新课标版高考数学二轮复习难点2.5函数性质与方程不等式等相结合问题教学案理

函数性质与方程、不等式等相结合问题

函数与方程、函数与不等式都是高中数学的重要内容，也都是高考的热点和重点，在每年的高考试题中这部分内容所占的比例都很大，函数与方程、函数与不等式是高中数学的主线，它们贯穿于高中数学的各个内容，求值的问题就要涉及到方程，求取值范围的问题就离不开不等式，但方程、不等式更离不开函数，函数与方程、函数与不等式思想的运用是我们解决问题的重要手段.本文就高中阶段学生存在的困惑加以类型的总结和方法的探讨.

1函数与方程关系的应用

函数与方程是两个不同的概念，但它们之间有着密切的联系，方程的解就是函数的图像与轴的交点的横坐标，函数也可以看作二元方程通过方程进行研究.就中学数学而言，函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质，解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题：二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质，达到化难为易，化繁为简的目的.许多有关方程的问题可以用函数的方法解决，反之，许多函数问题也可以用方程的方法来解决.在高考中重点考查函数零点个数、零点范围以及与零点有关的范围问题，有时添加函数性质进去会使得此类问题难度加大.

例1 【2018黑龙江齐齐哈尔一模】设函数.

（1）当，求函数的单调区间；

（2）当时，函数有唯一零点，求正数的值.

思路分析：（1）求导，易知：函数的单调递增区间为，单调递减区间

为.（2），对m进行分类讨论，得到函数的最小值，函数

有唯一零点即函数的最小值为零.

点评：对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．

例2设函数，若函数有三个零点，，

，则

等于.

【答案】

【解析】由图可得关于的方程的解有两个或三个（时有三个，时有两个），所以关于的方程只能有一个根（若有两个根，则关于的方程有四个或五