误差理论与数据处理

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误差理论与数据处理

意义：
反映不确定度评定的质量
自由度越大
标准差越可信赖
不确定度评定质量越好
物理学与电子工程学院
第4章测量不确定度
YANGTZE NORMAL UNIVERSITY
2.自由度的确定（1）标准不确定度A类评定的自由度自由度ν即为标准差的自由度，一般为ν=n-1
பைடு நூலகம்
标准差的计算方法不同，自由度ν也不同
1 别捷尔斯法极差法最大误差法 0.9 2 0.9 0.9 1.9 3 1.8 1.8 2.6 4 2.7 2.7 3.3 5 3.6 3.6 3.9 6 4.5 4.5 4.6 7 5.4 5.3 5.2 8 6.2 6.0 5.8 9 7.1 6.8 6.4 10
借助于x可能变化的全部信息进行科学判定
主要信息来源
以前测量的数据、经验或资料仪器知识、说明书、检定书或其他报告提供的数据各种手册提供的参考数据
物理学与电子工程学院第4章测量不确定度
YANGTZE NORMAL UNIVERSITY
常见B类评定方法 1.当估计值受多个独立因素的影响，且影响大小相近时假设为正态分布给定置信概率P分布区间的半宽度a
第4章测量不确定度
YANGTZE NORMAL UNIVERSITY
4.1.2 测量不确定度的定义
1.定义测量不确定度：测量结果含有的一个参数，表征被测量值的分散性。

误差理论及实验数据处理

2．计算误差在运算过程中的各种数值皆是近似的，因此运算所得的结果必然也是近似的。如果正确认识了计算过程中的计算误差问题，可以使运算大大简化而不致于造成计算工作浪费。这里只引用了一般运算中的几个基本结论。
1）作和差运算时其最大绝对值误差 Δ 不会超过各项最大绝对误差之和。设 Δ1 、 Δ 2 各为数量 M1 、 M 2 的近似值 m1 、 m2 的最大绝对误差。则 M = M1 + M 2 的近似值 m = m1 + m2 的最大绝对值误差为
δ
2 i
）为最
小的一条直线。根据最小二乘法原理，所谓偏差平方和最小，即
∑ ∑ Q =
δ
2 i
=
[ yi − (a + bxi )]2
(i = 1, 2,3,", n)
（Ⅱ–4）
为最小，即令式（Ⅱ–4）
经整理后得
∂Q = 0 ， ∂Q = 0
∂a
∂b
∑ ∑∑ ∑∑ ∑ ∑∑ ∑∑ ∑ a =
yi n
xi2 − xi2 − (
26.5 26.5
130～245
300～400
103～113
39～42
157～324
370～680
103～113
39～42
245
390～588
103～113
39～42

误差理论与数据处理

不确定度（Uncertainty）是指由于测量误差的存在而对被测量值不能肯定的程度，用
符号U 表示。通过不确定度可以对被测量的真值所处的量值范围做出评定，而被测量的真
值将以一定的概率（例对于标准不确定度 P=68.3%）落在这个范围内；同时不确定度大小反映了测量结果可信程度的高低，不确定度越小，测量结果与被测量的真值越接近。
明 P f (x)dx 68.3% 。
这说明任一次测量，随机误差落在 ( , ) 区间的概率为 68.3% 。区间 ( , ) 称为置信区间，相应的概率称为置信概率。置信区间分别取 (2 ,2 ) 、(3 ,3 ) 时，相应的置信概率为 P(2 ) 95.4% 、 P(3 ) 99.7% 。
1.3 测量结果的最佳值与随机误差的估算
随机误差与系统误差的来源和性质不同，所以处理的方法也不同。
—6—
1.3. 1 随机误差的分布规律
实践证明，等精度测量中，当测量次数 n 很
大时，测量列的随机误差多服从正态分布。正态分布的曲线如图 1 所示，图中横坐标表示随机误
差 x (xi x0 ) ，纵坐标为对应的误差出现的概率密度函数 f (x) 。应用概率论方法可导出
计分布规律，可以用统计学方法估算随机误差。
3．异常数据的剔除
剔除测量列中异常数据的标准有 3 准则、肖维准则、格拉布斯准则等。
统计理论表明，测量值的偏差超过 3 的概率已小于 1%。因此，可以认为偏差超过 3

误差理论及数据处理

一般来说，真值是未知的。随着分析测试技术的发展，测定结果越来越趋近于真值，但它毕竟不等于真值。在实际工作中，通常将公认的权威机构发售的标准参考物质，其证书上给出的数值称为真值。它是由许多资深的分析工作者，采用原理不同的方法(以消除系统误差)，经过多次测定并对数据进行统计处理后得出的结果。它反映了当前分析工作的
第二章误差理论及数据处理
二、随机误差在平行测定中，即使消除了系统误差的影响，所得的数据仍然是参差不齐的，这是随机误差影响的结果。与系统误差不同，随机误差是由一些随机因素引起的，例如，测定时环境的温度、湿度、气压和外电路电压的微小变化；尘埃的影响；测量仪器自身的变动性；分析者处理各份试样时的微小差别以及读数的不确定性等。这些因素很难被人们觉察或控制，也无法避免，随机误差就是这些偶然因素综合作用的结果。它不但造成测定结果的波动，也使得测定值与真实值发生偏离。由于上述原因，随机误差的特点是其大小和正负都难以预测，且不可被校正，故随机误差又称为偶然误差或不可测误差。
第二章误差理论及数据处理
第三节提高分析结果准确度的方法
一、选择适当的分析方法在生产实践和科研工作中，对测定结果要求的准确度常与试样的组成、性质和待测组分的相对含量有关。化学分析法的灵敏度虽然不高，但对于常量组分的测定能得到较准确的结果，一般相对误差不超过千分之几。仪器分析法具有较高的灵敏度，用于微量或痕量组分的测定，对测定结果允许有较大的相对误差。例如用光谱法测定纯硅中的硼，结果为 2×10-6%。若此方法的相对误差为50%，则试样中硼的含量应在1×10-6—3×10-6之间。看来相对误差很大，但由于待测组分含量很低，引入的绝对误差是很小的，能满足对测定准确度的要求。如果采用化学分析法则根本无法进行测定。

误差理论与数据处理总结

在实际工作中常用到修正值：为减少或消除系统误差一种处理方法。
三、算术平均值 1、公理：一系列等精度测量，则
随机误差的代数和
l L l nL
i 1 i i 1 i 0 i 1 i
n
n
i li L0 。 L0 —真值
n 0
L0
li i
i 1 i 1
n
n
n
n
根据正态分布随机误差的对称性，当 n ，

i
0
修正值=真值—测量值=—绝对误差
c x x0 x
2、相对误差绝对误差绝对误差真值测量值
相对误差：（ 1 ）有大小、方向（ + —）、无单位。常用 % 表示。（2 ）对于相同的被测量，可用绝对误差评定精度。对于不同的被测量或不同的物理量，可用相对误差评定精度。 3 、引用误差：指的是仪器仪表表示值的相对误差。仪器仪表示值误差=示值—真值引用误差=示值误差/测量范围上限 m=ΔXm / Xm
4 平均误差 f d 0.7979 5 1 2 此外由 f d 2 2 0.6745 可解得或然误差为 3
正态分布曲线以及各精度参数在图中的坐标。
多数情况下用规则（2）来校核。四、测量的标准差（方均根误差）

—曲线上拐点 A 的横坐标

误差理论与数据处理

◆ （7）极差一组数据中的最大数据与最小数据的差。一组数据中的最大数据与最小数据的差。在统计中常极差来刻画一组数据的离散程度来刻画一组数据的离散程度。用极差来刻画一组数据的离散程度。
R = Xmax - Xmin
1 误差理论
1.3 与误差相关的评定参数
1.3.4 其他常用质量名词概念 ◆ 测量结果的重复性包括程序、人员、仪器、包括程序、人员、仪器、环境等，以及尽量短的时间间隔
2 数据处理
2.1 有效数字定义、运算规则
2.1.2 运算规则四舍五入，五成双）（1）修约（四舍五入，五成双）） ◆ 尾数时，舍；尾数时，入；尾数≤4时尾数≥6时 ◆ 尾数 = 5时，其后为非数字时皆入；数字时皆入；时其后为非0数字时皆入举例：举例： 10.502修约到个位数修约到个位数→11 修约到个位数
系统误差特点
随机误差
过失误差
可避免性细心、专心、细心、专心、规范操作、规范操作、测量条件稳定
单向性（大小和方向不可预定性、单向性（周期大小和方向不可预定性、）、重复性服从概率统计规律（重复性、性）、重复性、服从概率统计规律（对称性、有界性、抵偿性）可测性称性、有界性、抵偿性）校正增加测定次数
样本平均数 n-1=f，f为自由度，为自由度
n −1
1 误差理论

误差理论与数据处理课件(很实用)

性。
02
数据处理基础
数据清洗
01
数据清洗是数据处理的重要步骤，主要目的是去除重复、缺失、异常和不一致的数据，提高数据质量。
02
数据清洗包括检查数据一致性，处理无效值和缺失值，处理重复记录，以及识别和纠正错误。
数据变换
数据变换是将数据从一种形式或格式转换为另一种形式或格式的过程，以便更好地进行数据分析。
误差理论与数据处理课件
目录
• 误差理论概述 • 数据处理基础 • 误差的识别与控制 • 数据处理技术 • 实验设计与数据分析 • 案例分析与实践
01
误差理论概述
误差的定义与分类
误差的分类
系统误差、随机误差和粗大误差。
随机误差
由于偶然因素引起的误差，具有随机性和不可预测性。
误差的定义
误差是测量结果与真实值之间的差异。
随机误差的识别与控制
随机误差的识别
随机误差表现为数据波动和分散，无法通过实验条件改变消除。可以通过统计分析方法，如计算平均值、方差等，来识别随机误差。
随机误差的控制
控制随机误差的方法包括增加测量次数、采用合适的统计方法对数据进行处理、选择合适的样本量等，以减小随机误差对数据的影响。
过失误差的识别与控制
主成分分析
降维技术
通过将多个相关变量转化为少数几个不相关的主成分，降低数据

(实验数据)3.误差理论和数据处理

(3)过失误差
由粗心大意引起, 可以避免。
重做!
3.1.2

准确度和精密度
准确度：表示分析结果与真实值接近的程度。

精密度：表示各次分析结果相互接近的程度。精密度高不一定准确度高，因为这时可能有较大的系统误差。
准确度和精密度都好
准确度差、精密度好
准确度差、精密度差
准确度和精密度都差

0.
30 20 10 0 频数分布图
64
分组值
0. 5 68 0. 5 72 0. 5 76 0. 5 80 0. 5 84 0. 5 88 0. 5 92 5
归纳1、分组的一般步骤:
一、求极差：极差=样本数据中最大值－最小值二、确定组距与组数：（设k=极差÷组距）（1）若k为整数，则组数=k，

2．统计直方图的作法
（1）从观测值中找出最大值和最小值xmax和xmin；（2）确定作图区间：选取作图起点a（a<xmin）和终点b （b≥xmax）；（3）确定分组区间和组数：将[a，b]分成n个小区间，每个小区间的长度为△ti，每一小区间的数据为一组，共有n组；（4）计算各组的中间值：x=1/2 ( ti-1 + ti )；（5）统计各组内测量值出现的频数mi（测量值出现的次数）；（6）计算各组频率：fi＝ mi/ ∑mi ×100％（7）绘制频率直方图

误差理论与数据处理总结

三、误差分类三、数据运算规则

在有效数据后多保留一位参考(安全)数字。第一章绪论 (1)近似加减运算。结果应与小数位数最少的数据小数位数按误差的特点和性质，误差可分为系统误差、随机误差(也相同。称偶然误差)和粗大误差三类。第一节研究误差的意义 (2)近似乘除运算。运算以有效位最少的数据位数多取一 (一)系统误差一、研究误差的意义位，结果位数相同。在相同条件下，多次测量同一量值时，该误差的绝对值和符号保 1、正确认识误差的性质，分析误差产生的原因，以消除或减少(3)近似平方或开方运算。按乘除运算处理。持不变，或者在条件改变时，按某一确定规律变化的误差—系统误差。 (4)对数运算。 n位有效数字的数据该用n 位对数表，或误差。如标准量值不准、一起刻度不准确引起的误差。 2、正确处理测量和实验数据，合理计算所得结果，以便在一定—曲线上拐点A的横坐标—曲线右半部面积重,(n+1)位对数表。 , 系统误差又可按下列分类: ''''''''条件下得到更接近于真值的数据。 (5)三角函数。角度误差 10.10.01101、按对误差掌握的程度分心B的横坐标 3、正确组织实验过程，合理设计仪器或选用仪器和测量方法，(1)已定系统误差:指误差的绝对值和符号已确定函数值位数 5 6 7

8 ,—右半部面积的平分线的横坐标。以便在最经济条件下，得到最理想结果。(2)未定系统误差:指误差的绝对值和符号未确定，但可的出4、研究误差可促进理论发展。(如雷莱研究:化学方法、空气误差范围。第二章误差的基本性质与处理三、算术平均值分离方法。制氮气时，密度不同，导致后人发现惰性气体。) 2、按误差出现规律分

误差理论与数据处理第七版

简介

《误差理论与数据处理第七版》是由Taylor J.R.所著，是一本针对误差理论和数据处理方法的经典教材。本书的内容主要围绕了测量和数据处理中的误差分析、不确定度评定以及数据处理方法。通过本书的学习，读者可以掌握正确的实验设计与数据处理方法，从而提高测量数据的精度和可靠性。

1.误差分析基本概念

2.误差传播

3.误差偏差

4.误差控制方法

5.不确定度评定

6.数据处理方法

7.统计处理方法

8.随机误差处理

9.系统误差处理

10.实验设计与方差分析

11.实例与案例分析

1. 误差分析基本概念

本章介绍了误差分析的基本概念，包括误差的定义、分类以及误差的来源和影响因素。误差分析是任何测量或实验的基础，通过对误差的分析，可以了解测量结果的可靠性和精度。

2. 误差传播

本章讨论了误差传播的原理和方法。误差传播是指在多个测量量进行组合时，误差如何传递到最终结果中。通过了解误差传播的方法，可以更准确地评估多个测量结果的不确定度，并进行合理的处理。

3. 误差偏差

本章主要介绍了误差偏差的概念和处理方法。误差偏差是指测量结果相对于真实值的系统性偏离，它可以由各种因素引起，如仪器误差、环境条件等。了解误差偏差的影响和处理方法对于提高测量结果的准确性至关重要。

4. 误差控制方法

本章介绍了误差控制的方法和技巧。误差控制是通过合理的设计和操作，减小和控制各种误差来源，从而提高测量结果的可靠性和精度。通过本章的学习，读者可以了解到一些常用的误差控制方法和实践经验。

5. 不确定度评定

本章主要介绍了不确定度评定的理论和方法。不确定度是对测量结果的范围进行估计，用于描述测量结果的可信度。本章重点介绍了不确定度的计算方法和评定准则，使读者能够正确评估测量结果的不确定度，并进行合理的处理和判断。

分析化学第二章误差与分析数据处理

准确度检验
通过标准物质或标准方法对比，检验分析结果的准确性。
线性检验
验证测量系统是否符合线性关系，确保数据在一定范围内准确可靠。
范围检验
评估分析方法在一定浓度或含量范围内的适用性。
异常值的处理
识别异常值
通过统计检验等方法识别异常值。
判断异常原因
了解异常值的产生原因，如操作失误、仪器故障等。
异常值处理
根据具体情况决定是否剔除异常值，或采取其他处理方法。
预防措施
针对异常值产生的原因采取预防措施，避免类似问题再次发生。
03
误差的传递与控制
误差的传递
01
绝对误差与相对误差
绝对误差是测量值与真实值之间的差值，相对误差是绝对误差与真实值之间的比值。
02
系统误差与随机误差
系统误差是由某些固定因素引起的误差，随机误差则是由随机因素引起的波动。
04
在结果表示时，应按照规定的有效数字位数进行修约和取舍，确保结果的准确性和可靠性。
05
实验数据处理与结果表达
实验数据的处理
数据筛选
剔除异常值和离群点，确保数据质量。
数据转换
将原始数据转换为更易于分析的形式，如对数转换、平方根转换等。
ABCD
数据修正
对错误数据进行修正，如输入错误、读数误差等。
数据统计

误差理论与数据处理

1误差理论

误差(error)理论是科学测量中一项重要的理论，它描述了测量结

果与理论结果之间的差异，以及这种差异的大小和方向。当一项测量

结果与理论相符时，这种差异就会减少到一定的程度，从而减少测量

不确定性，使测量结果更精确和准确。

误差分析也是一种重要的测量方法，它主要是根据实际测量结果

来估算实际测量数据与理论测量数据之间的差异，从而决定测量后的

数据处理方式[1]。通过分析误差，可以有效估算测量数据的有效位数，进而使测量结果更加准确。

2数据处理

数据处理是控制实验测量的一个重要步骤，它可以改善实验测量

的精确程度。通过数据处理，可以提供准确可靠的实验结果，这对于

建立精确的模型以及验证理论，都有着重要的意义。

数据处理有很多种方法，但最重要的一点是要确定准确的误差结果。通常可以采用统计方法，如均值、标准差和变异系数，对实验数

据进行精确的数据分析，从而估算实验数据的有效位数和有效位数之

间的差值。一旦变值较大，就可以采取一定的措施进行纠偏，使实验

数据趋于稳定，从而提高实验数据的准确性。

数据处理本身也可以用于处理和优化测量误差，从而提高测量精度。这一过程通常包括：编辑测量误差数据，对某些超出预想范围的测量数据进行排除处理，将误差分布情况用图表展示出来，并从中分析出结论性结果。

综上所述，误差理论和数据处理在科学测量中起着非常重要的作用，准确的误差分析可以令实验结果更加有效可靠，而精确的数据处理也可以改善测量精度，可以提供准确的实验数据，为理论的验证和模型的建立提供有力支撑。

误差理论与数据处理第一章误差的基本概念

第一章误差的基本概念
教学目的和要求
通过本章内容的教学，使学生对误差的定义、表达方法、分类和误差来源等基本概念有一个系统全面的了解，为后续内容学习打下基础。要求学生理解真值的概念，掌握误差最常用的表达方式，了解误差来源的分析方法，正确使用近似数的修约准则。
主要内容
一、测量的概念
二、误差的定义及基本概念
随机误差（random error）
定义
测得值与在重复性条件下对同一被测量进行无限多次测量结果的平均值之差。又称为偶然误差。在相同测量条件下，多次测量同一量值时，绝对值和符号以不可预定方式变化的误差。实验条件的偶然性微小变化，如温度波动、噪声干扰、电磁场微变、电源电压的随机起伏、地面振动等。
标准器误差
设计测量装置时，由于采用近似原理所带来的工作原理误差
组成设备的主要零部件的制造误差与设备的装配误差
设备出厂时校准与定度所带来的误差
读数分辨力有限而造成的读数误差
数字式仪器所特有的量化误差
元器件老化、磨损、疲劳所造成的误差
测量方法误差
指使用的测量方法不完善，或采用近似的计算公式等原因所引起的误差，又称为理论误差
用游标卡尺测量小尺寸轴工件的直径时，游标卡尺的读数即是被测工件的直径
用游标卡尺测大尺寸轴工件的直径，因量程不够，采用测量弦长与矢高的方法，间接得到工件直径

误差理论与数据处理

∂V 2 ∂V 2 δV = δD + δh = 78.54mm ∂D ∂h
2 2
因为
远小于157.08 δV = 78.54mm3 <157.08mm3 mm3
量具准确度偏高，选得不合理，应作适当调整。
第3节误差分配
二、按可能性调整误差
改用分度值为0.05mm的游标卡尺来测量直径和高度，在 50mm测量范围内的极限误差为0.08 mm。
d1 d2
L2 L L1
第4节最佳测量方案的确定
【解】测量中心距L有下列三种方法：
方法一：测量两轴直径 d1、d2 和外尺寸 L1，其函数式及误差为
d d L=L − 1 − 2 1 2 2
1 1 σL = 0.8 + 0.52 + 0.72 = 0.91µm 2 2
σy
n
σy 1 1 σi = = n ∂f / ∂xi n ai
标准差
σy
1 δ 1 δi = = n ∂f / ∂xi n ai
δ
δ 函数的总极限误差 δi 各单项误差的极限误差
第3节误差分配
二、按可能性调整误差
按等影响原则分配误差存在不合理性：按等影响原则分配误差存在不合理性 (1) 对各分项误差平均分配的结果，会造成对部分测量误差的需求实现颇感容易，而对令一些测量误差的要求难以达到； (2) 测量值的误差与其传播系数成反比，各个部分误差相等，相应测量值的误差不相等，有时可能相差较大。调整

误差理论与数据处理

∆li = li − lo
x=
i = 1, 2 , L , n
∑l
i =1
n
i
(2-10) 式中的 ∆ x 0 为简单数值，很容易计算，因此按（2-10）求算术平均值比较简单。
第二节误差的分类误差
表示形式
绝对误差相对误差系统误差
性质特点
随机误差粗大误差
相对误差
相对误差（ error）相对误差（relative error）定义
∆x r= x0
绝对误差
被测量的真值，常用约定真值代替，也可以近似用 x 测量值
x 来代替
0
相对误差
特点
①相对误差只有
第三节误差的来源
为了减小测量误差，提高测量准确度，为了减小测量误差，提高测量准确度，就必须了解误差来源。而误差来源是多方面的，须了解误差来源。而误差来源是多方面的，在测量过程中，几乎所有因素都将引入测量误差。量过程中，几乎所有因素都将引入测量误差。
主要来源
测量装置误差
特征
系统误差举例
用天平计量物体质量时，砝码的质量偏差用千分表读数时，表盘安装偏心引起的示值误差刻线尺的温度变化引起的示值误差
在实际估计测量器具示值的系统误差时，常常用适当次数的重复测量的算术平均值减去约定真值来表示，又称其为测量器具的偏移偏畸（bias）。偏移或偏畸偏移偏畸由于系统误差具有一定的规律性，因此可以根据其产生原因，采取一定的技术措施，设法消除或减小；也可以在相同条件下对已知约定真值的标准器具进行多次重复测量的办法，或者通过多次变化条件下的重复测量的办法，设法找出其系统误差的规律后，对测量结果进行修正。

误差理论与数据处理_笔记

第一章误差的基本概念

1.各类误差：

误差的定义=测得值-真值

绝对误差=测得值-真值

真值

实际值：满足规定精确度的用来代替真值使用的量值。

修正值：而消除系统误差用代数法加到测量结果上的值。真值≈测量值+修正值（修正值与误差值互为相反数）——修正值本身也有误差，修正后只能得到较测得值更为准确的结果。相对误差=绝对误差/真值≈绝对误差/测得值

i.e. 对于不同的被测量，绝对误差可以评定其测量精度的高低；但对于不同的被测量以及

不同的物理量，采用相对误差来评定其精度。

引用误差：指一种简化和使用方便的仪器仪表示值的相对误差。引用误差=示值误差/测量范围上限；（示值误差=示值-实际值）

2.误差来源

测量装置误差：标准量具，仪器，附件（仪器的附件及附属工具）-引起的误差

环境误差：由于各种环境因素与规定的标准状态不一致而引起的测量装置和被测量本身的

变化所造成的误差。（温度，湿度，气压，振动，电磁场等）

方法误差：由于测量方法不完善引起的误差

人员误差

3.误差分类

1）系统误差：同一条件下，多次测量同一量值时，绝对值和符号保持不变，或在条件改变时，按一定规律变化的误差。（Eg:标准量值的不准确，仪器刻度的不准确引起的误差）

▪已定系统误差：指误差绝对值和符号已经确定的系统误差。

▪未定系统误差：未定，但常可估计出误差范围。

2）随机误差：同一测量条件下，多次测量同一值时，绝对值和符号随机变化。（仪表中传动部件的间隙和摩擦、连接件的弹性变形等引起示值不稳定）

3）粗大误差：超出规定条件下预期的误差，或称寄生误差。（误差值较大，明显歪曲测量结果，如读错数，仪器缺陷等）

误差理论与数据处理

误差理论与数据处理

误差理论及实验数据处理

误差理论与数据处理

误差理论及数据处理

误差理论与数据处理总结

误差理论与数据处理

误差理论与数据处理课件(很实用)

(实验数据)3.误差理论和数据处理

误差理论与数据处理总结

误差理论与数据处理第七版

分析化学第二章误差与分析数据处理

误差理论与数据处理

误差理论与数据处理 第一章误差的基本概念

误差理论与数据处理

误差理论与数据处理

误差理论与数据处理_笔记

误差理论与数据处理第一章误差的基本概念