高考数学第九章 平面解析几何第6课时 椭 圆(1)

第九章 平面解析几何第6课时 椭 圆(1

) ⎝ ⎛⎭

⎪⎫对应学生用书（文）125～127页 （理）130～132页

1. 设Ρ是椭圆x 2

25＋y

2

16上的点．若F 1、F 2是椭圆的两个焦点，则|PF 1|＋|PF 2|＝________．

答案：10

解析：|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10.

2. 椭圆x 2

16＋y

2

4＝1的离心率为________．

答案：

32

解析：a ＝4，b ＝2，c ＝a 2

－b 2

＝23， e ＝c a ＝32

. 3. (选修11P 26习题3改编)已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆x 2

3＋y 2

＝1上，顶点A 与椭圆的焦

点F 1重合，且椭圆的另外一个焦点F 2在BC 边上，则△ABC 的周长是________．

答案：4 3

解析：AB ＋BC ＋CA ＝BF 1＋(BF 2＋CF 2)＋CF 1＝(BF 1＋BF 2)＋(CF 2＋CF 1)＝4a ＝4 3.

4. (选修11P 31习题4改编)方程x 2k －3＋y

2k ＋3＝1表示椭圆，则k 的取值范围是________.

答案：k ＞3

解析：方程x 2

k －3＋y

2

k ＋3

＝1表示椭圆，则⎩⎪⎨⎪⎧k －3>0，k ＋3>0，k －3≠k＋3

Þ k ＞3.

5. 已知椭圆的中心在原点，焦点在y 轴上，若其离心率为1

2，焦距为8，则该椭圆的方程是

________． 答案：y 2

64＋x

2

48

＝1

解析：∵ 2c＝8，∴ c ＝4，∴ e ＝c a ＝4a ＝1

2，故a ＝8.

又∵ b 2

＝a 2

－c 2

＝48，∴ 椭圆的方程为y 2

64＋x

2

48

＝

1.

1. 椭圆的定义

平面内到两个定点F 1、F 2的距离之和等于常数(大于F 1F 2)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点F 1、F 2间的距离叫做椭圆的焦距． 2. 椭圆的标准方程和几何性质

题型1 求椭圆的方程

例1 设椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，且长轴长是短轴长的2倍．又点P(4，1)在椭圆上，求该椭圆的方程．

解：设该椭圆的方程为x 2

a 2＋y 2

b 2＝1或y 2

a 2＋x

2

b 2＝1(a>b>0)，依题意，2a ＝2(2b) a ＝2b.由于点

P(4，1)在椭圆上，所以42

4b 2＋1b 2＝1或14b 2＋42

b 2＝1.解得b 2＝5或654，这样a 2

＝20或65，故该

椭圆的方程为x 2

20＋y 2

5＝1或4x 2

65＋y

2

65＝1.

变式训练

根据下列条件求椭圆的标准方程：

(1) 两准线间的距离为18 5

5

，焦距为2 5；

(2) 已知P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为4 53和2 5

3，过

P 点作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点．

解：(1) 设椭圆长轴长为2a ，短轴长为2b ，焦距为2c ，则⎩⎪⎨⎪

⎧2²a 2

c ＝18 5

5，

2c ＝2 5，a 2

＝b 2

＋c

2

⎩

⎪⎨⎪⎧a ＝3，

b ＝2.故

该椭圆的方程为x 29＋y 24＝1或y 29＋x

2

4

＝1.

(2) 由题设，2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝2 5 a ＝ 5.又b 2

a ＝2 53

b 2

＝103，故该椭圆的方程为

x 2

5＋3y 2

10＝1或y 2

5＋3x

2

10

＝1. 题型2 求椭圆离心率的值

例2 在平面直角坐标系中，有椭圆x 2

a 2＋y

2

b

2＝1(a>b>0)的焦距为2c ，以O 为圆心，a 为半径

的圆．过点⎝ ⎛⎭

⎪⎫a 2

c ，0作圆的两切线互相垂直，则离心率e ＝________． 答案：

22

解析：如题图，PA 、PB 与圆O 相切，由于切线PA 、PB 互相垂直，所以四边形OAPB 为正方形，OP ＝2OA ，这样就得到一个关于基本量a 、c 的齐次方程，从而求解出比值c

a (e)的值．由

已知条件，四边形OAPB 为正方形，所以OP ＝2OA ，所以a 2

c ＝2a ，解得c a ＝22，即e ＝2

2.

备选变式（教师专享）

在△ABC 中，∠ACB ＝60°，sinA ∶sinB ＝8∶5，则以A 、B 为焦点且过点C 的椭圆的离心率为________． 答案：7

13

解析：由题意e ＝c a ＝2c 2a ＝AB

AC ＋BC .∵ sinA ∶sinB ＝8∶5，∴ 由正弦定理得a∶b＝8∶5. 设

a ＝8k ，

b ＝5k ，∴ 由余弦定理可得

c 2＝a 2＋b 2

－2abcosC ，∴ c ＝7k ，∴ e ＝7k 8k ＋5k ＝713.

题型3 求椭圆离心率的取值范围

例3 椭圆x 2

a 2＋y

2

b 2＝1(a>b>0)的右焦点F ，其右准线与x 轴的交点为A ，在椭圆上存在点P 满

足线段AP 的垂直平分线过点F ，则椭圆离心率的取值范围是________．

答案：⎣⎢⎡⎭

⎪⎫12，1 解析：(解法1)由题意，椭圆上存在点P ，使得线段AP 的垂直平分线过点F ，所以|PF|＝|FA|，而|FA|＝a 2

c －c ，|PF|≤a ＋c ，所以a 2

c －c≤a＋c ，即a 2≤ac ＋2c 2.又e ＝c a ，所以2e 2

＋e≥1，

所以2e 2

＋e －1≥0，即(2e －1)(e ＋1)≥0.又0

≤e<1.

(解法2)设点P(x ，y)．由题意，椭圆上存在点P ，使得线段AP 的垂直平分线过点F ，所以|PF|＝|FA|，由椭圆第二定义，|PF|a 2c －x ＝e ，所以|PF|＝a 2

c e －ex ＝a －ex ，而|FA|＝a

2

c －c ，所

以a －ex ＝a 2

c －c ，解得x ＝1e (a ＋c －a

2

c

)．由于－a≤x≤a，