极化恒等式的微教案
极化恒等式课件-2025届高三数学一轮复习
磨尖点一 求向量数量积的定值
磨尖点二 求向量数量积的最值（范围）
磨尖点三 求参数及其他问题
磨尖课04 极化恒等式
1
4
1. 极化恒等式： ⋅ = [ +
2
2
− − 2 ].
（1）公式推导：
+
2
+ ሻ2 −
=
2
+ 2 ⋅ +
2 ,
−
2
=
2
− 2 ⋅
（3）记忆规律：向量的数量积等于第三边的中线长与第三边边长的一半的平方差.
磨尖课04 极化恒等式
4
磨尖点一 求向量数量积的定值
磨尖课04 极化恒等式
6
典例1 （2023 ·全国乙卷）正方形的边长是2，是的中点，则 ⋅ =
( B ) .
A. 5
B.3
C.2 5
解析 设的中点为，由极化恒等式可得 ⋅ =
为△ 所在平面内的动点，且 = 1，则 ⋅ 的取值范围是( D ) .
A.[−5,3]
B.[−3,5]
C.[−6,4]
D.[−4,6]
磨尖课04 极化恒等式
11
解析 （法一）依题意建立如图所示的平面直角坐标系，则 0,0 ， 3,0 ， 0,4 ，
磨尖课04 极化恒等式
4sin +
sin2
= 1 − 3cos − 4sin = 1 − 5sin + ，其中tan =
因为−1 ≤ sin + ≤ 1，所以−4 ≤ 1 − 5sin + ≤ 6，
3
，
4
磨尖课04 极化恒等式
13
中学数学极化恒等式教案
专题34 极化恒等式专题知识梳理 1.公式推导在AABC 中，D 是边BC 的中点，则屈.^4C = |AP |2-|D B |?.如图，由类比初中的“完全平方和”与“完全平方差公式S2.几何意义向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线"与“差对角线”平方差的 4 考点探究【例1】如图，在二辺C 中，D 是EC 的中点，E, F 是-Q 上的两个三等分点，RA CA=4,匾徒=一1则庭&的值是 .AB^AC= g （亦列2—岸何一码卜訪—（押卜阿仲『得证.-Z -- 7 =a + 2ab + b-2 -- -2 =a -2ab+ bD【例2】如图，在同一平面内，点/位于两平行直线… 的同侧,且』到皿〃的距离分别为1, 3,点从C分别在皿〃上，用+,迪=5,则•花的最大值是.1 •如图，在平而四边形.133中，0为的中点，且0A = 3. OC=5,若石・动=一7,则荒炭的值是2•在二拐C中，M是边BC的中点JM=3, 5C=10, H AC= _____________ 3 •在二购C中，点E F分别是线段AB. AC的中点,点P在直线EF上,若如C的面积为2,则筋处+必的最小值是・4•在二18C中，已知肋=1, /C=2, rj=60%若点P满足刀＞=篦+肓乙且丽3=1,则实数久的值为___________5•任半径为1的扇形JOB中，二402=60。
，C为弧上的动点,AB与OC交于点P,则於丽的最小值是6 •已知为圆O的直径，M为圆O的弦CD上一动点，AB = S, CD = 6,则加.M A的取值范围是▲7.如图，在四边形ABCD中，|AC| = 4, 8A.BC =\2^ E为AC的中点.1?（1）若cosZABC = —,求AABC 的而积1<2）若旋=2丽，求DA DC的值.8•如图，在AABC中，已知AB = 4,AC = 6,ZB4C = 60。
高中数学《极化恒等式》教学课件
边长关系
利用极化恒等式，可以推导出三角 形边长之间的关系，从而解决一些 与三角形边长相关的问题。
角度关系
通过极化恒等式，可以推导出三角 形角度之间的关系，有助于解决与 角度相关的问题。
在向量中的应用
向量模的平方
向量线性关系
利用极化恒等式，可以表示向量的模 的平方，从而简化向量的运算。
利用极化恒等式，可以推导出向量线 性关系，有助于解决向量线性相关的 问题。
谢谢聆听
极化恒等式的定义
极化恒等式的定义
极化恒等式是高中数学中一个重要的恒等式 ，它表示的是向量内积的运算性质。具体定 义为：对于任意两个向量$mathbf{a}$和 $mathbf{b}$，有$mathbf{a} cdot mathbf{b} = |mathbf{a}| |mathbf{b}| cos theta$，其中$theta$是向量$mathbf{a}$ 和$mathbf{b}$之间的夹角。
mathbf{b} cdot mathbf{b}$。将这两个等 式代入点积的性质中，即可得到极化恒等式
。
极化恒等式的性质
01
极化恒等式的性质1
极化恒等式揭示了向量内积和向量模长之间的关系，它 表明两个向量的内积等于它们模长的乘积乘以它们之间 的夹角的余弦值。
02
极化恒等式的性质2
极化恒等式具有对称性，即交换两个明
极化恒等式的证明方法
01
02
03
代数证明法
通过代数运算和恒等变换 ，逐步推导极化恒等式的 成立。
几何证明法
利用几何图形和空间向量 的性质，通过直观的方式 证明极化恒等式。
归纳法
通过对特殊情况的证明， 逐步归纳出一般情况的证 明方法。
向量极化恒等式
2 EF
AF
2
21
，选
A。
16
4．（2017 年新课标Ⅱ）已知 ABC 是边长为 2 的等边三角形， P 为平面 ABC 内一点，则
PA PB PC 的最小值是
A． 2
B． 3 2
C． 4 3
D． 1
解：记 BC 中点为点 D ， AD 中点为点 E ，则
PA
PB PC
题型二：利用极化恒等式求解两向量不同起点，但可转化为两
同起点向量的数量积问题
例 2．（2016 年江苏）如图，在 ∆ABC 中， D 是边 BC 的中点， E, F 是 AD 上的两个三等
分点， BA CA 4, BF CF 1 ，则 BE CE
。
解：由极化恒等式：
BA
，其中 D 为 BC
4
中点，此时 AB AC 的值只依赖于 AD 的值，向量数量积的问题转化为两点间距离问题，
难度大大降低。
2、两向量不同起点时，考虑转化为同起点两向量数量积。如例 2 中求解 BE ⋅CE ，两
向量同终点不同起点，但经转化后 BE CE EB EC 同起点，亦可利用极化恒等式求解。
1 4
AB
，且对于边
AB
上
任一点 P ，恒有 PB PC P0B P0C 则（
）
A． ABC=90 B． BAC=90 C． AB AC D． AC BC
解：记
AB
中点为点
H
， BC
中点为点
M
，则
PB PC
2 PM
2 BM
，注意到
BM
2
为定
值，即 P 为 P0 时 PM 最小时，故 MP0 AB, CH AB CA CB ，选 D。
2020届二轮复习 极化恒等式问题 学案(全国通用)
专题07 极化恒等式问题极化恒等式这个概念虽在课本上没有涉及，但在处理一类向量数量积时有奇效，备受师生喜爱.1. 极化恒等式：221()()4a b a b a b ⎡⎤⋅=+--⎣⎦r r r r r r2. 极化恒等式三角形模型：在ABC ∆中，D 为BC 的中点，则221||||4AB AC AD BC ⋅=-u u u r u u u r u u u r u u u r3. 极化恒等式平行四边形模型：在平行四边形ABCD 中，221(||||)4AB AD AD BD ⋅=-u u u r u u u r u u u r u u u r类型一 利用极化恒等式求值典例1.如图在三角形ABC 中，D 是BC 的中点，E,F 是AD 上的两个三等分点，4,1,BA CA BF CF ⋅=⋅=-u u u r u u u r u u u r u u u r则BE CE ⋅u u u r u u u r值为______.【答案】78【解析】设2222,,||||94DC a DF b BA CA AD BD b a ==⋅=-=-=u u u r r u u u r r u u u r u u u r u u u r u u u r r r 2222||||1BF CF FD BD b a ⋅=-=-=-u u u r u u u r u u u r u u u r r r解得22513,88b a ==r r22227||||48BE CE ED BD b a ∴⋅=-=-=u u u r u u u r u u u r u u u r r r类型二 利用极化恒等式求最值或范围典例2 在三角形ABC 中，D 为AB 中点，90,4,3C AC BC ︒∠===，E,F 分别为BC,AC 上的动点，且EF=1，则DE DF ⋅u u u r u u u r最小值为______【答案】154【解析】设EF 的中点为M ，连接CM ，则1||2CM =即点M 在如图所示的圆弧上，则222211115||||||||4244DE DF DM EM DM CD ⋅=-=---=u u u r u u u r u u u u r u u u u r u u u u r ≧类型三 利用极化恒等式求参数典例 3 设三角形ABC ，P 0是边AB 上的一定点，满足P 0B=14AB,且对于边AB 上任一点P ，恒有00PB PC P B P C ⋅≥⋅u u u r u u u r u u u r u u u r,则三角形ABC 形状为_______.【答案】C 为顶角的等腰三角形. 【解析】取BC 的中点D ，连接PD,P 0D.00PB PC P B P C ⋅⋅u u u r u u u r u u u r u u u r Q …2222011||||||44PD BC P b BC ∴--u u u r u u u r u u r u u u r r …0||PD P D ∴u u u r r r…0P D AB ∴⊥,设O 为BC 的中点，OC AB AC BC ∴⊥∴=即三角形ABC 为以C 为顶角的等腰三角形.1.已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+u u u r u u u r u u u r的最小值是_____【答案】32-【解析】设BC 的中点为O ，OC 的中点为M,连接OP,PM,222133()22||||2||222PA PB PC PO PA PM AO PM ∴⋅+=⋅=-=-≥-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r当且仅当M 与P 重合时取等号2．直线0ax by c ++=与圆220:16x y +=相交于两点M,N,若222c a b =+，P 为圆O 上任意一点，则PM PN ⋅u u u u r u u u r的取值范围为_______【答案】[6,10]-【解析】圆心O 到直线0ax by c ++=的距离为1d ==设MN 的中点为A ，222||||||15PM PN PA MA PA ⋅=-=-u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r||||||||||OP OA PA OP OA -+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r Q 剟23||5,||15[6,10]PA PM PN PA ∴⋅=-∈-u u u r u u u u r u u u r u u u r 剟3．如图，已知B,D 是直角C两边上的动点，12,||,()6AD BD AD BAD CM CA CB π⊥=∠==+u u u r u u u ur u u u r u u u r1()2CN CD CA =+u u u r u u u r u u u r，则CM CN ⋅u u u u r u u u r 的最大值为______【答案】14)4【解析】设MN 的中点为G ，BD 的中点为H ，21||4CM CN CG ⋅=-u u u u r u u u r u u u r221||||16MN CG =-u u u u r u u u r21111||||||4)22164CG CH HG CM CN⎛+=+⋅+-=+ ⎝u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r Q 剟 所以CM CN ⋅u u u u r u u u r的最大值为14)4+4.如图在同一平面内，点A 位于两平行直线m,n 的同侧，且A 到m,n 的距离分别为1，3，点B,C 分别在m,n上，且||5AB AC +=u u u r u u u r，则AB AC ⋅u u u r u u u r 的最大值为______【答案】214【解析】连接BC ，取BC 的中点D ，则22AB AC AD BD ⋅=-u u u r u u u r ，又15||22AD AB AC =+=u u ur u u u r故2225251444AB AC BD BC ⋅=-=-u u u r u u u r又因为min 312BC =-=所以21()4max AB AC ⋅=u u u r u u u r5.在半径为1的扇形AOB 中，60AOB ︒∠=,C 为弧上的动点，AB 与OC 交于点P ，则OP BP ⋅u u u r u u u r的最小值为_____【答案】41-【解析】取OB 的中点D ，连接PD ，则22214OP BP PD OD PD ⋅=-=-u u u r u u u r于是只要求求PD 的最小值即可，由图可知，当PD AB ⊥时， min PD =即所求最小值为41-6.已知线段AB 的长为2，动点C 满足CA CB λ⋅=u u u r u u u r （λ为常数），且点C 总不在以点B 为圆心，12为半径的圆内，则负数λ的最大值为______ 【答案】43-【解析】如图取AB 的中点为D ，连接CD,则21CA CB CD λ⋅=-=u u u r u u u r10CD λ=-<„又由点C 总不在以点B 为圆心，12为半径的圆内，12，则负数λ的最大值为43-7.已知A(0,1)，曲线4:log C y x =横过点B ，若P 是曲线C 上的动点，且AB AP ⋅u u u r u u u r的最小值为2，则α=______【答案】e 【解析】如图，B （1，0），则AB =，连接BP ，取BP 的中点C ，连接AC,因为AB AP ⋅u u u r u u u r 的最小值为2，则有()2222max2AC BCAB -===上式等价于222AB BC AC +„，即90ABP ︒∠…当且仅当P 与B 重合时取等号，此时曲线C 在B 处的切线斜率等于1，即11n ,e l a α==8.若平面向量,a b r r 满足|2|3a b -≤rr ，则a b ⋅r r 的最小值为_____【答案】98-【解析】222222(2)(2)|2||2|0398888a b a b a b a b a b +--+---⋅==≥=-r r r r r r当且仅当|2|0,|2|3a b a b +=-=r rr r ，即33||,||,,42a b a b π==<>=r r r 时a b ⋅r r 取最小值98-9.在正方形ABCD 中，AB=1，A,D 分别在x,y 轴的非负半轴上滑动，则OC OB ⋅u u u r u u u r的最大值为_____【答案】2 【解析】如图取BC 的中点E ，取AD 的中点F ，222224()()(2)(2)41OC OB OC OB OC OB OE BE OE ⋅=+--=-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r所以214OC OB OE ⋅=-u u u r u u u r u u u r而113|||||||||||1222OE OF FE AD FE ≤+=+=+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，当且仅当,OF AD OA OD ⊥=时取等号，所以OC OB ⋅u u u r u u u r的最大值为210.已知正方形ABCD 的边长为2，点E 为AB 的中点，以A 为圆心,AE 为半径作弧交AD 于F ，若P 为劣弧EF 上的动点，则PC PD ⋅u u u r u u u r的最小值为______【答案】5-【解析】如图取CD 的中点M.222224()()(2)(2)44PC PD PC PD PC PD PM DM PM ⋅=+--=-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u u r u u u u r所以21PC PD PM ⋅=-u u u r u u u r u u u u r而||1||||||PM PM AP AE +=+≥=u u u u r u u u u r u u u r u u u r，当且仅当P,Q 重合时等号成立所以PC PD ⋅u u u r u u u r的最小值为21)15--=-11.正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为2，MN 是它的内切球的一条弦，P 为正方体表面上的动点，当弦MN 的长度最大时，求PM PN ⋅u u u u r u u u r的范围.【答案】[0,2]【解析】如图当弦MN 的长度最大时，为内切球的直径，此时O 为MN 的中点，222224()()(2)(2)44PM PN PM PN PM PN PO OM PO ⋅=+--=-=-u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r所以21PM PN PO ⋅=-u u u u r u u u r u u u r而1||PO ≤≤u u u rPM PN ⋅u u u u r u u u r 的范围为[0,2]。
极化恒等式-教师版
极化恒等式知识精讲：1.极化恒等式:a ⃗ ⋅b ⃗ =14[(a ⃗ +b ⃗ )2−(a ⃗ −b⃗ )2] 2.极化恒等式的几何意义是：设点M 是△ABC 边的中点，则AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2−14|BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=AM 2−BM 2，即：向量的数量积可转化为中线长与半底边长的平方差．1.已知A 为椭圆x 29+y 25=1上的动点，MN 为圆(x −1)2+y 2=1的一条直径，则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为________.备注：极化恒等式的典型应用BC2. （三星）（2017全国2理）已知ΔABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ )的最小值是（ ）A.−2B.−32 C. −43 D.−1 解：方法一：建系法连接OP ，OA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√3)，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0)，OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0). PC ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2PO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴PO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−x,−y )⋅(−x,√3−y) ∴PO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 2+y 2−√3y =x 2+(y −√32)2−34 ∴PO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ≥−34，∴ PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(PC ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=2PO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ≥−32 ∴最小值为−32方法二：均值法∵PC ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2PO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴ PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(PC ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=2PO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 由上图可知：OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −PO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ；两边平方可得3=(PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2+(PO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2−2PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∵ (PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2+(PO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2≥−2PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴ 2PO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ≥−32∴ PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(PC ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=2PO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ≥−32，∴最小值为−32 解法三：配凑法 ∵PC ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2PO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∴PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(PC ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=2PO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(PO⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2−(PO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )22=(PO⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2−(AO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )22≥−32∴最小值为−323．在∆ABC 中，BC 边上的中线AD 的长为2，点P 是∆ABC 所在平面上的任意一点，则PA PB PA PC ⋅+⋅的最小值为 A ．1B ．2C ．-2D ．-1【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，使得点D 在原点处，点A 在y 轴上，则A (0,2)．设点P 的坐标为x y (,)，则(,2),(,)PA x y PO x y =−−=−−， 故()22(2)PA PB PA PC PA PB PC PA PO x y y ⋅+⋅=⋅+=⋅=+−22=+−−≥−x y 2[(1)]2222，当且仅当==x y 0,1时等号成立．所以PA PB PA PC ⋅+⋅的最小值为−2．选C ．4. （武汉二中高二）已知圆M:x 2+(y −1)2=1, 圆N:x 2+(y +1)2=1, 直线l 1、l 2分别过圆心M ,且l 1与圆M 相交于A 、B , l 2与圆N 相交于C 、D , P 是椭圆x 23+y 24=1上的任意一动点, 则PA → ⋅PB → +PC → ⋅PD →的最小值为______________.6 备注：用到极化恒等式5．在平面四边形ABCD 中，===AB BC CD 22，∠ABC =60∘,∠ADC =90∘，若BE →=EF →=FG →=GC →，则2AE →∙DC →+AE →∙AF →=_____；若P 为边BC 上一动点，当PA →∙PC →取最小值时，则cos ∠PDC 的值为_____．解：∵平面四边形ABCD 中，===AB BC CD 22，∠ABC =60∘,∠ADC =90∘，∴△ABC 是边长为2的等边三角， 在Rt △ADC 中，AC =2,CD =1，所以∠ACD =60∘，又BE →=EF →=FG →=GC →， ∴E,F,G 是BC 边的四等分点．如图建立坐标系：则：A(0,√3),B (−1,0),C (1,0)， D (32,√32),E (−12,0),F (0,0),G (12,0)， 所以2AE →DC →+AE →AF →=2(−12,−√3)(−12,−√32)+(−12,−√3)(0,−√3)=132，再设P (x,0)，则−1≤x ≤1，∴PA →PC →=(−x,√3)(1−x,0)=x 2−x =(x −12)2−14，显然x =12时，PA →PC →最小，此时P (12，0)，∴cos ∠PDC =cos ⟨DP →，DC →⟩=(−1，−√3)⋅(−1，−√3)(−1)+(−√32)(−12)+(−√32)=5√714．故答案为：132，5√714．6．在△OAB 中，OA =OB =2，AB =2√3，动点P 位于直线OA 上，当PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 取得最小值时，向量PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角余弦值为（ ）A ．−3√77B ．7C ．−√217D ．√213【详解】∵|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=(OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2=OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2−2OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，即8−2OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12，∴OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−2， 设OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λOA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (0≤λ≤1)，PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−λ)OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −λOA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以，PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−λ)OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −λOA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=(1−λ)OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +λ(λ−1)OA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2 =−2(1−λ)+4λ(λ−1)=4λ2−2λ−2=(2λ−12)2−94，当λ=14时，PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 取得最小值−94，此时|PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=34|OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=32， |PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −14OA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=116OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2−12OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =116×22+22−12×(−2)=214，所以，|PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√212，则cos <PA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=PA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |PA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=−9432×√212=−√217. 故选：C.7. （三星）在锐角∆ABC 中已知B= 3，|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2,则AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是__________.解：法一：极化恒等式；法二：以B 为原点，BA 所在直线为x 轴建立坐标系，因为设A（x ，0）因为△ABC 是锐角三角形，所以A+C=120°，∴30°＜A ＜90°，即A 在如图的线段DE 上（不与D ，E 重合），所以1＜x ＜4，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =x 2﹣x=（x ﹣12）2﹣14，所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的范围为（0，12）．方法2∵∠B=π3， △ABC 是锐角三角形，所以A+C=120°，∴30°＜A ＜90°=a=2由正弦定理可得()−==A B a b csin 120sinA sin 0∴=b ,=−Ac A sin 2sin 1200)( ∴120cos cos AB AC c b A A ===+=+⎝⎭−AA Asin tan 32202)(∵∈tanA0,3)( ∴(0,12AB AC ∈)8.在△ABC 中，AC ＝2BC ＝4，∠ACB 为钝角，M ，N 是边AB 上的两个动点，且MN ＝1，若CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为34，则cos ∠ACB ＝ ． 【答案】1−3√58【解析】取MN 的中点P ，则由极化恒等式得CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =|CP ⃗⃗⃗⃗⃗ |2−14|MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=|CP ⃗⃗⃗⃗⃗ |2−14∵CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为34∴|CP ⃗⃗⃗⃗⃗ |min 由平几知识知：当CP ⊥AB 时，CP 最小. 如图，作CH ⊥AB ，H 为垂足，则CH=1 又AC ＝2BC ＝4，所以∠B ＝30o ，sinA=14 所以cos ∠ACB ＝cos （150o －A ）=1−3√58.9.如图所示，矩形ABCD 的边AB=4，AD=2，以点C 为圆心，CB 为半径的圆与CD 交于点E ，若点P 是圆弧EB ̂ (含端点B 、E)上的一点，则PA → ·PB → 的取值范围是 .H【解析】取AB 的中点设为O ，则， 当O 、P 、C 共线时， PO 取得最小值为PO =2√2−2；当P 与B （或E ）重合时，PO 取得最大值为PO=2， 所以的取值范围是.10.如图，是边长为P 是以C 为圆心，1为半径的圆上的任意一点，则AP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∙BP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 最小值是_____.－111.（三星）如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E,F 是AD 上的两个三等分点，BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =4,BF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =−1,则BE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CE ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值是________.备注：极化恒等式的典型应用2221=4PA PB PO AB PO ⋅−=−4PA PB ⋅−[8∆ABC CA BP12.若平面向量a ，b 满足|2a －b|≤3，则a·b 的最小值为________.【解析】根据极化恒等式得：8a ⋅b =(2a +b)2−(2a −b)2=(2a +b)2−9≥−9，故a ⋅b ≥−98，所以a ⋅b 的最小值为−98．13.已知平面向量a ，b ，e 满足|e|＝1，a·e ＝1，b·e ＝－2，|a ＋b|＝2，那么a·b 的最大值为________． 解： 由a·e ＝1，b·e ＝－2得: a·e －b·e ＝3，即（a －b ）·e ＝3，|a －b|cos θ＝3a·b=14[|a ＋b|2－|a －b|2]≤－5414.在中，已知，，则面积的最大值是 ．解：取BC 的中点为D ，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD 2−BC24，所以AD =√2因为BC 边上的高线长不大于中线长，当中线就是高线时，面积最大，故．15.已知平面向量a ⃗ ,b ⃗ ,c ⃗ 满足|a ⃗ |=1，a ⃗ ⋅b ⃗ =12，a ⃗ ⋅c ⃗ =2，|2b ⃗ −c ⃗ |=2，那么b⃗ ⋅c ⃗ 的最小值为________． 【解析】由a ⃗ ⋅b ⃗ =12，a ⃗ ⋅c ⃗ =2得2a ⃗ ⋅b ⃗ +a ⃗ ⋅c ⃗ =3，即a ⃗ ⋅(2b ⃗ +c ⃗ )=3 又a ⃗ ⋅(2b ⃗ +c ⃗ )=|a ⃗ ||2b ⃗ +c ⃗ |cos θ（其中θ为向量a ⃗ 与2b ⃗ +c ⃗ 的夹角） 所以|2b⃗ +c ⃗ |=3cos θ所以b⃗ ⋅c ⃗ =18[(2b ⃗ +c ⃗ )2−(2b ⃗ −c ⃗ )2]=18(9cos 2θ−4)≥58.∆ABC =BC 21AB AC •=∆ABC ∆ABC16.已知锐角的外接圆的半径为1， ，则的取值范围为__________．17.已知正三角形ABC 内接于半径为2的圆O ，点P 是圆O 上的一个动点，则PA → ⋅PB →的取值范围是_____.[－2,6]18.在ΔABC 中，AB =3,AC =4,∠BAC =60°，若P 是ΔABC 所在平面内的一点，且AP =2，则PB → ⋅PC →的最大值为_____.10+2√3719.已知点P 是边长为2√3的正三角形ABC 内切圆上的一点，则PA → ⋅PB →的取值范围为_____.[−3,6]20.已知正方形ABCD 的边长为1，中心为O ，直线l 经过中心O ，交AB 于点M ，交CD 于点N ，P 为平面上一点，若2OP → ＝λOB → ＋(1－λ)OC → ，则PM → ·PN →的最小值为__________.−71621.设点P 为正三角形△ABC 的边BC 上的一个动点，当PA → ·PC →取得最小值时，sin ∠PAC 的值为________．√392622.在平面直角坐标系xOy 中，点A ，B 分别在x 轴，y 轴正半轴上移动，AB ＝2，若点P 满足PA → ·PB →＝2，则OP 的取值范围为________．[√3−1,√3+1]23.在△ABC 中，E ，F 分别是线段AB ，AC 的中点，点P 在直线EF 上，若△ABC 的面积为2，则PB → ·PC →＋BC →2的最小值是__________．4√3∆ABC ∠=πB 6BA BC⋅⎝ ⎛23,3。
极化恒等式教学设计
极化恒等式教学设计一．知识方法总结1. 一个向量关系式：a ⃗∙b ⃗⃗=14[(a ⃗+b ⃗⃗)2−(a ⃗−b ⃗⃗)2]2. 三角形模型：在△ABC 中，D 是BC 边的中点，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗∙AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2−14BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2=AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2−BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗2=AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2−CD⃗⃗⃗⃗⃗⃗2, 即三角形同顶点的两边所在向量的数量积可转化为第三边的中线长与其半底边长的平方差.3. 四边形模型：在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗∙AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=14(AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2−BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗2).总结：遇到共起点的两向量的数量积问题，常取第三边的中点，从而运用极化恒等式加以解决.二、例题及习题1.已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗∙(PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+PC⃗⃗⃗⃗⃗⃗)的最小值是（ B ）A. -2B.−32C.−43 D.-12.在三角形ABC 中，已知∠C=90°，AC=4,BC=3,D 是AB 的中点，E,F 分别是BC,AC 上的动点，且EF=1，则DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗∙DF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗的最小值为（ B ）A.√54 B.154 C.174 D.√1744. 设△ABC ，P 0是边AB 上的一个定点，满足P 0B =14AB ，且对于边AB 上任一点P ，恒有 PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗∙PC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗≥P 0B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗∙P 0C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗，则（ D ）A. ∠ABC=90°B.AB=ACC.∠BAC=90°D.AC =BC5. 直线ax +by +c =0与圆O:x 2+y 2=16相交于两点M,N ，若c 2=a 2+b 2，P 为圆O 上任意一点，则PM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗∙PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗的取值范围是_[-6,10]______.6.半径为2的圆O 上有三点A ，B ，C ，满足++0OA AB AC =，点P 是圆内一点，则++PA PO PB PC ⋅的取值范围是（ A ）A . [)4,14-B . (]4,14-C . [)4,4-D . (]4,4-7.在△ABC 中，AC ＝2BC ＝4，∠AC B 为钝角，M ，N 是边AB 上的两个动点，且MN ＝1，若CM CN ⋅的最小值为34，则cos ∠ACB ＝．8.已知直角三角形ABC 中，90A ∠=︒，AB =2，AC =4，点P 在以A 为圆心且与边BC 相切的圆上，则PB PC ⋅的最大值为（ D ） A．165+ B．165+ C ．165 D ．5659. 在平面直角坐标系xOy 中，点A ，B 分别在x 轴，y 轴正半轴上移动，AB ＝2，若点P 满足P A → ·PB → ＝2，则OP 的取值范围为________．10. 设点P 为正三角形△ABC 的边BC 上的一个动点，当P A → ·PC → 取得最小值时，sin ∠P AC的值为________．11. 已知平面向量,a b c ,满足1a =，12a b ⋅=，2a c ⋅=，22b c -=，那么b c ⋅的最小值为________．12.在中，已知，，则面积的最大值是 ． ABC ∆2BC =1AB AC •=ABC ∆。
极化恒等式(学生版)
课题：极化恒等式在向量问题中的应用学习目标目标1：通过自主学习掌握极化恒等式两种模式，理解其几何意义； 目标2-1：通过对例1的自主学习掌握用极化恒等式求数量积的值； 目标2-2：通过对例2的自主学习掌握用极化恒等式求数量积的最值、范围； 目标2-3：通过小组合作学习掌握极化恒等式解决与数量积有关的综合问题。
重点掌握极化恒等式，利用它解决一类与数量积有关的向量问题 难点 根据具体的问题情境，灵活运用极化恒等式目标达成途径学习自我评价阅读以下材料： .两倍等于两条邻边平方和的平方和平行四边形的对角线的你能用向量方法证明：何模型。
示向量加法和减法的几引例：平行四边形是表,,b AD a AB ==证明：不妨设，，则b a DB b a A -=+=C ()222222C C b b a a b a A A +⋅+=+== （1）()222222b b a a b a DB DB +⋅-=-== （2）（1）（2）两式相加得：⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+22222222C AD AB b a DB A 结论：平行四边形对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍.思考1：如果将上面（1）（2）两式相减，能得到什么结论呢？b a ⋅＝()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+2241b a b a ————极化恒等式 对于上述恒等式，用向量运算显然容易证明。
那么基于上面的引例，你觉得极化恒等式的几何意义是什么？几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的41. 即：[]2241DB AC b a -=⋅（平行四边形模式） 目标1：阅读材料，了解极化恒等式的由来过程，掌握极化恒等式 的两种模式，并理解其几何意义 M图1思考：在图1的三角形ABD 中（M 为BD 的中点），此恒等式如何表示呢？因为AM AC 2=，所以2241DB AMb a -=⋅（三角形模式） 例1.(2012年浙江文15)在ABC ∆中，M 是BC 的中点，3,10AM BC ==，则AB AC ⋅=____ .解：因为M 是BC 的中点，由极化恒等式得： 2241BC AM AC AB -=⋅=9-10041⨯= -16 【小结】在运用极化恒等式的三角形模式时，关键在于取第三边的中点，找到三角形的中线，再写出极化恒等式。
极化恒等式的微教案
微教案高一学段 向量知识极化恒等式一、教学目标⒈ 知识目标：掌握极化恒等式两种模式，理解其几何意义．掌握用极化恒等式求数量积的值、最值、范围；2．能力目标：培养学生的观察、分析问题的能力，逐步培养探索问题的精神，善于思考的习惯．3．情感目标：通过创造情境激发学生学习数学的兴趣和热情 二、重点难点1．教学重点：掌握极化恒等式，利用它解决一类与数量积有关的向量问题 2．教学难点：根据具体的问题情境，灵活运用极化恒等式． 三、教学方法与手段1．教学方法：启发式教学法． 2．教学手段：多媒体，动画制作． 四、教学过程 1.情景引入微实验：(利用几何画板)平行四边形PMNQ ，O 是对角线交点，改变四边形形状，观察PM PN ⋅的变化实验结果：PQ 、NM变化时，PM PN ⋅ 也会变化1()点P 、MPM ∙PN =–2.75实验结果：PQ、NM 不变，PM PN ⋅ 也不变2.猜想证明：猜想：PM PN⋅ 只与PQ 、NM有关3.推理证明PQ PM PN =+(1)NM PM PN =-(2)()()2212-得()()()()2222PQ NMPM PN PM PN -=+--即：()()224PQ NM PM PN -=⋅()()22144PM PN PQ NM ⎡⎤∴⋅=-⎢⎥⎣⎦4.总结探索极化恒等式的平形四边形模式：()()2214PM PN PM PN PM PN ⎡⎤⋅=+--⎢⎥⎣⎦三角形模式：()()22124PM PN PO NM ⎡⎤⋅=-⎢⎥⎣⎦通过刚才的微实验可以明确极化恒等式的几何意义：（1）向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对2() 运动点P 、M PM ∙PN =6.11QP角线”平方差的14。
（2）△PMN 中，PM PN ⋅可由中线PO 长与边NM 长表示明确极化恒等式的两种形式。
5.范例分析例1：如图△,3,4ABC BC AB AC =⋅=，求BC 边上的中线AM 的长。
极化恒等式学案
课题：《极化恒等式》导学案向量是高中数学一个非常重要的内容，它集数、形于一身，既有代数的抽象性，又有几何的直观性，是形象思维与抽象思维的有机结合。
很多以向量为背景的考题通常以向量的线性运算以及数量积的运算为载体，综合考查学生的运算求解能力，推理论证能力。
[(a⃗+b⃗)2−(a⃗–b⃗)2]一：极化恒等式：a⃗∙b⃗=14注：极化恒等式就是解决有关向量数量积问题的一种简洁有效的方法。
1. 平形四边形模型：在平形四边ABCD中：2.三角形模型注：极化恒等式可以把向量的数量积运算转化为平面几何中长度关系运算二：课堂练习1. 已知点P 在圆221x y +=上，点A 的坐标为()2,0-，O 为原点，则AO AP ⋅u u u r u u u r的最大值为_____；2. 在平面四边形ABCD 中，O 为BD 的中点，且3,5OA OC ==,若7AB AD ⋅=-u u u r u u u r, 则BC DC ⋅u u u r u u u r的值是_______；3. 正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，P 是正方体内任意一点，MN 是它的内切球直径，则PM PN ⋅u u u u r u u u r的最大值为_________.附：参考答案1.【解】设PO 中点为M ，则22214AO AP AM MO AM ⋅=-=-u u u r u u u r u u u u r u u u u r u u u u r 251624⎛⎫≤-= ⎪⎝⎭2.【解】22297AB AD AO OB OB ⋅=-=-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以216OB =u u u r ， 即2225169BC DC CO OB ⋅=-=-=u u u r u u u r u u u r u u u r 3.【解】2221312PM PN PO OM PO ⋅=-=-≤-=u u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r三：课后检测1. 如图，边长为1的正方形ABCD ,点,A D 分别在x 轴，y 轴正半轴上运动，OC OB ⋅u u u r u u u r的最大值为__________；2. 在锐角ABC ∆中，已知3B π∠=,2AB AC -=u u u r u u u r,则AB AC ⋅u u u r u u u r 的取值范围是_______；3. 已知正三角形ABC 内接于半径为2的圆O ，E 为线段BC 上一动点，延长AE 交圆O于点F ，则FA FB ⋅u u u r u u u r的取值范围是_______；4.（2013浙江）设ABC ∆,0P 是边AB 上一定点，满足014P B AB =,且对于边AB 上任一 点P , 恒有00PB PC P B PC ⋅≥⋅u u u r u u u r u u u r u u u r,则A. 090ABC ∠=B. 090BAC ∠=C.AB AC =D.AC BC = 附：参考答案1.【解析】取,BC AD 的中点分别是,M N ，则22214OB OC OM MB OM ⋅=-=-u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r ，设()(),0,0,A a D d ，()22OM OA AB BM =++u u u u r u u u r u u u r u u u u r22222OA AB BM OA AB OA BM=+++⋅+⋅u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r()211121cos 2cos 422a a OAD a OAD ππ⎛⎫=+++⨯⨯-∠+⨯-∠ ⎪⎝⎭22225592444a ad a a d =++-≤++=，所以OB OC ⋅u u u r u u u r的最大值为2.2.【解析】法一（余弦定理）因为222224cos 22b c a b c AB AC bc A +-+-⋅===u u u r u u u r ，2221422242b c c c c =+-⨯⋅=-+，所以221124AB AC c c c ⎛⎫⋅=-=-- ⎪⎝⎭u u u r u u u r ， 锐角三角形ABC 中，3B π∠=，点A 在线段MN 上，因为2BC =,所以1BM =，4BN =，14c <<，()0,12AB AC ⋅∈u u u r u u u r.法二（极化恒等式）取BC 中点为P ，则21AB AC AP ⋅=-u u u r u u u r u u u r ，因为MP AP NP <<，1MP =，(22211313NP NC =+=+=，()0,12AB AC ⋅∈u u u r u u u r3.【解析】法一（基底法）取AB 中点为M ，()()FA FB OA OF OB OF ⋅=-⋅-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r2OA OB OA OF OF OB OF =⋅-⋅-⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 122242OF OM ⎛⎫=⨯⨯--⋅+ ⎪⎝⎭u u ur u u u u r2221cos 24cos MOF MOF =-⨯⨯∠=-∠，因为MOB MOF MOC ∠<∠<∠， 即,3MOF ππ⎡⎤∠∈⎢⎥⎣⎦，所以1cos 1,2MOF ⎡⎤∠∈-⎢⎥⎣⎦，即[]0,6FA FB ⋅∈u u u r u u u r .法二（极化恒等式）取AB 中点为M ，由题意23AB =，则23FA FB FM ⋅=-u u u r u u u r u u u u r ，因为MB FM MC ≤≤，3MB =3MC =， []0,6FA FB ⋅∈u u u r u u u r.4. 【解析】法一（坐标法）设AB ＝4，以AB 所在直线为x 轴，线段AB 的中垂线为y 轴，则()2,0A -，()2,0B ,则()01,0P ,设()(),,,0C a b P x ， 所以()()2,0,,PB x PC a x b =-=-u u u r u u u r ，所以()()001,0,1,P B PC a b ==-u u u r u u u r. 则00PB PC P B PC ⋅≥⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ,即()()21x a x a --≥-恒成立， ∴Δ＝(2＋a )2－4(a ＋1)＝a 2≤0恒成立．∴a ＝0. 即点C 在线段AB 的中垂线上，∴AC ＝BC .选D. 法二（极化恒等式）BC D 取中点2220020PB P P D DBP D D C B BP P C ⎧--⋅=⎪⎨⎪⋅=⎩u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r r u u 所以0||||PD P D ≥u u u r u u u u r 所以恒成立0DPAB ⊥必有， 所以AC ＝BC .选D.。
极化恒等式(学生版)
课题：极化恒等式正在背量问题中的应用之阳早格格创做教习目标目标1：通过自决教习掌握极化恒等式二种模式，明白其几许意思； 目标2-1：通过对付例1的自决教习掌握用极化恒等式供数量积的值； 目标2-2：通过对付例2的自决教习掌握用极化恒等式供数量积的最值、范畴； 目标2-3：通过小拉拢做教习掌握极化恒等式办理与数量积有闭的概括问题. 沉面掌握极化恒等式，利用它办理一类与数量积有闭的背量问题 易面 根据简直的问题情境，机动使用极化恒等式目标完毕道路教习自尔评介阅读以下资料： .两倍等于两条邻边平方和的平方和平行四边形的对角线的你能用向量方法证明：何模型。
示向量加法和减法的几引例：平行四边形是表,,b AD a AB ==证明：不妨设，，则b a DB b a A -=+=C ()222222C C b b a a b a A A +⋅+=+== （1）()222222b b a a b a DB DB +⋅-=-== （2）（1）（2）二式相加得：⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+22222222C AD AB b a DB A 论断：仄止四边形对付角线的仄圆战等于二条邻边仄圆战的二倍.思索1：如果将上头（1）（2）二式相减，能得到什么论断呢？b a ⋅＝()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+2241b a b a ————极化恒等式 对付于上述恒等式，用背量运算隐然简单说明.那么鉴于上头的引例，您感触极化恒等式的几许意思是什么？几许意思：背量的数量积不妨表示为以那组背量为邻边的仄止四边形的“战对付角线”与“好对付角线”仄圆好的41. 即：[]2241DB AC b a -=⋅（仄止四边形模式）思索：正在图1的三角形ABD 中（M 为BD 的中面），此恒等式怎么样表示呢？ 果为AM AC 2=，所以2241DB AM b a -=⋅（三角形模式） 目标1：阅读资料，相识极化恒等式的由去历程，掌握极化恒等式 的二种模式，并明白其几许意思 M图1例1.(2012年浙江文15)正在ABC ∆中，M 是BC 的中面，3,10AM BC ==，则AB AC ⋅=____.解：果为M 是BC 的中面，由极化恒等式得： 2241BC AM AC AB -=⋅=9-10041⨯= -16 【小结】正在使用极化恒等式的三角形模式时，闭键正在于与第三边的中面，找到三角形的中线，再写出极化恒等式.目标检测.______1)132012(的值为边上的动点，则是点，的边长为已知正方形改编北京文DA DE AB E ABCD ⋅.________O O 2.2的取值范围是则上的一个动点，是圆，点的圆内接于半径为（自编）已知正三角形例PB PA P ABC ⋅解：与AB 的中面D ，连结CD,果为三角形ABC 为正三角形，所以O 为三角形ABC 的沉心，O 正在CD 上，且22==OD OC ，所以3=CD ，32=AB（也可用正弦定理供AB ）又由极化恒等式得：341222-=-=⋅PD AB PD PB PA 果为P 正在圆O 上，所以当P 正在面C 处时，3||max =PD当P 正在CO 的延少线与圆O 的接面处时，1||min =PD所以]6,2[-∈⋅PB PA【小结】波及数量积的范畴或者最值时，不妨利用极化恒等式将多变量转化成单变量，再用数形分离等要领供出单变量的范畴、最值即可.目标检测8.6.3.2.)(134)112010(22D C B A FP OP P y x F O 的最大值为则为椭圆上的任意一点，的中心和左焦点，点分别为椭圆和点若点福建文⋅=+问题、疑惑、错解搜集本领提高目标2-1：掌握用极化恒等式供数量积的值AB CM 目标2-2：掌握用极化恒等式供数量积的最值、范畴例3.（2013浙江理7）正在ABC ∆中,0P 是边AB 上一定面，谦脚014P B AB =，且对付于边AB 上任一面P ，恒有00PB PC P B PC ⋅≥⋅.则( )A. 90ABC ∠=B. 90BAC ∠=C. AB AC =D.AC BC =目标检测22.2.2.1.)(,0)()(2,)92008(D C B A c c b c a c b a 的最大值是则满足，若向量个互相垂直的单位向量是平面内已知浙江理=-⋅- 问题、疑惑搜集知识、要领归纳原课的主要教习实质是什么？极化恒等式：仄止四边形模型：三角形模型：极化恒等式正在处理与_________________有闭问题时，隐得较有劣良性.课后检测ABC ∆中，60BAC ∠=若2AB =，3BC =，D 正在线段AC 上疏通，DA DB ⋅的最小值 为AB 是圆O 的直径,AB 少为2,C 是圆O 上同于,A B 的一面,P 是圆O 地圆仄里上任性一面,则()PA PB PC +⋅的最小值为（ ）A. 14-B. 13-C. 12- D.1- 3．正在ABC ∆中，3AB =，4AC =，60BAC ∠=，假如P ABC ∆地圆仄里内一面，且2AP =，目标2-3：会用极化恒等式办理与数量积有闭的概括问题AC。
“问题链”让高三复习引申课大放异彩----《极化恒等式》案例
“问题链”让高三复习引申课大放异彩----《极化恒等式》案例发布时间：2021-08-03T15:55:03.207Z 来源：《教学与研究》2021年55卷10期作者：朱英萍[导读] 如何让复习课脱离死板的教学，成为高效课堂朱英萍浙江省东阳中学，浙江省东阳322100内容摘要：如何让复习课脱离死板的教学，成为高效课堂？笔者尝试“问题链”教学这一新型的以学生为主体、教师为主导的教学模式，教师通过设计一问接一问、一环套一环的高质量“问题链”，适时地引领，学生在“问题链”的驱动下，就能自觉主动、积极互动地投入学习，从而形成课堂中激情有效的思维碰撞，让复习课大放异彩！下面以《极化恒等式》教学为例，通过“问题链教学”，引导学生对书本例题进行探究式复习，挖掘向量数量积与线性运算的内在联系，继本身的定义和几何意义之外，从又一个新的角度认识和解决向量的数量积问题。
我将整堂课的问题链大致分成了三个阶段进行串联：阶段一：起点性问题探索入口浅，学生很快可以做出解答：运用模平方运算展开，代入已知量即得。
问题2：从向量的几何意义出发如何解释已知量和所求量？生：已知平行四边形邻边和夹角(以数量积给出），求对角线长。
问题3：回顾问题1的解答，是否可对题中的5个量中选三个作为条件，知三求二？在肯定学生的做法后进一步提出：问题4：可否由（1）式(2)式直接得到所求量与已知量的关系？利用此等式代入已知的三个量即可求得第四个量。
问题5：结合向量加减法的几何模型平行四边形，能否对此恒等式进行几何解释？学生得出：平行四边形两条对角线长的平方和等于它四边长度的平方和（两条邻边平方和的两倍）。
从而自然顺畅地推得必修4书本P109例1的结论。
阶段二：自然生成公式问题探索问题1：上述恒等式是通过对两个式子相加得到的，那么类比迁移，两个式子相减又可得到什么恒等式呢？问题2：这个恒等式从代数运算的角度看对解决数量积问题有什么作用？在肯定学生的回答后点出这个式子的亮点：可作为数量积的又一定义，与线性运算紧密地联系起来了，充分体现了转化与化归思想。
微专题06——极化恒等式及其应用(学生版)
讲义：微专题06——极化恒等式及其应用班级：__________________姓名：___________________随着高考对平面向量问题的研究的不断深入，极化恒等式在解决平面向量问题上取得一些进展，随着应用的推进，一些诸如“动点”、“多动动”、“曲线”、“运动动态”、“极限状态”等平面向量复杂问题接踵而至．极化恒等式在2016年江苏高考以后的模拟练习中，经常出现，往往通过极化恒等式能快速地解决一些求数量积问题，在此要注意观察什么样的数量积适用于极化恒等式解决，首先：共起点（或共终点或可化成共起点或终点），其次：有中线（没有自己造）．极化恒等式1．平行四边形中的极化恒等式．设b a ，是平面内的一组基底，如图所示，由恒等式])()[(4122b a b a b a --+=∙可得：2222])()[(41DM AM BD AC -=-=∙b a ．即22||||DM AM AD AB -=∙．此等式称为极化恒等式．其几何意义是向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的41．2．三角形中的极化恒等式．在ABC ∆中，设D 为BC 的中点，2=+，=-，则224)(AD AC AB =+，22)(CB AC AB =-，两式相减可得：2244CB AD AC AB -=∙，化简得极化恒等式2241CB AD AC AB -=∙．说明：1．极化恒等式源于教材又高于教材，在ABC ∆中，)(21AC AB AD +=，)(21AB AC BD -=是教材上出现的两个重要向量三角形关系，而极化恒等式无非就是这两个公式的逆用；2．具有三角几何背景的数学问题利用极化恒等式考虑尤为简单；3．向量与代数的互换运算深入人心，而与几何的运算略显单薄，而极化恒等式恰恰弥补了这个缺憾，可以说极化恒等式把向量的数量积问题用形象的几何图形展示得淋漓尽致．引例：在ABC ∆中，M 是线段BC 的中点，3=AM ，10=BC ，则∙的值为_______．A B C D M B CM A目标一：掌握用极化恒等式求数量积的值例1：如图，在ABC ∆中，D 是BC 的中点，F E ，是AD 上的两个三等分点，4=∙，1-=∙CE BE ，则CF BF ∙的值是__________．训练1：如图，在ABC ∆中，E D ，是BC 上的两个三等分点，2=∙AC AB ，4=∙AE AD ，则BC 的模长的值是__________．B CAE FAB D E C目标二：掌握用极化恒等式求数量积的范围、最值例2：如图，ABC ∆是边长为32的等边三角形，点P 是平面内的任意一点，1||=，则∙的最小值是______________________．训练2：已知正三角形ABC 内接于半径为2的圆O ，点P 是圆O 上的一个动点，则∙的取值范围是______________________．A BCPO BA PC例3：在边长为1的菱形ABCD 中，π32=∠A ，若点P 为对角线AC 上一点，则∙的最大值为______________________．训练3：在菱形ABCD 中，对角线3=AC ，1=BD ，点P 是AD 边上的动点，则PC PB ∙的最小值为______________________．午练：微专题06——极化恒等式及其应用班级：__________________姓名：___________________1．在ABC ∆中，10=BC ，16-=∙AC AB ，D 为边BC 的中点，则AD 的模为__________．2．设P 是ABC ∆的中线AD 的中点，D 为边BC 的中点，且2=AD ，若3-=∙PC PB 则AC AB ∙的值为________________．3．如图，在ABC ∆中，已知4=∙AC AB ，3||=BC ，点N M ，分别为边BC 上的三等分点，则AN AM ∙的值为_________________．4．如图，在ABC ∆中，点F E D ，，依次为边BC 上的四等分点，2=∙AC AB ，5=∙AF AD ，则AE 的长为_____________．5．已知AB 为圆1)1(:22=+-y x C 的直径，点P 为直线01=+-y x 上任意一点，则PB PA ∙的最小值为_________________．AB M NC A BDE CF6．已知圆O 的直径2=AB ，C 为该圆上异于B A 、的一点，P 是圆O 所在平面上任一点，则PC PB PA ∙+)(的最小值为_________________．7．已知点)02( ，A ，)04( ，B ，动点P 在抛物线x y 42-=上运动，则使BP AP ∙取得最小值的点P 的坐标为_________________．8．【选做】已知点B A ，分别在直线31==x x ，上，4||=-OB OA ，则当||+取得最小值时，∙的值为________________．作业：微专题06——极化恒等式及其应用班级：__________________姓名：___________________1．在ABC ∆中，点D 是BC 的中点，若208==BC AD ，，则=∙AC AB _____________．2．在平面直角坐标系中，菱形OABC 的两个顶点为)00( ，O ，)11( ，A ，且1=∙OC OA ，则=∙AC AB ________________．3．已知点M 是边长为2的正方形ABCD 的内切圆内（含边界）一动点，则MB MA ∙的取值范围为_________________．4．在周长为16的PMN ∆中，6=MN ，则PN PM ∙的取值范围为_____________．5．已知D C B A ，，，四点的坐标分别为)01( -，A ，)01( ，B ，)10( ，C ，)02( ，D ，P 是线段CD 上的任意一点，则BP AP ∙的最小值为_________________．6．若等腰ABC ∆底边BC 上的中线长为1，底角︒>60B ，则∙的取值范围为_________________．7．点P 为椭圆1151622=+y x 上的任意一点，EF 为圆4)1(22=+-y x 的一条直径，则PF PE ∙的取值范围为_________________．8．如图，在ABC ∆中，已知︒=∠==12023BAC AC AB ，，，点D 为边BC 的中点，若AD CE ⊥，垂足为E ，则EC EB ∙的值为_________________．AB D EC9．如图，若AB 是圆O 的直径，点M 是弦CD 上的一个动点，68==CD AB ，，则∙的取值范围是______．10．设锐角ABC ∆的面积为1，边AC AB ，的中点分别为F E ，，P 为线段EF 上的动点，则2BC PC PB +∙的最小值是__________________．11．如图，ABC ∆为等腰三角形，4==AC AB ，︒=∠120BAC ，以A 为圆心，1为半径的圆分别交AC AB ，于点F E ，，点P 是劣弧EF 上的一点，则PC PB ∙的取值范围是______．C B AEF PC A BD M O12．【选做】如图，圆O 是ABC Rt ∆的内切圆，已知3=AC ，4=BC ，︒=90C ，过圆心O 的直线l 交圆O 于Q P ，两点，则CQ BP ∙的取值范围为____________．A C BQOPl。
平面向量极化恒等式课件
利用向量减法的三角形法则证明
• 总结词：通过利用向量减法的三角形法则证明平面向量极化恒等式。 • 详细描述：首先，我们利用向量减法的三角形法则得到
$\overset{\longrightarrow}{a} - \overset{\longrightarrow}{b}$可以 表示为从起点到终点的有向线段。然后，将有向线段延长至原来的两倍 ，得到新的有向线段$(\overset{\longrightarrow}{a} \overset{\longrightarrow}{b}) + (\overset{\longrightarrow}{a} + \overset{\longrightarrow}{b})$。根据向量的数乘分配律和向量的加 法法则，我们可以得到$\lbrack(\overset{\longrightarrow}{a} \overset{\longrightarrow}{b}) + (\overset{\longrightarrow}{a} + \overset{\longrightarrow}{b})\rbrack\mathbf{\cdot}(\overset{\lon grightarrow}{a} + \overset{\longrightarrow}{b}) = (\overset{\longrightarrow}{a})^{2} (\overset{\longrightarrow}{b})^{2}$。最后，利用平面向量极化恒等 式的等价形式，我们可以证明平面向量极化恒等式成立。
05
平面向量极化恒等式的练习与 巩固
基础练习题
向量概念
掌握向量的基本概念、 向量的表示方法以及向
量在几何中的应用。
向量的加法
理解向量加法的定义和 性质，掌握向量加法的
等和线、极化恒等式教师
A. 外心
B. 内心
C. 重心
D. 垂心
解：由已知得 AP (AB AC) ，设 BC 的中点为 D，则根据平行四边形法则知点 P 在 BC 的中线 AD 所在
的射线上，故 P 的轨迹过△ABC 的重心，选 C.
例 8 已知 O 是平面上的一定点，A、B、C 是平面上不共线的三个点，动点 P 满足
3
3
所以 x＋y＝cos α＋
3sin α＝2sin
α＋π 6
，[10 分]又α∈
0，2π 3
，所以当α＝π时，x＋y 取得最大值 2.[12
分]
3
例 3 (2020·杭州五校联盟一诊)在矩形 ABCD 中，AB＝ 5，BC＝ 3，P 为矩形内一点，且 AP＝ 5，若A→P＝ 2
λA→B＋μA→D(λ，μ∈R)，则 5λ＋ 3μ的最大值为______．
x 4 y 的取值范围是
．
【答案】1, 4
【解析】如图建立直角坐标系,设此扇形半径为 1, AOB 60 ,所以 A( 1 , 3 ), B(1, 0) ,由圆的参数方程可 22
知
xc
yc
cos sin ,
(为参数，
[0,
3
])
,因为
OC
x OA
y OB
,所以 (cos ,sin )
x(1 ,
3.极化恒等式：
a
b
1
a
b
2
a
b
2
.
4
AM
在 ABC 中，若 AM 是 ABC 的 BC 边中线，有以下两个重要的向量关系：
BM
1 2 1
AC AB , AC AB .
2
定理 1 平行四边形两条对角线的平分和等于两条邻边平分和的两倍.以此类推到三角形，若 AM 是 ABC 的
第05讲 平面向量之极化恒等式(高阶拓展、竞赛适用)(学生版) 备战2025年高考数学一轮复习学案
第05讲 平面向量之极化恒等式（高阶拓展、竞赛适用）（2类核心考点精讲精练）在向量的命题考查中，数量积的运算一直是热点问题，一般情况下，我们掌握公式法、基底法、投影法和坐标法来求解数量积，但有时会计算量繁琐、解题时间较长。
而本节要学的极化恒等式可以从另一角度来综合解题。
利用向量的极化恒等式可以快速对共起点(终点)的两向量的数量积问题数量积进行转化，体现了向量的几何属性，让“秒杀”向量数量积问题成为一种可能，此恒等式的精妙之处在于建立了向量的数量积与几何长度(数量)之间的桥梁，实现向量与几何、代数的巧妙结合，对于不共起点和不共终点的问题可通过平移转化法等价转化为对共起点(终点)的两向量的数量积问题，从而用极化恒等式解决，需大家强化学习。
极化恒等式22()()4a b a b a b +--×=r r r r r r 恒等式右边有很直观的几何意义:向量的数量积可以表示为以这两个向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的14，恒等式的作用在于向量的线性运算与数量积之间的联系如图在平行四边形 ABCD 中, ,AB a AD b==uuu r uuu r rr 则 22()()4AB AD AB AD a b +--×=uuu r uuu r uuu r uuu r r r 在上述图形中设平行四边形 ABCD 对角线交于 M 点, 则对于三角形来说:2222()()||||44AB AD AB AD DB a b AM +--×==-uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuuu r r r极化恒等式的适用条件(1)共起点或共终点的两向量的数量积问题可直接进行转化(2)不共起点和不共终点的数量积问题可通过向量的平移，等价转化为共起点或共终点的两向量的数量积问题在确定求数量积的两个向量共起点或共终点的情况下，极化恒等式的一般步骤如下第一步:取第三边的中点，连接向量的起点与中点;第二步:利用极化恒等式公式，将数量积转化为中线长与第三边长的一半的平方差;第三步:利用平面几何方法或用正余弦定理求中线及第三边的长度，从而求出数量积如需进一步求数量积范围，可以用点到直线的距离最小或用三角形两边之和大于等于第三边，两边之差小于第三边或用基本不等式等求得中线长的最值(范围)。
极化恒等式(学案)
课题：极化恒等式在向量问题中的应用学习目标目标1：通过自主学习掌握极化恒等式两种模式，理解其几何意义； 目标2-1：通过对例1的自主学习掌握用极化恒等式求数量积的值； 目标2-2：通过对例2的自主学习掌握用极化恒等式求数量积的最值、范围； 目标2-3：通过小组合作学习掌握极化恒等式解决与数量积有关的综合问题。
重点掌握极化恒等式，利用它解决一类与数量积有关的向量问题 难点 根据具体的问题情境，灵活运用极化恒等式目标达成途径学习自我评价阅读以下材料： .两倍等于两条邻边平方和的平方和平行四边形的对角线的你能用向量方法证明：何模型。
示向量加法和减法的几引例：平行四边形是表,,b AD a AB ==证明：不妨设，，则b a DB b a A -=+=C ()222222C C b b a a b a A A +⋅+=+== （1）()222222b b a a b a DB DB +⋅-=-== （2）（1）（2）两式相加得：⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+22222222C AD AB b a DB A 结论：平行四边形对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍.思考1：如果将上面（1）（2）两式相减，能得到什么结论呢？b a ⋅＝()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+2241b a b a ————极化恒等式 对于上述恒等式，用向量运算显然容易证明。
那么基于上面的引例，你觉得极化恒等式的几何意义是什么？几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的41. 即：[]2241DB AC b a -=⋅（平行四边形模式） 目标1：阅读材料，了解极化恒等式的由来过程，掌握极化恒等式 的两种模式，并理解其几何意义 M图1思考：在图1的三角形ABD 中（M 为BD 的中点），此恒等式如何表示呢？因为AM AC 2=，所以2241DB AMb a -=⋅（三角形模式） 例1.(2012年浙江文15)在ABC ∆中，M 是BC 的中点，3,10AM BC ==，则AB AC ⋅=____ .解：因为M 是BC 的中点，由极化恒等式得： 2241BC AM AC AB -=⋅=9-10041⨯= -16 【小结】在运用极化恒等式的三角形模式时，关键在于取第三边的中点，找到三角形的中线，再写出极化恒等式。
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微教案
高一学段 向量知识
极化恒等式
一、教学目标
⒈ 知识目标：掌握极化恒等式两种模式，理解其几何意义．掌握用极化恒等式求数量积的值、最值、范围；
2．能力目标：培养学生的观察、分析问题的能力，逐步培养探索问题的精神，善于思考的习惯．
3．情感目标：通过创造情境激发学生学习数学的兴趣和热情 二、重点难点
1．教学重点：掌握极化恒等式，利用它解决一类与数量积有关的向量问题 2．教学难点：根据具体的问题情境，灵活运用极化恒等式． 三、教学方法与手段
1．教学方法：启发式教学法． 2．教学手段：多媒体，动画制作． 四、教学过程 1.情景引入
微实验：(利用几何画板)
平行四边形PMNQ ，O 是对角线交点，改变四边形形状，观察PM PN ⋅的变化
实验结果：PQ 、NM 变化时，PM PN ⋅也会变化
1()点P 、M
PM ∙PN =
–2.75
实验结果：PQ 、NM 不变，PM PN ⋅也不变 2.猜想证明：
猜想：PM PN ⋅只与PQ 、NM 有关 3.推理证明
PQ PM PN =+ (1)
NM PM PN =- (2)
()()2
2
12-得()()()(
)
22
2
2
PQ NM
PM PN
PM PN -=+--
即：()()2
2
4PQ NM PM PN -=⋅
()()22
1
44PM PN PQ NM ⎡⎤∴⋅=-⎢
⎥⎣⎦
4.总结探索
极化恒等式的平形四边形模式：()(
)
2
2
14
PM PN PM PN PM PN ⎡
⎤⋅=
+--⎢⎥⎣⎦
三角形模式：()()
22124PM PN PO NM ⎡
⎤⋅=-⎢
⎥⎣⎦
通过刚才的微实验可以明确极化恒等式的几何意义：
（1）向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对
2() 运动点P 、M
PM ∙PN =
6.11
Q
P
角线”平方差的
14。
（2）△PMN 中，PM PN ⋅可由中线PO 长与边NM 长表示 明确极化恒等式的两种形式。
5.范例分析
例1：如图△,3,4ABC BC AB AC =⋅=，求BC 边上的中线AM 的长。
例2：正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，MN 是其内切球O 的一条直径，E 是正方体表面上一点，求EM EN ⋅的最大值。
5.小结：
极化恒等式的平形四边形模式：(
)()2
2
1
4PM PN PM PN
PM PN ⎡⎤⋅=+--⎢
⎥⎣⎦
三角形模式：()()
221
24PM PN PO NM ⎡⎤⋅=-⎢
⎥⎣⎦
极化恒等式的意义：将数量积转化为长度运算
BC 边上的中线AM 的长为
5
2
∴AM ()2
=14
4AB ∙AC+BC ()2
[]
=
254
=14
2AM (2-BC ()2[]AB ∙AC =14
AB +AC ()2-AB -AC ()2[]
解：
A
生于忧患，死于安乐《孟子•告子》
舜发于畎亩之中，傅说举于版筑之间，胶鬲举于鱼盐之中，管夷吾举于士，孙叔敖举于海，百里奚举于市。
故天将降大任于是人也，必先苦其心志，劳其筋骨，饿其体肤，空乏其身，行拂乱其所为，所以动心忍性，曾益其所不
能。
人恒过，然后能改；困于心，衡于虑，而后作；征于色，发于声，而后喻。
入则无法家拂士，出则无敌国外患者，国恒亡。
然后知生于忧患，而死于安乐也。