第1章整合与提升
人教B版高中数学选择性必修第一册精品课件 第一章 空间向量与立体几何 本章总结提升
又 =
.
0,2, 2
, =( 3,3,-z),AF⊥PB,所以 ·=0,即
z=2 3(舍去 z=-2 3),
则=(0,0,2 3),所以||=2 3.
2
6- 2 =0,解得
(2)由(1)知=(- 3,3,0),=( 3,3,0), =(0,2, 3).设平面 FAD 的法向量为
学运算和直观想象素养.
【例 1】如图所示,在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,设1 =a, =b, =c,
M,N,P 分别是 AA1,BC,C1D1 的中点,试用 a,b,c 分别表示以下各向量:
(1);(2)1 ;(3) + 1 .
解 (1) =
1
1 + 1 1 + 1 =a+c+2b.
π
,F为PC的中点,AF⊥PB.
3
(1)求PA的长;
(2)求二面角B-AF-D的正弦值.
解 (1)如图,连接BD交AC于O.因为BC=CD,所以△BCD为等腰三角形.
又 AC 平分∠BCD,所以 AC⊥BD.以 O 为坐标原点,, , 的方向分别为
x 轴、y 轴、z 轴的正方向,建立空间直角坐标系 Oxyz,则
量运算就可以较容易地解决问题.
这三种空间角的求解方法很多,学习中应以向量法为主,侧重渗透向量坐标
法这一特色.
变式训练3如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,B1C和C1D与底面所成的角分
别为60°和45°,则异面直线B1C和C1D所成角的余弦值为
6
4
.
解析 利用空间直角坐标系转化为求向量1 与1 的夹角,建立如图所示的
得
令 y1=1,得 n1=(0,1,-2).
2019秋(重庆专版)人教版八年级上册物理习题课件：第一章 热门考点整合专训 (共25张PPT)
14 15 16
全章整合与提升
1．小蒋参加中考体育测试，结果最可能达到的是( D ) A．实心球成绩为40 m B．立定跳远成绩为10 m C．跳绳1s跳100次 D．1 000 m跑步用时4 min
全章整合与提升
2．某同学用同一把刻度尺对同一物体的长度进行了4次
测量，结果如下：10.34 cm、10.36 cm、10.35 cm、
(1)重庆菜园坝长江大桥的长度为多少米？
解：由图乙可知，轿车通过该桥的最大 速度为70 km/h，又已知小轿车通过该桥 的最短时间t＝2.4 min＝0.04 h，重庆菜园坝长江大桥的 长度s桥＝ vt ＝70 km/h×0.04 h＝2.8 km＝2 800 m。
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(2)轻轨以20 m/s的速度从开始上桥到完全通过该桥需145 s， 轻轨车厢的长度为多少米？
全章整合与提升
【点拨】由题意可知，高铁和普通列车都向南运动，且 高铁的速度大于普通列车的速度，则以普通列车为参照 物，小红向南运动；以小红为参照物，普通列车向北行 驶。高铁和普通列车的相对速度v＝300 km/h－120 km/h ＝180 km/h＝50 m/s，故普通列车的长度s＝vt＝50 m/s× 16 s＝800 m。
10.75 cm，则该物体的长度应记为( )
A．10.45 cm
C
B．10.34 cm
C．10.35 cm
D．10.36 cm
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3．[2018•福建]如图所示是穿行在餐厅的机器人端着托盘送 餐的情景。若认为机器人是静止的，则选择的参照物是 () A．B地面 B．托盘 C．餐桌 D．墙壁
×316h＝158 km≈0.28 km，小明与父亲在途中相遇时离学校的距 离：s″＝s 总－ s2′＝2 km－0.28 km＝1.72 km。
华师大版七年级数学上册典中点第一章整合提升专训一
专训一：生活中的数学我们发现数学与人类的生活密不可分，现实世界处处存在着数学，人们每时每刻都在应用数学知识解决着各种各样的实际问题．生活中看到的数学1．下面是我们经常看到的一些交通标志，它们是利用数学中的几何图形向人们传递信息的，你能说出这些交通标志符号所表示的意义吗？(第1题)2．物体与影子在我们生活中随处可见，利用数学知识可以解决很多物体与影子的关系，下面一组图中，哪一幅图能比较合理地反映灯与影子的关系？(第2题)生活中操作的数学3．将一张正方形纸片按如图①、②所示的方式依次对折后，再沿图③中的虚线裁剪，最后将图④展开后是()(第3题)生活中用到的数学应用1数学在学校生活中的应用4．某大学举行文艺会演，会演时5名同学同台演出，在演出之前，每两名同学握一次手，则握手的次数是()A．5次B．10次C．6次D．8次应用2数学在家庭生活中的运用5．有面积为1 m2，4 m2，9 m2，16 m2的正方形地毯各十块，现有面积为25 m2的正方形房间需用以上地毯来铺设，要求地毯互不重叠且刚好铺满．则最少需要地毯()A．6块B．8块C．10块D．12块6．星期天，小雪要爸爸给她买计算器．在商店里，看到柜台里摆着各式各样的计算器，有便宜的，也有贵的，最后他们决定买标价为78.6元的那种．爸爸把钱包交给小雪，小雪打开钱包一看，里面有1张100元，1 张50元，2张20元，3张10元，1张5元，3张1元，还有1张5角，3 张1角．不需要找零的付款方式有多少种呢？说说你的想法．应用3数学在商业中的应用7．某报纸上刊登了两则广告：甲商厦实行有奖销售，设特等奖1名，奖金10 000元，一等奖2名，奖金各为1 000元，二等奖10名，奖金各为100元，三等奖200名，奖金各为5元．乙商厦则实行九五折优惠销售．请你想一想，哪一家商厦提供给消费者的优惠较大？专训一1．解：①十字交叉路口；②靠左侧道路行驶；③直行和右转弯；④减速让行．2．解：第④幅图能比较合理地反映灯与影子的关系．3．B点拨：本题可运用操作法，通过实际操作得出答案．4．B5．B点拨：如图所示可知，最少需要8块(1块9 m2的，3块4 m2的，4 块1 m2的)．(第5题)6．解：先考虑整十元面值的钱凑70元的方法，有50＋20、50＋10＋10、20＋20＋10＋10＋10，共3种；再考虑整元面值的钱凑8元的方法，有5＋1＋1＋1，共1种；最后考虑整角面值的钱凑0.6元的方法，有0.5＋0.1，共1种．由于每一个70元，加任何一个8元再加任何一个0.6元都构成一种付款方式，因此共有3种；又由小于十元面值的钱共5＋1×3＋0.5＋0.1×3＝8.8(元)＜18.6元，小于1元面值的钱共0.5＋0.1×3＝0.8(元)＜1.6元，所以这些都不能构成新的付款方式，这样，付款方式共有3种．7．解：甲商厦提供的优惠金额是固定的，共10 000＋2 000＋1 000＋1 000 ＝14 000(元)．假设甲、乙两商厦提供的优惠金额都是14 000元，则可求出乙商厦的营业额为14 000÷(1－95%)＝280 000(元)．由此可得：当甲、乙两商厦的营业额都为280 000元时，两家商厦提供的优惠同样多．当甲、乙两商厦的营业额都不足280 000元时，乙商厦提供的优惠金额小于14 000元，而这时甲商厦提供的优惠金额仍是14 000元，故甲商厦提供的优惠较大．当甲、乙两商厦的营业额都超过280 000元时，乙商厦提供的优惠金额大于14 000元，而甲商厦提供的优惠金额仍是14 000元，故乙商厦提供的优惠较大．。
_新教材高中化学第一章化学反应的热效应章末整合提升课件新人教版选择性必修
[知识网络构建]
[核心素养落实]
一、放热反应与吸热反应的判断 1．理论分析判断法 (1)ΔH＝旧化学键断裂吸收的能量－新化学键形成释放的能量，当 ΔH>0 时，反 应吸热，当 ΔH<0 时，反应放热。 (2)ΔH＝生成物具有的总能量－反应物具有的总能量，当 ΔH>0 时，反应吸热， 当 ΔH<0 时，反应放热。 (3)ΔH＝反应物的键能之和－生成物的键能之和。反应物的键能越小，稳定性越 弱，破坏它时需要的能量就越少；生成物的键能越大，稳定性越强，形成它时释放的 能量就越多，所以当ΔH>0 时， 反应吸热，当 ΔH<0 时，反应放热。
解是放热过程，D 不选；酸碱中和反应都是放热反应，E 不选；炸药爆炸是放热过
程，F 不选。
(2)A 转化为 B 时需要吸收能量，说明 A 的能量比 B 的能量低，故 A 较稳定。
(3)反应物的总能量 E1 低于生成物的总能量 E2，该反应为吸热反应。 (4)固体硫转变为硫蒸气需要吸收热量，所以二者质量相等时，E 硫蒸气>E 固体硫，完 全燃烧时，硫蒸气放出的热量多。 (5)断裂 2 mol H2 和 1 mol O2 中的化学键时需要吸收的能量为 2Q1 kJ＋Q2 kJ＝ (2Q1＋Q2)kJ，形成 2 mol H2O 中的化学键时需要释放的能量为 4×Q3 kJ＝4Q3 kJ， 由于反应放热，则有 2Q1＋Q2<4Q3。 [答案] (1)C (2)A (3)吸热 (4)B (5)C
[解析] (1)放热反应的 ΔH＜0，吸热反应的 ΔH＞0，题给反应中，反应①、②的
ΔH＜0，所以属于放热反应的是①②，反应③的ΔH＞0，所以属于吸热反应的是③。
(2)①2CH3OH(l)＋3O2(g)===2CO2(g)＋4H2O(g) ΔH＝－1 275.6 kJ·mol－1 ②H2O(l)===H2O(g) ΔH＝＋44.0 kJ·mol－1 ，利用盖斯定律，将①×12 －②×2 得，甲醇燃烧热的热化学方程式为 CH3OH(l)＋32 O2(g)===CO2(g)＋2H2O(l) ΔH＝－ 725.8 kJ·mol－1。
北师大版高中数学选择性必修第一册 第一章 章末整合
(1)建立适当的直角坐标系,求圆弧所在的圆的方程.
(2)为保证安全,要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上的
高度之差至少要有0.5 m.请计算车辆通过隧道的限制高度是多少.
解 (1)以EF所在直线为x轴,以MN所在直线为
y 轴,以 1 m 为单位长度建立直角坐标系 xOy,则 E(-3 3,0),F(3 3,0),M(0,3),由
x2+y2+2x+3的最小值为32+2=11.
专题三
与圆有关的轨迹问题
例3已知圆的方程为x2+y2=r2,圆内有定点P(a,b),圆周上有两个动点A,B,使
PA⊥PB,求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程.
分析利用几何法求解,或利用转移法求解,或利用参数法求解.
解 (方法一)如图,在矩形APBQ中,连接AB,PQ交于M,显然OM⊥AB,
解 (1)圆x2+y2-6x-6y+14=0即为(x-3)2+(y-3)2=4,可得圆心为C(3,3),半径为
r=2.
设 k=,即 kx-y=0,
则圆心到直线的距离 d≤r,即
|3-3|
1+
2
≤2,
平方得 5k2-18k+5≤0,
9-2 14
9+2 14
解得
≤k≤ 5 .
5
9+2 14
9-2 14
代入圆的方程,得( 11 )2+(y+3)2=36,得y=2或y=-8(舍),所以
h=|CP|-0.5=(y+|DF|)-0.5=(2+2)-0.5=3.5(m).
所以车辆通过隧道的限制高度是3.5米.
新教材2023年高中地理第1章区域与区域发展章末整合提升课件新人教版选择性必修2
开放 顺序
首先进行改革开放
开放时间较晚
典例展示 例题1 读我国三大自然区示意图。据此完成(1)～(3)题。
(1)我国三大自然区与其突出的区域特征组合，正确的是 ( B ) A．东部季风区——高温多雨 B．青藏高寒区——“高”和“寒” C．西北干旱半干旱区——伏旱 D．青藏高寒区——地势平坦
(2)我国三大自然区划分的主要依据是
枢纽
三产业水平
不同 地区
发展条件
发展策略
①地势低平，河网稠密 ②气候适宜，水热条件好 ③人口稠密，劳动力丰富， 下游 农业基础好 地区 ④地理位置优越 ⑤交通便利 ⑥科技发达，具有人才优势
①重点发展高效精品农业和都市农 业，增强农业的生态和服务功能 ②推进第二产业、第三产业高层次、 高效益增长 ③实施国际化战略，充分带动长江 经济带和全国经济的发展
产品 关中—天水地区、长江中游地区、促进区域协调发 和服 北部湾地区、成渝地区、黔中地
展的重要支撑点； 务产品 区、滇中地区、兰州—西宁地区、③全国重要的人
宁夏沿黄经济区和天山北坡地区 口和经济密集区
等18个区域
主体功能区 主体功能
主要范围
功能定位
包括东北平原主产区、黄淮海 保障农产品供给安全
农产品 主产品
发达的地区
化严重
展
项目
东部季风区
西北干旱区
青藏高寒区
平原地区地形平坦，交
交通
地形崎岖，山高坡陡，交通线路稀疏
通线路四通八达
教育和 教育和文化水平较高， 交通不便，信息闭塞，经济落后，教
文化 居民文化素质较高
育和文化滞后
项目
东部季风区
西北干旱区 青藏高寒区
从历史上看，中国文化、经济 和政治中心都有东移的趋势， 文化、科学技术引入较晚，相对 历史 文化、经济和政治基础深厚， 落后，商品经济发展缓慢，商品 背景 西方先进技术首先传入，资本 流通性差 主义工商业首先兴起
2019-2020学年新课标高中地理必修第一册：章末整合提升1+Word版含答案
章末整合提升专题一航天基地的区位分析1．航天发射基地的选址条件(1)发射时间：在一天中一般选择在晴朗无云的夜晚，主要是便于全球定位和跟踪观测。
(2)我国发射时间：主要选择在冬季，便于航天测控网对飞船的监控、管理、回收。
我国有多艘“远望号”监测船在南半球纬度较高的海域，选择冬季发射是为了避开南半球恶劣的海况。
(3)发射方向：一般与地球自转方向一致，即向东发射，可以充分利用地球自转的惯性，节约能源。
3．回收场地的选址条件【例1】2016年8月和10月，我国在甘肃酒泉卫星发射中心相继成功发射了世界上第一颗量子卫星“墨子号”和神舟十一号载人飞船。
相对于海南文昌卫星发射中心，甘肃酒泉卫星发射中心的优势主要在于()A．纬度低，地球自转线速度大，可节省燃料B．降水少，晴天多，发射窗口期长C．空中及海上交通都很方便，便于运输D．无人区面积广，发射后残骸不危及人民生命财产安全[审题指导]根据海南文昌与甘肃酒泉的纬度位置、海陆位置及气候差异，并结合卫星发射中心的区位条件进行分析。
[解析]酒泉比文昌纬度高，地球自转线速度小；酒泉深居内陆，不临海；酒泉为温带大陆性气候，降水少，晴天多，发射窗口期长。
[答案]B专题二与太阳辐射相关的等值线图的判读与太阳辐射相关的等值线图多种多样，常见的有年太阳辐射总量等值线图(图甲)，多年平均云量日均值线分布图(图乙)，年日照时数等值线图(图丙)，年平均光合有效辐射(PAR)强度等值线图(图丁)。
这些图都具备等值线的一般特征，因此在判读方法上与其他等值线也有很大的共性，在判读时要充分借鉴其他等值线图的判断技巧。
分析上面的图可知：(1)从图甲中可知太阳辐射的时空分布规律。
空间上：从赤道向两极递减；时间上：夏半年多于冬半年。
这说明影响太阳辐射的因素有纬度因素和季节因素。
(2)从图乙中可知我国多年平均云量大致南多北少，东多西少；青藏高原和西北内陆地区云量较少。
这说明影响云量多少的因素与海陆位置、海拔和天气状况等有关。
第一章学科素养整合与提升-2022-2023学年七年级上册初一数学(人教版)
第一章学科素养整合与提升-2022-2023学年七年级上册初一数学（人教版）一、引言本章是《2022-2023学年七年级上册初一数学（人教版）》中的第一章，主题为学科素养整合与提升。
在这一章中，我们将探讨数学学科的基本概念和基础知识，培养学生的数学思维和逻辑推理能力。
二、数学学科概述数学是一门研究数量、结构、变化以及空间等概念和规律的学科。
它不仅仅是一种工具，也是一门独立的学科。
数学的发展与人类社会的进步密切相关，广泛应用于自然科学、社会科学和工程技术等领域。
三、数学学科素养的重要性数学学科素养是指学生在数学学习中所掌握的基本技能和知识体系。
培养和提升学生的数学学科素养对他们的综合素质发展具有重要意义。
具体包括：1. 培养逻辑思维能力数学学科对于培养学生的逻辑思维能力具有重要作用。
通过数学学习，学生可以锻炼自己的推理和分析能力，培养严密的逻辑思维方式。
2. 培养解决问题的能力数学学科的学习需要学生深入理解数学概念及其应用，解决问题的方法和策略。
这有助于学生培养独立思考和解决实际问题的能力。
3. 培养创造性思维数学学科还可以培养学生的创造性思维。
在数学学习中，学生需要不断提出新的问题、寻找新的方法和观点，提高自己的创造性思维能力。
四、本章内容概要本章的内容主要包括数学学科的基本概念和基础知识。
具体包括：1. 数的认识与应用本节将介绍整数、有理数、实数等数的概念和性质，让学生了解数的分类和应用。
2. 数量关系的表达和比较本节将介绍表达数量关系的方法，例如等式、不等式等，并让学生掌握比较大小的基本方法。
3. 数量关系的表示和判断本节将介绍数量关系的表示方法，例如函数关系、图表等，并培养学生用数量关系判断问题的能力。
4. 数量关系的演化和变化本节将介绍数量关系的演化和变化问题，例如数列等，并培养学生分析和解决数量关系的能力。
五、本章教学目标本章的教学目标主要包括以下几个方面：1.了解数学学科的基本概念和基础知识；2.培养学生的数学思维和逻辑推理能力；3.培养学生解决实际问题的能力；4.提高学生的创造性思维能力。
九年级数学上二次函数章末整合提升训练专训1利用二次函数解决问题的四种类型浙教
(2)当E点在BC边上的什么位置时，△DHE的面积取得最小值？ 并求该三角形面积的最小值．
＝－54，c＝5.故抛物线的表达式为 y＝－54x2＋5.当 x＝1 时，y＝145； 当 x＝32时，y＝3156.故1，145，32，3156两点在抛物线上． 当竖直摆放 5 个圆柱形桶时，桶高为 0.3×5＝1.5＝32(米)． ∵32＜145且32＜1365，∴网球不能落入桶内．
(2)当竖直摆放多少个圆柱形桶时，网球可以落入桶内？
解：∵AB＝x m，∴BC＝(24 －3x) m，此时S＝x(24－3x) ＝－3x2＋24x.
(2)如果围成面积为45 m2的鸡舍，AB的长是多少米？
解：由已知得－3x2＋24x＝45，整理可得 x2－8x＋15＝0.解得 x1＝5，x2＝3. ∵0＜24－3x≤10，得134≤x＜8， ∴x2＝3 不符合题意，故 AB＝5 m.
－S△ CDF－S△ ADG＝12(AG＋FC)·FG－12FC·FD－12DG·AG ＝12(y＋y＋2)×4－12(y＋2)·x－12(4－x)·y＝2y－x＋4.
将 y＝－12x2＋52x－2 代入，得 S△ACD＝2y－x＋4＝－x2＋4x＝－(x －2)2＋4，当 x＝2 时，y＝1，此时 S△ACD 最大，最大值为 4.∴ D(2，1)．∵S△ACD＝12AC·DE，AC＝2 5，∴当△ ACD 的面积最 大时，高 DE 最大，则 DE 的最大值为1 4 ＝1 4 ＝4 55.∴当
高中数学第1章空间向量与立体几何章末综合提升教案版选择性必修第一册
第1章[巩固层·知识整合][提升层·题型探究](教师独具)空间向量的线性运算和数量积边CB ，CD 上的点，且CF →＝23CB →，CG →＝23CD →.求证：四边形EFGH 是梯形．(2)已知正四面体OABC 的棱长为1，如图．求：①OA →·OB →；②(OA →＋OB →)·(CA →＋CB →)； ③|OA →＋OB →＋OC →|.[思路探究] (1)利用向量共线定理证明． (2)利用数量积的定义及运算法则进行．[解] (1)证明：∵E ，H 分别是边AB ，AD 的中点，∴AE →＝12AB →，AH →＝12AD →.则EH →＝AH →－AE →＝12AD →－12AB →＝12(AD →－AB →)＝12BD →.∵FG →＝CG →－CF →＝23CD →－23CB →＝23(CD →－CB →)＝23BD →，∴EH →∥FG →且|EH →|＝34|FG →|≠|FG →|.又F 不在EH 上，故四边形EFGH 是梯形． (2)在正四面体OABC 中，|OA →|＝|OB →|＝|OC →|＝1. 〈OA →，OB →〉＝〈OA →，OC →〉＝〈OB →，OC →〉＝60°. ①OA →·OB →＝|OA →||OB →|·cos∠AOB ＝1×1×cos 60°＝12.②(OA →＋OB →)·(CA →＋CB →) ＝(OA →＋OB →)·(OA →－OC →＋OB →－OC →) ＝(OA →＋OB →)·(OA →＋OB →－2OC →)＝OA 2→＋2OA →·OB →－2OA →·OC →＋OB →2－2O B →·OC →＝12＋2×1×1×cos 60°－2×1×1×cos 60°＋12－2×1×1×cos 60°＝1＋1－1＋1－1＝1.③|OA →＋OB →＋OC →|＝OA →＋OB →＋OC→2＝12＋12＋12＋2×1×1×cos 60°×3＝6.1．空间向量的线性运算包括加、减及数乘运算，选定空间不共面的三个向量作为基向量，并用它们表示出目标向量，这是用向量法解决立体几何问题的基本要求，解题时可结合已知和所求，根据图形，利用向量运算法则表示所需向量．2．空间向量的数量积(1)空间向量的数量积的定义表达式a ·b ＝|a |·|b |·cos〈a ，b 〉及其变式cos 〈a ，b 〉＝a ·b|a | ·|b |是两个重要公式． (2)空间向量的数量积的其他变式是解决立体几何问题的重要公式，如a 2＝|a |2，a 在b 上的投影a ·b|b |＝|a |·cos θ等．[跟进训练]1.如图，已知ABCD A ′B ′C ′D ′是平行六面体．设M 是底面ABCD 的中心，N 是侧面BCC ′B ′对角线BC ′上的34分点，设MN →＝αAB →＋βAD →＋γAA ′→，则α＋β＋γ＝________.32[连接BD ，则M 为BD 的中点，MN →＝MB →＋BN →＝12DB →＋34BC ′→＝12(DA →＋AB →)＋34(BC →＋CC ′→)＝12(－AD →＋AB →)＋34(AD →＋AA ′→) ＝12AB →＋14AD →＋34AA ′→. ∴α＝12，β＝14，γ＝34.∴α＋β＋γ＝32.]空间向量基本定理向量不能构成空间的一个基底，则实数λ的值为( )A ．0B ．357C ．9D ．657(2)如图，已知空间四边形OABC ，对角线OB ，AC ，M ，N 分别是对边OA ，BC 的中点，点G 在线段MN 上，且MG ＝2GN ，用基底向量OA →，OB →，OC →表示向量OG →.(1)D [∵a ＝(2，－1,3)，b ＝(－1,4，－2)，a ，b ，c 三个向量不能构成空间的一个基底，∴a 与b 不平行，且a ，b ，c 三个向量共面， ∴存在实数X ，Y ，使得c ＝X a ＋Y b ， 即⎩⎪⎨⎪⎧2X －Y ＝7，－X ＋4Y ＝5， 3X －2Y ＝λ，解得λ＝657.](2)[解] OG →＝OM →＋MG →＝OM →＋23MN →＝12OA →＋23(ON →－OM →) ＝12OA →＋23⎣⎢⎡⎦⎥⎤12OB →＋OC →－12OA →＝12OA →＋13(OB →＋OC →)－13OA →＝16OA →＋13OB →＋13OC →.基底的判断方法判断给出的三个向量能否构成基底，关键是要判断这三个向量是否共面．首先应考虑三个向量中是否有零向量，其次判断三个非零向量是否共面．如果从正面难以入手判断，可假设三个向量共面，利用向量共面的充要条件建立方程组，若方程组有解，则三个向量共面；若方程组无解，则三个向量不共面．[跟进训练]2.如图，三棱柱ABC A 1B 1C 1中，M ，N 分别是A 1B ，B 1C 1上的点，且BM ＝2A 1M ，C 1N ＝2B 1N .设AB →＝a ，AC →＝b ，AA 1→＝c .(1)试用a ，b ，c 表示向量MN →；(2)若∠BAC ＝90°，∠BAA 1＝∠CAA 1＝60°，AB ＝AC ＝AA 1＝1，求MN 的长．[解] (1)MN →＝MA 1→＋A 1B 1→＋B 1N →＝13BA 1→＋AB →＋13B 1C 1→＝13(c －a )＋a ＋13(b －a )＝13a ＋13b ＋13c .(2)∵(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2a ·b ＋2b ·c ＋2a ·c ＝1＋1＋1＋0＋2×1×1×12＋2×1×1×12＝5，∴|a ＋b ＋c |＝5，∴|MN →|＝13|a ＋b ＋c |＝53，即MN ＝53.空间向量的坐标表示【例3】 (1)已知a ＝(1－t,1－t ，t )，b ＝(2，t ，t )，则|b －a |的最小值是________．(2)已知a ＝(1,5，－1)，b ＝(－2,3,5)． ①当(λa ＋b )∥(a －3b )时，求实数λ的值； ②当(a －3b )⊥(λa ＋b )时，求实数λ的值．[思路探究] (1)利用|a |＝|a |2构建函数关系，再利用二次函数求最小值； (2)利用向量共线和垂直的充要条件，由坐标运算求解． (1)355[由已知，得b －a ＝(2，t ，t )－(1－t,1－t ，t )＝(1＋t,2t －1,0)．∴|b －a |＝1＋t2＋2t －12＋02＝5t 2－2t ＋2＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫t －152＋95. ∴当t ＝15时，|b －a |的最小值为355.](2)[解] ①∵a ＝(1,5，－1)，b ＝(－2,3,5)，∴a －3b ＝(1,5，－1)－3(－2,3,5)＝(1,5，－1)－(－6,9,15)＝(7，－4，－16)，λa ＋b ＝λ(1,5，－1)＋(－2,3,5)＝(λ，5λ，－λ)＋(－2,3,5)＝(λ－2,5λ＋3，－λ＋5)．∵(λa ＋b )∥(a －3b )， ∴λ－27＝5λ＋3－4＝－λ＋5－16，解得λ＝－13.②∵(a －3b )⊥(λa ＋b )，∴(7，－4，－16)·(λ－2,5λ＋3，－λ＋5)＝0，即7(λ－2)－4(5λ＋3)－16(－λ＋5)＝0，解得λ＝1063.熟记空间向量的坐标运算公式设a ＝(x 1，y 1，z 1)，b ＝(x 2，y 2，z 2)，(1)加减运算：a ±b ＝(x 1±x 2，y 1±y 2，z 1±z 2)． (2)数量积运算：a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2＋z 1z 2. (3)向量夹角：cos 〈a ，b 〉＝x 1x 2＋y 1y 2＋z 1z 2x 21＋y 21＋z 21x 22＋y 22＋z 22. (4)向量长度：设M 1(x 1，y 1，z 1)，M 2(x 2，y 2，z 2)， 则|M 1M 2→|＝x 1－x 22＋y 1－y 22＋z 1－z 22.(5)a ∥b ⇔x 1＝λx 2且y 1＝λy 2且z 1＝λz 2.提醒：在利用坐标运算公式时注意先对向量式子进行化简再运算．[跟进训练]3．已知O 为坐标原点，OA →＝(1,2,3)，OB →＝(2,1,2)，OP →＝(1,1,2)，点Q 在直线OP 上运动，则当QA →·QB →取得最小值时Q 的坐标为( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，34，13B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23，34C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，83 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，73 C [设OQ →＝λOP →，则QA →＝OA →－OQ →＝OA →－λOP →＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，QB →＝OB －OQ →＝OB →－λOP →＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，所以QA →·QB →＝(1－λ，2－λ，3－2λ)·(2－λ，1－λ，2－2λ)＝2(3λ2－8λ＋5)＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤3⎝ ⎛⎭⎪⎫λ－432－13.所以当λ＝43时，QA →·QB →最小，此时OQ →＝43OP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，83，即点Q 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，83.]利用空间向量证明平行、垂直问题M 为PC 的中点．(1)求证：BM ∥平面PAD ；(2)平面PAD 内是否存在一点N ，使MN ⊥平面PBD ？若存在，确定N 的位置；若不存在，说明理由．[思路探究] (1)证明向量BM →垂直于平面PAD 的一个法向量即可；(2)假设存在点N ，设出其坐标，利用MN →⊥BD →，MN →⊥PB →，列方程求其坐标即可． [解] (1)证明：以A 为原点，以AB ，AD ，AP 分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系如图所示，则B (1,0,0)，D (0,2,0)，P (0,0,2)，C (2,2,0)，M (1，1,1)，∴BM →＝(0,1,1)，平面PAD 的一个法向量为n ＝(1,0,0)， ∴BM →·n ＝0，即BM →⊥n ，又BM ⊄平面PAD ，∴BM ∥平面PAD . (2)BD →＝(－1,2,0)，PB →＝(1,0，－2)， 假设平面PAD 内存在一点N ，使MN ⊥平面PBD . 设N (0，y ，z )，则MN →＝(－1，y －1，z －1)， 从而MN ⊥BD ，MN ⊥PB ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧MN →·BD →＝0，MN →·PB →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧1＋2y －1＝0，－1－2z －1＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12，z ＝12，∴N ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，12，∴在平面PAD 内存在一点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，12，使MN ⊥平面PBD .利用空间向量证明空间中的位置关系 线线平行 证明两条直线平行，只需证明两条直线的方向向量是共线向量. 线线垂直证明两条直线垂直，只需证明两直线的方向向量垂直. 线面平行①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；②证明可在平面内找到一个向量与直线的方向向量是共线向量；③利用共面向量定理，即证明直线的方向向量可用平面内两不共线向量线性表示.线面垂直①证明直线的方向向量与平面的法向量平行； ②利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题. 面面平行①证明两个平面的法向量平行(即是共线向量)； ②转化为线面平行、线线平行问题.面面垂直 ①证明两个平面的法向量互相垂直； ②转化为线面垂直、线线垂直问题.[跟进训练]4.如图所示，已知PA ⊥平面ABCD ，ABCD 为矩形，PA ＝AD ，M ，N 分别为AB ，PC 的中点．求证：(1)MN ∥平面PAD ； (2)平面PMC ⊥平面PDC .[证明] (1)如图所示，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系A xyz .设PA ＝AD ＝a ，AB ＝b .P (0,0，a )，A (0,0,0)，D (0，a,0)，C (b ，a,0)，B (b,0,0)．因为M ，N 分别为AB ，PC 的中点，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2，0，0，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2，a 2，a2. 所以MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2，a 2，又AP →＝(0,0，a )，AD →＝(0，a,0)，所以MN →＝12AD →＋12AP →.又因为MN ⊄平面PAD ，所以MN ∥平面PAD .(2)由(1)可知P (0,0，a )，C (b ，a,0)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫b2，0，0，D (0，a,0)．所以PC →＝(b ，a ，－a )，PM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2，0，－a ，PD →＝(0，a ，－a )．设平面PMC 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)， 则⎩⎪⎨⎪⎧ n 1·PC →＝0，n 1·PM →＝0，故⎩⎪⎨⎪⎧bx 1＋ay 1－az 1＝0，b2x 1－az 1＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝2a b z 1，y 1＝－z 1.令z 1＝b ，则n 1＝(2a ，－b ，b ) . 设平面PDC 的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 2·PC →＝0，n 2·PD →＝0，故⎩⎪⎨⎪⎧bx 2＋ay 2－az 2＝0，ay 2－az 2＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝0，y 2＝z 2，令z 2＝1，则n 2＝(0,1,1)．因为n 1·n 2＝0－b ＋b ＝0，所以n 1⊥n 2. 所以平面PMC ⊥平面PDC .用空间向量求空间角和空间距离1．用法向量求直线与平面所成的角时，直线的方向向量和平面的法向量的夹角与线面角有什么关系？[提示] 不是线面角，而是它的余角(或补角的余角)，即设线面角为θ，直线与平面的法向量的夹角为〈a ，n 〉，则θ＝π2－〈a ，n 〉(〈a ，n 〉为锐角)或θ＝〈a ，n 〉－π2(〈a ，n 〉为钝角)．应注意到线面角为锐角或直角．2．平面与平面的夹角一定是锐角吗？[提示] 不一定，可以是锐角，也可以是直角．【例5】 长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB ＝4，AD ＝6，AA 1＝4，M 是A 1C 1的中点，P 在线段BC 上，且|CP |＝2，Q 是DD 1的中点，求：(1)M 到直线PQ 的距离； (2)M 到平面AB 1P 的距离．[解] 如图，建立空间直角坐标系B xyz ，则A (4,0,0)，M (2,3,4)，P (0,4,0)，Q (4,6,2)．(1)∵QM→＝(－2，－3,2)，QP→＝(－4，－2，－2)，∴QM→在QP→上的射影的模＝|QM→·QP→||QP→|＝－2×－4＋－3×－2＋2×－2－42＋－22＋－22＝1024＝566.故M到PQ的距离为|QM→|2－⎝⎛⎭⎪⎫5662＝17－256＝4626.(2)设n＝(x，y，z)是平面AB1P的某一法向量，则n⊥AB1→，n⊥AP→，∵AB1→＝(－4,0,4)，AP→＝(－4,4,0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－4x＋4z＝0，－4x＋4y＝0，因此可取n＝(1,1,1)，由于MA→＝(2，－3，－4)，那么点M到平面AB1P的距离为d＝|MA→·n||n|＝|2×1＋－3×1＋－4×1|3＝533，故M到平面AB1P的距离为533.1．本例中，把条件“∠BAD＝120°”改为“∠BAD＝90°，且PA＝1”，其它条件不变，求点A到平面PCB的距离．[解] 如图，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，P(0,0,1)，C(1,1,0)，B(0,2,0)，∴AP→＝(0,0,1)，BP→＝(0，－2,1)，BC→＝(1，－1,0)．设平面PBC的法向量为n＝(x，y，z)，则⎩⎪⎨⎪⎧n·BP→＝0n·BC→＝0即⎩⎪⎨⎪⎧－2y＋z＝0x－y＝0.令y＝1，则x＝1，z＝2.∴n＝(1,1,2)，∴A点到平面PCB的距离为d＝|AP→·n||n|＝26＝63.2．在本例条件中加上“PA＝1”，求直线PA与平面PCB所成角．[解]根据题目所建立的平面直角坐标系可知A(0,0,0)，P(0,0,1)，C⎝⎛⎭⎪⎫32，12，0，B(0,2,0)，∴AP→＝(0,0,1)，BC→＝⎝⎛⎭⎪⎫32，－32，0BP→＝(0，－2,1)，设平面PBC的法向量为m＝(x，y，z)，∴⎩⎨⎧m·BC→＝32x－32y＝0，m·BP→＝－2y＋z＝0，令y＝1，则m＝(3，1,2)，设PA与平面PCB的夹角为θ，则sin θ＝|cos〈m，PA→〉|＝|m·PA→||m||PA→|＝21×22＝22，∴θ＝45°.故直线PA与平面PBC所成的角为45°.用向量法求空间角的注意点(1)异面直线所成角：两异面直线所成角的范围为0°<θ≤90°，需找到两异面直线的方向向量，借助方向向量所成角求解．(2)直线与平面所成的角：要求直线a与平面α所成的角θ，先求这个平面α的法向量n与直线a的方向向量a夹角的余弦cos〈n，a〉，易知θ＝〈n，a〉－π2或者π2－〈n，a〉．(3)平面与平面的夹角：如图，有两个平面α与β，分别作这两个平面的法向量n1与n2，则平面α与β所成的角跟法向量n1与n2所成的角相等或互补．[培优层·素养升华]【例】 如图，在三棱锥P ABC 中，AB ＝BC ＝22，PA ＝PB ＝PC ＝AC ＝4，O 为AC 的中点．(1)证明：PO ⊥平面ABC ；(2)若点M 在棱BC 上，且二面角M —PA —C 为30°，求PC 与平面PAM 所成角的正弦值． [思路探究] (1)首先利用等腰三角形的性质可得PO ⊥AC ，利用勾股定理可证得PO ⊥OB ，然后结合线面垂直的判定定理即可证得结果；(2)根据(1)中的垂直关系建立空间直角坐标系，设出点M (含有参数)的坐标，根据已知条件求得此参数，然后求解即可．[解] (1)证明：因为AP ＝CP ＝AC ＝4，O 为AC 的中点，所以OP ⊥AC ，且OP ＝2 3. 如图，连接OB .因为AB ＝BC ＝22AC ，所以△ABC 为等腰直角三角形， 且OB ⊥AC ，OB ＝12AC ＝2.由OP 2＋OB 2＝PB 2知PO ⊥OB .由OP ⊥OB ，OP ⊥AC ，OB ∩AC ＝O ，知PO ⊥平面ABC .(2)如图以O 为坐标原点，OB ，OC ，OP 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系O xyz .由已知得O (0,0,0)，B (2,0,0)，A (0，－2,0)，C (0,2,0)，P (0,0,23)，AP →＝(0,2,23)．取平面PAC 的一个法向量OB →＝(2,0,0)．设M (a,2－a,0)(0＜a ≤2)，则AM →＝(a,4－a,0)． 设平面PAM 的法向量为n ＝(x ，y ，z )． 由AP →·n ＝0，AM →·n ＝0得⎩⎨⎧2y ＋23z ＝0，ax ＋4－a y ＝0，取y ＝3a ，则z ＝－a ，x ＝3(a －4)，可得n ＝(3(a －4)，3a ，－a )为平面PAM 的一个法向量，所以cos 〈OB →，n 〉＝23a －423a －42＋3a 2＋a 2. 由已知可得|cos 〈OB →，n 〉|＝32，所以23|a －4|23a －42＋3a 2＋a2＝32， 解得a ＝43，所以n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－833，433，－43.又PC →＝(0,2，－23)， 所以cos 〈PC →，n 〉＝34.所以PC 与平面PAM 所成角的正弦值为34.利用向量方法求空间角问题是每年高考的热点问题，无论是二面角、直线与平面所成的角，还是异面直线所成的角，最终都利用空间向量的夹角公式⎝ ⎛⎭⎪⎫即cos θ＝a·b |a ||b |来求解．不同的是求二面角时，所取的两个向量为两个平面的法向量；求直线与平面所成的角时，所取的向量为直线的方向向量与平面的法向量；求异面直线所成的角时，则只需取两条直线的方向向量即可．[跟进训练]如图，长方体ABCD A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，点E 在棱AA 1上，BE ⊥EC 1.(1)证明：BE ⊥平面EB 1C 1；(2)若AE ＝A 1E ，求二面角B EC C 1的正弦值．[解] (1)证明：由已知得，B 1C 1⊥平面ABB 1A 1，BE ⊂平面ABB 1A 1，故B 1C 1⊥BE .又BE ⊥EC 1，B 1C 1∩EC 1＝C 1， 所以BE ⊥平面EB 1C 1.(2)由(1)知∠BEB 1＝90°.由题设知Rt△ABE ≌Rt△A 1B 1E ，所以∠AEB ＝45°，故AE ＝AB ，AA 1＝2AB .以D 为坐标原点，DA →的方向为x 轴正方向，|DA →|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz ，则C (0,1,0)，B (1,1,0)，C 1(0,1,2)，E (1,0,1)，CB →＝(1,0,0)，CE →＝(1，－1,1)，CC 1→＝(0,0,2)．设平面EBC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧CB →·n ＝0，CE →·n ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，x －y ＋z ＝0，所以可取n ＝(0，－1，－1)．设平面ECC 1的法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)，则 ⎩⎪⎨⎪⎧CC 1→·m ＝0，CE →·m ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2z 1＝0，x 1－y 1＋z 1＝0，所以可取m ＝(1,1,0)．于是cos 〈n ，m 〉＝n·m |n ||m |＝－12.所以，二面角B EC C 1的正弦值为32.。
2019人教版高中数学选修1-1课件：第一章 本章总结提升(共17张PPT)
常用逻辑用语
本章总结提升
单元回眸
【知识网络】
单元回眸
【知识辨析】
判断下列说法是否正确.(请在括号中填“√”或“×”)
(1)“x2+y2=1”是命题.
()
×
(2)若一个命题的逆命题是真命题,则它的否命题一定是真命题.
( )√
(3)“3≥3”是简单命题.
()
×
(4)“若x,y∈R且x2+y2=0,则x,y全为零”的否命题是“若x,y∈R且x2+y2=0,则x,y全不为零”.
[答案] D [解析] (2)由a+b≥2可以得到a,b中至少 有一个不小于1,但由a,b中至少有一个 不小于1不能得出a+b≥2一定成立,所 以原命题为真,逆命题为假,则逆否命 题为真,否命题为假,所以A,B,C中说法 正确,而对于选项D,“a+b≥2”是“a,b中 至少有一个不小于1”的充分不必要条 件,所以D中说法错误.故选D.
整合创新
【变式】 (1)命题“∀x∈R,∃n∈N*,使得n≥x2” [答案] D
的否定形式是 ( )
[解析] (1)由全称命题的否定是特称命题,
A.∀x∈R,∃n∈N*,使得n<x2
特称命题的否定是全称命题得,命题
B.∀x∈R,∀n∈N*,使得n<x2
“∀x∈R,∃n∈N*,使得n≥x2”的否定形式是
A.
C.“p∨q”为真,“p∧q”为假,“¬p”为假
D.“p∨q”为假,“p∧q”为真,“¬p”为真
整合创新
【变式】 (2)已知a,b为两个实数,原命题为“若 a+b≥2,则a,b中至少有一个不小于1”,则下列说 法错误的是 ( ) A.逆命题“若a,b中至少有一个不小于1,则 a+b≥2”为假命题 B.否命题“若a+b<2,则a,b都小于1”为假命题 C.逆否命题“若a,b都小于1,则a+b<2”为真命题 D.“a+b≥2”是“a,b中至少有一个不小于1”的必 要不充分条件
湘教版高中数学选择性必修第一册精品课件 第1章 数列 本章总结提升
及适用条件.数列求和主要是提升数学运算、逻辑推理的核心素养.
【例3】 已知数列{an}是公差不为0的等差数列,且a1=1,a2,a4,a8成等比数列.
(1)求{an}的通项公式;
(2)若bn=an·2n,求{bn}的前n项和Tn.
分析利用等差数列的通项公式,结合等比中项的概念求出数列的公差,再根
∴b1=a2-2a1=3.
∴{bn}是首项为3,公比为2的等比数列.
(2)由(1)得bn=3·2n-1,∴bn=an+1-2an=3·2n-1,
+1
∴2 +1
− 2
=
3
3
,即 cn+1-cn=4.
4
1
3
∴数列{cn}是首项为 ,公差为 的等差数列.
2
4
专题三
数列求和
数列的前n项和Sn是数列中最重要的概念之一.求数列的前n项和时,首先要
λ= ,转化为数列{an+ }
b2=a4=a3+1=a2+2+1=5.
由bn+1=a2n+2=a2n+1+1=a2n+2+1=a2n+3,
得bn+1-bn=a2n+3-a2n=3.
所以{bn}是首项为2,公差为3的等差数列,
所以bn=2+(n-1)×3=3n-1.
(2)由(1)知,数列{an}的偶数项组成的数列是以3为公差的等差数列,由已知
又
+1
an≠0,∴
=
4
(n≥2),
湘教版高中同步学案数学必修第二册精品课件 第1章 本章总结提升
.
3 3 1
,4
4
3 3
4
=
9
.
4
.
3
,0
2
,C
3
,0
2
,B
1
0,- 2
.
专题三
平面向量的平行与垂直问题
【例3】 (1)已知向量m=(λ+1,1),n=(λ+2,2).若(m+n)⊥(m-n),则λ=(
A.-4
B.-3 C.-2
D.-1
(2)设A,B,C,D为平面内的四点,且A(1,3),B(2,-2),C(4,1).
解设AB=x,因为AB垂直于地面,
所以△ABM,△ABN,△ABP均为直角三角形.
所以
BM=tan30 °
BP=tan60 °
=
=
3x,BN=tan45 °=x.
3
x.在△MNB
3
中,由余弦定理知
BM2=MN2+BN2-2MN·BNcos∠MNB,
在△PNB中,由余弦定理知
BP2=NP2+BN2-2NP·BNcos∠PNB,
2π
∵b·c=|b||c|cos 3 =|b|×4×
1
-2
=-4,
∴|b|=2.∵c=ma+nb,∴c2=ma·c+nb·c.
∴16=n×(-4).∴n=-4.
∵c=ma+nb,∴a·c=ma2+na·b.
∴0=8m-4a·b.①
∵c=ma+nb,∴b·c=ma·b+nb2.∴ma·b=12.②
由①②,得 m=± 6,∴a·b=±2 6.
E 在 DC
新教材人教A版高中数学选择性必修一教案设计-第1章章末综合提升
[巩固层·知识整合][提升层·题型探究](教师独具)空间向量的线性运算和数量积F ，G 分别是边CB ，CD 上的点，且CF →＝23CB →，CG →＝23CD →.求证：四边形EFGH 是梯形．(2)已知正四面体OABC 的棱长为1，如图．求：①OA →·OB →；②(OA →＋OB →)·(CA →＋CB →)； ③|OA →＋OB →＋OC →|.[思路探究] (1)利用向量共线定理证明． (2)利用数量积的定义及运算法则进行．[解] (1)证明：∵E ，H 分别是边AB ，AD 的中点，∴AE →＝12AB →，AH →＝12AD →. 则EH →＝AH →－AE →＝12AD →－12AB →＝12(AD →－AB →)＝12BD →. ∵FG →＝CG →－CF →＝23CD →－23CB →＝23(CD →－CB →)＝23BD →， ∴EH →∥FG →且|EH →|＝34|FG →|≠|FG →|.又F 不在EH 上，故四边形EFGH 是梯形． (2)在正四面体OABC 中，|OA →|＝|OB →|＝|OC →|＝1. 〈OA →，OB →〉＝〈OA →，OC →〉＝〈OB →，OC →〉＝60°. ①OA →·OB →＝|OA →||OB →|·cos ∠AOB ＝1×1×cos 60°＝12. ②(OA →＋OB →)·(CA →＋CB →)＝(OA →＋OB →)·(OA →－OC →＋OB →－OC →) ＝(OA →＋OB →)·(OA →＋OB →－2OC →)＝OA 2→＋2OA →·OB →－2OA →·OC →＋OB →2－2O B →·OC →＝12＋2×1×1×cos 60°－2×1×1×cos 60°＋12－2×1×1×cos 60°＝1＋1－1＋1－1＝1.③|OA→＋OB→＋OC→|＝(OA →＋OB →＋OC →)2＝12＋12＋12＋(2×1×1×cos 60°)×3＝ 6.1．空间向量的线性运算包括加、减及数乘运算，选定空间不共面的三个向量作为基向量，并用它们表示出目标向量，这是用向量法解决立体几何问题的基本要求，解题时可结合已知和所求，根据图形，利用向量运算法则表示所需向量．2．空间向量的数量积(1)空间向量的数量积的定义表达式a ·b ＝|a |·|b |·cos 〈a ，b 〉及其变式cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a | ·|b |是两个重要公式．(2)空间向量的数量积的其他变式是解决立体几何问题的重要公式，如a 2＝|a |2，a 在b 上的投影a ·b|b |＝|a |·cos θ等．[跟进训练]1.如图，已知ABCD -A ′B ′C ′D ′是平行六面体．设M 是底面ABCD 的中心，N 是侧面BCC ′B ′对角线BC ′上的34分点，设MN →＝αAB →＋βAD →＋γAA ′→，则α＋β＋γ＝________.32 [连接BD ，则M 为BD 的中点，MN →＝MB →＋BN →＝12DB →＋34BC ′→＝12(DA →＋AB →)＋ 34(BC →＋CC ′→)＝12(－AD →＋AB →)＋34(AD →＋AA ′→) ＝12AB →＋14AD →＋34AA ′→. ∴α＝12，β＝14，γ＝34. ∴α＋β＋γ＝32.]空间向量基本定理三个向量不能构成空间的一个基底，则实数λ的值为( )A ．0B ．357C ．9D ．657(2)如图，已知空间四边形OABC ，对角线OB ，AC ，M ，N 分别是对边OA ，BC 的中点，点G 在线段MN 上，且MG ＝2GN ，用基底向量OA →，OB →，OC →表示向量OG →.(1)D [∵a ＝(2，－1,3)，b ＝(－1,4，－2)，a ，b ，c 三个向量不能构成空间的一个基底，∴a 与b 不平行，且a ，b ，c 三个向量共面， ∴存在实数X ，Y ，使得c ＝X a ＋Y b ，即⎩⎨⎧2X －Y ＝7，－X ＋4Y ＝5， 3X －2Y ＝λ，解得λ＝657.](2)[解] OG →＝OM →＋MG →＝OM →＋23MN →＝12OA →＋23(ON →－OM →) ＝12OA →＋23⎣⎢⎡⎦⎥⎤12(OB →＋OC →)－12OA →＝12OA →＋13(OB →＋OC →)－13OA →＝16OA →＋13OB →＋13OC →.基底的判断方法判断给出的三个向量能否构成基底，关键是要判断这三个向量是否共面．首先应考虑三个向量中是否有零向量，其次判断三个非零向量是否共面．如果从正面难以入手判断，可假设三个向量共面，利用向量共面的充要条件建立方程组，若方程组有解，则三个向量共面；若方程组无解，则三个向量不共面．[跟进训练]2.如图，三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，M ，N 分别是A 1B ，B 1C 1上的点，且BM ＝2A 1M ，C 1N ＝2B 1N .设AB →＝a ，AC →＝b ，AA 1→＝c .(1)试用a ，b ，c 表示向量MN →；(2)若∠BAC ＝90°，∠BAA 1＝∠CAA 1＝60°，AB ＝AC ＝AA 1＝1，求MN 的长． [解] (1)MN →＝MA 1→＋A 1B 1→＋B 1N →＝13BA 1→＋AB →＋13B 1C 1→＝13(c －a )＋a ＋13(b －a )＝13a ＋13b ＋13c . (2)∵(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2a ·b ＋2b ·c ＋2a ·c ＝1＋1＋1＋0＋2×1×1×12＋2×1×1×12＝5，∴|a ＋b ＋c |＝5，∴|MN →|＝13|a ＋b ＋c |＝53，即MN ＝53.空间向量的坐标表示(2)已知a ＝(1,5，－1)，b ＝(－2,3,5)． ①当(λa ＋b )∥(a －3b )时，求实数λ的值； ②当(a －3b )⊥(λa ＋b )时，求实数λ的值．[思路探究] (1)利用|a |＝|a |2构建函数关系，再利用二次函数求最小值； (2)利用向量共线和垂直的充要条件，由坐标运算求解． (1)355 [由已知，得b －a ＝(2，t ，t )－(1－t,1－t ，t )＝(1＋t,2t －1,0)． ∴|b －a |＝(1＋t )2＋(2t －1)2＋02 ＝5t 2－2t ＋2＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫t －152＋95.∴当t ＝15时，|b －a |的最小值为355.] (2)[解] ①∵a ＝(1,5，－1)，b ＝(－2,3,5)，∴a －3b ＝(1,5，－1)－3(－2,3,5)＝(1,5，－1)－(－6,9,15)＝(7，－4，－16)，λa ＋b ＝λ(1,5，－1)＋(－2,3,5)＝(λ，5λ，－λ)＋(－2,3,5)＝(λ－2,5λ＋3，－λ＋5)．∵(λa ＋b )∥(a －3b )， ∴λ－27＝5λ＋3－4＝－λ＋5－16，解得λ＝－13.②∵(a －3b )⊥(λa ＋b )，∴(7，－4，－16)·(λ－2,5λ＋3，－λ＋5)＝0，即7(λ－2)－4(5λ＋3)－16(－λ＋5)＝0，解得λ＝1063.熟记空间向量的坐标运算公式 设a ＝(x 1，y 1，z 1)，b ＝(x 2，y 2，z 2)， (1)加减运算：a ±b ＝(x 1±x 2，y 1±y 2，z 1±z 2)． (2)数量积运算：a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2＋z 1z 2. (3)向量夹角：cos 〈a ，b 〉＝x 1x 2＋y 1y 2＋z 1z 2x 21＋y 21＋z 21x 22＋y 22＋z 22. (4)向量长度：设M 1(x 1，y 1，z 1)，M 2(x 2，y 2，z 2)， 则|M 1M 2→|＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＋(z 1－z 2)2. (5)a ∥b ⇔x 1＝λx 2且y 1＝λy 2且z 1＝λz 2.提醒：在利用坐标运算公式时注意先对向量式子进行化简再运算．[跟进训练]3．已知O 为坐标原点，OA →＝(1,2,3)，OB →＝(2,1,2)，OP →＝(1,1,2)，点Q 在直线OP 上运动，则当QA →·QB →取得最小值时Q 的坐标为( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，34，13B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23，34C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，83D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，73C [设OQ →＝λOP →，则QA →＝OA →－OQ →＝OA →－λOP →＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，QB →＝OB －OQ →＝OB →－λOP →＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，所以QA →·QB →＝(1－λ，2－λ，3－2λ)·(2－λ，1－λ，2－2λ)＝2(3λ2－8λ＋5)＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤3⎝⎛⎭⎪⎫λ－432－13.所以当λ＝43时，QA →·QB →最小，此时OQ →＝43OP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，83，即点Q 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，83.]利用空间向量证明平行、垂直问题＝AD ＝CD ＝2AB ＝2，M 为PC 的中点．(1)求证：BM ∥平面P AD ；(2)平面P AD 内是否存在一点N ，使MN ⊥平面PBD ？若存在，确定N 的位置；若不存在，说明理由．[思路探究] (1)证明向量BM →垂直于平面P AD 的一个法向量即可；(2)假设存在点N ，设出其坐标，利用MN →⊥BD →，MN →⊥PB →，列方程求其坐标即可．[解] (1)证明：以A 为原点，以AB ，AD ，AP 分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系如图所示，则B (1,0,0)，D (0,2,0)，P (0,0,2)，C (2,2,0)，M (1，1,1)，∴BM →＝(0,1,1)，平面P AD 的一个法向量为n ＝(1,0,0)， ∴BM →·n ＝0，即BM →⊥n ，又BM ⊄平面P AD ，∴BM ∥平面P AD .(2)BD→＝(－1,2,0)，PB→＝(1,0，－2)，假设平面P AD内存在一点N，使MN⊥平面PBD.设N(0，y，z)，则MN→＝(－1，y－1，z－1)，从而MN⊥BD，MN⊥PB，∴⎩⎨⎧MN→·BD→＝0，MN→·PB→＝0，即⎩⎨⎧1＋2(y－1)＝0，－1－2(z－1)＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧y＝12，z＝12，∴N⎝⎛⎭⎪⎫0，12，12，∴在平面P AD内存在一点N⎝⎛⎭⎪⎫0，12，12，使MN⊥平面PBD.利用空间向量证明空间中的位置关系线线平行证明两条直线平行，只需证明两条直线的方向向量是共线向量.线线垂直证明两条直线垂直，只需证明两直线的方向向量垂直.线面平行①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；②证明可在平面内找到一个向量与直线的方向向量是共线向量；③利用共面向量定理，即证明直线的方向向量可用平面内两不共线向量线性表示.线面垂直①证明直线的方向向量与平面的法向量平行；②利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题.面面平行①证明两个平面的法向量平行(即是共线向量)；②转化为线面平行、线线平行问题.面面垂直①证明两个平面的法向量互相垂直；②转化为线面垂直、线线垂直问题.[跟进训练]4.如图所示，已知P A⊥平面ABCD，ABCD为矩形，P A＝AD，M，N分别为AB ，PC 的中点．求证：(1)MN ∥平面P AD ； (2)平面PMC ⊥平面PDC .[证明] (1)如图所示，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系A -xyz .设P A ＝AD ＝a ，AB ＝b .P (0,0，a )，A (0,0,0)，D (0，a,0)，C (b ，a,0)，B (b,0,0)． 因为M ，N 分别为AB ，PC 的中点， 所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2，0，0，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2，a 2，a 2.所以MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2，a 2，又AP →＝(0,0，a )，AD →＝(0，a,0)， 所以MN →＝12AD →＋12AP →.又因为MN ⊄平面P AD ，所以MN ∥平面P AD .(2)由(1)可知P (0,0，a )，C (b ，a,0)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2，0，0，D (0，a,0)．所以PC →＝(b ，a ，－a )，PM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2，0，－a ，PD →＝(0，a ，－a )．设平面PMC 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎨⎧n 1·PC →＝0，n 1·PM →＝0，故⎩⎪⎨⎪⎧bx 1＋ay 1－az 1＝0，b 2x 1－az 1＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2a b z 1，y 1＝－z 1.令z 1＝b ，则n 1＝(2a ，－b ，b ) .设平面PDC 的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)， 则⎩⎨⎧n 2·PC →＝0，n 2·PD →＝0，故⎩⎨⎧bx 2＋ay 2－az 2＝0，ay 2－az 2＝0，所以⎩⎨⎧x 2＝0，y 2＝z 2，令z 2＝1，则n 2＝(0,1,1)．因为n 1·n 2＝0－b ＋b ＝0，所以n 1⊥n 2. 所以平面PMC ⊥平面PDC .用空间向量求空间角和空间距离1．用法向量求直线与平面所成的角时，直线的方向向量和平面的法向量的夹角与线面角有什么关系？[提示] 不是线面角，而是它的余角(或补角的余角)，即设线面角为θ，直线与平面的法向量的夹角为〈a ，n 〉，则θ＝π2－〈a ，n 〉(〈a ，n 〉为锐角)或θ＝〈a ，n 〉－π2(〈a ，n 〉为钝角)．应注意到线面角为锐角或直角．2．平面与平面的夹角一定是锐角吗？ [提示] 不一定，可以是锐角，也可以是直角．【例5】 长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝4，AD ＝6，AA 1＝4，M 是A 1C 1的中点，P 在线段BC 上，且|CP |＝2，Q 是DD 1的中点，求：(1)M 到直线PQ 的距离； (2)M 到平面AB 1P 的距离．[解] 如图，建立空间直角坐标系B -xyz ，则A (4,0,0)，M (2,3,4)，P (0,4,0)，Q (4,6,2)．(1)∵QM →＝(－2，－3,2)，QP →＝(－4，－2，－2)，∴QM →在QP →上的射影的模＝|QM →·QP →||QP →|＝(－2)×(－4)＋(－3)×(－2)＋2×(－2)(－4)2＋(－2)2＋(－2)2 ＝1024＝566. 故M 到PQ 的距离为|QM →|2－⎝⎛⎭⎪⎫5662＝17－256＝4626.(2)设n ＝(x ，y ，z )是平面AB 1P 的某一法向量，则n ⊥AB 1→，n ⊥AP →， ∵AB 1→＝(－4,0,4)，AP →＝(－4,4,0)，∴⎩⎨⎧－4x ＋4z ＝0，－4x ＋4y ＝0，因此可取n ＝(1,1,1)，由于MA →＝(2，－3，－4)，那么点M 到平面AB 1P 的距离为d ＝|MA →·n ||n |＝|2×1＋(－3)×1＋(－4)×1|3＝533，故M 到平面AB 1P 的距离为533.1．本例中，把条件“∠BAD ＝120°”改为“∠BAD ＝90°，且P A ＝1”，其它条件不变，求点A 到平面PCB 的距离．[解] 如图，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0,0,0)，P (0,0,1)，C (1,1,0)，B (0,2,0)，∴AP →＝(0,0,1)，BP →＝(0，－2,1)，BC →＝(1，－1,0)． 设平面PBC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎨⎧n ·BP →＝0n ·BC →＝0即⎩⎨⎧－2y ＋z ＝0x －y ＝0. 令y ＝1，则x ＝1，z ＝2.∴n ＝(1,1,2)，∴A 点到平面PCB 的距离为 d ＝|AP →·n ||n |＝26＝63.2．在本例条件中加上“P A ＝1”，求直线P A 与平面PCB 所成角．[解] 根据题目所建立的平面直角坐标系可知A (0,0,0)，P (0,0,1)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，0，B (0,2,0)， ∴AP →＝(0,0,1)，BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－32，0BP →＝(0，－2,1)，设平面PBC 的法向量为m ＝(x ，y ，z )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧m ·BC →＝32x －32y ＝0，m ·BP →＝－2y ＋z ＝0，令y ＝1，则m ＝(3，1,2)，设P A 与平面PCB 的夹角为θ，则sin θ＝|cos 〈m ，P A →〉|＝|m ·P A →||m ||P A →|＝21×22＝22，∴θ＝45°.故直线P A 与平面PBC 所成的角为45°.用向量法求空间角的注意点(1)异面直线所成角：两异面直线所成角的范围为0°<θ≤90°，需找到两异面直线的方向向量，借助方向向量所成角求解．(2)直线与平面所成的角：要求直线a 与平面α所成的角θ，先求这个平面α的法向量n 与直线a 的方向向量a 夹角的余弦cos 〈n ，a 〉，易知θ＝〈n ，a 〉－π2或者π2－〈n ，a 〉．(3)平面与平面的夹角：如图，有两个平面α与β，分别作这两个平面的法向量n 1与n 2，则平面α与β所成的角跟法向量n 1与n 2所成的角相等或互补．[培优层·素养升华]【例】 如图，在三棱锥P -ABC 中，AB ＝BC ＝22，P A ＝PB ＝PC ＝AC ＝4，O 为AC 的中点．(1)证明：PO ⊥平面ABC ；(2)若点M 在棱BC 上，且二面角M —P A —C 为30°，求PC 与平面P AM 所成角的正弦值．[思路探究] (1)首先利用等腰三角形的性质可得PO ⊥AC ，利用勾股定理可证得PO ⊥OB ，然后结合线面垂直的判定定理即可证得结果；(2)根据(1)中的垂直关系建立空间直角坐标系，设出点M (含有参数)的坐标，根据已知条件求得此参数，然后求解即可．[解] (1)证明：因为AP ＝CP ＝AC ＝4，O 为AC 的中点，所以OP ⊥AC ，且OP ＝2 3.如图，连接OB .因为AB ＝BC ＝22AC ，所以△ABC 为等腰直角三角形， 且OB ⊥AC ，OB ＝12AC ＝2.由OP 2＋OB 2＝PB 2知PO ⊥OB .由OP ⊥OB ，OP ⊥AC ，OB ∩AC ＝O ，知PO ⊥平面ABC .(2)如图以O 为坐标原点，OB ，OC ，OP 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系O -xyz .由已知得O (0,0,0)，B (2,0,0)，A (0，－2,0)，C (0,2,0)，P (0,0,23)，AP →＝(0,2,23)．取平面P AC 的一个法向量OB →＝(2,0,0)．设M (a,2－a,0)(0＜a ≤2)，则AM →＝(a,4－a,0)． 设平面P AM 的法向量为n ＝(x ，y ，z )． 由AP →·n ＝0，AM →·n ＝0得⎩⎨⎧2y ＋23z ＝0，ax ＋(4－a )y ＝0，取y ＝3a ，则z ＝－a ，x ＝3(a －4)，可得n ＝(3(a －4)，3a ，－a )为平面P AM 的一个法向量， 所以cos 〈OB →，n 〉＝23(a －4)23(a －4)2＋3a 2＋a 2.由已知可得|cos 〈OB →，n 〉|＝32， 所以23|a －4|23(a －4)2＋3a 2＋a 2＝32，解得a ＝43，所以n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－833，433，－43. 又PC →＝(0,2，－23)， 所以cos 〈PC →，n 〉＝34.所以PC 与平面P AM 所成角的正弦值为34.利用向量方法求空间角问题是每年高考的热点问题，无论是二面角、直线与平面所成的角，还是异面直线所成的角，最终都利用空间向量的夹角公式⎝ ⎛⎭⎪⎫即cos θ＝a·b |a ||b |来求解．不同的是求二面角时，所取的两个向量为两个平面的法向量；求直线与平面所成的角时，所取的向量为直线的方向向量与平面的法向量；求异面直线所成的角时，则只需取两条直线的方向向量即可．[跟进训练]如图，长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，点E 在棱AA 1上，BE ⊥EC 1.(1)证明：BE ⊥平面EB 1C 1；(2)若AE ＝A 1E ，求二面角B -EC -C 1的正弦值．[解] (1)证明：由已知得，B 1C 1⊥平面ABB 1A 1，BE ⊂平面ABB 1A 1，故B 1C 1⊥BE .又BE ⊥EC 1，B 1C 1∩EC 1＝C 1， 所以BE ⊥平面EB 1C 1.(2)由(1)知∠BEB 1＝90°.由题设知Rt △ABE ≌Rt △A 1B 1E ，所以∠AEB ＝45°，故AE ＝AB ，AA 1＝2AB .以D 为坐标原点，DA →的方向为x 轴正方向，|DA →|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系D -xyz ，则C (0,1,0)，B (1,1,0)，C 1(0,1,2)，E (1,0,1)，CB →＝(1,0,0)，CE →＝(1，－1,1)，CC 1→＝(0,0,2)． 设平面EBC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎨⎧CB →·n ＝0，CE →·n ＝0，即⎩⎨⎧x ＝0，x －y ＋z ＝0，所以可取n ＝(0，－1，－1)．设平面ECC 1的法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)，则 ⎩⎨⎧CC 1→·m ＝0，CE →·m ＝0，即⎩⎨⎧2z 1＝0，x 1－y 1＋z 1＝0，所以可取m ＝(1,1,0)．于是cos 〈n ，m 〉＝n·m|n ||m |＝－12. 所以，二面角B -EC -C 1的正弦值为32.。
湘教版高中同步学案数学选择性必修第一册精品课件 第1章 数列 本章总结提升
∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(an-2-an-3)+…+(a2-a1)+a1
(-1)(2-1 + 3)
=(2n-1)+(2n-3)+(2n-5)+…+3+2=
+2=n2+1.
2
∴an=n2+1.
(方法2 迭代法)
∵a1=2,an=an-1+2n-1(n≥2),
3
2 n-1
bn=-2( ) +3.
3
n n
=b
可知
a
=3
-2 .
n
n
-1
2
规律方法
1.an+1=pan+t(p,t∈R,pt≠0,p≠1)型的数列求通项公式 an,可以设
-1
角度3构造法求数列的通项公式
【例6】 (1)已知a1=1,an+1=2an+1,证明数列{an+1}是等比数列,并求出数列
{an}的通项公式.
(2)已知在数列{an}中,a1=1,an+1=2an+3n,求数列{an}的通项公式.
解 (1)因为an+1=2an+1,所以an+1+1=2(an+1).
∴an=an-1+2n-1=an-2+2(n-1)-1+2n-1=an-3+2(n-2)-1+2(n-1)-1+2n-1
=…=2+3+5+…+(2n-5)+(2n-3)+2n-1=n2+1,
北师版高中同步学案数学选择性必修第一册精品课件 第1章 直线与圆 本章总结提升
解 设圆心为 C(a,b),半径为 r,∵C 在 l1 上,
∴a-b-1=0.①
∴圆 C 与 l2 相切,∴
|4+3+14|
32 +42
=r.②
又圆 C 截 l3 所得弦长为 6,
|3+4+10| 2 6 2 2
∴(
) +( ) =r .③
最值问题;
(2)形如t=ax+by的最值问题,可转化为动直线的截距的最值问题;
(3)形如(x-a)2+(y-b)2的最值问题,可转化为动点到定点的距离平方的最值
问题.
变式训练2已知点P(x,y)在圆x2+y2-6x-6y+14=0上.
(1)求 的最大值和最小值;
(2)求x2+y2+2x+3的最大值与最小值.
发现和提出问题,建立和求解模型,检验和完善模型,分析和解决问题.
【例4】 街头有一片绿地,绿地的四条边界(单位:m)如图所示,其中ABC为
圆弧,求此绿地的面积(精确到0.1 m2).
解 设圆弧ABC所对的圆心为点E,建立如图所示平面直角坐标系,各点坐标
分别为A(0,7),B(3,8),C(7,6),所以过A,B,C三点的圆弧的方程为
1
25π
2 1
2
= 2 + 4 π ×5 -2 ×5 =33+ 4
≈52.6(m2).所以绿地的面积约为 52.6 m2.
规律方法
1.解决直线与圆的实际应用题的步骤
2.建立适当的直角坐标系应遵循的三个原则
(1)若曲线是轴对称图形,则可选它的对称轴为坐标轴.
2018七年级数学上册 第1章 整合提升密码 (新版)沪科版
点拨：对于类似的两数的大小 比较,我们可以引入一个中间量，分别比较它们与中间量的
大小，从而得出问题的答案．
4．解：错误!的倒数是 10错误!,错误!的倒数是 10错误!，
因为 10错误!＞10错误!，所以错误!＜错误!.
点拨：利用倒数法比较两个正数的大小时，需先求出其倒数，再根据倒数大的反而小，
从而确定这两个数的大小．
；－错误!的绝对值是m 的变化而变化，当 m＝
时，｜m－3｜＋5 有最小值,
最小值是
Ｗ。
4.
已知 a,b 分别是两个不同的点 A，B 所表示的有理数，且｜a|＝5,｜b|＝2，它们在数轴上 的位置如图所示.
（1）试确定数 a，b; (2）表示 a，b 两数的点相距多远？ (3）若 C 点在数轴上，C 点到 B 点的距离是 C 点到 A 点距离的错误!，求 C 点表示的数。
运用特殊值法比较大小 8.已知 a,b 是有理数,且 a，b 异号，则|a＋b|，|a－b｜，｜a|＋｜b|的大小关系为 ________________________________________________________________________。
利用分类讨论法比较大小 a
9.比较 a 与3的大小。 专训二：有理数中六种易错类型
5．B 6。C 7。A 8。C 9．解：（1）原式＝17－8÷（－2）×3
＝1 7－（－12） ＝29. (2)原式＝－10＋8－6＝－8。 （3）原式＝10＋8÷4－12＝0. (4）原式＝（－16）×错误!＋错误!×错误!－错误! ＝错误!＋错误!－错误! ＝－错误!。 10．D 11．解:由题意得 a＋1＝0,b－2＝0，所以 a＝－1,b＝2. 所以(a＋b）9＋a6＝［(－1)＋2］9＋（－1）6＝2。 12．C 13.C 14．3.9×105;51 600；十万位 15．6。96×105 16．D 17.B 18．解：原式＝1错误!÷错误!－错误!÷错误! ＝－ 错误!－错误! ＝－7. 19．解:当 a＜0 时，2a＜－2a； 当 a＝0 时，2a＝－2a； 当 a＞0 时，2a＞－2a. 20．A