初中数学知识点精讲精析 两条直线的位置关系

第一节两条直线的位置关系

要点精讲

一、两条直线的位置关系

在同一平面内，两条直线的位置关系有平行和相交两种．

1．平行线的定义：

（1）如果在同一平面内的两条不相交的直线叫平行线．

（2）平行线用“∥”来表示；强调要在同一平面内，若不在同一平面内的两条直线，又不平行，又不相交，叫异面直线；线段、射线的平行关系根据它所在的直线来决定，若它们所在的直线不相交，就平行，若所在的直线相交，就不平行．

2．相交线的定义

若两条直线只有一个公共点，我们称这两条线为相交线．

三、特殊角

余角和补角：两角之和为90°则两角互为余角，两角之和为180°则两角互为补角．等角的余角相等，等角的补角相等．

对顶角：两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两个角的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做互为对顶角．两条直线相交，构成两对对顶角．互为对顶角的两个角相等．邻补角：两个角有一条公共边，它们的另一条边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角．

内错角：互相平行的两条直线直线，被第三条直线所截，如果两个角都在两条直线的

四、两条直线互相垂直

1．两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直．其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．

直线AB，CD互相垂直，记作“AB⊥CD”（或“CD⊥AB”），读作“AB垂直于CD”（或“CD 垂直于AB”）．

2．垂线的性质：

性质1：平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．

性质2：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．简称：垂线段最短．3．点到直线的距离：过A点作l的垂线，垂足为B点，线段AB的长度叫做点A到直线l的距离．

相关链接

经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）．垂直平分线，简称“中垂线”，是初中几何学科中非常重要的一部分． 典型分析

1．如图，△ABC 中，∠C=90°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，若CD=4，则点D 到AB 的距离是________．

【答案】4

【解析】由三角形全等或角平分线性质定理易得D 到AB 的距离就是D 到AB 的距离CD ．

中考案例

1. （2012重庆市4分）已知：如图，BD 平分∠ABC ，点E 在BC 上，EF ∥AB ．若∠CEF=100°，则∠ABD 的度数为【 】

A ．60°

B ．50°

C ．40°

D ．30°

【答案】B 。

【解析】∵EF ∥AB ，∠CEF=100°，∴∠ABC=∠CEF=100°。

∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD=∠ABC=×100°=50°。故选B 。

2.（2012山西省2分）如图，直线AB ∥CD ，AF 交CD 于点E ，∠CEF=140°，则∠A 等于【 】

A ． 35°

B ． 40°

C ． 45°

D ． 50°

【答案】B 。

121

2

【解析】∵∠CEF=140°，∴∠FED=180°﹣∠CEF=180°﹣140°=40°。

∵直线AB ∥CD ，∴∠A=∠FED=40°。故选B 。

针对训练

1．知∠＝32o，则∠的补角为【 C 】

A ．58o

B ．68o

C ．148o

D ．168o

2．已知△ABC 中,∠B 是∠A 的2倍, ∠C 比∠A 大20° ,则∠A 等于（ ）

A ． 40°

B ． 60°

C ． 80°

D ． 90°

3．如图，小明在操场上从A 点出发，先沿南偏东30°方向走到B 点，再沿南偏东60°方向走到C 点．这时，∠ABC 的度数是（ ）

A ．120°

B ．135°

C ．150°

D ．160°

4．如图，如果在阳光下你的身影的方向北偏东60°方向，那么太阳相对于你的方向是（ ）

A ． 南偏西60°

B ．南偏西30°

C ．北偏东60°

D ．北偏东30°

5．如图，B 处在A 处的南偏西45°方向，C 处在A 处的南偏东15°方向，C 处在B 处的北偏东80°方向，则∠ACB 等于（ ）

A ． 40°

B ． 75°

C ． 85°

D ． 140°

6．如图，AB ∥CD ，DB ⊥BC ，∠1=40°，则∠2的度数是（ ）

A ．40°

B ．50°

C ．60°

D ．140°

7．如图，直线a 、b 被直线c 所截，下列说法正确的是（ ）

α

α

A．当∠1=∠2时，一定有a∥b B．当a∥b时，一定有∠1=∠2

C．当a∥b时，一定有∠1+∠2=90° D．当∠1+∠2=180°时，一定有a∥b 8．一个锐角是38度，则它的余角是_________度．

参考答案

1．【答案】C

【解析】∵∠a=32°，∴∠a的补角为180°－32°=148°．

故选C．

2．【答案】A

【解析】∵∠B＝2∠A, ∠C＝∠A+20°,∠A+∠B+∠C＝180°,

∴∠A+2∠A+（∠A+20°）＝180°, ∴∠A＝40°．故选A．

3．【答案】C

【解析】由题意得：∠1＝30°，∠2＝60°，

∵AE∥BF，

∴∠1＝∠4＝30°，

∵∠2＝60°，

∴∠3＝90°－60°＝30°，

∴∠ABC＝∠4＋∠FBD＋∠3＝30°＋90°＋30°＝150°，

故选：C．

4．【答案】A

【解析】由于人相对与太阳与太阳相对于人的方位正好相反，

∵在阳光下你的身影的方向北偏东60°方向，

∴太阳相对于你的方向是南偏西60°．

故选A．

5．【答案】C

【解析】∵AE，DB是正南正北方向，

∴BD∥AE，

∵∠DBA=45°，

∴∠BAE=∠DBA=45°，

∵∠EAC=15°，

∴∠BAC=∠BAE+∠EAC=45°+15°=60°，

又∵∠DBC=80°，

∴∠ABC=80°﹣45°=35°，

∴∠ACB=180°﹣∠ABC﹣∠BAC=180°﹣60°﹣35°=85°．

故选C．

6．【答案】b

【解析】∵AB∥CD，DB⊥BC，∠1=40°，

∴∠3=∠1=40°，

∵DB⊥BC，

∴∠2=90°﹣∠3=90°﹣40°=50°．故选B．

7．【答案】A

【解析】A．若∠1=∠2不符合a∥b的条件，故本选项错误．

8．【答案】52°

【解析】这个角的余角为：90°－38°＝52°．

故答案为：52°．

扩展知识

当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线．

注意到垂线的定义中，只是规定了两直线交角的大小（90°），并没有规定两条直线的位置如何．也就是说，不论一条直线的位置如何，只要另一条与它的交角是90°，其中任何一条直线就是另一条直线的垂线．

事实上，老师在讲“垂线”的概念时，总喜欢用铅垂线引入．说瓦工师傅砌墙时，为了使墙砌得与地面垂直，先吊一根铅垂线，即用一根细线吊一个重锤，重锤由于地球引力，呈与地面水平线垂直的状态下垂．这时，铅垂线与水平线互相垂直．这样的引入是很生动的，有助于同学对垂直概念的理解．但是，由于水平线、铅垂线的位置特殊，也给学生带来一些副作用，今后一提到垂线，总以为处于铅垂线的状态，从而使垂线的概念特殊化了．类似容易产生误解的概念，在几何中还有不少．如梯形，源于生活中常见的梯子．但梯子在使用时，总是放成一种特殊的位置，由此在大脑中形成梯形的典型位置，即梯形上下底处于水平位置，而对梯形的本质定义：“一双对边平行，另一双对边不平行的四边形”就比较陌生，一旦看到梯形的变式图形，就很不习惯了．学几何概念，常常从生活实例引入，这是很必要的．因为几何本来就来源于实践．实例可以帮助我们理解概念，形成概念．但是几何概念来源于生活，却高于生活．在实例的基础上，一定要上升到几何概念的本质，从本质属性上去掌握概念，摆脱实例的局限性，避免在概念理解上的特殊化．