8静电场习题课
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度小为球半,径若b在,体圆内心挖O去´, 且一:小O球O,如图a
Or’b r
O a aR
O
R
求：O´点的电势
解：由补偿法可知：E E大球 E小球
球腔内任意点：
E
pr
ERr
Er
3 0 3 0 3 0
(r
∵均匀带电球体 产生的电场：
r) a E
3 0
r
3 0
q
4 0r
2
空腔外、球体内的点r：
E2
q
ER
4 b
3
3
Eb
E2
3 0 r
3 0
q
4 0r
b 3 3 0r2
2
rˆ
rˆ
r a
r R
球体外的点：
例1、
E
已知: S是闭合曲面的一部分
S
面内无净电荷电力线穿过该闭合面
穿过S 部分的电场通量 1
求:通过其余部分的电场通量
2
qi
qi 0
i
解：由高斯定理
e E dS
S
i
0
e 0
2 1 0 2 1
例2、已知:电荷Q均匀分布在半径为R y
6、 2Q
q
Q
or
2d
导体 0 o 0
2Q Q q 0
4 0 2d 4 0 d 4 0r
d
q 2 r Q d
例7、金属球内有两个球形导 体腔,金属球不带电现将电荷 q1 , q2 分别放入两个腔中心,另 将q3放在导体球外,尺寸如图 求: 1) q2对q1 的作用力?
4 Kr 5
5
i
由高斯定理：E 4r 2
1
0
4 5
Kr 5
Kr 3 E
5 0
r>R:
qi
a 4r 2dr
0
i
4 Ka 5
5
S
E4r 2 4 Ka 5
5 0
Ka 5
E 5 0r 2
(r)
o
r
a
例4. 已知:
带电球体,电荷均匀分布,体电荷密
r2)
b 2 2 0
0
6 0
例5、 导体壳原来不带电，现将带电体 Q移近 问:导体上如何感应带电? 导体壳内部场强是多少?
B A
B
B A
B A
B A
例6、
2Q
Q
or
2d
d
已知: 两个点电荷 +2Q , +Q 相距 3d ,一个接地导 体球置于它们之间,尺寸如图
求:导体球所带的净电量?
例3.已知:半径为 a 的带电球,电荷体密度
=Kr2,其中 r 是球心到体内任一点的距离。
求:球内外场强的大小? 解：电荷球对称分布，故电场
(orr)
球对称分布，方向沿径向
S
a 作高斯球面如图示
r<R:
E
dS
qi dV
EdS E 4r 2
r Kr 2 4r 2dr 0
1 2
(1
r
)C 0V
2
(1
r
)C 0V
2
1 2
( r
1)C0V
2
0
外界对系统作功
外力 作功
电场 能的
减小
对电源充电
若电容C0充电后即将线路断开？
A外力 We
介质板抽出过程电容器极板
F
r
带电量不变。
We
q2 2C
q2 2C0
q C0V C C0
E3Biblioteka R 3 3 0r 2rˆ
b 3 3 0r2
rˆ
E1
E3
a 3 0
R 3
3 0r 2
rˆ
r
E2
b 3
3 0
rˆ
3 0r2
b 3 3 0r2
rˆ
o
E dl
o
b a dr 0 3 0
QS
(4R 2 )2 0
iˆ
2).
0 球面
dq
球 面 4 0 R
Q
Q
4R2
S
4 0R
z
3).
在球内紧靠
S
附近取一点
p，由补偿法
E p E球面p E面元p Q
0 (iˆ) 2 0
4R 2 (iˆ) 2 0
y
x S
P
内 部
4 r 3
3
4 0r
2 0 r 2
3 0
6 0
r R
外 部
R 4r 2dr ( R 2 r 4 0r 2 0
o
大
球
(
小 3R2
球
3b
R2 a 2
2 0 6 0 2 a2)
的球面上,球心为坐标原点.
现在在球面与x轴相交处挖去面元S
Q
求:1) E0 ?
2)
0
?
3)挖去面元处 E ?
解： 补偿法 E0 E球 面 ES
Q
4R 2 Q
z
o
x
R
S
0
q
4 0 R 2
(iˆ)
S
4R 2
4 0 R 2
( iˆ )
2) q3对q1 的作用力?
3) A对q1 的作用力?
4) q1 所受的合力?
q1+q2
AR
-q1
-q2
q1 1 O q2 2
a
q3 b
解F：21 1）qq12E对21q1的4作q1用q0a2力2 rˆ21
2）q3对q1的作用力 F31 q1 E31 4
q1q3 0(a
R
(
r dr
Ra
b3 dr)
O’ b
a
OR
(
ab 3
R3
0
dr
b
3b03r
2
dr
)
(3R2 3b2 a2 )
R 3 0r 2
Ra 3 0r 2
6 0
解法2：叠加法
均匀带电球体在其内部任意点产生电势
P 内部 外部 R2 r 2
b
)2
rˆ31
3）A对q1的作用力
Fi1 0
FA1 (F21 F31 )
i
q1+q2
AR
-q1
-q2
q1 1 O q2 2
a
q3 b
例8、电容为C0的平行板电容器，充满相对介电常数r
的均匀电介质后与电源相接，电源两端电势差V。现用
外力抽出介质板，求外力作的功。
解:整个过程 V 不变, 由功能原理：
A外力 A电源 We
We
1 2 C0V
2
1 CV 2
2
F r
V
1 2 C0V
2
1 2
r
C
0V
2
1 2
(1
r
)C 0V
2
0
电场能减小
A电源 Q V V (C0V C V )
(1 r )C0V 2 0
A外 W A电源
电源对外做负功
Or’b r
O a aR
O
R
求：O´点的电势
解：由补偿法可知：E E大球 E小球
球腔内任意点：
E
pr
ERr
Er
3 0 3 0 3 0
(r
∵均匀带电球体 产生的电场：
r) a E
3 0
r
3 0
q
4 0r
2
空腔外、球体内的点r：
E2
q
ER
4 b
3
3
Eb
E2
3 0 r
3 0
q
4 0r
b 3 3 0r2
2
rˆ
rˆ
r a
r R
球体外的点：
例1、
E
已知: S是闭合曲面的一部分
S
面内无净电荷电力线穿过该闭合面
穿过S 部分的电场通量 1
求:通过其余部分的电场通量
2
qi
qi 0
i
解：由高斯定理
e E dS
S
i
0
e 0
2 1 0 2 1
例2、已知:电荷Q均匀分布在半径为R y
6、 2Q
q
Q
or
2d
导体 0 o 0
2Q Q q 0
4 0 2d 4 0 d 4 0r
d
q 2 r Q d
例7、金属球内有两个球形导 体腔,金属球不带电现将电荷 q1 , q2 分别放入两个腔中心,另 将q3放在导体球外,尺寸如图 求: 1) q2对q1 的作用力?
4 Kr 5
5
i
由高斯定理：E 4r 2
1
0
4 5
Kr 5
Kr 3 E
5 0
r>R:
qi
a 4r 2dr
0
i
4 Ka 5
5
S
E4r 2 4 Ka 5
5 0
Ka 5
E 5 0r 2
(r)
o
r
a
例4. 已知:
带电球体,电荷均匀分布,体电荷密
r2)
b 2 2 0
0
6 0
例5、 导体壳原来不带电，现将带电体 Q移近 问:导体上如何感应带电? 导体壳内部场强是多少?
B A
B
B A
B A
B A
例6、
2Q
Q
or
2d
d
已知: 两个点电荷 +2Q , +Q 相距 3d ,一个接地导 体球置于它们之间,尺寸如图
求:导体球所带的净电量?
例3.已知:半径为 a 的带电球,电荷体密度
=Kr2,其中 r 是球心到体内任一点的距离。
求:球内外场强的大小? 解：电荷球对称分布，故电场
(orr)
球对称分布，方向沿径向
S
a 作高斯球面如图示
r<R:
E
dS
qi dV
EdS E 4r 2
r Kr 2 4r 2dr 0
1 2
(1
r
)C 0V
2
(1
r
)C 0V
2
1 2
( r
1)C0V
2
0
外界对系统作功
外力 作功
电场 能的
减小
对电源充电
若电容C0充电后即将线路断开？
A外力 We
介质板抽出过程电容器极板
F
r
带电量不变。
We
q2 2C
q2 2C0
q C0V C C0
E3Biblioteka R 3 3 0r 2rˆ
b 3 3 0r2
rˆ
E1
E3
a 3 0
R 3
3 0r 2
rˆ
r
E2
b 3
3 0
rˆ
3 0r2
b 3 3 0r2
rˆ
o
E dl
o
b a dr 0 3 0
QS
(4R 2 )2 0
iˆ
2).
0 球面
dq
球 面 4 0 R
Q
Q
4R2
S
4 0R
z
3).
在球内紧靠
S
附近取一点
p，由补偿法
E p E球面p E面元p Q
0 (iˆ) 2 0
4R 2 (iˆ) 2 0
y
x S
P
内 部
4 r 3
3
4 0r
2 0 r 2
3 0
6 0
r R
外 部
R 4r 2dr ( R 2 r 4 0r 2 0
o
大
球
(
小 3R2
球
3b
R2 a 2
2 0 6 0 2 a2)
的球面上,球心为坐标原点.
现在在球面与x轴相交处挖去面元S
Q
求:1) E0 ?
2)
0
?
3)挖去面元处 E ?
解： 补偿法 E0 E球 面 ES
Q
4R 2 Q
z
o
x
R
S
0
q
4 0 R 2
(iˆ)
S
4R 2
4 0 R 2
( iˆ )
2) q3对q1 的作用力?
3) A对q1 的作用力?
4) q1 所受的合力?
q1+q2
AR
-q1
-q2
q1 1 O q2 2
a
q3 b
解F：21 1）qq12E对21q1的4作q1用q0a2力2 rˆ21
2）q3对q1的作用力 F31 q1 E31 4
q1q3 0(a
R
(
r dr
Ra
b3 dr)
O’ b
a
OR
(
ab 3
R3
0
dr
b
3b03r
2
dr
)
(3R2 3b2 a2 )
R 3 0r 2
Ra 3 0r 2
6 0
解法2：叠加法
均匀带电球体在其内部任意点产生电势
P 内部 外部 R2 r 2
b
)2
rˆ31
3）A对q1的作用力
Fi1 0
FA1 (F21 F31 )
i
q1+q2
AR
-q1
-q2
q1 1 O q2 2
a
q3 b
例8、电容为C0的平行板电容器，充满相对介电常数r
的均匀电介质后与电源相接，电源两端电势差V。现用
外力抽出介质板，求外力作的功。
解:整个过程 V 不变, 由功能原理：
A外力 A电源 We
We
1 2 C0V
2
1 CV 2
2
F r
V
1 2 C0V
2
1 2
r
C
0V
2
1 2
(1
r
)C 0V
2
0
电场能减小
A电源 Q V V (C0V C V )
(1 r )C0V 2 0
A外 W A电源
电源对外做负功