阳江一中2010年高一数学大练习3

阳江一中2010年高一数学大练习（三）
2010．11．4 下午
一、选择题（每小题5分，共8小题，满分40分）
1．已知全集U R =，则正确表示集合{1,0,1}M =-和}1,0{=N 关系的韦恩（Venn ）图是（ ）
2．函数4()log f x x =与()4x f x =的图像（ ）． A ．关于x 轴对称 B ．关于y 轴对称 C ．关于原点对称 D ．关于直线y x =对称 3
．函数2()lg(31)f x x =
++的定义域是（ ）
A.1
(,)3-+∞ B. 1(,1)3- C. 11(,)33- D. 1(,)3
-∞- 4. 设函数()23,(2)()f x x g x f x =++=，则()g x 的表达式是（ ）
A ．=)(x g 21x +
B ．=)(x g 21x -
C ．=)(x g 23x -
D ．=)(x g 27x + 5.若2log a ＜0，1()2
b
＞1，则（ ）
A ．a ＞1,b ＞0
B ．a ＞1,b ＜0 C. 0＜a ＜1, b ＞0 D. 0＜a ＜1, b ＜0
6．设集合{|12}M x x =-≤<,{|0}N x x k =-≤，若M N φ≠ ，则k 的取值范围是（ ） A ．]2,(-∞ B ．),1[+∞- C ．),1(+∞- D ．[－1，2] 7.已知c a b 2
12
12
1log log log <<，则( )
A ．c
a
b
222>>
B ．c b a 222>>
C ．a b c 222>>
D ．b
a c 222>>
8．已知函数⎩⎨⎧>≤=+.0,log ,
0,3)(2
1x x x x f x 若()30>x f ，则0x 的取值范围是( )
A ．80>x .
B ．00<x 或80>x .
C ．800<<x .
D ．00<x 或800<<x . 二、填空题（每小题5分，共6小题，满分30分）
9．指数式3
1
27=
x
转化成对数式是 10．已知集合}2,1{=A ，)}2,1{(=B ，则=B A 11．函数y = ．12. 函数x y a )12(log -=的图像如右图所示，则实数a 取值范围是 ．
13．已知b a ==5log ,3log 22则用,a b 表示2log 1514．若奇函数()f x 在)0,(-∞是增函数，且0)1(=-f 的解集是 。

三、解答题（15、16小题各12分，其余各小题各14分，满分80分；要求写出详细的解答过程。

） 15．（本小题满分12分）
计算：(1) 3log 7log 4log 473⨯⨯
（2）()0
3
23
12
3
2
8.4125127318-+⎪
⎭
⎫
⎝⎛--⎪
⎭
⎫ ⎝⎛+-
-
（3）)8(log log 16log 232ln 8++e ；
16．（本小题满分12分）
已知集合},,1{},21,1,1{2
y y B x x A =++=，若B A =，求实数y x ,的值。

17．（本小题满分14分）
已知函数x
x
x f -+=11lg
)(， （Ⅰ）求()f x 的定义域；
（Ⅱ）判断()f x 的奇偶性并给予证明；
18．（本小题满分14分）
已知二次函数1)(2++=bx ax x f 在区间),1(+∞-是单调递减函数，在区间)1(--∞，
是 单调递增函数，且()f x 函数图像过点)3,1(-. （Ⅰ）求()f x 的解析式；
（Ⅱ）试求函数)(x f 在区间)3,1[上的取值范围；
（Ⅲ）若x x x x g ln 62)(2---=，试讨论函数)()()(x g x f x h -=的单调性,并给出证明。

19．（本小题满分14分）
电信局为了配合客户不同需要，设有A 、B 两种方案，这两种方案应付话费（元）与通话时间（分钟）之间的关系如图所示（CD MN //，提示：若MN 所在直线的方程为m kx y +=,则CD 所在的直线的方程n kx y +=。

）
（Ⅰ）若通话时间为2个小时，按方案A 、B 各付话费多少元？
（Ⅱ）方案B 从500分钟以后，每分钟收费多少元？ （Ⅲ）通话时间在什么范围内方案B 才会比方案A 优惠？
20．（本小题满分14分）
定义在R 上的函数)(x f 满足：如果对任意R x x ∈21,，都有)]()([2
1
)2(2121x f x f x x f +≤+， 则称函数)(x f 是R 上的凹函数。

（Ⅰ）已知二次函数)0,()(2≠∈+=a R a x ax x f ，求证：当0>a 时，函数)(x f 是R 上的凹函数。

（Ⅱ）若函数)(x f 对于任意R x ∈满足x x x f x x x f f +-=+-2
2)(])([，
①若3)2(=f ，求)1(f ；若a f =)0(，求)(a f
附加题：② 设有且仅有一个实数0x ，使得00)(x x f =，求函数)(x f 的解析表达式。

应付话费y
阳江一中2010年高一数学大练习（三）参考答案
2010．11．4
一、选择题1~8 BDBB DBAA 二、填空题 9．31log 27=x 10．∅ 11．),1[+∞ 12．12
1
<<a 13．
b
a +1
14．),1()1,(+∞--∞ 三、解答题
15．解：（1）原式14
lg 3
lg 3lg 4lg 3log 4log 43=⨯=
⨯= （2）原式()
()
15
33
23
2
3-3
132
13
2
3+--+=---）（）（
142814153322122-=-=+--+=
（3）原式)2(log log 22log 323423
++=3
133log 23
43=++=
16．解：因为B A =，所以元素相同，所以
⎩⎨⎧=+=+2
211y
x y
x ① 或⎩⎨⎧=+=+y x y x 2112 ② 解①得⎩⎨⎧==10y x 由集合元素互异性，所以⎩
⎨⎧==10
y x 不满足，舍去
解②得⎩⎨⎧==10y x （舍去） 或者⎪⎩
⎪⎨
⎧
-=-=2143y x 易验证，这时满足条件。

所以⎪⎩
⎪⎨
⎧-
=-=2143y x 为所求 17．解：（1）要使得x x x f -+=11lg )(有意义，则
011>-+x
x
解得11<<-x ，所以()f x 的定义域是)1,1(-
（2）设对于任意的)1,1(-∈x ，则
)(11lg )11lg(11lg )(1)(1lg
)(1x f x
x
x x x x x x x f -=-+-=-+=+-=---+=--
所以函数()f x 是奇函数
18．解（1）由条件易知二次函数1)(2++=bx ax x f 的对称轴是1-=x ，
所以12-=-
a
b
，所以a b 2=，即12)(2++=ax ax x f 又()f x 函数图像过点)3,1(-
所以312)1(=+-=-a a f ，解得2-=a
所以142)(2
+--=x x x f
（2）因为()f x 在),1(+∞-是单调递减函数，所以()f x 在区间]3,1[上递减函数，
所以)1()()3(f x f f ≤<
而2913432)3(2-=+⨯-⨯-=f ，511412)1(2
-=+⨯-⨯-=f 所以5)(29-≤<-x f
（3）)ln 62(142)(2
2x x x x x x h ----+--=x x x x x ln 621422
2
++++--=
所以12ln )(++=x x x h ，定义域),0(+∞ 设任意的1x 、),0(2+∞∈x ，且21x x <，则
=-)()(12x h x h )12(ln 12ln 1122++-++x x x x
11222ln 2ln x x x x --+=
1
2
12ln
)(2x x x x +-= 因为21x x <，所以012>-x x 又1x 、),0(2+∞∈x ，且
112>x x ，所以0ln 1
2>x x
所以=-)()(12x h x h 0ln )(21
2
12>+-x x x x ，即)()(12x h x h > 所以)(x h 在定义域上是单调增函数
19．解：由图可知，M （60,98）、C （500,168）、N(500，230)，因为CD MN //，
设方案A 通话x 分钟所应付话费为)(x f ，则
当600<≤x 时，)(x f =98
当60≥x 时，设m kx x f +=)(，则把M （60,98）、N(500，230)代入可得
8010
3
)(+=
x x f 所以⎪⎩⎪
⎨⎧≥+<≤=60,8010
3600,98)(x x x x f
设方案B 通话x 分钟所应付话费为)(x g ，则有条件可得
⎪⎩⎪
⎨⎧≥+<≤=500,1810
3
5000,168)(x x x x g （Ⅰ）通话两个小时，代入上方程易得方案A 、B 费用分别为116，168元
（Ⅱ）3.0)1()(=+-x g x g （500>x ）所以B 方案500分钟后，收费是3.0元每分钟 （Ⅲ）由图可知，设MN 与168=y 的交点为E )168,(0x ，则当00x x <≤，时，)()(x g x f <
当0x x >时，)()(x g x f >即这时选择B 方案更优惠点。

把点E )168,(0x 代入80103)(+=x x f 解得3
880
0=x 所以当3
880
>x 时，选择B 方案比A 方案更优惠点 20．解：
（Ⅰ）证明：对任意R x x ∈21,，因为0>a ，
所以)2
(
2)]()([2
121x x f x f x f +-+
]2
)2([22
122122
2121x x x x a x ax x ax +++-+++= ]2[2
1212
2212
22
1x x x x a ax ax ++-+= 0)(2
1
]2[2
1221212
221≥-=-+=
x x a x x x x a
所以)]()([2
1
)2(
2121x f x f x x f +≤+， 所以当0>a 时，函数)(x f 是R 上的凹函数
（Ⅱ）①因为)(x f 对于任意R x ∈满足x x x f x x x f f +-=+-2
2)(])([
所以22)2(]22)2([2
2
+-=+-f f f
又由3)2(=f ，所以223]223[2
2+-=+-f ，即1)1(=f 若a f =)0(，则00)0(]00)0([2
2+-=+-f f f ，即a a f =)(
附加题：②因为任意R x ∈，有 x x x f x x x f f +-=+-2
2
)(])([
又因为有且仅有一个实数0x ，使得00)(x x f = 所以任意R x ∈，有x x x f x +-=20)( 上式中，令0x x =，则02
000)(x x x f x +-= 而因为00)(x x f =
所以02000x x x x +-=，即002
0=-x x ，所以00=x 或10=x 若00=x ，则x x x f +-=2
)(0，即x x x f -=2)(，
但是方程00)(x x f =有两个不同的解，所以00=x 不满足条件。

若10=x ，则x x x f +-=2
)(1，即1)(2
+-=x x x f 易验证满足题设。

综上所述，所求函数解析式是1)(2
+-=x x x f。