云南省玉溪市红塔区第一中学2020-2021学年高二上学期期末数学(文)试题
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C选项：∵ ，∴ ，∴C选项正确；
D选项：∵ ，∴ 即 ，∴D选项正确.
故选：B.
【点睛】
本题考查不等式的性质，是基础题.
3．B
【分析】
把 代入 成立，而由 推不出x的值一定是1，还可能是2，即得解.
【详解】
由 ，则 ，即 ，
反之 ，得 或 .
所以“ ”是“ ”的充分不必要条件.
故选：
【点睛】
本题考查了充要条件的知识点，考查了学生逻辑推理，数学运算得能力，属于基础题.
4．D
【分析】
把已知的等式用首项和公差表示，然后进行化简，把要求的式子也用首项和公差表示后即可得到答案.
【详解】
∵数列 为等差数列，设其公差为 ，由 ，
得 ，
∴ ，则 ，
故选:D.
【点睛】
本题主要考查了等差数列的通项公式，训练了整体运算思想方法，属于基础题.
5．A
【分析】
设大的正方形的边长为1，由已知可求小正方形的边长，可求 ， ，且 ， ，进而利用两角差的余弦函数公式，同角三角函数基本关系式即可计算得解.
参考答案
1．C
【解析】
【分析】
根据集合 以及补集的定义先求出 ，再求其与 的交集即可.
【详解】
∵ ，
∴ ，则 ，
故选:C.
【点睛】
本题主要考查了集合间交集和补集的混合运算，主要是概念的理解，属于基础题.
2．B
【分析】
本题根据不等式的性质逐一判断即可.
【详解】
A选项：∵ ，∴ 即 ，∴A选项正确；
B选项：∵ ，∴ 即 ，∴B选项错误；
选项A，可能相交．选项C中，可能不共面，比如三棱柱的三条侧棱，选项D，三线共点，可能是棱锥的三条棱，因此错误．选B.
7．A
【分析】
根据直线所过的区域得到斜率和纵截距的正负后可得 满足的条件.
【详解】
因为直线过第一、第二、第四象限，故 且 ，故 且 ，故选A.
【点睛】
直线方程的一般式为 ，我们可从中得到直线的斜率为 （当 时，直线的斜率不存在），横截距为 （ 时），纵截距为 （ 时）.
云南省玉溪市红塔区第一中学2020-2021学年高二上学期期末数学（文）试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合 ， （）
A． B． C． D．
2．若 ，则下列不等式中不成立的是（）
A． B． C． D．
3．“ ”是“ ”的（）
A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
4．等差数列 中， ，则 （）
A．1B．2C．3D．4
5．《周髀算经》中给出了弦图，所谓弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一个大的正方形，若图中直角三角形两锐角分别为 、 ，且小正方形与大正方形面积之比为 ，则 的值为（）
21．已知函数 在 与 处都取得极值．
（1）求 的值及函数 的单调区间；
（2）若对 ，不等式 恒成立，求 的取值范围．
22．设椭圆 的左焦点为 ，上顶点为 .已知椭圆的短轴长为4，离心率为 .
（1）求椭圆的方程；
（2）设点 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点 为直线 与 轴的交点，点 在 轴的负半轴上．若 （ 为原点），且 ，求证：直线 的斜率与直线MN的斜率之积为定值．
A．1B．2C．3D．1或2
二、填空题
13．已知向量 ， ，则 ________.
14．已知约束条件 ，表示面积为 的直角三角形区域，则实数 的值为____.
15．某口袋内装有一些除颜色不同之外其他均相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，若红球有21个，则黑球有_________.
【详解】
设大的正方形的边长为1，由于小正方形与大正方形面积之比为 ，
可得:小正方形的边长为 ，
可得: ，①
，②
由图可得: ， ，
①×②可得:
，
解得: ，
故选:A.
【点睛】
本题主要考查了两角差的余弦函数公式，同角三角函数基本关系式的综合应用，考查了数形结合思想和转化思想，属于中档题.
6．B
【详解】
解：因为如果一条直线平行于两条垂线中的一条，必定垂直于另一条．
满意度评分
低于70分
70分到89分
不低于90分
满意度等级
不满意
满意
非常满意
公司负责人为了解用户满意度情况，从 地区中调查8户，其中有2户满意度等级是不满意，求从这8户中随机抽取2户检查，抽到不满意用户的概率.
20．如图，四棱锥 中，底面 是菱形，其对角线的交点为 ，且 ， .
（1）证明： 平面 ；
（2）若 ， ， 是侧棱 上一点，且 平面 ，求三棱锥 的体积.
16．已知 ，点 在直线 上，点 在圆 上，则 的最小值是________.
三、解答题
17．
在等比数列 中， .
(1)求 ；
(2)设 ，求数列 的前 项和 .
18．已知 中，角 的对边分别为 ，且 ， ， 的面积为 .
（1）求 的大小；
（2）求 的值.
19．某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了40个用户，根据用户对产品的满意度评分，得到 地区用户满意度评分的频率分布直方图和 地区用户满意度评分的频数分布表.
A． B． C． D．
10．如果函数 在区间 上是增函数，且函数 在区间 上是减函数，那么称函数 是区间 上的“缓增函数”，区间 叫做“缓增区间”.若函数 是区间 上的“缓增函数”，则“缓增区间” 为（）
A． B． C． D．
11．若 在 上是增函数，则 的最大值是（）
A． B． C． D．
12．已知抛物线 过点 ，其准线与 轴交于点 ，直线 与抛物线的另一个交点为 ，若 ，则实数 （）
A． B． C． D．
6． ， ， 是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是
A． ， B． ，
C． ， ， 共面D． ， ， 共点 ， ， 共面
7．直线 同时要经过第一、第二、第四象限，则 应满足（ ）
A． B． C． D．
8．若 ，则 的最小值为
A．8B．6C．4D．2
9．三棱锥 中， 为等边三角形， ， ，则三棱锥 的外接球的表面积为（）
地区用户满意度评分的频率分布直方图
地区用户满意度评分的频数分布表
满意度评分分组
频数
2
8
14
10
6
（1）在图中作出 地区用户满意度评分的频率分布直方图，并通过直方图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）.
地区用户满意度评分的频率分布直方图
（2）根据用户满意度评分，将用户的满意度分为三个等级：
D选项：∵ ，∴ 即 ，∴D选项正确.
故选：B.
【点睛】
本题考查不等式的性质，是基础题.
3．B
【分析】
把 代入 成立，而由 推不出x的值一定是1，还可能是2，即得解.
【详解】
由 ，则 ，即 ，
反之 ，得 或 .
所以“ ”是“ ”的充分不必要条件.
故选：
【点睛】
本题考查了充要条件的知识点，考查了学生逻辑推理，数学运算得能力，属于基础题.
4．D
【分析】
把已知的等式用首项和公差表示，然后进行化简，把要求的式子也用首项和公差表示后即可得到答案.
【详解】
∵数列 为等差数列，设其公差为 ，由 ，
得 ，
∴ ，则 ，
故选:D.
【点睛】
本题主要考查了等差数列的通项公式，训练了整体运算思想方法，属于基础题.
5．A
【分析】
设大的正方形的边长为1，由已知可求小正方形的边长，可求 ， ，且 ， ，进而利用两角差的余弦函数公式，同角三角函数基本关系式即可计算得解.
参考答案
1．C
【解析】
【分析】
根据集合 以及补集的定义先求出 ，再求其与 的交集即可.
【详解】
∵ ，
∴ ，则 ，
故选:C.
【点睛】
本题主要考查了集合间交集和补集的混合运算，主要是概念的理解，属于基础题.
2．B
【分析】
本题根据不等式的性质逐一判断即可.
【详解】
A选项：∵ ，∴ 即 ，∴A选项正确；
B选项：∵ ，∴ 即 ，∴B选项错误；
选项A，可能相交．选项C中，可能不共面，比如三棱柱的三条侧棱，选项D，三线共点，可能是棱锥的三条棱，因此错误．选B.
7．A
【分析】
根据直线所过的区域得到斜率和纵截距的正负后可得 满足的条件.
【详解】
因为直线过第一、第二、第四象限，故 且 ，故 且 ，故选A.
【点睛】
直线方程的一般式为 ，我们可从中得到直线的斜率为 （当 时，直线的斜率不存在），横截距为 （ 时），纵截距为 （ 时）.
云南省玉溪市红塔区第一中学2020-2021学年高二上学期期末数学（文）试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合 ， （）
A． B． C． D．
2．若 ，则下列不等式中不成立的是（）
A． B． C． D．
3．“ ”是“ ”的（）
A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
4．等差数列 中， ，则 （）
A．1B．2C．3D．4
5．《周髀算经》中给出了弦图，所谓弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一个大的正方形，若图中直角三角形两锐角分别为 、 ，且小正方形与大正方形面积之比为 ，则 的值为（）
21．已知函数 在 与 处都取得极值．
（1）求 的值及函数 的单调区间；
（2）若对 ，不等式 恒成立，求 的取值范围．
22．设椭圆 的左焦点为 ，上顶点为 .已知椭圆的短轴长为4，离心率为 .
（1）求椭圆的方程；
（2）设点 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点 为直线 与 轴的交点，点 在 轴的负半轴上．若 （ 为原点），且 ，求证：直线 的斜率与直线MN的斜率之积为定值．
A．1B．2C．3D．1或2
二、填空题
13．已知向量 ， ，则 ________.
14．已知约束条件 ，表示面积为 的直角三角形区域，则实数 的值为____.
15．某口袋内装有一些除颜色不同之外其他均相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，若红球有21个，则黑球有_________.
【详解】
设大的正方形的边长为1，由于小正方形与大正方形面积之比为 ，
可得:小正方形的边长为 ，
可得: ，①
，②
由图可得: ， ，
①×②可得:
，
解得: ，
故选:A.
【点睛】
本题主要考查了两角差的余弦函数公式，同角三角函数基本关系式的综合应用，考查了数形结合思想和转化思想，属于中档题.
6．B
【详解】
解：因为如果一条直线平行于两条垂线中的一条，必定垂直于另一条．
满意度评分
低于70分
70分到89分
不低于90分
满意度等级
不满意
满意
非常满意
公司负责人为了解用户满意度情况，从 地区中调查8户，其中有2户满意度等级是不满意，求从这8户中随机抽取2户检查，抽到不满意用户的概率.
20．如图，四棱锥 中，底面 是菱形，其对角线的交点为 ，且 ， .
（1）证明： 平面 ；
（2）若 ， ， 是侧棱 上一点，且 平面 ，求三棱锥 的体积.
16．已知 ，点 在直线 上，点 在圆 上，则 的最小值是________.
三、解答题
17．
在等比数列 中， .
(1)求 ；
(2)设 ，求数列 的前 项和 .
18．已知 中，角 的对边分别为 ，且 ， ， 的面积为 .
（1）求 的大小；
（2）求 的值.
19．某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了40个用户，根据用户对产品的满意度评分，得到 地区用户满意度评分的频率分布直方图和 地区用户满意度评分的频数分布表.
A． B． C． D．
10．如果函数 在区间 上是增函数，且函数 在区间 上是减函数，那么称函数 是区间 上的“缓增函数”，区间 叫做“缓增区间”.若函数 是区间 上的“缓增函数”，则“缓增区间” 为（）
A． B． C． D．
11．若 在 上是增函数，则 的最大值是（）
A． B． C． D．
12．已知抛物线 过点 ，其准线与 轴交于点 ，直线 与抛物线的另一个交点为 ，若 ，则实数 （）
A． B． C． D．
6． ， ， 是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是
A． ， B． ，
C． ， ， 共面D． ， ， 共点 ， ， 共面
7．直线 同时要经过第一、第二、第四象限，则 应满足（ ）
A． B． C． D．
8．若 ，则 的最小值为
A．8B．6C．4D．2
9．三棱锥 中， 为等边三角形， ， ，则三棱锥 的外接球的表面积为（）
地区用户满意度评分的频率分布直方图
地区用户满意度评分的频数分布表
满意度评分分组
频数
2
8
14
10
6
（1）在图中作出 地区用户满意度评分的频率分布直方图，并通过直方图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）.
地区用户满意度评分的频率分布直方图
（2）根据用户满意度评分，将用户的满意度分为三个等级：