信号与系统奥本海姆课件(周期信号的傅里叶级数表示)第3章

任何科学理论, 科学方法的建立都是经 过许多人不懈的努力而来的, 其中有争论, 还有人为之献出了生命。 历史的经验告诉 我们, 要想在科学的领域有所建树，必须 倾心尽力为之奋斗。今天我们将要学习的 傅立叶分析法，也经历了曲折漫长的发展 过程，刚刚发布这一理论时，有人反对， 也有人认为不可思议。但在今天，这一分 析方法在许多领域已发挥了巨大的作用。




2

2 t 3
1 j4 2 1 j4 2 a2 e (1 j )，a2 e (1 j )，ak 0，其余k 2 4 2 4
dt anT0
x(t )e
jn0t
1 即 an T0

T0
0
dt
在确定此积分时，只要积分区间是一个周
期即可，对积分区间的起止并无特别要求， 1 因此可表示为 a0 x (t )dt T T 1 jk 0t ak x (t )e dt T T
a0 是信号在一个周期的平均值，通常称直
第3章
周期信号的傅 里叶级数表示
Fourier Series Representation of 第3章 周期信号的傅里叶级数表示 Periodic Signals Fourier Series Representation of Periodic Signals
本章内容：
Ⅰ. 周期信号的频域分析 Ⅱ. LTI系统的频域分析
Ⅲ. 傅立叶级数的性质
3.0 引言
•
Introduction
时域分析方法的基础 ： 1)信号在时域的分解。 2)LTI系统满足线性、时不变性。
•
从分解信号的角度出发，基本信号单元
必须满足两个要求：
1.本身简单，LTI系统响应能简便得到。
2.具普遍性，能用以构成广泛的信号。
3.1历史的回顾
（A Historical Perspective）
x(t )
k


ak e
jk0t
则有
j ( k n )0t
x(t )e
jn0t

k
ae
k
k

对两边同时在一个周期内积分，有

T0
0
x(t )e
jn0t
dt
a
k
T0
0
e
j ( k n )0t
dt
x(t )e
0
T0
jn0t
st



h( )e d
s
e H ( s)
对LTI系统如果系统输出 可表示为输入乘以一系数， 这时的输入称为系统的特征
函数。该系数就是相应特征 函数的特征值。
只有复指数函数才能成为一切LTI系统
的特征函数。 对时域的任何一个信号 x(t ) 或 x(n) , 若能将其表示为下列形式：
n
k
z

h[k ]
z H [ z]
类似地，若设连续时间系统的单位脉 冲相应是h(t), 它对复指数信号 x(t)=est
的响应可按卷积积分来就求得：
y (t ) x(t ) h(t ) x(t )h( )d


e
st

s ( t )
h( )d e
2
期信号，即: 连续时间周期信号可以分解成
无数多个复指数谐波分量。
例1：
x(t ) cos 0t 1 j0t 1 j0t e e 2 2
1 2
a1 显然该信号中，有两个谐波分量，
为相应分量的加权因子。
例2： x(t ) cos t 2cos3 t
0 0
傅里叶生平
1768—1830
• 1768年生于法国 • 1807年提出“任何 周期信号都可以用 正弦函数的级数来 表示” • 拉格朗日反对发表 • 1822年首次发表 “热的分析理论” • 1829年狄里赫利第 一个给出收敛条件
傅里叶的两个最重要的贡献——
• “周期信号都可以表示为成谐波关系 的正弦信号的加权和”——傅里叶的
x(t ) a1e a2e a3e
s1t s2t
s3t
x[n] a z a2 z2 a3 z3
n 1 1
n
n
利用系统的齐次性与叠加性 st st st st e H ( s ) e 由于 e H (s2 )e 1
1 1
2 2
e
s3t
H (s3 )e
s3t
所以有
s1t s2t s3t
频率。
分量 e
j0t
1
可表示为

1 j0t cos 0t (e e j0t ) 2
1 2 1 2
0

0
00Βιβλιοθήκη 因此，当把周期信号 x(t )表示为傅里叶级数
x(t )
k
ae
k
jk0t
时，就可以将 x(t ) 表示为
这样绘出的图称 为频谱图
频谱图其实就是将 ak 随频率的分布 表示出来，即 关系。由于信号
的频谱完全代表了信号，研究它的频谱
就等于研究信号本身。因此，这种表示
信号的方法称为频域表示法。
四.傅里叶级数的其它形式
若 x(t )是实信号,则有
*
x(t ) x (t ) ，于是
*

jk 0 t x (t ) x (t ) ak e k
流分量。 设x(t) 是周期函数。周期是T0。
x(t )
1 a0 T
k
ae
k

jk0t

T
x (t )dt
1 ak T

T
x (t )e
jk 0t
dt
三.频谱（Spectral）的概念
信号集 k (t ) 中的每一个信号，除了成谐波 关系外，每个信号随时间 的变化规律都是 一样的，差别仅仅是频率不同。 t 在傅里叶级数中，各个信号分量（谐波分 量） 间的区别也仅仅是幅度（可以是复数） 和频率不同。因此，可以用一根线段来表示 某个分量的幅度，用线段的位置表示相应的
这一节来研究用傅氏级数表示周期信号的
普遍性问题，即满足什么条件的周期信号可 以表示为傅里叶级数。 一. 傅里叶级数是对信号的最佳近似
1 ak T

T
x (t )e
jk 0t
dt
对任何周期信号 代入左式都可求得傅里叶 系数 。某些情况下，左式的积分可能不收 敛，即求得的 无穷大。
x(t )
k
h(n ) z
n
3.2 LTI系统对复指数信号的响应
设离散时间系统的单位脉冲相应是 h[n], 它对复指数信号x[n]=zn 的响应可 按前述卷积和来就求得：
y[n] x[n] h[n]
k
x[n k ]h[k ]
k

k n
z

nk
h[k ] z
x(t ) y(t ) a1H ( s1 )e a2 H ( s2 )e a3 H ( s3 )e
即： x(t ) ak e
k
sk t
y (t ) ak H ( sk )e sk t
k
n x ( n ) a Z 同理： k k k
y(n) ak H ( Z k )Z
k
ae
k

jk0t
If求得的全部 都是有限值，代入左式所 得的无限项级数也可能不收敛于 。
二. 傅里叶级数的收敛
傅里叶级数收敛的两层含义：
①
ak 是否存在?
?
② 级数是否收敛于
三组条件：
1.对于全部连续的周期信号都有一个傅里叶 级数表示 2.If周期信号 在一个周期内具有有限的 能量，then 可以用傅里叶级数表示 2 （平方可积条件）即 x(t ) dt
1 j 3t 1 j 3t 1 j 4 j 3 t 1 j 4 j 1 (1 )e (1 )e ( e )e ( e )e 2j 2j 2 2 1 1 1 1 a0 1 ，a1 1 1 j，a1 1 1 j 2j 2 2j 2
k
n k
*问题：究竟有多大范围的信号可以用复指数
信号的线性组合来表示？
一组成谐波关系的周期复指数信号集:
1、连续时间情况 定义：由周期复指数信号组成的集合， 该集合内的全部信号都是周期的，且 有一个公共周期 T0 j t 对一个复指数信号 e ，要成为具有周 期为 T0 的周期信号的必要条件： 2 k jT0 ，即 e 1
T0 2k (k 0,1,2)
T0
2 0 k If 定义 ，则 0 T0 即一组成谐波关系的复指数信号的集合 0 就是一组其基波频率是某一正频率 的整数倍的周期复指数信号。记为：
k (t ) e
的公共周期是 T0
k 0, 1, 2 2 各次谐波的周期分别为 Tk ，它们 k0 2
0
jk 0 t
,
。
3.3 连续时间周期信号的傅里叶级数表示
Fourier Series Representation of Continuous-Time Periodic Signals
一. 连续时间傅里叶级数
成谐波关系的复指数信号集: k (t ) {e 其中每个信号都是以
2
2 k0
jk0t
}
为周期的，它们
的公共周期为
0
，且该集合中所有的信
号都是彼此独立的。
如果将该信号集中所有的信号线性组合起 来，有 x(t )