2020届高考数学(理)一轮复习精品特训专题十：计数原理(6)排列与组合C.pdf

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2020届高考数学(理)一轮复习精品特训专题十：计数原理(6)排列与组合C

计数原理（6）排列与组合C1、2018年3月22日,某校举办了“世界水日”主题演讲比赛,该校高三年级准备从包括甲乙丙在内的6名学生中选派4人参加演讲比赛,其中学生丙必须参加,仅当甲乙两同学同时参加时候,甲乙至少有一人与丙学生演讲顺序相邻,那么选派的4名学生不同的演讲顺序的种数为( )A.228B.238C.218D.2482、某单位实行职工值夜班制度,已知,,,,A B C D E,5名职工每星期一到星期五都要值一次夜班,且没有两人同时值夜班,星期六和星期日不值夜班,若A昨天值夜班,从今天起,B C至少连续4天不值夜班, D星期四值夜班,则今天是星期几( )A.二B.三C.四D.五3、甲、乙、丙、丁、戊五位妈妈相约各带一个小孩去观看花卉展,她们选择共享电动车出行,每辆电动车只能载两人,其中孩子们表示都不坐自己妈妈的车,甲的小孩一定要坐戊妈妈的车,则她们坐车不同的搭配方式有( )A.12种B.11种C.10种D.9种4、两所学校分别有2名、3名学生获奖,这5名学生要排成一排合影,则同校学生排在一起的概率是( )A. 1 30B.1 15C.1 10D. 1 55、某校毕业典礼由6个节目组成,考虑整体效果,对节目演出顺序有如下要求:节目甲必须排在前三位,且节目丙、丁必须排在一起,则该校毕业典礼节目演出顺序的编排方案共有( )种。

A. 240B. 156C. 188D. 1206、若112311n n n n n n n n C C C C +--+++=++,则n = ( )A.4B.5C.6D.7 7、将5名同学分到甲、乙、丙3个小组,若甲组至少两人,乙、丙组每组至少一人,则不同的分配方案的种数为( )A.50B.80C.120D.1408、将3本相同的语文书和2本相同的数学书分给四名同学,每人至少1本,不同的分配方法数有( )A.24B.28C.32D.369、若,m n 均为非负整数，在做m n +的加法时各位均不进位(例如：20191002119+=，则称(),m n 为“简单的”有序对，而m n +称为有序对(),m n 的值，那么值为2019的“简单的”有序对的个数是( ) A ．30 B ．60 C ．96 D ．10010、5个男生和3个女生站成一排,则女生不站在一起的不同排法有( ) A.14400种 B.7200种 C.2400种 D.1200种11、将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人,被人至少1张,如果分别同一人的两张参观券连号,那么不同的分法种数是__________.12、甲、乙、丙、丁四个人排成一行,则乙、丙相邻的排法种数是__________.13、学校将从4名男生和4名女生中选出4人分别担任辩论赛中的一、二、三、四辩手,其中男生甲不适合担任一辩手,女生乙不适合担任四辩手.现要求:如果男生甲入选,则女生乙必须入选.那么不同的组队形式有__________种14、有编号分别为1,2,3,4,5的5个黑色小球和编号分别为1,2,3,4,5的5个白色小球,若选取的4个小球中既有1号球又有白色小球,则有__________种不同的选法 15、有4个不同的球,四个不同的盒子,把球全部放入盒内(结果用数字表示). 1.共有多少种放法?2.恰有一个盒子不放球,有多少种放法?3.恰有一个盒内放2个球,有多少种放法?4.恰有两个盒不放球,有多少种放法?答案以及解析1答案及解析：答案：A解析：对甲、乙两名同学是否参加分类.第一类,甲、乙均未参加: 44A .第二类,甲、乙中是有1人参加: 124234144C C A =.第三类,甲、乙都参加:14123432260C A C A -=.1232414460228N N N N =++=++=.2答案及解析：答案：C 解析：3答案及解析：答案：B解析：这是个错位排列模型,可视作1、2、3、4、5五个数字排在序号①、②、③、④、⑤的五个位置中,且⑤位置上固定排1,对5所处位置讨论:5在①位置上,是三个元素的错位排列,有2种情况;5在②、③、④位置上分别各都是3种情况;所以共有11种搭配方式,选B.4答案及解析：答案：C解析：同校学生排在一起共有323323A A A 种排法,而三个学校的学生随便排有66A 种排法,故同校学生排在一起的概率110P = 故选C.5答案及解析：答案：D 解析：6答案及解析：答案：A解析：∵1112n n nn n n C C C -++++=,22n n n C C -=, ∴1232n n n n n C C C +++=+, ∴1232n n n n n C C C +++-=,∴122n n n C C ++=,∴122n n C C +=,∴()122n n n -+=,即()()410n n -+=,又0n >, ∴4n =.7答案及解析：答案：A解析：分两类：若甲组两人，则乙、丙两组的方法数是1232C A ，此时的方法种数为C A =212532C 60；若甲组3人，则方法数C A =325220，根据分类加法原理得总的方法总数为60+20=80,故选A 考点：本题考查了排列组合的综合运用点评：熟练掌握排列、组合的综合运用是解决此类问题的关键，属基础题8答案及解析：答案：B 解析：第一类,先选1人得到两本语文书,剩下的3人各得一本,有114312C C =种,第二类,先选1人得到一本语文书和一本数学书,其余3人各一本书,有114312C C =种, 第三类,先选1人得到两本数学书,剩下的3人各得一本,有144C =种,根据分类计数原理可得, 12124++种, 故选B9答案及解析：答案：B解析：值为2019的“简单的”有序对的个数是3121060⨯⨯⨯=.故选B.10答案及解析：答案：A解析：我们可以在操场上进行实地排队:先让5个男生站成一排有55A 种站法,在站队时每两个男生之间留下一个空(能站且只能站一个人的位置),同时女生还可站两头,因此可供女生站的位置有六个(即“①男②男③男④男⑤男⑥”),把这6个位置编一个号码,再从这6个号码中取出3个排成一排,按它的前后顺序依次把这3个号码分给3个女生甲、乙、丙,再让3个女生对号入座,插进男生之中,最后让这8个人向左看齐,即这8个人站成一排,且女生不相邻,于是就完成了这一事件,因而有:先让5个男生排成一排,有55A 种站法,再让3个女生插入5个男生产生的6个空中,有36A 种排法,故共有5356A A 种不同站法.故选A.11答案及解析：答案：96解析：5张参观券分成4组, 1组2张,另外3组各1张,且2张参观券连号,则有4种分法,把这4份参观券分给4人,则不同的分法种数是44496A 。

高考数学一轮复习专题十计数原理1计数原理与排列组合综合集训含解析新人教A版

专题十计数原理备考篇【考情探究】课标解读考情分析备考指导主题内容一、计数原理、排列、组合1.分类加法计数原理,分步乘法计数原理(1)理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理.(2)会用两个原理分析和解决一些简单的实际问题.2.排列与组合(1)理解排列、组合的概念.(2)能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.(3)能解决简单的实际问题.1.从近几年的高考命题情况看,考题难度以中低档为主,题型以选择题,填空题的形式出现.2.考查内容主要体现以下方面:(1)利用排列、组合解决实际问题或利用排列、组合解决概率有关问题;(2)利用二项式展开式的通项求指定项系数或求二项式系数问题;(3)利用二项式展开式求二项式系数最值问题或求系数最值问题,常以这些内容为考查重点,同时关注分类讨论1.在处理排列、组合的应用问题时,常采用直接法,间接法,在处理二项式问题时常采用公式法.2.用排列、组合知识解决计数问题时,如果遇到的情况较为复杂,即分类较多,标准也较多,同时所求计数的结果不太容易计算时,往往利用表格法、树状图法将其所有的可能一一列举出来,这样会更容易得出结果.3.求解二项式展开式的特定项时,即求展开式中的某一项,如第n项,常数项,有理项,字母指数为某些特殊值的项,先准确写出通项T r+1=C n r a n-r b r,再把系数与字母分离出来(注意符号),最后根据题目中指定的字母的指数所具有的特征,列出关系式求解即可.4.关注排列、组合在解决求离散型随机变量分布列中的应用,能够在不同背景下抽象的数学本质,强化在知识的形式过程,知识的迁移中渗透学科素养.二、二项式定理1.能用计数原理证明二项式定理.2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.思想在处理排列、组合问题中的应用.【真题探秘】命题立意(1)必备知识:计数原理与排列、组合.(2)考查能力:逻辑推理能力与运算求解能力.(3)核心素养:数学运算.解题过程第一步:安排甲场馆的志愿者,则甲场馆的安排方法有C61=6种,第二步:安排乙场馆的志愿者,则乙场馆的安排方法有C52=10种,第三步:安排丙场馆的志愿者,则丙场馆的安排方法有C33=1种.所以共有6×10×1=60种不同的安排方法.故选C.易错警示对于排列、组合问题,首先要分析元素是否可重复,其次要分析是排列问题,还是组合问题.知能拓展(1)原理解读:分类加法计数原理和分步乘法计数原理的共同点是把一个原始事件分解成若干个事件来完成,两个原理的区别在于一个与分类有关,一个与分步有关.这两个计数原理是最基本也是最重要的计数原理,是解答排列与组合问题,尤其是解答较复杂的排列与组合问题的基础.(2)方法拓展:解排列问题的主要方法有直接法、优先法、捆绑法、插空法、间接法.分配问题有平均分配问题与非平均分配问题.[教师专用题组]1.真题多维细目表考题涉题型难度考点考向解题方法核心素养分2020新高考Ⅰ,3 5单项选择题易排列、组合分配问题直接法数学运算2020新高考Ⅱ,6 5单项选择题易排列、组合分配问题直接法数学运算2020课标Ⅰ理,8 5选择题中二项式定理求展开式中指定项的系数分类讨论法数学运算逻辑推理2020北京,3 4选择题易二项式定理求展开式中指定项的系数公式法数学运算逻辑推理2020天津,11 5填空题易二项式定理求展开式中指定项的系数公式法数学运算逻辑推理2.命题规律与探究1.从2020年高考情况来看,考题难度以中低档为主,主要以选择题、填空题的形式出现,分值为5分.2.本专题内容在高考试题中以排列组合的综合应用,利用二项式定理求二项式系数或求指定项系数为主,考查了学生处理问题的思维严密性和分类讨论的数学思想方法.3.在处理排列组合的应用问题时,常采用直接法、间接法;在处理二项式问题时常采用公式法.4.本章重点考查的学科核心素养为数学运算和逻辑推理.3.命题变化与趋势1.从2020年高考情况来看,考查方式及题目难度与往年变化不大,延续此前的考试风格.2.考查内容主要体现在以下方面:①利用排列、组合解决实际问题,或利用排列、组合解决概率有关问题.②利用二项展开式的通项公式求指定项系数或求二项式系数问题.③利用二项式展开式求二项式系数最值问题或求系数最值问题.常以这些内容为考查重点,同时关注分类讨论思想在处理排列、组合问题中的应用.3.加强关注排列、组合在解决求离散型随机变量分布列中的应用,能够在不同背景下抽象出数学本质.强化在知识的形成过程、知识的迁移中渗透学科素养.4.真题典例核心考点(1)排列、组合;(2)分组、分配问题.知识储备(1)解排列问题的主要方法:直接法,特殊位置或元素优先考虑法、相邻捆绑法、不相邻插空法;间接法.(2)分组分配:先分组后分配原则,必须注意是均匀分配还是非均匀分配问题;(3)排列、组合问题中注意适当分类后可避免重复计数问题.思路分析(1)这是一个定向的完全不均匀分配问题;(2)先把6名学生按人数分为1、2、3三个小组,再分别去三个场馆.易错警示本题是一个完全不均匀分组后再定向分配问题,容易出现分组再分配的错误.命题规律分组、分配问题是排列、组合的综合问题,解题思想是先分组后分配.分组问题属于“组合”问题,常见的分组方法有三种:①完全均匀分组,每组元素的个数都相等;②部分均匀分组,应注意不要重复;③完全非均匀分组,这种分组不考虑重复现象.§10.1计数原理与排列、组合基础篇【基础集训】考点计数原理、排列、组合1.已知某公园有4个门,从一个门进,另一个门出,则不同的走法的种数为 ()A.16B.13C.12D.10答案 C2.满足a,b∈{-1,0,1,2},且关于x的方程ax2+2x+b=0有实数解的有序数对(a,b)的个数为()A.14B.13C.12D.10答案 B3.中国国家队在2018俄罗斯世界杯亚洲区预选赛12强小组赛中以1比0力克韩国国家队,赛后有六名队员打算排成一排照相,其中队长主动要求排在排头或排尾,甲、乙两人必须相邻,则满足要求的排法有()A.34种B.48种C.96种D.144种答案 C4.某医院拟派2名内科医生、3名外科医生和3名护士共8人组成两个医疗分队,平均分到甲、乙两个村进行义务巡诊,其中每个分队都必须有内科医生、外科医生和护士,则不同的分配方案有()A.72种B.36种C.24种D.18种答案 B5.用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,则比40000大的偶数共有 ()A.114个B.120个C.96个D.72个答案 B6.高考结束后6名同学游览某市包括日月湖在内的6个景区,每名同学任选一个景区游览,则有且只有两名同学选择日月湖景区的方案有()A.A62×A54种B.A62×54种C.C62×A54种D.C62×54种答案 D7.如图所示,用五种不同的颜色分别给A、B、C、D四个区域涂色,相邻区域必须涂不同颜色,若允许同一种颜色多次使用,则不同的涂色方法共有种.答案1808.有3女2男共5名志愿者要全部分到3个社区去参加志愿服务,每个社区1到2人,甲、乙两名女志愿者需到同一社区,男志愿者到不同社区,则不同的分法种数为.答案12[教师专用题组]【基础集训】1.(2020山西大同开学学情调研,4)从6名大学生中选出队长1人,副队长1人,普通队员2人,组成4人知识竞赛代表队,则不同的选法共有()A.15种B.180种C.360种D.90种答案B先从6名大学生中选出队长1人,副队长1人,再从剩下的4人中选2人,故有A62C42=180种,故选B.解题关键解决此类问题的关键是判断问题与顺序有没有关系.2.(2019陕西汉中二模,10)汉中市2019年油菜花节在汉台区举办,组委会将甲、乙等6名工作人员分配到两个不同的接待处负责接待工作,每个接待处至少2人,则甲、乙两人不在同一接待处的分配方法共有()A.12种B.22种C.28种D.30种答案C将6名工作人员分成A,B两组,对应两个不同的接待处,由题可分两种情况讨论:①甲在A组,组内分到其他四人中的1人,2人或3人,则有C41+C42+C43=14种分法;②甲在B组,组内分到其他四人中的1人,2人或3人,则有C41+C42+C43=14种分法.一共有14+14=28种分法.故选C.解题关键本题考查分类加法计数原理,解题的关键是分类列出所有可能情况,属于一般题.3.(2018四川德阳三校联考,7)从5名学生中选出4名分别参加数学,物理,化学,生物竞赛,其中甲不能参加生物竞赛,则不同的参赛方案种数为()A.48B.72C.90D.96答案D根据题意,从5名学生中选出4名分别参加竞赛,分2种情况讨论:①选出的4人中没有甲,即选出其他4人参赛,有A44=24种情况;②选出的4人中有甲,由于甲不能参加生物竞赛,则甲有3种选法,在剩余4人中任选3人参加剩下的三科竞赛,有A43=24种选法,则此时共有3×24=72种选法,故共有24+72=96种不同的参赛方案.故选D.4.(2018广东中山一中第五次统测,7)从10名大学毕业生中选3个人担任村长助理,则甲、乙至少有1人入选,而丙没有入选的不同选法的种数为 ()A.85B.49C.56D.28答案B∵丙没有入选,∴只需把丙去掉,总的元素个数变为9.∵甲、乙至少有1人入选,∴由条件可分为两类:一类是甲、乙两人只选一人,选法有C21·C72=42种;另一类是甲、乙都选,选法有C22·C71=7种,根据分类计数原理知共有42+7=49种,故选B.5.一个旅游景区的游览线路如图所示,某人从P点处进,Q点处出,沿图中线路游览A,B,C三个景点及沿途风景,则不重复(除交汇点O外)的游览线路有 ()A.6种B.8种C.12种D.48种答案D从点P处进入后,参观第一个景点时,有6个路口可以选择,从中任选一个,有C61种选法;参观完第一个景点,参观第二个景点时,有4个路口可以选择,从中任选一个,有C41种选法;参观完第二个景点,参观第三个景点时,有2个路口可以选择,从中任选一个,有C21种选法,则共有C61C41C21=48(种),故选D.综合篇【综合集训】考法一排列、组合问题的解题方法1.(2019重庆万州二模,6)某中学某班主任要从7名同学(其中3男4女)中选出两名同学,其中一名担任班长,另一名担任学习委员,且这两名同学中既有男生又有女生,则不同的安排方法有()A.42种B.14种C.12种D.24种答案 D2.(多选题)(2021届山东师大附中模拟)“二进制”与我国古代的《易经》有着一定的联系,该书中有两类最基本的符号:“——”和“——”,其中“——”在二进制中记作“1”,“——”在二进制中记作“0”,其变化原理与“逢二进一”的法则相通.若从两类符号中任取2个符号排列,则可以组成的不同的十进制数为 ()A.0B.1C.2D.3答案ABCD3.(2020山东烟台期末)为弘扬我国古代的“六艺文化”,某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程,每周一门,连续开设六周.若课程“乐”不排在第一周,课程“御”不排在最后一周,则所有可能的排法种数为()A.216B.480C.504D.624答案 C4.(2019甘肃嘉峪关一中模拟)在高三某班进行的演讲比赛中,共有5位选手参加,其中3位女生,2位男生,如果2位男生不能连续出场,且女生甲不能排第一个,那么出场顺序的排法种数为.答案605.(2020广东广州执信中学月考,14)有6张卡片分别写有数字1,1,1,2,2,2,从中任取4张,可排出的四位数有个.答案14考法二分组分配问题的解题方法6.(2021届辽宁上学期测试,7)我国即将进入双航母时代,航母编队的要求是每艘航母配2~3艘驱逐舰,1~2艘核潜艇.船厂现有5艘驱逐舰和3艘核潜艇全部用来组建航母编队,则不同的组建方法种数为()A.30B.60C.90D.120答案 D7.(2019广东肇庆第一次统测,11)将甲、乙、丙、丁、戊共5人分配到A、B、C、D共4所学校,每所学校至少一人,且甲不去A学校,则不同的分配方法有 ()A.72种B.108种C.180种D.360种答案 C8.(2019福建厦门一中月考,7)小明和小红都计划在国庆节的7天假期中到厦门“两日游”,若他们不同一天出现在厦门,则他们出游的不同方案共有()A.16种B.18种C.20种D.24种答案 C9.(2021届浙江高考选考科目9月联考,15)某地需要安排人员分别在上午、下午、前半夜、后半夜四个时间段值班,要求每班至少含一名民警和一名医务人员,且至少有一名女性,每人值一班.现有民警4人(4男),医务人员6人(5女1男),其中民警甲不排上午,男医生不排上午、下午,则不同的安排方法有种.答案8640[教师专用题组]【综合集训】考法一排列、组合问题的解题方法1.(2018安徽合肥调研性检测,9)用数字0,1,2,3,4组成没有重复数字且大于3000的四位数,这样的四位数有 ( )A.250个B.249个C.48个D.24个答案 C 先考虑四位数的首位,当排数字4,3时,其他三个数位上可从剩余的4个数中任选3个进行全排列,得到的四位数都满足题设条件,因此依据分类加法计数原理可得满足题设条件的四位数共有2A 43=2×4×3×2=48个,故选C .2.(2017河南百校联考质检,7)甲、乙、丙、丁、戊、己6名同学站成一排照毕业相,要求甲不站在两侧,而且乙和丙相邻、丁和戊相邻,则不同的站法种数为 ( )A.60B.96C.48D.72答案 C 第一步:先把乙和丙,丁和戊看作两个整体,和己进行全排列,共有A 33A 22A 22种站法;第二步:安排甲,因为甲不站在两侧,所以从乙和丙,丁和戊,己之间的两个空中任取一个,共有2种站法,所以共有2A 33A 22A 22=48种不同的站法,选C .3.(2020吉林延边二中9月月考,8)某次演出共有6位演员参加,规定甲只能排在第一个或最后一个出场,乙和丙必须排在相邻的顺序出场,则不同的演出顺序共有 ( )A.24种B.144种C.48种D.96种答案 D 把乙、丙看作一个元素,此时有5个元素,若甲排第一个,有A 44A 22=48种情况,若甲排最后一个,有A 44A 22=48种情况,共有48+48=96种情况,故选D.解题关键本题主要考查排列的应用,结合特殊元素优先法以及相邻问题捆绑法是解决本题的关键.4.(2018福建福州二模,8)福州西湖公园花展期间,安排6位志愿者到4个展区提供服务,要求甲、乙两个展区各安排一个人,剩下两个展区各安排两个人,不同的安排方案共有( )A.90种B.180种C.270种D.360种答案 B 根据题意,分3步进行分析:①在6位志愿者中任选1位,安排到甲展区,有C 61=6种情况;②在剩下的5位志愿者中任选1位,安排到乙展区,有C 51=5种情况;③将剩下的4位志愿者平均分成2组,然后安排到剩下的2个展区,有C 42C 22A 22×A 22=6种情况,则一共有6×5×6=180种不同的安排方案,故选B.5.(2018豫北名校联考,9)2018年元旦假期,某校高三的8名同学准备拼车去旅游,其中(1)班、(2)班、(3)班、(4)班每班各两名.8名同学分乘甲、乙两辆汽车,每车限坐4名同学(乘同一辆车的4名同学不考虑位置),其中(1)班两位同学是孪生姐妹,需乘同一辆车,则乘坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自同一个班的乘坐方式共有()A.18种B.24种C.48种D.36种答案B由题意,有两类:第一类,(1)班的2名同学在甲车上,甲车上剩下2名同学要来自不同的班级,从3个班级中选2个班级,有C32=3种情况,然后分别从选择的班级中再选择1名同学,有C21C21=4种情况,故有3×4=12种情况.第二类,(1)班的2名同学不在甲车上,则从剩下的3个班级中选择1个班级的2名同学坐在甲车上,有C31=3种情况,然后再从剩下的2个班级中分别选择1名同学,有C21C21=4种情况,这时共有3×4=12种情况.根据分类加法计数原理得,共有12+12=24种不同的乘车方式,故选B.6.(2017江西八所重点中学联合模拟,13)摄像师要对已坐定一排照相的5位小朋友的座位顺序进行调整,要求其中恰有2人座位不调整,则不同的调整方案的种数为.(用数字作答)答案20解析从5人中任选3人有C53种,将3人位置全部进行调整,有C21·C11·C11种,故有C53·C21·C11·C11=20种调整方案.思路分析先考虑从5人中任选3人的方法数,再考虑3人位置全调的方法数,进而利用分步乘法计数原理得结果.7.(2019北京昌平二模,12)2019年3月2日,昌平“回天”地区开展了7种不同类型的“三月雷锋月,回天有我”社会服务活动.其中有2种活动既在上午开展、又在下午开展,3种活动只在上午开展,2种活动只在下午开展.小王参加了两种不同的活动,且分别安排在上、下午,那么不同安排方案的种数是.答案18解析不同安排方案的种数为C51C21+C21C31+C21C11=18.8.(2018北京西城一模,13)安排甲、乙、丙、丁4人参加3个运动项目,每人只参加一个项目,每个项目都有人参加.若甲、乙2人不能参加同一个项目,则不同的安排方案的种数为.(用数字作答)答案30解析不同的安排方案的种数为C31×C21×(C21+C31)=30.11 考法二分组、分配问题的解题方法1.(2018广东珠海模拟,7)将5个不同的球放入4个不同的盒子中,每个盒子至少放一个球,则不同放法共有 ( )A.480种B.360种C.240种D.120种答案 C 根据题意,将5个不同的球放入4个不同的盒子中,每个盒子至少放一个球,则必须有2个小球放入1个盒子,其余的小球各单独放入一个盒子,分2步进行分析:①先将5个小球分成4组,有C 52=10种分法;②将分好的4组全排列,放入4个盒子,有A 44=24种情况,则不同的放法有10×24=240种.故选C.思路分析根据题意,分2步进行分析:①先将5个小球分成4组,②将分好的4组全排列,放入4个盒子,由分步乘法计数原理计算可得答案.方法总结本题中涉及分组分配问题:先分组再分配.若涉及均匀分组问题,在均匀分成n 组时,注意除以A C C .2.(2019辽宁大连模拟,7)把标号为1,2,3,4的四个小球分别放入标号为1,2,3,4的四个盒子中,每个盒子只放一个小球,则1号球不放入1号盒子的方法共有 ( )A.18种B.9种C.6种D.3种答案 A 由于1号球不放入1号盒子,则1号盒子有2、3、4号球三种选择,剩余的三个球可以任意放入2、3、4号盒子中,则2号盒子有三种选择,3号盒子还剩两种选择,4号盒子只有一种选择,故1号球不放入1号盒子的方法有C 31·C 31·C 21·1=18种.故选A.3.(2019山西高考考前适应性模拟(三),15)将5名学生分配到3个社区参加社会实践活动,每个社区至少分配一人,则不同的分配方案有种.(填写数字)答案 150解析当一个社区3人,其他社区各1人时,方案有C 53A 33=60种;当一个社区1人,其他社区各2人时,方案有C 51C 42C 22A 22·A 33=90种.故不同的分配方案共有150种.。

2020年高考理科数学一轮复习题型归纳与变式演练专题12《计数原理、排列组合》

2020年高考理科数学一轮复习题型归纳与变式演练专题12《计数原理、排列组合》【题型一】、分类计数原理【题型二】、分步计数原理【题型三】、排列数、组合数计算【题型四】、排列组合常见问题及解法一、分析题意明确是分类问题还是分步问题，是排列还是组合问题二、特殊元素，优先处理；特殊位置，优先考虑三、捆绑与插空四、间接法五、隔板法六、定序问题七、排列组合综合应用【题型一】、分类计数原理【例1】某电脑用户计划使用不超过500元购买单价分别为60元、70元的电脑软件和电脑元件，根据需要，软件至少买3个，元件至少买2个，则不同的选购方法有（）A.5B.6C.7D.8【思路点拨】采用列举法分类讨论。

【解析】买软件3个和元件买2个共需要320元，还剩180元可以自由支配。

下面考虑这180元的使用：1类：只再买0个软件，剩下的180元可以不买元件或买1个元件或买2个元件，共3种方法；2类：只再买1个软件，剩下的120元可以不买元件或买1个元件，共2种方法；3类：只再买2个软件，剩下的60元不可以买元件，共1种方法；4类：只再买3个软件，剩下的0元不可以买元件，共1种方法；故不同的方法共有2+1+1+3=7种。

【总结升华】选择恰当的分类标准，作到不重不漏。

本题也可以用线形规划的整数解的方法解决。

【变式训练】：【变式1】在所有两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个?【答案】按个位数字是2，3，4，5，6，7，8，9分成8类，在每一类中满足条件的两位数分别是1个，2个，3个，4个，5个，6个，7个，8个.则共有1+2+3+4+…+7+8=36（个）.【变式2】在一块并排的10垄田地中，选择二垄分别种植A、B两种作物，每种种植一垄，为有利于作物生长，要求A、B两种作物的间隔不少于6垄，不同的选法共有多少种。

【答案】条件中“要求A、B两种作物的间隔不少于6垄”这个条件不容易用一个包含排列数，组合数的式子表示，因而采取分类的方法。

2020高三数学(人教版)一轮复习计数原理与排列组合

[答案] 63
(1)利用分步乘法计数原理解决问题时要注意按事件发生的过程来合理分步，即分步是有先后顺序的，并且分步必须满足：完成一件事的各个步骤是相互依存的，只有各个步骤都完成了，才算完成这件事．
(2)谨记分步必须满足的两个条件：一是各步骤互相独立，互不干扰；二是步与步确保连续，逐步完成．
两个计数原理的综合问题
在解决实际问题的过程中，并不一定是单一的分类或分步，而可能是同时应用两个计数原理，即分类时，每类的方法可能要运用分步完成，而分步时，每步的方法数可能会采取分类的思想求解．分类的关键在于做到“不重不漏”，分步的关键在于正确设计分步的程序，即合理分类，准确分步．
[例 3] (1)用数字 0,1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数，
又有一天，你想从陆丰到长沙，共有几种出行方式？
已知两地之间没有直达车，现在打算从深圳转车，其中陆丰到深圳动车高铁共有35班，深圳到长沙共5班列车。
分步乘法计数原理能用分步乘法计数原理解决的问题具有以下特点： (1)完成一件事需要经过 n 个步骤，缺一不可． (2)完成每一步有若干种方法． (3)把各个步骤的方法数相乘，就可以得到完成这件事的所有方法数．
3．两个计数原理的比较
名称
分类加法计数原理
分步乘法计数原理
相同点
都是解决完成一件事的不同方法的种数问题
运用加法运算
运用乘法运算
分类完成一件事，并且每类办法中的每种方法都能不同点独立完成这件事情，要注意“类”与“类”之间的独立性和并列性．分类计数原理可利用“并联”电路来理解
分步完成一件事，并且只有各个步骤都完成才算完成这件事情，要注意“步” 与“步”之间的连续性．分步计数原理可利用 “串联”电路来理解

2020高考数学20.1 计数原理与排列组合

解析 (1)3个女同学是特殊元素,共有 A33 种排法;由于3个女同学必须排在一起,视排好的女同学为一整体,再与4个男同学排队,应有 A55种排法. 由分步乘法计数原理,有 A33 A55 =720种不同排法. (2)先将男生排好,共有 A44 种排法,再在这4个男生的中间及两头的5个空档中插入3个女生有 A35 种方法. 故符合条件的排法共有 A44 A35 =1 440种. (3)先排甲、乙和丙3人以外的其他4人,有 A44 种排法;由于甲、乙要相邻, 故先把甲、乙排好,有 A22 种排法;最后把甲、乙排好的这个整体与丙分别插入原先排好的4人的空档及两边有 A52 种排法. 总共有 A44 A22 A52 =960种不同排法.
例某课外活动小组共13人,其中男生8人,女生5人,并且男、女生各指定一名队长.现从中选5人主持某种活动,依下列条件各有多少种选法? (1)只有一名女生; (2)两队长当选; (3)至少有一名队长当选; (4)至多有两名女生当选; (5)既要有队长,又要有女生当选. 解题导引某些人被选中,主要是将所有人恰当地分组,“至少”或 “最多”含有几个元素的题型,若直接法分类复杂时,逆向思维,间接求解.
考点二排列
考向基础 1.排列的定义:一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.

2.排列数的定义:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数,用符号 Amn 表示.
分类计数原理.
(2)由于要分成两个小组去两个地方,故需要分步安排,计数时需要用分
步计数原理.
解析 (1)由题意知,满足题设的取法可分为三类:一是四个奇数相加,其和为偶数,在5个奇数1,3,5,7,9中,任意取4个,有 C54 =5(种);二是两个奇数加两个偶数,其和为偶数,在5个奇数中任取2个,再在4个偶数2,4,6,8中任取2个,有 C52·C 24 =60(种);三是四个偶数相加,其和为偶数,4个偶数的取法有1种,所以满足条件的取法共有5+60+1=66(种). (2)分两步:第一步,选派一名教师到甲地,另一名到乙地,共有 C12=2(种)选派方法;第二步,选派两名学生到甲地,另外两名到乙地,共有 C24=6(种)选派方法.由分步乘法计数原理得不同的选派方案共有2×6=12(种). 答案 (1)66 (2)12

高考数学计数原理、排列与组合高考真题

专题十计数原理10.1 计数原理、排列与组合考点计数原理、排列、组合1.(2020新高考Ⅰ,3,5分)6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者,每名同学只去1个场馆,甲场馆安排1名,乙场馆安排2名,丙场馆安排3名,则不同的安排方法共有( )A.120种B.90种C.60种D.30种答案 C 解题思路:第一步:安排甲场馆的志愿者,则甲场馆的安排方法有C 61=6种,第二步:安排乙场馆的志愿者,则乙场馆的安排方法有C 52=10种,第三步:安排丙场馆的志愿者,则丙场馆的安排方法有C 33=1种.所以共有6×10×1=60种不同的安排方法.故选C (易错:注意分配到每个场馆的志愿者是不分顺序的,所以不用全排列).2.(2022新高考Ⅱ,5,5分,应用性)甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演,若甲不站在两端,丙和丁相邻,则不同的排列方式共有( )A.12种B.24种C.36种D.48种答案 B 丙和丁相邻共有A 22·A 44种站法,甲站在两端且丙和丁相邻共有C 21·A 22·A 33种站法,所以甲不站在两端且丙和丁相邻共有A 22·A 44−C 21·A 22·A 33=24种站法,故选B .3.(2021全国乙理,6,5分)将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训,每名志愿者只分配到1个项目,每个项目至少分配1名志愿者,则不同的分配方案共有( )A.60种B.120种C.240种D.480种答案 C 先将5人分为4组,其中一组有2人,另外三组各1人,共有C 52=10种分法,然后将4个项目全排列,共有A 44=24种排法,根据分步乘法计数原理得到不同的分配方案共有C 52·A 44=240种,故选C .易错警示本题容易出现将5人分为4组,共有分法C 52·C 31·C 21=60种的错误结果.4.(2016四川理,4,5分)用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中奇数的个数为( )A.24B.48C.60D.72答案 D 奇数的个数为C 31A 44=72.5.(2015四川理,6,5分)用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中比40 000大的偶数共有( )A.144个B.120个C.96个D.72个答案B数字0,1,2,3,4,5中仅有0,2,4三个偶数,比40 000大的偶数为以4开头与以5开头的数.其中以4开头的偶数又分以0结尾与以2结尾,有2A43=48个;同理,以5开头的有3A43=72个.于是共有48+72=120个,故选B.评析本题考查了分类与分步计数原理、排列数的知识.考查学生分析问题、解决问题的能力.6.(2014大纲全国理,5,5分)有6名男医生、5名女医生,从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组.则不同的选法共有()A.60种B.70种C.75种D.150种答案C从6名男医生中选出2名有C62种选法,从5名女医生中选出1名有C51种选法,由分步乘法计数原理得不同的选法共有C62·C51=75种.故选C.7.(2014辽宁理,6,5分)6把椅子摆成一排,3人随机就座,任何两人不相邻的坐法种数为()A.144B.120C.72D.24答案D先把三把椅子隔开摆好,它们之间和两端有4个位置,再把三人带椅子插放在四个位置,共有A43=24种放法,故选D.8.(2014四川理,6,5分)六个人从左至右排成一行,最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,则不同的排法共有()A.192种B.216种C.240种D.288种答案B若最左端排甲,其他位置共有A55=120种排法;若最左端排乙,最右端共有4种排法,其余4个位置有A44=24种排法,所以共有120+4×24=216种排法.9.(2014重庆理,9,5分)某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序,则同类节目不相邻的排法种数是()A.72B.120C.144D.168答案B先不考虑小品类节目是否相邻,保证歌舞类节目不相邻的排法共有A33·A43=144种,再剔除小品类节目相邻的情况,共有A33·A22·A22=24种,于是符合题意的排法共有144-24=120种.10.(2013山东理,10,5分)用0,1,…,9十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为()A.243B.252C.261D.279答案B由分步乘法计数原理知:用0,1,…,9十个数字组成三位数(可有重复数字)的个数为9×10×10=900,组成没有重复数字的三位数的个数为9×9×8=648,则组成有重复数字的三位数的个数为900-648=252,故选B.评析本题考查分步乘法计数原理,考查学生的推理运算能力.11.(2012课标理,2,5分)将2名教师,4名学生分成2个小组,分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动,每个小组由1名教师和2名学生组成,不同的安排方案共有()A.12种B.10种C.9种D.8种答案A2名教师各在1个小组,给其中1名教师选2名学生,有C42种选法,另2名学生分配给另1名教师,然后将2个小组安排到甲、乙两地,有A22种方案,故不同的安排方案共有C42A22=12种,选A.评析本题考查了排列组合的实际应用,考查了先分组再分配的方法.12.(2012辽宁理,5,5分)一排9个座位坐了3个三口之家.若每家人坐在一起,则不同的坐法种数为()A.3×3!B.3×(3!)3C.(3!)4D.9!答案C第1步:3个家庭的全排列,方法数为3!;第2步:家庭内部3个人全排列,方法数为3!,共3个家庭,方法数为(3!)3,∴总数为(3!)×(3!)3=(3!)4,故选C.评析本题主要考查计数原理的基础知识,考查学生分析、解决问题的能力.13.(2012安徽理,10,5分)6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换,任意两位同学之间最多交换一次,进行交换的两位同学互赠一份纪念品.已知6位同学之间共进行了13次交换,则收到4份纪念品的同学人数为()A.1或3B.1或4C.2或3D.2或4答案D由题意及C62=15知只需少交换2次.记6位同学为A1、A2、A3、A4、A5、A6,不妨讨论①A1少交换2次,如A1未与A2、A3交换,则收到4份纪念品的同学仅为A2、A3 2人;②A1、A2各少交换1次,如A1与A3未交换,A2与A4未交换,则收到4份纪念品的同学有4人,为A1、A2、A3、A4.故选D.14.(2016课标Ⅱ,5,5分)如图,小明从街道的E处出发,先到F处与小红会合,再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为()A.24B.18C.12D.9答案B分两步,第一步,从E→F,有6条可以选择的最短路径;第二步,从F→G,有3条可以选择的最短路径.由分步乘法计数原理可知有6×3=18条可以选择的最短路径.故选B.思路分析小明到老年公寓,需分两步进行,先从E到F,再从F到G,分别求各步的最短路径条数,再利用分步乘法计数原理即可得结果.15.(2016课标Ⅲ,12,5分)定义“规范01数列”{a n}如下:{a n}共有2m项,其中m项为0,m项为1,且对任意k≤2m,a1,a2,…,a k中0的个数不少于1的个数,若m=4,则不同的“规范01数列”共有()A.18个B.16个C.14个D.12个答案C当m=4时,数列{a n}共有8项,其中4项为0,4项为1,要满足对任意k≤8,a1,a2,…,a k中0的个数不少于1的个数,则必有a1=0,a8=1,a2可为0,也可为1.(1)当a2=0时,分以下3种情况:①若a3=0,则a4,a5,a6,a7中任意一个为0均可,则有C41=4种情况;②若a3=1,a4=0,则a5,a6,a7中任意一个为0均可,有C31=3种情况;③若a3=1,a4=1,则a5必为0,a6,a7中任一个为0均可,有C21=2种情况;(2)当a2=1时,必有a3=0,分以下2种情况:①若a4=0,则a5,a6,a7中任一个为0均可,有C31=3种情况;②若a4=1,则a5必为0,a6,a7中任一个为0均可,有C21=2种情况.综上所述,不同的“规范01数列”共有4+3+2+3+2=14个,故选C.思路分析根据题意可知a1=0,a8=1,进而对a2,a3,a4取不同值进行分类讨论(分类要做到不重不漏),从而利用分类加法计数原理求出不同的“规范01数列”的个数.16.(2018浙江,16,4分)从1,3,5,7,9中任取2个数字,从0,2,4,6中任取2个数字,一共可以组成个没有重复数字的四位数.(用数字作答)答案 1 260解析本小题考查排列、组合及其运用,考查分类讨论思想.含有数字0的没有重复数字的四位数共有C52C31A31A33=540个,不含有数字0的没有重复数字的四位数共有C52C32A44=720个,故一共可以组成540+720=1 260个没有重复数字的四位数.易错警示数字排成数时,容易出错的地方:(1)数字是否可以重复;(2)数字0不能排首位.17.(2015广东理,12,5分)某高三毕业班有40人,同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言,那么全班共写了条毕业留言.(用数字作答)答案 1 560解析∵同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言,且全班共有40人,∴全班共写了40×39=1 560条毕业留言.18.(2013北京理,12,5分)将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人,每人至少1张.如果分给同一人的2张参观券连号,那么不同的分法种数是.答案96解析5张参观券分成4份,1份2张,另外3份各1张,且2张参观券连号,则有4种分法,把这4份参观券分给4人,则不同的分法种数是4A44=96.19.(2013大纲全国理,14,5分)6个人排成一行,其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有种.(用数字作答)答案480解析先将除甲、乙两人以外的4人排成一行,有A44=24种排法,再将甲、乙插入有A52=20种,所以6人排成一行,甲、乙不相邻的排法共有24×20=480种.20.(2013浙江理,14,4分)将A,B,C,D,E,F六个字母排成一排,且A,B均在C的同侧,则不同的排法共有种(用数字作答).答案480解析从左往右看,若C排在第1位,共有排法A55=120种;若C排在第2位,共有排法A42·A33=72种;若C排在第3位,则A、B可排C的左侧或右侧,共有排法A22·A33+A32·A33=48种;若C排在第4,5,6位时,其排法数与排在第3,2,1位相同,故共有排法2×(120+72+48)=480种.21.(2011北京理,12,5分)用数字2,3组成四位数,且数字2,3至少都出现一次,这样的四位数共有个.(用数字作答)答案14解析解法一:数字2只出现一次的四位数有C41=4个;数字2出现两次的四位数有C42C22=6个;数字2出现三次的四位数有C43=4个.故总共有4+6+4=14个.解法二:由数字2,3组成的四位数共有24=16个,其中没有数字2的四位数只有1个,没有数字3的四位数也只有1个,故符合条件的四位数共有16-2=14个.评析本题考查排列组合的基础知识,考查分类讨论思想,解题关键是准确分类,并注意相同元素的排列数等于不同元素的组合数.属于中等难度题.。

高考数学一轮总复习第十章排列与组合

组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数
(1)从中任取4张，共有________种不同取法；
(3)甲、乙两人至少有一人参加，有多少种选法？
• 拓直展接提法高求把解符排合列条应件用的问排题列的数主直要接方列法式计算
优先法优先安排特殊元素或特殊位置
故共有 C16C25C33＝60(种)．
(2)有序不均匀分组问题．由于甲、乙、丙是不同的三人，在(1)题基础上，还应考虑再分配，共有 C16C25C33A33＝360(种)． (3)无序均匀分组问题．先分三步，则应是 C26C24C22种方法，但是这里出现了重复．不妨记六本书为 A，B，C，D，E，F，若第一步取了 AB，第二步取了 CD，第三步取了 EF，记该种分法为(AB，CD，EF)，则 C26C24C22种分法中还有(AB，EF，CD)，
拓展提高组合问题常有以下两类题型：
法二 (特殊位置优先法)首尾位置可安排另 6 人中的两人，拓展提高均匀分组与不均匀分组、无序分组与有序分组是组合问题的常见题型．解决此类问题的关键是正确判断分组是均匀分组还
是不均匀分组，无序均匀分组要除以均匀组数的阶乘数，还要充分考虑到是否与顺序有关；
正难则有反、A等价26种转化排的方法法，其他有 A55种排法，共有 A26A55＝3 600(种)．
• 思路点拨要注意分析特殊元素是“含”、“不含”、“至少”、 “至多”．
[解] (1)共有 C318＝816(种)． (2)共有 C518＝8 568(种)． (3)分两类：甲、乙中有一人参加，甲、乙都参加，共有 C12C418＋C318＝6 936(种)． (4)(间接法)：由总数中减去五名都是内科医生和五名都是外科医生的选法种数，得 C520－(C512＋C58)＝14 656(种)．

2020年高考一轮复习数学(理)教学课件第十章计数原理与概率、随机变量及其分布第二节排列与组合

＝6(种)
分法，再将3组对应3个学校，有A33＝6(种)情况，则共有6×6
＝36(种)不同的保送方案.
考法(三) 不等分问题
[例3] 若将6名教师分到3所中学任教，一所1名，一所2
名，一所3名，则有___3_6_0___种不同的分法.
[解析] 将6名教师分组，分三步完成：
第1步，在6名教师中任取1名作为一组，有C16种取法；
本营陪同，要么参与搜寻近处投掷点的食物；③所有参与
搜寻任务的小孩须被均分成两组，一组去远处，一组去近
处.那么不同的搜寻方案有
( B)
A.10种
B.40种
C.70种
D.80种
解析：若Grace不参与任务，则需要从剩下的5位小孩中任意
挑出1位陪同，有C
1 5
种挑法，再从剩下的4位小孩中挑出2位
搜寻远处，有C
解析：由题意知两两彼此给对方写一条毕业留言相当于从40
人中任选两人的排列数，所以全班共写了A240＝40×39＝
1 560(条)毕业留言.
5.已知C1m5 －C1m6 ＝107Cm7 ，则m＝____2____.
解析：由已知得，m的取值范围为
m|0≤m≤5，m∈Z

，原等
式可化为
毕业生平均分到3所学校，共有C26CA2433C22·A33＝90(种)分派方法.
考法(二) 部分均分问题
[例2] 有4名优秀学生A，B，C，D全部被保送到甲、
乙、丙3所学校，每所学校至少去一名，则不同的保送方案
共有___3_6____种.
[解析]
先把4名学生分为2,1,1共3组，有
C24C12C11 A22
＝48(个)，故选C.
3.将7个人(其中包括甲、乙、丙、丁4人)排成一排，若甲不

2020年高考数学一轮复习人教班理科数学课件第十章第一节计数原理与排列组合

1．分类、分步的应用技巧 (1)分类：一般按特殊情况优先分类，每类中再分步计数，当分类不多时，可用枚举法，当分类较多时，也可用间接法求解． (2)分步：先按一定的顺序分步，再按特殊要求分类． 2．涂色、种植问题的解题关注点和关键 (1)关注点：首先分清元素的数目，其次分清在不相邻的区域内是否可以使用同类元素． (2)关键：是对每个区域逐一进行，选择下手点，分步处理． [提醒] 对于较复杂的两个原理综合应用的问题，可恰当画出示意
四基精演练 1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)在分步乘法计数原理中，事情是分步完成的，其中任何一个单独的步骤都不能完成这件事，只有每个步骤都完成后，这件事情才算完成．( √ )
(2)如果完成一件事情有 n 个不同步骤，在每一步中都有若干种不同的方法 mi(i＝ 1,2,3，…， n)，那么完成这件事共有 m1m2m3…mn 种方法．( √ )
－m
从 n 个不同元素中取出 m 个元素的方法数等于取出剩余 n－m 个元素的方法数．
m 1 m (2)Cm n ＋Cn ＝Cn＋1
－
从 n＋1 个不同元素中取出 m 个元素可分以下两种情况：①不含特
m 1 殊元素 A 有 Cm 种方法；②含特殊元素 A 有 C n n 种方法．
－
2．分类加法计数原理中各类办法之间是相互独立的，并列的，互斥的．分步乘法计数原理中各步之间是相互依存的．
m A n Cm ＝＝ n Am m
nn－1n－2…n－m＋1 m！
n－m m m－1 C n Cn ＝____________ ，Cm n ＋Cn m C n＋1 ＝____________
性质
1 ＝____________
[拓展] 1．正确理解组合数的性质

2023版高考数学一轮总复习10-1计数原理排列与组合习题

10.1 计数原理、排列与组合基础篇固本夯基考点计数原理、排列、组合1.(2020新高考Ⅰ,3,5分)6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者,每名同学只去1个场馆,甲场馆安排1名,乙场馆安排2名,丙场馆安排3名,则不同的安排方法共有( )A.120种B.90种C.60种D.30种答案 C2.(2021全国乙,6,5分)将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训,每名志愿者只分配到1个项目,每个项目至少分配1名志愿者,则不同的分配方案共有( )A.60种B.120种C.240种D.480种答案 C3.(2016课标Ⅱ,5,5分)如图,小明从街道的E处出发,先到F处与小红会合,再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( )A.24B.18C.12D.9答案 B4.(2021江西宜春月考,8)“回文数”是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数.如22,121,3443等.那么在四位数中,回文数共有( )A.81个B.90个C.100个D.900个答案 B5.(2022届新疆莎车一中期中,7)7个人排成一排准备照一张合影,其中甲、乙要求相邻,丙、丁要求分开,则不同的排法有( )A.480种B.720种C.960种D.1200种答案 C6.(2022届哈尔滨六中期中,8)用1,2,3,4,5,6六个数字组成六位数,其中奇数不相邻且1、2必须相邻,则满足要求的六位数共有( )A.72个B.96个C.120个D.288个答案 A7.(2021四川顶级名校检测,7)成都七中举行的秋季运动会中,有甲、乙、丙、丁四位同学参加了50米短跑比赛,现将四位同学安排在1,2,3,4这4个跑道上,每个跑道安排一名同学,则甲不在1跑道,乙不在2跑道的不同安排方法有( )A.12种B.14种C.16种D.18种答案 B8.(2020合肥模拟,6)为了加强“精准扶贫”,实现伟大复兴的“中国梦”,某大学派遣甲、乙、丙、丁、戊五位同学参加A、B、C三个贫困县的调研工作,每个县至少去1人,且甲、乙两人约定去同一个贫困县,则不同的派遣方案共有( )A.24种B.36种C.48种D.64种答案 B9.(2021河南顶级名校月考,11)甲、乙、丙、丁、戊五位妈妈相约各带一个小孩去观看花卉展,她们选择共享电动车出行,每辆电动车只能载两人,其中孩子们表示都不坐自己妈妈的车,甲的小孩一定要坐戊妈妈的车,则她们坐车不同的搭配方式有( )A.12种B.11种C.10种D.9种答案 B10.(2022届福建泉州科技中学月考,6)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一,它的形状可视为一个正四棱锥.如图,将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色,并使同一条棱上的两端异色,如果只有5种颜色可供使用,则不同的染色方法总数为( )A.180B.240C.420D.480答案 C11.(2021宁夏顶级名校月考,14)4位顾客将各自的帽子随意放在衣帽架上,然后,每人随意取走一顶帽子,则4人取的都不是自己帽子的取法有种.答案912.(2022届成都石室中学10月月考,15)一条路上有10盏路灯,为节约资源,准备关闭其中的3盏.为安全起见,不能关闭两端的路灯,也不能关闭任意相邻的两盏路灯.则不同的关闭路灯的方法有种.答案20综合篇知能转换考法一排列问题的解决方法1.(2022届银川一中月考三,10)2021年1月18日,国家航天局探月与航天工程中心组织完成了我国首辆火星车全球征名活动的初次评审.初评环节遴选出弘毅、麒麟、哪吒、赤兔、祝融、求索、风火轮、追梦、天行、星火共10个名称,作为我国首辆火星车的命名范围.某同学为了研究这些初选名字的内涵,计划从中随机选取4个依次进行分析,若同时选中哪吒、赤兔,则哪吒和赤兔连续被分析,否则随机依次分析,则所有不同的分析情况有( )A.4704种B.2800种C.2688种D.3868种答案 A2.(2021皖江名校联盟,9)有8位学生春游,其中小学生2名、初中生3名、高中生3名.现将他们排成一列,要求2名小学生相邻、3名初中生相邻,3名高中生中任意两名都不相邻,则不同的排法种数有( )A.288种B.144种C.72种D.36种答案 B3.(2021四川宜宾重点高中二诊,8)受新冠病毒肺炎疫情影响,某学校按上级文件指示,要求错峰放学,错峰有序吃饭.高三年级一层楼六个班排队,甲班必须排在前三位,且丙班、丁班必须排在一起,则这六个班排队吃饭的不同安排方案共有( )A.240种B.120种C.188种D.156种答案 B4.(2018浙江,16,4分)从1,3,5,7,9中任取2个数字,从0,2,4,6中任取2个数字,一共可以组成个没有重复数字的四位数.(用数字作答)答案12605.(2021河南部分重点高中联考,16)中国古典乐器一般按“八音”分类,这是我国最早按乐器的制造材料来对乐器进行分类的方法,最早见于《周礼·春官·大师》.八音分为“金、石、土、革、丝、木、匏、竹”,其中“金、石、木、革”为打击乐器,“土、匏、竹”为吹奏乐器,“丝”为弹拨乐器.某同学安排了包括“土、匏、竹”在内的六种乐器的学习,每种乐器安排一节,连排六节,并要求“土”与“匏”相邻排课,但均不与“竹”相邻排课,且“丝”不能排在第一节,则不同的排课方式的种数为.答案12966.(2022届江西智学联盟联考一,15)某公司在元宵节组织了一次猜灯谜活动,主持人事先将10条不同的灯谜分别装在了如图所示的10个灯笼中,猜灯谜的职员每次只能任选每列最下面的一个灯笼中的谜语来猜(无论猜中与否,选中的灯笼都被拿掉),则这10条灯谜依次被选中的所有不同顺序种数为.(用数字作答)答案252007.(2022届陕西渭南联考,16)生活中人们常用“通五经贯六艺”形容一个人才识技艺过人,这里的“五经”是儒家典籍《周易》《尚书》《诗经》《礼记》《春秋》的合称.为弘扬中国传统文化,某校在周末兴趣活动中开展了“五经”知识讲座,每经排1节,连排5节,则满足《诗经》排在后2节,《周易》和《礼记》分开安排的情形共有种.答案28考法二分组与分配问题的解题方法1.(2017课标Ⅱ,6,5分)安排3名志愿者完成4项工作,每人至少完成1项,每项工作由1人完成,则不同的安排方式共有( )A.12种B.18种C.24种D.36种答案 D2.(2020吉林松原实验中学八模,6)某校将5名插班生甲、乙、丙、丁、戊编入3个班级,每班至少1人,则不同的安排方案共有( )A.150种B.120种C.240种D.540种答案 A3.(2022届重庆巴蜀中学月考,15)某地举办庆祝建党100周年“奋进新时代,学习再出发”的党史知识竞赛.已知有15个参赛名额分配给甲、乙、丙、丁四支参赛队伍,其中一支队伍分配有7个名额,余下三支队伍都有参赛名额,则这四支队伍的名额分配方案有种.答案844.(2018课标Ⅰ,15,5分)从2位女生,4位男生中选3人参加科技比赛,且至少有1位女生入选,则不同的选法共有种.(用数字填写答案)答案165.(2020课标Ⅱ,14,5分)4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动,每名同学只去1个小区,每个小区至少安排1名同学,则不同的安排方法共有种.答案366.(2021云南顶级名校检测,15)某班6名同学去A,B,C,D四个城市参加社会调查,要求将这6名同学分成四组,每组去一个城市,其中两组各有两名同学,另外两组各有1名同学,则不同的分配方案的种数是.(用数字作答)答案1080。

高考总复习一轮数学精品课件第11章计数原理、概率、随机变量及其分布第1节排列与组合

各个步骤之间不重复、不遗漏.
2.排列与组合的概念
名称
排列
组合
定义
一定的顺序
按照__________排成一列
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素
作为一组
微点拨定义中规定m≤n,如果m<n,则这样的排列只是取一部分元素作排列,
叫做选排列;如果m=n,则这样的排列是取出所有元素作排列,叫做全排列.
微思考排列问题与组合问题的区别是什么?
解析 (方法 1 直接法)甲在 6 种课外读物中任选 2 种,有C62 种选法,乙在甲选
的 2 种课外读物中挑一种有C21 种选法,乙在甲选 2 种课外读物后剩下的 4 种
中选一种有C41 种选法,则这两人选读的课外读物中恰有一种相同的选法共有
C62
·C21
·C41
=
6×5
×2×4=120
种.
2×1
第13题
第13题
第19题第21题第12题
优化备考策略
1.概率与统计在高考命题中常整体统筹,本章在高考中至少命制一道客观
题,对于解答题,要么倾向于考查概率和分布列,要么侧重成对数据的统计
分析.有时也把二者综合命题.
2.从考查内容上看,选择、填空题中主要考查排列组合、古典概型、条件
概率、正态分布等.解答题常以现实生产、生活、科技等真实情境为背景,

.

A
-1
有种方法.
自主诊断
题组一思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”)
1.在分类加法计数原理中,每类方案中的每种方法都能直接完成这件事.
( √ )
2.所有元素完全相同的两个排列为相同排列.( × )

2020届高考数学(理)一轮复习精品特训专题十：计数原理(4)排列与组合A

第二类,甲、乙都参加时,则有种选法.
∴共有种选法.
6答案及解析：
答案：C
解析：
由组合数的性质得或 ,解得或 ,故选C.
7答案及解析：
答案：B
解析：将5名实习生分配到3个班实习,每班至少1名,有2种情况:
①将5名生分成三组,一组1人,另两组都是2人,有种分组方法,再将3组分到3个班,共有种不同的分配方案,
计数原理（4）排列与组合A
1、若且，则等于( )
Байду номын сангаасA. B. C. D.
2、用0,1,2,3,4组成没有重复数字的全部五位数中,若按从小到大的顺序排列,则数字12340应是第( )个数.
A.6 B.9 C.10 D.8
3、某科技小组有6名同学,现从中选出3人去参加展览,至少有1名女生人选时的不同选法有16种,则小组中的女生数目为( )
3答案及解析：
答案：A
解析：设有女生人,则有男生人,依题意得 ,∴ ,将各选项选项代入验证,可知 ,故选A.
4答案及解析：
答案：A
解析：由题意,6本不同的书在书架上摆成一排,要求甲、乙两本书必须摆放在两端,丙,丁两本书必须相邻,利用捆绑法,可得不同的摆放方法有种.
5答案及解析：
答案：C
解析：分两类:第一类,甲、乙中只有一人参加,则有种选法.
②将5名生分成三组,一组3人,另两组都是1人,有种分组方法,再将3组分到3个班,共有种不同的分配方案,
共有种不同的分配方案,故选B.
8答案及解析：
答案：D
解析：如图，设需要涂色的四个部分依次分①②③④,对于区域①，有4种颜色可选，有4种涂色方法;对于区域②，与区域①相邻，有3种颜色可选，有3种涂色方法;对于区域③,与区域①②相邻,有除①②所涂颜色之外的2种颜色可涂，有2种涂色方法；对于区域④，与区域②③相邻,有除②③所涂颜色之外的2种颜色可涂，有2种涂色方法,则不同的涂色方法有种，故选D.

(新课标)高考数学一轮复习 10.1计数原理、排列与组合名师课件

3.将三个分别标有A,B,C的小球随机地放入编号分别为1,2,3,4的四个盒子中,则1号盒子内有球的不同放法的种数为 ( ) A.27 B.37 C.64 D.81
答案 B 1号盒子内有1个球,共有 C×133×3=27种不同放法; 1号盒子内有2个球,共有 C32×3=3×3=9种不同放法; 1号盒子内有3个球,共有1种放法. 由分类加法计数原理知不同放法共有27+9+1=37种,故选B.
(3)插空法.先排4名男生有
A
4种方法,再将5名女生插空,有
4
A种55 方法,故共有
A44·A55=2 880(种)排法.
1-2 用0,1,3,5,7五个数字,可以组成多少个没有重复数字且5不在十位位置上的五位数?
解析本题可分两类:第一类:0在十位位置上,这时,5不在十位位置上,所以符合条件的五位数的个数为 A44=24.第二类:0不在十位位置上,这时,由于 5不能排在十位位置上,所以十位位置上只能排1,3,7之一,这一步有 A1=3 3种方法.又由于0不能排在万位位置上,所以万位位置上只能排5或1,3,7被选作十位位置上的数字后余下的两个数字之一,这一步有方法 A13=3(种).十位、万位位置上的数字选定后,其余三个数字全排列即可,这一步有方法 =6 (种).根据分步计数原理知,第二类中符合条件的五位数的个数为 A1·3 A·1333 A=33
1.高三(1)班需要安排毕业晚会的4个音乐节目、2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序,要求2个舞蹈节目不连排,则不同排法的种数是 ( )
A.1 800 B.3 600 C.4 320 D.5 040 答案 B 两个舞蹈节目不连排,可先安排4个音乐节目和1个曲艺节目,
有A55种排法;再将2个舞蹈节目插到6个空中的2个中去,有 A种62 排法,故由分步计数原理,有 A55·A6=2 3 600种.故选B.

(湖南专用)2020届高考数学一轮复习第十章计数原理10.2排列与组合教学案理

10.2 排列与组合考纲要求1．理解排列的概念及排列数公式，并能利用公式解决一些简单的实际问题．2．理解组合的概念及组合数公式，并能利用公式解决一些简单的实际问题．1．排列与排列数：“排列”与“排列数”是两个不同的概念，“一个排列”是指“从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列”，它是一件事情，只有元素与其排列顺序都相同的排列才是同一排列；“排列数”是指“从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数”，它是所有不同排列的个数，是一个数值．排列数公式A m n＝________________，右边的第一个因数是n，后面的每一个因数都比前面一个少1，最后一个是n－m＋1，共____个连续正整数相乘．当m，n较小时，可利用该公式计数；排列数公式还可表示成A m n＝__________，它主要有两个作用：一是当m，n较大时，可利用计算器计算阶乘数，二是对含字母的排列数式子进行变形和论证时，写出这种形式更便于发现它们之间的规律．2．组合与组合数：“一个组合”是指“从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组”，它是一件事情；“组合数”是指“从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数”，它是一个数值．组合数公式的推导要借助于排列数公式，公式C m n＝A m nA m m ＝__________________，其分子的组成与排列数A m n相同，分母是m个元素的全排列数．当m，n较小时，可利用该公式计数；组合数公式还可以表示成C m n＝______，它有两个作用：一是当m，n较大时，可利用计算器计算阶乘数，二是对含字母的组合数式子进行变形和论证．3．组合数公式有两个性质：(1)C m n＝______，该公式说明，从n个不同元素中取出m个元素与从n个不同元素中取出n－m个元素是一一对应关系，实际上就是“取出的”与“留下的”是一一对应关系；(2)C m n＋1＝__________________，该公式说明，从a1，a2，…，a n＋1中取出m个元素的组合数C m n＋1可以分成两类：第一类含有元素a1，共C m－1n个；第二类不含元素a1，共C m n个．1．8名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为( )．A．A88A29B．A88C29C．A88A27D．A88C272．(2012山东高考)现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张．不同取法的种数为( )．A．232 B．252 C．472 D．4843．设集合S＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，集合A＝{a1，a2，a3}是S的子集，且a1，a2，a3满足a1＜a2＜a3，a3－a2≤6，则满足条件的集合A的个数为( )．A．78 B．76 C．84 D．834．刘、李两家各带一个小孩一起到公园游玩，购票后排队依次入园．为安全起见，首尾一定要有两位爸爸，另外，两位小孩一定要排在一起，则这6人入园的顺序排法共有__________种．5．5个人站成一排，其中甲、乙两人不相邻的排法有________种(用数字作答)．一、有限制条件的排列问题【例1－1】用1,2,3,4,5,6组成六位数(没有重复数字)，要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻，这样的六位数的个数是__________(用数字作答)．【例1－2】甲、乙、丙、丁四名同学排成一排，分别计算满足下列条件的排法种数：(1)甲不在排头、乙不在排尾；(2)甲不在第一位、乙不在第二位、丙不在第三位、丁不在第四位；(3)甲一定在乙的右端(可以不相邻)．方法提炼对于相邻问题，可以先将要求相邻的元素作为一个元素与其他元素进行排列，同时要考虑相邻元素的内部是否需要排列，这种方法称为“捆绑法”；对于不相邻的元素，可先排其他元素，然后将这些要求不相邻的元素插入空当，这种方法称为“插空法”；对于“在”或者“不在”的排列问题的计算方法主要有：位置优先法、元素优先法、间接计算法．请做演练巩固提升5二、组合问题【例2－1】某地政府召集5家企业的负责人开会，已知甲企业有2人到会，其余4家企业各有1人到会，会上有3人发言，则这3人来自3家不同企业的可能情况的种数为( )．A ．14B ．16C ．20D ．48【例2－2】某课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各指定一名队长．现从中选5人主持某种活动，依下列条件各有多少种选法？(1)只有一名女生；(2)两队长当选；(3)至少有一名队长当选；(4)至多有两名女生当选；(5)既要有队长，又要有女生当选．方法提炼1．注意问题有无顺序要求，一般有序问题用排列，无序问题用组合；2．有些复杂问题用直接法不好解决，往往选用间接法；3．均匀分组与不均匀分组、无序分组与有序分组是组合问题的常见题型．解决此类问题的关键是正确判断分组是均匀分组还是不均匀分组，无序分组要除以均匀组数的阶乘数；还要考虑到是否与顺序有关，有序分组要在无序分组的基础上乘分组数的阶乘数．请做演练巩固提升1三、排列与组合的综合应用【例3－1】现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机4项工作之一，每项工作至少有1人参加．甲、乙不会开车但能从事其他3项工作，丙、丁、戊都能胜任4项工作，则不同安排方案的种数是( )．A ．152B ．126C ．90D ．54【例3－2】 4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内．(1)恰有1个盒不放球，共有几种放法？(2)恰有1个盒内有2个球，共有几种放法？(3)恰有2个盒不放球，共有几种放法？方法提炼排列组合的综合题目，一般是先取出符合要求的元素组合(分组)，再对取出的元素排列，分组时要注意“平均分组”与“不平均分组”的差异及分组标准．请做演练巩固提升3排列组合的综合应用【典例】 (2012课标全国高考)将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有( )．A ．12种B ．10种C ．9种D ．8种解析：将4名学生均分为2个小组共有C 24C 22A 22＝3种分法，将2个小组的同学分给两名教师共有A 22＝2种分法，最后将2个小组的人员分配到甲、乙两地有A 22＝2种分法，故不同的安排方案共有3×2×2＝12种．答案：A答题指导：1.仔细审题，判断是排列问题还是组合问题，要按元素的性质分类，按事件发生的过程进行分类；2．深入分析，注意分清是乘还是加，要防止重复和遗漏；3．对限制条件较复杂的排列组合应用题，可分解成若干简单的基本问题后用两种计数原理来解决；4．由于排列组合问题的答案一般数目较大，不易直接验证，因此在检查结果时，应着重检查所设计的解决方案是否完备，有无重复和遗漏，也可采用多种不同的方法求解，看看结果是否相同．1．某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有( )．A．4种B．10种C．18种D．20种2．(2012陕西高考)两人进行乒乓球比赛，先赢3局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形(各人输赢局次的不同视为不同情形)共有( )．A．10种B．15种C．20种D．30种3．将5名学生分配到甲、乙两个宿舍，每个宿舍至少安排2名学生，那么互不相同的安排方法的种数为( )．A．10 B．20 C．30 D．404．从甲、乙等10名同学中挑选4名参加某项公益活动，要求甲、乙中至少有1人参加，则不同的挑选方法共有________种．5．4个男同学，3个女同学站成一排．(1)3个女同学必须排在一起，有多少种不同的排法？(2)任何两个女同学彼此不相邻，有多少种不同的排法？(3)其中甲、乙两同学之间必须恰有3人，有多少种不同的排法？(4)甲、乙两人相邻，但都不与丙相邻，有多少种不同的排法？(5)女同学从左到右按高矮顺序排，有多少种不同的排法？(3个女生身高互不相等)参考答案基础梳理自测知识梳理1．n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)m n ！(n －m )！2.n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)m ！n ！m ！(n －m )！3．C n m n - 1C C m m n n -+基础自测 1．A 解析：运用插空法．先将8名学生排列，有88A 种排法；再把2位老师插入8名学生形成的9个空中，有29A 种排法，因此共有8289A A 种排法．2．C 解析：完成这件事可分为两类，第一类3张卡片颜色各不相同共有C 34C 14C 14C 14＝256种；第二类3张卡片有两张同色且不是红色卡片共有C 13C 24C 13C 14＝216种，由分类加法计数原理得共有472种，故选C.3．D 解析：易知在满足a 1＜a 2＜a 3的集合A 中，仅有{1,2,9}不满足a 3－a 2≤6，故满足条件的集合A 的个数为39C －1＝83.4．24 解析：先将两位爸爸排在首尾，再将两位小孩视为一个整体同两位妈妈一起排列，最后将两位小孩内部进行排列，故这6人入园的顺序排法种数共有232232A A A ＝24.5．72 解析：其余三个人站成一排有A 33＝6种，甲、乙两人插空有A 24＝12种，共6×12＝72种．考点探究突破【例1－1】 40 解析：先将3,5排列，共有22A 种排法；再将4,6插空排列，有222A 种排法；最后将1,2插入3,4,5,6形成的空中，共有15C 种排法．由分步乘法计数原理，共有22A ·222A ·15C ＝40种．【例1－2】解：(1)①直接排，要分甲排在排尾和甲既不排在排头也不排在排尾两种情况．若甲排在排尾共有1313A A ＝6种排法．若甲既不在排头也不在排尾共有112222A A A ＝8种排法，由分类计数原理知满足条件的排法共有1313A A ＋112222A A A ＝14(种)．②也可间接计算：44A －23232A A +＝14(种)．(2)可考虑直接排法：甲有3种排法；若甲排在第二位，则乙有3种排法；甲、乙排好后，丙、丁只有一种排法，由分步计数原理知满足条件的所有排法共有3×3×1＝9(种)．(3)可先排丙、丁有24A 种排法，则甲、乙只有一种排法，由分步计数原理满足条件的排列共有24A ·1＝12(种)，或看作定序问题4422A A ＝12(种)．【例2－1】 B 解析：直接法：可分为两种情况：(1)甲企业选中1人，有1224C C ＝12种选法；(2)甲企业无人选中，有34C ＝4种选法，所以由分类计数原理可知共有12＋4＝16种可能．间接法：36C －2124C C ＝16.【例2－2】解：(1)依题意，应选一名女生，四名男生，故共有15C ·48C ＝350(种)．(2)将两队长作为一类，其他11人作为一类，故共有22C ·311C ＝165(种)．(3)至少有一名队长包含两类：只有一名队长和有两名队长，故共有：12C ·411C ＋22C ·311C ＝825(种)或采用排除法：513C －511C ＝825(种)． (4)至多有两名女生包含三类：有两名女生、只有一名女生、没有女生．故选法为： 25C ·38C ＋15C ·48C ＋58C ＝966(种)．(5)分两类：第一类女队长当选，有412C 种；第二类女队长不当选：14C ·37C ＋24C ·27C ＋34C ·17C ＋44C .故选法共有：412C ＋14C ·37C ＋24C ·27C ＋34C ·17C ＋44C ＝790(种)．【例3－1】 B 解析：(直接法)以从事司机工作为分类标准进行讨论：若有2人从事司机工作，则方案有2333C A ＝18；若有1人从事司机工作，则方案有123343C C A ＝108种，所以不同安排方案种数是18＋108＝126.(间接法)5人从事4项工作，所有不同安排方案的种数是2454C A ＝240.不符合要求的有两类：一是甲、乙都从事开车工作，有33A ＝6种；二是甲、乙有1人从事开车工作，它包括只有1人从事开车工作和有2人从事开车工作，故共有113233C C A ＋123243C C A ＝36＋72＝108种．所以不同安排方案种数是240－6－108＝126.【例3－2】解：(1)为保证“恰有1个盒不放球”，先从4个盒子中任意取出去一个，问题转化为“4个球，3个盒子，每个盒子都要放入球，共有几种放法？”即把4个球分成2,1,1的三组，然后再从3个盒子中选1个放2个球，其余2个球放在另外2个盒子内，由分步乘法计数原理，共有121443C C C ×22A ＝144(种)．(2)“恰有1个盒内有2个球”，即另外3个盒子放2个球，每个盒子至多放1个球，也即另外3个盒子中恰有一个空盒，因此，“恰有1个盒内有2个球”与“恰有1个盒不放球”是同一件事，所以共有144种放法．(3)确定2个空盒有24C 种方法．4个球放进2个盒子可分成(3,1)，(2,2)两类，第一类有序不均匀分组有312412C C A 种方法；第二类有序均匀分组有224222C C A ·22A 种方法．故共有2223122424412222C C C C C A A A ⎛⎫+⋅ ⎪⎝⎭＝84(种)．演练巩固提升1．B 解析：可分为两种情况：①画册2本，集邮册2本，则不同的赠送方法有24C ＝4×32＝6种．②画册1本，集邮册3本，则不同的赠送方法有14C ＝4种，∴共有6＋4＝10种．2．C 甲获胜有三种情况，第一种共打三局，甲全胜，此时，有一种情形；第二种共打四局，甲第四局获胜且前三局中只有两局获胜，此时，共有C 23＝3种情形；第三种共打五局，甲第五局获胜且前四局只有两局获胜，此时，共有C 24＝6种情形，所以甲赢共有10种情况，同理乙赢也有10种情形，故选C.3．B4．140 解析：∵从10名同学中挑选4名参加该项公益活动有410C 种不同挑选方法；从甲、乙之外的8名同学中挑选4名参加该项公益活动有48C 种不同挑选方法；∴甲、乙中至少有1人参加，则不同的挑选方法共有410C －48C ＝210－70＝140种．5．解：(1)3个女同学是特殊元素，我们先把她们排好，共有33A 种排法；由于3个女同学必须排在一起，我们可视排好的女同学为一整体，再与男同学排队，这时是5个元素的全排列，应有55A 种排法，由分步计数原理，有3535A A ＝720种不同排法．(2)先将男生排好，共有44A 种排法，再在这4个男生的中间及两头的5个空当中插入3个女生有35A 种方案，故符合条件的排法共有4345A A ＝1 440种不同排法．(3)甲、乙两人先排好，有22A 种排法，再从余下5人中选3人排在甲、乙两人中间，有35A 种排法，这时把已排好的5人视为一整体，与最后剩下的两人再排，又有33A 种排法，这样总共有233253A A A ＝720种不同排法．(4)先排甲、乙和丙3人以外的其他4人，有44A 种排法；由于甲、乙要相邻，故再把甲、乙排好，有22A 种排法；最后把甲、乙排好的这个整体与丙分别插入原先排好的4人的空当中有25A 种排法．这样，总共有422425A A A ＝960种不同排法．(5)从7个位置中选出4个位置把男生排好，则有47A 种排法．然后再在余下的3个空位置中排女生，由于女生要按身体高矮排列，故仅有一种排法．这样总共有47A ＝840种不同排法．。

2020年高考数学(理)热点专练11 计数原理(解析版)

热点11 计数原理【命题趋势】计数原理包含排列组合与二项式定理，在高考数学中通常是以选择题的形式呈现.另外在解答题中与统计概率相结合比较普遍.高考中通常难度不是很大，主要考查是排列与组合的先后顺序或者是有条件限制的排列与组合.二项式定理也是高考考查的一个重点，主要考查二项式定理的展开.本专题通过列举排列组合与二项式定理常见的考题类型，总结此些类型题目的解题方法以及易错点，能够让你在高考中遇到计数原理类型的题目能够迎刃而解. 【满分技巧】捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列. 相离问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法. 对于二项式定理的应用，只要会求对应的常数项以及对应的n 项即可，但是应注意是二项式系数还是系数. 【考查题型】选择题【限时检测】（建议用时：35分钟）1．（2019·广西高三月考）()()()()()423401234211111x a a x a x a x a x -=+-+---++等式中，则1234+++a a a a =（） A ．81 B ．80C ．65D ．64【答案】B 【解析】【分析】分别令1x =，2x =代入原式，即可求出结果. 【详解】因为()()()()()423401234211111x a a x a x a x a x -=+-+---++ 令1x =，可得()4021-=a ，即01a =；令2x =，可得：()40123441++-=++a a a a a ，即0123481++++=a a a a a ，所以1234+++81180=-=a a a a . 故选：B【名师点睛】本题主要考查二项式定理的应用，熟记二项式定理即可，属于常考题型.2．（2019·广西柳州一中高三月考）()26112x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中，含2x 项系数是（） A ．-40 B ．-25C ．25D ．55【答案】B 【解析】【分析】写出二项式61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的通项，然后观察含2x 的项有两种构成，一种是()212x +中的1与61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭中的二次项相乘得到，一种是()212x +中的22x 与61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭中的常数项相乘得到，将系数相加即可得出结果. 【详解】二项式61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的通项6621661C (1)C kk k k k kk T x xx --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，含2x 的项的系数为223366(1)2(1)25C C -+⨯-=-，故选B .【名师点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．3．（2019·湖南高二期中（理））9件产品中，有4件一等品，3件二等品，2件三等品，现在要从中抽出4件产品来检查，至少有两件一等品的种数是（）A ．C 42⋅C 52B ．C 42+C 43+C 44C ．C 42+C 52 D ． C 42⋅C 52+C 43⋅C 51+C 44⋅C 50【答案】D 【解析】试题分析：有两件一等品的种数C 42C 52，有三件一等品的种数C 43C 51，有四件一等品的种数C 44C 50, 所以至少有两件一等品的种数是C 42⋅C 52+C 43⋅C 51+C 44⋅C 50，故选D ．考点：组合的应用．4．（2019·四川高三月考（理））()()42121x x x -++的展开式中含3x 的项的系数为（）A ．8-B ．6-C ．8D ．6【答案】D 【解析】【分析】将二项式变形后得出()()()()()4244241112121x x x x x x xx =+-++++-+，得出其展开式通项为124442r r m m n n C x C x C x ++⋅-⋅+⋅，然后令123r m n =+=+=，求出r 、m 、n 的值，再代入展开式通项可得出展开式中含3x 项的系数.【详解】()()()()()()()442244421211211121x x x x x x x x x x x -++-++==+-+++Q ，其展开式通项为21244444422r r m m n n r r m m n n C x xC x x C x C x C x C x ++⋅-⋅+⋅=⋅-⋅+⋅，令123r m n =+=+=，得3r =，2m =，1n =，因此，展开式中含3x 的系数为321444246246C C C -+=-+⨯=，故选：D.【名师点睛】本题考查二项展开式中指定项系数的求解，一般先得出其展开式通项，根据x 的指数求出参数的值，代入计算即可，考查运算求解能力，属于中等题.5．（2019·上海华师大二附中高三）《九章算术》中将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”,则以正方体1111ABCD A B C D -的顶点为顶点的“鳖臑”的个数为（） A ．12 B ．24C ．48D ．58【答案】B【解析】每个顶点对应6个鳖臑，所以8个顶点对应48个鳖臑．但每个鳖臑都重复一次，再除2．【详解】当顶点为A 时，三棱锥A ﹣EHG ，A ﹣EFG ，A ﹣DCG ，A ﹣DHG ，A ﹣BCG ， A ﹣BFG ，为鳖臑．所以8个顶点为8×6＝48个．但每个鳖臑都重复一次，再除2．所以个数为24个．故选：B ．6．（2019·山东高三月考）汽车维修师傅在安装好汽车轮胎后，需要紧固轮胎的五个螺栓，记为A 、B 、C 、D 、E （在正五边形的顶点上），紧固时需要按一定的顺序固定每一个螺栓，但不能连续固定相邻的两个，则不同固定螺栓顺序的种数为（） A ．20 B ．15 C ．10 D ．5【答案】C 【解析】正五边形ABCDE ，考虑先固定A ，第二步只能固定C 或D ，依次确定第三步和第四第五步，共两种顺序，同理先固定其他四个位置各两种，一共十种顺序. 【详解】此题相当于在正五边形ABCDE 中，对五个字母排序，要求五边形的任意相邻两个字母不能排在相邻位置，考虑A 放第一个位置，第二步只能C 或D ，依次ACEBD 或ADBEC 两种；同理分别让B 、C 、D 、E 放第一个位置，分别各有两种，一共十种不同的顺序. 故选：C【名师点睛】此题考查计数原理的应用，需要弄清完成一件事情是通过如何分类或分步完成，适当的情况下列举出部分基本情况对解题大有帮助.7．（2018·河南高考模拟（理））若2017(12018)x -=220170122017a a x a x a x +++L ()x R ∈，则2017122017201820182018a a a+++L 的值为（） A ．20172018 B ．1C ．0D ．1-【答案】D【解析】分析：先由题意求得01a = ，再令12018x = ，可得2017122017201820182018a a a +++L 的值．详解：根据 ()201712018x -= 220170122017a a x a x a x +++L ()x R ∈，令0x = ，可得01a =．再令12018x =，可得20172017121220172017101201820182018201820182018a a a a a a +++⋯+=++⋯+=-，故，故选D ．8．（2019·湖南长沙一中高三月考（理））中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物(鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪)的一种，现有十二生肖的吉物各一个，甲、乙、丙三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、兔、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，如果让三位同学选取的礼物都满意，那么不同的选法有( ) A ．50种 B ．60种 C ．70种 D ．90种【答案】C 【解析】【分析】根据题意，按同学甲的选择分2种情况讨论，求出每种情况的选法数目，由加法原理计算可得答案．【详解】根据题意，分2种情况讨论：如果同学甲选牛，那么同学乙只能选兔、狗和羊中的一种，丙同学可以从剩下的10种中任意选，∴选法有1131030C C ⋅=种；如果同学甲选马，那么同学乙能选牛、兔、狗和羊中的一种，丙同学可以从剩下的10种中任意选，∴选法有种1141040C C ⋅=，不同的选法共有304070+=种，故选C. 【名师点睛】本题主要考查排列、组合的应用，涉及分类计数原理的运用，属于基础题．9．（2019·湖北高二期末）《红海行动》是一部现代海军题材影片，该片讲述了中国海军“蛟龙突击队”奉命执行撤侨任务的故事．撤侨过程中，海军舰长要求队员们依次完成六项任务，并对任务的顺序提出了如下要求：重点任务A 必须排在前三位，且任务E 、F 必须排在一起，则这六项任务的不同安排方案共有（） A ．240种 B ．188种 C ．156种 D ．120种【答案】D 【解析】当E,F 排在前三位时，2231223()N A A A ==24,当E,F 排后三位时，122223322()()N C A A A ==72，当E,F 排3，4位时，112232322()N C A A A ==24，N=120种，选D.二、填空题10．若()82301232x a a x a x a x +=++++4567845678a x a x a x a x a x ++++，则1245245a a a a --+-678678a a a +-=_______.（用数字作答）. 【答案】5368- 【解析】【分析】对等式()82301232x a a x a x a x +=++++4567845678a x a x a x a x a x ++++两边同时求导得()723123482234x a a x a x a x +=++++456756785678a x a x a x a x +++，令1x =-，和单独求出3a ，代入可得结果. 【详解】解：Q ()82301232x a a x a x a x +=++++4467845678a x a x a x a x a x ++++，∴()723123482234x a a x a x a x +=++++456756785678a x a x a x a x +++，令1x =-，有()71234812234a a a a -+=-+-+56785678a a a a -+-，即1234234a a a a -+-+567856788a a a a -+-=.又553821792a C ==，故所求值为8179235368-⨯=-. 故答案为：5368- 【名师点睛】本题考查二项展开式系数的相关计算，关键在于对展开式两边同时求导，和利用赋值法，是中档题11．（2019·北京高考模拟（理））2019年3月2日，昌平 “回天”地区开展了7种不同类型的 “三月雷锋月,回天有我”社会服务活动. 其中有2种活动既在上午开展、又在下午开展， 3种活动只在上午开展，2种活动只在下午开展 . 小王参加了两种不同的活动，且分别安排在上、下午，那么不同安排方案的种数是___________. 【答案】18 【解析】【详解】小王参加的是两种不同的活动，有2种活动既在上午开展、又在下午开展，（1）设小王没参加既在上午开展、又在下午开展的2种活动，则有：1132C C ⨯＝6种方案；（2）设小王参加了既在上午开展、又在下午开展的2种活动，（a ）上午参加了既在上午开展、又在下午开展的2种活动之一，则有：1122C C ⨯＝4种方案；（b ）下午参加了既在上午开展、又在下午开展的2种活动之一，则有：1132C C ⨯＝6种方案；（c ）上下午都参加了既在上午开展、又在下午开展的2种活动，则有：1121C C ⨯＝2种方案；所以，不同的安排方案有：6＋4＋6＋2＝18种. 【名师点睛】本题主要考查分类加法计数原理，分步乘法计数原理等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.12．（2019·北京清华附中高考模拟（理））《中国诗词大会》（第三季）亮点颇多，在“人生自有诗意”的主题下，十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词在声光舞美的配合下，百人团齐声朗诵，别有韵味.若《沁园春·长沙》、《蜀道难》、《敕勒歌》、《游子吟》、《关山月》、《清平乐·六盘山》排在后六场，且《蜀道难》排在《游子吟》的前面，《沁园春·长沙》与《清平乐·六盘山》不相邻且均不排在最后，则后六场的排法有__________种．（用数字作答）【答案】144 【解析】【分析】由特殊位置优先处理，先排最后一个节目，共14C =4（种），相邻问题由捆绑法求解即剩余五个节目按A 与F 不相邻排序，共524524A A A -⋅=72（种）排法，定序问题用倍缩法求解即可B 排在D 的前面，只需除以22A 即可，【详解】《沁园春•长沙》、《蜀道难》、《敕勒歌》、《游子吟》、《关山月》、《清平乐•六盘山》，分别记为A ，B ，C ，D ，E ，F ，由已知有B 排在D 的前面，A 与F 不相邻且不排在最后．第一步：在B ，C ，D ，E 中选一个排在最后，共14C =4（种）选法第二步：将剩余五个节目按A 与F 不相邻排序，共524524A A A -⋅=72（种）排法，第三步：在前两步中B 排在D 的前面与后面机会相等，则B 排在D 的前面，只需除以22A =2即可，即六场的排法有4×72÷2＝144（种）故答案为：144．【名师点睛】本题考查了排列、组合及简单的计数原理，属中档题． 13．（2019·山东高三月考）设2018220180122018(1)ax x a x a a x a -=++++L ，若12320182320182018a a a a a +++⋯+=()0a ≠，则实数a =________.【答案】2 【解析】【分析】将左右两边的函数分别求导，取1x =代入导函数得到答案. 【详解】2018220180122018(1)ax x a x a a x a -=++++L两边分别求导：201720171220182018(1)22018a ax a a a x x --=+++L取1x =201712201820182018(1)22018a a a a a a -+=-=++L2a =故答案为2 【名师点睛】本题考查了二项式定理的计算，对两边求导是解题的关键. 三、解答题14．（2019·天津实验中学高考模拟（理））（10分）盒中共有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同.（1）从盒中一次随机抽出2个球，求取出的2个球的颜色相同的概率；（2）从盒中一次随机抽出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别为123,,x x x ，随机变量X 表示123,,x x x 的最大数，求X 的概率分布和数学期望()E X .【答案】（1）518；（2）20()9E X =. 【解析】试题分析：（1）从9个球中抽2个球共有2936C =种方法，而两个球同色，可能同为红，同为黄或同为绿，方法为22243210C C C ++=，概率为1053618P ==；（2）首先抽4个球中，红、黄、绿色球的个数至少有一个不小于2，因此X 的可能值为2,3,4，4X =，说明抽出的4个球都是红球，3X =，说明抽出的4个球中有3个红球、1个其他色或者3个黄球、1个其他色，2X =说明4个球中2个红球、其他两色各1个，或2个黄球、其他两色各1个，或2个绿球、其他两色各1个，当然求(2)P X =时，可用(2)(3)(4)1P X P X P X =+=+==来求．试题解析：（1）由题意22243229518C C C P C ++==；（2）随机变量X 的取值可能为2,3,4，44491(4)126C P X C ===， 313145364913(3)63C C C C P X C +===， 11(2)1(3)(4)14P X P X P X ==-=-==，所以X 的分布列为13120()21434631269E X =⨯+⨯+⨯=. 【考点】排列与组合，离散型随机变量的分布列与均值（数学期望）.15．（2019·河北阜平中学高二月考（理））(1)在(1＋x)n 的展开式中，若第3项与第6项系数相等，则n 等于多少？(2)n⎛⎝的展开式奇数项的二项式系数之和为128，求展开式中二项式系数最大项．【答案】（1）n ＝7（2）70x【解析】(1)由已知得2n C ＝5n C 得n ＝7.(2)由已知得0n C ＋2n C ＋4n C ＋…＝128，2n －1＝128，n ＝8，11 而展开式中二项式系数最大项是T 4＋1＝48C)44＝70x。

2020届高考数学(理)一轮复习精品特训专题十：计数原理(6)排列与组合C.pdf