解析几何 第一章 1.10
解析几何课件(吕林根许子道第四版)
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定理1.4.2 如果向量e1, e2不共线，那么向量 r与
e1 , e2共面的充要条件是 r可以用向量 e1 , e2线性表示，
或者说向量 r可以分解成e1 , e2的线性组合，即
r xe1 ye2
（1.4－2）
并且系数x, y被e1 , e2 , r唯一确定. 这时e1 , e2叫做平面上向量的基底 . 定理1.4.3 如果向量e1 , e2 , e3不共面，那么空间
OC OA OB
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B
C
O
A
这种求两个向量和的方法叫做平行四边形法则
定理1.2.2 向量的加法满足下面的运算规律：
（1）交换律：
a
b
b
a.
（2）结合律：
a
b
c
(a
b)
c
a
(b
c).
（3）
a
(a)
0.
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例2 证明四面体对边中点的连线交于一点，且
互相平分.
证 设四面体ABCD一组
D
对边AB,CD的中点E, F的连
线为EF ,它的中点为P1,其余
e3
两组对边中点分别为 P2 , P3 ,
下只需证P1 , P2 , P3三点重合
就可以了.取不共面的三向量 A
F
P1
e2
C
AB e1 , AC e2 , AD e3 ,
在不全为零的 n个数1 , 2 ,, n使得
1 a1 2 a2 n an＝0,
（1.4 4)
解析几何-吕林根-课后习题解答一到五
第一章矢量与坐标§1.1 矢量的概念1.下列情形中的矢量终点各构成什么图形？（1）把空间中一切单位矢量归结到共同的始点；（2）把平行于某一平面的一切单位矢量归结到共同的始点；（3）把平行于某一直线的一切矢量归结到共同的始点；（4）把平行于某一直线的一切单位矢量归结到共同的始点.解：2. 设点O是正六边形ABCDEF的中心，在矢量OA、OB、OC、OD、OE、OF、AB、BC、CD、DE、EF和FA中，哪些矢量是相等的？[解]：图1-13. 设在平面上给了一个四边形ABCD，点K、L、M、N分别是边ＡＢ、ＢＣ、ＣＤ、ＤＡ的中点，求证：KL＝NM. 当ABCD是空间四边形时，这等式是否也成立？[证明]：.4. 如图1-3，设ABCD-EFGH是一个平行六面体，在下列各对矢量中，找出相等的矢量和互为相反矢量的矢量：(1) AB、CD; (2) AE、CG; (3) AC、EG;(4) AD、GF; (5) BE、CH.解：§1.2 矢量的加法1.要使下列各式成立，矢量b a ,应满足什么条件？ （1=+ （2+=+ （3-=+ （4+=- （5= 解：§1.3 数量乘矢量1 试解下列各题．⑴ 化简)()()()(→→→→-⋅+--⋅-b a y x b a y x ．⑵ 已知→→→→-+=3212e e e a ，→→→→+-=321223e e e b ，求→→+b a ，→→-b a 和→→+b a 23．⑶ 从矢量方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-=+→→→→→→by x ay x 3243，解出矢量→x ，→y ．解：2 已知四边形ABCD 中，→→→-=c a AB 2，→→→→-+=c b a CD 865，对角线→AC 、→BD 的中点分别为E 、F ，求→EF ． 解：3 设→→→+=b a AB 5，→→→+-=b a BC 82，)(3→→→-=b a CD ，证明：A 、B 、D 三点共线． 解：4 在四边形ABCD中，→→→+=baAB2，→→→--=baBC4，→→→--=baCD35，证明ABCD为梯形．解：6. 设L、M、N分别是ΔABC的三边BC、CA、AB的中点，证明：三中线矢量AL, BM, CN可以构成一个三角形.7. 设L、M、N是△ABC的三边的中点，O是任意一点，证明OBOA++OC=OL+OM+ON.解：8. 如图1-5，设M是平行四边形ABCD的中心，O是任意一点，证明OA+OB+OC+OD＝4OM.解：9在平行六面体ABCDEFGH（参看第一节第4题图）中，证明→→→→=++AGAHAFAC2．证明：．10.用矢量法证明梯形两腰中点连续平行于上、下两底边且等于它们长度和的一半．解11. 用矢量法证明，平行四边行的对角线互相平分.解12. 设点O 是平面上正多边形A 1A 2…A n 的中心，证明: 1OA +2OA +…+n OA ＝0.解,13．在12题的条件下，设P 是任意点，证明 证明：§1.4 矢量的线性关系与矢量的分解1．在平行四边形ABCD 中，（1）设对角线,,b BD a AZ ==求.,,,DA CD BC AB 解（2）设边BC 和CD 的中点M 和N ，且q AN P AM ==,求CD BC ,。
空间解析几何第一章总结
( A) Qxoy面； (C ) Qxoz面;
( B) Qyoz面; ( D) Q‖ xoy面
5、( ) 2 （ B ） （A ） ；
2 2
2
2
（B） 2 ；
2 2
2
2
（C ） ； （D） 2 .
3、向量的表示法 向量的分解式： a a x i a y j a z k 在三个坐标轴上的分向量：a x i , a y j , a z k
向量的坐标表示式： a {a x , a y , a z }
向量的坐标： a x , a y , a z
其中 a x ,a y , a z 分别为向量在 x , y , z 轴上的投影 .
1、向量的概念
定义:既有大小又有方向的量称为向量.
重要概念: 向量的模、单位向量、 零向量、 自由向量、 相等向量、 负向量、 平行向量、 向径.
2、向量的线性运算
(1) 加法： a b c (2) 减法： a b d
b
ab c
a
ab d
向量积的坐标表达式 a b (a y bz a z b y )i (a z bx a x bz ) j ( a x b y a y bx ) k
i a b ax bx
j ay by
k az bz
a // b
a x a y az bx b y bz
三、பைடு நூலகம்
1. 1. a 2, b 3 ，则 a b a b __________ ________ . 2. 在直角坐标系下, 以向量 a i j k , b 2 j k , c k 为边构成 的平行六面体体积是________________. 3. 向量 a a x i a y j a z k , b bx i b y j bz k , c c x i c y j c z k 共面的 充分必要条件是______________________. 4. 向量 a a x i a y j a z k , b bx i b y j bz k , 共线的充分必要条件 是______________________.
大一第一章解析几何知识点
大一第一章解析几何知识点在大一的学习过程中，解析几何是数学学科中的一个重要分支。
它研究的是平面或空间中的几何图形与代数的关系，通过建立代数模型和方程式，探究几何图形的性质和关系。
本文将以大一第一章解析几何的知识点为主题，从平面直角坐标系、点、直线和圆四个方面来进行分析和讨论。
一、平面直角坐标系解析几何的研究对象是平面几何图形，其中平面直角坐标系是解析几何研究的基础。
平面直角坐标系由两条相互垂直的坐标轴x 轴和y轴以及坐标原点O组成。
在平面直角坐标系中，每个点都可以用有序数对(x, y)表示，其中x表示点在x轴的坐标，y表示点在y轴的坐标。
通过平面直角坐标系，我们可以将几何图形转化为代数方程，从而进行进一步的分析和计算。
二、点的位置关系在解析几何中，研究点的位置关系是非常重要的。
对于平面直角坐标系中的点A(x1, y1)和B(x2, y2)，我们可以通过计算它们的坐标差来判断它们之间的位置关系。
如果x1=x2且y1=y2，那么点A与点B重合；如果x1=x2但y1≠y2，那么点A与点B在x轴上；如果y1=y2但x1≠x2，那么点A与点B在y轴上；如果x1≠x2且y1≠y2，那么点A与点B不在任何坐标轴上，可以进一步计算斜率来确定点A和点B之间的位置关系。
三、直线与斜率直线是解析几何中另一个重要的研究对象。
在平面直角坐标系中，一条直线可以用线性方程y=kx+b来表示，其中k是直线的斜率，b是直线与y轴的交点。
斜率可以用来描述直线的倾斜程度，它的计算公式为k=(y2-y1)/(x2-x1)。
通过斜率的计算，我们可以判断直线的方向和关系。
如果两条直线的斜率相等，则它们互相平行；如果两条直线的斜率的乘积为-1，则它们互相垂直。
四、圆的方程圆是解析几何中的另一个重要图形。
在平面直角坐标系中，圆可以由圆心及半径来描述。
圆心坐标为(x0, y0)，半径为r，那么圆的方程可以表示为(x-x0)²+(y-y0)²=r²。
解析几何课12二重外积
引理1（正交分解引理）
引理2(外积的作图法)
设向量c 长度为1，则 c a 可以如下得到： 先把向量 a 正交投影到与 c0 垂直的平面 上，
0 0
再逆时针旋转 90 。 (右手拇指指向 c0 ， 其余手指指向旋转方向).
推论1： c a 可以如下得到： 先把向量 a 正交投影到与 c 垂直的平面 上； 再(右手螺旋)逆时针旋转 90 ； 最后把长度扩大 c 倍，方向不变。
第一章 向量代数
§1.10 向量的二重外积
二重外积
定义：三个向量a,b,c, 先做其中两个的外积， 所得向量再与第三个向量做外积， 最后所得向量称为二重外积。 依照不同的结合顺序，有两种二重外积：
a b c,
a b c .
一般不相等，所以外积不满足结合律。
定理1.10.1： a b c a c b a b c a c b
a b c d d a c a d a d . b c b d
推论： 取c a , d b , 有 a a a b a b a b b a b b 2 2 2 a b a b .
0 推论2：设向量c 长度为1，a垂直于向量c ， 0 0 则 c c a a。
0
定理1.10.1的证明： a b c a c b a b c. 如果a ，左右都是零向量，等式成立。 如果a ，左右除以a的模长，可设 a 1。 将b , c 相对于a作正交分解，
解析几何第一章
证明 : (2)令 OA α, OB β, OC γ, OD δ, 过 D 点作平行于 OC的直线与 O , A, B决定的平面交 于点 E , 于是 ED // γ,由(1) 知OE 对 α , β可分解 ,从而
δ OE ED 对 α , β, γ可分解 ,即
解析几何第一章
1.《解析几何》的诞生 产生于17世纪前半叶，主要创立者是德国数学家
惹耐笛卡儿。 2. 什么是《解析几何》？
解析几何是这样一个数学分支，它在采用坐标方 法的同时，运用代数方法来研究几何对象。这门学科 在19世纪就已经完备和定型化，并从中发展出代数几 何和微分几何这两大领域。
第一章 向量代数
则
a1 a2 1 A,B,C三点共线 b1 b2 1 0.
c1 c2 1
设A, B,C是平面上的三个不同的点. 取上的O点
和A, B不共线,作平面上的仿射坐标系[O;OA,OB].设C 点在此坐标系中的坐标为(c1, c2 ),则
OC c1OA c2OB. 根据命题1.2,C与A, B共线的充分必要条件是c1 c2 1, 并且在共线时, 有
(2) 对任何实数 , α的坐标为 (a1, a2 , a3 ).
推 论 设点 A, B的坐标分别是 (a1, a2 , a3 )，(b1, b2 , b3 )， 则向量 AB的坐标为 (b1 a1, b2 a2 , b3 a3 ).
例1.4设A,B,C共线，(A 并 ,B,且 C).又设 A,B的
1.2向量的线性运算 1. 向量的加法 定 义 1 . 1两个向量α与β的和也是一个向,量 记作 α β. 规定如下:任取一点A,作AB α, BC β, 则α β AC. 这种求两个向量之和方的法称为加法的 三 角 形 法 则. 平 行 四 边:形 取法 定则 一 A,作 点ABα,ADβ, 以线A段 B和AD为两,作 边平行四A边 BC形 ,则 D
解析几何第一章
a
⋅M
1
为起点， 为终点的有向线段. a 或 M 1 M 2 以 M 1 为起点， M 2 为终点的有向线段
向量的模： 向量的大小. 向量的模： 向量的大小.| a | 或 | M 1 M 2 |
单位向量： 单位向量： 模为1的向量. 模为1的向量. ea 或 e M 1M 2 零向量： 零向量： 模为0的向量. 模为0的向量. 0 定义2 如果两个向量大小相等且方向相同 大小相等且方向相同， 定义2 如果两个向量大小相等且方向相同， 那么叫做相等向量 相等向量. 那么叫做相等向量.记为 a=b
1637年笛卡儿创建了解析几何， 1637年笛卡儿创建了解析几何，使得许多几何问题都可以 年笛卡儿创建了解析几何 转化为代数问题来研究。 1837年旺策尔(Wantzel)给出三等分任一角及倍立方不可能 1837年旺策尔(Wantzel)给出三等分任一角及倍立方不可能 年旺策尔(Wantzel) 用尺规作图的证明。 1882年林得曼（Linderman） 的超越性（ 1882年林得曼（Linderman）也证明了π的超越性（即π 年林得曼 不为任何整数系数多次式的根）， ），化圆为方的不可能性也 不为任何整数系数多次式的根），化圆为方的不可能性也 得以确立。 得以确立。 由此可见解析几何的基本思想是用代数的方法来研究几何， 由此可见解析几何的基本思想是用代数的方法来研究几何， 为了把代数学应用到几何中， 为了把代数学应用到几何中，最根本的做法就是把空间的 几何结构有系统的代数化、数量化。 几何结构有系统的代数化、数量化。
充分性 设 a + b + c = 0 作 AB = a , BC = b, 那么 AC ， 的反矢量， = a + b, 所以 AC + c = 0, 从而c是 AC的反矢量，因此 c＝ CA 所以a，，可构成一个三角形 ABC . ， bc
《解析几何》课程教学大纲
《解析几何》课程教学大纲一、课程的性质、目的与任务通过本课程的教学，使学生掌握平面曲线、空间直线、平面、柱面、锥面、旋转曲面、二次曲面等的基本性质。
提高用代数方法解决几何问题的能力，为今后学习其它课程打下必要的基础，并能在较高理论水平的基础上处理中学数学的有关教学内容，以及生产、生活中的有关实际问题。
本课程是大学专科小学教育专业数学类必修的一门重要的专业课课程，通过本课程的教学，使学生系统掌握空间解析几何的基本知识和基本理论，正确地理解和使用向量；在掌握几何图形性质的同时，提高运用代数方法解决几何问题的能力和空间想象能力，能在较高理论水平的基础上处理中小学教学的有关问题。
二、课程教学内容和基础要求要求学生重点掌握空间解析几何的基本思想和基本方法；培养空间想象能力，逻辑思维能力以及运用现代各种数学方法处理几何问题的能力，运用几何结构，深入理解现行中学数学教材中的有关问题，并且具有应用几何知识解决实际问题的能力。
通过本课程的学习，为学好后续专业课程打下良好的基础。
第一章矢量与坐标教学目的：通过本章的教学,使学生掌握矢量的概念，矢量运算的定义、规律及几何意义，利用矢量的运算作为工具研究平面与空间的几何图形教学要求:理解矢量及与之有关诸概念,并能在具体问题中区分那些是矢量,那些是数量，掌握矢量的运算（矢量加（减）法）数与矢量乘法，两矢量的数性积，矢性积，混合积，二重矢性积等的定义与性质，注意与数的运算规律的异同之处，理解坐标系的建立，区分仿射坐标系与空间直角坐标系的区别，掌握在直角坐标系下，用坐标进行矢量的运算方法，会用矢量法进行有关的几何证明问题。
教学内容：§1.1矢量的概念§1.2矢量的加法§1.3数量乘矢量§1.4矢量的线性关系与矢量的分解§1.5标架与坐标§1.6矢量在轴上的射影§1.7两矢量的数性积§1.8两失量的矢性积§1.9三矢量的混合积§1.10三矢量的双重矢性积教学提示：由浅入深，采用启发式教学，并通过对比加深学生印象。
解析几何 课后答案 第一章
第一章矢量与坐标§1.1 矢量的概念1.下列情形中的矢量终点各构成什么图形？（1）把空间中一切单位矢量归结到共同的始点；（2）把平行于某一平面的一切单位矢量归结到共同的始点；（3）把平行于某一直线的一切矢量归结到共同的始点；（4）把平行于某一直线的一切单位矢量归结到共同的始点.[解]：（1）单位球面；（2）单位圆（3）直线；（4）相距为2的两点2. 设点O是正六边形ABCDEF的中心，在矢量、OB、、OD、OE、、AB、、、DE、和中，哪些矢量是相等的？[解]：如图1-1，在正六边形ABCDEF中，相等的矢量对是：图1-1.和和和和3. 设在平面上给了一个四边形ABCD，点K、L、M、N分别是边ＡＢ、ＢＣ、ＣＤ、ＤＡ的中点，求证：KL＝NM. 当ABCD是空间四边形时，这等式是否也成立？[证明]：如图1-2，连结AC, 则在∆BAC中，21AC. KL与方向相同；在∆DAC中，21AC. NM与AC方向相同，从而KL＝NM且KL与NM方向相同，所以KL＝.4. 如图1-3，设ABCD-EFGH是一个平行六面体，在下列各对矢量中，找出相等的矢量和互为相反矢量的矢量：(1) 、; (2) 、; (3) 、;(4) AD、; (5) BE、.[解]：相等的矢量对是（2）、（3）和（5）；互为反矢量的矢量对是（1）和（4）。
§1.2 矢量的加法1.要使下列各式成立，矢量ba,应满足什么条件？（1-=+（2+=+（3-=+（4+=-C（5=[解]：（1）,-=+；（2）,+=+（3≥且,-=+ （4）,+=-（5）,≥-=-§1.3 数量乘矢量1 试解下列各题．⑴ 化简)()()()(→→→→-⋅+--⋅-b a y x b a y x ．⑵ 已知→→→→-+=3212e e e a ，→→→→+-=321223e e e b ，求→→+b a ，→→-b a 和→→+b a 23．⑶ 从矢量方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-=+→→→→→→by x ay x 3243，解出矢量→x ，→y ． 解 ⑴→→→→→→→→→→→→→→-=+-+---+=-⋅+--⋅-ay b x b y a y b x a x b y a y b x a x b a y x b a y x 22)()()()(⑵ →→→→→→→→→→+=+-+-+=+3132132142232e e e e e e e e b a ，→→→→→→→→→→→-+-=+---+=-321321321342)223(2e e e e e e e e e b a ， →→→→→→→→→→→-+-=+---+=-3213213217103)223(2)2(323e e e e e e e e e b a ． 2 已知四边形ABCD 中，→→→-=c a AB 2，→→→→-+=c b a CD 865，对角线→AC 、→BD 的中点分别为E 、F ，求→EF ．解 →→→→→→→→→→→-+=-+-+=+=c b a c a c b a AB CD EF 533)2(21)865(212121．3 设→→→+=b a AB 5，→→→+-=b a BC 82，)(3→→→-=b a CD ，证明：A 、B 、D 三点共线． 证明 ∵→→→→→→→→→→=+=-++-=+=AB b a b a b a CD BC BD 5)(382∴→AB 与→BD 共线，又∵B 为公共点，从而A 、B 、D 三点共线．4 在四边形ABCD 中，→→→+=b a AB 2，→→→--=b a BC 4，→→→--=b a CD 35，证明ABCD 为梯形．证明∵→→→→→→→→→→→→→=--=-+--++=++=BC b a b a b a b a CD BC AB AD 2)4(2)35()4()2( ∴→AD ∥→BC ，∴ABCD 为梯形．6. 设L 、M 、N 分别是ΔABC 的三边BC 、CA 、AB 的中点，证明：三中线矢量, ,可 以构成一个三角形.[证明]： )(21+=)(21BC BA BM +=)(21+=0)(21=+++++=++∴CB CA BC BA AC AB CN BM AL从而三中线矢量CN BM AL ,,构成一个三角形。
高等数学《空间解析几何(第1章)》课件
构成__半__径__为__1_的__球_； 面
|
a
|
|
a
|
a
0
a 0
a与a 反向，
|
a
||
|
|
a
|
a
2a
1
a
2
数与向量的乘积符合下列运算规律：
（1）结合律：
(
a)
(
a)
(
)a
（2）分配律： ( )a a a
(a
b)
a
b
思考
1.向量 a ，b 平行(共线)条件是什么？
2.与向量 a 0共线的单位向量________.
e3 O e2
e1
一个空间标架,决定一个空间坐标系
z
e3
O
e2
e1 x
当{O; e1, e2 , e3 }确定后, e1, e2 , e3依次确定以O为原点 的三数轴:x轴(横轴),y轴(纵轴), y z轴(竖轴),统称坐标轴. 它们构成空间坐标系o xyz.
也用{O; e1, e2 , e3 }表示. 把e1, e2 , e3称为坐标向量.
e3
F
的中点为P1 , 其余各组对边
中点分别为P2 , P3 .
A
P1
e2
C
只需证明P1, P2 , P3三点
重合即可.
E
e1 B
取 AB e1, AC e2 , AD e3 , 先求 AP1用e1, e2 ,e3表示的关系式.
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目录
Contents
01 添 加 目 录 项 标 题 02 解 析 几 何 概 述 03 平 面 解 析 几 何 04 空 间 解 析 几 何 05 解 析 几 何 中 的 变 换 06 解 析 几 何 中 的 重 要 定 理 和 公 式
01
添加章节标题
02
解析几何概述
空间直线方程
空间直线方程的定义 空间直线方程的表示方法 空间直线方程的性质 空间直线方程的应用
空间平面方程
空间平面方程的定义 空间平面方程的表示方法 空间平面方程的性质 空间平面方程的应用
球面和旋转曲面
球面：定义、性质、方程 旋转曲面：定义、性质、方程 球面和旋转曲面的应用：几何、物理、工程等领域 球面和旋转曲面的实例：球、圆柱、圆锥、球面镜等
的应用
空间曲线和 曲面方程： 描述空间中 曲线和曲面 的形状和位
置
空间解析几 何在实际生 活中的应用： 如建筑设计、 机械制造等
领域
变换中的重要定理和公式
旋转变换：旋转角度、旋转中心、旋转 矩阵
投影变换：投影矩阵、投影向量
平移变换：平移向量、平移矩阵
反射变换：反射向量、反射矩阵
缩放变换：缩放因子、缩放矩阵
05
解析几何中的变换
平移变换
定义：将图形 沿某个方向移 动一定距离的
变换
性质：保持图 形的形状和大
小不变
应用：在解析 几何中，平移 变换常用于求 解方程、证明
定理等
例子：平移变 换可以将一个 图形移动到另 一个位置，例 如将直线y=x 平移到y=x+1
解析几何教程答案
。 于 是
OP l1 OA l2 OR l1 OA l2 k1 OB l2 k2 OC
，
设
l1 , l2 k1 , l2 k2 , 由 k1 , k2 ， l1 , l2 的 唯 一 性 知 道 ( , , ) 的 唯 一 性 ， 则
1 2 2 1 CD CB , CE CA, 因而 CR kCB (1 k )CA lCA (1 l )CB 。由于 3 3 3 3
向量 CA, CB 不共线，所以 k
1 lCB (1 l )CA ， 于 是 得 2
1 1 1 1 2 。 从 而 有 CP CB CA ， 然 而 k 1 l, l 1 k ， 解 得 k l 3 3 2 2 3 1 1 2 CD CB CA ，故 CP CD ，即 C , P , D 三点共线， ABC 的三条中线交于一点 2 2 3
7. 在 ABC 中，点 D , E 分别在边 BC 与 CA 上，且 BD
1 1 BC , CE CA, AD 与 3 3
BE 交于 R ，试证
RD
证明：作如下示意图，
1 4 AD , RE BE . 7 7
第一章 向量代数 习题 1.1 1. 试证向量加法的结合律，即对任意向量 a , b, c 成立
(a b ) c a (b c ).
证明：作向量 AB a , BC b, CD c （如下图） ，
解析几何 丘维声 第一章1节
av可用有向线段
uuuv AB
表示，有向线段的始
点 A 就是向量的始点，有向线段的终点 B 则是
向量的终点.
§1.1 向量的概念
一个向量
av
可用有向线段
uuuv AB
表示，有向线段的始
点 A 就是向量的始点，有向线段的终点 B 则是
向量的终点.
向量可用符号
av,
v b,
cv,
L
表示，或
uuuv AB
形当且仅当
C
与
O
重合，即
av
v b
cv
uuuv OC
v 0
．
□
A1
cv B1
A av
C1 v b
D1
D
B
C
uuuv AA1
例cv．2 用如av图,bv,，cv来在表平示行对六角面线体向AB量CDuAuCuuv1A, 1uABu1u1CCv,1DuDu1Buu中v1 . ，
uuuv AB
av1 av2 L avn av .
A3
A5
av3
av O
av5 av1
av4
A2
A4
av2
A1
多边形法则：两个向量加法的三角形法则可以被推广到 n 个向
量相加的情形. 只要把代表这 n 个向量的有向线段首尾相接，以第一
个向量的始点作为始点，以最后一个向量的终点作为终点的有向线
段就是这
0: 0:
A
av
av
av
av
O
B av
av
由定义直接得到下列数乘的简单性质：
(1) 0av 0v， (1)av av
解析几何第一章习题及解答
第一章 向量代数习题1.11.试证向量加法的结合律，即对任意向量成立,,a b c ()().a b c a b c ++=++证明：作向量（如下图），,,AB a BC b CD c ===则 ()(),a b c AB BC CD AC CD AD ++=++=+=()(),a b c AB BC CD AB BD AD ++=++=+=故()().a b c a b c ++=++2.设两两不共线，试证顺次将它们的终点与始点相连而成一个三角形的充要条件,,a b c 是0.a b c ++=证明：必要性，设的终点与始点相连而成一个三角形，,,a b c ABC∆则0.a b c AB BC CA AC CA AA ++=++=+==充分性，作向量，由于,,AB a BC b CD c ===所以点与重合，即三向量0,a b c AB BC CD AC CD AD =++=++=+=A D 的终点与始点相连构成一个三角形。
,,a b c3.试证三角形的三中线可以构成一个三角形。
证明：设三角形三边的中点分别是（如下图），并且记ABC ∆,,AB BC CA ,,D E F，则根据书中例1.1.1，三条中线表示的向量分别是,,a ABb BCc CA ===111(),(),(),222CD c b AE a c BF b a =-=-=-所以，故由上题结论得三角形111()()()0,222CD AE BF c b a c b a ++=-+-+-=的三中线可以构成一个三角形。
,,CD AE BF 4.用向量法证明梯形两腰中点连线平行于上、下底且等于它们长度和的一半。
证明：如下图，梯形两腰中点分别为，记向量ABCD ,BC AD ,E F ，,AB a FA b ==则而向量与共线且同向，所以存在实数使得现,DF b = DC AB 0,λ>. DC AB λ=在由于是的中点，所以, FB b a =+,FC b a λ=-+E BC 且1111()()(1)(1).2222 FE FB FC b a a b a AB λλλ=+=++-=+=+111(1)()().222FE AB AB AB AB DC λλ=+=+=+故梯形两腰中点连线平行于上、下底且等于它们长度和的一半。
解析几何课件(吕林根 许子道第四版)
Ⅱ
o
yⅠ
Ⅵ Ⅴ
空间直角坐标系共有八个卦限
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3、空间点的直角坐标
空间的点 11 有序数组( x, y, z)
称为点M的坐标，x称为横坐标, y称为纵坐标，
z称为竖坐标. 记为 M( x, y, z)
特殊点的表示: 坐标轴上的点 P, Q, R,
坐标面上的点
z
A,
B,
C
,
O(0,0,0)
在不全为零的 n个数1 , 2 ,, n使得
1 a1 2 a2 n an＝0,
（1.4 4)
那么n个向量a1 , a2 ,, an叫做线性相关，不是线 性相 关的向量叫做线性无关 .
推论 一个向量a线性相关的充要条件为 a 0.
定理1.4.4 在n 2时，向量 a1 , a2 ,, an线性相关的
§1.1 向量的概念
定义1.1.1 既有大小又有方向的量叫做向量， 或称矢量.
两类量: 数量(标量):可用一个数值来描述的量;
向量(矢量)既有大小又有方向的量.
向量的几何表示：有向线段 有向线段的长度表示向量的大小,
M2 a
有向线段的方向表示向量的方向.
M1
a
或 M1M2 以
向量的模：
证 设ΔABC两边AB，AC之中点分别为M，N， 那么
MN AN AM
1 AC 1 AB
2
2
1 (AC AB) 2
1 BC
2
所以
MN // BC
且 MN 1 BC
2
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§1.4 向量的线性关系与向量的分解
定 义1.4.1 由 矢 量a1 , a2 ,, an与 数 量1, 2 ,, n 所 组 成 的 矢 量a 1 a1 2 a2 n an ,
解析几何1
2.圆的参数方程:
x y
a b
R cos R sin
,其中圆心为
(a,b),半径为 R.
思考一
1.与直线 2x 3 y 6 0 关于点 (1, 1) 对称的直线是
(D)
(A) 3x 2 y 2 0
(B) 2x 3 y 7 0
数形本是相倚依,焉然分作两边飞. 数缺形时少直觉,形缺数时难入微. 数形结合百般好,隔裂分家万事休. 几何代数统一体,永远联系莫分离.
竞赛辅导─(直线与圆)
知识点见教程第 301 页至第 302 页.
补充内容:
1.两直线的夹角计算公式: l1 与l2 的夹角为 ,
则 tan k2 k1 ( 00 900 ).
(C) 3x 2 y 12 0
(D) 2x 3 y 8 0
96 2.(教程 P311 第 5 题)当 k ___ 时,方程
x2 xy 6 y2 20x 20 y k 0 表示两条直线,且它们
间的夹角为_____.
3. ( 教 程 4P311 第 8 题 ) 实 数 x, y 满 足 方 程
竞赛辅导─解析几何(一)
引言
知识要点
思考一
思考二
思考三Байду номын сангаас
课外思考
竞赛辅导─解析几何(一)
(直线与圆)
解析几何是通过坐标系、用代数的方法来解决 几何问题的一门学科.
代数理论为几何问题提供了统一的处理方法, 而几何模型以为代数问题提供了直观解释,灵活掌 握数形结合的思想,对于解决数学问题大有好处.关 于这一点,数学界的泰斗──华罗庚写了一首诗:
解析几何
答案：
（1）单位球面； （2）单位圆面； （3）直线； （4）两个相距为二的点 .
两个向量是否相等与它们的始点无关，只由它们的模 和方向决定，我们以后运用的正是这种始点可以任意选取， 而只由模和方向决定的向量，这样的向量通常叫做自由向 量。也就是说，自由向量可以任意平行移动，移动后向量 仍然代表原来的向量。在自由向量的意义下，相等的向量 都看作是同一的自由向量。由于自由向量始点的任意性， 按需要我们可以选取某一点作为所研究的一些向量的公共 始点，在这种场合，我们就说，把那些向量归结到共同的 始点。 必须注意，由于向量不仅有大小，而且还有方向，因 此，模相等的两个向量不一定相等，因为他们的方向可能 不同下列情形中向量的终点各构成什么图形？
（1）把空间中一切单位向量的终点归结到相同的起始点；
（2）把平行于某一平面的一切单位向量归结到共同的始点；
（3）把平行于某一直线的一切向量归结到共同的起始点； （4）把平行于某一直线的一切单位向量归结到共同的始点.
1.1.4 平行与同一直线的一组向量叫做共线向量，零
向量与任何共线向量组共线。
1.1.5 平行与同一平面的一组向量，叫做共面，叫做共
面向量。零向量与任何共面的向量组共面。 显然，一组共线向量一定是共面向量，三向量中如果 有两向量是共线的，这三向量也一定是共面的。
2.设O是正六边形ABCDEF的中心，在向量 OA,OB,OC,OD,OE,OF,AB,BC,CD,DE,EF和FA中，哪些 向量是相等的？
向量与坐标
• 1.1 向量的概念 • 定义 1.1.1 既有大小又有方向的量就叫做向量，简称失量。 • 定义 1.1.2 如果两个向量的模相等且方向相同，那么叫做相等向量，所
有的零向量都相等，向量a与b相等，记做a=b.
向量与坐标知识点总结
解析几何温习知识点总结第一章向量与坐标第一节向量的概念：空间中具有大小和方向的量叫做空间向量。
向量的大小叫做向量的长度或模（moduius)。
规定，长度为0的向量叫做，记为0.模为1的向量称为单位向量。
与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量。
记为-a方向相等且模相等的向量称为相等向量。
长度为一个单位（即模为1）的向量，叫做．与向量a同向，且长度为单位1的向量，叫做a方向上的单位向量，记作a0，a0=a/|a|。
1共线向量定理两个空间向量a,b向量(b向量不等于0），a∥b的充要条件是存在唯一的λ，使a=λb2若是两个向量a,b不共线，那么向量c与向量a,b共面的是：存在唯一的一对实数x,y,使c=a x+b y3若是三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一贯量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使p=x a+y b+z c。
任意不共面的三个向量都可作为空间的一个基底，的表示唯一。
1.2 向量的加法三角形定那么解决向量加减的方式：将各个向量依次首尾按序相接，结果为第一个向量的起点指向最后一个向量的终点。
平行四边形定那么解决向量加法的方式：将两个向量平移至公共起点，以向量的两条边作平行四边形，向量的加法结果为公共起点的对角线。
平行四边形定那么解决向量减法的方式：将两个向量平移至公共起点，以向量的两条边作平行四边形，结果由减向量的终点指向被减向量的终点。
（平行四边形定那么只适用于两个非零非共线向量的加减。
）坐标系解向量加减法：在直角坐标系里面,概念原点为向量的起点.两个向量和与差的坐标别离等于这两个向量相应坐标的和与差假设向量的表示为(x,y)形式,A(X1,Y1) B(X2,Y2)，那么A+B=（X1+X2，Y1+Y2），A-B=（X1-X2，Y1-Y2）简单地讲：向量的加减确实是向量对应分量的加减。
类似于物理的正交分解。
向量加法的：互换律：a+b=b+a；结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。
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就是三向量 a, b, c 的一个双重向量积.
二、双重向量积的性质
• 双重向量积的几何关系
(a b) a , (a b) b
( a b) a b c
(a b) c 与 a 和 b 共面
• 记忆规律 三向量的双重向量积等于中间的向量与其余两 向量的数量积的乘积减去括号中另一个向量与其 余两向量的数量积的乘积。
二、双重向量积的性质
• 定理 （拉格朗日恒等式（Joseph-louis Lagrange,17361813,法国人））对任意4个向量，有
aa' a b a ' b ' ba'
P62 1, 5
• 例2 证明
ab aa 'b '
a ' b ' abb ' a ' aba ' b ' b ba 'b ' a
• 作业
二、双重向量积的性质
• 定理1
• 结论
ab c a c b bc a
ab c?a bc
在一般情况下，
ab c 与 a bc
是两个不同的向量，
a b c a b c，因此，向量积不满足结合律。
《解析几何》 －Chapter 1
§10 三向量的双重 向量积
Contents
一、双重向量积的概念
二、双重向量积的性质
一、双重向量积的概念
• 定义1
给定空间三向量，先作其中两个向量的向量积，
再作所得向量与第三个向量的向量积，那么最后的
结果仍然是一个向量，叫做所给三向量的双重向量 积。
Hale Waihona Puke 例如 ab c
a b ' b b '
拉格朗日恒等式的一个特殊情况（1.8－7） 2 2 2 2 ab a b a b
例题
• 例1 试证雅可比（Jacobi）恒等式
ab c bc a c a b 0