综合压轴题型归类

K1=K2且b1 ≠ b2
K1≠K2 （3）两直线重合 K1=K2且b1 = b2
K1●K2 =-1
【例题精讲】
★和最小，差最大
Y=x2-2x-3（以下几种分类的函数解析式就是这个） （1）在对称轴上找一点P,使得PB+PC的和最小,求出P点坐标
（2）在对称轴上找一点P，使得PB-PC的差最大，求出P点坐标
F
B E
G C E C F
(3)拓展迁移
如图3，梯形ABCD中，DC // AB，点E是BC的延长线上一点， AE和BD相交于点F，若
AB BC AF = a, = b (a＞0,b＞0), 则 的值 CD BE EF
D
是_________________（用含a、b的代数式表示）. A B
2.（2013河南22）如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，
实上，我们可以延长CE与直线BA相交，通过三角形的全等等知识解决问题．）
（2）类比探索
在（1）中，如果把BD改为∠ABC的外角∠ABF的平分线， 其他条件均不 变（如图2），（1）中的结论还成立吗？
若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由； （3）拓展延伸
在（2）中，如果AB≠AC，且AB=nAC（0＜n＜1），其他 条件均不变（如图3），请你直接写出BD与CE的数量关系． 结论：BD= CE（用含n的代数式表示）．
A
E
D F G
B
（3）类比探究
C D
保持（1）中的条件不变，
若DC=nDF，求AD 的值；
AB
A
E
F
G B C
（2）问题解决 保持（1）中的条件不变，若DC=2DF，求 AD 的值； AB
A
E
x
G
a
C
D F
B
（3）类比探究 保持（1）中的条件不变，若DC=nDF，求
AD 的值； AB
A
E
D F G
【常考点汇总 】
1、两点间的距离公式：AB
y A y B 2 x A x B 2
x A xB y A yB ， 2、中点坐标：线段AB的中点C的坐标为： 2 2
3、直线y1=k1x+b1(K1≠0)与y2=k2x+b2(K2≠0)的位置关系： （1）两直线平行 （2）两直线相交 （4）两直线垂直
其中∠C=90°，∠B=∠E=30°.
初步感知
B(E)
B
（1）操作发现
如图2，固定△ABC，使△DEC绕点C旋转， 当点D恰好落在AB边上时，填空： ①线段DE与AC的位置关系是_________； ②设△BDC的面积为 S1，△AEC的面积为 S 2 ， 则 S1与 S 2的数量关系是___.
D A(D) C A C
6、分类思想的使用：未给出图形的题目要注 意是否会有不同情况,画出不同的图形
A、等腰三角形的分类：以哪个点作顶点分为三类（ 两画圆弧，一作垂直平分线），告诉一边要分为这 一边是底还是腰，告诉一角要分为这一角是顶角还 是底角。 B、直角三角形的分类：以哪个点作直角顶点,注意直 径所对的圆周角是直角； C、相切：注意外切和内切； D、圆内接三角形，注意圆心在三角形内部还是外部 E、四边形的分类：以ABCD四个点为顶点的平行四 边形要注意分类：AB为一边，AB为一对角线。 F、点在线段还是直线上，若在直线上一般要进行分 类讨论。
AD 的值； AB
AD 的值. AB
A
E
D
F
G
B
C
（1）操作发现 如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE 折叠后得到△GBE，且点G在矩形ABCD内部．小明将 BG延长交DC于点F，认为GF=DF，你同意吗？说明理 由； E
1 2
A
D F
A
E
D
F
B
3 4
G
C
B
G
C
（2）问题解决
保持（1）中的条件不变， 若DC=2DF，求 AD 的值； AB
2、解答题中的较容易题，要认真细致，分式 方程要检验，一元二次方程要注意二次项 系数不为0，分母不能为零，偶次根号下大 于等于0，0的0次幂没有意义，字迹清晰, 卷面整洁,解题过程规范.
3、求点的坐标;作垂线段,求垂线段的长,再根 据所在象限决定其符号.注意用坐标表示线 段的长度时,要注意长度是正值,在负坐标前 加负号.
B
D C A D
（2）猜想论证
当△DEC绕点C旋转到图3所示的位置时，小明猜想（1）中
NM A
S1与 S 2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC和
△AEC中BC、CE边上的高，请你证明小明的猜想.
（3）拓展探究
已知∠ABC=60°，点D是其角平分线上一点，BD=CD=4，DE//AB交 BC于点E（如图4）.若在射线BA上存在点F，使 S DCF S BDE ，请直接 写出相应的BF的长.
问题探究
例.(2010河南22） （1）操作发现 如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，
且点G在矩形ABCD内部．小明将BG延长交DC于点F，认为GF=DF，你同意吗？ 说明理由； （2）问题解决 保持（1）中的条件不变，若DC=2DF，求 （3）类比探究 保持（1）中的条件不变，若DC=nDF，求
B
C
过程示范：
A
2a
E
a
2a
D
A
E
a
D
a
a
G
F
类比
na
B
a
na
2 na
F C
G （n 1)a
C
2 2a
B
22 22 解：设FD=a, BC BF FC BC BF FC ∴由（1）知，GF=DF,则GF=a 2 2 22
又∵在矩形ABCD中， =2DF DC=n ∴CF=a, AB=CD =2a CF=(n-1)a , AB=CD =na 由折叠可知，BG=AB=na 2a ∴在RtΔBFC中，
((n 3a a (n 1)2 a 2 )1)a 2 2 na 2a
2a 2 n AD 2 na 2 2a AB na n
A
2a
5
x
1
E x
4
D
A
x
E
x
D
a
2 3
a a
类比
na
F G
F G
（n 1) a
B
C
B
C
解：由（1）知，∠3=∠4 ∴设FD =a ,则 =(n-1) ∴设 FD =CF a, 则 CF=a,AB=na a,AB=2a 由折叠可知，∠1=∠2 又∵点E是AD的中点 ∴∠2+∠3=90°，即∠BEF=90° ∴设AE=x, 则ED=x ∴∠1+∠4=90° 2a a x n x n 2a 又∵在RtΔABE中，∠1+∠5=90° a x ∴∠4=∠5 又∵∠A=∠D=90° AD 2 na 2a 2 n 2 ∴RtΔABE∽RtΔDEF AB 2a na n 又∵DC=nDF 2DF
M
方法总结
M
C
M
ΔBAD≌ΔCAM ΔBCM是等腰三角形
ΔBAD≌ΔCAM ΔBCM是等腰三角形
ΔBAD∽ΔCAM ΔBCM是等腰三角形
M
类比
类比
题型变式：
（2015郑州2模第22题）在正方形ABCD中，对角线 AC，BD交于点O，点P在线段BC上（不与点B重合）， 1 ∠BPE= ∠ACB，PE交BO于点E，过点B作BF⊥PE， 2 垂足为F，交AC于点G． （1）当点P与点C重合时（如图1），求证：
类比
类比
(一)、选择题：
注意选择题要看完所有选项，解完后不要立即 检查。 常见的方法有观察、计算、排除、图形、特殊值 法。有些判断几个命题正确个数的题目，一定 要慎重，你认为错误的要能找出反例，要注意 分类思想的运用，如果选项中存在多种情况的 ，要思考是否适合题意，找规律题可以多写一 些情况，归纳总结，注意一些特殊的值，比如 2的N次方（2、4、8、16、32……） 2n(2/4/6/8或者2n±1)，或对原式进行变形， 以找出规律，也可用特殊值进行检验。采用淘 汰法和代入检验法可节省时间。
(二)、填空题：
1、注意分类思想的使用（注意钝角三角形的 高在外部，一条弧所对的圆周角的度数有 一个，一条弦所对的圆周角的度数有两个 ）
2、注意题目的隐含条件，比如二次项系数不 为0,分母不为零，实际问题中的整数等； 3、要注意是否带单位，表达格式一定是最终 化简结果；
(三)、解答题：
1、做题顺序:一般按照试题顺序做,实在做不 出来,可先放一放,先做别的题目,不要在一道 题上花费太多的时间,而影响其他题目;做题 慢的同学,要掌握好时间,力争一遍净;做题 速度快的同学要注意做题的质量,要细心,不 要马虎.
E
B
E
C
题型特征
类比探究题以几何综合题为主，题目一般有三问或 更多，每小问的条件、结论和图形相似度很高，由特 殊情形到一般情形（或由简单情形到复杂情形）逐步 深入。
22.（10分）（1）问题发现 如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同 一直线上，连接BE
初步感知
• 填空：（1）∠AEB的度数为 ； • （2）线段BE之间的数量关系 是 。 • （2）拓展探究 • 如图2，△ACB和△DCE均为等边三角形， ∠ACB=∠DCE=900, 点A、D、E在同一直线 上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE。请 判断∠AEB的度数及线段CM、AE、BE之间的 数量关系，并说明理由。
A G F E B C(P)
ΔBAD≌ΔCAM
△BOG≌△POE；
D
M
O
BF 1 （2）通过观察、测量，猜想： = PE 2 并结合图2证明你的猜想；
A G
M
，
D
M
O
N
F E B
BD=2CE
P PE=2BF
C
（3) 把正方形ABCD改为菱形，其他条件不变（如图3），
若∠ACB= ，请直接写出 BF 的值（用含 的式子表示）
A F
D G C D
在图1中，过点E作EH // AB交BG于点H，则AB和EH的数量关系 是__，CG和EH的数量关系是____， CD 的值是 ______. CG
B
A
E
(2)类比延伸
AF CD 如图2，在原题的条件下，若 = m (m＞0), 则 的值是____ EF CG （用含m的代数式表示），试写出解答过程.
★求面积最大
连接AC,在函数函数第四象限的部分找一点P,使得△ACP面 积最大，求出P坐标
★讨论直角三角
连接AC,在对称轴上找一点P，使得△ACP为直角三角形， 求出P坐标或者在抛物线上求点P，使△ACP是以AC为直角 边的直角三角形．
★讨论等腰三角
接AC,在对称轴上找一点P，使得△ACP为等腰三角形，求出P坐标
（1）问题背景 如图1，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,∠ABC 的平分线交直线AC于D，过点C作CE⊥BD，交直线BD 于E．请探究线段BD与CE的数量关系．（事实上，我们 可以延长CE与直线BA相交，通过三角形的全等等知识 解决问题．）
M
BD=2CE
图1
（2）类比探索 在（1）中，如果把BD改为∠ABC的外角∠ABF的 平分线，其他条件均不变（如图2），（1）中的结论 还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请 说明理由； BD=2CE
变式训练：
如图，在矩形ABCD中，点E是边CD的中点，
将△ADE沿AE折叠后得到△AFE，且点F在矩
形ABCD内部．延长AF交边BC于点G,若CG 1 ，
AD 则 AB
2
.
GB
7
课堂检测
（1）问题背景
如图1，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,∠ABC的平分线交直线AC于D，
过点C作CE⊥BD，交直线BD于E．请直接写出线段BD与CE的数量关系．（事
★讨论平行四边形
点E在抛物线的对称轴上，点F在抛物线上，且以B，A，F， E四点为顶点的四边形为平行四边形，求点F的坐标。
初步感知
1.（2012年河南22）如图1，在四边形ABCD中，点E是BC边的中点，点F是线段AE上
一点，BF的延长线交射线CD于点G。 若
(1)尝试探究
CD AF = 3, 求 的值. CG EF
A G
M N
PE
D O
分析： ΔBMN∽ΔPEN ΔBPM是等腰三角形
F B
E P C
方法总结
A G F E B C(P) B O D
A G
DA
G O
D
M
F E
O
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M
F E B
N
P C
N
P
C
ΔBPG是等腰三角形 ΔBOG≌ΔPOE
ΔBPM是等腰三角形 ΔBMN≌ΔPEN
ΔBPM是等腰三角形 ΔBMN∽ΔPEN
M
（3）拓展延伸
在（2）中，如果AB≠AC，且AB=nAC（0＜n＜1），
其他条件均不变（如图3），请你直接写出BD与CE
的数量关系．结论：BD=
表示）．
ΔBAD∽ΔCAM
2n CE（用含n的代数式
即 BD=nCM
BD AB n CM AC
ΔBCM是等腰三角形 CM=2CE ∴ BD=2nCE
4、求最值问题要注意利用函数，没有函数关 系的，自己构造函数，要注意数学问题的 最值不一定是实际问题的最值，要注意自 变量的取值范围，自变量的取值范围往往 是不等式组得到的。
5、图形折叠问题： A、 要注意折叠前后线段、角的变化 B、 通常要设未知数 C 、利用勾股定理构造方程 D、利用相似构造方程