北京市东城区10-11学年高二数学下学期期末考试 理 新人教A版
高中高二数学下学期期末复习试卷(含解析)-人教版高二全册数学试题
2014-2015学年某某省某某市东海县石榴高中高二（下）期末数学复习试卷一、填空题：1．已知集合P={﹣4，﹣2，0，2，4}，Q={x|﹣1＜x＜3}，则P∩Q=．2．若复数z1=3+4i，z2=1+2i（i是虚数单位），则z1﹣z2=．3．命题：∀x∈R，sinx＜2的否定是．4．复数z=（1+3i）i（i是虚数单位），则z的实部是．5．已知函数y=f（x），x∈[0，2π]的导函数y=f′（x）的图象，如图所示，则y=f（x）的单调增区间为．6．已知则满足的x值为．7．函数在[2，4]上是增函数的充要条件是m的取值X围为．8．已知函数f（x）=x3+2x2﹣ax+1在区间（﹣1，1）上恰有一个极值点，则实数a的取值X 围是．9．设x，y满足约束条件，若目标函数z=abx+y（a＞0，b＞0）的最大值为35，则a+b的最小值为．10．曲线在点（4，e2）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为．11．在平面直角坐标系xOy中，若直线y=2a与函数y=|x﹣a|﹣1的图象只有一个交点，则a的值为．12．已知实数a，b，c满足a+b+c=9，ab+bc+ca=24，则b的取值X围是．13．设f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数．当x＜0时，f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0，且g（﹣3）=0，则不等式f（x）g（x）＜0的解集是．14．观察下面的数阵，第20行第20个数是．12 3 45 6 7 8 910 11 12 13 14 15 1617 18 19 20 21 22 23 24 25…二、解答题（共6小题，满分0分）15.给定两个命题：p：对任意实数x都有ax2+ax+1＞0恒成立；q：关于x的方程x2﹣x+a=0有实数根，如果p和q中至少有一个为真命题，某某数a的取值X围．16.已知复数z1满足（z1﹣2）（1+i）=1﹣i（i为虚数单位），复数z2的虚部为2，且z1•z2是实数，求z2．17.已知函数f（x）=ax3+bx2+cx在点x0处取得极大值5，其导函数y=f′（x）的图象经过点（1，0），（2，0），如图所示，求：（Ⅰ）x0的值；（Ⅱ）a，b，c的值．18.因发生意外交通事故，一辆货车上的某种液体泄漏到一渔塘中．为了治污，根据环保部门的建议，现决定在渔塘中投放一种可与污染液体发生化学反应的药剂．已知每投放a（1≤a≤4，且a∈R）个单位的药剂，它在水中释放的浓度y（克/升）随着时间x（天）变化的函数关系式近似为y=a•f（x），其中f（x）=．若多次投放，则某一时刻水中的药剂浓度为每次投放的药剂在相应时刻所释放的浓度之和．根据经验，当水中药剂的浓度不低于4（克/升）时，它才能起到有效治污的作用．（Ⅰ）若一次投放4个单位的药剂，则有效治污时间可达几天？（Ⅱ）若第一次投放2个单位的药剂，6天后再投放a个单位的药剂，要使接下来的4天中能够持续有效治污，试求a的最小值（精确到0.1，参考数据：取1.4）．19.试比较n n+1与（n+1）n（n∈N*）的大小，分别取n=1，2，3，4，5加以试验，根据试验结果猜测一个一般性结论．20.对于定义在区间D上的函数f（x）和g（x），如果对于任意x∈D，都有|f（x）﹣g（x）|≤1成立，那么称函数f（x）在区间D上可被函数g（x）替代．（1）若，试判断在区间[[1，e]]上f（x）能否被g（x）替代？（2）记f（x）=x，g（x）=lnx，证明f（x）在上不能被g（x）替代；（3）设，若f（x）在区间[1，e]上能被g（x）替代，某某数a的X围．2014-2015学年某某省某某市东海县石榴高中高二（下）期末数学复习试卷参考答案与试题解析一、填空题：1．已知集合P={﹣4，﹣2，0，2，4}，Q={x|﹣1＜x＜3}，则P∩Q={0，2} ．考点：交集及其运算．专题：计算题．分析：通过理解集合的表示法化简集合P和集合Q，两集合的交集是集合P和Q中的共同的数．解答：解：∵P={﹣4，﹣2，0，2，4}，Q={x|﹣1＜x＜3}，∴P∩Q={0，2}故答案为：{0，2}点评：本题考查集合的表示法、集合交集的求法．2．若复数z1=3+4i，z2=1+2i（i是虚数单位），则z1﹣z2= 2+2i ．考点：复数代数形式的加减运算．专题：计算题．分析：根据复数减法的运算法则，当且仅当实部与虚部分别相减可求．解答：解：Z1﹣Z2=（3+4i）﹣（1+2i）=2+2i故答案为：2+2i点评：本题主要考查了复数减法的基本运算，运算法则：当且仅当实部与虚部分别相减，属于基础试题．3．命题：∀x∈R，sinx＜2的否定是“∃x∈R，sinx≥2”．考点：命题的否定．分析：根据命题“∀x∈R，sinx＜2”是全称命题，其否定为特称命题，即“∃x∈R，sinx≥2”．从而得到本题答案．解答：解：∵命题“∀x∈R，sinx＜2”是全称命题．∴命题的否定是存在x值，使sinx＜2不成立，即“∃x∈R，sinx≥2”．故答案为：“∃x∈R，sinx≥2”．点评：本题给出全称命题，求该命题的否定形式．着重考查了含有量词的命题的否定、全称命题和特称命题等知识点，属于基础题．4．复数z=（1+3i）i（i是虚数单位），则z的实部是﹣3 ．考点：复数的基本概念．专题：计算题．分析：利用两个复数代数形式的乘法，虚数单位i的幂运算性质，化简=（1+3i）i，依据使不得定义求得z的实部．解答：解：复数z=（1+3i）i=﹣3+i，故实部为﹣3，故答案为﹣3．点评：本题考查两个复数代数形式的乘法，虚数单位i的幂运算性质，以及复数为实数的条件．5．已知函数y=f（x），x∈[0，2π]的导函数y=f′（x）的图象，如图所示，则y=f（x）的单调增区间为[0，π]．考点：函数的单调性与导数的关系．专题：数形结合．分析：根据据f′（x）≥0，函数f（x）单调递增；f′（x）≤0时，f（x）单调递减；从图中找到f′（x）≥0的区间即可．解答：解：据f′（x）≥0，函数f（x）单调递增；f′（x）≤0时，f（x）单调递减由图得到x∈[0，π]时，f′（x）≥0故y=f （x）的单调增区间为[0，π]故答案为[0，π]点评：本题考查函数的单调性与导函数符号的关系：f′（x）≥0时，函数f（x）单调递增；f′（x）≤0时，f（x）单调递减6．已知则满足的x值为 3 ．考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的值．分析：分x≤1和x＞1两段讨论，x≤1时，得，x＞1时，得，分别求解．解答：解：x≤1时，f（x）=，x=2，不合题意，舍去；x＞1时，，=3综上所示，x=3故答案为：3点评：本题考查分段函数求值问题，属基本题．7．函数在[2，4]上是增函数的充要条件是m的取值X围为．考点：利用导数研究函数的单调性；必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：计算题．分析：先求导函数，要使函数在[2，4]上是增函数，则﹣x2+mx+2≥0在[2，4]上恒成立，故可建立不等式，解之即可求得m的取值X围．解答：解：求导函数要使函数在[2，4]上是增函数，则﹣x2+mx+2≥0在[2，4]上恒成立，构建函数g（x）=﹣x2+mx+2，因为函数图象恒过点（0，2），所以﹣x2+mx+2≥0在[2，4]上恒成立，只需m根据函数的单调递增，解得，即所求m的X围为故答案为：点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，解题的关键是求导函数，将问题转化为﹣x2+mx+2≥0在[2，4]上恒成立．8．已知函数f（x）=x3+2x2﹣ax+1在区间（﹣1，1）上恰有一个极值点，则实数a的取值X 围是﹣1≤a＜7 ．考点：函数在某点取得极值的条件．专题：计算题．分析：首先利用函数的导数与极值的关系求出a的值，由于函数f（x）=x3+2x2﹣ax+1在区间（﹣1，1）上恰有一个极值点，所以f′（﹣1）f′（1）＜0，进而验证a=﹣1与a=7时是否符合题意，即可求答案．解答：解：由题意，f′（x）=3x2+4x﹣a，当f′（﹣1）f′（1）＜0时，函数f（x）=x3+2x2﹣ax+1在区间（﹣1，1）上恰有一个极值点，解得﹣1＜a＜7，当a=﹣1时，f′（x）=3x2+4x+1=0，在（﹣1，1）上恰有一根x=﹣，当a=7时，f′（x）=3x2+4x﹣7=0在（﹣1，1）上无实根，则a的取值X围是﹣1≤a＜7，故答案为﹣1≤a＜7．点评：考查利用导数研究函数的极值问题，体现了数形结合和转化的思想方法．9．设x，y满足约束条件，若目标函数z=abx+y（a＞0，b＞0）的最大值为35，则a+b的最小值为8 ．考点：简单线性规划．专题：计算题；压轴题；数形结合．分析：本题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：根据已知的约束条件，画出满足约束条件的可行域，再根据目标函数z=abx+y（a＞0，b＞0）的最大值为35，求出a，b的关系式，再利用基本不等式求出a+b的最小值．解答：解：满足约束条件的区域是一个四边形，如图4个顶点是（0，0），（0，1），（，0），（2，3），由图易得目标函数在（2，3）取最大值35，即35=2ab+3∴ab=16，∴a+b≥2 =8，在a=b=8时是等号成立，∴a+b的最小值为8．故答案为：8点评：用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数．然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解．10．曲线在点（4，e2）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为e2．考点：定积分在求面积中的应用．专题：计算题．分析：先利用复合函数求导法则求已知函数的导函数，再利用导数的几何意义求切线斜率，进而利用直线的点斜式写出切线方程，最后求直线与坐标轴的交点，计算直角三角形的面积即可解答：解：y′=，y′|x=4=e2∴曲线在点（4，e2）处的切线方程为y﹣e2=e2（x﹣4）即y=e2x﹣e2令x=0，得y=﹣e2，令y=0，得x=2∴此切线与坐标轴所围三角形的面积为×2×e2=e2故答案为e2点评：本题主要考查了导数的几何意义，求曲线在某点出的切线方程的方法，利用导数求切线方程是解决本题的关键11．在平面直角坐标系xOy中，若直线y=2a与函数y=|x﹣a|﹣1的图象只有一个交点，则a的值为．考点：函数的零点与方程根的关系．专题：函数的性质及应用．分析：由已知直线y=2a与函数y=|x﹣a|﹣1的图象特点分析一个交点时，两个图象的位置，确定a．解答：解：由已知直线y=2a是平行于x轴的直线，函数y=|x﹣a|﹣1的图象是折线，所以直线y=2a过折线顶点时满足题意，所以2a=﹣1，解得a=﹣；故答案为：．点评：本题考查了函数的图象；考查利用数形结合求参数．12．已知实数a，b，c满足a+b+c=9，ab+bc+ca=24，则b的取值X围是[1，5]．考点：函数最值的应用．专题：计算题；综合题．分析：根据a+b+c=9，ab+bc+ca=24，得到a+c=9﹣b，并代入ab+bc+ca=24，得到ac=24﹣（a+c）b，然后利用基本不等式ac，即可求得b的取值X围．解答：解：∵a+b+c=9，∴a+c=9﹣b，∵ab+ac+bc=（a+c）b+ac=24，得ac=24﹣（a+c）b；又∵ac，∴24﹣（a+c）b，即24﹣（9﹣b）b，整理得b2﹣6b+5≤0，∴1≤b≤5；故答案为[1，5]．点评：此题考查了利用基本不等式求最值的问题，注意基本不等式成立的条件为一正、二定、三等，以及消元思想的应用，属中档题．13．设f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数．当x＜0时，f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0，且g（﹣3）=0，则不等式f（x）g（x）＜0的解集是（﹣∞，﹣3）∪（0，3）．考点：利用导数研究函数的单调性；函数奇偶性的性质．专题：导数的概念及应用．分析：构造函数h（x）=f（x）g（x），利用已知可判断出其奇偶性和单调性，进而即可得出不等式的解集．解答：解：令h（x）=f（x）g（x），则h（﹣x）=f（﹣x）g（﹣x）=﹣f（x）g（x）=﹣h（x），因此函数h（x）在R上是奇函数．①∵当x＜0时，h′（x）=f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0，∴h（x）在x＜0时单调递增，故函数h（x）在R上单调递增．∵h（﹣3）=f（﹣3）g（﹣3）=0，∴h（x）=f（x）g（x）＜0=h（﹣3），∴x＜﹣3．②当x＞0时，函数h（x）在R上是奇函数，可知：h（x）在（0，+∞）上单调递增，且h （3）=﹣h（﹣3）=0，∴h（x）＜0，的解集为（0，3）．∴不等式f（x）g（x）＜0的解集是（﹣∞，﹣3）∪（0，3）．故答案为（﹣∞，﹣3）∪（0，3）．点评：恰当构造函数，熟练掌握函数的奇偶性单调性是解题的关键．14．观察下面的数阵，第20行第20个数是381 ．12 3 45 6 7 8 910 11 12 13 14 15 1617 18 19 20 21 22 23 24 25…考点：归纳推理．专题：综合题；推理和证明．分析：观察这个数列知，第n行的最后一个数是n2，第19行的最后一个数是192=361，由此可求出第20行第20个数．解答：解：观察这个数列知，第n行的最后一个数是n2，第19行的最后一个数是192=361，∴第20行第20个数是361+20=381．故答案为：381．点评：本题给出三角形数阵，求第20行第20个数，着重考查了递归数列和归纳推理等知识点，属于基础题．二、解答题（共6小题，满分0分）15.给定两个命题：p：对任意实数x都有ax2+ax+1＞0恒成立；q：关于x的方程x2﹣x+a=0有实数根，如果p和q中至少有一个为真命题，某某数a的取值X围．考点：复合命题的真假．专题：简易逻辑．分析：根据二次函数恒成立的充要条件，我们可以求出命题p为真时，实数a的取值X围，根据二次函数有实根的充要条件，我们可以求出命题q为真时，实数a的取值X围，则命题p，q中一个为真，分类讨论后，即可得到实数a的取值X围．解答：解：对任意实数x都有ax2+ax+1＞0恒成立⇔a=0或⇔0≤a＜4；关于x的方程x2﹣x+a=0有实数根⇔△=1﹣4a≥0⇔a≤；p和q中至少有一个为真命题如果p真q假，则有0≤a＜4，且a＞，∴＜a＜4；如果p假q真，则有a＜0，或a≥4，且a≤∴a＜0；如果p真q真，则有0≤a＜4，且a≤，∴0≤a≤；所以实数a的取值X围为（﹣∞，4）点评：本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，复合命题的真假，函数恒成立问题，其中判断出命题p与命题q为真时，实数a的取值X围，是解答本题的关键．16.已知复数z1满足（z1﹣2）（1+i）=1﹣i（i为虚数单位），复数z2的虚部为2，且z1•z2是实数，求z2．考点：复数代数形式的混合运算．专题：计算题．分析：利用复数的除法运算法则求出z1，设出复数z2；利用复数的乘法运算法则求出z1•z2；利用当虚部为0时复数为实数，求出z2．解答：解：∴z1=2﹣i设z2=a+2i（a∈R）∴z1•z2=（2﹣i）（a+2i）=（2a+2）+（4﹣a）i∵z1•z2是实数∴4﹣a=0解得a=4所以z2=4+2i点评：本题考查复数的除法、乘法运算法则、考查复数为实数的充要条件是虚部为0．17.已知函数f（x）=ax3+bx2+cx在点x0处取得极大值5，其导函数y=f′（x）的图象经过点（1，0），（2，0），如图所示，求：（Ⅰ）x0的值；（Ⅱ）a，b，c的值．考点：利用导数研究函数的极值．专题：计算题．分析：（1）观察图象满足f′（x）=0的点附近的导数的符号的变化情况，来确定极大值，求出x0的值；（2）根据图象可得f'（1）=0，f'（2）=0，f（1）=5，建立三个方程，联立方程组求解即可．解答：解：（Ⅰ）由图象可知，在（﹣∝，1）上f'（x）＞0，在（1，2）上f'（x）＜0．在（2，+∝）上f'（x）＞0．故f（x）在（﹣∝，1），（2，+∝）上递增，在（1，2）上递减．因此f（x）在x=1处取得极大值，所以x0=1．（Ⅱ）f'（x）=3ax2+2bx+c，由f'（1）=0，f'（2）=0，f（1）=5，得解得a=2，b=﹣9，c=12．点评：本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及观察图形的能力，属于基础题．18.因发生意外交通事故，一辆货车上的某种液体泄漏到一渔塘中．为了治污，根据环保部门的建议，现决定在渔塘中投放一种可与污染液体发生化学反应的药剂．已知每投放a（1≤a≤4，且a∈R）个单位的药剂，它在水中释放的浓度y（克/升）随着时间x（天）变化的函数关系式近似为y=a•f（x），其中f（x）=．若多次投放，则某一时刻水中的药剂浓度为每次投放的药剂在相应时刻所释放的浓度之和．根据经验，当水中药剂的浓度不低于4（克/升）时，它才能起到有效治污的作用．（Ⅰ）若一次投放4个单位的药剂，则有效治污时间可达几天？（Ⅱ）若第一次投放2个单位的药剂，6天后再投放a个单位的药剂，要使接下来的4天中能够持续有效治污，试求a的最小值（精确到0.1，参考数据：取1.4）．考点：函数模型的选择与应用．专题：函数的性质及应用．分析：（Ⅰ）通过a=4可知y=，分别令每段对应函数值大于等于4，计算即得结论；（Ⅱ）通过化简、利用基本不等式可知y=2•（5﹣x）+a[﹣1]=（14﹣x）+﹣a﹣4≥﹣a﹣4，再令﹣a﹣4≥4，计算即得结论．解答：解：（Ⅰ）∵a=4，∴y=，当0≤x≤4时，由﹣4≥4，解得x≥0，∴此时0≤x≤4；当4＜x≤10时，由20﹣2x≥4，解得x≤8，∴此时4＜x≤8；综上所述，0≤x≤8，即若一次投放4个单位的制剂，则有效治污时间可达8天；（Ⅱ）当6≤x≤10时，y=2•（5﹣x）+a[﹣1]=10﹣x+﹣a=（14﹣x）+﹣a﹣4，∵14﹣x∈[4，8]，而1≤a≤4，∴∈[4，8]，∴y=（14﹣x）+﹣a﹣4≥2﹣a﹣4=﹣a﹣4，当且仅当14﹣x=即x=14﹣4时，y有最小值为﹣a﹣4，令﹣a﹣4≥4，解得24﹣16≤a≤4，∴a的最小值为24﹣16≈1.6．点评：本题考查函数模型的选择与应用，考查分析问题、解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于中档题．19.试比较n n+1与（n+1）n（n∈N*）的大小，分别取n=1，2，3，4，5加以试验，根据试验结果猜测一个一般性结论．考点：数学归纳法．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：本题考查的知识点是归纳推理与数学归纳法，我们可以列出n n+1与（n+1）n（n∈N*）的前若干项，然后分别比较其大小，然后由归纳推理猜想出一个一般性的结论，然后利用数学归纳法进行证明．解答：解：当n=1时，n n+1=1，（n+1）n=2，此时，n n+1＜（n+1）n，当n=2时，n n+1=8，（n+1）n=9，此时，n n+1＜（n+1）n，当n=3时，n n+1=81，（n+1）n=64，此时，n n+1＞（n+1）n，当n=4时，n n+1=1024，（n+1）n=625，此时，n n+1＞（n+1）n，根据上述结论，我们猜想：当n≥3时，n n+1＞（n+1）n（n∈N*）恒成立．证明：①当n=3时，n n+1=34=81＞（n+1）n=43=64即n n+1＞（n+1）n成立．②假设当n=k时，k k+1＞（k+1）k成立，即：＞1则当n=k+1时，=（k+1）（）k+1＞（k+1）（）k+1=＞1即（k+1）k+2＞（k+2）k+1成立，即当n=k+1时也成立，∴当n≥3时，n n+1＞（n+1）n（n∈N*）恒成立．点评：本题考查了数学归纳法的应用，证明步骤的应用，归纳推理，考查计算能力，属于中档题．20.对于定义在区间D上的函数f（x）和g（x），如果对于任意x∈D，都有|f（x）﹣g（x）|≤1成立，那么称函数f（x）在区间D上可被函数g（x）替代．（1）若，试判断在区间[[1，e]]上f（x）能否被g（x）替代？（2）记f（x）=x，g（x）=lnx，证明f（x）在上不能被g（x）替代；（3）设，若f（x）在区间[1，e]上能被g（x）替代，某某数a的X围．考点：函数恒成立问题；函数单调性的性质．专题：证明题；综合题；压轴题．分析：（1）构造函数，通过研究h（x）的导数得出其单调性，从而得出其在区间[[1，e]上的值域，可以证出f（x）能被g（x）替代；（2）构造函数k（x）=f（x）﹣g（x）=x﹣lnx，可得在区间上函数k（x）为减函数，在区间（1，m）上为增函数，因此函数k（x）在区间的最小值为k（1）=1，最大值是k（m）大于1，所以不满足对于任意x∈D，都有|f（x）﹣g（x）|≤1成立，故f（x）在上不能被g（x）替代；（3）根据题意得出不等式，去掉绝对值，再根据x﹣lnx的正负转化为或，通过讨论右边函数的最值，得出实数a的X围解答：解：（1）∵，令，∵，∴h（x）在[1，e]上单调增，∴．∴|f（x）﹣g（x）|≤1，即在区间[[1，e]]上f（x）能被g（x）替代．（2）记k（x）=f（x）﹣g（x）=x﹣lnx，可得当时，k′（x）＜0，在区间上函数k（x）为减函数，当1＜x＜m时，k′（x）＞0，在区间（1，m）上函数k（x）为增函数∴函数k（x）在区间的最小值为k（1）=1，最大值是k（m）＞1，所以不满足对于任意x∈D，都有|f（x）﹣g（x）|≤1成立，故f（x）在上不能被g（x）替代；（3）∵f（x）在区间[1，e]上能被g（x）替代，即|f（x）﹣g（x）|≤1对于x∈[1，e]恒成立．∴．，由（2）知，当x∈[1，e]时，x﹣lnx＞0恒成立，∴有，令，∵=，由（1）的结果可知，∴F'（x）恒大于零，∴．②，令，∵=，∵，∴G'（x）恒大于零，∴，即实数a的X围为点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性，通过分类讨论解决了不等式恒成立的问题，属于难题．。
北京市东城区2021-2022高二数学下学期期末考试试题(含解析)
北京市东城区2021-2022高二数学下学期期末考试试题(含解析)重点中学试卷可修改，欢迎下载2021-2022学年东城区高二数学期末考试本试卷共4页，共100分，考试时间120分钟。
请考生将答案填写在答题卡上，试卷上的答案无效。
考试结束后，请将试卷和答题卡一并交回。
第一部分选择题（共32分）一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分。
在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的。
1.已知集合 $M=\{0.1.2\}$，$N=\{x|0\leq x<2\}$，则$M\cap N$ 等于A。
$\{0\}$。
B。
$\{0.1\}$。
C。
$\{1.2\}$。
D。
$\emptyset$解析】直接进行交集的运算即可得到$M\cap N=\{0.1\}$，故选 B。
2.已知曲线 $y=\dfrac{1}{x}$，$x\neq 0$，那么集合$\{x|y=f(x)\}$ 在点 $(5.0.2)$ 处的切线方程是A。
$y=5x-24$。
B。
$y=5x-25$。
C。
$y=4x-19$。
D。
$y=4x-21$解析】求出切线的斜率即可。
由导数的几何意义，切线的斜率等于函数在该点的导数值，即 $f'(5)=-\dfrac{1}{25}$，带入点斜式即可得到切线方程 $y=5x-25$，故选 B。
3.已知 $x>0$，$y>0$，那么“$x\cdot y>0$”是“$x>0$且$y>0$”的A。
充分而不必要条件。
B。
充要条件。
C。
必要而不充分条件。
D。
既不充分也不必要条件解析】先利用取特殊值法判断 $x\cdot y>0$ 时，$x>0$ 且$y>0$ 不成立，再说明 $x>0$ 且 $y>0$ 时，$x\cdot y>0$ 一定成立，即可得到结论。
故“$x\cdot y>0$”是“$x>0$且$y>0$”的必要不充分条件，故选 C。
北京市十一学校2020-2021学年高二下学期期末考试数学试题(扫描版,含答案解析)
2020-2021学年第4学段高二年级数学学科教与学诊断参考答案（2021.06）一、选择题（共10道小题，每题4分，共40分）1．已知集合2{|20}A x R x x =∈-<，{|14}B x R x =∈ ，则A B = ()A ．{|04}x x <<B ．{|04}x x <C ．{|12}x x <D ．{|24}x x < 答案B【解析】因为集合2{|20}{|02}A x R x x x x =∈-<=<<，{|14}B x R x =∈ ，所以{|04}A B x x =< ．2．命题:(1,)p x ∀∈+∞，2lnx x x <-，则p ⌝为()A ．(1,)x ∀∈+∞，2lnx x x- B ．(0x ∀∈，1]，2lnx x x<-C ．0(1,)x ∃∈+∞，2000lnx x x <-D ．0(1,)x ∃∈+∞，2000lnx x x - 答案D【解析】命题是全称命题，则否定为特称命题，即0:(1,)p x ⌝∃∈+∞，2000lnx x x - ．3．集合1{|36n M x x ==+，}n Z ∈，1{|63nN x x ==+，}n Z ∈，则下列关系正确的是()A ．M N ⊆B ．M N =∅C ．N M ⊆D ．M N Z= 答案C【解析】集合1{|36n M x x ==+，}{n Z ∈=⋅⋅⋅，16-，0，16，13，12，23，56，}⋅⋅⋅，1{|63nN x x ==+，}{n Z ∈=⋅⋅⋅，56-，12-，16-，16，12，56，76，}⋅⋅⋅，N M ∴⊆．4．关于x 的不等式()(3)0ax b x -+<的解集为(-∞，3)(1-⋃，)+∞，则关于x 的不等式0ax b +>的解集为()A ．(,1)-∞-B ．(1,)-+∞C ．(,1)-∞D ．(1,)+∞答案A【解析】由题意可得0a <，且1，3-是方程()(3)0ax b x -+=的两根，1x ∴=为方程0ax b -=的根，a b ∴=，则不等式0ax b +>可化为10x +<，即1x <-，∴不等式0ax b +>的解集为(,1)-∞-.5．函数2||()lg x f x x =的图象大致为()A BCD答案D【解析】函数的定义域为{|0}x x ≠，22||||()()()lg x lg x f x f x x x --===-，即()f x 是偶函数，排除A ，B ，由()0f x =，得||0lg x =，得1x =或1x =-，当1x >时，()0f x >，排除C ．6．已知两个正实数x ，y 满足2x y +=，则191x y ++的最小值是()A ．163B ．112C ．8D ．3答案A【解析】因为正实数x ，y 满足2x y +=，则1911911911916()(1)(10)(102)13131313y x y x x y x y x y x y x y +++=+++=+++⋅=++++ ．7．已知a ，b R ∈，则“||||a b b ->”是“12b a <”的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案C【解析】||||a b b -> ，22||||a b b ∴->，2222a ab b b ∴-+>，(2)0a a b ∴->， 12b a <，∴102b a -<，∴202b a a-<，(2)0a a b ∴->，||||a b b ∴->是12b a <的充要条件.8．近些年，我国在治理生态环境方面推出了很多政策，习总书记明确提出大力推进生态文明建设，努力建设美丽中国！某重型工业企业的生产废水中某重金属对环境有污染，因此该企业研发了治理回收废水中该重金属的过滤装置，废水每通过一次该装置，可回收20%的该重金属．若当废水中该重金属含量低于最原始的4%时，至少需要经过该装置的次数为()（参考数据：20.301)lg ≈A ．12B ．13C ．14D ．15答案D【解析】设废水中最原始的该重金属含量为a ，则经过x 次该装置过滤后，该重金属含量为4(120%)()5x x a a ⨯-=⋅，由题意知4()0.045x a a ⨯<，所以4()0.045x <，两边取对数，得4222214.445321lg lg x lg lg lg -->=≈--，所以x 取最小整数为15．9．已知函数()a g x a lnx x =+-在区间1(,)e e内有唯一的零点，则实数a 的取值不可能是()A ．13B ．12-C ．11e +D ．12e -+答案B【解析】方法一：数形结合法。
2022-2023学年北京市东城区高二(下)期末数学试卷 - 解析版
2022-2023学年北京市东城区高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题共12小题，每小题3分，共36分。
在每个小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．（3分）已知集合A＝{x||x|＜1}，B＝{﹣1，0，1，2}，则A∩B＝（）A．{﹣1，1，2}B．{﹣1，0，1}C．{0，1}D．{0}【答案】D【分析】解不等式得集合A，根据交集的定义写出A∩B．【解答】解：∵集合A＝{x||x|＜1}＝{x|﹣1＜x＜1}，B＝{﹣1，0，1，2}，∴A∩B＝{0}．故选：D．2．（3分）从集合{1，2，3，4，5}中选取两个不同的元素，组成平面直角坐标系中点的坐标，则可确定的点的个数为（）A．10B．15C．20D．25【答案】D【分析】利用分步计数原理进行计算即可．【解答】解：平面坐标系中坐标的横坐标和纵坐标位置不同，横坐标有5种，纵坐标有5种，则共有5×5＝25种不同的点．故选：D．3．（3分）已知a＝lge，b＝e2，（e＝2.71828⋯），那么（）A．b＜c＜a B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．c＜a＜b【答案】D【分析】由题意，根据对数函数和指数函数的性质进行求解即可．【解答】解：已知lg1＜lge＜lg10，所以0＜a＜1，又b＝e2＞e0，所以b＞1，因为c＝ln＝﹣ln10＜0，所以b＞a＞c．故选：D．4．（3分）如图，曲线y＝f（x）在点（2，2）处的切线为直线l，直线l经过原点O，则f′（2）+f（2）＝（）A．1B．2C．3D．4【答案】C【分析】由已知利用两点求斜率公式可得f′（2），由题意知f（2）＝2，则答案可求．【解答】解：∵曲线y＝f（x）在点（2，2）处的切线l经过原点O，∴f′（2）＝，又f（2）＝2，∴f′（2）+f（2）＝1+2＝3．故选：C．5．（3分）在（x﹣2）10的展开式中，x6的系数为（）A．16C B．32C C．﹣8C D．﹣16C【答案】A【分析】利用通项公式即可得出．【解答】解：T5＝＝16x6，∴x6的系数为16，故选：A．6．（3分）如图（1）、（2）、（3）分别为不同样本数据的散点图，其对应的样本相关系数分别是r1，r2，r3，那么r1，r2，r3之间的关系为（）A．r3＜r2＜r1B．r2＜r3＜r1C．r3＜r1＜r2D．r1＜r3＜r2【答案】B【分析】由题意，根据所给散点图，先判断是正相关还是负相关，再根据点的集中程度分析相关系数的大小．【解答】解：由散点图可知，图（1）和图（3）是正相关，相关系数大于0图（2）是负相关，相关系数小于0又图（1）和图（2）的点相对集中，所以相关性更强，此时r1接近于1，r2接近于﹣1，所以r1＞r3＞r2．故选：B．7．（3分）已知等比数列{a n}的首项和公比相等，那么数列{a n}中与a3a7一定相等的项是（）A．a5B．a7C．a9D．a10【答案】D【分析】直接代入通项公式即可判断各个选项．【解答】解：等比数列{a n}中，首项和公比相等，则有a1＝q≠0，a3a7＝a1q2•a1q6＝q10，a5＝a1q4＝q5，a7＝a1q6＝q7，a9＝a1q8＝q9，a10＝a1q9＝q10，则a3a7＝a10．故选：D．8．（3分）已知x＝1是函数f（x）＝（x﹣1）2（x﹣a）的极小值点，那么a的取值范围是（）A．（﹣∞，1）B．（1，+∞）C．（﹣∞，1]D．[1，+∞）【答案】A【分析】由题意，对函数f（x）进行求导，分别讨论当1＜，1＝和1＞这三种情况，结合导数的几何意义进行求解即可．【解答】解：已知f（x）＝（x﹣1）2（x﹣a），函数定义域为R，可得f′（x）＝（x﹣1）（3x﹣2a﹣1），解得x＝1或x＝，当1＜，即a＞1时，当x＜1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；当1＜x＜时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x＞时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，易知当x＝1时，函数f（x）取得极大值，不符合题意；当1＝，即a＝1时，f′（x）＝3（x﹣1）2≥0恒成立，所以函数f（x）在R上单调递增，无极值点，不符合题意；当1＞，即a＜1时，当x＜时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；当＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x＞1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，易知当x＝1时，函数f（x）取得极小值，符合题意，综上，a的取值范围为（﹣∞，1）．故选：A．9．（3分）在函数y＝xlnx，y＝cos x，y＝2x，y＝x﹣lnx中，导函数值不可能取到1的是（）A．y＝xlnx B．y＝cos x C．y＝2x D．y＝x﹣lnx【答案】D【分析】根据题意，依次求出4个函数的导数，分析可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，y＝xlnx，y′＝lnx+1，当x＝1时，有y′＝1；对于B，y＝cos x，y′＝﹣sin x，当x＝2kπ+π（k∈Z）时，有y′＝1；对于C，y＝2x，y′＝2x ln2，存在x的值，使得y′＝1，符合题意；对于D，y＝x﹣lnx，y′＝1﹣，由于x＞0，则有y′＜1，导函数值不可能取到1．故选：D．10．（3分）已知有7件产品，其中4件正品，3件次品，每次从中随机取出1件产品，抽出的产品不再放回，那么在第一次取得次品的条件下，第二次取得正品的概率为（）A．B．C．D．【答案】B【分析】利用条件概率公式求解．【解答】解：设事件A表示“第一次取得次品”，事件B表示“第二次取得正品”，则P（A）＝＝，P（AB）＝＝，所以P（B|A）＝＝＝．故选：B．11．（3分）声压级（SPL）是指以对数尺衡量有效声压相对于一个基准值的大小，其单位为dB（分贝）．人类产生听觉的最低声压为20μPa（微帕），通常以此作为声压的基准值．声压级的计算公式为：，其中P是测量的有效声压值，P ref声压的基准值，P ref＝20μPa．由公式可知，当声压P＝20μPa时，SPL＝0dB．若测得某住宅小区白天的SPL值为50dB，夜间的SPL值为30dB，则该小区白天与夜间的有效声压比为（）A．B．10C．D．20【答案】B【分析】根据题意得出P ref＝20μPa，求出声压P的解析式，再利用指数与对数的关系求解即可．【解答】解：根据题意知，中，P是测量的有效声压值，P ref＝20μPa；当声压P＝20μPa时，SPL＝0dB，所以＝lg，所以P＝20×，白天的SPL值为50dB，夜间的SPL值为30dB，则该小区白天与夜间的有效声压比为＝＝10．故选：B．12．（3分）已知函数，①当a≤0时，f（x）在区间（0，+∞）上单调递减；②当时，f（x）有两个极值点；③当时，f（x）有最大值．那么上面说法正确的个数是（）A．0B．1C．2D．3【答案】C【分析】求出函数的导数，提供讨论a的范围，判断函数的单调性，从而判断极值点的个数以及函数的最值问题．【解答】解：∵，∴f′（x）＝ae x﹣x，a≤0，x∈（0，+∞）时，f′（x）＜0，∴f（x）在区间（0，+∞）上单调递减，①正确；令f′（x）＝0，得a＝，令g（x）＝，则g′（x）＝，令g′（x）＞0，解得x＜1，令g′（x）＜0，解得x＞1，故g（x）在（﹣∞，1）递增，在（1，+∞）递减，故g（x）max＝g（1）＝，且x→﹣∞时，g（x）→﹣∞，x→+∞时，g（x）→0，画出函数g（x）的图像，如图示：，当时，y＝a和g（x）有2个交点，则f′（x）＝0有2个零点，f（x）有两个极值点，②正确；当时，f′（x）≥0，f（x）单调递增，没有最大值，故③错误．故选：C．二、填空题共6小题，每小题3分，共18分。
北京市东城区2020-2021学年高二数学下学期期末考试题含答案 文 新人教A版
北京市东城区（南片）2020-2021学年下学期高二年级期末统一测试数学试卷含答案（文科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共100分。
考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题，共36分）一、选择题（本大题共9小题，每小题4分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1. 已知复数i z 211+=，i z -=12，那么21z z z +=在复平面上对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2. 已知全集R U =，集合{}32≤≤-=x x A ，{}41>-<=x x x B 或，那么集合()B C A U 等于A. {}42<≤-x xB. {}43≥≤x x x 或C. {}12-<≤-x xD. {}31≤≤-x x 3. 读下面的程序框图，输出结果是A. 1B. 3C. 4D. 54. 若1212121<⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫⎝⎛x x，则A. 120x x <<B. 121<<x xC. 012<<x xD. 021<<x x5. 用反证法证明命题“若整系数一元二次方程()002≠=++a c bx ax 存在有理数根，那么c b a ,,中至少有一个是偶数”时，下列假设中正确的是 A. 假设c b a ,,不都是偶数B. 假设c b a ,,都不是偶数C. 假设c b a ,,至多有一个是偶数D. 假设c b a ,,至多有两个是偶数6. 下列函数中在区间()+∞,0上单调递增的是 A. x y sin = B. 2x y -= C. x e y -= D. 3x y =7. 若0x 是方程5lg =+x x 的解，则0x 属于区间A. ()2,1B. ()3,2C. ()4,3D. ()5,48. 以下四图，都是同一坐标系中三次函数及其导函数的图象，其中一定不．正确的序号是A. ③④B. ①②C. ②③D. ②④9. 已知x x x tan 1tan 14tan -+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+π⎪⎭⎫ ⎝⎛+≠4ππk x ，那么函数x y tan =的周期为π。
北京市东城区10-11学年高二数学下学期期末考试文新人教a版(2).doc
北京市东城区（南片）2010-2011学年下学期高二年级期末统一测试数学试卷（文科）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共100分。
考试时间220分 钟。
第I 卷（选择题，共36分）一、选择题（本大题共9小题，每小题4分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。
）1.己知复数Z|=l + 2i, z 2 =l-z,那么z = Z|+z?在复平面上对应的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 2.已知全集 U = R ,集合 A = {x|- 2 < x < 3）, B = [xx < -lg!c 兀 >4},那么集合等于5.用反证法证明命题“若整系数一元二次方程处2+bx + c = 0（GH0）存在有理数根，那么a,b,c 中至少冇一个是偶数”时，下列假设中正确的是A.假设a,b,c 不都是偶数B.假设a,b,c 都不是偶数C.假设a,b,c 至多有一个是偶数D.假设a,b,c 至多有两个是偶数6.下列函数中在区间（0,+8）上单调递增的是•2-x3A ・ y = sin x B. y = -xC. y = eD. y = ”7.若兀o 是方程lgx + x = 5的解, A. （1,2） D. （4,5）A. {彳- 2 < x < 4} C. {寸-2 5 x v -1}3.读下面的程序框图，输出结果是A. 1 D. 5 4.A. 0 < x 2 < X]B. X] < x 2 < 1{x|x < 3或兀 > 4} {x|-l<x<3}B. 3C.4c.兀2 v %] v ° D ・ < x 2 <Q则兀0属于区间B. （2,3）c.（3,4）D.8.以下四图，都是同一坐标系屮三次函数及其导函数的图象，其中一定不正确的序号是第II 卷（非选择题，共64分）二.填空题：（本大题共6小题，每小题4分，共24分。
北京市东城区10-11学年高一下学期期末考试(数学).pdf
第14章 维持生物体内的平衡 第1节 人体内物质的运输 心脏 小鱼尾鳍的血液流动 动脉 静脉 判断：动脉、毛细血管、静脉？ 血流方向？ 毛细血管 哈维 英科学家，由于对血液循环的实验研究，获得了“近代生理学之父”的称誉。
他从实验入手，从绑扎人体上臂血管的实验中发现，动脉和静脉中血液流动的方向是相反的，并猜想，动脉与静脉之间一定有种血管，把动脉与静脉之间的血液连通起来。
模拟哈维实验 观察要点： 1.前臂青筋的鼓起。
2.感觉腕动脉的消失。
注意尽快松开绑带 想一想： 1 .人体静脉血管中的血液方向是流回心脏还是流向肢端？ 2.动脉血管中的血呢？ 人体内血液在心脏和全部血管组成的管道中进行的循环流动 就叫做血液循环。
血液循环 1.说出心脏四腔的名称？ 哪一个心腔的壁最厚？ 2.各心腔相连的血管名称？ 3.标注血流在心腔间，以及心腔与所连血管之间的血流方向？ 4.肺动脉的血会流向哪里? 5.主动脉的血会流向哪里? 观察思考,记录 血液循环途径 二氧化碳 氧气 肺动脉 肺静脉 分析1：肺泡与毛细血管间的物质交换 含氧少 含二氧化碳多 颜色暗红 静脉血 动脉血 含氧多 含二氧化碳少 颜色鲜红 肺循环 二氧化碳 其他废物 血浆 血流 氧气 营养物质 红细胞 红细胞组织细胞 分析2：毛细血管与组织细胞间的 物 质 交 换 静脉血 动脉血 体循环 观看动画: 两条循环途 径 血液成分变 化 比较两条途径的起止点，血液成分的变分？ 2. 小明同学右手受伤发炎，医生给他左手静脉注射青霉素，当药物到达心脏的时候，最先到达哪个心腔？它走的是哪条路线? 1.动脉中的血一定是动脉血吗?静脉中的血一定是静脉血吗? 3、假设我是一个氧气分子，从空气到达组织细胞参与呼吸作用，说一说这个氧气分子到达细胞的路程？以及组织细胞毛细血管处的血液成分发生的变化？产生的二氧化碳分子呢？ 讨论交流： 思考： 我们所吃的食物中的营养物质是通过怎样的途径送到组织细胞的？产生的尿素等废物会被血液运输到什么器官排出？ 血液在人体内流动，将人体细胞需要的氧气，各种营养物质运输至人体的各个器官，并且将代谢废物运输至一定的器官而排出体外。
高二数学第二学期期末试卷 理(含解析)-人教版高二全册数学试题
2014-2015学年某某省某某市满城中学高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1．若直线的参数方程为（t为参数），则直线的倾斜角为（）A． 30° B． 60° C． 120° D． 150°2．“x2﹣2x＜0”是“0＜x＜4”的（）A．充要条件 B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件3．若命题“存在x∈R，使x2+（a﹣1）x+1＜0”是假命题，则实数a的取值X围为（） A． a＞3或a＜﹣1 B． a≥3或a≤﹣1 C．﹣1＜a＜3 D．﹣1≤a≤34．在极坐标系中圆ρ=2cosθ的垂直于极轴的两条切线方程分别为（）A．θ=0（ρ∈R）和ρcosθ=2 B．θ=（ρ∈R）和ρcosθ=2C．θ=（ρ∈R）和ρcosθ=1 D．θ=0（ρ∈R）和ρcosθ=15．若x，y∈R且满足x+3y=2，则3x+27y+1的最小值是（）A． B． C． 6 D． 76．不等式||＞a的解集为M，又2∉M，则a的取值X围为（）A．（，+∞） B． [，+∞） C．（0，） D．（0，]7．如果关于x的不等式|x﹣3|+|x﹣4|＜a的解集不是空集，则实数a的取值X围是（） A． 0＜a≤1 B． a≥1 C． 0＜a＜1 D． a＞18．极坐标系中，圆ρ=2cosθ与直线2ρcos（θ+）=﹣1的位置关系为（）A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定9．下列说法中正确的是（）A．命题“若x＞y，则2x＞2y”的否命题为假命题B．命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定为“∀x∈R，满足x2+x+1＞0”C．设x，y为实数，则“x＞1”是“lgx＞0”的充要条件D．若“p∧q”为假命题，则p和q都是假命题10．如图所示的韦恩图中，A，B是非空集合，定义集合A#B为阴影部分表示的集合．若x，y∈R，A={x|y=}，B={y|y=3x，x＞0}，则A#B=（）A． {x|0＜x＜2} B． {x|1＜x≤2} C． {x|0≤x≤1或x≥2} D． {x|0≤x≤1或x＞2} 11．若n＞0，则n+的最小值为（）A． 2 B． 4 C． 6 D． 812．已知a，b，c为三角形的三边且S=a2+b2+c2，P=ab+bc+ca，则（）A． S≥2P B． P＜S＜2P C． S＞P D． P≤S＜2P二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把最简答案填在题后横线上）13．不等式|2x﹣1|﹣|x﹣2|＜0的解集为．14．在平面直角坐标系xOy中，若直线l：，（t为参数）过椭圆C：（θ为参数）的右顶点，则常数a的值为．15．已知集合A={﹣1，1}，B={x|ax+1=0}，若B⊆A，则实数a的所有可能取值的集合为．16．已知p：|x﹣3|≤2，q：（x﹣m+1）（x﹣m﹣1）≤0，若￢p是￢q的充分而不必要条件，则实数m的取值X围为．三.解答题（本大题共6小题，70分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）17．⊙O1和⊙O2的极坐标方程分别为ρ=4coθ，ρ=﹣sinθ．（1）把⊙O1和⊙O2的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）求经过⊙O1，⊙O2交点的直线的极坐标方程．18．选修4﹣5：不等式选讲设函数，f（x）=|x﹣1|+|x﹣2|．（I）求证f（x）≥1；（II）若f（x）=成立，求x的取值X围．19．极坐标系的极点为直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，已知曲线C的极坐标方程为ρ=2（cosθ+sinθ）．（1）求C的直角坐标方程；（2）直线l：为参数）与曲线C交于A，B两点，与y轴交于E，求|EA|+|EB|的值．20．已知直线l：（t为参数），曲线C1：（θ为参数）．（Ⅰ）设l与C1相交于A，B两点，求|AB|；（Ⅱ）若把曲线C1上各点的横坐标压缩为原来的倍，纵坐标压缩为原来的倍，得到曲线C2，设点P是曲线C2上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．21．已知函数f（x）=|2x﹣a|+a．（1）若不等式f（x）≤6的解集为{x|﹣2≤x≤3}，某某数a的值．（2）在（1）的条件下，若存在实数n使f（n）≤m﹣f（﹣n）成立，某某数m的取值X 围．22．在直角坐标xoy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ，如图，曲线C与x轴交于O，B两点，P是曲线C在x轴上方图象上任意一点，连结OP并延长至M，使PM=PB，当P变化时，求动点M的轨迹的长度．2014-2015学年某某省某某市满城中学高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1．若直线的参数方程为（t为参数），则直线的倾斜角为（）A． 30° B． 60° C． 120° D． 150°考点：直线的参数方程．专题：直线与圆．分析：设直线的倾斜角为α，则α∈[0°，180°）．由直线的参数方程为（t为参数），消去参数t可得．可得直线的斜率，即可得出．解答：解：设直线的倾斜角为α，α∈[0°，180°）．由直线的参数方程为（t为参数），消去参数t可得．∴直线的斜率，则直线的倾斜角α=150°．故选D．点评：本题考查了把直线的参数方程化为普通方程、直线的斜率与倾斜角的关系，属于基础题．2．“x2﹣2x＜0”是“0＜x＜4”的（）A．充要条件 B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：不等式的解法及应用．分析：因为“x2﹣x＞0”可以求出x的X围，再根据充分必要条件的定义进行求解；解答：解：∵x2﹣2x＜0⇔0＜x＜2，若0＜x＜2可得0＜x＜4，反之不成立．∴“x2﹣2x＜0”是“0＜x＜4”的充分非必要条件，故选B．点评：此题主要考查一元二次不等式的解法，以及充分必要条件的定义，是一道基础题；3．若命题“存在x∈R，使x2+（a﹣1）x+1＜0”是假命题，则实数a的取值X围为（） A． a＞3或a＜﹣1 B． a≥3或a≤﹣1 C．﹣1＜a＜3 D．﹣1≤a≤3考点：特称命题．分析：根据所给的特称命题写出其否定命题：任意实数x，使x2+ax+1≥0，根据命题否定是假命题，得到判别式大于0，解不等式即可．解答：解：∵命题“存在x∈R，使x2+（a﹣1）x+1＜0”的否定是“任意实数x，使x2+ax+1≥0”命题否定是真命题，∴△=（a﹣1）2﹣4≤0，整理得出a2﹣2a﹣3≤0∴﹣1≤a≤3故选D．点评：本题考查命题的否定，解题的关键是写出正确的全称命题，并且根据这个命题是一个真命题，得到判别式的情况．4．在极坐标系中圆ρ=2cosθ的垂直于极轴的两条切线方程分别为（）A．θ=0（ρ∈R）和ρcosθ=2 B．θ=（ρ∈R）和ρcosθ=2C．θ=（ρ∈R）和ρcosθ=1 D．θ=0（ρ∈R）和ρcosθ=1考点：简单曲线的极坐标方程；圆的切线方程．专题：直线与圆．分析：利用圆的极坐标方程和直线的极坐标方程即可得出．解答：解：如图所示，在极坐标系中圆ρ=2cosθ是以（1，0）为圆心，1为半径的圆．故圆的两条切线方程分别为（ρ∈R），ρcosθ=2．故选B．点评：正确理解圆的极坐标方程和直线的极坐标方程是解题的关键》5．若x，y∈R且满足x+3y=2，则3x+27y+1的最小值是（）A． B． C． 6 D． 7考点：基本不等式．专题：计算题．分析：将x用y表示出来，代入3x+27y+1，化简整理后，再用基本不等式，即可求最小值．解答：解：由x+3y﹣2=0得x=2﹣3y代入3x+27y+1=32﹣3y+27y+1=+27y+1∵，27y＞0∴+27y+1≥7当=27y时，即y=，x=1时等号成立故3x+27y+1的最小值为7故选D．点评：本题的考点是基本不等式，解题的关键是将代数式等价变形，构造符合基本不等式的使用条件．6．不等式||＞a的解集为M，又2∉M，则a的取值X围为（）A．（，+∞） B． [，+∞） C．（0，） D．（0，]考点：绝对值不等式的解法．专题：综合题．分析：本题为含有参数的分式不等式，若直接求解，比较复杂，可直接由条件2∉M出发求解．2∉M即2不满足不等式，从而得到关于a的不等关系即可求得a的取值X围．解答：解：依题意2∉M，即2不满足不等式，得：||≤a，解得a≥，则a的取值X围为[，+∞）．故选B．点评：本题考查绝对值不等式的解法和等价转化思想，属于基础题．7．如果关于x的不等式|x﹣3|+|x﹣4|＜a的解集不是空集，则实数a的取值X围是（） A． 0＜a≤1 B． a≥1 C． 0＜a＜1 D． a＞1考点：绝对值不等式的解法．专题：函数的性质及应用．分析：利用绝对值的意义求得|x﹣3|+|x﹣4|的最小值为1，再结合条件求得实数a的取值X围．解答：解：|x﹣3|+|x﹣4|表示数轴上的x对应点到3、4对应点的距离之和，它的最小值为1，故a＞1，故选：D．点评：本题主要考查绝对值的意义，属于基础题．8．极坐标系中，圆ρ=2cosθ与直线2ρcos（θ+）=﹣1的位置关系为（）A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定考点：简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：把极坐标方程化为直角坐标方程，求出圆心到直线的距离，再与半径比较大小即可得出．解答：解：圆ρ=2cosθ即ρ2=2ρcosθ，化为x2+y2=2x，配方为（x﹣1）2+y2=1，∴圆心C （1，0），半径r=1．直线2ρcos（θ+）=﹣1展开为=﹣1，化为x﹣y+1=0．∴圆心C到直线的距离d==1=r．∴直线与圆相切．故选：B．点评：本题考查了把极坐标方程化为直角坐标方程的方法、点到直线的距离公式、直线与圆的位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．下列说法中正确的是（）A．命题“若x＞y，则2x＞2y”的否命题为假命题B．命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定为“∀x∈R，满足x2+x+1＞0”C．设x，y为实数，则“x＞1”是“lgx＞0”的充要条件D．若“p∧q”为假命题，则p和q都是假命题考点：命题的真假判断与应用．专题：简易逻辑．分析：由指数函数的单调性和命题的否命题，即可判断A；由含有一个量词的命题的否定，即可判断B；运用对数函数的单调性和充分必要条件的定义，即可判断C；由复合命题的真假，结合真值表，即可判断D．解答：解：A．命题“若x＞y，则2x＞2y”的否命题是“若x≤y，则2x≤2y”是真命题，故A错；B．命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定为“∀x∈R，满足x2+x+1≥0”，故B错；C．设x，y为实数，x＞1可推出lgx＞lg1=0，反之，lgx＞0也可推出x＞1，“x＞1”是“lgx＞0”的充要条件，故C正确；D．若“p∧q”为假命题，则p，q中至少有一个为假命题，故D错．故选C．点评：本题主要考查简易逻辑的基础知识：四种命题及关系、命题的否定、充分必要条件和复合命题的真假，注意否命题与命题的否定的区别，是一道基础题．10．如图所示的韦恩图中，A，B是非空集合，定义集合A#B为阴影部分表示的集合．若x，y∈R，A={x|y=}，B={y|y=3x，x＞0}，则A#B=（）A． {x|0＜x＜2} B． {x|1＜x≤2} C． {x|0≤x≤1或x≥2} D． {x|0≤x≤1或x＞2}考点： Venn图表达集合的关系及运算．专题：计算题；新定义．分析：利用函数的定义域、值域的思想确定出集合A，B是解决本题的关键．弄清新定义的集合与我们所学知识的联系：所求的集合是指将A∪B除去A∩B后剩余的元素所构成的集合．解答：解：依据定义，A#B就是指将A∪B除去A∩B后剩余的元素所构成的集合；对于集合A，求的是函数的定义域，解得：A={x|0≤x≤2}；对于集合B，求的是函数y=3x（x＞0）的值域，解得B={y|y＞1}；依据定义，借助数轴得：A#B={x|0≤x≤1或x＞2}，故选D．点评：本小题考查数形结合的思想，考查集合交并运算的知识，借助数轴保证集合运算的准确定．11．若n＞0，则n+的最小值为（）A． 2 B． 4 C． 6 D． 8考点：平均值不等式．专题：计算题；转化思想．分析：利用题设中的等式，把n+的表达式转化成++后，利用平均值不等式求得最小值．解答：解：∵n+=++∴n+=++（当且仅当n=4时等号成立）故选C点评：本题主要考查了平均值不等式求最值．注意把握好一定，二正，三相等的原则．12．已知a，b，c为三角形的三边且S=a2+b2+c2，P=ab+bc+ca，则（）A． S≥2P B． P＜S＜2P C． S＞P D． P≤S＜2P考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：由于a+b＞c，a+c＞b，c+b＞a，可得ac+bc＞c2，ab+bc＞b2，ac+ab＞a2，可得SP ＞S．又2S﹣2P=（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2≥0，可得S≥P，即可得出．解答：解：∵a+b＞c，a+c＞b，c+b＞a，∴ac+bc＞c2，ab+bc＞b2，ac+ab＞a2，∴2（ac+bc+ab）＞c2+b2+a2，∴SP＞S．又2S﹣2P=（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2≥0，∴S≥P＞0．∴P≤S＜2P．故选：D．点评：本题考查了基本不等式的性质、三角形三边大小关系，考查了变形能力与计算能力，属于中档题．二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把最简答案填在题后横线上）13．不等式|2x﹣1|﹣|x﹣2|＜0的解集为{x|﹣1＜x＜1} ．考点：绝对值不等式的解法．专题：计算题；转化思想．分析：首先分析题目求不等式|2x﹣1|﹣|x﹣2|＜0的解集，可以考虑平方去绝对的方法，先移向，平方，然后转化为求解一元二次不等式即可得到答案．解答：解：|2x﹣1|﹣|x﹣2|＜0移向得：丨2x﹣1丨＜丨x﹣2丨两边同时平方得（2x﹣1）2＜（x﹣2）2即：4x2﹣4x+1＜x2﹣4x+4，整理得：x2＜1，即﹣1＜x＜1故答案为：{x|﹣1＜x＜1}．点评：此题主要考查绝对值不等式的解法的问题，其中涉及到平方去绝对值的方法，对于绝对值不等式属于比较基础的知识点，需要同学们掌握．14．在平面直角坐标系xOy中，若直线l：，（t为参数）过椭圆C：（θ为参数）的右顶点，则常数a的值为 3 ．考点：参数方程化成普通方程；直线与圆锥曲线的关系．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：直接划参数方程为普通方程得到直线和椭圆的普通方程，求出椭圆的右顶点，代入直线方程即可求得a的值．解答：解：由直线l：，得y=x﹣a，再由椭圆C：，得，①2+②2得，．所以椭圆C：的右顶点为（3，0）．因为直线l过椭圆的右顶点，所以0=3﹣a，所以a=3．故答案为3．点评：本题考查了参数方程和普通方程的互化，考查了直线和圆锥曲线的关系，是基础题．15．已知集合A={﹣1，1}，B={x|ax+1=0}，若B⊆A，则实数a的所有可能取值的集合为{﹣1，0，1} ．考点：集合的包含关系判断及应用．专题：阅读型．分析：根据B⊆A，利用分类讨论思想求解即可．解答：解：当a=0时，B=∅，B⊆A；当a≠0时，B={﹣}⊆A，﹣=1或﹣=﹣1⇒a=1或﹣1，综上实数a的所有可能取值的集合为{﹣1，0，1}．故答案是{﹣1，0，1}．点评：本题考查集合的包含关系及应用．16．已知p：|x﹣3|≤2，q：（x﹣m+1）（x﹣m﹣1）≤0，若￢p是￢q的充分而不必要条件，则实数m的取值X围为[2，4] ．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：先求出命题p，q的等价条件，然后利用p是￢q的必要非充分条件，建立条件关系即可求出m的取值X围．解答：解：∵log2|1﹣|＞1；∴：|x﹣3|≤2，即﹣2≤x﹣3≤2，∴1≤x≤5，设A=[1，5]，由：（x﹣m+1）（x﹣m﹣1）≤0，得m﹣1≤x≤m+1，设B=[m﹣1，m+1]，∵￢p是￢q的充分而不必要条件，∴q是p的充分而不必要条件，则B是A的真子集，即，∴，即2≤m≤4，故答案为：[2，4]．点评：本题主要考查充分条件和必要条件的应用，根据不等式的性质求出命题p，q的等价条件是解决本题的关键．三.解答题（本大题共6小题，70分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）17．⊙O1和⊙O2的极坐标方程分别为ρ=4coθ，ρ=﹣sinθ．（1）把⊙O1和⊙O2的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）求经过⊙O1，⊙O2交点的直线的极坐标方程．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（1）利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，代入两个圆的极坐标方程，化简后可得⊙O1和⊙O2的直角坐标方程；（2）把两个圆的直角坐标方程相减可得公共弦所在的直线方程，再化为极坐标方程．解答：解：（1）∵圆O1的极坐标方程为ρ=4cosθ，即ρ2=4ρcosθ，∴化为直角坐标方程为（x﹣2）2+y2=4，∵圆O2的极坐标方程ρ=﹣sinθ，即ρ2=﹣ρsinθ，∴化为直角坐标方程为 x2+（y+）2=．（2）由（1）可得，圆O1：（x﹣2）2+y2=4，①圆O2：x2+（y+）2=，②①﹣②得，4x+y=0，∴公共弦所在的直线方程为4x+y=0，化为极坐标方程为：4ρcosθ+ρsinθ=0．点评：本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，求直线的极坐标方程，属于基础题．18．选修4﹣5：不等式选讲设函数，f（x）=|x﹣1|+|x﹣2|．（I）求证f（x）≥1；（II）若f（x）=成立，求x的取值X围．考点：带绝对值的函数．专题：计算题；证明题；函数的性质及应用．分析：（I）利用绝对值不等式即可证得f（x）≥1；（II）利用基本不等式可求得≥2，要使f（x）=成立，需且只需|x﹣1|+|x﹣2|≥2即可．解答：解：（Ⅰ）证明：由绝对值不等式得：f（x）=|x﹣1|+|x﹣2|≥|（x﹣1）﹣（x﹣2）|=1 …（5分）（Ⅱ）∵==+≥2，∴要使f（x）=成立，需且只需|x﹣1|+|x﹣2|≥2，即，或，或，解得x≤，或x≥．故x的取值X围是（﹣∞，]∪[，+∞）．…（10分）点评：本题考查带绝对值的函数，考查基本不等式的应用与绝对值不等式的解法，求得≥2是关键，属于中档题．19．极坐标系的极点为直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，已知曲线C的极坐标方程为ρ=2（cosθ+sinθ）．（1）求C的直角坐标方程；（2）直线l：为参数）与曲线C交于A，B两点，与y轴交于E，求|EA|+|EB|的值．考点：参数方程化成普通方程；直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：（1）将极坐标方程两边同乘ρ，进而根据ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，y=ρsinθ，可求出C的直角坐标方程；（2）将直线l的参数方程，代入曲线C的直角坐标方程，求出对应的t值，根据参数t的几何意义，求出|EA|+|EB|的值．解答：解：（1）∵曲线C的极坐标方程为ρ=2（cosθ+sinθ）∴ρ2=2ρcosθ+2ρsinθ∴x2+y2=2x+2y即（x﹣1）2+（y﹣1）2=2﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（2）将l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，得t2﹣t﹣1=0，所以|EA|+|EB|=|t1|+|t2|=|t1﹣t2|==．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）点评：本题考查的知识点是参数方程与普通方程，直线与圆的位置关系，极坐标，熟练掌握极坐标方程与普通方程之间互化的公式，及直线参数方程中参数的几何意义是解答的关键．20．已知直线l：（t为参数），曲线C1：（θ为参数）．（Ⅰ）设l与C1相交于A，B两点，求|AB|；（Ⅱ）若把曲线C1上各点的横坐标压缩为原来的倍，纵坐标压缩为原来的倍，得到曲线C2，设点P是曲线C2上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．考点：圆的参数方程；函数的图象与图象变化；直线与圆相交的性质；直线的参数方程．专题：计算题．分析：（I）将直线l中的x与y代入到直线C1中，即可得到交点坐标，然后利用两点间的距离公式即可求出|AB|．（II）将直线的参数方程化为普通方程，曲线C2任意点P的坐标，利用点到直线的距离公式P到直线的距离d，分子合并后利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，与分母约分化简后，根据正弦函数的值域可得正弦函数的最小值，进而得到距离d的最小值即可．解答：解：（I）l的普通方程为y=（x﹣1），C1的普通方程为x2+y2=1，联立方程组，解得交点坐标为A（1，0），B（，﹣）所以|AB|==1；（II）曲线C2：（θ为参数）．设所求的点为P（cosθ，sinθ），则P到直线l的距离d==[sin（）+2]当sin（）=﹣1时，d取得最小值．点评：此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有直线与圆的参数方程与普通方程的互化，点到直线的距离公式，两角和与差的正弦函数公式，正弦函数的定义域与值域，以及特殊角的三角函数值，根据曲线C2的参数方程设出所求P的坐标，根据点到直线的距离公式表示出d，进而利用三角函数来解决问题是解本题的思路．21．已知函数f（x）=|2x﹣a|+a．（1）若不等式f（x）≤6的解集为{x|﹣2≤x≤3}，某某数a的值．（2）在（1）的条件下，若存在实数n使f（n）≤m﹣f（﹣n）成立，某某数m的取值X 围．考点：分段函数的应用．专题：函数的性质及应用．分析：（1）原不等式可化为|2x﹣a|≤6﹣a，解得a﹣3≤x≤3．再根据不等式f（x）≤6的解集为[﹣2，3]，可得a﹣3=﹣2，从而求得a的值．（2）由题意可得|n﹣1|+|2n﹣1|+2≤m，构造函数y=|n﹣1|+|2n﹣1|+2，求得y的最小值，从而求得m的X围．解答：解：（1）原不等式可化为|2x﹣a|≤6﹣a，∴，解得a﹣3≤x≤3．再根据不等式f（x）≤6的解集为[﹣2，3]，可得a﹣3=﹣2，∴a=1．（2）∵f（x）=|2x﹣1|+1，f（n）≤m﹣f（﹣n），∴|n﹣1|+1≤m﹣（|﹣2n﹣1|+1），∴|n﹣1|+|2n﹣1|+2≤m，∵y=|n﹣1|+|2n﹣1|+2，当n≤时，y=﹣3n+4≥，当≤n≤1时，y=n+2≥，当n≥1时，y=3n≥3，故函数y=|n﹣1|+|2n﹣1|+2的最小值为，∴m≥，即m的X围是[，+∞）．点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，带有绝对值的函数，体现了转化的数学思想，属于中档题．22．在直角坐标xoy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ，如图，曲线C与x轴交于O，B两点，P是曲线C在x轴上方图象上任意一点，连结OP并延长至M，使PM=PB，当P变化时，求动点M的轨迹的长度．考点：简单曲线的极坐标方程；轨迹方程．专题：坐标系和参数方程．分析：设出点M的极坐标（ρ，θ），表示出OP、PB，列出的极坐标方程，再化为普通方程，求出点M的轨迹长度即可．解答：解：设M（ρ，θ），θ∈（0，），则OP=2cosθ，PB=2sinθ；∴ρ=OP+PM=OP+PB=2cosθ+2sinθ，∴ρ2=2ρcosθ+2ρsinθ；化为普通方程是x2+y2=2x+2y，∴M的轨迹方程是（x﹣1）2+（y﹣1）2=2（x＞0，y＞0）；∴点M的轨迹长度是l=×2π×=π．点评：本题考查了极坐标的应用问题，解题时应根据题意，列出极坐标方程，再化为普通方程，从而求出解答来，是基础题．。
2021-2022学年北京市十一学校高二下学期期末考试数学试题(解析版)
2021-2022学年北京市十一学校高二下学期期末考试数学试题一、单选题1．“3a =”是“直线220ax y a ++=和直线()3+170x a y a -+=－平行”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【详解】当3a ＝时，直线220ax y a ++=即3x ＋2y ＋6＝0，直线()3+170x a y a -+=－即3240x y ++=，可知两直线的斜率相等，且在y 轴上的截距不等，此时，两直线平行；反过来，当直线220ax y a ++=与直线()3170x a y a +++=－平行时，能得出3a =或2a =-．综上所述，选A ．2．已知函数()y f x =的导函数()y f x '=的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）A ．()()12f x f x >B ．()()32f x f x >C ．()f x 在区间(,)a b 内有3个极值点D ．()f x 的图象在点0x =处的切线的斜率小于0 【答案】B【分析】根据导函数的正负可得()f x 单调性，由单调性可判断AB 正误；由极值点定义可知C 错误；由()00f '>可知D 错误.【详解】由图象可知：当()3,x a x ∈和()5,x b 时，()0f x '>；当()35,x x x ∈时，()0f x '<；()f x ∴在()3,a x ，()5,x b 上单调递增；在()35,x x 上单调递减；对于A ，123x x x <<，()()12f x f x ∴<，A 错误； 对于B ，23x x <，()()23f x f x ∴<，B 正确；对于C ，由极值点定义可知：3x x =为()f x 的极大值点；5x x =为()f x 的极小值点，即()f x 在区间(),a b 内有2个极值点，C 错误；对于D ，当0x =时，()0f x '>，()f x ∴在点0x =处的切线的斜率大于0，D 错误. 故选：B.3．二项式62x ⎫⎪⎭的展开式中常数项为（ ）A ．15-B ．15C ．60-D ．60【答案】D【分析】利用二项式的通项公式求解.【详解】解：二项式62x ⎫⎪⎭的通项公式为()636216622rrrr rr r T C C x x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，令6302r-=，解得2r = 所以展开式中常数项为()2236260T C =-=，故选：D4．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的虚轴长为2，则其方程是（ ）A ．221164x y -=B ．22182y x -=C ．2214x y -=D ．2214y x -=【答案】C【分析】根据题意，得到1,c b e a ===222c a b =+，求得a 的值，即可求解.【详解】由题意，双曲线22221x y a b -=的虚轴长为2，可得1,c b e a ===c =，因为222c a b =+，解得：2a =. 所以曲线的方程为2214x y -=.故选：C.5．为落实党中央的“三农”政策，某市组织该市所有乡镇干部进行了一期“三农”政策专题培训，并在培训结束时进行了结业考试.如图是该次考试成绩随机抽样样本的频率分布直方图.则下列关于这次考试成绩的估计错误的是（ ）A ．众数为82.5B ．中位数为85C ．平均数为88D ．有一半以上干部的成绩在80~90分之间 【答案】C【分析】A 根据直方图判断众数的位置即可；B 由中位数定义，找到频率前n 组中频率和为0.5的位置即可；C 利用直方图求出平均数即可；D 求出80~90分之间的频率，与0.5比较大小即可.【详解】由图知：众数出现在[80,85)之间，故众数为82.5，A 正确； 由(0.010.030.06)50.5++⨯=，即中位数为85，B 正确；由(0.0172.50.0377.50.0682.50.0587.50.0392.50.0297.5)5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯85.5=，C 错误；由(0.060.05)50.550.5+⨯=>，有一半以上干部的成绩在80~90分之间，D 正确. 故选：C6．在中国农历中，一年有24个节气，“立春”居首.北京2022年冬奥会开幕正逢立春，开幕式上“二十四节气”的倒计时让全世界领略了中华智慧.墩墩同学要从24个节气中随机选取3个介绍给外国的朋友，则这3个节气中含有“立春”的概率为（ ） A ．322B ．18C ．223D ．112【答案】B【分析】利用古典概型运算公式进行求解即可.【详解】这3个节气中含有“立春”的概率为22332418C C =,故选：B 7．椭圆1C ：22143x y +=与双曲线2C ：22221x y a b-=的离心率之积为1，则双曲线2C 的两条渐近线的倾斜角分别为（ ）A ．π6，π6-B ．π3，π3-C ．π6，5π6D ．π3，2π3【答案】D【分析】根据椭圆和双曲线的离心率公式，结合双曲线的渐近线方程进行求解即可. 【详解】因为椭圆1C ：22143x y +=与双曲线2C ：22221x y a b-=的离心率之积为1，2213b a b =⇒=⇒=，因此双曲线2C 的两条渐近线方程为：by x y a=±⇒=，所以双曲线2C 的两条渐近线的倾斜角分别为π3，2π3，故选：D8．己知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左､右顶点分别为1A ，2A ，且以线段12A A 为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相交，则椭圆C 的离心率的取值范围为（ ）A ．⎛ ⎝⎭B ．⎫⎪⎪⎝⎭C ．⎫⎪⎪⎝⎭D ．⎛ ⎝⎭. 【答案】B【分析】由题设以线段12A A 为直径的圆为222x y a +=，根据直线与圆相交，利用点线距离公式列不等式求椭圆C 的离心率的范围.【详解】由题设，以线段12A A 为直径的圆为222x y a +=，与直线20bx ay ab -+=相交，a <，可得222233()b ac a =-<，即223e >，又01e <<，1e <. 故选：B9．函数2ln(1)cos y x x =++的图象在0x =处的切线对应的倾斜角为α，则cos2=α（ ） A ．310B ．310±C ．35D ．35. 【答案】D【分析】先求导，通过导数的几何意义得到函数在0x =处的切线斜率，再利用二倍角公式和平方关系式得到cos2α的值． 【详解】因为2ln(1)cos y x x =++， 所以2sin 1y x x +'=-， 当0x =时，2y '=，此时tan 2α=，∴22222222cos sin 1tan 3cos 2cos sin sin cos tan 15ααααααααα---=-===++． 故选：D.10．在椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）中，其所有外切矩形的顶点在一个定圆Γ：2222x y a b +=+上，称此圆为该椭圆的蒙日圆.该图由法国数学家G -Monge （1746-1818）最先发现.若椭圆C 的离心率为e ，左､右焦点分别为1F ､2F ，P 为椭圆C 上一动点，过P 和原点作直线l 与蒙日圆Γ相交于M ，N ，则12||||PM PN PF PF ⋅=⋅（ ）A ．21e B ．1 C ．2e D ．以上答案均不正确 【答案】B【分析】令12||||PF PF m ⋅=，根据椭圆的定义可得2221242PF PF a m +=-，再根据向量数量积的运算律得到2PO ，最后由(||)(||)PM PN r PO r PO ⋅=-+计算可得；【详解】解：令12||||PF PF m ⋅=，因为12||||2PF PF a +=，则2121222|||||2||4|PF PF PF PF a +⋅+=，所以2221242PF PF a m +=-， 由1212212PF PF PO PF PF F F ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，所以212122224PF PF PF PF PO +⋅+=①，2121221222PF PF PF PF F F =-+⋅②则①+②可得2228444a m PO c -=+，解得2222PO a c m =--，所以()222222||||(||)(||)||2a b m PM PN r PO r PO r PO a c m ⋅=-+=---=-+=， 故12||||1PM PN PF PF ⋅=⋅， 故选：B 二、填空题 11．曲线212x y x -=+在点(1,(1))f 处的切线方程为___________. 【答案】5920x y --=.【分析】根据导数的几何意义进行求解即可. 【详解】因为215()222x f x x x -==-++， 所以25()(2)f x x '=+，而1(1)3f =，5(1)9f '=，因此曲线212x y x -=+在点(1,(1))f 处的切线方程为： 15(1)592039y x x y -=-⇒--=， 故答案为：5920x y --=.12．若函数()()2e xf x x ax a =-+在区间()0,1内单调递减，则实数a 的取值范围是___________. 【答案】[)3,+∞【分析】求出函数的导数，根据函数的单调性将问题转化为20x a +-≤在()0,1恒成立，求出a 的取值范围即可．【详解】解：由2(e )()x f x x ax a =-+，得()(2)e x f x x x a '=+-， 函数2(e )()x f x x ax a =-+在区间()0,1内单调递减，()(2)0e x f x x x a ∴'=+-≤在()0,1恒成立， 20x a ∴+-≤在()0,1恒成立， 2a x ∴≥+在()0,1恒成立，3a ∴≥，即[)3,a ∈+∞故答案为：[)3,+∞．13．若函数3()3f x x x =-在区间2(12,)a a -上有最大值，则实数a 的取值范围是__________. 【答案】(]1,2-【分析】求函数3()3f x x x =-导数，研究函数单调性，判断其取最大值的位置，由于函数在区间2(12,)a a -上有最大值，故最大值对应的横坐标应在区间2(12,)a a -内，由此可以得到参数a 的不等式，解不等式即可得到a 的取值范围 【详解】3()3f x x x =-，2()33f x x '∴=-令()0f x '< 解得11x -<<；令()0f x '> ，解得1x >或1x <-由此可得()f x 在(,1)-∞-上时增函数，在(1,1)-上是减函数，在(1,)+∞上是增函数， 故函数在1x =-处有极大值，在1x =处有极小值，21211()(1)a a f a f ⎧-<-⎪∴>-⎨⎪≤-⎩，解得12a -<≤ 故答案为：(]1,2-14．已知曲线1C ：e x y =，抛物线2C ：24y x =，(),P P P x y 为曲线1C 上一动点，(),Q Q Q x y 为抛物线2C 上一动点，与两条曲线都相切的直线叫做这两条曲线的公切线，则以下说法正确的有___________①直线l ：1y x =+是曲线1C 和2C 的公切线： ②曲线1C 和2C 的公切线有且仅有一条； ③Q PQ x +1； ④当PQ x ∥轴时，PQ 最小值为1ln 22-. 【答案】①③④【分析】对于①利用导数的几何意义即可求解；对于②，分别设两条曲线上的切线方程，然后根据公切线的定义建立方程，将方程转化为函数，研究函数的零点即可；对于③，利用抛物线的焦半径公式转化求PF 的最小值，进而建立函数，然后再研究函数的单调性即可；对于④，先设动点()111,e (0)xP x x >的坐标，根据//PQ x 轴，进而建立目标函数121e 4x PQ x =-，然后研究该函数单调性即可. 【详解】解：选项①，对于曲线1:e xC y =，e x y '=，当0x =时，0e 1y ==，00e 1x y ==='，故直线:1l y x =+与曲线1:e xC y =相切与点(0,1)；联立214y x y x =+⎧⎨=⎩，可得()220y -=，故此时直线:1l y x =+与y =()2,2，故直线l ：1y x =+是曲线1C 和2C 的公切线，故①正确；对于②，设公切线分别与e ,0)x y y x ==>切于点()()1122,,,A x y B x y ，则曲线e x y =的切线A l 为：111e e ()x xy x x -=-，曲线0)y x =>的切线B l为2)y x x --，根据A l 与B l表示同一条直线，则有111e e (1)x x x ⎧=⎪⎨⎪-⎩，解得121e (1)10xx --=，令2()e (1)1(0)x h x x x =-->，则有222()2e (1)e e (12)x x x h x x x '=--=-，可得()h x 在区间10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增；在区间1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，则有1e10,(1)1022h h ⎛⎫=->=-< ⎪⎝⎭，根据零点存在性定理可知，()h x 在区间1,12⎛⎫⎪⎝⎭上存在一个零点，即存在一条公切线故曲线1C 和2C 的公切线有且仅有2条，故②错误；对于③，如图所示，可得(1,0)F ，根据抛物线的焦半径公式可得1Q QF x =+，故有：11Q PQ x PQ QF PF ++-≥-=，1:e ,e x xC y y '==设点P 的坐标为00(,e )xP x ：，则有：PF =令22()(1)e x q x x =-+，可得22()222e 2(e 1)x x q x x x '=-+=+-，再次求导可得：2()2(e 1)0x q x ''=+>，故2()2(e 1)x q x x '=+-在R 上单调递增， 又(0)0q '=，可得：当(,0)x ∈-∞时，()0q x '<，即()q x 在(,0)-∞上单调递减； 当,()0x ∈+∞时，()0q x '>，即()q x 在(0,)+∞上单调递增；故min ()(0)2q x q ==，则min PF =1Q PQ x +，故③正确；对于④，当//PQ x 轴时，设()111,e (0)x P x x >，则112e ,e 4x x Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则有：121e 4x PQ x =-， 记2e ()4x p x x =-，则有2e ()12xp x '=-，令()0p x '=，解得：ln 22x =，故当ln 220,x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0p x '<，()p x 在区间ln 20,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减； 当ln 2,2x +∈∞⎛⎫ ⎪⎝⎭时，()0p x '>，()p x 在区间ln 2,2+∞⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增； 故有min ln 21ln 2()222p x p ⎛⎫==-⎪⎝⎭，故min 1ln 22PQ -=，故选项④正确. 故答案为：①③④.三、双空题15．已知双曲线22221x y a b -=（0a >，0b >）与抛物线28y x =有一个公共的焦点F .设这两曲线的一个交点为P ，若5PF =，则点P 的横坐标是___________；该双曲线的离心率为___________. 【答案】 3 2【分析】根据抛物线和双曲线有相同的焦点求得p 和c 的关系，根据抛物线的定义可以求出P 的坐标，代入双曲线方程与p ＝2c ，b 2＝c 2﹣a 2，联立求得a 和c 的关系式，然后求得离心率e ．【详解】∵抛物线28y x =的焦点坐标(2,0),4F p =， ∵抛物线的焦点和双曲线的焦点相同，∴2,2p c c ==， ∵设(,)P m n ，由抛物线定义知：252pPF m m =+=+=，∴3m =． ∴P 点的坐标为(3,24,故点P 的横坐标是3；∴|222249241a b a b⎧+=⎪⎨-=⎪⎩ 解得：2213a b ⎧=⎨=⎩，c ＝2则双曲线的离心率为2， 故答案为：3；2．16．假设某市场供应的灯泡中，甲厂产品占60%，乙厂产品占40%，甲厂产品的合格率是90%，乙厂产品的合格率是80%，在该市场中随机购买一个灯泡，是合格品的概率为___________；如果买到的灯泡是合格品，那么它是甲厂产品的概率为___________.【答案】 0.86 63%【分析】由全概率公式与条件概率公式求解即可【详解】设A 为甲厂产品，B 为乙厂产品，C 表示合格产品，则()0.6P A =，()0.4P B =，()0.9P C A =，()0.8P C B =，所以()()()()()0.60.90.40.80.86P C P A P C A P B P C B =⋅+⋅=⨯+⨯=， 灯泡是甲厂生产的概率为60%90%0.54⨯=， 所以()()()()0.60.963%0.86P A P C A P A C P C ⋅⨯==≈ 故答案为：0.86；63% 四、解答题17．2022年2月4日晚，璀璨的烟花点亮“鸟巢”上空，国家体育场再次成为世界瞩目的焦点，北京成为奥运历史和人类历史上第一座举办过夏奥会和冬奥会的“双奥之城”，奥林匹克梦想再次在中华大地绽放.冰雪欢歌耀五环，北京冬奥会开幕式为第二十四届“简约､安全､精彩”的冬奥盛会拉开序幕.某中学课外实践活动小组在某区域内通过一定的有效调查方式对“开幕式”当晚的收看情况进行了随机抽样调查.统计发现，通过手机收看的占12，通过电视收看的占13，其他为未收看者.(1)从该地区被调查对象中随机选取3人，用X 表示这3人中通过电视收看的人数，求(2)P X ≥；(2)采用分层随机抽样方法从该地区被调查对象中抽取6人，再从这6人中随机选出4人，用Y 表示这4人中通过手机收看的人数，求Y 的分布列和数学期望.(3)从该地区被调查对象中随机选取3人，恰有1人用手机收看､1人用电视收看､1人未收看的概率为1P ；从该地区被调查对象中随机选取6人，恰有2人用手机收看､2人用电视收看､2人未收看的概率为2P .比较1P 与2P 的大小.（直接写出结论） 【答案】(1)727； (2)分布列见解析，()2E Y =； (3)12P P >.【分析】（1）由题设1(3,)3X B ，再由(2)(2)(3)P X P X P X ≥==+=及二项分布的概率求法求概率.（2）由题意知Y 可能值为1,2,3，求出对应可能值的概率，进而写出分布列并求期望；（3）令该地区共有6n 个人，得到11132361C C C C n n nnP =、22232266C C C C n n n n P =，作商法及对勾函数性质判断大小关系. 【详解】(1)由题意，1(3,)3XB ，而X 可能取值为0,1,2,3，所以2233332117(2)(2)(3)C ()()C ()33327P X P X P X ≥==+==+=. (2)由题意，通过手机收看、通过电视收看、未收看者的比例为3:2:1， 所以抽取6人中通过手机收看有3人，通过电视收看有2人，未收看者有1人， 再从6人中随机选出4人，则其中通过手机收看人数Y 可能值为1,2,3，133346C C 1(1)C 5P Y ===，223346C C 3(2)C 5P Y ===，313346C C 1(3)C 5P Y ===，分布列如下：131()1232555E Y =⨯+⨯+⨯=.(3)令该地区共有6n 个人，则通过手机收看、通过电视收看、未收看者人数分别为3,2,n n n ，随机选取3人，用手机收看､用电视收看､未收看各1人的概率为11132361C C C C n n nnP =， 随机选取6人，用手机收看､用电视收看､未收看各2人的概率为22232266C C C C n n nnP =，所以122(32)(65)21(6)15(31)(1)534P n n P n n n n --==⋅---+-且2n ≥，*N n ∈， 而1341443433433n n n n -+=++≥--，当且仅当(1,2)n =时等号成立， 所以134t n n =+-在2n ≥，*N n ∈上递增，则1221(6)1534P P n n =⋅-+-在2n ≥，*N n ∈上递增，则125625P P ≥，即12P P >. 18．已知函数()ln 21f x x ax =-+.(1)若1x =是()f x 的极值点，确定a 的值；(2)若存在0x >，使得()0f x ≥，求实数a 的取值范围. 【答案】(1)12a = (2)1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【分析】（1）由已知可得出()10f '=，求出a 的值，然后利用导数分析函数()f x 的单调性，结合极值点的定义检验即可； （2）由参变量分离法可得出ln 12x a x+≤，利用导数求出函数()ln 1x g x x +=的最大值，即可得出实数a 的取值范围.【详解】(1)解：因为()ln 21f x x ax =-+，该函数的定义域为()0,∞+，则()12f x a x'=-， 由已知可得()1120f a '=-=，可得1a =，此时()111x f x -'=-=，列表如下：所以，函数()f x 在1x =处取得极大值，合乎题意，故12a =. (2)解：存在0x >，使得()ln 210f x x ax =-+≥可得ln 12x a x+≤， 构造函数()ln 1x g x x +=，其中0x >，则()2ln xg x x'=-， 当01x <<时，()0g x '>，此时函数()g x 单调递增，当1x >时，()0g x '<，此时函数()g x 单调递减，则()()max 11g x g ==， 所以，21a ≤，解得12a ≤，因此，实数a 的取值范围是1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.19．已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）的右顶点为()2,0A ，且P ⎛ ⎝⎭为其上一点. (1)求椭圆C 的方程及离心率；(2)B 是椭圆C 上异于左右顶点的一点，线段AB 的中垂线交y 轴于点D ，且ABD △为等边三角形，求B 点横坐标.【答案】(1)2214x y +=，e =(2)B 点横坐标27-.【分析】（1）由顶点坐标及点在椭圆上求椭圆参数，即可得椭圆方程，进而求离心率. （2）令(,)B m n 且0n ≠，写出线段AB 的中垂线并求D 坐标，由题设有||||AD AB =，应用两点距离公式求出参数m 、n ，注意验证所得结果是否满足题设.【详解】(1)由题设，22214x y b +=，又P ⎛ ⎝⎭在椭圆上，则213144b +=，可得21b =，所以椭圆C 的方程2214x y +=，故离心率为e =(2)令(,)B m n 且0n ≠，则AB 中点为2(,)22m n +，中垂线斜率2m k n -=-，故线段AB 的中垂线为22()22n m m y x n -+-=--，故224(0,)2m n D n +-， 又ABD △为等边三角形，即||||AD AB =，所以222224()4(2)2n m m n n +-+=-+，且2214m n =-， 整理得2216420(72)(310)0m m m m --=+-=，而27m =-或103m =（舍），所以24849n =，即n =当2(7B -时，(0,D ，经验证ABD △为等边三角形，满足题设；当2(,7B -时，D ，经验证ABD △为等边三角形，满足题设； 所以B 横坐标为27-.20．已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）右焦点为(),0F c ，()0,B b 为椭圆的上顶点，O 为坐标原点，π6FBO ∠=且FBO △的周长为3.P 是椭圆上一动点，M 是直线4x =上一点，且直线//PM x 轴. (1)求椭圆C 的方程：(2)记直线PF 与椭圆另一交点为Q ，直线QM 是否过x 轴上一定点？若是，求出该定点：若否，请说明理由. 【答案】(1)22143x y +=； (2)过定点N 5,02⎛⎫⎪⎝⎭.【分析】（1）根据π6FBO ∠=，由tan c FBO b ∠==，得到b ，再根据FBO △的周长为3（2）()1,0F ，设:1PQ x my =+，与椭圆方程联立，得到直线QM 的方程为()121244y y y y x x --=--，令0y =，得1121234y my y x y y -⋅=--，结合韦达定理求解.【详解】(1)解：因为椭圆的右焦点为(),0F c ，()0,B b 为椭圆的上顶点，且π6FBO ∠=，所以tan c FBO b ∠==b =，又2a c，3b c a ++=解得1,2,==c a b 所以椭圆方程为22143x y +=； (2)()1,0F ，易知直线PQ 斜率为0时，QM 为x 轴， 则若QM 过定点，则定点位于x 轴上， 当直线PQ 斜率不为0时，设:1PQ x my =+，与椭圆方程联立221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()2234690m y my ++-=，设()()()11221,,,,4,P x y Q x y M y ， 则12122269,3434m y y y y m m +=-⋅=-++， 1224QM y y k x -=-， 所以直线QM 的方程为()121244y y y y x x --=--， 令0y =，得()1211212124344y x y my y x y y y y --⋅=-=---，因为()1212293342m my y y y m ⋅=-=++，所以35422x =-=， 故直线QM 过定点N 5,02⎛⎫⎪⎝⎭.21．已知函数()e xf x kx =-.(1)求()f x 的单调区间； (2)若()f x 有两个不同的零点12,x x ①求实数k 的取值范围：②求证：12ln 2x x k +<. 【答案】(1)答案见解析； (2)①()e,k ∈+∞；②证明见解析.【分析】（1）分类讨论实数k 的取值范围，利用导数求解函数()f x 的单调区间即可; （2）由（1）可得，(ln )f k 为函数()f x 的最小值，结合已知，只需求解(ln )0f k <即可；根据题意将不等式转化为12122212eex x x x x x --->--，令1202x x t -=<，构造函数()g t ，利用导数求解函数()g t 的单调性，只需证明()0g t <恒成立即可.【详解】(1)解：因为()e xf x kx =-，则()e x f x k '=-，当0k ≤时，()0f x '>恒成立，故()f x 在R 上单调递增， 当0k >时，令()0x f x e k '=-=，解得ln x k =，当(,ln )x k ∈-∞时，()0f x '<，()f x 在区间(,ln )k -∞上单调递减， 当(ln ,)x k ∈+∞时，()0f x '>，()f x 在区间上(ln ,)+∞k 单调递增.(2)解：①由（1）得，当0k >时，函数()f x 在区间(,ln )k -∞上单调递减，在区间上(ln ,)+∞k 单调递增，又当x →-∞时，()f x →+∞，当x →+∞时，()f x →+∞， 故ln (ln )e ln (1ln )k f k k k k k =-=-为函数()f x 的最小值， 因为()f x 有两个不同的零点12,x x ， 所以(ln )(1ln )0f k k k =-<，解得：e k >， 故实数k 的取值范围为：()e,+∞.②证明：由已知得1212e 0e 0xx kx kx ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，整理得：1212e e x x k x x -=-，设12x x <，要证12ln 2x x k +<，即证121122ln 2e e x x x x x x <--+， 即证1212212e e ex x x x x x +-<-，需要证1212121222122e e ee e x x x xx x x x x x ---+-->=-， 令1202x x t -=<，即证2e e t t t ->-对任意的0t <恒成立， 令()e e 2t t g t t -=--，其中0t <，则()e +e 220t t g t -'=->=，对任意的0t <恒成立，故函数()g t 在(,0)-∞上单调递增，当0t <时，()(0)0g t g <=， 所以当12x x <时，1212122e e ex x x x x x +>--，即12ln 2x x k +<，故原不等式得证.。
专题07 随机变量及其分布【专项训练】高二数学下学期期末专项复习(新人教A版2019)
专题07 随机变量及其分布【专项训练】一、单选题1．若随机变量~(,)B n p ξ，且()2E ξ=，8()5D ξ=，则p =（ ） A ．15B ．25C ．35D ．45【答案】A 【详解】解：因为随机变量~(,)B n p ξ，且()2E ξ=，8()5D ξ=， 所以28(1)5np np p =⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得1015n p =⎧⎪⎨=⎪⎩，故选：A2．学校从高一､高二､高三中各选派10名同学参加“建党100周年党史宣讲”系列报告会，其中三个年级参会同学中女生人数分别为5､6､7，学习后学校随机选取一名同学汇报学习心得，结果选出一名女同学，则该名女同学来自高三年级的概率为（ ） A ．718B ．730C ．915D ．13【答案】A 【详解】设事件A 为“30人中抽出一名女同学”，事件B 为“30人中抽出一名高三同学”， 则56718()3030P A ++==，7()30P AB =， 所以()()7()18P AB P B A P A ==，故选：A.3．已知离散型随机变量X 的分布列为则X 的数学期望E (X )＝（ ） A ．1 B ．1.5 C ．2.5D ．1.7【详解】()10.420.530.1 1.7E X=⨯+⨯+⨯=.故选：D.4．某次市教学质量检测，甲､乙､丙三科考试成绩服从正态分布，相应的正态曲线如图所示，则下列说法中正确的是（）A．三科总体的标准差相同B．甲､乙､丙三科的总体的平均数不相同C．丙科总体的平均数最小D．甲科总体的标准差最小【答案】D【详解】解：由图象知甲､乙､丙三科的平均分一样，但标准差不同，σ甲<σ乙<σ丙.故选：D．5．已知P(B|A)=13，P(A)=25，则P(AB)等于（）A．56B．910C．215D．115【答案】C 【详解】由题意，知()()(122315 )5P AB P B A P A==⨯=故选：C6．随机变量X所有可能取值是－2，0，3，5，且P(X＝－2)＝14，P(X＝3)＝12，P(X＝5)＝112，则P(X＝0)的值为（）A．0 B．14C．16D．18【详解】由各个变量概率和为1可得：P (X ＝－2)＋P (X ＝0)＋P (X ＝3)＋P (X ＝5)＝1， 所以111(0)14212P X +=++=，解得1(0)6P X == 故选：C7．袋中有大小相同的红球6个，白球5个，从袋中每次任意取出1个球且不放回，直到取出的球是白球为止，所需要的取球次数为随机变量X ，则X 的可能取值为（ ）A ．1，2，3，…，6B ．1，2，3，…，7C ．0，1，2，…，5D ．1，2，…，5 【答案】B 【详解】由于取到白球时停止，所以最少取球次数为1，即第一次就取到了白球； 最多次数是7次，即把所有的黑球取完之后再取到白球. 所以取球次数可以是1，2，3，…，7. 故选：B8．若离散型随机变量2~4,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()E X 和()D X 分别为（ ） A ．83，169 B ．83，89C ．89，83D ．169，83【答案】B 【详解】因为离散型随机变量2~4,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以()28433E X =⨯=， ()22841339D X ⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭.9．设随机变量()24,N ζδ，若()10.4P a ζ>+=，则()7P a ζ>-=（ ）A ．0.4B ．0.5C ．0.6D ．0.7【答案】C随机变量2~(4,8)N ζ，对称轴为：4μ= 因为(1)0.40.5P a ζ>+=<，所以14a +>， 根据对称性可得(1)(7)0.4P a P a ζζ>+=<-=， 则(7)0.6P a ζ>-=. 故选：C.10．设()()221122,,,X N Y N μσμσ~~，这两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论中正确的是（ ）A ．()()21P Y P Y μμ≥≥≥B ．()()21P X P X σσ≤≤≤C ．函数()()F t P X t =>在R 上单调递增D ．()()111122222222P X P Y μσμσμσμσ-<<+=-<<+ 【答案】D 【详解】由正态分布密度曲线的性质得：X ，Y 的正态分布密度曲线分别关于直线12,x x μμ==对称， 对于A ：由图象得12μμ<，所以()()21P Y P Y μμ≥<≥，故A 不正确；对于B ：由图象得X 的正态分布密度曲线较Y 的正态分布密度曲线“廋高”，所以12σσ<，所以()()21>P X P X σσ≤≤，故B 不正确；对于C ：由图象得：当1>t μ时，函数()()F t P X t =>在()t +∞，上单调递减，故C 不正确； 对于D ：根据3σ原则：()111168.3%P X μσμσ-<<+=，()11112295.4%P X μσμσ-<<+=，()11113399.7%P X μσμσ-<<+=，无论σ 取何值时，有()()111122222222P X P Y μσμσμσμσ-<<+=-<<+，故D 正确，故选：D.二、多选题11．近年来中国进入一个鲜花消费的增长期，某农户利用精准扶贫政策，贷款承包了一个新型温室鲜花大棚，种植销售红玫瑰和白玫瑰．若这个大棚的红玫瑰和白玫瑰的日销量分别服从正态分布()2,30N μ和()2280,40N ，则下列选项正确的是（ ）附：若随机变量X 服从正态分布()2,N μσ，则()0.6826P X μσμσ-<<+≈．A ．若红玫瑰日销售量范围在(30,280)μ-的概率是0.6826，则红玫瑰日销售量的平均数约为250B ．红玫瑰日销售量比白玫瑰日销售量更集中C ．白玫瑰日销售量比红玫瑰日销售量更集中D ．白玫瑰日销售量范围在()280,320的概率约为0.3413 【答案】ABD 【详解】对于A ，因为红玫瑰日销售量范围在(30,280)μ-的概率是0.6826， 故30280μ+≈即250μ≈，故A 正确.对于B ，因为3040<，故红玫瑰日销售量比白玫瑰日销售量更集中，故B 对，C 错. 白玫瑰日销售量范围在()280,320的概率约为0.68260.34132=，故D 正确. 故选：ABD.12．已知三个正态分布密度函数()()()222,1,2,3i i x i f x x R i μσ--=∈=的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）A ．123σσσ==B ．123σσσ=<C ．123μμμ=>D ．123μμμ<=【答案】BD 【详解】正态密度曲线关于直线x μ=对称，且μ越大图象越靠近右边，σ越小图象越瘦长. 因此，123μμμ<=，123σσσ=<.13．甲、乙两人练习射击，命中目标的概率分别为12和13，甲、乙两人各射击一次，下列说法正确的是（ ）A ．目标恰好被命中一次的概率为1123+ B ．目标恰好被命中两次的概率为1123⨯C ．目标被命中的概率为12112323⨯+⨯D ．目标被命中的概率为12123-⨯【答案】BD 【详解】甲、乙两人练习射击，命中目标的概率分别为12和13，甲、乙两人各射击一次， 在A 中，目标恰好被命中一次的概率为1112123232⨯+⨯=，故A 错误； 在B 中，由相互独立事件概率乘法公式得：目标恰好被命中两次的概率为111236⨯=，故B 正确； 在CD 中，目标被命中的概率为112111233⎛⎫⎛⎫--⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 错误，D 正确． 故选：BD ．14．袋子中有2个黑球，1个白球，现从袋子中有放回地随机取球4次，取到白球记0分，黑球记1分，记4次取球的总分数为X ，则（ ） A ．2~4,3XB ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．8(2)81P X ==C ．X 的期望8()3E X =D ．X 的方差8()9D X =【答案】ACD 【详解】从袋子中有放回地随机取球4次，则每次取球互不影响， 并且每次取到的黑球概率相等，又取到黑球记1分， 取4次球的总分数，即为取到黑球的个数，所以随机变量X 服从二项分布2~4,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故A 正确；2X =，记其概率为22242124(2)3381P X C ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 错误；因为2~4,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以X 的期望28()433E X =⨯=，故C 正确； 因为2~4,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以X 的方差218()4339D X =⨯⨯=，故D 正确． 故选：ACD ． 15．已知()2~,X N μσ，22()2()x f x μσ--=，x ∈R ，则（ ）A ．曲线()y f x =与x 轴围成的几何图形的面积小于1B ．函数()f x 图象关于直线=x μ对称C ．()2()()P X P X P X μσμμσμσ>-=<<++≥+D ．函数()()F x P X x =>在R 上单调递增 【答案】BC 【详解】选项A. 曲线()y f x =与x 轴围成的几何图形的面积等于1， 所以A 不正确.选项B. 222()x f x σμ-+=,222()x f x σμ--=所以()()f x f x μμ+=-，所以函数()f x 图象关于直线x μ=对称，所以选项B 正确.选项C. 因为()()P X P X μμσμμσ>>-=<>+所以()()()P X P X P X μσμσμσμσ>-=-<<++≥+2()()P X P X μμσμσ=<<++≥+ 所以选项C 正确.选项D. 由正态分布曲线可知，当x 越大时，其概率越小.即函数()()F x P X x =>随x 的增大而减小，是减函数，所以选项D 不正确. 故选：BC三、解答题16．设离散型随机变量X 的分布列为求：（1）21X +的分布列； （2）求(14)P X <≤的值. 【详解】由分布列的性质知：0.20.10.10.31m ++++=，解得0.3m = （1）由题意可知(211)(0)0.2P X P X +====，(213)(1)0.1P X P X +====，(215)(2)0.1P X P X +==== (217)(3)0.3P X P X +====，(219)(4)0.3P X P X +====所以21X +的分布列为：（2）(14)(2)(3)(4)0.10.30.30.7P X P X P X P X <≤==+=+==++=17．为降低雾霾等恶劣气候对居民的影响，某公司研发了一种新型防雾霾产品．每一台新产品在进入市场前都必须进行两种不同的检测，只有两种检测都合格才能进行销售，否则不能销售．已知该新型防雾霾产品第一种检测不合格的概率为16，第二种检测不合格的概率为110，两种检测是否合格相互独立．（1）求每台新型防雾霾产品不能销售的概率；（2）如果产品可以销售，则每台产品可获利40元；如果产品不能销售，则每台产品亏损80元（即获利80-元）．现有该新型防雾霾产品3台，随机变量X 表示这3台产品的获利，求X 的分布列及数学期望． 【详解】（1）设事件A 表示“每台新型防雾霾产品不能销售” 事件A 表示“每台新型防雾霾产品能销售” 所以()113116104P A ⎛⎫⎛⎫=--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 所以()()114P A P A =-= （2）根据（1）可知，“每台新型防雾霾产品能销售”的概率为34 “每台新型防雾霾产品不能销售”的概率为14X 所有的可能取值为：240-，120-，0，120则()30311240464P X C ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭ ()2131391204464P X C ⎛⎫⎛⎫=-==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()1223132704464P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ()333327120464P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭所以X 的分布列为所以()()1927240120120646464EX =-⨯+-⨯+⨯ 则30EX =18．为落实中央“坚持五育并举，全面发展素质教育，强化体育锻炼”的精神，某高中学校鼓励学生自发组织各项体育比赛活动，甲､乙两名同学利用课余时间进行乒乓球比赛，规定：每一局比赛中获胜方记1分，失败方记0分，没有平局，首先获得5分者获胜，比赛结束.假设每局比赛甲获胜的概率都是35. （1）求比赛结束时恰好打了6局的概率；（2）若甲以3：1的比分领先时，记X 表示到结束比赛时还需要比赛的局数，求X 的分布列及期望. 【详解】解：（1）比赛结束时恰好打了6局，甲获胜的概率为44153234865553125P C ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，恰好打了6局，乙获胜的概率为14125322965553125P C ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以比赛结束时恰好打了6局的概率为1248696582312531253125P P P =+=+=. （2）X 的可能取值为2，3，4，5，()2392525P X ⎛⎫===⎪⎝⎭， ()12233363555125P X C ==⨯⨯⨯=，()2413323212445555625P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯⨯+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()331344323232965555555625P X C C ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯⨯+⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 所以X 的分布列如下：故()936124961966234525125625625625E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.。
2022-2023学年北京市东城区高二下学期期末检测数学试题【含答案】
2022-2023学年北京市东城区高二下学期期末检测数学试题一、单选题1．已知集合{}13A x x =<<，{}2B x x =≤，那么A B ⋂等于（）A ．{}12x x <<B ．{}23x x <<C ．{}12x x <≤D ．{}23x x ≤<【答案】C【分析】先解绝对值不等式求出集合B ,再应用交集定义计算求解即可.【详解】[](]{|2}2,21,2B x x B A B =≤⇒=-⇒⋂=.故选:C.2．若复数z 满足i 34i z ⋅=-，则||z =（）A ．10B ．5C ．7D ．25【答案】B 【分析】计算出34iiz -=，利用复数模长的性质计算出答案.【详解】i 34i z ⋅=-，故34iiz -=，则34i 9165i ||1z -+===.故选：B3．4(2)x y -的展开式中含22x y 的项的系数为（）A ．24B ．24-C ．6D ．6-【答案】A【分析】写出展开式的通项，从而计算可得.【详解】二项式4(2)x y -展开式的通项为()414C 2rr rr T xy -+=-（04r ≤≤且N r ∈），所以展开式中含22x y 的项为()2222234C 224T x y x y =-=，即展开式中含22x y 的项的系数为24.故选：A4．关于向量a ，b ，c，下列命题中正确的是（）A ．若a b = ，则a b= B ．若a b ∥ ，b c∥，则a c∥C ．若a b =- ，则a b∥D ．若a b > ，则a b>【答案】C【分析】利用向量相等、向量共线的条件、向量模的定义，逐一对各个选项分析判断即可得出结果.【详解】选项A ，因为a b =，只说明两向量的模长相等，但方向不一定相同，故选项A 错误；选项B ，当0b = 时，有a b ∥ ，b c∥，但a 可以和c 不平行，故选项B 错误；选项C ，若a b =- ，由向量相等的条件知：a b ∥，故选项C 正确；选项D ，因向量不能比较大小，只有模长才能比较大小，故选项D 错误.故选：C5．布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖，在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案（如图1），把三片这样的达·芬奇方砖形成图2的组合，这个组合表达了图3所示的几何体．若图3中每个正方体的棱长为1，则点A 到平面QGC 的距离是（）A ．14B ．12C ．22D ．32【答案】C【分析】建立空间直角坐标系，求平面QGC 的法向量，用点到平面的距离公式计算即可.【详解】建立空间直角坐标系如图所示：则(0,2,0)C ，()1,0,2Q ，(0,0,2)G ，(1,1,0)A ，(1,2,2)QC =-- ，(1,0,0),(1,1,0)QG AC =-=-，设平面QGC 的法向量为(,,)n x y z = ，则00n QC n QG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即0220x x y z -=⎧⎨-+-=⎩，则平面QGC 的一个法向量为(0,1,1)n =，则点A 到平面QGC 的距离22n AC d n⋅== .故选：C6．点F 是抛物线28x y =的焦点，A 为双曲线C ：2218x y b-=的左顶点，直线AF 平行于双曲线C的一条渐近线，则实数b 的值为（）A ．2B ．4C ．8D ．16【答案】B【分析】由题可得,F A 坐标，根据28AFbk =可得答案.【详解】由题()0,2F ，()22,0A -，则22222AF k ==.因直线AF 平行于双曲线C 的一条渐近线，则22482bb ⎛⎫=⇒= ⎪ ⎪⎝⎭.故选：B7．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，60A ∠=︒，且ABC 的面积为3，若6b c +=，则=a （）A ．26B ．5C ．30D ．27【答案】A【分析】根据三角形面积可推出4bc =，利用余弦定理即可求得答案.【详解】由于60A ∠=︒,13sin 24ABC S bc A bc ==△，故有334bc =，解得4bc =，又6b c +=，则()2222cos 3361226a b c bc A b c bc =+-=+-=-=,故选：A ．8．已知函数()1f x +是偶函数，当121x x <<时，()()210f x f x ->恒成立，设()()1,2,32a f b f c f ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．b<c<aD ．b a c<<【答案】D【分析】利用函数的单调性及偶函数的性质，结合函数的对称性即可求解.【详解】因为当121x x <<时，()()210f x f x ->恒成立，即()()21f x f x >恒成立，所以()f x 在(1,)+∞上单调递增，因为(1)f x +是偶函数，所以()f x 的图象关于1x =对称，因为1522a f f ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()2b f =，()3c f =，因为5232<<，所以()()5232f f f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，即()()1232f f f ⎛⎫<-< ⎪⎝⎭，所以b a c <<．故选：D ．9．数列{}n a 的通项公式为()2*N n a n cn n =-∈．则“2≤c ”是“{}n a 为递增数列”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合数列的单调性判断【详解】根据题意，已知数列{}n a 的通项公式为2n a n cn =-，若数列{}n a 为单调递增数列，则有221[(1)(1)]()210n n a a n c n n cn n c +-=+-+--=+->（*n ∈N ），所以21c n <+，因为*n ∈N ，所以3c <，所以当2≤c 时，数列{}n a 为单调递增数列，而当数列{}n a 为单调递增数列时，2≤c 不一定成立，所以“2≤c ”是“数列{}n a 为单调递增数列”的充分而不必要条件，故选：A.10．已知集合()(){},M x y y f x ==，若对于任意()11,x y M ∈，存在()22,x y M ∈，使得12120x xy y +=成立，则称集合M 是“Ω集合”．给出下列5个集合：①()1,M x y y x ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭；②()1,e x x M x y y ⎧⎫-==⎨⎬⎩⎭；③(){}2,1M x y y x ==-；④(){}2,22M x y y xx ==++；⑤(){},cos sin M x y y x x ==+．其中是“Ω集合”的所有序号是（）A ．②③B ．①④⑤C ．③⑤D ．①②④【答案】C【分析】根据集合M 是“Ω集合”，即满足曲线()y f x =上过任意一点与原点的直线，都存在过另一点与原点的直线垂直，逐项判定，即可求解.【详解】题意，集合M 是“Ω集合”，即满足曲线()y f x =上过任意一点与原点的直线，都存在过另一点与原点的直线垂直，对于①中，1(,)|M x y y x ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭，假设集合M 是“Ω集合”，则存在两点111,A x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，221,B x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，满足1212111x x x x ⋅=-，即22121x x =-，方程无解，所以假设不成立，所以集合M 不是“Ω集合”；对于②中，函数1e x x y -=，则2e xx y -'=，当(,2)x ∞∈-时，0'>y ，函数单调递增，当(2,)x ∈+∞时，0'<y ，函数单调递减，且当2x =时，1ey =，图象如图所示，设图象上对任意一点()(),0A x y x ≠时，则11e ex OAxx y x k x x x --===，若令11e OA xx k x -==，即1e xx x -=，也即1e 1x x-=-，由函数1y x=-的图象与函数的图象e 1x y =-无交点，即11e OA x x k x -==无解，所以1OA k ≠，故对于1OA k =-时不存在1OB k =，此时不存在一点B ，使得OA OB ⊥成立，所以集合1(,)|e x x M x y y -⎧⎫==⎨⎬⎩⎭不是“Ω集合”；对于③中，集合(){}2,|1M x y y x ==-的图象表示一个在x 轴上方的半圆（包括x 轴上的点），如图所示，根据圆的性质，可得对任意一点A ，总是存在一点B ，使得OA OB ⊥成立，所以集合(){}2,|1M x y y x ==-是“Ω集合”；对于④中，函数2222(1)1y x x x =++=++，当点22(0,2),(,)A B x y 时，若12120x x y y +=，则20y =不成立，所以集合{}2(,)|22M x y y x x ==++不是“Ω集合”；对于⑤中，函数πcos sin 2sin 4y x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，其大致图象如下.设A 是其图象上任意一点，由图可知直线OA 的斜率的范围是()-∞+∞，根据图象可得，其图象上任意一点A ，总是存在一点B ，使得OA OB ⊥成立，所以集合{}(,)|cos sin M x y y x x ==+是“Ω集合”.故选：C .【点睛】关键点睛：本题主要考查了集合M 是“Ω集合”的新定义及应用，其中解答的关键是理解对于任意11(,)x y M ∈，存在22(,)x y M ∈，使得12120x x y y +=成立，即满足曲线()y f x =上过任意一点与原点的直线，都存在过另一点与原点的直线垂直，着重考查了分析问题和解答问题的能力.二、填空题11．已知函数()()()()21lg 11x x f x x x ⎧≤⎪=⎨->⎪⎩，则((1))=f f ．【答案】0【分析】由内向外，逐步代入，即可求出结果.【详解】由题意，1(1)22f ==，()()1(2)lg10f f f ∴===．故答案为：012．能够说明“若0a b c <<<，则a bc <”是假命题的一组实数,,a b c 的值依次为.【答案】111,,432（答案不唯一）【分析】由条件可得存在,,a b c 满足条件0a b c <<<，a bc ≥，由此可得1c <，再取满足条件的特殊值.【详解】由“若0a b c <<<，则a bc <”是假命题可得，存在,,a b c 满足条件0a b c <<<，但a bc ≥，由此可得b bc >，故1c <，若取12c =，14a =，则12b ≤，故可取13b =.故答案为：111,,432（答案不唯一）.13．已知数列{}n a 满足2*21,n n n a a a n ++=∈N ，若73516,4a a a ==，则3a 的值为．【答案】1【分析】由等比的定义结合其性质得出3a 的值.【详解】因为221n n n a a a ++=，*n ∈N ，所以数列{}n a 为等比数列，设其公比为q ，由716a =，23544a a a ==，得42a =±，所以3748a q a ==±，所以2q =±，所以73416116a a q ===.综上，3a 的值为1.故答案为：114．设F 是抛物线22y x =的焦点，,A B 是抛物线上的两点，线段AB 的中点P 的坐标为(),m n ，若5AF BF +=，则实数m 的值为．【答案】2【分析】设()()1122,,A x y B x y ，根据焦点弦公式得124x x +=，再利用中点公式即得到m 的值.【详解】F 是抛物线22y x =的焦点，1,02F ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，准线方程12x =-，设()()1122,,A x y B x y ，1211||||522AF BF x x ∴+=+++=，124x x ∴+=，∴线段AB 的中点横坐标为2，即2m =.故答案为：2.15．在数列{}n a 中，对任意的*n ∈N 都有0n a >，且211n n n a a a ++-=，给出下列四个结论：①对于任意的3n ≥，都有2n a ≥；②对于任意10a >，数列{}n a 不可能为常数列；③若102a <<，则数列{}n a 为递增数列；④若12a >，则当2n ≥时，12n a a <<.其中所有正确结论的序号为.【答案】③④【分析】对数列递推关系变形得到()()211112122n n n n n a a a a a ++++-=--=-+，得到2n a -与12n a +-同号，当102a <<时，02n a <<，①错误；当12a =时，推导出此时{}n a 为常数列，②错误；作差法结合102a <<时，102n a +<<，求出数列{}n a 为递增数列，③正确；由2n a -与12n a +-同号，得到当12a >，有2n a >，结合作差法得到{}n a 为递减数列，④正确.【详解】因为211n n n a a a ++-=，所以()()211112122n n n n n a a a a a ++++-=--=-+，因为任意的N n *∈都有0n a >，所以110n a ++>，所以2n a -与12n a +-同号，当102a <<，则3n ≥时，都有02n a <<，①错误；当12a =时，1222201a a a -=+=-，所以22a =，同理得：()23n a n =≥，此时{}n a 为常数列，②错误；()221111211n n n n n a a a a a ++++-=--=++-，由A 选项知：若102a <<，则102n a +<<，所以()221111211110n n n n n a a a a a +++++=---+>-+-==，则数列{}n a 为递增数列，③正确；由2n a -与12n a +-同号，当12a >，则2n ≥时，都有2n a >，且此时()221111211110n n n n n a a a a a +++++=---+<-+-==，所以数列{}n a 为递减数列，综上：若12a >，则当2,n ≥时，12n a a <<，④正确.故答案为：③④三、解答题16．已知()sin()0,||2f x A x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭同时满足下列四个条件中的三个：①16f π⎛⎫= ⎪⎝⎭；②()sin()||2f x A x πωϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭的图象可以由sin cos y x x =-的图像平移得到；③相邻两条对称轴之间的距离为2π；④最大值为2.（1）请指出这三个条件，并说明理由；（2）若曲线()y f x =的对称轴只有一条落在区间[0,]m 上，求m 的取值范围.【答案】（1）①③④，理由见解析；（2）5,36ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭.【分析】（1）先分析②③④成立时的情况，然后推出矛盾即可确定出满足的三个条件；（2）先根据（1）求解出()f x 的解析式，然后采用整体替换的方法求解出()f x 的对称轴方程，然后对k 进行赋值，确定出在区间[]0,m 上仅有一条对称轴时m 的取值范围.【详解】（1）三个条件是：①③④，理由如下：若满足②：因为sin cos 2sin 4y x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以2,1A ω==；若满足③：因为22T π=，所以2T ππω==，所以2ω=，若满足④：2A =，由此可知：若满足②，则③④均不满足，所以满足的三个条件是：①③④；（2）由③④知：()()2sin 2f x x ϕ=+，由①知：16f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以2sin 13πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以1sin 32πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，又因为||2ϕπ<，2,36k k Z ππϕπ+=+∈或52,36k k Z ππϕπ+=+∈，所以2,6k k Z πϕπ=-∈或2,2k k ϕπ=π+∈Z ，所以6πϕ=-，所以()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，不妨令2,62x k k Z πππ-=+∈，所以,23k x k Z ππ=+∈，当1k =-时，6x π=-；当0k =时，3x π=；当1k =时，56x π=，所以若要()y f x =的对称轴只有一条落在区间[]0,m 上，只需5,36m ππ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭,所以m 的取值范围是5,36ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭.【点睛】方法点睛：已知函数()()sin g x A x ωϕ=+()0ω>，若求函数()g x 图象的对称轴，则令2x k πωϕπ+=+，Z k ∈；若求函数()g x 图象的对称中心或零点，则令x k ωϕπ+=，Z k ∈．17．如图，在四棱锥P ABCD -中，PC ⊥底面ABCD ，四边形ABCD 是直角梯形，AD DC ⊥，//AB DC ，222PC AB AD CD ====，点E 在棱PB 上．(1)证明：平面EAC ⊥平面PBC ；(2)当2BE EP =时，求二面角P AC E --的余弦值．【答案】(1)证明见解析(2)223【分析】（1）由线面垂直得到线线垂直，求出各边长，由勾股定理逆定理得到AC BC ⊥，从而证明出线面垂直，面面垂直；（2）解法一：以C 为原点，CB ，CA ，CP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建系，写出点的坐标及平面的法向量，求出二面角的余弦值；解法二：取AB 的中点G ，连接CG ，以点C 为原点，CG ，CD ，CP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建系，写出点的坐标及平面的法向量，求出二面角的余弦值；【详解】（1）因为PC ⊥底面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以PC AC ⊥．因为2AB =，1AD CD ==，所以2AC BC ==．所以222AC BC AB +=，所以AC BC ⊥．又因为PC BC C ⋂=，PC ⊂平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，所以AC ⊥平面PBC ．又AC ⊂平面EAC ，所以平面EAC ⊥平面PBC ．（2）解法一：以点C 为原点，CB ，CA ，CP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0C ，()2,0,0B，()0,2,0A ，()002P ,,．设点E 的坐标为(),,x y z ，因为2BE EP =，所以()()2,,2,,2x y z x y z -=---，即23x =，0y =，43z =，所以24,0,33E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭．所以()0,2,0CA = ，24,0,33CE ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭．设平面ACE 的一个法向量为(),,n x y z = ，则00n CA n CE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩．所以2024033y x z ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，取22x =，则0y =，1z =-．所以平面ACE 的一个法向量为()22,0,1n =-．又因为BC ⊥平面PAC ，所以平面PAC 的一个法向量为()2,0,0CB = ．设平面PAC 与平面ACE 的夹角为θ，则()()()22222222cos cos ,32212n CB θ⨯===+-⨯．所以，平面PAC 与平面ACE 夹角的余弦值为223．解法二：取AB 的中点G ，连接CG ，以点C 为原点，CG ，CD ，CP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0C ，()1,1,0B -，()1,1,0A ，()002P ,,．设点E 的坐标为(),,x y z ，因为2BE EP =，所以()()1,1,2,,2x y z x y z -+=---，即13x =，13y =-，43z =，所以114,,333E ⎛⎫- ⎪⎝⎭．所以()1,1,0CA =，114,,333CE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．设平面ACE 的一个法向量为(),,n x y z = ，则0n CA n CE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ．所以01140333x y x y z +=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，取3x =，则=3y -，32z =-．所以，平面ACE 的一个法向量为33,3,2n ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ．又因为BC ⊥平面PAC ，所以平面PAC 的一个法向量为()1,1,0CB =-．设平面PAC 与平面ACE 的夹角为θ，则()()()()22222313122cos cos ,3333112n CB θ⨯+-⨯-===⎛⎫+-+-⨯+- ⎪⎝⎭．所以，平面PAC 与平面ACE 夹角的余弦值为22318．某单位有A ，B 两家餐厅提供早餐与午餐服务，甲、乙两人每个工作日早餐和午餐都在单位用餐，近100个工作日选择餐厅用餐情况统计如下（单位：天）：选择餐厅（早餐，午餐）（A ，A ）（A ，B ）（B ，A ）（B ，B ）甲30204010乙20251540假设用频率估计概率，且甲、乙选择餐厅用餐相互独立．(1)估计一天中甲选择2个餐厅用餐的概率；(2)记X 为一天中甲用餐选择的餐厅的个数与乙用餐选择的餐厅的个数之和，求X 的分布列和数学期望E （X ）；(3)判断甲、乙两人在早餐选择A 餐厅用餐的条件下，哪位更有可能在午餐选择B 餐厅用餐？说明理由．【答案】(1)0.6；(2)分布列见解析，期望为3；(3)乙更有可能在午餐选择B 餐厅用餐【分析】（1）由统计图表得出一天中甲选择2个餐厅用餐的天数，然后计算概率；（2）得出X 的可能值是2,3,4，计算出概率的分布列，由期望公式计算期望．（3）直接由统计图表计算甲、乙两人在早餐选择A 餐厅用餐的条件下，午餐选择B 餐厅用餐的概率，比较即得．【详解】（1）由统计图表，一天中甲选择2个餐厅用餐的天数为60，概率为600.6100P ==；（2）易知X 的可能值是2,3,4，4060(2)0.24100100P X ==⨯=，40406060(3)0.52100100100100P X ==⨯+⨯=，6040(4)0.24100100P X ==⨯=，X 的分布列为X234P0.240.520.24()20.2430.5240.243E X =⨯+⨯+⨯=．（3）甲在早餐选择A 餐厅用餐的条件下午餐选择B 餐厅用餐的概率为1200.450P ==，乙在早餐选择A 餐厅用餐的条件下午餐选择B 餐厅用餐的概率为22550.4459P ==>，所以乙更有可能在午餐选择B 餐厅用餐．19．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右顶点分别为12,A A ，124A A =，椭圆E 的离心率为32．(1)求椭圆E 的标准方程；(2)过(1,0)D 作直线l 与椭圆E 交于不同的两点M ，N ，其中l 与x 轴不重合，直线1A M 与直线52x =交于点P ，判断直线2A N 与DP 的位置关系，并说明理由．【答案】(1)椭圆E 的标准方程为2214x y +=；(2)平行，理由见解析.【分析】（1）由条件列关于,,a b c 的方程，解方程求,,a b c 。
北京市东城区高二数学课程测试题(AB卷)新人教版
北京市东城区2009——2010学年度 高二数学必修课程模块三测试题（A 卷）一、选择题：本大题共12小题．每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．如果输入3n =，那么执行右图中算法后的输出 结果是（ ）Ａ.3 Ｂ.4 Ｃ.5 Ｄ.62．某校1000名学生中， O 型血有400人，A 型血有250人，B 型血有250人，AB 型血有100人，为了研究血型与性格的关系，按照分层抽样的方法从中抽取样本. 如果从A 型血中抽取了10人，则从AB 型血中应当抽取的人数为（ ）Ａ.4 Ｂ.5 Ｃ.6 Ｄ.73．把颜色分别为红、黑、白的3个球随机地分给甲、乙、丙3人，每人分得1个球. 事件“甲分得白球”与事件“乙分得白球”是( )Ａ. 对立事件 B. 不可能事件 C. 互斥事件 D. 必然事件 4．用样本估计总体，下列说法正确的是 （ ） A ．样本的结果就是总体的结果 B ．样本容量越大，估计就越精确C ．样本的标准差可以近似地反映总体的平均状态D ．数据的方差越大，说明数据越稳定 5. 在区域⎩⎨⎧≤≤≤≤1010y x ，内任意取一点),(y x P ，则122<+y x 的概率是（ ）A ．0B ．214-πC ．4πD ．41π- 6. 把11化为二进制数为（ ）A ．1011（2）B ． 11011（2）C ． 10110（2）D ．0110（2） 7.用“辗转相除法”求得459和357的最大公约数是（ ）A ．3B ．9C ．17D ．51 8.设有一个直线回归方程为2 1.5y x =-，则变量x 增加一个单位时（ ）A ．y 平均增加1.5个单位B ．y 平均增加2个单位C ．y 平均减少1.5个单位D ．y 平均减少2个单位9. 观察新生婴儿的体重，其频率分布直方图如下图所示，则新生婴儿体重在[2800，3200]的频率约为（ ） A ．0.1 B ．0.3C ．0.45D ．0.510．右边程序运行后的输出结果为（ ） A ．17 B ．19 C ．21 D ．2311. 已知某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图如图所示，则甲、乙两人得分的中位数之和是（ ） A ．62 B ．63 C ．64 D ．6512．在右面的程序框图表示的算法中，输入三个实数c b a ,,， 要求输出的x 是这三个数中最大的数，那么在空白的判断 框中，应该填入（ ） A ．x c3900婴儿 体重B ．c x >C ．c b >D ．c a >二、填空题：本大题共4小题,每小题4分,共16分.将答案填在题中横线上.13.从四件正品，一件次品中随机取出两件，则取出的两件产品中恰好是一件正品，一件次品的概率是 ．14. 某商场4月份随机抽查了6天的营业额，结果分别如下（单位：万元）：2.8，3.2，3.4，3.7，3.0，3.1，估算该商场4月份的总营业额大约是 万元．15. 一个容量为20的样本数据，分组后组距与频数如下表：则样本在区间(),50-∞ 上的频率为__________________．16. 一家快递公司的投递员承诺在上午9：00—10：00之间将一份文件送到某单位，如果这家单位的接收人员将在上午9：30—1０：30之间离开单位，那么他在离开单位前能拿到文件的概率为 ．三、解答题：本大题共3小题,共36分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分12分)从甲、乙、丙、丁四个人中选两名代表，求： （Ⅰ）甲被选中的概率；（Ⅱ）丁没被选中的概率．18. (本小题满分12分)某区高二年级的一次数学统考中，随机抽取M 名同学的成绩，数据的分组统计表如下：（Ⅰ）求出表中,,,,,m n p M N P 的值；（Ⅱ）根据上表，请在下面给出的坐标系中画出频率分布直方图；（Ⅲ）若该区高二学生有5000人，试估计这次统考中该区高二学生的平均分数及分数在区间]90,60(内的人数．分数19. (本小题满分12分)根据下面的要求，求满足1＋2＋3＋…＋n > 500的最小的自然数n．（Ⅰ）画出执行该问题的程序框图；（Ⅱ）以下是解决该问题的一个程序，但有几处错误，请找出错误并予以更正．北京市东城区2009——2010学年度高二年级数学必修课程模块三测试题（A 卷）参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分） 1．D 2．A 3．C 4．B 5．C 6．A 7．D 8．C 9．D 10．C 11．A 12．B 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 13．25 14．96 15．0.7 16．78三、解答题（本大题共3小题，每小题12分，共36分） 17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）从甲、乙、丙、丁四个人中选两名代表，共有（甲，乙），（甲，丙），（甲，丁），（乙，丙），（乙，丁），（丙，丁）6种情况， 且这6种情况发生的概率相等，其中甲被选中包含其中的三种情况．所以甲被选中的概率为12． ┄┄┄┄┄┄ 6分 （Ⅱ）与（Ⅰ）同理，丁被选中的概率为12，所以丁没被选中的概率为12． ┄┄┄┄┄┄ 12分18. (本小题满分12分) 解：（Ⅰ）因为20.02M=，所以100M =．从而100(24113811)34m =-++++=． 0.34mn M==，0.034p =，1N =，0.1P =． ┈┈┈┈┈┈ 4分 （Ⅱ）直方图如下：┈┈┈┈┈┈ 8分（Ⅲ）平均分约为45×0.02+55×0.04+65×0.11+75×0.38+85×0.34+95×0.11=78.1．该区高二同学分数在区间(60,90]内的人数为⨯++=（人）．┈┈┈┈┈┈┈ 12分5000(0.110.380.34)415019. (本小题满分12分)┈┈┈┈┈┈┈ 6分（Ⅱ）①DO应改为WHILE；②PRINT n+1 应改为PRINT n；③S=1应改为S=0．┈┈┈┈┈┈┈ 12分北京市东城区2009——2010学年度高二年级数学必修课程模块三测试题（B 卷）一、选择题：本大题共12小题．每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．如果输入3n =，那么执行右图中算法后的输出 结果是（ ）Ａ.3 Ｂ.4 Ｃ.5 Ｄ.62．某校1000名学生中， O 型血有400人，A 型血有250人，B 型血有250人，AB 型血有100人，为了研究血型与性格的关系，按照分层抽样的方法从中抽取样本. 如果从A 型血中抽取了10人，则从AB 型血中应当抽取的人数为（ ）Ａ.4 Ｂ.5 Ｃ.6 Ｄ.73. 某小组共有10名学生，其中女生3名，现选举2名代表，至少有1名女生当选的概率为（ ） A.157 B.158 C.53 D. 544．用样本估计总体，下列说法正确的是 （ ） A ．样本的结果就是总体的结果 B ．样本容量越大，估计就越精确C ．样本的标准差可以近似地反映总体的平均状态D ．数据的方差越大，说明数据越稳定5. 在区域⎩⎨⎧≤≤≤≤1010y x ，内任意取一点),(y x P ，则122>+y x 的概率是A ．12-π B ． 214-π C ．41π- D ．4π6. 把11化为二进制数为（ ）A ．1011（2）B ． 11011（2）C ． 10110（2）D ．0110（2） 7.用“辗转相除法”求得459和357的最大公约数是（ ）A ．3B ．9C ．17D ．518．一组数据为99，99，100，101，101，则这组数据的方差为 （ ）A ．2B ．0.8C ．0.64D ．49. 观察新生婴儿的体重，其频率分布直方图如下图所示，则新生婴儿体重在[2800，3200]的频率约为（ ） A ．0.1 B ．0.3C ．0.45D ．0.510．右边程序运行后的输出结果为（ ） A ．17 B ．19 C ．21 D ．2311. 已知某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图如图所示，则甲、乙两人得分的中位数之和是（ ） A ．62 B ．63 C ．64 D ．6512．在右面的程序框图表示的算法中，输入三个实数c b a ,,， 要求输出的x 是这三个数中最大的数，那么在空白的判断 框中，应该填入（ ） A ．x c > B ．c x >婴儿 体重C ．c b >D ．c a >二、填空题：本大题共4小题,每小题4分,共16分.将答案填在题中横线上.13. 某商场4月份随机抽查了6天的营业额，结果分别如下（单位：万元）：2.8，3.2，3.4，3.7，3.0，3.1，估算该商场4月份的总营业额大约是 万元．14. 一个容量为20的样本数据，分组后组距与频数如下表：则样本在区间(),50-∞ 上的频率为__________________．15. 从1，2，3，…，9这9个数字中任取2个数字，则2个数字都是奇数的概率为_________． 16. 一家快递公司的投递员承诺在上午9：00—10：00之间将一份文件送到某单位，如果这家单位的接收人员将在上午9：30—1０：30之间离开单位，那么他在离开单位前能拿到文件的概率为 ．三、解答题：本大题共3小题,共36分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分12分)从,,,,A B C D E 五个人中选两名代表，求： （Ⅰ）A 被选中的概率； （Ⅱ）B 没被选中的概率；（Ⅲ）A 被选中且B 没被选中的概率；18. (本小题满分12分)某企业生产一种产品，月产量x 与成本y 的历史数据为：（Ⅰ）根据上表提供的数据，求出y 对x 的回归直线方程y bx a ∧=+，其中1122211()(),().n ni i i i i i nn i i i i x x y y x y nx y b x x x nx a y bx ====⎧---⎪⎪==⎪⎨--⎪⎪=-⎪⎩∑∑∑∑（Ⅱ）预测月产量是8件时所需的成本．19. (本小题满分12分)在数列{}n a 中，11a =，23a =，2132n n n a a a ++=-，n ∈*N ． （Ⅰ）求34,a a 的值；（Ⅱ）写出输入n (3)n ≥值，输出12,,,n a a a 值的算法，并画出该算法的程序框图；（Ⅲ）根据（Ⅱ）中的算法及框图，编写一个输入n 值，输出12,,,n a a a 值的计算机程序．北京市东城区2009——2010学年度高二年级数学必修课程模块三测试题（B 卷）参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分） 1．D 2．A 3．B 4．B 5．C 6．A 7．D 8．B 9．D 10．C 11．A 12．B 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 13．96 14．0.7 15．518 16．78三、解答题（本大题共3小题，每小题12分，共36分） 17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）从,,,,A B C D E 五个人中选两名代表，共有（,A B ），（,A C ），（,A D ），（,A E ），（,B C ），（,B D ），（,B E ），（,C D ），（,C E ），（,D E ）10种情况，且这10种情况发生的概率相等，其中A 被选中包含其中的4种情况．所以A 被选中的概率为25． ┄┄┄┄┄┄6分 （Ⅱ）与（Ⅰ）同理，B 被选中的概率为25，所以B 没被选中的概率为35． ┄┄┄┄┄┄12分（Ⅲ）A 被选中且B 没被选中包含3个基本事件， 所以A 被选中且B 没被选中的概率为310． 18. (本小题满分12分)解：（Ⅰ）因为x =3456454.+++=，y =253445354...+++=，13 2.543546 4.566.5==⨯+⨯+⨯+⨯=∑ni ii x y，222221345686==+++=∑nii x．所以266.54 4.5 3.566.5630.7864 4.58681b -⨯⨯-===-⨯-，3.50.74.50.35a y bx =-=-⨯=．故线性回归方程为ˆ0.70.35=+yx ． ┈┈┈┈┈┈┈┈8分 （Ⅱ）根据回归方程的预测，生产8件产品，需要的成本为0.780.35 5.95⨯+=（万元）． ┈┈┈┈┈┈┈12分 19. (本小题满分12分)解：（Ⅰ）因为11a =，23a =，2132n n n a a a ++=-，n ∈*N ， 所以321327a a a =⨯-⨯=，4323215a a a =⨯-⨯=． ┈┈┈┈┈┈┈┈2分（Ⅱ）算法如下： 第一步，输入一个n 值．第二步，初始化变量,,a b i ，让1a =，3b =，3i =，并输出,a b ． 第三步，计算32c b a =-，并让,a b b c ==，1i i =+，输出c ．第四步，判断i n >是否成立，若否，返回第三步；若是，结束算法．┈┈┈┈┈6分算法程序框图为：┈┈┈┈┈┈┈10分（Ⅲ）程序设计：┈┈┈┈┈┈┈┈12分。
最新北京市东城区10-11学年高二数学下学期期末考试 文 新人教A版
北京市东城区（南片）2010-2011学年下学期高二年级期末统一测试数学试卷（文科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共100分。
考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题，共36分）一、选择题（本大题共9小题，每小题4分，在每小题给出嘚四个选项中，只有一项是符合题目要求嘚。
）1. 已知复数i z 211+=，i z -=12，那么21z z z +=在复平面上对应嘚点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2. 已知全集R U =，集合{}32≤≤-=x x A ，{}41>-<=x x x B 或，那么集合()B C A U 等于A. {}42<≤-x xB. {}43≥≤x x x 或C. {}12-<≤-x xD. {}31≤≤-x x 3. 读下面嘚程序框图，输出结果是 A. 1 B. 3C. 4D. 54. 若1212121<⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛x x，则A. 120x x <<B. 121<<x xC. 012<<x xD. 021<<x x5. 用反证法证明命题“若整系数一元二次方程()002≠=++a c bx ax 存在有理数根，那么c b a ,,中至少有一个是偶数”时，下列假设中正确嘚是 A. 假设c b a ,,不都是偶数 B. 假设c b a ,,都不是偶数 C. 假设c b a ,,至多有一个是偶数 D . 假设c b a ,,至多有两个是偶数6. 下列函数中在区间()+∞,0上单调递增嘚是 A. x y sin = B. 2x y -= C. xey -= D. 3x y = 7. 若0x 是方程5lg =+x x 嘚解，则0x 属于区间A. ()2,1B. ()3,2C. ()4,3D. ()5,48. 以下四图，都是同一坐标系中三次函数及其导函数嘚图象，其中一定不．正确嘚序号是A. ③④B. ①②C. ②③D. ②④9. 已知x x x tan 1tan 14tan -+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+π⎪⎭⎫⎝⎛+≠4ππk x ，那么函数x y tan =嘚周期为π。
北京市东城区10-11学年高1数学下学期期末考试新人教A版
北京市东城区 (南片 )2021 -2021学年下学期高一年级|期末统一测试数学试卷本试卷共100分 .考试时间120分钟 .一、选择题：本大题共10小题 ,每题3分 ,共30分 .在每题列出的四个选项中 ,选出符合题目要求的一项 .1. 以下命题中正确的选项是A. AB OB OA =-B. 0=+BA ABC. 00=⋅ABD. AD CD BC AB =++2. 函数()()R x x x f ∈⎪⎭⎫⎝⎛-=42sin 3π的最|小正周期为A.2π B. π C. π2 D. π4 3. 向量()2,1=a ,()3,2=b ,()4,3=c ,且b a c 21λλ+= ,那么21λλ，的值分别为A. 2- ,1B. 1- ,2C. 2 ,1-D. 1 ,2-4. 542cos -=⎪⎭⎫⎝⎛-x π ,且x 在第三象限 ,那么()π-x tan 的值为A. 34B. 34-C. 43D. 43-5. 不等式b a >和ba 11>同时成立的充要条件是A. 0>>b aB. 0,0<>b aC. 0<<a bD.011>>ba 6. 将函数x y sin =的图象上所有的点向右平移10π个单位长度 ,再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍 (纵坐标不变 ) ,所得图象的函数解析式是A. ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=102sin πx yB. ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=52sin πx yC. ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1021sin πx yD. ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2021sin πx y7. 如图 ,()3,3=AC ,()3,3-=BC ,F E ，是AB 上的三等分点 ,那么ECF ∠cos 的值为A.85852 B.23 C.21 D.548. 等比数列{}n a 中 ,各项都是正数 ,且1a ,321a ,22a 成等差数列 ,那么9871098a a a a a a ++++的值为A. 223+B. 21-C. 21+D. 223-9. 假设有实数a ,使得方程2sin ax =在[)π2,0上有两个不相等的实数根21x x ， ,那么()21cos x x +的值为A. 1-B. 0C.1D.a 23 10. 在ABC ∆中 ,内角C B A ，，的对边分别是c b a ，， ,假设bc b a 322=- ,B C sin 32sin = ,那么A 的值为A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°二、填空题：本大题共6小题 ,每题3分 ,共18分 .11. 在区间[]2,1-上随机取一个数x ,那么[]1,0∈x 的概率为____________ .12. 在数列{}n a 中 ,01≠a ,()*1,22N n n a a n n ∈≥=- ,前n 项和为n S ,那么24a S =_______ .13. 假设0>a ,20=+>b a b ， ,那么以下不等式对一切满足条件的b a ，恒成立的是______________ (写出所有正确命题的编号 ) . ①1≤ab ； ②2≤+b a ；③222≥+b a ；④333≥+b a⑤211≥+ba . 14. 34tan -=⎪⎭⎫⎝⎛+απ .那么=α2tan ___________ . 15. 如下图 ,动物园要围成四间相同面积的长方形虎笼 ,一面可利用原有的墙 ,其它各面用钢筋网围成 .现有36m 长的钢筋网材料 ,那么可围成的每间虎笼面积最|大为_________m 2 .16. M 是ABC ∆内的一点 ,且︒=∠=⋅3032BAC AC AB ， .定义：()=M f()z y x ,, ,其中z y x ，，分别为MAB MCA MBC ∆∆∆，，的面积 ,假设()=M f ⎪⎭⎫ ⎝⎛21,,y x ,那么yx 221+的最|小值为______________________ ,此时()=M f __________________ .三、解答题：本大题共6小题 ,共52分 .解容许写出文字说明 ,演算步骤或证明过程 .17. (此题9分 )甲袋中有3只白球、7只红球、15只黑球；乙袋中有10只白球、6只红球、9只黑球 . (1 )从甲袋中任取一球 ,求取到白球的概率；(2 )从两袋中各取一球 ,求两球颜色相同的概率； (3 )从两袋中各取一球 ,求两球颜色不同的概率 .18. (此题9分 )在平面直角坐标系xOy 中 ,点()2,1--A 、()3,2B 、()1,2--C .(1 )求以线段AC AB 、为邻边的平行四边形两条对角线的长； (2 )当t 为何值时 ,OC t AB -与OC 垂直；(3 )当t 为何值时 ,OB OA t +与OB OA 2-平行 ,平行时它们是同向还是反向 . 19. (此题8分 )在ABC ∆中 ,角C B A 、、所对的边分别为c b a ，， ,412cos -=C . (1 )求C sin 的值； (2 )当2=a ,C A sin sin 2=时 ,求b 及c 的长 .20. (此题8分 )等差数列{}n a 满足：267753=+=a a a ， ,{}n a 的前n 项和为n S .(1 )求n a 及n S ；(2 )令n an C b = (其中C 为常数 ,且*0N n C ∈≠， ) ,求证数列{}n b 为等比数列 .21. (此题9分 )设函数()[]ππ,02cos 232cos 2∈+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x xx x f ， .(1 )求⎪⎭⎫⎝⎛3πf 的值； (2 )求()x f 的最|小值及()x f 取最|小值时x 的集合； (3 )求()x f 的单调递增区间 .22. (此题其中表有行 ,第1行的个数是1 ,3 ,5 ,… , ,从第2行起 ,每行中的每个数都等于它肩上的两数之和 . (1 )写出表4 ,验证表4各行中数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列 ,并将结论推广到表()3≥n n (不要求证明 )； (2 )每个数表中最|后一行都只有一个数 ,它们构成数列1 ,4 ,12 ,… ,记此数列为{}n b ,求数列{}n b 的前n 项和 .【试题答案】二、填空题：本大题共6小题 ,每题3分 ,共18分 . 11.31 12.215 13. ① ,③ ,⑤ (少选一个扣1分 )14. 34-15. 22716. 9 ,⎪⎭⎫ ⎝⎛2131,61， (第|一空2分 ,第二空1分 )三、解答题：本大题共6小题 ,共52分 .解容许写出文字说明 ,演算步骤或证明过程 . 17. 解： (1 )从甲袋中任取一球 ,取到白球的概率为253； ………………………3分(2 )从两袋中各取一球 ,两球颜色相同的概率62520725925152562572510253=⨯+⨯+⨯=P ；………………………6分(3 )从两袋中各取一球 ,两球颜色不同的概率6254186252071=-=P .……………9分 18. 解： (1 ) (方法一 )由题设知()5,3=AB ,()1,1-=AC ,那么 ()6,2=+AC AB ,()4,4=-AC AB .102=+ 24= .故所求的两条对角线的长分别为24、102 .……………………………………3分 (方法二 )设该平行四边形的第四个顶点为D ,两条对角线的交点为E ,那么： E 为C B 、的中点 ,()1,0E又()1,0E 为D A 、的中点 ,所以()4,1D故所求的两条对角线的长分别为10224==AD BC 、； (2 )由题设知：()1,2--=OC ,()t t OC t AB ++=-523， . 由OC t AB -与OC 垂直 ,得：()0=⋅-OC OC t AB . 即()()01,2523=--⋅++t t ， , 从而115-=t ,所以511-=t . …………………………………………………6分(3 )由题设知：()t t OB OA t 23,2--=+ ,()8,52--=-OB OA . 由OB OA t +//OB OA 2- ,得1681510-=-t t .解得：21-=t .此时 ,()8,5214,25---=⎪⎭⎫ ⎝⎛=+OB OA t ,所以它们方向相反 . ……………9分 19. (1 )解：因为41sin 212cos 2-=-=C C ,及π<<C 0 ,所以410sin =C . ………………………………………………………4分(2 )解：当2=a ,C A sin sin 2=时 ,由正弦定理CcA a sin sin = ,得4=c . 由411cos 22cos 2-=-=C C ,及π<<C 0得46cos ±=C .由余弦定理C ab b a c cos 2222-+= ,得01262=-±b b .解得6=b 或62 .所以⎩⎨⎧==.4,6c b 或⎩⎨⎧==.4,62c b…………………………………………………8分20. 解： (1 )设等差数列{}n a 的公差为d ,因为73=a ,2675=+a a ,所以有 ⎩⎨⎧=+=+.26102,7211d a d a 解得231==d a ， . 所以()12123+=-+=n n a n ；()n n n n n S n 222132+=⨯-+= . ………4分 (2 )由 (1 )知12+=n a n ,所以2111C C CC b b n n n na a a a n n ===---- . (常数 ,*2N n n ∈≥， )所以 ,数列{}n b 是以31C b =为首|项 .2C 为公比的等比数列 . …………………8分21. 解： (1 )2123216cos 2323cos 322=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛ππππf . ………3分 (2 )()2cos 232cos 2x x x f +⎪⎭⎫ ⎝⎛+=π 1cos 32sin sin 32cos cos ++-=x x x ππ1sin 23cos 21+-=x x16sin +⎪⎭⎫⎝⎛-=x π .因为[]π,0∈x ,所以6665πππ≤-≤-x ,所以216sin 1≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤-x π . 所以函数()x f 的最|小值为0 .此时26ππ-=-x ,即32π=x .所以x 的取值集合为⎭⎬⎫⎩⎨⎧32π .……………6分 (3 )由 (2 )可知：()[]ππ,016sin ∈+⎪⎭⎫⎝⎛-=x x x f ， .设⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤--=6656πμππμx ,那么原函数为1sin +=μy .因为x -=6πμ为减函数 ,所以1sin +=μy 的减区间就是复合函数()x f 的增区间 .由2665πππ-≤-≤-x ,得ππ≤≤x 32 .所以 ,函数()x f 的单调递增区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ,32 .………………………………………9分22. 解： (1 )表4为1 3 5 7 4 8 12 12 20 32它的第1 ,2 ,3 ,4行中的数的平均数分别是4 ,8 ,16 ,32 ,它们构成首|项为4 ,公比为2的等比数列 . 将这一结论推广到表()3≥n n , 表n 的第1行是1 ,3 ,5 ,… ,12-n ,其平均数是()n nn =-++++12531 .即表()3≥n n 各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首|项为n ,公比为2的等比数列 .…………………………………………………………………………………4分 (2 )由 (1 )知 ,表n 中最|后一行的唯一一个数为12-⋅=n n n b . 设n n b b b b S ++++= 3211212232221-⋅++⨯+⨯+⨯=n n ① 设n n n S 22322212321⋅++⨯+⨯+⨯=②由①－②得 ,n n n n S 22222213210⋅-+++++=--整理 ,得()121+⋅-=n n n S…………………………………………………9分。
北京市东城区高二下册第二学期期末教学统一检测数学理试题-含答案【精编】.doc
东城区第二学期期末教学统一检测高二数学(理科)本试卷共4页，共100分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共24分）一、选择题 （本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．复数12i z =-+，则z 在复平面内对应的点所在象限为A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．直线3,112x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）的斜率为 A．3-B．2-C．3 D ．123．在()102x -的展开式中，6x 的系数为A ．41016CB ．41032CC ．6108C -D ．61016C -4．一名老师和四名学生站成一排照相，学生请老师站在正中间，则不同的站法为 A ．4种 B ．12种 C ．24种 D ．120种 5．在极坐标系中，点(2,)3π到直线cos 2ρθ=的距离为A ．12B ．1C ．2D ．3 6．袋子中装有大小完全相同的6个红球和4个黑球，从中任取2个球，则所取出的两个球中恰有1个红球的概率为A ．541 B ．1225C ．158D ．35 7．函数||e cos x y x =-的图象大致为OxyA B C 8．甲、乙两人约好一同去看《变形金刚5》，两人买完了电影票后，偶遇丙也看这场电影，此时还剩9张该场电影的电影票，电影票的座位信息如下表．丙从这9张电影票中挑选了一张，甲、乙询问丙所选的电影票的座位信息，丙只将排数告诉了甲，只将号数告诉了乙．下面是甲、乙关于丙所选电影票的具体座位信息的一段对话：甲对乙说：“我不能确定丙的座位信息，你肯定也不能确定．” 乙对甲说：“本我不能确定，但是现在我能确定了．” 甲对乙说：“哦，那我也能确定了！” 根据上面甲、乙的对话，判断丙选择的电影票是A ．4排8号B ．3排1号C ．1排4号D ．1排5号第二部分（非选择题 共76分）二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分．请把答案填在答题卡中相应题中横线上）9．i 是虚数单位，复数13i1i-=- ． 10．定积分11(2sin )x x dx -+⎰的值为 ．11．在高台跳水运动中，某运动员相对于水面的高度h （单位：m ）与起跳后的时间t （单位：s ）存在函数关系2() 4.9 6.510h t t t =-++．则该运动员在0.5t s =时的瞬时速度为v = /m s ．12．若52345012345(21)x a a x a x a x a x a x +=+++++，则012345a a a a a a -+-+-的值为___________．13． 随着中国电子商务的发展和人们对网购的逐渐认识，网购鲜花速递行业迅速兴起．佳佳为祝福母亲的生日，准备在网上定制一束混合花束．客服为佳佳提供了两个系列，如下表：束．请问佳佳可定制的混合花束一共有 种．14．已知平面向量(,)m n =a ，平面向量(,)p q =b ，（其中,,,Z m n p q ∈）．定义：(,)mp nq mq np ⊗=-+a b ．若(1,2)=a ，(2,1)=b ，则⊗a b =_____________； 若(5,0)⊗a b =，且||5<a ，||5<b ，则=a _________，=b __________（写出一组满足此条件的a 和b 即可）．三、解答题（本大题共6个小题，共52分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15．（本题满分9分）已知函数32()1f x x x =-+． （I ）求函数()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程； （II ）求函数()f x 的极值．16．（本题满分8分）电视连续剧《人民的名义》自3月28日在湖南卫视开播以，引发各方关注，收视率、点击率均占据各大排行榜首位．我们用简单随机抽样的方法对这部电视剧的观看情况进行抽样调查，共调查了600人，得到结果如下：其中图1是非常喜欢《人民的名义》这部电视剧的观众年龄的频率分布直方图；表1是不同年龄段的观众选择不同观看方式的人数．求：（I ）假设同一组中的每个数据用该组区间的中点值代替，求非常喜欢《人民的名义》这部电视剧的观众的平均年龄；（II ）根据表1，通过计算说明我们是否有99%的把握认为观看该剧的方式与年龄有关？附：()()()()d b c a d c b a bc ad n K ++++-=2217．（本题满分8分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足2n n S a n =-，求数列{}n a 的通项公式．勤于思考的小红设计了下面两种解题思路，请你选择其中一种并将其补充完整．思路1：先设n 的值为1，根据已知条件，计算出1____a =，2____a =，3____a =．猜想：____.n a =观看方式年龄（岁）电视网络[)1545, 150 250 []4565,12080()2k K P ≥0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.0250.010 0.005 0.0010k0.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828表1年龄6555453525150频率组距0.0400.0100.0150.020图1然后用数学归纳法证明．证明过程如下： ①当1n =时， ，猜想成立②假设n k =（k ∈N *）时，猜想成立，即k a = ． 那么，当1n k =+时，由已知2n n S a n =-，得1k S += ．又2k k S a k =-，两式相减并化简，得1__________k a +=（用含k 的代数式表示）． 所以，当1n k =+时，猜想也成立． 根据①和②，可知猜想对任何k ∈N*都成立．思路2：先设n 的值为1，根据已知条件，计算出1______a =．由已知2n n S a n =-，写出1n S +与1n a +的关系式：1__________n S +=， 两式相减，得1n a +与n a 的递推关系式：1__________n a +=． 整理：11n a ++= ．发现：数列{1}n a +是首项为________，公比为_______的等比数列．得出：数列{1}n a +的通项公式1____n a +=，进而得到n a = ．18．（本题满分9分）为响应市政府“绿色出行”的号召，王老师每个工作日上下班由自驾车改为选择乘坐地铁或骑共享单车这两种方式中的一种出行．根据王老师从3月到5月的出行情况统计可知，王老师每次出行乘坐地铁的概率是0.4，骑共享单车的概率是0.6．乘坐地铁单程所需的费用是3元，骑共享单车单程所需的费用是1元．记王老师在一个工作日内上下班所花费的总交通费用为元，假设王老师上下班选择出行方式是相互独立的． （I ）求的分布列和数学期望()E X ；（II ）已知王老师在6月的所有工作日（按22个工作日计）中共花费交通费用110元，请判断王老师6月份的出行规律是否发生明显变化，并依据以下原则说明理由．原则：设a 表示王老师某月每个工作日出行的平均费用，若|()|a E X -?，则有95％的把握认为王老师该月的出行规律与前几个月的出行规律相比有明显变化．（注：21()(())ni i i D X x E X p ==-å）19．（本题满分9分）已知函数()ln (1)f x x a x +-=，a R ∈． （I ）求()f x 的单调区间；（II ）若对任意的(0,)x ??，都有()22f x a ≤-，求实数a 的取值范围．20．（本题满分9分）已知随机变量ξ的取值为不大于n 的非负整数值，它的分布列为：其中i p （0,1,2,,i n =L L ）满足：[0,1]i p ∈，且0121n p p p p ++++=L L ．定义由ξ生成的函数2012()nn f x p p x p x p x =++++L L ，令()()g x f x '=．（I ）若由ξ生成的函数23111()424f x x x x =++，求(2)P ξ=的值； （II ）求证：随机变量ξ的数学期望()(1)E g ξ=， ξ的方差2()(1)(1)((1))D g g g ξ'=+-；（2()(())ni i D i E p ξξ==-⋅∑）（Ⅲ）现投掷一枚骰子两次，随机变量ξ表示两次掷出的点数之和，此时由ξ生成的函数记为()h x ，求(2)h 的值．东城区第二学期期末教学统一检测高二数学（理科）答案一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分．请把答案填在答题卡中相应题目的横线上．）三、解答题（本大题共6个小题，共52分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15．（本题满分9分）解：（I ）32()1f x x x =-+，2'()32f x x x =-． ………………………………………1分则(1)1,'(1)321f f ==-=． ………………………………………3分则函数()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程为11y x -=-，化简得y x =． …………4分 （II ）令2'()320f x x x =-=，解得1220,3x x ==． ………………5分 当x 变化时，'()f x ，()f x 的变化情况如下表：因此，当0x =时，()f x 有极大值，并且极大值为(0)1f =；当23x =时，()f x 有极小值，并且极小值为223()327f =． ……………………9分16．（本题满分8分） 解：（I ）平均年龄为：411506020050400401003015020=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.....x ． …………4分（II ）根据列联表中的数据，利用公式可得2K 的观测值()272711300200400330270250120801506002.k ≈=⨯⨯⨯⨯-⨯=． …………6分Q 27.27 6.635k ≈≥，∴ 有99%把握认为观看该剧的方式与年龄有关． …………………………………8分17．（本题满分8分） 解：思路1：11a =， ………………………………………………………1分23a =， ………………………………………………………2分 37a =， ………………………………………………………3分 21n n a =-， ………………………………………………………4分11211a =-=，………………………………………………………5分21k k a =-， ………………………………………………………6分112(1)k k S a k ++=-+，………………………………………………7分1121k k a ++=-． …………………………………………8分思路2：11a =， ………………………………………………………1分112(1)n n S a n ++=-+， …………………………………………………2分 121n n a a +=+， ………………………………………………………3分 112(1)n n a a ++=+， …………………………………………………4分2， ………………………………………………………5分 2， ………………………………………………………6分12n n a +=， ………………………………………………………7分21n n a =-． ………………………………………………………8分18．（本题满分9分）解：（I ）依题意，可能的取值是2，4，6，因此的分布列为由此可知，的数学期望为()20.3640.4860.16 3.6E X =⨯+⨯+⨯=． (5)分（II ）判断：有95％的把握认为王老师该月的出行规律与3~5月的出行规律相比有明显变化． ………………………………6分 理由如下：Q 6月共有22个工作日，共花费交通费用110元， ∴平均每天出行的费用110225a =?（元）． .......................................7分 又222()(2 3.6)0.36(4 3.6)0.48(6 3.6)0.16 1.92D X =-?-?-?， (8)分则|()||5 3.6| 1.4a E X -=-=>． ∴有95％的把握认为王老师该月的出行规律与3~5月的出行规律相比有明显变化． ………………………………………9分19．（本题满分9分） 解：（I ）11'()(0)axf x a x x x-=-=>， ………………………………………………1分当0a ≤时，'()0f x >恒成立，则()f x 在(0,)+∞上单调递增； ………………2分 当0a >时，令'()0f x >，则10x a<<． 则()f x 在区间1(0,)a上单调递增，在区间1(,)a+∞上单调递减．……………………4分 （II ）方法1：①当0a ≤时，因为(1)022f a =>-，所以不会有(0,)x "??，()22f x a ≤-． …………………………………………5分 ②当0a >时，由（I ）知，()f x 在(0,)+?上的最大值为111()ln()(1)ln 1f a a a a a a=+-=-+-． ………………………6分所以(0,)x "??，()22f x a ≤-等价于1()ln 122f a a aa=-+-?．即ln 10a a +-?． ………………………………………………7分设()ln 1ln (1)g x x x x x =+-=--，由（I ）知()g x 在(0,)+?上单调递增．又(1)ln1110g =+-=，所以ln 10a a +-?的解为1a ≥． ………………………………8分故(0,)x "??，()22f x a ≤-时，实数a 的取值范围是[1,)+∞． ………………9分方法2：(0,)x "??，()22f x a ≤-等价于ln 21x a x +≥+． ……………………5分令ln 2()1x g x x +=+，则21ln 1'()(1)x x g x x --=+． ………………………………6分 令1()ln 1h x x x =--，则2211(1)'()x h x x x x-+=--=． 因为当(0,)x ??，'()0h x <恒成立，所以()h x 在(0,)+?上单调递减． ………………………………7分 又(1)1ln110h =--=，可得()g x 和'()g x 在(0,)+?上的情况如下：所以()g x 在(0,)+?上的最大值为(1)111g ==+．………………………………8分 因此(0,)x "??，()a g x ≥等价于(1)=1a g ≥．故(0,)x "??，()22f x a ≤-时，实数a 的取值范围是[1,)+∞． …………………9分20．（本题满分9分） 解：（I ） 1(2)2P ξ==． ……………………………………2分（II ）由于012()012n E p p p n p ξ=⋅+⋅+⋅++⋅L L ，112()()2n n g x f x p p x np x -'==+++L L ，所以()g(1)E ξ=． ………………………………………………4分由ξ的方差定义可知2220000220002222222()(())()2()(1)()2()(1)()()2()(1)()()(1)(1)(1)n n n ni i i i i i i i n n n ni i i i i i i i n i i n i i ni i D i E p i p E p E i p i i p i p E p E i p i i p E E E i i p E E i i p g g ξξξξξξξξξξξ============-⋅=⋅+⋅-⋅=-⋅+⋅+⋅-⋅=-⋅++-=-⋅+-=-⋅+-∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑.∑由于112g()2n n x p p x np x -=+++L L ，所以有223()232(1)n n g x p p x n n p x -'=+⨯⋅++-⋅L L ，这样232(1)232(1)(1)nn i i g p p n n p i i p ='=+⨯⋅++-=-∑L L ，所以有2()(1)(1)((1))D g g g ξ'=+-． ………………………………………………6分 （III ）方法1．投掷一枚骰子一次，随机变量ξ的生成的函数为：234561()()6f x x x x x x x =+++++． ………………………………7分投掷骰子两次次对应的生成函数为 2345621()[()]6h x x x x x x x =+++++ ． ……… 8分 所以2(2)21441h ==． ………………………………………………9分方法2：ξ的取值为2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12． ……………………………………………7分则ξ的分布列为分则2345678910111212345654321()+3636363636363636363636h x x x x x x x x x x x x =+++++++++． 则4(1412328019232051276810241024)(2)36h ++++++++++= 3969=4419=． ………………………………9分。
北京市东城区10-11学年高二数学下学期期末考试理新人教A版
北京市东城区（南片） 2010-2011 学年下学期高二年级期末统一测试数学试卷（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共100 分。
考试时间120 分钟。
第Ⅰ卷（选择题，共36 分）一、选择题（本大题共9 小题，每小题 4 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1.已知复数 z112i ， z21i ，那么 z z1z2在复平面上对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2.C51C52C53C54的值为A. 322B. 312C. 30D. 293.已知 P AB， P A，那么 P B | A 等于1554123A. B. C. D.753344.动点 P sin cos , sin cos（为参数）的轨迹方程是A. x2y21B. x2y2 2C. x2y2 1D. x2y 225.图中由函数 y f x 的图象与 x 轴围成的阴影部分面积，用定积分可表示为3x dx3x dx1A.fB.f f x dx3131x dx1x dx3C.fD.f f x dx3316. 以下四图，都是同一坐标系中三次函数及其导函数的图象，其中一定不．正确的序号是A. ③④B. ①②C. ②③D. ②④7.一个停车场有 5 个排成一排的空车位，现有 2 辆不同的车停进这个停车场，若停好后恰有 2个相邻的停车位空着，则不同的停车方法共有A. 6 种B. 12 种C. 36 种D. 72 种8.若 x k， tan x41tan x ，则y tan x 的周期为。
类比可推出：设41tan xx R 且 f x 1f x，则 y f x的周期是1f xA. B.2 C.4 D. 59.设函数y f x x R是可导的函数，若满足x 2 f x 0 ，则必有A. f 1 f 3 2 f 2B. f 1 f 3 2 f 2C. f 1 f 3 2 f 2D. f 1 f 3 2 f 2第Ⅱ卷（非选择题，共64 分）二、填空题：（本大题共 6 个小题，每小题 4 分，共 24 分。
北京市东城区2021-2022高二数学下学期期末考试试题(含解析)
东城区2021—2021度第二学期(xuéqī)期末试教学统一检测高二数学(shùxué)本试卷共4页，共100分。
考试时长120分钟。
考生务必(wùbì)将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，见本试卷和答题卡一并交回。
第一(dìyī)部分(选择题共32分)一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合(fúhé)题目要求的.1.已知集合，，那么集合=A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】直接进行交集的运算即可．【详解】∵M＝{0，1，2}，N＝{x|0≤x＜2}；∴M∩N＝{0，1}．故选：B．【点睛】本题考查列举法、描述法的定义，以及交集的运算，属于基础题．2.已知曲线在点处的切线方程是，且的导函数为，那么等于A. B. C. D. 【答案】D【分析】求出切线的斜率即可【详解】由题意切线方程是x+y﹣8＝0，即y＝8﹣x，f'（5）就是(jiùshì)切线的斜率，f′（5）＝﹣1，故选：D．【点睛(diǎn jīnɡ)】本题考查了导数的几何意义，考查了某点处的切线斜率的求法，属于(shǔyú)基础题．3.已知，那么(nà me)“”是“且”的A. 充分(chōngfèn)而不必要条件B. 充要条件C. 必要而不充分条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】先利用取特殊值法判断x•y＞0时，x＞0且y＞0不成立，再说明x＞0且y＞0时，x•y＞0成立，即可得到结论．【详解】若x＝﹣1，y＝﹣1，则x•y＞0，但x＞0且y＞0不成立，若x＞0且y＞0，则x•y＞0一定成立，故“x•y＞0”是“x＞0且y＞0”的必要不充分条件【点睛】本题考查的知识点是充要条件的定义，考查了不等式的性质的应用，考查了逻辑推理能力，属于基础题．4.已知随机变量满足条件X～，且，那么与的值分别为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析(fēnxī)】根据(gēnjù)二项分布的均值与方差公式列方程组解出n与p的值．【详解(xiánɡ jiě)】∵X～B（n，p）且，∴，解得n＝15，p故选：C．【点睛(diǎn jīnɡ)】本题考查了二项分布的均值与方差(fānɡ chà)公式的应用，考查了运算能力，属于基础题．5.已知（是实常数）是二项式的展开式中的一项，其中，那么k 的值为A. B. C. D.【答案】A 【解析】 【分析】根据二项式定理展开式的通项公式，求出m ，n 的值，即可求出k 的值． 【详解】展开式的通项公式为T t +1＝x 5﹣t （2y ）t ＝2t 5t C x 5﹣t y t ，∵kx m y n （k 是实常数）是二项式（x ﹣2y ）5的展开式中的一项， ∴m +n ＝5， 又m ＝n +1， ∴得m ＝3，n ＝2， 则t ＝n ＝2， 则k ＝2t 224×10＝40，故选：A ．【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，结合通项公式建立方程求出m ，n 的值是解决本题的关键．6.函数(hánshù)在上的最小值和最大值分别(fēnbié)是A. B. C. D.【答案(dá àn)】A 【解析(jiě xī)】 【分析(fēnxī)】求出f （x ）的导数，利用导函数的正负，求出函数的单调区间，从而求出函数的最大值和最小值即可． 【详解】函数，()f x 'cos x ，令()f x '＞0，解得：x，令()f x '＜0，解得：0≤x，∴f （x ）[0，）递减，在（3π，]递增，∴f （x ）min ＝f （3π），而f （0）＝0，f （2π）1，故f （x ）在区间[0，2π]上的最小值和最大值分别是：．故选：A ．【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性、最值问题，考查函数值的运算，属于基础题．7.从位男生，位女生中选派4位代表参加一项活动，其中至少有两位男生，且至少有1位女生的选法共有( ) A. 种 B. 种 C.种D.种【答案】B【解析】【详解(xiánɡ jiě)】由题意知本题要求至少(zhìshǎo)有两位男生，且至少有1位女生，它包括：两个男生，两个女生；三个男生，一个(yī ɡè)女生两种情况，写出当选到的是两个男生，两个女生时和当选到的是三个男生，一个女生时的结果数，根据分类计数原理得到结果．解：∵至少(zhìshǎo)有两位男生，且至少有1位女生包括：两个(liǎnɡ ɡè)男生，两个女生；三个男生，一个女生．当选到的是两个男生，两个女生时共有C52C42=60种结果，当选到的是三个男生，一个女生时共有C53C41=40种结果，根据分类计数原理知共有60+40=100种结果，故选B．8.在一次抽奖活动中，一个箱子里有编号为1至的十个号码球(球的大小、质地完全相同，但编号不同)，里面有n个号码为中奖号码，若从中任意取出4个小球，其中恰有1个中奖号码的概率为，那么这10个小球中，中奖号码小球的个数n为A. B. 3 C. 4 D. 5【答案】C【解析】【分析】利用古典概型列出恰有1个中奖号码的概率的方程，解方程即可．【详解】依题意，从10个小球中任意取出4个小球，其中恰有1个中奖号码的概率为821，所以，所以n（10﹣n）（9﹣n）（8﹣n）＝480，（n∈N*）解得n＝4．故选：C．【点睛】本题考查了古典概型的概率公式的应用，考查了计数原理及组合式公式的运算，属于中档题．第二(dì èr)部分(非选择题共68分)二、填空题：本大题共6小题(xiǎo tí)，每小题3分，共18分9.命题(mìng tí)“R”，此命题(mìng tí)的否定是___．(用符号(fúhào)表示)【答案】∀x∈R，x2+x≤0．【解析】【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．【详解】因为特称命题的否定是全称命题，所以∃x0∈R，x02﹣2x0+1＞0的否定是：∀x∈R，x2+x≤0．故答案为：∀x∈R，x2+x≤0．【点睛】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系及否定形式，属于基本知识的考查．10.已知集合，集合，那么集合的子集．．个数为___个．【答案】8．【解析】【分析】可以求出集合M，N，求得并集中元素的个数，从而得出子集个数．【详解】∵M＝{﹣1，1}，N＝{1，2}；∴M∪N＝{﹣1，1，2}；∴M∪N的子集个数为23＝8个．故答案为：8．【点睛】本题考查描述法、列举法的定义，以及并集的运算，子集的定义，以及集合子集个数的求法．11.已知随机变量(suí jī biàn liànɡ)X服从(fúcóng)正态分布N(3.1)，且=0.6826，则p（X>4）=【答案(dá àn)】0.1587【解析(jiě xī)】【详解(xiánɡ jiě)】,观察如图可得,.故答案为0.1587.考点：正态分布点评：随机变量～中，表示正态曲线的对称轴.12.吃零食是中学生中普遍存在的现象．长期吃零食对学生身体发育有诸多不利影响，影响学生的健康成长．下表给出性别与吃零食的列联表男女总计喜欢吃零食51217不喜欢吃零食402868合计454085根据下面的计算结果，试回答，有_____的把握认为“吃零食与性别有关”．参考(cānkǎo)数据与参考公式：0.0500.0100.0013.841 6.63510.828【答案(dá àn)】95%．【解析(jiě xī)】【分析(fēnxī)】根据题意得出观测值的大小(dàxiǎo)，对照临界值得出结论．【详解】根据题意知K2≈4.722＞3.841，所以有95%的把握认为“吃零食与性别有关”．故答案为：95%．【点睛】本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，是基础题．13.已知在R上不是．．单调增函数，那么实数的取值范围是____．【答案】（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）．【解析】【分析】根据函数单调性和导数之间的关系，转化为f′（x）≥0不恒成立，即可得到结论．【详解】∵函数y x3+mx2+（m+2）x+3，∴f′（x）＝x2+2mx+m+2，∵函数y13x3+mx2+（m+2）x+3在R上不是增函数，∴f′（x）＝x2+2mx+m+2≥0不恒成立，∴判别式△＝4m2﹣4（m+2）＞0，∴m2﹣m﹣2＞0，即m＜﹣1或m＞2，故答案(dá àn)为：（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）．【点睛(diǎn jīnɡ)】本题考查了利用导数研究函数(hánshù)的单调性问题，考查了转化思想，考查了二次不等式恒成立的问题，属于中档题．14.已知函数(hánshù)，，当时，这两个(liǎnɡ ɡè)函数图象的交点个数为____个．（参考数值：）【答案】3．【解析】【分析】原问题等价于函数y＝﹣x2+8x﹣6lnx与函数y＝m，m∈（7，8）的交点个数，作出函数图象观察即可得出答案．【详解】函数f（x）与函数g（x）的交点个数，即为﹣x2+8x＝6lnx+m的解的个数，亦即函数y＝﹣x2+8x﹣6lnx与函数y＝m，m∈（7，8）的交点个数，，令y′＝0，解得x＝1或x＝3，故当x∈（0，1）时，y′＜0，此时函数y＝﹣x2+8x﹣6lnx单调递减，当x∈（1，3）时，y′＞0，此时函数y＝﹣x2+8x﹣6lnx单调递增，当x∈（3，+∞）时，y′＜0，此时函数y＝﹣x2+8x﹣6lnx单调递减，且y|x＝1＝7，y|x＝3＝15﹣6ln3＞8，作出函数y＝﹣x2+8x﹣6lnx的草图如下，由图可知(kě zhī)，函数y＝﹣x2+8x﹣6lnx与函数(hánshù)y＝m，m∈（7，8）有3个交点(jiāodiǎn)．故答案(dá àn)为：3．【点睛(diǎn jīnɡ)】本题考查函数图象的运用，考查函数交点个数的判断，考查了运算能力及数形结合思想，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，共50分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知集合，．(Ⅰ)当时，求A∩(∁R B)；(Ⅱ)当时，求实数m的值．【答案】（Ⅰ）{x|3≤x≤5，或x＝﹣1}（Ⅱ）m＝8【解析】【分析】（Ⅰ）求出A＝{y|﹣1≤y≤5}，m＝3时，求出B＝{x|﹣1＜x＜3}，然后进行补集、交集的运算即可；（Ⅱ）根据A∪B＝{x|﹣2＜x≤5}即可得出，x＝﹣2是方程x2﹣2x﹣m＝0的实数根，带入方程即可求出m．【详解】（Ⅰ）A＝{y|﹣1≤y≤5}，m＝3时，B＝{x|﹣1＜x＜3}；B＝{x|x≤﹣1，或x≥3}；∴∁R∴A∩（∁R B）＝{x|3≤x≤5，或x＝﹣1}；（Ⅱ）∵A∪B＝{x|﹣2＜x≤5}；∴x＝﹣2是方程(fāngchéng)x2﹣2x﹣m＝0的一个(yī ɡè)实根；∴4+4﹣m＝0；∴m＝8．经检验(jiǎnyàn)满足题意【点睛(diǎn jīnɡ)】本题考查交集、补集的运算，涉及不等式的性质，描述法的定义，一元二次不等式的解法的知识方法(fāngfǎ)，属于基础题．16.一个不透明的袋子中，放有大小相同的5个小球，其中3个黑球，2个白球．如果不放回的依次取出2个球．回答下列问题：(Ⅰ)第一次取出的是黑球的概率；(Ⅱ)第一次取出的是黑球，且第二次取出的是白球的概率；(Ⅲ)在第一次取出的是黑球的条件下，第二次取出的是白球的概率．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）【解析】（Ⅰ）黑球有3个，球的总数为5个，代入概率公式即可；（Ⅱ）利用独立事件的概率公式直接求解即可；（Ⅲ）直接用条件概率公式求解．【详解】依题意，设事件A表示“第一次取出的是黑球”，设事件B表示“第二次取出的是白球”（Ⅰ）黑球有3个，球的总数为5个，所以P（A）；（Ⅱ）第一次取出的是黑球，且第二次取出的是白球的概率为P（AB）；（Ⅲ）在第一次取出的是黑球的条件(tiáojiàn)下，第二次取出的是白球的概率为P（B|A）．【点睛(diǎn jīnɡ)】本题考查(kǎochá)了古典概型的概率公式，考查了事件的相互独立性及条件概率，属于基础题．17.已知函数(hánshù)的图象(tú xiànɡ)与直线相切于点．(Ⅰ)求的值；f x的单调区间．(Ⅱ)求函数()【答案】（Ⅰ）a＝3，b＝﹣9（Ⅱ）单调递减区间是（﹣3，1）．单调增区间为：（∞，﹣3），（1，+∞）【分析】（Ⅰ）求导函数，利用f（x）的图象与直线15x﹣y﹣28＝0相切于点（2，2），建立方程组，即可求a，b的值；（Ⅱ）求导函数，利用导数小于0，即可求函数f（x）单调递减区间．【详解】（I）求导函数可得f′（x）＝3x2+2ax+b，∵f（x）的图象与直线15x﹣y﹣28＝0相切于点（2，2），∴f（2）＝2，f′（2）＝﹣15，∴，∴a＝3，b＝﹣9．（II）由（I）得f′（x）＝3x2+6x﹣9，令f′（x）＜0，可得3x2+6x﹣9＜0，∴﹣3＜x＜1，函数f（x）的单调递减区间是（﹣3，1）．令f′（x）＞0，可得3x2+6x﹣9＞0，单调增区间：（∞，﹣3），（1，+∞）．综上：函数(hánshù)f（x）的单调递减(dìjiǎn)区间是（﹣3，1）．单调(dāndiào)增区间为：（∞，﹣3），（1，+∞）．【点睛(diǎn jīnɡ)】本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数(hánshù)的单调性及计算能力，属于中档题．18.把6本不同的书，全部分给甲，乙，丙三人，在下列不同情形下，各有多少种分法？（用数字作答）(Ⅰ)甲得2本；(Ⅱ)每人2本；(Ⅲ)有1人4本，其余两人各1本．【答案】（Ⅰ）240种（Ⅱ）90种（Ⅲ）90种【解析】【分析】（Ⅰ）根据题意，分2步进行分析：①，在6本书中任选2本，分给甲，②，将剩下的4本分给乙、丙，由分步计数原理计算可得答案；（Ⅱ）根据题意，分2步进行分析：①，将6本书平均分成3组，②，将分好的3组全排列，分给甲乙丙三人，由分步计数原理计算可得答案；（Ⅲ）根据题意，分2步进行分析：①，在6本书中任选4本，分给三人中1人，②，将剩下的2本全排列，安排给剩下的2人，由分步计数原理计算可得答案；【详解】（Ⅰ）根据题意，分2步进行分析：①，在6本书中任选2本，分给甲，有C62＝15种选法，②，将剩下4本分给乙、丙，每本书都有2种分法，则有2×2×2×2＝16种分法，则甲得2本分法有15×16＝240种；（Ⅱ）根据题意，分2步进行分析：①，将6本书平均分成3组，有15种分组方法，②，将分好(fēn hǎo)的3组全排列(páiliè)，分给甲乙丙三人，有A33＝6种情况(qíngkuàng)，则有15×6＝90种分法；（Ⅲ）根据(gēnjù)题意，分2步进行(jìnxíng)分析：①，在6本书中任选4本，分给三人中1人，有C64×C31＝45种分法，②，将剩下的2本全排列，安排给剩下的2人，有A22＝2种情况，则有45×2＝90种分法．【点睛】本题考查排列、组合的应用，考查了分组分配问题的步骤，涉及分类、分步计数原理的应用，属于中档题．19.甲，乙二人进行乒乓球比赛，已知每一局比赛甲胜乙的概率是，假设每局比赛结果相互独立.(Ⅰ)比赛采用三局两胜制，即先获得两局胜利的一方为获胜方，这时比赛结束．求在一场比赛中甲获得比赛胜利的概率；(Ⅱ)比赛采用三局两胜制，设随机变量X为甲在一场比赛中获胜的局数，求X的分布列和均值；(Ⅲ)有以下两种比赛方案：方案一，比赛采用五局三胜制；方案二，比赛采用七局四胜制.问哪个方案对甲更有利.（只要求直接写出结果）【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）分布列见解析，E（X）（Ⅲ）方案二对甲更有利【解析】【分析】（Ⅰ）甲获得比赛胜利包含二种情况：①甲连胜二局；②前二局甲一胜一负，第三局甲胜．由此能求出甲获得比赛胜利的概率．（Ⅱ）由已知得X的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列和数学期望．（Ⅲ）方案二对甲更有利．【详解】（Ⅰ）甲获得比赛胜利包含二种情况：①甲连胜二局；②前二局甲一胜一负，第三局甲胜．∴甲获得比赛胜利的概率为：P＝（23）2（23）．（Ⅱ）由已知得X的可能(kěnéng)取值为0，1，2，P（X＝0）＝（）2，P（X＝1），P（X＝2）＝（23）2122133C⎛⎫⎛⎫+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭（23）2027=．∴随机变量(suí jī biàn liànɡ)X的分布(fēnbù)列为：X 0 1 2 P∴数学(shùxué)期望E（X）．（Ⅲ）方案(fāng àn)一，比赛采用五局三胜制；方案二，比赛采用七局四胜制．方案二对甲更有利．【点睛】本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力及逻辑推理能力，是中档题．20.已知函数，．x>时，证明：；(Ⅰ)当0f x的图象与的图象是否存在公切线（公切线：同时与两条曲线相(Ⅱ)()切的直线）？如果存在，有几条公切线，请证明你的结论．【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）曲线y＝f（x），y＝g（x）公切线的条数是2条，证明见解析【解析】【分析】（Ⅰ）当x＞0时，设h（x）＝g（x）﹣x＝lnx﹣x，设l（x）＝f（x）﹣x ＝e x﹣x，分别(fēnbié)求得导数和单调性、最值，即可得证；（Ⅱ）先确定(quèdìng)曲线y＝f（x），y＝g（x）公切线的条数，设出切点坐标并求出两个函数导数，根据(gēnjù)导数的几何意义列出方程组，先化简方程得lnm﹣1．分别(fēnbié)作出y＝lnx﹣1和y的函数图象，通过图象的交点个数来判断方程(fāngchéng)的解的个数，即可得到所求结论．【详解】（Ⅰ）当x＞0时，设h（x）＝g（x）﹣x＝lnx﹣x，h′（x）1，当x＞1时，h′（x）＜0，h（x）递减；0＜x＜1时，h′（x）＞0，h（x）递增；可得h（x）在x＝1处取得最大值﹣1，可得h（x）≤﹣1＜0；设l（x）＝f（x）﹣x＝e x﹣x，l′（x）＝e x﹣1，当x＞0时，l′（x）＞0，l（x）递增；可得l（x）＞l（0）＝1＞0，综上可得当x＞0时，g（x）＜x＜f（x）；（Ⅱ）曲线y＝f（x），y＝g（x）公切线的条数是2，证明如下：设公切线与g（x）＝lnx，f（x）＝e x的切点分别为（m，lnm），（n，e n），m≠n，∵g′（x），f′（x）＝e x，可得，化简得（m﹣1）lnm＝m+1，当m＝1时，（m﹣1）lnm＝m+1不成立；当m≠1时，（m﹣1）lnm＝m+1化为lnm，由lnx1，即lnx﹣121x=-．分别作出y＝lnx﹣1和y21x=-的函数图象，由图象可知：y＝lnx﹣1和y21x=-的函数图象有两个交点，可得方程(fāngchéng)lnm11mm+=-有两个(liǎnɡ ɡè)实根，则曲线(qūxiàn)y＝f（x），y＝g（x）公切线的条数(tiáo shù)是2条．重点中学试卷可修改欢迎下载【点睛(diǎn jīnɡ)】本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调性、极值和最值，考查方程与构造函数法和数形结合思想，考查化简运算能力，属于较难题．内容总结（1）东城区2021—2021度第二学期期末试教学统一检测高二数学本试卷共4页，共100分（2）∴A∩（∁RB）＝{x|3≤x≤5，或x＝﹣1}21。
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北京市东城区（南片）2010-2011学年下学期高二年级期末统一测试数学试卷（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共100分。
考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题，共36分）一、选择题（本大题共9小题，每小题4分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1. 已知复数i z 211+=，i z -=12，那么21z z z +=在复平面上对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限2. 45352515C C C C +++的值为A. 32B. 31C. 30D. 293. 已知()152=AB P ，()52=A P ，那么()A B P |等于 A. 754 B. 31 C. 32 D. 434. 动点()θθθθcos sin ,cos sin -+P （θ为参数）的轨迹方程是A. 122=+y xB. 222=+y xC. 122=-y xD. 222=-y x5. 图中由函数()x f y =的图象与x 轴围成的阴影部分面积，用定积分可表示为A.()⎰-33dx x f B.()()⎰⎰-+1331dx x f dx x f C. ()⎰-13dx x fD. ()()⎰⎰--3113dx x f dx x f6. 以下四图，都是同一坐标系中三次函数及其导函数的图象，其中一定不．正确的序号是A. ③④B. ①②C. ②③D. ②④7. 一个停车场有5个排成一排的空车位，现有2辆不同的车停进这个停车场，若停好后恰有2个相邻的停车位空着，则不同的停车方法共有 A. 6 种 B. 12种 C. 36种 D. 72种8. 若4ππ+≠k x ，x x x tan 1tan 14tan -+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+π，则x y tan =的周期为π。
类比可推出：设R x ∈且()()()x f x f x f -+=+11π，则()x f y =的周期是 A. π B. π2 C. π4 D. π59. 设函数()()R x x f y ∈=是可导的函数，若满足()()02≥'-x f x ，则必有 A. ()()()2231f f f ≥+ B. ()()()2231f f f ≤+C. ()()()2231f f f <+D. ()()()2231f f f >+第Ⅱ卷（非选择题，共64分） 二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分。
）10. 由数字1，2，3，4组成没有重复数字的4位数，其中奇数共有____________个。
11. 已知()()*131211N n n n f ∈+++= ，经计算得()232=f ，()24>f ，()258>f ，()316>f ，()2732>f ，推测当2≥n 时，有()>n f 2_____________。
13. 若⎪⎭⎫ ⎝⎛3,4πA ，⎪⎭⎫ ⎝⎛-6,4πB ，则=AB ____________；=∆AOB S ___________。
（其中O 是极点）则两种品牌中质量好的是____________。
（填甲或乙）15. 曲线12+=x e y 与y 轴的交点的切线方程为_______________。
三、解答题：（本大题共5小题，共40分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
） 16. （本小题满分8分）已知直线的极坐标方程为224sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛+πθρ，圆C 的参数方程⎩⎨⎧+-==,sin 22,cos 2θθy x （其中θ为参数）。
（Ⅰ）将直线的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）将圆的参数方程化为普通方程；（Ⅲ）求圆C 上的点到直线的距离的最小值。
17. （本小题满分7分） 有三张形状、大小、质地完全一致的卡片，在每张卡片上分别写上0，1，2，现从中任意抽取一张，将其上的数字记作x ，然后放回，再抽取一张，将其上的数字记作y ，令y x X ⋅=。
（Ⅰ）求X 所取各值的概率；（Ⅱ）求X 的分布列，并求出X 的数学期望值。
18. （本小题满分8分） 利用展开式()nn n r r n r n n n n n n n nb C b a C b a C b a C a C b a ++++++=+--- 222110()*N n ∈回答下列问题：（Ⅰ）求()1021x +的展开式中4x 的系数；（Ⅱ）通过给b a ,以适当的值，将下式化简：()n nnn n n nC C C C 21222210-+-+- ； （Ⅲ）把（Ⅱ）中化简后的结果作为n a ，求∑=81n na的值。
19. （本小题满分8分） 数列{}n a 满足()*2N n a n s n n ∈-=。
（Ⅰ）计算4321,,,a a a a ，并由此猜想通项公式n a ；（Ⅱ）用数学归纳法证明（Ⅰ）中的猜想。
20. （本小题满分9分） 已知函数()()()0ln 1>-+-=a xax a x x f 。
（Ⅰ）当5=a 时，求函数()x f 的单调递增区间；（Ⅱ）求()x f 的极大值；（Ⅲ）求证：对于任意1>a ，函数()0<x f 在()a ,0上恒成立。
【试题答案】第Ⅰ卷（选择题，共36分）一、选择题（本大题共9小题，每小题4分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合第Ⅱ卷（非选择题，共64分） 二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分。
） 10. 1211.22+n 12.21；2 13. 24，814. 甲15. e ex y +=2三、解答题：（本大题共5小题，共40分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
） 16. （本小题满分8分） 解：（Ⅰ）极点为直角坐标原点O ，22cos 22sin 224sin =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+θθρπθρ，所以1cos sin =+θρθρ，可化为直角坐标方程：01=-+y x 。
……3分（Ⅱ）将圆的参数方程化为普通方程：()4222=++y x 。
……………6分（Ⅲ）因为圆心为()2,0-C ， 所以点C 到直线的距离为223232120==--=d ，所以圆上的点到直线距离的最小值为2423-。
………………………8分17. （本小题满分7分）解：（Ⅰ）()953350=⨯==X P ；()9133111=⨯⨯==X P ； ()9233112=⨯+==X P ；()913314=⨯==X P 。
………………………4分（Ⅱ）所以X 的数学期望为()194929190=⨯+⨯+⨯+⨯=X E 。
…………………7分18. （本小题满分8分）解：（Ⅰ）因为()()()()++⨯+⨯+⨯=+ 28210191100100101021212121x C x C x C x()100101021x C ⨯所以()446410336021x x C =⨯，即()1021x +的展开式中4x 的系数为3360。
………3分（Ⅱ）令1=a ，21-=b ，得()n nn n nn n n nC C C C 2121121222210=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-+-+- 。
………………………6分 （Ⅲ）256255212121218281=+++=∑= n n 。
………………………………………8分19. （本小题满分8分）解：（Ⅰ）当1=n 时，1112a s a -==，所以11=a 。
当2=n 时，222122a s a a -⨯==+，所以232=a 。
同理：473=a ，8154=a 。
由此猜想()*1212N n a n n n ∈-=- …………………………………………………5分（Ⅱ）证明：①当1=n 时，左边11=a ，右边1=，结论成立。
②假设()*1N k k k n ∈≥=且时，结论成立，即1212--=k k k a ，那么1+=k n 时，()11112212++++-+=+--+=-=k k k k k k k a a a k a k s s a ，所以k k a a +=+221，所以kk k k k k a a 2122212222111-=-+=+=+-+， 这表明1+=k n 时，结论成立。
由①②知对一切*N n ∈猜想1212--=n n n a 成立。
……………………………8分20. （本小题满分9分）解：定义域为()+∞,0，且()211xax a x f ++-=' （Ⅰ）当5=a 时，()()()22225156561xx x x x x x x x f --=+-=+-='，令()0≥'x f ， 解得5≥x 或1≤x 。
故函数()x f 在()1,0，()+∞,5上单调递增。
…………2分（Ⅱ）令()0≥'x f ，即()()()011112222≥--=++-=++-x x a x x a x a x x a x a ， 当1=a 时，上式化为()0122≥-x x 恒成立。
故()x f 在()+∞,0上单调递增，无极值； 当1>a 时，解得1≤x 或a x ≥。
故()x f 在()1,0，()+∞,a 上单调递增，在()a ,1上单调故()x f 在1=x 处有极大值()a f -=11。
当10<<a 时，解得a x ≤或1≥x 。
故()x f 在()a ,0，()+∞,1上单调递增，在()1,a 上单调递减；故()x f 在a x =处有极大值()()a a a a f ln 11+--=。
………………………7分（Ⅲ）证明：当1>a 时，由（2）可知()x f 在()1,0，()+∞,a 上单调递增，在()a ,1上单调递减。
故()x f 在()a ,0上的最大值为()a f -=11。
要证函数()0<x f 在()a ,0上恒成立只要证()x f 在()a ,0上的最大值()01<f 即可。
即证01<-a 恒成立。
因为1>a ，故01<-a 。
由此可知，对任意1>a ，()0<x f 在()a ,0上恒成立。
………………………9分。