概率论与数理统计第14讲

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定义3.4
随 变 ξ离 平 的 学 望 机 量 差 方 数 期 , 称 随 变 的 差 为 机 量 方 , 记 Dξ或 ξ . 作 σ
2
而 Dξ或 ξ 称 ξ的 准 (或 差 ) σ 为 标 差 方 根 Dξ = E(ξ − Eξ)
2
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如果ξ是离散型随机变量, 并且 P{ξ=xk}=pk (k=1,2,...), 则
Dξ = ∑(xk − Eξ) pk
2 k
如 ξ是 续 随 变 ,有 率 度 (x),则 果 连 型 机 量 概 密 ϕ Dξ = ∫ (x − Eξ) ϕ(x)dx
2 +∞
可见随机变量的方差是非负数, Dξ≥0, 常量的 方差是零. 当ξ的可能值密集在它的期望值Eξ 附近时, 方差较小, 反之则方差较大.因此方差 的大小可以表示随机变量分布的离散程度
1 0 < x <1 1 E 设 ~ ϕ(x) = ξ 则 ξ = 0.5 = 它 2 0 其 1 1 1 1 2 2 Eξ = ∫ x dx = , Dξ = Eξ −(Eξ) = − = 0 3 3 4 12 η 则 = (b −a)ξ + a服 在a,b]上 匀 布 从 [ 均 分 ,
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图示性质
ξ的概率密度
c
ξ+c的概率密度 ξ的概率密度
cξ的概率密度
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(4) 两个独立随机变量之和的方差, 等于这两 个随机变量方差的和 证 D(ξ+η)=E{ξ+η−E(ξ+η)}2 =E{ξ−Eξ+η−Eη}2 =E{(ξ−Eξ)2+(η−Eη)2+2(ξ−Eξ)(η− Eη)} =E(ξ− ξ)2+E(η− η)2+2E{(ξ− ξ)(η− −E −E −E Eη)} =Dξ+Dη 这是因为ξ与η独立, 则ξ−Eξ与η−Eη也独立, 因此E{(ξ−Εξ)(η−Eη)}=E(ξ−Eξ)E(η−Eη)=0
n
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n
n
如果有n个相互独立的随机变量ξ1,ξ2,...,ξn, 它 们的方差都相同, 为σ2, 则它们的和 ξ1+ξ2+...+ξn的方差就是Dξ1+Dξ2+...+Dξn=nσ2, 因此它们的标准差就是
D(ξ1 +ξ2 +L+ξn ) = nσ
例如, 假设100个同方差的相互独立的随机变 量相加, 和的方差是每一个方差的一100倍, 而 标准差只是每一个的标准差的10倍.
j
同 地 义 定 = yj时 于 的 件 望 样 定 给 η 关 ξ 条 期 为 E{ | η = yj } = ∑xi P ξ = xi | η = yj } ξ {
i
4
对于二元连续型随机变量, 定义
E(η | ξ) = ∫ yϕ( y | x)dy
−∞
+∞
E(ξ | η) = ∫ xϕ(x | y)dx
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例 假设在会计计数时, 每个数都四舍五入到 角, 则四舍五入的误差是一个随机变量, 在−5 分到5分之间均匀分布, 因此方差为 1 1 , 标准差为 ) ≈ 0.2887(角 12 12 如果算帐时有10000个数相加, 则四舍五入的 误差也就相加, 而和的标准差是每个数的标准 差的100倍, 即约28.87角, 或2.887元. 每个数最大可能误差为5分, 则10000个数的最 大可能误差为5000角,或者500元, 但这种情况 几乎不可能发生.
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例5 若连续型随机变量的概率密度是
ax +bx + c 0 < x <1 ϕ(x) = 0 其 它 已 Eξ = 0.5, Dξ = 0.15,求 数 , b, c 知 系 a
2
解:因 ξ = Eξ −(Eξ) = 0.15, D
2 2
则 ξ = Dξ + (Eξ) = 0.15+0.25 = 0.4 E
概率论与数理统计
第14讲 讲
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3.3 条件期望
2
例1 两封信随机投向1,2,3,4四个信箱, ξ1,ξ2代 表头两个信箱里的信数目, 求在第2个邮箱里 有一封信条件下第一个邮箱内信数的平均数. 解 因已经计算出
2 2
∫−∞ϕ(x)dx =1 +∞ 则 ∫ xϕ(x)dx = 0.5 联 解 a,b, c 从 立 得 −∞ +∞ 2 ∫ ∞ x ϕ(x)dx = 0.4 −
+∞
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也即从 1 2 ∫0 (ax +bx +c)dx =1 1 3 2 ∫ (ax +bx +cx)dx = 0.5 0 1 4 3 2 ∫ (ax +bx +cx )dx = 0.4 0 1 1 3 a + 2 b +c =1 1 1 1 得 a + b + c = 0.5 解 a =12,b = −12, c = 3 3 2 4 1 a + 1 b + 1 c = 0.4 5 4 3
ξ2
P
85 87.5 90 92.5 95 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2
则两炮有相同的期望值(Eξi=90,i=1,2), 但比较 两组数据可知乙炮较甲炮准确.弹着点集中.
7
图示比较:
85 90 95
80 85 90 95 100
8
又如有两批钢筋, 每批各10根, 它们的抗拉强 度指标如下: 第一批: 110, 120, 120, 125, 125, 125, 130, 130, 135, 140 第二批: 90 100 120 125 130 130 135 140 145 145 它们的平均抗拉强度指标都是126, 但是, 使用 钢筋时, 一般要求抗拉强度指标不低于一个 指定数值(如115). 那么, 第二批钢筋的抗拉 强度指标与平均值偏差较大, 即取值较分散, 不合格的多, 可以认为第二批比第一批质量 差.
2 1 2
1 a +b (b −a)2 因 Eη = (b −a) + a = 此 , Dη = 2 2 12
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例1 两相互独立的随机变量ξ,η的分布如下面 两表所示, 计算D(ξ−η)
ξ
P
9 10 11 0.3 0.5 0.2
η
P
6 7 0.4 0.6
解 Eξ=9×0.3+10×0.5+11×0.2=9.9 Eη=6×0.4+7×0.6=6.6 Eξ2=81×0.3+100×0.5+121×0.2=98.5 Dξ=Eξ2−(Eξ)2=98.5−98.01=0.49 Eη2=62×0.4+72×0.6=43.8 Dη=Eη2−(Eη)2=43.8−43.56=0.24 D(ξ−η)=Dξ+Dη=0.49+0.24=0.73
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性质4可以推广到任意有限个随机变量 即, 若ξ1,ξ2,...,ξn相互独立, 则有 D(ξ1+ξ2+...+ξn)=Dξ1+Dξ2+...+Dξn 进一步可得: n个相互独立的随机变量的算术 平均数的方差等于其方差算术平均数的1/n倍. ξ1 +ξ2 +L+ξn 1 Dξ1 + Dξ2 +L+ Dξn D = ⋅ n n n
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例2 计算本节开始所举甲乙两炮射击中Dξ1, 及Dξ2 ξ1 80 85 90 95 100 P 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2
ξ2
P
85 87.5 90 92.5 95 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2
解 Eξ1=Eξ2=90, 则 Dξ1=102×0.2+52×0.2+02×0.2+52×0.2+102×0.2 =50 Dξ2=52×0.2+2.52×0.2+02×0.2+2.52×0.2+52×0.2 =12.5
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可见在实际问题中, 仅靠期望值(或平均值) 不能完善地说明随机变量的分布特征, 还必 须研究其离散程度. 通常人们关心的是随机 变量ξ对期望值Eξ的离散程度. 定义3.3 如果随机变量ξ的数学期望Eξ存在, 称 ξ−Eξ为随机变量的离差. 显然, 随机变量离差的期望是零, 即 E(ξ−Eξ)=0 不论正偏差大还是负偏差大, 同样都是离散程 度大, 为了消除离差ξ−Eξ的符号, 用(ξ−Eξ)2来 衡量ξ与Eξ的偏差.
1 (b3 − a3 ) 2 2 2 Eξ = ∫ x ϕ( x)dx = ∫ x ⋅ dx = b−a 3(b − a) a −∞
b +∞
(b3 − a3 ) (b + a)2 1 2 2 2 Dξ = Eξ −(Eξ ) = − = (b − a) 3(b − a) 4 12
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上面的解法太麻烦, 另一种简单的解法是, 先求出在[0,1]区间均匀分布的随机变量的方 差, 再乘上(b−a)2, 就是在[a,b]区间均匀分布的 随机变量的方差.
其中ϕ(y|x)及ϕ(x|y)分别是在ξ=x条件下关于η 的条件概率密度和在η=y条件下关于ξ的条件 概率密度. 当然这个定义假定各式都是有意义 的.
5
+∞
−∞
3.4 方差、协方差
(一) 方差的概念
6
先看两个例子 设甲,乙两炮射击弹着点与目标的距离分别 为ξ1,ξ2(为简便起见, 假定它们只取离散值), 并有如下分布律. ξ1 80 85 90 95 100 P 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2
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图示, 方差大和方差小的情况
ϕ1(x)
方差Biblioteka Baidu x
方差小
ϕ2(x)
x
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例1 计算参数为p的0-1分布的方差 解 根据ξ的概率函数 P{ξ=1}=p P{ξ=0}=1−p=q 则Eξ=0×q+1×p=p Dξ=(0−p)2q+(1−p)2p= =p(pq+q2)=pq(p+q)=pq =p(1−p) Eξ=p Dξ=pq
12
−∞
在数学推导中喜欢用方差Dξ, 而在实际应用 中则更喜欢用标准差σξ ,这是因为标准差的量 纲和随机变量的量纲一样, 随机变量的单位是 元, 则标准差的单位也是元, 随机变量的单位 是公斤, 则标准差的单位也是公斤. 对于一些 测量工具的误差通常用标准差来描述, 而这是 有国家标准的. 一个经验之谈, 任何随机变量 在实际实验中和它的数学期望之差超过3到5 倍的标准差是实际不可能的, 但数学上不承认 这一点. 例如, 假设一个秤的标准差为一克, 它 称一公斤的东西可能不会正好一公斤, 但决无 可能是0.994公斤, 也无可能是1.006公斤.
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求方差的统计学办法 求方差的统计学办法即是通过反复地试验来获 得方差. 假设经过了n次试验,获得了n个随机变 量ξ的数据a1,a2,...,an, 先 计 均 ,获 ξ = (a1 + a2 +... + an ) / n 统 其 值 得
1 n 1 n 2 2 2 则Dξ ≈ ∑(ai −ξ ) = ∑(ai − 2aiξ +ξ ) n i=1 n i=1 1 1 2 2 = ∑ai −2ξ ∑ai +ξ n i=1 n i=1 1 2 2 2 2 = ∑ai −ξ ≈ Eξ −(Eξ) n i=1
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(5) 任意随机变量的方差等于这个随机变量 平方的期望与其期望平方之差, 即 Dξ=Eξ2−(Eξ)2 证 Dξ=E(ξ−Eξ)2 =E{ξ2−2ξEξ+(Eξ)2} =Eξ2−2Eξ⋅Eξ+(Eξ)2 =Eξ2−(Eξ)2 这个公式很重要, 实际上计算一个随机变量的 方差用的是这个公式.
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方差的性质 (1) 常量的方差等于零 证 D(c)=E(c−Ec)2=E(c−c)2=0 (2) 随机变量与常量之和的方差就等于这个随 机变量的方差本身 证 D(ξ+c)=E{ξ+c−E(ξ+c)}2=E{ξ+c−Eξ−c)2 =E(ξ−Eξ)2=Dξ (3) 常量与随机变量乘积的方差, 等于这常量 的平方与随机变量方差的乘积. 证 D(cξ)=E{cξ−E(cξ)}2=E{c(ξ−Eξ)}2 =E{c2(ξ−Eξ)2}=c2Dξ
计算Eξ2的办法:
ξ 离 型 当为 散 :
Eξ = ∑x pk
2 2 k k
ξ 连 型 当为 续 :
Eξ = ∫ x ϕ(x)dx
2 2 −∞
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+∞
例3 计算在区间[a,b]上服从均匀分布的随机 变量ξ的方差. 解 已知ξ的概率密度为 1 a < x < b 在3.1例4中已算出 ϕ(x) = b −a Eξ=(a+b)/2 0 其 它
1 2 P ξ1 = k | ξ2 =1 = (k = 0,1 { } ) 3 3 因 ,在 2 =1 件 ,ξ1的 均 应 此 ξ 条 下 平 值 为 2 1 1 E{ 1 | ξ2 =1 = 0× +1× = ξ } 3 3 3
3
k
1−k
对于二元离散型随机变量(ξ,η), 在ξ取某一 个定值, 比如ξ=xi的条件下, 求η的数学期望, 称此期望为给定ξ=xi时η的条件期望, 记作 E{η|ξ=xi}, 有 E{ | ξ = xi} = ∑yj P η = yj | ξ = xi} η {