解 二 元 一 次 方 程 — — — 拓 展 欧 几 里 得 算 法

欧几里得算法与扩展欧几里得算法（求二元一次不定方程、乘法逆元）

1.欧几里得算法，即辗转相除法。用于求两个整数的最大公约数比较方便，时间复杂度为O（logN）N为两个整数的规模。

最大公约数，是能够同时被两个整数整除的最大整数。

比如说，求56和21的最大公约数：（每行数分别代表a=56,b=21,a%b）此时得到最大公约数为7。

递归代码如下：

int gcd(int a, int b)

return b ? gcd(b, a%b) : a;

2.扩展欧几里得算法

顾名思义，扩展欧几里得算法就是对欧几里得算法的扩展，可以应用于求二元一次方程的通解、乘法逆元等。

对于上面的欧几里得算法，当递归到出口时，a=7,b=0。很容易就可以得到一组ax+by=7的解：x=1,y=0。

那么如何通过7x+y=7的解逆推出56x+21y=7的解呢？

对于欧几里得算法的每一个状态，都存在ax+by=gcd(a,b)的解，我们假设有这样两组解（且他们为相邻状态）：

ax1+by1=gcd(a,b)

a'x2+b'y2=gcd(a',b')

那么可以知道：a'=b b'=a%b 且gcd(a',b')=gcd(b,a%b)=gcd(a,b)，

所以有

ax1+by1=bx2+(a%b)y2 另a%b可写为 a-a-b

所以有 ax1+by1=bx2+(a-(a-b)b)y2

故ax1+by1=ay2+bx2+(a-b)by2

故ax1=ay2 by1 = b(x2+ (a-b)by2)

故 x1=y2 y1 = x2 +(a-b)y2

故可以得到x1,y1与x2,y2的关系 : x1=y2 y1 = x2 +(a-b)y2

我们已知的是最后一组解，那么就要根据最后一组解逆推上去，就可以得到ax+by=gcd(a,b)的一组解了。

代码如下：

int exgcd(int a, int b, intx, int y)

return a;

int r = exgcd(b, a%b, x, y); --递归到求出公约数，开始倒着求每一组的x,y。最后就得到这样一组特解了。

y = t - (a - b)*y;

return r;

现在，通过扩展欧几里得算法，可以求出ax+by=gcd(a,b)的一组特解。那么如何求其通解呢？

3.二元一次方程通解

假设求得的特解为ax0+by0=r ,r=gcd(a,b).

ax0+by0+ab*k-ab*k=r

a(x0+b*k)+b(y0-a*k)=r

x=x0+b*k 、y=y0-a*k

这样写，可能不同组解的跨度太大了，所以可以写成

x=x0+(b-r)*k 、 y=y0-(a-r)*k

对于ax+by =c，而c不是a和b的最大公约数，其通解可以用ax+by=gcd(a,b)的通解乘上 c-gcd(a,b)即可。

这里好像有一个贝祖定理：：对于给定的正整数a，b，方程ax+by=c 有整数解的充要条件为c是gcd（a，b）的整数倍。

4.乘法逆元

另外，扩展欧几里得算法还可以用来求乘法逆元，首先看乘法逆元的定义：

如果ax≡1 (mod p),且gcd(a,p)=1（a与p互质），则称a关于模p 的乘法逆元为x。通俗点讲就是 a*x的结果取余p为1。这样就可以转换成求ax+py=1的解。

所以要求a*x+b*y=m，可以先求a*x+b*y=gcd(a,b).

Type?"help",?"copyright",?"credits"?or?"license"?for?more?in formation.

定义:对于不定方程:a*x + b*y = c,判断此不定方程有整数解的条件是gcd(a,b)|c

long long g = exgcd(b, a % b, x, y);

long long getInv3(long long a, long long p) {

基本算法：对于不完全为 0 的非负整数 a，b，gcd（a，b）表示 a，b 的最大公约数，必然存在整数对 x，y ，使得 gcd（a，b）=ax+by。

while(scanf("%d%d%d",a,b,k)!=EOF)

if(A==B) {cout"0"endl; continue;}

解释：设最大容量为 3 的是 A 号电容，另一个是 B 号电容，对应的操作是（充电 A）= （转移 A - B） = （充电 A）= （转移 A - B），这样 A 就是目标的 2 电量。

欧几里得算法