【精选】八年级数学上册整式的乘法与因式分解(培优篇)(Word版 含解析)
(完整版)整式的乘法与因式分解培优
第二章 整式的乘法
【知识点归纳】
1.同底数幂相乘， 不变， 相加。a n.a m = (m,n 是正整数)
2.幂的乘方， 不变， 相乘。(a n )m = (m,n 是正整数)
3.积的乘方，等于把 ，再把所得的幂 。 (ab)n = (n 是正整数)
4.单项式与单项式相乘，把它们的 、 分别相乘。
5.单项式与多项式相乘，先用单项式 ，再把所得的积 ，a （m+n ）=
6.多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘 ，再把所得的积 ，（a+b ）（m+n ）= 。
7.平方差公式，即两个数的 与这两个数的 的积等于这两个数的平方差（a+b ）（a-b ）=
8.完全平方公式，即两数和（或差）的平方，等于它们的 ，加（或减）它们的积的 。（a+b ）2= ,（a-b ）2= 。 9.公式的灵活变形：
（a+b ）2+（a-b ）2= ，（a+b ）2-（a-b ）2= ， a 2+b 2=（a+b ）2- ，
a 2+
b 2=（a-b ）2+ ，（a+b ）2=（a-b ）2+ ， （a-b ）2=（a+b ）2- 。
【例1】若代数式22(26)(2351)x ax y bx x y +-+--+-的值与字母x 的取值无关，求代数
式234a -+2221
2(3)4b a b --的值
【例2】已知两个多项式A 和B ，
43344323,321,n n n A nx x x x B x x x nx x +-+=+-+-=-++--试判断是否存在整数n ，使A B -是五次六项式？
【例3】已知,,x y z 为自然数，且x y <，当1999,2000x y z x +=-=时，求x y z ++的所有值中最大的一个是多少？
八年级数学上册 整式的乘法与因式分解(培优篇)(Word版 含解析)
八年级数学上册 整式的乘法与因式分解（培优篇）（Word 版 含解
析）
一、八年级数学整式的乘法与因式分解选择题压轴题（难）
1．因式分解x 2+mx ﹣12＝（x +p ）（x +q ），其中m 、p 、q 都为整数，则这样的m 的最大值是（ ）
A ．1
B ．4
C ．11
D ．12
【答案】C
【解析】
分析：根据整式的乘法和因式分解的逆运算关系，按多项式乘以多项式法则把式子变形，然后根据p 、q 的关系判断即可.
详解：∵(x ＋p)(x ＋q)= x 2＋（p+q ）x+pq= x 2＋mx －12
∴p+q=m ，pq=-12.
∴pq=1×（-12）=（-1）×12=（-2）×6=2×（-6）=（-3）×4=3×（-4）=-12
∴m=-11或11或4或-4或1或-1.
∴m 的最大值为11.
故选C.
点睛：此题主要考查了整式乘法和因式分解的逆运算的关系，关键是根据整式的乘法还原因式分解的关系式，注意分类讨论的作用.
2．在矩形ABCD 中，AD =3，AB =2，现将两张边长分别为a 和b （a ＞b ）的正方形纸片按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为S 1，图2中阴影部分的面积为S 2．则S 1﹣S 2的值为（ ）
A ．-1
B ．b ﹣a
C ．-a
D ．﹣b
【答案】D
【解析】
【分析】 利用面积的和差分别表示出S 1、S 2，然后利用整式的混合运算计算它们的差.
【详解】
∵1()()()(2)(2)(3)S AB a a CD b AD a a a b a =-+--=-+--
北师大版数学八年级上册 整式的乘法与因式分解(培优篇)(Word版 含解析)
(2)已知 ( 是正整数， 是常数，且 )，要使 是“明礼崇德数”，试求出符合条件的一个 值，并说明理由；
(3)对于一个三位数，如果满足十位数字是7，且个位数字比百位数字大7，称这个三位数为“七喜数”.若 既是“七喜数”，又是“明礼崇德数”，请求出 的所有平方差分解.
∴ ，得 （不合题意，舍去）；
当m=279时，
∵279=3 93=9 31，
∴① ，得 ，∴ ，
② ，得 ，∴ ，
∴既是“七喜数”又是“明礼崇德数”的m是279， ， .
【点睛】
此题考查因式分解，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解此题的前提，(3)是此题的难点，解题时需根据百位与个位数字的关系确定具体的数据，再根据“明礼崇德数”的要求进行平方差分解.
3．观察下列等式：
完成下列问题：
（1） ___________
（2） （结果用幂表示）.
（3）已知 ，求 .
【答案】（1）（a-b）（an-1+an-2b+…+abn-2+bn-1）；（2）264-1；（3）76.
【解析】
【分析】
（1）根据规律可得结果（a-b）（an-1+an-2b+…+abn-2+bn-1）；
（2）先利用平方差公式将 进行因式分解，之后即可得出答案.
人教版2022-2023学年八年级数学上册阶段性复习精选精练《整式的乘法与因式分解》培优卷含答案解析
第14章 整式的乘法与因式分解（培优篇）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列计算正确的是（ ） A ．a 2•a 3=a 6
B ．a 6÷a 3=a 2
C ．4x 2﹣3x 2=1
D ．（﹣2a 2）3=﹣8a 6
2．计算20206060(0.125)(2)-⨯的结果是（ ） A ．1
B ．1-
C ．8
D ．8-
3．若3x y -=，则226x y y --=( ) A ．3
B ．6
C ．9
D ．12
4．下列运算中，结果正确的是（ ） A ．235a b ab += B ．()2a a b a b -+=- C ．()2
22a b a b +=+
D ．236a a a ⋅=
5．已知553a =，444b =，335c =，则a 、b 、c 的大小关系为（ ） A ．c a b <<
B ．c b a <<
C ．a b c <<
D ．a c b <<
6．若220x x +-=，则3222016x x x +-+等于（ ） A ．2020
B ．2019
C ．2018
D ．－2020
7．观察等式（2a ﹣1）a +2＝1，其中a 的取值可能是（ ） A ．﹣2
B ．1或﹣2
C ．0或1
D ．1或﹣2或0
8．若（b ﹣c ）2＝4（1﹣b ）（c ﹣1），则b +c 的值是（ ） A ．﹣1
B ．0
C ．1
D ．2
9．已知（2x ﹣3）7＝a 0x 7+a 1x 6+a 2x 5+……+a 6x +a 7，则a 0+a 1+a 2+……+a 7＝（ ） A ．1
数学八年级上册 整式的乘法与因式分解(培优篇)(Word版 含解析)
数学八年级上册整式的乘法与因式分解（培优篇）（Word版含解
析）
一、八年级数学整式的乘法与因式分解选择题压轴题（难）
1．已知a=2012x+2011，b=2012x+2012，c=2012x+2013，那么a2+b2+c2—ab－bc－ca的值等于( )
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【解析】
【分析】
首先把a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac两两结合为a2﹣ab+b2﹣bc+c2﹣ac，利用提取公因式法因式分解，再把a、b、c代入求值即可．
【详解】
a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac
＝a2﹣ab+b2﹣bc+c2﹣ac
＝a（a﹣b）+b（b﹣c）+c（c﹣a）
当a＝2012x+2011，b＝2012x+2012，c＝2012x+2013时，a-b=－1，b－c=－1，c－a=2，原式＝（2012x+2011）×（﹣1）+（2012x+2012）×（﹣1）+（2012x+2013）×2
＝﹣2012x﹣2011﹣2012x﹣2012+2012x×2+2013×2
＝3．
故选D．
【点睛】
本题利用因式分解求代数式求值，注意代数之中字母之间的联系，正确运用因式分解，巧妙解答题目．
2．有5张边长为2的正方形纸片，4张边长分别为2、3的矩形纸片，6张边长为3的正方形纸片，从其中取出若干张纸片，且每种纸片至少取一张，把取出的这些纸片拼成一个正方形（原纸张进行无空隙、无重叠拼接），则拼成正方形的边长最大为（）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【解析】
【分析】
设2为a，3为b，则根据5张边长为2的正方形纸片的面积是5a2，4张边长分别为2、3的矩形纸片的面积是4ab，6张边长为3的正方形纸片的面积是6a2，得出a2+4ab+4b2=
人教版八年级数学上册 整式的乘法与因式分解(篇)(Word版 含解析)
一、八年级数学整式的乘法与因式分解解答题压轴题（难）
1．阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，求m、n的值．
解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）=0
∴（m﹣n）2+（n﹣4）2=0，∴（m﹣n）2=0，（n﹣4）2=0，∴n=4，m=4．
根据你的观察，探究下面的问题：
（1）已知x2﹣2xy+2y2+6y+9=0，求xy的值；
（2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b2﹣10a﹣12b+61=0，求△ABC 的最大边c的值；
（3）已知a﹣b=8，ab+c2﹣16c+80=0，求a+b+c的值．
【答案】(1)9；（2）△ABC的最大边c的值可能是6、7、8、9、10；（3）8.
【解析】
试题分析：（1）直接利用配方法得出关于x，y的值即可求出答案；
（2）直接利用配方法得出关于a，b的值即可求出答案；
（3）利用已知将原式变形，进而配方得出答案．
试题解析：（1）∵x2﹣2xy+2y2+6y+9=0，
∴（x2﹣2xy+y2）+（y2+6y+9）=0，
∴（x﹣y）2+（y+3）2=0，
∴x﹣y=0，y+3=0，
∴x=﹣3，y=﹣3，
∴xy=（﹣3）×（﹣3）=9，
即xy的值是9．
（2）∵a2+b2﹣10a﹣12b+61=0，
∴（a2﹣10a+25）+（b2﹣12b+36）=0，
∴（a﹣5）2+（b﹣6）2=0，
∴a﹣5=0，b﹣6=0，
∴a=5，b=6，
∵6﹣5＜c＜6+5，c≥6，
∴6≤c＜11，
∴△ABC的最大边c的值可能是6、7、8、9、10．
上海民办新复兴初级中学数学整式的乘法与因式分解(培优篇)(Word版 含解析)
上海民办新复兴初级中学数学整式的乘法与因式分解（培优篇）
（Word版含解析）
一、八年级数学整式的乘法与因式分解选择题压轴题（难）
1．已知a=2012x+2011，b=2012x+2012，c=2012x+2013，那么a2+b2+c2—ab－bc－ca的值等于( )
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【解析】
【分析】
首先把a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac两两结合为a2﹣ab+b2﹣bc+c2﹣ac，利用提取公因式法因式分解，再把a、b、c代入求值即可．
【详解】
a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac
＝a2﹣ab+b2﹣bc+c2﹣ac
＝a（a﹣b）+b（b﹣c）+c（c﹣a）
当a＝2012x+2011，b＝2012x+2012，c＝2012x+2013时，a-b=－1，b－c=－1，c－a=2，原式＝（2012x+2011）×（﹣1）+（2012x+2012）×（﹣1）+（2012x+2013）×2
＝﹣2012x﹣2011﹣2012x﹣2012+2012x×2+2013×2
＝3．
故选D．
【点睛】
本题利用因式分解求代数式求值，注意代数之中字母之间的联系，正确运用因式分解，巧妙解答题目．
2．因式分解x2+mx﹣12＝（x+p）（x+q），其中m、p、q都为整数，则这样的m的最大值是（）
A．1 B．4 C．11 D．12
【答案】C
【解析】
分析：根据整式的乘法和因式分解的逆运算关系，按多项式乘以多项式法则把式子变形，然后根据p、q的关系判断即可.
详解：∵(x＋p)(x＋q)= x2＋（p+q）x+pq= x2＋mx－12
人教版八上数学整式的乘法及因式分解单元培优
第1讲 整式的乘法
知识点梳理：
复习回顾：
整式的加减：同类项，合并同类项 新课要点：
（1）同底数幂的乘法：底数不变，指数相加。 n
m n m a a a +=⋅(m 、n 都是正整数) 注意
公式逆用。
（2）幂的乘方：底数不变，指数相乘。 mn
n
m a a =)(（m 、n 都是正整数) 注意公式
逆用。
（3）积的乘方：n
n
n
b a ab =)(（n 是正整数） 注意公式逆用。 （4）整式的乘法：
①单项式和单项式相乘：把它们的系数、相同的字母分别相乘，对于只在一个单项式出现的
字母，则连同它的指数一起作为积的一个因式。例如：)3(23
2
2
bc a ab -⋅=3
336c b a -
②单项式与多项式相乘，先用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。即
mb ma b a m +=+)(
③多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积再相加。
即nb na mb ma b a n m +++=++))((
经典例题
例1．（1）-x 3·x 5 （2）x m ·x 3m+1 （3）2×24×23
（4）31
++••m m m
a a a （5）n m m m m a a a a 321⋅⋅
例2．计算： ①()()()()2
4
5
2
2
32222x x x x -⋅-⋅ ②()()()
3
2
212m
n m a a a a -⋅-⋅
例3.计算：
⑴()33x - ⑵()2
5ab - ⑶()
2
2xy ⑷(
)
4
322xy z
-
（5）()()
4
2
3
4
242a a a a a ⋅⋅++- （6）()
（完整版）整式的乘法与因式分解培优
（完整版）整式的乘法与因式分解培优
第二章整式的乘法
【知识点归纳】
1.同底数幂相乘，不变，相加。a n.a m = (m,n 是正整数)
2.幂的乘方，不变，相乘。(a n )m = (m,n 是正整数)
3.积的乘方，等于把，再把所得的幂。 (ab)n = (n 是正整数)
4.单项式与单项式相乘，把它们的、分别相乘。
5.单项式与多项式相乘，先用单项式，再把所得的积，a （m+n ）=
6.多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘，再把所得的积，（a+b ）（m+n ）= 。
7.平方差公式，即两个数的与这两个数的的积等于这两个数的平方差（a+b ）（a-b ）=
8.完全平方公式，即两数和（或差）的平方，等于它们的，加（或减）它们的积的。（a+b ）2= ,（a-b ）2= 。 9.公式的灵活变形：
（a+b ）2+（a-b ）2= ，（a+b ）2-（a-b ）2= ， a 2+b 2=（a+b ）2- ，
a 2+
b 2=（a-b ）2+ ，（a+b ）2=（a-b ）2+ ，（a-b ）2=（a+b ）2- 。
【例1】若代数式22(26)(2351)x ax y bx x y +-+--+-的值与字母x 的取值无关，求代数
式234a -+2221
2(3)4b a b --的值
【例2】已知两个多项式A 和B ，
43344323,321,n n n A nx x x x B x x x nx x +-+=+-+-=-++--试判断是否存在整数n ，使A B -是五次六项式？
【例3】已知,,x y z 为自然数，且x y <，当1999,2000x y z x
人教版 八年级数学上册 第14章 整式的乘法与因式分解 培优训练
人教版 八年级数学上册 第14章 整式的乘法
与因式分解 培优训练（含答案）
一、选择题（本大题共8道小题）
1. 计算(－x 3y )2的结果是( )
A. －x 5y
B. x 6y
C. －x 3y 2
D. x 6y 2
2. 计算(2x )3÷x 的结果正确的是( )
A. 8x 2
B. 6x 2
C. 8x 3
D. 6x 3
3. 运用完全平方公式(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2计算(x ＋12)2，
则公式中的2ab 是( ) A.12x
B ．x
C ．2x
D ．4x 4. 下列各式中，能用完全平方公式计算的是(
) A ．(x －y )(x ＋y )
B ．(x －y )(x －y )
C ．(x －y )(－x －y )
D ．－(x ＋y )(x －y ) 5. 已知a m ＝4，则a 2m 的值为(
) A ．2
B ．4
C ．8
D ．16
6. 若n 为正整数，则(2n ＋1)2－(2n －1)2的值( )
A ．一定能被6整除
B ．一定能被8整除
C ．一定能被10整除
D ．一定能被12整除
7. 设a ＝x －2018，b ＝x －2020，c ＝x －2019，若a 2＋b 2＝34，则c 2的值是( )
A ．16
B ．12
C ．8
D ．4
8. 若a ，b ，c 是三角形三边的长，则代数式2222a b c ab +--的值( )．
A.大于零
B.小于零 C 大于或等于零
D ．小于或等于零
二、填空题（本大题共8道小题）
9. 分解因式：ax 2－ay 2＝________．
10. 根据里氏震级的定义，地震所释放的相对能量E 与震级n 的关系为：E ＝10n ，那么9级地震所释放的相对能量是7级地震所释放的相对能量的倍数是________．
北京丰华中学数学整式的乘法与因式分解(培优篇)(Word版 含解析)
北京丰华中学数学整式的乘法与因式分解（培优篇）（Word 版 含
解析）
一、八年级数学整式的乘法与因式分解选择题压轴题（难）
1．若229x kxy y -+是一个完全平方式，则常数k 的值为( )
A ．6
B ．6-
C ．6±
D ．无法确定 【答案】C
【解析】
【分析】
利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出k 的值．
【详解】
解：22x kxy 9y -+是一个完全平方式，
k 6∴-=±，
解得：k 6=±，
故选：C ．
【点睛】
此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
2．若999999a =，9
90119
b =，则下列结论正确是（ ） A ．a ＜b
B ．a b =
C ．a ＞b
D ．1ab =
【答案】B
【解析】 ()9
9999
99909990909119991111===99999
a b +⨯⨯==⨯， 故选B.
【点睛】本题考查了有关幂的运算、幂的大小比较的方法，一般说来，比较几个幂的大小，或者把它们的底数变得相同，或者把它们的指数变得相同，再分别比较它们的指数或底数.
3．已知(x －2015)2＋(x －2017)2＝34，则(x －2016)2的值是( )
A ．4
B ．8
C ．12
D ．16
【答案】D
【解析】
(x －2 015)2＋(x －2 017)2
=(x －2 016+1)2＋(x －2 016-1)2
=22(2016)2(2016)1(2016)2(2016)1x x x x -+-++---+
=22(2016)2x -+=34
∴2(2016)16x -=
故选D.
人教版初中数学八年级上单元试卷第章 整式的乘法与因式分解【培优卷】(解析版)
第14章整式的乘法与因式分解培优卷
一、单选题
1. ( 3分) 某种品牌的洗面奶，外包装标明净含量为500±10g，表明了这种洗面奶的净含量x的范围是（）
A.490＜x＜510
B.490≤x≤510
C.490＜x≤510
D.490≤x＜510
【答案】B
【考点】有理数的加法
【解析】【解答】解：根据题意得：500﹣1≤x≤500+10，即490≤x≤510，
故答案为：B
【分析】由题意用有理数的加法法则可得490≤x≤510。
2. ( 3分) 方程3x（x﹣1）＝4（x﹣1）的根是（）
A.4
3B.1 C.4
3
和1 D.4
3
和﹣1
【答案】C
【考点】因式分解﹣运用公式法，因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】原方程变形整理后得：（x﹣1）（3x﹣4）＝0，
x﹣1＝0或3x﹣4＝0，
解得：x1＝1，x2＝4
3
，
故答案为：C．
【分析】将方程移项后进行因式分解，即可得到方程的两个根。
3. ( 3分) 下列说法错误的是（）
A.两条射线组成的图形叫角
B.两点之间线段最短
C.两点确定一条直线
D.0是单项式【答案】A
【考点】单项式，直线的性质：两点确定一条直线，线段的性质：两点之间线段最短，角的概念【解析】【解答】解：A、两条有公共端点的射线组成的图形叫角，此选项符合题意；
B、两点之间线段最短，此选项不符合题意；
C、两点确定一条直线，此选项不符合题意；
D、数字0是单项式，此选项不符合题意；
故答案为：A．
【分析】根据角的定义、两点之间距离、直线的性质以及根据单项式的定义逐一判断即可．
4. ( 3分) 任意给定一个非零数x，按下列箭头顺序执行方框里的相应运算，得出结果后，再进行下一方框里的相应运算，最后得到的结果是（）
上海莘松中学数学整式的乘法与因式分解(培优篇)(Word版 含解析)
上海莘松中学数学整式的乘法与因式分解（培优篇）（Word版含
解析）
一、八年级数学整式的乘法与因式分解选择题压轴题（难）
1．有5张边长为2的正方形纸片，4张边长分别为2、3的矩形纸片，6张边长为3的正方形纸片，从其中取出若干张纸片，且每种纸片至少取一张，把取出的这些纸片拼成一个正方形（原纸张进行无空隙、无重叠拼接），则拼成正方形的边长最大为（）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【解析】
【分析】
设2为a，3为b，则根据5张边长为2的正方形纸片的面积是5a2，4张边长分别为2、3的矩形纸片的面积是4ab，6张边长为3的正方形纸片的面积是6a2，得出a2+4ab+4b2=
（a+2b）2，再根据正方形的面积公式将a、b代入，即可得出答案．
【详解】
解：
设2为a，3为b，
则根据5张边长为2的正方形纸片的面积是5a2，
4张边长分别为2、3的矩形纸片的面积是4ab，
6张边长为3的正方形纸片的面积是6b2，
∵a2+4ab+4b2=（a+2b）2，（b＞a）
∴拼成的正方形的边长最长可以为a+2b=2+6=8，
故选C．
【点睛】
此题考查了完全平方公式的几何背景，关键是根据题意得出a2+4ab+4b2=（a+2b）2，用到的知识点是完全平方公式．
2．已知a与b互为相反数且都不为零，n为正整数，则下列两数互为相反数的是( ) A．a2n－1与－b2n－1 B．a2n－1与b2n－1 C．a2n与b2n D．a n与b n
【答案】B
【解析】已知a与b互为相反数且都不为零，可得a、b的同奇次幂互为相反数，同偶次幂相等，由此可得选项A、C相等，选项B互为相反数，选项D可能相等，也可能互为相反数，故选B.
《易错题》初中八年级数学上册第十四章《整式的乘法与因式分解》知识点总结(专题培优)
一、选择题
1．如果多项式()2y a +与多项式()5y -的乘积中不含y 的一次项，则a 的值为（ ）
A ．52
-
B ．52
C ．5
D ．-5B
解析：B 【分析】 把多项式的乘积展开，合并同类项，令含y 的一次项的系数为0，可求出a 的值．
【详解】
()2y a +()5y -=5y-y 2+10a-2ay=-y 2+(5-2a)y+10a ，
∵多项式()2y a +与多项式()5y -的乘积中不含y 的一次项，
∴5-2a=0，
∴a=
52
． 故选B ．
【点睛】 本题考查了多项式乘多项式，解答本题的关键在于将多项式的乘积展开，令含y 的一次项的系数为0，得到关于a 的方程．
2．已知： 13m m +
=， 则： 331m m +的值为( ) A ．15
B ．18
C ．21
D ．9B 解析：B
【分析】 把13m m +=两边平方得出221m m +的值，再把331m m
+变形代入即可得出答案 【详解】 解：∵13m m
+=， ∴219⎛⎫+= ⎪⎝
⎭m m ， ∴221=7+
m m ∴()3232111=m+m 1+=371=18m m ⎛⎫⎛⎫+-⨯- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
m m 故选：B
【点睛】
本题考查了完全平方公式的应用，熟练掌握公式是解题的关键
3．已知A 为多项式，且2221241A x y x y =--+++，则A 有（ ）
A ．最大值23
B ．最小值23
C ．最大值23-
D ．最小值23- A
解析：A
【分析】
利用分组分解法，变为完全平方式解答即可．
【详解】 2221241A x y x y =--+++
苏科版数学八年级上册 整式的乘法与因式分解(培优篇)(Word版 含解析)
一、八年级数学整式的乘法与因式分解解答题压轴题（难）
1．阅读材料：若m 2﹣2mn+2n 2﹣8n+16=0，求m 、n 的值．
解：∵m 2﹣2mn+2n 2﹣8n+16=0，∴（m 2﹣2mn+n 2）+（n 2﹣8n+16）=0
∴（m ﹣n ）2+（n ﹣4）2=0，∴（m ﹣n ）2=0，（n ﹣4）2=0，∴n=4，m=4．
根据你的观察，探究下面的问题：
（1）已知x 2+2xy+2y 2+2y+1=0，求2x+y 的值；
（2）已知a ﹣b=4，ab+c 2﹣6c+13=0，求a+b+c 的值．
【答案】(1)1；(2)3．
【解析】
【分析】
（1）根据题意，可以将题目中的式子化为材料中的形式，从而可以得到x 、y 的值，从而可以得到2x+y 的值；（2）根据a-b=4，ab+c 2-6c+13=0，可以得到a 、b 、c 的值，从而可以得到a+b+c 的值．
【详解】
解：(1)∵x 2+2xy+2y 2+2y+1=0，
∴(x 2+2xy+y 2)+(y 2+2y+1)=0，
∴(x+y)2+(y+1)2=0，
∴x+y=0，y+1=0，
解得，x=1，y=−1，
∴2x+y=2×1+(−1)=1；
(2)∵a−b=4，
∴a=b+4，
∴将a=b+4代入ab+c 2−6c+13=0，得
b 2+4b+
c 2−6c+13=0，
∴(b 2+4b+4)+(c 2−6c+9)=0，
∴(b+2)2+(c−3)2=0，
∴b+2=0，c−3=0，
解得，b=−2，c=3，
∴a=b+4=−2+4=2，
∴a+b+c=2−2+3=3．
苏州北外附属苏州湾外国语学校数学整式的乘法与因式分解(培优篇)(Word版 含解析)
一、八年级数学整式的乘法与因式分解解答题压轴题（难）
1．阅读材料：若m 2﹣2mn+2n 2﹣8n+16=0，求m 、n 的值．
解：∵m 2﹣2mn+2n 2﹣8n+16=0，∴（m 2﹣2mn+n 2）+（n 2﹣8n+16）=0
∴（m ﹣n ）2+（n ﹣4）2=0，∴（m ﹣n ）2=0，（n ﹣4）2=0，∴n=4，m=4．
根据你的观察，探究下面的问题：
（1）已知x 2+2xy+2y 2+2y+1=0，求2x+y 的值；
（2）已知a ﹣b=4，ab+c 2﹣6c+13=0，求a+b+c 的值．
【答案】(1)1；(2)3．
【解析】
【分析】
（1）根据题意，可以将题目中的式子化为材料中的形式，从而可以得到x 、y 的值，从而可以得到2x+y 的值；（2）根据a-b=4，ab+c 2-6c+13=0，可以得到a 、b 、c 的值，从而可以得到a+b+c 的值．
【详解】
解：(1)∵x 2+2xy+2y 2+2y+1=0，
∴(x 2+2xy+y 2)+(y 2+2y+1)=0，
∴(x+y)2+(y+1)2=0，
∴x+y=0，y+1=0，
解得，x=1，y=−1，
∴2x+y=2×1+(−1)=1；
(2)∵a−b=4，
∴a=b+4，
∴将a=b+4代入ab+c 2−6c+13=0，得
b 2+4b+
c 2−6c+13=0，
∴(b 2+4b+4)+(c 2−6c+9)=0，
∴(b+2)2+(c−3)2=0，
∴b+2=0，c−3=0，
解得，b=−2，c=3，
∴a=b+4=−2+4=2，
∴a+b+c=2−2+3=3．
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
一、八年级数学整式的乘法与因式分解解答题压轴题（难）
1．阅读以下材料，并按要求完成相应的任务．
在初中数学课本中重点介绍了提公因式法和运用公式法两种因式
分解的方法，其中运用公式法即运用平方差公式：22()()a b a b a b -=+-和完全平方公式：222
)2(a ab b a b ±+=±进行分解因式，能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍．当一个二次三项式不能直接能运用完全平方公式分解因式时，可应用下
面方法分解因式，先将多项式2ax bx c ++(0)a ≠变形为2()a x m n ++的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式2ax bx c ++的配方法．再运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行分解因式．
例如：21124x x ++
22
21111112422x x ⎛⎫⎛⎫=++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 2112524x ⎛⎫=+- ⎪⎝
⎭ 1151152222x x ⎛⎫⎛⎫=+++- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ (8)(3)x x =++．
根据以上材料，完成相应的任务：
（1）利用“多项式的配方法”将268x x -+化成2()a x m n ++的形式为_______；
（2）请你利用上述方法因式分解：
①223x x +-； ②24127x x +-．
【答案】（1）2(3)1x --；（2）①(3)(1)x x +-；②(27)(21)x x +-
【解析】
【分析】
（1）将多项式2233+-即可完成配方；
（2）①将多项式+1-1后即可用配方法再根据平方差公式分解因式进行解答；
②将多项式2233+-即可完成配方，再根据平方差公式分解因式，整理后即可得到结果.
【详解】
解：（1）268x x -+=2226338x x -+-+=2(3)1x --，
故答案为：2(3)1x --；
（2）①223x x +-
22113x x =++--
2(1)4x =+-
(12)(12)x x =+++-
(3)(1)x x =+-．
②24127x x +-
222(2)12337x x =++--
2(23)16x =+-
(234)(234)x x =+++-
(27)(21)x x =+-．
【点睛】
此题考查多项式的配方法，多项式的分解因式，正确理解题中的配方法的解题方法是关键.
2．（1）你能求出（a ﹣1）（a 99+a 98+a 97+…+a 2+a +1）的值吗？遇到这样的问题，我们可以先从简单的情况入手，分别计算下列各式的值．
（a ﹣1）（a +1）＝ ；
（a ﹣1）（a 2+a +1）＝ ；
（a ﹣1）（a 3+a 2+a +1）＝ ；…
由此我们可以得到：（a ﹣1）（a 99+a 98+…+a +1）＝ ．
（2）利用（1）的结论，完成下面的计算：
2199+2198+2197+…+22+2+1．
【答案】（1）21a -，31a -，41a -，1001a -（2）20021-
【解析】
【分析】
根据简单的多项式运算推出同类复杂多项式运算结果的一般规律，然后根据找出的规律进行解决较难的运算问题．
【详解】
解：（1）21a - 31a - 41a - 1001a -
（2）1991981972222221+++⋅⋅⋅++
=()21- ⨯（1991981972222221+++⋅⋅⋅++）
=20021-．
【点睛】
考查了学生的基础运算能力和对同一类运算问题计算结果的一般规律性洞察力．
3．先阅读下列材料：我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、十字相乘法等等，其中十字相乘法在高中应用较多．
十字相乘法：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项
系数（如图），如：将式子232x x ++和223x x +-分解因式，如图：
()()23212x x x x ++=++；
()()223123x x x x +-=-+．
请你仿照以上方法，探索解决下列问题：
（1）分解因式：2712y y ；
（2）分解因式：2321x x --．
【答案】（1）（x ﹣3）（x ﹣4）；（2）（x ﹣1）（3x+1）．
【解析】
【分析】
（1）将1分成1乘以1，12分成-3乘以-4，交叉相乘的结果为-7，即可得到答案； （2）将3分成1乘以3，-1分成-1乘以1，由此得到分解因式的结果.
【详解】
（1）y 2﹣7y+12=（x ﹣3）（x ﹣4）；
（2）3x 2﹣2x ﹣1=（x ﹣1）（3x+1）.
【点睛】
此题考查十字相乘法分解因式，将二次项系数及常数项分解成两个因数相乘，交叉相乘的结果相加得到一次项的系数，能准确分解因数是解题的关键.
4．材料：数学兴趣一小组的同学对完全平方公式进行研究：因()20a b -≥，将左边展开得到2220a ab b -+≥，移项可得：222a b ab +≥.
数学兴趣二小组受兴趣一小组的启示，继续研究发现：对于任意两个非负数m 、n ，都存在2m n mn +≥m 、n 的和一定存在着一个最小值. 根据材料，解答下列问题：
（1）()()
2225x y +≥__________（0x >，0y >）；221x x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭___________（0x >）；
（2）求()5602x x x
+>的最小值； （3）已知3x >，当x 为何值时，代数式92200726
x x ++-有最小值，并求出这个最小值. 【答案】（1）20xy ，2；（2）153）当92x =
时，代数式92200726x x ++-的