD 对称，BP ＝CP ，因此连结CE ，BP ＋CP 的最小值为CE ，故选B.5．A [解析] 连结BD 、DM ，DM 交AC 于点P ，则此时PB ＋PM 的值最小．过点D 作DF⊥BC 于点F ，过点M 作ME∥BD 交AC 于点E.∵∠ABC ＝120°，∴∠BCD ＝60°.又∵DC＝BC ，∴△BCD 是等边三角形．∴BF＝CF ＝12BC ＝3.∴MF ＝CF －CM ＝3－2＝1，DF ＝3BF ＝3 3. ∴DM ＝（33）2＋12＝27. ∵ME ∥BD ，∴△CEM ∽△COB. ∴ME OB ＝CM BC ＝26＝13. 又∵OB＝OD ，∴ME OD ＝13.∵ME ∥BD ，∴△PEM ∽△POD. ∴PM PD ＝ME OD ＝13，∴PM ＝14DM ＝14×27＝72. 故选A.6．B [解析] ∵点A(a ，3)、B(b ，1)都在双曲线y ＝3x 上，∴a ＝1，b ＝3，∴A(1，3)、B(3，1)，则AB ＝（1－3）2＋（3－1）2＝8＝2 2.作点A 关于y 轴的对称点A 1，作点B 关于x 轴的对称点B 1，连结A 1B 1，交y 轴于点D ，交x 轴于点C ，则A 1(－1，3)、B 1(3，－1)，A 1B 1＝（－1－3）2＋[3－（－1）]2＝32＝4 2，根据轴对称的性质，四边形ABCD 周长的最小值是AB ＋A 1B 1＝2 2＋4 2＝6 2，故选B.7．D [解析] 设BE ＝x ，则DE ＝3x ，∵四边形ABCD 为矩形，且AE⊥BD，∴△ABE ∽△DAE ， ∴AE 2＝BE·DE，即AE 2＝3x 2，∴AE ＝3x.在Rt △ADE 中，由勾股定理可得AD 2＝AE 2＋DE 2，即62＝(3x)2＋(3x)2，解得x ＝ 3. ∴AE ＝3，DE ＝3 3.如图，设A 点关于BD 的对称点为A′，连结A′D，PA ′，则A′A＝2AE ＝6＝AD ，AD ＝A′D＝6，∴△AA ′D 是等边三角形．∵PA ＝PA′，∴当A′，P ，Q 三点在一条直线上时，A ′P ＋PQ 最小．由垂线段最短可知当PQ⊥AD 时，A ′P ＋PQ 最小，∴AP ＋PQ ＝A′P＋PQ ＝A′Q＝DE ＝3 3，故选D. 8．B [解析] 首先证明点P 在以AB 为直径的⊙O 上，连结OC 与⊙O 交于点P ，此时PC 最小，利用勾股定理求出OC 即可解决问题．∵∠ABC ＝90°， ∴∠ABP ＋∠PBC＝90°. ∵∠PAB ＝∠PBC， ∴∠BAP ＋∠ABP＝90°， ∴∠APB ＝90°.∴点P 在以AB 为直径的⊙O 上，连结OC 交⊙O 于点P ，此时PC 的长最小，在Rt △BCO 中，∵∠OBC ＝90°，BC ＝4，OB ＝3， ∴OC ＝BO 2＋BC 2＝5，∴PC ＝OC －OP ＝5－3＝2. ∴PC 长的最小值为2.故选B.9．4 [解析] ∵四边形ADCE 是平行四边形， ∴BC ∥AE ，∴当DE⊥BC 时，DE 最短．此时∵∠B＝90°，∴AB ⊥BC ，∴DE ∥AB ， ∴四边形ABDE 是平行四边形， ∵∠B ＝90°，∴四边形ABDE 是矩形， ∴DE ＝AB ＝4，∴DE 的最小值为4.故答案为4.10．4 [解析] 连结OP 、OC 、PC ，则有OP≥OC－PC ，当O 、P 、C 三点共线的时候，OP ＝OC －PC. ∵∠APB ＝90°，OA ＝OB ，∴点P 在以AB 为直径的圆上，∴⊙O 与⊙C 相切的时候，OP 取到最小值，此时OP ＝OC －CP ＝2，∴AB ＝2OP ＝4.11．解：(1)由点A(3，m)在直线y ＝2x 上，得m ＝6，则A(3，6)，代入y ＝kx 得到k ＝18.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋9，y ＝18x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝6(舍)，则点B(6，3)．(2)如图所示，作A 关于y 轴的对称点A′(－3，6)，连结PA′，则PA′＝PA ，∴PA ＋PB ＝PA′＋PB≥A′B，当A′，P ，B 三点共线时，PA ＋PB 有最小值， ∵A ′(－3，6)，B(6，3)， ∴A ′B ＝3 10，∴PA ＋PB 的最小值为3 10. 设A′B：y ＝kx ＋b ，将B(6，3)，A ′(－3，6)，代入y ＝kx ＋b ，得⎩⎪⎨⎪⎧6＝－3k ＋b ，3＝6k ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－13，b ＝5，得A′B：y ＝－13x ＋5，当x ＝0时，y ＝5，即当PA ＋PB 取得最小值的时候，P 的坐标为(0，5)． 12．解：(1)如图①，作PQ⊥EF 于点Q ， ∵EP ＝FP ＝4，EF ＝4 3， ∴QF ＝QE ＝2 3. ∴cos ∠QFP ＝2 34＝32，∴∠QFP ＝30°.∴∠QEP ＝∠QFP＝30°， ∴∠EPF ＝120°.(2)如图②，将△PAF 绕点P 逆时针旋转120°，得△PA′E，作PM⊥AA′，垂足为M ，在等腰三角形PAA′中，AM ＝APcos ∠PAA ′＝6cos30°＝3 3， ∴AA ′＝2AM ＝2×3 3＝6 3. 即AE ＋AF ＝6 3.(3)最大值是8，最小值是4.2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．下列各式中，不相等的是 ( ) A.32-和 3-2B.()23-和 23C.()32-和 32-D.()23-和 23-2．下列说法正确的是（）A.了解全国中学生最喜爱哪位歌手，适合全面调查．B.甲乙两种麦种，连续3年的平均亩产量相同，它们的方差为：S 甲2＝5，S 乙2＝0.5，则甲麦种产量比较稳．C.某次朗读比赛中预设半数晋级，某同学想知道自己是否晋级，除知道自己的成绩外，还需要知道平均成绩．D.一组数据：3，2，5，5，4，6的众数是5．3．如图，在△ABC 中，D ，E 分别是边AC ，AB 的中点，连接BD ．若BD 平分∠ABC ，则下列结论错误的是（）A ．BC=2BEB ．∠A=∠EDAC ．BC=2AD D ．BD ⊥AC4．将抛物线向左平移1个单位，再向下平移3个单位得到的解析式是（）.A.B.C.D.5．如图，四边形AOBC 和四边形CDEF 都是正方形，边OA 在x 轴上，边OB 在y 轴上，点D 在边CB 上，反比例函数8y x=，在第二象限的图像经过点E ,则正方形AOBC 与正方形CDEF 的面积之差为（）A.6B.8C.10D.126．如图，二次函数y ＝ax 2+bx+c 的图象与x 轴的一个交点坐标是（3，0），对称轴为直线x ＝1，下列结论：①abc ＞0；②2a+b ＝0；③4a ﹣2b+c ＞0；④当y ＞0时，﹣1＜x ＜3；⑤b ＜c ．其中正确的个数是（）A ．2B ．3C ．4D ．57．在下列二次函数中，其图象对称轴为x=2的是 A ．y=2x 2﹣4 B ．y=2(x-2)2C ．y=2x 2+2D ．y=2(x+2)28．下面四个图形中，能判断∠1＞∠2的是（）A ．B ．C ．D ．9．如图，在△ABC 中，∠B=90°，AB=6cm ，BC=12cm ，动点P 从点A 开始沿边AB 向B 以1cm/s 的速度移动（不与点B 重合），动点Q 从点B 开始沿边BC 向C 以2cm/s 的速度移动（不与点C 重合）．如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，那么经过（）秒，四边形APQC 的面积最小．A.1B.2C.3D.410．如图，四边形ABCD 中，AC 平∠DAB ，∠ADC ＝∠ACB ＝90°，E 为AB 的中点，若AD ＝4，AB ＝6，则ACAF的值为（）A ．2B ．74C ．32D ．211．剪纸是中国古老的民间艺术，下列作品中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．12．如图，在矩形ABCD 中，6AB =，4BC =，动点E 从点A 出发，沿A B C →→的路线运动,当点E 到达点C 时停止运动，过点E 作FE AE ⊥,交CD 于点F ，设点E 运动的路程为x ,FC y =.则y关于x的图象大致为（）A．B．C．D．二、填空题13．一元二次方程x2﹣x=0的根是_____．14．计算： __________．15．一抛物线和另一抛物线y＝﹣2x2的形状和开口方向完全相同，且顶点坐标是（﹣2，1），则该抛物线的解析式为_____．16．不等式组的解集是_____．17．为了说明命题“等腰三角形腰上的高小于腰”是假命题，可以找的反例是_____．18．我们用如图的方法（斜钉上一块木条）来修理一条摇晃的凳子的数学原理是利用三角形的___．三、解答题19．如图，A、B两点在反比例函数kyx（k＞0，x＞0）的图象上，AC⊥y轴于点C，BD⊥x轴于点D，点A的横坐标为a，点B的横坐标为b，且a＜b．（1）若△AOC的面积为4，求k值；（2）若a＝1，b＝k，当AO＝AB时，试说明△AOB是等边三角形；（3）若OA＝OB，证明：OC＝OD．20．已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）过点D （0，74）作x 轴的平行线交抛物线于E ，F 两点，求EF 的长；（3）当y≤74时，直接写出x 的取值范围是． 21．如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，切点为A ，BC 交⊙O 于点D ，点E 是AC 的中点．（1）试判断直线DE 与⊙O 的位置关系，并说明理由．（2）若⊙O 半径为2，∠B ＝60°，求图中阴影部分的面积．22．计算：212sin 6032-︒++（）23．如图，已知在Rt △ABC 中，∠B ＝30°，∠ACB ＝90°，延长CA 到O ，使AO ＝AC ，以O 为圆心，OA 长为半径作⊙O 交BA 延长线于点D ，连接CD ．（1）求证：CD 是⊙O 的切线；（2）若AB ＝4，求图中阴影部分的面积．24．商场里某产品每月销售量y （只）与销售单价x （元）满足一次函数关系，经调查部分数据如表：（已知每只进价为10元，每只利润=销售单价-进价）（1）求出y 与x 之间的函数表达式；（2）这产品每月的总利润为w 元，求w 关于x 的函数表达式，并指出销售单价为多少元时利润最大，最大利润是多少元？（3）由于该产品市场需求量较大，进价在原有基础上提高了a 元（a ＜10），但每月销售量与销售价仍满足上述一次函数关系，此时，随着销售量的增大，所得的最大利润比（2）中的最大利润减少了144元，求a 的值．25．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知Rt △ABC ，∠ABC ＝90°，顶点A 在第一象限，B ，C 在x 轴的正半轴上（C 在B 的右侧），BC ＝2，AB ＝2，将△ABC 沿AC 翻折得△ADC ，点A 和点D 都在反比例函数y＝的图象上，则k 的值是_____．【参考答案】*** 一、选择题二、填空题 13．x 1=0，x 2=1 14．115．y ＝﹣2（x+2）2+1． 16．﹣2≤x＜717．因为等腰直角三角形的腰上的高等于腰，则可以找出该命题的反例，即为等腰直角三角形． 18．稳定性．三、解答题19．（1）8（2）△AOB 是等边三角形（3）见解析【解析】【分析】（1）由反比例函数系数k 的几何意义解答；（2）根据全等三角形△ACO ≌△BDO （SAS ）的性质推知AO ＝BO ，结合已知条件AO ＝AB 得到：AO ＝BO ＝AB ，故△AOB 是等边三角形；（3）证明：在Rt △ACO 和Rt △BDO 中，根据勾股定理得：AO 2＝AC 2+OC 2，BO 2＝BD 2+OD 2，结合已知条件OA ＝OB ，得到：AC 2+OC 2＝BD 2+OD 2，由坐标与图形性质知：2222()()kk a b ab+=+，整理得到：2222()()k k a b b a -=- ，2222222(k a b a b a b--=），易得k b a =，故OC ＝OD ．【详解】解：（1）∵AC ⊥y 轴于点C ，点A 在反比例函数ky x=（k ＞0，x ＞0）的图象上，且△AOC 的面积为4，∴12|k|＝4， ∴k ＝8；（2）由a ＝1，b ＝k ，可得A （1，k ），B （k ，1）， ∴AC ＝1，OC ＝k ，OD ＝k ，BD ＝1， ∴AC ＝BD ，OC ＝OD ．又∵AC ⊥y 轴于点C ，BD ⊥x 轴于点D ， ∴∠ACO ＝∠BDO ＝90°， ∴△ACO ≌△BDO （SAS ）． ∴AO ＝BO ．又AO ＝AB ， ∴AO ＝BO ＝AB ， ∴△AOB 是等边三角形；（3）证明：在Rt △ACO 和Rt △BDO 中，根据勾股定理得：AO 2＝AC 2+OC 2，BO 2＝BD 2+OD 2， ∵OA ＝OB ，∴AC 2+OC 2＝BD 2+OD 2，即有：2222()()kk a b ab+=+，∴2222()()k k a b b a -=-，2222222(k a b a b a b--=），因为0＜a ＜b ，所以a 2﹣b 2≠0，∴2221=k a b，∴1k ab =±，负值舍去，得：1k ab=， ∴kb a=， ∴OC ＝OD ．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数系数k 的几何意义以及全等三角形的判定与性质，利用数形结合解决此类问题，是非常有效的方法．20．（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）EF长为2；（312x≤或32x≥．【解析】【分析】（1）把A（-1，0），B（3，0）代入y=ax2+bx+3，即可求解；（2）把点D的y坐标74代入y=-x2+2x+3，即可求解；（3）直线EF下侧的图象符合要求．【详解】（1）把A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx+3，解得：a＝﹣1，b＝2，抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；（2）把点D的y坐标y＝74，代入y＝﹣x2+2x+3，解得：x＝12或32，则EF长312 22⎛⎫=--=⎪⎝⎭；（3）由题意得：当y≤74时，直接写出x的取值范围是：12x≤或32x≥，故答案为：12x≤或32x≥．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数与一元二次方程，利用图像解不等式及数形结合的数学思想，是一道基本题，难度不大．21．（1）直线DE与⊙O相切，理由见解析（2）-4 3π【解析】【分析】(1)连接0E、OD,如图,根据切线的性质得∠OAC=90°,再证明△AOE≌△DOE得到∠ODE=∠OAE=90°,然后根据切线的判定定理得到DE为⊙0的切线（2)先计算出四边形AEDO的面积,利用四边形的面积减去扇形的面积计算图中阴影部分的面积【详解】(1)直线DE 与⊙O 相切。

初中数学常见最短距离问题及解法

探索篇•方法展示初中数学中，几何最短距离问题一直是重点题型之一，主要考查学生的综合运用能力，现以近几年常见的试题为例，介绍一些常用的方法。

一、利用“两点之间，线段最短”求最值例题1：如图1，已知A 、B 两点在直线l 同侧，在直线l 上找一点P ，使得PA+PB 最小。

解：作点A 关于直线l 的对称点A ′，连接A ′B 交直线l 于点P ，则点P 即为所求的点（如图2）。

几何最值问题通常为最短路线问题的引申，会与三角形、正方形、圆等图形结合，通过几何变换，找到关于动点所在直线的对称点，运用数形结合思想解决问题，这类题解答的关键在于“平面内两点之间线段最短”这一基本原理。

例题2：如图3，在△ABC 中，AB=AC ，AD 、CE 是△ABC 的两条中线，P 是AD 上一个动点，则哪条线段的长度等于BP+EP 最小值？解：连接PC （如图4），∵AB=AC ，BD=CD∴AD ⊥BC ∴PB=PC ∴PB+PE=PC+PE ∵PE+PC ≥CE ∴P 、C 、E 共线时，PB+PE 的值最小，最小值为CE 的长度。

例题3：如图5所示，正方形ABCD 的面积为12，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，求PD+PE 的最小值。

解：设BE 与AC 相交于点F （P ′），连接BD （如图6）；∵点B 与点D 关于AC 对称∴P ′D=P ′B ∴P ′D+P ′E=P ′B+P ′E=BE 最小即P 在AC 与BE 交点处时，PD+PE 最小，为BE 的长度。

∵正方形ABCD 的面积为12∴AB =23√∵△ABE 是等边三角形∴BE=AB =23√即PD+PE 最小值为23√。

由以上例题可知，解决这类最值问题，要认识到动点所在直线为对称轴，轴对称的作用在于改变点的位置关系，利用轴对称的性质和两点之间线段最短解决问题。

当所求最小距离的两个点不在同一平面内时，则需要通过将曲面进行铺平处理，先求平面展开图，将曲面问题转换为平面问题。

中考数学求最短距离总结含答案

一、填空题（共6小题）1、边长为2的正方形的顶点A 到其内切圆周上的最远距离是 _________ ，最短距离是 _________ ．2、已知点P 到⊙O 上的点的最短距离为3cm ，最长距离为5cm ，则⊙O 的半径为 _________ cm ．3、（2011•广安）如图所示，若⊙O 的半径为13cm ，点P 是弦AB 上一动点，且到圆心的最短距离为5cm ，则弦AB 的长为 _________ ．4、如图，圆锥的底面半径为OB=3，母线SB=9，D 为SB 上一点，且SD=，则点A 沿圆锥表面到D 点的最短距离为 _________ ．5、如图，P 为半圆直径AB 上一动点，C 为半圆中点，D 为弧AC 的三等分点，若AB=2，则PC+PD 的最短距离为 _________ ．6、如图，牧童在A 处放牛，其家在B 处，A 、B 到河岸的距离分别为AC 和BD ，且AC=BD ，若点A 到河岸CD 的中点的距离为500米，则牧童从A 处把牛牵到河边饮水再回家，最短距离是 _________ 米．二、解答题（共4小题）7、正方体盒子的棱长为2，BC 的中点为M ，一只蚂蚁从A 点爬行到M 点的最短距离为多少？8、己知圆锥的底面半径是4cm ，母线长为12cm ，C 为母线PB 的中点，求从A 到C 在圆锥的侧面上的最短距离．2012年初中数学求最短距离9、已知如图，圆锥的底面半径为3cm，母线长为9cm，C是母线PB中点且在圆锥的侧面上，求从A到C的最短距离为多少厘米？10、如图，正方形ABCD，AB边上有一点E，AE=3，EB=1，在AC上有一点P，使EP+BP为最短．求：最短距离EP+BP．三、选择题（共4小题）11、如图，在底面周长为12，高为8的圆柱体上有A、B两点，则A、B两点的最短距离为（）A、4B、8C、10D、512、（2003•贵阳）如图，圆柱的轴截面ABCD是边长为4的正方形，动点P从A点出发，沿着圆柱的侧面移动到BC 的中点S的最短距离为（）A、B、C、D、13、如图，已知圆锥的母线长OA=6，底面圆的半径为2，一小虫在圆锥底面的点A处绕圆锥侧面一周又回到点A 处．则小虫所走的最短距离为（）A、12B、4πC、D、14、如图，牧童在A处放牛，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC和BD，且AC=BD，若点A到河岸CD的中点的距离为500米，则牧童从A处把牛牵到河边饮水再回家，最短距离是（）A、750米B、1000米C、1500米D、2000米用轴对称求最短距离最值问题，也就是最大值和最小值问题，这类问题出现的试题，内容丰富，知识点多，涉及面广，解法灵活多样，本文举例介绍一些常见的求解方法，供读者参考。

中考数学专题最短距离问题分析

最短距离问题分析最值问题是初中数学的重要内容，也是一类综合性较强的问题，它贯穿初中数学的始终，是中考的热点问题，它主要考察学生对平时所学的内容综合运用，无论是代数问题还是几何问题都有最值问题，在中考压轴题中出现比较高的主要有利用重要的几何结论（如两点之间线段。

利用一次函数和二最短、三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边、垂线段最短等）次函数的性质求最值。

一、“最值”问题大都归于两类基本模型：Ⅰ、归于函数模型：即利用一次函数的增减性和二次函数的对称性及增减性，确定某范围内函数的最大或最小值Ⅱ、归于几何模型，这类模型又分为两种情况：。

凡属于求“变动的两线段之和的最小值”时，（1）归于“两点之间的连线中，线段最短”大都应用这一模型。

）归于“三角形两边之差小于第三边”凡属于求“变动的两线段之差的最大值”时，大2（都应用这一模型。

B 几何模型：BAl A 条件：如图，是直线、同旁的两个定点．PB?PPAl，使问题：在直线的值最小．上确定一点l??P PAABllA于点方法：作点，连结关于直线交的对称点，?B?APA?PB的值最小（不必证明）．则?A模型应用：BABABCDE的边长为2，的中点，为（1）如图1，正方形BDPAC是，由正方形对称性可知，上一动点．连结A PEDACBDAC交对称．连结与于关于直线，则B PE?PB；的最小值是___________1图AO⊙BA、、C⊙O上，，点在的半径为2，（2）如图2CPOBAOC?60°OA?OB?是，上一动点，，2 图B P PC?PA的最小值；求．5DE?PE?PB的最小值是）解：（132PC?PA的最小值是（2）【典型例题分析】EABCDABCD△ABE内，在1.如图所示，正方形是等边三角形，点的面积为12，在正方形PEPPD?AC）的和最小，则这个最小值为（对角线上有一点，使 A D66223 D ．BA．．C3 ．PECB12x??x?2y?4y．，与y 轴交于点B2．如图，抛物线的顶点为AAB的坐标；(1)求点A、B；PA-PB≤AB(2)若点P是x轴上任意一点，求证：. 的坐标PA-PB最大时，求点P(3)当xO2)B(0，(1)令x=0，得y=2，∴解：11223???(x?y??x2)?x?244 ∵3)A(-2，∴；是AB的延长线与x轴交点时，PA-PB=ABP(2)证明：ⅰ.当点轴的交点时，在x轴上又异于AB的延长线与xⅱ.当点PAB. ＜、A、B构成的三角形中，PA-PB在点P yAB. ∴综合上述：PA-PB≤AP轴于点AB交x(3)作直线·B是所求的点由(2)可知：当PA-PB最大时，点POP⊥作AH⊥OP于H ∵BO APH∴∠BOP=∠AHP，且∠BPO=∠xPO HHPAH?OPBO BOP∽△AHP ∴∴△OP?32?OP2 即OB=2 AH=3、OH=2、，∴P(4，0) 由(1)可知：∴OP=411??210?CE?DE?PED△，y．．．的周长即是标为??22??B bkx?y?）．0，42，4.一次函数0），B（的图象与x、y轴分别交于点A（DP 1）求该函数的解析式；（上一动点，P为OBAB的中点分别为C、D，（2）O为坐标原点，设OA、x OAC的最小值，并求取得最小值时P点坐标．求PC＋PD 4．＝－2，b＝、B的坐标代入y＝kx＋b并计算得kA解：(1)将点4题第4＋；y＝－2x∴解析式为：′．PC＝PC′′，连结PC′、DC，则的对称点为(2)设点C关于点OC ．′D的最小值是共线时，PC＋PDC、PD′＋≥C′D，即C′P、D＝∴PC＋PDPC2'2CDCC?2 ．，的坐标为(0＝2D′，在连结CDRt△DCC中，C′＝1)；易得点P)轴对称的△关于yAOB(亦可作Rt△????0?2，．C0，A?3y x CA，，B、轴交于已知：5.抛物线的对称轴为与两点，其中轴交于点与）求这条抛物线的函数表达式．1（．△PBC的周长最小．请求出点P的坐标．2）已知在对称轴上存在一点P，使得（yyOA B xA B xCC5题图422?y?x?x2）此抛物线的解析式为（1解：33BPBCPC?PB△ACBCBC点周长最小，所以的长度一定，连结2）就是使、..因为最小（P1??xAAC的交点即为所求的点点，与对称轴.关于对称轴的对称点是ybkx?y?AC设直线的表达式为2E ???k?O AB，b?0?3k??x3?2?D．2?x?y??2?b?2?b??3?∴此直线的表达式为解得则P4??4C ?1?，??y??3??1??x3P点的坐标为把代入得∴24题图）（第??34，?1????32c?bx?y?ax??的坐标为的顶点PyB两点，交轴6.如图，抛物线，交x轴于A、?3)C(0，于点．y1）求抛物线的表达式．（．°180，得到四边形ADBC）把△2ABC绕AB的中点E旋转（D判断四边形ADBC的形状，并说明理由．的周长最小，FBD）试问在线段AC上是否存在一点F，使得△（3xOA B若存在，请写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．）由题意知（解：1CPyDxO BECP33323223??a?xy?x??b3333解得，∴抛物线的解析式为332203?x?x?xx33，，则，0））设点（2A（，0），B（21||OB3?3x?，x??1||OC OCB＝OB∣＝3．又∵tan∠∴∣OA∣＝1，∣解得12BD，BC＝AD 由旋转性质可知∴∠OCB＝60°，同理可求∠OCA＝30°．∴∠ACB＝90°AC＝是矩形ACB＝90°．∴四边形ADBC 又∵∠∴四边形ADBC是平行四边形CB?CNDB??FBFD最FBD的周长最小．即．假设存在一点至N，使F，使△BC（3）延长小．FD+FN＝．BN ∴FD+FB∵DB固定长．∴只要FD+FB最小．又∵CA⊥1AC?FC2（即∴C为BN的中点，∴当N、F、D在一条直线上时，FD+FB最小．又∵13??22 F（）的坐标为FC（0，，－3）∴点）F为AC的中点）．又∵A（－1，0，13??22 FBD的周长最小．，）∴存在这样的点F，使得△（3182x?x?y?POAMA,y3，为和的中点，若有一动点轴的交点为，抛物线）7.如图（155x EM，再沿直线运动到该抛物线对称轴上自轴上的某点（设为点点处出发，沿直线运动到）FPEAF的运动的总路程最短的点，求使点的某点（设为点），最后又沿直线运动到点，点坐标，并求出这个最短路程的长。

中考数学高频考点突破——轴对称的应用——最短距离问题

中考数学高频考点突破——轴对称的应用——最短距离问题一、综合题1．已知二次函数y ＝﹣x 2+bx+c 的图象经过点A （2，0），B （5，0），过点D （0， 54）作y 轴的垂线DP 交图象于E 、F ．（1）求b 、c 的值和抛物线的顶点M 的坐标；（2）求证：四边形OAFE 是平行四边形；（3）将抛物线向左平移的过程中，抛物线的顶点记为M′，直线DP 与抛物线的左交点为E′，连接OM′，OE′，当OE′+OM′的值最小时求直线OE′的解析式． 2．（1）问题提出：如图①在 ABC 中， AD 是 ABC 边 BC 的高，点E 是 BC 上任意一点，若 3,AD = 则 AE 的最小值为_ ；（2）如图②，在等腰 ABC 中， ,120,AB AC BAC DE =∠=︒ 是 AC 的垂直平分线，分别交 BC AC 、于点 D E 、， 1DE cm = ，求 ABD 的周长；（3）问题解决：如图③，某公园管理员拟在园内规划一个 ABC 区域种植花卉，且为方便游客游览，欲在各顶点之间规划道路 AB BC 、和 AC ，满足 90,BAC ∠=︒ 点 A 到 BC 的距离为 2km .为了节约成本，要使得 ,,AB BC AC 之和最短，试求AB BC AC ++ 的最小值(路宽忽略不计).3．（1）【问题提出】如图1，在矩形ABCD 中， 10AD = ， 12AB = ，点E 为AD 的中点，点P 为矩形ABCD 内以BC 为直径的半圆上一点，则PE 的最小值为；（2）【问题探究】如图2，在ABC 中，AD 为BC 边上的高，且 4AD BC == ，点P 为 ABC 内一点，当 12PBC ABC S S = 时，求 PB PC + 的最小值；（3）【问题解决】李伯伯家有一块直角三角形菜园ABC ，如图3， 2003BC = 米，90C ∠=︒ ， 60ABC ∠=︒ ，李伯伯准备在该三角形菜园内取一点P ，使得120APB ∠=︒ ，并在 ABP 内种植当季蔬菜，边BC 的中点D 为菜园出入口，为了种植方便，李伯伯打算在AC 边上取点E ，并沿PE 、DE 修两条人行走道，为了节省时间，要求人行走道的总长度（ PE DE + ）尽可能小，问 PE DE + 的长度是否存在最小值？若存在，求出其最小值；若不存在，请说明理由.4．如图1，已知直线l 的同侧有两个点A ，B ，在直线l 上找一点P ，使P 点到A ，B 两点的距离之和最短的问题，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线l 的对称点，对称点与另一点的连线与直线l 的交点就是所要找的点，通过这种方法可以求解很多问题（1）如图2，在平面直角坐标系内，点A 的坐标为(1，1)，点B 的坐标为(5，4)，动点P 在x 轴上，求PA+PB 的最小值；（2）如图3，在锐角三角形ABC 中，AB=8，∠BAC=45°，∠BAC 的角平分线交BC 于点D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM+MN 的最小值为（3）如图4，∠AOB=30°，OC=4，OD=10，点E ，F 分别是射线OA ，OB 上的动点，则CF+EF+DE 的最小值为。

中考数学专题---最短距离问题

中考数学专题---最短距离问题考查知识点：“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”。

问题原型：“饮马问题”，“造桥选址问题”。

出题背景变式：角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。

解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直” 几何基本模型：条件：如下左图，A 、B 是直线l 同旁的两个定点．问题：在直线l 上确定一点P ，使PA PB +的值最小．方法：作点A 关于直线l 的对称点A '，连结A B '交l 于点P ，则PA PB A B '+=的值最小模型转化应用：在锐角三角形中探求线段和的最小值如图1，在锐角三角形ABC 中，AB =24,∠BAC =45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M ,N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM+MN 的最小值为．在等边三角形中探求线段和的最小值（2010 山东滨州）如图2所示，等边△ABC 的边长为6,AD 是BC 边上的中线,M 是AD 上的动点,E 是AC 边上一点.若AE =2,EM+CM 的最小值为 . 在直角梯形中探求线段和的最小值（2010江苏扬州）如图3，在直角梯形ABCD 中，∠ABC ＝90°，AD ∥BC ，AD ＝4，AB ＝5，BC ＝6，点P 是AB 上一个动点，当PC ＋PD 的和最小时，PB 的长为__________．在等腰梯形中探求线段和的最小值如图4，等腰梯形ABCD 中，AB=AD=CD=1，∠ABC =60°，P 是上底，下底中点EF 直线上的一点，则PA+PB 的最小值为．在菱形中探求线段和的最小值如图5菱形ABCD 中，AB=2，∠BAD =60°，E 是AB 的中点，P 是对角线AC 上的一个动点，则PE+PB 的最小值为．在正方形中探求线段和的最小值如图6所示，已知正方形ABCD 的边长为8，点M 在DC 上，且DM =2，N 是AC 上的一个动点，则DN+MN 的最小值为．AB A '′Pl（2009达州）如图7，在边长为2cm 的正方形ABCD 中，点Q 为BC 边的中点，点P 为对角线AC 上一动点，连接PB 、PQ ，则△PBQ 周长的最小值为 cm ．（结果不取近似值）．在圆背景下探求线段和的最小值（2010年荆门）如图8，MN 是半径为1的⊙O 的直径，点A 在⊙O 上，∠AMN ＝30°，B 为AN 弧的中点，P 是直径MN 上一动点，则PA ＋PB 的最小值为________ 在反比例函数图象背景下探求线段和的最小值（2010山东济宁）如图9，正比例函数x y 21=的图象与反比例函数)0(≠=k xky 在第一象限的图象交于A 点，过A 点作x 轴的垂线，垂足为M ，已知三角形OAM 的面积为1.如果B 为反比例函数在第一象限图象上的点（点B 与点A 不重合），且B 点的横坐标为1，在x 轴上求一点P ，使PA+PB 最小,则点P 坐标为_________. 在二次函数背景下探求线段和的最小值（2010年玉溪改编）如图10，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（1，3），△AOB 的面积是3.在过点A 、O 、B 的抛物线的对称轴上是否存在点C ，使△AOC 的周长最小？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由；在平面直角坐标系背景下探求线段和的最小值（2010年天津）如图11，在平面直角坐标系中，矩形的顶点O 在坐标原点，顶点A 、B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D 为边OB 的中点. （1）若E 为边OA 上的一个动点，当△CDE 的周长最小时，求点E 的坐标；（2）若E 、F 为边OA 上的两个动点，且EF=2，当四边形CDEF 的周长最小时，求点E 、F 的坐标.ADE PBC经典考题如图1，正方形ABCD 的边长为2，E 为AB 的中点，P 是AC 上一动点．连结BD ，由正方形对称性可知，B 与D 关于直线AC 对称．连结ED 交AC 于P ，则PB PE +的最小值是_______.如图2，45AOB ∠=°，P 是AOB ∠内一点，10PO =，Q R 、分别是OA OB 、上的动点，则PQR △周长的最小值为_________．(2009年抚顺)如图3所示，正方形ABCD 的面积为12，ABE △是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD PE +的和最小，则这个最小值为（） A ．3 B ．26 C ．3 D 6(2009年鄂州) 如图3所示，已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD =2，BC =DC =5，点P 在BC 上移动，则当P A +PD 取最小值时，△APD 中边AP 上的高为（） A 、17172B 、17174 C 、 17178D 、3 如图，四边形ABCD 是正方形， 10AB cm =，E 为边BC 的中点，P 为BD 上的一个动点，则PC PE +的最小值为____________.如图，若四边形ABCD 是菱形,10AB cm =，45ABC ∠=°，E 为边BC 上的一个动点，P 为BD 上的一个动点，则PC PE +的最小值为_____________.如图，若四边形ABCD 是矩形，10AB cm =，20BC cm =，E 为边BC 上的一个动点，P 为BD 上的一个动点，则PC PE +的最小值为_____________.（2009陕西）如图，在锐角△ABC 中，AB ＝42，∠BAC ＝45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM+MN 的最小值是_________．OAB PRQ 图2AB EC P 图1A DBCADBCEPACDAC NME O PF DB如图，正方形ABCD 的边长为8，M 在DC 上，且DM ＝2，N 是AC 上的一动点，DN ＋MN 的最小值为_________。

浙江省中考数学复习题方法技巧专题(十)最短距离训练(新版)浙教版

方法技巧专题 ( 十)最短距离训练【方法解读】研究平面内最短路径的原理主要有以下两种: 一是“垂线段最短” , 二是“两点之间 , 线段最短”. 立体图形上的最短路径问题需借助平面睁开图转变为平面问题. 求平面内折线的最短路径往常用轴对称变换、平移变换或旋转变换等转变为两点之间的线段.1.矩形OABC在平面直角坐标系中的地点如图F10- 1, 点B的坐标为 (3,4),D是 OA的中点,点 E 在 AB上,当△CDE的周长最小时,点 E 的坐标为() b5E2RGbCAP图F10- 1A. (3,1)B. (3, )C. (3, )D. (3,2)2. [2018 ·宜宾 ]2 2 2 2在△ ABC中,若 O为 BC边的中点,则必有: AB+AC=2AO+2BO建立 . 依照以上结论,解决以下问1 / 14题 : 如图 F10- 2, 在矩形DEFG中 , 已知DE=4, EF=3, 点P在以DE为直径的半圆上运动2 2, 则PF+PG的最小值为() p1EanqFDPw图F10- 2A.B.C. 34D. 103. [2017 ·天津 ]如图F10-3,在△ ABC中,AB=AC,AD,CE是△ ABC的两条中线,P是AD上的一个动点,则以下线段的长等于BP+EP最小值的是() DXDiTa9E3d图F10- 3A.BCB.CEC.ADD.AC4. [2017 ·莱芜 ]如图F10-4,菱形ABCD的边长为6, ∠ABC=120°,M是BC边的一个三均分点, P是对角线AC 上的动点 , 当PB+PM的值最小时 , PM的长是() RTCrpUDGiT图F10- 4A.B.C.D.2 / 145 . [2017 ·乌鲁木齐 ] 如图 F10 - 5, 点 ( ,3), ( ,1) 都在双曲线 y= 上 , 点 , 分别是 x 轴、 y 轴上的动点 ,A aB bCD 则四边形 ABCD 周长的最小值为 ( ) 5PCzVD7HxA图 F10- 5A . 5B . 6C 2 2D 8. + .6. [2018 ·泰安 ] 如图 F10- 6, ☉ M 的半径为 2, 圆心 M 的坐标为 (3,4), 点 P 是☉ M 上的随意一点 , PA ⊥ PB , 且 PA , PB 与 x 轴分别交于 A , B 两点,若点 A , B 对于原点 O 对称,则 AB 的最小值为() jLBHrnAILg图 F10- 6A . 3B . 4C . 6D . 87. [2018 ·滨州 ]如图 F10-7, ∠AOB=60°, 点 P 是∠ AOB 内的定点且OP=,若点 M , N 分别是射线OA , OB 上异于点 O 的动点,则△ PMN 周长的最小值是() xHAQX74J0X图 F10- 73 / 14A B. .C 6D 3. .8. [2018 ·遵义 ] 如图 F10- 8, 抛物线 y=x 2+2x- 3 与 x 轴交于 A , B 两点 , 与 y 轴交于点 C , 点 P 是抛物线对称轴上随意一点 , 若点 D , E , F 分别是 BC , BP , PC 的中点 , 连接 DE , DF , 则 DE+DF 的最小值为 . LDAYtRyKfE图 F10- 89 . [2018 ·黑龙江龙东 ] 如图 F10 - 9, 已知正方形的边长为 4, 点 E 是边上一动点 , 连接过点 B 作ABCD AB CE. BG ⊥ CE 于点 G.点 P 是 AB 边上另一动点 , 则 PD+PG 的最小值为 . Zzz6ZB2Ltk图 F10- 910. [2018 ·广安改编 ]如图 F10-10, 已知抛物线y= x 2+bx+c 与直线 y= x+3订交于 A , B 两点,交 x 轴于 C , D 两点 , 连接AC , BC , 已知A (0,3),C ( - 3,0) . dvzfvkwMI1(1) 求此抛物线的分析式 ;(2) 在抛物线的对称轴 l 上找一点 M ,使 |MB-MD|的值最大,并求出这个最大值 .4 / 14图 F10- 1011. [2018 ·广州 ]如图F10-11,在四边形ABCD中,∠ B=∠ C=90°,AB>CD,AD=AB+CD rqyn14ZNXI.(1) 利用尺规作∠ADC的均分线 DE,交 BC于点 E,连接 AE(保存作图印迹,不写作法);5 / 14(2)在 (1) 的条件下 ,①证明 : AE⊥DE;②若 CD=2, AB=4,点 M, N分别是 AE, AB上的动点,求 BM+MN的最小值 .图 F10- 116 / 14参照答案1. B [ 分析 ]如图,作点D对于直线AB 的对称点H,连接 CH与 AB 的交点为E,此时△ CDE的周长最小 . ∵D(,0), A(3,0),EmxvxOtOco∴H( ,0),可求得直线CH的分析式为y=- x+4.当 x=3时, y= ,∴点 E 的坐标为(3,) .应选 B.2. D [ 分析 ]2 2 2 2 2 2 2 2 2 取 GF的中点 O,连接 PO,则依据资料可知 PF+PG=2PO+2OG=2PO+2×2 =8+2OP,若使PF+PG的值最小 , 则一定OP的值最小 , 所以PO垂直于GF时PO的值最小2 210.应选, 此时PO=1, 所以PF+PG的最小值为D.SixE2yXPq53. B [ 分析 ]连接PC.由AB=AC,可得△ ABC是等腰三角形,依据“等腰三角形的三线合一性质”可知点B与点C对于直线 AD对称, BP=CP,所以 BP+EP的最小值为 CE.应选B. 6ewMyirQFL4. A [ 分析 ]如图,连接BD,DM,BD交AC于点O,DM交AC于点P,则此时PB+PM的值最小.过点D作DF⊥ BC于点F,过点 M作 ME∥BD交 AC于点 E kavU42VRUs.∵∠ ABC=120°,7 / 14。

中考压轴题二次函数求最短距离

20XX 年中考数学二次函数求最短距离备考专题训练知识点：1.点到直线的距离直线外一点到直线的距离垂线段最短。

2.直线与直线的距离两直线间垂线段最短。

3.在直线上找一点与直线同侧两点（不在直线上）的连线距离和最短的求法首先找同侧两点中任一点关于该直线对称的点，再将同侧另一点与对称点连线，该连线与直线的交点即为所求。

中考真题训练1．如图，在锐角ABC △中，4245AB BAC =∠=，°，BAC ∠的平分线交BC 于点D M N ，、分别是AD 和AB 上的动点，则BM MN +的最小值是___________ ．ABCDN M（第1题图）2．如图，已知点A (-4，8)和点B (2，n )在抛物线2y ax =上．(1) 求a 的值及点B 关于x 轴对称点P 的坐标，并在x 轴上找一点Q ，使得AQ +QB 最短，求出点Q 的坐标；(2) 平移抛物线2y ax =，记平移后点A 的对应点为A ′，点B 的对应点为B ′，点C (-2，0)和点D (-4，0)是x 轴上的两个定点．① 当抛物线向左平移到某个位置时，A ′C +CB ′ 最短，求此时抛物线的函数解析式；② 当抛物线向左或向右平移时，是否存在某个位置，使四边形A ′B ′CD的周长最短？若存在，求出此时抛物线的函数解析式；若不存在，请说明理由．3．如图，已知直线112y x =+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线212y x bx c =++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为 (1，0)。

⑴求该抛物线的解析式；⑵动点P 在x 轴上移动，当△PAE 是直角三角形时，求点P 的坐标P 。

⑶在抛物线的对称轴上找一点M ，使||AM MC -的值最大，求出点M 的坐标。

(第2题)4 x2 2A8 -2 O-2 -4 y 6B C D -444.如图所示，已知点(10)A -，，(30)B ，，(0)C t ，，且0t >，tan 3BAC ∠=，抛物线经过A 、B 、C 三点，点(2)P m ，是抛物线与直线:(1)l y k x =+的一个交点．（1）求抛物线的解析式；（2）对于动点(1)Q n ，，求PQ QB +的最小值；（3）若动点M 在直线l 上方的抛物线上运动，求AMP △的边AP 上的高h 的最大值．二次函数求最短距离参考答案1．如图，已知点A (-4，8)和点B (2，n )在抛物线2y ax =上．(1) 求a 的值及点B 关于x 轴对称点P 的坐标，并在x 轴上找一点Q ，使得AQ +QB 最短，求出点Q的坐标；(2) 平移抛物线2y ax =，记平移后点A 的对应点为A ′，点B 的对应点为B ′，点C (-2，0)和点D (-4，0)是x 轴上的两个定点．① 当抛物线向左平移到某个位置时，A ′C +CB ′ 最短，求此时抛物线的函数解析式；② 当抛物线向左或向右平移时，是否存在某个位置，使四边形A ′B ′CD的周长最短？若存在，求出此时抛物线的函数解析式；若不存在，OACBxy请说明理由．解：(1) 将点A (-4，8)的坐标代入2y ax =，解得12a =．……1分将点B (2，n )的坐标代入212y x =，求得点B 的坐标为(2，2)，则点B 关于x 轴对称点P 的坐标为(2，-2)． ……1分直线AP 的解析式是5433y x =-+．……1分令y =0，得45x =．即所求点Q 的坐标是(45，0)．……1分(2)① 解法1：CQ =︱-2-45︱=145，……1分故将抛物线212y x =向左平移145个单位时，A ′C +CB ′最短，……2分此时抛物线的函数解析式为2114()25y x =+．……1分解法2：设将抛物线212y x =向左平移m 个单位，则平移后A ′，B ′的坐标分别为A ′(-4-m ，8)和B ′(2-m ，2)，点A ′关于x 轴对称点的坐标为A ′′(-4-m ，-8)．直线A ′′B ′的解析式为554333y x m =+-． (1)分要使A ′C +CB ′最短，点C 应在直线A ′′B ′上， ……1分将点C (-2，0)代入直线A ′′B ′的解析式，解得145m =．……1分故将抛物线212y x =向左平移145个单位时A ′C +CB ′最短，此时抛物线的函数解析式为2114()25y x =+．……1分② 左右平移抛物线212y x =，因为线段A ′B ′和CD 的长是定值，所以要使四边形A ′B ′CD 的周长最短，只要使A ′D +CB ′最短； ……1分第一种情况：如果将抛物线向右平移，显然有A ′D +CB ′>AD +CB ，因此不存在某个位置，使四边形A ′B ′CD 的周长最短．……1分第二种情况：设抛物线向左平移了b 个单位，则点A ′和点B ′的坐标分别为A ′(-4-b ，8)和B ′(2-b ，2)．因为CD =2，因此将点B ′向左平移2个单位得B ′′(-b ，2)，要使A ′D +CB ′最短，只要使A ′D +DB ′′最短． ……1分(第1题)4 x2 2A8 -2 O-2 -4 y 6 B CD -44(第1题(1)) 4 x2 2A8 -2 O -2 -4 y 6 BCD -44Q P (第1题(2)①)4 x2 2 A ′8-2 O -2 -4 y 6B ′C D-4 4 A ′′(第1题(2)②)4 x 2 2A ′8-2 O-2 -4 y6B ′CD -4 4 A ′′B ′′点A ′关于x 轴对称点的坐标为A ′′(-4-b ，-8)，直线A ′′B ′′的解析式为55222y x b =++．要使A ′D +DB ′′最短，点D 应在直线A ′′B ′′上，将点D (-4，0)代入直线A ′′B ′′的解析式，解得165b =．故将抛物线向左平移时，存在某个位置，使四边形A ′B ′CD 的周长最短，此时抛物线的函数解析式为2116()25y x =+．……1分2．如图，已知直线112y x =+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线212y x bx c =++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为 (1，0)。

中考总复习专题--最短距离

中考总复习专题最短距离一、最短距离中的解题依据及解题思路：1、考查知识点：两点之间线段最短” 垂线段最短” 点关于直线对称”，。

2、原型：考题较多的是“饮马问题”，出题背景变式有角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。

3、解题总思路：找点关于动点所在直线为对称轴的对称点，实现折”转直” 其中，一个动点折线”转直”通常找一个对称点、两个动点中折线”转直”通常找两个对称点。

最终转化为两点之间的距离。

即建立最短距离数学模型是解题的关键。

二、例题讲解1、在等边三角形ABC中，AB=2，点E是AB的中点，AD是高，在AD上找一点P,使BP+PE 的值最小.则BP+PE的最小值为1、如图正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点.连结BD,由正方形对称性可知，B与D关于直线AC对称.连结ED交AC于P,则PB+PE的最小值为3、一次函数y=kx+b的图象与x、y轴分别交于点A ( 2，0)，B (0，4).(1)求该函数的解析式；(2)0为坐标原点，设OA AB的中点分别为C、D, P为0B上一动点，求PO PD的最小值，并求取得最小值时P点坐标.4、已知O O的直径CD为4,弧AD的度数为60°点B是弧AD的中点，在直径CD上找一点P，使BP+AP的值最小，并求BP+AP的最小值.PO=1Q Q R分别是OA OB上的动点，求△ PQRP是/ AOB内一点,课后练习题1. （2016 •苏州）矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B的坐标为（3, 4），D是OA的中点，点E在AB 上,当厶CDE的周长最小时，点E的坐标为。

yi2.（2015玉林）已知正方形ABCD边长为3,点E在AB边上且BE=1，点P，Q分别是边BC CD的动点（均不与顶点合），当四边形AEPC的周长取最小值时，四边形AEPQ勺面积是________.第2题3、（2016雅安）如图，在矩形ABCD中，AD = 6，AE丄BD，垂足为E，ED = 3BE，1 24.如图，抛物线y= 2X + bx —2与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A( —1, 0).（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标;尸护—芬 2 = 2x2 —3x—2=（要求：画出图形即可）2（x—2）2—¥，二顶点D的坐标为（2，—25）⑵点M是x轴上的一个动点，当厶DCM的周长最小时，求点M的坐标;(3)点N是对称轴上的一个动点,当厶NCA的周长最小时，求点N的坐标;点N是对称轴上的一个动点,当|PC -PB|的值最大时，求点P的坐图（3）图（3）⑷(4)。

浙江省中考数学复习题方法技巧专题十最短距离训练新版浙教版

方法技巧专题(十) 最短距离训练【方法解读】探究平面内最短路径的原理主要有以下两种:一是“垂线段最短”,二是“两点之间,线段最短”.立体图形上的最短路径问题需借助平面展开图转化为平面问题.求平面内折线的最短路径通常用轴对称变换、平移变换或旋转变换等转化为两点之间的线段.1.矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图F10-1,点B的坐标为(3,4),D是OA的中点,点E在AB上,当△CDE的周长最小时,点E的坐标为 ()图F10-1A.(3,1)B.C.D.(3,2)2.[2018·宜宾] 在△ABC中,若O为BC边的中点,则必有:AB2+AC2=2AO2+2BO2成立.依据以上结论,解决如下问题:如图F10-2,在矩形DEFG中,已知DE=4,EF=3,点P在以DE为直径的半圆上运动,则PF2+PG2的最小值为()图F10-2A BC.34D.103.[2017·天津] 如图F10-3,在△ABC中,AB=AC,AD,CE是△ABC的两条中线,P是AD上的一个动点,则下列线段的长等于BP+EP最小值的是()图F10-3A.BCB.CEC.ADD.AC4.[2017·莱芜] 如图F10-4,菱形ABCD的边长为6,∠ABC=120°,M是BC边的一个三等分点,P是对角线AC上的动点,当PB+PM的值最小时,PM的长是()图F10-4A B C D5.[2017·乌鲁木齐] 如图F10-5,点A(a,3),B(b,1)都在双曲线,点C,D分别是x轴、y轴上的动点,则四边形ABCD 周长的最小值为()图F10-5A.B.C.D.6.[2018·泰安] 如图F10-6,☉M的半径为2,圆心M的坐标为(3,4),点P是☉M上的任意一点,PA⊥PB,且PA,PB与x轴分别交于A,B两点,若点A,B关于原点O对称,则AB的最小值为 ()图F10-6A.3B.4C.6D.87.[2018·滨州] 如图F10-7,∠AOB=60°,点P是∠AOB内的定点且若点M,N分别是射线OA,OB上异于点O的动点,则△PMN周长的最小值是()图F10-7A BC.6D.38.[2018·遵义] 如图F10-8,抛物线y=x2+2x-3与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,点P是抛物线对称轴上任意一点,若点D,E,F分别是BC,BP,PC的中点,连结DE,DF,则DE+DF的最小值为.图F10-89.[2018·黑龙江龙东] 如图F10-9,已知正方形ABCD的边长为4,点E是AB边上一动点,连结CE.过点B作BG⊥CE于点G.点P是AB边上另一动点,则PD+PG的最小值为.图F10-910.[2018·广安改编] 如图F10-10,已知抛物线2+bx+c与直线3相交于A,B两点,交x轴于C,D两点,连结AC,BC,已知A(0,3),C(-3,0).(1)求此抛物线的解析式;(2)在抛物线的对称轴l上找一点M,使|MB-MD|的值最大,并求出这个最大值.图F10-1011.[2018·广州] 如图F10-11,在四边形ABCD中,∠B=∠C=90°,AB>CD,AD=AB+CD.(1)利用尺规作∠ADC的平分线DE,交BC于点E,连结AE(保留作图痕迹,不写作法);(2)在(1)的条件下,①证明:AE⊥DE;②若CD=2,AB=4,点M,N分别是AE,AB上的动点,求BM+MN的最小值.图F10-11参考答案1.B[解析] 如图,作点D关于直线AB的对称点H,连结CH与AB的交点为E,此时△CDE的周长最小.∵D A(3,0),∴H可求得直线CH的解析式为4.当x=3时,∴点E的坐标为.故选B.2.D[解析] 取GF的中点O,连结PO,则根据材料可知PF2+PG2=2PO2+2OG2=2PO2+2×22=8+2OP2,若使PF2+PG2的值最小,则必须OP的值最小,所以PO垂直于GF时PO的值最小,此时PO=1,所以PF2+PG2的最小值为10.故选D.3.B[解析] 连结PC.由AB=AC,可得△ABC是等腰三角形,根据“等腰三角形的三线合一性质”可知点B与点C关于直线AD对称,BP=CP,因此BP+EP的最小值为CE.故选B.4.A[解析] 如图,连结BD,DM,BD交AC于点O,DM交AC于点P,则此时PB+PM的值最小.过点D作DF⊥BC于点F,过点M 作ME∥BD交AC于点E.∵∠ABC=120°,∴∠BCD=60°.又∵DC=BC,∴△BCD是等边三角形.∴3.∴MF=CF-CM=3-2=1,∴∵ME∥BD,∴△CEM∽△COB.又∵OB=OD,∵ME∥BD,∴△PEM∽△POD.∴故选A.5.B[解析] ∵点A(a,3),B(b,1)都在双曲线,∴a=1,b=3,∴A(1,3),B(3,1),则作点A关于y轴的对称点A1,作点B关于x轴的对称点B1,连结A1B1,交y轴于点D,交x轴于点C,则A1(-1,3),B1(3,-1),A1B1根据轴对称的性质,四边形ABCD周长的最小值是AB+A1B1=故选B.6.C[解析] 连结OP,∵PA⊥PB,∴∠APB=90°.∵AO=BO,∴AB=2PO.若要使AB取得最小值,则PO需取得最小值,如图,连结OM,交☉M于点P',当点P位于点P'位置时,OP'取得最小值,过点M作MQ⊥x轴于点Q,则OQ=3,MQ=4,∴OM=5.又∵MP'=2,∴OP'=3,∴AB=2OP'=6.故选C.7.D[解析] 如图,分别以OA,OB为对称轴作点P的对称点P1,P2,连结P1P2,OP1,OP2,P1P2分别交射线OA,OB于点M,N,则此时△PMN的周长有最小值,△PMN周长等于=PM+PN+MN=P1M+P2N+MN,根据轴对称的性质可知,OP1=OP2∠P1OP2=120°,∠OP1M=30°,过点O作MN的垂线段,垂足为Q,在△OP1Q中,可知P1所以P1P2=2P1Q=3,故△PMN周长的最小值为3.故选D.8[解析] 因为点D,E,F分别是BC,BP,PC的中点,所以DE,DF是△PBC的中位线,所以,,所以PC+PB),即求PC+PB的最小值.因为B,C为定点,P为对称轴上一动点,点A,B关于对称轴对称,所以连结AC,与对称轴的交点就是点P的位置,PC+PB的最小值等于AC的长度,由抛物线的解析式可得,A(-3,0),C(0,-3),AC=所以PC+PB)9.2[解析] 由问题“PD+PG的最小值”考虑到“最短路径问题”,由于点D为定点,因此考虑作点D关于AB轴对称的点M,如图①,连结PM,GM,则MP=DP.根据两点之间线段最短,当M,P,G三点不在同一条直线上时,PM+PG>MG,即DP+PG>MG;当M,P,G三点在同一条直线上时,PM+PG=MG,即DP+PG=MG,因此,当PD+PG取最小值时,M,P,G三点在同一条直线上,此时DP+PG=MG.进一步得到:当MG取得最小值时,DP+PG随之取得最小值.下面分析MG何时取得最小值.注意到问题与点G有关,点G是△BCG的直角顶点,△BCG的斜边为定值,因此,其斜边的一半也为定值,因此取BC中点N,连结GN,则GN的长为2.连结MN,结合定点M,可知MN也为定值.再分析点G,无论点E怎样变化,点G始终在以N为圆心,NG长为半径的圆上.根据三角形两边之差小于第三边,可知,当点M,G,N不在同一直线上时,MG>MN-GN,进一步可知,当点G在线段MN上时,MG=MN-GN,此时MG最小,最小值为MN-GN.如图②,易知MN的长,进一步可得结果.如图②,作点D关于AB轴对称的点M,取BC中点N,连结MN,交AB于点P,以BC为直径画圆,交MN于点G,则DP=MP,∴DP+PG=MP+PG=MG=MN-GN.作NQ⊥AD于Q,则∴MN-GN=2,∴PD+PG的最小值为2.10.解:(1)∵抛物线2+bx+c经过点A(0,3),C(-3,0),∴抛物线的解析式为23.(2)根据二次函数图象的对称性可知MD=MC,要求|MB-MD|的值最大,就是使|MB-MC|的值最大,由三角形两边之差小于第三边,得当点B,C,M在同一条直线上时,|MB-MD|的值最大.由一次函数和二次函数的图象交于A,B两点,得233,解得x=-4或x=0.当x=-4时,y=1,即点B(-4,1).∵点C(-3,0),∴∴|MB-MD|11.解:(1)如图:(2)①证明:如图,延长DE,AB相交于点F.∵∠ABC=∠C=90°,∴∠ABC+∠C=180°.∴AB∥CD.∴∠CDE=∠F.∵DE平分∠ADC,∴∠ADE=∠CDE.∴∠ADE=∠F.∴AD=AF=AB+BF.又AD=AB+CD,∴AB+BF=AB+CD.∴BF=CD.最新中小学教案、试题、试卷在△CED和△BEF中∴△CED≌△BEF.∴DE=EF.又AD=AF,∴AE⊥DE.②如图,作DH垂直AB于点H,作点N关于AE的对称点N',连结MN',则MN=MN'.∴BM+MN=BM+MN'.由①可得AE平分∠DAB,∴点N'在AD上.∴当点B,M,N'共线且BN'⊥AD时,BM+MN'有最小值,即BM+MN有最小值.在Rt△ADH中,AD=AB+CD=6,AH=AB-BH=2,由勾股定理可得,∵∠DHA=∠BN'A=90°,∠DAH=∠BAN',∴△DAH∽△BAN',∴∴BM+MN。

2019年九年级数学专题复习-最短路径问题

2018年中考数学真题赏析【最短路径问题】1. （2018年黄冈中考数学第13题）如图，圆柱形玻璃杯高为14cm,底面周长为32cm,在杯内壁离杯底5cm的点B 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm与蜂蜜相对的点A 处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为cm （杯壁厚度不计）.【答案】20.【分析】解：如图：将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点A',连接A，则A'B卩为最短距离，A B=y （A + BD2 = 20 （cm）.工休图形与域矩路线间世（一）,,051. （12青岛）如图1.3. 73所示，圆柱形玻璃杯髙为］2cm・底面周长为］在林内离杯底4cm的点G处冇一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外业、离怀上沿4c 蜂蜜相对的点人处，则蚂蚁到达蜂蜜的破短距离为cm.【解析】—如图1.3. 74所示，圆柱形玻璃杯展开（沿点A竖直剖开）后側面足-个氏1女12cm的矩形•作点A关于杯上沿MN的对称点E,连接BC交于点P,连接B 点C作的垂线交剖开线MA 于点D.91.3. 74* Rn 从尸［审.丧虎平变妁域段（力衣丈贱f 上适劫•在直战/上找剝俛碍;上「玉*: ° *ax' AJ ）^AA f //CD.DA f //AC^AA f ^ DA r电斗L ； ‘二美于直战*的叶擁窪』*雄樓？VtT 夸克綫』克于咸比时点 "「即务所卓域矗妁0底所“位置.ffI I / r I n » j i1.11 i I4 ---------- • •二 r IC D "D !图 1. 7, H（2018年贵港中考数学第11题）如图，在菱形ABCD 中，AC=6/2, BD=6, E 是BC 边的中点，P, M 分别是AC, AB 上的动点，连接 PE PM ,贝U PE+PM 的最小值是（）A . 6 B. 3V3 C. 2V6 D . 4.5【答案】C.【分析】解：如图，作点E 关于AC 的对称点E',过点E 作E'吐AB 于点M ，交 AC 于点P ,则点P 、M 即为使PE+PM 取得最小值，其 PE +PM =PE +PM =E M•••四边形ABCD 是菱形，fl如图1, 7. 12所示•常见的轴时称囹号肓口下凡种.图 1. M2•••点E在CD上,■/ AC=6 V, BD=6,• AB=3 V，由S菱形ABCD=1/2AC?BD=AB?E M 得1/2 X 6X 6=3V3?, M 解得：E M=V6即PE+PM的最小值是2V6°87'门？贵穡）如图】-7・4翫示，为©0的玄径是O 上的两点*过人作丄豊］豊；；过"作"D 丄拠于点6F 为DC 上的任意一点•若"NS. 沖则PA + PB 的最小值是【解析】VMN = 20, AQC> 的半羟=10如图 L二［莎叼J 连接 OA6,在 RtAOBD 中 1O0 = lO T BD-6t 「・OD= _直疔=』］沪_护=8 同理，在RtAAOC 中江均=］0,AC = ；・ AOC — y/U^V ~ AC^ = ylo^ — 8- =6 * ACD^B + 6=14,作点E 关TMN 的对称点连接AB\则人厅即为PA + PB 的址小ffi.B D-BD - 氣过点F 作AC 的垂线'交AC 的延长线干点&在 RtAAB'E 中.VAE-AC+C£-8+6=】4 .BX = CO=14 ・:,AB f== v/l^ + U 2 =1472,故答案为：1472-（2018年滨州中考数学第11题）如图，/ AOB=60 ,点P 是/AOB 内的定点且OP=/3,若点M 、N 分别是射线OA 、 OB 上异于点O 的动点，贝U △ PMN 周长的最小值是（）5fiMJ VD P1图 H1.7,5A. 3V6/2B. 3V3/2C. 6D. 3【答案】D.【分析】解：作P点分别关于OA OB的对称点C、D,连接CD分别交OA、OB 于M、N,如图，贝U MP=MC, NP=ND OP=OD=OC= / BOP=/ BOD, / AOP=/ AOC,••• PN+PM+MN=ND+MN+NC=DC/ COD=/ BOP+Z BOD+/ AOP+/ AOC=2/ AOB=120,°•••此时△ PMN周长最小，作OH丄CD于H,贝U CH=DH,••• / OCH=3O,°••• OH=1/2OC= V 3/2CH=V 3OH=3/2••• CD=2CH=3（2018年泰安中考数学第12题）如图，O M的半径为2,圆心M的坐标为（3, 4）,点P是。