第二次课;误差
1.《计算方法》-误差
《计算方法》教案（第一章误差）选用教材：普通高等教育“十一五”国家级规划教材《计算方法引论》（第三版）徐箤薇孙绳武编著主讲老师：刘鸣放2010年3月于河南大学一．基本内容提要1. 误差的来源2. 浮点数、误差、误差限和有效数字3. 相对误差和相对误差限4. 误差的传播5. 在近似计算中需要注意的一些问题二．教学目的和要求1. 熟练掌握绝对误差、绝对误差限、相对误差、相对误差限和有效数字的概念及其相互关系；2. 了解误差的来源以及误差传播的情况，掌握在基本算术运算中误差传播后对运算结果误差限的计算方法和函数求值中的误差估计；3. 理解并掌握几种减少误差避免错误结果应采取的措施，了解选用数值稳定的算法的重要性。
三．教学重点1.绝对误差、绝对误差限、相对误差、相对误差限和有效数字的概念及其相互关系，误差传播，减少误差避免错误结果应采取的措施。
四．教学难点1.误差传播；2. 数值稳定算法的选用。
五．课程类型新知识理论课；六．教学方法结合课堂提问，以讲授为主。
七．教学过程如下：Introduction1.《计算方法》课程介绍计算方法是用数值的方法研究研究科学与工程中的计算问题；它的内容主要包括：近似值的计算和误差估计两个方面；主要工具：计算机；地位：这门课已成为工科各专业，特别是计算机科学与技术、土木工程、机械、数学等专业的必修基础课。
2.发展状况几十年来，计算方法效率的提高是与计算机速度的提高几乎同步地、同比例地前进的。
这里简述一下国家重点基础研究计划项目（简称973项目）“大规模科学计算研究”（1999-2004）的主要内容，可以帮助同学们了解我国科学计算界所关心的问题。
此项目由石钟慈院士等人为首组织，集中了我国计算数学、计算物理、计算力学、计算机、以及材料、环境能源等领域60多名专家，跨学科，跨部门通力合作研究以下几个方面的主要内容：（1）复杂流体的高精度计算，含天气预报数值模拟研究；（2）新材料的物理性质机理多尺度计算研究，含超导、超硬度合金等问题的计算研究；（3）地质油藏模拟与波动问题及其反问题计算研究；（4）基础计算方法的理论创新与发展；（5）大规模计算软件系统的基础理论和实施。
分析化学课后答案
分析化学课后答案第二章误差及分析数据的统计处理思考题答案1正确理解准确度和精密度，误差和偏差的概念。
答：准确度表示测定结果和真实值的接近程度，用误差表示。
精密度表示测定值之间相互接近的程度，用偏差表示。
误差表示测定结果与真实值之间的差值。
偏差表示测定结果与平均值之间的差值，用来衡量分析结果的精密度，精密度是保证准确度的先决条件，在消除系统误差的前提下，精密度高准确度就高，精密度差，则测定结果不可靠。
即准确度高，精密度一定好，精密度高，准确度不一定好。
2下列情况分别引起什么误差？如果是系统误差，应如何消除？（1）砝码被腐蚀；答：系统误差。
校正或更换准确砝码。
（2）天平两臂不等长；答：系统误差。
校正天平。
（3）容量瓶和吸管不配套；答：系统误差。
进行校正或换用配套仪器。
（4）重量分析中杂质被共沉淀；答：系统误差。
分离杂质；进行对照实验。
（5）天平称量时最后一位读数估计不准；答：随机误差。
增加平行测定次数求平均值。
（6）以含量为99%的邻苯二甲酸氢钾作基准物标定碱溶液；答：系统误差。
做空白实验或提纯或换用分析试剂。
3用标准偏差和算术平均偏差表示结果，哪一个更合理？答：标准偏差。
因为标准偏差将单次测定的偏差平方后，能将较大的偏差显著地表现出来。
4如何减少偶然误差？如何减少系统误差？答：增加平行测定次数，进行数据处理可以减少偶然误差。
通过对照实验、空白实验、校正仪器、提纯试剂等方法可消除系统误差。
5某铁矿石中含铁39.16%，若甲分析结果为39.12%，39.15%，39.18%，乙分析得39.19%，39.24%，39.28%。
试比较甲、乙两人分析结果的准确度和精密度。
答：通过误差和标准偏差计算可得出甲的准确度高，精密度好的结论。
某1=(39.12+39.15+39.18)÷3=39.15(%)某2=(39.19＋39.24＋39.28)÷3=39.24(%)E1=39.15－39.16=-0.01(%)E2=39.24－39.16=0.08(%)6甲、乙两人同时分析同一矿物中的含硫量。
误差初步理论
误差初步理论（1）（选自《资料分析模块宝典》五版）在我们后面将要介绍的“十大速算技巧”里，我们可以粗略的分成两类：一类称为“无偏速算”，包括直除法、放缩法、化同法、插值法、差分法、综合法六种方法，这样的方法带我们得到的结果是无偏的、确定的；另一类称为“有偏速算”，包括估算法、截位法、凑整法这三种方法，这样的方法往往都是以“截位”为基本操作方式，计算的结果往往是有偏差、非确定的。
事实上，不管是哪种“无偏速算”，我们都经常需要通过“截位”来简化计算，于是也会存在误差。
因此，计算误差在资料分析的速算里是普遍存在的，那么对速算方法中存在的误差进行有效的分析和利用，就是我们学习的重要内容。
首先+我们从一个简单的例子开始，来一步步阐述费们的课差初步理论:4S-^ 531?I4~5在上面这个计亶中，我们对数字进讦了近似.从而简化了计算饋+这是资料分析速算当中经常使用的方法.但针对上面这个过程，智生不禁会提出下面这样四个垂要的问题：1. 这样近似的结果可靠吗？结果是变大还是变小了？误差有多大？2. 在什么情形下可以这样近似？又在什么情形下，这样近似会得到错误的答案?3. 还有没有其它方法，可以使计算量变得更小，但又不要影响最后的答案？4. 还有没有其它方法，在不增加计算量的前提下，可以得到更高的精度？带着这样四个问题，我们先学习什么叫“相对误差率”、绝对误差与相对误差率如果真实值为10，经过估算得到的结果为11，那么这个结果是有误差的。
通过计算“11-10=1 ”可知：我们估算结果的误差为“ 1”，我们把这样的误差称为“绝对误差”，即估算值与真实值的差。
然而，“绝对误差”在误差理论当中并不是最重要的概念，我们更加需要分析的是估算值与真实值之间的相对差异，我们把“绝对误差十真实值”称为估算的“相对误差率”，也常常简称为“相对误差”，这是我们误差理论当中最重要的概念，也是我们研究和学习的重点。
譬如将“ 10”估算为“11”的相对误差即为：（11-10）十10=10%。
误差理论与数据处理第五版课程设计
误差理论与数据处理第五版课程设计一、实验目的本次课程设计旨在帮助学生深入了解误差理论及其应用，并通过实验学习数据处理方法，掌握误差分析的原理、方法和技能，提高学生的实验能力。
二、实验原理误差是指在测量或实验中取得的数据与真值之间的差异。
误差的大小和形式取决于许多因素，包括仪器的精度、环境条件、测量技术和操作人员的技能。
误差理论是研究误差大小和形式及其影响因素的一门学科。
误差分析的基本原理是通过设计实验、收集数据、分析数据和计算误差来确定测量结果的可靠程度和精确度。
数据处理是一种重要的实验技能，它涉及对实验数据进行收集、整理、分析和解释，从而得出有效信息和结论的过程。
数据处理方法包括平均值、标准差、方差、概率分布和回归分析等。
三、实验内容1.实验器材：万能表、示波器、励磁电源、电容、电感、电阻等。
2.实验步骤：1.熟悉实验器材和测量原理，了解误差和精度的概念。
2.设计实验方案，了解实验误差来源，并采取相应的措施进行误差分析和控制。
3.收集实验数据，选择合适的数据处理方法进行分析和解释。
4.计算并比较测量结果的相对误差和标准偏差，评估测量结果的可靠程度和精确度。
5.统计实验数据，画出数据分布图，形成概率分布和回归分析模型。
6.总结实验结果，分析实验误差的影响因素，提出改进方案。
四、实验要求1.学生需按照实验步骤认真做好实验，保证数据的准确性和可靠性。
2.学生需理解实验原理，熟练掌握实验器材的使用方法和实验技巧。
3.学生需采用合适的数据处理方法，保证数据的质量和准确性。
4.学生需按照实验步骤撰写实验报告，详细描述实验过程和结果，并进行合理的分析和解释。
五、实验评分标准1.实验技能（40分）：包括仪器的使用、实验操作的流畅性、误差的控制和数据处理技能等。
2.实验思路（20分）：包括实验方案的设计、实验数据的采集和分析方法的选择等。
3.实验报告（40分）：包括实验步骤的描述、实验结果的分析和解释等。
六、实验结论本次课程设计通过设计实验、收集数据、分析数据和计算误差等实验步骤，掌握误差分析的原理、方法和技能。
《误差理论课程设计指导书》
《误差理论与测量平差基础课程设计》指导书编写：张建霞闽江学院地理科学系2015年3月适用专业：测绘工程（6、7）学时数：1周一、课程设计的性质、目的和任务《误差理论与测量平差课程设计》是完成测量平差基础课程教学后进行的综合应用该课程基本知识和技能的一个教学环节，通过课程设计培养学生解决生产实际问题的能力和所学基本知识的综合应用能力。
二、课程设计的基本要求1.巩固和加深课堂所学理论知识，培养学生理论联系实际、实际动手能力；2.熟练掌握平差编程语言的使用；3.掌握利用条件平差和间接平差进行平差实例计算。
三、课程设计主要内容与安排利用VB可视化编程软件并结合Matlab软件实现平差中条件平差和间接平差的程序编写，并通过水准测量实例验证所编写程序的正确性。
基本内容与要求如下：1.条件平差原理与计算步骤；2.间接平差原理与计算步骤；3.条件平差的算法流程；4.间接平差的算法流程；5.条件平差与间接平差编程实现6.水准平差+GPS平差实例验证程序的正确性。
四、进度安排五、课程设计所需的仪器设备1、具备容纳60人以上的实验机房2、每台电脑上需配备VB6.0软件以及Matlab软件六、课程设计考核方式成绩按百分制记载。
评定学生成绩主要依据以下几项：1.平时成绩。
主要包括：出勤率、态度、是否遵守学校及教师所规定的各项纪律等。
该项总分为30分。
2.报告成绩。
主要包括：报告的编写格式和内容是否符合要求，分析问题、解决问题的能力及有无独特见解，是否工整清晰，数据计算是否正确等。
该项总分为40分。
3.考核成绩。
使用软件的编程能力。
主要包括：对理论知识的掌握程度，将所学理论用计算机编程语言加以编程实现。
该项总分为30分。
七、参考资料《误差理论与测量平差基础》，武汉大学出版社，2003附录一：平差课程设计主要操作内容一、vb 编程学习1、启动Visual Basic6.0，创建一个“标准EXE ”类型的应用程序，要求：在屏幕上显示“欢迎学习Visual Basic ”，并在“请输入你的姓名”标签后的文本框Text1中输入姓名；单击“你输入的姓名是”按钮，在Label3标签显示在文本框Text1输入的姓名。
误差理论与测量平差课程设计
误差理论与测量平差是测量领域中重要的理论基础，课程设计可以帮助学生深入理解相关理论，并通过实际操作加深对知识的理解和掌握。
以下是关于误差理论与测量平差课程设计的一般步骤和内容：
1. 课程设计目标：
-深入理解误差理论的基本概念和原理。
-掌握测量平差的方法和技巧。
-能够运用所学知识解决实际测量中的问题。
2. 课程设计内容：
-误差理论：包括误差类型、误差传播规律、误差分析方法等。
-测量平差：包括最小二乘法、最小二乘平差、参数平差等内容。
-实例分析：选取实际测量数据，进行误差分析和平差处理，让学生能够将理论知识应用到实际情况中。
3. 课程设计步骤：
-确定课程设计题目和内容范围，包括理论学习和实践操作部分。
-提供相关资料和参考书目，引导学生进行文献查阅和理论学习。
-组织实验或案例分析，让学生通过实际操作了解测量平差的过程和方法。
-引导学生进行数据处理和结果分析，培养他们的问题解决能力和实践能力。
-撰写课程设计报告，总结理论学习和实际操作的经验，提出改进建议和思考。
4. 课程设计要点：
-强调理论联系实际，引导学生将所学知识应用到实际测量中。
-注重实践操作，通过实验和案例分析加深学生对知识的理解和掌握。
-鼓励学生团队合作，培养他们的合作意识和团队精神。
-培养学生的问题分析能力和创新思维，在课程设计中注重培养学生的实践能力和创新意识。
通过误差理论与测量平差课程设计，可以帮助学生系统地学习和掌握相关知识，提高他们的实践能力和问题解决能力，为他们未来从事测量工作打下坚实的基础。
大物实验----误差理论与数据处理
随机误差具有以下的性质： （1）单峰性 绝对值小的误差出现的机会（概率） 大，绝对值大的误差出现的机会（概率）小。 （2）对称性 大小相等、 符号相反的误差出现的概 率相等。 （3）有界性 非常大的正 负误差出现的概率趋于零。 （4）抵偿性 当测量次数 非常多时，由于正负误差 相互抵消，各误差的代数 随机误差的正态分布曲线 和趋于零。
（1）理论分析法 观测者凭借有关某项实验的物理理论、实验 方法和实验经验等对实验理论公式的近似性、所 采用的实验方法的完善性等进行研究与分析。 （2）对比法 （3）数据分析法
4.系统误差的减小或消除
（1）利用标准器具减消系统误差； （2）修正已经确定的定值系统误差； （3）采用合理、规范的测量步骤减消系统误差； （4）选择或改进测量方法减消系统误差。
根据统计理论可得：
f ( ) 1 e 2
2 2 2
式中σ是一个取决于具体测量条件的常数称为标 准误差（或称均方误差）。 σ反映的是一组测量数据的离散程度，常称 它为测量列的标准误差；它的数学表达式为：
( xi a ) 2 lim n n
可以证明
f ( )d 0.683 68.3%
称为绝对误差。 相对误差是误差与真值之比；通常用标准偏 差和平均值之比作为相对误差的估计值。相对误 差常他用符号 E 来表示，并表示成百分数。
三.过失误差(异常值)的剔除 1.拉依达准则：适用于测量次数n较大的测 量。 2.肖维涅准则： x cn S (x) （16页） 3.格拉布斯准则：x g( n, P ) S ( x)
（3）人的因素 由于观测者本人的生理或心理特 点所造成的误差。 （4）环境 由于环境条件如温度、气压、湿度的 变化等所引起的误差。
第2课时 时间的测量和误差
第2课时时间的测量和误差【教学目标】一、知识与技能1．知道时间的单位和测量工具，能正确测量时间。
2．知道测量有误差，理解误差和错误的区别。
二、过程与方法1．体验通过日常生活经验或自然现象粗略估测时间。
2．通过实验探究活动，熟悉停表（秒表）、石英钟等时间测量工具的正确使用。
三、情感、态度与价值观认识测量时间的工具及其发展变化的过程，培养对科学技术的热爱。
【教学重点】时间的单位和测量工具。
【教学难点】误差和错误的区别，减小误差的有效办法。
【教具准备】多媒体课件、沙漏、石英钟、停表、刻度尺、电子表等。
【教学课时】1课时【巩固复习】教师引导学生复习上一节内容，并讲解学生所做的课后作业（教师可针对性地挑选部分难题讲解），加强学生对知识的巩固。
【新课引入】师同学们，我们在上节课学习了长度的测量，知道了测量长度的工具——刻度尺的正确使用方法。
这节课我们一起来学习时间的测量。
【进行新课】时间的单位和测量工具师：请大家结合平时的观察，说说时间的单位和测量工具有哪些？生：时间的单位有小时、分和秒；测量时间的工具有手表、钟、秒表等。
师：回答正确。
那谁能说出时间的国际单位是什么呢？学生说法不一，有的说是小时，有的说是秒，还有的说是分。
教师引导，最后指出，在国际计量组织中规定，时间的国际单位是秒，用符号s表示。
师：平时时间的单位有：小时、分、天、周、月、年、世纪等。
那小时、分与秒之间的换算关系如何？（至于小时、分、秒的符号，教师可以提醒学生，分别取它们这些英语单词的头一个字母或前三个字母，便于记忆。
）生：1h=60min，1min=60s。
板书：1．时间的国际单位：秒，符号s。
2．时间的其他单位：年、月、日、小时（h）、分（min）、毫秒（ms）、微秒（μs）等。
3．时间单位的换算关系：1h=60min，1min=60s。
教师可以就1s时间的规定结合教材P13页《小资料》做简单的介绍，鼓励学生利用课余时间搜集这些方面的资料，从而拓宽学生的视野，调动学生的学习兴趣。
八年级物理上册第一章机械运动第1节长度与时间的测量课时2教案
第1节长度和时间的测量课时2 时间的测量和误差课题时间的测量与误差授课人教学目标知识与技能1。
会选用适当的工具测量时间.2.知道测量存在误差，知道减小误差的方法.过程与方法通过实验，学习停表的正确使用方法.情感态度与价值1.通过学习简单的测量知识，体会测量在物理学中的重要性，养成细致、严谨的学习习惯。
2.认识测量长度和时间的工具及其发展变化的过程，养成对科学技术的热爱.重难点重点时间的测量.难点机械停表读数；误差与错误的区别。
教学教师用：多媒体课件、石英钟、电子手表、J1202机械停表（精确度0.1 s）、J1202电子停表（精准备确度0.01 s）等．学生用：J1202机械停表(精确度0.1 s）、J1202电子停表（精确度0。
01 s)等。
教学步骤师生活动设计意图情境导入图1—1.2-1所示为学校运动会上百米赛跑的一幕,百米赛跑通常以运动员运动时间的长短来进行排名，因此需要进行时间的测量。
上节课我们已经学习了长度的测量，这节课我们再共同学习时间的测量。
图1—1。
2—1情景引入，从生活走向物理,激发学生的学习兴趣。
学点1：时间的测量【自学辅导】阅读教材P13～14，回答下面问题：问题1：人们最早认识的时间单位是什么？答：天.读数训活动一:探究新知问题2：在国际单位制中,时间的基本单位是什么？除此之外，还有哪些常用的时间单位?它们之间的关系是什么？答：在国际单位制中，时间的基本单位是秒，符号是s；常用的时间单位还有小时(h）、分(min)；它们之间的关系是1 h=60 min=3600 s，1 min=60 s。
问题3:在古代，人们用什么来计时？现代社会中，常用的计时工具有哪些?还有什么更精密的计时工具?答：在古代，人们利用日晷、沙漏等来计时；在现代生活中，人们常用钟、手表、停表、手机等计时；更精密的计时工具有铯原子钟。
【练一练】1。
图1-1.2—2所示机械停表的读数是32 s.练为后面的实验打好基础。
2022八年级物理上册第一章机械运动1.1长度和时间的测量第2课时时间的测量误差习题课件人教
8．小丽在测一个物体的长度时记录的数据为14.51 dm、
14.50 dm、14.53 dm、14.11 dm，则物体长度测量值
应记为( )
A．14.412 5 dm
【点拨】测量摆球摆动20次所用的时间，再计算摆 球摆动一次所用的时间，误差较小。 【答案】20；最低；最大
方法技巧练 不习惯读书进修的人，常会自满于现状，觉得没有什么事情需要学习，于是他们不进则退2022年4月28日星期四2022/4/282022/4/282022/4/28
读书，永远不恨其晚。晚比永远不读强。2022年4月2022/4/282022/4/282022/4/284/28/2022 正确的略读可使人用很少的时间接触大量的文献，并挑选出有意义的部分。2022/4/282022/4/28April 28, 2022 书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。
Байду номын сангаас
5．如图所示的是小明戴的电子表，其显示的时刻是 _1_0_：__0_9_：__3_6_。
6．关于错误和误差，下列说法正确的是( C ) A．误差就是错误 B．误差和错误都可以避免 C．误差只能减小，但不能消除 D．误差是在测量过程中不遵守测量规则造成的
7．用刻度尺测量物理课本的长，以下哪个是产生误差的 原因( B )
7．【教材P15T1改编】为了减小测量误差，某同学采用如 图方法测量硬币的直径，测得硬币的直径D＝ _________ cm。
【点拨】图中刻度尺的分度值是 1 mm ，4 枚硬币的直 径和为 7.40 cm，则 1 枚硬币的直径为7.404 cm＝1.85 cm。 【答案】1.85
误差抵消调整法课程设计
误差抵消调整法课程设计一、课程目标知识目标：1. 学生能理解误差抵消调整法的概念，掌握其在解决实际问题中的应用。
2. 学生能够描述误差产生的原因，并运用相关公式进行误差分析。
3. 学生能掌握误差抵消调整法的具体步骤，将其应用于实际测量中。
技能目标：1. 学生能够运用误差抵消调整法对测量数据进行处理，提高测量精度。
2. 学生具备分析测量误差的能力，能够针对不同误差类型提出相应的解决方法。
3. 学生能够运用所学知识解决实际问题，提高实践操作能力。
情感态度价值观目标：1. 学生在学习过程中，培养严谨的科学态度和良好的合作精神。
2. 学生能够认识到误差在测量中的普遍存在，学会尊重事实，客观评价测量结果。
3. 学生通过本课程的学习，增强对科学研究的兴趣，激发探索精神和创新意识。
课程性质分析：本课程属于学科实践类课程，注重理论知识与实践操作的结合，旨在培养学生的实际应用能力。
学生特点分析：本年级学生具备一定的物理基础知识，具有较强的逻辑思维能力和动手操作能力，但可能对误差分析及处理方法掌握不足。
教学要求：1. 教师应注重理论与实践相结合，通过实例讲解，引导学生掌握误差抵消调整法。
2. 教师要关注学生的个体差异，提供针对性的指导，帮助学生克服学习难点。
3. 教学过程中，注重启发式教学，激发学生的主动思考，提高课堂参与度。
二、教学内容1. 误差基本概念：介绍误差的定义、分类及表示方法，分析误差产生的原因及对测量结果的影响。
参考教材章节：第一章第三节2. 误差分析：讲解误差的传播定律，引导学生运用公式进行误差分析和计算。
参考教材章节：第二章第一节3. 误差抵消调整法原理：阐述误差抵消调整法的原理，举例说明其在实际测量中的应用。
参考教材章节：第三章第二节4. 误差抵消调整法步骤：详细介绍误差抵消调整法的具体步骤，包括数据的收集、处理和结果的评估。
参考教材章节：第三章第三节5. 实践操作：组织学生进行实际操作，运用误差抵消调整法解决具体问题，提高测量精度。
小学科学论文：浅谈小学科学课中减小实验数据误差的策略
浅谈小学科学课中减小实验数据误差的策略在小学科学实验教学中，经常要学生通过观察、实验等探究活动去得出正确的数据。
通过数据去解释相关的问题和现象。
可以说正确的数据是最有说服力的科学证据之一。
它可以帮助学生真正的理解科学的本质，培养学生严谨、细致的科学品质。
可是在科学的教学过程中由于种种的原因，很多科学课中得出的实验数据却是五花八门，有些是误差比较大的数据，有些则是完全不正确的数据。
这些数据不仅对于我们去解释问题没有帮助，反而会把学生带到死胡同里。
所以我们要尽量避免错误的数据产生，努力减小误差，使学生的实验真正的能解决科学的疑问。
那么如何才能避免不正确的数据产生，从而减少实验的误差。
结合自己的课堂经历，我想可以从以下几方面做起。
一、通过数据证明的实验，方法指导一定要到位我们很多科学老师在上课时都只关注到“科学课堂主要以学生为主体，让学生通过自己的实验得出数据，解决问题。
”上课时实验目标提出来以后就让学生自己去做，忽略了实验方法的指导。
导致学生用错误的实验方法得出错误的实验数据。
五年级科学《热起来了》这一课有一个实验是测量衣服能否产生热量，实验很简单，让学生把温度计放在衣服里，观察衣服里的温度计温度是否发生变化。
在教学第一个班级时，我认为这个实验比较简单，提出了实验问题，就让小组自己动手完成，结果却让我大吃一惊，7个小组只有两个小组的数据是不能产生热量，还有5个小组的数据是不断上升的。
在小组交流讨论时，显然这样的数据是不能证明衣服不能产生热量的。
交流分析原因时，问题就出现了，有些小组在测量时用手拿着测量的衣服，导致手的热量不停的传到衣服上从而使温度计不断上升。
还有些小组在拿温度计时，手碰到了温度计的液泡，这些原因都是在指导不到位的情况下产生的，在教学第二个班的时候，对实验前作了详细的指导，最后的数据也证明了我们的猜测。
《摆的研究》是一节很多老师都会拿来上公开课的科学课，学生通过改变摆的长短和改变摆锤的重量来测出一定时间内摆动的次数。
合肥工业大学版--误差理论与数据处理课总复习
第一节 随机误差
四、测量的标准差
12 22 ... n 2
n
n
2 i i 1
n
1、贝塞尔(Bessel)公式
vi 2
n 1
2、别捷尔斯法
1.2533 | vi |
n(n 1)
3、极差法
n xmax xmin
i 1 n
当
n
li
nx
，求得的 x 为凑整的非准确数时，
vi为负，
i 1
其大小为求
时的x 亏数。
i 1
②残差代数和绝对值应符合：
当n为偶数时，
n
vi
i 1
nA 2
；
当n为奇数时，n vi i 1
( n 0.5) A 。
2
式中的A为实际求得的算术平均值 x 末位数的一个单位。
误差理论与数据处理
第二节 随机误差的合成
一、标准差合成
合成标准差表达式:
q
q
(ai i )2 2 ijaia j i j
i 1
1i j
q个单项随机误差，标准差 1, 2, , q
误差传播系数 a1, a2, , aq
由间接测量的显函数模型求得ai f xi
i 1
jK 1
i 1
jK 1
若Δ显著不为0，则认为测量列存在线性系统误差。
n1
u vivi1 v1v2 v2v3 vn1vn i 1 u n 1 2
认为该测量列中含有周期性系统误差
误差理论与数据处理
第二节 系统误差
4、不同公式计算标准差比较法
对等精度测量，可用不同分式计算标准差，通过比较以发现系统
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★误差-error ：分析结果与真实值之间的差值。
根据误差的性质与产生原因可分为两类(系统误差)和(随机误差)
一、系统误差-Systematic error(可测误差、恒定误差)
1、产生原因：它是由分析测定过程中某些经常的、固 定的因素引起的，使测定结果系统的偏高或偏低。 2、系统误差的特征：(单向性)、(重复性) 3、分类
（1）对照试验：用于检验和消除方法误差
方法对照试验：用标准方法与新方法对同一试样进行分析。
做法
样品对照试验：用新方法对已知含量的纯试样进行分析。
（2）空白试验：用来检验和消除试剂误差
做法:用蒸馏水代替样品不加试样，按照测试样的方法进行测定。
（3）校准仪器：用于消除仪器误差。
3、减小随机误差
增加平行测定次数。一般为３－５次
保留三位有效数字
(4)．乘除法：以有效数字位数最少的数为准（即以 相对误差最大的数为准） 例：0.0121 × 25.64 × 1.05782 = 0.328 ？
E ±0.0001 ±0.01 ±0.00001 Er ±0.8% ±0.4% ±0.009% 保留三位有效数字
（5）重量分析和滴定分析中，测量数据多于四位 有效数字时，计算结果只需保留4位有效数字。
3、样本标准偏差与相对样本标准偏差
几个概念 (1)母体(总体)：研究对象的全体。 (2)子样(样本)：从总体中随机抽取出来的一部分。
(3)样本容量：样本中所含测量值的数目。
无限次测量：测量值向总体平均值（真值）集中
总体标准偏差
2 x i
n
了解
无限次测量，对总 体平均值的离散
x －T= - 0.06g
T = 0.042g, x－ T =0.002g
x T A : Er 100% =－0.06/62.38= - 0.1% T x T B : Er 100% =0.002/0.042=5% T
结论：1、误差有正负和单位 2、准确度最好用相对误差表示 3、质量大，相对误差小，准确度比较高 4、在实际工作中常用千分率(‰)表示相对误差
V
★滴定管(量至0.01mL):26.32mL(4), 3.97mL(3) ★容量瓶:100.0mL(4),250.0mL (4) ★移液管:25.00mL(4); ☆ 量筒(量至1mL或0.1mL):26mL(2), 4.0mL(2)
二、有效数字的修约-rounding和计算规则 1、修约规则：“四舍六入五留双” 5后有非0数字，则进位 5后无非0数字，则使最后一位成为偶数 例：0.37456 ， 0.3745 均修约至三位有效数字 0.375
准确度的先决条件。
四、提高分析结果准确度的方法
1、选择合适的分析方法（了解）
(1)根据样品含量选择：>0.1g用化学分析方法，<0.01g用 仪器分析方法。
(2)灵敏度的选择：测量微量组分时应该根据准确度的要求选
用适当的灵敏度。 (3)分析方法选择：根根据准确度的要求来选择适当方法。
2、减小系统误差
(1)方法误差：由所采用的分析方法本身引入的。 (2)仪器误差：由仪器本身不准确或未经校准引 入的。 (3)试剂误差：由试剂不纯或去离子水含有微量 杂质引入的。
(4)操作误差：由分析工作者在正常操作条件下 掌握操作规程和控制条件稍有出入而引入的。
二、随机误差-Random error(不可测误差)
实验过程中常遇到两类数字： （1）表示数目(非测量值):如测定次数；倍数；系数；分数 （2）测量值或计算值。数据的位数与测定的准确度有关。 记录的数字不仅表示数量的大小，还要正确地反映测量的 精确程度。 结果 0.32400 0.3240 0.324 绝对误差 ±0.00001 ±0.0001 ±0.001 相对误差 有效数字位数 ±0.002% 5 ±0.02% 4 ±0.2% 3
（2）报告在指定置信度下的平均 值置信区间。 s
x t
0.374
※只能对数字进行一次性修约 例：6.549， 2.451 一次修约至两位有效数字 2.5 6.5 2、计算规则： （1）记录数据或计算结果只能保留一位可疑数字。 （2）计算有效数字位数时，若数据首位等于或大于 8， 其有效数字的位数可多算一位。
(3) ．加减法：以小数点后位数最少的数为准（即 以绝对误差最大的数为准） 52.1 例： 50.1 + 1.45 + 0.5812 = ？ E ±0.1 ±0.01 ±0.0001
1、单次测量
绝对误差 E x T 相对误差
2、多次测量
x T Er 100% T
E Er 100% T
绝对误差
相对误差 E x T
例：测定含铁样品中w(Fe), 比较结果的准确度。
A.铁矿,
T=62.38g,
x = 62.32g x =0.044g
E=
B. Li2CO3试样, E=
2 0.01 Er 100% 0.1% V
V 20 mL
二、精密度与偏差
精密度-precision ：在相同条件下重复测定时，各测定值
间的相符合程度，或指测量值与平均值的符合程度。它是随机 误差的量度，表现测定结果的再现性。高低用偏差来衡量。
偏差-deviation的表示方法有： 1、绝对偏差与相对偏差：
Relative standard deviation
sr
s 100% x
4、极差-Range
R xmax xmin
相对极差=
5、相差(二次测量)
相差 x1 x2
相对相差 x1 x2 x 100%
例题：两测量数据如下：
d1i: +0.11, -0.73, +0.24, +0.51, -0.14, 0.00, +0.30, -0.21, i=1,…,8 d1i: +0.18, +0.26, -0.25, -0.37, +0.32, -0.28, +0.31, +0.27, i=1,…,8
样本标准偏差
standard deviation
S
xi
x
2
有限次测量对平均值的离散
n 1
计算一组数据分散度的独立偏差数
自由度
自由度的理解：例如，有三个测量值，求得平均值，也知道x1和x2与平均值 的差值，那么，x3与平均值的差值就是确定的了，不是一个独立的变数。
相对标准偏差(变异系数)
※※二、平均值的置信区间
即：以平均值为中心 表示的可靠区间
x t
s n
三、可疑值(离群值)的取舍
Q检验法： （适用于3－10次测定） 1、将测得数据由小到大排序 x疑－x邻 2、计算
Q计＝
xmax xmin
5 0.64 0.73 6 0.56 0.64 7 0.51 0.59 8 0.47 0.54 9 0.44 0.51 10 0.41 0.49
5．
1 2、 3
自然数 等可看作无限位。
5．注意点
(1)容量器皿；滴定管；移液管；容量瓶；4位有效数字 (2)分析天平（万分之一）取4位有效数字 (3)标准溶液的浓度，用4位有效数字表示: 0.1000 mol/L
m ◇台秤(称至0.1g):12.8g(3), 0.5g(1),1.0g(2)
◆分析天平(称至0.1mg):12.8218g(6), 0.5024g(4), 0.0500g(3)
（6）分析报告中，组分含量一般小数后保留两位有效 数字，表示误差时，一般取一位，最多留两位。
§2－2误差及其产生原因
真值-True value：某一物理量本身具有的客观存在的
真实数值。用 T表示
理论真值：如某化合物的理论组成NaCl中Cl的含量。
真值
约定真值：国际计量大会确定的数值。
相对真值：科学实验中的标准样品或管理样品。
2．数字零在数据中具有双重作用： （1）若数据中或数据后的“0”均为有效数字 如 0.3180 4位有效数字 3.18010 -1 （2）若只起定位作用，不是有效数字。 如 0.0318 3位有效数字 3.1810 -2 3．改变单位不改变有效数字的位数： 如 19.02mL为19.0210 -3 L 4、pH＝4.34 ,小数点后的数字位数为有效数字位 数。对数值，lgX=2.38;lg(2.4102)
绝对偏差
d i xi x
di d r 100% x
有正负之分
相对偏差
2、平均偏差与相对平均偏差
Mean deviation
平均偏差
d
1 n
x
i
x
Relative Mean deviation
相对平均偏差
特点：简单 缺点：大偏差得不到应有反映
d dr 100% x
无正负之分
4、减小测量误差
试样质量在0.2克以上，滴定剂体积在20mL以上。
小结
系统误差与随机误差的比较
系统误差 产生原因 分类 性质 固定因素，有时不存在 随机误差 不定因素，总是存在
方法误差、仪器与试剂 误差、操作误差
重现性、单向性（或周 期性）、可测性
环境的变化因素、主 观的变化因素等
服从概率统计规律、 不可测性
影响
消除或减 小的方法
准确度
１、对照试验 ２、空白试验 ３、校准仪器
精密度
增加测定的次数
§2－4 实验数据的统计处理
一、置信度与置信区间
统计学上把一定概率下真值的取值范围称为置信区间 (Confidence interval) ，其概率称为置信概率或置信度（置 信水平)(Degree of confidence) ，置信度就是人们对所作判 断有把握的程度。