北京四中2018届高三第一次模拟考试(一模)仿真卷(A卷) 理科数学 Word版含解析

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2018年高三数学一模试卷及答案(理科)

2018年高三数学一模试卷（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}21012A =--，，，，，()(){}130B x x x =-+<，则A B = （） A ．{}21,0--， B ．{}0,1 C ．{}1,01-， D ．{}0,1,2 2.已知复数21iz i=+（i 为虚数单位），则z 的共轭复数为（） A ．1i -+ B ．1i -- C ．1i + D ．1i - 3.下列说法正确的是（）A ．若命题0:p x R ∃∈，20010x x -+<，则:p x R ⌝∀∉，210x x -+≥B ．已知相关变量(),x y 满足回归方程 24y x =-，若变量x 增加一个单位，则y 平均增加4个单位C ．命题“若圆()()22:11C x m y m -++-=与两坐标轴都有公共点，则实数[]0,1m ∈”为真命题D ．已知随机变量()22X N σ ，，若()0.32P X a <=，则()40.68P X a >-=4.如图，在边长为2的正方形ABCD 中，M 是AB 的中点，过C ，M ，D 三点的抛物线与CD 围成阴影部分，则向正方形内撒一粒黄豆落在阴影部分的概率是（）A ．16 B ．13 C.12 D ．235.已知某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积是（）A ．33cmB ．35cm C. 34cm D ．36cm6.已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若48102a a a =，则3S 的最小值为（） A ．2 B ．3 C.4 D.67.20世纪70年代，流行一种游戏——角谷猜想，规则如下：任意写出一个自然数n ，按照以下的规律进行变换：如果n 是个奇数，则下一步变成31n +；如果n 是个偶数，则下一步变成2n，这种游戏的魅力在于无论你写出一个多么庞大的数字，最后必然会落在谷底，更准确地说是落入底部的4-2-1循环，而永远也跳不出这个圈子，下列程序框图就是根据这个游戏而设计的，如果输出的i 值为6，则输入的n 值为（）A ．5B ．16C.5或32 D ．4或5或32 8.在)12nx -的二项展开式中，若第四项的系数为7-，则n =（）A ．9B ．8 C.7 D ．69.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且8430S S =-≠，则412S S 的值为（） A ．13-B ．112- C.112 D ．1310.将函数()22sin cos f x x x x =-()0t t >个单位长度，所得图象对应的函数为奇函数，则t 的最小值为（） A ．23π B ．3π C. 2π D ．6π 11.如图，过抛物线()220y px p =>焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，交其准线l 于点C ，若2BC BF =，且3AF =，则此抛物线方程为（）A ．29y x =B ．26y x = C.23y x = D．2y =12.已知函数()()23xf x x e =-，设关于x 的方程()()()22120f x mf x m R e--=∈有n 个不同的实数解，则n 的所有可能的值为（）A ．3B ．1或3 C.4或6 D ．3或4或6第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知向量()1,1a =- ，(),1b t =，若()()//a b a b +- ，则实数t =．14.设实数x ，y 满足不等式组70,310,350,x y x y x y +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪--≥⎩则2z x y =-的最大值为．15.已知双曲线经过点(1,，其一条渐近线方程为2y x =，则该双曲线的标准方程为． 16.已知等腰直角ABC △的斜边2BC =，沿斜边的高线AD 将ADC △折起，使二面角B ADC --的大小为3π，则四面体ABCD 的外接球的表面积为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，且有cos cos cos 0a B b A C +=.（1）求角C 的大小；（2）当2c =时，求ABC S △的最大值.18. 某调查机构随机调查了20岁到70岁之间的600位网上购物者的年龄分布情况，并将所得数据按照[)20,30，[)30,40，[)40,50，[)50,60，[]60,70分成5组，绘制成频率分布直方图（如图）.（1）求频率分布直方图中实数m 的值及这600位网上购物者中年龄在[)40,60内的人数；（2）现采用分层抽样的方法从参与调查的600位网上购物者中随机抽取10人，再从这10人中任选2人，设这2人中年龄在[)30,40内的人数为X ，求X 的分布列和数学期望.19. 如图，菱形ABCD 与四边形BDEF 相交于BD ，120ABC ∠=，BF ⊥平面ABCD ，//DE BF ，2BF DE =，AF FC ⊥，M 为CF 的中点，AC BD G = .（1）求证：//GM 平面CDE ；（2）求直线AM 与平面ACE 成角的正弦值.20. 已知椭圆E 的两个焦点为()110F -，，()210F ，，离心率2e =（1）求椭圆E 的方程；（2）设直线():0l y x m m =+≠与椭圆E 交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点T ，当m 变化时，求TAB △面积的最大值. 21. 已知函数()21axf x x e-=-（a 是常数）.（1）求函数()y f x =的单调区间；（2）当()0,16x ∈时，函数()f x 有零点，求a 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为,sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）.在极坐标系（与平面直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴）中，直线l sin 34πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭. （1）求曲线C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程；（2）设P 是曲线C 上的任意一点，求点P 到直线l 的距离的最大值. 23.选修4-5：不等式选讲已知函数()21f x x =-.（1）求不等式()1f x ≤的解集A ；（2）当,m n A ∈时，证明：1m n mn +≤+.试卷答案一、选择题1-5:ADCDB 6-10:DCBBD 11、12：CA 二、填空题13.1- 14.8 15.2214y x -= 16.73π三、解答题17.解：（1）因为cos cos cos 0a B b A C +=，由正弦定理，得sin cos sin cos cos 0A B B A C C +=，即()sin cos 0A B C C +=，即sin cos 0C C C =. 因为在ABC △中，0C π<<，所以sin 0C ≠，所以cos 2C =，解得4C π=.（2）由余弦定理，得222222cos c a b ab C a b =+-=+，即(224=2a b ab +≥，故(22ab ≤=，当且仅当a b ==.所以(11sin 221222ABC S ab C =≤⨯⨯=+△即ABC S △的最大值为118.解：（1）由频率分布直方图，可得()0.0300.0260.0140.012101m ++++⨯=，得0.018m =.则这600位网上购物者中年龄在[)40,60内的频率为()0.0180.01410=0.32+⨯，故这600位网上购物者中年龄在[)40,60内的人数为6000.32=192⨯.（2）由频率分布直方图可知，年龄在[)30,40内的人数与其他年龄段的总人数比为0.03010310.030107⨯=-⨯，由分层抽样的知识知，抽出的10人中年龄在[)30,40内的人数为3，其他年龄段的总人数为7.所以X 的可能取值为0，1，2.()023********C C P X C ===，()11372107115C C P X C ===，()20372101215C C P X C ===所以X 的分布列为故X 的数学期望()0121515155E X =⨯+⨯+⨯=. 19.（1）证明：取BC 的中点N ，连接GN ，MN . 因为G 为菱形对角线的交点，所以G 为AC 中点.又N 为BC 中点，所以//GN CD ，又GN ⊄平面CDE ，CD ⊂平面CDE ，所以//GN 平面CDE .又因为M ，N 分别为FC ，BC 的中点.所以//MN FB ，又因为//DE BF ，所以//DE MN ，MN ⊄平面CDE ，DE ⊂平面CDE ，所以//MN 平面CDE ，又MN ，GN ⊂平面MNG ，MN GN N = ，所以平面//GMN 平面CDE .又GM ⊂平面GMN ，所以//GM平面CDE . （2）解：连接GF .设菱形的边长2AB =，则由120ABC ∠=，得1GB GD ==，GA GC ==又因为AF FC ⊥，所以FG GA ==则在直角GBF △中，BFDE =.由BF ⊥平面ABCD ，//DE BF ，得DE ⊥平面ABCD .以G 为坐标原点，分别以GA ，GD 所在直线为x 轴，y 轴，过点G 与平面ABCD 垂直的直线为z 轴，建立空间直角坐标系G xyz -，则()0,0,0G，)0A，，01E ⎛ ⎝⎭，(0F -，，1,222M ⎛-- ⎝⎭，则)0GA =，，01GE ⎛= ⎝⎭ . 设(),,m x y z =为平面ACE 的一个法向量，则0,0,m GA m GE ⎧=⎪⎨=⎪⎩即00y z =⎨+=⎪⎩.令z =1y =-，所以(0,m =-.又1,22AM ⎛=- ⎝⎭，所以11cos ,10AM mAM m AM m+=== . 设直线AM 与平面ACE 所成角为θ，则sin θ=. 所以直线AM 与平面ACE20.解：（1）由离心率2e =1c =，解得a =所以1b =.所以椭圆E 的方程是2212x y +=. （2）解：设()11,A x y ，()22,B x y ，据221,2x y y x m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得2234220x mx m ++-= ∵直线l 与椭圆E 有两个不同的交点，∴()()22412220m m ∆=-->，又0m ≠，所以m <0m ≠.由根与系数的关系得1243mx x -+=，212223m x x -=设线段AB 中点为C ，点C 横坐标12223C x x m x +==-，3C C my x m =+=，∴2,33m m C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴线段AB 垂直平分线方程为233m m y x ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭，∴点T 坐标为,03m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，点T 到直线AB的距离d =，又AB ==，所以123TABS =△=232m =时，三角形TAB 面积最大，且()max TAB S =△.21.解：（1）当0a =时，()21f x x =-，函数在()0+∞，上单调递增，在()0-∞，上单调递减.当0a ≠时，()()()'2222ax ax axf x xe x a e eax x ---=+-=-+，因为0ax e ->，令()220g x ax x =-+=，解得0x =或2x a=. ①当0a >时，函数()22g x ax x =-+在20,a⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有()0g x ≥，即()'0f x ≥，函数()y f x =单调递增；函数()22g x ax x =-+在(),0-∞，2,a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上有()0g x <，即()'0f x <，函数()y f x =单调递减；②当0a <时，函数()22g x ax x =-+在2a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，，()0,+∞上有()0g x >，即()'0f x >，函数()y f x =单调递增；函数()22g x ax x =-+在2,0a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有()0g x ≤，即()'0f x ≤，函数()y f x =单调递减.综上所述，当0a =时，函数()y f x =的单调递增区间为()0,+∞，递减区间为(),0-∞；当0a >时，函数()y f x =的单调递增区间为20,a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，递减区间为(),0-∞，2,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；当0a <时，函数()y f x =的单调递增区间为2,a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，()0,+∞，递减区间为2,0a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. （2）①当0a =时，由()210f x x =-=，可得1x =±，()10,16∈，故0a =满足题意. ②当0a >时，函数()y f x =在20,a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在2,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，（i ）若()20,16a ∈，解得18a >. 可知20,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()f x 是增函数，2,16x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()f x 是减函数，由()010f =-<，∴在()0,16上()2max 22410f x f e a a-⎛⎫==-≥⎪⎝⎭，解得22a e e -≤≤，所以128a e <≤；（ii ）若[)216,a ∈+∞，解得108a <≤.函数()y f x =在()0,16上递增，由()010f =-<，则()161625610af e-=->，解得1ln 22a <.由11ln 228>，所以10,8a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦.③当0a <时，函数()y f x =在()0,16上递增，()01f =-，()161625610af e -=->，解得1ln 22a <， ∴0a <，综上所述，实数a 的取值范围是2,e⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.22.解：（1）因为2222cos sin 1y θθ+=+=，所以曲线C 的普通方程为2213x y +=.sin 34πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，展开得sin cos 3ρθρθ-=，即3y x -=，因此直线l 的直角坐标方程为30x y -+=. （2）设),sin Pθθ，则点P 到直线l的距离为d ==≤ 等号成立当且仅当sin 13πθ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即()1126k k Z πθπ=+∈时等号成立，即31,22P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，因此点P 到直线l的距离的最大值为223.（1）解：由211x -≤，得1211x -≤-≤，即1x ≤，解得11x -≤≤，所以[]11A =-，.（2）证明：（证法一）()()()222222221111m n mn m n m n m n +-+=+--=---因为,m n A ∈，所以11m -≤≤，11n -≤≤，210m -≤，210n -≤，所以()()22110m n ---≤，()221m n mn +≤+，又10mn +≥，故1m n mn +≤+.（证法二）因为,m n A ∈，故11m -≤≤，11n -≤≤，而()()()1110m n mn m n +-+=--≤()()()1110m n mn m n +--+=++≥⎡⎤⎣⎦，即()11mn m n mn -+≤+≤+，故1m n mn +≤+.。

北京市2018届高三零模数学试卷(理科)_Word版含解析

北京市2018届高三零模试卷（理科数学）一、选择题（A∪B）=（）1．设集合U={1，2，3，4}，A={1，2}，B={2，4}，则∁UA．{3} B．{2} C．{1，2，4} D．{1，4}2．在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．圆的圆心坐标是（）A．（0，2）B．（2，0）C．（0，﹣2）D．（﹣2，0）4．某中学从4名男生和3名女生中推荐4人参加志愿者活动，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的推选法共有（）A．140种B．34种C．35种D．120种5．执行如图所示的程序框图，若输入的N是6，则输出P的值是（）A．120 B．720 C．1440 D．50406．若（x2﹣）n展开式中的所有二项式系数和为512，则该展开式中的常数项为（）A．﹣84 B．84 C．﹣36 D．367．某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（）A．B．C．D．8．如图，已知平面α∩β=l，A 、B 是l 上的两个点，C 、D 在平面β内，且DA ⊥α，CB ⊥α，AD=4，AB=6，BC=8，在平面α上有一个动点P ，使得∠APD=∠BPC ，则P ﹣ABCD 体积的最大值是（）A ．B ．16C ．48D ．144二、填空题9．设向量=（cosθ，1），=（1，3cosθ），且∥，则cos2θ=______． 10．等差数列{a n }前9项的和等于前4项的和．若a 4+a k =0，则k=______．11．如图，已知圆中两条弦AB 与CD 相交于点F ，CE 与圆相切交AB 延长线上于点E ，若DF=CF=2，AF ：FB ：BE=4：2：1，则线段CE 的长为______．12．设函数的最小值为﹣1，则实数a 的取值范围是______．13．如图，圆O ：x 2+y 2=π2内的正弦曲线y=sinx 与x 轴围成的区域记为M （图中阴影部分），随机往圆O 内投一个点A ，则点A 落在区域M 内的概率是______．14．集合U={（x ，y ）|x ∈R ，y ∈R}，M={（x ，y ）||x|+|y|＜a}，P={（x ，y ）|y=f （x ）}，现给出下列函数：①y=a x ，②，③y=sin（x+a ），④y=cosax，若0＜a ＜1时，恒有P∩∁U M=P ，则所有满足条件的函数f （x ）的编号是______．三、解答题15．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，且（2a ﹣c ）cosB=bcosC ．（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若，求△ABC 的面积．16．甲、乙两位同学进行篮球三分球投篮比赛，甲每次投中的概率为，乙每次投中的概率为，每人分别进行三次投篮．（Ⅰ）记甲投中的次数为ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ；（Ⅱ）求乙至多投中2次的概率；（Ⅲ）求乙恰好比甲多投进2次的概率．17．如图，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1⊥面ABC ，BC ⊥AC ，BC=AC=2，AA 1=3，D 为AC 的中点．（Ⅰ）求证：AB 1∥面BDC 1；（Ⅱ）求二面角C 1﹣BD ﹣C 的余弦值；（Ⅲ）在侧棱AA 1上是否存在点P ，使得CP ⊥面BDC 1？并证明你的结论．18．已知函数f （x ）=x 2+2alnx ．（Ⅰ）若函数f （x ）的图象在（2，f （2））处的切线斜率为1，求实数a 的值；（Ⅱ）求函数f （x ）的单调区间；（Ⅲ）若函数在[1，2]上是减函数，求实数a 的取值范围．19．已知椭圆+=1（a ＞b ＞0）右顶点与右焦点的距离为﹣1，短轴长为2．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过左焦点F 的直线与椭圆分别交于A 、B 两点，若三角形OAB 的面积为，求直线AB 的方程．20．若数列{A n }满足A n+1=A n 2，则称数列{A n }为“平方递推数列”．已知数列{a n }中，a 1=2，点（a n ，a n+1）在函数f （x ）=2x 2+2x 的图象上，其中n 为正整数．（1）证明数列{2a n +1}是“平方递推数列”，且数列{lg （2a n +1）}为等比数列；（2）设（1）中“平方递推数列”的前n 项之积为T n ，即T n =（2a 1+1）（2a 2+1）…（2a n +1），求数列{a n }的通项及T n 关于n 的表达式；（3）记b n =log T n ，求数列{b n }的前n 项和S n ，并求使S n ＞2012的n 的最小值．北京市2018届高三零模试卷（理科数学）参考答案与试题解析一、选择题（A∪B）=（）1．设集合U={1，2，3，4}，A={1，2}，B={2，4}，则∁UA．{3} B．{2} C．{1，2，4} D．{1，4}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】根据A与B求出两集合的并集，找出全集U中不属于并集的部分即可求出所求的集合．【解答】解：∵A={1，2}，B={2，4}，∴A∪B={1，2，4}，∵全集U={1，2，3，4}，（A∪B）={3}．∴∁U故选A2．在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．【分析】利用两个复数代数形式的乘法，以及虚数单位i的幂运算性质，求得复数为，它在复平面内对应的点的坐标为（，﹣），从而得出结论．【解答】解：∵复数==，它在复平面内对应的点的坐标为（，﹣），故选D．3．圆的圆心坐标是（）A．（0，2）B．（2，0）C．（0，﹣2）D．（﹣2，0）【考点】圆的参数方程．【分析】把圆的参数方程利用同角三角函数的基本关系消去参数θ，化为直角直角坐标方程为 x2+（y﹣2）2=4，从而求得圆心坐标．【解答】解：∵圆，利用同角三角函数的基本关系消去参数θ，化为直角直角坐标方程为 x2+（y﹣2）2=4，故圆心坐标为（0，2），故选A．4．某中学从4名男生和3名女生中推荐4人参加志愿者活动，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的推选法共有（）A．140种B．34种C．35种D．120种【考点】计数原理的应用．【分析】根据题意，选用排除法，分3步，①计算从7人中，任取4人参加志愿者活动选法，②计算选出的全部为男生或女生的情况数目，③由事件间的关系，计算可得答案．【解答】解：分3步来计算，①从7人中，任取4人参加志愿者活动，分析可得，这是组合问题，共C74=35种情况；②选出的4人都为男生时，有1种情况，因女生只有3人，故不会都是女生，③根据排除法，可得符合题意的选法共35﹣1=34种；故选：B5．执行如图所示的程序框图，若输入的N是6，则输出P的值是（）A．120 B．720 C．1440 D．5040【考点】程序框图．【分析】根据程序框图进行模拟计算即可．【解答】解：P=1×1=1，1＜N成立，循环K=2，P=1×2=2，2＜N成立，循环K=3，P=2×3=6，3＜N成立，循环K=4，P=6×4=24，4＜N成立，循环K=5，P=24×5=120，5＜N成立，循环K=6，P=120×6=720，6＜N不成立，输出P=720，故选：B6．若（x2﹣）n展开式中的所有二项式系数和为512，则该展开式中的常数项为（）A．﹣84 B．84 C．﹣36 D．36【考点】二项式系数的性质．【分析】首先利用所有二项式系数和为512，求出n，再利用二项展开式的通项公式求二项展开式常数项．【解答】解：展开式中所有二项式系数和为512，即2n=512，则n=9，T r+1=（﹣1）r C9r x18﹣3r令18﹣3r=0，则r=6，所以该展开式中的常数项为84．故选：B．7．某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（）A．B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图可知，几何体是组合体，下面是正方体，棱长为2，上面是侧棱长为2，底面边长为2的正四棱锥，求出相应的体积，即可求得结论．【解答】解：由题意知，根据三视图可知，几何体是组合体，下面是正方体，棱长为2，体积为8；上面是侧棱长为2，底面边长为2的正四棱锥，所以底面积为4，高为=，故体积为∴几何体的体积为故选B．8．如图，已知平面α∩β=l，A、B是l上的两个点，C、D在平面β内，且DA⊥α，CB⊥α，AD=4，AB=6，BC=8，在平面α上有一个动点P，使得∠APD=∠BPC，则P﹣ABCD体积的最大值是（）A．B．16 C．48 D．144【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】本题需要借助直二面角的相关知识研究三角形的几何特征，由题设条件知两个直角三角形△PAD与△PBC是相似的直角三角形，可得出PB=2PA，作PD⊥AB，垂足为D，令AD=t，将四棱锥的体积用t表示出来，由二次函数求最值可得出正确选项．【解答】解：由题意平面α⊥平面β，A、B是平面α与平面β的交线上的两个定点，DA⊂β，CB⊂β，且DA⊥α，CB⊥α，∴△PAD与△PBC是直角三角形，又∠APD=∠BPC，∴△PAD∽△PBC，又AD=4，BC=8，∴PB=2PA．作PM⊥AB，垂足为M，则PM⊥β，令AM=t∈R，在两个Rt△PAM与Rt△PBM中，PM是公共边及PB=2PA，∴PA2﹣t2=4PA2﹣（6﹣t）2，解得PA2=12﹣4t．∴PM=，即四棱锥的高为，底面为直角梯形，S==36∴四棱锥P ﹣ABCD 的体积V==12=48，即四棱锥P ﹣ABCD 体积的最大值为48，故选C ．二、填空题9．设向量=（cosθ，1），=（1，3cosθ），且∥，则cos2θ= ．【考点】三角函数的恒等变换及化简求值；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．【分析】由两个向量共线的性质可得cosθ•3cosθ﹣1=0，cos 2θ=，再由 cos2θ=2cos 2θ﹣1 求得结果．【解答】解：∵向量，且，则有cosθ•3cosθ﹣1=0，∴cos 2θ=，故 cos2θ=2cos 2θ﹣1=﹣，故答案为．10．等差数列{a n }前9项的和等于前4项的和．若a 4+a k =0，则k= 10 ．【考点】等差数列的性质．【分析】先设出等差数列{a n }的首项和公差为a 1、d ，由等差数列的前n 项和代入条件得到a 1和d 关系，再由通项公式代入a k +a 4=0，求出k 的值．【解答】解：∵等差数列{a n }前9项的和等于前4项的和， ∴9a 1+36d=4a 1+6d ，其中a 1为首项，d 为等差数列的公差， ∴a 1=﹣6d ，又∵a k +a 4=0∴a 1+（k ﹣1）d+a 1+3d=0，把a 1=﹣6d 代入上式得，k=10，故答案为：1011．如图，已知圆中两条弦AB 与CD 相交于点F ，CE 与圆相切交AB 延长线上于点E ，若DF=CF=2，AF ：FB ：BE=4：2：1，则线段CE 的长为．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】设出AF=4k ，BF=2k ，BE=k ，由DF•FC=AF•BF 求出k 的值，利用切割定理求出CE ．【解答】解：由题意，设AF=4k ，BF=2k ，BE=k ，由DF•FC=AF•BF，得8=8k 2，∴k=1． ∴AF=4，BF=2，BE=1， ∴AE=7；由切割线定理得CE2=BE•EA=1×7=7．∴CE=．故答案为：12．设函数的最小值为﹣1，则实数a的取值范围是a≥﹣．【考点】函数最值的应用．【分析】根据函数在（﹣∞，）上单调递减，求出函数的最值，根据题意建立不等式，解之即可．【解答】解：当x＜时，f（x）=﹣x+a，该函数在（﹣∞，）上单调递减则﹣x+a＞﹣+a而函数的最小值为﹣1∴﹣+a≥﹣1解之a≥﹣故答案为：a≥﹣13．如图，圆O：x2+y2=π2内的正弦曲线y=sinx与x轴围成的区域记为M（图中阴影部分），随机往圆O内投一个点A，则点A落在区域M内的概率是．【考点】几何概型．【分析】先求构成试验的全部区域为圆内的区域的面积，再利用积分知识可得正弦曲线y=sinx与x轴围成的区域记为M的面积为S=2∫0πsinxdx=﹣2cosxπ=4，代入几何概率的计算公式可求【解答】解：构成试验的全部区域为圆内的区域，面积为π3正弦曲线y=sinx与x轴围成的区域记为M，面积为S=2∫0πsinxdx=﹣2cosx|π=4由几何概率的计算公式可得，随机往圆O内投一个点A，则点A落在区域M内的概率P=故答案为：14．集合U={（x，y）|x∈R，y∈R}，M={（x，y）||x|+|y|＜a}，P={（x，y）|y=f（x）}，现给出下列函M=P，则所有满足条件数：①y=a x，②，③y=sin（x+a），④y=cosax，若0＜a＜1时，恒有P∩∁U的函数f（x）的编号是①②④．【考点】绝对值不等式的解法；对数函数的值域与最值；余弦函数的定义域和值域．【分析】利用补集的定义求出∁uM，由P∩∁uM=P，得到P⊆∁uM，故P中的函数f（x）必须满足||x|+|y|≥a，检验各个选项是否满足此条件．【解答】解：∵∁uM={（x，y）||x|+|y|≥a}，0＜a＜1时，P∩∁uM=P，∴P={（x，y）y=f（x）}⊆∁uM，如图所示：结合图形可得满足条件的函数图象应位于曲线|x|+|y|=a（﹣a≤x≤a ）的上方．①中，x∈R，y＞0，满足|x|+|y|≥a，故①可取．x∈R，满足||x|+|y|≥a，故②可取．②中，x＞0，y=loga③中的函数不满足条件，如 x=0，a=时，y=，不满足|x|+|y|≥a．④中x∈R，﹣1≤y≤1，满足||x|+|y|≥a，故④可取．故答案为①②④．三、解答题15．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且（2a﹣c）cosB=bcosC．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若，求△ABC的面积．【考点】正弦定理的应用．【分析】（Ⅰ）因为（2a﹣c）cosB=bcosC，由正弦定理可得．又0＜B＜π，从而得到角B的大小．（Ⅱ）由正弦定理，求得b的值，再由求出sinC的值，根据△ABC的面积运算求得结果．【解答】解：（Ⅰ）因为（2a﹣c）cosB=bcosC，由正弦定理得（2sinA﹣sinC）cosB=sinBcosC．…∴2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC=sin（B+C）=sinA．…∵0＜A＜π，∴sinA≠0，∴．又∵0＜B＜π，∴．…（Ⅱ）由正弦定理，得，…由可得，由，可得，…∴． …16．甲、乙两位同学进行篮球三分球投篮比赛，甲每次投中的概率为，乙每次投中的概率为，每人分别进行三次投篮．（Ⅰ）记甲投中的次数为ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ；（Ⅱ）求乙至多投中2次的概率；（Ⅲ）求乙恰好比甲多投进2次的概率．【考点】离散型随机变量的期望与方差；n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率．【分析】（Ⅰ）确定ξ的可能取值，求出相应的概率，即可得到ξ的分布列及数学期望Eξ；（Ⅱ）利用对立事件，可得乙至多投中2次的概率；（Ⅲ）设乙比甲多投中2次为事件A ，乙恰投中2次且甲恰投中0次为事件B 1，乙恰投中3次且甲恰投中1次为事件B 2，则A=B 1∪B 2，利用互斥事件的概率公式，即可求得结论．【解答】解：（Ⅰ）ξ的可能取值为：0，1，2，3． … 则；；；．ξ的分布列如下表： ξ 0 1 2 3 P… ∴． …（Ⅱ）利用对立事件，可得乙至多投中2次的概率为． …（Ⅲ）设乙比甲多投中2次为事件A ，乙恰投中2次且甲恰投中0次为事件B 1，乙恰投中3次且甲恰投中1次为事件B 2，则A=B 1∪B 2，B 1，B 2为互斥事件． … 所以P （A ）=P （B 1）+P （B 2）=．所以乙恰好比甲多投中2次的概率为． …17．如图，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1⊥面ABC ，BC ⊥AC ，BC=AC=2，AA 1=3，D 为AC 的中点．（Ⅰ）求证：AB 1∥面BDC 1；（Ⅱ）求二面角C 1﹣BD ﹣C 的余弦值；（Ⅲ）在侧棱AA 1上是否存在点P ，使得CP ⊥面BDC 1？并证明你的结论．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．【分析】（I ）连接B 1C ，与BC 1相交于O ，连接OD ，我们由三角形的中位线定理，易得OD ∥AB 1，进而由线面平行的判定定理得到AB 1∥面BDC 1；（Ⅱ）建立如图所示的空间直角坐标系，分别求出平面C 1BD 和平面BDC 的法向量，代入向量夹角公式，即可得到二面角C 1﹣BD ﹣C 的余弦值；（Ⅲ）假设侧棱AA 1上存在点P ，使得CP ⊥面BDC 1，我们可以设出P 点坐标，进而构造方程组，若方程组有解说明存在，若方程组无解，说明满足条件的P 点不存在．【解答】证明：（I ）连接B 1C ，与BC 1相交于O ，连接OD∵BCC 1B 1是矩形，∴O 是B 1C 的中点．又D 是AC 的中点，∴OD ∥AB 1．∵AB1⊄面BDC 1，OD ⊂面BDC 1，∴AB 1∥面BDC 1．解：（II ）如图，建立空间直角坐标系，则C 1（0，0，0），B （0，3，2），C （0，3，0），A （2，3，0），D （1，3，0）设=（x ，y ，z ）是面BDC 1的一个法向量，则即，令x=1 则=（1，，）．易知=（0，3，0）是面ABC 的一个法向量．∴cos ＜，＞=． ∴二面角C 1﹣BD ﹣C 的余弦值为．（III ）假设侧棱AA 1上存在一点P （2，y ，0）（0≤y ≤3），使得CP ⊥面BDC 1．则，即∴方程组无解．∴假设不成立．∴侧棱AA 1上不存在点P ，使CP ⊥面BDC 1．18．已知函数f（x）=x2+2alnx．（Ⅰ）若函数f（x）的图象在（2，f（2））处的切线斜率为1，求实数a的值；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）若函数在[1，2]上是减函数，求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）先对函数求导，然后由由已知f'（2）=1，可求a（II）先求函数f（x）的定义域为（0，+∞），要判断函数的单调区间，需要判断导数的正负，分类讨论：分（1）当a≥0时，（2）当a＜0时两种情况分别求解（II）由g（x）可求得g′（x），由已知函数g（x）为[1，2]上的单调减函数，可知g'（x）≤0在[1，2]上恒成立，即在[1，2]上恒成立，要求a的范围，只要求解，在[1，2]上的最小值即可【解答】解：（Ⅰ）…由已知f'（2）=1，解得a=﹣3．…（II）函数f（x）的定义域为（0，+∞）．（1）当a≥0时，f'（x）＞0，f（x）的单调递增区间为（0，+∞）；…（2）当a＜0时．当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下：xf'（x）﹣0 +f（x）极小值由上表可知，函数f（x）的单调递减区间是；单调递增区间是．…（III）由得，…由已知函数g（x）为[1，2]上的单调减函数，则g'（x）≤0在[1，2]上恒成立，即在[1，2]上恒成立．即在[1，2]上恒成立．…令，在[1，2]上，所以h（x）在[1，2]为减函数.，所以．…19．已知椭圆+=1（a＞b＞0）右顶点与右焦点的距离为﹣1，短轴长为2．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过左焦点F的直线与椭圆分别交于A、B两点，若三角形OAB的面积为，求直线AB的方程．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）根据椭圆右顶点与右焦点的距离为，短轴长为，可得，由此，即可求得椭圆方程；（Ⅱ）当直线AB与x轴垂直时，，此时不符合题意；当直线AB与x轴不垂直时，设直线 AB的方程为：y=k（x+1），代入消去y得，进而可求三角形的面积，利用，即可求出直线AB 的方程．【解答】解：（Ⅰ）由题意，，解得．即椭圆方程为（Ⅱ）当直线AB与x轴垂直时，，此时S=不符合题意，故舍掉；当直线AB与x轴不垂直时，设直线 AB的方程为：y=k（x+1），代入消去y得：（2+3k2）x2+6k2x+（3k2﹣6）=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则，所以．原点到直线的AB距离，所以三角形的面积．由可得k 2=2，∴，所以直线或．20．若数列{A n }满足A n+1=A n 2，则称数列{A n }为“平方递推数列”．已知数列{a n }中，a 1=2，点（a n ，a n+1）在函数f （x ）=2x 2+2x 的图象上，其中n 为正整数．（1）证明数列{2a n +1}是“平方递推数列”，且数列{lg （2a n +1）}为等比数列；（2）设（1）中“平方递推数列”的前n 项之积为T n ，即T n =（2a 1+1）（2a 2+1）…（2a n +1），求数列{a n }的通项及T n 关于n 的表达式；（3）记b n =log T n ，求数列{b n }的前n 项和S n ，并求使S n ＞2012的n 的最小值．【考点】数列与不等式的综合；数列的求和；数列递推式．【分析】（1）由a n+1=2a n 2+2a n ，2a n+1+1=2（2a n 2+2a n ）+1=（2a n +1）2，能证明数列{2a n +1}是“平方递推数列”，由此能求出数列{lg （2a n +1）}为首项是lg5，公比为2的等比数列．（2）由已知得a n =（5﹣1），由此能求出T n =5．（3）由b n ===2﹣，得S n =2n ﹣2+．由此能求出使S n ＞2012的n 的最小值．【解答】（1）证明：∵a n+1=2a n 2+2a n ，2a n+1+1=2（2a n 2+2a n ）+1=（2a n +1）2，∴数列{2a n +1}是“平方递推数列”．由以上结论lg （2a n+1+1）=lg （2a n +1）2=2lg （2a n +1），∴数列{lg （2a n +1）}为首项是lg5，公比为2的等比数列．（2）解：lg （2a n +1）=[lg （2a 1+1）]×2n ﹣1=2n ﹣1lg 5=lg5，∴2a n +1=5，∴a n =（5﹣1）． ∵lg T n =lg （2a 1+1）+…+lg （2a n +1）=（2n ﹣1）lg 5，∴T n =5．（3）解：∵b n ===2﹣， ∴S n =2n ﹣2+．∵S n ＞2 012，∴2n ﹣2+＞2 012．∴n+＞1008．∴n=1008．min。

高考最新-北京四中一模-数学(理科) 精品

北京四中2018年数学第一次统测（理科）（试卷满分为150分，考试时间为120分钟）一、选择题：（每小题5分）1. 已知等于（）A、B、C、D、2. 已知与垂直时，的值为（）A、B、C、D、3. 函数图象的一条对称轴方程是则直线的倾斜角为（）A、B、C、D、4. 已知平面，直线，直线，有下面四个命题：(1) ∥，(2) ∥，(3) ∥，(4) ∥.其中正确的是（）A、(1)与(2)B、(3)与(4)C、(1)与(3)D、(2)与(4)5. 设，函数，则使成立的的取值范围是（）A、B、C、D、6. 若，则的值为（）A、B、C、D、7. P(x，y)是曲线上任意一点，则的最大值是（）A、36B、6C、26D、258. 等差数列中，若其前项的和，前项的和，则（）A、B、C、D、二、填空题：（每小题5分）9. 若复数，则_________，_________。

10. 函数中，________是奇函数，________是偶函数.11. 若是奇函数，在时，则时的解析式是_______，________.12. 已知是抛物线上的动点，定点A（0，-1），若点M分所成的比为2，则点M的轨迹方程是________，它的焦点坐标是________．13. 如下图，它满足：（1）第n行首尾两数均为n ；（2）表中的递推关系类似杨辉三角.则第n行（n≥2）第2个数是________.14. 设函数f(x)的定义域为D，如果对于任意的x1D，存在唯一的x2D使（C为常数）成立，则称函数f(x)在D上的均值为C. 给出下列四个函数：（1），（2）y=sinx，（3）y=lgx,（4）y=3x，则均值为2的函数为________.答题纸分层教学班________姓名________学号________一、选择题：（每小题5分）二、填空题：（每小题5分）三、解答题：（本大题共6小题，共80分）15. （本小题满分13分）当且时，解关于的不等式：16. （本小题满分13分）某种项目的射击比赛，开始时在距目标100m处射击，如果命中记3分，且停止射击；若第一次射击未击中，可以进行第二次射击，但目标已在150m处，这时命中记2分，且停止射击；若第二次仍未命中，还可以进行第三射击，此时目标已在200m处，若第三次命中记1分，并停止射击；若三次都未命中，则记0分。

数学理卷北京四中高三第一次模拟考试(一模)仿真卷(B卷)Word版含答案

2018届高三第一次模拟考试仿真卷理科数学（B）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[2018·石家庄质检]）条件．A．充分不必要B．必要不充分C．既不充分有不必要D．充要2．[2018·黄山一模]）ABCD3．[2018·长春一模]）ABCD间的相关数据如下表所示：）A．0.8 B．1.8 C．0.6 D．1.65．[2018·乌鲁木齐一模]是（）A．0 B．2 C．5 D．66．[2018·常德期末]）ABCD7．[2018·宁德一模]我国古代数学名著《孙子算经》中有如下问题：“今有三女，长女五日一归，中女四日一归，少女三日一归．问：三女何日相会？”意思是：“一家出嫁的三个女儿中，大女儿每五天回一次娘家，二女儿每四天回一次娘家，小女儿每三天回一次娘家．三个女儿从娘家同一天走后，至少再隔多少天三人再次相会？”假如回娘家当天均回夫家，若当地风俗正月初二都要回娘家，则从正月初三算起的一百天内，有女儿回娘家的天数有（）A B C D8．[2018·福州质检]如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）ABCD9．[2018·衡水中学]）ABCD10．[2018·西城期末]）ABCD11．[2018·郑州一中]）ABCD12．[2018·西北师大附中]）ABCD第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．[2018·丹东一检]△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c．14．[2018·郑州一中]阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为__________．15．[2018·乌鲁木齐一模]．16．[2018·长春一模]若__________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：60分，每个试题12分．17．[2018·渭南一模]（1（218．[2018·石家庄一检]某学校为了解高三复习效果，从高三第一学期期中考试成绩中随机抽取50名考生的数学成绩，分成6组制成频率分布直方图如图所示：（150（23位作为代表19．[2018·亳州质检]点．（1（220．[2018·闽侯四中]（1（2的面积．21．[2018·淮南一模]（1（2明理由．（二）选考题（共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一题计分）22．[2018·承德期末]参数），，（1（223．[2018·南阳一中]（1（22018届高三第一次模拟考试仿真卷理科数学（B）答案第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】B充分条件，选B．2．【答案】A【解析】A．3．【答案】B【解析】A是奇函数，故不满足条件；B满足条件；C D是偶函数但是在B．4．【答案】B【解析】B．5．【答案】C【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知：C．6．【答案】C【解析】C．7．【答案】C【解析】小女儿、二女儿和大女儿回娘家的天数分别是33，25，20，小女儿和二女儿、小女儿和大女儿、二女儿和大女儿回娘家的天数分别是8，6，5，三个女儿同时回娘家的天数是1，所以有女儿在娘家的天数是：33+25+20-（8+6+5）+1=60．故选C．8．【答案】A【解析】高为2，底面为等腰直角三角形，直角边长为2，表面积为A．9．【答案】D【解析】，，几何意义是以原点为圆心，半径为1的圆的面积故D．10．【答案】B【解析】B．11．【答案】C【解析】该三棱锥的图象如图所示，C．12．【答案】C【解析】所以，令，则，因C．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．【解析】14．【解析】15．【解析】16．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：60分，每个试题12分．17．【答案】（1（2【解析】（1（218．【答案】（1（2）见解析．【解析】（1）（264，19．【答案】（1）见解析；（2【解析】（1（2由（120．【答案】（1（2【解析】（1（221．【答案】（1（2【解析】（1（2（二）选考题（共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一题计分）22．【答案】（1（2【解析】（1①×（2由（1，23．【答案】（1（2【解析】（1（2。

｜精｜北京四中高三理科综合第一次质量检测试卷｜2018｜

北京四中高三理科综合第一次质量检测试卷（2018.10）附参考答案可能用到的相对原子质量：Al-27 Cl-35.5 Fe-56 O-16 S-32 I-127 Ba-137 Cr-52注意：（1）本试卷分Ⅰ卷（选择题）和Ⅱ卷（非选择题）；（2）选择题涂在答题卡上，非选择题写在答卷纸上；（3）考试时间150分钟；第I卷选择题（共120分）1、下图表示人体细胞膜结构，下列说法正确的是A．若此为神经元细胞膜，则在静息状态时，a和d过程分别运输的物质是Na+、K+B．b过程无法体现细胞膜选择透性，但能判断出膜外的b物质浓度高于膜内C．若此为红细胞质膜，D具有特异性，若去掉它们，就不会发生凝集反应，说明D是一种抗原D．若此为肝细胞膜，当处于低血糖时，肝细胞可释放激素C(胰高血糖素)，促进E(肝糖元)水解为F(葡萄糖)2、科学家们在研究成体干细胞的分裂时提出这样的假说：成体干细胞总是将含有相对古老的DNA链（永生化链）的染色体分配给其中一个子代细胞，使其成为成体干细胞，同时将含有相对新的合成链的染色体分配给另一个子代细胞，这个细胞分化并最终衰老凋亡（如下图所示）。

下列相关推测不正确的是A．成体干细胞的细胞分裂方式为有丝分裂B．从图中可看出成体干细胞分裂时DNA进行半保留复制，有丝分裂后期染色体随机分配C．通过该方式可以减少成体干细胞积累DNA复制过程中产生的基因突变D．该假说可以推测生物体内成体干细胞的数量保持相对稳定3、某地有一种植物，同一植株上不同时期所开花的花色会发生变化，其传粉者包括当地的白线天蛾和8月上旬将迁徙离开的蜂鸟。

下图表示7月30日~8月15日前后，当地各类群生物的数量变化。

下列分析不合理的是A．8月该植物种群的红花基因频率下降B．花色的变化与传粉者的选择作用有关C．红色的花更容易吸引蜂鸟完成传粉D．植物的快速反应适应了传粉者的改变4、Ⅰ型糖尿病可能由人类第六对染色体短臂上的HLA-D基因损伤引起，它使胰岛B细胞表面含有异常的HLA-D抗原，引起Ｔ淋巴细胞被激活，最终攻击并破坏胰岛B细胞，以下说法正确的是A．上述过程属于被动免疫B．Ⅰ型糖尿病由基因突变引起C．上述过程属于体液免疫D．Ⅰ型糖尿病属于过敏反应5、玉米种子在黑暗中萌发，测定胚芽鞘与幼根中各部分生长素含量如图A所示。

北京市届高考数学理科仿真模拟卷及答案

北京市2018届高考数学理科仿真模拟卷10第一部分选择题（40分）一、选择题（每小题 5分，共40分） 1.若 p: —x •二 R,sinx^1，则（）A .一 p: x R, si nx . 1B.—p :-x R,si nx . 1C. _p: x R, sin x _ 1D.2." a=2”是"直线ax+2y=0与直线x+y=1平行”的（）A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件 D.既不充分也不必要条件4.甲校有3600名学生。

乙校有 5400名学生，丙校有1800名学生，为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层抽样法，抽取一个样本容量为 90人的样本，则应在()A. 120 B . 105 C . 90 D . 756.已知两个不重合的平面 a 和B ,下面给出四个条件:①a 内有无穷多条直线均与平面 B 平行；② 平面a , B 均与平面丫平行；③ 平面a , B 与平面丫都相交，且其交线平行; ④ 平面a , B 与直线I 所成的角相等. 其中能推出a // B 的是（）A .①B ，②C .①和③D .③和④ 2 27.设P 是双曲线x - y.=1上一点，双曲线的一条渐近线方程为 a 2 9 ■分别是双曲线的左、右焦点，若 | PR | = 3，则|PF 2 |=（） A. 1 或 5 B. 6 C. 7 D. 9 8.如图，设点 A 是单位圆上的一定点，动点P 从点A 出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P 所旋转过的弧 AP 的长为I ，弦这三校分别抽取学生（ )A . 30 人，30 人，30 人B .30 人， 45人， 15人 C . 20 人，30 人，10 人D . 30 人， 50人，10人5.设a ［是公差为正数的等差数列，若3.如图，在半径为R 的圆内随机撤一粒芝麻，它落在阴影部分（圆内接正三角形）上的概率是（）A . ) B.4343C. 43 D-3.3 4 二日1 “■a ? ■' a 3AP的长为d,则函数d=f（l）的图像大致是（）A. B. C. D.第二部分非选择题（110分）二、填空题（每小题 5分，共30分） 9•在某项测量中，测量结果 ■服从正态分布N （1,；「2）（匚.0）.若■在（0,1）内取值的概率为0.4，贝U •在(0 , 2)内取值的概率为 __________________210. 0 (2—11 —x|)dx =5311. 若（ax-1）的展开式中x 的系数是80 ,则实数a 的值12. 已知数列也［中，a 1=1, a n+i =a n +n ，利用如图所示的程序框图计算该数列的第10项，则判断框中应填的语句是 ____________________ . 13 .甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天旦每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面.不同的安排方法共有（用数字作答）21.选做题（14〜15题，考生只能从中选做一题，两题都做记第一题的得分） 14. （坐标系与参数方程）在平面直角坐标系下，曲线G ‘X =2t +2a （t 为参数），曲线=-t（a 为参数）.若曲线 0、C 2有公共点，则实数 a 的取值范围15.（几何证明选讲）如图，已知△ ABC 内接于圆O,点D 在OC的延长线上，AD 是O 0的切线，若/ B=30°, AC=2贝U OD 的长为 _________________三、解答题（共6大题，共80分） 16. （本题满分12分）已知 a=（sinx,-cosx ）, b =l cosx, 3cosx ，函数 f x 二 a b —32（1）求f （x ）的最小正周期；（2）当0空x "；；上时，求函数f （x ）的值域.2x =2cos 日C 2 :丿y =2 +2si n 日A17. （本题满分12分）甲、乙、丙三人进行象棋比赛，每两人比赛一场，共赛三场.每场比赛胜者得3分，负者得0分，没有平局，在每一场比赛中，甲胜乙的概率为11 ，乙胜丙的概率为45(1) 求甲获第一名且丙获第二名的概率： (2) 设在该次比赛中，甲得分为E,求E 的分布列和数学期望。

北京四中2018届高三第一次模拟考试(一模)仿真卷(A卷)学生版

2018届高三第一次模拟考试仿真卷英语（A ）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷第一部分听力（共两节，满分 30 分）(略) 第二部分阅读理解（共两节，满分40分）第一节（共15小题：每小题2分，满分30分）阅读下列短文，从每题所给的四个选项（A 、B 、C 和D ）中选出最佳选项，并在答题卡上将该项涂黑。

AIn fairy tales, it's usually the princess that needs protecting. At Google in Silicon Valley, the princess is the one defending the castle. Parisa Tabriz is a 31-year-old with perhaps the most unique job title in engineering- “Google Security Princess”. Her job is to hack into the most popular web browser （浏览器）on the planet, trying to find weaknesses in the system bef ore the “black hats” do. To defeat Google's attackers, Tabriz must firstly think like them.Tabriz's role has evolved dramatically in the eight years since she first started working at Google. Back then, the young graduate from Illinois University was one of 50 security engineers---today there are over 500.Cybercrime （网络犯罪）has come a long way in the past decade - from the Nigerian Prince Scam to credit card theft. Tabriz's biggest concern now is the people who find bugs in Google's software, and sell theinformation to governments or criminals. To fight against this, the company has set up a Vulnerability Rewards Program, paying anywhere from $100 to $ 20, 000 for reported mistakes.It's a world away from Tabriz's computer-free childhood home in Chicago. The daughter of an Iranian-American doctor father, and Polish-American nurse mother, Tabriz had little contact with computers until she started studying engineering at college. Gaze across a line-up of Google security staff today and you'll find women like Tabriz are few and far between （稀少的）--- though in the last few years she has hired准考证号考场号座位号more female tech geniuses. She admits there's an obvious gender disequilibrium in Silicon Valley.Funnily enough, during training sessions Tabriz first asks new colleagues to hack into not a computer, but a vending machine. Tabriz's job is as much about technological know-how（专门知识）as understanding the psychology of attackers.21. What can we learn about Tabriz from the passage?A. She was the first female engineer at Google.B. She must think differently so as to defeat the attackers.C. Her job relates to not only technology but also psychology.D. Her frequent contact with computers in childhood benefits her a lot.22. Why has Google set up a Vulnerability Rewards Program?A. To protect Google against cybercrime.B. To monitor the normal operation of Google.C. To help the government locate the cybercriminals.D. To raise people's awareness of personal information safety.23. What does the underlined word “disequilibrium” in Par agraph 4 refer to?A. Imbalance.B. Preference.C. Difference.D. Discrimination.24. Which of the following could be the best title of this passage?A. What leads to cybercrimeB. The “Security Princess” who guards GoogleC. Measures taken by Google to protect its usersD. How to become an excellent security engineerBThe English have a difficult and, generally speaking, dysfunctional (怪异的) relationship with clothes. Their main problem is that they have a desperate need for rules, and are unable to get along without them. This helps to explain why they have an international reputation for dressing in general very badly, but with specific areas of excellence, such as high-class men’s suits, ceremonial costumes, and innovative (革新的) street fashion. In other words, we English dress best when we are “in uniform”.You may be surprised that I am including “innovative street fashion” in the categor y of the uniform. Surely the parrot-haired punks (朋克摇滚乐迷) or the Victorian vampire goths are being original, not following rules? It’s true that they all look different and eccentric (古怪的) but in fact they all look eccentric exactly in the same way. They are wearing a uniform. The only truly eccentric dresser in this country is the Queen, who pays no attention to fashion and continues to wear what she likes, a kind of 1950s fashion, with no regard for anyone else’s opinion. However, it is true that the styl es invented by young English people are much more eccentric than any other nation’s street fashion. We may not be individually eccentric, apart from the Queen, but we have a sort of collective eccentricity, and \ye appreciate originality in dress even ifwe do not individually have it.Another “rule” of behavior I had discovered was that it is very important for the English not to take themselves too seriously, to be able to laugh at themselves. However, it is well known that most teenagers tend to take themselves a bit too seriously.The goths, in their scary black costumes, certainly look as if they are taking themselves seriously. But when I got into conversation with them, I discovered that they too had a sense of humor. I was once chatting to a goth in the full vampire costume—with a white face, deep purple lipstick, and black parrot-hair.I saw he was also wearing a T-shirt with “Goth”. “Why are you wearing that?” I asked. “In case you don’t realize I’m a goth.” he answered, pretending to be serious. We both burst out laughing.25. What can we know about the English people?A. They need rules to dress well.B. They are in need of uniforms.C. They are creative in general.D. They lead the world trend.26. Who is individually eccentric in dressing?A. A high-class man.B. A parrot-haired punk.C. The Queen.D. The fashion innovator.27. Which of the following can best describe the goths?A. They dress badly.B. They dress in an amusing way.C. They are unable to laugh at the way they dress.D. They are less fashionable than the other English people.28. What may be the best title for the text?A. How the English DressB. How the English Admire FashionC. Why the English Like UniformsD. Why the English Are Eccentric in DressCNot long ago, people thought babies were not able to learn things until they were five or six months old. Yet doctors in the United States say babies begin learning on their first day of life. Scientists note that babies are strongly influenced by their environment. They say a baby will smile if her mother does something the baby likes. A baby learns to get the best care possible by smiling to please her mother or other caregivers. This is how babies learn to connect and communicate with other human beings. One study shows that babies can learn before they are born. The researchers placed a tape recorder on the stomach of a pregnant woman. Then, they played a recording of a short story. On the day the baby was born, the researchers attempted to find if he knew the sounds of the story repeated while in his mother. They did this by placing a device in the mouth of the newborn baby.The baby would hear the story if he moved his mouth one way. If the baby moved his mouth theother way, he would hear a different story. The researchers say the baby clearly liked the story he heard before he was born. They say the baby would move his mouth so he could hear the story again and again.Another study shows how mothers can strongly influence social development and language skills in their children. Researchers studied the children from the age of one month to three years. The researchers attempted to measure the sensitivity of the mothers. The women were considered sensitive if they supported their children’s activities and did not interfere(干预) unnecessarily. They tested the children for thinking and language development when they were three years old. Also, the researchers observed the women for signs of depression. The children of depressed women did not do as well in tests as the children of women who did not suffer from depression. The children of depressed women did poorly in tests of language skills and understanding what they hear.These children also were less cooperative and had more problems dealing with other people. The researchers noted that the sensitivity of the mothers was important to the intelligence development of their children. Children did better when their mothers were caring, even when they suffered from depression. 29. According to the passage, which of the following is NOT the factor that influences intelligence development in babies?A. The environment.B. Their peersC. Mother’s sensitivityD. Education before birth30. What is the purpose of the experiment in which newborn babies heard the stories?A. To prove that babies can learn on the first day they are bornB. To show mothers can strongly influence intelligence development in their babiesC. To indicate early education has a deep effect on the babies’ language skillsD. To prove that babies can learn before they are born31. Which group of children did the worst in tests of language skills?A. The children of women who did not suffer from depressionB. The children of depressed but caring mothersC. The children of depressed mothers who cared little for their childrenD. Children with high communication abilities32. What is the main idea of the passage?A. Scientific findings about how intelligence develops in babiesB. Scientific findings about how babies develop before birthC. Scientific findings about how time has an effect on babies’ intelligenceD. A study shows babies are not able to learn things until they are five or six months oldDOver seven months have passed since Panamanian officials launched an expansion of the world famous Panama Canal. Officials agreed to the expansion so that many of the world’s largest cargo ships (货船) could easily pass through the canal. Yet the $ 5.25-billion project has problems. It says ships stillcontinue to rub against the canal’s walls and wear out its defenses designed to protect both shipping and the waterway.A dangerous systemThe canal links two oceans-the Atlantic and the Pacific-through a system of locks (船闸). The locks are like steps. They raise and lower ships from one part of the waterway to another on their trip from ocean to ocean.With the old locks, which are still in use, large ships would be tied to powerful engines on both sides. These engines help to keep the ships in the center of the canal. In the new locks, the ships are tied to tugboats (拖船). One tugboat is tied to the front of the ship, with the other tied to the back. These boats then guide the ships through the canal.At first, pilots of the cargo ships and tugboat operators would sometimes try to rub the boats against the canal walls as a way to keep the ships straight. But this caused damage to rubber padding (垫料) lining the walls.Not enough trainingEven before the expanded canal opened in June 2016, tugboat operators had expressed concern about the new system. Many asked for more training. The fears and dangers remain, although the boats are going through.The Panama Canal Authority reports that, between June 2016 and January 2017, there were only 15 incidents that resulted in damage to locks or ships. That represents about 2 percent of the 700 times ships that have sailed through the expanded canal.Pilots have argued they should be replaced with a system of floating bumpers (减震) like those used in some European locks. Officials say they plan to continue operating with the current system of defenses, but changes could happen in the future.33. What is the difference between the new locks and the old ones?A. The old locks don’t need rubber padding as defenses.B. The new locks need tugboats tied to both sides of the ships.C. The new locks are easier for the largest ships to pass through the canal.D. The old locks need powerful engines to drag the ships through the canal.34. What is the Panama Canal Authority’s attitude towards the expanded canal?A. Cautious.B. Critical.C. Positive.D. Doubtful.35. What can we learn about the current system of defenses?A. No ships shall rub against the canal walls to protect it.B. Nothing will be done at present to improve it.C. More training will be given to pilots for it.D. A new system will replace it.第二节（共 5 小题，每小题 2 分，满分 10 分）根据短文内容，从短文后的选项中选出能填入空白处的最佳选项，选项中有两项为多余选项。

理综卷2018届北京四中高三第一次模拟考试(一模)仿真卷(A卷)

2018届高三第一次模拟考试（一模）理综试卷（A 卷）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷（选择题）一、选择题（本题共13小题，每小题6分。

每小题只有一个选项最符合题意。

） 1．（2018长沙铁路一中）下列关于生物膜系统的叙述，正确的是（） A. 不同的生物膜上的糖类均与蛋白质结合形成糖蛋白 B. 细胞膜可以通过高尔基体分泌的小泡实现自我更新 C. 效应T 细胞使靶细胞裂解的过程体现了细胞膜的功能特性 D. 人体肝脏细胞与神经细胞上的膜蛋白种类和含量大体相同2．（2018辽宁实验中学）下图是遗传信息的传递过程，在记忆细胞和效应T 细胞内，所能进行的生理过程是（）A. 两者都只有①B. 前者只有①，后者有①②③C. 两者都只有②③D. 前者有①②③，后者只有②③3．（2018广东汕头市联考）下列实验中，有关操作时间的长短对实验现象或结果影响的叙述，正确的是（）A. 在“质壁分离与复原”的实验中，第二次与第三次观察间隔时间的长短对实验现象的影响相同B. 在“P 标记的噬菌体侵染细菌”实验中，保温时间过长或过短对上清液检测结果相同C. 在“观察根尖分生组织细胞的有丝分裂”实验中，解离时间的长短对实验现象的影响相同D. 用标志重捕法调查种群密度时，两次捕获间隔时间的长短对调查结果的影响相同4．（2018山东泰安市联考）二倍体植物生活在某些环境条件下容易发生细胞分裂异常，若某二倍体植物经有性生殖产生的子一代植株具有下列变异表现：叶片等器官比较大；抗逆性增强；高度不育等。

北京高考理科数学2018模拟试题1(含答案、详细评标及试题难度系数分析)

普通高等学校招生全国统一考试模拟试卷1（北京卷）理科数学本试卷共4页，150分。

考试时长120分钟，考生务必将答案填写在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷、答题卡和草稿纸一并收回。

第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1.已知集合2{|20}A x x x =-=，{0,1,2}B =，若A B =A ．{0}B ．{0,1}C ．{0,2}D ．{0,1,2} 2.下列函数中，在区间(0,}+∞上为增函数的是 A ．1y x =+ B ．2=(1)y x - C ．2x y -= D ．0.5log (1)y x =+3.设{}n a 是公比为q 的等比数列，则“1q >”是“{}n a 为递增数列”的 A ．充分且不必要条件 B ．必要且不充分条件 C ．充分且必要条件 D ．既非充分也非必要条件4.设a ，b R ∈，若a b >，则 A ．11a b< B ．lg lg a b > C ． 22a b> D ．sin sin a b > 5.若输出的S 的值为64，则判断框内应填入的条件是 A .3?k ≤ B .3?k < C .4?k ≤ D .4?k > 6．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为A ．19B ．16C ．13D ．12注：1-4页为试题，5-11页为详细答案及评分标准，12-13页为试题难度说明. 本试卷配套标准答题纸可在百度文库本试卷作者处免费获得. 印发时，请删去本标注.7.甲、乙、丙、丁、戊五人排成一排，甲和乙都排在丙的同一侧，排法种数为（） A ．12B ．40C ．60D ．808.某折叠餐桌的使用步骤如图所示，有如图检查项目：项目①：折叠状态下（如图1），检查四条桌腿长相等；项目②：打开过程中（如图2），检查''''OM ON O M O N ===；项目③：打开过程中（如图2），检查''''OK OL O K O L ===；项目④：打开后（如图3），检查123490∠=∠=∠=∠=︒；项目⑤：打开后（如图3），检查''''AB A B C D CD ===．在检查项目的组合中，可以正确判断“桌子打开之后桌面与地面平行的是”（） A ．①②③B ．②③④C ．②④⑤D ．③④⑤第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

北京市第四中学2018届高三上学期期中考试数学(理)试题+Word版含解析

2017-2018学年北京市第四中学高三上学期期中考试数学理一、选择题：共8题1. 已知集合,那么等于A. B. C. D.【答案】B【解析】由得，结合可知，故选B.2. 若,则A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，所以是第一或第三象限角，当是第一象限角时，且，则；当是第三象限角时，且，则，故选C.3. 已知向量满足,则A. B. 1 C. D.【答案】C【解析】，所以，则，故选C.4. 设,则A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：由函数的单调性可知由单调性可知，由函数单调性可知，所以有，故选B考点：函数单调性比较大小5. 已知,则是的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当时，，，则，所以；若，则，则，因此充分性成立,而必要性不成立，故是的充分不必要条件，故选A.6. 函数的图象如图所示,则的解析式可以为A. B. C. D.【答案】C【解析】对于A，，当时，，不符合题意，则A不正确；B，是奇函数，不符合题意，则B不正确；C恒成立，符合题意，则C正确；D，当时不符合题意，故D不正确，故选C.7. 实数满足若的最大值为,最小值为,则实数的取值范围是A. B.C. D.【答案】C【解析】作出不等式组所表示的平面区域,如图所示，点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.请在此填写本题解析!8. 设函数的定义域为,如果存在正实数,使得对任意,都有,则称为上的“型增函数”.已知函数是定义在上的奇函数,且当时,).若为上的“型增函数”,则实数的取值范围是A. B. C. D.【答案】B【解析】∵函数是定义在上的奇函数，且当时，)，∴，∵为上的“20型增函数”，∴，当时，，解得，当时，由，即，得：∴，∴或，解得，∴实数的取值范围是，故选B.二、填空题：共6题9. 若函数,则等于___________.【答案】3【解析】因为，所以,则，故答案为3.10. 在平面直角坐标系中,点,若向量,则实数___________. 【答案】4【解析】试题分析：，因为，故，即，解得.考点：1、向量的坐标运算；2、向量垂直.11. 已知函数的导函数的部分图象如图所示,且导函数有最小值,则_________,___________.【答案】(1). 2 (2).【解析】，由图象可知，则，又，且，所以，故答案为2和.12. 已知正数满足,则的最小值是___________.【答案】9【解析】由题意，当且仅当，即，时取等号，故答案为9.点睛：本题主要考查了基本不等式.基本不等式求最值应注意的问题(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．13. 已知函数(其中为自然对数的底数,且),若,则实数的取值范围是___________.【答案】【解析】由二次函数的性质可知，当时，是增函数，当时，，又当时，，所以函数在R上是增函数，则不等式等价于，所以，则实数的取值范围是，故答案为.14. 以A表示值域为R的函数组成的集合,B表示具有如下性质的函数组成的集合:对于函数,存在一个正数M,使得函数的值域包含于区间.例如,当时,. 现有如下命题:①设函数的定义域为D,则“”的充要条件是“”;②若函数,则有最大值和最小值;③若函数的定义域相同,且,则;④若函数有最大值,则.其中的真命题有___________. (写出所有真命题的序号)【答案】①③④【解析】①充分性:即表示的值域为R,所以在定义域内能够找到点使得函数值为R内一点；必要性:在定义域内能找到点使函数值为R上任一点,说明函数值域为R,所以满足充要条件，①正确；②充分性:表示有界，不能推出有最大值与最小值；有最大值与最小值表示有界，可以推出,所以为必要不充分条件，②错误；③即表示的值域为R，表示有界，有界函数加上无界函数为无界函数,所以,则③正确；④因为无界，所以有最大值说明a=0,有界,所以,则④正确.故本题正确答案为:①③④三、解答题：共6题15. 已知集合,.(1)求;(2)已知,若是的充分不必要条件,求的取值范围.【答案】(1).(2)【解析】试题分析：(1)求出集合，再利用补集与交集的定义求解即可；(2)是的充分不必要条件，则，则.试题解析：(1),.，(=.(2)是的充分不必要条件，则，所以，即的取值范围是16. 在锐角中,内角所对的边长分别为,已知的面积.(1)求的值;(2)求的值.【答案】(1).(2).【解析】试题分析：(1)由三角形的面积公式可得c=6；(2)由已知求出，再利用余弦定理求出求出a，再结合正弦定理即可求出.试题解析：(1)由，可得.(2)由锐角△ABC中可得.由余弦定理可得:,由正弦定理:，即.17. 已知函数(1)求函数的最小正周期与单调增区间;(2)求函数在上的最大值与最小值.【答案】(1)最小正周期为单调增区间为.(2)最小值,最大值.【解析】试题分析：根据题意、二倍角的正弦、余弦公式、两角和的正弦公式运算化简；（1）由三角函数的周期公式求出周期，再由正弦函数的单调递增区间求出此函数的增区间；（2）由的范围求出求出的范围，再由正弦函数的性质求出次函数的最大值、最小值.试题解析：由题意得，，(1)的最小正周期为令,解得,所以函数的单调增区间为.(2)因为,所以,所以，于是,所以，当且仅当时取最小值，当且仅当,即时最大值.点睛：本题主要考查了三角函数的化简，以及函数的性质，属于基础题，强调基础的重要性，是高考中的常考知识点；对于三角函数解答题中，当涉及到周期，单调性，单调区间以及最值等都属于三角函数的性质，首先都应把它化为三角函数的基本形式即，然后利用三角函数的性质求解.18. 已知函数.(1)若曲线在点处的切线与直线垂直,求的值;(2)当时,试问曲线与直线是否有公共点?如果有,求出所有公共点;若没有,请说明理由.【答案】(1),(2)曲线与直线仅有一个公共点,公共点为.【解析】试题分析：(1)求出切线的斜率,则易得切线方程；(2)由题意，令，求导并判断函数的单调性，判断函数的零点个数,即可得出结论.试题解析：(1)函数的定义域为.又曲线在点处的切线与直线垂直,所以,即,(2)当时,.令，.当时,在单调递减;当时,在单调递增.又,所以在恒负.因此,曲线与直线仅有一个公共点,公共点为.点睛：本题主要考查了导数的几何意义即函数在某点处的导数即为曲线在该点处切线的斜率，以及导数在函数零点中的应用，属于中档题；两曲线和交点的个数转化为的图象与轴交点的个数，再通过导数判断函数的单调性得其大致图象得到结果.19. 已知函数 (为实常数).(1)若,求曲线在处的切线方程;(2)讨论函数在上的单调性;(3)若存在,使得成立,求实数的取值范围.【答案】(1)y=1.(2)答案见解析；(3).【解析】试题分析：(1)求出切线的斜率，，即可得出切线方程；(2)[1,e]，分、三种情况讨论导数的符号，即可得出结论；(3)分、三种情况讨论函数的单调性并求出最值,则易得结论. 试题解析：(1)时,,所求切线方程为y=1.⑵[1,e].当即a≤2时，[1,e],,此时,在[1,e]上单调增；当即时，时,上单调减；时,在上单调增;当即时，,此时,在上单调减；⑶当时,在上单调增,的最小值为当时,在上单调减,在上单调增,的最小值为.因为.当时,在上单调减,的最小值为,，综上,20. 设是定义在D上的函数,若对D中的任意两数),恒有,则称为定义在D上的C函数.(1)试判断函数是否为定义域上的C函数,并说明理由;(2)若函数是R上的奇函数,试证明不是R上的C函数;(3)设是定义在D上的函数,若对任何实数以及D中的任意两数),恒有,则称为定义在D上的π函数. 已知是R上的π函数,m是给定的正整数,设,且,记. 对于满足条件的任意函数,试求的最大值.【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析；(3)的最大值为.【解析】试题分析：(1)证明是否成立,即可得出结论；(2)假设是R上的C函数,取, 则有,结合奇函数可得,是同理可得,则推出矛盾；(3)对任意,取.由题意,=≤=,则.试题解析：(1)是C函数,证明如下:对任意实数),有==.即，是C函数.(2)假设是R上的C函数,取,则有.是奇函数，所以，所以. (*)同理,取,可证.与(*)式矛盾.不是R上的C函数.(3)对任意,取.是R上的函数,,且==.那么=.可证是函数,且使得都成立，此时. 综上所述,的最大值为.。

2018年高三第一次数学模拟考试试题含答案

2018年高考数学一模试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中1-6题每题4分，7-12题每题5分）1．已知集合A={1，2，5}，B={2，a}，若A∪B={1，2，3，5}，则a= ．2．抛物线y2=4x的焦点坐标为．30的解是．4．若复数z满足iz=1+i（i为虚数单位），则z= ．5．在代数式（x7的展开式中，一次项的系数是．（用数字作答）6．若函数y=2sin（ωx+1（ω＞0）的最小正周期是π，则ω= ．7．（5分）若函数f（x）=x a，则a= ．8．（5分）将一个正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，所得几何体的体积为27πcm3，则该几何体的侧面积为cm2．9．（5分）已知函数y=f（x）是奇函数，当x＜0 时，f（x）=2x﹣ax，且f（2）=2，则a= ．10．（5分）若无穷等比数列{a n}的各项和为S n，首项 a1=1，公比为a n=a，则a= ．11．（5分）从5男3女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成 4人志愿者服务队，要求服务队中至少有 1 名女生，共有种不同的选法．（用数字作答）12．（5分）在ABC中，BC边上的中垂线分别交BC，AC于点D，E，，则AC= ．二、选择题（本大题共有4题，满分20分）13．（5分）展开式为ad﹣bc的行列式是（）A14．（5分）设a，b∈R，若a＞b，则（）A B．lga＞lgb C．sin a＞sin b D．2a＞2b15．（5分）已知等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，则“d＞0”是“S4+S6＞2S5”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件16．（5分）直线x=2与双曲线y2=1的渐近线交于A，B两点，设P为双曲线上任一点，a，b∈R，O为坐标原点），则下列不等式恒成立的是（）A．a2+b2≥1 B．|ab|≥1 C．|a+b|≥1 D．|a﹣b|≥2三、解答题（本大题共有5题，满分76分）17．（14分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，A1C与底面ABCD所成的角为60°，（1）求四棱锥A1﹣ABCD的体积；（2）求异面直线A1B与 B1D1所成角的大小．18．（14分）已知f（x）2x﹣1．（1）求f（x）的最大值及该函数取得最大值时x的值；（2）在△ABC 中，a，b，c分别是角 A，B，C所对的边，若f求边c的值．19．（14分）2016 年崇明区政府投资 8 千万元启动休闲体育新乡村旅游项目．规划从 2017 年起，在今后的若干年内，每年继续投资 2 千万元用于此项目.2016 年该项目的净收入为 5 百万元，并预测在相当长的年份里，每年的净收入均为上一年的基础上增长50%．记 2016 年为第 1 年，f （n）为第 1 年至此后第 n （n∈N*）年的累计利润（注：含第 n 年，累计利润=累计净收入﹣累计投入，单位：千万元），且当 f （n）为正值时，认为该项目赢利．（1）试求 f （n）的表达式；（2）根据预测，该项目将从哪一年开始并持续赢利？请说明理由．20．（16分）在平面直角坐标系中，已知椭圆C2=1 （a＞0，a≠1）的两个焦点分别是F1，F2，直线l：y=kx+m（k，m∈R）与椭圆交于A，B两点．（1）若M为椭圆短轴上的一个顶点，且△MF1F2是直角三角形，求a的值；（2）若k=1，且△OAB是以O为直角顶点的直角三角形，求a与m满足的关系；（3）若a=2，且k OA•k OB=OAB的面积为定值．21．（18分）若存在常数k（k＞0），使得对定义域D内的任意x1，x2（x1≠x2），都有|f（x1）﹣f（x2）|≤k|x1﹣x2|成立，则称函数f（x）在其定义域 D上是“k﹣利普希兹条件函数”．（1）若函数f（x）（1≤x≤4）是“k﹣利普希兹条件函数”，求常数k的最小值；（2）判断函数f（x）=log2x 是否是“2﹣利普希兹条件函数”，若是，请证明，若不是，请说明理由；（3）若y=f（x）（x∈R ）是周期为2的“1﹣利普希兹条件函数”，证明：对任意的实数x1，x2，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤1．三、解答题（本大题共有5题，满分76分）17．解：（1）∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，∴AA1⊥平面ABCD，=2∴∠A1CA是A1C与底面ABCD所成的角，∵A1C与底面ABCD所成的角为60°，∴∠A1CA=60°，∴AA1∵S正方形ABCD=AB×BC=2×2=4，∴四棱锥A1﹣ABCD的体积：（2）∵BD∥B1D1，∴∠A1BD是异面直线A1B与B1D1所成角（或所成角的补角）．∵A1D=A1∴cos∠A1∴∠A1∴异面直线A1B与 B1D1所成角是18．解：f（x）2x﹣（（1）当k∈Z），f（x）取得最大值为2；（2）由f2sin（可得sin（∵0＜A＜π∴∴当∵解得：c=4当∵解得：c=2．19．解：（1）由题意知，第1年至此后第n（n∈N*）年的累计投入为8+2（n﹣1）=2n+6（千万元），第1年至此后第n（n∈N*）…．∴f（n）2n+6）2n﹣7（千万元）．（2）方法一：∵f（n+1）﹣f（n）2（n+1）﹣7]﹣2n﹣﹣4]，∴当n≤3时，f（n+1）﹣f（n）＜0，故当n≤4时，f（n）递减；当n≥4时，f（n+1）﹣f（n）＞0，故当n≥4时，f（n）递增．又f（1）=0，f（7）521=0，f（8）23≈25﹣23=2＞0．∴该项目将从第8年开始并持续赢利．答：该项目将从2023年开始并持续赢利；方法二：设f（x）2x﹣7（x≥1），则f′（x）令f'（x）=0，∴x≈4．从而当x∈[1，4）时，f'（x）＜0，f（x）递减；当x∈（4，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）递增．又f（1）=0，f（7）521=0，f（8）23≈25﹣23=2＞0．∴该项目将从第8年开始并持续赢利．答：该项目将从2023年开始并持续赢利．20．解：（1）∵M为椭圆短轴上的一个顶点，且△MF1F2是直角三角形，∴△MF1F2为等腰直角三角形，∴OF1=OM，当a＞1，解得当0＜a＜1，解得（2）当k=1时，y=x+m，设A（x1，y1），（x2，y2），1+a2）x2+2a2mx+a2m2﹣a2=0，∴x1+x2=x1x2∴y1y2=（x1+m）（x2+m）=x1x2+m（x1+x2）+m2∵△OAB是以O为直角顶点的直角三角形，，∴x1x2+y1y2=0，，∴a2m2﹣a2+m2﹣a2=0∴m2（a2+1）=2a2，（3）证明：当a=2时，x2+4y2=4，设A（x1，y1），（x2，y2），∵k OA•k OB=∴x1x2=﹣4y1y2，（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0．∴x1+x2x1x2∴y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m22﹣4∴2m2﹣4k2=1，∴∵O到直线y=kx+m的距离∴S△OAB|AB|d=21．解：（1）若函数f（x）（1≤x≤4）是“k﹣利普希兹条件函数”，则对于定义域[1，4]上任意两个x1，x2（x1≠x2），均有|f（x1）﹣f（x2）|≤k|x1﹣x2|成立，不妨设x1＞x2，则k∵1≤x2＜x1≤4∴k的最小值为（2）f（x）=log2x的定义域为（0，+∞），令x1x2f f=log log﹣1﹣（﹣2）=1，而2|x1﹣x2f（x1）﹣f（x2）＞2|x1﹣x2|，∴函数f（x）=log2x 不是“2﹣利普希兹条件函数”．证明：（3）设f（x）的最大值为M，最小值为m，在一个周期[0，2]内f（a）=M，f（b）=m，则|f（x1）﹣f（x2）|≤M﹣m=f（a）﹣f（b）≤|a﹣b|．若|a﹣b|≤1，显然有|f（x1）﹣f（x2）|≤|a﹣b|≤1．若|a﹣b|＞1，不妨设a＞b，则0＜b+2﹣a＜1，∴|f（x1）﹣f（x2）|≤M﹣m=f（a）﹣f（b+2）≤|a﹣b﹣2|＜1．综上，|f（x1）﹣f（x2）|≤1．。

2018届北京市西城区高三4月第一次模拟考试理科数学试题及答案精品

北京市西城区2018年高三一模试卷高三数学（理科） 2018.4第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知全集U =R ，集合{|02}A x x =<<，2{|10}B x x =->，那么U A B =ð （A）{|01}x x << （B ）{|01}x x <≤ （C ）{|12}x x << （D ）{|12}x x ≤<2．若复数i2ia +的实部与虚部相等，则实数a = （A ）1- （B ）1 （C ）2- （D ）23．执行如图所示的程序框图．若输出y =角=θ （A ）π6（B ）π6- （C ）π3（D ）π3-4．从甲、乙等5名志愿者中选出4名，分别从事A ，B ，C ，D 四项不同的工作，每人承担一项．若甲、乙二人均不能从事A 工作，则不同的工作分配方案共有（A ）60种（B ）72种（C ）84种（D ）96种5图是边长为2（A ）6（B ）12（C ）12+（D ）24+6．等比数列{}n a 中，10a >，则“13a a <”是“36a a <”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件7．已知函数22()log 2log ()f x x x c =-+，其中0c >．若对于任意的(0,)x ∈+∞，都有()1f x ≤，则c 的取值范围是（A ）1(0,]4（B ）1[,)4+∞（C ）1(0,]8（D ）1[,)8+∞8．如图，正方体1111ABCD A BC D -中，P 为底面上的动点，1PE AC ⊥于E ，且PA PE =，则点轨迹是（A ）线段（B ）圆弧（C ）椭圆的一部分（D ）抛物线的一部分第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．已知曲线C 的参数方程为2cos 12sin x y =⎧⎨=+⎩αα（α为参数），则曲线C 的直角坐标方程为．10．设等差数列{}n a 的公差不为0，其前n 项和是n S ．若23S S =，0k S =，则k =______．11．如图，正六边形ABCDEF 的边长为1，则AC DB ⋅=______．12．如图，已知AB 是圆O 的直径，P 在AB 切圆O 于点C ，CD OP ⊥于D ．若6CD =，10CP =则圆O 的半径长为______；BP =______．13．在直角坐标系xOy 中，点B 与点(1,0)A -关于原点O 对称．点00(,)P x y 在抛物线24y x =上，且直线AP 与BP 的斜率之积等于2，则0x =______．14．记实数12,,,n x x x 中的最大数为12max{,,,}n x x x ，最小数为12min{,,,}n x x x .设△ABC的三边边长分别为,,a b c ，且a b c ≤≤，定义△ABC 的倾斜度为max{,,}min{,a b c at b c a b=⋅,}b cc a．（ⅰ）若△ABC 为等腰三角形，则t =______；（ⅱ）设1a =，则t 的取值范围是______．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）已知函数()sin cosf x x a x=-的一个零点是π4．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）设()()()cosg x f x f x x x=⋅-+，求()g x的单调递增区间．16．（本小题满分13分）某班有甲、乙两个学习小组，两组的人数如下：现采用分层抽样的方法（层内采用简单随机抽样）从甲、乙两组中共抽取3名同学进行学业检测．（Ⅰ）求从甲组抽取的同学中恰有1名女同学的概率；（Ⅱ）记X为抽取的3名同学中男同学的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．17．（本小题满分14分）在如图所示的几何体中，面CDEF 为正方形，面ABCD 为等腰梯形，AB //CD ，BC AB 2=，60ABC ︒∠=，AC FB ⊥．（Ⅰ）求证：⊥AC 平面FBC ；（Ⅱ）求BC 与平面EAC 所成角的正弦值；（Ⅲ）线段ED 上是否存在点Q ，使平面EAC ⊥证明你的结论．18．（本小题满分13分）已知函数()ln f x ax x =-，()e 3ax g x x =+，其中a ∈R ．（Ⅰ）求)(x f 的极值；（Ⅱ）若存在区间M ，使)(x f 和()g x 在区间M 上具有相同的单调性，求a 的取值范围．19．（本小题满分14分）如图，椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ，过点F 的直线交椭圆于A ，B 两点．当直线AB 经过椭圆的一个顶点时，其倾斜角恰为60︒．（Ⅰ）求该椭圆的离心率；（Ⅱ）设线段AB 的中点为G ，AB 的中垂线与x 轴和y 轴分别交于,D E 两点．记△GFD 的面积为1S ，△OED （O围．20．（本小题满分13分）已知集合*12{|(,,,),,1,2,,}(2)n n i S X X x x x x i n n ==∈=≥N ．对于12(,,,)n A a a a =，12(,,,)n nB b b b S =∈，定义1122(,,,)n n AB b a b a b a =---；1212(,,,)(,,,)()n n a a a a a a =∈R λλλλλ；A 与B 之间的距离为1(,)||ni i i d A B a b ==-∑．（Ⅰ）当5n =时，设5(1,2,1,2,)A a =，(2,4,2,1,3)B =．若(,)7d A B =，求5a ；（Ⅱ）（ⅰ）证明：若,,n A B C S ∈，且0∃>λ，使AB BC λ=，则(,)(,)(,)d A B d B C d A C +=；（ⅱ）设,,n A B C S ∈，且(,)(,)(,)d A B d B C d A C +=．是否一定0∃>λ，使AB BC λ=？说明理由；（Ⅲ）记(1,1,,1)n I S =∈．若A ，n B S ∈，且(,)(,)d I A d I B p ==，求(,)d A B 的最大值．北京市西城区2018年高三一模试卷高三数学（理科）参考答案及评分标准2018.4 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1． B ； 2．A ； 3．D ； 4．B ； 5．C ； 6．B ； 7．D ； 8．A ．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．22230x y y +--=； 10．5； 11．32-12．152，5； 13．1+ 14．1，1[1,2．注：12、14题第一问2分，第二问3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：依题意，得π()04f =， ………………1分即ππsincos 044a -==， ………………3分解得 1a =．………………5分（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得()sin cos f x x x =-． ………………6分()()()cos g x f x f x x x =⋅-+(sin cos )(sin cos )2x x x x x =--- ………………7分22(cos sin )2x x x =- ………………8分cos22x x=………………9分π2sin(2)6x =+． ………………10分由 πππ2π22π262k x k -≤+≤+，得ππππ36k x k -≤≤+，k ∈Z ．………………12分所以 ()g x 的单调递增区间为ππ[π,π]36k k -+，k ∈Z ．………………13分16．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：依题意，甲、乙两组的学生人数之比为(35):(22)2:1++=， ……………1分所以，从甲组抽取的学生人数为2323⨯=；从乙组抽取的学生人数为1313⨯=．………2分设“从甲组抽取的同学中恰有1名女同学”为事件A ， ………………3分则 113528C C 15()C 28P A ⋅==，故从甲组抽取的同学中恰有1名女同学的概率为1528． ………………5分（Ⅱ）解：随机变量X 的所有取值为0,1,2,3． ………………6分21522184C C 5(0)C C 28P X ⋅===⋅， 111213525221218484C C C C C 25(1)C C C C 56P X ⋅⋅⋅==+=⋅⋅， 211113235221218484C C C C C 9(2)C C C C 28P X ⋅⋅⋅==+=⋅⋅， 21322184C C 3(3)C C 56P X ⋅===⋅．……………10分所以，随机变量X 的分布列为:………………11分5259350123285628564EX =⨯+⨯+⨯+⨯=． ………………13分17．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为BC AB 2=，60ABC ︒∠=，在△ABC 中，由余弦定理可得 BC AC 3=所以 BC AC ⊥．又因为 AC FB ⊥，所以⊥AC 平面FBC ．（Ⅱ）解：因为⊥AC 平面FBC ，所以FC AC ⊥．因为FCCD ⊥，所以⊥FC 平面ABCD ． ………………5分所以,,CA CF CB 两两互相垂直，如图建立的空间直角坐标系xyz C -． ………………6分在等腰梯形ABCD 中，可得 CB CD =．设1BC =，所以11(0,0,0),(0,1,0),,0),,1)22C A BDE --．所以 )1,21,23(-=CE ，)0,0,3(=CA ，)0,1,0(=CB ．设平面EAC 的法向量为=()x,y,z n ，则有0,0.CE CA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 所以10,20.x y z -+=⎨= 取1z =，得=n (0,2,1)． ………………8分设BC 与平面EAC 所成的角为θ，则||sin |cos ,|||||CB CB CB ⋅=〈〉==θn n n 所以BC与平面EAC 所成角的正弦值为552． ………………9分（Ⅲ）解：线段ED 上不存在点Q ，使平面EAC ⊥平面QBC ．证明如下： ………………10分假设线段ED 上存在点Q ，设 ),21,23(t Q - )10(≤≤t ，所以),21,23(t CQ -=．设平面QBC 的法向量为=m ),,(c b a ，则有0,0.CB CQ ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m所以0,10.2b b tc =⎧-+= 取1=c ，得=m )1,0,32(t -． ………………12分要使平面EAC ⊥平面QBC，只需0=⋅n m ， ………………13分即002110⨯+⨯+⨯=，此方程无解．所以线段ED 上不存在点Q ，使平面EAC ⊥平面QBC ． ………………14分18.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：()f x 的定义域为(0,)+∞， ………………1分且11()ax f x a x x-'=-=． ………………2分① 当0a ≤时，()0f x '<，故()f x 在(0,)+∞上单调递减．从而)(x f 没有极大值，也没有极小值． ………………3分 ② 当0a >时，令()0f x '=，得1x a=．()f x 和()f x '的情况如下：故()f x 的单调减区间为(0,)a；单调增区间为1(,)a+∞．从而)(x f 的极小值为1()1ln f a a=+；没有极大值． ………………5分（Ⅱ）解：()g x 的定义域为R，且()e 3ax g x a '=+． ………………6分③ 当0a >时，显然 ()0g x '>，从而()g x 在R 上单调递增．由（Ⅰ）得，此时()f x 在1(,)a+∞上单调递增，符合题意． ………………8分④ 当0a =时，()g x 在R 上单调递增，()f x 在(0,)+∞上单调递减，不合题意．……9分⑤ 当0a <时，令()0g x '=，得013ln()x a a=-．()g x 和()g x '的情况如下表：当30a -≤<时，00x ≤，此时()g x 在0(,)x +∞上单调递增，由于()f x 在(0,)+∞上单调递减，不合题意． ………………11分当3a <-时，00x >，此时()g x 在0(,)x -∞上单调递减，由于()f x 在(0,)+∞上单调递减，符合题意．综上，a的取值范围是(,3)(0,)-∞-+∞． ………………13分19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：依题意，当直线AB 经过椭圆的顶点(0,)b 时，其倾斜角为60︒． ………………1分设(,0)F c -，则tan 60bc︒==． ………………2分将 b 代入 222a b c =+，解得2a c =．………………3分所以椭圆的离心率为12c e a ==． ………………4分（Ⅱ）解：由（Ⅰ），椭圆的方程可设为2222143x y c c +=． ………………5分设11(,)A x y ，22(,)B x y ．依题意，直线AB 不能与,x y 轴垂直，故设直线AB 的方程为()y k x c =+，将其代入2223412x y c +=，整理得222222(43)84120k x ck x k c c +++-=． ………………7分则 2122843ck x x k -+=+，，22243(,)4343ck ck G k k -++．………………8分因为 GD AB ⊥，所以2223431443Dckk k ck x k +⨯=---+，2243D ck x k -=+． ………………9分因为 △GFD ∽△OED ，所以2222222212222243()()||434343||()43ck ck ck S GD k k k ck S OD k ---++++==-+ ………………11分 222242222242(3)(3)99999()ck ck c k c k ck c k k++===+>． ………………13分所以12S S 的取值范围是(9,)+∞． ………………14分20．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：当5n =时，由51(,)||7i i i d A B a b ==-=∑，得 5|12||24||12||21||3|7a -+-+-+-+-=，即 5|3|2a -=．由*5a ∈N ，得51a =，或55a =． ………………3分（Ⅱ）（ⅰ）证明：设12(,,,)n A a a a =，12(,,,)n B b b b =，12(,,,)n C c c c =．因为 0∃>λ，使 AB BC λ=，所以 0∃>λ，使得 11221122(,,)((,,)n n n n b a b a b a c b c b c b ---=---λ,,，即 0∃>λ，使得 ()i i i i b a c b λ-=-，其中1,2,,i n =．所以 i i b a -与(1,2,,)i i c b i n -=同为非负数或同为负数． ………………5分所以 11(,)(,)||||nni i i i i i d A B d B C a b b c ==+=-+-∑∑1(||||)ni i i i i b a c b ==-+-∑1||(,)ni i i c a d A C ==-=∑．………………6分（ⅱ）解：设,,n A B C S ∈，且(,)(,)(,)d A B d B C d A C +=，此时不一定0∃>λ，使得AB BCλ=．………………7分反例如下：取(1,1,1,,1)A =，(1,2,1,1,,1)B =，(2,2,2,1,1,,1)C ，则 (,)1d A B =，(,)2d B C =，(,)3d A C =，显然(,)(,)(,)d A B d B C d A C +=．因为(0,1,0,0,,0)AB =，(1,0,1,0,0,,0)BC =，所以不存在>0λ，使得AB BC λ=． ………………8分（Ⅲ）解法一：因为 1(,)||ni i i d A B b a ==-∑，设(1,2,,)i i b a i n -=中有()m m n ≤项为非负数，n m -项为负数．不妨设1,2,,i m =时0i i b a -≥；1,2,,i m m n =++时，0i i b a -<．所以 1(,)||ni i i d A B b a ==-∑12121212[()()][()()]m m m m n m m n b b b a a a a a a b b b ++++=+++-+++++++-+++因为 (,)(,)d I A d I B p ==，所以 11(1)(1)nni i i i a b ==-=-∑∑，整理得 11nni i i i a b ===∑∑．所以12121(,)||2[()]ni i m m i d A B b a b b b a a a ==-=+++-+++∑．……………10分因为 121212()()m n m m n b b b b b b b b b +++++=+++-+++()()1p n n m p m ≤+--⨯=+；又 121m a a a m m +++≥⨯=，所以 1212(,)2[()]m m d A B b b b a a a =+++-+++2[()]2p m m p ≤+-=．即(,)2d A B p ≤． ……………12分对于 (1,1,,1,1)A p =+，(1,1,1,,1)B p =+，有 A ，n B S ∈，且(,)(,)d I A d I B p ==，(,)2d A B p =．综上，(,)d A B 的最大值为2p ． ……………13分解法二：首先证明如下引理：设,x y ∈R ，则有 ||||||x y x y +≤+．证明：因为 ||||x x x -≤≤，||||y y y -≤≤，所以 (||||)||||x y x y x y -+≤+≤+，即 ||||||x y x y +≤+．所以 11(,)|||(1)(1)|nni i i i i i d A B b a b a ===-=-+-∑∑1(|1||1|)ni i i b a =≤-+-∑11|1||1|2nni i i i a b p===-+-=∑∑．……………11分上式等号成立的条件为1i a =，或1i b =，所以(,)2d A B p ≤． ……………12分对于 (1,1,,1,1)A p =+，(1,1,1,,1)B p =+，有 A ，n B S ∈，且(,)(,)d I A d I B p ==，(,)2d A B p =．综上，(,)d A B的最大值为2p．……………13分。

精品解析：北京四中2018—2019学年高三第一学期期中考试数学(理科)试题(解析版)

高三数学期中测试卷（理）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每个小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.设函数的定义域为，函数的值域为，则A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先求得集合M和集合P，然后求解其交集即可.【详解】求解函数的定义域可得，求解函数的值域可得，则.本题选择B选项.【点睛】本题主要考查集合的表示方法，交集的定义与运算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2.下列函数，其中既是偶函数又在区间上单调递减的函数为A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】分别考查函数的奇偶性和函数的单调性即可求得最终结果.【详解】逐一考查所给的函数的性质：A.，函数为偶函数，在区间上单调递减；B.，函数为非奇非偶函数，在区间上单调递增；C.，函数为奇函数，在区间上单调递减；D.，函数为偶函数，在区间上单调递增；据此可得满足题意的函数只有A选项.本题选择A选项.【点睛】本题主要考查函数的单调性，函数的奇偶性等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3.函数（）的大致图象是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：因为时，所以不选A;因为函数为偶函数，所以不选D；因为时，所以选C.考点：函数图像与性质【名师点睛】函数图象的辨识可从以下几方面入手：(1)从函数的定义域判断图象的左右位置；从函数的值域判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性判断图象的对称性；(4)从函数的周期性判断图象的循环往复；(5)从函数的特殊点判断图象的相对位置等．4.执行如图所示的程序框图．若输出的结果是，则判断框内的条件是A. ?B. ?C. ?D. ?【答案】C 【解析】试题分析：第一次循环，，不满足条件，循环。

第二次循环，，不满足条件，循环。

第三次循环，，不满足条件，循环。

第四次循环，，满足条件，输出。

所以判断框内的条件是，选C考点：程序框图. 5.函数（）的部分图像如图所示，则函数表达式为A. B.C. D.【答案】B 【解析】由图象可知，∴.∵，∴，∴.本题选择B选项.点睛：已知f(x)＝A sin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：(1)由ω＝即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x0，则令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ.(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.6.原命题：“，为两个实数，若，则，中至少有一个不小于1”，下列说法错误的是（）A. 逆命题为：若，中至少有一个不小于1，则，为假命题B. 否命题为：若，则，都小于1，为假命题C. 逆否命题为：若，都小于1，则，为真命题D. “”是“，中至少有一个不小于1”的必要不充分条件【答案】D【解析】原命题：“，为两个实数，若，则，中至少有一个不小于1”，逆命题：“，为两个实数，若，中至少有一个不小于1，则，”否命题：“，为两个实数，若，则，中都小于1”逆否命题：“若，都小于1，则，为真命题”.逆否命题显然为正，故原命题也为真；当，则不成立，即逆命题为假命题.所以“”是“，中至少有一个不小于1”充分不必要条件.故选D.7.设，定义符号函数，则下列正确的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】试题分析：时，，时，，所以，A 正确．故选A．考点：新定义．8.已知函数，设关于的方程有个不同的实数解，则的所有可能的值为（）A. 3B. 1或3C. 4或6D. 3或4或6【答案】B【解析】由已知，，令，解得或，则函数在和上单调递增，在上单调递减，极大值，最小值.综上可考查方程的根的情况如下（附函数图）：（1）当或时，有唯一实根；（2）当时，有三个实根；（3）当或时，有两个实根；（4）当时，无实根.令，则由，得，当时，由，符号情况（1），此时原方程有1个根，由，而，符号情况（3），此时原方程有2个根，综上得共有3个根；当时，由，又，符号情况（1）或（2），此时原方程有1个或三个根，由，又，符号情况（3），此时原方程有两个根，综上得共1个或3个根.综上所述，的值为1或3.故选B.点睛：此题主要考查函数单调性、最值等性质在求方程根的个数的问题中的应用，以及导数、数形结合法在研究函数单调性、最值中的应用等有关方面的知识和技能，属于高档题型，也是高频考点.方程的实根分布情况，常常与参数的取值范围结合在一起，解答这类问题，有时需要借助于导数从研究函数的单调性入手，使问题获得比较圆满的解决.二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9.为虚数单位，计算______．【答案】；【解析】【分析】由复数的运算法则计算即可.【详解】由复数的运算法则可得：.【点睛】本题主要考查复数的运算法则，属于基础题.10. .【答案】.【解析】试题分析：.考点：定积分的计算.【名师点睛】本题主要考查定积分的计算，意在考查学生的运算求解能力，属于容易题，定积分的计算通常有两类基本方法：一是利用牛顿-莱布尼茨定理；二是利用定积分的几何意义求解.视频11.命题“”的否定是___________【答案】；【解析】【分析】将特称命题否定为全称命题即可.【详解】特称命题的否定为全称命题，则命题“使得成立”的否定是“都有成立”.【点睛】对含有存在(全称)量词的命题进行否定需两步操作：(1)将存在(全称)量词改写成全称(存在)量词；(2)将结论加以否定．这类问题常见的错误是没有变换量词，或者对于结论没给予否定．有些命题中的量词不明显，应注意挖掘其隐含的量词．12.在极坐标系中，为极点，点为直线上一点，则的最小值为______．【答案】【解析】【分析】首先将直线方程转化为直角坐标方程，然后利用点到直线距离公式确定的最小值即可.【详解】直线方程转化为直角坐标方程即：，坐标原点到直线的距离：，即的最小值为.【点睛】本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，点到直线距离公式的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.13.已知函数，则，的最小值是．【答案】，.【解析】试题分析：，若：，当且仅当时，等号成立；若：，当且仅当时，等号成立，故可知．考点：1．分段函数；2．函数最值．视频14.对于函数，若存在一个区间，使得，则称为的一个稳定区间，相应的函数的“局部稳定函数”，给出下列四个函数：①；②；③；④，所有“局部稳定函数”的序号是___________．【答案】①②【解析】“局部稳定函数”的定义可以转换为：函数与至少有两个不同的交点，在交点所构成的区间内具有连续性，在交点所确定的区间之内单调递增或单调递减，很明显①②满足题意，函数与相切，函数与没有交点，综上可得所有“局部稳定函数”的序号是①②.点睛：学习能力型问题必将成为以后高考考核的重点，它题目新颖，考察全面，摆脱了以往只考察学生记忆、计算等方面知识.而这类题型是考察学生的阅读理解力、知识迁移能力和归纳概括能力等，是考察学生素质能力的典型题目，应引起广大师生的关注，学习有两个过程：一个是“从薄到厚”，一个是“从厚到薄”.前者是知识不段丰富、积累的过程，是“量”的积累；“从厚到薄”则是质的飞跃.在这里正是应用到了“从厚到薄”.而这类问题涉及知识面广、开放度高、灵活性强，能够很好地考核考生利用所学知识分析问题和解决问题的能力，需要平时结合所学的知识多联想和多类比，注意知识的活学活用，才能够处理好这类问题.三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15.已知集合A＝，B＝{x|x2－2x－m<0}，(1)当m＝3时，求A∩(∁R B)；(2)若A∩B＝{x|－1<x<4}，求实数m的值．【答案】解：由≥1，得≤0，∴－1<x≤5，∴A＝{x|－1<x≤5}．(1)m＝3时，B＝{x|－1<x<3}．则∁R B＝{x|x≤－1或x≥3}，∴A∩(∁R B)＝{x|3≤x≤5}．(2)∵A＝{x|－1<x≤5}，A∩B＝{x|－1<x<4}，∴有42－2×4－m＝0，解得m＝8，此时B＝{x|－2<x<4}，符合题意，故实数m的值为8【解析】略16.已知的三个内角分别为A,B,C,且（Ⅰ）求A的度数；（Ⅱ）若求的面积S.【答案】（I）（II）【解析】试题分析：（1）由内角和定理及商数关系可得，从而得到的度数；（2）由余弦定理，求出，进而得到的面积.试题解析：（I）∵，∴，∴，又∵为三角形内角，∴，∴，而为三角形内角，∴，综上所述，的度数为．（II）由余弦定理，，，，∴，∴，∴或（舍去），∴，综上所述，的面积为．点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.第三步：求结果.17.已知函数.(Ⅰ)求的最小正周期；(Ⅱ)当时，求函数的单调递减区间.【答案】(Ⅰ)最小正周期为.(Ⅱ).【解析】【分析】(Ⅰ)首先整理函数的解析式，然后结合最小正周期公式求得函数的最小正周期即可；(Ⅱ)首先确定函数的单调递减区间，然后结合函数的定义域确定其在定义域内的单调递减区间即可.【详解】(Ⅰ)的最小正周期为.(Ⅱ)当时，函数单调递减,即的递减区间为：,由=,所以的递减区间为：.【点睛】本题主要考查三角函数解析式的化简，三角函数最小正周期公式，三角函数的单调区间的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.18.已知实数，函数(x∈R).(1) 求函数的单调区间；(2) 若函数有极大值32，求实数a的值.【答案】（1）见解析（2）a＝27【解析】【分析】(1)首先求得函数的导函数，然后分类讨论确定函数的单调区间即可；(2)由题意得到关于a的方程，解方程求得实数a的值，然后检验是否符合题意即可.【详解】(1)∵f(x)＝ax3－4ax2＋4ax，∴f′(x)＝3ax2－8ax＋4a＝a(3x－2)(x－2)．令f′(x)＝0，得x＝或x＝2.当a>0时，函数f(x)的单调增区间是，(2，＋∞)；单调减区间是.当a<0时，函数f(x)的单调增区间是,单调减区间是，(2，＋∞).(2)∵f(x)＝ax(x－2)2(x∈R)有极大值32，而∴当x＝时，f(x)取得极大值32，即a2＝32，∴a＝27.当a＝27时，由(1)知，f（x）在增，在递减，符合题设.【点睛】本题主要考查导数研究函数的单调性，导数研究函数的极值，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.19.已知函数．（1）当a=0时，证明：当x≥0时，f(x)≥0；（2）若当x≥0时，f(x)≥0恒成立，求a的取值范围．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】(1)首先确定函数的单调性，然后结合函数的最小值证明题中的结论即可；(2)首先求得函数的导函数，然后对其二次求导，分类讨论和两种情况求解a的取值范围即可. 【详解】（1），当a=0时，，当x≥0时，，所以y=f(x)在x≥0时单调递增，又因为f(0)=0，f(x)≥f(0)=0.（2），记，①当时，x≥0时，，∴y=g(x)在x≥0时单调递增，g(x)≥g(0)=0，即f＇(x)≥f＇(0)，所以y=f(x)在x≥0时单调递增，f(x)≥f(0)=0.②当时，令，得，当时，，∴在单调递减，∴g(x)≤g(0)=0，即f＇(x)≤f＇(0)=0，在单调递减，∴f(x)＜f(0)=0，与题设矛盾．综上所述，．【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，本专题在高考中的命题方向及命题角度从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．20.已知函数（，，），是自然对数的底数．（Ⅰ）当，时，求函数的零点个数；（Ⅱ）若，求在上的最大值．【答案】（Ⅰ）2；（Ⅱ）见解析.【解析】试题分析：（Ⅰ），，由导数性质得是（0，+∞）上的增函数，是（-∞，0）上的减函数，由此能求出f（x）的零点个数．（Ⅱ）当x∈[-1，1]时，，由导数性质得f（x）是[-1，0]上的减函数，[0，1]上的增函数，由此利用导数性质和构造法能求出a的取值范围．试题解析：（Ⅰ），∴，∴，当时，，∴，故是上的增函数，当时，，∴，故是上的减函数，，，∴存在是在上的唯一零点；，，∴存在是在上的唯一零点，所以的零点个数为2．（Ⅱ），当时，由，可知，，∴，当时，由，可知，，∴，当时，，∴是上的减函数，上的增函数，∴当时，，为和中的较大者．而，设（），∵（当且仅当时等号成立），∴在上单调递增，而，∴当时，，即时，，∴．∴在上的最大值为.。

北京四中高三数学第一次模拟考试(理科卷)

北京四中高三数学第一次模拟考试（理科卷）2018年度第I 卷（选择题）一、选择题:（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

）1．若集合{},,0|B B A y y A =≥= 则集合B 不可能是（）A ．{}0,|≥=x x y y B ．{}0,lg |>=x x y y C ．⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧∈⎪⎭⎫ ⎝⎛=R x y y x ,21| D ．φ 2．已知平面向量()1,2-=a ，()23,732-=+m b a ，且a ∥b ，则=-b a 62 （）A ．()4,2--B ．()6,3--C ．()1,2-D ．()5,10-3．下列命题中是全称命题，并且是真命题的是（）A. 每一个二次函数的图像都是开口向上.B. 存在一条直线与两个相交平面都垂直.C. 存在一个实数，使0632<+-x x . D. 对任意0≤c ，若c b a +≤则b a ≤.4.已知函数f （x ）的部分图象如图所示，则f （x ）的解析式可能为（） A ．f （x ）=2cos （23x π-）B ．f （x ）=2cos （44x π+） C ．f （x ）=2sin （26x π-）D ．f （x ）=2sin （44x π+） 5．设函数()246,06,0x x x f x x x ⎧-+≥=⎨+<⎩，则不等式()()1f x f >的解集是（）A .()()3,13,-+∞B .()()3,12,-+∞C .()()1,13,-+∞D .()(),31,3-∞-6.如下图所示是一个半径等于2的半球,现过半球底面的中心作一个与底面成80°角的截面,则截面的面积为（）A ．2π B ．π C ．π2 D ． 80sin π 7．给出下列四个命题：①若0>>b a ，则b b a a 11->-；②已知0>h ，R b a ∈,则h b a 2<-是h a <-1且h b <-1的必要不充分条件③若0>>b a ，则ba b a b a >++22；④若+∈R x ，则xx y 822+=的最小值为8；真命题的个数为（） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个8.已知两条互不重合直线a ，b ，两个不同的平面α，β，下列命题中正确的是A ．若a//α,b//β，且a//b ，则α//βB ．若a⊥α,b//β，且a⊥b，则α⊥βC ．若a⊥α,b//β,且a//b ，则α//βD ．若a⊥α,b ⊥β，且a⊥b，则α⊥β9．定义域为R 的函数)(x f 对任意x 都有)4()(x f x f -=，且其导函数)('x f 满足0)()2('>-x f x ，则当42<<a 时，有（）A ．)(log )2()2(2a f f f a <<B ．)(log )2()2(2a f f f a <<C ．)2()(log )2(2a f a f f <<D ．)2()2()(log 2f f a f a <<10.如图，在体积为V 1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为所在边的中点，正方体的外接球的体积为V ，有如下四个命题；①BD 1=AB 3;②BD 1与底面ABCD 所成角是45°； ③π231=V V ；④MN//平面D 1BC 。

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