北师大版数学必修五：《一元二次不等式及其解法》导学案(含答案)

第3课时一元二次不等式及其解法1.体会一元二次不等式与二次函数的关系,掌握一元二次不等式的解法.2.运用分类讨论思想解含参型的一元二次不等式.3.解决简单一元二次不等式与函数的综合性问题.为促进某品牌彩电的销售,厂家设计了两套降价方案.方案①:先降价x%,再降价x%(x>0);方案②:一次性降价2x%,问哪套方案降价幅度大?问题1:一元二次不等式一般地,含有未知数,且未知数的最高次数为的不等式,叫作一元二次不等式.使某个一元二次不等式叫作这个一元二次不等式的解.一元二次不等式的组成的集合,叫作这个一元二次不等式的解集.问题2:二次函数、二次方程、二次不等式间的关系如下表,设f(x)=ax2+bx+c(a>0).Δ=b2-4acΔ>0Δ=0Δ<0y=f(x)的示意图f(x)=0的根x1,x2x0=-b2a没有实数根f (x )>0的解集(-∞,x 1)∪ (x 2,+∞) (-∞,-b2a)∪(-b2a,+∞) (-∞,+∞)f (x )<0的解集 (x 1,x 2)∪ ∪问题3:解含参数的一元二次不等式的一般步骤对字母系数分类讨论时,要注意确定分类的标准,而且分类时要不重不漏.一般方法是: (1)当二次项系数不确定时,按二次项系数 、 、 三种情况进行分类.(2)判别式大于零时,还需要讨论两根的 .(3)判别式不确定时,按判别式 、 、 三种情况讨论.结合方程的根、函数的图像得到解集.问题4:(1)函数f (x )=ax 2+bx+c>0在R 上恒成立,则 且 .(2)若函数f (x )=log m (ax 2+bx+c )的定义域为R ,则 或者 .(3)若函数f (x )=log m (ax 2+bx+c )的值域为R ,则 或者 .1.不等式x-x 2+2>0的解集是( ).A .(-2,1)B .(-1,2)C .(-∞,-2)∪(1,+∞)D .(-∞,-1)∪(2,+∞)2.二次函数y=ax 2+bx+c 的图像如图所示,则不等式ax 2+bx+c ≤0的解集为( ).A.(-∞,-1]B.[-1,1]C.[-1,2]D.[-1,3]3.已知不等式x2+ax+4<0的解集为空集,则a的取值范围是.4.已知x=1是不等式k2x2-6kx+8≥0(k≠0)的解,求k的取值范围.解一元二次不等式解下列不等式:(1)x2+2x-15>0;(2)x2>2x-1;(3)x2<2x-2.含参型的一元二次不等式已知a≠0,解关于x的一元二次不等式ax2+(a+2)x+2>0.一元二次不等式与函数的综合已知函数f(x)=log2(mx2+mx+3)的定义域为R,求实数m的取值范围.求下列一元二次不等式的解集. (1)4x 2-4x+1≤0;(2)-x 2+7x>6;(3)-x 2+6x-9>0.解关于x 的不等式ax 2-(a-1)x-1<0(a ∪R ).已知函数f (x )=log 2[mx 2+(m+3)x+m+3]的值域为R ,求实数m 的取值范围.1.不等式3x 2-x+2<0的解集为( ).A .∪B .RC .{x|-13<x<12}D .{x ∪R |x ≠16} 2.不等式ax 2+bx+2>0的解集是(-12,13),则a-b 的值等于( ). A .-14 B .14 C .-10 D .103.若关于x的不等式x2-ax-a≤-3的解集不是空集,则实数a的取值范围是.},求不等式ax2-bx+c>0的解集.4.已知关于x的不等式ax2+bx+c<0的解集是{x|x<-2或x>-12(2019年·四川卷)已知f(x)是定义域为R的偶函数,当x≥0时,f(x)=x2-4x,那么,不等式f(x+2)<5的解集是.考题变式(我来改编):第3课时等差数列的定义和通项知识体系梳理问题1:(1)第二项起同一个常数公差(2)等差中项a+b2问题2:a1+(n-1)d (1)(n-1)d a1+(n-1)d a1+(m-1)d (n-m)d a m+(n-m)d (2)d d d 2d d 3d a1+(n-1)d问题3:(1)(n-m)d (3)a p+a q=a r+a s(4)等差等差问题4:递增递减常基础学习交流1.C由a n=a1+(n-1)d得a n=(a1-d)+nd,可知d=-2,故选C.2.C∵{a n}、{b n}为等差数列,∴{a n+b n}也为等差数列.又公差d=(a2+b2)-(a1+b1)=100-100=0,故数列{a n+b n}为常数列,∴a n+b n=100.3.42设等差数列{a n}的公差为d,由a2+a3=13,得2a1+3d=13,解得d=3,∴a4+a5+a6=3a1+12d=3×2+12×3=42.4.解:设等差数列{a n}的公差为d,因为a3=7,a5+a7=26,解得a1=3,d=2,所以有{a1+2d=7,2a1+10d=26,所以a n=3+2(n-1)=2n+1.重点难点探究探究一:【解析】当n≥2时,取数列{a n}中的任意相邻两项a n-1与a n(n≥2),则a n-a n-1=(pn+q)-[p(n-1)+q]=pn+q-(pn-p+q)=p(p为常数),∴{a n}是等差数列,首项a1=p+q,公差为p.【小结】本题主要考查了如何判断一个数列是否为等差数列.到目前为止,我们掌握判断等差数列的方法有两种:一是利用定义,即证明a n-a n-1(n≥2)是一个与n无关的常数;二是可以使用本题的结论,即数列{a n}的通项公式为a n=pn+q,则数列{a n}是首项为a1=p+q,公差为p的等差数列.探究二:【解析】根据条件可设三个数依次为a-d,a,a+d,则{(a-d)+a+(a+d)=15,(a+d)2-a2=56,解得a=5,d=4或-14.故这三个数依次为1,5,9或19,5,-9.【小结】三个数成等差数列,使用“巧”设对称项的方法,这样解起来比较方便,要合理运用方程(组)的数学思想.探究三:【解析】第一个数列{a n}的通项公式为:a n=3n+2;第二个数列{b n}的通项公式为:b n=4n-1.令:a n=b n,则3n+2=4n-1,∴n=3,即只有一项a3=b3=11同时在两个数列中出现.[问题]结论正确吗?[结论]不正确.原因是设a n=b n不妥当,因为一个数同时在两个数列中出现时,该数在两个数列中的位置未必相同.正确解法如下:对于a n=3n+2(1≤n≤100),b k=4k-1(1≤k≤100),,令a n=b k,∴3n+2=4k-1,∴k=3(n+1)4设n+1=4t (t ∪N +),∴n=4t-1,k=3t.又由1≤n ,k ≤100,∴1≤t ≤25,即有25个数同时在两个数列中出现. 【小结】要注意a m =b n 中的m ,n 可以不同. 思维拓展应用应用一:(1)欲使数列{a n }是等差数列,则a n+1-a n =[p (n+1)2+q (n+1)]-(pn 2+qn )=2pn+p+q 应是一个与n 无关的常数,所以只有2p=0,即p=0时,数列{a n }是等差数列. (2)因为a n+1-a n =2pn+p+q , 所以a n+2-a n+1=2p (n+1)+p+q ,所以(a n+2-a n+1)-(a n+1-a n )=2p ,为一个常数, 所以数列{a n+1-a n }是等差数列.应用二:设前三项分别为a-d ,a ,a+d ,则a-d+a+a+d=12且a (a-d )(a+d )=48,解得a=4且d=±2. 又{a n }是递增数列,∴d>0,即d=2,∴a 1=2.∴这三个数依次为2,4,6.应用三:(1)设{a n }的公差为d ,由已知条件,{a 1+d =1,a 1+4d =-5,解得{a 1=3,d =-2,所以a n =a 1+(n-1)d=-2n+5. (2)因为a n =-2n+5,所以c n =5-a n2=5-(-2n+5)2=n ,所以b n =2c n =2n ,所以T=log 2b 1+log 2b 2+log 2b 3+…+log 2b n =log 22+log 222+log 223+…+log 22n =1+2+3+…+n=n(n+1)2. 基础智能检测1.B 依题意得 A+C=2B ,又A+B+C=180°,∴ B=60°.2.C {2x =a +b,2b =x +2x,∴a=x 2,b=32x ,∴a b =13. 3.(0,5) 由已知设三条边从小到大依次为5,5+d ,5+2d ,∴d>0,由两边之和大于第三边,得5+5+d>5+2d ,解之得d<5,∴0<d<5.4.解:由题意知a n =2n-7,由2n-7=52,得n=29.5∪N +,∴52不是该数列中的项. 又由2n-7=2k+7解得n=k+7∪N +,∴2k+7是数列{a n }中的第k+7项. 全新视角拓展D 由等差数列的性质易判断命题p 1,p 4正确.令数列a n =2n-16,则易判断命题p 2,p 3为假命题.思维导图构建通项公式法 等差中项法。